Gruppentheorie [4., erw. Aufl. Reprint 2019] 9783111370941, 9783111014005

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

837/837a

GRUPPENTHEORIE von

DR. LUDWIG B A U M G A R T N E R

Vierte, erweiterte Auflage

WALTER D E G R U Y T E R &CO. vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

BERLIN

1964

© Copyright 1964 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'schc Verlagshandlung — J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Keimer — Karl J . Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr. 7 715 6-47. Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. Printed in Germany

Inhaltsübersicht Seite

I. Abschnitt. Einführung in den Gruppenbegriff § 1. Mengen m i t algebraischer Operation, algebraische Strukturen § 2. Bezeichnungen § 3. Spezielle Eigenschaften algebraischer Operationen . . . § 4. Beispiele algebraischer S t r u k t u r e n mit einer Operation . § 5. Definition der (endlichen und unendlichen) Gruppe; einige u n m i t t e l b a r e Folgerungen

II. Abschnitt. Gruppentheoretische -methoden § 6. § 7. § 8. § 9. §10. § 11. § 12. § 13. § 14.

Grundbegriffe

7 8 8 10 15

und

O r d n u n g einer Gruppe; Isomorphie; a b s t r a k t e Gruppe . P o t e n z ; O r d n u n g eines Elementes Zyklische G r u p p e ; erzeugendes E l e m e n t Untergruppe P r o d u k t e von E l e m e n t e n ; inverse E l e m e n t e E r z e u g u n g von Gruppen aus E l e m e n t e n R e c h n u n g mit K o m p l e x e n Zerlegung einer Gruppe nach einer Untergruppe . . . . Folgerungen aus der Zerlegung einer endlichen Gruppe nach einer U n t e r g r u p p e

18 21 22 24 26 27 29 32

III. Abschnitt. Über endliche Gruppen § 15. § 16. § 17. § 18. § 19. § 20. § 21. § 22.

Die Gruppentafel Die normale Tafel Permutationen Permutationsgruppen Transitive u n d intransitive P e r m u t a t i o n s g r u p p e n . . . . P r i m i t i v e u n d imprimitive P e r m u t a t i o n s g r u p p e n . . . . Kennzeichen f ü r Gruppeneigenschaft P r o d u k t u n d D u r c h s c h n i t t endlicher Gruppen

33 35 36 38 40 43 45 46

IV. Abschnitt. Vertauschbarkeit von Elementen und Untergruppen § 23. Normalisator; konjugierte E l e m e n t e § 24. F o r t s e t z u n g ; konjugierte U n t e r g r u p p e n § 25. I n v a r i a n t e E l e m e n t e ; Z e n t r u m ; Klasseneinteilung der Elemente und Untergruppen § 26. Zwei Beispiele § 2 7 . Normalteiler § 28. Sätze über Norraalteiler § 29. Einfache u n d Hamiltonsche Gruppen § 30. Zentralisator § 3 1 . P r o d u k t von G r u p p e n ; direktes P r o d u k t 1

47 50 54 55 5» 61 64 65 67

Inhaltsübersicht

4

Seite

V. Abschnitt. Die Faktorgruppe § 32. E i n f ü h r u n g der F a k t o r g r u p p e § 33. Beispiele von Faktorgruppen § 34. Sätze über Faktorgruppen

71 72 74

VI. Abschnitt. Die Homomorphie § 3 5 . D i e H o m o m o r p h i e als V e r a l l g e m e i n e r u n g d e r I s o m o r p h i e § 36. S ä t z e über die H o m o m o r p h i e § 37. Der Isomorphiesatz

78 79 81

VII. Abschnitt. Die Automorphie § 3 8 . Begriff der A u t o m o r p h i e ; § 39. Innere Automorphismen § 40. B a s Holomorph

Automorphismengruppc

. . .

83 87 90

V I I I . Abschnitt. Die Endomorphie; charakteristische und vollinvariante Untergruppen § § § §

41. 42. 43. 44.

B e g r i f f der E n d o m o r p h i e Einige Sätze über Endoinorphismen Charakteristische und vollinvariante Untergruppen . . . Einige Sätze über charakteristische und vollinvariante U n t e r g r u p p e n ; die K o m m u t a t o r g r u p p e

93 95 97 98

I X . Abschnitt. Abelsche Gruppen § 45. Darstellung der E l e m e n t e einer zyklischen G r u p p e . . . . § 4 6 . D i e z y k l i s c h e G r u p p e als d i r e k t e s P r o d u k t v o n U n t e r gruppen § 47. B a s i s einer Gruppe § 48. Direktes P r o d u k t gegebener zyklischer Gruppen . . . . § 49. Isomorphie abelscher Gruppen mit den F a k t o r g r u p p e n Un/8 § 5 0 . D i e U n t e r g r u p p e n d e r G r u p p e Um § 51. H a u p t s a t z über abelsche Gruppen mit endlich vielen E r zeugenden § 5 2 . Endliche abelsche Gruppen

101 103 105 107 108 109 113 115

X . Abschnitt. Gruppen mit Operatoren § 53. Operatorenbereich einer G r u p p e ; zulässige U n t e r g r u p p e n § 54. Beispiele zulässiger Untergruppen § 55. Übertragung früherer Begriffe und Sätze auf Gruppen m i t Operatoren § 5 6 . A l l g e m e i n e r e A u f f a s s u n g des O p e r a t o r e n b e r e i c h e s . . . § 57. Gemeinsamer Operatorenbereich mehrerer Gruppen . . § 58. Die Operatorisomorphie und -homomorphie § 59. Ä n d e r u n g des Gruppenbegriffs durch E i n f ü h r u n g der O p e ratoren § 60. D e r H o m o m o r p h i e s a t z u n d I s o m o r p h i e s a t z für G r u p p e n mit Operatoren § 61. Die O p e r a t o r a u t o m o r p h i e und O p e r a t o r e n d o m o r p h i e .

118 119 120 122 124 127 128 129 132

X I . Abschnitt. p-Gruppen und p-Sylow-Gruppen § 6 2 . F ü r d i e U n t e r s u c h u n g von p - G r u p p e n n o t w e n d i g e S ä t z e § 63. Zerlegung einer Gruppe nach einem Doppelmodul und Folgerungen

133 137

§64. § 65. §66. § 67. § 68.

Inhaltsübersicht

5

p-Gruppen ü b e r die Zentren der p - G r u p p e n p-Sylow-Gruppen Sätze ü b e r p - S v l o w - G r u p p e n Der Satz von Sylow

Seite 140 143 144 146 148

XII. Abschnitt. Freie Gruppen und Gruppen ziehungen zwischen den Elementen

mit

§ 6 9 . Das K u r z w o r t § 70. Die freie G r u p p e § 71. B e s t i m m u n g v o n G r u p p e n d u r c h Beziehungen erzeugenden Elementen

Be-

zwischen

151 152 155

XIII. Abschnitt. Folgen und Reihen von Gruppen §72. §73. § 74. § 75. § 76. § 77. ¡¡78. § 79.

A u f s t e i g e n d e Folgen Aufsteigende Z e n t r a l r e i h e n Normatreihen Der S a t z v o n Z a s s e n h a u s Der Satz v o n Schreier Kompositionsreihen Auflösbare Gruppen Endliche auflösbare Gruppen

158 159 160 161 163 165 167 170

X I V . Abschnitt. Genaueres über die Gruppenpostulate § 80. Gleichwertigkeit der eindeutigen U m k e h r b a r k e i t m i t der E x i s t e n z der E i n h e i t u n d der I n v e r s e n § 8 1 . Schwächere G r u p p e n p o s t u l a t e . .

171 172

Lösung der Aufgaben

174

Sach- und Namenverzeichnis

188

Literatur Hauptwerke (deutsch) : Endliche

und unendliche

Gruppen:

K u r o s c h , A . G.: Gruppentheorie. 1. Aufl., Berlin 1953. (2. Aufl., Moskau 1953, russisch, N e w Y o r k 1955, englisch.) S p e c h t , W . : Gruppontheorie. Berlin 1956. Z a s s e n h a u s , H . : Lehrbuch der Gruppentheorie. 1. Bd., Leipzig und Berlin 1937, Nachdruck 1948 (englisch: The theory of groups. Göttingen 1958).

Endliche

Gruppen:

S p e i s e r , A . : Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. 4. Aufl., Basel 1956.

Zur ersten Einführung : A l e x a n d r o f f , P . S.: Einführung in die Gruppentheorie. Berlin 1960. S i e l a f f , K . : Einführung in die Theorie der Gruppen. Frankfurt a. M. u. Hamburg 1956.

Aus der sonstigen L i t e r a t u r : B o e r n c r , I I . : Darstellungen von Gruppen. Berlin-Göttingcn-Heidelberg 1955,. B o r u v k a , 0 . : Grundlagen der Gruppoid- und Gruppentheorie. Berlin 1960. B u r n s i d e , W . : Theory of groups of finite order, Cambridge 1911. Nachdruck N e w Y o r k 1955. C a r t a n , E . : L a théorie des groupes finis et continus. Paris 1937. C o x e t e r , H . S. M., M o s e r , \V. O. J. : Generators and relations for discrete groups. Berlin—Göttingen—Heidelberg 1957. H a l l , M. j r . , : The theory of groups, N e w Y o r k 1959. L j u b a r s k i j , G. J.: Anwendungen der Gruppentheorie in der Physik. Übersetzung aus dem Russischen, Berlin 1962. M e i j e r , P . H . E., B a u e r , E . : Group theory, the application to quantum mechanics. Amsterdam 1962. P i c k e r t , G.: Einführung in die höhere Algebra. Göttingen 1951. S c h m i d t , 0 . J.: Abstrakte Gruppentheorie. Moskau 1933, Nachdruck 1959 (russisch). S c o r z a , G.: Gruppi astratti. K o m 1942. S m i r n o w , W . I . : Lehrgang der höheren Mathematik. Teil I I I , 1, Berlin 1960. v a n d e r "VVaerden, B. L . : Algebra. 1. Teil 1950, 2. Teil 1955, BeilinGöttirgen-Heidelberg. Z a p p a , G.: Gruppi, corpi, equazioni. Neapel 1954.

