Analytische Geometrie [3., neubearb. Aufl. Reprint 2019] 9783111670652, 9783111285979

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S A M M L U N G G Ö S C H E N B A N D 65/65a

ANALYTISCHE GEOMETRIE von

DR. K A R L P E T E R

GROTEMEYER

o. Professor der Mathematik an der Freien Universität Berlin

3 n e u b e a r b e i t e t e Auflage

Mit 73 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. Yormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

BERLIN

1964

© Copyright 1964 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'scbe Verlags« hand lung / J . Guttentag Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J . Trübner / Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten, — Archiv-Nr. 7711648. Satz: Mercedes-Druck, 61, Bruck: Paul Funk, Berlin 30. - Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite Literaturverzeichnis I. Einleitung

6 7

II. Die Vektoralgebra 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Definition der gebundenen und freien Vektoren Die Addition von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Die Subtraktion von Vektoren Beispiele Der Begriff der linearen Abhängigkeit Das innere Produkt (skalares Produkt) Das äußere Produkt (vektorielles Produkt) Das Spatprodukt Das dreifache Vektorprodukt Mehrfache Produkte

7 9 9 10 12 16 17 20 22 24 25

III. Das Koordinatensystem 1. Darstellung der Vektoren durch Zahlentripel 2. Das Rechnen mit Spaltendarstellungen 3. Anwendungen und einfache Beispiele

26 28 30

IV. Geraden und Ebenen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Die Hessesche Normalform Ebene durch zwei sich schneidende Geraden Ebene durch Punkt und Gerade Schnitt von Ebene und Gerade Schnitt zweier Ebenen Das Ebenenbuschel, das Ebenenbündel Winkel zweier Ebenen Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Windschiefe Geraden Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden Das hyperbolische Paraboloid Projektion auf eine Ebene Spiegelung am Punkt, an der Geraden, an der Ebene

32 35 35 36 37 38 40 41 42 44 46 50 51

V. Kugeln 1. 2. 3. 4. 5.

Die Kugelgleichung Schnitt von Gerade und Kugel, Kugeltangenten Die Potenz eines Punktes für die Kugel Der Schnitt zweier Kugeln Die Potenzebene zweier Kugeln, die Potenzgerade

52 53 54 55 58

Inhaltsverzeichnis VI. Der Matrizenkalkül

Seite

1. Definition u n d Multiplikation von Matrizen 2. Die Addition von Matrizen, Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl 3. Die Nullmatrix, die Einheitsmatrix, das Transponieren 4. Determinante einer Matrix, adjungierte Matrix, inverse Matrix 5. Einige Folgerungen 6. Zeilen- und Spaltendarstellungen von Matrizen 7. Abriß über lineare Gleichungen

60 64 65 66 67 68 71

VII. Affine Abbildungen 1. 2. 3. 4.

Die Parallelverschiebung Definition der affinen Abbildung Einfache Eigenschaften der Äff initat Weitere Eigenschaften der Affinität, Determinante der Abbildung, ausgeartete Affinitäten, Scherungsaffinitaten 5. Bestimmung einer Affinität durch Original- u n d Bildpunkte. . . 6. Die Parallelprojektion 7. Die affine Gruppe

74 75 78 79 81 82 83

VIII. Bewegungen 1. Definition und Eigenschaften 2. Der Orthogonalisierungsprozeß, Konstruktion Matrizen 3. E i n f ü h r u n g eines neuen Koordinatensystems 4. Fixelemente von Bewegungen 5. Eigentliche Bewegungen 6. Uneigentliche Bewegungen (Umlegungen) 7. Tabellarische Übersicht 8. Die Gruppe der Bewegungen

orthogonaler

85 87 87 89 92 fi4 96 97

IX. Ähnliche (äquiforme) Abbildungen 1. Definition der ähnlichen Abbildung 2. Einfache Eigenschaften der ahnlichen Abbildung

98 99

X. Die Flächen 2. Ordnung 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Definition der F% Klassifikation und Aufzahlung der F t Kurze Beschreibung der Fa Schnitt von Gerade u n d Quadrik, Tangentialebene, Doppelpunkt Diametralebenen (Durchmesserebenen) einer Quadrik Mittelpunkte und'Mittelpunktsquadriken Die Hauptachsentransformation Das charakteristische Polynom Eigenwerte und Eigenvektoren D u r c h f u h r u n g der Hauptachsentransformation Beispiele Der B a n g orthogonal äquivalenter Matrizen Die Diskriminante Kennzeichnung der Quadriken durch Invarianten

100 101 105 110 112 113 115 116 118 120 122 124 125 126

5

Inhaltsverzeichnis

Seite 15. Spezielle Quadrikenklassen; Diametralebenengesamtheit Quadrik 16. Die Richtkegel u n d der Asymptotenkegel einer Quadrik 17. Ebene Schnitte einer Quadrik 18. Die Kreisschnittebenen einer Quadrik 19. Das System konzyklischer Quadriken 20. Geschichtliches über die Quadriken

einer

134 136 138 143 151 152

X I . E i n f ü h r u n g i n die P r o j e k t i v e Geometrie des R a u m e s 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Homogene P u n k t - u n d Ebenenkoordinaten, der projektive R a u m Das Dualitätsprinzip Eollineationen, Korrelationen Die Projektive Geometrie, einfache Invarianten Der H a u p t s a t z der Projektiven Geometrie Die linearen Gebilde des P 8 u n d projektive Koordinaten derselben Einstufige Gebilde, das Doppel Verhältnis Weitere Eigenschaften des Doppelverhältnisses; harmonische Punktepaare 9. Involutionen

155 158 162 163 165 167 168 173 175

X I I . B e h a n d l u n g der Q u a d r i k e n i m R a h m e n der P r o j e k t i v e n Geometrie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Flächen zweiter Ordnung und Flächen zweiter Klasse . . . Das singulare Gebilde einer Ft bzw. F1-, der R a n g Tangente, Berührungsebene, Berührungspunkt Konjugierte Elemente in bezug auf ein Quadratisches Gebilde . Pol und Polarebene Reziproke Polaren Die projektive Erzeugung von Quadriken nach STAUDT . . . Die projektive Erzeugung von Quadriken nach S T E I N E R . . Die projektive Erzeugung von Quadriken nach MAGNUS . . . . Die projektive Erzeugung von Quadriken nach S E Y D E W I T Z . . Der Trägheitssatz f ü r Quadratische Formen . Die projektive Einteilung der Ft bzw. F%

X I I I . Ergänzungen 1. Vektorräume > 2. Lineare Abbildungen u n d Matrizen 3. Dualer R a u m , inneres P r o d u k t 4. Tensorprodukt, äußere P r o d u k t e 5. Normierte Vektorraume 6. K L E I N s c h e Räume. Erlanger P r o g r a m m

N a m e n - u n d Sachverzeichnis

177 177 179 182 184 186 187 189 192 193 195 196

200 200 204 207 208 211 212

215

6

Literaturverzeichnis Das folgende Verzeichnis gibt nur eine Auswahl deutschsprachiger Lehrbücher der Analytischen Geometrie. 1. Ludwig Bieberbach, Einführung in die Analytische Geometrie, 4. Aufl., Bielefeld 1950. 2. Wilhelm Blaschke,Analytische Geometrie, 2. Aufl., Basel 1953. 3. Gerrit Bol, Elemente der Analytischen Geometrie, Teil 1 und Teil 2, Göttingen 1948 und 1949. 4. Lothar H e f f t e r , Lehrbuch der Analytischen Geometrie, Berlin 1933. 5. Lothar H e f f t e r , Grundlagen und analytischer Aufbau der Geometrie, Leipzig 1950. 6. Karl Kommerell, Vorlesungen über Analytische Geometrie der Ebene, des Raumes, 2 Bände, Leipzig 1949. 7. Gerhard Kowalewski, Einführung in die Analytische Geometrie, 4. verbess. Aufl., Berlin 1953. 8. Max Lagally, Vorlesungen über Vektorrechnung, 3. Aufl., Leipzig 1945. 9. Fritz Neiss, Analytische Geometrie, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950. 11. Günter Pickert, Analytische Geometrie, Berlin 1955. 12. Artur Schoenflies und Max Dehn, Einführung in die Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes, 2. Aufl., Berlin 1931. 13. Emanuel Sperner, Einführung in die Analytische Geometrie und Algebra, 2 Bände, Göttingen 1948.

