Darstellende Geometrie: Band 3 Axonometrie und Perspektive [2., durchges. und erg. Aufl. Reprint 2019] 9783111379357, 9783111020877

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

144

DARSTELLENDE GEOMETRIE in AXONOMETRIE UND PERSPEKTIVE

von

DR. W O L F G A N G

HAACK

o. Professor an der Technischen Universität Berlin

Zweite, durchgesehene u n d ergänzte Auflage Mit 100 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. yormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Cuttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl Jf. T r ü b n e r • Veit & Comp

B E R L I N 1962

Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

© Copyright 1962 by W A L T E E D E G R U Y T E R & CO. Berlin W 30, Genthiner Straße 13

Archiv-Nr. 11 01 44 S a t z und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin W 30 Printed in Germany

Inhaltsverz ei chnis 1. Einleitung

Seite

5

I. A x o n o m e t r i e 2. Einführung; senkrechte Axonometrie 3. Axonometrisches Bild eines Punktes 4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie . . 5. Einfache Beispiele in normierter Axonometrie . . . 6. Zylinder, Kegel, Kugel in normierter Axonometrie . 7. Einfache Durchdringungsaufgaben 8. Schattenkonstruktionen in der A x o n o m e t r i e . . . . 9. Diagonalbeleuchtung 10. Schatten von Kegel und Zylinder in normierter Axonometrie 11. Schiefe Axonometrie; Kavalierperspektive; Satz von Pohlke

10 10 14 18 26 31 36 38 40

II. G r u n d z ü g e der e b e n e n P e r s p e k t i v e 12. Perspektive der Punkte und Geraden; Doppelverhältnis 13. Darstellung einer Ebene 14. Umlegung der Grundebene 15. Meßpunkte; Perspektivität; vollständiges Viereck

50 51 57 61 65

III. E l e m e n t e der a n g e w a n d t e n P e r s p e k t i v e . . . . 16. Winkel der Sehbreite und Sehhöhe eines Bildes . . 17. Teildistanz; Teilfluchtpunkt; Teilmeßpunkt. . . . 18. Fluchtmaßstäbe; Fluchtpunktschiene 19. Ergänzende Konstruktionshinweise 20. Untergelegter Grundriß

71 71 75 78 81 82

IV. P e r s p e k t i v e von K r e i s e n 21. Das perspektive Bild des Kreises als Schnitt des Sehkegels 22. Geradenscharen, die im perspektiven Bild parallel sind 23. Ellipse als perspektives Bild des Kreises

84

42 45

84 87 88

4

Inhaltsverzeichnis Seite

24. Hyperbel und Parabel als perspektives Bild des Kreises 91 25. Beispiel zur Darstellung des Zylinders 93 26. Weitere Konstruktionen der Perspektive des Kreises 98 27. Konzentrische Kreise 104 28. Perspektive einer Kugel 105 V. S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n in der P e r s p e k t i v e . . . 109 29. Lichtstrahl und Lichtrichtung 110 30. Schlagschatten eines vertikalen Stabes 112 31. Schatten ebenflächiger Körper 115 32. Schatten auf vertikalen Wänden 119 33. Weitere Beispiele 121 Literatur

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Register

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Bild 1. Architektonische Studie von Piero della Francesca

1. Einleitung Zur Klärung der Frage, ob sich räumliche Objekte durch ebene Bilder so darstellen lassen, daß bei der Betrachtung des Bildes möglichst der gleiche Eindruck entsteht wie bei der unmittelbaren Betrachtung des räumlichen Objektes, muß man sich mit dem Vorgang des Sehens beschäftigen. Allerdings können hier nur einige einführende Bemerkungen aufgenommen werden; zum genaueren Studium sei auf Lehrbücher der physiologischen Optik verwiesen. Das menschliche Auge kann man als optisches System mit dem Knotenpunkt K ansehen. Die vom Objekt ausgehenden Lichtstrahlen erzeugen auf der Netzhaut ein Bild des Objektes. Bringt man in das Lichtstrahlenbündel, dessen Zentrum K ist, eine Ebene % und projiziert das Objekt von K zentral auf die Ebene, so wird diese Zentralprojektion des Objektes auf X das gleiche geometrische Bild auf der Netzhaut erzeugen wie das räumliche Objekt, vorausgesetzt, daß das Auge seine Stellung bezüglich % beibehält. Ist also die Zentralprojektion eines räumlichen Objektes gegeben und betrachtet man diese mit einem r u h e n d e n Auge so, daß sich der Knotenpunkt des Auges im Projektionszentrum befindet, dann entspricht das auf der Netzhaut des Auges entstehende Bild demjenigen des räumlichen Objektes. Die Eigenart der Netzhaut gestattet aber nicht, einen Körper bzw. sein perspektives Bild in der obigen Weise zu

1. Einleitung

"Fovea centralis Bild 2. Projektion der Netzhaut des Auges

1. Einleitung

7

betrachten. Die Gesamtheit der Punkte des wirklichen Raumes, die sich bei einer bestimmten festgehaltenen Lage des Auges gleichzeitig auf der Netzhaut widerspiegeln, bilden des monokulare G e s i c h t s f e l d , dein der lichtempfindliche Teil der Netzhaut entspricht. Im Bild 2 wurde die Netzhaut von K auf eine Kugel mit dem Mittelpunkt K projiziert; diese Kugel wurde schließlich senkrecht auf eine Ebene 71 projiziert, die zum Hauptblickstrahl senkrecht steht. Durch Umlegung der Projektionsebene 71 erhält man ein Bild des Gesichtsfeldes. Die hier angegebene Grenze für die Lichtempfindlichkeit bezieht sich auf weißes Licht. Im Bild 2 ist das Gesichtsfeld durch eine Reihe von Drehkegeln mit der Spitze K und dem Hauptblickstrahl als Achse in verschiedene Zonen eingeteilt. Nur in der nächsten Umgebung des Punktes A" (fovea centralis) ist das Auflösungsvermögen der Netzhaut ausreichend, um „scharfes" Sehen zu vermitteln. In den äußeren Zonen können nur unscharfe Reflexe wahrgenommen werden. An der Stelle "des Nerveneintritts, die dem schraffierten Gebiet um M" entspricht, ist die Netzhaut nicht sehfähig (sog. blinder Fleck). Die Betrachtung eines Gegenstandes, der nicht im Innern eines Sehkegels von etwa 5° bis 10° liegt, ist mit ruhendem Auge nicht möglich. Durch Drehung des Auges in der Augenhöhle, die man als Drehung um den Punkt 0 ansehen kann, wird das Objekt mit dem Hauptblickstrahl abgetastet. Jede Stellung des Blickstrahles erfaßt in der Umgebung der fovea centralis ein kleines Gebiet des betrachteten Körpers (als Zentralprojektion mit dem Zentrum K ) . Aus der Vielzahl dieser Teilbilder entsteht schließlich der Gesamteindruck, das Gesamtbild des Objektes. Da die Drehung des Auges nicht um K , sondern um 0 erfolgt, verschiebt sich mit jeder Drehung der Knotenpunkt K . Daher ist das monokulare Sehen mit bewegtem Auge k e i n e Zentralprojektion, sondern eine Synthese aus einer Vielfalt von einzelnen Zentralprojektionen mit verschiedenen Zentren, die man durch eine einzige Zentralprojektion mit dem Zentrum 0 recht gut annähern kann. Betrachtet man die Zentralprojektion eines räumlichen Objektes mit einem bewegten Auge derart, daß

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1. Einleitung

sich der Drehpunkt 0 des Auges im Projektionszentrum befindet, so fällt das Bündel der Hauptblickstrahlen mit den Projektionsstrahlen zusammen. Der optische Eindruck, den die Zentralprojektion hervorruft, wird denjenigen einer unmittelbaren Betrachtung des Objektes recht gut wiedergeben. Man spricht von der g e b u n d e n e n B e t r a c h t u n g eines Perspektiven Bildes. Diesen Vorgang hat schon A l b r e c h t D ü r e r mehrfach veranschaulicht. Bei der freien Betrachtung eines perspektiven Bildes mit beiden Augen wird nicht der gleiche optische Eindruck entstehen wie bei der unmittelbaren Betrachtung des Objektes. Um wenigstens eine gute Annäherung an den natürlichen Eindruck zu bewirken, müssen Projektionszentrum und Bildebene so gewählt werden, daß sich beide Augen des Betrachters nahe am Projektionszentrum befinden. Ist der Augenabstand, der etwa 6,5 cm beträgt, klein im Verhältnis zur Distanz, das ist der Abstand des Zentrums von der Bildebene, so weichen die Hauptblickstrahlbündel der beiden Augen nur wenig ab vom Bündel der Projektionsstrahlen, und die Zentralprojektion wird einen guten räumlichen Eindruck vermitteln. Hier sei an Erfahrungen erinnert, die wohl jeder bei der Betrachtung photographischer Aufnahmen gemacht hat. Man kann leicht folgenden Vergleich anstellen: Von einer photographischen Aufnahme betrachtet man zunächst einen Kleinbildabzug vom Format 2,4 x 3,6 cm mit der Distanz 5 cm. Wegen der beschränkten Akkommodationsfähigkeit des Auges wird man ein solches Bildchen aus einer Entfernung von etwa 20 cm betrachten. Dann sind die Hauptblickstrahlbündel sehr verschieden vom Projektionsstrahlenbündel, und es entsteht kein unmittelbar räumlicher Eindruck des Objektes. Betrachtet man dagegen eine Vergrößerung der gleichen Aufnahme auf ein Format von 12 x 18 cm, dem eine Brennweite von etwa 25 cm entspricht, so gewinnt das Bild außerordentlich an räumlicher Wirkung. Aber auch jetzt ist das Verhältnis des Augenabstandes zur Brennweite noch reichlich groß. Vergrößert man schließlich durch Bildwerfer die Aufnahme auf das Format 120x180 cm und betrachtet das Bild so, daß sich die Augen etwas mehr als

1. Einleitung

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250 cm vor der Bildmitte befinden, so ist die räumliche Wirkung des Bildes geradezu überraschend. Zusammenfassend kann man feststellen: Je besser die Hauptblickstrahlbündel der beiden Augen bei der unmittelbaren Betrachtung des räumlichen Objektes mit denjenigen bei der Betrachtung des perspektiven Bildes übereinstimmen, desto besser ist der räumliche Eindruck des Bildes.