I. Einführung in den Gruppenbegriff § 1. Mengen mit algebraischer Operation, algebraische Strukturen

Wir denken uns eine Menge irgendwelcher Dinge oder „Elemente" und eine Vorschrift oder „Operation", nach der sich zwei beliebige Elemente der Menge, die auch identisch sein können, in eindeutiger Weise verknüpfen lassen, wobei im allgemeinen die Reihenfolge wesentlich sein soll. Z. B. die natürlichen Zahlen von 1 bis 10 und die Addition oder alle natürlichen Zahlen und die Subtraktion als Operation oder die Menge aller reellen Zahlen und die Multiplikation als Operation oder die Menge der Drehungen einer Kugel um ihren Mittelpunkt und die Zusammensetzung der Drehungen, das Nacheinander-Ausführen als Operation. In den ersten 2 Beispielen entstehen durch die Operation zum Teil neue, der ursprünglichen Menge nicht angehörende Elemente, sonst stets wieder Elemente derselben Menge. Trifft dieser zweite Fall zu, liegt also eine Menge vor und eine Operation für alle Elementepaare der Menge und liefert diese stets wieder ein und nur ein Element derselben Menge, so heißt die Operation eine „algebraische Operation" und die Menge eine „Menge mit algebraischer Operation" oder eine „algebraische Struktur" 1 ), auch „multiplikativer Bereich". Je nachdem noch weitere Eigenschaften zu den angegebenen hinzutreten, erhält man verschiedene Arten algebraischer Strukturen. Wir wollen solche Eigenschaften an Beispielen kennen lernen und daraus die wichtigsten Arten algebraischer Strukturen finden. Der Begriff der algebraischen Struktur wird noch dadurch erweitert, daß in einer Menge nicht nur eine, sondern mehrere, insbes. 2 Operationen gegeben sein können, die stets wieder eindeutig Elemente der Menge liefern, z. B. in der Menge der rationalen Zahlen die Addition und Multiplikation. F ü r die Gruppentheorie kommen nur algebr. Strukturen mit einer Operation in Betracht.

8

I. Einführung in den Gruppenbegriff § 2. Bezeichnungen Mengen 1 )

bezeichnen wir mit großen deutschen, ihre Elemente mit großen lateinischen Buchstaben. Das E n t haltensein einer Menge 9i in einer Menge 9JI wird durch 9? < 2)1 oder STO ^ 9i, und wenn auch der Fall der unechten Teilmenge zugelassen ist, durch £ Ü0i ausgedrückt; das Enthaltensein eines Elementes A in einer Menge 9JI durch e 9Ji; die Vereinigung von Mengen äJJ, 9? durch SK w 9?. ihr Durchschnitt, d. h. die Menge der gemeinsamen Elemente, durch r\ 9?. Auch bei mehr als 2, sogar unendlich vielen Mengen 9Jl„, 9JJj9, ®i y , . . . schreibt man die Vereinigungsmenge w SJ^ ^ 93ty w • • • und den Durchschnitt StJia r\ 9Ws 2 paarweise vor, also, wenn in endlicher Anzahl, dann in gerader Anzahl. Satz 19. Die Inversen zu sämtlichen Elementen einer beliebigen Grüppe sind wieder sämtliche Elemente.

26

II. Gruppentheoretische Grundbegriffe und -methoden

D a nämlich das Inverse eines Inversen wieder das ursprüngliche Element ist ( § 5 I I I , Fußnote), sind alle Elemente durch die Inversion auf sich abgebildet. Aufgabe 21. Man drücke (ABC) _ 1 durch die Inversen zu A, B, C aus; ebenso (AiBk)-1 und {AlBkCl. . -)"1. Aufgabe 22. Zwei Elemente A, B einer Gruppe haben die Ordnungen a bzw. b, ihr Produkt AB die Ordnung c. Man beweise, daß c ein Teiler von ab sein muß, wenn AB = BA ist. Aufgabe 23. Man beweise: Mit ABC haben BCA und CAB gleiche Ordnung, dagegen nicht notwendig ACB, BAC, CBA. § 11. Erzeugung von Gruppen aus Elementen ® sei eine beliebige Gruppe, A, B,... Elemente von © , St ein Teilkomplex von ®. Nach Satz 7 bilden die sämtlichen verschiedenen Potenzen von Ä eine Gruppe, die v o m Element A erzeugte zyklische Gruppe {A}. W ä h l t man 2 Elemente A, B aus © u n d bildet nicht nur die sämtlichen verschiedenen (auch negativen) Potenzen von A und B, sondern auch alle P r o d u k t e aus endlich vielen solcher Potenzen in beliebiger Anordnung 1 ), so erhält m a n eine Teilmenge von ®, die sich als Untergruppe erweist; denn (vgl. Fußnote 1 zu Satz 6) das P r o d u k t zweier Potenzen oder P r o d u k t e von Potenzen ist wieder von derselben Art, also unter den sämtlichen Potenzen u n d Produkten enthalten; Einheit ist das unter den Potenzen eines Elements enthaltene E, und das Inverse zu jedem Element ist in der Menge vorhanden (Aufg.21). Man nennt dio entstehende Gruppe die von den Elementen A, B erzeugte Gruppe u n d schreibt {A, B}. Allgemein kann man s t a t t zweier Elemente A, B irgendeinen (gegebenenfalls auch unendlichen) Teilkomplex ® von © auswählen u n d zu den Elementen von ® alle Potenzen und alle Produkte aus endlich vielen solcher Potenzen in Da im allgemeinen AB 4= BA ist, können ohne Angabe besonderer Beziehungen zwischen den Elementen Produkte der Form A i ß k A l B m A n . . . nicht gekürzt werden. Kennt man aber weitere Eigenschaften der Elemente von so können sich diese Produkte reduzieren, und ,es können gleiche Elemente durch einen Vertreter ersetzt werden.

§ 12. Rechnung mit Komplexen

27

jeder Anordnung bilden. Man „erzeugt" eine Untergruppe wie sich aus analogen Gründen ergibt. Wenn man den Komplex ® umfassend genug wählt, kann man offenbar auf diese Weise auch die Gruppe @ selbst erzeugen, zu jeder Gruppe also einen Komplex von Erzeugenden finden. 1. Beispiel: Gruppe Beispiel 5a für n — 30; eine primitive 30 te Einheitswurzel e erzeugt die ganze Gruppe, {s} = [l,e,£ 2 ,...e 2 9 ]. Die nicht primitiven Einheitswurzeln £15 = —1, e 10 = — ¡ 2 + ' k erzeugen nur die Untergruppe 6'er Ordnung [1, - 1 , - * / 2 ±

!A0 loA2 IA2 0 10 Aj3' 10 A\ 10 A\ \E 0 / 6 ' U o j , ' 10 E\ I0A2 U20L> U20

Operation ist die Matrizenmultiplikation; m a n überzeugt sich leicht, daß jedes P r o d u k t zweier Elemente wieder ein solches Element ist. 2 ) Inverse Elemente stehen untereinander, die Ziffer neben der Matrix bedeutet ihre Ordnung.

56

IV. Vertauschbarkeit von Elementen und Untergruppen

Die ersten beiden Zeilen bilden eine abelsche Untergruppe 31 von der Ordnung 9. Das 1., 4., 8. Element sind invariant in © , sie bilden eine Gruppe, das Zentrum. Die übrigen 6 Elemente sind nur mit den Elementen von 31 vertausclibar, haben 9i als Normalisator; je 2 bilden eine Klasse konjugierter (Index des Normalisators ist 2, Satz 42), nämlich das 2. und 3., das 5. und 9., das 6. und 7. Die zugehörigen konjugierten Gruppen fallen alle zusammen ( = (OE [E 0

E 0\

hat als Normalisator 9Î' (M

IO E \E0

0 E

10 A2\

AO

hat als Normalisator ¡0

U

0 '

(A2 0\

0 A2

OA2) [A2 Oy 1 IE 0 \0 E.

