Darstellende Geometrie: Band 3 Axonometrie und Perspektive [3. Aufl. Reprint 2019] 9783111709482, 9783111020860

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

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DARSTELLENDE GEOMETRIE in

AXONOMETRIE UND

PERSPEKTIVE

von

DR. WOLFGANG

HAACK

o. Professor an der Technischen Universität Berlin

Dritte Auflage

Mit 100 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r a b n e r - Veit & Comp

BERLIN

1965

© Copyright 1965 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer Karl J . Trübner • Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 7712 65 6. — Druck: Rotaprint AG, Berlin 65. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung

Seite

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I. Axonometrie 2. Einführung; senkrechte Axonometrie 3. Axonometrisches Bild eines Punktes 4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie . . 5. Einfache Beispiele in normierter Axonometrie . . . 6. Zylinder, Kegel, Kugel in normierter Axonometrie . 7. Einfache Durchdringungsaufgaben 8. Schattenkonstruktionen in der A x o n o m e t r i e . . . . 9. Diagonalbeleuchtung 10. Schatten von Kegel und Zylinder in normierter Axonometrie 11. Schiefe Axonometrie; Kavalierperspektive; Satz von Pohlke

10 10 14 18 26 31 36 38 40

II. Grundzüge der ebenen P e r s p e k t i v e 12. Perspektive der Punkte und Geraden; Doppelverhältnis 13. Darstellung einer Ebene 14. Umlegung der Grundebene 15. Meßpunkte; Perspektivität; vollständiges Viereck

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42 45

51 57 61 65

III. Elemente der a n g e w a n d t e n P e r s p e k t i v e . . . . 71 16. Winkel der Sehbreite und Sehhöhe eines Bildes . . 71 17. Teildistanz; Teilfluchtpunkt; Teilmeßpunkt. . . . 75 18. Fluchtmaßstäbe; Fluchtpunktschiene 78 19. Ergänzende Konstruktionshinweise 81 20. Untergelegter Grundriß 82 IV. P e r s p e k t i v e von Kreisen 84 21. Das perspektive Bild des Kreises als Schnitt des Sehkegels 84 22. Geradenscharen, die im perspektiven Bild parallel sind 87 23. Ellipse als perspektives Bild des Kreises 88

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Inhaltsverzeichnis Seite

24. Hyperbel und Parabel als perspektives Bild des Kreises 91 25. Beispiel zur Darstellung des Zylinders 93 26. Weitere Konstruktionen der Perspektive des Kreises 98 27. Konzentrische Kreise 104 28. Perspektive einer Kugel 105 V. S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n in der P e r s p e k t i v e . . . 109 29. Lichtstrahl und Lichtrichtung 110 30. Schlagschatten eines vertikalen Stabes 112 31. Schatten ebenflächiger Körper 115 32. Schatten auf vertikalen Wänden 119 33. Weitere Beispiele 121 Literatur

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Register

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Bild 1. Architektonische Studie von Piero della Francesca

1. Einleitung Zur Klärung der Frage, ob sich räumliche Objekte durch ebene Bilder so darstellen lassen, daß bei der Betrachtung des Bildes möglichst der gleiche Eindruck entsteht wie bei der unmittelbaren Betrachtung des räumlichen Objektes, muß man sich mit dem Vorgang des Sehens beschäftigen. Allerdings können hier nur einige einführende Bemerkungen aufgenommen werden; zum genaueren Studium sei auf Lehrbücher der physiologischen Optik verwiesen. Das menschliche Auge kann man als optisches System mit dem Knotenpunkt K ansehen. Die vom Objekt ausgehenden Lichtstrahlen erzeugen auf der Netzhaut ein Bild des Objektes. Bringt man in das Lichtstrahlenbündel, dessen Zentrum K ist, eine Ebene % und projiziert das Objekt von K zentral auf die Ebene, so wird diese Zentralprojektion des Objektes auf 'l das gleiche geometrische Bild auf der Netzhaut erzeugen wie das räumliche Objekt, vorausgesetzt, daß das Auge seine Stellung bezüglich ^ beibehält. Ist also die Zentralprojektion eines räumlichen Objektes gegeben und betrachtet man diese mit e i n e m r u h e n d e n Auge so, daß sich der Knotenpunkt des Auges im Projektionszentrum befindet, dann entspricht das auf der Netzhaut des Auges entstehende Bild demjenigen des räumlichen Objektes. Die Eigenart der Netzhaut gestattet aber nicht, einen Körper bzw. sein perspektives Bild in der obigen Weise zu

