Darstellende Geometrie. Band 1 Die wichtigsten Darstellungsmethoden: Grund- und Aufriß ebenflächiger Körper [Reprint 2019 ed.] 9783111378756, 9783111020389

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

142

Darstellende Geometrie i

Die wichtigsten Darstellungsmethoden Grund-und Aufriß ebenflächiger Körper Von

Dr. Wolfgang Haack

o. Prof. an der Technischen Universität Berlin

Mit 117 Abbildungen

W A L T E R

D B

G R U Y T E R

&

CO.

vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Beimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp.

Berlin

1954

Alle

Beeilte,

einschl.

der

Rechte

der

Herstellung

von P h o t o k o p i e n und M i k r o f i l m e n , von der Verlagshandlung

vorbehalten

Archiv-Nr.

110142

S a t z v o n W a l t e r d e G r u y t e r & Co. Druckvon

J. H e r p e r .

P r i n t e d in

Berlin

Germany

S O 36

Inhaltsverzeichnis Einleitung I. Die w i c h t i g s t e n D a r s t e l l u n g s m e t h o d e n

5 . . . .

1. 2. 3. 4. 5.

Zentralprojektion Parallelprojektion ' Senkrechte Parallelprojektion Grund- und'Aufriß einfacher Körper Anwendungsgebiete der verschiedenen Darstellungsmethoden. Kavalierperspektive 6. Kavalierperspektive eines Rohrstückes 7. Axonometrische Darstellungen II. P u n k t e , G e r a d e n , E b e n e n 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Die vier Quadranten, Medianebenen Gerade Linieli; Strecken Monge sehe Drehkonstruktion Umlegung des Stützdreiecks Spurendarstellung der Ebene Geraden und Punkte einer Ebene, die durch die Spuren gegeben ist 14. Ebene, gegeben durch drei Punkte 15. Wahre Gestalt einer ebenen Figur III. S c h n i t t k o n s t r u k t i o n e n v o n E b e n e n u n d Geraden 16. 17. 18. 19. 20.

Schnittpunkt von Ebene und Gerade Schnittgerade zweier Ebenen Lot auf eine Ebene Winkel zweier Ebenen Winkel von Gerade und Ebene; kürzester Abstand zweier Geraden 21. Einführung einer neuen Projektionsebene

1«

10 11 14 17 20 23 27 28 30 30 33 37 41 44 46 52 67 61 61 66 68 70 72 74

4

Inhaltsverzeichnis

IV. E b e n f l ä c h i g e Körper 22. Schnitte durch einen Balken 23. Ebener Schnitt durch Pyramide; Abwicklung . . . 24. Durchdringung zweier Balken 25. Durchdringung von Pyramide und Prisma V. A f f i n i t ä t 26. Affinität; invariantes Rechtwinkelpaar 27. Ellipse als affines Bild des Kreises 28. Ellipsenkonstruktionen

