Darstellende Geometrie: Band 2 Körper mit krummen Begrenzungsflächen. Kotierte Projektionen [2., durchges. und erg. Aufl. Reprint 2019] 9783111379333, 9783111020846

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

143

DARSTELLENDE GEOMETRIE ii

KÖRPER MIT KRUMMEN BEGRENZUNGSFLÄCHEN KOTIERTE P R O J E K T I O N E N von

DR. W O L F G A N G

HAACK

o. Professor a n der Technischen Universität Berlin

Zweite, durchgesehene u n d ergänzte Auflage Mit 86 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. yormals G. J . Göschen'sche Veflagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp,

BERLIN

1959

© Copyright 1959 b y W a l t e r de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Str. 13. Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von r h o t o k o p i e n

und

Mikrofilmen, v o m Verlag vorbehalten. — A r c h i v - N r . 11 Ol 43. — Truck v o n Paul Funk, Berlin W 3.">. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

I. Z y l i n d e r , K e g e l , K u g e l 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. II.

Projektionen eines Zylinders in beliebiger Stellung . . . Kavalierperspektive von Kreis und Zylinder Ebener Schnitt durch einen Drehzylinder Kugel: Kavalierperspektive; Schnitt mit Ebene und Gerade Kegel im Grund- und Aufriß; Kavalierperspektive des Kegels Schnitt von Kegel und Gerade Kegelschnitte; Ellipse, Parabel, Hyperbel Ellipse als Kegelschnitt Zeichnerische Durchführung des elliptischen Schnittes von Kegel und Ebene Hyperbolischer Schnitt von Kegel und Ebene Bleistiftspitzer und Schraubenkopf

5 5 8 12 17 22 25 27 31 37 39 44

11. D u r c h d r i n g u n g e n v o n Z y l i n d e r n , K u g e l n , K e g e l n

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12. Kegelschnitte als Durchdringungskurven 13. Kegelanordnung zur Behandlung der Kegelschnitte . . . 14. Durchdringungskonstruktionen nach dem Hilfskugelverfahren 15. Die drei Arten von Durchdringungskurven 16. Verzapfung von Zylinder und Kegel 17. Weitere Durchdringungsbeispiele 18. Zylinder und Kugel

46 52 56 63 67 69 75

I I I . Drehflächen und Schraubenflächen

76

19. Schnitte von Kreisringfläche und Ebene 20. Durchdringung von Kreisring und Zylinder 21. Konischer Stutzen an einem Rohrkrümmer

78 82 85

4

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22. Schraubenlinien 23. Schraubenflächen 24. Schrauben

86 90 96

IV. K o t i e r t e P r o j e k t i o n e n 99 25. Grundbegriffe, Maßstab, Schichtebenen 99 26. Darstellung von Gerade und» Ebene 101 27. Grundaufgaben über Gerade und Ebene 104 28. Böschungskegel 107 29. Böschungen einer Terrasse über einer geneigten Ebene . 110 30. Bestimmung des Erdvolumens 113 31. Topographische Flächen . 116 32. Einfache Konstruktionen über topographische Flächen. . 120 33. Böschungsflächen 124 34. Weg durch gegebenes Gelände 127

Aus dem Inhalt der weiteren Bände: Band I ( S a m m l . G ö s c h e n 142). Die w i c h t i g s t e n D a r stellungsmethoden. Grund- und Aufriß ebenflächiger Körper I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden II. Punkte, Geraden, Ebenen III. Schnittkonstruktionen von Ebenen und Geraden IV. Ebenflächige Körper V. Affinität Band III ( S a m m l . G ö s c h e n 144). A x o n o m e t r i e u n d P e r spektive I. Axonometrie II. Grundzüge der ebenen Perspektive III. Elemente der angewandten Perspektive IV. Perspektive von Kreisen V. Schattenkonstruktion der Perspektive

5 Wie schon in der Einleitung zum I. Bändchen betont wurde, dient die Darstellende Geometrie vornehmlich dem Konstrukteur, um die geplanten Maschinenteile und Bauwerke darzustellen. Dazu ist notwendig, außer den Körpern, die von ebenen Flächenstücken begrenzt sind, auch solche mit krummen Begrenzungsflächen in den Projektionen zu beherrschen. In den ersten drei Kapiteln werden wir uns dieser Aufgabe widmen. Im letzten Kapitel wird das Verfahren der kotierten Projektionen beschrieben. Von Körpern mit krummen Begrenzungsflächen behandeln wir im folgenden Drehzylinder, Drehkegel, Kugel und später Kreisringe und Schraubenflächen, indem wir uns auf die für die technischen Anwendungen wichtigsten Gebilde beschränken. In der Grund- und Aufrißdarstellung zeigt sich bei den k r u m m f l ä c h i g e n K ö r p e r n insofern ein Unterschied gegenüber den ebenflächigen, als der s c h e i n b a r e U m r i ß in den Projektionen nicht nur von Körperkanten gebildet wird. Wir werden darauf in den einzelnen Beispielen besonders hinweisen.

