Darstellende Geometrie. Band 1 Die wichtigsten Darstellungsmethoden: Grund- und Aufriss ebenflächiger Körper [5. Aufl. Reprint 2019] 9783111723914, 9783111020365

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

144

DARSTELLENDE GEOMETRIE iii AXONOMETRIE UND PERSPEKTIVE

ron

DR. W O L F G A N G

HAACK

o. Professor an der Technischen Universität Berlin

Dritte Auflage

Mit 100 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r a b n e r • Veit & Comp

B E R L I N 1965

© Copyright 1905 by Walter de Gruyter

& Co., vormals G. J. Göschen'sche

Verlagshandlung - J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung K a r l J. Trübner • Veit

- Georg Reimer •

& Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der

Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. —

Archiv-Nr. 7712650. —

Druck: Rotaprint A G ,

Berlin 05. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung

Seite

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I. A x o n o m e t r i e 2. Einführung; senkrechte Axonometrie 3. Axonometrisches Bild eines Punktes 4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie . . 5. Einfache Beispiele in normierter Axonometrie . . . 6. Zylinder, Kegel, Kugel in normierter Axonometrie . 7. Einfache Durchdringungsaufgaben 8. Schattenkonstruktionen in der Axonometrie. . . . 9. Diagonalbeleuchtung 10. Schatten von Kegel und Zylinder in normierter Axonometrie 11. Schiefe Axonometrie; Kavalierperspektive; Satz von Pohlke

10 10 14 18 26 31 36 38 40

II. G r u n d z ü g e der ebenen P e r s p e k t i v e 12. Perspektive der Punkte und Geraden; Doppelverhältnis 13. Darstellung einer Ebene 14. Umlegung der Grundebene 16. Meßpunkte; Perspektivität; vollständiges Viereck

50 51 57 61 65

III. Elemente der a n g e w a n d t e n P e r s p e k t i v e . . . . 16. Winkel der Sehbreite und Sehhöhe eines Bildes . . 17. Teildistanz; Teilfluchtpunkt; Teilmeßpunkt. . . . 18. Fluchtmaßstäbe; Fluchtpunktschiene 19. Ergänzende Konstruktionshinweise 20. Untergelegter Grundriß

71 71 75 78 81 82

42 45

IV. P e r s p e k t i v e von K r e i s e n 84 21. Das perspoktive Bild des Kreises als Schnitt des Sehkegels 84 22. Geradenscharen, die im perspektiven Bild parallel sind 87 23. Ellipse als perspektives Bild des Kreises 88

Inhaltsverzeichnis

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Seite

24. Hyperbel und Parabel als perspektives Bild des Kreises 91 25. Beispiel zur Darstellung des Zylinders 93 26. Weitere Konstruktionen der Perspektive des Kreises 98 27. Konzentrische Kreise 104 28. Perspektive einer Kugel 105 V. S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n in der P e r s p e k t i v e . . . 109 29. Lichtstrahl und Lichtrichtung 110 30. Schlagschatten eines vertikalen Stabes 112 31. Schatten ebenflächiger Körper 115 32. Schatten auf vertikalen Wänden 119 33. Weitere Beispiele 121 Literatur

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Register

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Bild 1. Architektonische Studie von Piero della Francesca

1. Einleitung Zur Klärung der Frage, ob sich räumliche Objekte durch ebene Bilder so darstellen lassen, daß bei der Betrachtung des Bildes möglichst der gleiche Eindruck entsteht wie bei der unmittelbaren Betrachtung des räumlichen Objektes, muß man sich mit dem Vorgang des Sehens beschäftigen. Allerdings können hier nur einige einführende Bemerkungen aufgenommen werden; zum genaueren Studium sei auf Lehrbücher der physiologischen Optik verwiesen. Das menschliche Auge kann man als optisches System mit dem Knotenpunkt K ansehen. Die vom Objekt ausgehenden Lichtstrahlen erzeugen auf der Netzhaut ein Bild des Objektes. Bringt man in das Lichtstrahlenbündel, dessen Zentrum K ist, eine Ebene % und projiziert das Objekt von K zentral auf die Ebene, so wird diese Zentralprojektion des Objektes auf X das gleiche geometrische Bild auf der Netzhaut erzeugen wie das räumliche Objekt, vorausgesetzt, daß das Auge seine Stellung bezüglich •/ beibehält. Ist also die Zentralprojektion eines räumlichen Objektes gegeben und betrachtet man diese mit e i n e m r u h e n d e n Ä u g e so, daß sich der Knotenpunkt des Auges im Projektionszentrum befindet, dann entspricht das auf der Netzhaut des Auges entstehende Bild demjenigen des räumlichen Objektes. Die Eigenart der Netzhaut gestattet aber nicht, einen Körper bzw. sein perspektives Bild in der obigen Weise zu