Betrachtet man einen kleinen Gegenstand, so ist das Blickstrahlbündel nur schwach konvergent, und man kann es näherungsweise durch ein Parallelstrahlbündel ersetzen. Das bietet die Möglichkeit, durch Parallelprojektion anschauliche Bilder kleiner Gegenstände zu gewinnen. Die historische Entwicklung der Perspektive kann man in der Malerei verfolgen. Schon in der Einleitung von Band I wurde Euklids Werk über Optik erwähnt (300 v. Chr.). Es

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I. Axonometrie

ist in einigen lateinischen Übersetzungen erhalten. Euklid stellt zunächst 12 Postúlate auf, denen 61 Theoreme folgen. Einige der Theoreme seien zitiert: „4. Wenn auf derselben Geraden gleiche Strecken liegen, so wird die weiter entfernte kleiner erscheinen. 10. Weiter entfernte Teile einer unterhalb des Auges gelegenen Ebene erscheinen höher. 40. Die Räder eines Wagens scheinen einmal rund, einmal oval zu sein" (aus der italienischen Übersetzung von E. Danti, 1573). Euklid beschreibt die Gesetze des Sehens, die wohl auch von den Malern der Antike beachtet wurden, aber keine Zentralperspektive. Ein Beispiel der antiken Malerei ist das Pompejanische Gemälde nach dem Kupferstich von H. Roux Ainé (Bild 3). Hier sind Euklids Theoreme beachtet. Es ist nicht möglich, im Rahmen dieses Büchleins auf die Geschichte der Perspektive näher einzugehen. Nur zwei Namen sollen genannt werden. Die erste systematische Darstellung einer Konstruktionsperspektive verdankt man P i e r o d e l l a F r a n c e s c a (1420—1492). Seine „Prospectiva Pingendi" wurde in Parma aufgefunden und 1899 im italienischen Urtext mit den Originalzeichnungen veröffentlicht. Einen großen Teil der Konstruktionsaufgaben, die im II. und III. Kapitel dieses Bändchens behandelt werden, konnte Piero, allerdings auf andere Art, lösen. A l b r e c h t D ü r e r s „Unterweisung" (1525, s. I. S. 8) hat zwar großen Einfluß auf die Entwicklung der Perspektive ausgeübt, enthält aber nicht die Klarheit und Vollständigkeit in den Konstruktionen wie das Werk Francescas. Das Titelbild zeigt eine architektonische Studie von Piero della Francesca. I. Axonometrie 2. Einführung; senkrechte Axonometrie Es seien in der Zeichenebene Grund-, Auf- und Seitenriß eines Punktes P sowie die drei Projektionsachsen gezeichnet. Die Seitenrißebene sei zur Grund- und Aufrißebene senkrecht. Wir nennen die Schnittgerade der Grund- und Aufrißebene die x-Achse, diejenige der Grund- und Seitenrißebene die «/-Achse und schließlich diejenige der Auf- und Seitenriß-

2. Einführung; senkrechte Axonometrie

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ebene 2-Achse. Werden durch den Punkt P die Parallelebenen zu den Projektionsebenen gelegt, so entsteht ein Parallelflach (Bild 4) 1 ), welches eine Ecke im Punkt 0 und drei weitere Ecken Px, Pv, Pz auf den Achsen hat. Man nennt die Strecken O P ^ O P y ^ P , , die K o o r d i n a t e n des Punktes P. Die drei Projektionsachsen heißen Koordinatenachsen, und der Punkt 0 heißt der Koordinatenursprung oder Koordinatenanfangspunkt. Die drei Achsen zusammen nennt man ein rechtwinkliges Achsenkreuz. Man erkennt sofort, daß die Beziehung zwischen den Projektionen und den Koordinaten eines Punktes umkehrbar eindeutig ist. Sind nämlich die Koordinaten OPx, OPL Bild 4. Koordinaten eines Punktes OPz eines Punktes gegeben so können sofort die Projektionen des Punktes gezeichnet werden. Anstatt die Koordinaten eines Punktes P durch die drei Strecken OPx, OPy, OPz zu geben, kann man sie durch ein Zahlentripel festlegen. Man wählt auf jeder der Koordinatenachsen vom Ursprung 0 aus eine Einheitsstrecke und gibt durch die Zahlenwerte der Koordinaten an, das Wievielfache die Strecken OPx, OPy, OPz von diesen Einheitsstrecken sind. Der Punkt, dessen Koordinaten gerade gleich den entsprechenden Einheitsstrecken sind, erhält die Koordinaten (1, 1, 1) und heißt der Einheitspunkt des Koordinatensystems. Im allgemeinen wird man die drei Einheitsstrecken einander gleich annehmen. Der Einheitspunkt ist dann eine Ecke eines Würfels der Kantenlänge 1; seine Koordinaten bilden ein „gleichschenklig-rechtwinkliges Achsenkreuz". l ) An der Durchführung der Zeichnungen sowie an der redaktionellen Bearbeitung der 2. Auflage hat Herr W. J . Grünewald mitgewirkt. Die Beschriftung der Abbildungen übernahm der Verlag.

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I. Axonometrie

Die Axonometrie stellt die Punkte des Raumes stets in bezug auf ein fest gegebenes Koordinatensystem dar. Man versteht unter dem axonometrischen Bild eines Punktes P jede Parallelprojektion des Punktes P und des fest gegebenen Koordinatensystems auf eine gegebene Ebene, die Bildebene des axonometrischen Bildes. Der wichtigste Fall ist die

s e n k r e c h t e oder orthogonale Axonometrie, bei der die Projektionsstrahlen zur Bildebene senkrecht sind. Im Gegensatz hierzu spricht man in allen anderen Fällen von s c h i e f e r Axonometrie. Wir beschäftigen uns zunächst mit der senkrechten Axonometrie. Offenbar ist hier das axonometrische Bild eines Punktes völlig bestimmt, wenn die Stellung der Bildebene zu den Koordinatenachsen bekannt ist. Im Bild 5 ist der Punkt P in Grund-, Auf- und Seitenriß gezeichnet. Es sei ferner eine Ebene e durch die Spuren

2. Einführung; senkrechte Axonometrie

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i> e2> e3 gegeben. Auf diese Ebene soll der Punkt P und das Koordinatensystem (dessen Achsen mit den Projektionsachsen zusammenfallen) senkrecht projiziert werden. Wir führen diese Projektion zunächst im Grund- und Aufriß aus, indem wir von 0 das Lot auf die Ebene e fällen und seinen Schnittpunkt 0 * mit e bestimmen. In bekannter Weise findet man die Projektionen 0*' und 0 * " (s. I. Abs. 16). Verbinden wir 0 * " mit X, Z, 0 und 0*' mit X, Y, 0, so erhalten wir Grund- und Aufriß der senkrechten Projektion der Koordinatenachsen auf e. Ebenso kann man von P das Lot auf e fällen und seinen Fußpunkt bestimmen. Es ist jedoch nicht unser Ziel, diese senkrechte Projektion in Grund- und Aufriß darzustellen, sondern sie in der Ebene selbst zu zeichnen. Zu diesem Zweck klappen wir e um die Grundrißspur e1 in die Zeichenebene um. Dabei gehen die Spuren e2 und in die Geraden e2, e3 über. e2, e3 und ex bilden das Spurendreieck. Das Bild 0 * des Koordinatenanfangspunktes geht bei der Umklappung in den Punkt Ö über, und die Geraden OZ, ÖX, OY sind die Bilder der Koordinatenachsen nach der Umklappung. Es gilt der Satz: Die axonometrischen Bilder der Koordinatenachsen bei senkrechter Axonometrie sind die Höhen des Spurendreiecks. Die Richtigkeit des Satzes ist leicht einzusehen: Im Grundriß war 0*'0 das Bild der z-Achse; 0*'0 ist senkrecht auf ev Bei der Umklappung von e bleibt es senkrecht, d. h., OZ ist senkrecht auf ev Wir hätten aber ebenso die Ebene e um e2 umklappen können, dann hätte sich ergeben: 0 Y ist senkrecht zu e2. Schließlich gilt der gleiche Schluß für ÖX. Im Bild 5 ist das axonometrische Bild des Punktes P eingezeichnet, und zwar haben wir die Bilder der auf den Achsen gelegenen Punkte Px, Py, Pz konstruiert und durch diese das Parallelflach gelegt. Es soll folgender Satz bewiesen werden: Die Höhen eines beliebigen spitzwinkligen Dreiecks kann man stets auffassen als das Bild des Koordinatensystems in senkrechter Axonometrie. Der Satz

