Darstellende Geometrie: Band 1 Axonometrie und Perspektive [5. Aufl Reprint 2019] 9783111372747, 9783111015293

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Darstellende Geometrie in Axonometrie und Perspektive von

Wolfgang Haack

Fünfte Auflage mit 100 Abbildungen

w DE

G

1980

Walter de Gruyter • Berlin • New York

SAMMLUNG G Ö S C H E N 2132

Dr. Wolfgang Haack em. o. Professor für Mathematik an der Technischen Universität Berlin Die Darstellung u m f a ß t folgende Bände: Band I : Die wichtigsten Darstellungsmethoden. Grund- u n d Aufriß ebenflächiger Körper. (Sammlung Göschen 3142) Band I I : Körper mit k r u m m e n Begrenzungsflächen. Kotierte Projektionen. (Sammlung Göschen 4143) Band I I I : Axonometrie und Perspektive. (Sammlung Göschen 2132)

CIP-Kurztitelaufnahme

der Deutschen

Bibliothek

Haack, Wolfgang: Darstellende Geometrie/von Wolfgang Haack. — Berlin, New Y o r k : de Gruyter. 3. Axonometrie und Perspektive. — 5. Aufl. — 1980. (Sammlung Göschen; Bd. 2132) I S B N 3-11-008271-3

© Copyright 1980 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung, J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung, Georg Reimer, Karl J . Trübner, Veit & Comp., 1000 Berlin 30 — Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner F o r m (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden — Printed in Germany — Reproduktion und D r u c k : Mercedes-Druck, Berlin — Bindearbeiten: Lüderitz & Bauer, Buchgewerbe-GmbH, Berlin

Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung

Seite

6

I. Axonometrie 2. Einführung; senkrechte Axonometrie 3. Axonometrisches Bild eines Punktes 4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie . . 5. Einfache Beispiele in normierter Axonometrie . . . 6. Zylinder, Kegel, Kugel in normierter Axonometrie . 7. Einfache Durchdringungsaufgaben 8. Schattenkonstruktionen in der Axonometrie. . . . 9. Diagonalbeleuchtung 10. Schatten von Kegel und Zylinder in normierter Axonometrie 11. Schiefe Axonometrie; Kavalierperspektive; Satz von Pohlke

10 10 14 18 26 31 36 38 40

II. Grundzüge der ebenen Perspektive 12. Perspektive der Punkte und Geraden; Doppelverhältnis 13. Darstellung einer Ebene 14. Umlegung der Grundebene 16. Meßpunkte; Perspektivität; vollständiges Viereck

60 51 67 61 65

III. Elemente der angewandten Perspektive. . . . 16. Winkel der Sehbreite und Sehhöhe eines Bildes . . 17. Teildistanz; Teilfluchtpunkt; Teilmeßpunkt. . . . 18. Fluchtmaßstäbe; Fluchtpunktschiene 19. Ergänzende Konstruktionshinweise 20. Untergelegter Grundriß

71 71 75 78 81 82

IV. Perspektive von Kreisen 21. Das perspcktive Bild des Kreises als Schnitt des Sehkegels 22. Geradenscharen, die im perspektiven Bild parallel sind 23. Ellipse als perspektives Bild des Kreises

84

42 45

84 87 88

4

Inhaltsverzeichnis Seite

24. Hyperbel und Parabel als perspektives Bild des Kreises 91 25. Beispiel zur Darstellung des Zylinders 93 26. Weitere Konstruktionen der Perspektive des Kreises 98 27. Konzentrische Kreise 104 28. Perspektive einer Kugel 105 V. S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n in der P e r s p e k t i v e . . . 109 29. Lichtstrahl und Lichtrichtung 110 30. Schlagschatten eines vertikalen Stabes 112 31. Schatten ebenflächiger Körper 115 32. Schatten auf vertikalen Wänden 119 33. Weitere Beispiele 121 Literatur

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Register

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Bild 1. Architektonische Studie von Piero della Francesca

1. Einleitung Zur Klärung der Frage, ob sich räumliche Objekte durch ebene Bilder so darstellen lassen, daß bei der Betrachtung des Bildes möglichst der gleiche Eindruck entsteht wie bei der unmittelbaren Betrachtung des räumlichen Objektes, muß man sich mit dem Vorgang des Sehens beschäftigen. Allerdings können hier nur einige einführende Bemerkungen aufgenommen werden; zum genaueren Studium sei auf Lehrbücher der physiologischen Optik verwiesen. Das menschliche Auge kann man als optisches System mit dem Knotenpunkt K ansehen. Die vom Objekt ausgehenden Lichtstrahlen erzeugen auf der Netzhaut ein Bild des Objektes. Bringt man in das Lichtstrahlenbündel, dessen Zentrum K ist, eine Ebene % und projiziert das Objekt von K zentral auf die Ebene, so wird diese Zentralprojektion des Objektes auf X das gleiche geometrische Bild auf der Netzhaut erzeugen wie das räumliche Objekt, vorausgesetzt, daß das Auge seine Stellung bezüglich % beibehält. Ist also die Zentralprojektion eines räumlichen Objektes gegeben und betrachtet man diese mit einem r u h e n d e n Auge so, daß sich der Knotenpunkt des Auges im Projektionszentrum befindet, dann entspricht das auf der Netzhaut des Augos entstehende Bild demjenigen des räumlichen Objektes. Die Eigenart der Netzhaut gestattet aber nicht, einen Körper bzw. sein perspektives Bild in der obigen Weise zu

1. Einleitung

Bildebene des

Gesichtsfeldes

Fnvea

centralis

Bild 2. Projektion der Netzhaut des Auges

1. Einleitung

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betrachten. Die Gesamtheit der Punkte des wirklichen Raumes, die sich bei einer bestimmten festgehaltenen Lage des Auges gleichzeitig auf der Netzhaut widerspiegeln, bilden des monokulare G e s i c h t s f e l d , dem der lichtempfindliche Teil der Netzhaut entspricht. Im Bild 2 wurde die Netzhaut von K auf eine Kugel mit dem Mittelpunkt K projiziert; diese Kugel wurde schließlich senkrecht auf eine Ebene ti projiziert, die zum Hauptblickstrahl senkrecht steht, Durch Umlegung der Projektionsebene n erhält man ein Bild des Gesichtsfeldes. Die hier angegebene Grenze für die Lichtempfindlichkeit bezieht sich auf weißes Licht. Im Bild 2 ist das Gesichtsfeld durch eine Reihe von Drehkegeln mit der Spitze K und dem Hauptblickstrahl als Achse in verschiedene Zonen eingeteilt. Nur in der nächsten Umgebung des Punktes A" (fovea centralis) ist das Auflösungsvermögen der Netzhaut ausreichend, um „scharfes" Sehen zu vermitteln. In den äußeren Zonen können nur unscharfe Reflexe wahrgenommen werden. An der Stelle des Nerveneintritts, die dem schraffierten Gebiet um M" entspricht, ist die Netzhaut nicht sehfähig (sog. blinder Fleck). Die Betrachtung eines Gegenstandes, der nicht im Innern eines Sehkegels von etwa 5° bis 10° liegt, ist mit ruhendem Auge nicht möglich. Durch Drehung des Auges in der Augenhöhle, die man als Drehung um den Punkt 0 ansehen kann, wird das Objekt mit dem Hauptblickstrahl abgetastet. Jede Stellung des Blickstrahles erfaßt in der Umgebung der fovea centralis ein kleines Gebiet des betrachteten Körpers (als Zentralprojektion mit dem Zentrum K). Aus der Vielzahl dieser Teilbilder entsteht schließlich der Gesamteindruck, das Gesamtbild des Objektes. Da die Drehung des Auges nicht um K, sondern um 0 erfolgt, verschiebt sich mit jeder Drehung der Knotenpunkt K. Daher ist das monokulare Sehen mit bewegtem Auge keine Zentralprojektion, sondern eine Synthese aus einer Vielfalt von einzelnen Zentralprojektionen mit verschiedenen Zentren, die man durch eine einzige Zentralprojektion mit dem Zentrum 0 recht gut annähern kann. Betrachtet man die Zentralprojektion eines räumlichen Objektes mit einem bewegten Auge derart, daß

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1. Einleitung

sich der Drehpunkt 0 des Auges im Projektionszentrum befindet, so fällt das Bündel der Hauptblickstrahlen mit den Projektionsstrahlen zusammen. Der optische Eindruck, den die Zentralprojektion hervorruft, wird denjenigen einer unmittelbaren Betrachtung des Objektes recht gut wiedergeben. Man spricht von der g e b u n d e n e n B e t r a c h t u n g eines Perspektiven Bildes. Diesen Vorgang hat schon A l b r e c h t D ü r e r mehrfach veranschaulicht. Bei der freien Betrachtung eines perspektiven Bildes mit beiden Augen wird nicht der gleiche optische Eindruck entstehen wie bei der unmittelbaren Betrachtung des Objektes. Um wenigstens eine gute Annäherung an den natürlichen Eindruck zu bewirken, müssen Projektionszentrum und Bildebene so gewählt werden, daß sich beide Augen des Betrachters nahe am Projektionszentrum befinden. Ist der Augenabstand, der etwa 6,5 cm beträgt, klein im Verhältnis zur Distanz, das ist der Abstand des Zentrums von der Bildebene, so weichen die Hauptblickstrahlbündel der beiden Augen nur wenig ab vom Bündel der Projektionsstrahlen, und die Zentralprojektion wird einen guten räumlichen Eindruck vermitteln. Hier sei an Erfahrungen erinnert, die wohl jeder bei der Betrachtung photographischer Aufnahmen gemacht hat. Man kann leicht folgenden Vergleich anstellen: Von einer photographischen Aufnahme betrachtet man zunächst einen Kleinbildabzug vom Format 2,4 x 3,6 cm mit der Distanz 5 cm. Wegen der beschränkten Akkommodationsfähigkeit des Auges wird man ein solches Bildchen aus einer Entfernung von etwa 20 cm betrachten. Dann sind die Hauptblickstrahlbündel sehr verschieden vom Projektionsstrahlenbündel, und es entsteht kein unmittelbar räumlicher Eindruck des Objektes. Betrachtet man dagegen eine Vergrößerung der gleichen Aufnahme auf ein Format von 12 x 18 cm, dem eine Brennweite von etwa 25 cm entspricht, so gewinnt das Bild außerordentlich an räumlicher Wirkung. Aber auch jetzt ist das Verhältnis des Augenabstandes zur Brennweite noch reichlich groß. Vergrößert man schließlich durch Bildwerfer die Aufnahme auf das Format 1 2 0 x 1 8 0 cm und betrachtet das Bild so, daß sich die Augen etwas mehr als

1. Einleitung

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250 cm vor der Bildmitte befinden, so ist die räumliche Wirkung des Bildes geradezu überraschend. Zusammenfassend kann man feststellen: Je besser die Hauptblickstrahlbündel der beiden Augen bei der unmittelbaren Betrachtung des räumlichen Objektes mit denjenigen bei der Betrachtung des perspektiven Bildes übereinstimmen, desto besser ist der räumliche Eindruck des Bildes.