1. Einleitung

1. Einleitung

7

betrachten. Die Gesamtheit der Punkte des wirklichen Raumes, die sich bei einer bestimmten festgehaltenen Lage des Auges gleichzeitig auf der Netzhaut widerspiegeln, bilden des monokulare G e s i c h t s f e l d , dein der lichtempfindliche Teil der Netzhaut entspricht. Im Bild 2 wurde die Netzhaut von K auf eine Kugel mit dem Mittelpunkt K projiziert; diese Kugel wurde schließlich senkrecht auf eine Ebene jc projiziert, die zum Hauptblickstrahl senkrecht steht, Durch Umlegung der Projektionsebene n erhält man ein Bild des Gesichtsfeldes. Die hier angegebene Grenze für die Lichtempfindlichkeit bezieht sich auf weißes Licht. Im Bild 2 ist das Gesichtsfeld durch eine Reihe von Drehkegeln mit der Spitze K und dem Hauptblickstrahl als Achse in verschiedene Zonen eingeteilt. Nur in der nächsten Umgebung des Punktes A" (fovea centralis) ist das Auflösungsvermögen der Netzhaut ausreichend, um „scharfes" Sehen zu vermitteln. In den äußeren Zonen können nur unscharfe Reflexe wahrgenommen werden. An der Stelle des Nerveneintritts, die dem schraffierten Gebiet um M" entspricht, ist die Netzhaut nicht sehfähig (sog. blinder Fleck). Die Betrachtung eines Gegenstandes, der nicht im Innern eines Sehkegels von etwa 5° bis 10° liegt, ist mit ruhendem Auge nicht möglich. Durch Drehung des Auges in der Augenhöhle, die man als Drehung um den Punkt 0 ansehen kann, wird das Objekt mit dem Hauptblickstrahl abgetastet. Jede Stellung des Blickstrahles erfaßt in der Umgebung der fovea centralis ein kleines Gebiet des betrachteten Körpers (als Zentralprojektion mit dem Zentrum K). Aus der Vielzahl dieser Teilbilder entsteht schließlich der Gesamteindruck, das Gesamtbild des Objektes. Da die Drehung des Auges nicht um K, sondern um 0 erfolgt, verschiebt sich mit jeder Drehung der Knotenpunkt Ii. Daher ist das monokulare Sehen mit bewegtem Auge keine Zentralprojektion, sondern eine Synthese aus einer Vielfalt von einzelnen Zentralprojektionen mit verschiedenen Zentren, die man durch eine einzige Zentralprojektion mit dem Zentrum 0 recht gut annähern kann. Betrachtet man die Zentralprojektion eines räumlichen Objektes mit einem bewegten Auge derart, daß

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1. Einleitung

sieh der Drehpunkt 0 des Auges im Projektionszentrum befindet, so fällt das Bündel der Hauptblickstrahlen mit den Projektionsstrahlen zusammen. Der optische Eindruck, den die Zentralprojektion hervorruft, wird denjenigen einer unmittelbaren Betrachtung des Objektes recht gut wiedergeben. Man spricht von der g e b u n d e n e n B e t r a c h t u n g eines Perspektiven Bildes. Diesen Vorgang hat schon A l b r e c h t D ü r e r mehrfach veranschaulicht. Bei der freien Betrachtung eines perspektiven Bildes mit beiden Augen wird nicht der gleiche optische Eindruck entstehen wie bei der unmittelbaren Betrachtung des Objektes. Um wenigstens eine gute Annäherung an den natürlichen Eindruck zu bewirken, müssen Projektionszentrum und Bildebene so gewählt werden, daß sich beide Augen des Betrachters nahe am Projektionszentrum befinden. Ist der Augenabstand, der etwa 6,5 cm beträgt, klein im Verhältnis zur Distanz, das ist der Abstand des Zentrums von der Bildebene, so weichen die Hauptblickstrahlbündel der beiden Augen nur wenig ab vom Bündel der Projektionsstrahlen, und die Zentralprojektion wird einen guten räumlichen Eindruck vermitteln. Hier sei an Erfahrungen erinnert, die wohl jeder bei der Betrachtung photographischer Aufnahmen gemacht hat. Man kann leicht folgenden Vergleich anstellen: Von einer photographischen Aufnahme betrachtet man zunächst einen Kleinbildabzug vom Format 2,4x 3,6 cm mit der Distanz 5 cm. Wegen der beschränkten Akkommodationsfähigkeit des Auges wird man ein solches Bildchen aus einer Entfernung von etwa 20 cm betrachten. Dann sind die Hauptblickstrahlbündel sehr verschieden vom Projektionsstrahlenbündel, und es entsteht kein unmittelbar räumlicher Eindruck des Objektes. Betrachtet man dagegen eine Vergrößerung der gleichen Aufnahme auf ein Format von 12x18 cm, dem eine Brennweite von etwa 25 cm entspricht, so gewinnt das Bild außerordentlich an räumlicher Wirkung. Aber auch jetzt ist das Verhältnis des Augenabstandes zur Brennweite noch reichlich groß. Vergrößert man schließlich durch Bildwerfer die Aufnahme auf das Format 120x180 cm und betrachtet das Bild so, daß sich die Augen etwas mehr als

1. Einleitung

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250 cm vor der Bildmitte befinden, so ist die räumliche Wirkung des Bildes geradezu überraschend. Zusammenfassend kann man feststellen: Je besser die Hauptblickstrahlbündel der beiden Augen bei der unmittelbaren Betrachtung des räumlichen Objektes mit denjenigen bei der Betrachtung des perspektiven Bildes übereinstimmen, desto besser ist der räumliche Eindruck des Bildes.