78 78 82 86 88 96 96 99 102

Einleitung Die Versuche des Menschen, Gegenstände seiner Umgebung, also räumliche Objekte, durch ebene oder flächenhafte Darstellungen wiederzugeben, sind so alt wie überhaupt die Kultur. Oft sind Steinzeichnungen die einzigen Zeugen kultureller Betätigung früherer Volksstämme. Sind diese primitiven Zeichnungen zunächst noch wenig entwickelte Ausdrücke eines ästhetisch-künstlerischen Schaffensdranges, aus dem im Laufe der Jahrtausende die Malerei entstanden ist, so findet sich auch schon bald die Zeichnung als praktisches oder technisches Hilfsmittel. Mit der fortschreitenden Entwicklung der Baukunst entstand das Bedürfnis und allmählich die Notwendigkeit, die Einzelteile des Bauwerkes, z. B. die einzelnen Bausteine, im voraus durch Zeichnungen wiederzugeben. So wird vom Tempelbau zu Jerusalem, den König Salomo etwa 1000 Jahre v. Chr. durch die Tyrier ausführen ließ, im Buch der Könige des alten Testaments (Kap. 6, V. 7) berichtet: „Und da das Haus gesetzet ward, waren die Steine zuvor ganz zugerichtet, daß man keinen Hammer noch Beil noch irgendein Eisenzeug im Bauen hörete." Wir können daraus schließen, daß die Steine schon am Steinbruch formgerecht geschnitten wurden, was nur bei Vorhandensein irgendeiner Art technischer Zeichnung möglich ist. Während hier nur ein Bericht vorliegt, der auf das Vorhandensein von Bauplänen schließen läßt, ist ein einzelnes Dokument in dem m e s o p a t a m i s c h e n B a u p l a n überliefert, dessen Alter auf etwa 4000 Jahre geschätzt wird; es wurde von den Berliner Museen in Bagdad erworben. Nach J. S t u r soll dieser Plan einen einwandfrei kotierten Grundriß im Maßstab 1 : 360 darstellen. Die zeichnerische Darstellung räumlicher Objekte entsteht schon von alters her aus zwei verschiedenen Beweggründen, einmal als Selbstzweck k ü n s t l e r i s c h e n S c h a f f e n s , zum anderen als H i l f s m i t t e l des B a u m e i s t e r s . Der Maler

6

Einleitung

wird (Jen räumlichen Gegenstand so darzustellen versuchen daß der Betrachter des Bildes unmittelbar einen Eindruck gewinnt, der die a n s c h a u l i c h plastische Vorstellung des Gegenstandes hervorruft. Das Bild des Gegenstandes soll möglichst den optischen Eindruck des räumlichen Objektes erwecken. Jedoch wird der wahre Künstler einen Gegenstand seiner Umgebung nicht einfach „abmalen", sondern in dem Kunstwerk sein subjektives Vorstellungsbild des Gegenstandes wiedergeben und dem Betrachter des Bildwerkes übermitteln. Dagegen verfolgt die t e c h n i s c h e Z e i c h n u n g andere Ziele. Durch sie will der Baumeister oder Konstrukteur dem Handwerker die verschiedenen Maße des Bauteiles mitteilen, nach denen das Teilstück hergestellt werden kann. Es kommt daher bei der technischen Zeichnung nicht darauf an, daß sie bei dem Betrachter u n m i t t e l b a r einen anschaulichen Eindruck des Gegenstandes erweckt, sondern daß sie in einfacher Weise ein A b l e s e n der v e r s c h i e d e n e n Maße des O b j e k t e s gestattet. Der Fachmann, der die technische Zeichnung lesen kann, wird auch eine räumliche Vorstellung des Objektes gewinnen; aber diese Vorstellung entsteht nicht unmittelbar aus dem optischen Eindruck der Zeichnung, sondern aus einer gewissen Gedankenarbeit, die mit dem Studium der Zeichnung verbunden ist. Für den Baumeister ist die technische Zeichnung schon von alters her zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel geworden. Er verwendet aber auch die a n s c h a u l i c h e Zeichnung. Das Bauwerk existiert zunächst nur in der Vorstellung des Meisters; um anderen eine Vorstellung des geplanten Bauwerkes zu übermitteln, braucht er eine Zeichnung, die möglichst denselben Eindruck bei dem Betrachter hervorruft, den das Bauwerk nach seiner Fertigstellung ausüben wird. Wir können sagen, beim Betrachten der Zeichnung soll das Bauwerk in der Phantasie des Beobachters entstehen. Wann in der Geschichte des Bauwesens zuerst Konstruktionszeichnungen oder anschauliche Zeichnungen auftreten, läßt sich nicht genau feststellen. Die Überlieferungen sind