1. Einleitung

Bild 2. Projektion der Netzhaut des Auges

1. Einleitung

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betrachten. Die Gesamtheit der Punkte des wirklichen Raumes, die sich bei einer bestimmten festgehaltenen Lage des Auges gleichzeitig auf der Netzhaut widerspiegeln, bilden des monokulare G e s i c h t s f e l d , dem der lichtempfindliche Teil der Netzhaut entspricht. Im Bild 2 wurde die Netzhaut von K auf eine Kugel mit dem Mittelpunkt K projiziert; diese Kugel wurde schließlich senkrecht auf eine Ebene 7t projiziert, die zum Hauptblickstrahl senkrecht steht, Durch Umlegung der Projektionsebene n erhält man ein Bild des Gesichtsfeldes. Die hier angegebene Grenze für die Lichtempfindlichkeit bezieht sich auf weißes Licht. Im Bild 2 ist das Gesichtsfeld durch eine Reihe von Drehkegeln mit der Spitze K und dem Hauptblickstrahl als Achse in verschiedene Zonen eingeteilt. Nur in der nächsten Umgebung des Punktes A!' (fovea centralis) ist das Auflösungsvermögen der Netzhaut ausreichend, um „scharfes" Sehen zu vermitteln. In den äußeren Zonen können nur unscharfe Reflexe wahrgenommen werden. An der Stelle des Nerveneintritts, die dem schraffierten Gebiet um M" entspricht, ist die Netzhaut nicht sehfähig (sog. blinder Fleck). Die Betrachtung eines Gegenstandes, der nicht im Innern eines Sehkegels von etwa 5° bis 10° liegt, ist mit ruhendem Auge nicht möglich. Durch Drehung des Auges in der Augenhöhle, die man als Drehung um den Punkt 0 ansehen kann, wird das Objekt mit dem Hauptblickstrahl abgetastet. Jede Stellung des Blickstrahles erfaßt in der Umgebung der fovea centralis ein kleines Gebiet des betrachteten Körpers (als Zentralprojektion mit dem Zentrum K). Aus der Vielzahl dieser Teilbilder entsteht schließlich der Gesamteindruck, das Gesamtbild des Objektes. Da die Drehung des Auges nicht um K, sondern um 0 erfolgt, verschiebt sich mit jeder Drehung der Knotenpunkt K. Daher ist das monokulare Sehen mit bewegtem Auge keine Zentralprojektion, sondern eine Synthese aus einer Vielfalt von einzelnen Zentralprojektionen mit verschiedenen Zentren, die man durch eine einzige Zentralprojektion mit dem Zentrum 0 recht gut annähern kann. Betrachtet man die Zentralprojektion eines räumlichen Objektes mit einem bewegten Auge derart, daß

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1. Einleitung

sich der Drehpunkt 0 des Auges im Projektionszentrum befindet, so fällt das Bündel der Hauptblickstrahlen mit den Projektionsstrahlen zusammen. Der optische Eindruck, den die Zentralprojektion hervorruft, wird denjenigen einer unmittelbaren Betrachtung des Objektes recht gut wiedergeben. Man spricht von der g e b u n d e n e n B e t r a c h t u n g eines perspectiven Bildes. Diesen Vorgang hat schon A l b r e c h t D ü r e r mehrfach veranschaulicht. Bei der freien Betrachtung eines perspektiven Bildes mit beiden Augen wird nicht der gleiche optische Eindruck entstehen wie bei der unmittelbaren Betrachtung des Objektes. Um wenigstens eine gute Annäherung an den natürlichen Eindruck zu bewirken, müssen Projektionszentrum und Bildebene so gewählt werden, daß sich beide Augen des Betrachters nahe am Projektionszentrum befinden. Ist der Augenabstand, der etwa 6,5 cm beträgt, klein im Verhältnis zur Distanz, das ist der Abstand des Zentrums von der Bildebene, so weichen die Hauptblickstrahlbündel der beiden Augen nur wenig ab vom Bündel der Projektionsstrahlen, und die Zentralprojektion wird einen guten räumlichen Eindruck vermitteln. Hier sei an Erfahrungen erinnert, die wohl jeder bei der Betrachtung photographischer Aufnahmen gemacht hat. Man kann leicht folgenden Vergleich anstellen: Von einer photographischen Aufnahme betrachtet man zunächst einen Kleinbildabzug vom Format 2,4x 3,6 cm mit der Distanz 5 cm. Wegen der beschränkten Akkommodationsfähigkeit des Auges wird man ein solches Bildchen aus einer Entfernung von etwa 20 cm betrachten. Dann sind die Hauptblickstrahlbündel sehr verschieden vom Projektionsstrahlenbündel, und es entsteht kein unmittelbar räumlicher Eindruck des Objektes. Betrachtet man dagegen eine Vergrößerung der gleichen Aufnahme auf ein Format von 12 X18 cm, dem eine Brennweite von etwa 25 cm entspricht, so gewinnt das Bild außerordentlich an räumlicher Wirkung. Aber auch jetzt ist das Verhältnis des Augenabstandes zur Brennweite noch reichlich groß. Vergrößert man schließlich durch Bildwerfer die Aufnahme auf das Format 120x180 cm und betrachtet das Bild so, daß sich die Augen etwas mehr als