Betrachtet man einen kleinen Gegenstand, so ist das Blickstrahlbündel nur schwach konvergent, und man kann es nälierungsweise durch ein Parallelstrahlbiindel ersetzen. Das bietet die Möglichkeit, durch Parallelprojektion anschauliche Bilder kleiner Gegenstände zu gewinnen. Die historische Entwicklung der Perspektive kann man in der Malerei verfolgen. Schon in der Einleitung von Band I wurde Euklids Werk über Optik erwähnt (300 v. Chr.). Es

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I. Axonometrie

ist in einigen lateinischen Übersetzungen erhalten. Euklid stellt zunächst 12 Postúlate auf, denen 61 Theoreme folgen. Einige der Theoreme seien zitiert: „4. Wenn auf derselben Geraden gleiche Strecken liegen, so wird die weiter entfernte kleiner erscheinen. 10. Weiter entfernte Teile einer unterhalb des Auges gelegenen Ebene erscheinen höher. 40. Die Räder eines Wagens scheinen einmal rund, einmal oval zu sein" (aus der italienischen Übersetzung von E. Danti, 1573). Euklid beschreibt die Gesetze des Sehens, die wohl auch von den Malern der Antike beachtet wurden, aber keine Zentralperspektive. Ein Beispiel der antiken Malerei ist das Pompejanische Gemälde nach dem Kupferstich von H. Roux Ainé (Bild 3). Hier sind Euklids Theoreme beachtet. Es ist nicht möglich, im Rahmen dieses Büchleins auf die Geschichte der Perspektive näher einzugehen. Nur zwei Namen sollen genannt werden. Die erste systematische Darstellung einer Konstruktionsperspektive verdankt man Piero della F r a n c e s c a (1420—1492). Seine „Prospectiva Pingendi" wurde in Parma aufgefunden und 1899 im italienischen Urtext mit den Originalzeichnungen veröffentlicht. Einen großen Teil der Konstruktionsaufgaben, die im II. und III. Kapitel dieses Bändchens behandelt werden, konnte Piero, allerdings auf andere Art, lösen. A l b r e c h t Dürers „Unterweisung" (1525, s. I. S. 8) hat zwar großen Einfluß auf die Entwicklung der Perspektive ausgeübt, enthält aber nicht die Klarheit und Vollständigkeit in den Konstruktionen wie das Werk Francescas. Das Titelbild zeigt eine architektonische Studie von Piero della Francesca. I . Axonometrie 2. Einführung; senkrechte Axonometrie Es seien in der Zeichenebene Grund-, Auf- und Seitenriß eines Punktes P sowie die drei Projekt.ionsaclisen gezeichnet. Die Seitenrißebene sei zur Grund- und Aufrißebene senkrecht. Wir nennen die Schnittgerade der Grund- und Aufrißebene die z-Achse, diejenige der Grund- und Seitenrißebene die «/-Achse lind schließlich diejenige der Auf- und Seitenriß-

2. Einführung; senkrechte Axonometrie

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ebene z-Achse. Werden durch den Punkt P die Parallelebenen zu den Projektionsebenen gelegt, so entsteht ein l'araltolfUc.h (liil aufgedeckten Zusammenhänge führen zu einem seheniatischen Verfahren der Konstruktion des axoniinietrischen Bildes eines Gegenstandes, dessen Grundund Aufriß gegeben ist. Bild 9 zeigt das Spurendreieck und das axonometrische Bild eines Quaders. Durch Umlegung

4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie

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des Dreiecks XYO, die hier nach der entgegengesetzten Seite von Bild 6 ausgeführt ist, ergibt sich der Grundriß O0l0l>ltIJ0 des Quaders. Uni das Zusammenfallen der Umlegung mit dem axonometrischen Bild zu beseitigen, wird die

Umlegung parallel zur z-Achse verschoben und gibt die Figur O'T P'IT'. Der gleiche Vorgang wird mit der Ebene YOZ wiederholt, die hier als Aufrißebene dienen möge. Man erhält den Aufriß des Quaders 0"II" P"III". Daraus ergibt sich unmittelbar der folgende Zusammenhang: Werden Grundund Aufriß eines Gegenstandes gemäß Bild 9 angeordnet, z. B. auf das Zeichenbrett geheftet, so ergibt sich das axonometrische Bild eines Punktes P, indem man durch

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I. Axonometrie

den Aufriß P" die Parallele zur axonometrischen z-Achse (00") und durch den Grundriß P' die Parallele zur axononietrischen z-Achse (00') zeichnet. Bei der Anwendung des Verfahrens geht man von den Geraden OÖ' und OÖ" aus, die den spitzen Winkel co einschließen (Bild 10), legt den Grundriß so auf die Zeichenebene, daß Ö'x' mit 00' den Winkel q> aus Bild 9, den Aufriß so, daß die Gerade z" mit 00" den Winkel ^einschließt. Die Parallelen zu 00' durch y die Grundrißpunkte schneiden die Parallelen zu 00" durch die entsprechenden Aufrißpunkte in den axonometrischen Bildern. Im Bild 10 wurde das axonometrische Bild eines Würfels eingezeichnet. Zur technischenVereinfachung des Verfahrens kann man ein Winkellineal der Gestalt O'OÖ" verwenden, das so geführt wird, daß 00' stets vertikal ist. Geht die Kante OÖ' des Bild 10. Lineals durch den Grundriß F Beispiel zum Einschneideverfahren und die Kante 00" durch den Aufriß P" eines Punktes P, so liegt die Linealecke 0 im axonometrischen Bildpunkt. Die Wahl der Winkel , OJ ist weitgehend willkürlich. Nach L. E c k h a r t führt jede beliebige Wahl der drei Winkel zu einer Parallelprojektion des Gegenstandes, der in Grund- und Aufriß gegeben ist. Zu einer s e n k r e c h t e n Projektion gelangt man nur, wenn , a> nach E. J. Nys t r ö m der Bedingung genügen cos co = cos tp cos ip .