Einleitung

7

recht dürftig. Über die M a l e r e i des g r i e c h i s c h - r ö m i schen A l t e r t u m s geben einige Fresken Auskunft, die bei den Ausgrabungen in Pompeji und Herculaneum gefunden wurden. Sonst ist uns an Zeichnungen, die das Räumliche des Objektes wiederzugeben versuchen, so gut wie nichts überliefert. Dagegen, sind Berichte über Malerei sowie vereinzelt auch über technische Zeichnungen erhalten geblieben. Einige Richtlinien über das, was wir heute Perspektive nennen, hat E u k l i d (300 v. Chr.) in seiner Optik zusammengefaßt. Später berichtet Marcus Y i t r u v i u s Pollio, Baumeister Julius Casars, in dem uns überlieferten Werk über Bauwesen, daß zur Ausführung eines Bauwerkes folgende Baurisse (species) erforderlich sind: „der Grundriß (ichnographia),

der A u f r i ß (orthographia) u n d die Aussicht

(scenogra-

phia). Der Grundriß ist eine vermittels Zirkel und Lineal nach verjüngtem Maßstabe (modice) verfertigte Zeichnung, welche die Einrichtung der Grundfläche eines Gebäudes zeigt. Der Aufriß aber ist die Abbildung der errichteten Front nach verjüngtem Maßstabe und nach allen Verhältnissen des auszuführenden Gebäudes. Die Aussicht endlich ist der Front und der abgehenden Seiten schattierte Zeichnung fadumbratio) so, daß alle Linien in einem Augenpunkte (centrum) zusammentreffen." Dieses Zitat aus der Rodeschen Übersetzung von V i t r u v i u s ' Baukunst unterrichtet uns lediglich von der Tatsache, daß solche Zeichnungen zur Ausführung eines Baues hergestellt, ohne jedoch anzudeuten, nach welchen Regeln und Prinzipien die Zeichnungen angefertigt wurden. Der mesopotamische Grundriß und der Grundriß des Klosters St. Gallen aus dem 9. Jahrhundert sind die bekanntesten uns erhaltenen Pläne. Es liegt keineswegs in unserer Absicht, hier einen vollständigen Ü b e r b l i c k ü b e r die h i s t o r i s c h e E n t w i c k l u n g des anschaulichen bzw. technischen Zeichnungswesens zu geben. Wir wollen darauf hinweisen, daß die Zeichnung Hilfsmittel des Ingenieurs ist, seitdem das Bauwesen die primitivsten Anfänge verlassen hat. Noch viele Jahrhunderte sollten jedoch vergehen, bis aus den handwerklichen technischen Zeichnungen die D a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e ent-

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Einleitung

stand. Wir müssen annehmen, daß begabte Meister gewisse Verfahren und Regeln zur Anfertigung der Zeichnung erfanden und sie als Berufsgeheimnis bewahrten oder ihren Schülern überlieferten. Später waren sie in den Zünften und Innungen verbreitet, aber auch gehütet. Es handelte sich dabei keineswegs um systematische Methoden, die geometrisch, also mathematisch begründet waren, sondern vielmehr um Regeln, die sich aus Praxis und Erfahrung ergeben hatten. Nach der Erfindung des Buchdrucks erschienen seit dem 16. Jahrhundert Veröffentlichungen, die über die Konstruktionen insbesondere des Steinschnitts berichten, ohne allerdings den Versuch zu machen, die Richtigkeit der Konstruktion zu begründen. Auch das Werk Albrecht Dürers (1471—1528), Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit in Linien, Ebenen und ganzen Körpern 15251), ist von exakter Methode und strenger Begründung noch weit entfernt. Aber es zeugt von tiefem geometrischem Verständnis und einer hochentwickelten Vorstellungsgabe. Der zweite Teil des Dürerschen Buches, dessen Lektüre auch heute noch reizvoll und fesselnd ist, behandelt im Zw«itafelverfahren die Kegelschnitte und gibt eine Einführung in die Perspektive. Wichtige Fortschritte in Richtung geometrischer Begründung verdankt man Girard Desargues (1593—1662), dessen Schüler Bosse ein Buch über Steinschnitt veröffentlichte. Es entstand ein langer Streit zwischen Desargues, als geistigem Vater des Bosseschen Werkes, und den Praktikern, welche „die geometrische Auffassung zugunsten der handwerklichen, wenn auch nachweislich nicht selten irrigen Übung bekämpften". Als Vater der Darstellenden Geometrie pflegt man Gaspard Monge (1746—1818) zu bezeichnen. An der 1795 unter wesentlicher Mitwirkung von Monge gegründeten École polytechnique in Paris las Monge seit 1795 seine „Leçons de géométrie descriptive". Sie wurden als Nachschriften in Bd. I—IV des Journal des écoles normales veröffentlicht. Die in Jahrhunderten entwickelten handwerk' ) Herausgegeben München 1908.

