Darstellende Geometrie, Band 1 [3. Aufl., Reprint 2021] 9783112424629, 9783112424612

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Sammlung Schubert L X V

Darstellende Geometrie Von

Theodor Schmid o. ö. Professor an der Technischen Hochschule in Wien

I. Band M i t i 70 F i g u r e n Dritte Auflage

B e r l i n und L e i p z i g

Vereinigung wissenschaftlicher V e r l e g e r Walter de Gruyter & Co. vormals G. J. Goschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer — Karl J. Trubner — Veit & Comp.

ig22

Thomas & Hubert, Weida i. Thür.

Vorwort zur ersten Auflage. An vorzüglichen größeren Werken über d a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e mit verschiedenen Zielen ist kein Mangel; dagegen dürfte ein etwas kleineres Werk, welches zwei Bände der „Sammlung Schubert" umfaßt, nicht unwillkommen sein. I c h bin daher der Aufforderung, ein solches Buch zu schreiben, gerne nachgekommen. Mein sehr geschätzter Kollege Professor Dr. E . Müller hat nämlich die an ihn ergangene Aufforderung auf mich übertragen, weil er schon früher einen Vertrag für sein größeres W e r k abgeschlossen hatte. Als Grundlage benützte ich die von mir seit dem J a h r e 1899 an der Technischen Hochschule in W i e n gehaltenen Vorlesungen. E s ist daher selbstverständlich [den Leitsätzen der „Sammlung Schubert" entsprechend] auch den Anforderungen der technischen Kreise Rechnung getragen worden, indem an den geeigneten Stellen auf die Abbildung technischer K ö r p e r eingegangen wurde. Manches andere von dem Inhalte des Buches ist wieder mehr für die Leser der mathematischen Kreise bestimmt. D e r I. B a n d beschränkt sich einerseits auf die Orthogonalprojektion (Grundriß, Aufriß, Kreuzriß und orthogonale Axonometrie) und anderseits auf die elementaren Flächen (Ebene, Kugel, Zylinder, Kegel) mit ihren Schnittlinien und Beleuchtungsverhältnissen. Nur die „abwickelbaren Flächen (Torsen)" wurden noch einbezogen, weil sie sich an den Abwicklungsvorgang für Zylinder und Kegel gut anschließen lassen und weil sie mit den Baumkurven, welche als Schnittlinien zweier Flächen im allgemeinen auftreten, stets in Verbindung stehen. Einer Begründung bedarf vielleicht, daß die Antipolarität in bezug auf eine Ellipse aufgenommen wurde. E s geschah dies, weil diese Verwandtschaft in der graphischen Statik von Wichtigkeit ist und weil sie sich an der betreffenden Stelle so bequem einfügen ließ.

4

Vorwort.

Bei der Behandlung des Stoffes wurde von der Reinheit der Methode abgesehen; die verschiedenen Zweige der Geometrie wurden nach Bedarf herangezogen. Die Hauptsache bildet die konstruktive Durchführung der vorkommenden Aufgaben. Es wurde daher auch die größte Sorgfalt auf die Herstellung der Figuren verwendet. Eine gute Figur soll das, was sie klarzumachen hat, möglichst deutlich zeigen; es müssen deshalb Zufälligkeiten ferngehalten werden und das Wesentliche muß gegenüber dem Minderwichtigen hervorgehoben sein. Auf Einfachheit und Genauigkeit der Konstruktionen wurde gelegentlich hingewiesen, ohne daß auf geometrographische Zählweisen näher eingegangen worden wäre. Hinsichtlich der Bezeichnung habe ich mich seit 25 Jahren an den in deutschen Schriften geometrischen Inhaltes meistverbreiteten Gebrauch gehalten. Übungsaufgaben sind in großer Zahl eingefügt*). Ein Anhang zum I I . Bande wird Andeutungen über die Lösung von schwierigeren der vorkommenden Aufgaben enthalten. Ein weiterer Anhang wird Bemerkungen über Geschichte und Literatur bringen — erst am Schlüsse, weil für solche nur Interesse vorhanden ist, wenn der Leser mit dem Gegenstande bereits vertraut ist. wie Herr L o r i a in seinem Buche zutreffend sagt. Es obliegt mir noch, meinen getreuen Helfern zu danken, nämlich den Herren Dr. A . L a c k n e r , D r . K . M a y e r , E . M e n z l und K. N e m e t z . Sie besorgten die Übertragung der Figuren auf Karton und die Behandlung mit Tusche stets genau nach meinen Angaben; überdies waren sie beim Lesen der Korrekturen behilflich. Aber auch der Verlagsfirma muß ich bestens danken, daß sie allen meinen Wünschen bezüglich der Ausstattung des Buches nachgekommen ist. W i e n , im Mai 1912.

Th. Schmid.

*) Außerdem sei als Übungstoff empfohlen: „Maschinenbauliche Beispiele für Konstruktio'nsübungen zur darstellenden Geometrie", herausgegeben von Th. S c h m i d . Gr. J. Göschen, Leipzig 1911. „Technische Übungsaufgaben für darstellende Geometrie", herausgegeben von Dr. B. M ü l l e r . 5 Hefte. JT.Deuticke, Leipzig und Wien 1910.

Vorwort zur dritten Auflage. F ü r diese dritte Auflage des I. Bandes wurden außer zahlreichen kleinen Änderungen noch Ergänzungen bei § 20,3, § 2 1 , 1 , § 24,1, § 28,3, § 35,1 vorgenommen. Auch einige Aufgaben wurden eingeschaltet. Die bei der zweiten Auflage eingefügten „geschichtlichen und literarischen Bemerkungen" wurden um 7 vermehrt; hervorzuheben wären etwa die Bemerkungen 2, 5, 12, 15, 23, 26, 31, 33. D a s Ausziehen der zwei neuen Figuren besorgte wieder H e r r Ing. F . K o p a t s c h e k . Beim Lesen der Korrekturen wirkte mein Assistent H e r r W . D o m a s c h k o mit. Beiden danke ich hiermit bestens. W i e n , im Mai 1922.

Th. Schmid.

Inhaltsverzeichnis. I. A b s c h n i t t .

Raumelemente, ebene Figuren und eckige Körper. §

1.

§ § § §

2. 3. 4. 5.

§

6.

§

7.

§

8.

§

'

9.

Beziehung eines Körpers auf ein rechtwinkliges Achsensystem Punkt und Gerade im Zweibildersysteme; ihre Inzidenz Verschieben und Weglassen der Bildachse Zwei Punkte, ihre Verbindungsgerade und die Strecke Zwei Gerade, welche durch einen Punkt gehen. Abbildung und Umlegung der Ebene; Winkel und Abstand . . . Drei Punkte, ihre Verbindungsebene und das Dreieck; ebene Figur «) Verwandtschaft zwischen Grund- und Aufriß. ß) Verwandtschaft zwischen Normalriß und Umlegung einer ebenen Figur. Punkt und Gerade, welche n i c h t auf einer gegebenen Ebene liegen Beleuchtungsverhältnisse. Selbstschatten, Schlagschatten: Hellestufen; Spiegelung Eckige Körper (Polyeder)

Seite

11 14 18 20 25 31

40 46 54

II. Abschnitt.

Kugel, Zylinder, Kegel. § 10. § 11. § § § § § § §

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

§ 19. § 20. § 21. § 22. § 23.

Polarität und Antipolarität für Kreis und Kugel . . . Umriß; Flächenpunkt, Tangentialebene, Flächennormale; Beziehung zu einer Geraden Schiefer Schnitt eines normalen Kreiszylinders . . . . Normaler Schnitt eines schiefen Kreiszylinders . . . . Polarität und Antipolarität für die Ellipse Konjugierte Durchmesser einer Ellipse; Achsenkonstruktion Krümmung einer Linie, insbesondere der Ellipse . . . Zeichnen einer Linie, insbesondere der Ellipse . . . . Abbildung und Beleuchtung des Kreises. Ebene Schnitte einer Kugel Das sphärische Dreieck Ebene Schnitte eines aufrechten Kreiskegels Umkehrungsaufgabe über die ebenen Schnitte eines Drehkegels; Zeichnen der Kegelschnitte Beleuchtung der Kugel Parallelbeleuchtung der Zylinder und Kegel

64 68 76 79 82 85 91 97 103 108 115 122 129 137

Inhaltsverzeichnis.

8

I I I . Abschnitt. Kugel, Zylinder, Kegel (Fortsetzung); Plankurve und Raumkurve. Seite § 24. Abwicklung des aufrechten und schiefen Kreiszylinders 144 § 25. Abwicklung des aufrechten und schiefen Kreiskegels . . 152 § 26. Singularitäten einer Plankurve 156 § 27. Kaumkurve und abwickelbare Fläche (Torse) . . . . 164 § 28. Schraubenlinie und abwickelbare Schraubenfläche (Schraubentorse) . 171 § 29. Schraubenlinie und Schraubentorse (Fortsetzung) . . . 176 § 30. Parallelbeleuchtung der Schraubenlinie und Schraubentorse 181 § 31. Schnittlinie zweier Flächen; Raumkurve vierter Ordnung 186 § 32. Raumkurve vierter Ordnung mit Doppelpunkt (Vivianische Linie) 197 § 33. Raumkurve vierter Ordnung mit Rückkehrpunkt; Zerfallen in eine Erzeugende und eine Raumkurve dritter Ordnung oder in zwei Kegelschnitte . . 204 § 34. Schlagschatten einer RaDdlinie ins Innere der Fläche . . 208 § 35. Raumkurven vierter Ordnung als Schlagschattengrenzen 217 G e s c h i c h t l i c h e und l i t e r a r i s c h e B e m e r k u n g e n zum I., I I . und I I I . Abschnitt 224 IV. Abschnitt. Orthogonale Axonometrie. A. N e i g u n g des A c h s e n s y s t e m e s .

Elementaraufgaben.

§ 36. -Die Raumelemente und ihre Inzidenz § 37. Zwei Punkte, ihre Verbindungsgerade und die Strecke . § 38. Zwei Gerade, welche durch einen Punkt gehen. Abbildung und Umlegung der Ebene § 39. Drei Punkte, ihre Verbindungsebene und das Dreieck. Ebene Figur § 40. Punkt und Gerade, welche n i c h t auf einer gegebenen Ebene liegen B . D r e h u n g des A c h s e n s y s t e m e s . § 41. § 42. § 43. § 44.

229 232 236 239 241

Eckige Körper.

Die Richtungen der Achsenbilder und die Einheiten der Verkürzungsmaßstäbe Beziehungen zwischen den bei der Abbildung des Achsensystemes vorkommenden Größen Die Hauptaufgaben über das Achsenbild Abbildung eckiger Körper

244 251 255 260

C. K u g e l , Z y l i n d e r , K e g e l . § 45. § 46.

Abbildung des Kreises und der Kugel Zylinder und Kegel G e s c h i c h t l i c h e und l i t e r a r i s c h e zum I V . Abschnitt

Bemerkungen

270 275 282

Einleitung. 1. D i e e r s t e H a u p t a u f g a b e d e r d a r s t e l l e n d e n G e o m e t r i e ist die z e i c h n e r i s c h e W i e d e r g a b e — A b b i l d u n g — der R a u m g e b i l d e auf e i n e r Ebene*). E s kann sich da um die Abbildung v o r h a n d e n e r K ö r p e r auf Grund einer messenden A u f n a h m e oder um d i e A b b i l d u n g bloß g e d a c h t e r K ö r p e r auf Grund einer geistigen Überlegung handeln. Das hergestellte Bild soll a n s c h a u l i c h sein, d. h. man soll das Raumgebilde durch bloßes Anschauen der Zeichnung e r k e n n e n können. Um diese Forderung zu erfüllen, muß die Abbildung wenigstens in gewissem Sinne dem S e h v ö r g a n g e entsprechen. Die Verbindungsgerade eines P u n k t e s P mit dem S e h p u n k t e ( A u g e ) D heißt S e h s t r a h l . D e r Schnittpunkt P c des Sehstrahles mit der B i l d e b e n e ( P r o j e k t i o n s e b e n e ) ß heißt B i l d oder P r o j e k t i o n d e s P u n k t e s * * ) . Die Sehstrahlen, welche durch die P u n k t e einer G e r a d e n g gehen, bilden ein Strahlbüschel auf der Verbindungsebene des Sehpunktes mit der Geraden. Die Schnittgerade gc dieser p r o j i z i e r e n d e n E b e n e mit der Bildebene heißt B i l d o d e r P r o j e k t i o n d e r G e r a d e n . Sie enthält die Projektion eines jeden Punktes der Geraden. Die Schnittgerade e einer E b e n e e mit der Bildebene ß heißt die S p u r d e r E b e n e . D e r Schnittpunkt G einer Geraden g mit der Bildebene ß heißt die S p u r d e r G e r a d e n . Die Projektion eines Sehstrahles ist eine u n b e s t i m m t e Gerade durch die Spur des Sehstrahles. Alle P u n k t e des Sehstrahles mit Ausnahme von D selbst haben aber ihre Projektion in der Spur des Sehstrahles. J e nachdem man einen e i g e n t l i c h e n oder u n e i g e n t l i c h e n (unendlich fernen) P u n k t als S e h p u n k t *) Zunickführung der dreidimensionalen Gebilde auf die zweidimensionale Ebene. **) Die Projektion des Sehpunktes selbst ist u n b e s t i m m t .