4. Einschneide verfahren; normierte Axonometrie

21

Das läßt sich leicht einsehen: Nach Bild 9 bilden die Kanten X Y, OY, Z Y eine räumliche, rechtwinklige Ecke. Die Seitenflächen dieser Ecke haben bei Y die Winkel cp — ( O Y X ) ,

yi .

und

-u Quadrates (Bild 45), dann ist die vertikale Gerade a durch A die Spur von a. Auf a erscheinen alle Strecken in wahrer Länge, auf der Tiefenlinie ist der perspektive Maßquadratischen Teilung

Bild 47. Frontalperspektive eines Zimmers

stab bekannt. Kennt man also von einem Punkt der Ebene er die Höhe über der Grundebene und die „Tiefe", d. Ii. den Abstand von der Bildebene, so kann man sein perspektives Bild angeben. Man trägt von A auf der vertikalen Spur die

14. Umlegung der Grundebene

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wahre Höhe ab und zieht durch den Endpunkt die Tiefenlinie. Als Beispiel diene der Punkt Cv dessen Höhe und Tiefe gleich der Quadratseite AB ist. Cl liegt auf der Tiefenlinie BXB. Die perspektiv verkürzte Tiefe von C1 ergibt sich aus dem Tiefenmaßstab AD. Die vertikale Gerade durch D trifft BJI im Punkt C\. Das Viereck ADC1B1 ist das perspektive Bild des vertikalen Quadrates über AD. Mit den bis jetzt angegebenen Konstruktionsverfahren lassen sich schon recht allgemeine Aufgaben lösen. Als Beispiel zeigt Bild 47 die Frontansicht eines Zimmers. Sind die Abmessungen gegeben, so gewinnt man mittels der Distanzpunkte die Tiefenmaßstäbe auf den unteren Tiefenkanten. Die Tiefenteilung der linken Wand wird auf der Spur der Grundebene in wahrer Größe aufgetragen. Durch Verbinden mit dem entsprechenden Distanzpunkt ergibt sich die perspektive Teilung auf der linken Bodenkante. Um den Eindruck des Bildes nicht zu stören, ist der Horizont nur rechts und links am Rande angedeutet. Die Distanz ist so groß, daß die Distanzpunkte aus dem Rahmen unserer Reproduktion herausfallen. Der Punkt DJ2 soll andeuten, daß der Distanzpunkt D2 im doppelten Abstand von II liegt wie der Punkt D2j2. 14. Umlegung der Grundebene Gegeben sei die Bildebene n, das Zentrum 0 und eine, nicht durch 0 gehende, waagerechte Ebene r , die wir wieder als Grundebene bezeichnen wollen (Bild 48). In F seien einige Geraden gegeben, z. B. die beiden parallelen Geraden a, b und eine dritte Gerade d. Durch 0 legen wir die zu r parallele Fluchtebene 0. Zur Konstruktion des perspektiven Bildes der Geraden a, 6, d legt man durch 0 die Fluchtstrahlen, findet die Fluchtpunkte Fa>b und Fd und verbindet sie mit den Spurpunkten, wie es in der axonometrischen Skizze (Bild 48) angedeutet ist. Jetzt legen wir die beiden Ebenen r und 0 im gleichen Drehsinn um ihre Spuren in die Bildebene um. Dann erscheint die in r gegebene Geradenanordnung in wahrer Ge-

02

II. (iruiidzüge der ebenen Perspektive

stalt in der Bildebene n , ebenso der Punkt 0 und die Fluchtstrahlen. Da bei der Umlegung die Winkel der Geraden gegen s und diejenigen der Fluchtstrahlen gegen h unverändert bleiben, sind auch nach der Umlegung die Geraden a°, V parallel zur Umlegung 0°Fa, b des Fluchtstrahles; die Umlegung einer Geraden von r und die Umlegung ihres Fluchtstrahles sind zueinander parallel.

Umlcgung von F und. Unterhalb von s erscheinen die gegebenen Geraden in wahrer Gestalt. Oberhalb des Horizontes h liegt 0° im Abstand der Distanz ö. Zur Bestimmung des Perspektiven Bildes der Geraden d legt, man durch 00 den zu d° parallelen Fluchtstrahl (bzw. seine Umlegung) und findet den Fluchtpunkt Fd. Durch Verbindung mit dem Spurpunkt D von d ergibt sich die gesuchte Bildgerade.

