Darstellende Geometrie. Band 2 Körper mit krummen Begrenzungsflächen: Kotierte Projektionen [4., durchges. Aufl. Reprint 2019] 9783111378817, 9783111020440

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

143

DARSTELLENDE GEOMETRIE Ii K Ö R P E R MIT KRUMMEN

BEGRENZUNGSFLÄCHEN

KOTIERTE PROJEKTIONEN von DR.WOLFGANG HAACK o. Professor an der Technischen Universität Berlin

Vierte, durchgesehene Auflage Mit 86 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals 6 . J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp. B E R L I N

1965

Die Darstellung umfaßt folgende Bände: Band I: Die wichtigsten Darstellungsmethoden. Grand- und Aufriß ebenflächiger Körper. (Sammlung Göschen 142.) Band II: Körper mit krummen Begrenzungsflächen. Kotierte Projektionen. (Sammlung Göschen 143.) Band III: Axonometrie und Perspektive. (Sammlung Göschen 144.)

© Copyright 1964 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung / J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J . Trübner / Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Fotokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr. 7712645 Satz u n d Druck : Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

I. Z y l i n d e r , K e g e l , K u g e l 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. II.

Projektionen eines Zylinders in beliebiger Stellung . . . Kavalierperspektive von Kreis und Zylinder Ebener Schnitt durch einen Drehzylinder Kugel: Kavalierperspektive; Schnitt mit Ebene und Gerade Kegel im Grund- und Aufriß; Kavalierperspektive des Kegels Schnitt von Kegel und Gerade Kegelschnitte; Ellipse, Parabel, Hyperbel Ellipse als Kegelschnitt Zeichnerische Durchführung des elliptischen Schnittes von Kegel und Ebene Hyperbolischer Schnitt von Kegel und Ebene Bleistiftspitze und Schraubenkopf

5 5 8 12 17 22 25 27 31 37 39 44

11. D u r c h d r i n g u n g e n von Z y l i n d e r n , K u g e l n , K e g e l n

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12. Kegelschnitte als Durchdringungskurven 13. Kegelanordnung zur Behandlung der Kegelschnitte . . . 14. Durchdringungskonstruktionen nach dem Hilfskugelverfahren 15. Die drei Arten von Durchdringungskurven 16. Verzapfung von Zylinder und Kegel 17. Weitere Durchdringungsbeispiele 18. Zylinder und Kugel

46 52 66 63 67 69 75

I I I . D r e h f l ä c h e n und S c h r a u b e n f l ä c h e n

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19. Schnitte von Kreisringfläche und Ebene 20. Durchdringung von Kreisring und Zylinder . . . . . . 21. Konischer Stutzen an einem Rohrkrümmer

78 82 85

4

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22. Schraubenlinien 23. Schraubenflächen 24. Schrauben

86 90 96

IV. Kotierte Projektionen

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25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

Grundbegriffe, Maßstab, Schichtebenen 99 Darstellung von Gerade und Ebene 101 Grundaufgaben über Gerade und Ebene 104 Böschungskegel 107 Böschungen einer Terrasse über einer geneigten Ebene . 110 Bestimmung des Erdvolumens 113 Topographische Flächen 116 Einfache Konstruktionen über topographische Flächen. . 120 Böschungsflächen 124 Weg durch gegebenes Gelände 127

Aus dem Inhalt der weiteren Bände: Band I ( S a m m l . G ö s c h e n 142). D i e w i c h t i g s t e n D a r s t e l l u n g s m e t h o d e n . Gr u n d - u n d Auf r i ß e b e n flächiger Körper I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden II. Punkte, Geraden, Ebenen III. Schnittkonstruktionen von Ebenen und Geraden IV. Ebenflächige Körper V. Affinität Band III ( S a m m l . G ö s c h e n 144). A x o n o m e t r i e u n d P e r spektive I. Axonometrie II. Grundzüge der ebenen Perspektive III. Elemente der angewandten Perspektive IV. Perspektive von Kreisen V. Schattenkonstruktion der Perspektive

