Einführung in die analytische Geometrie [2., unveränd. Aufl. Reprint 2019] 9783111492407, 9783111126029

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Einführung in d i e

Analytische Geometrie von

Dr. Gerhard Kowalewski o . P r o f e s s o r an der S a c h s . Technischen Hochschule In Dresden

Zweite unveränderte

Auflage

Mit 112 Figuren

Berlin W a - l t e r

und d e

Leipzig

1923

G r u y t e r

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C o .

vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung - J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung - Georg Reimer - Karl J . Trübner - Veit & Comp.

Dem Andenken des Herrn Geheimen Regierungsrats

Prof. Dr. Thome seines hochverehrten Lehrers widmet dieses Buch der Verfasser

Vorwort Dieses Buch ist aus meinen Universitätsvorlesungen in Leipzig, Greifswald und Bonn entstanden. Die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes wird gewöhnlich in einem vierstündigen Semesterkolleg erledigt. Will man nicht ganz in den Elementen stecken bleiben, so muß man an manchen Stellen etwas schneller vorgehen. Da die Zuhörer von der Schule her schon eine ganze Menge analytisch-geometrischer Kenntnisse mitbringen, hat dies keine Gefahr. Eine große Schwierigkeit in der analytischen Geometrie ist die exakte Behandlung des Imaginären. Bei einer ersten Einführung ist es aber vielleicht zu verzeihen, wenn man in dieser Beziehung etwas zu wünschen übrig läßt. Die Hörer können sich diese Dinge in einem besonderen Kolleg über „Geometrie im komplexen Gebiet" aneignen, wie es Herr E. STUDY, der größte Meister der genannten Disziplin, in Bonn zu halten pflegte. Freilich wird eine solche Vorlesung anderswo selten geboten. P r a g , den 15. Oktober 1910.

Gerhard Kowalewski

Inhalt Seite

1. Kapitel: Vorbereitende Betrachtungen über Strecken und Winkel 2. „ Punktkoordinaten 8. „ Geometrie auf der Geraden 4. ,. Die Punkte und Geraden der Ebene 5. Kurven in der Ebene 6. Kurven zweiter Ordnung und Kurven zweiter Klasse vom projektiven Standpunkt 7. „ Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung nach der Affinität und nach der Kongruenz 8. „ Einiges über Kreise 9. „ Punkte, Ebenen und Geraden des Raumes . . . . 10. „ Flächen zweiter Ordnung und Flächen zweiter Klasse Sachregister

1 17 84 58 111 144 214 263 289 848 857

Erstes Kapitel.

Vorbereitende Betrachtungen über Strecken und Winkel. § 1.

Strecken im Räume.

Eine S t r e c k e ist ein endliches Geradenstück, bei dem mau A n f a n g s p u n k t und E n d p u n k t unterscheidet. Der Anfangspunkt sei der Endpunkt B. Dann sprechen wir von der Strecke A D. Der erste Punkt gibt also den Anfangspunkt an, der zweite den Endpunkt. Auch einzelne (und zwar große deutsche) Buchstaben werden wir zur Bezeichnung von Strecken benutzen. In den Figuren markieren wir (wenn dies nütig ist) den Endpunkt durch eine Pfeilspitze (vgl. Fig. 1). A Die Gerade A, D heißt der T r a g e r der Fig. l. Strecke A B. die Entfernung der Punkte .4 und B (gemessen mit der zugrunde gelegten Längeneinheit) die L ä n g e der Strecke A B . Eine Strecke von der Länge 1 wird als E i n h e i t s s t r e c k e , eine Strecke von der Länge 0 als N u l l s t r e c k e bezeichnet. Als •Symbol für eine Nullstrecke benutzt mau die 0.

Strecken mit parallelen Trägern heißen p a r a l l e l . Sie können g l e i c h s i n n i g sein (vgl. Fig. 2) oder g e g e n s i n n i g (vgl. Fig. 3). Zwei Strecken AlBl und A.,B., werden als g l e i c h (oder äquivalent) betrachtet, wenn die eine aus der andern durch eine Parallelverschiebung (Translation) entsteht. Mau schreibt in solchem Falle A, ¿?x = A , B,. KOWAI.EWSKI, A u a l y t i s c b e G o o i u e t r i e

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Addition von Strecken

Gleiche Strecken sind zunächst parallel. Ferner haben sie gleiche Länge. Endlich sind sie gleichsinnig. In Fig. 3 sind A1 Bl und Ä2 B2 zwar parallel und gleich lang, aber nicht gleichsinnig. Der Leser muß sich daran gewöhnen^ daß bei der obigen Definition der Gleichheit eine Strecke allen Parallelverschiebungen unterworfen werden darf. Man kann dadurch ihren Anfangspunkt an eine beliebige Stelle des Raumes bringen und hat immer noch die gleiche Strecke. § 2.

Addition von Strecken.

21 und © seien zwei Strecken. Nehmen wir irgend einen Punkt P, so läßt sich ein zweiter Punkt 0 derart wählen, daß P 0 = 21 ist.

Ferner läßt sich ein dritter Punkt R derart wählen, daß y i ? = 93 ist. Die Strecke P R definieren wir als die S u m m e der Strecken 2i und 93. Diese Summe wird mit 21 + 93 bezeichnet. Es ist also PR=

91 + 93.

Fängt man die Konstruktion mit irgend einem anderen Punkte P' an, d. h. bestimmt man Q' und B' in der Weise, daß P'Q' = 21, ist, so wird offenbar

Q' R' = 93

P'R' = PR.

Es kommt also immer die gleiche Strecke heraus, wie man auch den Ausgangspunkt P wählen mag. Um die Strecke 93 + 91 zu erhalten, muß man nach der obigen Regel zuerst Q so wählen, daß PQ — 93 wird, und dann R so, daß QR= 2t wird. Man sieht aus Fig. 4, daß die Punkte R und R zusammenfallen, daß also (1) ist.

21 + 93 = 93 + 21

Addition von Strecken

3

Nehmen wir noch eine dritte Strecke