Darstellende Geometrie: Band 3 Axonometrie und Perspektive [Reprint 2019 ed.] 9783111608785, 9783111233482

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

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Darstellende Geometrie in Axonometrie und Perspektive Von

Dr. Wolfgang Haack o. P i o f . an der Technischen Universität Berlin

Mit 100 Bildern

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung . J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp. Berlin

1957

Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

© Copyright 1957 by WALTER DE GRUYTER & CO. Berlin W 35, Genthiner Straße 13

Archiv-Nr. 11 Ol 44 S a t z : Walter de Gruyter & Co., Berlin W 36 Druck: Paul Funk, Berlin W35 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung

Sette

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I. A x o n o m e t r i e 2. Einführung; senkrechte Axonometrie 3. Axonometrisches Bild eines Punktes 4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie . . 5. Einfache Beispiele in normierter Axonometrie . . . 6. Zylinder, Kegel, Kugel in normierter Axonometrie . 7. Einfache Durchdringungsaufgaben 8. Schattenkonstruktionen in der A x o n o m e t r i e . . . . 9. Diagonalbeleuchtung 10. Schatten von Kegel und Zylinder in normierter Axonometrie 11. Schiefe Axonometrie; Kavalierperspektive; Satz von Pohlke

10 10 14 18 23 29 33 36 38

II. G r u n d z ü g e der e b e n e n P e r s p e k t i v e 12. Perspektive der Punkte und Geraden; Doppelverhältnis 13. Darstellung einer Ebene 14. Umlegung der Grundebene 15. Meßpunkte; Perspektivität; vollständiges Viereck

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39 43

49 55 69 63

III. E l e m e n t e der a n g e w a n d t e n P e r s p e k t i v e . . . . 69 16. Winkel der Sehbreite und Sehhöhe eines Bildes . . 69 17. Teildistanz; Teilfluchtpunkt; Teilmeßpunkt. . . . 73 18. Fluchtmaßstäbe; Fluchtpunktschiene 76 19. Ergänzende Konstruktionshinweise 79 20. Untergelegter Grundriß 80 IV. P e r s p e k t i v e von K r e i s e n 82 21. Das perspektive Bild des Kreises als Schnitt des Sehkegels 82 22. Geradenscharen, die im perspektiven Bild parallel sind 85 23. Ellipse als perspektives Bild des Kreises 86

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Inhaltsverzeichnis Seite

24. Hyperbel und Parabel als perspektives Bild des Kreises 89 25. Beispiel zur Darstellung des Zylinders 91 26. Weitere Konstruktionen der Perspektive des Kreises 96 27. Konzentrische Kreise 102 28. Perspektive einer Kugel 103 V. S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n in der P e r s p e k t i v e . . . 107 29. Lichtstrahl und Lichtrichtung 108 30. Schlagschatten eines vertikalen Stabes 110 31. Schatten ebenflächiger Körper 113 32. Schatten auf vertikalen Wänden 117 33. Weitere Beispiele 119 Literatur

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Register

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Bild 1. Architektonische Studie von Piero della Francesca

1. Einleitung Zur Klärung der Frage, ob sich räumliche Objekte durch ebene Bilder so darstellen lassen, daß bei der Betrachtung des Bildes möglichst der gleiche Eindruck entsteht wie bei der unmittelbaren Betrachtung des räumlichen Objektes, muß man sich mit dem Vorgang des Sehens beschäftigen Allerdings können hier nur einige einführende Bemerkungen aufgenommen werden; zum genaueren Studium sei auf Lehrbücher der physiologischen Optik verwiesen. Das menschliche Auge kann man als optisches System mit dem Knotenpunkt K ansehen. Die vom Objekt ausgehenden Lichtstrahlen erzeugen auf der Netzhaut ein Bild des Objektes. Bringt man in das Lichtstrahlenbündel, dessen Zentrum K ist, eine Ebene % und projiziert das Objekt von K zentral auf die Ebene, so wird diese Zentralprojektion des Objektes auf X das gleiche geometrische Bild auf der Netzhaut erzeugen wie das räumliche Objekt, vorausgesetzt, daß das Auge seine Stellung bezüglich ^ beibehält. Ist also die Zentralprojektion eines räumlichen Objektes gegeben und betrachtet man diese mit einem r u h e n d e n Äuge so, daß sich der Knotenpunkt des Auges im Projektionszentrum befindet, dann entspricht das auf der Netzhaut des Auges entstehende Bild demjenigen des räumlichen Objektes. Die Eigenart der Netzhaut gestattet aber nicht, einen Körper bzw. sein perspektives Bild in der obigen Weise zu