5 Wie schon in der Einleitung zum I. Bändchen betont wurde, dient die Darstellende Geometrie vornehmlich dem Konstrukteur, um die geplanten Maschinenteile und Bauwerke darzustellen. Dazu ist notwendig, außer den Körpern, die von ebenen Flächenstücken begrenzt sind, auch solche mit krummen Begrenzungsflächen in den Projektionen zu beherrschen. In den ersten drei Kapiteln werden wir uns dieser Aufgabe widmen. Im letzten Kapitel wird das Verfahren der kotierten Projektionen beschrieben. Von Körpern mit krummen Begrenzungsflächen behandeln wir im folgenden Drehzylinder, Drehkegel, Kugel und später Kreisringe und Schraubenflächen, indem wir uns auf die für die technischen Anwendungen wichtigsten Gebilde beschränken. In der Grund- und Aufrißdarstellung zeigt sich bei den k r u m m f l ä c h i g e n K ö r p e r n insofern ein Unterschied gegenüber den ebenflächigen, als der s c h e i n bare U m r i ß in den Projektionen nicht nur von Körperkanten gebildet wird. Wir werden darauf in den einzelnen Beispielen besonders hinweisen.

I. Zylinder, Kegel, Kugel 1. Projektionen eines Zylinders in beliebiger Stellung Schon in Band I, Bild 15 und 16 wurde die Grund- und Aufrißprojektion eines Zylinders besprochen, der auf der Grundrißebene senkrecht steht. Wir wollen jetzt einen Drehzylinder in allgemeiner Lage darstellen. Gegeben sei die Zylinderachse s und der Durchmesser d des Zylinders. Wir wollen annehmen, daß es sich bei dem zylindrischen Körper um ein k u r z e s , an beiden S e i t e n offenes R o h r s t ü c k handelt, das durch zwei achsennormale Ebenen abgeschnitten ist und daher durch zwei parallele Kreise begrenzt wird. Die Projektionen der Kreismittelpunkte auf der Zylinderachse sind gegeben. Wir beginnen die Zeichnung mit der K o n s t r u k t i o n des Grund- und Aufrisses der beiden

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I. Zylinder, Kegel, Kugel

R a n d k r e i s e (Bild 1). Da die Ebenen der Kreise zur Zylinderachse senkrecht sind, lassen sich sofort die Hauptlinien h und / der Ebenen angeben. Durch den Grundriß des Mittelpunktes Mt' des unteren Kreises ziehen wir h' senkrecht zur Achse s' und /' waagerecht. Im Aufriß läuft / " senkrecht zu s" und h" waagerecht. Bekanntlich (1,9) erscheinth im N

d

Bild 1. Grund- und Aufriß eines zylindrischen Rohrstückes

Grundriß und / im Aufriß unverkürzt. Wir tragen daher von Mi aus auf ¥ und ebenso von M/'auf / " nach beiden Seiten den gegebenen Halbmesser des Kreises ab und erhalten in T, 2' und 3", 4" je zwei Punkte des Kreises im Grundriß und Aufriß. Durch Herauf- und Herunterloten ergeben sich auf h" die Punkte 1", 2" und auf /' die Punkte 3', 4'. Jetzt kennen wir in jeder Projektion vier Punkte der beiden Ellipsen, die den Grund- bzw. Aufriß des Kreises darstellen. Die Strecke 1' 2' ist die große Achse der Grundrißellipse. Das läßt sich leicht einsehen, denn bei senkrechter Projektion werden alle Strecken, die nicht auf der entsprechenden Hauptlinie liegen, verkürzt. Der auf der Hauptlinie gelegene