e

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I. Axonometrie

ist offenbar bewiesen, wenn es gelingt, die Stellung der Bildebene in Grund- und Aufriß anzugeben. Wir denken uns etwa in Bild 5 das Dreieck Z X Y mit seinen Höhen gegeben; Grund- und Aufriß sind zu konstruieren. Man beschreibt über X Y den Halbkreis und verlängert Z Ö bis zum Schnitt 0 mit dem Halbkreis. Auf Ö 0 in 0 errichtet man die Senkrechte, schlägt um D mit DZ den Kreis und bestimmt dessen Schnitt Z* mit der Senkrechten. Die Senkrechte auf X 0 in 0 ist die 2-Achse. Der Kreis um 0 mit OZ* oder um X mit Z X bestimmt den Punkt Z. Dann ist X Z die Aufrißspur e2, XY die Grundrißspur e1 und XO die x-Achse und gleichzeitig Projektionsachse. Das Achsenkreuz OX, 0 F, OZ ist in der Tat ein Koordinatensystem, dessen senkrechte Projektion auf die durch die Spuren elt e2 gegebene Ebene die Höhen unseres ursprünglichen Dreiecks liefert. 3. Axonometrisches Bild eines Punktes Der Gegenstand, etwa ein Polyeder, dessen axonometrisches Bild konstruiert werden soll, sei im Grund-, Auf- und Seitenriß gegeben. Die Koordinatenachsen mögen wieder mit den Projektionsachsen zusammenfallen. Dann sind die Koordinaten der Eckpunkte bekannt, und es entsteht die Aufgabe, das axonometrische Bild der durch die Koordinaten gegebenen Punkte zu konstruieren. Das Spurendreieck mit seinen Höhen sei gegeben. Man legt das Spurendreieck stets so, daß das Bild der z-Achse vertikal steht. Wir bestimmen zunächst das axonometrische Bild des Grundrisses P' von P, den sogenannten axonometrischen Grundriß. Bild 6 zeigt links Grund- und Aufriß, rechts das axonometrische Bild. Es wird über XY der Halbkreis beschrieben und der Punkt 0 * bestimmt; die Koordinaten 0*PX und 0*Py werden entsprechend abgetragen. Von Px und Py fällt man die Lote auf X Y und verlängert sie bis zum Schnitt mit XO und YO. Durch die Schnittpunkte Px und Py zieht man die Parallelen zu den Achsenbildern OY und OX; ihr Schnittpunkt P' ist der

3. Axonometrisches Bild eines Punktes

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axonometrische Grundriß von P. Das axonometrische Bild von P selbst liegt auf der durch P' gehenden Parallelen zu OZ. Um die Höhe zu bestimmen, suchen wir den P u n k t P 2 auf der axonometrischen 2-Achse. Dies geschieht ebenso wie

die Bestimmung von Px durch Umlegung der Ebene ZOY. Es sind dann 0 Px, 0 Py, 0 Pz die axonometrischen Bilder der Koordinaten von P. Damit ist das Bild P bestimmt. Man erkennt, daß die Koordinaten eines Punktes im axonometrischen Bilde nicht in wahrer Länge, sondern verkürzt erscheinen. Die entsprechenden Koordinaten aller Punkte werden im g l e i c h e n Verhältnis verkürzt. Hat man das axonometrische Bild mehrerer Punkte zu zeichnen, so

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I. Axonometrie

wird man nur für einen Punkt die obige Konstruktion ausführen. Dann kennt man die Verkürzungsverhältnisse in Richtung der drei Achsen. Es können daher die Koordinaten jedes Punktes sofort in der entsprechenden Verkürzung auf den axonometrischen Achsenbildern abgetragen werden. Die Verkürzungen werden folgendermaßen zeichnerisch ausgeführt: Man trägt die drei Koordinaten 0 Px, 0P9,0Pz je von einem Punkt 0 aus ab (Bild 6 unten) und beschreibt je mit OPx, OPv, 0 P2 den Kreis. Dann trägt man auf diesen Kreisbögen von Px (bzw. Py, Pz) aus als Sehnen die verkürzten axonometrischen Bilder der Koordinaten ab, die aus Bild 6 rechts entnommen werden. Es wird also die Sehne PX(P) gleich der axonometrischen Koordinate OPx des Punktes P. Die Verkürzungsverhältnisse können auch unmittelbar aus dem axonometrischen Spurendreieck gewonnen werden, indem man wie oben die Grund- und Aufrißebene in die axonometrische Bildebene umklappt. Dann sind OX m OY^, OZ 0*x; 0*Y' 0*Z die Verkürzungsverhältnisse (Bild 6 rechts), aus denen ganz entsprechend die drei Winkel cox; coy\ coz konstruiert werden können. Ist nun z. B. das axonometrische Bild irgendeines Punktes Q gesucht, so hat man nur die drei Koordinaten von Q auf den Schenkeln der entsprechenden Winkel cox; cov; coz abzutragen (Bild 6 unten); dann sind die Sehnen der zugehörigen Kreisbögen die axonometrischen Koordinaten von Q. Diese trägt man auf den Achsenbildern ab (Bild 6 rechts) und konstruiert aus ihnen das Bild von Q. Durch das axonometrische Bild allein ist die Lage eines Punktes im Räume noch nicht bestimmt; dies ist erst der Fall, wenn man die Lage des Punktes zu den Koordinatenachsen kenntlich macht. Man pflegt daher außer dem axonometrischen Bild des Punktes noch seinen axonometrischen Grundriß anzugeben. Soeben wurde gezeigt, daß bei gegebenem Spurendreieck die Verkürzungsverhältnisse in Richtung der drei Ko-

3. Axonometrisches Bild eines Punktes

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ordinatenachsen konstruiert werden können. Es soll hier die Abhängigkeit der drei Verkürzungsverhältnisse untereinander bei senkrechter Axonometrie betrachtet werden. Nachstehende Skizze (Bild 7) zeigt das Koordinatenkreuz OX; OY; OZ und sein senkrecht-axonometrisches Bild OX;ÖY;OZ auf die axonometrische Bildebene. 00 ist das Lot von 0 auf diese Ebene. Die Winkel OÖX, 00 Y, OOZ sind also Rechte. Die Streckenverhältnisse OX. OY. OZ OX' OY' OZ sind die drei axonometrischen Verkürzungsverhältnisse. Diese sind aber gleich dem Kosinus der Neigungswinkel der axonometrischen Bildebene mit den Koordinatenachsen; d. h., es gelten die Gleichungen

BUd 7. Skizze zum Studium der VerkürzungsVerhältnisse

~

= cos (OXO);

Bild 8. Skizze zum räumlichen Pythagoras

£ | = c o S ( O Y O ) ; £ f = cos (OZO).

Das Dreieck O O Z ist rechtwinklig; folglich ist c o s 2 ( 0 X 0 ) = s i n 2 ( 0 0 X ) = 1 - cos*(ÖOX) 2 H a a c k , Darstellende Geometrie III

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I. Axonometrie

und ebenso cos2 (OYÖ) = sin2 (ÖO Y) = 1 - cos2 (ÖO Y) ,

cos2(OZÖ) = sin2(ÖOZ) = 1 - cos2(ÖOZ). Nun sind (ÖOX), (ÖOYJ, (ÖOZ) die Winkel, die die

Gerade 00 mit den Koordinatenachsen bildet. Um die Beziehung zwischen diesen Winkeln zu erkennen, betrachten wir eine Strecke OP der Länge 1 und das von den Koordinaten gebildete Parallelflach (Bild'8). Die «-Koordinate OP x von P ist Kathete des rechtwinkligen Dreiecks P P x O . Wegen OP = 1 wird daher OPx = cos (PO Px) und entsprechend OPy = cos(P0P v ), OPz = cos(POP z ). Andererseits folgt aus den rechtwinkligen Dreiecken (OP') 2

= (OPx)2 + (OPy)2 und 1 = (OP)2 = (0PX)2 + (OPv)2 + (0PZ)2.