/0 A\ hat das Normalisator 31" = U2 o (0 A 0 E 0 A2 E 0 AO U.o U o

JL0\ OA

E 0 0 E

9f"

4

¡A20\ 0 A*

OA

4 0\

¡A2 0\ lo A2)

OA

'OA' E 0

0 E A20

Klassen konjugierter Elemente bilden die Elemente 2 t e r Ordnung

,

Q) ,

, die zugehörigen kon-

jugierten Gruppen sind 31', 31", 31"', 6 t e r Ordnung

,

,

,

die zugehörigen kon-

jugierten Gruppen sind 31", 31"', 31', 6 t e r Ordnung

Q) , (° E

, ^

, die zugehörigen kon-

jugierten Gruppen sind 31"', 31", 31'. 2. Einheit ist

I10\

(olj

. ;

mvers

/a0\ zu

M

. lst

aber die Matrix mit vertauschten a,l

/«_10\

l o H ' 0 b(^-iq)-

(0 a\ z u

Uo)

Produkte

57

§ 26. Zwei Beispiele

gibt es vierfacher Art, sie ergeben aber immer wieder ein Element der Form I oder II mit Werten a, b, die Potenzen von 2 sind: fa 0\ (c 0\ _ (ac 0\ / « 0 \ (0 c\ _ ¡0 ac\ [Ob) \0 d) ~ \0 hd)> [Ob) [dO) ~ [bd Oj' / 0a\ (c0\ (Oad\ (0 a\ / O d _ lad 0\ ; \b0) [Od) " [bc 0 ) [b 0) [dO) ~ [o bc)' Die Matrizen bilden demnach eine abzählbar unendliche Gruppe. Die Elemente lassen sich auch in der Form schreiben I (o 2*)

und

11

(2* 0 ) m i t i , fc = 0, ± 1, ± 2,

Aus den 4 Arten von Produkten ergibt sich: Yertauschbar mit einem bestimmten Element der Form I nur (0 ° 2*o) ^ ^ e m e n t e der Form I (Normalisator 9i), für = i0 alle Elemente. Vertauschbar mit einem bestimmten Element der Form II

Elemente der Form I für h = i, also

(2*° 0") (0 2®)

^=

i

•••

und

Elemente der

Form I I ^ q) , für welche ~ = ist, also (2».+« 0 ° ) fürw = 0, ± 1, ± 2 Diese Elemente bilden eine Gruppe 31', wie man durch Berechnung der möglichen Produkte bestätigt; denn auch das Einselement ist enthalten und zu jedem das inverse, da /0 2»'.+»\ , ™ .10 2_*»~™\ . zu (0*0+™0 ) Element 1 2 -i 0 _» q j mvers ist, 2-K-n 2'° hier aber wieder der Quotient a¿ —,. l0~„ n = 7,,. - ist. ¿"¡I Wir haben gefunden: Invariant sind nur die Elemente /2« 0 \ Iq 2») für i = 0, ± 1, ± 2, . . s i e bilden das Zentrum der Gruppe.

58

IV. Vertauschbarkeit von Elementen und Untergruppen

Zu einem bestimmten Element ° gi-J mit lc0 =t= i0 ist s der Normalisator Tc die Menge der Elemente der Form I / 2! 0 \

n 9k) sie bilden eine abelsche Gruppe, deren Index 2 ist; /0 2!\

denn eine rechte Restklasse mente (q 2«;) (2™ 0 )

=

• (gm q ) enthält die Ele-

(2*+™ 0

)'

also alle E l e m e n t e der

Form II. Durch Transformation mit einem Element der ßestklasse geht ^q ° q &0) über in [q ° ^ ¡ J . Wir erhalten so unendlich viele Klassen von je 2 konjugierten Elementen (q ° ^ „ j , (0 ° 2'») + V0Zu einem bestimmten Element ( ^ q der Normalisator

mit k0 = i0 ist

; eine rechte Restklasse ist

mit l0 4= m0. Sie enthält die Elemente /2i+l«

(0

/0

0

\ 2 i+m oj

2i°+n\

für J = 0, ± 1, ± 2 , . . .

(2l°0 \ _ (0 2m"j

\2*»+'»+n

° gm,)

2,-) ( ! ' ! , ] =

und

2i«+m«+n\

) lo ~ 0 )• Durch Transformation mit einem Element der Restklasse

geht für n = 0, ± 1 , ± 2,... ^¡t, 0

(ob man ein Ele-

ment der ersten oder zweiten Art benützt, wie Ausrechnung zeigt) über in (2*0- e » o - ( o ) 0" ' ° 0>) - Die Restklassen liefern dasselbe konjugierte Element, solange m0—10 denselben Wert hat, Restklassen mit anderer Differenz m0 — lQ liefern andere konjugierte Elemente. /0 2!'»+,"\ Eine Klasse konjugierter Elemente ist also U v ^ O ) ') Für i 0 = fco fallen beide Elemente zusammen und bilden ein invariantes.

§27. Normalteiler

59

für r = 0, ± 1, ± 2,. . . oder auch, da i0 + r + k0 — r = ¿0 + k() ist: Alle Elemente der Form II mit fester Summe der Hochzahlen bilden eine Klasse konjugierter Elemente. So erhalten wir weitere unendlich viele Klassen mit je unendlich vielen konjugierten Elementen. Ähnlich lassen sich durch mehrreihige Matrizen, in denen in jeder Zeile und Spalte nur ein Element einen von Null verschiedenen Wert hat, z. B.

, weitere Gruppen

verhältnismäßig übersichtlich darstellen; a, 6, c können dabei gewisse Zahlenmengen durchlaufen oder auch die Elemente einer Gruppe, da nur die Produkte von je zweien vorkommen. Aufgabe 65. Man untersuche die Gruppe der dreireihigen Matrizen der eben angegebenen Form, in denen a = b = c ist und die Elemente der Vierergruppe durchläuft. § 2 7 . Normalteiler

Invariante Elemente einer Gruppe waren solche, die mit allen Elementen der Gruppe vertauschbar sind, also bei Transformation mit jedem Element in sich übergehen, je für sich eine Klasse konjugierter Elemente vorstellen. Denken wir weiter daran, daß für die konjugierten Gruppen ganz Analoges galt wie für die einzelnen konjugierten Elemente, so drängt sich die Frage auf: Gibt es auch invariante Untergruppen, solche die mit allen Elementen der Gruppe vertauschbar sind, oder, was dasselbe ist, die mit jedem Element transformiert sich selbst reproduzieren1), je für sich eine Klasse konjugierter Untergruppen bilden? Bei allen zuletzt behandelten Beispielen (Aufg. 63, 64 u. § 26) fanden wir echte Untergruppen dieser Art, die weitaus meisten Gruppen enthalten solche. Man nennt sie „invariante Untergruppen" oder jetzt meist „Nornralteiler". Wir werden sehen, daß wir damit auf einen der wichtigsten Begriffe der Gruppentheorie gestoßen sind. ') Im Sinne der Fußnote § 24.

60

IV. Vertauschbarkeit von Elementen und Untergruppen

Alle Untergruppen einer abelschen Gruppe sind offenbar Normalteiler. Uneigentliche Normalteiler jeder Gruppe © sind 6 und © selbst. Ferner ist das Zentrum jeder Gruppe Normalteiler, weil hier ja sogar jedes einzelne Element der Untergruppe mit den Elementen der Gruppe vertauschbar ist. Betrachten wir als Beispiel allgemeiner Art noch die Gruppe @3 (Tafel I)! Ihre Untergruppe E, (123), (132) ist ein Normalteiler, dagegen nicht die Untergruppen E, (12); E, (23); E, (13), wie man durch Rechnung leicht bestätigt. Aufgabe 66. Man suche (Tafel II).

die Normalteiler

der

Gruppe

Die oben angegebenen definierenden Eigenschaften eines Normalteilers § einer Gruppe © waren l.ip ist mit allenElementenG e© vertauschbar, .ÖG = G&; 2. § stimmt mit allen konjugierten Untergruppen überein, = , + §(?2 + §(?3 + . . . , so erhält man wegen !QG{ = G^

©=§ +

G&

+

eine Linkszerlegung G&

+ ••• •

Stimmt umgekehrt die obige Rechtszerlegung mit einer Linkszerlegung überein, ist also für alle I = 2, 3 , . . . $QG{ = HGI = G\E',

d a h e r S^H = G'& = G'FL'IG =

so ist HG&-

daraus folgt H - ^ G i = H ^ H G ^ oder $QG{ = Gfig. GT kann dabei jedes Element von © sein, da man jede Restklasse mit H verschiedenen Elementen G schreiben kann.

§ 28. Sätze über Normalteiler

61

Wir werden bei den weiteren Untersuchungen bald die eine, bald die andere Erklärung des Begriffs Normalteiler je nach ihrer augenblicklichen Zweckmäßigkeit benützen. Aufgabe 67. Man beweise: Eine Untergruppe vom Index 2 ist Normalteiler. Aufgabe 68. Man beweise: Ein Normalteiler von der Ordnung 2 besteht aus 2 invarianten Elementen. Aufgabe 69. Als weitere definierende Eigenschaft eines Normalteilers beweise man: Eine Untergruppe § von © ist dann und nur dann Normalteiler, wenn für alle II e § und G e © eine Gleichung gilt HG = GW, wo W e Aufgabe 70. Man beweise: Der Normalisator einer Untergruppe § einer Gruppe © ist dann und nur dann die ganze Gruppe ©, wenn § Normalteiler in © ist.

§ 28. Sätze über Normalteiler Die Invarianz einer Gruppe § bezieht sich immer auf eine bestimmte, § enthaltende Gruppe ©. Wenn § Normalteiler von © ist, braucht es in einer umfassenderen Gruppe ©', die wieder © enthält, nicht Normalteiler zu sein, auch nicht, wenn © Normalteiler von ©' ist. Dies beweist etwa das Beispiel: ©' = g 4 , © = Vierergruppe [E, (12) (34), (13) (24), (14) (23)], § = [E, (12) (34)]. Obwohl Normalteiler von ©, © Normalteiler von ©' ist, ist £ nicht Normalteiler von ©', es ist z. B. (132) § (123) = [E, (14) (23)] * Aufgabe 71. Man beweise: Besteht zwischen 3 Gruppen die Beziehung § cc ® c: ©' und ist § Normalteiler von ©', so ist es auch Normalteiler von

Wir beweisen noch einige Eigenschaften des Normalteilers. Satz 47. Der Durchschnitt zweier Normalteiler (einer beliebigen Menge von Normalteilern) einer Gruppe ist Normalteiler dieser Gruppe.