Formelverweise: Es bedeutet beispielsweise VIH. 5. (16): Kapitel VIII, daraus Abschnitt 5 und darin Formel (16). Fehlt die römische Ziffer, so handelt es sich um das laufende Kapitel.

7

I. Einleitung Die Hauptaufgabe der Analytischen Geometrie besteht darin, Methoden und Verfahren anzugeben, mit deren Hilfe man geometrische Aufgaben durch Rechnung lösen kann. Obwohl schon in der Aiitike erste Ansätze in dieser Richtung vorlagen (schon die Ägypter benutzten bei der Landmessung Zahlen zur Festlegung von Punkten; auch A r c h i m e d e s von Syrakus (—287 212) bediente sich rechtwinkliger Koordinaten) und die Geometrie als erste Wissenschaft unter dem Einfluß P i a t o n s (—429 — —348) aromatisiert wurde, konnte die eigentliche Analytische Geometrie erst nach dem weiteren Ausbau der Algebra entstehen 1 ). Diese beginnt daher erst, wenn auch in einer viel primitiveren Auffassung als heute, mit R. D e s c a r t e s (1596—1650) und P. de F e r m a t (1601 bis 1665)2). II. Die Vektoralgebra3) 1. Definition der gebundenen und freien Vektoren Vektoren dienen uns zur Festlegung der gegenseitigen Lage von Punkten. Wir definieren deshalb: Ein Vektor wird, durch ein geordnetes Punktepaar bestimmt, durch seinen Anfangspunkt und seinen Endpunkt. Demgemäß können wir einen Vektor v e r a n s c h a u l i c h e n durch eine gerichtete Strecke E A (Fig. 1). Die in einem Endpunkt befestigten Vektoren heißen g e b u n d e n e Vektoren oder Ortsvektoren. Sieht man von der speziellen Lage im Raum ab, so spricht man von f r e i e n Vektoren oder kurz von Vektoren. Bei freien Vektoren wird also von allem außer Länge und Richtung abgesehen. *) Die systematische geometrische Deutung der einfachsten algebraischen Operationen geht auf F E . VIETE (1540—1603) zuruck. Die Methoden VIETES finden sich heute noch im elementargeometrischen Unterricht der Mittelstufe. •) Hinsichtlich weiterer historischer Bemerkungen sei auf die im Literaturverzeichnis genannten Lehrbucher von W. BLASCHKE und G. BOL verwiesen. ') Die Bezeichnung „Vektor" wurde um 1846 von W. B. HAMILTON (1805 bis 1865) eingeführt. Die Vektorrechnung selbst wurde von H . GRASSMANN (1809 bis 1877) und HAMILTON entwickelt.

8

Die Vektoralgebra

Ein solcher Vektor erscheint daher als Klasse aller gleich langen und gleichgerichteten Strecken. Jede dieser gerichteten Strecken kann zur D a r s t e l l u n g des Vektors Verwendung finden. Zwei

E Fig. 1. Vektor als geordnetes Punktepaar E, A: gebundene Vektoren; drei gleiche (freie) Vektoren

gerichtete Strecken gleicher Länge und Richtung bestimmen denselben Vektor. Zum Gleichheitsbegriff führt also eine gewisse logische Abstraktion. Genauer wollen wir definieren: Zwei Vektoren sind gleich (Zeichen—), wenn sie durch eine Parallelverschiebung auseinander hervorgehen. Wir wollen Vektoren und Ortsvektoren durch kleine Frakturbuchstaben bezeichnen. Die Länge eines Vektors et heißt B e t r a g des Vektors und wird mit | a | bezeichnet. Der Vektor der Länge Null heißt N u l l v e k t o r , wofür man o schreibt. Besitzt ein Vektor die Länge 1, so spricht man von einem E i n heitsvektor. Um den Gegensatz zwischen Vektoren und Zahlen zu betonen, werden die letzteren jetzt auch S k a l a r e genannt. Der Vektor ist ein neues geometrisches Hilfsmittel, das dazu dienen kann, viele physikalische Größen (z. B. Geschwindigkeiten, Kräfte, Feldstärken) zu kennzeichnen, bei denen es nicht genügt, ihre Intensität durch eine einzige Zahl anzugeben, sondern bei denen auch die Angabe ihrer Richtung notwendig ist. In der Geometrie selbst liefert die Vektorrechnung erhebliche Vereinfachungen bei Auffassung und Darstellung der Erkenntnisse.

Die Addition von Vektoren

9

F ü r die Kombination von zwei und mehr Vektoren werden neue Rechenregeln festgesetzt. Da diese mit den gewohnten Rechenregeln für Zahlen gewisse Analogien zeigen, so wollen wir auch die Worte Addition, Subtraktion, Multiplikation und ebenso die Zeichen + , — benutzen. Jedoch erhalten diese Begriffe neue Bedeutung bei den Vektoren bzw. Ortsvektoren. 2. Die Addition von Vektoren Legen wir die beiden Vektoren a und b so aneinander (Fig. 2), daß der Endpunkt von b mit dem Anfangspunkt von o zusammenfällt, dann wird durch den Anfangspunkt von b und den Endpunkt von a der Vektor a + b erklärt. Um die K o m m u t a t i v i t ä t dieser Addition, d. h. um das Gesetz a + b = = b + a nachzuweisen, hat man lediglich die Figur der drei Vektoren a, b, a + b zu ergänzen durch die in Fig. 2 dünn gezeichneten Vektoren a und b. Dann liefert die Figur sofort die Behauptung. Die Gültigkeit des A s s o z i a t i v g e s e t z e s a + (b + c) = (a + b) + c für drei beliebig gewählte Vektoren folgt unmittelbar aus der Figur 3. Auf Grund dieser Regel können wir alle Klammern auflösen.

Fig. 2. Addition von Vektoren, Kommutativität

Fig. 3. Das Assoziativgesetz

3. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Ist a eine positive Zahl 1 ), so versteht man unter a a einen V e k t o r , der die gleiche Richtung wie a besitzt und a-mal so lang ist: | a a | = a | a |. l

) Alle auftretenden Zahlen sollen, wenn nichts anderes gesagt ist, stets r e e l l sein.

10

Die Vektoralgebra

Unter — a wollen wir den Vektor verstehen, der gleiche Länge wie a, aber entgegengesetzte Richtung zu a aufweist: | - a | = |o|. J e t z t können wir auch leicht — a a mit a > 0 erklären, n ä m lich als Vektor, der in die entgegengesetzte Richtung von a weist und den a-fachen Betrag von a besitzt: |— aa | = a | a | . Fig. 4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Offensichtlich gilt f ü r den Nullvektor o stets a 0 = 0 . Ferner gilt f ü r die Zahl 0 stets 0 a = 0. Aus Bequemlichkeit wollen wir auch festsetzen h a = ah. Wir geben die einfachen Rechenregeln f ü r die Multiplikation mit Skalaren an, die man sich leicht an Figuren klar m a c h t : 1.

n (0 + 6)

=

n a + n b,

2.

(n + m) a

=

n a + m a ,

3.

n(m a)

=

(w m) a ,

4.

1 a

=

a.

a = r a - ; ein EinIa I IaI heitsvektor. Man spricht dann auch von einem normierten Vektor. Bemerkung: Ist a =t= 0 ein Vektor, so ist

4. Subtraktion von Vektoren Wie kann man a - b a m einfachsten definieren? Nach 3. wird man sofort schreiben: a — b = a + (— 1) 6 = a + (— b ) . Damit haben wir schon die Subtraktion durch Zurückfiihrung auf die Addition erklärt (vgl. Fig. 5). Die zeichnerische Ausf ü h r u n g erläutert die Figur 6.