1. Projektionen eines Zylinders in beliebiger Stellung

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Durchmesser ist daher der größte Durchmesser, also die große Ellipsenachse. Von der Grundrißellipse ist somit die große Achse (T, 2') und ein Punkt (genauer ein Punktepaar 3',4') bekannt. Die Ellipse läßt sich nach Konstruktion III des Abschnittes I, 28 zeichnen. Im Aufriß liegen die Dinge ebenso; hier ist 3" 4" die große Ellipsenachse und I " , 2" bilden ein Punktepaar. In Bild 1 haben wir im Aufriß durch V U und im Grundriß durch V U den Papierstreifen angedeutet. Dabei ist im Aufriß die Strecke 2" V gleich der gegebenen großen Halbachse, d. h. gleich dem Halbmesser des Zylinders, und 2" U gleich der kleinen Ellipsenhalbachse. Nachdem die Hauptdurchmesser bekannt sind, zeichnet man das der Ellipse umschriebene Rechteck, bestimmt die Mittelpunkte der Scheitelkreise und kann schließlich die Ellipse selbst zeichnen. Entsprechend geht man im Grundriß vor. Die P r o j e k t i o n e n des o b e r e n Z y l i n d e r r a n d k r e i s e s um den Mittelpunkt M 2 lassen sich sofort durch Parallelverschiebung der Ellipsen gewinnen. Durch die Mittelpunkte M\ und M 2 " ziehen wir die Parallelen zu den Ellipsenachsen und übertragen die Mittelpunkte der Scheitelkreise; dann können wir auch diese Ellipsen zeichnen. Die gemeinsamen Tangenten an die beiden Ellipsen in Grund- und Aufriß, die parallel zur Projektion der Zylinderachse sind, bestimmen den Umriß der Projektionen des Körpers. Bei der M a r k i e r u n g der S i c h t b a r k e i t müssen wir beachten, daß ein offenes Rohrstück darzustellen war. Im Grundriß ist der obere Kreis mit dem Mittelpunkt M 2 ganz sichtbar, dagegen wird der untere zum Teil durch den Zylindermantel verdeckt, was wir durch Stricheln angedeutet haben. Man kann durch das Rohr hindurch noch einen Teil des unteren Kreises sehen. Im Aufriß ist der Kreis um M x sichtbar, und der Kreis um M2 wird zum Teil verdeckt. Die Erzeugenden des Zylinders, die den U m r i ß der einen Projektion bilden, wollen wir noch in der anderen Projektion angeben. Die U m r i ß e r z e u g e n d e z" durch 4" muß als Grundriß die Gerade z' durch den Punkt 4' besitzen. Die Umrißerzeugende des Grundrisses durch 2' besitzt als Aufriß die Mantellinie durch 2".

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I. Zylinder, Kegel, Kugel

2. Kavalierperspektive von Kreis und Zylinder In den technischen Anwendungen der Darstellenden Geometrie wird man oft vor die Aufgabe gestellt, a n s c h a u l i c h e Skizzen von D r e h z y l i n d e r n anzufertigen. Dies kann mittels der Kavalierperspektive geschehen (vgl. auch Bd. III). Meist wird die Achse des Zylinders senkrecht zu einer

Bild 2a. Verkürzungswinkel zur Bestimmung der AchsenlängeD der Ellipse in der Kavalierperspektive des Kreises

Bild 2. Kavalierperspektive eines zur Grundrißebene parallelen und eines zu beiden Projektionsebenen senkrechten Kreises

oder parallel zu beiden Projektionsebenen sein. Die Ebene des Kreises ist dann entweder parallel zur Aufrißebene oder zur Grundrißebene oder senkrecht zur Grund- und Aufrißebene. Wir wollen die K a v a l i e r p e r s p e k t i v e des Kreises in diesen drei ausgezeichneten Lagen behandeln. I. Ist der Kreis p a r a l l e l zur A u f r i ß e b e n e , so ist sein Bild in der Kavalierperspektive wieder ein Kreis vom gleichen Durchmesser, denn alle zur Aufrißebene (Bildebene der Kavalierperspektive) parallelen Figuren erscheinen in der Kavalierperspektive unverzerrt. II. Anders liegen die Verhältnisse bei einem waager e c h t e n Kreis. Ein Quadrat, welches dem Kreis so um-

2. Kavalierperspektive von Kreis und Zylinder

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schrieben ist, daß zwei Seiten zur Aufrißebene parallel sind, erscheint in der Kavalierperspektive als Parallelogramm, dessen spitzer Winkel 45° und dessen Seitenverhältnis 2:1 beträgt. Die große Seite ist gleich der wahren Länge des Kreisdurchmessers. Dieses Parallelogramm ist in Bild 2 gezeichnet. Die Kavalierperspektive ist eine Parallelprojektion. Daher muß das p e r s p e k t i v e B i l d d e s K r e i s e s eine Ellipse sein, die zum Kreis affin ist. Den orthonogalen Durchmessern des Kreises, die zu den Quadratseiten parallel sind, entsprechen konjugierte Durchmesser der Ellipse. (In Bild 2 gestrichelt gezeichnet.) Die Konstruktion von R y t z , die im Bild 2 angegeben ist, bestimmt die Halbachsen a, b der Ellipse, so daß man diese zeichnen kann. Dabei ist natürlich zu beachten, daß die Ellipse die Seiten des Parallelogramms in den Mittelpunkten berührt. Alle waagerechten Kreise besitzen als kavalierperspektive Bilder Ellipsen, die zu der soeben konstruierten ä h n l i c h sind. Die Ellipsenachsen sind stets parallel zu den gerade konstruierten und ihr Längenverhältnis ist stets gleich dem von a : b. Diese Tatsache erleichtert die Anfertigung anschaulicher Skizzen außerordentlich. Kennt man nämlich das perspektive Bild des Kreismittelpunktes, so kann man sofort die R i c h t u n g e n d e r A c h s e n parallel zu a und b zeichnen, wenn man sich den Winkel cp von a mit der »-Achse für alle vorkommenden Fälle merkt. Auch die L ä n g e n d e r E l l i p s e n a c h s e n lassen sich leicht aus einer einfachen Hilfszeichnung entnehmen, die man sich für alle Fälle aufhebt (Bild 2 a). Mit dem Radius k des Kreises, der Bild 2 entnommen wird, beschreiben wir einen Kreisbogen; auf diesem tragen wir die große Achse a und die kleine Achse b der Ellipse ab; die beiden Endpunkte verbinden wir mit dem Kreismittelpunkt 8. Die so entstehenden Winkel heißen Verkürzungswinkel. Will man die Kavalierperspektive eines waagerechten Kreises vom Radius r zeichnen, so beschreibt man um S den Kreis mit r. Die Sehnen, die von den drei Leitstrahlen aus diesem Kreis ausgeschnitten werden, geben die Achsenlängen der Ellipse.