62

IV. Vertauschbarkeit von Elementen und Untergruppen Sind nämlich G~mfi

9c2 Normalteiler einer Gruppe ©, so ist = % u n d G~m2G

Ist nun ® = 9 ^ ^

= % f ü r alle G e

also S c s ^

un

d

2) c 9(J2, so ist

G - ^ S ß s % und G - ^ G a l s 0 8 a die Menge der mit A, B, . . . vertauschbaren Elemente, d. h. 3s? = 8'a ° 3'b ^ • • • — ^ ^ . . . , es gilt Satz 54. Der Zentralisator eines Komplexes ist der Durchschnitt der Normalisatoren aller Elemente des Komplexes. Beispiel: ®4 (Tafel II), = [E, Ä2, A3, AJ, 3 ^ = [E, A3, As, A,], S'U2, äs] = [E, As]. Wir betrachten jetzt den Zentralisator eines Normalteilers der Gruppe Nach Satz 54 ist er der Durchschnitt der Normalisatoren aller Elemente des Normalteilers. Diese Elemente aber sind nach Satz 50 ganze Klassen konjugierter Elemente und deren Normalisatoren nach Satz 43 ganze Klassen konjugierter Untergruppen. Der Durchschnitt solcher Klassen aber ist nach Satz 53 und 47 selbst ein Normalteiler. Damit ist bewiesen Satz 55. Der Zentralisator eines Normalteilers ist ein Normalteiler.

§ 31. Produkt von Gruppen; direktes Produkt

67

Aufgabe 76. In der Gruppe ® 6 (Tafel III) soll zum Normalteiler 3i = [E, (123), (132)] der Zentralisator gesucht werden. Bestätigt sich Satz 55 ? § 31. Produkt von Gruppen; direktes Produkt In § 22 haben wir aus 2 Untergruppen 3t, 33 einer Gruppe @ die Produkte 2133 und » S t gebüdet und gefunden, daß sie gleiche Elementezahl besitzen. Wir fragen jetzt, unter welchen Bedingungen die beiden Produkte vollständig übereinstimmen und lassen dabei auch unendliche Gruppen zu. F ü r eine abelsche Gruppe © ist offenbar immer 208 = 932t. Allgemeiner gilt S a t z 5 6 . Sind 91,33 Untergruppen einer Gruppe so ist 2133 = 232t dann und nur dann, wenn 2193 eine Gruppe ist. 232t ist dann dieselbe Gruppe. Ist nämlich 2133 eine Gruppe, so enthält diese jedes Element A (= A • E) und jedes Element B (= E • B), also als Gruppe jedes Element BA, es ist (1)

3321 = 2 1 9 3 .

E s ist aber auch jedes Element AB (AB)-1

= B^A-1

in S32t enthalten, da

= (wie eben gezeigt) A'B',

AB = [A'B')-1 (2)

=

also

B'-^A'-K

2133 s 3 3 1 .

Aus (1) und (2) folgt 2t33 = 332t. Ist umgekehrt 2ISÖ = 932t, also jedes Produkt BA gleich einem Produkt A'B', so ist jedes Produkt zweier Elemente von 2t33, nämlich AiB1

• A2B2

= A1(B1A2)B2

= (A^)

(ß[B2)

= =

A^B'^

A3B3.

Weil 2t33 auch die Einheit und zu jedem Element AB nach (1) auch das inverse B ^ A ~ l enthält, ist es eine Gruppe. Wenn 2 Gruppen 2t, 93 Untergruppen einer Gruppe sind, so sind sie auch Untergruppen der Gruppe {2t, 33}. Trifft 5»

68

IV. Vertauschbarkeit von Elementen und Untergruppen

die Voraussetzung des Satzes 56 zu, so fällt die Gruppe {31,33} mit den Gruppen 2t93 und 932t zusammen. Wir betrachten jetzt Produkte von solchen Gruppen 91,93. Diese Produkte mögen zunächst Gruppen sein oder nicht. Das Beispiel in § 22 zeigt den Fall, daß die Produkte aller Elemente von 21 mit allen Elementen von 93 nicht lauter verschiedene Elemente ergeben. Dagegen erhält man in dem Beispiel 21 = [E, (12)], 93 = [E, (13)] vier verschiedene Elemente. In diesen beiden Beispielen ist 2193 keine Gruppe gemäß Satz 56, weil 2193 =4= 932t ist. Die Bedingung 2193 = 9321 ist sicher erfüllt und damit 2193 (und 932t) eine Gruppe, wenn sogar jedes einzelne Element A e 2t mit jedem Element B e 93 vertauschbar ist. Beispiel: 2t = @3 = [E, (123), (132), (12), (23, (13)]; ® = 32 = [E, (45)]. Die Permutationen von 2t haben keine gemeinsamen Ziffern mit denen von 93, es ist AB = BA für alle A e 2t, B e 93. 2193 ist eine Gruppe, % (Tafel III). Der Fall ist besonders wichtig, weil sich auf diese Weise neue Gruppen aus vorliegenden herstellen lassen. Man nennt das Produkt zweier solcher Gruppen 2t, 93 mit der Eigenschaft, daß irgend 2 Elemente A, E, E) verschieden und vertauschbar sind1), „direktes Produkt" der beiden Gruppen, diese „direkte Faktoren" und schreibt 2t X 93. Ein direktes Produkt ist nach Satz 56 stets eine Gruppe, und es ist 2t X 93 = 93 X 2t. Bei endlichen Gruppen ist die Ordnung des Produktes das Produkt der Ordnungen der Faktoren (Satz 39). Aufgabe 77. Man berechne die Elemente des Produktes 218, wenn

a) 8t = [E, (123), (132), (12), (23), (13)], 33 = [E, (12)]; b) 91 = [E, (12) (34), (13) (24), (14) (23)], 58 = [E, (123), (132)]; c) 91 = [E, (123), (132)], S3 = [E, (45)]. Die Elemente A untereinander brauchen natürlich nicht vertauschbar, St keine abelsche Gruppe zu sein; dasselbe gilt für S B .

§ 31. Produkt von Gruppen; direktes Produkt

69

Was bisher über das direkte Produkt von 2 Gruppen gesagt wurde, läßt sich auf jede endliche Menge von Faktoren Stj, S l 2 , . . . , Sl„ übertragen. Hierüber folgt im Hinblick auf spätere Verwendung ( I X . Abschn.) eine genauere Betrachtung. Über die gesetzt :

Faktoren

St,(i = 1, 2 , . . n )

wird

voraus-

1. 2 1 , + S ; 2. zwischen allen Elementen der 2i< ist eine Gruppenoperation erklärt 1 ); 3. die Elemente von Si, sind mit denen von Sit vertauschbar für alle i,k = 1,2,... ,n, wenn i 4= k; 4. jedes St, hat mit der von allen übrigen SI^Ä: =1= i ) erzeugten Gruppe nur das Einselement gemeinsam oder St, o

St» . . . , St,-* SI, +1 ,. • •, 2 U =

E.

Das Produkt der Gruppen St, heißt „direktes Produkt" und wird geschrieben SIj x 8t2 X . . . X 3i„. Jedes Element des direkten Produkts ist Produkt aus n vertauschbaren „Komponenten", von denen jedem Faktor je eine Komponente angehört. Die Ordnung einer endlichen Gruppe, die als direktes Produkt dargestellt ist, ist gleich dem Produkt der Ordnungen der direkten Faktoren. Aus der Vertauschbarkeit der Elemente folgt unmittelbar Satz 57. Jeder direkte Faktor eines direkten Produktes von Gruppen ist Normalteiler des Produktes. *) Für Gruppen 51,-, die Untergruppen einer umfassenderen Gruppe sind, t r i f f t dies zu, für beliebige Gruppen 21, kann man folgendermaßen vorgehen: Man bildet alle Systeme (Au Ä2,..., An), wobei Ai beliebiges Element v o n 5tj ist und erklärt die Operation

(A„ A

An) • {Ax\ A . . ., An) = (A^A^, A%AJ,...,

AnAn').

Die Menge dieser Systeme ist eine Gruppe; denn die Operation ist assoziativ, weil dies in den Gruppen der Fall ist, jedes Produkt zweier Systeme ist wieder ein System, Einheit ist das System (Et, E En), wobei alle Eg (Einheit v o n als übereinstimmend betrachtet werden können, invers zu (Ait

At

An.)

Elementen (E„

E2

ist (.A^-1, A,-1,

...,

Ei-„

Ei+i

Ai,

An-1)

- Die Untergruppen 51, mit den En)

sind isomorph zu den Sli,

die Elemente v o n Sti und SIfc sind für i 4= k vertauschbar. Das direkte Produkt der 51, kann man als das der 5i, auffassen.