1. Einleitung

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250 cm vor der Bildmitte befinden, so ist die räumliche Wirkung des Bildes geradezu überraschend. Zusammenfassend kann man feststellen: Je besser die Hauptblickstrahlbündel der beiden Augen bei der unmittelbaren Betrachtung des räumlichen Objektes mit denjenigen bei der Betrachtung des perspektiven Bildes übereinstimmen, desto besser ist der räumliche Eindruck des Bildes.

Betrachtet man einen kleinen Gegenstand, so ist das Blickstrahlbündel nur schwach konvergent, und man kann es näherungsweise durch ein Parallelstrahlbiindel ersetzen. Das bietet die Möglichkeit, durch Parallulprojektion anschauliche Bilder kleiner Gegenstände zu gewinnen. Die historische Entwicklung der Perspektive kann man in der Malerei verfolgen. Schon in der Einleitung von Band I wurde Euklids Werk über Optik erwähnt (300 v. Chr.). Es

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I. Axonometrie

ist in einigen lateinischen Übersetzungen erhalten. Euklid stellt zunächst 12 Postúlate auf, denen 61 Theoreme folgen. Einige der Theoreme seien zitiert: „4. Wenn auf derselben Geraden gleiche Strecken liegen, so wird die weiter entfernte kleiner erscheinen. 10. Weiter entfernte Teile einer unterhalb des Auges gelegenen Ebene erscheinen höher. 40. Die Räder eines Wagens scheinen einmal rund, einmal oval zu sein" (aus der italienischen Übersetzung von E. Danti, 1573). Euklid beschreibt die Gesetze des Sehens, die wohl auch von den Malern der Antike beachtet wurden, aber keine Zentralperspektive. Ein Beispiel der antiken Malerei ist das Pompejanische Gemälde nach dem Kupferstich von H. Roux Ainé (Bild 3). Hier sind Euklids Theoreme beachtet. Es ist nicht möglich, im Rahmen dieses Büchleins auf die Geschichte der Perspektive näher einzugehen. Nur zwei Namen sollen genannt werden. Die erste systematische Darstellung einer Konstruktionsperspektive verdankt man Piero della F r a n c e s c a (1420—1492). Seine „Prospectiva Pingendi" wurde in Parma aufgefunden und 1899 im italienischen Urtext mit den Originalzeichnungen veröffentlicht. Einen großen Teil der Konstruktionsaufgaben, die im II. und III. Kapitel dieses Bändchens behandelt werden, konnte Piero, allerdings auf andere Art, lösen. A l b r e c h t D ü r e r s „Unterweisung" (1525, s. I. S. 8) hat zwar großen Einfluß auf die Entwicklung der Perspektive ausgeübt, enthält aber nicht die Klarheit und Vollständigkeit in den Konstruktionen wie das Werk Francescas. Das Titelbild zeigt eine architektonische Studie von Piero della Francesca. I. Axonometrie 2. Einführung; senkrechte Axonometrie Es seien in der Zeichenebene Grund-, Auf- und Seitenriß eines Punktes /' sowie die drei Projektionsachsen gezeichnet. Die Seitenrißebene sei zur Grund- und Aufrißebene senkrecht. Wir nennen die Schnittgerade der Grund- und Aufrißebene die x-Achse, diejenige der Grund- und Seitenrißebene die «/-Achse und schließlich diejenige der Auf- und Seitenriß-

