Gruppentheorie [3., vollständig neubearb. Aufl. Reprint 2019] 9783111365442, 9783111008257

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

837

GRUPPENTHEORIE von DR. L U D W I G

BAUMGARTNER

Dritte, vollständig neubearbeitete Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp. B E R L I N

1958

© Copyright 1958 by Walter de Gruyter Co., Berlin W 35. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagahandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 11 08 37. — Satz und Druck : Buchkunst, Berlin W 35. — Printed in Germany

Inhaltsübersicht Seite I. Abschnitt. Einführung in den Gruppenbegriff § 1. Mengen mit algebraischer Operation, algebraische Strukturen § 2. Bezeichnungen § 3. Spezielle Eigenschaften algebraischer Operationen § 4. Beispiele algebraischer Strukturen mit einer Operation . . § 5. Definition der (endlichen und unendlichen) Gruppe; einige unmittelbare Folgerungen II. Abschnitt. Gruppentheoretische Grundbegriffe u n d -methoden § 6. Ordnung einer Gruppe; Isomorphie; abstrakte Gruppe . . . § 7. Potenz; Ordnung eines Elementes § 8. Zyklische Gruppe; erzeugendes Element | 9. Untergruppe § 10. Produkte von Elementen; inverse Elemente § 11. Erzeugung von Gruppen aus Elementen § 12. Rechnung mit Komplexen § 13. Zerlegung einer Gruppe nach einer Untergruppe § 14. Folgerungen aus der Zerlegung einer endlichen Gruppe nach einer Untergruppe III. Abschnitt. Über endliche Gruppen §15. Die Gruppentafel § 16. Die normale Tafel § 17. Permutationen § 18. Permutationsgruppen § 19. Kennzeichen für Gruppeneigenschaft § 20. Produkt und Durchschnitt endlicher Gruppen IV. Abschnitt. Vertauschbarkeit v o n E l e m e n t e n u n d Untergruppen § 21. Normalisator; konjugierte Elemente §22. Fortsetzung; konjugierte Untergruppen §23. Invariante Elemente; Zentrum; Klasseneinteilung der Elemente und Untergruppen § 24. Zwei Beispiele §25. Normalteiler § 26. Sätze über Normalteller I 27. Einfache und Hamlltonsche Gruppen § 28. ZentraUsator §29. Produkt von Gruppen; direktes Produkt V. Abschnitt. Die Faktorgruppe § 30. Einführung der Faktorgruppe § 31. Beispiele von Faktorgruppen § 32. Sätze über Faktorgruppen VI. Abschnitt. Die Homomorphie § 33. Die Homomorphie als VeraUgemeinerung der Isomorphie . . § 34. Sätze Uber die Homomorphie § 35. Der Isomorphiesatz r

5 6 6 8 13

16 17 18 20 21 23 24 26 28 29 S1 32 34 36 38

38 41 44 45 49 51 63 55 58 59 60 64 65 67

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Inhaltsübersicht Seite

V I I . Abschnitt. Die Automorphie § 30. Begriff der Automorphie; Automorphismengruppe § 37. Innere Automorphismen J 8 8 . Das Holomorph

. . . .

69 72 74

V I I I . Abschnitt. Die E n d o m o r p h i e ; charakteristische u n d vollinvariante Untergruppen { 3 6 . Begriff der Endomorphie i 40. Einige S&tze Uber Endomorpblsmen $ 41. Charakteristische und vollinvarlante Untergruppen . . . . 142. Einige SStze Uber charakteristische und vollinvarlante Untergruppen; die Kommutatorgruppe

78 79 81

I X . Abschnitt. Freie Gruppen und Gruppen m i t B e ziehungen zwischen den E l e m e n t e n S 43. Das Kurzwort $ 44. Die freie Gruppe i 45. Bestimmung von Gruppen durch Beziehungen zwischen erzeugenden Elementen