70 IV. Vertauschbarkeit von Elementen und Untergruppen

Als Beispiel nehmen wir eine Gruppe 83 X 32 x $2 x 82' > um die Bedingung der Vertauschbarkeit zu erfüllen, setzen wir 83 = [£,(123), (132)], & = [£,(45)], 3J = [E,(61)], 82' = [E,(89)]. Die Gruppe hat die Ordnung 24, sie enthält 7 Elemente der Ordnung 2, 2 der Ordnung 3, 14 der Ordnung 6. Jedes Element 0 eines direkten Produktes © = X 9ta X • • • X 9l„ hat die Gestalt (1) G= A1A2...An{Äie%). Die obige Bedingung 4 sagt, daß jedes Element ß e ® nur auf eine einzige Weise als solches Produkt von Elementen A( dargestellt werden kann; denn wenn G = A^A2 . . . A„ = A1A2. . . An ist, so ist wegen der Vertauschbarkeit der Elemente (Bedingung 3) A^Aj-1 = A21A2... An1An, 1 d. h. das Element A1A'1~ der Gruppe 9tx ist im Produkt der übrigen 2t j. enthalten, also nach Bedingung 4 gleich E, so daß A1 = A\ folgt. Ebenso ergibt sich = • • •' An — An. Umgekehrt zieht die Eindeutigkeit der Darstellung (1) die Bedingung 4 nach sich; wenn nämlich etwa ein Element 4= E mit dem Produkt der übrigen Untergruppen gemeinsam hat, etwa A1 = A2A3. . . A,j, so ergeben sich die beiden Darstellungen für A1 Ax = Aßt ...En = T

_ (N*\ ( 1 M I ) _ (Na\ (N_ \ (NN, [N j-\NNtl \NJ ~ {N I \NNJ {(NN{)J ( Ä ) = ( §

~

38,(1

also wieder ein Element von 9i. Damit ist bewiesen, daß Im Beispiel transformieren wir mit einem Element oc von /1234\ 91(9?), etwa x = (1342) (243)

=

(234) 2 ), und zwar elementweise:

E

(243) ( g g ) /1234\ (243) ( 3 4 1 2 J /1234\ (243) ( 4 3 2 1 j

(234) =

E

(234) ~ ( J g | ) ,„„.> /1234\ (234) = ( 4 3 2 1 j /OQ„ /1234\ (234) = ( 2 1 4 3 j .

Wir erhalten wieder die 4 Elemente von 9c; dasselbe ergibt sich für jedes oc e 2i(9i). *) 91 (9i) enthält 9f nicht, beide Gruppen haben sogar außer der Einheit kein gemeinsames Element, da E durch jedes oc in E übergeführt wird, durch jedes N i aber in J f ; . Die inneren Automorphismen von 2t(9!) können also nicht die Automorphismen von induzieren. ') Wenn U$* . . . U f r , oder wenn a x = e-ß + r ist, wo q eine ganze Zahl und r < V = U'^U'SUp = U[rU^

. .. Ufr = V\U'{U*>.

et,

. . Ufr.

...Ufr

ist dann ebenfalls ein in SS vorkommendes Element; in der Darstellung auf der rechten Seite kann aber nur r = 0 sein, weil sonst eine Hochzahl < e x vorkäme. Damit ist das beliebige Element V von SS v = vj- (U&... Ufr), also Produkt aus einem Element von {7j} und einem Element, das aus den übrigen Basiselementen aufgebaut ist.

112

IX. Abelsche Gruppen

Aufgabe 110. Man stelle die Gruppe S8 der Aufgabe 109 als direktes Produkt {Fj} x dar. Satz 101. Jede von G verschiedene Untergruppe der Gruppe U„ ist selbst direktes P r o d u k t von k < n unendlichen zyklischen Gruppen { F J ; dabei ist Vi — Ufr, die L" sind geeignete Basiselemente von U„, i — 1, 2, . . ., k. Der Satz gilt offensichtlich f ü r n = 1 ( U j unendliche zyklische Gruppe) und wird durch Schluß von n — 1 auf n bewiesen. Gilt er f ü r n — 1, so h a t die Gruppe l l ^ mit den Elementen Up • • • U%n ganze Zahl) nur Untergruppen, die selbst wieder direkte P r o d u k t e von k < n — 1 unendlichen zyklischen Gruppen sind. Die Gruppe des Satzes 100 ist eine solche Untergruppe, sie ist also nach unserer Annahme direktes P r o d u k t von höchstens n — 1 unendlichen zyklischen Gruppen. Nach Satz 100 ist SS„-i = {V2} X

wobei V2 =

Ufr

(e 2 S ; £j nach Voraussetzung über e j . So kann man fortfahren, bis nach k — 1, höchstens n — 1 Schritten eine unendliche zyklische Gruppe übrigbleibt = {Vn}, wo V„ = U'jfn. Damit wird SS = {"Fi) X {V2} x . . . X {Vn},

Vt = U f r .

Satz 102. Die Basen f ü r die Untergruppe SS des Satzes 101 lassen sich so bestimmen, daß jede der positiven ganzen Hochzahlen e i + 1 S : e t und sogar durch e t teilbar ist (i = 1, 2, . . . , w — 1). E s genügt, zu beweisen, daß e 2 durch e 1 teilbar ist. Ist e 2 = e1 q + r mit 0 g r < ex, so betrachten wir das Element von SS y2yri = UfrU'^ = Ufrq+rU[-^. Durch geeignete Transformation kann m a n wieder den F a k t o r U'{ herstellen, woraus nach der Erklärung von % folgt, daß r = 0 sein muß. Man setzt U[' = U'JJ'f*,

also U[ = U['UV u n d erhält = Ul'-'U?.

§ 51. Hauptsatz über abelsche Gruppen

113

Aufgabe 111. U 3 = {a} x {&} x { c } ; 58 besteht aus den Elementen V = a 2 a 6 1 2 ^ c 8 v ( < x , ß , y ganze Zahlen); gesucht ist eine Darstellung von 33 nach Satz 101.

§ 51. Hauptsatz Uber abelsche Gruppen mit endlich vielen Erzeugenden

Satz 103. Jede abelsche Gruppe mit einer endlichen Menge von Erzeugenden ist entweder zyklisch oder läßt sich als direktes Produkt von zyklischen Gruppen darstellen, anders ausgedrückt: eine solche Gruppe hat eine Basis. Bei endlichen Gruppen ist die Ordnung das Produkt der Ordnungen der Basiselemente. Nach Satz 98 ist die abelsche Gruppe mit n Erzeugenden isomorph mit einer Faktorgruppe U„/Sß, wo ll ft direktes Produkt von n unendlichen zyklischen Gruppen {77;} und SS eine gewisse Untergruppe von U„ ist. Der Satz braucht also nur für bewiesen zu werden. Nach den Sätzen 101 und 102 gibt es für SS eine Darstellung SS = { V J X { V 2 } x . . . X { V i } x . . . X { F i } , wobei V { = L7fi(i = l , 2 , . . . , f c ) und e t \ e i + 1 { i = 1, 2 , . . , k — 1) , wenn die U f geeignet gewählt sind. Für ein Element von Ure (1) (2)

I I = i 7 f . [ 7 £ . . . . £ / > gilt also i/ e SS, wenn (3) oc/ = ejtfj für i = 1, 2 , . . . , k und x ( = 0 für i > k , q t ganze Zahl. Bedingung (3) ist aber auch notwendig für das Zutreffen von (2); denn wenn für ein Element U der Form (1) Beziehung (2) gilt, also u = y f . y f . . . . y £ * ( ß t ganze Zahlen) oder (4) 8

U =

ü l ^ ü t » * . . . U l ^ U U U U

Baumgartner,

Gruppentheorie

••• V I

I X . Abelsche Gruppen

114

ist, so ist wegen der Eindeutigkeit der Darstellung

oct = Sfßi für i = 1, 2, . . . , k und k es gilt Bedingung (3). Die Faktorgruppe U„/S3 ist

ÎU/8

= SS + UJß

+ üß%

+

...:

dabei sind UJ8, Ußiß, . . . sämtliche voneinander verschiedenen Restklassen ; solche sind1), da die Elemente von $ von der F o r m (4) sind, also für i gL k die Elemente Ut, t / f , . . . ,

für i > k die Elemente t / t 1 , Uf-, . . . , i. inf. nicht zu SS gehören, die mit solchen Elementen oder Produkten solcher Elemente gebildeten Restklassen. Man erhält alle verschiedenen Restklassen, wenn man das direkte Produkt bildet: x {u2m x . . . x {uk%} x {uk+1m x . . . x {£/„»}. Für i ^ k besteht { U ^ 8 } aus den Elementen SS, U¿ÜB, . . . . U p - 1 ® (endl. zykl. Gr.), u,/® =

iür i>

{u^3}

k besteht {U^} aus unendlich vielen Elementen [/"SS mit ganzzahligem a (unendl. zykl. Gr.).

Aufgabe 112. Man stelle zur abelschen Gruppe 12 t e r Ordnung mit den Erzeugenden At = (12), A2 = (345678) die isomorphe Faktorgruppe U2/33 als direktes Produkt zyklischer Gruppen auf. Aufgabe 113. Die Menge aller komplexen Zahlen a + Ii, bei denen a = 0, 1, 2 (mod 3 reduzierte ganze Zahl) und b eine gerade Zahl ist, ist eine unendliche abelsche Gruppe, wenn die Addition Gruppenoperation ist. Man suche die isomorphe Gruppe 1I2 / als direktes Produkt zyklischer Gruppen. Aufgabe 114. Die abelsche Gruppe 91 = g 4 x 3io wo A, B erzeugende Elemente von der Ordnung 4 muß sich nach den obigen Untersuchungen (Satz so als direktes Produkt zyklischer Gruppen 8 z x 8 »