2. Einführung; senkrechte Axonometrie

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ebene 2-Achse. Werden durch den Punkt P die Parallelebenen zu den Proiektionsebenen gelegt, so entsteht ein l'arallell'lfiih (Hild 4)'), welches eine Kcke im Punkt 0 und tlroi wiiitorc Kcke.il Px, Py, Pz auf den Achsen hat. Man nennt die Strecken OPx,üPy,OPz die K o o r d i n a t e n des Punktes P. Die drei Projektionsachsen heißen Koordinatenachsen, und der Punkt 0 heißt der Koordinatenursprung oder Koordinatenanfangspunkt. Die drei Achsen zusammen nennt man ein rechtwinkliges Achsenkreuz. Man erkennt sofort, daß die Beziehung zwischen den Projektionen und den Koordinaten eines Punktes umkehrbar eindeutig ist. Sind nämlich die Koordinaten OPx, OPy, Bild 4 0P2 eines Punktes gegeben, - Koordinaten eines Punktes so können sofort die Projektionen des Punktes gezeichnet werden. Anstatt die Koordinaten eines Punktes P durch die drei Strecken OPx, OPy, OPz zu geben, kann man sie durch ein Zahlentripel festlegen. Man wählt auf jeder der Koordinatenachsen vom Ursprung 0 aus eine Einheitsstrecke und gibt durch die Zahlenwerte der Koordinaten an, das Wievielfache die Strecken OPx, OPy, OPz von diesen Einheitsstrecken sind. Der Punkt, dessen Koordinaten gerade gleich den entsprechenden Einheitsstrecken sind, erhält die Koordinaten (1, 1, 1) und heißt der Einheitspunkt des Koordinatensystems. Im allgemeinen wird man die drei Einheitsstrecken einander gleich annehmen. Der Einheitspunkt ist dann eine Ecke eines Würfels der Kantenlänge 1; seine Koordinaten bilden ein „gleichschenklig-rechtwinkliges Achsenkreuz". ') An der Durchführung der Zeichnungen snwle an der redaktionellen Bearbeitung der 2. Auflage hat Herr W. J . Grunewald mitgewirkt. Hie Beschriftung der Abbildungen übernahm der Verlag.

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I. Axonometrie

Die Axonometrie stellt die Punkte des Raumes stets in beziig; auf ein fest gegebenes Koordinatensystem dar. Man verstellt unter dem axononietrischen Bild eines Punktes 1' jede J'arallelprojektioii des Punktes I' und des fest gegebenen Koordinatensystems auf eine gegebene Ebene, die Bildebene des axonometrischen Bildes. Der wichtigste Fall ist die

s e n k r e c h t e oder orthogonale Axonometrie, bei der die Projektionsstrahlen zur Bildebene senkrecht sind. Im Gegensatz hierzu spricht man in allen anderen Fällen von s c h i e f e r Axonometrie. Wir beschäftigen uns zunächst mit der senkrechten Axonometrie. Offenbar ist hier das axonometrische Bild eines Punktes völlig bestimmt, wenn die Stellung der Bildebene zu den Koordinatenachsen bekannt ist. Im Bild 5 ist der Punkt P in Grund-, Auf- und Seitenriß gezeichnet. Es sei ferner eine Ebene e durch die Spuren

