Partielle Differentialgleichungen [4., durchges. Aufl. Reprint 2019] 9783111369280, 9783111012261

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

1003

PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN von

DR. G U I D O

HOHEISEL

o. Professor an der Universität Köln

Vierte, durchgesehene Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göschen'sehe Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer - Karl J . Trübner • Veit & Comp.

BERLIN

1960

© Copyright 1960 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 111003. — Druck: Lindemann & Lüdecke, Berlin SO 36. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Literatur

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Seite 4

Sachverzeichnis

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K a p i t e l I. Die Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Veränderlichen § 1. Vorbemerkungen § 2. Lineare Gleichungen § 3. Allgemeines und vollständiges Integral § 4. Das vollständige Integral § 5. Darstellung des vollständigen Integrals § 6. Pfaffsche Gleichungen § 7. Cauchysches Problem § 8. Zusammenhang zwischen Charakteristiken und dem vollständigen Integral K a p i t e l I I . Die Differentialgleichung erster Ordnung mit n Veränderlichen § 1. Die lineare Gleichung . . . " § 2. Die allgemeine Differentialgleichung § 3. Kanonische Transformationen § 4. Die Gruppe der kanonischen Transformationen § 5. Kanonische Transformationen und Integration einer Differentialgleichung § 6. Kanonische Transformationen und Cauchysches Anfangswertproblem § 7. Berührungstransformationen \ . K a p i t e l I I I . Systeme mit einer und mehr unbekannten Funktionen . . § 1. Lineare Systeme mit einer unbekannten Funktion § 2. Allgemeine involutorische Systeme § 3. Allgemeine involutorische Systeme und die Integration einer Differentialgleichung § 4. Systeme mit mehreren unbekannten Funktionen

5 5 8 11 14 16 20 25 33 35 35 30 44 50 53 61 64 66 66 70 74 79

K a p i t e l IV. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen 87 § 1. Systeme in Involution . 87 § 2. Charakteristiken zweiter Ordnung 96 | 3. Lineare Gleichungen 104 § 4. Randwertaufgaben bei hyperbolischen Gleichungen 109 § 5. Bestimmte Integrale und Integration linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 116 Nachträge

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Abkürzungen G. D. = Gewöhnliche Differentialgleichungen. Sammlung Göschen Bd. 920 (6. Aufl.). 1960. As. = Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Sammlung Göschen Bd. 1059 (2. Aufl.) 1951.

Literatur B i e b e r b a c h , Differentialgleichungen, 3. Aufl. Berlin 1937. C a r a t he o (1 or y , Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen. 1935. C o d d i n g t o n - L e v i n s o n , Theory of Ordinary Differential Equations. New York 1955. C o u r a n t - H i l b e r t , Methoden der mathematischen Physik, B d . I I . H o r n , Partielle Differentialgleichungen. \Göschens Lehrbücherei, Band 14) 4. Aufl. Berlin 1949. E . L. I n c e , Ordinary Differential Equations. London 1927. K a m k e , Differentialgleichungen reeller Funktionen. Leipzig 1930. K a m k e , Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen, Bd. I I . 1950. P e t r o w s k i , Vorlesungen über.partielle Differentialgleichungen. Leipzig 1955.

Sachverzeichnis Ableitung in einer Richtung 21 Allgemeine Lösung 11,54, 56, 63, 65, 73 Anfangswerte s. Cauchy Approximationen (sukzessive) 110 Berührungstransformationen 64 Besseische Differentialgleichung 116 Cauchysches Problem 25, 36, 37, 39f., 61, 110, 117 Charakteristiken 28, 61, 92, 96 Duhamelsches Integral 120 Element 25, 41 Elementare (kan.) Transformation 53 Elliptische Gleichung 106 Existenz- und Eindeutigkeitssätze 36, 87 Fourier-Integral 116 Funktionaldeterminante 5, 46, 49