x = {#}' bzw. 10 sind, 102 und 103) = {X} x

' ) W e n n E, = e, = • • • = eh = 1. « A + l > 1 i s t , f a l l e n D t SB, U,),„, so daß also das zweite durch die Homomorphie aus dem ersten hervorgeht: (Gj,, = (G^a für alle Gruppenelemente und alle oj e f J . 1. Beispiel. Im Beispiel 1 Seite 125 sind die Gruppen © und ©' isomorph, und zwar ist die Isomorphie etwa durch die folgenden zwei Abbildungen gegeben, die mit bzw. (p2 bezeichnet werden: © : E, (12) (34), (13) (24), (14) (23) E, (12) (34), (12), (34) ©„: E, (12), (12) (34), (34). Als Operatorenbereich nehmen wir den Seite 125 angegebenen Q = [cOi, co2, ft)3]. Im Falle cp1 ist ©tt,: E, E, (12) (34), (12) (34) (&JVl: E, E, (12) (34), (12) (34) ( 1) in der Ordnung der Gruppe enthalten ist. (Vgl. auch Aufg. 32.) Satz 136. Eine endliche Gruppe © enthält zu jeder in ihrer Ordnung aufgehenden Primzahlpotenz p' eine Untergruppe von der Ordnung p*. Die Ordnung von © sei g und p' \g. Der Satz gilt für i = 1 (Satz 121 von Cauchy). Wir nehmen an, der Satz gelte für Gruppen von niedrigerer Ordnung als g und beweisen ihn für die Gruppe ©. 1. Fall: © besitzt eine eigentliche Untergruppe deren Index mit p teilerfremd ist. Die Ordnung von < ,Q ist dann kleiner als g, aber noch durch p* teilbar. Nach Annahme besitzt also § und damit auch © eine Untergruppe von der Ordnung p'. 2. Fall: © besitzt keine solche Untergruppe Nach dem Satz 121 von Cauchy (und dessen Beweis) besitzt es aber eine Untergruppe von der Ordnung p, die im Zentrum enthalten und damit Normalteiler ist. © / $ hat eine Ordnung, die kleiner als g und durch teilbar ist, besitzt also nach Annahme eine Untergruppe von der Ordnung p ' - 1 . © hat daher eine Untergruppe von der Ordnung p{~1 • p = p'. Der Satz sagt — genauer als Satz 133 —, daß es zu jeder höchsten Potenz ps, die Teiler der Ordnung g einer endlichen Gruppe © ist, eine p-Sylow-Gruppe von © gibt, deren Ordnung ps ist. Beispiel: © 4 hat Untergruppen von den Ordnungen 2, 4, 8. Aufgabe 139. Man bestätige den letzten Satz an der Gruppe der Aufgabe 137. § 67. Sätze über /»-Sylow-Gruppen

Wir untersuchen wieder beliebige (endliche und unendliche) Gruppen. Satz 137. Wenn eine p-Untergruppe 91 einer Gruppe © Normalteiler von © ist, ist sie in jeder p-Sylow-Gruppe g von © enthalten.

§ 67. Sätze über p-Sylow-Gruppen

147

Es wird gezeigt, daß das Produkt 3cS, das nach Satz 56 eine Gruppe ist, mit © zusammenfällt, daß also 3i s S ist. Jedes Element N von 31 hat eine p-Potenz als Ordnung, etwa pv, ebenso jedes Element S von © eine Ordnung p". Daher ist (NS)PA = N'8P° = N', also (NS)P" +v = N'P" = E. Jedes Element der Gruppe 9J© hat also eine p-Potenz als Ordnung, 9i© ist eine p-Untergruppe von ©. Da aber © eine p-Sylow-Gruppe ist, kann zwischen © und © keine p-Untergruppe liegen, es muß 3i© = © sein 1 ). Beispiel: © = 3t 4 ; die 2-Untergruppe E, (12) (34), (13) (24), (14) (23) ist Normalteiler und einzige 2-Sylow-Gruppe. Satz 138. Wenn eine p-Sylow-Gruppe einer Gruppe © Normalteiler von © ist, ist sie die einzige p-Sylow-Gruppe von ©. Nach dem letzten Satz ist nämlich der Normalteiler in jeder p-Sylow-Gruppe von © enthalten, kann also als p-Sylow-Gruppe nur mit jeder solchen zusammenfallen. Vgl. das letzte Beispiel! Satz 139. Jede p-Sylow-Gruppe einer Gruppe © ist die einzige p-Sylow-Gruppe in ihrem Normalisator. Sie ist nämlich Normalteiler in ihrem Normalisator, also nach dem letzten Satz dessen einzige p-Sylow-Gruppe. Satz 140. Jede p-Sylow-Gruppe © einer Gruppe © enthält alle Elemente ihres Normalisators, die eine p-Potenz als Ordnung haben. Enthielte nämlich die Gruppe © ein Element N ihres Normalisators, das eine Ordnung p" hat, nicht, so könnte man aus © und N eine von © verschiedene p-Untergruppe von © erzeugen, die © enthielte, so daß © keine p-Sylow') Ist 3 ? 3 = note S. 144), >)f < 10*

also @ selbst eine p-Gruppe, so ist auch S = ® ( F u ß 3 , der Satz bleibt bestehen.

148

XI. p-Gruppen und p-Sylow-Gruppen

Gruppe sein könnte. Es hätte nämlich jedes Element NS eine p-Potenz als Ordnung; denn wenn S dite Ordnung p" hat, ist (NS)Pv

= NV"S' = S',

also (NSY+A

= S'R" =

E.

Satz 141. Die konjugierten Gruppen einer p-SylowGruppe © einer Gruppe SJ? sind ebenfalls p-Sylow-Gruppen von Es hat nämlich jedes konjugierte Element eines Elements S von © dieselbe Ordnung wie S (Aufg. 58), die konjugierte Gruppe ist also wieder eine p-Untergruppe. Wäre sie keine p-Sylow-Gruppe, sondern in einer p-Untergruppe $ von ® enthalten, G~1(BG E

y'

y«+i

ytn+i^ . .

yn~1J

yzn-l

y3n-l^

A

£n-1

Die auf E abgebildeten Kurzwörter bilden einen Normalteiler SR von SB und es ist SBßt = (SR) + (SR7) + (SRF2) + . . . + (SßF— x ) s

©.

2. Beispiel: © = % (Tafel II); Erzeugende etwa A = (1234), B = (13). Gleichungen: (1) A4 = E, (2) ß 2 = E, (3) BA = A3B oder A^BA-1 B^ = E.

§ 71. Bestimmung von Gruppen

155

Wir bilden die freie Gruppe SB mit ebenfalls 2 Erzeugenden F 1 ; 7 2 a u f ® homomorph ab: 7 X -> V2 ->• B. Jedem Kurzwort von 2B entspricht dann ein Element von ® 4 , dabei vielen Kurzwörtern dasselbe Element, z. B. V1 ~> F f 1 Ff Ff -> A-1 B2A2 = A (Gl. (2)), F 2 F 1 7^" 1 F 1 2 -> = (Gl. (3) u. (1)), 7 2 - > B, 7 X 7 2 -> ^42?, F27X = 7 X 4 ->E, V i 7 » 7 2 7 5 £ usw. Die unendliche Menge der Kurzwörter, welche auf E abgebildet werden, bildet einen Normalteiler 9i von 328, auf A wird F j abgebildet, auf A2 3i7 1 2 usw., auf jedes Element von ® 4 eine Kestklasse der Zerlegung von 2B nach 9 es ist 28/9? ®4. Aufgabe 142. Man behandle als weiteres Beispiel die Gruppe @ = ©3.

§ 71. Bestimmung von Gruppen durch Beziehungen zwischen erzeugenden Elementen

Wir kehren nochmals zurück zu der im Beweis des Satzes 145 erklärten Abbildung einer freien Gruppe 98 auf eine beliebige Gruppe Dabei wird ein Normalteiler 9i von 28 auf die Einheit von & abgebildet. Jedem Kurzwort von von der Form § 70, (2) entspricht ein Element der Form (3) von das gleich E ist. Wir erhalten ebenso viele Gleichungen (1)

Ä f A f . . . yl"s= E

als 9i Elemente enthält. Diese Gleichungen sind im allgemeinen nicht unabhängig, sondern folgen teilweise auseinander. Wir wählen aber ein System unabhängiger Gleichungen aus, wenn wir nicht alle Elemente von 9? benützen, sondern nur eine Teilmenge, die gerade alle Elemente von erzeugt (ein System unabhängiger Erzeugender). Im obigen Beispiel 1 etwa nur das Element 7 " ; es erzeugt 9c und liefert die Gleichung An = E. Nur wenn @ selbst eine freie Gruppe ist, wird 9i = S, und wir erhalten keine Gleichung. Damit ist bewiesen

156

XII. Freie Gruppen u. Gruppen m. Beziehungen

Satz 146. Jede Gruppe, die keine freie ist, kann durch Gleichungen zwischen Erzeugenden bestimmt werden. Auch die Umkehrung dieses Satzes gilt: Satz 147. Zu jeder Menge 9Ji von Erzeugenden Av A2,... und einem daraus gebildeten System von Gleichungen der Form (1) gibt es eine Gruppe, die durch diese Gleichungen bestimmt wird. Bildet man nämlich mittels einer mit ffl äquivalenten Menge von Elementen Vv F 2 , . . . die freie Gruppe SS, stellt die den linken Seiten der Gleichungen (1) entsprechenden Kurzwörter her und den durch sie erzeugten Normalteiler1) 91 von SS, so ist die gesuchte Gruppe © isomorph zur Faktorgruppe SB/9t. 1. Beispiel: 2 Erzeugende A, B2); 3 Gleichungen: A2 = E, B2 = E, AB = BA3). SB besteht aus den Kurzwörtern der Länge 0: W0, der Länge 1: U, V, £/_1, 7 _ 1 , der Länge 2: U2, V2, U~2, V-2, UV, UV-1, U-W, Ü-W-1, VU,..., der Länge 3: U3, V3, U2V . . . , . . . , der Länge n: ün,. ... Die entsprechenden aus A, B gebildeten Produkte reduzieren sich vermöge der 3 vorgeschriebenen Gleichungen auf E, A, B, AB. Die E entsprechenden Kurzwörter bilden einen Normalteiler 9Z von SB, die A entsprechenden die Restklasse 31U der Zerlegung von SB nach 9t, die B und AB entsprechenden die Restklassen 9IV bzw. 3WV. Es ist © es SB/911 = 3t + HU + 31V + VlUV; ® = [E, A, B, AB] = Vierergruppe. 2. Beispiel: 2 Erzeugende A, B\ 2 Gleichungen A2 = E, B2 = E. SB ist dieselbe Gruppe wie im Beispiel 1. Aber weil die dritte Gleichung fehlt, reduzieren sich die den Kurzwörtern entsprechenden Produkte aus Faktoren A, B in viel geringerem Maße, es ist Es gibt immer einen solchen, im äußersten Fall ist er 9B selbst, also ® = ffi. *) Statt Alt A2 , V l t V2 wird hier bzw. A, B, ü, V geschrieben. •) Statt ABA~ lB^ 1 = E wird kürzer AB = BA geschrieben.