von A. P e l t z e r

mit Vorwort von

Hans

Thoma,

Einleitung

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liehen Verfahren des technischen Zeichnens erscheinen hier in systematischer Methodik und einwandfreier Begründung als Zweig der Geometrie. Seitdem behandelt die Darstellende Geometrie die verschiedenen Methoden, die eine Darstellung räumlicher Gebilde durch ebene Abbildungen ermöglichen. Sie entwickelt Projektions verfahren, die als Grundlage technischer Zeichnungen ein müheloses Ablesen der Längenmaße der Gegenstände gestatten, aber auch solche, die unmittelbar ein anschauliches Bild des Gegenstandes vermitteln. Es ist nicht Aufgabe der Darstellenden Geometrie, eine Einführung in das T e c h n i s c h e Z e i c h n e n zu geben, sondern sie ist die geometrische Grundlage für das Technische Zeichnen. Die Darstellende Geometrie lehrt Abbildungsverfahren, die räumliche Objekte durch ebene Zeichnungen wiedergeben, und zwar in einer Art, die dem jeweiligen Zweck angemessen ist; sie lehrt ferner die Lösung räumlich geometrischer Aufgaben durch ebene Konstruktionen. Die technische Zeichnung dagegen ist eine Anwendung der Darstellenden Geometrie auf die Bedürfnisse des Ingenieurs. Hier sind neben den rein geometrischen Aufgaben zahlreiche technische Dinge von Bedeutung, wie zum Beispiel eine einheitliche Bezeichnungsweise oder schematische, abgekürzte Wiedergabe allgemein üblicher Einzelteile (etwa Schrauben) und schließlich Angaben über das Material des Gegenstandes und anderes mehr. Wenn sich die Darstellende Geometrie selbst nicht mit technischen Dingen befaßt, so empfiehlt sich doch eingedenk des historischen Werdeganges, beim Aufbau der Darstellenden Geometrie stets ihre A n w e n d u n g in der t e c h n i s c h e n Z e i c h n u n g im Auge zu behalten und vornehmlich diejenigen geometrischen Zusammenhänge zu behandeln, die der Ingenieur braucht oder gebrauchen kann. Der einleitende historische Überblick zeigt uns, daß Darstellende Geometrie unter v e r s c h i e d e n e n G e s i c h t s p u n k t e n behandelt werden kann, von denen wir drei hervorheben. Als Zweig w i s s e n s c h a f t l i c h e r E r k e n n t -

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I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden

nis beschäftigt sich die Darstellende Geometrie mit den mathematisch-geometrischen Gesetzen und Relationen der Abbildungen mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten auf die Ebene unter Verwendung zeichnerischer Hilfsmittel ohne Rücksicht auf irgendwelche Anwendungszwecke. Als Zweig der a n g e w a n d t e n M a t h e m a t i k kann sie entweder die A n s c h a u l i c h k e i t oder die M a ß ü b e r m i t t l u n g des dargestellten Körpers in den Vordergrund stellen. Dadurch ergibt sich eine natürliche Gliederung des Stoffes. Band I und I I werden vornehmlich die Darstellungsmethoden behandeln, die die Maße der dargestellten Körper wiedergeben, während im dritten Band die unmittelbare Anschaulichkeit der Zeichnung hervorgehoben wird. In der Ableitung und Begründung der verschiedenen Konstruktionsmethoden liegt der Zusammenhang mit den rein-mathematischen Ergebnissen.