Daher folgt: Die Summe der Quadrate der Kosinus der Winkel, die eine durch 0 gehende Gerade mit den Koordinatenachsen bildet, ist gleich eins. Mit den Bezeichnungen von Bild 7 ist also

cos2 (ÖOX) + cos2 (6 OY) + cos2 (ÖOZ) = 1. Addieren wir die obigen drei Gleichungen, so folgt: cos2 (OXÖj + cos2 (OYÖ) + cos2 (OZÖ) = 2. Es gilt also der Satz: Die Summe der Q u a d r a t e der drei V e r k ü r z u n g s v e r h ä l t n i s s e bei s e n k r e c h t e r A x o n o m e t r i e ist s t e t s gleich zwei. Das heißt:

4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie Die im Bild 6 aufgedeckten Zusammenhänge führen zu einem schematischen Verfahren der Konstruktion des axonometrischen Bildes eines Gegenstandes, dessen Grundund Aufriß gegeben ist. Bild 9 zeigt das Spurendreieck und das axonometrische Bild eines Quaders. Durch Umlegung

4. Einschneideverfahren; normierte Axonometrie

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des Dreiecks XYO, die Wer nach der entgegengesetzten Seite von Bild 6 ausgeführt ist, ergibt sich der Grundriß 00I0P'nII0 des Quaders. Um das Zusammenfallen der Umlegung mit dem axonometrisclien Bild zu beseitigen, wird die

Bild 9. Zur Begründung des Einschneideverfahrens

Umlegung parallel zur z-Achse verschoben und gibt die Figur Ö'T P'IF. Der gleiche Vorgang wird mit "der Ebene YOZ wiederholt, die hier als Aufrißebene dienen möge. Man erhält den Aufriß des Quaders 0"II" P"III". Daraus ergibt sich unmittelbar der folgende Zusammenhang: Werden Grundund Aufriß eines Gegenstandes gemäß Bild 9 angeordnet, z. B. auf das Zeichenbrett geheftet, so ergibt sich das axonometrische Bild eines Punktes P, indem man durch 2*

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I. Axonometrie

den Aufriß P" die Parallele zur axonometrischen z-Achse (00") und durch den Grundriß P' die Parallele zur axonometrischen z-Achse (00') zeichnet. Bei der Anwendung des Verfahrens geht man von den Geraden OÖ' und 00" aus, die den spitzen Winkel oj einschließen (Bild 10), legt den Grundriß so auf die Zeichenebene, daß Ö'x' mit 00' den Winkel

2 (A = Ähnlichkeitsfaktor) existiert, von dem aus die obige Konstruktion dann begonnen werden kann. Aus Bild 15 a erkennt man mit dem Pythagoras aus den Dreiecken FÄÖ und FBÖ rj* = + | ) 2 = vi — i2. Daraus folgt _ u*—v*—w* f Jvß ' Aus der Umlegung XOY (vgl. Abschnitt 3) entnimmt man (Höhensatz) i )/2 g2 + (wi! + w 2 +g) 8 e, _ OX 2— 2 2 2 (M + u + v* + w*) e OX Km + «2 + w2' Analog findet man ev _ e

V2v \/u2+v2+w2

Aus der Umlegung z0 der 2-Achse folgt iL = V Ü E ß = e

h

^

Yii? +

vz+wi

mit W=[u* + w2 + f ] [ * - * ] .

Man erkennt, daß die Relation (*) erfüllt ist; außerdem ist die Quadratsumme der Verkürzungsverhältnisse gleich 2. Gleichzeitig haben wir ein Verfahren gefunden, um das Achsenkreuz für eine trimetrische orthogonale Axonometrie mit gegebenem Verkürzungsverhältnis der Bilder der Einheitsstrecken zu konstruieren. Zu der unter DIN 5 aufgenommenen isometrischen Projektion gelangt man, wenn man u = » — w annimmt.

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I. Axonometrie

Als Anwendung mit uw.w

=

2 5

1 (Hütte, 27. Aufl.,

S. 210) diene eine Durchdringung von Prisma und Pyramide, deren axononietrische Grundrisse bekannt seien (Bild 15b). Die Verschneidung konstruiert man durch Verlängern der Prismenebenen im Grundriß (Punkte A, B). Das Lot durch C' trifft die Pyramidenkante durch F in C.

Schleifende Schnitte werden durch Kontrollen umgangen. So ist z. B. DE parallel zu FC, weil eine Prismenfläche parallel zur Ebene FGS innerhalb der Pyramide ist. 5. Einfache Beispiele in normierter Axonometrie Im allgemeinen wird man die axonometrischen Bilder von Gegenständen nicht durch Übertragung einzelner Punkte aus Grund- und Aufriß, sondern unmittelbar in der Bildebene konstruieren, gegebenenfalls unter Verwendung des axonometrischen Grundrisses. Dabei wird man ausnutzen, daß die Axonometrie eine Parallelprojektion ist. Die axonometrischen Bilder paralleler Geraden sind wieder parallele Geraden. Zwischen dem axonometrischen Bild einer ebenen Figur und der Figur selbst besteht eine Affinität (I, Kap. V). Aus diesen Eigenschaften kann man konstruktive Hilfsmittel gewinnen. Die Verfahren sollen an einigen Beispielen erläutert werden.

5. Einfache Beispiele in normierter Axonometrie

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a) B a l k e n - V e r z a p f u n g in normierter Axonometrie. Zwei Balken mit rechteckigem Querschnitt (Seitenlängen h, b) sollen rechtwinklig verzapft werden. Die Kanten des einen Balkens legen wir in die «/-Richtung. Den Balkenquerschnitt zeichnen wir in der sz-Ebene, indem wir h in wahrer Länge und i in halber Länge auftragen (Bild 16). Die Zapfenfläche A B C ist in wahrer Gestalt ein Bild 16. Balkenverzapfung gleichschenkligrechtwinkliges Dreieck; es erscheint als gleichschenkliges Dreieck der Schenkellänge h. Der senkrechte Balken läßt sich jetzt sofort zeichnen. Man kann die Zusammenfügung von Bauelementen gut veranschaulichen, indem man die einzelnen Elemente in getrennter Stellung so zeichnet, daß sie durch einfache Parallelverschiebung zusammengefügt werden können. Bei Parallelprojektionen entspricht einer Parallelverschiebung des Gegenstandes eine Parallelverschiebung des Bildes (wenn die Verschiebungsrichtung nicht Projektionsrichtung ist). Im Bild 16 ist der vertikale Balken so gezeichnet, daß er durch vertikale Bewegung auf den Zapfen aufgesetzt werden kann. b) K r e i s e in den K o o r d i n a t e n e b e n e n . Zur Konstruktion der Bildellipse eines solchen Kreises geht man im allgemeinen aus von dem Tangentenquadrat des Kreises, dessen Seiten zu den beiden Koordinatenachsen der Kreisebene parallel sind. So gewinnt man z. B. für einen Kreis der i/z-Ebeiie das im Bild 17 gezeichnete Parallelogramm, dessen Seiten die Ellipse in den Punkten A, B und C, D berühren. Die Strecken AB, CD bilden ein Paar konjugierter Durchmesser, deren Längen aus den Verkürzungs-

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I. Axonometrie

Verhältnissen in den Achsenrichtungen bekannt sind. Ebenso kann man die Tangentenparallelogramme und ein Paar konjugierter Durchmesser für die Bildellipsen der Kreise der

Außerdem läßt sich die große Hauptachse der Bildellipse sofort angeben. Die senkrechte Axonometrie ist eine senkrechte Projektion. Bei einer solchen erscheint der zur Bildebene parallele Kreisdurchmesser als große Achse der Ellipse in wahrer Größe (II, Abs. 1). Die zur Bildebene parallelen Geraden einer Ebene sind die Spurparallelen. Die großen Achsen der Bildellipsen sind also parallel zu den Seiten des Spurendreiecks. Da aber die Koordinatenachsen als Höhen des Spurendreiecks erscheinen, gewinnen wir folgendes Ergebnis: Das a x o n o m e t r i s c h e B i l d eines zur xyE b e n e p a r a l l e l e n K r e i s e s ist eine E l l i p s e , deren große Achse s e n k r e c h t zur a x o n o m e t r i s c h e n zAchse ist. E n t s p r e c h e n d e s g i l t für die K r e i s e der

5. Einfache Beispiele in normierter Axonometrie

29

beiden anderen K o o r d i n a t e n e b e n e n . Die kleine Achse der Bildellipse ist also stets parallel zum Bilde der Normalen der Kreisebene. Der letzte Satz gilt auch für die Projektion eines Kreises, der in einer beliebigen Ebene liegt; jedoch ist die Spur bzw. das axonometrische Bild der Normalen der Kreisebene dann nicht unmittelbar bekannt, sondern erst zu konstruieren (s. Abs. 5 c). Für die Koordinatenebenen und deren ParaJlelebene'n sind die Normalen in den Koordinatenachsen gegeben. Die Bildellipsen aller zueinander parallelen Kreise sind einander ähnlich; sie haben also das gleiche Achsenverhältnis. Für einen Kreis der «»/-Ebene läßt sich das Verkürzungsverhältnis für die kleine Achse der Bildellipse aus Bild 9 bzw. Bild 6 ablesen. Im Bild 6 ist die zur Spur X Y senkrechte Strecke 0* T im axonometrischen Bild verkürzt auf 0 T. Demnach gilt r:R = 0T:0* T, wenn r die kleine und R die Bild 18. Kleine Achse der Bildellipse große Halbachse der Ellipse eines Kreises der zy-Ebene ist. Durch Umklappung der anderen Koordinatenebenen erhält man die Achsenverhältnisse der entsprechenden Ellipsen. Zwischen dem Verkürzungsverhältnis in den Koordinatenachsen und dem Achsenverhältnis der Bildellipsen der Kreise, die zu den Koordinatenebenen parallel sind, besteht eine einfache Beziehung. Wir beschränken uns auf Kreise der xy-Ebene. Man denke sich um 0 eine Kugel vom Radius 1 (Bild 18). Die durch die z-Achse gehende Ebene, die zur axonometrischen Bildebene senkrecht ist, legen wir in die Zeichenebene um. Dann erscheint in der Zeichenebene ein Großkreis der Kugel, die z-Achse OA und der Halbmesser OB des zur z-Achse senkrechten Kugelkreises, dessen Bild die kleine Ellipsenhalbachse ist. Bei der senkrechten Projek-