§ 71. Bestimmung von Gruppen

m 31V muv mvu

W0, U\ V2, U~2, V~2, TJVHJ, U, U3, V2U,... 2 V, U V,... UV,U3V,... UVU, U3VV,...

157

B AB ]^ABA

& si SDB/Si ist unendlich, die Elemente mit ungerader Zahl .) sind von von Faktoren {A, B, ABA, BAB, ABABA,.. der Ordnung 2, die übrigen (AB, BA, ABAB, BABA,. . .) von unendlicher Ordnung. 3. Beispiel: 2Erzeugende A, B\ 3Gleichungen: (1) A5 = E, (2) B3 = E, (3) AB2 = BA3. Hier folgt aus den 3 Gleichungen1) A = B = E, alle Elemente von SS werden auf E abgebildet, 91 = SB, & ^ S8/W es g. 4. Beispiel: 3 Erzeugende A,B,C; 6 Gleichungen: A3 = E, B2 = E, C2 = E, ABAB = E, ACAC = E, BCBC = E. Mittels der Gleichungen reduzieren sich alle aus A, B, C gebildeten Produkte auf 12 Formen, etwa E, A, A\ B, AB, BA, C, AC, CA, BC, ABC, BAC; © ist eine Gruppe von der Ordnung 12 ~ Aufgabe 143. Welche Gruppe erzeugen 2 Elemente A, B, für die die Gleichungen gelten: A3 = E, B = E, AB2 = B2A,

BA = A2B?

Aufgabe 144. Man versuche aus Erzeugenden und Gleichungen die Gruppen 8 t e r Ordnung aufzubauen durch Behandlung folgender Fälle: 1. A» = E\ 2. A4 = E, B2 = E und entweder a) BA = AB oder b) BA = A2B oder c) BA = A3B; 3. A4 = E, B2 = A2 und entweder a) BA = AB oder b) BA = A2B oder c) BA = A3B; 2 2 4. A2 = E,B = E,C = E und entweder a) BA = AB, CA = AC, CB = BC oder b) BA = AB, CA = AC, CB = ABC oder c) BA = AB, CA = BC, CB = AC oder d) BA = AC = CB. 1

1

') Aus (3) AB -BA'AB = BA'AB'-BA' oder nach (1), (2) B = Ä', daraus mittels (I), (2) A = B = E.

B1 = BA>,

158

X I I I . Folgen und Reihen von Gruppen

Aufgabe 145. Man baue in ähnlicher Weise Gruppen 1 2 t e r Ordnung auf. Vgl. die Gruppen St4, ® 6 , Beispiel § 22, Beispiel 4 dieses Paragraphen.

XIII. Folgen und Reihen von Gruppen § 72. Aufsteigende Folgen

Eine (endliche oder unendliche) Gruppe © besitze eine Menge von Untergruppen ©,• (i = 1, 2 , . . ,) 1 ). Die Vereinigungsmenge SR dieser Untergruppen ist im allgemeinen keine Gruppe, erzeugt aber eine Gruppe {SR}. Beispiel: Die Vierergruppe SS = [E, (12), (34), (12) (34)] hat die Untergruppen E, (12) und E, (34); deren Vereinigungsmenge E, (12), (34) ist keine Gruppe, erzeugt aber die Gruppe SS. Wir nehmen nun an, daß die Menge der Untergruppen ©, eine „aufsteigende Folge" bildet, d. h. daß jedes © j in ©i+1 (i = 1, 2 , . . .) enthalten ist; dann gilt Satz 148. Die Vereinigungsmenge SR einer aufsteigenden Folge von Untergruppen ©,• einer Gruppe © ist eine Gruppe. Sind nämlich Mlt M2 zwei beliebige Elemente aus SR, so kommt jedes in einer Untergruppe ©,• vor, etwa Afj e ©,-, M2 e ©j, wobei i ^k sei. "Wegen ©^ £ ©j. kommen dann beide in vor, also auch das Produkt M1M2 in © • • 8i+i/8i d a s Zentrum von © / $ Eine aufsteigende Zentralreihe kann unendlich oder endlich sein. I m letzten Fall, der stets bei endlichen Gruppen eintritt, sind die Untergruppen von einem gewissen ab alle gleich. Dabei kann die Gruppe © selbst erreicht werden oder nicht. 1. Beispiel: © = ® 4 (Taf. I I ) ; = [E, (13) (24)]; ® 4 / 8 i = 8 1 + 8 1 (12) (34) + 3 t (13) + 3 i (1234). Die Gruppe ist abelsch, daher ihr eigenes Zentrum: 8 2 / 8 1 = ® 4 / 8 i ; aufsteigende Zentralreihe: G c 3 i < 2. Beispiel: © = ® 8 (Diedergruppe, Drehungen und Umklappungen eines regulären Achtecks) definiert durch die Gleichungen A8 = E, B* = E, BA = A^B. Si = [E, A4];

3W& = 81 + 8iÄ

+ 8iÄ* + 8i^3 + 81B + 81ÄB

+ Ü ^ B + 8 2 / 8 ! = Zentrum von ® g / 3 i = 8 1 + 8 i ^ 2 ; 8 2 = [E, A ® 8 / 3 2 = 82 + 8 2 ^ + 8 2 ß + 8 2 ^ - B . abelsch, daher 8 3 / 8 a = ® 8 / 3 2 , 8 S = ® 8 ; aufsteigende Zentralreihe: S < 3 i < 8 2 ^ ®8Aufgabe 146. Man stelle die aufsteigende Zentralreihe der Gruppe $ 6 (Taf. III) auf.

§ 74. Normalreihen Wie eine aufsteigende kann man auch eine „absteigende Folge von Untergruppen" einer Gruppe © betrachten, d. h. eine Folge von Untergruppen © , ( i = 1, 2 , . . . ) , von denen jede in der vorhergehenden enthalten ist, © 4 £ © ^ (* = 1, 2 , . . . ) : © = ©o2©l2@2>®

3

2.

...

Eine solche absteigende Folge wurde bereits in § 44 erwähnt, nämlich eine Gruppe ® , ihre Kommutatorgruppe

§ 75. Der Satz von Zassenhaus

161

S j (1. Ableitung), deren Kommutatorgruppe ft 2 (2. Ableitung) usw. „Absteigende Kommutatorreihe": . .. Weitere Beispiele: © 4 2i 4 33 > $2 ^ Bezeichnet man die unendliche zyklische Gruppe mit {/!}, so hat man z. B . die unendliche absteigende Folge

{Ä} > U 2 } =» U 4 }

U 8 } > . . ..

Zu interessanten Ergebnissen führt der Fall, daß die Untergruppen durchweg Normalteiler sind. Eine endliche Anzahl n + 1 von Untergruppen einer beliebigen Gruppe ©, die mit & beginnt und mit © endigt und bei der jede Untergruppe außer ® und 6 echter Normalteiler der vorhergehenden ist, heißt „Normalreihe" der Gruppe ö 1 ) : (1)

© = ©o

©x =>

= > . . . = » ff, = e .

Die Faktorgruppen © {A">} > {A210} = {A2} > {A30} => {A210} = 3 2 ist von 3 i verschieden. Durch denselben Schluß erhält man: ist verschieden von 3 2 , . . 3 > + i verschieden von 3< usw. Da © endlich ist, muß nach endlich vielen Schritten ein gewisses 3« die Gruppe © selbst sein. Die aufsteigende Zentralreihe © 8 i < 82 g, deren aufsteigende Zentralreihen in § 73 angegeben sind. Eine unendliche p-Gruppe kann auflösbar sein oder nicht. XIV. Genaueres über die Gruppenpostulate § 80. Gleichwertigkeit der eindeutigen Umkehrbarkeit mit der Existenz der Einheit und der Inversen

In § 5 wurde eine Gruppe definiert als eine Menge mit algebraischer Operation, die noch die Forderungen I. der Assoziativität, II. der Existenz einer Einheit, III. der Existenz eines Inversen zu jedem Element erfüllt. Es wurde aber bereits erwähnt, daß etwas schwächere Forderungen genügen, denselben Gruppenbegriff festzulegen. Auf Forderung I kann nicht verzichtet werden. Die Forderungen II und III aber können ersetzt werden durch die Forderung II', („eindeutige Umkehrbarkeit der Operation"): Zu irgend 2 Elementen A, B der Menge (die auch gleich sein können) gibt es in der Menge ein und nur ein Element X und einjind nur ein Element Y, so daß AX = B, YA = B.