14. Umlcgung der Grundcbcne

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In vielen Anwendungen ist der Grundriß des Gegenstandes gegeben, dessen perspektives Bild gezeichnet werden soll. Die Grundrißebene wählen wir als Grundebene/ 1 , bestimmen ihre Spurgerade s mit der Bildebene n und legen sie um s in die Bildebene um. Dabei ist folgendes zu beachten: T\ Im Bild 48 blicken wir von links auf die Bildebene n und von oben auf die ! \ Grundebene F . Führen wir i>,6/A. [H PXFJ h die Umlegung in dem Drehsinn aus, der im Bild 48 angedeutet ist, so sehen wir nach der Umlegung die entv X gegengesetzte Seite der 0 / Ebene T . Ist also in F der oty oC/ Grundriß gezeichnet, so se\ e° hen wir nach der Umlegung V in der Bildebene die Rück/ seite derGrundrißzeichnung. Bei der praktischen Anwendung des Verfahrens ist das y *> im allgemeinen kein ernster Nachteil, da die ZeichnunBild 49. Umlegung der Grundebene gen meist auf transparenin die Bildebene tem Papier ausgeführt sind. Man legt die Grundrißzeichnung mit dem Gesicht nach unten so auf die Bildebene n, daß die Punkte der Spur s zusammenfallen.

\

/

Bevor wir den Vorgang an einem Beispiel erläutern, wollen wir noch eine wichtige Beziehung herleiten. Im Bild 48 liegen der Punkt Q der Ebene F , sein Bildpunkt Q° in n und das Zentrum 0 auf einer Geraden. Eine solche Beziehung gilt auch nach der Umlegung: D i e U m l e g u n g e i n e s P u n k t e s v o n / 1 u n d d a s p e r s p e k t i v e B i l d Q° l i e g e n m i t d e r U m l e g u n g 0° v o n 0 auf e i n e r Ger a d e n . Man kann diese Tatsache auf verschiedene Art beweisen, z. B. durch eine räumliche Überlegung. Die

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II. Grundzüge der ebenen Perspektive

Gerade 0°Q° (Bild 49) schneidet h und s in den Punkten Fe und E. Wir deuten Fe als Fluchtpunkt und E als Spurpunkt einer Geraden e der E b e n e / 1 . Dann ist 0°Fe die IJmleguiig des Fluchtstraliles. Die Umlegung e" von c geht durch E und ist parallel zu 0"I''e. Daher fällt e° mit der Geraden

zusammen. Da Qc auf EF, liegt, ist die Behauptung bewiesen. Übrigens folgt die Behauptung auch sofort aus dem Satz der Elementar-Geometrie, daß sich die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken zweier Dreiecke, deren Seiten parallel sind, in einem P u n k t schneiden. Im Bild 49 sind die. Seiten des Dreiecks Q°AD parallel zu denen von CPFuFi. Die geometrischen Beziehungen zwischen der Um-

15. Meßpunkte; Perspektivität; vollständiges Viereck

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legung und dein perspektiven Bild einer ebenen Figur werden später noch ausführlicher behandelt (s. Abs. 15). Als B e i s p i e l konstruieren wir das perspektive Bild einer auf der Grundrißebene stehenden Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck ist. Nachdem in der Grundrißebene die Spur s der Bildebene n gewählt ist, wird der Grundriß in der angegebenen Weise auf die Bildebene gelegt (Bild 50). In der Bildebene sind die Geraden s und h sowie die Punkte 0°, H gegeben. 0°H ist die Distanz. Wir konstruieren zuerst das perspektive Bild des Grundrisses, indem wir etwa die Spurpunkte A, B, G der parallelen Geraden 4 5,36,21 bestimmen. Die Parallele durch 0° zu den drei Geraden schneidet h im Fluchtpunkt Fv Verbinden wir F1 mit A, B, C, so erhalten wir das perspektive Bild der drei Geraden. Verbinden wir die Punkte 1,2,... ,6, S' mit 0°, so ergeben sich auf den entsprechenden Geraden die Bildpunkte lc, , 6°, S'c. Im Bild 50 ist nur der Strahl 0°2C2 eingezeichnet. Die Spurpunkte und der Fluchtpunkt .F2 der drei parallelen Geraden 5 6,41,32 liegen recht günstig und geben sofort die Bilder dieser Geraden. Um die perspektive Verkürzung der Höhe der Pyramide zu konstruieren, legen wir durch die Gerade F2S'C 1°, deren Spurpunkt der Punkt D ist, eine vertikale Ebene. Die Spur dieser Ebene ist die vertikale Gerade durch D. Auf dieser tragen wir die wahre Länge l der Pyramidenhöhe ab (Strecke D T im Bild 50). Die Gerade TFi geht durch die Pyramidenspitze; denn F2D und F2T sind die Bilder zweier parallelen Geraden, und das Viereck S S ' e D T ist, wie man leicht einsieht, das Bild eines Kechteckes, dessen Seite TD in der Bildebene liegt und in wahrer Länge erscheint. 15. Meßpunkte; Perspektivität; vollständiges Viereck In vielen Fällen ist die Umlegung der Grundebene nicht nötig. Entsprechend der Konstruktion des perspektiven Maßstabes auf einer zur Bildebene n senkrechten Geraden mittels der Distanzpunkte kann auch der perspektive Maß5