2. Einführung; senkrechte Axonometrie e

IS

i< e2> ea gegeben. Auf diese Ebene soll der Punkt P und das Koordinatensystem (dessen Achsen mit den Frojektionsachsen zusammenfallen) senkrecht projiziert werden. Wir führen diese Projektion zunächst im Grund- und Aufriß aus, indem wir von 0 das Lot auf die Ebene e fällen und seinen Schnittpunkt 0* mit e bestimmen. In bekannter Weise findet man die Projektionen 0*' und 0*" (s. I. Abs. IG). Verbinden wir 0*" mit X, Z, 0 und 0*' mit X, Y, 0, so erhalten wir Grund- und Aufriß der senkrechten Projektion der Koordinatenachsen auf E. Ebenso kann man von P das Lot auf s fällen und seinen Fußpunkt bestimmen. Es ist jedoch nicht unser Ziel, diese senkrechte Projektion in Grund- und Aufriß darzustellen, sondern sie in der Ebene selbst zu zeichnen. Zu diesem Zweck klappen wir e um die Grundrißspur e1 in die Zeichenebene um. Dabei gehen die Spuren e2 und e^ in die Geraden e2, e3 über. e2, e3 und e1 bilden das Spurendreieck. Das Bild 0* des Koordinatenanfangspunktes geht bei der Umklappung in den Punkt Ö über, und die Geraden OZ, ÖX, OY sind die Bilder der Koordinatenachsen nach der Umklappung. Es gilt der Satz: Die a x o n o m e t r i s c h e n Bilder der Koordin a t e n a c h s e n bei s e n k r e c h t e r Axonometrie sind die Höhen des Spurendreiecks. Die Richtigkeit des Satzes ist leicht einzusehen: Im Grundriß war 0*'0 das Bild der 2-Achse; 0*'0 ist senkrecht auf e^ Bei der Umklappung von e bleibt es senkrecht, d.h., OZ ist senkrecht auf ev Wir hätten aber ebenso die Ebene e um e2 umklappen können, dann hätte sich ergeben: OY ist senkrecht zu e2. Schließlich gilt der gleiche Schluß für ÖX. Im Büd 5 ist das axonometrische Bild des Punktes P eingezeichnet, und zwar haben wir die Bilder der auf den Achsen gelegenen Punkte Px, Py, Pz konstruiert und durch diese da» Parallelflach gelegt. Es soll folgender Satz bewiesen werden: Die Höhen eines beliebigen spitzwinkligen Dreiecks kann man s t e t s a u f f a s s e n als das Bild des K o o r d i n a t e n systems in senkrechter Axonometrie. Der Satz

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I. Axonometrie

ist offenbar bewiesen, wenn es gelingt, die Stellung der Bildebene in Grund- und Aufriß anzugeben. Wir denken uns etwa in Bild 5 das Dreieck / A' Y mit seinen Höhen gegeben; Grund- und AüfriU sind zu konstruieren. Mail beschreibt über X Y den Halbkreis und verlängert Z 0 bis zum Schnitt 0 mit dem Halbkreis. Auf 0 0 in 0 errichtet man die Senkrechte, schlägt um D mit DZ den Kreis und bestimmt dessen Schnitt Z* mit der Senkrechten. Die Senkrechte auf X 0 in 0 ist die z-Achse. Der Kreis um 0 mit OZ* oder um X mit Z X bestimmt den Punkt Z. Dann ist X Z die Aufrißspur e2, XY die Grundrißspur e1 und XO die x-Achse und gleichzeitig Projektionsachse. Das Achsenkreuz OX, 0 Y, OZ ist in der Tat ein Koordinatensystem, dessen senkrechte Projektion auf die durch die Spuren ev e2 gegebene Ebene die Höhen unseres ursprünglichen Dreiecks liefert.

3. Axonometrisches Bild eines Punktes Der Gegenstand, etwa ein Polyeder, dessen axonometrisches Bild konstruiert werden soll, sei im Grund-, Auf- und Seitenriß gegeben. Die Koordinatenachsen mögen wieder mit den Projektionsachsen zusammenfallen. Dann sind die Koordinaten der Eckpunkte bekannt, und es entsteht die Aufgabe, das axonometrische Bild der durch die Koordinaten gegebenen Punkte zu konstruieren. Das Spurendreieck mit seinen Höhen sei gegeben. Man legt das Spurendreieck stets so, daß das Bild der z-Achse vertikal steht. Wir bestimmen zunächst das axonometrische Bild des Grundrisses P' von P, den sogenannten axonometrischen Grundriß. Bild 6 zeigt links Grund- und Aufriß, rechts das axonometrische Bild. .Es wird über X Y der Halbkreis beschriehen und der Punkt 0* bestimmt; die Koordinaten 0* Px und 0* Pv werden entsprechend abgetragen. Von Px und Py fällt man die Lote auf XY und verlängert sie bis zum Schnitt mit XO und YO. Durch die Schnittpunkte Px und Py zieht man die Parallelen zu den Achsenbildern OY und OX; ihr Schnittpunkt P' ist der