I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden Die Grundelemente des Raumes sind Punkte, Geraden und Ebenen. Ihre gegenseitigen Beziehungen werden durch die Axiome der Geometrie festgelegt, auf die sich das Gebäude der Geometrie aufbaut. Unter einer A b b i l d u n g des R a u m e s auf eine E b e n e n versteht man meist eine Vorschrift, die jedem Punkt P des Raumes (bis auf gewisse Ausnahmen) einen bestimmten Punkt P der Ebene n zuordnet. Der Punkt P heißt das Bild des Punktes P und die Ebene n die Bildebene. In der Mathematik gibt es noch allgemeinere Abbildungen, bei denen etwa jedem Punkt des Raumes eine Gerade oder auch ein Kreis der Ebene zugeordnet wird; doch wollen wir uns auf die Punktzuordnungen beschränken. Selbst diese sind nach der obigen Definition noch so allgemeiner Natur, daß ihr Studium weit über den Rahmen einer Darstellenden Geometrie hinausgeht. Durch die praktischen Anwendungen ist die zusätzliche Forderung bedingt, d a ß bei der A b b i l d u n g j e d e r G e r a d e n des R a u m e s , bis auf unvermeidliche Ausnahmen, s t e t s eine G e r a d e

1. Zentralprojektion

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in der B i l d e b e n e z u g e o r d n e t wird. Diese Forderung schränkt die Mannigfaltigkeit der Abbildungen derart ein, daß sie sich, wie man in der Mathematik zeigt, auf die Zentral- und Parallelprojektionen zurückführen lassen. In diesem Kapitel wollen wir zunächst das Prinzip und einige Grundsätze dieser Abbildungsverfahren beschreiben. 1. Zentralprojektion Im Raum sei fest gegeben die Bildebene n, die wir uns hier zunächst waagerecht vorstellen wollen, und ein fester Punkt 0, den wir das Projektionszentrum oder auch das Auge (oculus) nennen (Bild 1). Das Lot von 0 auf die Bildebene n trifft diese im Hauptpunkt H. Ist P ein beliebiger, von 0 00 P'P !

Bild 1. Zentralprojektion des Punktes P vom Zentrum O auf die Ebene n

verschiedener Punkt des Raumes, so soll ihm als Bildpunkt der Schnittpunkt P der Geraden P 0 mit der Bildebene n zugeordnet werden. Man sagt: Der Punkt P ist die P r o j e k t i o n d e s P u n k t e s P v o m Z e n t r u m O a u f die B i l d ebene n. Die Gerade 0 P ist der Projektionsstrahl des Punktes P. Die Abbildung heißt die Zentralprojektion des Raumes auf die Ebene n mit dem Zentrum 0. Sie steht in enger Beziehung zum S e h v o r g a n g , bei dem die Punkte des (sichtbaren) Raumes auf die Netzhaut des Auges abgebildet werden. Der optische Mittelpunkt der Augenlinse ist Projektionszentrum. Umgekehrt geht die Bezeichnung des Zentrums als „Auge" oder 0 = oculus auf diesen Zusammenhang zurück. Schon daraus kann man schließen, daß unter gewissen Voraussetzungen die Zentralprojektion als Grundlage für die Herstellung anschaulicher Bilder dienen kann. Sie wird eingehend erst im Band III behandelt. Hier erwähnen wir nur einige grundsätzliche Fragen.

12

I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden .

B e s i t z t j e d e r P u n k t des R a u m e s bei der Z e n t r a l p r o j e k t i o n einen eindeutig b e s t i m m t e n B i l d p u n k t ? Das ist sicher nicht der Fall. Denn der Punkt 0 ist ebenfalls ein P u n k t des Raumes; f ü r ihn versagt unser Projektionsverfahren. Aber es gibt noch andere Punkte, f ü r die wir kein Bild angeben können. Ist nämlich Q ein Raumpunkt, dessen Yerbindungsgerade 0 Q parallel zur Bildebene n ist, so gibt es keinen Bildpunkt Q; denn die Gerade 0 Q schneidet n in keinem, im Endlichen gelegenen Punkt. Hier liegen die Dinge aber anders als beim P u n k t 0 . Der Projektionsstrahl 0 Q ist eindeutig bestimmt, während der P u n k t 0

Bild 2. Nicht Jeder Punkt des Baumes besitzt einen eigentlichen Bildpunkt, z. B. Punkt Q

keinen bestimmten Projektionsstrahl besitzt. Zur Erläuterung betrachten wir eine Anzahl Punkte Px, P 2 , P3 ...Q, die auf einer vertikalen Geraden durch Q liegen und sich allmählich dem Punkte Q nähern (Bild 2). Die Bilder P j , P 2 . . . der Punkte P 1 ; P 2 . . . wandern in der Bildebene auf einer Geraden immer weiter nach rechts. Je mehr sich P dem P u n k t Q nähert, desto weiter ab liegt der Bildpunkt P . Strebt P auf der betrachteten Geraden gegen Q, so bewegt sich sein Bildpunkt P auf der Bildgeraden ins Unendliche. Die Bildgerade ist parallel zum Projektionsstrahl 0 Q. Man kann dem P u n k t Q die zum Strahl 0 Q parallele Richtung der Bildebene zuordnen. Es ist in vielen Fällen nützlich, f ü r den Ausdruck „zwei Geraden sind parallel" die "Worte „zwei Geraden schneiden sich im Unendlichen oder in einem wmigentlichen Punkt" einzuführen. Anstatt zu sagen „dem

1. Zentralprojektion

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Punkt Q ordnen wir die zu Q 0 parallele Richtung der Bildebene zu", können wir uns einfacher ausdrücken durch: „Das Bild von Q ist der uneigentliche Punkt Q der Bildebene in Richtung 0 Q". Mit diesem Ausdruck verbinden wir anschaulich die Vorstellung einer Richtung der Bildebene. Indem wir aber die uneigentlichen Punkte zu den eigentlichen Punkten des Raumes hinzufügen, können wir formal die Ausnahmestellung der Punkte in der Ebene, die durch 0 parallel zur Bildebene geht, beseitigen. Dadurch läßt sich die Zentralprojektion für alle Punkte des Raumes mit Ausnahme des Zentrums 0 eindeutig machen. üI

Bild 3. Zentralprojektion einer Otet&den

Jedoch ist gerade diese Schwierigkeit beim Erreichen der E i n d e u t i g k e i t der Z e n t r a l p r o j e k t i o n der Anlaß dazu, die Zentralprojektion an letzter Stelle zu behandeln. Wir erwähnen sie hier als die allgemeinste Abbildung, von der die folgenden nur Sonderfälle darstellen. Wegen der Allgemeinheit der Zentralprojektion mag sie zur Erklärung einiger, allen Projektionen gemeinsamen Begriffe dienen. Jeder Punkt der Bildebene ist zugleich das B i l d v o n u n e n d l i c h v i e l e n P u n k t e n des R a u m e s . Gehen wir zum Beispiel vom Punkt P des Bildes 1 aus. Jeder Punkt des Raumes, der auf der Geraden P O liegt, besitzt P als Bildpunkt; man sagt dafür auch: Alle Punkte des Raumes, die auf dem gleichen P r o j e k t i o n s s t r a h l liegen, haben denselben Bildpunkt. Ist g eine G e r a d e des R a u m e s , die die Bildebenen im Punkt ^ schneiden möge, so ist ihr Bild im allgemeinen eine Gerade g, die durch 8 geht. Die Projektionsstrahlen, die 0