H a a c k , Darstellende Geometrie I I I

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II. Grundzüge der ebenen Perspektive

stab auf einer b e l i e b i g e n Geraden konstruiert werden. An Stelle der Distanzpunkte treten die Meßpunkte. Wir beschränken uns auf waagerechte Geraden, die nicht zu n parallel sind, und nehmen an, eine Gerade a sei in der Grundebene r gegeben und mit dieser in die Bildebene n umgelegt (Bild 51). Auf a sei ein Maßstab gegeben. Wir übertragen diesen Maßstab in wahrer Größe vom Spurpunkt A auf die Spurgerade s und erhalten dadurch eine Reihe gleichschenkliger Dreiecke A7 7°, A 6 6°, Zur Konstruktion

Bild 51. M e ß p u n k t einer Geraden

Bild 52 a. G r u n d r i ß eines O k t a e d e r s

des perspektiven Bildes bestimmen wir den Fluchtpunkt Fa von a und den Fluchtpunkt Ma der parallelen Geraden 7 7°, 6 6°,... und ziehen die Verbindungsgeraden zu den entsprechenden Spurpunkten. Das Dreieck 0°FaMa ist auch gleichschenklig. Zur Bestimmung von Ma hat man daher nur den Kreisbogen um Fa mit FaO° zu beschreiben und mit h zum Schnitt zu bringen. Der Punkt Ma heißt M e ß p u n k t der Geraden, die den Fluchtpunkt Fa haben. Verbindet man Ma mit den Endpunkten des perspektiven Bildes einer Strecke von a, etwa 5C 7C, so schneiden die Verbindungsgeraden auf der Spur s die wahre Länge der Strecke 5 7 aus und umgekehrt: Soll von einem Punkt, etwa 5C, von ac im perspektiven Bild eine Strecke abgetragen werden,

15. Meßpunkte; Perspektivität; vollständiges Viereck

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deren wahre Länge gegeben ist (etwa 5 7), so projiziert man den Punkt 5° von i\ia auf s (nach 5), trägt auf s die wahre

is° Bild 52 b. P e r s p e k t i v e eines O k t a e d e r s

punkte mit Altt. Dann erhält man auf ac die verkürzte Strecke. Zur Übung soll das perspektive B i l d e i n e s O k t a e d e r s konstruiert werden, dessen Gründriß gegeben ist. Wir wählen als Grundebene F die 5*

perspektiv regulären im Bild52a Ebene des

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II. Grundzüge der ebenen Perspektive

waagerechten Oktaederquadrates ABCD und stellen die Bildebene n so, daß die Kante AB gegen n den Winkel 60° bildet und A Spurpunkt ist. In der Bildebene n seien die Standlinie s, der Horizont h und die Punkte H und 0° gegeben (HO0 = d). Man wird mit der Konstruktion des Quadrates ABCD beginnen. Der Fluchtstrahl der Geraden AB erscheint als Gerade durch 0°, die h unter 60° schneidet (Bild 52 b). Man gewinnt den Fluchtpunkt F t und in AF 1 das perspektive Bild der Geraden AB. Um den Punkt Bc auf der Bildgeraden AF ± zu finden, tragen wir auf s die wahre Länge der Quadratseite AB0 ab und verbinden B° mit dem Meßpunkt der zu F1 gehört und durch den Kreisbogen F^Cß bestimmt wird. In der gleichen Weise könnte man die Kante AD° konstruieren. Der Fluchtstrahl dieser Kante muß senkrecht zu F10° sein; man findet F2, bestimmt M2 und schließlich Dc. Dieses Verfahren wurde hier nicht ausgeführt, weil F t aus dem Rahmen unserer Zeichnung herausfällt. Der Fluchtpunkt F3 der Diagonalen AG liegt günstiger und ist sofort anzugeben, da die Fluchtstrahlen i^O 0 und F30° den Winkel 45° einschließen. Wir bestimmen den Meßpunkt M3, tragen die wahre Länge der Diagonale A8'°C° auf s ab und finden auf AF3 die Bildpunkte S'c und Cc. Dann ist Dc Schnitt von G°Fl und BCS'°. Die Spitzen Sv S2 des Oktaeders liegen in der vertikalen Ebene durch CA. Die Spur dieser Ebene ist die Vertikale durch A; auf ihr werden die wahren Höhen AS" u n d a b g e t r a g e n . Auf S%Fa und S%F3 liegen die Bildpunkte S{, Diese kurzen Angaben dürften zum Verständnis der Konstruktion ausreichen. Die Zentralprojektion einer Ebene £ auf eine andere Ebene n läßt sich unter einem allgemeineren Gesichtspunkt betrachten. Durch die Zentralprojektion wird jedem Punkt von e ein Punkt von n zugeordnet und umgekehrt. Diese Zuordnung nennt man eine P e r s p e k t i v i t ä t . Die Schnittgerade s von E und JZ heißt die Achse der P e r s p e k t i v i t ä t ; die Punkte der Achse sind sich selbst zugeordnet.