10

Einleitung.

voraussetzt, unterscheidet man Z e n t r a l p r o j e k t i o n * ) und P a r a l l e l p r o j e k t i o n . Sind die Sehstrahlen insbesondere zur Bildebene n o r m a l , so heißt die Abbildung eine O r t h o g o n a l p r o j e k t i o n oder ein N o r m a l r i ß . Zur Erhöhung der Anschaulichkeit wird bei der Abbildung von Körpern auch auf d i e W i e d e r g a b e der B e l e u c h t u n g s v e r h ä l t n i s s e und der F a r b e n Wirkung Bedacht genommen. Die Herstellung von Bildern mit einem hohen Grade von Anschaulichkeit ist eine Kunst — die M a l e r e i und die darstellende Geometrie kann als ihre geometrische Grundlage aufgefaßt werden. Die Abbildung soll ferner e i n d e u t i g sein, d. h. man soll das Raumgebilde nach der Zeichnung a u f f i n d e n , a u f b a u e n können. Eine einzige Projektion ist zu diesem Zwecke nicht ausreichend. Durch die Projektion Pc ist ja die Lage des Punktes P auf dem Sehstrahle noch nicht bestimmt. Es wird zumeist noch eine zweite P r o j e k t i o n (Hilfsprojektion) benützt, wodurch dann das Baumgebilde eindeutig bestimmt ist. In dieser Hinsicht wird die darstellende Geometrie zum unentbehrlichen Verständigungsmittel der T e c h n i k , um bestehende oder neu erdachte Körperformen (Gebäude, Maschinen) zur allgemeinen Kenntnis zu bringen. 2. D i e zweite H a u p t a u f g a b e der d a r s t e l l e n d e n G e o m e t r i e i s t die U n t e r s u c h u n g der g e g e n s e i t i g e n B e z i e h u n g e n der R a u m g e b i l d e in der Z e i c h n u n g . Da man nämlich im Baume nicht konstruieren kann, das Zeichnen auf die Ebene beschränkt ist, so ist die darstellende Geometrie eine T h e o r i e der g e o m e t r i s c h e n K o n s t r u k t i o n e n f ü r r ä u m l i c h e G e b i l d e , also ein wesentlicher Bestandteil der B a u m g e o m e t r i e . Diese Konstruktionen werden um so einfacher, je einfacher der Zusammenhang zwischen Raumgebilde und Zeichnung ist. Die Forderung nach Einfachheit der Konstruktionen steht aber mit jener nach Anschaulichkeit im Widerspruche. Das einfachste Projektionsverfahren liefert am wenigsten anschauliche Bilder. Die Projektionsart ist also dem jeweiligen Zwecke entsprechend zu wählen (Monge 3 ). * ) Die einfache L o c h k a m m e r ist ein optisches welches unmittelbar eine solche Abbildung liefert.

Instrument,

I. Abschnitt.

Raumelemente, ebene Figuren und eckige Körper. § 1. Beziehung eines Körpers auf ein rechtwinkliges Achsensystem. 1. Ein Körper, welcher abgebildet werden soll, wird gewöhnlich auf ein r e c h t w i n k l i g e s A c h s e n s y s t e m bezogen, so daß die Achsen x,y,z zu den Hauptrichtungen — B r e i t e , L ä n g e , H ö h e — des Körpers parallel sind. Der Schnittpunkt 0 der drei Achsen heißt d e r U r s p r u n g des Achsensystems. Die acht Teile, in welche der Raum durch die drei Achsenebenen zerlegt wird, heißen O k t a n t e n . Für eine Person, welche auf der xy-Ebene steht und die yz-Ebene hinter sich hat, sollen die positiven Strahlen der x-, y-, ¿-Achse beziehungsweise nach vorn, nach links, nach oben gerichtet sein. Befindet sich dann die Person in dem von den drei positiven Strahlen gebildeten Oktanten, so geht der positive Strahl der x-Achse durch eine p o s i t i v e D r e h u n g (entgegengesetzt dem Bewegungsinne des Uhrzeigers) in den positiven Strahl der y-Achse, dieser durch eine gleiche Drehung in den positiven Strahl der ¿-Achse und dieser in gleicher Weise wieder in den positiven Strahl der « - A c h s e über. Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der r e c h t e n H a n d jener Person können in die Lage der positiven Strahlen der x-, y-, ¿-Achse gebracht werden. Dieses Achsensystem, welches in der Folge gewöhnlich vorausgesetzt werden soll, heißt daher das p o s i t i v e oder r e c h t s h ä n d i g e A c h s e n s y s t e m . Geht der positive Strahl der i/-Achse nach der entgegengesetzten Seite, so gehen die positiven Strahlen der Achsen durch n e g a t i v e D r e h u n g in bezug auf die Person, welche sich im Oktanten der drei positiven Richtungen befindet, ineinander über und können durch die Finger der l i n k e n H a n d jener Person gezeigt werden. Dieses n e g a t i v e oder l i n k s h ä n d i g e

12

I. Raumelemente, ebene Figuren und eckige Körper.

A c h s e n s y s t e i n * ) k a n n mit dem vorigen nicht zur D e c k u n g g e b r a c h t werden. S u c h t m a n die O r t h o g o n a l p r o j e k t i o n e n des K ö r p e r s auf den drei E b e n e n des A c h s e n s y s t e m e s , so e r h ä l t m a n auf d e r xy-Ebene d u r c h S e h s t r a h l e n von d e r R i c h t u n g d e r ¿•-Achse den G r u n d r i ß , auf d e r yz-Ebene d u r c h Sehstrahlen von d e r R i c h t u n g d e r x - A c h s e den A u f r i ß u n d auf d e r zx- E b e n e d u r c h S e h s t r a h l e n von der R i c h t u n g d e r y - A c h s e den K r e u z r i ß des K ö r p e r s . 2. P u n k t u n d J e d e r P u n k t P k a n n als E c k p u n k t eines r e c h t w i n k ligen Parallelepipedes betrachtet werden, welches den U r s p r u n g 0 des A c h sensystemes als g e g e n ü b e r liegenden E c k p u n k t besitzt. D i e drei K a n t e n OX, OY, OZ des Parallelepipedes o d e r i h r e M a ß z a h l e n x, y, z heißen die Koordinaten des P u n k t e s P ; sie k ö n n e n zur A n g a b e des P u n k t e s P dienen. D i e drei a n d e r e n E c k p u n k t e des P a r a l l e l e p i p e d e s sind die Projektionen (Risse) P', P", P'" des Punktes P ( L a c r o i x 3 ) .

Ebene.

Jede E b e n e e ergibt d u r c h den S c h n i t t mit den E b e n e n a, ß, y des A c h s e n systems drei S p u r e n e,, e v e 3 . D i e drei S t r e c k e n OX, OY, OZ, welche d u r c h die S c h n i t t p u n k t e d e r E b e n e mit den Achsen begrenzt werden, können a u c h zur A n g a b e der Ebene benützt werden.5

D e r A b s t a n d eines P u n k t e s von der Grunde b e n e ist d e m A b s t ä n d e seines A u f r i s s e s von der i / - A c h s e , dem A b s t ä n d e seines K r e u z r i s s e s von der .«-Achse, sowie der K o o r d i n a t e z gleich. Ein P u n k t , w e l c h e r auf der G r u n d e b e n e liegt, ist z u g l e i c h sein G r u n d r i ß ; sein A u f r i ß liegt auf der i/-Achse; sein K r e u z r i ß liegt auf der ic-Achse. Z u r Ü b u n g : Es ist das Entsprechende Kreuzrißebene anzugeben.

für die Aufriß-

und

*) Statt „rechtshändiges und linkshändiges Achsensystem" ist auch „englisches und französisches Achsensystem" gebräuchlich.

§ 1.

Beziehung eines Körpers auf ein rechtwinkl. Achsensystem.

13

3. Man denkt sich nuu die Gruudebene um die y-Achse und die Kreuzrißebene um die z- Achse so lange gedreht, bis sie mit der Aufrißebene zusammenfallen. Man nennt daher die Achsen y und z B i l d a c h s e u . Durch diese U m l e g u n g d e r G r u n d e b e n e und _der K r e u z r i ß e b e n e a u f d i e A u f r i ß e b e n e wird die Ü b e r t r a g u n g auf e i n e einzige E b e n e erreicht. Statt der U m l e g u n g der Grundebene kann auch eine P r o j e k t i o n des Grundrisses auf die Aufrißebene

p

ß

z

\ o

X7

\

• V

eV

i\ \ V

*y

\ \

X et

+x

Fig. 2.

F i g . 1.

benützt werden, bei welcher die Sehstrahlen d unter n/4 nach abwärts geneigt sind (und analog für den Kreuzriß). Die Figuren 1 und 2 zeigen die Abbildung

I

x = 1

< x = 1

y = 1,2 und einer Ebene e { y= ¿ = 1,5

l

1,5

2=1,8

Z u r Ü b u n g : 1. Es sind Punkte mit gegebenen Koordinaten x, y, z abzubilden, wobei die Zahlen auch negativ gewählt werden mögen. 2. Bs sind Punkte abzubilden, welche die Abstände a, b, c von den Achsen x, y, z haben, z. B. a = 3, b — 2,7, c = 2,9. 3. Es sind Ebenen abzubilden, welche zu einer der drei Ebenen des Achsensystemes normal, bzw. parallel sind. 4. Die Seiten a, b, c des Spurendreieckes XYZ einer Ebene sind gegeben; man soll daraus die Lage der Ebene finden.

14

I- Raumelemente, ebene Eiguren und eckige Körper.

§ 2. Punkt und Gerade im Zweibildersysteme; ihre Inzidenz. 1. Zwei von den drei erwähnten Abbildungen sind zur vollständigen Bestimmung des Raumelementes notwendig und hinreichend; die dritte Abbildung kann dann gefunden werden. Es ist daher zumeist nur ein Z w e i b i l d e r s y s t e m im Gebrauche, nämlich „ G r u n d - u n d A u f r i ß " oder „ A u f r i ß u n d K r e u z r i ß " . In der Folge soll also gewöhnlich ein solches Zweibildersystem benützt werden. Dabei ist noch Aufriß posit.

und

Aufriß

Grundriß.

netfat.

und Grundriß.

f ß

w*

pm

« -

V "

j ..—V 21

ij

,

O

Y

¡y

o

Fig. 3.

jr i i !r

i I ; !