I. Zylinder, Kegel, Kugel 1. Projektionen eines Zylinders in beliebiger Stellang Schon in Band I, Bild 15 und 16 wurde die Grund- und Aufrißprojektion eines Zylinders besprochen, der auf der Grundrißebene senkrecht steht. Wir wollen jetzt einen Drehzylinder in allgemeiner Lage darstellen. Gegeben sei die Zylinderachse s und der Durchmesser d des Zylinders. Wir wollen annehmen, daß es sich bei dem zylindrischen Körper um e i n k u r z e s , an b e i d e n S e i t e n o f f e n e s R o h r s t ü c k handelt, das durch zwei achsennormale Ebenen abgeschnitten ist und daher durch zwei parallele Kreise begrenzt wird. Die Projektionen der Kreismittelpunkte auf der Zylinderachse sind gegeben. Wir beginnen die Zeichnung mit der K o n s t r u k t i o n des G r u n d - und A u f r i s s e s d e r b e i d e n

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I. Zylinder, Kegel, Kugel

R a n d k r e i s e (Bild 1). Da die Ebenen der Kreise zur Zylinderachse senkrecht sind, lassen sich sofort die Hauptlinien h und / der Ebenen angeben. Durch den Grundriß des Mittelpunktes M^ des unteren Kreises ziehen wir h' senkrecht zur Achse s' und /' waagerecht. Im Aufriß läuft / " senkrecht zu s" und h" waagerecht. Bekanntlich (1,9)erscheint/» im

d

Bild 1. Grund- und Aufriß eines zylindrischen Rohrstückes

Grundriß und / im Aufriß unverkürzt. Wir tragen daher von M i aus auf ti und ebenso von M / ' a u f / " nach beiden Seiten den gegebenen Halbmesser des Kreises ab und erhalten in 1', 2' und 3", 4" je zwei Punkte des Kreises im Grundriß und Aufriß. Durch Herauf- und Herunterloten ergeben sich auf h" die Punkte 1", 2" und auf /' die Punkte 3', 4'. Jetzt kennen wir in jeder Projektion vier Punkte der beiden Ellipsen, die den Grund- bzw. Aufriß des Kreises darstellen. Die Strecke 1' 2' ist die große Achse der Grundrißellipse. Das läßt sich leicht einsehen, denn bei senkrechter Projektion werden alle Strecken, die nicht auf der entsprechenden Hauptlinie liegen, verkürzt. Der auf der Hauptlinie gelegene.

1. Projektionen eines Zylinders in beliebiger Stellung

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Durchmesser ist daher der größte Durchmesser, also die große Ellipsenachse. Von der Grundrißellipse ist somit die große Achse (T, 2') und ein Punkt (genauer ein Punktepaar 3',4') bekannt. Die Ellipse läßt sich nach Konstruktion III des Abschnittes I, 28 zeichnen. Im Aufriß liegen die Dinge ebenso; hier ist 3" 4" die große Ellipsenachse und 1", 2" bilden ein Punktepaar. In Bild 1 haben wir im Aufriß durch V U und im Grundriß durch V U den Papierstreifen angedeutet. Dabei ist im Aufriß die Strecke 2" V gleich der gegebenen großen Halbachse, d. h. gleich dem Halbmesser des Zylinders, und 2" U gleich der kleinen Ellipsenhalbachse. Nachdem die Hauptdurchmesser bekannt sind, zeichnet man das der Ellipse umschriebene Rechteck, bestimmt die Mittelpunkte der Scheitelkreise und kann schließlich die Ellipse selbst zeichnen. Entsprechend geht man im Grundriß vor. Die P r o j e k t i o n e n d e s o b e r e n Z y l i n d e r r a n d k r e i s e s um den Mittelpunkt M2 lassen sich sofort durch Parallelverschiebung der Ellipsen gewinnen. Durch die Mittelpunkte M\ und M2" ziehen wir die Parallelen zu den Ellipsenachsen und übertragen die Mittelpunkte der Scheitelkreise; dann können wir auch diese Ellipsen zeichnen. Die gemeinsamen Tangenten an die beiden Ellipsen in Grund- und Aufriß, die parallel zur Projektion der Zylinderachse sind, bestimmen den Umriß der Projektionen des Körpers. Bei der M a r k i e r u n g d e r S i c h t b a r k e i t müssen wir beachten, daß ein offenes Rohrstück darzustellen war. Im Grundriß ist der obere Kreis mit dem Mittelpunkt M2 ganz sichtbar, dagegen wird der untere teils durch den Zylindermantel verdeckt, was wir durch Stricheln angedeutet haben. Man kann durch das Rohr hindurch noch einen Teil des unteren Kreises sehen. Im Aufriß ist der Kreis um i l ^ sichtbar, und der Kreis um M2 wird zum Teil verdeckt. Die Erzeugenden des Zylinders, die den U m r i ß der einen Projektion bilden, wollen wir noch in der anderen Projektion angeben. Die U m r i ß e r z e u g e n d e z" durch 4" muß als Grundriß die Gerade z' durch den Punkt 4' besitzen. Die Umrißerzeugende des Grundrisses durch 2' besitzt als Aufriß die Mantellinie durch 2".