15. Meßpunkfcc; Perspektivität; vollständiges Viereck

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Jeder Geraden von e entspricht eine Gerade von n. Dabei gelten die Sätze: Die V e r b i n d u n g s g e r a d e n ents p r e c h e n d e r P u n k t e von E und TT gehen durch das Z e n t r u m 0, e n t s p r e c h e n d e Geraden von e und n schneiden sich auf der Achse s der P e r s p e k t i v i t ä t . Nach Abs. 14 bleiben diese Beziehungen bestehen, wenn man e um s in die Ebene n umlegt. Zwei Sonderfälle sind hervorzuheben: Liegt das Zentrum unendlich fern, so sind die Ordnungsstrahlen zueinander parallel. Die Zuordnung der beiden Ebenenist eineAffinität (I, Kap. Y). Liegt das Zentrum im Endlichen, ist aber die Achse die uneigentliche Gerade, dann müssen zugeordnete Geraden der beiden Ebenen e und 7i zueinander parallel sein. Einem Dreieck von e wird ein Dreieck von n mit parallelen Seiten zugeordnet, d.h., entsprechenGegebenes Viereck als perspekde Figuren beider Ebenen Bild 53.tives Bild eines Quadrates sind einander ähnlich. Jede Perspektivität mit uneigentlicher Achse ist eine Ähnl i c h k e i t . Ist schließlich das Zentrum und die Achse im Unendlichen, dann sind die Ebenen k o n g r u e n t aufeinander abgebildet. Durch Umkehrung der Konstruktionsverfahren des vorigen Abschnittes kann man leicht folgenden Satz beweisen: E s g i b t s t e t s eine P e r s p e k t i v i t ä t , die ein gegebenes (konvexes) V i e r e c k A B G D in ein Q u a d r a t ü b e r f ü h r t . Die Punkte ABCD und ihre sechs Verbindungs-

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II. Grundzüge der ebenen Perspektive. 15. Meßpunktc usw.

geraden bilden ein v o l l s t ä n d i g e s V i e r e c k Die sechs Geraden schneiden sich paarweise in den drei D i a g o n a l p u n k t e n E, Flt F2 des vollständigen Vierecks, dabei soll E im Innern des Vierecks ABCD (Bild 53) liegen. Um ein Quadrat zu konstruieren, welches dem Viereck perspektiv zugeordnet ist, betrachten wir die Gerade F2 als Horizont, die Parallele s zu F1F2 durch A als Standlinie und das Viereck ABCD als perspektives Bild des gesuchten Quadrates. Flt F2 sind dann die Fluchtpunkte der Quadratseiten. Wir suchen zunächst das Projektionszentrum bzw. dessen Umlegung 0°. Die Fluchtstrahlen 0° F1 und 0°F2 müssen zueinander senkrecht sein; daher liegt 0° auf dem Halbkreis über F1F2. Die Gerade AC schneidet den Horizont in F3, In dem gesuchten Quadrat muß die entsprechende Diagonale die Quadratseiten unter 45° schneiden, also muß der Fluchtstrahl 0°Fa den rechten Winkel F1(ßF2 halbieren. Der geometrische Ort der Punkte 0°, für die F30°F2 = 45° ist, ist ein Kreis durch F3 und F2. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit dem Halbkreis bestimmt das umgelegte Projektionszentrum 0°. Die Parallelen durch A zu 0°FV 0°F2, 0°F3 enthalten zwei Quadratseiten und eine Diagonale; die Projektionsstrahlen 0 ° D und 0°B bestimmen die Eckpunkte D°, B° des Quadrates, welches leicht vervollständigt werden kann. Der Punkt E ist das perspektive Bild des Mittelpunktes E° der Strecke A C". Nach dem letzten Teil des Abschnittes 12 iind daher die Punkte A,C\E,F3 vier h a r m o n i s c h e P u n k t e . Die Punkte A, B;S, F2 sowie D,C;T,F2 sind Projektionen der Punkte A, C; E, F3 vom Zentrum somit auch harmonisch. Es gilt also der Satz: Auf j e d e r S e i t e e i n e s v o l l s t ä n d i g e n V i e r e c k s b i l d e n die b e i den E c k p u n k t e , der D i a g o n a l p u n k t und der S c h n i t t p u n k t der V e r b i n d u n g s g e r a d e n der beiden a n d e ren D i a g o n a l p u n k t e vier harmonische Punkte.