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X . Abschnitt. Reihen von Gruppen S 46. Normalreihen § 47. Der Satz von Zawenhans § 48. Der Satz von Schreier $ 49. Kompositionsreihen; der Satz von Jordan-Hölder X I . A b s c h n i t t . G e n a u e r e s ü b e r die G r u p p e n p o s t u l a t e § 50. Gleichwertigkeit der eindeutigen Umkehrbarkeit mit der Existenz der Einheit und der Invereen 5 61. Schwächere Gruppenpostulate

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89 91 92 94 96

98 99

L ö s u n g der A u f g a b e n

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Sach- und Namenverzeichnis

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Literatur Hauptwerke: Endliche und unendliche Gruppen: A. G. K u r o s c h , Gruppentheorie, 1. Aufl., Berlin 1953, (2. Aufl. 1953 nur russisch und 1955 Newyork englisch). H. Z a s s e n h a u s , Lehrbuch der Gruppentheorie, 1. Bd., Leipzig und Berlin 1937, Nachdruck 1948. V . S p e c h t , Gruppentheorie, Berlin 1956. Endliche Gruppen: A. S p e i s e r , Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 4. Aufl., Basel 1956. Zur ersten Einführung: P. S. A l e x a n d r o f f , Einführung in die Gruppentheorie, Berlin 1954. K . S i e l a f f , Einführung in die Theorie der Gruppen, Frankfurt a. M. und Hamburg 1956. Aus der sonstigen neueren Literatur: L. v. d. W a e r d e n , Gruppen von linearen Transformationen, Berlin 1935. H. B o e r n e r , Darstellungen von Gruppen, Berlin 1955. G. P i c k e r t , Einführung in die höhere Algebra, Göttingen 1951. E . C a r t a n , La théorie des groupes fiDis et Continus, Paris 1937. H. W e y l , The classical groups, Princeton 1946. G. S c o r z a , Gruppi astratti, Rom 1942.

I. Einführung in den Gruppenbegriff § 1. Mengen mit algebraischer Operation, algebraische Strukturen Wir denken uns eine Menge irgendwelcher Dinge oder „Elemente" und eine Vorschrift oder „Operation", nach der sich zwei beliebige Elemente der Menge, die auch identisch sein können, in eindeutiger Weise verknüpfen lassen, wobei im allgemeinen die Reihenfolge wesentlich sein soll. Z. B. die natürlichen Zahlen von 1 bis 10 und die Addition oder alle natürlichen Zahlen und die Subtraktion als Operation oder die Menge aller reellen Zahlen und die Multiplikation als Operation oder die Menge der Drehungen einer Kugel um ihren Mittelpunkt und die Zusammensetzung der Drehungen, das Nacheinander-Ausführen als Operation. In den ersten 2 Beispielen entstehen durch die Operation zum Teil neue, der ursprünglichen Menge nicht angehörende Elemente, sonst stets wieder Elemente derselben Menge. Tiifft dieser zweite Fall zu, liegt also eine Menge vor und eine Operation für alle Elementepaare der Menge und liefert diese stets wieder ein und nur ein Element derselben Menge, so heißt die Operation eine „algebraische Operation" und die Menge eine „Menge mit algebraischer Operation" oder eine „algebraische Struktur" 1 ), auch „multiplikativer Bereich". Je nachdem noch weitere Eigenschaften zu den angegebenen hinzutreten, erhält man verschiedene Arten algebraischer Strukturen. Wir wollen solche Eigenschaften an Beispielen kennen lernen und daraus die wichtigsten Arten algebraischer Strukturen finden. § 2. Bezeichnungen Mengen2) bezeichnen wir mit gioßen deutschen, ihre Elemente mit großen lateinischen Buchstaben. Das Enthaltensein einer Menge in einer Menge SR wild durch ') Der Begriff der algebraischen Struktur wird noch dadurch erweitert, daß In einer Menge nicht nur eine, sondern mehrere, insbes. 2 Operationen gegeben sein können, die stets wieder eindeutig Elemente der Menge liefern, z. B. in der Menge der rationalen Zahlen die Addition und Multiplikation. Für die Gruppentheorie kommen nur algebr. Strukturen mit einer Operation in Betracht. 2 ) Die Grundbegriffe der Mengenlehre, die hier vorausgesetzt werden, findet der Leser in E. Kamke, Mengenlehre, Samml. Göschen Nr. 099/999a.