Die Subtraktion von Vektoren

Fig. 5. Definition der Subtraktion von Vektoren

11

Fig. 6. Ausfuhrung der Subtraktion

Wir wollen jetzt noch die Frage prüfen, ob die so eingeführte Subtraktion vernünftig ist, d. h. ob die Regel

(0 + b) — 6 = a

Fig. 7.

richtig ist. Um die Gültigkeit dieser Formel einzusehen, braucht man nur die Figur 7 zu betrachten. Bemerkung 1: Die Vektoren bilden gegenüber der Addition eine Gruppe.1) Damit faßt man die folgenden Eigenschaften zusammen. Zunächst ist je zwei Vektoren durch die Addition wieder ein Vektor zugeordnet. Dazu kommt I. die Gültigkeit des Assoziativgesetzes; II. es gibt einen Vektor o (Nullvektor), so daß für jeden Vektor a gilt o + a = a; III. zu jedem Vektor a gibt es den Vektor — a, so daß a + (— a) = o gilt. Da die Addition kommutativ ist, so spricht man auch von einer kommutativen oder abelschen 2 ) Gruppe. Bemerkung 2: Abstrahiert man von der Bedeutung der Größen a, b, c... und fordert nur, daß sie, wie eben beschrieben, eine abelsche Gruppe 58 hinsichtlich der Addition bilden, so wird man unmittelbar auf den Begriff des abstrakten Vektorraumes geführt. Sind a, b, e ... ') Das Fachwort „Gruppe" ist 1830 von E. GALOIS (1811-1832) eingeführt worden. *) Nach N. H. ABEL (1802-1829)

12

Die Vektoralgebra

Elemente eines Körpers K (z. B. rationale Zahlen, reelle Zahlen oder komplexe Zahlen), so hat man zu fordern, daß a a stets wieder ein Element der Gruppe 33 ist. Sind dann noch die Formeln 1., 2., 3., 4. von Nummer 3 ausnahmslos gültig, so heißt Vektorraum über K. 5. Beispiele a) Mittelpunkt einer Strecke. Die Strecke A ß läßt sich durch die Ortsvektoren (bezüglich des Nullpunktes N) a und b ihrer Endpunkte beschreiben. Für den Ortsvektor m des Mittelpunktes findet man aus der Figur 8 sofort m = a + i (b — a) = (a + b). ¿i 2, b) Gerade, gegeben durch Punkt und Richtung. Ist o der Ortsvektor des gegebenen Punktes bezüglich des Nullpunktes N und e. ein Vektor in Richtung der Geraden, so muß sich der Ortsvektor j eines beliebigen Punktes der Geraden (vgl. Fig. 9) darstellen lassen

Fig. 8. Mittelpunkt einer Strecke

m = -i- — a und c — a sicher nicht zueinander parallel, wenn die drei Punkte nicht in einer Geraden liegen. Da b — a und c — a, an a angeheftet, die Ebene „aufspannen", so folgt nach d) die gesuchte Parameterdarstellung: i = a+

t

(i> - a) + r (c - a).

•Ol.

Fig. 13 Einfache Eigenschaft des Parallélogrammes

f) Beweis eines einfachen Satzes über das Parallelogramm. In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Wir wollen diesen Satz beweisen. In der Bezeichnungsweise der Figur 13 lauten die Parameterdarstellungen der beiden Diagonalen: (1) S = i(o + b) und (2) tj = a + t (b - a ) .

Dabei sind j und t) die laufenden Punkte. Da der Schnittpunkt der beiden Diagonalen sowohl auf (1) als auch auf (2) liegt, so gilt und

§ = t0 (a + b),

§ = a + r 0 (b - a)

(1 — - a < b g> und damit (2.) [[a b] [c b]] = b (a c b) - a (b c b). Aus (20 und (22) finden wir die Identität für vier Vektoren: (3) a (b c b) — b (a c b) + c (a b b) — b (a b c) = o. Aus dieser Beziehung ist wieder ersichtlich, daß je vier Vektoren des Raumes stets linear abhängig sind. Sind beispielsweise die drei Vektoren a, b, c linear u n a b hängig, d. h. gilt (a b c) =# 0, so folgt aus (3), daß sich jeder Vektor b des Raumes durch die drei Vektoren a, b, : darstellen läßt: (to s (b B c) (a b c) (a B b) (4 b ) = ( F b 7 ) a + ( a ~ M 6 + ( ä T c ) cIII. Das Koordinatensystem 1. Darstellung der Vektoren durch Zahlentripel Wir wollen jetzt ein k a r t e s i s c h e s (rechtwinkliges) Koordinatensystem im R a u m einführen. Wir wählen zu diesem Zweck drei paarweise aufeinander senkrechte Einheitsvektoren (orthonormiertes Dreibein) e l5 e 2 , e 3 . Dann ist (1) =dik. Dabei b e d e u t e t e t das K r o n e c k e r s y m b o l : _ ( 1 f ü r i = k, ° i k ~ \ 0 f ü r i #= k. Die Gleichung (1) besagt daher die Normiertheit und die paarweise Orthogonalität der drei Vektoren c 1 , e 2 , 63. (Wie man solche Vektoren findet, werden wir später zeigen.) Die drei Vektoren e 1; e 2 , e 3 sollen in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Es ist dann (2) [ei e 2 ] = e 3 ; [e2 e 3 ] = e ^ [e 3 e x ] = e2. Auch diese Gleichungen lassen sich leicht in einer Formel schreiben: (2') [e,- e t ] = e„ Ä

Darstellung der Vektoren durch Zahlentripel

27

Dabei sollen i, k, l aus 1, 2, 3 durch Kingtausch (zyklische Vertauschung) entstehen. Aus = 1 und der ersten Gleichung von (2) erhält man (3) ( e i e2 e3) = 1. Nun sei N ein Punkt des Raumes. Denken wir uns e 1; e2, e3 in diesem Punkt angeheftet, so erhalten wir ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Nullpunkt N. Wie wir am Ende von II. 11. sahen, läßt sich jeder Vektor des Raumes durch drei linear Un- Fig. 26. Das kartesische Koordinatenabhängige darstellen. Da die SYSTEM K 2 + a3 b3. Wir berechnen unter Beachtung der für das innere Produkt gültigen Rechenregeln 3

3

3

3

1=1

lc=1

1=14=1

3

3

= = 27 Zaibk

.

Nach (1) wird daraus 3

(a b} = £

27 a, bk ö = U ci[ 6 ( , i=i fc=i z=i

womit die Behauptung bewiesen ist. d) Das äußere Produkt:

I «i \ / K\ Ist a = I a2 I und b = I b2 I, so gilt [a b] = \aj \ M Beachten wir die Rechenregeln für das äußere Produkt, dann erhalten wir 3

3

3

3

[et b] = [(Zat e„ »„ p, Pa — P d P3 — P i sind dann zwei in der Ebene liegende Vektoren. Nehmen wir einmal an, diese beiden Vektoren seien linear abhängig:

(1)

ß (Pt - Pi) + y fr» - Pi) = o. Dabei ist wegen p 2 4= p l t p 3 4= p x sicher ß 4= 0 und y 4= 0. Also folgt aus (1) ß , p* = pi-^(p2-pi)Danach liegt der Punkt p 3 auf der Geraden durch p x und p 2 . Somit gilt: Liegen die drei verschiedenen Punkte p 1( p 2 , p 3 nicht auf einer Geraden, dann sind die Vektoren p 2 — Pi und p 3 — p t linear unabhängig. Ist nun 5 der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene, so liegt der Vektor je — p x in der Ebene und läßt sich aus den beiden linear unabhängigen Vektoren p 2 — p x und p 3 — p t kombinieren: (2) %=Pi + r1 (p 2 - pO + r 2 (p 3 - PODurchlaufen die Zahlen r x und r 2 unabhängig voneinander die reellen Zahlen, so beschreibt 5 alle Punkte der Ebene. Die Wertepaare 0,0; 1,0; 0,1 für r l r t 2 eingesetzt, liefern die drei gegebenen Punkte p x , p 2 , p 3 . Wir setzen jetzt m

[(*>« - Pl) (p3 ~ PO]

i[(p2-pi)(p3-pi)]r Da die Vektoren p 2 — pu p 3 — pj linear unabhängig sind, so ist [(p2 — p x ) (p3 — pj)] 4= 0. Die innere Multiplikation von w

Die Hessesche Normalform

33

(2) mit dem Vektor e liefert jetzt schon die Hessesche Normalform der Ebene:

(4)

< ( E - h ) e > = 0.