Betrachtet man einen kleinen Gegenstand, so ist das Blickstrahlbündel nur schwach konvergent, und man kann es näherungsweise durch ein Parallelstrahlbiinrlel ersetzen. Das bietet die Möglichkeit, durch Parallelprojektion anschauliche Bilder kleiner Gegenstände zu gewinnen. Die historische Entwicklung der Perspektive kann man in der Malerei verfolgen. Schon in der Einleitung von Band I wurde Euklids Werk über Optik erwähnt (300 v. Chr.). Es

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I. Axonometrie

ist in einigen lateinischen Übersetzungen erhalten. Euklid stellt zunächst 12 Postúlate auf, denen 61 Theoreme folgen. Einige der Theoreme seien zitiert: „4. Wenn auf derselben Geraden gleiche Strecken liegen, so wird die weiter entfernte kleiner erscheinen. 10. Weiter entfernte Teile einer unterhalb des Auges gelegenen Ebene erscheinen höher. 40. Die Räder eines Wagens scheinen einmal rund, einmal oval zu sein" (aus der italienischen Übersetzung von E. Danti, 1573). Euklid beschreibt die Gesetze des Sehens, die wohl auch von den Malern der Antike beachtet wurden, aber keine Zentralperspektive. Ein Beispiel der antiken Malerei ist das Pompejanische Gemälde nach dem Kupferstich von H. Roux Ainé (Bild 3). Hier sind Euklids Theoreme beachtet. Es ist nicht möglich, im Rahmen dieses Büchleins auf die Geschichte der Perspektive näher einzugehen. Nur zwei Namen sollen genannt werden. Die erste systematische Darstellung einer Konstruktionsperspektive verdankt man Piero della F r a n c e s c a (1420—1492). Seine „Prospectiva Pingendi" wurde in Parma aufgefunden und 1899 im italienischen Urtext mit den Originalzeichnungen veröffentlicht. Einen großen Teil der Konstruktionsaufgaben, die im II. und III. Kapitel dieses Bändchens behandelt werden, konnte Piero, allerdings auf andere Art, lösen. A l b r e c h t D ü r e r s „Unterweisung" (1525, s. I. S. 8) hat zwar großen Einfluß auf die Entwicklung der Perspektive ausgeübt, enthält aber nicht die Klarheit und Vollständigkeit in den Konstruktionen wie das Werk Francescas. Das Titelbild zeigt eine architektonische Studie von Piero della Francesca. I. Axonometrie 2. Einführung; senkrechte Axonometrie Es seien in der Zeichenebene Grund-, Auf- und Seitenriß eines Punktes V sowie die drei Projektionsachsen gezeichnet. Die Seitenrißebene sei zur Grund- und Aufrißebene senkrecht. Wir nennen die Schnittgerade der Grund- und Aufrißebene die x-Achse, diejenige der Grund- und Seitenrißebene die y-Achse und schließlich diejenige der Auf- und Seitenriß-

2. Einführung; senkrechte Axonometrie

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ebene 2-Achse. Werden durch den Punkt P die Parallelebenen zu den Projektionsebenen gelegt, so entsteht ein l'arallclfheh (HihU) 1 ), welches eine Kcke im l'unkl 0 und drei weitere Ecken Px, 1\, i \ auf den Achsen hat. Man nennt die Strecken OPx,OPy,OPz die K o o r d i n a t e n des Punktes P. Die drei Projektionsachsen heißen Koordinatenachsen, und der Punkt 0 heißt der Koordinatenursprung oder Koordinatenanfangspunkt. Die drei Achsen zusammen nennt man ein rechtwinkliges Achsenkreuz. Man erkennt sofort, daß die Beziehung zwischen den Projektionen und den Koordinaten eines Punktes umkehrbar eindeutig ist. Sind nämlich die Koordinaten OPx, OPy, OP„ eines Punktes gegeben, so können sofort die Projektionen des Punktes gezeichnet werden. Anstatt die Koordinaten eines Punktes P durch die drei Strecken OPx, OPy, 0P2 zu geben, kann man sie durch ein Zahlentripel festlegen. Man wählt auf jeder der Koordinatenachsen vom Ursprung 0 aus eine Einheitsstrecke und gibt durch die Zahlenwerte der Koordinaten an, das Wievielfache die Strecken OPx, OPy, OPz von diesen Einheitsstrecken sind. Der Punkt, dessen Koordinaten gerade gleich den entsprechenden Einheitsstrecken sind, erhält die Koordinaten (1, 1, 1) und heißt der Einheitspunkt des Koordinatensystems. Im allgemeinen wird man die drei Einheitsstrecken einander gleich annehmen. Der Einheitspunkt ist dann eine Ecke eines Würfels der Kantenlänge 1; seine Koordinaten bilden ein „gleichschenklig-rechtwinkliges Achsenkreuz". >) An der Durchführung der Zeichnungen s iwle an der redaktionellen Bearbeitung der 2. Auflage hat Herr W. J . Grunewald mitgewirkt. Die licsrlinftiiiig der Abbildungen übernahm der Verlag.

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I. Axonometrie

Die Axonometrie stellt die Punkte des Raumes stets in bezug auf ein fest gegebenes Koordinatensystem dar. Man versteht unter dem axonometrisehen Bild eines J'unktes / ' jede J'arallelprojektion des Punktes P und des lest gegebenen Koordinatensystems auf eine gegebene Ebene, die Bildebene des axonometrisehen Bildes. Der wichtigste Fall ist die

s e n k r e c h t e oder orthogonale Axonometrie, bei der die Projektionsstrahlen zur Bildebene senkrecht sind. Im Gegensatz hierzu spricht man in allen anderen Fällen von s c h i e f e r Axonometrie. Wir beschäftigen uns zunächst mit der senkrechten Axonometrie. Offenbar ist hier das axonometrische Bild eines Punktes völlig bestimmt, wenn die Stellung der Bildebene zu den Koordinatenachsen bekannt ist. Im Bild 5 ist der Punkt P in Grund-, Auf- und Seitenriß gezeichnet. Es sei ferner eine Ebene e durch die Spuren

2. Einführung; senkrechte Axonometrie

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ev e2, e3 gegeben. Auf diese Ebene soll der Punkt P und das Koordinatensystem (dessen Achsen mit den Projektionsachsen zusammenfallen) senkrecht projiziert werden. Wir führen diese Projektion zunächst im Grund- und Aufriß aus, indem wir von 0 das Lot auf die Ebene e fällen und seinen Schnittpunkt 0 * mit e bestimmen. In bekannter Weise findet man die Projektionen 0 * ' und 0 * " (s. I. Abs. IG). Verbinden wir 0*" mit X, Z, 0 und 0*' mit X, Y, 0, so erhalten wir Grund- und Aufriß der senkrechten Projektion der Koordinatenachsen auf e. Ebenso kann man von P das Lot auf e fällen und seinen Fußpunkt bestimmen. Es ist jedoch nicht unser Ziel, diese senkrechte Projektion in Grund- und Aufriß darzustellen, sondern sie in der Ebene selbst zu zeichnen. Zu diesem Zweck klappen wir e um die Grundrißspur ex in die Zeichenebene um. Dabei gehen die Spuren e2 und ^ in die Geraden e2, e3 über. e2, % und tx bilden das S p u r e n d r e i e c k . Das Bild 0 * des Koordinatenanfangspunktes geht bei der Umklappung in den Punkt Ö über, und die Geraden OZ, ÖX, OY sind die Bilder der Koordinatenachsen nach der Umklappung. Es gilt der Satz: Die a x o n o m e t r i s c h e n B i l d e r der K o o r d i n a t e n a c h s e n bei s e n k r e c h t e r A x o n o m e t r i e sind die H ö h e n des S p u r e n d r e i e c k s . Die Richtigkeit des Satzes ist leicht einzusehen: Im Grundriß war 0*'0 das Bild der z-Achse; 0*'0 ist senkrecht auf e1. Bei der Umklappung von e bleibt es senkrecht, d.h., OZ ist senkrecht auf ev Wir hätten aber ebenso die Ebene e um e2 umklappen können, dann hätte sich ergeben: 0 Y ist senkrecht zu e2. Schließlich gilt der gleiche Schluß für ÖX. Im Bild 5 ist das axonometrische Bild des Punktes P eingezeichnet, und zwar haben wir die Bilder der auf den Achsen gelegenen Punkte Px, Py, Pz konstruiert und durch diese das Parallelflach gelegt. Es soll folgender Satz bewiesen werden: Die H ö h e n eines b e l i e b i g e n s p i t z w i n k l i g e n D r e i e c k s k a n n m a n s t e t s a u f f a s s e n als das B i l d des K o o r d i n a t e n s y s t e m s in s e n k r e c h t e r A x o n o m e t r i e . Der Satz

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I. Axonometrie

ist offenbar bewiesen, wenn es gelingt, die Stellung der Bildebene in Grund- und Aufriß anzugeben. Wir denken uns etwa in Bild !) das Dreieck Z X Y mit. seinen Höhen gegeben; Grund- und Aufriß sind zu konstruieren. Man beschreibt über X Y den Halbkreis und verlängert Z Ö bis zum Schnitt 0 mit dem Halbkreis. Auf Ö 0 in 0 errichtet man die Senkrechte, schlägt um D mit DZ den Kreis und bestimmt dessen Schnitt Z* mit der Senkrechten. Die Senkrechte auf X 0 in 0 ist die z-Achse. Der Kreis um 0 mit OZ* oder um X mit Z X bestimmt den Punkt Z. Dann ist X Z die Aufrißspur e2, XY die Grundrißspur und XO die x-Achse und gleichzeitig Projektionsachse. Das Achsenkreuz OX, 0 Y, OZ ist in der Tat ein Koordinatensystem, dessen senkrechte Projektion auf die durch die Spuren ex, e2 gegebene Ebene die Höhen unseres ursprünglichen Dreiecks liefert. 3. Axonometrisches Bild eines Punktes Der Gegenstand, etwa ein Polyeder, dessen axonometrisches Bild konstruiert werden soll, sei im Grund-, Auf- und Seitenriß gegeben. Die Koordinatenachsen mögen wieder mit den Projektionsachsen zusammenfallen. Dann sind die Koordinaten der Eckpunkte bekannt, und es entsteht die Aufgabe, das axonometrische Bild der durch die Koordinaten gegebenen Punkte zu konstruieren. Das Spurendreieck mit seinen Höhen sei gegeben. Man legt das Spurendreieck stets so, daß das Bild der z-Achse vertikal steht. Wir bestimmen zunächst das axonometrische Bild des Grundrisses P' von P, den sogenannten axonometrischen Grundriß. Bild 6 zeigt links Grund- und Aufriß, rechts das axonometrische Bild. .Es wird über X Y der Halbkreis beschriehen und der Punkt 0* bestimmt; die Koordinaten 0* Px und 0* Py werden entsprechend abgetragen. Von Px und Py fällt man die Lote auf X Y und verlängert sie bis zum Schnitt mit XO und YO. Durch die Schnittpunkte Px und Py zieht man die Parallelen zu den Achsenbildern OY und OX; ihr Schnittpunkt P' ist der

3. Axonometrisches Bild eines Punktes

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axonometrische Grundriß von P. Das axonometrische Bild von P selbst liegt auf der durch P' gehenden Parallelen zu OZ. Um die Höhe zu bestimmen, suchen wir den Punkt Pz auf der axonometrischen z-Achse. Dies geschieht ebenso wie

die Bestimmung von Px durch Umlegung der Ebene ZOY. Es sind dann O P x , O P y , O P z die axonometrischen Bilder der Koordinaten von P. Damit ist das Bild P bestimmt. Man erkennt, daß die Koordinaten eines Punktes im axonoinetrischen Bilde nicht in wahrer Länge, sondern verkürzt erscheinen. Die entsprechenden Koordinaten aller Punkte werden im g l e i c h e n Verhältnis verkürzt. Hat man das axonometrische Bild mehrerer Punkte zu zeichnen, so

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I. Axonometrie

wird man nur für einen Punkt die obige Konstruktion ausführen. Dann kennt man die Verkürzungsverhältnisse in Richtung der drei Achsen. Es können daher die Koordinaten jedes Punktes sofort in der entsprechenden Verkürzung auf den axonometrischen Achsenbildern abgetragen werden. Die Verkürzungen werden folgendermaßen zeichnerisch ausgeführt: Man trägt die drei Koordinaten OP x , OP y , 0 P 2 je von einem Punkt 0 aus ab (Bild 6 unten) und beschreibt je mit 0 Px, 0 Py, 0 P2 den Kreis. Dann trägt man auf diesen Kreisbögen von Px\bzw. Py, Pz) aus als Sehnen die verkürzten axonometrischen Bilder der Koordinaten ab, die aus Bild 6 rechts entnommen werden. Es wird also die Sehne PX(P) gleich der axonometrischen Koordinate OPx des Punktes P. Die Verkürzungsverhältnisse können auch unmittelbar aus dem axonometrischen Spurendreieck gewonnen werden, indem man wie oben die Grund- und Aufrißebene in die axonometrische Bildebene umklappt. Dann sind OX . OY^ . OZ 0*X ; 0* Y ' 0*Z die Verkürzungsverhältnisse (Bild 6 rechts), aus denen ganz entsprechend die drei Winkel u>x\ ojv \ u>l konstruiert werden können. Ist nun z. B. das axonometrische Bild irgendeines Punktes Q gesucht, so hat man nur die drei Koordinaten von Q auf den Schenkeln der entsprechenden Winkel ojx; OJ„; (oz abzutragen (Bild 6 unten); dann sind die Sehnen der zugehörigen Kreisbögen die axonometrischen Koordinaten von Q. Diese trägt man auf den Achsenbildern ab (Bild 6 rechts) und konstruiert aus ihnen das Bild von Q. Durch das axonometrische Bild allein ist die Lage eines Punktes im Räume noch nicht bestimmt; dies ist erst der Fall, wenn man die Lage des Punktes zu den Koordinatenachsen kenntlich macht. Man pflegt daher außer dem axonometrischen Bild des Punktes noch seinen axonometrischen Grundriß anzugeben. Soeben wurde gezeigt, daß bei gegebenem Spurendreieck die Verkürzungsverhältnisse in Richtung der drei Ko-

3. Axonometrisches Bild eines Punktes

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ordinatenachsen konstruiert werden können. Es soll hier die Abhängigkeit der drei Verkürzungsverhältnisse untereinander bei senkrechter Axonometrie betrachtet werden. Nachstehende Skizze (Bild 7) zeigt das Koordinatenkreuz OX; OY; OZ und sein senkrecht-axonometrisches Bild OX; ÖY;OZ auf die axonometrische Bildebene. 00 ist da^Lot von 0 auf diese Ebene. Die Winkel OÖX,OÖY, OOZ sind also Rechte. Die Streckenverhältnisse

OX . OY. OZ OX' OY' OZ sind die drei axonometrischen Verkürzungsverhältnisse. Diese sind aber gleich dem Kosinus der Neigungswinkel der axonometrischen Bildebene mit den Koordinatenachsen; d. h., es gelten die Gleichungen

Bild 7. Skizze zum Studium der Vcrkürzungsverhättnisae

gl^cos (OXO)-

Bild 8. Skizze zum räumlichen Pythagoras

= cos (OYO);

= cos (OZO).