1. Einleitung

1. Einleitung

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betrachten. Die Gesamtheit der Punkte des wirklichen Raumes, die sich bei einer bestimmten festgehaltenen Lage des Auges gleichzeitig auf der Netzhaut widerspiegeln, bilden das monokulare G e s i c h t s f e l d , dem der lichtempfindliche Teil der Netzhaut entspricht. Im Bild 2 wurde die Netzhaut von K auf eine Kugel mit dem Mittelpunkt K projiziert; diese Kugel wurde schließlich senkrecht auf eine Ebene n projiziert, die zum Hauptblickstrahl senkrecht steht. Durch Umlegung der Projektionsebene n erhält man ein Bild des Gesichtsfeldes. Die hier angegebene Grenze für die Lichtempfindlichkeit bezieht sich auf weißes Licht. Im Bild 2 ist das Gesichtsfeld durch eine Reihe von Drehkegeln mit der Spitze K und dem Hauptblickstrahl als Achse in verschiedene Zonen eingeteilt. Nur in der nächsten Umgebung des Punktes A" (fovea centralis) ist das Auflösungsvermögen der Netzhaut ausreichend, um „scharfes" Sehen zu vermitteln. In den äußeren Zonen können nur unscharfe Reflexe wahrgenommen werden. An der Stelle des Nerveneintritts, die dem schraffierten Gebiet um M" entspricht, ist die Netzhaut nicht sehfähig (sog. blinder Fleck). Die Betrachtung eines Gegenstandes, der nicht im Innern eines Sehkegels von etwa 5° bis 10° liegt, ist mit ruhendem Auge nicht möglich. Durch Drehung des Auges in der Augenhöhle, die man als Drehung um den Punkt 0 ansehen kann, wird das Objekt mit dem Hauptblickstrahl abgetastet. Jede Stellung des Blickstrahles erfaßt in der Umgebung der fovea centralis ein kleines. Gebiet des betrachteten Körpers (als Zentralprojektion mit dem Zentrum K). Aus der Vielzahl dieser Teilbilder entsteht schließlich der Gesamteindruck, das Gesamtbild des Objektes. Da die Drehung des Auges nicht um K, sondern um 0 erfolgt, verschiebt sich mit jeder Drehung der Knotenpunkt K. Daher ist das monokulare Sehen mit bewegtem Auge k e i n e Zentralprojektion, sondern eine Synthese aus einer Vielfalt von einzelnen Zentralprojektionen mit verschiedenen Zentren, die man durch eine einzige Zentralprojektion mit dem Zentrum 0 recht gut annähern kann. Betrachtet man die Zentralprojektion eines räumlichen Objektes mit einem bewegten Auge derart, daß

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1. Einleitung

sich der Drehpunkt 0 des Aug-es im Projektionszelltrum befindet, so fällt das Bündel der Hauptblickstrahlen mit den Projektionsstrahlen zusammen. Der optische Eindruck, den die Zentralprojektion hervorruft, wird denjenigen einer unmittelbaren Betrachtung des Objektes recht gut wiedergeben. Man spricht von der g e b u n d e n e n B e t r a c h t u n g eines perspectiven Bildes. Diesen Vorgang hat schon A l b r e c h t D ü r e r mehrfach veranschaulicht. Bei der freien Betrachtung eines perspektiven Bildes mit beiden Augen wird nicht der gleiche optische Eindruck entstehen wie bei der unmittelbaren Betrachtung des Objektes. Um wenigstens eine gute Annäherung an den natürlichen Eindruck zu bewirken, müssen Projektionszentrum und Bild-" ebene so gewählt werden, daß sich beide Augen des Betrachters nahe am Projektionszentrum befinden. Ist der Augenabstand, der etwa 6,5 cm beträgt, klein im Verhältnis zur Distanz, das ist der Abstand des Zentrums von der Bildebene, so weichen die Hauptblickstrahlbündel der beiden Augen nur wenig ab vom Bündel der Projektionsstrahlen, und die Zentralprojektion wird einen guten räumlichen Eindruck vermitteln. Hier sei an Erfahrungen erinnert, die wohl jeder bei der Betrachtung photographischer Aufnahmen gemacht hat. Man kann leicht folgenden Vergleich anstellen: Von einer photographischen Aufnahme betrachtet man zunächst einen Kleinbildabzug vomFormat2,4x 3,6cm mit der Distanz 5 cm. Wegen der beschränkten Akkommodationsfähigkeit des Auges wird man ein solches Bildchen aus einer Entfernung von etwa 20 cm betrachten. Dann sind die Hauptblickstrahlbündel sehr verschieden vom Projektionsstrahlenbündel, und es entsteht kein unmittelbar räumlicher Eindruck des Objektes. Betrachtet man dagegen eine Vergrößerung der gleichen Aufnahme auf ein Format von 12 x 18 cm, dem eine Brennweite von etwa 25 cm entspricht, so gewinnt das Bild außerordentlich an räumlicher Wirkung. Aber auch jetzt ist das Verhältnis des Augenabstandes zur Brennweite noch reichlich groß. Vergrößert man schließlich durch Bildwerfer die Aufnahme auf das Format 120x180 cm und betrachtet das Bild so, daß sich die Augen etwas mehr als