Diese Darstellung der Ebene hängt von der Wahl des Punktes nicht ab. Ist p ein beliebiger anderer Punkt der Ebene, d. h. ist = 0, dann folgt daraus

= e>, und nach (4) gilt für die Gleichung der Ebene = 0.

Der Einheitsvektor e heißt S t e l l u n g s v e k t o r der Ebene, weil er auf der Ebene senkrecht steht und somit die Ebenenstellung charakterisiert. Kennt man einen Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht, so besitzt man nach der Normierung desselben den Stellungsvektor der Ebene. Durch den Stellungsvektor und einen beliebigen Punkt der Ebene ist diese nach (4) festgelegt. Umgekehrt kann man natürlich auch aus (4) sofort zur Parameterdarstellung der Ebene zurückkehren. Dazu wähle man zwei linear unabhängige Vektoren a x und o2, die auf e senkrecht stehen: (c^ e> = 0, = 0. Sind Cj und c2 zwei beliebige Vektoren, die mit e linear unabhängig sind: (e cx c2) * 0, dann besitzen die beiden Vektoren ctj = [e Cj] und a 2 = [e c2]diese Eigenschaft und sind ebenfalls linear unabhängig.

Da nach (4) j — pi auch zu e orthogonal ist, so muß sich dieser Vektor aus und a2 linear kombinieren lassen: und

E - *>i = k Oi + k o2

E = i>i + ii! e>. ist die Länge der Projektion des Ortsvektors ^ auf e und damit, abgesehen vom Vorzeichen, die Länge des Lotes von N auf die Ebene (vgl. Fig. 28). Weist e nach derjenigen Seite der Ebene, auf welcher N n i c h t liegt, dann ist ! e> positiv, im anderen Fall dagegen negativ. Man nennt e> auch den Stützabstand der Ebene von N. 3 G r o t e m e y e r : Analytische Geometrie

34

Geraden und Ebenen

Wir wollen jetzt den Abstand eines beliebigen Punktes mit dem Ortsvektor a von der Ebene (4) bestimmen, (a = o ist der eben behandelte Fall.) Zu diesem Zweck fällen wir vom Punkt a das Lot auf die Ebene, f sei der Lotfußpunkt (siehe Fig. 29). Der gesuchte Abstand wird dann durch | o — f |

den mit Vorzeichen versehenen Abstand des Punktes a von der Ebene dar. Dieser Abstand ist positiv, wenn a auf der Seite der Ebene liegt, nach welcher e weist. Liegt a auf der anderen Seite, so erhält der Abstand das negative Zeichen. Setzt man speziell den Nullvektor für a ein, d. h. bestimmt man den Abstand von N zur Ebene, so erhält man — e>, ein Ergebnis, das schon oben hergeleitet wurde. 2. Ebene durch zwei sich schneidende Geraden Sind g t und g2 die Ortsvektoren zweier sich schneidender Geraden, und ist § der Schnittpunkt beider Geraden, dann lassen sich dieselben so darstellen:

0! = s + fj. Uj, g2 = s + i2 u2. Sind beide Geraden verschieden, dann müssen die beiden Vektoren u t und u 2 , die die Richtungen derselben angeben, linear unabhängig sein. Wir können daher die Ebene sofort angeben, die diese beiden Geraden enthält:

s = 3 + Ti Ui + r 2 U2. Dabei sind rlt r 2 die Parameter. Für r 2 = 0 liegt g t und für r1 = 0 die Gerade g2 in der Ebene. Bemerkung: Die Aufstellung der Ebenengleichung in Hessescher Normalform sei dem Leser empfohlen; desgleichen die Angabe der Parameterdarstellung einer Ebene durch zwei parallele Geraden. 3. Ebene durch Punkt und Gerade E s sei g = a + t b eine Gerade und p ein Punkt der n i c h t auf der Geraden liegt, a — p und b sind daher linear unab3

36

Geraden und Ebenen

hängig; denn sonst wäre « ( a — p) + ßb = o mit oc =4=0, ß 4= 0 wegen a — p 4= o, b =}= o. Also würde wegen

p ein Punkt der Geraden sein, was wir aber ausgeschlossen hatten. Die Parameterdarstellung der gesuchten Ebene lautet daher E = p + ty (o - p) + f 2 b. Für = t2 = 0 liegt p und für = 1 die Gerade in der Ebene. 4. Schnitt von Gerade und Ebene

Wir bestimmen jetzt den Schnittpunkt (Durchstoßpunkt) zwischen der Ebene = 0 und der Geraden g = a + t b. Für den Schnittpunkt ä muß gelten = 0 und § = a + t0 b. Den Wert t0 finden wir durch Einsetzen aus = 0, d. h. + t0 = 0. Ist 4= 0, so erhalten wir stets eine Lösung t0 und damit genau einen Schnittpunkt

30. Schnitt von Gerade und Ebene

Ist = 0, dann sind Ebene und Gerade zueinander parallel; denn der Stellungsvektor e der Ebene ist jetzt zu der Geradenrichtung b senkrecht. Gilt = 0, so liegt der Punkt a in der Ebene. Wenn sowohl = 0 als auch = 0 ist, dann werden die obigen Gleichungen für alle t-Werte erfüllt, d. h. die

G e r a d e

U e g t

g a n z

i n

d e r

Ebene. Das erkennt man auch unmittelbar aus der angegebenen geometrischen Bedeutung dieser beiden Gleichungen.

Schnitt zweier Ebenen

37

5. Der Schnitt zweier Ebenen

Es seien zwei Ebenen gegeben: (1) < ( E - a 1 ) w 1 > = 0, (2)

< ( S - a 2 ) u 2 > = 0.

Wir wollen ihren Schnitt ermitteln (vgl. Fig. 31). Sind % und u2 linear abhängig, d. h. ist [ux u 2 ] = o, so sind beide Ebenen parallel. Gilt + d, = 0 ; E2 (s) == = 0, d. h. E% (s) = + d2 = 0.

Das Ebenenbüschel, das Ebenenbündel

39

Wir bilden dann den Ausdruck Ex (j) + XE2 (j) = 0, von dem man leicht erkennt, daß dieser eine Ebene darstellt: (1)

E1 (E) + XE2 (i)=

+ d1 + Xd2 = 0.

Diese Ebene geht durch die Schnittgerade von E1 = 0 und E2 = 0; denn setzt man die Ortsvektoren der Punkte dieser Geraden ein, so ist wegen E t = 0 und E 2 = 0 auch E1 + X E2 = 0 für alle diese Punkte. Sind E1 = 0 und E2 = 0 zwei parallele Ebenen, so ist auch Ex + X Et = 0 eine dazu parallele Ebene; denn dann besitzen Uj, u 2 und u x + X parallele Richtungen. Für jedes X erhalten wir eine andere Ebene, und alle diese Ebenen gehen durch dieselbe Gerade. Man nennt daher diese Gesamtheit von oo 1 vielen Ebenen ein E b e n e n b ü s c h e l . Die gemeinsame Gerade aller dieser Ebenen heißt T r ä g e r des Büschels.

Fig. 32. Ebenenbüschel

Wir wollen uns jetzt überzeugen, daß jede Ebene, die durch die Trägergerade des Büschels geht, sich in der Form (1) schreiben läßt, d. h. daß diese Ebene zum Büschel gehört. Dazu betrachte man einen beliebigen Punkt q der gegebenen Ebene, welcher nicht auf der Trägergeraden des Büschels liegt. Die Ebene Et (j) + X Ez (j) = 0 geht sicher dann durch q, wenn E 1 (q) + AE 1 (q) = 0 gilt. Da q nicht in beiden Ebenen Ei = 0 und E2 = 0 liegt, so läßt sich aus dieser Gleichung sofort X bestimmen. (Man hat evtl. den Wert X — oo zuzulassen.)