Das Dreieck OOX ist rechtwinklig; folglich ist cos*(OXÖ) = sin*(ÖOX) = 1 - cos2(ÖOX) 2 i l a a c k , Darstellende Goomotiie I I I

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I. Axonometrie

und ebenso c o s 2 ( O Y Ö ) = sin2 (ÖOY) = 1 - cos2 (ÖOY) , cos*(OZO) = s i n 2 ( Ö O Z ) = 1 - c o s 2 ( 0 0 Z ) . Nun sind (ÖOX), (ÖOY), (ÖOZ) die Winkel, die die Gerade 00 mit den Koordinatenachsen bildet. Um die Beziehung zwischen diesen Winkeln zu erkennen, betrachten wir eine Strecke OP der Länge 1 und das von den Koordinaten gebildete Parallelflach (Bild 8). Die x-Koordinate OPx von P ist Kathete des rechtwinkligen Dreiecks PPxO. Wegen OP = 1 wird daher OPx = c o s ( P O P x ) und entsprechend OPt = c o s ( P O P y ) , 0P2 = cos (PO Pz). Andererseits folgt aus den rechtwinkligen Dreiecken (OP')2 = (OP x )* + (OP y )* und 1 = (0 Pf = (0 Px)2 + (0 PyP + (0 PJ2. Daher folgt: Die Summe der Quadrate der Kosinus der Winkel, die eine durch 0 gehende Gerade mit den Koordinatenachsen bildet, ist gleich eins. Mit den Bezeichnungen von Bild 7 ist also cos2 (ÖOX)

+ cos2 (ÖOY)

+ cos2 (ÖOZ)

=

1.

Addieren wir die obigen drei Gleichungen, so folgt: cos2 (OXl))

+ cos2(OYÖ)

+ cos2(OZÖ) = 2.

Es gilt also der Satz: Die S u m m e der Q u a d r a t e der drei V e r k ü r z u n g s v e r h ä l t n i s s e bei senkrechter A x o n o m e t r i e i s t s t e t s gleich zwei. Das heißt:

4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie Die im Bild f> aufgedeckten Zusammenhänge führen zu einem schematischen Verfahren der Konstruktion des axonometrischen Bildes eines Gegenstandes, dessen Grundund Aufriß gegeben ist. Bild 9 zeigt das Spurendreieck und das axonometrische Bild eines Quaders. Durch Umlegung

4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie

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des Dreiecks XYO, die hier nach der entgegengesetzten Seite von Bild 6 ausgeführt ist, ergibt sich der Grundriß O0 /„ P'nll0 des Quaders. Uni das Zusammenfallen der Umlegung mit dein axononietrischen Bild zu beseitigen, wird die

Bild 9. Zur Begründung des Einschneideverfahrens

Umlegung parallel zur z-Achse verschoben und gibt die Figur O ' T P'IT'. Der gleiche Vorgang wird mit der Ebene YOZ wiederholt, die hier als Aufrißebene dienen möge. Man erhält den Aufriß des Quaders 0"II" P"III". Daraus ergibt sich unmittelbar der folgende Zusammenhang: Werden Grundund Aufriß eines Gegenstandes gemäß Bild 9 angeordnet, z. B. auf das Zeichenbrett geheftet, so ergibt sich das axonometrische Bild eines Punktes P, indem man durch

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I. Axonometrie

den Aufriß P" die Parallele zur axonometrischen z-Achse (00") und durch den Grundriß P' die Parallele zur axononietrischen 2-Achse (00') zeichnet. Bei der Anwendung des Verfahrens geht man von den Geraden 0 0 ' und 0 0 " aus, die den spitzen Winkel co einschließen (Bild 10), legt den Grundriß so auf die Zeichenebene, daß Ö'x' mit 00' den "Winkel

einschließt. Die Parallelen zu 00' durch y' die Grundrißpunkte schneiden die Parallelen zu 00" durch die entsprechenden Aufrißpunkte in den axonometrischen Bildern. Im Bild 10 wurde das axonometrische Bild eines Würfels eingezeichnet. Zur technischenVereinfachung des Verfahrens kann man ein Winkellineal der Gestalt Ö' 00" verwenden, das so geführt wird, daß 00' stets vertikal ist. Geht die Kante OÖ' des Lineals durch den Grundriß P Bild 10. Beispiel zum Einschneideverfahren und die Kante 00" durch den Aufriß P" eines Punktes P, so liegt die Linealecke 0 im axonometrischen Bildpunkt. Die Wahl der Winkel q>, tp, co ist weitgehend willkürlich. Nach L. E c k h a r t führt jede beliebige Wahl der drei Winkel zu einer Parallelprojektion des Gegenstandes, der in Grund- und Aufriß gegeben ist. Zu einer s e n k r e c h t e n Projektion gelangt man nur, wenn = - : - : 1 (Hütte, 27. Aufl., S. 210) diene eine Durchdringung von Prisma lind Pyramide, deren axonninetrische Grundrisse bekannt seien (Bild 15 b). Die Verschneidung konstruiert man durch Verlängern der Prismenebenen im Grundriß (Punkte A, B). Das Lot durch C' trifft die Pyramidenkante durch F in C.

Schleifende Schnitte werden durch Kontrollen umgangen. So ist z. B. DE parallel zu FC, weil eine Prismenfläche parallel zur Ebene FGS innerhalb der Pyramide ist.

5. Einfache Beispiele in normierter Axonometrie Im allgemeinen wird man die axonometrischen Bilder von Gegenständen nicht durch Übertragung einzelner Punkte aus Grund- und Aufriß, sondern unmittelbar in der Bildebene konstruieren, gegebenenfalls unter Verwendung des axonometrischen Grundrisses. Dabei wird man ausnutzen, daß die Axonometrie eine Parallelprojektion ist. Die axonometrischen Bilder paralleler Geraden sind wieder parallele Geraden. Zwischen dem axonometrischen Bild einer ebenen Figur und der Figur selbst besteht eine Affinität (I, Kap. V). Aus diesen Eigenschaften kann man konstruktive Hilfsmittel gewinnen. Die Verfahren sollen an einigen Beispielen erläutert werden.

5. Einfache licispicle in normierter Axonometrie

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a) B a l k e n - V e r z a p f u n g in normierter Axonometrie. Zwei Balken mit rechteckigem Querschnitt (Seitenlängen h, b) sollen rechtwinklig verzapft werden. Die Kanten des einen Balkens legen wir in die y-Richtung. Den Balkenquerschnitt zeichnen wir in der xz-Ebene, indem wir h in wahrer Länge und b in halber Länge auftragen (Bild 16). Die Zapfenfläche A BC ist in wahrer Gestalt ein Bild 16. Balkenverzapfung gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck; es erscheint als gleichschenkliges Dreieck der Schenkellänge h. Der senkrechte Balken läßt sich jetzt sofort zeichnen. Man kann die Zusammenfügung von Bauelementen gut veranschaulichen, indem man die einzelnen Elemente in getrennter Stellung so zeichnet, daß sie durch einfache Parallelverschiebung zusammengefügt werden können. Bei Parallelprojektionen entspricht einer Parallelverschiebung des Gegenstandes eine Parallelverschiebung des Bildes (wenn die Verschiebungsrichtung nicht Projektionsrichtung ist). Im Bild 16 ist der vertikale Balken so gezeichnet, daß er durch vertikale Bewegung auf den Zapfen aufgesetzt werden kann. b) K r e i s e in den K o o r d i n a t e n e b e n e n . Zur Konstruktion der Bildellipse eines solchen Kreises geht man im allgemeinen aus von dem Tangentenquadrat des Kreises, dessen Seiten zu den beiden Koordinatenachsen der Kreisebene parallel sind. So gewinnt man z. B . für einen Kreis der yz-Ebene das im Bild 17 gezeichnete Parallelogramm, dessen Seiten die Ellipse in den Punkten A, B und C, D berühren. Die Strecken AB, CD bilden ein Paar konjugierter Durchmesser, deren Längen aus den Verkürzungs-

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I. Axonometrie

Verhältnissen in den Achsenrichtungen bekannt sind. Ebenso kann man die Tangentenparallelogramme und ein Paar konjugierter Durchmesser für die Bildellipsen der Kreise der

Außerdem läßt sich die große Hauptachse der Bildellipse sofort angeben. Die senkrechte Axonometrie ist eine senkrechte Projektion. Bei einer solchen erscheint der zur Bildebene parallele Kreisdurchmesser als große Achse der Ellipse in wahrer Größe (II, Abs. 1). Die zur Bildebene parallelen Geraden einer Ebene sind die Spurparallelen. Die großen Achsen der Bildellipsen sind also parallel zu den Seiten des Spurendreiecks. Da aber die Koordinatenachsen als Höhen des Spurendreiecks erscheinen, gewinnen wir folgendes Ergebnis: D a s a x o n o m e t r i s c h e B i l d e i n e s z u r xyE b e n e p a r a l l e l e n K r e i s e s ist eine E l l i p s e , deren g r o ß e A c h s e s e n k r e c h t zur a x o n o m e t r i s c h e n zA c h s e ist. E n t s p r e c h e n d e s g i l t f ü r die K r e i s e d e r

5. Einfache Beispiele in normierter Axonometrie

29

b e i d e n a n d e r e n K o o r d i n a t e n e b e n e n . Die kleine Achse der Bildellipse ist also stets parallel zum Bilde der Normalen der Kreisebene. Der letzte Satz gilt auch für die Projektion eines Kreises, der in einer beliebigen Ebene liegt; jedoch ist die Spur bzw. das axonometrische Bild der Normalen der Kreisebene dann nicht unmittelbar bekannt, sondern erst zu konstruieren (s. Abs. 5 c). Für die Koordinatenebenen und deren Parallelebenen sind die Normalen in den Koordinatenachsen gegeben. Die Bildellipsen aller zueinander parallelen Kreise sind einander ähnlich; sie haben also das gleiche Achsenverhältnis. Für einen Kreis der zy-Ebene läßt sich das VerkürzungsVerhältnis für die kleine Achse der Bildellipse aus Bild 9 bzw. Bild 6 ablesen. Im Bild 6 ist die zur 6« Spur X Y senkrechte Strecke 0* T im axonometrischen Bild verkürzt auf 0 T. Demnach gilt r:R = 0T:0*T, wenn r die kleine und R die anderen Koordinatenebenen erhält man die Achsenverhältnisse der entsprechenden Ellipsen. Zwischen dem Verkürzungsverhältnis in den Koordinatenachsen und dem Achsenverhältnis der Bildellipsen der Kreise, die zu den Koordinatenebenen parallel sind, besteht eine oinfache Beziehung. Wir beschränken uns auf Kreise der xy-Ebene. Man denke sich um 0 eine Kugel vom Radius 1 (Bild 18). Die durch die z-Achse gehende Ebene, die zur axonometrischen Bildebene senkrecht ist, legen wir in die Zeichenebene um. Dann erscheint in der Zeichenebene ein Großkreis der Kugel, die z-Achse 0 A und der Halbmesser O B des zur z-Achse senkrechten Kugelkreises, dessen Bild die kleine Ellipsenhalbachse ist. Bei der senkrechten Projek-

30

I. Axonometrie

tion auf die Bildebenen verkürzt sich OA in OA und OB in OB. Wegen der Kongruenz der Dreiecke 0BB0 und OAA0 ist O B = AAQ und nach dem Pythagoras (OB)2 = 1 - ( O l ) 2 . Für das Achsenverhältnis der Bildellipse folgt daher r:R

= OB : 1 = ] / \ - (OAf

=

RUF

rechts steht das Verkürzungsverhältnis in der 2-Richtung (Bild 7). Entsprechende Gleichungen gelten für die Kreise der beiden anderen Koordinatenebenen. Für die normierte dimetrisclie Axonometrie ergeben sich (nach Abs. 4) folgende Werte für die Achsenverhältnisse der Bildellipsen Ebene xy xz yz r:R

1:3

1:3

9:10

Die axonometrische Darstellung von Kreisen, die zu einer der Koordinatenebenen parallel sind, bereitet also keine besondere Mühe und wird noch erleichtert, wenn je ein Ellipsen-Satz der beiden Achsenverhältnisse verfügbar ist. c) L o t auf eine E b e n e . Es sei eine Ebene e durch ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen gegeben und außerdem ein Punkt P außerhalb der Ebene. Gesucht ist das Lot von P auf die Ebene und der Fußpunkt des Lotes. Das axonometrische Bild der Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen sowie dasjenige des Punktes P u n d seines Grundrisses P' kann man nach dem Obigen sofort zeichnen, wenn das SpurenJlild 19. Lot auf eine Ebene dreieck gegeben ist. Ebenso unmittelbar findet man das axonometrische Bild der Grundund Aufrißspur e1, e2 der Ebene. Man hätte sich die Ebene

