Einführung in die analytische Geometrie [3., unveränd. Aufl. Reprint 2019] 9783111492391, 9783111126012

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Einführung in die Analytische Geometrie Von

Dr. Gerhard Kowalewski o. Professor an der Sichtlichen Technischen Hochschule in Dresden

Dritte, unveränderte Aullage Mit i i 2 Figuren

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J. G f i s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g J.Guttentag, Verlagsbuchhandlung— Georg Reimer — K a r l J.TrObner — V e i t & Comp.

Berlin W 10 und Leipzig 1929

Minntdnick Ton F. Ullnuœn O. m. b. H„ Zwickau Si.

Dem Andenken des Herrn Geheimen Regierungsrats

Prof. Dr. Thome seines hochverehrten Lehrers widmet dieses Buch der Verfasser

Vorwort Dieses Buch ist aus meinen Universitätsvorlesungen in Leipzig, Greifswald und Bonn entstanden. Die analytische Geometrie der Ebene und des Ranmes wird gewöhnlich in einem vierstündigen Semesterkolleg erledigt Will man nicht ganz in den Elementen stecken bleiben, so muß man an manchen Stellen etwas schneller vorgehen. Da die Zuhörer von der Schule her schon eine ganze Menge analytisch-geometrischer Kenntnisse mitbringen, hat dies keine Gefahr. Eine große Schwierigkeit in der analytischen Geometrie ist die exakte Behandlung des Imaginären. Bei einer ersten Einführung ist es aber vielleicht zu verzeihen, wenn man in dieser Beziehung etwas zu wünschen übrig läßt Die Hörer können sich diese Dinge in einem besonderen Kolleg iiber „Geometrie im komplexen Gebiet" aneignen, wie es Herr E. STUDY, der größte Meister der genannten Disziplin, in Bonn zu halten pflegte. Freilich wird eine solche Vorlesung anderswo selten geboten. P r a g , den 15. Oktober 1910. Gerhard Kowalewski

Inhalt Seite

1. Kapitel: Vorbereitende Betrachtungen über Strecken und Winkel 2. „ Punktkoordinaten 8. „ Geometrie auf der Geraden 4. „ Die Punkte und Geraden der Ebene 5. „ Kurven in der Ebene 6. „ Kurven zweiter Ordnung und Kurven zweiter Klasse vom projektiven Standpunkt 7. „ Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung nach der Affinitat und nach der Kongruenz 8. „ Einiges über Kreise 9. „ Punkte, Ebenen und Geraden des Baumes . . . . 10. „ Flächen zweiter Ordnung und Flächen zweiter Klasse Sachregister

1 17 84 58 111 144 214 263 289 848 857

Erstes Kapitel.

Vorbereitende Betrachtungen Uber Strecken und Winkel. § 1. Strecken im Räume. Eine S t r e c k e ist ein endliches Geradenstück, bei dem man A n f a n g s p u n k t und E n d p u n k t unterscheidet Der Anfangspunkt sei A, dar Endpunkt B. Dann sprechen wir von der Strecke A B. Der erste Punkt gibt also den Anfangspunkt an, der zweite den Endpunkt Auch einzelne (and zwar große deutsche) Buchstaben werden wir zur Bezeichnung von Strecken benutzen. In den Figuren markieren wir (wenn dies nötig ist) den Endpunkt durch eine Pfeilspitze (vgl. Fig. 1). 4 Die Gerade A, B heißt der T r ä g e r der Fig. l. Strecke A B, die Entfernung der Punkte A und B (gemessen mit der zugrunde gelegten Längeneinheit) die L ä n g e der Strecke AB. Eine Strecke von der Länge 1 wird als E i n h e i t s s t r e c k e , eine Strecke von der Länge 0 als N u l l s t r e c k e bezeichnet Als Symbol für eine Nullstrecke benutzt man die 0.

Fig. 3.

Fig. 2.

Strecken mit parallelen Trägern heißen p a r a l l e l . Sie können g l e i c h s i n n i g sein (vgl. Fig. 2) oder g e g e n s i n n i g (vgl. Fig. 3). Zwei Strecken A1Bl und AtB2 werden als gleich (oder äquivalent) betrachtet, wenn die eine aus der andern durch eine Parallelverschiebung (Translation) entsteht Man schreibt in solchem Falle •A-x Bi = KOWALKWSKI, AntlyÜMhe Geometrie

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3

Addition von Strecken

Gleiche Strecken sind zunächst parallel. Ferner haben sie gleiche Länge. Endlich sind sie gleichsinnig. In Fig. 3 sind A1B1 und ÄiBt zwar parallel und gleich lang, aber nicht gleichsinnig. Der Leser muß sich daran gewöhnen, daß bei der obigen Definition der Gleichheit eine Strecke allen Parallelverschiebungen unterworfen werden darf. Man kann dadurch ihren Anfangspunkt an eine beliebige Stelle de9 Baumes bringen und hat immer noch die gleiche Strecke. § 2. Addition von Strecken. 9 und SB seien zwei Strecken. Nehmen wir irgend einen Punkt P, so läßt sich ein zweiter Punkt Q derart wählen, daß P