40

Geraden und Ebenen

Da zu jedem Wert von X eine eindeutig bestimmte Ebene des Büschels gehört, und auch umgekehrt zu jeder Ebene des Büschels ein eindeutig festgelegter Wert von X gehört, so besteht zwischen den Werten von X (einschließlich X = oo) und den Ebenen des Büschels eine eindeutige Beziehung. Es sei (2) g= a+ tb eine beliebige Gerade. Dann läßt sich jede Ebene, die diese Gerade enthält, in der Form (3) = 0 mit = 0 darstellen. Läßt man jetzt den Vektor e variieren, wobei nur = 0 erfüllt sein soll, dann stellt (3) alle Ebenen des Büschels mit der Geraden (2) als Träger dar. Bemerkung: Ist etwa p ein beliebiger Punkt, der nicht auf (2) liegt, dann stellt = 0 die Ebene des Büschels dar, welche denPunkt p enthält. Es ist [(p — o) b] 4= o, weil p kein Punkt der Geraden (2) ist. In 3. wurde diese Ebene in Parameterdarstellung angegeben. Die Gesamtheit aller Ebenen durch einen Punkt heißt E b e n e n b ü n d e l . Ist a ein Punkt, so stellt bei beliebiger Wahl von e = 0 ein solches B ü n d e l von Ebenen dar. Man nennt hier den gemeinsamen Punkt a aller Ebenen den T r ä g e r des Bündels. Die Begriffe des Büschels und des Bündels von Ebenen werden uns in ihrer vollen Bedeutung erst in der Projektiven Geometrie bekannt werden. 7. Winkel zweier Ebenen

Flg. 33. Winkel zweier Ebenen

Es seien = 0, = 0 die Gleichungen zweier sich schneidender Ebenen. Der Winkel zwischen den (normierten) Stellungsvektoren Uj und u 2 ist dann der Winkel, den die beiden Ebenen miteinander bilden (siehe

41

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Fig. 33).

Bezeichnen

wir diesen

c o s « = , s i n « =

Winkel

mit oc, so gilt

1 [ U 1 U 2 ] |.

Durch beide Gleichungen ist ot bis auf Vielfache von j i bestimmt. 8. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Es sei g = a + t b eine Gerade und p ein Punkt des Raumes. Wir wollen den Abstand des letzteren von der Geraden bestimmen. Bezeichnet man mit b den Vektor des kürzesten Abstandes, dann muß für diesen Vektor gelten (vgl. Fig. 34): 1. = 0, d. h. b ist senkrecht zur Geraden. 2. b = a + t0 b — p, d. h. b ist Verbindungsvektor des Punktes p mit einem Punkt der Geraden. Aus t„ =

1.

folgt

nun

sofort

die

Fig. 34. Abstand Punkt-Gerade

Bestimmung

von

t0:

-. Nach 2. haben wir damit schon b bestimmt:

Der Abstand des Punktes p von der Geraden wird durch | b | geliefert. Man findet

Damit ist die Aufgabe vollständig gelöst. Bemerkung: Der (kürzeste) Abstand des Punktes p von der Geraden g = a + t b ist definiert durch den kleinsten Wert, den | p — g | für beliebiges t annehmen kann. Die Differentialrechnung lehrt, daß dazvj notwendig

42

Geraden und Ebenen

1 1 ~ 8 1 = | }/ ' + p = °
• D u r c ^ Einsetzen der Darstellung von ! nach (6) erhalten wir ((Oi ~

b2)

Ist d = 0, so schneiden sich die Geraden. Da die Voraussetzung [6i 62] 4= o in der Bedingung ((ax — a2) 6i 62) 4= 0 enthalten ist, so gilt: Die Geraden j = a t + t und t) = a 2 + r b2 sind genau dann windschief, wenn ( K — o2) i>x 62) 4= 0 ist. Jetzt wollen wir noch die Parameterwerte t0 und r0 und damit die Lage der kürzesten Verbindung bestimmen. Aus (5) und (6) folgt (8)

d

= ( a i — aa) + 'o 6i — r 0 b2.

Nach äußerer Multiplikation mit bx findet man

d

riwr = [bi K ~ °2)] ~To [bi b2]-

Ein ganz analoges Ergebnis liefert die äußere Multiplikation mit b 2 : d

' T W W = [ ( a i ~ ° 2 ) b 2 ] + to [ b l b2] Jetzt wird jede der beiden Gleichungen skalar mit [b t b2] multipliziert. Dann verschwinden beide linken Seiten der Gleichungen und die gesuchten Parameterwerte lassen sich direkt angeben _ (6i (Qi — a8) [f>i b2]) _ (b2 (flt — a2) [b t b2]) T ° ' h •

44

Geraden und Ebenen

Damit haben wir die Aufgabe vollständig gelöst; denn durch Angabe von t0 und r 0 ist auch die Lage der kürzesten Verbindung beider Geraden bestimmt. Bemerkung: Die notwendigen Bedingungen (3) und (4) für den Vektor des kürzesten Abstandes lassen sich auch ohne Anleihe an die Anschauung direkt mit Hilfe der Differentialrechnung finden. 10. Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden Wir wenden uns jetzt einer anderen Fragestellung zu. Es seien gx = Oj + t bx und g2 = a 2 + t b2 zwei windschiefe Geraden, p sei ein Punkt, der nicht auf den Geraden liegt. Gibt es dann eine Gerade durch den Punkt p, welche die Gerade gj und die Gerade g2 trifft ? Die Lösung dieser Aufgabe läßt sich leicht angeben. Man lege durch p und gi sowie durch p und g2 je eine Ebene (vgl. 1%. 36). Diese beiden Ebenen schneiden sich in der gesuchten Geraden. Aus dieser einfachen geometrischen Überlegung folgt auch sofort die Eindeutigkeit der Lösung. Wir führen jetzt diese Überlegung analytisch durch.

Fig. 36. Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden

Da p nicht auf der Geraden gx liegt, so sind p — a x und bi linear unabhängig (vgl. 2.). Also ist [(p — dj) bx] 4= o und entsprechend auch [(p — a2) b2] 4= o. Wir setzen jetzt [fr - Ol) I [(P — fli) f>i] I

, „ _ [(P - q 2 ) b2] 2 ~ l [ ( p - a 2 ) B,]|-

Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden

45

Dann lauten die Gleichungen der beiden Ebenen durch p und gx sowie durch p und g 2 : (1) = 0, = 0. Nach 5. läßt sich sofort die Schnittgerade dieser Ebenen angeben : (2) S = p + a[u1u2]. Bemerkung 1: Es ist stets [u x u 2 ] * o; denn aus der linearen Abhängigkeit der beiden Vektoren Uj und u 2 folgt nach (1) das Zusammenfallen beider Ebenen. Dann können aber die Geraden gx und g2 nicht windschief sein, da sie einer Ebene angehören. Unter den gemachten Voraussetzungen gibt es also stete die Schnittgerade (2). Wir wollen jetzt die Punkte der Geraden (2) ermitteln, in welchen die Gerade gx und die Gerade g 2 getroffen werden. Dazu brauchen wir nur den Schnittpunkt von g, mit der Ebene = 0 bzw. den Schnittpunkt von g 2 mit der Ebene = 0 zu bestimmen (siehe Fig. 36). Für die Parameterwerte t0 bzw. r0 dieser Schnittpunkte findet man (vgl. 4.): i u2> i„ + = 0 bzw. 2 r 0 + = 0 bzw. = 0 ist. Aus = 0 folgt, falls | » - *>«)) [(Pl - P2) (P3 - P4)] Daraus erkennt man, daß der Abstand aller Punkte der Geraden t = const, von der Ebene gleich groß ist; die Gerade muß also zur Ebene parallel sein. Es sind daher insgesamt alle Erzeugenden der einen Schar des Paraboloids zu der Ebene (5) parallel. Da alle diese Geraden die beiden Geraden s = 0 (Gerade durch und p4) und s = 1 (Gerade durch p2 und p,) der anderen Schar von Erzeugenden treffen müssen, so gilt:

Fig. 40. Erzeugung eines hyperbolischen Das hyperbolische Paraboloid Paraboloids durch eine Gerade, die sich parallel zu einer Ebene bewegt und sich karm von einer Geraden erzeugt dabei auf zwei windschiefe Geraden stützt werden, die sich parallel zu

einer Ebene bewegt und sich dabei auf zwei windschiefe stützt. (Vgl. Fig. 40.)