6. Zylinder, Kegel, Kugel in normierter Axonometrie

31

auch direkt durch die axonometrische Grund- und Aufrißspur geben können. Es ist bekannt, daß die Projektion des Lotes auf der gleichnamigen Spur der Ebene senkrecht steht. Das axn110metrische Bild ist eine senkrechte Projektion auf die Bildebene. Wir konstruieren die Spur s der gegebenen Ebene mit der axonometrischen Bildebene (Bild 19). Dann ist das Lot ü von P auf s das axonometrische Bild des Lotes von P auf die Ebene e. Um den Lotfußpunkt zu bestimmen, brauchen wir den axonometrischen Grundriß W des Lotes. Der Grundriß des Lotea ist bekanntlich senkrecht auf der Grundrißspur der Ebene. Jedoch geht dieser rechte Winkel bei der Projektion auf die Ebene des axonometrischen Bildes verloren. Man könnte hier so vorgehen, daß man die Grundrißebene in die axonometrische Bildebene umklappt. Vorteilhafter ist aber folgende Überlegung: Die zur Grundrißebene senkrechte Ebene durch die Grundrißspur e1 ist senkrecht auf dem Grundriß u' des Lotes. Folglich muß die in der axonometrischen Bildebene gelegene Spur dieser Ebene zum axonometrischen Grundriß ü' des gesuchten Lotes senkrecht sein. Die Parallele zu z durch E ist das axonometrische Bild der Aufrißspur unserer Hilfsebene; die Gerade CA ist ihre Spur in der axonometrischen Bildebene. Das Lot von P' auf CA ist der axonometrische Grundriß ü' von u. Durch das axonometrische Bild ü und den axonometrischen Grundriß ist das Lot u völlig bestimmt. Zur Ermittlung seines Spurpunktes in der Ebene e bestimmt man zunächst die Schnittgerade der durch u gehenden vertikalen Ebene mit e. Das axonometrische Bild dieser Schnittgeraden ist leicht zu zeichnen : Die Parallele zu z durch 0 (Bild 19) ist das axonometrische Bild der Aufrißspur der durch u gehenden vertikalen Ebene. Folglich ist die Gerade LN ihre Schnittgerade mit der Ebene e und F das gesuchte axonometrische Bild des Lotfußpunktes. 6. Zylinder, Kegel, Kugel in normierter Axonometrie Ist die Achse einer Rotationsfläche parallel zu einer Koordinatenachse, so sind die Parallelkreise parallel zu der

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I. Axonometrie

orthogonalen Koordinatenebene. Bild 20 zeigt eine zylindrische Platte mit vertikaler Achse. In Richtung der a;-Achse ist eine Nut eingefräst, deren Bild sich sofort zeichnen läßt, wenn Breite a und Tiefe h = Ii — b der Nut gegeben sind. z

Bild 20. Kreisförmige Platte mit Nut

Ein Drehkegel, dessen Grundkreis in der zz-Ebene liegt, ist im Bild 21 skizziert. Bei gegebenem Durchmesser läßt sich die Bildellipse des Grundkreises sofort zeichnen. Den Umriß des Kegels bilden die Tangenten von der Spitze S an die Ellipse; sie können nach I, Abs. 28 konstruiert werden. Der Schnitt des Kegels mit einer Ebene e läßt sich leicht axonometrisch durchführen, wenn e parallel zur Kegelachse ist. Wir wählen die Schnittebene parallel zur yz-Ebene. Die Schnittkurve ist eine Hyperbel, ebenso ihr axonometrisches Bild. Punkte der Schnitthyperbel ergeben sich mittels einiger Hilfsebenen durch die Kegelachse. Diese Hilfsebenen schneiden e in Geraden, die parallel zur Kegel- bzw. «/-Achse sind, und den Kegel in Erzeugenden. Das Dreieck AOS bestimmt den Punkt T der Hyperbel. T ist das axonometrische Bild des Scheitels der wirklichen Schnitthyperbel. Die Hyperbeltangente in T ist parallel zur z-Achse. Im Bild 21 ist

6. Zylinder, Kogel, Kugel in normierter Axonometrie

33

z

Bild 21. Schnitt eines Kegels mit achsenparalleler Ebene

noch ein weiterer Punkt P der Hyperbel konstruiert. Für das Kurvenstück T II ist diese Hilfskonstruktion unbrauchbar. Da aber T T" Bild der Hyperbelachse ist, also Symmetriegerade der Hyperbel, und die Symmetrie bei Parailelprojektionen erhalten bleibt, liegt ein weiterer Punkt Q der Hyperbel auf der Parallelen durch P zur z-Achse symmetrisch bezüglich T T". Jetzt kann man die Schnittkurve mit ausreichender Genauigkeit zeichnen. Der S c h n i t t eines D r e h k e g e l s mit einer beliebigen E b e n e läßt sich etwa folgendermaßen axonometrisch durchführen. Der Kegel stehe auf der sy-Ebene. Wir drehen das Koordinatensystem so, daß die Spur der Schnittebene e in der zy-Ebene parallel zur x-Achse ist (Bild 22). Dann ist die Lage von e bestimmt, wenn wir verlangen, daß e die z-Achse im Punkt T schneidet, s sei also durch T und e gegeben. Zur Bestimmung einzelner Punkte der Schnittkurve verwenden wir wieder Hilfsebenen durch die Kegelachse. Die yz-Ebene schneidet den Kegel in dem Dreieck SII0I0 und e in der Geraden TH. Man erhält die Punkte III und damit einen Durchmesser der Schnittellipse. Den Mittelpunkt M von I II verbinden wir mit S und erhalten < H a a c k , Darstellende Geometrie III

P.4

I. Axonometrie

Bild 22. Schnitt eines Kegels mit beliebiger Ebene

auf der Verlängerung den Punkt P der «/-Achse. Durch P und M ziehen wir die Parallelen zur «-Achse. Verbindet man die Punkte III0, IV0 mit S, so erhält man die Punkte III, IV und damit den zu I II konjugierten Durchmesser der Schnittellipse. Die konjugierten Durchmesser I II, III IV sind das axonometrische Bild der Hauptachsen der Schnittellipse (s. II, Abs. 8). Handelt es sich nur um das Entwerfen anschaulicher Skizzen, so wird man in das Tangentenparallelogramm der beiden Durchmesser die Ellipse einzeichnen können. Oft wünscht man den U m r i ß p u n k t zu kennen. Ist V0 Umrißpunkt der Grundellipse (s. I, Abs. 28), so schneidet die Hilfsebene SOV0 die Ebene e in TU, und der Punkt V auf TU ist Umrißpunkt der Schnittellipse. Entsprechend findet man den anderen Umrißpunkt. Denkt, man die Kegelspitze abgeschnitten, so ergibt sich das stark ausgezogene Bild. Schließlich zeigt Bild 23 eine K u g e l , die auf einer quad r a t i s c h e n P l a t t e liegt. Vom Mittelpunkt A der oberen Plattenebene, in dem die Kugel die Platte berührt, tragen

G. Zylinder, Kej,'el, Kugel in normierter Axonometrie

35

wir auf der z-Achse den Kugelradius R ab. Dabei ist zu erwägen, ob man die oben erwähnte Maßstabsvergrößerung vornehmen will oder nicht (Abs. 4). Wir wollen zuerst o h n e Maßstabs Vergrößerung arbeiten. Der wahre Radius R0 der Kugel erscheint in der axonometrischen 2-Richtung verkürzt als R = 0,943 • R0. Im Bild 23 ist der Verkürzungswinkel

X

Bild 23. Kugel auf einer Flatte

für die z-Achse angegeben. Der Endpunkt der Strecke auf der 2-Achse ist das Bild des KugelmittelpunktesM. Bei senkrechter Parallelprojektion ist der Umriß der Kugel ein Kreis, dessen Radius der (wahre) Kugelradius ist. Der Kreis mit R0 um M ist der Umriß der Kugel, die die Platte in A berührt. Die räumliche Wirkung eines so einfachen Bildes, in dem außer dem Umriß keine Punkte auf der Kugel markiert sind, ist schon recht gut. Sie wird noch erhöht, wenn man etwa „Äquator" und „Nordpol" auf der Kugel angibt. Der Äquator erscheint als Ellipse, deren Hauptachse senkrecht, zur ¿-Achse ist. Die kleine Achse i s t ; / i ' 0 . liin Vergleich von Bild 23 mit der Kavalierperspektive in 1J, Bild 7 zeigt deutlich die Überlegenheit der senkrechten Axonometrie. 3*

36

I. Axonometrie

Nimmt man die oft recht praktische Maßstabs Vergrößerung vor und zeichnet in y- und z-Richtung die unverkürzten Längen, so muß man die im Bild auftretenden wahren Längen im Verhältnis 1:0,943 vergrößern. 7. Einfache Durchdringungsaufgaben Durchdringungen von Zylinder, Kegel und Kugel lassen sich axonometrisch unter den gleichen Gesichtspunkten konstruieren wie im Grund- und Aufriß verfahren, indem man geeignete Scharen von Hilfsebenen verwendet (II, Abs. 12 bis 18). Wir beschränken uns auf ein Beispiel für die Durchdringung von Kegel und Zylinder in normierter Axonometrie. Die Achse des Drehkegels sei die z-Achse des Koordinatensystems. Die Zylinderachse sei parallel zur ¡r-Achse. Das axonometrische Bild von Zylinder und Kegel sei gezeichnet (Bild 24). Die ?/z-Ebene schneidet den Kegel im Dreieck SNL und den Zylinder in dem Kreis um den Punkt M, der als Ellipse ABCD erscheint. Die Schnittfigur in der yzEbene können wir als Aufriß der Durchdringung deuten. Die Anordnung ist so gewählt, daß die Mantellinie S L die Ellipse um M berührt. Die Schnittkurve der beiden Körper hat daher im Berührungspunkt 1 einen Doppelpunkt (II, Abs. 15). Legt man durch S eine Ebene, die zur Zylinderachse parallel ist, so schneidet diese (wenn überhaupt) den Kegel in einem Dreieck und den Zylinder in zwei Erzeugenden und schließlich die yz-Ebene in einer Geraden. Von dieser Geraden gehen wir aus, indem wir S mit einem Punkt (z. B. 20) der y-Achse verbinden. Die Parallele durch 20 zur z-Achse schneidet die Grundellipse in II0, IIJ. Das Dreieck S I I 0 ist der Schnitt der Hilfsebene mit dem Kegel. Die Gerade S2 0 trifft die Ellipse ABCD in den beiden Punkten 2,2. Die Parallelen zur x-Achse durch diese beiden Punkte sind die Erzeugenden des Zylinders, die in der Hilfsebene liegen. Sie schneiden die Seiten des Dreiecks S II0 II¡J in den vier Punkten II, II der Durchdringungskurve. Durch Wiederholung des Verfahrens kann man beliebig viele Punkte der Durchdringungskurve konstruieren. Man wird sich meist auf

7. Einfache Durchdringungsaufgaben

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einige wichtige Punkte beschränken (vgl. Bd. II, Kap. II). Neben dem Doppelpunkt I benötigt man zum Zeichnen vor allem die Umrißpunkte. Deshalb wurde Punkt 2g gleich so gewählt, daß 11% Umrißpunkt und daher S 77J Umrißerzeugende des Kegels ist. Die Durchdringungskurve berührt in den beiden Punkten II den Umriß des Kegels. Die untere Umrißerzeugende des Zylinders berührt die Ellipse ABCD in C. Die Gerade SC schneidet die y-Achse in C0; die Hilfsebene durch SC schneidet den Kegel im Dreieck SC0III0.

Bild 24. Durchdringung von Zylinder und Kegel

Auf S III0 liegt der Umrißpunkt III der Schnittkurve. Diese Hinweise dürften zum Verständnis des Konstruktionsverfahrens genügen. Bei solchen Aufgaben ist es oft empfehlenswert, die Konstruktion im axonometrischen Bild mit dem Einschneideverfahren von Abs. 4 zu verbinden. Man kann entweder nach

I. Axonometrie

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Abs. 4 den Aufriß der Durchdringung entsprechend Bild 9 und 10 rechts oben anheften oder die yz-Ebene nach außen in die Bildebene umlegen. Dies ist im Bild 24 um die zur «-Achse senkrechte Hilfsspur S T ausgeführt. Das Dreieck SL0N0 entspricht dem Aufriß des Kegels, der Kreis um M0 dem des Zylinders. Entsprechende Punkte dieses Aufrisses und des axonometrischen Bildes liegen auf Parallelen zur axonometrischen «-Achse.