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I. Einführung in den Gruppenbegriff

SK oder ä R ^ 91, und wenn auch der Fall der unechten Teilmenge zugelassen ist, durch J i s 3Jt ausgedrückt; das Enthaltensein eines Elementes A in einer Menge 9K durch A e9Ji; die Vereinigung von Mengen äft, 9i durch SJi u 31, ihr Durchschnitt, d. h. die Menge der gemeinsamen Elemente, durch 3Ji r> 9i. Auch bei mehr als 2, sogar unendlich vielen Mengen Tip, 9Dty, . . . schreibt man die Vereinigungsmenge u TOß u ÜDiy u . . . und den Durchschnitt SU,, n Wiß n 9Jcy n Die Verknüpfung wird als Multiplikation bezeichnet und geschrieben, also A • B oder AB, wenn A e W, B e 2JI; AB heißt „Produkt", A und B seine „Faktoren". Wir schreiben äJl = [A, B,C, ...], wenn 9Ji aus den Elementen A, B,C, . . . besteht, dagegen 9 f t = 2 l - | - 9 3 + ß - | - . . . , wenn Säft sich aus den Teilmengen 9t, 33, E, . . . zusammensetzt. Gemeinsame Elemente von 21, 93, . . . werden dabei nur einfach gezählt 1 ). Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Eine „Abbildung" einer Menge SR auf eine Menge 31 ist eine Zuordnung (ein Zugeordnetsein), nach der jedem Element M e SR genau ein Element N e 31 und jedem Element N mindestens ein Element M entspricht. Wir schreiben 3R % auch 90?i, . . . -> 9i. § 3. Spezielle Eigens haften algebraischer Operationen Zwei wichtige Eigenschaften, welche die Verknüpfung von Elementen einer Menge haben kann, sind 1. die „Vertauschbarkeit" oder „Kommutativität": AB = BA, 2. die „Assoziativität": (AB)C = A(BC), wodurch die Schreibweise ABC eindeutig wird. Die Kommutativität wird bei algebraischen Strukturen in der Regel nicht verlangt; sie würde eine zu starke Einschränkung bedeuten. Dagegen sind die wichtigsten algebraischen Strukturen assoziativ. l ) Die Summe stimmt dann mit der Vereinigungsmenge überein, die Summenschreibweise wird aber besonders bei paarweise elementfremden Teilmengen gerne vorgezogen.

§3. Spezielle Eigenschaften algebraischer Operationen

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Eine algebraische Struktur mit einer Operation, die für alle Elemente assoziativ ist, heißt „Halbgruppe" Beispiel einer kommutativen Halbgruppe ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Multiplikation als Operation, einer nichtkommutativen Halbgruppe die Menge der Matrizen (QJ), (JQ), wobei a, i ganze positive Zahlen sind, mit der Matrizenmultiplikation1) als Operation. Wir führen noch weitere Eigenschaften an, die algebraischen Operationen zukommen können oder nicht: 3. Die eindeutige „Umkehrbarkeit", d. h. die Existenz einer „inversen Operation", und zwar einer „rechtsinversen", wenn zu irgend 2 (auch gleichen) Elementen A, B der Struktur stets ein und nur ein Element X der Struktur existiert, so daß AX = B ist, und einer „linksinversen", wenn ein und nur ein Element Y der Struktur existiert, so daß YA = B ist. Beispiel: Die Menge der ganzen Zahlen mit der Subtraktion als Operation bildet eine eindeutig umkehrbare algebraische Struktur, die aber weder kommutativ noch assoziativ ist. Etwa für A = 2, B = —5 ist X = 7, Y = —3. Aufgabe 1. Man suche ein Beispiel einer algebraischen Struktur, bei der nur linksinverse Operationen durchweg existieren. 4. Die Existenz eines „Einselementes" (einer „Einheit", eines „neutralen Elementes") in der Struktur 3K, und zwar einer „Rechtseinheit", d. h. eines Elementes E, so daß AE=A für alle AeW und einer „Linkseinheit", d.h. eines Elementes E', so daß E'A = A für alle A e 3K. Beispiel: Die Menge der von Null verschiedenen ganzen Zahlen mit der Operation AB = —A • B bildet eine kommutative Halbgruppe mit Einselement —1, die aber nicht umkehrbar ist. Es ist —(—1)A = A und —A • (—1) = A. Aufgabe 2. Man suche ein Beispiel einer algebraischen Struktur mit Rechtseinheit, aber ohne Linkseinheit. ') Siehe etwa S. Valentiner, Vektoren und Matrizen, 8. Aufl., 1958, Samml. Göschen Nr. 354/364a.