1. Einleitung

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250 cm vor der Bildmitte befinden, so ist die räumliche Wirkung des Bildes geradezu überraschend. Zusammenfassend kann man feststellen: Je besser die Hauptblickstrahlbündel der beiden Augen bei der unmittelbaren Betrachtung des räumlichen Objektes mit denjenigen bei der Betrachtung des perspektiven Bildes übereinstimmen, desto besser ist der räumliche Eindruck des Bildes.

Bild 3. Nach einem pompejanischen Gemälde

Betrachtet man einen kleinen Gegenstand, so ist das Blickstrahlbündel nur schwach konvergent, und man kann es näherungsweise durch ein Parallelstrahlbündel ersetzen. Das bietet die Möglichkeit, durch Parallelprojektion anschauliche Bilder kleiner Gegenstände zu gewinnen. Die historische Entwicklung der Perspektive kann man in der Malerei verfolgen. Schon in der Einleitung von Band I wurde Euklids Werk über Optik erwähnt (300 v. Chr.). Es

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I. Axonometrie

ist in einigen lateinischen Übersetzungen erhalten. Euklid stellt zunächst 12 Postúlate auf, denen 61 Theoreme folgen. Einige der Theoreme seien zitiert: „4. Wenn auf derselben Geraden gleiche Strecken liegen, so wird die weiter entfernte kleiner erscheinen. 10. Weiter entfernte Teile einer unterhalb des Auges gelegenen Ebene erscheinen höher. 40. Die Räder eines Wagens scheinen einmal rund, einmal oval zu sein" (aus der italienischen Übersetzung von E. Danti, 1573). Euklid beschreibt die Gesetze des Sehens, die wohl auch von den Malern der Antike beachtet wurden, aber keine Zentralperspektive. Ein Beispiel der antiken Malerei ist das Pompejanische Gemälde nach dem Kupferstich von H. Roux Ainé (Bild 3). Hier sind Euklids Theoreme beachtet. Es ist nicht möglich, im Rahmen dieses Büchleins auf die Geschichte der Perspektive näher einzugehen. Nur zwei Namen sollen genannt werden. Die erste systematische Darstellung einer Konstruktionsperspektive verdankt man Piero della F r a n c e s c a (1420—1492). Seine „Prospectiva Pingendi" wurde in Parma aufgefunden und 1899 im italienischen Urtext mit den Originalzeichnungen veröffentlicht. Einen großen Teil der Konstruktionsaufgaben, die im II. und III. Kapitel dieses Bändchens behandelt werden, konnte Piero, allerdings auf andere Art, lösen. Albrecht Dürers „Unterweisung" (1525, s. I. S. 8) hat zwar großen Einfluß auf die Entwicklung der Perspektive ausgeübt, enthält aber nicht die Klarheit und Vollständigkeit in den Konstruktionen, wie das Werk Francescas. Das Titelbild zeigt eine architektonische Studie von Piero della Francesca. I. Axonometrie 2. Einführung; senkrechte Axonometrie Es seien in der Zeichenebene Grund-, Auf- und Seitenriß eines Punktes P sowie die drei Projektionsachsen gezeichnet. Die Seitenrißebene sei zur Grund- und Aufrißebene senkrecht. Wir nennen die Schnittgerade der Grund- und Aufrißebene die »-Achse, diejenige der Grund- und Seitenrißebene