^ «

*x

ß

* X

vm

VFig. 4.

ein Umstand beachtenswert. Bei der Herstellung des Grundrisses kann man sich nämlich das Auge in der p o s i t i v e n Richtung der 2-Achse denken, so daß die S e h s t r a h l e n von o b e n n a c h a b w ä r t s gehen. _Man erhält dann einen p o s i t i v e n G r u n d r i ß oder eine U b e r s i c h t . Für diesen Fall wird d e r v o r d e r e T e i l d e r G r u n d e b e n e n a c h a b w ä r t s u m g e l e g t . Denkt man sich dagegen das Auge in der n e g a t i v e n Richtung der 2-Achse, so daß die S e h s t r a h l e n von u n t e n n a c h a u f w ä r t s gehen (was für die Abbildung von Körpern, welche man gewöhnlich von unten sieht, passend ist), so erhält man einen n e g a t i v e n G r u n d r i ß oder eine U n t e r s i c h t . In diesem Falle ist, der jetzigen Lage des Auges entsprechend, der vordere Teil der Grund-

§ 2.

Punkt und Gerade im Zweibildersysteme; ihre Inzidenz.

15

ebene nach a u f w ä r t s umzulegen*). Die Figuren 3, 4 zeigen die Sehstrahlen v und o, bzw. u. Ebenso kann man sich das Auge bei Herstellung des Kreuzrisses in der p o s i t i v e n Richtung der i/-Achse denken, so daß die Sehstrahlen von r e c h t s n a c h l i n k s gehen. Man erhält dadurch einen p o s i t i v e n K r e u z r i ß oder eine A n s i c h t von r e c h t s . Der vordere Teil der Kreuzrißebene ist da nach l i n k s umzulegen. Im andern Falle erhält man einen n e g a t i v e n K r e u z r i ß oder eine A n s i c h t von l i n k s und der vordere Teil der Kreuzrißebene ist nun nach r e c h t s umzulegen. Aufriß und negat. Kreu^rip

jrosit. Kreuxriß und Aufriß.

f,

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z

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5 _ r ,

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*y j

V

P'

V

Fig. 5.

i jx

O

/

V

Fig. 6.

Die Figuren 5, 6 zeigen die Sehstrahlen v und r, bzw. I. Für die erwähnten Zweibildersysteme gilt nun: 1. J e d e r P u n k t P des R a u m e s ist durch ein P u n k t e p a a r (P', P" oder P", P'") abgebildet, welches auf einer zur Bildachse (y oder z) normalen Geraden liegt. Diese (senkrechte oder wagrechte) Gerade heißt O r d n e r * * ) ; die beiden Bilder nennt man z u g e o r d n e t e N o r m a l r i s s e (E. M ü l l e r 6 ) . Der zur z-Achse parallele Ordner bedeutet zugleich den Aufriß o" des von oben kommenden Sehstrahles (oder den *) Es soll nämlich die Grundebene auch n a c h der Umlegung jene Seite dem in der positiven Richtung der « - A c h s e befindlichen Auge zukehren, welche sie im Räume dem in der positiven oder negativen Richtung der z -Achse gedachten Auge zuwendet. **) Dabei ist zu beachten, daß der Punkt Q, für welchen Q' = P" und Q" — P' ist, vom Punkte P verschieden ist.

16

I- Kaumelemente, ebene Figuren und eckige Körper.

A u f r i ß u" des von unten kommenden Sehstrahles) und den Grundriß v' des von vorn kommenden Sehstrahles. 2. J e d e G e r a d e ^ r d e s R a u m e s i s t durch ein G e r a d e n p a a r {g',g" oder g", g'") abgebildet, welches an k e i n e B e dingung geknüpft ist*). 2. I n z i d e n z v o n P u n k t u n d G e r a d e ; d i e P u n k t r e i h e . a) Zieht man irgendeinen Ordner (Fig. 7 und 8), so sind seine Schnittpunkte mit g' und g" die Projektionen P' u n d P " eines P u n k t e s P , welcher auf der Geraden g liegt; denn „bei Inzideuz von P u n k t und Gerade müssen die gleichartigen Projektionen inzident sein".

Die Ordner bilden ein Parallelstrahlbüschel. D a r a u s folgt: „Grund- und A u f r i ß einer Punktreihe sind perspektiv ähnliche Punktreihen." ß) Die P r o j e k t i o n e n d e s u n e i g e n t l i c h e n P u n k t e s U der Geraden (n-B)

> (A- C)

ist. Im gegenteiligen Falle schneidet nämlich BS die

II.

112

Kugel, Zylinder, Kegel.

(a + c)>(?i—b) ist; dann führen aber zwei solche Erzeugende zu sphärischen Dreiecken, welche statt einer der gegebenen Seiten das Supplement enthalten. Hiermit ist auch eine früher (§ 7, 3) erwähnte Aufgabe gelöst. Sind nämlich OA, OB die Spuren und/^zweier Ebenen und OB die Schnittgerade der Ebenen, so ist beii? * die wahre Größe des Neigungswinkels der E b e n e n gefunden.

Hilfskugel in reellen Punkten, und dann sind die Berührungsebenen aus MS imaginär.

Man kann die Aufgabe auch so aussprechen: „ E s soll eine Ebene gefunden werden, welche mit zwei gegebenen Ebenen (die zur Grundebene normal sind) bestimmte Neigungswinkel bildet."

Aus Fig.81 kann man unmittelbar die G r u n d g l e i c h u n g e n der s p h ä r i s c h e n T r i g o n o m e t r i e ablesen: BB' = r • sin a sin C = r • sin c sin A sin c sin i sin a •... Sinussatz. sin A sin C sin B

OE=OF• cos b + FB' • sin b r • cos c = r cos a • cos b - f r sin a cos C • sin b

cos c = cos a cos b -f- sin 3. Wenn [a, b, C] gegeben ist, so ist im wesentlichen dieselbe Figur in andererßeihenfolge zu konstruieren. [&, a*, F{C), B', B* E P t ,

o

F i g . 83.

a sin b • cos G... Cosinussatz. 4 . Wenn [A, B, c] gegeben ist, so wäre auch wieder die obige Figur in anderer Reihenfolge herzustellen. [B, 0e*, c x , P , EA, R, Q,

S, F*, 0£, O*.]

Die Figur wäre auch für den Fall [a, b, c] oder [a, c, E] verwendbar. Wenn [A, C, b] gegeben ist und die Seite b auf der Grundebene liegt, so ist die Lösung auch sehr einfach (Fig. 83). Die Spuren e ± , f t der beiden Seitenebenen schließen die Seite b ein. In einem beliebigen Punkte E von e1 wird

113

§ 19. Das sphärische Dreieck.

5. Es sei a = 40°, c = 50°, A = 55°. Zunächst kann (Fig. 84) die Umlegung c* der Seite c ge-

eine Spurnormale m gezeichnet, so daß m ' und tn° den gegebenen Winkel A bilden. Eine Horizontale h j der Ebene ergibt 8', 8Das rechtwinklige Dreieck 8°S'F* mit dem Winkel C liefert den Abstand für h'u von ft. Die beiden Horizontalen hx und hn der Ebenen ergeben einen Punkt B der Schnittgeraden. F ü r den besonderen Fall, daß A = C ist, wird OB' die Halbierungsgerade des W i n k e l s d e r S p u r e n e^f^. 6. Es sei A- 67i« (52i), (7=60°, a = 45°. Zunächst kann (Fig. 85) die Umlegung ax der Seite a auf

zeichnet und dann durch Auftragen des Winkels A bei E der P u n k t i ? ' gefunden werden.

die Grundebene gezeichnet und dann durch Auftragen des Winkels C bei F der

S c h u n d , Darstellende Geometrie I.

8

114

II. Kugel, Zylinder, Kegel.

Die Senkrechte von P, zu OB' ist die Spur ty der Tangentialebene für B. Die Kante OC liegt auf einem Drehkegel, welcher O.B als Achse besitzt. Auf der Tangentialebene hat dieser Kegel einen Basiskreis mit dem Mittelpunkte B und einem Radius s, den man durch Antragen der Seite ax bei OB* findet. Der Kreis mit dem Mittelpunkte Bx und dem Radius s schneidet die Spur tl in zwei Funkten Qx und Qn, aus welchen sich die Schnitterzeugenden des Kegels mit der Grundebene und sohin im allgemeinen zwei mögliche Eckpunkte Cj, Gu ergeben. Wenn s>BP1 ist, so wird der Punkt CT unbrauchbar, da das zugehörige Dreieck entweder nicht die Seite a oder nicht den Winkel A (sondern das Supplement) enthält. Wenn s

D e r N o r m a l r i ß des K e g e l s c h n i t t e s auf der E b e n e des B a s i s k r e i s e s ist ein g l e i c h a r t i g e r K e g e l s c h n i t t , w e l c h e r den N o r m a l r i ß 8' der S p i t z e als B r e n n p u n k t u n d deu N o r m a l r i ß v' der Y e r s c h w i n d u n g s g e r a d e n v als L e i t g e r a d e b e s i t z t . Die Horizontale S" V3 ist der vierte harmonische Strahl zur Kegelachse in bezug auf die beideu Umrißerzeugenden; daher ist v die Polare des Schnittpunktes der Kegelachse mit e und v' ist die Polare von 8'. „Die Leitgerade ist die Polare des Brennpunktes in bezug auf den Kegelschnitt." Die durch 8 gehende Horizontale der Berührungsebene längs der Kegelerzeugenden SB geht durch den Schnittpunkt von t und v\ im Grundrisse erscheint sie normal zu S'R'. „Die Strecke der Tangente eines Kegelschnittes vom Berührungspunkte bis zur Leitgeraden erscheint aus dem zugehörigen Brennpunkte unter einem Rechtwinkel." I s t die E b e n e e n i c h t zur A u f r i ß e b e n e n o r m a l , so kann man durch Einführung einer neuen Projektionsebene oder durch Drehung um die Drehachse auf deu beschriebenen

122

II. Kugel, Zylinder, Kegel.

F a l l zurückkommen. D e r A u f r i ß des Kegelschnittes ist dann ein gleichartiger Kegelschnitt, f ü r welchen die Aufrisse der Achsen konjugierte Durchmesser sind. E r berührt den scheinbaren Umriß doppelt, nämlich in den Aufrissen der Punkte, welche auf den Umrißerzeugenden liegen und bei welchen der Kegelschnitt unsichtbar wird.

§ 21. Umkehrungsaufgabe über die ebenen Schnitte eines Drehkegels; Zeichnen der Kegelschnitte. 1. Die U m k e h r u n g s a u f g a b e über die ebenen Schnitte eines Drehkegels kann in zweifacherWeise gestellt und gelöst werden: Ein Drehkegel [£, z, ß] und ein Kegelschnitt [ Ä J A J J J F J F J J ] sind gegeben; man soll a) d e n K e g e l s c h n i t t a u f d e n g e g e b e n e n D r e h k e g e l legen, ß) d e n D r e h k e g e l d u r c h d e n g e g e b e n e n K e g e l s c h n i t t legen.23 D i e A u f g a b e a) kann für die E l l i p s e u n d H y p e r b e l (Fig. 89 c) nach der Schlußbemerkung von § 20,3 gelöst werden. Man stellt ein Hilfsdreieck PQR her, indem man von P aus die doppelte Exzentrizität 2c auf der Umrißerzeugenden des Kegels (Fig. 89a, b) aufträgt. D e r E n d p u n k t Q ist der Mittelpunkt eines Kreises mit der Hauptachse 2 a als Radius, woraus sich der E c k p u n k t R ergibt. Verschiebt man die Seite PQ auf der Umrißerzeugenden, bis der P u n k t R auf die andere Umrißerzeugende kommt, so geht die Seite R Q in die H a u p t achse AJAJJ des ebenen Schnittes über, welcher dem gegebenen Kegelschnitte kongruent ist. D e r zweite Schnittpunkt R des Kreises f ü h r t zu einem symmetrisch liegenden ebenfalls kongruenten Kegelschnitt. Auf den gegebenen Kegel kann man jede beliebige Ellipse legen, aber nur solche Hyperbeln, f ü r welche 2 a > 2 c cos ß ist. F ü r die P a r a b e l (Fig. 90b) stellt man ein Hilfsdreieck SPQ her, indem man von S aus den halben P a r a m e t e r p/2 auf der Umrißerzeugenden des Kegels (Fig. 90 a) aufträgt. I m E n d p u n k t P errichtet mau eine Senkrechte VM dieser Erzeugenden und in S eine Senkrechte zu z, so ergibt sich der E c k punkt Q. Verschiebt man das Dreieck parallel zur andern

§21. Umkehrungsaufgabe üb. die ebenen Schnitte eines Drehkegels.