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I. Einführung in den Gruppenbegriff

5. Unter der Voraussetzung der Existenz eines Einselementes E kann es zu jedem Element A ein „inverses E l e m e n t " oder ein „Inverses" Ageben, so daß A^A = E „Linksinverses") und AA~X — E (A-1 „Rechtsinverses") ist. Diese Eigenschaft 5 folgt aus den Eigenschaften 3 und 4. § 4. Beispiele algebraischer Strukturen mit einer Operation 1. a) Die natürlichen Zahlen mit der Addition als Operation ; b) die natürlichen Zahlen mit Multiplikation; c) die ganzen Zahlen mit Addition; d) die ganzen Zahlen mit Multiplikation; e) die rationalen Zahlen mit Addition; f) die rationalen Zahlen mit Multiplikation; g) die rationalen Zahlen ohne Null mit Multiplikation; h) die reellen Zahlen mit Addition; i) die komplexen Zahlen mit Addition; k) die positiven rationalen Zahlen mit Multiplikation; 1) die positiven reellen Zahlen mit Multiplikation. 2. Die 4 Funktionen f^x) — x, f2(x) = 1/x, f3(x) = —x, /4(x) = —ljx mit der Operation f ( f k = fk(fi); die umgekehrte Reihenfolge = /¿f/fc) ergäbe hier dasselbe, vgl. dagegen Beispiel 4. 3. Die 3 Zahlen 1, 2, 3 mit der Verknüpfungsvorschrift: 2 verschiedene Zahlen ergeben die dritte Zahl, gleiche Zahlen diese Zahl. 4. Die Menge aller ganzen Funktionen g(x) einer komplexen Veränderlichen mit der Operation g-ßz = gi{g])1). 5. a) Die n Wurzeln der Gleichung xn = 1, die w t e n Einheitswurzeln, mit der Multiplikation als Operation; b) die 1) läßt sich als Produkt von n — 1 Transpositionen schreiben. Daraus folgt der allgemeinere Satz 26. Jede Permutation von n Ziffern mit r elementfremden, nicht eingliedrigen Zyklen läßt sich als Produkt von n — r Transpositionen schreiben. >) Für Z 1 gilt die Gleichung in jeder Tafel gem&B der fUr sie erklärten Schreibweise.