Greenscher Satz 113 Gruppe 52

Riemannsche Formel 114 — Funktion 115

Hyperbolische Gleichung Streifen (charakteristische 25, 28, 41, 96 106 Systeme (gew. und char.) 6f., 15, 36, 41, 61 Implizite Form 9, 44, 50 Integrabilitätsbedingung Systeme (partielle) quasilineare 66 21, 22 vollständige 67, 68, 69 Involution 15, 47, 57, 58, involutorische60,65,72 64 allgemeine 79 allgemeine u. vollst. 84 Kanonische Transformation 44 f. Tangentialebene 26 Klammerausdruck Telegraphengleichung 115 a) Lagrange 46 Totales Differential 22, b) Poisson 47, 67, 71 45, 55 Trennung der Variablen Mannigfaltigkeit 40 f. 58 Mayersche Transforma(Jmkehrbarkeit (einer tion 68, 75, 85 Transf.) 45, 47 Monge-Ampöresche Gleichung 98 Verschiedene Funktionen 6 Parabolische Gleichung Vollständiges Integral 11, 106 12, 15, 19, 54, 65, 73, Pfaffsche Gleichung 20, 79 39, 81 Vorintegral 8 Quadratur 59, 60 Wärmeleitung 118 Quasilineare Gleichung 9, 35, 101 Zwischenintegral 97, 103

Kapitel I Die Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Veränderlichen § 1. Yorbemcrkungen Es wird zunächst an einige Sätze aus der Theorie der reellen Funktionen von mehreren Veränderlichen erinnert. / 1 , . . / „ seien Funktionen von n Veränderlichen xv ..., xn. Die des Bfweiteren immer als stetig angenommenen Ableitungen — bilden eine (n, n) reihige Matrix, deren Determinante die Funktionaldeterminante heißt: »(Xj,..x„) . f . ^ " ' ' o d e r kurz d(x) . Für diese Größen gelten ähnliche Regeln wie für die Ableitungen nach einer Veränderlichen. Sind z. B. die / Funktionen der yv • • yn und diese wiederum Funktionen von xv ..., xn, so gilt für Ffa,..x„) = /¡(^(x,,..., x„) yn(xlt..., xj) d(F): d(f) d(y) d(x) d(y) d(x)' Der Satz über implizite Funktionen (G. D. § 1) stellt die Möglichkeit fest, eine Gleichung nach einer Unbekannten aufzulösen. Bei einem System von Gleichungen lautet dieser Satz: Gegeben sind n stetig differenzierbare Funktionen von n+ p Veränderlichen f f a , . . . , xn; z B + 1 , . . . , xn+ p) (i = 1,-..., n), die im Punkte (x®,..., x„+p) den Wert Null haben. Es sei f , ^ " ' ' " f n \ =4= 0 im Punkte (x°). Dann gibt es c(.x„ . . . , X „ ) in einer Umgebung von {x°n n , . . . , genau ein System von n stetig differenzierbaren Funktionen der p Veränderlichen •^n+i» • • •> p

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I. Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Veränderlichen

Xi = ? ( ( x „ + 1 , . . x n + p ) (i = 1 , . . n ) mit x? = . . . , ®°+))), das die Gleichungen /((ffi. • • ff«; a^+i. • • - «„+») = 0 (t = 1 , . . . , m) identisch in xn+1,..., xn+p erfüllt. Die Ableitungen der g berechnen sich aus dem Gleichungssystem 8 v ¿rr fi n0 = «d/i = 2/

X) n

x ^ j . . . , x n ein Punkt der von a j , . . . , x% ausgehenden Bahnkurve, dann ist die Bahnkurve die Veränderlichen) ¡2 = h(tü xi,...,x„xt) (n = ¿„(£¡1 Xj,..., x„; x,)

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1. Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Veränderlichen

wegen des Eindeutigkeitssatzes bei gewöhnlichen Systemen mit der von x [ , . . . , x% ausgehenden Bahnkurve identisch, und daher muß sein = jz(x®', x2> •••iI«!

Si)' • • •> xn

=

jn(x 1'

••

x

n'' xi)'

Das gilt für jeden Punkt ( a ^ , . . . , xn) dieser Bahnkurve. Man erhält alle Bahnkurven einer Umgebung vonP 0 , wenna:®,...,.^ durch Werte c 2 , . . . , cn einer Umgebung ersetzt werden. cv = jr(x1; x2,..., x,.; xt) (v = 2 , . . ., n) ist also das allgemeine Integral von (2'), d. h. von (2). Kürzer geschrieben: e„ = Fv{xv ..., xn) (v = 2 , . . . , n). Geometrisch besagt diese Darstellung: eine Integralkurve ergibt sich als Schnitt von (n — 1) Flächen der Dimension n — 1. Die Fv sollen Vorintegrale heißen. Sie müssen verschieden sein, d. h. die Matrix 8Fv(xl,..x„) öfo,..., xn) muß vom Eang (n — 1) sein, damit die Gleichungen cv = I