2. Einführung; senkrechte Axonometrie

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die y-Achse und schließlich diejenige der Auf- und Seitenrißebene z-Achse. Werden durch den Punkt P die Parallelebenen zu den Projektionsebenen gelegt, so entsteht ein Parallelflach (Bild 4)x), welches eine Ecke im Punkt 0 und drei weitere Ecken Px, Py, Pz auf den Achsen hat. Man nennt die Strecken OPx,OPv,OPz die K o o r d i n a t e n des Punktes P. Die drei Projektionsachsen heißen Koordinatenachsen, und der Punkt 0 heißt der Koordinatenursprung oder Koordinatenanfangspunkt. Die drei Achsen zusammen nennt man ein rechtwinkliges Achsenkreuz. Man erkennt sofort, daß die Beziehung zwischen den Projektionen und den Koordinaten eines Punktes umkehrbar eindeutig ist. Sind nämlich die Koordinaten OPx, OPy, OPz eines Punktes gegeben, so können sofort die Projektionen des Punktes gezeichnet werden. Anstatt die Koordinaten eines Punktes P durch die drei Strecken OPx, OP„, OPz zu geben, kann man sie durch ein Zahlentripel festlegen. Man wählt auf jeder der Koordinatenachsen vom Ursprung 0 aus eine Einheitsstrecke und gibt durch die Zahlenwerte der Koordinaten an, das Wievielfache die Strecken OPx, OPy, OPz von diesen Einheitsstrecken sind. Der Punkt, dessen Koordinaten gerade gleich den entsprechenden Einheitsstrecken sind, erhält die Koordinaten (1, 1, 1) und heißt der Einheitspunkt des Koordinatensystems. Im allgemeinen wird man die drei Einheitsstrecken einander gleich annehmen. Der Einheitspunkt ist dann eine Ecke eines Würfels der Kantenlänge 1; seine Koordinaten bilden ein „gleichschenklig-rechtwinkliges Achsenkreuz". An der Durchführung der Zeichnungen hat Herr H. J . Grunewald mitgearbeitet. Die Beschriftung der Abbildungen übernahm der Verlag.

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I. Axonometrie

Die Axonometrie stellt die Punkte des Kaumes stets in bezug auf ein fest gegebenes Koordinatensystem dar. Man versteht unter dem axonometrischen Bild eines Punktes P jede Parallelprojektion des Punktes P und des fest gegebenen Koordinatensystems auf eine gegebene Ebene, die Bildebene des axonometrischen Bildes. Der wichtigste Fall ist die z

Bild 5. Bestimmung des axonometrischen Bildes aus Grund- und Aufriß

s e n k r e c h t e oder orthogonale Axonometrie, bei der die Projektionsstrahlen zur Bildebene senkrecht sind. Im Gegensatz hierzu spricht man in allen anderen Fällen von schiefer Axonometrie. Wir beschäftigen uns zunächst mit der senkrechten Axonometrie. Offenbar ist hier das axonometrische Bild eines Punktes völlig bestimmt, wenn die Stellung der Bildebene zu den Koordinatenachsen bekannt ist. Im Bild 5 ist der Punkt P in Grund-, Auf- und Seitenriß gezeichnet. Es sei ferner eine Ebene e durch die Spuren