§17. Permutationen

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Enthalten nämlich die r Zyklen bzw. n2, ... nr Ziffern, so zerfallen sie nach Satz 25 bzw. in nx — 1, n2 — 1, ... nT — 1 Transpositionen. Es ist aber rij — 1 -j—1 + ... + nr — 1 = n — r. Läßt man die eingliedrigen Zyklen weg, so kann also jede Permutation in Transpositionen zerlegt werden. Für die weitere Untersuchung leiten wir einen Hilfssatz ab: Satz 27. Multipliziert man eine Permutation, die in r elementfremde Zyklen zerlegt werden kann, mit einer Transposition aus 2 der w Ziffern, so erhält das Produkt r -(- 1 oder r — 1 elementfremde Zyklen. Es sei nämlich P = ( a . . . av) (b-fi^ ... bp) . . . . Die Transposition, mit der multipliziert werden soll, kann nun aus 2 Ziffern ein und desselben Zyklus oder zweier verschiedener Zyklen bestehen, entweder T — (a^i) oder T' = (a^x) 1 ); dann ergibt sich PT = (a^ ... ai—,} (aiai+1 ... av) ... Zy) ... PT — (a1a2 ... av&x62 ...1^)... Die Zyklenzahl hat sich tatsächlich um 1 vermehrt bzw. vermindert. Satz 28. Die Zerlegungen einer Permutation von n Ziffern in Transpositionen aus je 2 der n Ziffern bestehen entweder durchweg aus einer geraden Anzahl oder durchweg aus einer ungeraden Anzahl von Transpositionen. Zum Beweis denken wir eine Permutation P irgendwie in s Transpositionen zerlegt (1) P= 2VZV-. Ts. Andrerseits läßt sich P in r elementfremde Zyklen zerlegen. Wir multiplizieren nun Gleichung (1) beiderseits immer wieder mit einer Transposition und stellen nach Satz 27 die Zahl der elementfremden Zyklen des Produktes fest: PT,= TlTi '... T„-1 hat r ¿ 1 elementfremde Zyklen, PT,T,-1= T1Ti... hat r ^ 1 i 1 elementfremde Zyklen, 1 )' Daß T mit «i, T' mit a 1( ft, gebildet ist, bedeutet keine Einschränkung, da man jeden Zyklus mit jeder Ziffer beginnen kann.

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Baumgartner, Gruppentheorie

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III. Über endliche Gruppen

P W - i

. . . T ^ E

hat r i 1 i 1 . . . ± 1 elementfremde Zyklen. Unter den s Gliedern + 1 mögen er den Wert — 1, also s — er den Wert + 1 haben; damit ist also E in r — er — — j s -— er = r + s — 2er elementfremde Zyklen zerlegt. Das kann nur die Zerlegung E = (1) (2) . . . (n) sein, es ist also r + s — 2a = n oder s = n — r 2er. Da n und r bei gegebenem P bestimmte Zahlen sind, kann s nur durchweg gerade oder durchweg ungerade sein. Aufgabe 35. Man verfolge den Beweis des Satzes 28 an der Zerlegung P = (1) (234) = (13) (23) (14) (12).

Peimutationen mit gerader Tianspositionenzahl nennt man „gerade", die übrigen „ungerade Permutationen". Satz 29. Es gibt gleichviele gerade und ungerade Permutationen vom Grade n, nämlich n\j2. Einen einfachen Beweis liefert Satz 4, da die sämtlichen Permutationen vom Grade n eine Gruppe bilden (vgl. § 18). Wir multiplizieren jede der n\ Permutationen mit einer und derselben Transposition, z. B. (12) — die in der Form (12) (3) (4) . . . (n) unter den Permutationen vorkommt. — Dadurch erhalten wir wieder genau alle Permutationen, aus den geraden aber sind ungerade, aus den ungeraden gerade geworden. Also können sie nur gleichviele sein. Aufgabe 36. Man zerlege die Permütationen A = i^'ne^on) i 12 3 45678910\ \4ooij

(

8510972643 i ) a,) in elementfremde'Zyklen, b) in Transpositionen. Sind sie gerade oder ungerade? Aufgabe 37. Man berechne die verschiedenen Potenzen der Permutationen in Aufg. 36; welches ist ihre Ordnung? Wie bildet man die rte Potenz eines Zyklus. Aufgabe 38. Welches ist die inverse Permutation zum Zyklus (123 . . . « ) ? Speziell für n = 2? Ist die inverse zu einer geraden Permutation gerade? Aufgabe 39. 2,x und Z 2 seien Zyklen a) elementfremd, b) mit gemeinsamen Ziffern. Ist ZjZ 2 = Z 2 Zj ? § 18. Permutationsgruppen

In den Aufgaben 5 bis 9 wuide bereits die Menge der sämtlichen Permutationen eines festen Giades n betrachtet und ihre Gruppeneigenschaft erkannt. Diese symmetrische

§18. Permutationsgruppen

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ten

Gruppe w Grades wurde mit E oder G^G' e % so ist G' s G31 = iflG. G und G' liegen in derselben Restklasse. Sind umgekehrt G, G' Elemente derselben Restklasse,