Geraden

12. Projektion auf eine Ebene Für manche Probleme ist es nützlich, die Parallelprojektion auf eine Ebene zu kennen. Die Projektionsrichtung sei durch den Vektor I gegeben. = 0 sei die Darstellung der Ebene, auf die Die Vektoren pi — und tu — Üi sind linear unabhängig, weil die Punkte Pi. Pa. Pe> t>i ein w i n d s c h i e f e s Vieraeit bilden.

Projektion auf eine Ebene

51

wir projizieren wollen. Bezeichnet man mit j den Bildpunkt des Punktes j , so gilt (siehe Fig. 41) i = i + I. und da f auch in der Ebene liegt, so wird = 0. Aus beiden Gleichungen finden wir den Wert von ¡i: + n = 0. Wir sehen, daß wir nur im Falle =t= 0 eine eindeutige Projektion des Punktes j erhalten; d.h. die Projektionsrichtung I darf nicht parallel zur Ebene sein. Für die Abbildung gilt also im Falle * 0:

13. Spiegelung am Punkt, an der Geraden, an der Ebene a) Spiegelung am Punkt a: j* sei der Spiegelpunkt bezüglich a des Punktes j . Es gilt dann (siehe Fig. 42): (a - S) = (i* - a) und daher l* = 2 a - j . Damit ist schon die Spiegelung bestimmt. b) Spiegelung an der Geraden g = a + t b: Wir fällen von j das Lot auf die Gerade, j sei der Fußpunkt desselben. Es ist dann (8 - Ö = (S* - 5). d. h. i* = 2 4 - S . Jetzt braucht nur noch j bestimmt zu werden. Zunächst haben wir j = a + i 0 b. Aus der Bedingung der Orthogonalität von b und 3 — je finden wir = 0. Daher ergibt sich t a aus

52

Geraden und Ebenen

> + t0 = 0, womit der Punkt j bestimmt ist. Die Abbildung lautet daher

c) Spiegelung an der Ebene = 0, | e 1 = 1. Wir fällen auch hier das Lot von j auf die Ebene, f sei der Fußpunkt (siehe Fig. 44). Dann gilt für den Spiegelpunkt j* von E (f — j) = (E* — f), d.h. ¡* = 2 f - t .

Zur Bestimmung des Punktes f haben wir die Gleichungen f= E+ r e und = 0. Woraus + r — 0 folgt. Die Spiegelung lautet daher t = j + 2 - E) e> e. Y. Kugeln 1. Die Kugelgleichung Die Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte E, die von einem festen Punkt m, dem Mittelpunkt, eine feste Entfernung r besitzen. Die Gleichung der Kugel lautet demnach (1) - r 2 = 0 oder ausmultipliziert (2) - 2 + - r 2 = 0. Wird jetzt eine Gleichung der Form (3) + 2 + a = 0

Die Kugelgleichung

53

vorgelegt, so liefert der Vergleich mit (2) die Beziehungen: m = — a, a = — r2, d. h. r 2 = — a. Nur im Fall — a > 0 liegt daher eine reelle Kugel vor. Ist — a = 0, so spricht man von einer P u n k t - oder Nullkugel; denn sie enthält nur einen einzigen reellen Punkt. Für — a < 0 nennt man die Kugel n u l l t e i l i g . Eine solche Kugel besitzt keinen reellen Punkt. 2. Schnitt von Gerade und Kugel, Kugeltangenten

Es soll jetzt der Schnitt der Kugel — r 2 = 0 mit der Geraden j = p + t u bestimmt werden. Für die gemeinsamen Punkte muß dann gelten: (4) — r 2 + 21 + i2 = 0. Da 4=_0 ist, so gibt es stets zwei Schnittpunkte, deren Parameterwerte auf der Geraden sieh aus dieser quadratischen Gleichung berechnen lassen. Sind die Wurzeln dieser Gleichung reell, dann gilt auch dasselbe für die Schnittpunkte. Sind — r 2 = 0. Die quadratische Gleichung (4) erhält jetzt die Form t { t + 2 } = 0. Die Wurzel t = 0 derselben liefert den Punkt p. Soll auch der andere Schnittpunkt der Geraden mit der Kugel in den Punkt p fallen, so muß (5) = 0

54

Kugeln

sein. Eine solche Gerade, für welche beide Schnittpunkte mit der Kugel zusammenfallen, wollen wir T a n g e n t e nennen. (5) gibt daher die Bedingung für die Gerade (6)

S = P + iu

an, damit diese im Punkte p Tangente an die Kugel ist. Aus (5) und (6) folgt jetzt (7) = 0 für alle Punkte j die auf einer T a n g e n t e der Kugel in p liegen. (7) stellt aber die Gleichung einer Ebene durch den Punkt p der Kugel dar. Der Stellungsvektor dieser Ebene ist , „ _ , , (p — m) (p — tn) durch | p _ ^ = — - — gegeben. Diese T a n g e n t e n e b e n e in p ist also der geometrische Ort aller Tangenten in p an die Kugel. Bemerkung: Der Leser mache sich die analytisch gewonnene Tangentenbedingung (5) sowie die Lage der Tangentialebene geometrisch klar. 3. Die Potenz eines Punktes für die Kugel1) Wir legen durch einen beliebig gewählten Punkt p eine Gerade, die die Kugel reell treffen möge: (8)

0

= p + t e, | e | = 1.

(i mißt wegen | e | = 1 die Länge auf der Geraden.) Schneiden wir diese Gerade mit der Kugel (1), dann erhalten wir wie in 2. (9)

- r 2 + 2 t + i2 = 0.

Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sollen mit tt, t2 bezeichnet werden. Ihre geometrische Bedeutung als Länge von p bis zu den Schnittpunkten der Geraden mit der Kugel ist aus der Figur 46 ersichtlich. Auf Grund des Wurzelsatzes von V i e t a erhalten wir nach (9) (10)

• t2 = - r 2 .

') Diese Bezeichmmesweise stammt von J. STEINER (1786-1863).

Die Potenz eines Punktes für die Kugel

55

Dieses Produkt hängt nur von der Lage des Punktes p hingegen n i c h t vom Vektor e, d. h. von der Richtung der Geraden ab1). Man nennt diesen Ausdruck (11) P (p, K) = - r2 die Potenz

des Punktes p für die Kugel K=

- r2 = 0.

Liegt p innerhalb der Kugel, so gilt offenbar P(p, K) < 0. Ist p jedoch außerhalb gelegen, so gilt P (p, K) > 0. Wählt man die Gerade durch p so, daß sie Tangente ist, d. h. ist ¿i = ) Nach A. CAYLEY (1821-1895). Doppelindizes treten schon bei G. W. LEIBNIZ (1646-1716) auf.

Definition und Multiplikation von Matrizen

61

Zahl aik steht innerhalb der Matrix 9t. Wir schreiben manchmal auch 2t = (aik). Zwei Matrizen 91 und © nennen wir gleich: 91 = 93, wenn leide Tafeln übereinstimmen. Wir wollen uns jetzt nach einer zweckmäßigen Verknüpfung, die wir Multiplikation nennen wollen, von zwei Matrizen 91 und 93 umsehen. Dazu betrachten wir die beiden „Transformationsformeln" 3

xi = E ais ys, (i = 1, 2 , 3 ) 8= 1

(1)

und (2)

y . =

E

h

zk,

k

(8 =

1,2,3).

fc = i Wie lautet jetzt der Übergang von den z zu den x? Wir erhalten aus (1) und (2) sofort 3

3

Xi = E ais E bskzk= 8=1 k=1 fc

3

/

3

\

E E aiS J5 J zk= = l \ S =1 I 3

Setzen wir auf diese Weise, d.h. durch E aislsk

3

E cik zk . k=1 = ctk die

beiden Matrizen 91 und 93 zusammen, so erhalten wir eine neue Matrix E, die wir das Produkt von 91 und 93 nennen wollen: (3)

© = 9t 93.

