Praxis der Differentialgleichungen: Eine Einführung [4., erw. Aufl. Reprint 2019] 9783111507620, 9783111140452

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PRAXIS DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Eine

Einführung VON

DR. PHIL. H O R S T V O N SANDEN o. Professor an der Technischen Hochschule Hannover

Vierte, erweiterte Auflage

Mit 21

Abbildungen

W a l t e r de G r u y t e r & Co.,

Berlin

vormals G . J . Göschen'sche Verlagshandlung — J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg R e i m e r — K a r l J . T r ü b n e r — Veit & Comp.

1955

Alle Hechte, einseht der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Archiv-Nr. 12 12 55 Druck Paul Funk, Berlin W 35 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis A. G e w ö h n l i c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n m i t

Anfangswerten

I. Differentialgleichungen erster Ordnung 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Fragestellung Geometrische Deutung. Isoklinen Zeichnerische Integration Numerisch-tabellarische Integration Analytische Iteration Methode von Runge-Kutta

6 8 10 18 38 38

II. Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1. 2. 3. 4.

Fragestellung und geometrische Deutung Zeichnerische Integration Numerisch-tabellarische Integration Lösung einer Differentialgleichung durch Potenzreiheri

40 41 48 54

III. Systeme von Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung 1. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 2. Zwei gekoppelte Differentialgleichungen zweiter Ordnung

58 60

B. G e w ö h n l i c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n als R a n d w e r t a u f g a b e n I. Die lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstantem Beiwert als Randwertaufgabe 1. Fragestellung bei Randwertaufgaben 62 2. Eigenwerte und Eigenfunktionen 63 3. Vier Beispiele: a) Kritische Drehzahlen 64 b) Knicklasten 65 c) Eigenschwingungen einer Saite 66 d) Eigenschwingungen eines Stabes 68 II. Die lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit nicht-konstantem Beiwert 1. Allgemeines über Eigenwerte und Eigenfunktionen 2. Der Ansatz von Rayleigh 3. Die Iterationsmethode

71 75 79 1*

4

Inhaltsverzeichnis

III. Die lineare, inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Randwerten 1. 2. 3. 4. 5.

Aufgabe und Lösbarkeit Erzwungene Saitenschwingungen Lösung durch die Greensche Funktion Lösung durch numerisch-tabellarische Integration Lösung als Differenzengleichung

87 87 89 92 93

IV. Die Methode von Ritz zur Behandlung von Randwertaufgaben 1. 2. 3. 4.

Fragestellung der Variationsrechnung Nutzanwendung auf die Lösung von Randwertaufgaben Die Galerkinsche Form des Ritz-Verfahrens Die Berechnung von Eigenwerten

V. Ausblick und Literatur

99 101 107 110 114

Vorwort zur ersten Auflage Dies kleine Buch ist aus der vervielfältigten Niederschrift von Vorlesungen entstanden, die ich an der Technischen Hochschule Hannover gehalten habe. Da die Nachfrage nach diesen Umdrucken in und außerhalb der Hochschule größer wurde, entschloß ich mich zur Herausgabe in Buchform. Nicht ohne Bedenken, denn über Differentialgleichungen gibt es ja zahlreiche vortreffliche Lehrbücher. Da in diesen jedoch hauptsächlich der systematische Aufbau der Theorie dargestellt wird, schien es mir nicht überflüssig zu sein, einmal die praktische Nutzanwendung in den Vordergrund zu stellen und die numerischen Lösungsmethoden zu betonen. Vollständigkeit in dem Sinne, daß zu jeder Aufgabe der Praxis eine Anweisung gegeben wird, nach der dann nur schematisch zu rechnen ist, konnte hier ebensowenig wie auf irgendeinem anderen Gebiet der Praktischen Mathematik erreicht werden, denn jeder Einzelfall erfordert besondere Überlegungen, wobei die Genauigkeit, der Zeitaufwand und die verfügbaren Hilfsmittel zu berücksichtigen sind. Wenn der Leser Interesse für die numerische Behandlung der Differentialgleichungen und eine gewisse Rechengewandtheit bekommt, so ist der Zweck des Buches erfüllt. Bei der Durchrechnung der Beispiele hat mich mein langjähriger Assistent, Oberingenieur Dr. ing. S t o h l e r in dankenswerter Weise unterstützt. Dem Verlag bin ich zu großem Dank verpflichtet, daß er den Druck des Buches trotz mancherlei Schwierigkeiten ermöglicht hat. Hannover, im November 1942.

v. S a n d e n .