2. Einfühlung; senkrechte Axonometrie

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ev e2, e3 gegeben. Auf diese Ebene soll der Punkt P und das Koordinatensystem (dessen Achsen mit den Projektionsachsen zusammenfallen) senkrecht projiziert werden. Wir führen diese Projektion zunächst im Grund- und Aufriß aus, indem wir von 0 das Lot auf die Ebene e fällen und seinen Schnittpunkt 0* mit e bestimmen. In bekannter Weise findet man die Projektionen 0*' und 0 * " (s. I. Abs. 16). Verbinden wir 0*" mit X, Z, 0 und 0*' mit X, Y, 0, so erhalten wir Grund- und Aufriß der senkrechten Projektion der Koordinatenachsen auf e. Ebenso kann man von P das Lot auf e fällen und seinen Fußpunkt bestimmen. Es ist jedoch nicht unser Ziel, diese senkrechte Projektion in Grund- und Aufriß darzustellen, sondern sie in der Ebene selbst zu zeichnen. Zu diesem Zweck klappen wir e um die Grundrißspur e1 in die Zeichenebene um. Dabei gehen die Spuren e2 und e3 in die Geraden e2, e3 über. e2, e3 und ex bilden das S p u r e n d r e i e c k . Das Bild 0* des Koordinatenanfangspunktes geht bei der Umklappung in den Punkt Ö über, und die Geraden OZ, ÖX, OY sind die Bilder der Koordinatenachsen nach der Umklappung. Es gilt der Satz: Die a x o n o m e t r i s c h e n B i l d e r der K o o r d i n a t e n a c h s e n bei s e n k r e c h t e r A x o n o m e t r i e s i n d die H ö h e n des S p u r e n d r e i e c k s . Die Richtigkeit des Satzes ist leicht einzusehen: Im Grundriß war 0*'0 das Bild der z-Achse; 0*'0 ist senkrecht auf ev Bei der Umklappung von s bleibt es senkrecht, d. h. OZ ist senkrecht auf ev Wir hätten aber ebenso die Ebene e um e2 umklappen können, dann hätte sich ergeben: 0 Y ist senkrecht zu e2. Schließlich gilt der gleiche Schluß für OX. Im Bild 5 ist das axonometrische Bild des Punktes P eingezeichnet, und zwar haben wir die Bilder der auf den Achsen gelegenen Punkte Px, Py, Pz konstruiert und durch diese das Parallelflach gelegt. Es soll folgender Satz bewiesen werden: Die H ö h e n eines beliebigen s p i t z w i n k l i g e n Dreiecks k a n n m a n s t e t s a u f f a s s e n als d a s Bild des K o o r d i n a t e n s y s t e m s in s e n k r e c h t e r A x o n o m e t r i e . Der Satz

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I. Axonometrie

ist offenbar bewiesen, wenn es gelingt, die Stellung der Bildebene in Grund- und Aufriß anzugeben. Wir denken uns etwa in Bild 5 das Dreieck Z XY mit seinen Höhen gegeben; Grund- und Aufriß sind zu konstruieren. Man beschreibt über X Y den Halbkreis und verlängerte 0 bis zum Schnitt0 mit dem Halbkreis. Auf Ö 0 in 0 errichtet man die Senkrechte, schlägt um D mit DZ den Kreis und bestimmt dessen Schnitt Z* mit der Senkrechten. Die Senkrechte auf X 0 in 0 ist die z-Achse. Der Kreis um 0 mit OZ* oder um X mit Z X bestimmt den Punkt Z. Dann ist X Z die Aufrißspur e2, XY die Grundrißspur e1 und XO die a;-Achse und gleichzeitig Projektionsachse. Das Achsenkreuz OX, OY, OZ ist in der Tat ein Koordinatensystem, dessen senkrechte Projektion auf die durch die Spuren ev e2 gegebene Ebene die Höhen unseres ursprünglichen Dreiecks liefert. 3. Axonometrisches Bild eines Punktes Der Gegenstand, etwa ein Polyeder, dessen axonometrisches Bild konstruiert werden soll, sei im Grund-, Auf- und Seitenriß gegeben. Die Koordinatenachsen mögen wieder mit den Projektionsachsen zusammenfallen. Dann sind die Koordinaten der Eckpunkte bekannt, und es entsteht die Aufgabe, das axonometrische Bild der durch die Koordinaten gegebenen Punkte zu konstruieren. Das Spurendreieck mit seinen Höhen sei gegeben. Man legt das Spurendreieck stets so, daß das Bild der z-Achse vertikal steht. Wir bestimmen zunächst das axonometrische Bild des Grundrisses P' von P, den sogenannten axonometrischen Grundriß. Bild 6 zeigt links Grund- und Aufriß, rechts das axonometrische Bild. Es wird über XY der Halbkreis beschrieben und der Punkt 0* bestimmt; die Koordinaten 0* Px und 0* Py werden entsprechend abgetragen. Von Px und Py fällt man' die Lote auf X Y und verlängert sie bis zum Schnitt mit XO und YO. Durch die Schnittpunkte Px und Py zieht man die Parallelen zu den Achsenbildern OY und OX-, ihr Schnittpunkt P' ist der