172

XIV. Genaueres über die Gruppenpost'ulate

Daß aus den Forderungen II und III die Forderung II' folgt, wurde bereits im Beweis des Satzes 3 gezeigt. Es ist noch zu beweisen, daß umgekehrt aus II' wieder II und III folgen: Nachweis der Forderung II: Wählen wir in II' das Elementepaar A, B zuerst gleich A, A, dann gleich A', A', so gibt es ein Element X und ein Element X', so daß (1) AX = A, (2) A'X' = A'.Es ergibt sich aber X = X', wenn man (1) links mit Y multipliziert und Y nach II' so bestimmt, daß YA = A! ist; denn YAX = YA wird dann A'X = A', was durch Vergleich mit (2) zu X = X' führt. Damit ist die Existenz einer Rechtseinheit Er gezeigt: AEr = A für alle Elemente A der Menge. Ebenso kann man die Existenz einer Linkseinheit Et beweisen, und dann folgt, wie bereits in Satz 1 ausgeführt, Er = Et = E. Nachweis der Forderung III: Wählen wir in II' das Element B = E, so gibt es zu jedem Element A ein Element X, so daß AX = E ist, also ein Eechtsinverses, das wir mit A71 bezeichnen. Ebenso gibt es ein Linksinverses Aj1. Es muß aber wieder sein ^r1 = ¿r1 = wie aus der Assoziativität folgt: Ar1 = EA-i = {A^A)A? = AtHAA-1) = A^E = AT\ § 81. Schwächere Gruppenpostulate

Bei dem eben geführten Beweis zeigte sich, daß aus II zunächst nur folgt II", die Existenz einer Bechtseinheit Er und III", die Existenz eines Rechtsinversen zu jedem Element bezüglich Er.

§ 81. Schwächere Gruppenpostulate

173

Wenn wir umgekehrt aus II" und III" wieder II' folgern können, ist bewiesen, daß I und II' gleichwertig sind mit I, II", III", daß also mit I, II", III" die gesuchten schwächeren Gruppenpostulate gefunden sind; In der Tat ergibt sich aus II" und III" zunächst II und III und daraus II': Nachweis der Forderung II: Es existiert ein Rechtsinverses bezüglich Er zu jedem Element, also zu A ein zu diesem A,1 ein Z, so daß (1) AA? = E„ (2) A~lZ = Er. Aus (1) folgt durch Multiplikation mit sich selbst ErAA? = AA~lEr = AA-1 und daraus durch Rechtsmultiplikation mit Z nach (2) ErA = A. Es existiert also auch eine Linkseinheit Et = Er. Sind nun Er, E'r zwei Rechtseinheiten, Ei eine beliebige Linkseinheit, so ist — in AEr = A wird A = Ei gesetzt — EiEr = Ei und — in EtA = A wird A = Er gesetzt — EtEr = Er\ also Er = Et. Ebenso findet man E'r = Eh daher Er = E'r = Ex = E: es gibt nur eine Einheit. Nachweis der Forderung III: Aus den Gleichungen (1) und (2), die wir jetzt schreiben können AA-1 = E, A^Z = E, folgt, wenn wir links mit Aj1, rechts mit Z multiplizieren, A-'AA^Z = A-'EZ oder AylAE = A^Z oder A^A = E, 1 d. h. Aj ist auch linksinvers zu A, A-1 = AT1 = A-\ Der Nachweis der Forderung II' erfolgt nun wie beim Satz 3.

Lösung der Aufgaben

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Lösung der Aulgaben 1. Die ganzen oder rationalen Zahlen mit Operation AB = A + B2. 2. Die ganzen Zahlen mit Subtraktion als Operation. 3. (15) (24) (3), (15) 236) (4), (147) (258) (369). 4. (23), (13), (13) (24), (14235). 5. Das inverse P hat vertauschte Zeilen, der inverse Zyklus umgekehrte Ziffernfolge. 6. P j führe a in 6 über, P2b in c, P3 ein d. a geht immer in d über, ob zuerst a über b in e und dann dieses in d verwandelt wird oder a in b und dieses über c in d. 7. Gruppen: lc, e, g, h, i, k, .1; 2; 5a, b ; 6a, b, c; 7; 8; 9; 10; 11; 12a, b ; nur Halbgruppen: l a , b, d, f; 3 ist eine „Quasigruppe" (nicht assoziativ, aber Umkehrbarkeit und Kürzungsregeln gelten). 8. Siehe Tafel I ! 9. @ 2 : E, (12); @ 4 : Elemente von 2l4 (Taf. III) und (12), (13), (14), (23), (24), (34), (1234), (1432), (1324), (1423), (1243), (1342). 10. S. Taf. I ! 11. Ja, s. Beisp. 8! 12. Z. B. Beisp. 7 f. n = 10 isomorph Beisp. 8 f. n = 4; Beisp. 7 f. n = 8 isomorph Beisp. 2. 13. S. § 38! 14. Beisp. 2: Ordn. 1, 2, 2, 2; Beisp. 5 a : Ordn. 1, 6, 3, 2, 3, 6. 15. 1 g das Element —1. 16. Produkt zweier Matrizen ist wieder von dieser Art (Determ. wieder 1); Einselement ^ ® j ; invers zu ist

! Ordnung d. angeg. El. 6 bzw. oo.

17. Bzw. 3 a , 3 2 , 18. Gruppe der geraden bzw. durch 3 teilbaren Zahlen 19. Z!"Besiehe Tafel I, II, I I I !

Lösung der Aufgaben

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20. [E, (1234), (13) (24), (1432)] ^ [E, (13), (24), (13) (24)] = \E, (13) (24)]. 21. C - ^ B - ^ A - 1 ; . . . C - ' B - t A - ' . 22. (AB) a b = AabBab = E- E = E, also c Teiler von ab nach Satz 6. 23. E = {ABC)" = AiBCAY^BG wird vorn mit A~\ hinten mit A multipliziert, weiter wie bei Satz 16. Bei ACB usw. gelingt dieser Beweis nicht. 24. a) Vierergruppe (§ 15), b) © 4 . 25. Unendliche Gruppe der Zahlen 2m + 3iv für ganzz. u, v. 26. a) es kann KMX = LM2 sein, ohne daß K und L den Komplexen ® und £ gemeinsam sind; b) ( f w ß) 3R = (ffi ^ 2«) ^ (£ ^ 2»); (« ^ S) ^ 3« = (Ä ^ 3«) ^ (8 w SR). 27. = ( A 2 + 4 . S + ..-)- 1 = ( A S ) " 1 + ( A S ) " 1 + . . . = s-ur1 + s-Uä1 + . . . = £ - w + A ? + . . . ) = S-1®-1. 28. Z. B. [E, (12)] + [E, (12)] • (13) + [E, (12)] • (23); [E, (123), (132)] + (12) • [E, (123), (132)]. 29. Z. B. 9t + (124) 2t + (142) 9t + (234) 2t. 30. [. . . - 2 , 0, 2, 4, . . . ] + [ . . . - 2 , 0, 2, 4, . . .) • 1; 2t + 2t • 1 + 2t • 2 + 2t • 3 + 2t • 4 mit 2t = [ . . . — 5,0, 5,10, . . . ] . 31. Jedes Produkt von Primzahlpotenzen . . p?r (p( =(= 2) liefert mit der Untergruppe eine von ihr verschiedene Restklasse. 32. Tetraedergruppe hat weder Element noch Untergruppe der Ordnung 6. 33. Die Tafelarten stimmen überein bei Gruppen mit lauter Elementen der Ordnung 2 außer E ; daher im Beispiel a. 34. Z. B. wie nebenstehend (nur Indizes ge12345 schrieben); (24)5 4= 2(45). § 4, Beisp. 3 hat 2 4 15 3 kein Einselement, daher keine solche 35412 Gruppentafel. 43521 5 12 3 4 35. n = 4, r = 2, a = 1, s — 4.

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Lösung der Aufgaben

36. A = (145) (26) (3) (7) = (14) (15) (26), ungerade; B = (1849310) (2576), gerade. 37. A2 = (154), A3 = (26), A* = (145), A5 = (154) (26), Ordnung bzw. 3, 2, 3, 6. Die rte Potenz eines Zyklus bildet man, indem man etwa von der ersten Ziffer ausgehend jede r te Ziffer nimmt (r—1 Ziffern überspringt). 21); (12) ist selbst38. (In (n — 1 ) . . . 2) = (n(n—1)... invers; die inverse einer geraden Permutation ist gerade. 39. a) ZXZS = Z2Z1; b) im allgemeinen ZXZ2 4= Z2Z1. 40. 9l4 Tetraedergruppe. 41. Die Elemente, die r Ziffern ungeändert lassen, bilden eine Gruppe ^ © 5 _ r ; die Elemente, die r Ziffern unter sich vertauschen, bilden eine Gruppe usw. 42. E, (12) (34), (13) (24), (14) (23). 43. Siehe Tafel I und III! 44. Nur die erste Darstellung von ® 6 ist intransitiv. 45. P l5 P 2 , . . . P r sollen 1 in i überführen und nur diese; P führe i in k über. Dann geht 1 in k über durch PtP, P 2 P, . . . P r P und nur durch diese; denn wenn irgendein P' Ziffer 1 in k überführt, geht 1 in i über durch P ' P - 1 , es muß also P ' P - 1 = P1 oder P 2 oder ...Pr sein, d. h. P' = P X P oder P 2 P oder ...P r P. 46. Tafel 1,1, 2; Tafel II, 1; Tafel III, 1, 2, 5, 6 bzw. 2-, 1-; 2-; 3-, 1-, 2-, 1-mal. 47.