30

I. Axonometrie

tion auf die Bildebene n verkürzt sich 0 A in 0 A und O B in OB. Wegen der Kongruenz der Dreiecke OBB0 und OAA0 ist OB = AA0 und nach dem Pythagoras (OB)2 = 1 (Ol)2. Für das Achsenverhältnis der Bildellipse folgt daher r:R = OB : 1 - y — ( ö w -

|/i -

(||)

rechts steht das Verkürzungsverhältnis in der z-Richtung (Bild 7). Entsprechende Gleichungen gelten für die Kreise der beiden anderen Koordinatenebenen. Für die normierte dimetrische Axonometrie ergeben sich (nach Abs. 4) folgende Werte für die Achsenverhältnisse der Bildellipsen Ebene xy xz yz r:R

1:3

1:3

| j/7

9:10

Die axonometrische Darstellung von Kreisen, die zu einer der Koordinatenebenen parallel sind, bereitet also keine besondere Mühe und wird noch erleichtert, wenn je ein Ellipsen-Satz der beiden Achsenverhältnisse verfügbar ist. c) L o t auf eine E b e n e . Es sei eine Ebene e durch ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen gegeben und außerdem ein Punkt P außerhalb der Ebene. Gesucht ist das Lot von P auf die Ebene und der Fußpunkt des Lotes. Das axonometrische Bild der Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen sowie dasjenige des Punktes P u n d seines Grundrisses P' kann man nach dem Obigen sofort zeichnen, wenn das SpurenBild 19. Lot auf eine Ebene dreieck gegeben ist. Ebenso unmittelbar findet man das axonometrische Bild der Grundund Aufrißspur e v e2 der Ebene. Man hätte sich die Ebene

6. Zylinder, Kegel, Kugel in normierter Axonometrie

31

auch direkt durch dieaxonometrische Grund-und Aufrißspur geben können. Es ist bekannt, daß die Projektion des Lotes auf der gleichnamigen Spur der Ebene senkrecht steht. Das axonometrische Bild ist eine senkrechte Projektion auf die Bildebene. "Wir konstruieren die Spur s der gegebenen Ebene mit der axonometrischen Bildebene (Bild 19). Dann ist das Lot ü von P auf s das axonometrische Bild des Lotes von P auf die Ebene s. Um den Lotfußpunkt zu bestimmen, brauchen wir den axonometrischen Grundriß ü' des Lotes. Der Grundriß des Lotes ist bekanntlieh senkrecht auf der Grundrißspur der Ebene. Jedoch geht dieser rechte Winkel bei der Projektion auf die Ebene des axonometrischen Bildes verloren. Man könnte hier so vorgehen, daß man die Grundrißebene in die axonometrische Bildebene umklappt. Vorteilhafter ist aber folgende Überlegung: Die zur Grundrißebene senkrechte Ebene durch die Grundrißspur e1 ist senkrecht auf dem Grundriß u' des Lotes. Folglich muß die in der axonometrischen Bildebene gelegene Spur dieser Ebene zum axonometrischen Grundriß ü' des gesuchten Lotes senkrecht sein. Die Parallele zu z durch E ist das axonometrische Bild der Aufrißspur unserer Hilfsebene; die Gerade CA ist ihre Spur in der axonometrischen Bildebene. Das Lot von P' auf CA ist der axonometrische Grundriß ü' von u. Durch das axonometrische Bild ü und den axonometrischen Grundriß ist das Lot u völlig bestimmt. Zur Ermittlung seines Spurpunktes in der Ebene e bestimmt man zunächst die Schnittgerade der durch u gehenden vertikalen Ebene mit e. Das axonometrische Bild dieser Schnittgeraden ist leicht zu zeichnen: Die Parallele zu z durch 0 (Bild 19) ist das axonometrische Bild der Aufrißspur der durch u gehenden vertikalen Ebene. Folglich ist die Gerade LN ihre Schnittgerade mit der Ebene e und F das gesuchte axonometrische Bild des Lotfußpunktes. 6. Zylinder, Kegel, Kugel in normierter Axonometrie Ist die Achse einer Rotationsfläche parallel zu einer Koordinatenachse, so sind die Parallelkreise parallel zu der

I. Axonometrie

32

orthogonalen Koordinatenebene. Bild 20 zeigt eine zylindrische Platte mit vertikaler Achse. In Richtung der z-Achse ist eine Nut eingefräst, deren Bild sich sofort zeichnen läßt, wenn Breite a und Tiefe h — R — b der Nut gegeben sind. z

X

Bild 20. Kreisförmige Platte mit Hut

Ein Drehkegel, dessen Grundkreis in der zz-Ebene liegt, ist im Bild 21 skizziert. Bei gegebenem Durchmesser läßt sich die Bildellipse des Grundkreises sofort zeichnen. Den Umriß des Kegels bilden die Tangenten von der Spitze S an die Ellipse; sie können nach I, Abs. 28 konstruiert werden. Der Schnitt des Kegels mit einer Ebene e läßt sich leicht axonometrisch durchführen, wenn e parallel zur Kegelachse ist. Wir wählen die Schnittebene parallel zur yz-Ebene. Die Schnittkurve ist eine Hyperbel, ebenso ihr axonometrisches Bild. Punkte der Schnitthyperbel ergeben sich mittels einiger Hilfsebenen durch die Kegelachse. Diese Hilfsebenen schneiden e in Geraden, die parallel zur Kegel- bzw. y-Achse sind, und den Kegel in Erzeugenden. Das Dreieck AOS bestimmt den Punkt T der Hyperbel. T ist das axonometrische Bild des Scheitels der wirklichen Schnitthyperbel. Die Hyperbeltangente in T ist parallel zur z-Achse. Im Bild 21 ist

6. Z y l i n d e r , K e g e l , K u g e l i n n o r m i e r t e r A x o n o m e t r i e

33

Bild 21. Schnitt eines Kegels mit achsenparalleler Ebene

noch ein weiterer Punkt P der Hyperbel konstruiert. Für das Kurvenstück T II ist diese Hilfskonstruktion unbrauchbar. Da aber T T" Bild der Hyperbelachse ist, also Symmetriegerade der Hyperbel, und die Symmetrie bei Parallelprojektionen erhalten bleibt, liegt ein weiterer Punkt Q der Hyperbel auf der Parallelen durch P zur z-Aehse symmetrisch bezüglich T T " . Jetzt kann man die Schnittkurve mit ausreichender Genauigkeit zeichnen. Der S c h n i t t eines D r e h k e g e l s m i t einer b e l i e b i g e n E b e n e läßt sich etwa folgendermaßen axonometrisch durchführen. Der Kegel stehe auf der «/-Ebene. Wir drehen das Koordinatensystem so, daß die Spur der Schnittebene e in der ¡«/-Ebene parallel zur »-Achse ist (Bild 22). Dann ist die Lage von e bestimmt, wenn wir verlangen, daß e die 2-Achse im Punkt T schneidet, e sei also durch T und e gegeben. Zur Bestimmung einzelner Punkte der Schnittkurve verwenden wir wieder Hilfsebenen durch die Kegelachse. Die yz-Ebene schneidet den Kegel in dem Dreieck SII0I0 und e in der Geraden TH. Man erhält die Punkte III und damit einen Durchmesser der Schnittellipse. Den Mittelpunkt M von I II verbinden wir mit S und erhalten 3 H a a c k , Darstellende Geometrie III

34

I. Axonometrie

Bild 22. Schnitt eines Kegels mit beliebiger Ebene

auf der Verlängerung den Punkt P der ¡¡/-Achse. Durch P und M ziehen wir die Parallelen zur «-Achse. Verbindet man die Punkte III0, IV0 mit S, so erhält man die Punkte III, IV und damit den zu I II konjugierten Durchmesser der Schnittellipse. Die konjugierten Durchmesser I II, III IV sind das axonometrische Bild der Hauptachsen der Schnittellipse (s. II, Abs. 8). Handelt es sich nur um das Entwerfen anschaulicher Skizzen, so wird man in das Tangentenparallelogramm der beiden Durchmesser die Ellipse einzeichnen können. Oft wünscht man den U m r i ß p u n k t zu kennen. Ist y„ Umrißpunkt der Grundellipse (s. I, Abs. 28), so schneidet die Hilfsebene SOV0 die Ebene £ in TU, und der Punkt V auf TU ist Umrißpunkt der Schnittellipse. Entsprechend findet man den anderen Umrißpunkt. Denkt man die Kegelspitze abgeschnitten, so ergibt sich das stark ausgezogene Bild. Schließlich zeigt Bild 23 eine K u g e l , die auf e i n e r q u a d r a t i s c h e n P l a t t e liegt. Vom Mittelpunkte der oberen Plattenebene, in dem die Kugel die Platte berührt, tragen