3. Axonometrisches Bild eines Punktes

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axonometrische Grundriß von P. Das axonometrische Bild von P selbst liegt auf der durch P' gehenden Parallelen zu OZ. Um die Höhe zu bestimmen, suchen wir den Punkt Pz auf der axonometrischen z-Aehse. Dies geschieht ebenso wie

die Bestimmung von Px durch Umlegung der Ebene ZOY. Es sind dann 0 Px, 0 Py, 0 P 2 die axonometrischen Bilder der Koordinaten von P. Damit ist das Bild P bestimmt. Man erkennt, daß die Koordinaten eines Punktes im axonometrischen Bilde nicht in wahrer Länge, sondern verkürzt erscheinen. Die entsprechenden Koordinaten aller Punkte werden im g l e i c h e n Verhältnis verkürzt. Hat man das axonometrische Bild mehrerer Punkte zu zeichnen, so

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I. Axonometrie

wird man nur für einen Punkt die obige Konstruktion ausführen. Dann kennt man die Verkürzungsverhältnisse in Richtung der drei Achsen. Es können daher die Koordinaten jedes Punktes sofort in der entsprechenden Verkürzung auf den axonometrischen Achsenbildern abgetragen werden. Die Verkürzungen werden folgendermaßen zeichnerisch ausgeführt: Man trägt die drei Koordinaten 0 Px, OPy, OPz je von einem Punkt 0 aus ab (Bild 6 unten) und beschreibt je mit 0 Px, 0 Py, 0 Pz den Kreis. Dann trägt man auf diesen Kreisbögen von Px (bzw. Py, Pz) aus als Sehnen die verkürzten axonometrischen Bilder der Koordinaten ab, die aus Bild 6 rechts entnommen werden. Es wird also die Sehne PX(P) gleich der axonometrischen Koordinate OPx des Punktes P. Die Verkürzungsverhältnisse können auch unmittelbar aus dem axonometrischen Spurendreieck gewonnen werden, indem man wie oben die Grund- und Aufrißebene in die axonometrische Bildebene umklappt. Dann sind OX . OY_ . OZ 0*X ; 0* Y ' 0*Z die Verkürzungsverhältnisse (Bild 6 rechts), aus denen ganz entsprechend die drei Winkel a>x;a>y; a>z konstruiert werden können. Ist nun z. B. das axonometrische Bild irgendeines Punktes Q gesucht, so hat man nur die drei Koordinaten von Q auf den Schenkeln der entsprechenden Winkel OJX\ OJ„; a>z abzutragen (Bild 6 unten); dann sind die Sehnen der zugehörigen Kreisbögen die axonometrischen Koordinaten von Q. Diese trägt man auf den Achsenbildern ab (Bild 6 rechts) und konstruiert aus ihnen das Bild von Q. Durch das axonometrische Bild allein ist die Lage eines Punktes im Räume noch nicht bestimmt; dies ist erst der Fall, wenn man die Lage des Punktes zu den Koordinatenachsen kenntlich macht. Man pflegt daher außer dem axonometrischen Bild des Punktes noch seinen axonometrischen Grundriß anzugeben. Soeben wurde gezeigt, daß bei gegebenem Spurendreieck die Verkürzungsverhältnisse in Richtung der drei Ko-

3. Axonometrisches Bild eines Punktes

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ordinatenachsen konstruiert werden können. Es soll hier die Abhängigkeit der drei Verkürzungsverhältnisse untereinander bei senkrechter Axonometrie betrachtet werden. Nachstehende Skizze (Bild 7) zeigt das Koordinatenkreuz OX; OY; OZ und sein senkrecht-axonometrisches Bild OX; OY; 0Z auf die axonometrische Bildebene. 00 ist das Lot von 0 auf diese Ebene. Die Winkel 00X, 00 Y, OOZ sind also Hechte. Die Streckenverhältnisse OX . OY. OZ OX' OY' OZ sind die drei axonometrischen Verkürzungsverhältnisse. Diese sind aber gleich dem Kosinus der Neigungswinkel der axonometrischen Bildebene mit den Koordinatenachsen; d. h. es gelten die Gleichungen

Bild 7. Skizze zum Studium der Verkürzungsverhältnisse

g

Bild 8. Skizze zum räumlichen Pythagoras

= c o s ( O X O ) ; g j = cos(0 YO);

Das Dreieck 00X 2

cos (OXÖ)