123

Umrißerzeugenden, bis Q auf z (nach 0) kommt, dann geht der Eckpunkt S in den Scheitel A eines Parabelschnittes über, welcher der gegebenen Parabel kongruent ist. Für die A u f g a b e ß ) sei zunächst eine E l l i p s e auf der Grundebene so angenommen, daß die große Achse AzAn auf der Bildachse liegt (Fig. 89 c). Da die große Achse die Orthogonalprojektion der Kegelachse ist, so muß die Achse und die

Spitze des Kegels auf der Aufrißebene liegen. Es sei nun eine Kugel gedacht, welche die Grundebene im Brennpunkte Fn berührt. Ihr Mittelpunkt O n liegt auf der Normalen zur Grundebene im Punkte Fu. Ihr scheinbarer Umriß kann sofort gezeichnet werden. Zieht man aus Az und An die Tangenten an den Umrißkreis, so schneiden sie sich in einem Punkte S. Ihre Berührungspunkte seien G2 und Gn. Betrachtet man 8 als Spitze eines Berührungskegels der Kugel, so ist der Schnitt dieses Kegels mit der Gruudebene eine Ellipse, welche AzAn als große Achse und FJX als Brennpunkt hat. Diese Schnittlinie m u ß mit der gegebenen Ellipse identisch sein, weil durch

124

I I . Kngel, Zylinder, Kegel.

die große Achse und einen Brennpunkt die Ellipse eindeutig bestimmt ist. E s ist also ein Drehkegel gefunden, welcher durch die gegebene Ellipse geht. Nun gibt es oo1 Kugeln, welche die Grundebene im Punkte Fn berühren, und jede solche Kugel gibt einen neuen Drehkegel, welcher durch die Ellipse geht. Die Spitzen dieser Kegel bilden eine Linie, für welche man leicht eine charakteristische Eigenschaft angeben kann. E s ist 80j

= 80u,

und

GIAI SAI

= AIFII, = 8GI

+

=

AUFU

GIAI,

8An=8Gn+GnAU) also oder

SAj-SAjj-'^

GjAj-

GnAn=

SAj-—8 An=Fx

AIFu-AuFn Fn.

„Die S p i t z e n d e r oo1 D r e h k e g e l , welche durch eine E l l i p s e gehen, bilden eine H y p e r b e l , welche auf der durch die Hauptachse gehenden, senkrechten Ebene liegt, die Scheitel der Ellipse als Brennpunkte und die Brennpunkte der Ellipse als Scheitel hat. Die A c h s e n d e r D r e h k e g e l sind die Tangeuten der Hyperbel, insbesondere sind die Achsen der beiden Drehzylinder die Asymptoten der Hyperbel." F ü r diese Kegel nimmt der Winkel ß alle Werte von 0 bis an. I n eine gegebene E l l i p s e paßt also j e d e r beliebige Drehkegel. Sollen umgekehrt durch die gefundene H y p e r b e l Drehkegel gelegt werden, so denkt man sich eine Kugel, welche die Aufrißebene im Punkt Az berührt. Zieht man aus FT und F n die Tangenten an den Umrißkreis dieser Kugel, so ist ihr Schnittpunkt T die Spitze eines solchen Kegels. F ü r den Punkt T ist dann TFZ + TFn = AXAU und als Linie der Spitzen ergibt sich die ursprüngliche Ellipse. Die Beziehung der beiden Linien (Fokalkegelschnitte) ist also eine wechselseitige und der obige Satz bleibt auch richtig, wenn man „Hyperbel" und „Ellipse" vertauscht. Hier nimmt aber der Winkel ß für diese Kegel n i c h t alle W e r t e bis TT/5 an, sondern der kleinste W i n k e l ist jener, welchen die Asymptoten mit der reellen Achse bilden, bei welchem also tg ßx=bja ist. I n eine gegebene H y p e r b e l passen also nur solche Drehkegel, für welche der W i n k e l ß zwischen den Grenzen ßx und n/ 2 liegt.

§ 2 1 . UmkehruDgsaufgabe üb. die ebenen Schnitte eines Drehkegels.

125

Unter den oo1 Kegeln sind noch jene aufzusuchen, welche an der Spitze den gegebenen Winkel 2ß besitzen. Zu diesem Zwecke zeichnet man bei der E l l i p s e den Kreis, welcher die Hauptachse als Sehne und den Winkel 2ß als zugehörigen Peripheriewinkel besitzt. Zwei von den Schnittpunkten des Kreises mit der Fokalhyperbel sind Spitzen von möglichen Kegeln. Diese Punkte sind auch die Berührungspunkte der Tangenten aus dem Schnittpunkte des Kreises mit der Nebenachse der Ellipse, so daß sie mit Lineal und Zirkel gefunden werden können, ohne die Hyperbel zu zeichnen. Für die H y p e r b e l ist der Vorgang analog. Nimmt man nun auf der Grundebene eine P a r a b e l [A, F] an (Fig. 90 b), legt eine Kugel, welche in .Fdie Grundebene berührt, und zieht aus A und Aoo die Tangenten an ihren Umrißkreis, so ist wieder S die Spitze und SO die Achse eines Drehkegels, der durch die gegebene Parabel geht. Macht man OnE=GIA=AFund zieht durch E eine Parallele e zur Leitgeraden d, so ist SGI=SGII und SA — Se. Die Punkte S bilden also eine Parabel, welche A als Brennpunkt und e als Leitgerade besitzt. „Die S p i t z e n der oo1 D r e h k e g e l , welche durch eine P a r a b e l gehen, bilden eine g l e i c h e P a r a b e l , welche auf der durch die Achse gehenden, senkrechten Ebene liegt, den Scheitel der gegebenen Parabel als Brennpunkt und den Brennpunkt als Scheitel hat. Die Achsen der Drehkegel sind die Tangenten dieser Parabel." Die Beziehung der beiden Parabeln ist eine wechselseitige. Der Winkel ß nimmt dabei alle Werte von 0 bis ji/2 au. In eine gegebene P a r a b e l paßt also j e d e r beliebige Drehkegel. Es ist der Strahl AO unter dem Winkel (71/^—ß) zu ziehen, um die Achse und Spitze des passenden Kegels zu finden. 2. a) Es sei wieder eine P a r a b e l [4, .F] wie vorhin auf der Grundebene gewählt (Fig. 91) und durch diese Parabel jener Drehkegel gelegt, für welchen ß = nji ist. Die in _Fdie Grundebene berührende Kugel hat dann einen Radius, welcher dem halben Parameter A F gleich ist. Ein beliebiger Punkt O der Drehachse ist der Mittelpunkt einer Kugel, welche den Kegel längs eines Kreises [M, MN] berührt und die Grundebene in einem Kreise schneidet, welcher 0 ' als Mittelpunkt und O'Q als Radius hat. Die beiden Kreise ergeben zwei Schnittpunkte TIt Tn, deren Aufriß T" im Schnitte von M" N"

126

II.

Kugel, Zylinder, Kegel.

mit der Bildachse liegt, und welche der Schnittparabel angehören. Die Grundspuren der Tangentialebenen der Kugel und desKegels für diesePunkte sind: tj-1.0' Tz und tu.LO' Tir Sie sind die T a n g e n t e n d e r P a r a b e l f ü r d i e P u n k t e T j u n d Tn; der Kreis [ 0 ' , 0 ' Q ] ist also ein d o p p e l t b e r ü h r e n d e r K r e i s d e r P a r a b e l . Da 0'N"=p und Winkel ist, so ist auch 0'T"=p. „Die Subnormale der Parabel ist konstant, dem Parameter gleich." Der Pol B der Geraden TITII liegt auf der Achse so, daß H A=A T" ist, weili2, T" mit den beiden Scheiteln, von welchen der eine uneigentlich ist, vier harmonische Punkte bilden.

„Die Subtangente der Parabel ist der doppelten Abszisse gleich." Bezeichnet man AT" mit x und T" Tz mit y, so folgt aus dem rechtwinkligen Dreiecke 0'HTZ die G l e i c h u n g d e r Parabel:

y'=2px.

Rückt der Kugelipittelpunkt 0 in den Schnittpunkt K A der Drehachse mit der Grundebene, so wird der Radius der Kugel und des Schnittkreises gleich p. Die beiden Punkte TIt Tjj rücken nach A, so daß der Schnittkreis hier vier benachbarte Punkte mit der Parabel gemein hat; daher ist er d e r K r ü m m u n g s k r e i s f ü r d e n S c h e i t e l A, der P u n k t K & ist der zugehörige Krümmungsmittelpunkt und Tc^=p der Krümmungsradius. Außer Punkten und Tangenten wird dieser Kreis beim Z e i c h n e n d e r P a r a b e l benützt.

§ 21.

127

Zeichnen der Kegelschnitte.

Rückt der Punkt 0 weiter hinauf, so ergeben sich zunächst Schnittkreise, welche in imaginären Punkten berühren. Wird der Radius gleich pl2, so erhält man einen Nullkreis bei .Fund dann imaginäre Schnittkreise. ß) Ein Drehkegel, welcher die Bildachse als Drehachse besitzt, werde mit einer Ebene e geschnitten, welche im Abstände b zur Aufrißebene parallel ist (Fig. 92). Die Spur e t der Ebene ist im Abstände b zur Achse parallel. Der Aufriß der Schnitthyperbel hat die Spitze 8 als Mittelpunkt und die Umrißerzeugenden Uj, uLj als Asymptoten, ferner A'i, A'¡j_ als Scheitel. Ein beliebiger Punkt 0 der Achse ist wieder der Mittelpunkt einer Kugel, welche längs eines Kreises [M,MN] den Kegel berührt und die Ebene e in einem Kreise schneidet, welcher den Fußpunkt P aus 0 auf e als Mittelpunkt und die halbe S e h n e P ' Q' des Umrißkreises auf el als Radius hat. Der Aufriß des Schnittkreises erscheint in wahr.er Größe und hat P " = 0 als Mittelpunkt. Der Berübrungskreis und der Schnittkreis ergeben zwei Punkte Tx, Tn der Schnitthyperbel. Ihr Grundriß T' ist der Schnittpunkt von JfiV T mit et; ihre Aufrisse Tj, TJ'J sind die Schnittpunkte von MN mit dem Aufrisse des Schnittkreises. Die Frontalen der Tangentialebenen der Kugel und des Kegels für die gefundenen Punkte sind i;'_LOT;'und t £ ± O T £ . Sie sind die T a n g e n t e n der H y p e r b e l f ü r d i e P u n k t e T'{ und TjZ\ der Kreis [O, P' Q'~\ i s t ein d o p p e l t b e r ü h r e n d e r K r e i s der H y p e r b e l . Bezeichnet

MTj = MN,

man SM

TxTj=b,

mit x

MN:x

und MTmit

= b:a,

y,

so ist

und aus dem recht-

winkligen Dreiecke MTj^T^' folgt nun die G l e i c h u n g Hyperbel:

der

Ist ß — n^, so wird der Abstand b = a und man erhält eine g l e i c h s e i t i g e H y p e r b e l . Ihre Asymptoten sind zueinander normal und ihre Gleichung heißt: •2

Rückt der Punkt iVin den Schnittpunkt J"der Asymptote u x mit der Scheiteltangente, so kommt der PunktO in den Schnittpunkt Ka der Normalen bei Jzur Asymptote u T mit der Achse. Der Aufriß des Schnittkreises hat dann K A als Mittelpunkt und

128

I I . Kugel, Zylinder, K e g e l .