.3. Axonometrischcs Bild eines Punktes

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axonometrische Grundriß von P. Das axonometrische Bild von P selbst liegt auf der durch P' gehenden Parallelen zu OZ. Um die Höhe zu bestimmen, suchen wir den Punkt Pz auf der axonometrischen z-Achse. Dies geschieht ebenso wie

die Bestimmung von Px durch Umlegung der Ebene ZOY. Es sind dann 0 Px, 0 Py, 0 Pz die axonometrischen Bilder der Koordinaten von P. Damit ist das Bild P bestimmt. Man erkennt, daß die Koordinaten eines Punktes im axonoinetrischen Bilde nicht, in wahrer Länge, sondern verkürzt erscheineil. Die entsprechenden Koordinaten aller Punkte werden im g l e i c h e n Verhältnis verkürzt. Hat man das axonometrische Bild mehrerer Punkte zu zeichnen, so

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I. Axonometrie

wird man nur für einen Punkt die obige Konstruktion ausführen. Dann kennt man die Verkürzungsverhältnisse in Richtung der drei Achsen. Es können daher die Koordinaten jedes Punktes sofort in der entsprechenden Verkürzung auf den axonometrischen Achsenbildern abgetragen werden. Die Verkürzungen werden folgendermaßen zeichnerisch ausgeführt: Man trägt die drei Koordinaten OPx, OPy, 0 P2 je von einem Punkt 0 aus ab (Bild 6 unten) und beschreibt je mit OP x , OP y , OP z den Kreis. Dann trägt man auf diesen Kreisbögen von Px '(bzw. Py, Pz) aus als Sehnen die verkürzten axonometrischen Bilder der Koordinaten ab, die aus Bild 6 rechts entnommen werden. Es wird also die Sehne PX(P) gleich der axonometrischen Koordinate OPx des Punktes P. Die Verkürzungsverhältnisse können auch unmittelbar aus dem axonometrischen Spurendreieck gewonnen werden, indem man wie oben die Grund- und Aufrißebene in die axonometrische Bildebene umklappt. Dann sind OX . OY_ . OZ 0*X' 0*Y' 0*Z die Verkürzungsverhältnisse (Bild 6 rechts), aus denen ganz entsprechend die drei Winkel a> x \o) y \(ü t konstruiert werden können. Ist nun z. B. das axonometrische Bild irgendeines Punktes Q gesucht, so hat man nur die drei Koordinaten von Q auf den Schenkeln der entsprechenden Winkel cox;coy; o>2 abzutragen (Bild 6 unten); dann sind die Sehnen der zugehörigen Kreisbögen die axonometrischen Koordinaten von Q. Diese trägt man auf den Achsenbildern ab (Bild 6 rechts) und konstruiert aus ihnen das Bild von Q. Durch das axonometrische Bild allein ist die Lage eines Punktes im Räume noch nicht bestimmt; dies ist erst der Fall, wenn man die Lage des Punktes zu den Koordinatenachsen kenntlich macht. Man pflegt daher außer dem axonometrischen Bild des Punktes noch seinen axonometrischen Grundriß anzugeben. Soeben wurde gezeigt, daß bei gegebenem Spurendreieck die Verkürzungsverhältnisse in Richtung der drei Ko-

3. Axonometrisches Bild eines Punktes

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ordinatenachsen konstruiert werden können. Es soll hier die Abhängigkeit der drei Verkürzungsverhältnisse untereinander bei senkrechter Axonometrie betrachtet werden. Nachstehende Skizze (Bild 7) zeigt das Koordinatenkreuz OX; OY; OZ und sein senkrecht-axonometrisches Bild OX;ÖY;OZ auf die axonometrische Bildebene. 00 ist das Lot von 0 auf diese Ebene. Die Winkel OÖX,OÖY, OOZ sind also Rechte. Die Streckenverhältnisse OX . O Y . OX. OX'

OY'

OZ OZ

sind die drei axonometrischen Verkürzungsverhältnisse. Diese sind aber gleich dem Kosinus der Neigungswinkel der axonometrischen Bildebene mit den Koordinatenachsen; d. h., es gelten die Gleichungen

Bild 7. Skizze z u m ' S t u d i u m der VerkürzungsVerhältnisse;

g

= cos(OXO);

Das Dreieck 00X

= cm(OYO);