6. Zylinder, Kegel, Kugel in normierter Axonometrie

35

wir auf der z-Achse den Kugelradius R ab. Dabei ist zu erwägen, ob man die oben erwähnte Maßstabsvergrößerung vornehmen will oder nicht (Abs. 4). Wir wollen zuerst ohne Maßstabsvergrößerung arbeiten. Der wahre Radius R0 der Kugel erscheint in der axonometrischen z-Richtung verkürzt als R = 0,943 • R0. Im Bild 23 ist der Verkürzungswinkel

für die z-Achse angegeben. Der Endpunkt der Strecke auf der z-Achse ist das Bild des KugelmittelpunktesM. Bei senkrechter Parallelprojektion ist der Umriß der Kugel ein Kreis, dessen Radius der (wahre) Kugelradius ist. Der Kreis mit R0 um M ist der Umriß der Kugel, die die Platte in A berührt. Die räumliche Wirkung eines so einfachen Bildes, in dem außer dem Umriß keine Punkte auf der Kugel markiert sind, ist schon recht gut. Sie wird noch erhöht, wenn man etwa „Äquator" und „Nordpol" auf der Kugel angibt. Der Äquator erscheint als Ellipse, deren Hauptachse senkrecht zur z-Achse ist. Die kleine Achse ist 1 R0. Ein Vergleich von Bild 23 mit der Kavalierperspektive in II, Bild 7 zeigt deutlich die Überlegenheit der senkrechten Axonometrie. 3'

36

I. Axonometrie

Nimmt man die oft recht praktische Maßstabsvergrößerung vor und zeichnet in y- und z-Richtung die unverkürzten Längen, so muß man die im Bild auftretenden wahren Längen im Verhältnis 1:0,943 vergrößern.

7. Einfache Durchdringungsaufgaben Durchdringungen von Zylinder, Kegel und Kugel lassen sich axonometrisch unter den gleichen Gesichtspunkten konstruieren wie im Grund- und Aufrißverfahren, indem man geeignete Scharen von Hilfsebenen verwendet (II, Abs. 12 bis 18). Wir beschränken uns auf ein Beispiel f ü r die Durchdringung von Kegel und Zylinder in normierter Axonometrie. Die Achse des Drehkegels sei die z-Achse des Koordinatensystems. Die Zylinderachse sei parallel zur «-Achse. Das axonometrische Bild von Zylinder u n d Kegel sei gezeichnet (Bild 24). Die yz-Ebene schneidet den Kegel im Dreieck SNL u n d den Zylinder in dem Kreis u m den P u n k t M, der als Ellipse ABCD erscheint. Die Schnittfigur in der yzEbene können wir als Aufriß der Durchdringung deuten. Die Anordnung ist so gewählt, daß die Mantellinie S L die Ellipse um M berührt. Die Schnittkurve der beiden Körper h a t daher im Berührungspunkt I einen Doppelpunkt ( I I , Abs. 15). Legt man durch S eine Ebene, die zur Zylinderachse parallel ist, so schneidet diese (wenn ü b e r h a u p t ) den Kegel in einem Dreieck u n d den Zylinder in zwei Erzeugenden u n d schließlich die ys-Ebene in einer Geraden. Von dieser Geraden gehen wir aus, indem wir S mit einem P u n k t (z. B. 20) der «/-Achse verbinden. Die Parallele durch 20 zur z-Achse schneidet die Grundellipse in II0, IIJ. Das Dreieck 8II0 II% ist der Schnitt der Hilfsebene mit dem Kegel. Die Gerade S20 trifft die Ellipse ABCD in den beiden P u n k t e n 2, 2. Die Parallelen zur ¡r-Achse durch diese beiden P u n k t e sind die Erzeugenden des Zylinders, die in der Hilfsebene liegen. Sie schneiden die Seiten des Dreiecks S II0 IIJ in den vier P u n k t e n I I , II der Durchdringungskurve. Durch Wiederholung des Verfahrens kann man beliebig viele P u n k t e der Durchdringungskurve konstruieren. Man wird sich meist auf

7. Einfache Durchdringungsaufgaben

37

einige wichtige Punkte beschränken (vgl. Bd. II, Kap. II). Neben dem Doppelpunkt I benötigt man zum Zeichnen vor allem die Umrißpunkte. Deshalb wurde Punkt 20 gleich so gewählt, daß 11% Umrißpunkt und daher S 7/J Umrißerzeugende des Kegels ist. Die Durchdringungskurve berührt in den beiden Punkten II den Umriß des Kegels. Die untere Umrißerzeugende des Zylinders berührt die Ellipse ABCD in C. Die Gerade SC schneidet die y-Achse in C0; die Hilfsebene durch SC schneidet den Kegel im Dreieck SC0III0.

Bild 24. Durchdringung von Zylinder und Kegel

Auf SIII0 liegt der Umrißpunkt III der Schnittkurve. Diese Hinweise dürften zum Verständnis des Konstruktionsverfahrens genügen. Bei solchen Aufgaben ist es oft empfehlenswert, die Konstruktion im axonometrischen Bild mit dem Einschneideverfahren von Abs. 4 zu verbinden. Man kann entweder nach

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I. Axonometrie

Abs. 4 den Aufriß der Durchdringung entsprechend Bild 9 und 10 rechts oben anheften oder die yz-Ebene nach außen in die Bildebene umlegen. Dies ist im Bild 24 um die zur a;-Achse senkrechte Hilfsspur S T ausgeführt. Das Dreieck SL0N0 entspricht dem Aufriß des Kegels, der Kreis um M0 dem des Zylinders. Entsprechende Punkte dieses Aufrisses und des axonometrischen Bildes liegen auf Parallelen zur axonometrischen a-Achse. 8. Schattenkonstraktionen in der Axonometrie Den räumlichen Eindruck axonometrischer Bilder kann man wesentlich verbessern, wenn man Licht und Schatten bei direkter Beleuchtung der Gegenstände hervorhebt. Dabei nimmt man die Lichtstrahlen im allgemeinen als parallel zueinander an (Sonnenbeleuchtung) und wählt die Lichtrichtung so, daß das Licht von links oben einfällt und die i/2-Ebene beleuchtet. Im Bilde wird die Lichtrichtung festgelegt, indem man das axonometrische Bild eines Lichtstrahles und seines Grundrisses angibt, z. B. die Geraden l, V im Bild 25. Im Anschluß an Bild 15 wurde darauf hingewiesen, daß das axonometrische Bild einer Würfelecke keine eindeutige Vorstellung vermittelt; die Ecke kann konvex

Bild 25. Richtung der Lichtstrahlen

Bild 26. K o n v e x e und konkave Ecke

oder konkav sein. Zeichnet man den Schatten bei direkter Beleuchtung ein (Bild 26), so ist eine solche Verwechslung nicht mehr möglich; Bild 26 zeigt links einen Würfel, rechts eine konkave Ecke. Der Schatten (auch Schlagschatten), den ein Körper bei Parallelbeleuchtung auf eine Ebene wirft, ist eine P a r a l l e l -

8. Schattenkonstruktionen in der Axonometrie

39

P r o j e k t i o n des Körpers auf die Ebene. Dem Umriß der Projektion entspricht auf dem Körper im allgemeinen eine Linie, die E i g e n s c h a t t e n g r e n z e , die den beleuchteten vom unbeleuchteten Teil des Körpers trennt. Der unbeleuchtete Teil liegt im Eigenschatten. Im Bild 27 a ist der Streckenzug ABC DE FA Eigenschattengrenze. Die Eigenschattengrenze wird unbestimmt, wenn Flächenstücken des Körpers zur Lichtrichtung parallel sind. Das wird man durch geeignete Wahl der Lichtrichtung vermeiden. Die Schattenkonstruktionen lassen sich am besten an einigen Beispielen erläutern. Bild 27 a zeigt den Schlagschatten eines Würfels auf eine waagerechte Ebene. Die Lichtstrahlen, die durch die Punkte der Kante AB gehen, erzeugen eine Ebene (Lichtebene); diese schneidet die «/-Ebene in der Geraden A B. Durch B wird die Parallele l zur gegebenen Lichtrichtung, durch A die Parallele V zum Grundriß der Lichtrichtung gezogen. I, V schneiden sich im Schattenpunkt B von B. Der Schatten einer ebenen Figur auf eine zur Figur

parallele Ebene ist zur Figur kongruent und parallel, da der Schatten eine Parallelprojektion ist. Daher ist der Schatten des Würfeldeckels ein zu diesem paralleles, kongruentes Parallelogramm mit einer Ecke in B.