Ausgeschrieben erhalten wir /an a12 a13\ /6n b12 bn\ (-Ml) («21 «22 «23J I hl &22&2S = ^31 «32 «33' '^31 ^32 ^33/ 3

E

s=

3

1

S= 1 3

als bs2 ais hi

3

E als hs: s=1 3

E:

8=1 3

25

"53

E a3s bsl E a3s ts2 E a3s &sl ¡=1 3=1 S=1

62

Der Matrizenkalkül

Die Matrizenmultiplikation ist also dadurch auszuführen, daß man die Zeilen von 9t mit den Spalten von SB im Sinne des inneren Produktes multipliziert. Man erhält beispielsweise die zweite Zeile von © = 9t 93 dadurch, daß man sämtliche Spalten von S3 mit der zweiten Zeile von 91 im genannten Sinn multipliziert. Bei der Ausführung der Matrizenmultiplikation erkennt man, daß es gar nicht darauf ankommt, daß 91 und 93 quadratische Matrizen waren, sondern daß lediglich die Spaltemahl von 9t mit der Zeilenzahl von © übereinstimmt.

Ist das nämlich der

Fall, dann lassen sich die Zeilen von 9t mit den Spalten von 83 im Sinne des inneren Produktes (siehe III. 2. c) multiplizieren. Spezielle Matrizen sind die S p a l t e n , die wir schon in III. zur Darstellung von Vektoren bezüglich einer Basis verwendet hatten:

Die Formeln (1) und (2) lassen sich jetzt in Matrizenschreibweise recht einfach schreiben:

n

Ausgeschrieben gilt nämlich

Ebenso erhalten wir für (2) (2')

¡an z/! + a12 i/2 + a13 y3\

I »21 Vi + «22 Vi + «23 2/3 \«31 Vi + «32 i/2 + «33 1 jJ

Definition und Multiplikation von Matrizen

63

und können jetzt den Übergang von j zu j nach (1') und (2') so schreiben: i = 81 » j. Läßt sich auch das innere Produkt zweier Vektoren und b = I &21 als Matrizenprodukt schreiben ? \bj

Zunächst kann man unmittelbar die beiden Spalten n i c h t miteinander multiplizieren, weil die Spaltenzahl von a nicht mit der Zeilenzahl von 6 übereinstimmt. Man führt daher die Zeile a' = (a 1 a 2 a 3 ) ein. Man nennt a' die t r a n s p o n i e r t e Matrix von a. (a' soll natürlich denselben Vektor wie a darstellen. Der Strich soll nur die unterschiedliche Schreibweise angeben: einmal als Spalte und dann als Zeile geschrieben.) Jetzt ist die Multiplikation möglich: ß i\ a' b = (itj a2 a3) li2) = (ax \ + a2 b2 + a3 l3).

W

Wir erhalten als Produkt eine Matrix, bestehend aus einer Zeile und einer Spalte. V e r a b r e d e n wir jetzt, bei Matrizen, die aus einer Zeile und einer Spalte, d. h. aus einem Element bestehen, die Matrizenklammern wegzulassen (wir identifizieren also das Element einer einspaltigen und einzeiligen Matrix mit dieser Matrix), dann können wir schreiben (M3) a' b = . Natürlich ist auch V a = a' b = , wie man sofort durch Nachrechnen bestätigen kann. Manchmal ist es zweckmäßig, sich die Matrizen selbst aus Zeilen- oder Spaltenvektoren aufgebaut zu denken: 91 = J a 2 ' | Oder

k'J

mit

a,' = (aa ai2 ai3), i = 1,2, 3.

83 = { 6i 62 b 3 } mit l t =

, k = 1, 2, 3.

64

Der Matrizenkalkül

In dieser Schreibweise läßt sich leicht das Produkt 8133 berechnen : raA /Oi' 61 Oi' 62 a / b3' (M 4 ) 9t 33 = a 2 ' l { bx b2 b3 } = o 2 ' bx a 2 ' b2 a 2 ' *>„ lo 3 ') W & i a 3 ' b 2 a 3 ' b3, Es soll jetzt eine einfache aber wichtige Eigenschaft der Matrizenmultiplikation bewiesen werden: Für drei Matrizen 91, 93, (£, die miteinander werden können, gilt stets das Assoziativgesetz: (M 5 )

9t (33

multipliziert

= (91 33) , nj3]. [Ir, tu,], [Wjrt)a]verschwinden, so Ist 3E keine Nullmatrix

Zeilen- und Spaltendarstellungen von Matrizen

71

Bemerkung 2: Sind a und b zwei (Spalten)Vektoren, dann liefert (M3) mit a ' b das innere Produkt dieser beiden als Spalten dargestellten Vektoren. Weil a ' b eine Zahl sein soll (einzeilige und einspaltige Matrix), so ist, wie schon früher bemerkt, nach (M7) a' b = ( a ' b)' = V a. Man beachte aber, daß a b' eine d r e i r e i h i g e quadratische Matrix darstellt! (Die Anzahl der Zeilen von b' stimmt mit der Anzahl der Spalten von a überein. Daher läßt sich dieses Produkt bilden.) Derartige Matrizen, die manchmal auch Dyaden genannt werden, lassen sich häufig mit Vorteil verwenden: So ist beispielsweise a = a (b' c). Wegen der Gültigkeit des assoziativen Gesetzes können wir auch schreiben: . a ( 6 c ) = a (b' c) = (a b') c. Natürlich gilt ebenfalls a = a (c' b) = (a c') b, da b ' c = c' b ist. Hier sei ausdrücklich bemerkt, daß beim Umschreiben eines solchen oder ähnlichen Ausdrucks wie a in Matrizenform unbedingt darauf geachtet werden muß, daß der entstehende Ausdruck ein Matrizenprodukt wird, da sonst das Assoziativgesetz seine Gültigkeit verlieren kannl Würde man etwa im Ausdruck a die Vektoren a b, c durch ihre Spaltendarstellungen ersetzen, so entstände daraus (b' c) a. Das ist kein Matrizenprodukt, da die Spaltenzahl von (b' c) nicht mit der Zeilenzahl von a übereinstimmt; also gilt auch nicht das assoziative Gesetz. U m den Ausdruck doch als Matrizenprodukt zu schreiben, kann man entweder wie oben verfahren, d. h. man schreibt a = a = a (b' c), oder aber wir wählen f ü r a die Zeilendarstellung: a' = (b' c) a ' = b' (c a'). Jetzt liegt tatsächlich ein Matrizenprodukt vor, und wir haben das Assoziativgesetz angewendet. Man beachte den Unterschied: Oben hatten wir den Vektor a als Spalte und hier haben wir ihn als Zeile geschrieben. 7. Abriß über lineare Gleichungen Es sei 91 eine dreireihige quadratische Matrix. Wir wollen jetzt die Gesamtheit aller Lösungsvektoren der homogenen Gleichung (1)