als Radius. Die Berührungspunkte T j und Tj X vereinigen sich dann bei A j d a h e r ist dieser Kreis der K r ü m m u n g s k r e i s f ü r den S c h e i t e l A Für d a s Z e i c h neu d e r H y p e r b e l werden außer Punkten und Tangenten besonders die Krümmungskreise für die beiden Scheitel benützt. Anderseits ist zu beachten, daß die Hyperbel in ihrem weiteren Verlaufe nahezu geradlinig wird und sich dabei den Asymptoteu nähert. Der Mittelpunkt einer Kugel, welche auch die schneidende Ebene berührt, liegt auf der Halbierungsgeraden des Winkels bei Aj. E r ist jetzt auch der Aufriß F" eines Brennpunktes der Schnitthyperbel. Weil nun beiF" ein Wechselwinkel zur Winkelhälfte auftritt, so ist SA'j-F" ein gleichschenkliges DreiSAj. F ü r x = 0 ereck und d i e E x z e n t r i z i t ä t c = SF"= hält man aus der Gleichung der Hyperbel y — + b • i. Auf der zweiten Achse der Hyperbel liegen also zwei imaginäre Punkte im Abstände b-i. Man nennt deshalb die Strecke SB = b d i e h a l b e i m a g i n ä r e A c h s e d e r H y p e r b e l und es ist hier K A A J J

a 2+b 2

= c\

Man kann auch I n s t r u m e n t e herstellen, welche das Zeichnen der Parabel oder Hyperbel ermöglichen. S o z. B . gibt es ein Instrument, welches die in Nr. 1 gezeigten Beziehungen verwirklicht und welches je nach der Einstellung eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel zu zeichnen gestattet*). Übungsaufgaben: 1. I m Inneren eines Drehkegels ist ein Punkt F gegeben. Man soll Kegelschnitte finden, welche F als Brennpunkt haben. W o liegen die Brennpunkte aller Parabelschnitte? 2. Durch eine Gerade sind Ebenen zu legen, welche einen gegebenen Drehkegel nach Parabeln schneiden. 3. Durch eine Gerade sind Ebenen zu legen, welche einen gegebenen Drehkegel nach gleichseitigen Hyperbeln (oder Hyperbeln mit gegebenem Asymptotenwinkel) schneiden. Was nmhüllen die Parallelebenen

Der Grundriß der Lichtgrenze einer K u g e l und der Schlagschatten der K u g e l auf die Grundebene sind ä h n l i c h e Ellipsen. Die Brennpunkte der Schlagschattenellipse ergeben sich auch als Schlagschatten der Endpunkte des zur Grundebene normalen Durchmessers der Kugel (§ 12,4). Der Schlagschatten auf der Grundebene ist bei der in der Figur gemachten Annahme zum Teile von der K u g e l selbst v e r d e c k t . 3. Der Lichtstrahl l, welcher durch den Mittelpunkt der K u g e l geht, schneidet die Kugel in zwei Punkten H und O, in welchen er zu dem zugehörigen Flächenelemente der Kugel normal ist (der Einfallswinkel s = 0). In dem Punkte H herrscht daher die größte Helligkeit auf der beleuchteten Seite; im Punkte O ist die hellste Stelle auf der unbeleuchteten Seite der Kugel. Die Grundrisse H ' und G ' dieser h e l l s t e n 9*

132

II.

Kugel, Zylinder, Kegel.

P u n k t e der K u g e l ergeben sich aus den Umlegungen H ° und 0°. Aus dem, was im § 1 8 , 3 gezeigt wurde, folgt: Die Grundrisse der hellsten P u n k t e einer K u g e l s i n d die A n t i b r e n n p u n k t e d e r E l l i p s e , w e l c h e den G r u n d r i ß der L i c h t g r e n z e der K u g e l bildet. 4 . Von den hellsten Punkten H und O aus nimmt die Helligkeit gegen die Lichtgrenze hin ab. "Wählt man auf dem Umrißkreise der neuen Projektion einen Punkt J°, zieht den L i c h t s t r a h l , welcher in J einfällt und die Flächennormale (den R a d i u s ) für den Punkt J der Kugel, so erscheint der Einfallswinkel e in wahrer G r ö ß e als W i n k e l der Richtung l 0 mit O'Jsowohl bei J° als auch bei O'. D r e h t sich der Großkreis der Symmetrieebene um den Lichtstrahl l, so beschreibt der P u n k t , / e i n e n K r e i s i , dessen E b e n e zu l normal ist und dessen Punkte denselben Einfallswinkel e ergeben. I n allen Punkten dieses K r e i s e s i herrscht daher dieselbe Helligkeit h = r- c o s e (§ 8,5). „ E i n e L i n i e einer F l ä c h e , in deren Punkten dieselbe Helligkeit herrscht, heißt I s o p h o t e . " 2 4 D i e I s o p h o t e n der K u g e l sind K r e i s e , deren E b e n e n zur R i c h t u n g d e r L i c h t s t r a h l e n n o r m a l sind. Die I s o p h o t e i erscheint in der n e u e n P r o j e k t i o n als j e n e Sehne des Umrißkreises, welche durch J° normal zu 1° geht. I h r Schnittpunkt M° mit l 0 ist die Projektion des Mittelpunktes der Isophote. D i e zu dieser Isophote gehörige Helligkeit ist proportioniert der S t r e c k e O'M 0 = r • cos e. Von der Lichtgrenze bis zum hellsten Punkte werden auf der beleuchteten S e i t e der Kugel 10 und auf der unbeleuchteten S e i t e 5 Helligkeitstufen hergestellt. Um die Isophoten zu erhalten, welche diese Helligkeitszonen begrenzen, teilt man die S t r e c k e 0'H° iu 10 und die S t r e c k e O'G 0 in 5 gleiche Teile. D i e Sehnen des Umrißkreises, welche durch diese Teilpunkte normal zu 1° gehen, sind die neuen Projektionen der verlangten Isophoten. D e r Grundriß der I s o p h o t e i ist eine Ellipse, für welche sich sofort der Mittelpunkt M' sowie der E n d punkt J' der kleinen A c h s e durch Fällen von Normalen aus M° und J° zu V ergibt; die halbe große A c h s e M'K' =M°J 0. D e r Schnittpunkt der Sehne i° mit l' ist die neue Projektion der zwei Punkte H, S der Isophote i , welche auf dem Umrißkreise liegen, bei welchen also die Isophote u n s i c h t b a r wird. E r r i c h t e t man in diesem Schnittpunkte die zu V normale

§ 22. Beleuchtung der Kugel.

133

Sehne des Umrißkreises, so erhält man den Grundriß B,', S' jener zwei Punkte. Die Ellipse i' muß den Umrißkreis in diesen beiden Punkten R', S' berühren. Die Projektion der Tangente des Kreises i für einen solchen Punkt fällt nämlich in die Tangente des Umrißkreises, da diese zugleich die Spur der projizierenden Tangentialebene des Punktes ist. Die Tangentialebenen für H und G haben Spuren h0, ht und g(l,gl, während die Ebene der Lichtgrenze die Spuren n0, besitzt. Die Sehnen B ' S ' ergeben sich auch, indem man den Streifen zwischen A t und n 1 in 10, jenen zwischen undgen von [ 0 , &] glejch sind, welche vom Berührungspunkte bis zu den beiden Endpunkten A°, Hü reichen, so folgt: D u r c h die A b w i c k l u n g g e h t die E v o l v e n t e e i n e s K r e i s e s [O, r] in eine E v o l v e n t e des K r e i s e s [O, k] über. Die beiden Teile der Schraubentorse, welche längs der Schraubenlinie wie in einer Schneide zusammentreffen, kommen durch die Ebnung teilweise zur Deckung. Für die Linie, welche aus einer beliebigen auf der Schraubentorse liegenden Raumkurve hervorgeht, kann man wie früher (§ 24, l ) Punkte und Tangenten finden. Der Krümmungsradius der abgewickelten Linie (§ 24,2) ist auch hier

wobei e der Winkel ist, welchen die Schmiegungsebene der Raumkurve mit der Berühruugsebene der abwickelbaren Fläche für den Punkt T bildet. Will man J'cZt = ti • sioa, die S u m m e a l l e r K o n t i n g e n z elemente,finden, welche zu einem halben Gange der Schraubenlinie gehören, so ergibt sie sich aus der Abwicklung als Winkel der Tangetiten für die Endpunkte A° und Hü- Man erhält sie aber auch durch Abwicklung des halben Richtungskegels (Fig. 110c), indem man vom Halbkreise mit dem Radius BP das Stück abzieht, um welches O"C" kleiner ist als A"C".

§ 30.

Parallelbeleuchtung der Schraubenlinie u. Schraubentorse.

181

W i l l m a n n o c h j ' d a - n - c o s a, d i e S u m m e a l l e r zug e h ö r i g e n S c h m i e g u n g s e l e m e n t e , finden, so h a t m a n den halben Richtungskegel der F l ä c h e der Krümmungsachsen a abzuwickeln, i n d e m m a n v o m V i e r t e l k r e i s e m i t d e m R a d i u s R Q d a s S t ü c k abzieht, um welches O" B" kleiner ist als die H ä l f t e von A " B " . Ü b u n g s a u f g a b e n : 1. Der Parameter p einer Schraubung ist als Strecke der Schraubenachse z gegeben. Man soll die Projektionen der Schraubenlinie finden, von welcher «) ein Punkt T, ß) eine Schmiegungsebene z gegeben ist. 2. Man soll die Projektionen der Schraubenlinie finden, von welcher die Achse z und eine Tangente t gegeben sind. 3. Bs sind die Schnittpunkte einer Schraubenlinie mit einer gegebenen Ebene e zu suchen. 4. Es sind die Schmiegungsebenen einer Schraubenlinie zu finden, welche durch einen gegebenen Punkt P gehen. (Die Schmiegungspunkte liegen auf einer Ebene, welche durch P geht.) 5. Es sind jene Punkte einer Schraubenlinie zu finden, für welche die Tangenten zu einer gegebenen Ebene parallel sind, ferner jene Punkte, für welche die Schmiegungsebenen zu einer gegebenen Geraden parallel sind. 6. Es sind die Schnittlinien der abwickelbaren Schraubenfläche mit den drei Ebenen des begleitenden Dreikantes für den Punkt A zu konstruieren, ferner mit der Ebene, welche durch die Schraubenachse geht und zur Aufrißebene parallel ist. 7. Es sind von einem Punkte P die Normalebenen auf eine gegebene Schraubenlinie zu fällen. 8. Es ist zu zeigen, daß 0 " Q " der Krümmungsradius für die Scheitel des Aufrisses der Schraubenlinie ist. 9. Zwei Punkte einer abwickelbaren Schraubenfläche sind durch eine geodätische Linie zu .verbinden.

§ 30. Parallelbeleuchtung der Schraubenlinie und Schraubentorse. E s seien L i c h t s t r a h l e n v o r a u s g e s e t z t , welche zur A u f r i ß e b e n e p a r a l l e l sind, und m a n soll d e n S c h l a g s c h a t t e n d e r S c h r a u b e n l i n i e a u f d i e G r u n d e b e n e finden ( F i g . 1 1 1 ) . 1. D e r E i n f a l l s w i n k e l e d e r L i c h t s t r a h l e n g e g e n die G r u n d e b e n e sei dem W i n k e l a gleich, den die Tangenten der Schraubenlinie mit der Schraubena c h s e b i l d e n . Man d e n k e sich, d a ß die K r e i s s c h n i t t e des Z y l i n d e r s [g, r] die S c h r a u b e n b e w e g u n g m i t m a c h e n , und bet r a c h t e den S c h a t t e n dieser K r e i s e , i n s b e s o n d e r e des Mittelp u n k t e s O und des H a l b m e s s e r s des bewegten P u n k t e s T. D e r S c h a t t e n d e r G a n g h ö h e 2 h fällt in die H o r i z o n t a l e

F i g . 111.

§ 30.

Parallelbeleuchtung der Schraubenlinie u. Schraubentorse.