Vorwort zur vierten Auflage Der Druck der dritten Auflage war dadurch etwas verunglückt, daß durch einen Bombeneinschlag der Satz verschoben wurde. Infolgedessen sind an bedauerlich vielen Stellen kleine Druckzeichen, wie Integralgrenzen, Indizes und dergl. nicht in den Text gekommen. Ich habe mich bemüht, dies in der vierten Auflage in Ordnung zu bringen und auch andere Unstimmigkeiten zu beseitigen. Neu aufgenommen ist ein Abschnitt über Differenzengleichungen. Hannover, im Mai 1955. v. S a n d e n .

A. G e w ö h n l i c h e Differentialgleichungen mit Anfangswerten I. Differentialgleichungen erster Ordnung 1. Fragestellung Es sei f(x, y) eine gegebene Funktion von x und y, die in dem Arbeitsbereich bis auf einzelne Punkte oder Linien stetig sein soll. Eine Differentialgleichung erster Ordnung dy dx

=

f

^

y )

stellt dann die Aufgabe, solche Funktionen y = y(x) zu finden, deren Differentialquotient identisch gleich derjenigen Funktion von x ist, die man erhält, wenn man in f(x, y) für y die Funktion y(x) einsetzt, wodurch ja f[x, y(x)] eine Funktion von x allein wird. Zwei B e i s p i e l e : Die Funktion / (x, y) sei a • y/x, worin a eine gegebene Konstante ist. Die Differentialgleichung lautet demgemäß dy _ dx

y_ x'

Ihre Lösung ist y = Cxa, worin C eine „willkürliche Konstante" bedeutet. Die Differentialgleichung wird nämlich durch diese Funktion befriedigt für beliebige Werte von C. Denn es ist dy dx

Cx'

= a-C • xa~1 = a dy

x

.

x

Eine andere Differentialgleichung ist — = b —, worin b eine gegebene Konstante Diebedeutet. Lösung ist y = |IC + b • worin C eine willkürliche Konstante ist. Der Leser prüfe die Lösung durch Differenzieren und Einsetzen in die rechte Seite der Differentialgleichung. Was die beiden Beispiele erkennen lassen, gilt ganz allgemein: Daß nämlich die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung eine willkürliche

Differentialgleichungen erster Ordnung

7

Konstante enthält, die beim Einsetzen der Lösung in die Gleichung herausfällt. Die im nächsten Abschnitt folgende geometrische Deutung der Differentialgleichung wird den Sinn dieser Tatsache deutlich hervortreten lassen. 2. Geometrische Deutung einer Differentialgleichung erster Ordnung. Isoklinen Es sollen x und y rechtwinklige Koordinaten sein, wobei vorläufig die Maßstäbe auf den beiden Koordinatenachsen als gleich angenommen werden. Eine Funktion y — y(x) erscheint dann als Kurve, dy deren Steigung durch den Differentialquotienten — dx angegeben wird (Abb. 1). Ist

\ -0.2 | X > \ 0 \*1 !

-»

i 1 ! 1 ! i

—0.2 --0,4 --0.6

v

i

!

I ! ! ' i

^/[x.y'ixir

Abb. 6.

In die gezeichneten Isoklinen wird die Lösungskurve eingezeichnet, indem man vom Anfangspunkt (x0, y0) ausgeht und die Isoklinen in den zugeordneten Richtungen passiert. Die so erhaltene Kurve darf aber nur als eine erste Näherung für die Lösung der Differentialgleichung angesehen werden, da ja nur endlich viele Isoklinen gezeichnet werden können und der Verlauf der Lösungskurve dazwischen mehr oder weniger unsicher bleibt. Diese erste Näherung sei daher mit yl(x) bezeichnet. Es entsteht jetzt die Aufgabe, diese Näherung auf ihre Genauigkeit zu prüfen und diese durch Erweiterung des Verfahrens zu steigern. Dies geschieht durch einen Integrationsprozeß. Die Lösung y{x) der Differentialgleichung y' = / (x, y) mit den Anfangswerten x0, y0 genügt auch der Integralgleichung y{x) = y , y 1 ^ ) ] dx zeichnerisch ausführt und zusieht, ob sich dabei wieder y 1 ergibt oder nicht. Ist es der Fall, so ist y1 bereits die gesuchte Lösung. Ergibt sich jedoch eine andere Kurve, die y2 genannt werden möge, so ist y1 nicht die Lösung. Es ist aber, wie sogleich gezeigt werden wird, y2 eine bessere Näherung als y1. Um die Integration durchzuführen, benutzt man ein zweites Koordinatensystem, in dem zur Variablen x der Integrand / aufgetragen wird, wie es die Abbildung 6 zeigt. Zu x0 gehört y0 und es ist / (x 0 , y0) = 0,8, da die Isokline r = 0,8 bei dem in der Abbildung dargestellten Beispiel durch den Anfangspunkt hindurchgeht. Im x, /-System ist daher zu x0 aufzutragen / = 0,8. Die Isokline r = 0,6 wird von der Näherungskurve y1 im Punkte (xu y\) getroffen. Folglich gehört zu x = x1 der Wert = /(a^, ?/j) = 0,6, der im unteren System als Ordinate zu xl aufzutragen ist. So erhält man unter jedem Schnittpunkt von yl mit einer Isokline einen Punkt der „Integrandenkurve" f{x) im unteren System. Ist die /-Kurve derart gezeichnet, so kann die Integration X