= cos (OZÖ).

ist rechtwinklig; folglich ist = s i n 2 ( Ö O X ) = 1 - cos2(ÖOX)

2 H a a c k , Darstellende Geometrie III

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I. Axonometrie

und ebenso cos 2 (OYÖ) = sin2 fÖOYJ = 1 - cos2 fÖOYJ , cos2fOZÖJ = s i n 2 ( Ö 0 Z ) = 1 - cos 2 (ÖOZ). Nun sind (ÖOX), (ÖOY), (ÖOZ) die Winkel, die die Gerade 00 mit den Koordinatenachsen bildet. Um die Beziehung zwischen diesen Winkeln zu erkennen, betrachten wir eine Strecke OP der Länge 1 und das von den Koordinaten gebildete Parallelflach (Bild 8). Die a-Koordinate OPx von P ist Kathete des rechtwinkligen Dreiecks PPxO. Wegen OP = 1 wird daher OPx = c o s ( P O P x ) und entsprechend OPy = c o s ( P O P y ) , O P l = c o s ( P O P z ) . Andererseits folgt aus den rechtwinkligen Dreiecken (OP')2 = (OPx)2 + (OPy)2 und 1 = (OP)2 = (OPx)2 + (OPv)2 + (OPz)2. Daher folgt: Die Summe der Quadrate der Kosinus der Winkel, die eine durch 0 gehende Gerade mit den Koordinatenachsen bildet, ist gleich eins. Mit den Bezeichnungen von Bild 7 ist also cos2 (ÖOX) + cos2 (6 OY) + cos2 (ÖOZ) = 1. Addieren wir die obigen drei Gleichungen, so folgt: cos2(OXÖ) + cos2(OYÖ) + cos2 (OZÖ) = 2. Es gilt also der Satz: Die Summe der Q u a d r a t e der drei V e r k ü r z u n g s v e r h ä l t n i s s e bei s e n k r e c h t e r A x o n o m e t r i e ist s t e t s gleich zwei. Das heißt:

4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie Die im Bild 6 aufgedeckten Zusammenhänge führen zu einem schematischen Verfahren der Konstruktion des axonometrischen Bildes eines Gegenstandes, dessen Grundund Aufriß gegeben ist. Bild 9 zeigt das Spurendreieck und das axonometrische Bild eines Quaders. Durch Umlegung

4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie

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des Dreiecks XYO, die hier nach der entgegengesetzten Seite von Bild 6 ausgeführt ist, ergibt sich der Grundriß O0I0P'üII0 des Quaders. Um das Zusammenfallen der Umlegung mit dem axonometrischen Bild zu beseitigen, wird die

Bild 9. Zur Begründung des Einschneideverfahrens

Umlegung parallel zur 2-Achse verschoben und gibt die Figur 0'T Fll'. Der gleiche Vorgang wird mit der Ebene YOZ wiederholt, die hier als Aufrißebene dienen möge. Man erhält den Aufriß des Quaders 0"II" P"III". Daraus ergibt sich unmittelbar der folgende Zusammenhang: Werden Grundund Aufriß eines Gegenstandes gemäß Bild 9 angeordnet, z. B. auf das Zeichenbrett geheftet, so ergibt sich das axonometrische Bild eines Punktes P, indem man durch 2*

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I. Axonometrie

den Aufriß P" die Parallele zur axonometrischen z-Achse (00") und durch den Grundriß P' die Parallele zur axonometrischen 2-Achse (OÖ') zeichnet. Bei der Anwendung des Verfahrens geht man von den Geraden OÖ' und 0 0 " aus, die den spitzen Winkel a> einschließen (Bild 10), legt den Grundriß so auf die Zeichenebene, daß Ö'x' mit OÖ' den Winkel

®2 gegebenen Ebene e konstruiert. Im Bild 35 ist A" B"C der Aufriß, AC,B°C die wahre Gestalt des Schnittdreiecks, die durch Umlegung um e1 in die Grundrißebene gewonnen ist. Zwischen dem Grundriß A'B'C und der Umlegung A° B°C besteht eine orthogonale Affinität. Die Gerade &°CS' ist senkrecht zu ev Daher besteht die Proportion:

RB°: B°A°: ^4°iS0 = RB': B' A':

A'S'.

*) Der Winkel COA kann beliebig gewählt werden, braucht also kein Rechter zu sein.