40

I. Axonometrie

Bild 27 b zeigt zwei rechtwinklig zueinander stehende Quadrate. Der Schatten der Kante A B ist die Strecke A B. Der Schatten von BG ist die zu BG parallele Strecke durch B. Diese trifft die Unterkante des zweiten Quadrates im Punkt D. Legen wir durch D den Lichtstrahl, so trifft dieser die Kante BG im Punkt D. Nur das Stück BD der Strecke B C kann seinen Schatten auf die xy-Ebene werfen. Der Schatten des Teilstückes DG wird von dem zweiten Quadrat aufgefangen. Nun ist der Schatten einer Geraden g, die nicht parallel zur Lichtrichtung ist, auf eine Ebene e eine Gerade g, die durch den Schnittpunkt von g und e geht. Der Schatten der Strecke DG auf der Kückwand ist die Strecke DG.

9. Diagonalbeleuchtung Man wählt häufig die Lichtrichtung so, daß sie zur Diagonale eines Würfels parallel ist, und gibt außer l die Projektionen V, l", V" in den drei Koordinatenebenen an. Bild 28 veranschaulicht diese D i a g o n a l b e l e u c h t u n g . Als Beispiel betrachten wir einen von zwei Balken gebildeten rechten Winkel, der durch eine Strebe versteift ist. Bild 29 zeigt die Darstellung des Gegenstandes in normierter Axonometrie. Der Eigenschatten und der Schlagschatten auf die »/-Ebene bei Diagonalbeleuchtung sollen konstruiert werden. Die Lichtrichtung und ihre * Projektionen können aus Bild 28 Biid 28. Diagonalbeleuchtung entnommen werden. Der Schlagschatten der vertikalen Balkenkanten auf die xy-Ebene ist parallel zu V. Wir zeichnen durch Punkt 7' die Parallele zu V, durch die Punkte 7 und 8 die Parallelen zu l. Dann ist die Strecke 70 80 der Schatten von 7 8. Der Schatten der durch 7 gehenden waagerechten Balkenkante ist die Parallele zu dieser Kante durch 70.

9. Diagonalbeleuchtung

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Um den Schatten der Strebe zu konstruieren, denken wir uns die waagerechte Balkenebene durch Punkt 7 beliebig ausgedehnt und bestimmen den Schatten, den die vertikale Gerade 2 3 auf diese Ebene wirft, indem wir durch 2 die Parallele zu V, durch 3 die Parallele zu l zeichnen. Der Schnitt-

Bild 29. Schatten einer Balkenverbindung

punkt 30 ist der Schatten des Punktes 3 in dieser Ebene. Der Schatten der Geraden 13 muß dann die Gerade 1 30 sein. Der Schlagschatten der Strebenkanten auf jede waagerechte Ebene ist parallel zu 1 30. Damit ist der Schatten der Strebe auf die waagerechte Balkenebene gefunden. Verlängern wir jetzt die Schnittkante der waagerechten und vertikalen Balkenebene durch 7, so erhalten wir den Schnittpunkt S mit der Geraden 130. Die Gerade S 3 ist der Schlagschatten eines Stückes der Kante 1 3 auf der vertikalen Ebene durch 7. Die Schatten der Strebenkanten auf diese Ebene sind parallel zu S 3. Schließlich läßt sich der Schatten der Strebe auf die ziy-Ebene angeben, indem man durch die Punkte T und U die Lichtstrahlen zeichnet und durch T0 und U0 die Parallelen zu 1 30 zieht. Denn 70 T0 ist der

42

I. Axonometrie

Schatten der Kante 7 T. Jeder Punkt und sein Schatten liegen auf einem Lichtstrahl. Nach diesen Hinweisen sollte die Schattenkonstruktion keine Schwierigkeiten bereiten. Zur Veranschaulichung sei noch folgendes erwähnt: Von der Kante 1 3 wirft der Abschnitt 1 T seinen Schatten auf die waagerechte Balkenebene, der Abschnitt T Z auf die xy-Ebcne und der Abschnitt Z 3 auf die vertikale Balkenebene.

10. Schatten von Kegel und Zylinder in normierter Axonometrie Das Achsenkreuz und der Kegel sind im Bild 30 dargestellt. Die Lichtrichtung (Diagonalbeleuchtung) ist durch l, V gegeben. Der Schatten S 0 der Kegelspitze ist der Schnittz S

C

fo Bild 30. Schatten eines Kegels

punkt des Lichtstrahles l durch S mit der Projektion l' durch A. Die Tangenten von S0 an die Ellipse, die den Grundkreis des Kegels darstellt, bestimmen den Umriß des Schattens. Die Kegelerzeugenden durch die Berührungspunkte der Tangenten (z. B. die Gerade BS) bilden die Eigenschattengrenze. Die Berührungspunkte lassen sich leicht konstruieren, und zwar entweder nach I, Abs. 28 oder durch

10. Schatten von Kegel und Zylinder

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Umlegung der »/-Ebene in die Bildebene. Dazu betrachten wir die Hauptachse der Ellipse als Seite des Spurendreiecks, um welche die Umklappung erfolgt. Die Ellipse geht über in den Kreis um A. Der Punkt S0 wandert bei der Umklappung auf der Geraden 80S, die senkrecht zu CD ist, nach SJ, so daß

Bild 31. Schatten eine aufgeschnittenen Zylinders

S$S — 3 • S0S ist. Denn die Verkürzung in dieser Richtung ist bei normierter Axonometrie gleich 1 : 3 . Andererseits müssen sich die Geraden ES0 und ß 0 S " auf der Spurgeraden schneiden. Die Tangente von an den Kreis bestimmt B 0 und durch Zurückdrehen den Punkt B. Schließlich wenden wir uns zur S c h a t t e n k o n s t r u k t i o n eines z y l i n d r i s c h gebogenen B l e c h e s , wie es Bild 31

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I. Axonometrie

zeigt. Würde man bei dieser Anordnung des Gegenstandes Diagonalbeleuchtung wählen, so würde der Schatten der Kante 11' teilweise auf die Kante 3 3' fallen. Dadurch wird der Eindruck des Bildes gestört. Wir wählen den Grundriß V der Lichtrichtung so, daß ein Teil des Schattens von 11' auf die von innen sichtbare Zylinderfläche fällt, und l so, daß der Schatten 10 vom Punkt 1 auf die xy-Ebene außerhalb des Zylinders liegt. Dann trifft der Lichtstrahl durch 1, wie man unmittelbar aus Bild 31 erkennt, die Zylinderfläche im Punkt 1 0 . Den Schatten, den der obere Zylinderrand auf die innere Zylinderfläche wirft, kann man punktweise konstruieren. Durch den oberen Randpunkt einer Mantellinie zeichnet man den Lichtstrahl, durch den Fußpunkt der Mantellinie den Grundriß des Lichtstrahles, bis dieser den Zylindermantel trifft. Damit findet man die Erzeugende, auf der der Schatten liegt (vgl. die Punkte 1,1', 10 oder 5, 5', 50 von Bild 31). Dabei sind einige Punkte besonders hervorzuheben. Im Punkt 2 berührt l den elliptischen Rand; im Schattenpunkt 20 muß der Lichtstrahl 2 20 Tangente der Schattenkurve sein. Im Punkt 4 ist die Tangente der Randellipse parallel zu V. Die Erzeugende 4 4' ist Eigenschattengrenze. Daher ist 4 = 4° ein Punkt der Schattenkurve auf dem Zylinder. Schließlich nennen wir noch Punkt 5, dessen Ellipsendurchmesser parallel zu l' ist. Der Schlagschatten des Körpers auf die zy-Ebene bedarf keiner besonderen Erläuterung. Dagegen sei auf einige geometrische Eigenschaften des Schattens des Zylinderrandes auf die Wand des Zylinders hingewiesen: Die Kurve (10 204) ist ein Stück einer Ellipse. Um das einzusehen, denken wir durch alle Punkte des oberen Zylinderrandes (der zu einem vollen Kreis ergänzt werde) die Lichtstrahlen gelegt. Diese Strahlen sind die Erzeugenden eines schiefen Kreiszylinders (Lichtzylinder). Betrachtet man die Schnittkurve, in der der gegebene Zylinder den Lichtzylinder schneidet, so erkennt man, daß diese Schnittkurve aus zwei Teilen besteht, nämlich dem Randkreis des gegebenen Zylinders und der (ergänzten) Schattenkurve. Bei der Durchdringung liegt der in

11. Schiefe Axonometrie; Satz von Pohlke

45

II, Abs. 12 behandelte Fall vor, in dem die Zylinder zwei gemeinsame Berührungsebenen haben u n d die Schnittkurve in zwei Kegelschnitte zerfällt. Die Kegelschnitte erscheinen auch im axonometrischen Bild als Kegelschnitte. Diese Erkenntnis ist f ü r das Zeichnen der Schattenkurve (10 20 4) wichtig. Kleine Ungenauigkeiten der punktweisen Konstruktion würde m a n leicht erkennen. Außerdem kann man sofort ein P a a r konjugierter Durchmesser angeben. Den Durchmesser 4 MC haben beide Ellipsen gemeinsam. Die Tangente der Randellipse in 4 war parallel zu V. Legt man durch M die Parallele zu V, so erhält man den P u n k t 5 des Zylinderrandes u n d nach der obigen punktweisen Konstruktion den P u n k t 50 des Schattens. D a n n ist M 50 der zu M 4 konjugierte Halbmesser der Schattenellipse, die damit bereits konstruiert werden kann. Zwischen Schattenellipse und Zylinderrand bestehen zwei Affinitäten. Affinitätsachse ist in beiden die Gerade 4 C; Affinitätsrichtung ist bei der ersten die Lichtrichtung, bei der zweiten die Richtung der Zylindererzeugenden.