Bild 8. Skizze zum räumlichen Pythagoras

- cos (OZOJ.

ist rechtwinklig; folglich ist

2

c o s ( O X Ö ) = s i n 2 ( Ö O X ) = 1 - cosYÖOX) 2 H a a c k , Darstellende Goometcie I I I

I. Axonometrie

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und ebenso cos2(OYÖ) = sin2(ÖOY) = 1 - cos2(ÖOY) , c o s 2 ( O Z Ö ) = sin2 (ÖOZ) = 1 - cos2 (ÖOZJ. Nun sind (ÖOX), (ÖOY), (ÖOZ) die Winkel, die die Gerade 00 mit den Koordinatenachsen bildet. Um die Beziehung zwischen diesen Winkeln zu erkennen, betrachten wir eine Strecke OP der Länge 1 und das von den Koordinaten gebildete Parallelflach (Bild 8). Die z-Koordinate OPx von P ist Kathete des rechtwinkligen Dreiecks PPxO. Wegen OP = 1 wird daher OPx = c o s ( P O P J und entsprechend OPv = c o s ( P 0 P v ) , 0 P 2 = c o s ( P O P J . Andererseits folgt aus den rechtwinkligen Dreiecken ( O P ' ) 2 = ( O P x ) 2 + ( O P v ) 2 und 1 = (OP)* = (OPx)2 + (OPy)2 + (OPzp. Daher folgt: Die Summe der Quadrate der Kosinus der Winkel, die eine durch 0 gehende Gerade mit den Koordinatenachsen bildet, ist gleich eins. Mit den Bezeichnungen von Bild 7 ist also cos2(ÖOX)

+ cos2 (ÖOY)

+ cos2 (ÖOZ) = 1.

Addieren wir die obigen drei Gleichungen, so folgt: cos2 (OXÖ)

+ cos2(OYÖ)

+ c o s 2 ( O Z Ö ) = 2.

Es gilt also der Satz: Die S u m m e d e r Q u a d r a t e d e r drei V e r k ü r z u n g s v e r h ä l t n i s s e bei senkrechter A x o n o m e t r i e i s t s t e t s g l e i c h zwei. Das heißt: !ÖX\2 /OY\2 IÖZ\2 . (öx) + \öy) + (öz) = 2" 4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie Die im Bild f> aufgedeckten Zusammenhänge führen zu cini'in sclieinatischen Verfahren der Konstruktion des axommietrischen Bildes eines Gegenstandes, dessen Grundund Aufriß gegeben ist. Bild 9 zeigt das Spurendreieck und das axononietrische Bild eines Quaders. Durch Umlegung

4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie

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des Dreiecks XYO, die hier nach der entgegengesetzten Seite von Bild 6 ausgeführt ist, ergibt sich der Grundriß U0IQl'hIJ0 des Quaders. Um das Zusammenfallen der Urn-

Umlegung parallel zur z-Achse verschoben und gibt die Figur ff T FIT'. Der gleiche Vorgang wird mit der Ebene YOZ wiederholt, die hier als Aufrißebene dienen möge. Man erhält den Aufriß des Quaders 0"11" P"III". Daraus ergibt sich unmittelbar der folgende Zusammenhang: Werden Grundund Aufriß eines Gegenstandes gemäß Bild 9 angeordnet, z. B. auf das Zeichenbrett geheftet, so ergibt sich das axonometrische Bild eines Punktes P, indem man durch

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J. Axonometrie

den Aufriß P" 'die Parallele zur axonometrischen rr-Achse (00") und durch den Grundriß P' die Parallele zur axononietrischen z-Achse ( 0 0 ' ) zeichnet. Bei der Anwendung des Verfahrens geht man von den Geraden OÖ' und 00" aus, die den spitzen Winkel &> einschließen (Bild 10), legt den Grundriß so auf die Zeichenebene, daß Ö'x' mit OÖ' den Winkel

, rp, co ist weitgehend willkürlich. Nach L. E c k h a r t führt jede beliebige Wahl der drei Winkel zu einer Parallelprojektion des Gegenstandes, der in Grund- und Aufriß gegeben ist. Zu einer s e n k r e c h t e n Projektion gelangt man nur, wenn cp, y>,u> nach E. J. Nys t r ö m der Bedingung genügen cos a> — cos