11. Schiefe Axonometrie; Satz von Pohlke

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Über der Strecke S'R zeichnen wir das zu S°CR ähnliche rechtwinklige Dreieck S' C0 R. Dann ist das Dreieck Ä C0 B' wegen der obigen Proportion ähnlich zu A°CB°. Zwischen dem Dreieck A'GB' und dem Dreieck A'C0B' besteht eine Affinität mit der Achse Ä B' und der Affinitätsrichtung CC0. Die rechten Winkel S'CR und S'G0R bilden das invariante Rechtwinkelpaar der Affinität (I, Abs. 26).

Co Bild 35. Prismenschnitt, der einem gegebenen Dreieck ähnlich ist

Mit diesen Erkenntnissen läßt sich die Aufgabe leicht lösen. Gegeben sei Grund- und Aufriß des Prismas und ein Dreieck A, B, C. Wir zeichnen ein zu ABC ähnliches Dreieck A' B'C0, das mit dem Grundriß des Prismas die Seite A' B' gemeinsam hat (Bild 35), und bestimmen in C, C0 das invariante Rechtwinkelpaar der Affinität, die zwischen den Dreiecken A'C°B'\mAA'CB' besteht. Die Schenkel CR und C S ' sind dann Grundriß einer Höhenlinie (Grundrißspur) bzw. Falllinie der gesuchten Schnittebene. Um festzustellen, welcher Schenkel Grundrißspur ist, beachten wir, daß bei der senkrechten Projektion eines ebenen Polygons die Winkel, die die Seiten mit der Spur der Ebene bilden, verkleinert werden. In

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II. Grundzüge der ebenen Perspektive

unserem Fall ist B°DC ~ BCB"C "

Wegen der Parallelität der Hilfsgeraden ist aber AA! __ A'A'" AA" ~ ACA"°

BB' _ un

BcB'°

BB" ~ WW7i '

Daher folgt AC AD _ A°C° BC ' BD ~ B°Ce

:

ACDC BeD» '

Hier steht auf jeder Seite der » A»C o« / Quotient zweier Teilverhältnisse.Diesen Quotienten nennt D^BL^L-J-fi-yfcc man das D o p p e l v e r h ä l t n i s der v i e r P u n k t e ^ , B\ C, D). Man kann auf a noch eine fc / // ; Durchlaufrichtung, etwa die Richtung von A nach B als positive Richtung auszeichnen. Dann sei die Strecke A B positiv, dagegen die Strecke B A negativ. Dadurch erhält Bild 41. Zur Erhaltung des auch das Doppelverhältnis Doppelverhältnisses ein bestimmtes Vorzeichen, wenn man bei der Definition die Reihenfolge der Punkte und die Richtung der einzelnen Strecken beachtet. Es sei also An AT) Dann gilt der S a t z v o n P a p p u s : B e i der Z e n t r a l p r o j e k t i o n e i n e r G e r a d e n a a u f eine G e r a d e a° i s t das D o p p e l v e r h ä l t n i s v o n v i e r P u n k t e n v o n a g l e i c h dem D o p p e l v e r h ä l t n i s der v i e r B i l d p u n k t e auf a". Sind auf einer Geraden a drei Punkte A, B, C gegeben, so gibt es genau einen Punkt D derart, daß das Doppelverhältnis X(A,B;C,DJ gleich einem gegebenen Wert

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II. Grundzüge der ebenen Perspektive

ist; man kennt nämlich das Teilverhältnis, in dem D die Strecke AB teilt. Den Punkten A, B, G von a mögen drei beliebige Punkte Ac, Bc, C° einer beliebigen Geraden a° zugeordnet werden. Ergänzt man diese Zuordnung dadurch, daß jedem Punkt P von a derjenige Punkt P° von ac zugeordnet wird, für den die Gleichung gilt ® (A, B; C, P) = ® (A°, B°;

P°) ,

so erhält man eine umkehrbar eindeutige Abbildung der Punkte von a auf die Punkte von ae; die Geraden sind proj e k t i v aufeinander abgebildet. Zwei projektive Geraden lassen sich in eine solche gegenseitige Lage bringen, daß die Zuordnung als Zentralp.rojektion von a auf ac erscheint (perspektive Lage). Man bewege etwa die Gerade ac als starres Gebilde derart, daß