11. Schiefe Axonometrie; Kavalierperspektive; Satz von Pohlke Der letzte Abschnitt dieses Kapitels sei der schiefen A x o n o m e t r i e gewidmet. Diese wird beherrscht von dem Satz von P o h l k e , der auch der F u n d a m e n t a l s a t z der Axonometrie genannt wird: _ Drei in der B i l d e b e n e von einem P u n k t 0 ausg e h e n d e S t r e c k e n OX; OY; OZ k a n n m a n s t e t s b e t r a c h t e n als die P a r a l l e l p r o j e k t i o n e n v o n drei durch einen P u n k t 0 gehenden W ü r f e l k a n t e n ; dabei ist v o r a u s g e s e t z t , daß h ö c h s t e n s drei der P u n k t e 0 ; X ; Y; Z i n e i n e r G e r a d e n l i e g e n . Wir geben zunächst ein Beispiel zu diesem Satz: Wählt man als Bildebene die Aufrißebene (etwa die i/z-Ebene des Koordinatensystems) und eine beliebige Projektionsrichtung, so erscheinen alle zur yz-Ebene parallelen Strecken in wahrer Größe; .die zur Aufrißebene parallelen Würfelflächen

46

I. Axonometrie

erscheinen daher als Quadrate. Dagegen wird die zur Aufrißebene senkrechte Würfelkante durch 0 je nach der Projektionsrichtung in irgendeine durch 0 gehende Strecke OX projiziert. Diese Strecke kann infolge des Pohlkeschen Satzes beliebig angenommen werden. Man wählt sie im allgemeinen so, daß OX mit der von 0 nach links verlängerten Strecke 0 Y einen Winkel q> von 45° oder 30° bildet (Bild32), und daß das Verkürzungsverhältnis gleich y 2 ist. Eine solche Abbildung heißt K a v a l i e r p e r s p e k t i v e ; sie wurde

Bild 32. Unbestimmtheit der Lage v o n P im Räume

Bild 33. D als P u n k t v o n CO oder

AB

im Band I und II oft zum Entwerfen anschaulicher Skizzen verwendet (s. I, Abs. 6). Der Satz von Pohlke wurde um das Jahr 1853 von K. P o h l k e entdeckt. Den ersten vollständigen Beweis gab H. A. S c h w a r z 1864. Seitdem besch äftigten sich mehrere Geometer mit diesem interessanten Satz und gaben zahlreiche andere Beweise (vgl. etwa [11 ] oder [17]). Hier soll der Schwarzsche Beweis in seinen Hauptzügen wiedergegeben werden. Ist die Parallelprojektion eines Würfels gegeben (Bild 32) und in der Zeichnung ein Punkt P, so kann P aufgefaßt werden als die Projektion eines Punktes P x der vorderen Würfelfläche sowie eines Punktes P2 der hinteren Würfelfläche. Die Gerade P1P2 ist dann ein projizierender Strahl. Diese Überlegung ermöglicht es, bei gegebener beliebiger Parallelprojektion eines Würfels die Richtung der Projektionsstrahlen zu ermitteln.

11. Schiefe Axonometrie; Satz von Pohlke

47

Es sei etwa die Parallelprojektion dreier von einer Ecke ausgehenden Kanter eines Würfels gegeben durch die Strekken OA; OB; OC (Bild 33). Wir ergänzen das Dreieck ABC und verlängern OC bis zum S c h n i t t ! ) mit AB. Soll es nun einen Würfel mit den Kanten OX; OY; OZ geben, dessen Bild bei einer Parallelprojektion dem Gebilde O A B C kongruent ist, so muß D sowohl das Bild eines Punktes T der Geraden YX als auch eines Punktes T der Geraden OZ

sein. Nach dieser Einleitung ist ein Beweis des Pohlkeschen Satzes sehr einfach: Wir zeichnen die drei Kanten eines Würfels OX; OY; OZ im Grund- und Aufriß wie im Bild 34. Wenn es nun gelingt, diese Würfclkanten so auf eine

48

I. Axonometrie

Ebene zu projizieren, daß das Bild dem Gebilde OABC ähnlich wird, so ist damit der Satz von Pohlke bewiesen. Denn durch geeignete Vergrößerung der Würfelkanten kann stets Gleichheit der Bilder herbeigeführt werden. Wir hatten erkannt, daß der Punkt D im Bild 33*) das Bild zweier Punkte war. Diesen Punkten entspricht jetzt ein Punkt T, der die Strecke YX teilt im Verhältnis YT: TX = BD: DA und ein Punkt T, der Z" 0 teilt im Verhältnis OZ" :0 T" = OC: OD . Wir hatten ferner erkannt, daß die beiden Punkte T und T, deren Bilder in D zusammenfallen, auf einem projizierenden Strahl liegen. Im Grund- und Aufriß zeichnen wir also die Gerade TT; ihre Projektionen nennen wir V und l". Die Kanten OX; OY; OZ werden jetzt in der durch l gegebenen Richtung projiziert. Man zeichnet durch die Punkte Y, X, Z die Parallelen zu l. Diese bilden ein dreiseitiges Prisma. Der Satz von Pohlke ist bewiesen, wenn wir zeigen, daß es eine Ebene gibt, die das Prisma in einem zu ABC ähnlichen Dreieck schneidet. Die restliche Aufgabe lautet daher: Gegeben ein dreikantiges Prisma, dieses ist derart mit einer Ebene zum S c h n i t t zu bringen, daß die wahre Gestalt der S c h n i t t f i g u r zu einem gegebenen Dreieck ABC ähnlich ist. Die Aufgabe wird im Grund- und Aufrißverfahren ausgeführt; die Kanten des Prismas seien senkrecht zur Grundrißebene. Wir gehen von der bekannten Konstruktion des ebenen Schnittes eines Prismas aus und suchen solche geometrischen Beziehungen, die die Lösung der Aufgabe ermöglichen. Nach I, Abs. 22 und 23 sei der Schnitt des Prismas mit der durch ihre Spuren ev e2 gegebenen Ebene e konstruiert. Im Bild 35 ist A" B" C der Aufriß, A°Bt>C die wahre Gestalt des Schnittdreiecks, die durch Umlegung um e1 in die Grundrißebene gewonnen ist. Zwischen dem Grundriß A'B'C und der Umlegung *) Der W i n k e l COA R e c h t e r zu sein.

k a n n beliebig g e w ä h l t

werden, b r a u c h t also kein

11. Schiefe Axonometrie; Satz von Pohlke

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A°B°G besteht eine orthogonale Affinität. Die Gerade 5°CS' ist senkrecht zu ev Daher besteht die Proportion: RBa:BaA0:A08° = RB': B' A': A'S'. Über der Strecke S' R zeichnen wir das zu S°GR ähnliche rechtwinklige Dreieck S'C0R. Dann ist das Dreieck A'C0B' wegen der obigen Proportion ähnlich zu A°CB°. Zwischen dem Dreieck A'CB' und dem Dreieck A'C0B' besteht eine Affinität mit der Achse A' B' und der Affinitätsrichtung CC?. Die rechten Winkel S'GR und S'C0R bilden das invariante Rechtwinkelpaar der Affinität (I, Abs. 26).

Co Bild 35. Prismenschnitt, der einem gegebenen Dreieck ähnlich ist

Mit diesen Erkenntnissen läßt sich die Aufgabe leicht lösen. Gegeben sei Grund- und Aufriß des Prismas und ein Dreieck A, B, C. Wir zeichnen ein zu ABC ähnliches Dreieck A' B'C0, das mit dem Grundriß des Prismas die Seite Ä B' gemeinsam hat (Bild 35), und bestimmen in C, C0 das invariante Rechtwinkelpaar der Affinität, die zwischen den Dreiecken A' C° B' und A' G B' besteht. Die Schenkel C R und CS' sind dann Grundriß einer Höhenlinie (Grundrißspur) bzw. Fallinie der gesuchten Schnittebene. Um festzustellen, welcher 4 H a a c k, Darstellende Geometrie III

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II. Grundzüge der ebenen Perspektive

Schenkel Grundrißspur ist, beachten wir, daß bei der senkrechten Projektion eines ebenen Polygons die Winkel, die die Seiten mit der Spur der Ebene bilden, verkleinert werden. In unserem Fall ist