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I. Zylinder, Kegel, Kugel

III. Ein K r e i s , dessen E b e n e s e n k r e c h t zum G r u n d u n d A u f r i ß i s t , erscheint in der Kavalierperspektive als Ellipse mit den gleichen Achsenlängen wie ein waagerechter Kreis vom selben Radius. Wir zeichnen zunächst das Parallelogramm als perspektives Bild des dem Kreis umschriebenen Quadrats (Bild 2). Dabei wählen wir den Radius des Kreises gleich dem des waagerechten Kreises, dessen Kavalierperspektive wir soeben in Bild 2 konstruiert haben. Das Parallelogramm des vertikalen Kreises ist kongruent dem des waagerechten Kreises; daher müssen auch die Ellipsen kongruent sein. Die große Ellipsenachse schließt mit der vertikalen Richtung den gleichen Winkel

m) liegt S' (3) im Innern des Kreises und hat keine reellen Tangenten.

Bild 78. Geraden gegebenen Gefälles in der Ebene 31

Ebenso ist es in der zweiten Aufgabe: Durch den Punkt P(10) der Ebene 21 sind die beiden Geraden der Ebene von dem Gefälle — zu zeichnen. Auch hier m muß das Intervall m der Geraden größer sein als das Intervall?; der Ebene. Denn die Gerade stärksten Gefälles einer Ebene ist eine Fallinie, deren Intervall gleich i ist. In Bild 78 ist das Gefälle der Ebene mit 1:1, also i = 1, und das der Geraden mit 4:5, also m = 1,25 angenommen. Durch P (10) legen wir den Böschungskegel des Intervalles m = 1,25. Seine Höhenlinie 8 ist der Kreis um P' mit dem Radius 2 m = 2,5. Er schneidet die Höhenlinie 8 der Ebene in

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IV. Kotierte Projektionen

A' und B'. Dann sind a' = P'Ä und V = P'B' die Projektionen der beiden Geraden der Ebene mit dem Gefälle 4: 5. Die Schichtlinien der Ebene bestimmen auf a' und V den Gefällemaßstab.

29. Böschungen einer Terrasse über einer geneigten Ebene Das wichtigste A n w e n d u n g s g e b i e t der k o t i e r t e n P r o j e k t i o n e n sind die E r d b a u k o n s t r u k t i o n e n . Alle Bauten, die im Gelände ausgeführt werden, verlangen gewisse Planierungen\und Abböschungen. Diese müssen vor Beginn des Baues in Konstruktionszeichnungen festgelegt werden. Dabei nimmt man an, daß die Bezugsebene waagrecht ist und mit einem Stück des Meeresspiegels, der als Nullniveau der Landesvermessung zugrunde liegt (vgl. Abs. 31), zusammenfällt. Wir wollen in einem Beispiel die Anwendung der Grundaufgaben auf die Konstruktionen des Erdbaues erläutern. A u f e i n e m e b e n e n H a n g d e s Gef ä l l e s 1: 5 s o l l e i n e w a a g e r e c h t e T e r r a s s e a n g e l e g t w e r d e n . Die Terrasse bilde ein Rechteck mit den Seitenlängen 80 und 60 m. Die Planierung der Terrasse geschieht teils durch Abtragen von Erdreich aus dem Gelände, dem Aushub, teils durch Aufschütten von Erdmassen, dem Auftrag. Man wird es meist so einzurichten versuchen, daß die durch Aushub gewonnenen Erdmassen denen entsprechen, die zum Auftrag nötig sind. Der Neigungswinkel, unter dem die Böschungen ausgeführt werden, hängt von der Beschaffenheit des Bodens ab. Im allgemeinen kann man den Aushub steiler abböschen als den Auftrag. Wir wollen folgende Annahme für unsere Aufgabe machen. Der ebene Hang des Geländes hat das Gefälle 1 : 5 ; der Aushub wird mit dem Gefälle 2 : 3 und der Auftrag mit 1 : 2 abgeböscht. Die Terrasse soll in Höhe 300 angelegt werden. In Bild 79 zeichnen wir zuerst den Maßstab, anschließend den Schichtenplan des ebenen Hanges; dabei wollen wir als Dicke der Schichten 5 m wählen. Den Grundriß des Rechtecks zeichnen wir nach den gegebenen Abmessungen so, daß die Höhenlinie 300 ungefähr die Rechteckfläche halbiert. Wegen