8. Schattenkonstruktionen in der Axonometrie Den räumlichen Eindruck axönometrischer Bilder kann man wesentlich verbessern, wenn man Licht und Schatten bei direkter Beleuchtung der Gegenstände hervorhebt. Dabei nimmt man die Lichtstrahlen im allgemeinen als parallel zueinander an (Sonnenbeleuchtung) und wählt die Lichtrichtung so, daß das Licht von links oben einfällt und die i/z-Ebene beleuchtet. Im Bilde wird die Lichtrichtung festgelegt, indem man das axonometrische Bild eines Lichtstrahles und seines Grundrisses angibt, z. B. die Geraden l, V im Bild 25. Im Anschluß an Bild 15 wurde darauf hingewiesen, daß das axonometrische Bild einer Würfelecke keine eindeutige Vorstellung vermittelt; die Ecke kann konvex

Bild 25. Richtung der Lichtstrahlen

Bild 26. K o n v e x e und konkave Ecke

oder konkav sein. Zeichnet man den Schatten bei direkter Beleuchtung ein (Bild 26), so ist eine solche Verwechslung nicht mehr möglich; Bild 26 zeigt links einen Würfel, rechts eine konkave Ecke. Der Schatten (aucli Schlagschatten), den ein Körper bei Parallelbeleuchtung auf eine Ebene wirft, ist eine P a r a l l e l -

8. Schattcnkonstruktioncn in der A x o n o m e t r i e

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P r o j e k t i o n des Körpers auf die Ebene. Dem Umriß der Projektion entspricht auf dem Körper im allgemeinen eine Linie, die E i g e n s c h a t t e n g r e n z e , die den beleuchteten vom unbeleuchteten Teil des Körpers trennt. Der unbeleuchtete Teil liegt im Eigenschatten. Im Bild 27 a ist der Streckenzug ABC D E FA Eigenschattengrenze. Die Eigenschattengrenze wird unbestimmt, wenn Flächenstücken des Körpers zur Lichtrichtung parallel sind. Das wird man durch geeignete Wahl der Lichtrichtung vermeiden. Die Schattenkonstruktionen lassen sich am besten an einigen Beispielen erläutern. Bild 27 a zeigt den Schlagschatten eines Würfels auf eine waagerechte Ebene. Die Lichtstrahlen, die durch die Punkte der Kante AB gehen, erzeugen eine Ebene (Lichtebene); diese schneidet die xy-Ebene in der Geraden AB. Durch B wird die Parallele l zur gegebenen Lichtrichtung, durch A die Parallele V zum Grundriß der Lichtrichtung gezogen. I, V schneiden sich im Schattenpunkt B von B. Der Schatten einer ebenen Figur auf eine zur Figur

Bild 27. Einfache Schattenkonstruktionen

parallele Ebene ist zur Figur kongruent und parallel, da der Schatten eine Parallelprojektion ist. Daher ist der Schatten des Würfeldeckels ein zu diesem paralleles, kongruentes Parallelogramm mit einer Ecke in B.

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I. Axonometrie

Bild 27 b zeigt zwei rechtwinklig zueinander stehende Quadrate. Der Schatten der Kante A B ist die Strecke A B. Der Schatten von BC ist die zu BC parallele Strecke durch B. Diese trifft die Unterkaiitc des zweiten Quadrates iin Punkt D. Legen wir durch D den Lichtstrahl, so trifft dieser die Kante BC im Punkt D. Nur das Stück BD der Strecke BC kann seinen Schatten auf die a;i/-Ebene werfen. Der Schatten des Teilstückes DC wird von dem zweiten Quadrat aufgefangen. Nun ist der Schatten einer Geraden g, die nicht parallel zur Lichtrichtung ist, auf eine Ebene e eine Gerade g, die durch den Schnittpunkt von g und e geht. Der Schatten der Strecke DC auf der Rückwand ist die Strecke DC. 9. Diagonalbeleuchtong Man wählt häufig die Lichtrichtung so, daß sie zur Diagonale eines Würfels parallel ist, und gibt außer l die Projektionen l', l", V" in den drei Koordinatenebenen an. Bild 28 veranschaulicht diese D i a g o n a l b e l e u c h t u n g . Als Beispiel betrachten wir einen von zwei Balken gebildeten rechten Winkel, der durch eine Strebe versteift ist. Bild 29 zeigt die Darstellung des Gegenstandes in normierter Axonometrie. Der Eigenschatten und der Schlagschatten auf die an/-Ebene bei DiagonalbeT leuchtung sollen konstruiert werden. Die Lichtrichtung und ihre Projektionen können aus Bild 28 Bild 28. Diagonalbeleuchtung entnommen werden. Der Schlagschatten der vertikalen Balkenkanten auf die zy-Ebene ist parallel zu V. Wir zeichnen durch Punkt 7' die Parallele zu V, durch die Punkte 7 und 8 die Parallelen zu l. Dann ist die Strecke 70 80 der Schatten von 7 8. Der Schatten der durch 7 gehenden waagerechten Balkenkante ist die Parallele zu dieser Kante durch 70.

9. Diagonalbeleuchtung

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Um den Schatten der Strebe zu konstruieren, denken wir uns die waagerechte Balkenebene durch Punkt 7 beliebig ausgedehnt und bestimmen den Schatten, den die vertikale Gerade 2 3 auf diese Ebene wirft, indem wir durch 2 die Parallele zu V, durch 3 die Parallele zu l zeichnen. Der Schnitt-

punkt 30 ist der Schatten des Punktes 3 in dieser Ebene. Der Schatten der Geraden 1 3 muß dann die Gerade 13 0 sein. Der Schlagschatten der Strebenkanten auf jede waagerechte Ebene ist parallel zu 1 30. Damit ist der Schatten der Strebe auf die waagerechte Baikenebene gefunden. Verlängern wir jetzt die Schnittkante der waagerechten und vertikalen Balkenebene durch 7, so erhalten wir den Schnittpunkt S mit der Geraden 130. Die Gerade S 3 ist der Schlagschatten eines Stückes der Kante 1 3 auf der vertikalen Ebene durch 7. Die Schatten der Strebenkanten auf diese Ebene sind parallel zu S 3. Schließlich läßt sich (1er Schatten der Strebe auf die an/-Ebene angeben, indem man durch die Punkte T und U die Lichtstrahlen zeichnet und durch T0 und U0 die Parallelen zu 130 zieht. Denn 70 T0 ist der

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I. Axonometrie

Schatten der Kante 7 T. Jeder Punkt und sein Schatten liegen auf einem Lichtstrahl. Nach diesen Hinweisen sollte die Schattenkonstruktion keine Schwierigkeiten bereiten. Zur Veranschaulichung sei noch folgendes erwähnt: Von der Kante 1 3 wirft der Abschnitt 1 T seinen Schatten auf die waagerechte Balkenebene, der Abschnitt T Z auf die a;«/-Ebene und der Abschnitt Z 3 auf die vertikale Balkenebene.

10. Schatten von Kegel und Zylinder in normierter Axonometrie Das Achsenkreuz und der Kegel sind im Bild 30 dargestellt. Die Lichtrichtung (Diagonalbeleuchtung) ist durch l, l'

punkt des Lichtstrahles l durch S mit der Projektion l' durch A. Die Tangenten von S0 an die Ellipse, die den Grundkreis des Kegels darstellt, bestimmen den Umriß des Schattens. Die Kegelerzeugenden durch die Berührungspunkte der Tangenten (z. B. die Gerade BS) bilden die Eigenschattengrenze. Die Berührungspunkte lassen sich leicht konstruieren, und zwar entweder nach I, Abs. 28 oder durch

10. Schatten von Kegel und Zylinder

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Umlegung derz?/-Ebene in die Bildebene. Dazu betrachten wir die Hauptachse der Ellipse als Seite des Spurendreiecks, um welche die Umklappung erfolgt. Die Ellipse geht über in den Kreisum A Der Punkt £ 0 wandert bei der Umklappung auf der Geraden die senkrecht zu CD ist, nach S[{, so daß

S%S = 3 • S0S ist. Denn die Verkürzung in dieser Richtung ist bei normierter Axonometrie gleich 1: 3. Andererseits müssen sich die Geraden ES0 und E0S\J auf der Spurgeraden schneiden. Die Tangente von S°a an den Kreis bestimmt ß 0 u n d durch Zurückdrehen den Punkt B. Schließlich wenden wir uns zur S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n eines z y l i n d r i s c h g e b o g e n e n B l e c h e s , wie es Bild 31

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I. Axonometrie

zeigt. Würde man bei dieser Anordnung des Gegenstandes Diagonalbeleuchtung wählen, so würde der Schatten der Kante 1 T teilweise auf die Kante, 3 3' fallen. Dadurch wird der Kindruck des Bildes gestört. Wir wählen den Grundriß V der Lichtrichtung so, daß ein Teil des Schattens von 11' auf die von innen sichtbare Zylinderfläche fällt, und l so, daß der Schatten 1 0 vom P u n k t 1 auf die a;?/-Ebene außerhalb des Zylinders liegt. Dann trifft der Lichtstrahl durch 1, wie man unmittelbar aus Bild 31 erkennt, die Zylinderfläche im P u n k t 1 0 . Den Schatten, den der obere Zylinderrand auf die innere Zylinderfläche wirft, kann man punktweise konstruieren. Durch den oberen R a n d p u n k t einer Mantellinie zeichnet man den Lichtstrahl, durch den F u ß p u n k t der Mantellinie den Grundriß des Lichtstrahles, bis dieser den Zylindermantel trifft. Damit findet man die Erzeugende, auf der der Schatten liegt (vgl. die P u n k t e 1,1', 10 oder 5, 5', 50 von Bild 31). Dabei sind einige P u n k t e besonders hervorzuheben. Im P u n k t 2 berührt l den elliptischen Rand; im Schattenpunkt 20 muß der Lichtstrahl 2 20 Tangente der Schattenkurve sein. I m P u n k t 4 ist die Tangente der Randellipse parallel zu V. Die Erzeugende 4 4' ist Eigenschattengrenze. Daher ist 4 = 40 ein P u n k t der Schattenkurve auf dem Zylinder. Schließlich nennen wir noch P u n k t 5, dessen Ellipsendurchmesser parallel zu l' ist. Der Schlagschatten des Körpers auf die xy-Ebene bedarf keiner besonderen Erläuterung. Dagegen sei auf einige geometrische Eigenschaften des Schattens des Zylinderrandes auf die Wand des Zylinders hingewiesen: Die Kurve ( 1 0 2 0 4 ) ist ein Stück einer Ellipse. Um das einzusehen,- denken wir durch alle P u n k t e des oberen Zylinderrandes (der zu einem vollen Kreis ergänzt werde) die Lichtstrahlen gelegt. Diese Strahlen sind die Erzeugenden eines schiefen Kreiszylinders (Lichtzylinder). Betrachtet man die Schnittkurve, in der der gegebene Zylinder den Lichtzylinder schneidet, so erkennt man, daß diese Schnittkurve aus zwei Teilen besteht, nämlich dem Randkreis des gegebenen Zylinders und der (ergänzten) Schattenkurve. Bei der Durchdringung liegt der in

11. Schiefe Axonometrie; Satz von Pohlke

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II, Abs. 12 behandelte Fall vor, in dem die Zylinder zwei gemeinsame Berührungsebenen haben und die Schnittkurve in zwei Kegelschnitte zerfällt. Die Kegelschnitte erscheinen auch im axonometrischcn Bild als Kegelschnitte. Diese Erkenntnis ist für das Zeichnen der Schattenkurve (l02a4) wichtig. Kleine Ungenauigkeiten der punktweisen Konstruktion würde man leicht erkennen. Außerdem kann man sofort ein Paar konjugierter Durchmesser angeben. Den Durchmesser 4 MC haben beide Ellipsen gemeinsam. Die Tangente der Randellipse in 4 war parallel zu V. Legt man durch M die Parallele zu V, so erhält man den Punkt 5 des Zylinderrandes und nach der obigen punktweisen Konstruktion den Punkt 5 0 des Schattens. Dann ist M 50 der zu M 4 konjugierte Halbmesser der Schattenellipse, die damit bereits konstruiert werden kann. Zwischen Schattenellipse und Zylinderrand bestehen zwei Affinitäten. Affinitätsachse ist in beiden die Gerade 4 C; Affinitätsrichtung ist bei der ersten die Lichtrichtung, bei der zweiten die Richtung der Zylindererzeugenden.

11. Schiefe Axonometrie; Kavalierperspektive; Satz von Pohlke Der letzte Abschnitt dieses Kapitels sei der schiefen A x o n o m e t r i e gewidmet. Diese wird beherrscht von dem Satz von P o h l k e , der auch der Fundamentalsatz der Axonometrie genannt wird: _ Drei in der B i l d e b e n e v o n e i n e m P u n k t 0 a u s g e h e n d e S t r e c k e n OX; 07; OZ k a n n m a n s t e t s b e t r a c h t e n als die P a r a l l e l p r o j e k t i o n e n v o n drei durch e i n e n P u n k t 0 g e h e n d e n W ü r f e l k a n t e n ; dabei i s t v o r a u s g e s e t z t , daß h ö c h s t e n s drei der P u n k t e 0; X; Y; Z in einer G e r a d e n liegen. Wir geben zunächst ein Beispiel zu diesem Satz: Wählt man als Bildebene die Aufrißebene (etwa die yz-Ebene des Koordinatensystems) und eine beliebige Projektionsrichtung, so erscheinen alle zur yz-Ebene parallelen Strecken in wahrer Größe; die zur Aufrißebene parallelen Würfelflächen

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I.