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I. Zylinder, Kegel, Kugel 2. Kavalierperspektive von Kreis und Zylinder

In den technischen Anwendungen der Darstellenden Geometrie wird man oft vor die Aufgabe gestellt, a n s c h a u l i c h e Skizzen von D r e h z y l i n d e r n anzufertigen. Dies kann mittels der Kavalierperspektive geschehen (vgl. auch Bd. III). Meist wird die Achse des Zylinders senkrecht zu einer

Bild 2a. Verkürzungswinkel zur Bestimmung der AchsenlängeD der Ellipse in der Kavalierperspektive des Kreises

Bild 2. Kavalierperspektive eines zur Grundrißebene parallelen und eines zu beiden Projektionsebenen senkrechten Kreises

oder parallel zu beiden Projektionsebenen sein. Die Ebene des Kreises ist dann entweder parallel zur Aufrißebene oder zur Grundrißebene oder senkrecht zur Grund- und Aufrißebene. Wir wollen die K a v a l i e r p e r s p e k t i v e des K r e i s e s in diesen drei ausgezeichneten Lagen behandeln. I. Ist der Kreis p a r a l l e l zur A u f r i ß e b e n e , so ist sein Bild in der Kavalierperspektive wieder ein Kreis vom gleichen Durchmesser, denn alle zur Aufrißebene (Bildebene der Kavalierperspektive) parallelen Figuren erscheinen in der Kavalierperspektive unverzerrt. II. Anders liegen die Verhältnisse bei einem waager e c h t e n Kreis. Ein Quadrat, welches dem Kreis so um-

2. Kavalierperspektive von Kreis und Zylinder

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schrieben ist, daß zwei Seiten zur Aufrißebene parallel sind, erscheint in der Kavalierperspektive als Parallelogramm, dessen spitzer Winkel 45° und dessen Seitenverhältnis 2:1 beträgt. Die große Seite ist gleich der wahren Länge des Kreisdurchmessers. Dieses Parallelogramm ist in Bild 2 gezeichnet. Die Kavalierperspektive ist eine Parallelprojektion. Daher muß das p e r s p e k t i v e Bild des K r e i s e s eine Ellipse sein, die zum Kreis affin ist. Den orthonogalen Durchmessern des Kreises, die zu den Quadratseiten parallel sind, entsprechen ein paar konjugierte Durchmesser der Ellipse. (In Bild 2 gestrichelt gezeichnet.) Die Konstruktion von R y t z , die im Bild 2 angegeben ist, bestimmt die Halbachsen a, b der Ellipse, so daß man diese zeichnen kann. Dabei ist natürlich zu beachten, daß die Ellipse die Seiten des Parallelogramms in den Mittelpunkten berührt. Alle waagerechten Kreise besitzen als kavalierperspektive Bilder Ellipsen, die zu der soeben konstruierten ä h n l i c h sind. Die Ellipsenachsen sind stets parallel zu den soeben konstruierten und ihr Längenverhältnis ist stets gleich dem von a : b. Diese Tatsache erleichtert die Anfertigung anschaulicher Skizzen außerordentlich. Kennt man nämlich das perspektive Bild des Kreismittelpunktes, so kann man sofort die R i c h t u n g e n der Achsen parallel zu a und b zeichnen, wenn man sich den Winkel