29. Böschungen einer Terrasse über einer geneigten Ebene

Hl

der flacheren Auftragsböschung wird dabei etwas mehr Material zum Auftrag gebraucht als der Aushub liefert. Die Schnittgerade der Ebene des Rechtecks mit dem Gelände heißt die Anschnittlmie des Erdbauwerkes; sie trennt die Teile des Aushubs von denen des Auftrages.

Bild 79. Böschungen einer Terrasse Ober einem ebenen Hang des Gefälles 1:6

Wir beginnen mit den B ö s c h u n g e n des A u s h u b e s und legen durch die Seiten R Q und Q T die entsprechende Ebene vom Gefälle 2 :3. Senkrecht zu R' Q' zeichnen wir den Gefällemaßstab mit dem Intervall 1,5. Der Punkt 300 dieses Gefällemaßstabes liegt auf R'Q'. Der Punkt 305 hat davon den Abstand 7,5 m, der Punkt 310 den Abstand 15 m usw. Die Höhenlinien der Böschungsebene sind die Par-

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IV. Kotierte Projektionen

allelen zu R'Q' durch die Punkte 3 0 5 , 3 1 0 , . . . des Maßstabes. Die Schnittpunkte der Höhenlinien der Böschungsebene mit den gleichzahligen Höhenlinien des Geländes bestimmen die Schnittgerade sv Ebenso verfahren wir mit der Böschungsebene durch Q T. Ihre Schnittgerade s 2 mit dem Gelände trifft die Rechteckseite Q'T' auf der Höhenlinie 300. Die Geraden s 1 und sa schneiden sich in Q. Die Strecke Q'Q' ist die Projektion der Schnittgeraden der beiden Böschungsebenen; sie ist der Ort der Schnittpunkte der entsprechenden Höhenlinien. Da die beiden Böschungsebenen gleiche Neigung haben, muß die Gerade Q'Q' den "Winkel des Rechtecks bei Q' halbieren. Diese Tatsache dient oft zur Vereinfachung der Konstruktion. So liegt zum Beispiel ein kleines Stück der Seite RS des Rechteckes im Aushub. Durch dieses Stück ist die Böschungsebene mit dem Gefälle 2 : 3 zu legen. Das Stück dieser Böschungsebene ist aber so klein, daß es genügt, wenn man ihre Schnittgerade mit dem Gelände angibt. Dazu zeichnen wir durch R' die Halbierende des rechten Winkels bis zum Schnitt mit s\ und verbinden den Schnittpunkt mit dem Anschnittpunkt der Seite R'S'. Damit ist die Konstruktion des Aushubs vollendet. Die K o n s t r u k t i o n des A u f t r a g e s wird zunächst in der gleichen Weise durchgeführt mit dem einzigen Unterschied, daß hier die Böschungen das Gefälle 1: 2 und daher das Intervall i = 2 haben. Bei der Aufschüttung des Auftrages bei S werden die Erdmassen keine Kante, sondern einen Böschungskegel bilden. Es empfiehlt sich, die Auftragskonstruktion mit dem Böschungskegel vom Gefälle 1: 2 durch den Punkt 8 zu beginnen. Die Schichtlinien sind konzentrische Kreise im Abstand 10 m. Die Böschungsebenen durch RS und S T berühren den Kegel längs der Erzeugenden^ und t2. Der Böschungskegel schneidet die Geländeebene in einer Ellipse. Von dieser kennen wir die Punkte auf tx,