Axonometrie

erscheinen daher als Quadrate. Dagegen wird die zur Aufrißebene senkrechte Würfelkante durch 0 je nach der Projektionsriehtung in irgendeine durch 0 gehende Strecke 0 X projiziert. Diese Strecke kann infolge des Pohlkcschen Satzes beliebig angenommen werden. Man wählt sie im allgemeinen so, daß 0 X mit der von 0 nach links verlängerten Strecke 0 Y einen Winkel q> von 45° oder 30° bildet (Bild32), und daß das Verkürzungsverhältnis gleich y 2 ist. Eine solche Abbildung heißt K a v a l i e r p e r s p e k t i v e ; sie wurde

Bild 32. Unbestimmtheit der Lage von P Im Räume

Bild 33. D als Punkt von CO oder A B

im Band I und I I oft zum Entwerfen anschaulicher Skizzen verwendet (s. I, Abs. 6). Der Satz von Pohlke wurde um das Jahr 1853 von K. P o h l k e entdeckt. Den ersten vollständigen Beweis gab H. A. S c h w a r z 1864. Seitdem beschäftigten sich mehrere Geometer mit diesem interessanten Satz und gaben zahlreiche andere Beweise (vgl. etwa [11 ] oder [17]). Hier soll der Schwarzsche Beweis in seinen Hauptzügen wiedergegeben werden. Ist die Parallelprojektion eines Würfels gegeben (Bild 32) und in der Zeichnung ein Punkt P, so kann P aufgefaßt werden als die Projektion eines Punktes Pl der vorderen Würfelfläche sowie eines Punktes P2 der hinteren Würfelfläche. Die Gerade P1P2 ist dann ein projizierender Strahl. Diese Überlegung ermöglicht es, bei gegebener beliebiger Parallelprojektion eines Würfels die Richtung der Projektionsstrahlen zu ermitteln.

11. Schiefe Axonometrie; Satz von Pohlke

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E s sei e t w a die Parallelprojektion dreier von einer E c k e ausgehenden K a n t e n eines Würfels gegeben durch die Strekken OA; OB; OC (Bild 33). W i r ergänzen das Dreieck ABC u n d verlängern O C bis zum S c h n i t t e mit AB. Soll es nun einen Würfel mit den K a n t e n OX; OY; OZ geben, dessen Bild bei einer Parallelprojektion dem Gebilde O A B C kongruent ist, so m u ß D sowohl das Bild eines P u n k t e s T der Geraden YX als auch eines P u n k t e s T der Geraden OZ

sein. Nach dieser Einleitung ist ein Beweis des P o h l k e s c h e n Satzes sehr einfach: W i r zeichnen die drei K a n t e n eines Würfels OX; OY; OZ im Grund- und Aufriß wie im Bild 34. W e n n es nun gelingt, diese Würfelkanten so auf eine

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I. Axonometrie

Ebene zu projizieren, daß das Bild dem Gebilde 0 ABC ähnlich wird, so ist damit der Satz von Pohlke bewiesen. Denn durch geeignete Vergrößerung der Würfelkanten kann stets Gleichheit der Bilder herbeigeführt werden. Wir hatten erkannt, daß der Punkt D im Bild 33*) das Bild zweier Punkte war. Diesen Punkten entspricht jetzt ein Punkt T, der die Strecke Y X teilt im Verhältnis YT:TX = BD: DA und ein Punkt T, der Z" 0 teilt im Verhältnis OZ" :OT" = OC: OD . Wir hatten ferner erkannt, daß die beiden Punkte T und T, deren Bilder in D zusammenfallen, auf einem projizierenden Strahl liegen. Im Grund- und Aufriß zeichnen wir also die Gerade TT; ihre Projektionen nennen wir V und l". Die Kanten OX; 0 Y; OZ werden jetzt in der durch l gegebenen Richtung projiziert. Man zeichnet durch die Punkte Y, X, Z die Parallelen zu l. Diese bilden ein dreiseitiges Prisma. Der Satz von Pohlke ist bewiesen, wenn wir zeigen, daß es eine Ebene gibt, die das Prisma in einem zu ABC ähnlichen Dreieck schneidet. Die restliche Aufgabe lautet daher: Gegeben ein dreikantiges P r i s m a , dieses ist derart mit einer E b e n e zum S c h n i t t zu bringen, daß die wahre Gestalt der S c h n i t t f i g u r zu einem gegebenen Dreieck ABC ähnlich ist. Die Aufgabe wird im Grund- und Aufrißverfahren ausgeführt; die Kanten des Prismas seien senkrecht zur Grundrißebene. Wir gehen von der bekannten Konstruktion des ebenen Schnittes eines Prismas aus und suchen solche geometrischen Beziehungen, die die Lösung der Aufgabe ermöglichen. Nach I, Abs. 22 und 23 sei der Schnitt des Prismas mit der durch ihre Spuren e n e2 gegebenen Ebene e konstruiert. Im Bild 35 ist A" B"C der Aufriß, A°BPC die wahre Gestalt des Schnittdrniecks, die durch Umlegung um et in die Grundrißebene gewonnen ist. Zwischen dem Grundriß A'B'C und der Umlegung •) Der Winkel COA Rechter zu sein.

kann beliebig gewühlt werden, braucht also kein

11. Schiefe Axonometrie; Satz von Pohlke

49

A°B°C besteht eine orthogonale Affinität. Die Gerade S°CS' ist senkrecht zu ev Daher besteht die Proportion: RB°: B°A°: A°S° = RB'.B'A': A'S'. Über der Strecke S'R zeichnen wir das zu S°CR ähnliche rechtwinklige Dreieck S'C0R. Dann ist das Dreieck A'C0B' wegen der obigen Proportion ähnlich zu A°CB°. Zwischen dem Dreieck A'CB' und dem Dreieck A'C0B' besteht eine Affinität mit der Achse Ä B' und der Affinitätsrichtung CC9. Die rechten Winkel S'CR und S'C0R bilden das invariante Rechtwinkelpaar der Affinität (I, Abs. 26).

Co

Bild 35. Prismcnsclimtt, der einem gegebenen Drcicck ähnlich ist

Mit diesen Erkenntnissen läßt sich die Aufgabe leicht lösen. Gegeben sei Grund- und Aufriß des Prismas und ein Dreieck A, B, C. Wir zeichnen ein zu ABC ähnliches Dreieck A'B'C0, das mit dem Grundriß des Prismas die Seite A' B' gemeinsam hat (Bild 35), und bestimmen in C, C0 das invariante Rechtwinkelpaar der Affinität, die zwischen den Dreiecken A'C° B' und A'GB' besteht. Die Schenkel CÄ und CS'sind dann Grundriß einer Höhenlinie (Grundrißspur) bzw. Fallinie der gesuchten Schnittebcne. Um festzustellen, welcher 4 H s a c k, Darstellende Ucowetrio I I I

50

II. Grundzüge der ebenen Perspektive

Schenkel Grundrißspur ist, beachten wir, daß bei der senkrechten Projektion eines ebenen Polygons die Winkel, die die Seiten mit der Spur der Ebene bilden, verkleinert werden. In unserem Fall ist B'CR < B'C0R. Daher ist der Schenkel C R Grundrißspur ex der Schnittebene. Jetzt können wir die Umklappung um e1 zeichnen, indem wir RCS° ähnlich zu RC0S' machen und A°, B° übertragen. A°A'T, mit A°T = TA", ist das Stützdreieck der Fallinie AT. Daher ist A°A' die Höhe des Punktes A über oder unter der Grundrißebene. Man kann den Aufriß A" des Punktes A über und unter der Grundrißebene annehmen und den Aufriß des zugehörigen Schnittdreiecks zeichnen. Nach dieser Konstruktion sind zwei zur Grundrißebene symmetrische Schnittebenen gefunden, die die Aufgabe lösen.

II. Grundzüge der ebenen Perspektive Das Prinzip der Zentralprojektion oder Perspektive wurde schon in I, Abs. 1 erläutert. Gegeben ist eine Ebene n, die Bildebene und ein Punkt 0, der nicht in n liegt. Die Projektion eines Punktes P des Raumes ist der Schnittpunkt Pc der Geraden OP mit n. Durch Einführung der uneigentlichen Punkte (I, Abs. 1) wurde erreicht, daß jedem Punkt des Raumes mit Ausnahme von 0 ein Bildpunkt zugeordnet wird. In der Perspektive unterscheidet man drei Teilgebiete: 1. Die freie Perspektive, die sich mit den geometrischen Gesetzen der Projektion bei beliebig gegebener Lage von 0 und n beschäftigt, 2. die a n g e w a n d t e Perspektive, die die geometrischen Beziehungen zum Zeichnen anschaulicher Bilder von Gegenständen unserer Umgebung anwendet, 3. die gebundene Perspektive, die aus gegebenem Grund- und Aufriß eines Gegenstandes ein anschauliches, perspektives Bild konstruiert.

12. Perspektive der Punkto und Geraden; Doppelverhältnis

51

Im folgenden wird die freie Perspektive nur im unmittelbaren Zusammenhang mit den Anwendungen behandelt.

12. Perspektive der Punkte und Geraden; Doppelverhältnis Gegeben sei die Bildebene n und das Zentrum 0 im Abstand 8 von7t. Das Lot von 0 auf n trifftn im H a u p t p u n k t H. Der Kreis um den Punkt H mit dem Radius ö in jr heißt D i s t a n z k r e i s k (Bild 36). Gehen wir von der axonometrischen Skizze zur Zeichenebene über (Bild 37), so bestimmen H und k die Elemente der i n n e r e n O r i e n t i e r u n g . Durch die Forderung, daß 0 vor der Zeichenebene liegt, wird mit H und k die Lage von 0 eindeutig festgelegt.

Bild 36. Hauptpunkt und Distanzkreis

Bild 37. Bildebene mit Hauptpunkt und Distanzkreis

Deutet man die Projektionsgeraden als Sehstrahlen, die vonO ausgehen, d.h. als g e r i c h t e t e Geraden, und bildet nur die Punkte des Raumes ab, die in Sehrichtung von 0 auf je projiziert werden, so beschränkt man sich auf den s i c h t b a r e n Halbraum. Die Ebene v, die durch 0 parallel zu n geht, trennt den sichtbaren vom unsichtbaren Halbraum. Ist V irgendein von 0 verschiedener Punkt der Ebene v (Bild 38), so ist der Projektionsstrahl OV parallel zu jt. Daher hat V keinen im Endlichen gelegenen Bildpunkt, sondern nur einen uneigentlichen Bildpunkt (s. I, Abs. 1). Man sagt oft, der Bildpunkt von V verschwindet im Unendlichen. D a alle 4»

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II. Grandzüge der ebenen Perspektive

Punkte von v außer 0 diese Eigenschaft haben, heißt v die Verschwindungsebene. Studieren wir die Perspektive einer Geraden «, die nicht zu 7t parallel ist und nicht durch 0 geht. Der Schnittpunkt von a mit TI ist der Spurpunkt S der Geraden a. Das Bild der Geraden entsteht, indem man die Sehstrahlen von 0 nach den Punkten von a mit jr zum Schnitt bringt, z. B. den Strahl OAc A. Die Gesamtheit dieser Strahlen erzeugt eine Ebene (projizierende "P Ebene von a), die n in der Bildgeraden a" schneidet. Lassen wir im Bild 39 den Punkt A auf a immer weiter nach rechts wandern, so nähert sich der Bildpunkt A" dem Punkt F, dessen Strahl OF parallel zu a ist. Wir können F als das Perspektive Bild des uneigentlichen (unendlich fernen) Punktes von a ansehen. VerschwindungsMan nennt F den F l u c h t ebene p u n k t der Geraden a. [Bild 38. Verschwindungsebene S p u r p u n k t und F l u c h t p u n k t | b e s t i m m e n das P e r s p e k t i v e B i l d einer Geraden«. Den zu a parallelen Sehstrahl OF nennt man den F l u c h t s t r a h l von a. Läßt man Punkt A im Bild 39 nach links wandern, so gelangt man schließlich zum Schnittpunkt V von a mit der Verschwindungsebene v. Das Bild von F liegt im Unendlichen auf der Bijdgeraden FS. Die im sichtbaren Raum gelegene Halbgerade erscheint im Bild als Halbgerade F S V W . Man kann die Überlegung umkehren: Ist in der Projektionsebene bei gegebener innerer Orientierung das Bild a? einer Geraden mit Spurpunkt 8 und Fluchtpunkt F bekannt, so ist die Lage der Geraden im Raum bestimmt. Aus der inneren Orientierung kennt man die Lage des Zentrums 0 im Raum. Die Gerade OF ist parallel a; also ist die Parallele

12. Perspektive der Punkte und Geraden; Doppelverhältnis

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durch S zu OF die Gerade a. Der Fluchtpunkt bestimmt die Richtung der Geraden und daher den Neigungswinkel der Geraden gegen die Bildebene. P a r a l l e l e G e r a d e n des

Fällt der Fluchtpunkt einer Geraden in den Hauptpunkt/?, so ist die Gerade senkrecht zu 71 und umgekehrt. Liegt der Fluchtpunkt im Innern des Distanzkreises, so ist der Neigungswinkel 2/2 soll andeuten, daß der Distanzpunkt D2 im doppelten Abstand von II liegt wie der Punkt D 2 /2.