91 J = o

72

Der Matrizenkalkül

untersuchen. Diese Gleichung besitzt stets die Lösung j = o. Nun sei | 211 4= 0. Dann existiert 9t _1 . Weiter sei I ein Lösungsvektor von (1): 911 = o. Linksmultiplikation mit 9t - 1 läßt daraus I = o folgen. Im Falle | 211 4= 0 besitzt die homogene Gleichung (1) nur die Nullösung j = o. Damit (1) noch andere Lösungen besitzt, muß also notwendig | 911 = 0 sein. Wir wollen jetzt die Matrix 21 in der Form 91 = jb 2 '| schreiben. (1) nimmt dann die Form an (!') öi' 1 = 0, t>2' £ = 0, b 3 ' E = 0. Versteht man unter dem Rang (21) die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren von 91, so können wir die Fälle unterscheiden: 1. Rang (21) = 3. Dann sind die drei Zeilenvektoren von 91 linear unabhängig, und es ist | 911 4= 0. (Vgl. (M17) und II.9.) Nach dem Gesagten ist E = o die einzige Lösung von (1). 2. Rang (91) = 2. Jetzt sind nur zwei linear unabhängige Zeilenvektoren vorhanden, etwa ü / und ü2'. Es ist daher [Dx D2] 4= o. Aus (1') erkennt man sofort, daß j = A [öj ü 2 ], wo A eine beliebige Zahl ist, die Gesamtheit aller Lösungen darstellt. 3. Rang (21) = 1. Jetzt ist mindestens ein Zeilenvektor, etwa ü/, kein Nullvektor, und die beiden anderen lassen sich durch ihn linear ausdrücken. Nach (1') müssen alle Lösungsvektoren e auf senkrecht stehen. Die Gesamtheit aller dieser Vektoren läßt sich aber mit Hilfe zweier Vektoren und f 2 so darstellen: E = » ' [ f i B 1 ] + A«[f2öi]Dabei sind die Zahlen v, ¡i beliebig, und die Vektoren f x , f 2 brauchen nur so gewählt zu sein, daß (f x f 2 Bj) 4= 0 ist. 4. Rang (91) = 0. Die Matrix 91 ist die Nullmatrix und alle Vektoren e sind Lösungsvektoren von (1) oder (1'). Allgemein gilt der folgende Satz, den wir hier nur für n = 3 vollständig bewiesen haben: Besitzt die n-reihige quadratische Matrix 9t den Rang r, so besitzt die homogene Gleichung 21 £ = o ( j ist jetzt eine n-reihige Spalte) genau n—r linear unabhängige Lösungsspalten. Wir wollen uns jetzt wieder dem Fall » = 3 zuwenden und die inhomogene Gleichung (2) 9t E = b

Abriß über lineare Gleichungen

73

untersuchen. Dabei ist i> ein Spaltenvektor. Zunächst sei | 911 =1= 0. Dann existiert 9l _ 1 und durch Linksmultiplikation mit 9l _ 1 folgt aus (2) sofort die Lösung dieser Gleichung: (3) E=9l-1B. (Diese Auflösung der Gleichung (2) ist nichts anderes als das in Matrizenform geschriebene Verfahren der „Cramerschen Regel".) Wie steht es jetzt mit den Lösungen der Gleichung (2) im Falle | 911 = 0 ? Zur Beantwortung dieser Frage denken wir uns jetzt einmal die Matrix 91 mit Hilfe der Spalten dargestellt (siehe (M15)): 9t = {njjtt>2ft^}-Setzt man noch ; = i s 2 j , dann schreibt sich W

(2)

in der Form (20 tOj X1 + tt>2 x% + tt>3 x3 = b. Aus dieser Darstellung lesen wir sofort ab: Wenn eine Lösung j existiert, so ist b Linearkombination der to lt to2, KV Umgekehrt gibt es auch eine Lösung j , wenn b sich durch die Wj, tt)2, tüs linear darstellen läßt; wenn nämlich hij c1 + tt>2 c2 + W3 e3 = b gilt, so ist die Spalte I c21 eine Lösung von (2') oder (2). Damit haben wir das Ergebnis gefunden: Die inhomogene Gleichung 91 j = b besitzt dann und nur dann Lösungen, wenn sich die Spalte b als Linearkombination der Spalten der Matrix 91 schreiben läßt. Ist | 911 4= 0, so sind die Spalten der Matrix 91 linear unabhängig, und j e d e r Vektor b läßt sich durch diese Spalten darstellen. Daher besitzt (2) oder (2') in diesem Fall stets eine Lösung, was wir auch bereits oben gesehen haben. Wenn | 911 = 0 ist, dann sind die Spalten von 91 linear abhängig, und nicht jeder Vektor b läßt sich in der genannten Weise darstellen. Wir wollen jetzt, nachdem wir ein Kriterium für die Lösbarkeit der Gleichung (2) oder (2') haben, die Gesamtheit aller Lösungen einer solchen Gleichung untersuchen. Nehmen wir etwa an, in j„ hätten wir eine Lösung von (2) gefunden. Ist j eine beliebige andere Lösung dieser Gleichung, so güt 91 j 0 = b, 915 = b und daher 91 ( j — j 0 ) = o. Also ist i — Jo Lösung der zu (2) gehörigen homogenen Gleichung 9t j = o. Zwei Lösungen der inhomogenen Gleichung unterscheiden sich nur um eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.

74

Affine Abbildungen

Stellt daherij die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung 21 3 = o dar, so erhalten wir mit (4) E = Eo + I) die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung 91 j = b. £„ ist dabei eine spezielle (partikuläre) Lösung der inhomogenen Gleichung. Da die homogene Gleichung zu (2) im Fall | 9t | 4= 0 nur die Nullösung besitzt, so stellt (3) in diesem Fall tatsächlich die einzige Lösung dar. VII. Affine Abbildungen Bei der Untersuchung von kongruenten Dreiecken, bei der Behandlung der Ähnlichkeit, bei Fragen der Perspektive, immer handelt es sich um geometrische Figuren, die aufeinander bezogen sind, oder besser gesagt, die aufeinander a b g e b i l d e t sind. Diese Abbildung (in den genannten Beispielen wird sie durch eine „Bewegung", „Ähnlichkeit", „Perspektive" geliefert) überträgt Eigenschaften der einen Figur auf die andere. Wir wollen hier unter einer Abbildung eine Zuordnung verstehen, die jedem P u n k t des Raumes einen Bildpunkt zuordnet. Eine solche Abbildung heißt im Raum eindeutig. Entspricht jedem Bildpunkt nur ein Original, so nennt man die Abbildung eineindeutig. Die Abbildung ist im allgemeinen nicht auf die P u n k t e einer bestimmten Figur beschränkt, wenn dieses nicht ausdrücklich gesagt wird. Es ist bequem, den Original- und Bildraum „aufeinander" zu legen, so daß man von einer Abbildung des Raumes in sich reden kann. Alle oder gewisse Punkte und Figuren des Raumes besitzen dann Bildpunkte und Bildfiguren, die stets wieder im gleichen Raum liegen. 1. Die Parallelverschiebung Ist j der Ortsvektor eines beliebigen Punktes bezüglich des Nullpunktes N, so wollen wir die Abbildung (1)

E —E= E+ c

') Affine Abbildungen treten um 1748 bei L. EULEB (1707 — 1783) auf.

Die Parallelverschiebung

75

betrachten, wo c ein fester Vektor ist. Dem Punkt j wird dadurch der Punkt j = j + c zugeordnet. Wie lautet bei dieser Abbildung der Punkte (Ortsvektoren) das Abbildungsgesetz für Vektoren ? Ein beliebiger Vektor ö ist durch seinen Anfangspunkt t x und seinen Endpunkt t 2 festgelegt: ö r,. Nun ist t x -»• fi = r x + c, r2 r2 = r 2 + c. Daher gilt ö 6 = ö. Vektoren bleiben also bei der Abbildung (1) ungeändert. Aus diesem Grunde nennt man die Abbildung (1) gemäß der Definition eines Vektors (II. 1.) eine Parallelverschiebung. Besitzen j , j , c bezüglich { N ; ei, e2, e 3 } die Spaltendarstellungen lXl\ „ A l CA E = I 11 S = I 11 C = I 02* = a 2 * + T u 2 * mit = * bestimmt werden. Zu diesem Zweck bilden wir die Matrix {u* ti* to*}. Dann gilt {u*ti*w*} = (9t u 9t ti 9t tu} und nach VI. 6. (Mls) (1)

{u* ti* tt>*} = 9t {u ö ro}.

Daher gilt für das Spatprodukt (2)

(u* o* ro*) = I 9t I (u ü tt>).

Ist | 9t | > 0, so stimmt die Orientierung der drei Vektoren u, ti, to mit der von u*, ti*, ro* überein. Ist dagegen | 9t | < 0, so wird durch die Affinität ( A ^ aus jedem Rechtssystem ein

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Affine Abbildungen

Linkssystem und umgekehrt. Für den Inhalt J eines Spates mit den Kantenvektoren it, t>, tt> gilt also bei der affinen Abbildung (^äj) (3)