183

durch O' und seine Länge ist für e = a gleich dem Umfange u des Grundkreises. Teilt man die Ganghöhe etwa in 8 gleiche Teile, so hat der Schatten eines Achtels der Ganghöhe die Länge b = u/s. Die Schlagschatten Os der Kreismittelpunkte liegen also auf dem Schatten der ¿-Achse in den Abstäuden b voneinander. Die Schlagschatten der Kreise sind dem Grundkreise kongruent. Die Schlagschatten der zugehörigen Halbmesser sind dem Grundrisse gleiche parallele Strecken, wodurch sich die P u n k t e Ts der S c h a t t e n l i n i e ergeben. Jetzt ist leicht zu sehen, daß die Schraubenbewegung des Kreisschnittes im Schlagschatten als Rollen des Kreises [O s ,r] auf der Tangente des Punktes H' erscheint*); der Punkt Ts beschreibt dabei die Schattenlinie. D e r S c h l a g s c h a t t e n der S c h r a u b e n l i n i e auf eine zur S c h r a u b e n a c h s e n o r m a l e E b e n e ist bei einem E i n f a l l s w i n k e l e — a eine g e w ö h n l i c h e Z y k l o i d e . Der Schatten As des Anfangspunktes A ist ein S c h e i t e l der Zykloide. Auf den Scheitel A s als Ursprung bezogen, ergeben sich f ü r die Z y k l o i d e die G l e i c h u n g e n : x = r{\ — cos ß) und y = r(@ + sin Q). Die Zykloide ist eine t r a n s z e n d e n t e Linie. Die Tangente t für den Punkt T der Schraubenlinie ist zur Erzeugenden REt des Richtungskegels parallel, wobei R'Et senkrecht zu O'T' ist. Der Schatten Rs der Spitze des Richtungskegels fällt für e — a auf den Umfang des Kreises [ 0 \ r\. Der Schlagschatten der Kegelerzeugendeu ist dann E^Rg. Dazu parallel ist die T a n g e n t e ts der S c h a t t e n l i n i e f ü r d e n P u n k t Ts. Man kann aber auch die kinematische Entstehung der Linie benützen. Die momentane Bewegung des Kreises [Os, r] ist nämlich eine Drehung um den Berührungspunkt^. Die Verbindungsgerade des Punktes Ts mit dem momentanen Drehzentrum ist, daher die N o r m a l e f ü r Ts (§ 26, l). Durch den unteren Endpunkt des senkrechten Kreisdurchmessers muß d i e T a n g e n t e ts gehen. Die Schmiegungsebene des Punktes T schneidet den Zylinder in einer Ellipse, deren Halbachsen so groß wie O T u n d R E 1 sind. Der Schlagschatten dieser Ellipse ist wieder eine Ellipse, welche OsTs — r und Os Ss = Rs E^ = 2r • cos als konjugierte Halbmesser hat, welche den Winkel (TI/2 —ß/8) ein*) Umkehrung jener Bewegung, durch welche die Evolvente entsteht.

184

III. Kugel, Zylinder, Kegel.

schließen. Nun wurde früher (§ 16, 4) gefunden, daß der Krümmungshalbmesser der Ellipse

ist. Das ergibt hier

c • sin (cd) ¿i

und das ist dann auch d e r K r ü m m u n g s h a l b m e s s e r f ü r die Z y k l o i d e . Verdoppelt man die Strecke TsN=2r • cos ß/ 2 , so erhält man den Krümmungsmittelpunkt K. Für den Scheitel As ist insbesondere = Für die Punkte H und H u der Schraubenlinie sind die Tangenten selbst Lichtstrahlen. Ihre Schattenpunkte H s sind R ü c k k e h r p u n k t e d e r Z y k l o i d e ; die Spuren der zugehörigen Schmiegungsebenen sind die Rückkehrtangenten (§ 27,4). Aus den Normalen und Krümmungsmittelpunkten ergibt sich die Evolute, welche augenscheinlich ebenfalls durch Rollen eines gleichen Kreises auf der oberen horizontalen Tangente entsteht. Die E v o l u t e der gewöhnlichen Z y k l o i d e ist eine gleiche Zykloide. 2. Es sei nun 0 < eT < a. Der Schatten der Ganghöhe 2 h ist dann so lang wie der Umfang ux eines Kreises, dessen Radius rz sich (wegen der Ähnlichkeit der Figuren) ergibt, indem man durch R " eine Parallele zu zieht. Der Radius Tj ist also dem Schatten 0 ' R S der Höhe p des Richtungskegels gleich. Der Schatten eines Achtels der Ganghöhe ist so lang wie der Bogen nämlich ein Achtel des Kreises mit dem Umfange uT. Die Schlagschatten Os der Kreismittelpunkte ergeben sich also durch Teilung der Strecke ux. Dann können wieder die Schlagschatten der Halbmessser gezeichnet werden, wodurch sich d i e P u n k t e Ts d e r S c h a t t e n l i n i e ergeben. Parallel zum Schlagschatten E X R S der entsprechenden .Kegelerzeugenden ist die T a n g e n t e ts der Schattenlinie. Der Kreis mit dem Radius rz ist der Grundriß einer Schraubenlinie, für welche a j = ej ist. Der Schatten dieser Schraubenlinie wäre daher wieder eine gewöhnliche Zykloide, welche durch Rollen des Kreises [ 0 ' , Vj] auf der oberen horizontalen Tangente entsteht. Während dieser Bewegung beschreibt aber der Punkt Ts, welcher a u ß e r h a l b dieses

§ 30. Parallelbeleuchtung der Schraubenlinie u. Schraubentorse.

185

Kreises liegt, die nunmehrige Schattenlinie. Sie zeigt D o p p e l p u n k t e D s und Schlingen, weshalb sie „verschlungene Zykloide" heißt. D e r S c h l a g s c h a t t e n d e r S c h r a u b e n l i n i e auf e i n e zur S c h r a u b e n a c h s e n o r m a l e E b e n e ist bei einem E i n f a l l s w i n k e l eI = w *) Der Zylinder berührt die Kugel in den Punkten B und S. **) Der Punkt L' ergibt sich auch unabhängig vom Aufrisse, indem man den Abstand a von 0' aus nach links aufträgt und durch den Endpunkt den Ordner zieht.

§ 34. Schlagschatten einer Randlinie ins Innere der Fläche.

211

so daß sich der Mittelpunkt M's der Ellipse auch ergibt, indem man die Strecke L' 0 ' in 3 gleiche Teile teilt. Bezüglich des Schlagschattens sei noch daran erinnert, daß er von der Lichtgrenze aus gegen die helleren Stellen hin dunkler erscheint (§ 23, 2), wenn Helligkeitsgrade berücksichtigt werden. Ü b u n g s a u f g a b e n : 1. Es ist dasselbe Beispiel auszuführen, wenn die Kugelschale «) eine Halbkugel, ß ) größer als eine Halbkugel ist. 2. Es ist die rechtsseitige Hälfte einer Nische mit Diagonalbeleuchtung abzubilden.

2. E i n h o h l e r H a l b z y l i n d e r , d e r o b e n o f f e n i s t , soll so aufgestellt sein, daß man im Aufrisse die Innenseite sieht (wie in Fig. 97), und es soll der S c h l a g s c h a t t e n g e funden werden, welchen d e r R a n d k r e i s beiDiagonalb e l e u c h t u n g i n s I n n e r e d e s Z y l i n d e r s w i r f t (Fig. 119). Die Lichtstrahlen, welche den Randkreis treffen, bilden wieder einen schiefen Kreiszylinder und der gesuchte Schlagschatten ist die Schnittlinie dieses schiefen Kreiszylinders mit dem aufrechten Zylinder. Sie zerfällt in den Randkreis und eine Linie zweiter Ordnung, welche e i n e E l l i p s e sein muß, weil ein Kreiszylinder von einer Ebene nur nach einer Ellipse (nicht nach einer Parabel oder Hyperbel) geschnitten werden kann. Nimmt man die Ebene, welche durch die Achse des gegebenen Zylinders geht und zu den Lichtstrahlen parallel ist, als neue Projektionsebene und legt man sie auf die Ebene des Randkreises um, so erscheint der Randkreis als Durchmesser G H . Durch die Endpunkte dieses Durchmessers gehen die Umrißerzeugenden beider Zylinder für die neue Projektion. Der Lichtstrahl des Punktes H trifft die Erzeugende des Punktes G im Schattenpunkte H s , welcher der gegenüberliegende Eckpunkt jenes Würfels ist, der das Quadrat H E G F als Basis, somit r]/2 als Kante besitzt. Macht man G ' F ' = G ' H ° s , so ist H ' H g die neue Projektion l 0 des Lichtstrahles und zugleich die eine Umrißerzeugende des Lichtstrahlenzylinders. Die parallele Umrißerzeugende durch G' ergibt G g . Die Verbindungsgerade GgHg ist die neue Projektion der Schattenellipse; sie muß durch 0 ' = E° = F ° gehen. Die beiden Zylinder berühren sich in den Punkten E und F . Die Halbachsen der Schattenellipse sind

O E = r

und

OHs = rf5.

F ü r den Aufriß der Schattenellipse sind 0 " E " und 0 " H " s zwei konjugierte Halbmesser. Sucht man noch die Schlag14*

III. Kugel, Zylinder, Kegel.

212

schatten der E n d p u n k t e der normalen Durchmesser AB CD ins Innere des Zylinders, so sind

0"A'i

= r

und

und

0"Ci'=r/2

zwei konjugierte Halbmesser, welche den W i n k e l ji/ 4 einschließen. D e r A u f r i ß d e r S c h l a g s c h a t t e n e l l i p s e i s t

F i g . 119.

F i g . 120.

also k o n g r u e n t dem.Schlagschatten des R a n d k r e i s e s auf e i n e d u r c h AB g e h e n d e A u f r i ß e b e n e , a b e r u m 0 " C ' s u m g e l e g t (§ 18,2). Die Tangenten in den E n d punkten der gefundenen Durchmesser sind zum konjugierten Durchmesser parallel. F ü r Aä ist der Krümmungsradius & = 2 r ] / 2 ; für C's ist schon A'J der Krümmungsmittelpunkt. I m vorliegenden Beispiele ergibt nur der Bogen E A den eigentlichen Schlagschatten EAS (§ 23, 3). I s t aber der R a n d -

§ 34.

Schlagschatten einer Randlinie ins Innere der Fläche.

213

kreis zugleich die Basis eines nach oben gehenden vollen Zylinders (Fig. 120), so wirft der Bogen AHC den eigentlichen Schatten ASHSCS ins Innere des Zylinders und der Bogen CF den eigentlichen Schatten CSFS auf die Aufrißebene durch AB als Teil der zweiten Schattenellipse.