14. Umlegung der Grandebene Gegeben sei die Bildebene n, das Zentrum 0 und eine, nicht durch 0 gehende, waagerechte Ebene r , die wir wieder als Grundebene bezeichnen wollen (Bild 48). In r seien einige Geraden gegeben, z. B. die beiden parallelen Geraden a, b und eine dritte Gerade d. Durch 0 legen wir die zu r parallele Fluchtebene . Zur Konstruktion des perspektiven Bildes der Geraden a, l, d legt man durch 0 die Fluchtstrahtan, findet die Fluchtpunkte Fa,b und Fd und verbindet sie mit den Spurpunkten, wie e9 in der axonometrischen Skizze (Bild 48) angedeutet ist. Jetzt legen wir die beiden Ebenen / * und im gleichen Drehsinn um ihre Spuren in die Bildebene um. Dann erscheint die in r gegebene Geradenanordnung in wahrer Ge-

II. ürundziige der ebenen Perspektive stalt in der Bildebene 71, ebenso der Punkt 0 und die Fluchtstrahlen. Da bei der Umlegung die Winkel der Geraden gegen s und diejenigen der Fluchtstrahlen gegen h unverändert bleiben, sind auch nach der Umlegung die Geraden a°, b° parallel zur Umlegung 0°Fa, b des Fluchtstrahles; die Umlegung einer Geraden von r und die Umlegung ihres Fluchtstrahles sind zueinander parallel.

Umlegung v o n / 1 und. Unterhalb von s erscheinen die gegebenen Geraden in wahrer Gestalt. Oberhalb des Horizontes h liegt 0° im Abstand der Distanz ó. Zur Bestimmung des Perspektiven Bildes der Geraden d legt man durch 0° den zu parallelen Fluchtstrahl (bzw. seine Umlegung) und findet den Fluchtpunkt F¿. Durch Verbindung mit dem Spurpunkt D von d ergibt sich die gesuchte Bildgerade.

14. Umlcgung der firundcbcnc

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In vielen Anwendungen ist der Grundriß des Gegenstandes gegeben, dessen perspektives Bild gezeichnet werden soll. Die Grundrißebene wählen wir als Grundebene/ 1 , bestimme» ihre Spurgerade s mit der Bildebenen und legen sie um s in die Bildebene um. Dabei ist folgendes zu beachten: Im Bild 48 blicken wir von links auf die Bildebene n und von oben auf die Grundebene F. Führen wir die Umlegung in dem Drehsinn aus, der im Bild 48 angedeutet ist, so sehen wir nach der Umlegung die entgegengesetzte Seite der Ebene F. Ist also in F der Grundriß gezeichnet, so sehen wir nach der Umlegung in der Bildebene die Rückseite derGrundrißzeichnung. Bei der praktischen Anwendung des Verfahrens ist das im allgemeinen kein ernster Nachteil, da die ZeichnunBild 49. Umlegung der Orundebene gen meist auf transparenin die Bildebene tem Papier ausgeführt sind. Man legt die Grundrißzeichnung mit dem Gesicht nach unten so auf die Bildebene n, daß die Punkte der' Spur s zusammenfallen. Bevor wir den Vorgang an einem Beispiel erläutern, wollen wir noch eine wichtige Beziehung herleiten. Im Bild 48 liegen der Punkt Q der Ebene F, sein Bildpunkt Qc in tc und das Zentrum 0 auf einer Geraden. Eine solche Beziehung gilt auch nach der Umlegung: Die U m l e g u n g Q° eines P u n k t e s von T und das p e r s p e k t i v e Bild Qc liegen mit der U m l e g u n g 0° von 0 auf einer Geraden. Man kann diese Tatsache auf verschiedene Art beweisen, z. B. durch eine räumliche Überlegung. Die

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II. Grundzüge der ebenen Perspektive

Gerade 0°Q° (Bild 49) schneidet h und s in den Punkten Ft und E. Wir deuten Ft als Fluchtpunkt und E als Spurpmikt einer Geraden c der Ebene/ 1 . Dann ist 0°F, die UinJegung des Muchtstnihles. Die Umlcgung c" von c geht durch E und ist parallel zu 0>Fe. Daher fällt mit der Geraden

0°Q? zusammen. Da Q° auf EF, liegt, ist die Behauptung bewiesen. Übrigens folgt die Behauptung auch sofort aus dem Satz der Elementar-Geometrie, daß sich die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken zweier Dreiecke, deren Seiten parallel sind, in einem Punkt schneiden. Im Bild 49 sind die Seiten des Dreiecks Q^AD parallel zu denen von 0°FaFd. Die geometrischen Beziehungen zwischen der Um-

15. Meßpunkte; Perspektivität; vollständiges Viereck

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lcgung und dem pcrspcktivcn Bild einer ebenen Figur werden später noch ausführlicher behandelt (s. Abs. 15). Als Beispiel konstruieren wir das perspektive Bild einer auf der Grundrißebene stehenden Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck ist. Nachdem in der Grundrißebene die Spur s der Bildebene n gewählt ist, wird der Grundriß in der angegebenen Weise auf die Bildebene gelegt (Bild 50). In der Bildebene sind die Geraden s und h sowie die Punkte 0°, H gegeben. 0°H ist die Distanz. Wir konstruieren zuerst das perspektive Bild des Grundrisses, indem wir etwa die Spurpunkte A, B, C der parallelen Geraden 4 5,36,21 bestimmen. Die Parallele durch 0° zu den drei Geraden schneidet h im Fluchtpunkt Fv Verbinden wir Ft mit A, B, C, so erhalten wir das perspektive Bild der drei Geraden. Verbinden wir die Punkte 1,2,... ,6, S' mit 0°, so ergeben sich auf den entsprechenden Geraden die Bildpunkte le, 6e, S'e. Im Bild 50 ist nur der Strahl e 0°2 2 eingezeichnet. Die Spurpunkte und der Fluchtpunkt^ der drei parallelen Geraden 5 6,41,32 liegen recht günstig und geben sofort die Bilder dieser Geraden. Um die perspektive Verkürzung der Höhe der Pyramide zu konstruieren, legen wir durch die Gerade F2S'C 1°, deren Spurpunkt der Punkt D ist, eine vertikale Ebene. Die Spur dieser Ebene ist die vertikale Gerade durch D. Auf dieser tragen wir die wahre Länge l der Pyramidenhöhe ab (Strecke D T im Bild 50). Die Gerade TF 2 geht durch die Pyramidenspitze; denn FZD und F2T sind die Bilder zweier parallelen Geraden, und das Viereck SS' e DT ist, wie man leicht einsieht, das Bild eines Rechteckes, dessen Seite TD in der Bildebene liegt und in wahrer Länge erscheint. 15. Meßpunkte; Perspektivität; vollständiges Viereck In vielen Fällen ist die Umlegung der Grundebene nicht nötig. Entsprechend der Konstruktion des perspektiven Maßstabes auf einer zur Bildebene 7i senkrechten Geraden mittels der Distanzpunkte kann auch der perspektive Maß5

H a a c k , Darstellende Geometrie III

66

II. Grundzüge der ebenen Perspektive

stab auf einer b e l i e b i g e n Geraden konstruiert werden. An Stelle der Distanzpunkte treten die Meßpunkte. Wir beschränken uns auf waagerechte Geraden, die nicht zu n parallel sind, und nehmen an, eine Gerade a sei in der Grundebene r gegeben und mit dieser in die Bildebene n umgelegt (Bild 51). Auf a sei ein Maßstab gegeben. Wir übertragen diesen Maßstab in wahrer Größe vom Spurpunkt A auf die Spurgerade s und erhalten dadurch eine Reihe gleichschenkliger Dreiecke A7 7°, A6 6°,.. . . Zur Konstruktion

A

Bild 51. Meßpunkt einer Geraden

Bild 52a. Grundriß eines Oktaeders

des perspektiven Bildes bestimmen wir den Fluchtpunkt Fa von a und den Fluchtpunkt Ma der parallelen Geraden 7 7°, 6 6°, . . . und ziehen die Verbindungsgeraden zu den entsprechenden Spurpunkten. Das Dreieck 0°FaMa ist auch gleichschenklig. Zur Bestimmung von Ma hat man daher nur den Kreisbogen um Fa mit FaO° zu beschreiben und mit h zum Schnitt zu bringen. Der Punkt Ma heißt M e ß p u n k t der Geraden, die den Fluchtpunkt Fa haben. Verbindet man Ma mit den Endpunkten des perspektiven Bildes einer Strecke von a, etwa 5C 7°, so schneiden die Verbindungsgeraden auf der Spur s die wahre Länge der Strecke 5 7 aus und umgekehrt: Soll von einem Punkt, etwa 5e, von ac im perspektiven Bild eine Strecke abgetragen werden,

15. Meßpunktc; Perspektivität; vollständiges Viereck

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deren wahre Länge gegeben ist (etwa 5 7), so projiziert man den Punkt 5C von A/0 auf s (nach 5), trägt auf s die wahre Länge der Strecke ab (5 7 oder 5 3) und verbindet die End-

Bild 5 2 b . P e r s p e k t i v e eines O k t a e d e r s

punkte mit Ma. Dann erhält man auf ae die verkürzte Strecke. Zur Übung soll das perspektive B i l d e i n e s O k t a e d e r s konstruiert werden, dessen Grundriß gegeben ist. Wir wählen als Grundebene F die 5'

perspektiv regulären im Bild52a Ebene des

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II. Grundzüge der ebenen Perspektive

waagerechten Oktaederquadrates ABCD und stellen die Bildebene n so, daß die Kante A B gegen 71 den Winkel 60° bildet und A Spurpunkt ist. In der Bildebene n seien die Standlinie s, der Horizont h und die Punkte H und 0° gegeben (HO0 = 8). Man wird mit der Konstruktion des Quadrates ABCD beginnen. Der Fluchtstrahl der Geraden AB erscheint als Gerade durch 0°, die h unter 60° schneidet (Bild 52 b). Man gewinnt den Fluchtpunkt Ft und in AFX das perspektive Bild der Geraden AB. Um den Punkt Bc auf der Bildgeraden A F l zu finden, tragen wir auf s die wahre Länge dei; Quadratseite AB0 ab und verbinden B° mit dem Meßpunkt Mi, der zu F1 gehört und durch den Kreisbogen i \ 0 ° bestimmt wird. In der gleichen Weise könnte man die Kante ADe konstruieren. Der Fluchtstrahl dieser Kante muß senkrecht zu F^CP sein; man findet F2, bestimmt M2 und schließlich D°. Dieses Verfahren wurde hier nicht ausgeführt, weil F2 aus dem Rahmen unserer Zeichnung herausfällt. Der Fluchtpunkt F3 der Diagonalen AG liegt günstiger und ist sofort anzugeben, da die Fluchtstrahlen F10° und F30° den Winkel 45° einschließen. Wir bestimmen den Meßpunkt Ma, tragen die wahre Länge der Diagonale AS'°C° auf s ab und finden auf AFa die Bildpunkte S'e und Ce. Dann ist D° Schnitt von CCF1 und BeS'e. Die Spitzen Sv S2 des Oktaeders liegen in der vertikalen Ebene durch CA. Die Spur dieser Ebene ist die Vertikale durch A; auf ihr werden die wahren Höhen AS'i und^SSJ abgetragen. Auf S»Fa und S%Fa liegen die Bildpunkte S'v Diese kurzen Angaben dürften zum Verständnis der Konstruktion ausreichen. Die Zentralprojektion einer Ebene e auf eine andere Ebene n läßt sich unter einem allgemeineren Gesichtspunkt betrachten. Durch die Zentralprojektion wird jedem Punkt von e ein Punkt von n zugeordnet und umgekehrt. Diese Zuordnung nennt man eine P e r s p e k t i v i t ä t . Die Schnittgerade s von e und n heißt die Achsc der P e r s p e k t i v i t ä t ; die Punkte der Achse sind sich selbst zugeordnet.