y 1 = 2/0 +

f ß x

zeichnerisch oder mit dem Integraphen ausgeführt werden. Man erhält die Kurve y2, die von (a;0, y0) in der gleichen Richtung wie y1 ausgeht. Im weiteren Verlauf wird y2 im allgemeinen von y1 abweichen. Daß y2 eine bessere Näherung der Lösung y darstellt als y1. beruht auf folgender Überlegung. Die (wahre) Lösung y{x) genügt der Gleichung X

y{x) = y0 + f f [x, y{x)]dx. «0 Die Entstehung von y2 aus y1 ist durch Gleichung X

y2(x) = y o + f f [x, y1 (»)] dx »0

ausgedrückt. Subtraktion der Gleichungen gibt X

y — y2 = / {/(«,») — / («. y1)} dx. »0 Entwickelt man im Integranden nach Taylor, so erhält man y —y2=

J »0

• (y — y1) +

• • | dx

Differentialgleichungen erster Ordnung

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und hat damit eine Vergleichsmöglichkeit von (y — y2), dem Fehler der zweiten Näherung, mit (y — y1), dem Fehler der ersten, gewonnen. Ist im 3/

Integrationsgebiet ^

] y—y1

i S Mund

| sS-F, s o i s t | y—y2

|^ M F •

{x—x0).

Man erkennt, daß der Fehler der zweiten Näherung kleiner als das Maximum F des Fehlers von y1 bleibt, so lange [ M -{x — a;0) | < 1 ist. Wenn M im Integrationsbereich endlich bleibt, ist also y2 eine bessere Näherung als y1, solange man sich nicht zu weit vom Anfangspunkt entfernt. Je kleiner M ist, desto größer ist der Bereich \x — x 0 |, in dem ys besser als yl ist. Die zweite Näherung y 2 behandelt man nun weiterhin ebenso wie die erste und erhält durch die Integration X

y3 =

y0

+ / /1>, y2] dx

eine dritte Näherung y3. Für diese folgt aus der gleichen Überlegung wie vorher (x — 3

Iy — y

1

2

M

-F •

2

xaY

,

.

So fortfahrend erhält man nach n-maliger Integration, d. h. durch „Iteration", die Näherung yn+1

mit der Fehlerabschätzung

womit gezeigt ist, daß der Fehler der ( n + l)-ten Näherung in der T a t im ganzen Integrationsgebiet beliebig klein gemacht werden kann, sofern n hinreichend groß ist, d. h. sofern man hinreichend oft iteriert. Vorausgesetzt, daß 3/ dy

eine endliche obere Schranke M hat 1 ). Wenn nun auch bei beschränktem

K dy

die Konvergenz der Iteration für

jeden Bereich \ x — x01 gesichert ist, so folgt daraus noch nicht, daß schon bei Beginn des Iterationsverfahrens jede damit erhaltene Näherungslösung für beliebig großes | x — x0 \ besser als die vorhergehende sein wird. Nur wenn | M • (x — a;0) | < 1 ist, d. h. nur in einem dadurch begrenzten Bereich | x — x0 [ darf man erwarten, daß die zweite Näherung besser als die erste, und die dritte besser als die zweite usw. ist. dy

Der Leser möge die Iteration an der Diffgl. — = ay als Modell analytisch dx

durchführen. Anfangswerte: x0 = 0 und y„ = 1. — Als erste Näherung sei y1 == 1 gewählt. Dann entsteht durch die fortgesetzte Iteration die Lösung y = eax, wobei jeder Schritt zu übersehen ist. Es ist M = a und F = — 1.

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Gewöhnliche Differentialgleichungen mit Anfangswerten