3. Sind zwei hohle Halbzylinder vorausgesetzt, deren Achsen sich in einem Punkte 0 rechtwinklig schneiden und welche gleichen Radius haben, so zerfällt ihre Schnittlinie in zwei kongruente gleichseitige Ellipsen (§ 31,3). Die Ellipse, welche AB als große Achse und OD als halbe kleine Achse besitzt (Fig. 121), wirft dann Schlagschatten ins Innere beider Zylinder. Der Schlagschatten der Ellipse ins Innere des aufrechten Zylinders ist (aus denselben Gründen wie vorhin) wieder eine E l l i p s e , für welche OAs und OCs, aber auch OE

214

III. Kugel, Zylinder, Kegel.

und 0 H S Paare von konjugierten Halbmessern sind. Aufriß der Schlagschattenellipse hat daher

0"A'a' = 2r

und

0"C'^ = r ]/2~

als konjugierte Halbjnesser, welche denWinkel

ferner

0"E"=r

und

Der

einschließen,

0"H's'=r

auch als konjugierte Halbmesser. Als eigentlicher Schlagschatten kommt der Bogen E"A 'J zur Geltung. Für den zweiten Zylinder ergibt sich im Aufrisse eine in bezugauf 0" C'J symmetrische Ellipse. In Fig. 122 ist ein Teil e i n e s . S o c k e l g e s i m s e s abgebildet. Daran kommen zwei hohle Viertelzylinder vor, welche sich auf der Gehrungsebene in einem Viertel einer gleichseitigen Ellipse schneiden, wobei der Bogen AE wie im vorigen Beispiele einen Schlagschatten ins Innere wirft. Es sind auch die Isophoten konstruiert. Für den Zylinder, welcher zur Aufrißebene normal ist, wurde dabei der Basiskreis [£)", r] benützt. Denselben Kreis kann man aber auch als Basiskreis [0"',r] des zur Kreuzrißebene normalen Zylinders betrachten und man braucht nur den Beleuchtungsmaßstab von l" auf V" zu übertragen. Der Viertelkreis A" D" ist dann zugleich Aufriß und Kreuzriß der Viertelellipse, so daß man durch senkrechte Ordner die Isophotenpuukte auf den Grundriß A'D' übertragen kann. 4. Der nach oben gehende Teil e i n e s h o h l e n D r e h k e g e l s sei durch einen ßandkreis begrenzt und es sei Diagonalbeleuchtung auszuführen (Fig. 123). Um die Lichtgrenze zu finden, legt man den Lichtstrahl l, welcher durch die Spitze £geht, sucht den Schnittpunkt T mit der Basisebene und zieht aus T die Tangenten an den Basiskreis (§ 31, 3). Die Verbindungsgeraden der Berührungspunkte .£7 und .Fmit,S'sind die Erzeugenden, welche die Lichtgrenze bilden. Im Grundrisse sieht man die Innenseite des Kegels. Der dem uneigentlichen Schattenpunkte T zugekehrte Teil des Kegels ist innen unbeleuchtet. Es ist nun der S c h l a g s c h a t t e n des ß a n d k r e i s e s ins I n n e r e des K e g e l s zu suchen. Die Lichtstrahlen, welche den Randkreis treffen, bilden einen schiefen Kreiszylinder, für welchen die Umrißerzeugenden im Grund- und Aufrisse sofort gezeichnet werden können. Die Schnittlinie des schiefen Kreiszylinders mit dem gegebenen Kegel zerfällt wieder in den ßandkreis und eine Linie zweiter

§ 34.

Schlagschatten einer Handlinie ins Innere der Fläche.

215

Ordnung, welche auch hier eine E l l i p s e sein muß, weil der Kreiszylinder als ebenen Schnitt nur eine Ellipse (nicht aber

eine Parabel oder Hyperbel) aufweisen kann. Die beiden Flächen berühren sich in den Punkten E und F. Die Ebene, welche durch den Lichtstrahl der Spitze geht und zur Grundebene normal steht, ist für die räumliche Beziehung und auch

216

III.

Kugel, Zylinder, Kegel.

für den Grundriß eine Symmetrieebene. Sie soll als neue Projektionsebene benützt und auf die Ebene des Basiskreises umgelegt werden. Man erhält dann einfach S", l", Eü, F° sowie die Umrißerzeugenden für den Kegel und den Zylinder. Diese Erzeugenden liegen auf der neuen Projektionsebene selbst und ergeben die vier Schnittpunkte (?', H', G°s, Hg, wobei Hs der Schlagschatten des Punktes H ins Innere des Kegels ist, während Gs ein uneigentlicheT Schlagschatten des Punktes G ist. In der neuen Projektion erscheint der Randkreis als der Durchmesser 0 ' H ' und die Ellipse als die Verbindungsgerade GSHi, welche durch E° = F° = K' gehen muß. Die Strecke GSHS ist die große Achse der Schattenellipse, der Halbierungspunkt Ms dieser Strecke ist der Mittelpunkt und die kleine Achse Ps Qs ist dem Durchmesser des Basiskreises gleich. Für den Grundriß hat man außer den Achsen auch den Punkt S' als Brennpunkt. Für den Aufriß der Ellipse sind G'S'H'S' und P's Qs konjugierte Durchmesser*). Nach der allgemeinen Methode zur Aufsuchung von Punkten und Tangenten der Schnittlinie hätte man das Büschel von Ebenen zu verwenden, welche durch l gehen. Jede solche .Hilfsebene hat eine Spur , welche durch T' geht. Der Vorgang ist hier benützt, um den Punkt Cs zu finden, der auf der Umrißerzeugenden SB liegt. Dann geht die Spur durch den Punkt B' und schneidet den Basiskreis noch in einem Punkte C. Die auf der Hilfsebene liegenden Erzeugenden ergeben außer B und C noch die Schnittpunkte Bs und Cs. Die zugehörigen Tangenten ergeben sich aus den Tangenten des Kreises für B' und C', welche sich in einem Punkte von E'F' schneiden. In der Affinität zwischen dem Basiskreise und der Schattenellipse entspricht dem Punkte T der Schnittpunkt R von l mit der Geraden GSHS. Beachtet man nun, daß die Strecke H'Hg aus den beiden Punkten G' und Gl, die auf einer Parallelen zu H'Hg liegen, auf eine dritte Parallele 1° projiziert ist, so folgt, daß B°S° = S('T' ist, also auch B'S' = S'T' uud B"S" = S"T". D u r c h den P u n k t B gehen a b e r die T a n g e n t e n der E l l i p s e f ü r die P u n k t e E uud F. Auch sieht man hieraus, daß die Ebene der Schattenellipse zur Ebene des Basiskreises harmonisch liegt in bezug *) Um Gg und H" genau zu erhalten, hat man die Abstände G'sGg und Hg Hg auf den betreffenden Ordnern von der Spur der Basisebene aus aufzutragen. D i e Verbindungagerade Gg Hg muß dann durch K" gehen.

§ 3 5 . Raumkurven vierter Ordnung als Schlagschattengrenzen.

217

auf die Ebene der beiden Lichtgrenzerzeugenden und dieEbene der Lichtstrahlen der Punkte E und F. Ü b u n g s a u f g a b e n : 1. E s ist der besondere F a l l zu betrachten, in welchem die Erzeugenden des K e g e l s mit der Drehachse den W i n k e l ß = 7i/i bilden. 2. E s ist ein Doppelkegel mit ß = 7r/4 anzunehmen und der Aufriß l" des Lichtstrahles so zu wählen, daß T" in den Halbierungspunkt des nach links gehenden Halbmessers des oberen Basiskreises fällt. D e r Schlagschatten des oberen Randkreises erscheint dann auf dem unteren Teile des Kegels.

§ 35. Raumkurven vierter Ordnung als Schlagschattengrenzen. 1. Es soll die D i a g o n a l b e l e u c h t u n g f ü r einen D r e h zylinder, auf welchen eine zylindrische P l a t t e aufg e s e t z t i s t , untersucht werden (Fig. 124). Wählt man hier den frontalen Durchmesser der konzentrischen Basiskreise als Bildachse, so ist das ein „Hineinlegen des Grundrisses in den Aufriß". Dieser VorgaDg hat den Vorteil, daß manche Linien, z. B . Ordner, erspart werden oder doch kürzer sind als bei getrenntem Grundrisse, wodurch an „Einfachheit" und „Genauigkeit" der Konstruktion gewonnen wird*). Außerdem ergeben sich insbesondere für Diagonalbeleuchtung Vereinfachungen und Proben für die Richtigkeit der Zeichnung. Freilich ist dabei wieder der Nachteil, daß viele Linien sich an derselben Stelle häufen. Der Voigang dürfte sich hauptsächlich empfehlen, wenn es sich um rasche Ermittlung einiger wichtiger Punkte und ungefähre Angabe der Schnittlinie handelt. Die Lichtgrenzen ergeben sich wieder aus dem zu V senkrechten Durchmesser. Im übrigen ist der S c h l a g s c h a t t e n des B a s i s k r e i s e s der P l a t t e auf den Z y l i n d e r zu suchen. Die Lichtstrahlen, welche den Basiskreis treffen, bilden einen schiefen Kreiszylinder mit der Achse l. Seine Schnittlinie mit dem Drehzylinder liefert den Schlagschatten. Die Achsen z und l der beiden Zylinder schneiden sich im Punkte 0 . Die Ebene [zl] ist zu den Erzeugenden beider Zylinder parallel; sie ist auch eine Symmetrieebene für die ganze räum*) S c h o n bei denElementaraufgabeu wurde hervorgehoben ( § 7 Schluß), daß manche Konstruktionen durch passende W a h l der Bildachse vereinfacht werden können.

218

III.

Kugel, Zylinder, Kegel.

liehe Anordnung. Ebenen e (Spur e t ), welche zu dieser Ebene parallel sind, benützt man wieder als Hilfsflächen. Die Spur ei

F i g . 124.

schneidet den einen Basiskreis [0, r j in den Punkten P, Q, den anderen Basiskreis [ 0 , rIZ\ in den Punkten R, S. Die zu-

§ 35.

.Raumkurven vierter Ordnung als Schlagschattengrenzen.

219

gehörigen Erzeugenden der beiden Zylinder ergeben im A u f risse vier S c h n i t t p u n k t e T'J. Die Tangentialebene des Drehzylinders für den unteren Punkt Ts hat die Tangente des Basiskreises [0, r j für Q' als Grundspur und die Tangentialebene des schiefen Kreiszylinders für Ts hat als Grundspur die Tangente des Grundkreises [0, r^j] für R'. Der Schnittpunkt Ti der beiden Grundspuren hat seinen Aufriß auf der Bildachse. Verbindet man diesen Punkt mit Tg, so erhält man den A u f r i ß t" der T a n g e n t e der S c h n i t t l i n i e f ü r Ts. Als besondere Hilfsebeneu wählen wir zunächst jene, welche durch die Umrißerzeugenden des Drehzylinders gehen. Ihre Spuren schneiden den Basiskreis [0, rTI\ in C' und D'. Aus C", D" erhält man dann die Punkte C'J und D'i auf dem scheinbaren Umriß (welchen der Aufriß der Linie berühren muß) und auf den beiden mittleren Erzeugenden. Es ist übrigens leicht zu sehen, daß sich diese Punkte bei Diagonalbeleuchtung einfach ergeben, indem man durch C' und D' Horizontale legt. Für et = V ergeben sich auf dem Kreise [0, rI:[\ zwei Punkte G',H'. Aus H " erhält man die P u n k t e Hg mit h o r i z o n t a l e r T a n g e n t e ; sie liegen auf den relativ hellsten Erzeugenden. Denkt man sich im Basiskreise [O, rn] die durch H gehende Sehne (Halbierungspunkt J), welche zur Aufrißebene parallel ist, so ist nach früherem (§ 23, 2) der Aufriß ihres "Schlagschattens auf den Zylinder der Kreis [J", rf]. Auf diesem Kreise müssen die Punkte H'i liegen, was auch zur Konstruktion oder zur Probe benützt werden kann. Die zu l' parallelen Tangenten des Kreises [0, r r ] sind die Spuren von Hilfsebenen, welche den gegebenen Zylinder längs der Lichtgrenzerzeugenden berühren. Diese Spuren schneiden den Kreis [0,rn\ in E' und F'. Aus E" und F" erhält man die P u n k t e E'J, Fg, welche auf den A u f r i s s e n der L i c h t g r e n z e r z e u g e n d e n liegen und f ü r welche die T a n g e n t e zu l" p a r a l l e l ist (§23,2,4). Allgemein ist die T a n g e n t e der S c h a t t e n l i n i e e i n e r K u r v e f ü r einen S c h n i t t p u n k t ^ mit der L i c h t g r e n z e der F l ä c h e ein L i c h t s t r a h l l. Die Tangentialebenen des Lichtstrahlzylinders und der Fläche für Fs sind nämlich zu den Lichtstrahlen parallel und haben daher einen Lichtstrahl als Schnittgerade. Eine Ausnahme findet statt, wenn der durch die Kurve gehende Lichtstrahlzylinder die Fläche bei Fs berührt. Es ist dann Fs ein D o p p e l p u n k t der S c h a t t e n l i n i e und hat

220

III. Kugel, Zylinder, Kegel.

z w e i von d e r L i c h t s t r a h l r i c h t u n g v e r s c h i e d e n e T a n g e n t e n (§32, l). 37 Der Basiskreis [0,ru] wirft auf die Ebene der beiden Lichtgrenzerzeugenden (Gehrungsebene) einen Schlagschatten, dessen Aufriß der Kreis mit dem Radius OH" ist (§ 18,a). Dieser Kreis schneidet daher auch die Punkte E'i und F'i aus. Der scheinbare Umriß des schiefen Kreiszylinders für den Aufriß bildet hier i s o l i e r t e D o p p e l t a n g e n t e n , weil die zugehörigen Hilfsebenen den gegebenen Zylinder in imaginären Erzeugenden schneiden; er bildet 2 F l a c h t a n g e n t e n , wenn r I I = r I ^ Z ist, und 2 w i r k l i c h e D o p p e l t a n g e n t e n , wenn r J J < r J ] / 2 ist. Diq, Raumkurve vierter Ordnung besteht aus zwei Asten, die auch im Aufrisse als zwei getrennte Teile einer L i n i e v i e r t e r O r d n u n g erscheinen. Eigentlicher Schlagschatten ist nur der obere Teil EeFs des unteren Astes. Ü b u n g s a u f g a b e : Bs ist dasselbe Beispiel unter der Voraussetzung auszuführen, daß die Drehachse parallel zur «/-Achse ist. Man benützt dann statt des Grundrisses einen Kreuzriß.