15. Mcßpunktc; Perspektivität; vollständiges Viercck

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Jeder Geraden von e entspricht eine Gerade von 71. Dabei gelten die Sätze: D i e V e r b i n d u n g s g e r a d e n ents p r e c h e n d e r P u n k t e v o n e und 71 g e h e n d u r c h das Z e n t r u m 0 , e n t s p r e c h e n d e G e r a d e n v o n e und 71 s c h n e i d e n s i c h a u f d e r A c h s e s der P e r s p e k t i v i t ä t . Nach Abs. 14 bleiben diese Beziehungen bestehen, wenn man e um s in die Ebene 71 umlegt. Zwei Sonderfälle sind hervorzuheben : Liegt das Zentrum unendlich fern, so sind die Ordnungsstrahlen zueinander parallel. Die Zuordnung der beiden Ebenen ist eine A f f i n i t ä t (I, Kap. V). Liegt das Zentrum im Endlichen, ist aber die Achse die uneigentliche Gerade, dann müssen zugeordnete Geraden der beiden Ebenen e und 71 zueinander parallel sein. Einem Dreieck von e wird ein Dreieck von 71 mit parallelen Seiten zugeordnet, d.h., entsprechende Figuren beider Ebenen Bild 53. Gegebenes Viereck als perspektives Bild eines Quadrates sind einander ähnlich. J e de Perspektivität mit uneigentlicher Achse ist eine Ä h n l i c h k e i t . Ist schließlich das Zentrum und die Achse im Unendlichen, dann sind die Ebenen k o n g r u e n t aufeinander abgebildet. Durch Umkehrung der Konstruktionsverfahren des vorigen Abschnittes kann man leicht folgenden Satz beweisen: E s g i b t s t e t s e i n e P e r s p e k t i v i t ä t , die e i n g e g e b e n e s ( k o n v e x e s ) V i e r c c k ABÜÜ in ein Q u a d r a t ü b e r f ü h r t . Die Punkte ABCD und ihre sechs Verbindungs-

70

II. Grundzüge der ebenen Perspektive. 15. Meßpunkte usw.

geraden bilden ein v o l l s t ä n d i g e s V i e r e c k Die sechs Geraden schneiden sich paarweise in den drei D i a g o n a l p u n k t e n E, Fv F2 des vollständigen Vierecks, dabei soll E im Innern des Vierecks ABCD (Bild 53) liegen. Um ein Quadrat zu konstruieren, welches dem Viereck perspektiv zugeordnet ist, betrachten wir die Gerade Fx F2 als Horizont, die Parallele s zu F1F2 durch A als Standlinie und das Viereck ABCD als perspektives Bild des gesuchten Quadrates. Fx, F2 sind dann die Fluchtpunkte der Quadratseiten. Wir suchen zunächst das Projektionszentrum bzw. dessen Umlegung 0°. Die Fluchtstrahlen 0° Ft und 0°F2 müssen zueinander senkrecht sein; daher liegt 0° auf dem Halbkreis über FXF2. Die Gerade AC schneidet den Horizont in F3. In dem gesuchten Quadrat muß die entsprechende Diagonale die Quadratseiten unter 45° schneiden, also muß der Fluchtstrahl 0°F3 den rechten Winkel F10°F2 halbieren. Der geometrische Ort der Punkte 0°, für die L und erhält im Bild 89 den Punkt, üii Dabei ist zu beachten, dali liier die Furtsclireitungsrichtung des Lichtes von B nach L verläuft. Im Bild 90 liegt B höher als die Lichtquelle.

31. Schatten obenflächiger Körper

115

Der Lichtstrahl CL ist horizontal; C ist also der höchste Punkt des Stabes, der einen Schlagschatten auf die (irundebene werfen kann. In den Bildern 91 und 92 sind zwei Beispiele für P a r a l l e l b e l e u c h t u n g durchgeführt. Für die Schattenkonstruktionen in der Perspektive bestellt zwischen Parallelund Zentralbeleuchtung kein wesentlicher Unterschied. Die in Wirklichkeit parallelen Lichtstrahlen der Parallelbeleuchtung gehen im perspektiven Bilde durch ihren gemeinsamen Fluchtpunkt, den man als das Bild der Lichtquelle, etwa der Sonne annehmen muß. Der perspektive Grundriß der Lichtquelle liegt auf dem Horizont. Bild 91 zeigt den Fall, in welchem die Sonne vor der Verschwindungsebene, Bild 92 denjenigen, in dem die Sonne hinter der Verschwindungsebene steht. Im ersten Falle ist L sichtbar, aber die Strecke LL' kann nicht etwa durch einen Laternenpfahl verifiziert werden, da ja die Lichtquelle im Unendlichen liegt. Im Bild 92 ist L nicht sichtbar, sondern dient nur als Konstruktionshilfsmittel. 31. Schatten cbenflächigcr Körper Das perspektive Bild zweier Quader sei gegeben, dazu das Bild der Lichtquelle für Parallelbeleuchtung L, L'. Außerdem sind h, H und durch den Distanzpunkt DJ2 die Distanz bekannt (Bild 93). Wir konstruieren zuerst den Schatten des liegenden Quaders auf die Grundebene. Dazu bestimmen wir den Schlagschatten der vertikalen Quaderkanten. Indem wir die Fußpunkte A', B' ... . mit L' und die oberen Endpunkte A, B ... mit L verbinden, ergeben sich die Schattenpunkte 91, 33 . . . Der verbindende Streckenzug begrenzt den Schlagschatten. Die Kante AB ist parallel zur Grundebene. Der Schatten der Kante AB ist eine Projektion auf die Grundebene; daher muß A B parallel 2133 sein. Im Perspektiven Bild haben beide Geraden den gleichen Fluchtpunkt F2. Allgemein gilt: D e r S c h a t t e n e i n e r e b e n e n F i g u r auf e i n e E b e n e , die z u r E b e n e d e r F i g u r 8«

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V. Schattenkonstruktion in der Perspektive

parallel ist, ist zu der Figur ähnlich; bei Parallelbeleuchtung sind Figur und Schatten kongruent. Der Schatten des anderen Quaders auf die Grundebenc ergibt sich ebenso. Man verbindet die Fußpunkte der vertikalen Kanten mit L' und die oberen Kantenpunkte mit L. Dabei genügt es, den Punkt K auf LC zu bestimmen; die Geraden E i ^ und (iF 2 bilden die Schattengrenze. Der stehende Quader wirft Schatten auf den liegenden Quader. Der Schlagschatten der Vorderkante trifft in P' die

Kante Ä A! und steigt hier senkrecht an der Quaderwand empor bis P. Da die Quaderebene durch P parallel zur Grundebene ist, wird der Schatten der Kante GG' auf die waagerechte Ebene durch P parallel zum Schatten auf die Grundebene. Im perspektiven Bild muß der Schatten die Gerade PL' sein. Das gleiche gilt für den Schatten der unsichtbaren Kante des stehenden Quaders. Ein anderes Beispiel zeigt Bild 94. Hier ist ein Haus f r o n t a l dargestellt; die Vorderwand des Hauses ist parallel zur Ebene jt des perspektiven Bildes. Wir können die Hauswand als Bildebene deuten. Für das überstehende Dach ist der perspektive Grundriß angegeben. Die Lichtquelle sei die Sonne, ihre Stellung wird durch L, L' festgelegt. Der Punkt

3 1 . S c h a t t e n ebenflächiger K ö r p e r

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L fällt aus der Zeichnung und kann durch ein Paar von Fluchtinaßstäben ersetzt werden. In dem Bauwerk treten mehrere Kanten auf, die zur Ebene des Hauses und daher zu 71 senkrecht sind. Bei Parallelbeleuchtung werfen diese Kanten zueinander parallele A

L Bild 04. Haas In Frontansicht bei Parallelbeleuchtung

Schatten auf die Ebene 71, die auch im perspektiven Bild zueinander parallel erscheinen. Die Richtung dieser Schlagschatten wird durch die Richtung der Geraden LH ( = Richtung l") gegeben. Denn die Lichtebene durch L und eine zu n senkrechte Gerade enthält das Lot von L auf n. Ihre Spur muß durch den Spurpunkt dieses Lotes in 71 gehen. Der Spurpunkt ist der uneigentliche Punkt der Geraden LH. Der Schlagschatten der Balkonkante GG" auf die Hauswand fällt demnach in die Parallele zu LH durch G". De r

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V. Schattenkonstruktion in der Perspektive

Schnitt dieser Parallelen mit dem Lichtstrahl GL bestimmt den Punkt (M als Schatten von G auf 7t. Da dieser Schnitt ungünstig ist, gehen wir anders vor und bestimmen den Schatten der vertikalen Balkonkante durch G auf die Bodenebene des Balkons, die wir vergrößert denken. Dieser Schlagschatten fällt (siehe vorigen Abschnitt) in die Gerade GL' und trifft die Hauswand in Gv Die vertikale Gerade durch Gl enthält den Schatten der vertikalen Balkonkante und bestimmt den Punkt Die weitere Konstruktion des Schlagschattens, den der Balkon auf die Hauswand wirft, bereitet keine Schwierigkeiten. Zur Bestimmung des Schattens der Dachkante A B auf die Hauswand ziehen wir durch B die Parallele zu LH, denn A B ist senkrecht zu 71. Der perspektive Grundriß von A ist A'. Die Strecke AÄ betrachten wir als vertikalen Stab, dessen Schatten zunächst auf die Grundebene in Richtung A'L' fällt, dann an der Hauswand vertikal aufsteigt und auf der Parallelen durch B den Punkt 21 bestimmt. Die linke untere Dachkante wirft einen Schlagschatten auf die Hauswand. Denken wir die Hauswand verlängert, so schneidet sie die Dachkante in C"; dann ist CC" eine zur Hauswand senkrechte Strecke, deren Schlagschatten auf die Wand parallel H L ist. Die als Stab gedachte vertikale Strecke CC' wirft ihren Schatten auf die Grundebene in Richtung L'. Die Gerade C'L' trifft die Hauswand im Punkt 6 ' . Zur Konstruktion des Schlagschattens auf der Grundebene betrachten wir RR' als vertikalen Stab und finden den Schatten Schließlich wirft der Punkt T der Hauskante seinen Schatten nach Hier sei erwähnt, daß die Gerade £ durch den Schnittpunkt S von AR mit der Grundebene gehen muß. Die linke Balkonecke wirft ihren Schatten in die Eingangstür; die Konstruktion ist im Bild 94 angedeutet.

32. Schatten auf vertikalen Wänden

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32. Schatten auf vertikalen Wänden Bild 95 zeigt eine zur Bildebene senkrechte Wand mit einem Balkon. Der Schatten des Balkons auf die Wand bei Sonnenbeleuchtung (L, L') ist zu konstruieren. Man bestimmt den Schlagschatten der zur Wand senkrechten Balkonkanten. Dazu wird die Lichtquelle L senkrecht auf die Hauswand projiziert. Das Lot von L auf die Wand ist eine waagerechte, zur Bildebene parallele Gerade. Da L unendlich fern liegt, muß der Lotfußpunkt L" auf der Fluchtgeraden der Wandebene, d. h. auf der Vertikalen, durch H liegen. Der Schlagschatten der betrachteten Balkonkanten fällt in Richtung L". Der Schatten 91 des Punktes A ist der Schnitt der Geraden AL mit A"L". In gleicherweise findet man die übrigen Schattenpunkte. Im Bild 96 ist die gleiche Aufgabe für Zen- senkrechten Wand bei Parallelbeleuchtung tralbeleuchtung behandelt. Die Lichtquelle ist als eine vor dem Haus stehende Laterne durch L, L' gegeben. Auch hier bestimmt man zunächst das Lot von L auf die Wand. Man zeichnet das Lot durch L und den perspcktiven Grundriß des Lotes durch L'. Der Grundriß des Lotes trifft die Hauswand in L'\ senkrecht über L' liegt der Lotfußpunkt L". Die Lichtebene durch L und die Balkonkante CC" enthalten das Lot LL"; ihr Schnitt, mit der Bildebene ist die Gerade L" H". Der Schlagschatten der zur Wand senkrechten Balkonkanten geht durch L " . Der Schatten des Punktes C ist der Schnitt ß des Lichtstrahles LC mit h"C".

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V. Schattenkonstruktion in der Perspektive

senkrechten Wand bei Zentralbeleuchtung

Verlängert man die vertikale Kante CA bis zum Schnitt C' mit der Grundebene, so kann man den Schatten der Strecke GC' leicht angeben. Ein Teil dieses Schattens fällt in die Grundebene und steigt an der Hauswand vertikal empor bis zum Punkt 6 . Schließlich zeigt Bild 97 die gleiche Anordnung in Schrägansicht. Die waagerechten Geraden der

L

Balkomvand des Hauses haben den Fluchtpunkt Fv Die zu dieser Wand senkrechten Geraden haben den Fluchtpunkt F2, dessen Konstruktion mittels des Punktes ü°l'6 im Bild 97 angegeben ist. Die Lichtquelle ist die Laterne LL'. Zur Bestim-

33. Weitern Beispiele

121

mung des Schnittpunktes L" des Lotes von L auf die Balkonwand verbindet man 7/ mit I