III. Elemente der angewandten Perspektive. 16. Winkel usw. 71 III. Elemente der angewandten Perspektive 16. Winkel der Sehbreite und Sehhöhe eines Bildes Bei den Konstruktionen des vorigen Kapitels wurde keine Rücksicht darauf genommen, ob das perspektive Bild einen naturgetreuen Eindruck des Gegenstandes hervorruft oder nicht. Zum Beispiel erweckt Bild 50 sicher nicht den Eindruck einer regulären sechsseitigen Pyramide; auch Bild 52b wirkt perspektiv verzerrt. Lediglich Bild 47 ist einigermaßen befriedigend. Die Aufgabe der angewandten Perspektive ist die Konstruktion solcher ebenen Bilder von Gegenständen, die bei dem Betrachter unmittelbar eine naturgetreue Vorstellung des Gegenstandes hervorrufen. Wie weit diese Forderung erfüllt werden kann, ist aus der Photographie weitgehend bekannt. Die folgenden Überlegungen sollen nur einige Richtlinien geben, bei deren Beachtung ein befriedigender räumlicher Eindruck des Perspektiven Bildes erwartet werden kann. Bild 54 Nehmen wir zunächst an, die photographi- J™ejre 0rn'™^®™ng sehe Technik habe Brennweite und Bildgröße Kleinbildkamera so abgestimmt, daß der räumliche Eindruck des Bildes möglichst naturgetreu ist. Die photographische Aufnahme entspricht einer Zentralprojektion, deren Distanz gleich der Brennweite des Objektives ist (bei Einstellung auf oo). Bei einem Bildformat 24x36 mm ist die Brennweite des Normalobjektives 50 mm. Bild 54 zeigt im Maßstab 1: 2 die Größe des photographischen Bildes, in dem Hauptpunkt und Horizont eingetragen sind. Die Umlegung des Zentrums gibt den Punkt 0° im Abstand der Brennweite ( = 5 0 mm) von E. Verbindet man 0° mit den Randpunkten des Horizontes, so entsteht bei 0° der Winkel der S e h b r e i t e des Bildes, der bei dieser Anordnung nahezu 40° beträgt. Damit ist eine erste Richtlinie für das Verhältnis der Distanz zur Größe des Gesamtbildes gegeben: Der Winkel der Seh-

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III. Elemente der angewandten Perspektive

b r e i t e bzw. S c h h ö h e eines Bildes soll n i c h t .größer als 40° sein; der H a u p t p u n k t H soll m ö g l i c h s t in der M i t t e des B i l d e s liegen. Zeichnen wir nach dieser Vorschrift in die Bilder 47, 50, 52 b einen Bildrand ein und decken die herausfallenden Bildteile ab, so wird der räumliche Eindruck des noch im Bild bleibenden Teiles des Gegenstandes wesentlich verbessert. Neben dem Winkel der Sehbreite bzw. Sehhöhe eines Bildes erklärt man den S e h w i n k e l des Bildes als den Öffnungswinkel des Drehkegels mit der Achse OH und Spitze 0, der durch die äußerste Ecke des Bildes geht. Der Spurkreis des Kegels ist im Bild 54 angedeutet. Sein Öffnungswinkel beträgt etwa 47°. Um Anhaltspunkte für die Lage des Zentrums bezüglich des Objektes, dessen perBild 55. Standpnnktbestimmung Im Gruudriß sP®ktiveS Bild kon struiert werden soll, zu gewinnen, wollen wir mit einer Normalkamera ein kleines Gebäude aufnehmen. Bild 55 zeigt schematisch Grundund Aufriß eines einfachen Hauses. Die Grundrißebene sei zugleich die Ebene des Geländes, in dem das Haus steht. Den Grundriß 0 ' des Zentrums 0 nennt man S t a n d p u n k t (Standpunkt des Photographen). Diesen wird man so wählen, daß zwei Seiten des Gebäudes sichtbar sind. Der Abstand vom Bauwerk muß mindestens so groß sein, daß

16. Winkel der Sehbreite und Sehhöhe eines Bildes

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alle Teile auf das Bild kommen. Wir wählen versuchsweise den P u n k t 0 ' . Ziehen wir von 0 ' die Geraden zu den äußersten Teilen des Grundrisses, so entsteht bei 0 ' ein Winkel, den wir S e h b r e i t e d e s O b j e k t e s nennen wollen. Beachten wir, daß die Bildebene vertikal sein soll, damit vertikale Kanten des Gebäudes auch im Bilde vertikal erscheinen, so muß d i e S e h b r e i t e d e s O b j e k t e s k l e i n e r a l s d i e S e h b r e i t e d e s B i l d e s sein. Man wird vermeiden, daß das Bauwerk die gesamte Breite des Bildes ausfüllt. F ü r 0 ' wird die Sehbreite des Objektes etwa 34°. Die Grundrißspur der Bildebene wählt man a n n ä h e r n d senkrecht auf der Halbierenden des Winkels der Sehbreite. Damit ist die Richtung der Bildebene bestimmt. Eine Parallelverschiebung der Bildebene hat nur eine ähnliche Vergrößerung oder Verkleinerung des Bildes zur Folge. E s empfiehlt sich f ü r die Zeichnung, die Bildebene durch eine Hausk a n t e zu legen. Durch geeignete Wahl des Zeichenmaßstabes bleibt die Bildgröße noch verfügbar. Der Einfluß der Bildgröße auf die räumliche Wirkung des Bildes wurde in der Einleitung erläutert. Wir wählen den Maßstab des Perspektiven Bildes doppelt so groß wie den der Grund- und Aufrißzeichnung (Bild 55). Soll die A u f n a h m e naturgetreu sein, so darf die Höhe des Zentrums nur wenig von der Augenhöhe des Photographen abweichen. I m Bild 55 ist der Aufriß 0 " ijnd der Horizont h" eingezeichnet. Schließlich darf bei unserer A u f n a h m e auch der Giebel nicht vom Bildrand abgeschnitten werden. Wir bestimmen den höchsten Sehstrahl (im Bild. 55 die Gerade 0" S"), projizieren ihn auf die vertikale Ebene durch O'H' u n d legen diese in die Grundrißebene um. So ergibt sich das Viereck O'O°S0S im Bild 55. Der halbe Winkel der Sehhöhe des Objektes (