2. E i n h o h l e r H a l b z y l i n d e r (wie in Fig. 97) sei g e d a c h t , an w e l c h e n sich nun o b e n u u d u n t e n e i n e h o h l e V i e r t e l k u g e l a n s c h l i e ß t * ) ; es soll w i e d e r D i a g o n a l b e l e u c h t u n g a u s g e f ü h r t w e r d e n (Fig. 125). Wählt man die Ebene des oberen Basiskreises als Grundebene**) und benützt man einen Grundriß mit Untersicht, so fällt für den Lichtstrahl l, der durch den Mittelpunkt 0 geht, der Grundriß V mit dem Aufrisse l" zusammen. D i e L i c h t g r e n z e CH beginnt beim Endpunkte C des zu l" senkrechten Durchmessers des Umrißkreises der oberen Kugel und kann in früher angegebener Weise (§ 22, 7) leicht gefunden werden. Es ist aber dann d e r S c h l a g s c h a t t e n d e s R a n d e s CAGH i n s I n n e r e d e r F l ä c h e n zu konstruieren. Zuerst kommt der Schlagschatten des Randkreises ins Innere der Halbkugel vor. Dieser Schlagschatten ist der Großkreis, welcher zum Randkreise [ 0 , r] symmetrisch liegt in bezug auf die Ebene der Lichtgrenze. Sein Aufriß ist eine Ellipse, welche OC=r als halbe große Achse und 0D's' = rj3 als halbe kleine Achse *) Eine solche Verbindung kommt bei der Kannelierung vor; ist unten ein horizontaler Abschluß, so nennt man die Form „Nische". **) Es ist das wieder „ein Hineinlegen des Grundrisses • in den Aufriß" (§ 35, 1).

§ 35. Raumkurven vierter Ordnung als Schlagschattengrenzen.

221

hat (§ 34, i). Die Ellipse ist mit dem Randkreise orthogonal perspektiv affin, wobei O C die Affinitätsachse und die

Fig. 126.

Charakteristik 8 = ^ = — ist. Verdreifacht man den Abstand des Punktes B von der Affinitätsachse, so erhält man den entsprechenden Punkt B°. Verbindet man dann den Schnittpunkt von _B°.Z)Ü und der Affinitätsachse mit B, so

222

III. Kugel, Zylinder, Kegel.

erhält man den dem Punkte D0 entsprechenden Scheitel D's. Es ist erwünscht, den Punkt zu finden, in welchem der Schattenkreis den horizontalen Basiskreis trifft, also im Aufrisse den Schnittpunkt der Geraden OB — gs mit der Ellipse. Der Geraden OB — ga entspricht in der Affinität die Gerade OBn = g°, welche den Kreis im Punkte E° schneidet. Durch einen Affinitätstrahl erhält man den entsprechenden Punkt Es der Ellipse; auch die zugehörige Tangente erhält man aus der Tangente des Kreises bei E". Der Punkt Es ist1 dann der Schatten eines Punktes E des Landkreises und es wirft nur der Kreisbogen CE eigentlichen Schlagschatten ins Innere der Kugel. D e r Bogen EA des K r e i s e s mit dem D u r c h messer AB w i r f t seinen S c h l a g s c h a t t e n ins I n n e r e des Z y l i n d e r s . Die Lichtstrahlen, welche diesen Kreis treffen, bilden wieder einen schiefen Kreiszylinder und es ist die Schnittlinie des Drehzylinders mit dem schiefen Kreiszylinder zu suchen. Als Hilfsebenen dienen die Ebenen, welche zur Ebene \lz\ parallel sind. Jede solche Ebene e hat eine Grundspur et parallel zu V und eine Aufrißspur e2 senkrecht zur y-Achse, so daß e1 und e2 sich in einem Punkte Y des Durchmessers AB schneiden. Die Spur ei schneidet den Basiskreis in den Punkten P ' und Q', durch welche der Aufriß der beiden Erzeugenden des Drehzylinders geht, die auf dieser Hilfsebene liegen. Die Spur e2 schneidet den Basiskreis des schiefen Kreiszylinders in den Punkten R und T, durch welche der Aufriß der beiden Schnitterzeugenden dieses Zylinders parallel zu l" geht. Hieraus erhält man zwei P u n k t e Bs' und zwei P u n k t e T's'. Man kann aber die Sache auch anders auffassen. Der Durchmesser AB wirft auf den Zylinder einen Schlagschatten, der im Aufrisse als Kreis [0, r] erscheint. Der Punkt Yhat dann seinen Schlagschatten in Y's' = Q'. Der Schlagschatten der Sehne RT des Randkreises fällt auf die Erzeugende des Punktes Ys, so daß YR = Y'S' R's' = Y'S' T's' ist, was mit dem Zirkel genau ausgeführt werden kann. Um die Tangente für die Punkte R's' und T's' zu finden, denke man sich den Schatten des ßandkreises auf die Tangentialebene des Zylinders längs der Erzeugenden RSTS. Der Aufriß des Schlagschattens des Durchmessers AB wird dabei die Kreistangente für Yä sein. Der Schnittpunkt S der Tangenten des ßandkreises für R nnd T hat seinen Schlagschatten S's' auf der Tangente für Y's'.

¡5 35.

ftaumkurven vierter Ordnung als Schlagschattengrenzen.

223

Die Verbindungsgeraden von S" mit und T's' sind dann die A u f r i s s e der v e r l a n g t e n T a n g e n t e n . Durch Annahme besonderer Hilfsebenen erhält man auch b.esondere Punkte der Kurve. Rückt der Punkt Ynach A, so erhält man bei A's' zwei benachbarte Punkte auf der mittleren Erzeugenden des Zylinders. Der Schatten des Randkreises auf die zugehörige Tangentialebene, welche zur Aufrißebene parallel ist, wird nun ein kongruenter Kreis, welcher bei As vier benachbarte Punkte mit der Linie gemein hat. Es ist daher A's' ein S c h e i t e l f ü r den A u f r i ß der L i n i e und K s der M i t t e l p u n k t des z u g e h ö r i g e n K r ü m m u n g s k r e i s e s mit dem R a d i u s r. Wählt man die Spur e2 durch C oder D, so erhält man außer dem eigentlichen Schlagschatten des Punktes D auch die Punkte auf den Umrißerzeugenden des schiefen Kreiszylinders. Diese Umrißerzeugenden sind D o p p e l t a n g e n t e n f ü r den A u f r i ß d e r S c h n i t t l i n i e . Bei A und B ergeben sich je zwei Paare von benachbarten Punkten auf den Umrißerzeugenden des Drehzylinders. Die letzteren sind also F l a c h t a n g e n t e n f ü r den A u f r i ß der S c h n i t t l i n i e . Wählt man e2 = z, so ergeben sich die Punkte, für welche die Tangente im Aufrisse unter TT/4 nach rechts aufsteigt. Legt man e2 durch E, so erhält mani^', wo die Tangente mit jener der Ellipse übereinstimme^ muß. Die Raumkurve vierter Ordnung besteht hier aus zwei Asten, die auch im Aufrisse als zwei getrennte Teile einer Linie vierter Ordnung erscheinen. Eigentlicher Schlagschatten ist nur der Bogen von Es über JRS nach As. Die Strecke A F der Randerzeugenden wirft ihren Schlagschatten auf die mittlere Erzeugende des Drehzyliuders nach ASFS. Der übrige Teil_F(? der Randerzeugenden wirft seinen Schlagschatten ins Innere der Kugel. Die Lichtstrahlenebene hat FG als frontale Gerade und ist unter n\k gegen die Aufrißebene geneigt. Sie schneidet die Kugel nach einem Kreise, welcher OFs=r\/r2 als spuruormalen Durchmesser besitzt. Der Aufriß dieses Kreises ist daher eine g l e i c h s e i t i g e E l l i p s e , für welche ^ = ^ .^ ^ und ^ = ^ = ist. Eigentlicher Schlagschatten ist nur der Teil von F's' bis G'J, Endlich wirft noch der Bogen GH des Randkreises der Halbkugel Schlagschatten ins Innere. Der Aufriß dieses Schlagschattenkreises ist wieder eine Ellipse, für welche F's'H=r die halbe große Achse ist, während die halbe kleine Achse r/ 3 ist.

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Geschichtl. u. literarische Bemerkungen zum I., II. u. III. Abschnitt.

Der Punkt G'J und die zugehörige Tangente ergeben sich durch Affinität aus G° und der zugehörigen Tangente an den Randkreis. Man hat nur den Abstand des Punktes G° von der Affinitätsachse in 3 gleiche Teile zu teilen.

Geschichtliche und literarische Bemerkungen zum I., II. und III. Abschnitt. 1 Das Auftreten d e s G e d a n k e n s d e r A b b i l d u n g zählt sicher schon zu den Kennzeichen der ersten Kulturstufe der Menschheit. Die Abbildung a u f g e o m e t r i s c h e r G r u n d l a g e ging dann bei der E n t wicklung der Künste undWissenschaften n e b e n h e r . Wiederaufgefundene Pläne ägyptischer Bauwerke aus der Zeit von ein bis zwei J a h r t a u s e n d e n v. Chr. zeigen einen G r u n d s c h n i t t mit Maßangaben und U m l e g u n g e n von l o t r e c h t e n E b e n e n mit B i l d e r n von a u f r e c h t e n Gegens t ä n d e n z . B. Türen, umgebenden Baumreihen (allseits nach außen umgelegt), menschlichen und tierischen Figuren. Ob man es dabei mit einer klaren Auffassung desBegriffes „ N o r m a l r i ß " zu tun hat, erscheint aber zweifelhaft: wahrscheinlich waren es vorwiegend doch nur gefühlsmäßig hergestellte Bilder. I n einem Werke über Architektur des römischen Baumeisters V i . t r u v i u s P o l l i o (etwa 10 v. Chr.) findet man an einer Stelle (S. 10 der Übersetzung von Rose) bereits Namen für Grund- und Aufriß, nämlich I c h n o g r a p h i e und O r t h o g r a p h i e . H i p p a r c h (etwa 150 v. Chr.) löste bereits Aufgaben der s p h ä r i s c h e n A s t r o n o m i e durch ein Analemma d. i. eine Konstruktionsfigur, in welcher der N o r m a l r i ß der Himmelskugel auf der E b e n e des Ortsmeridians und die U m l e g u n g von Großkreisen in den Umrißmeridian vorkommen [A. v. B r a u n m ü h l , Geschichte der Trigonometrie, 1. Bd. (1900), S. 10; H . G . Z e u t h e n , Bibliotheca mathem., 1. Bd. (1900), S. 20]. P a p p u s v o n A l e x a n d r i e n (3.oder4. J a h r h . n.Chr.) untersuchte schon den G r u n d r i ß d e r S c h n i t t l i n i e z w e i e r Flä