Ist \x — a;0 | so groß, daß | M (x — x0) | > 1 ist, so tritt die Konvergenz erst nach n Iterationen in Erscheinung, wenn nämlich nl > | M (x — x0) geworden ist. Aus diesen Konvergenzbetrachtungen ergeben sich für Praxis einige bemerkenswerte Richtlinien. Die Abweichung einer Näherungskurve von der vorhergehenden Näherung wird sich in um so größerem Abstände vom Anfangspunkt (x0, y0) bemerkbar machen, je öfter man die Iteration bereits durchgeführt hat. Die nebenstehende Abbildung 7 zeigt dies Verhalten der ersten drei Näherungen. E s ist daher zweckmäßig, den gesamten Integrationsbereich, in dem die Lösung gebraucht wird, in Abschnitte zu unterteilen und diese der Reihe nach zu behandeln. Von x0 ausgehend iteriert man im ersten Abschnitt so lange, bis keine Abweichung zwischen den letzten beiden Näherungen mehr merkbar ist. Den Endpunkt der Lösungskurve am 0 Ende dieses ersten Abschnitts nimmt man danach zum Anfangspunkt für die Integra^kk 7 tion im folgenden Abschnitt usw. Auf dieseWeise vermeidet man die überflüssige wiederholte Zeichnung der bereits fertigen Kurvenabschnitte, sowie die nutzlose Iteration in Gebieten schlechter Konvergenz. 3/ .st maßgebend für die Güte dy der Konvergenz 1 ). J e weniger die Isoklinen im Integrationsbereich von der zur y-Achse parallelen Richtung abweichen, um so kleiner ist M. Es liegt daher nahe, durch ein neues — gegenüber dem ursprünglich gegebenen x, y-System gedrehtes — Koordinatensystem eine bessere Konvergenz zu erreichen. Das ist ohne jede Rechnung möglich, da Isoklinen und Strahlbüschel j a die Differentialgleichung geometrisch darstellen, ohne daß diese Darstellung an ein Koordinatensystem gebunden ist. Man denke sich die Abbildung 6 auf S. 11 derart abgeändert, daß die dort eingezeichneten Koordinatenachsen beseitigt werden. Die an die Isoklinen und Strahlen herangeschriebenen Ziffern bedeuten dann nur noch eine Renummerung der zugeordneten Isoklinen und Strahlen. Jetzt erst — nach Aufzeichnung von Isoklinen und Strahlbüschel — wird die x-Achse eingezeichnet, wobei auf ein kleines M Rücksicht dadurch genommen wird, daß sie möglichst senkrecht zu den Isoklinen verläuft. Parallel zur y-Achse wird jetzt eine Gerade g durch das Strahlbüschel gezogen und senkrecht dazu eine zweite Gerade durch den „ P o l " P des Büschels 2 ). Die Größe M als obere Schranke von

') In der Diffgl. y' = f (x) ist M = 0. Daher stellt die zweite Näherung y2 bereits die wahre Lösung d a r ; gleichviel, wie die erste Näherung y 1 gewählt wurde. 2 ) Sie fällt in der Abb. 6 mit dem Strahl 0,0 zusammen.

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Differentialgleichungen erster Ordnung

Die Funktionswerte / (x, y) können dann auf der Geraden g unmittelbar abgegriffen werden. Der Abstand d zwischen P und g bestimmt den Maßstab der /-Achse. Endlich sei noch bemerkt, daß eine zeichnerische Lösung der Differentialgleichung das Verhalten in der Nähe eines singulären Punktes niemals 3/ darstellen kann, da in diesem ^ nicht beschränkt ist. Singulare Punkte bedürfen daher einer gesonderten, analytischen Untersuchung. Gelingt es, die Lösung in der Umgebung des singulären Punktes anzugeben, so ist die zeichnerisch erhaltene Lösung mit ihr zu vereinigen. (Vgl. das Beispiel von Seite 8.) Beispiel

f ü r die zeichnerische I n t e g r a t i o n einer D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g 1. O r d n u n g Ein Stab von der Länge R ist um eine wagerechte Achse drehbar und trägt an einem Ende eine Kugel aus Eisen. Radius der Kugel ist r (s. Abb. 8). Die Kugel wird in der höchsten Stellung losgelassen. Die weitere Bewegung ist zu untersuchen. I. A u f s t e l l u n g d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g Mit s wird der vom Kugelmittelpunkt durchlaufene Kreisbogen bezeichnet, und mit q> der Winkel zwischen Stab und der Vertikalen. Es ist also s = R ,

y { x ) }

d x

genügt, ist 2 / 6 =

y i +

f f d x .

Die Berechnung von y6 verlangt also die Auswertung dieses Integrals. B e i allen numerisch-tabellarischenIntegrationsmethoden wird derlntegrand f(x) des zu berechnenden Integrals durch eine ganze rationale Funktion p-ten Grades ersetzt und diese „Ersatzfunktion" integriert. J e höher der Grad p der Ersatzfunktion ist, desto größer die Genauigkeit des Ersatzes. Die Ersatzfunktion p-ten Grades wird hier dadurch festgelegt, daß sie mit der tabellarisch gegebenen und zu integrierenden Funktion an (p -f- 1) aufeinander folgenden Stellen der Tabelle übereinstimmt. Würde man die Ersatzfunktion in der Form «o + + « 2 a; 2 -f- ' " ' +