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I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden

mit den Punkten von g verbinden, erzeugen eine Ebene. Sie heißt die p r o j i z i e r e n d e E b e n e der Geraden g. Diese projizierende Ebene schneidet n in einer Geraden, der Bildgeraden g von g. Im Bild 3 sind einige Projektionsstrahlen der projizierenden Ebene gezeichnet. Eine besondere Erwähnung verdient der Punkt S, indem g die Bildebene schneidet. S ist Schnittpunkt von g und g und fällt mit seinem Bildpunkt zusammen. Man nennt 8 den Spurpunkt der Geraden g. Aber nicht alle Geraden des Raumes erscheinen, im Bild wieder als Geraden. Eine A u s n a h m e bilden die durch 0 gehenden Geraden, die wir oben Projektionsstrahlen nannten. Da alle Punkte eines Projektionsstrahles den gleichen Bildpunkt haben, entartet das Bild dieser Geraden in einen Punkt. 2. Parallelprojektion In vieler Hinsicht einfacher als die Zentralprojektion ist die Parallelprojektion. Hier ist die Bildebene, die wir wieder 7t nennen, und eine feste Projektionsrichtung r vorgegeben, die nicht zu n parallel sein darf. Das Bild P eines PunktesP des Raumes entsteht als Schnittpunkt des durch P gehenden,

Bild 4. Parallelprojektion eines Punktes P in der Projektionsrichtung r auf die Bildebene

zur Richtung r parallelen Projektionsstrahles mit der Bildebene. In Bild 4 ist die Projektionsrichtung r durch einen Pfeil angedeutet. Man kann sich leicht vorstellen, wie die P a r a l l e l p r o j e k t i o n als G r e n z f a l l aus der Z e n t r a l p r o j e k t i o n hervorgeht. Läßt man nämlich das Zentrum 0 der Z entralpro j ektion in der durch r gegebenen Richtung immer weiter von der Bildebene abrücken, so ergibt sich als Grenzf all, in dem 0 über alle Grenzen entfernt ist („unendlich weit"

2. Parallelprojektion

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entfernt ist), die Parallelprojektion mit der Projektionsrichtung r. Daraus folgt aber, daß die im vorigen Abschnitt erläuterten Eigenschaften der Zentralprojektion, soweit sie nicht durch die endliche Lage des Pro jektionszentrums bedingt sind, auch bei der Parallelprojektion auftreten. Jeder Punkt des Raumes hat einen eindeutig bestimmten Bildpunkt. Der Sonderfall eines uneigentlichen Bildpunktes kann bei der Parallelprojektion nicht auftreten. Alle Punkte eines Projektionsstrahles besitzen den gleichen Bildpunkt. Jede Gerade des Raumes, die nicht zur Projektionsrichtung parallel ist,

Betrachten wir zwei zueinander p a r a l l e l e G e r a d e n des Raumes, g1 und g2, und projizieren sie mit der durch r gegebenen Projektionsrichtung auf die Ebene n (Bild 5). Die Projektionsstrahlen durch g1 und g2 bilden zwei zueinander parallele Ebenen, die die Bildebene n in den beiden zueinander parallelen Bildgeraden g1 und g2 schneiden. Es gilt daher der wichtige Satz: Parallele Geraden des Raumes gehen bei Parallelprojektion in parallele Geraden der Bildebene über. Dieser Satz gilt n i c h t für Zentralprojektion, denn bei diesen gehen alle projizierenden Ebenen durch das Zentrum 0 , so daß die Projektionsebenen paralleler Geraden nicht zueinander parallel sind, wenn sie nicht zusammenfallen. Aus dem Satz über die Erhaltung der Parallelität können wir schließen, daß bei den Parallelprojektionen nicht nur die Elemente Punkt und Gerade in gleichartige Elemente der Ebene übergeführt werden, sondern daß darüber hinaus noch gewisse Eigenschaften der räumlichen Gebilde erhalten bleiben. Diese werden wir später genauer zu untersuchen haben. Wir wollen hier außer der Parallelität noch eine andere

16

I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden

Eigenschaft anführen. Auf einer Geraden g, die nicht zur Projektionsrichtung parallel ist, seien drei Punkte P, Q, R gegeben. Durch Parallelprojektion mögen sie in die Punkte P, Q, R der Bildgeraden g in n übergeführt werden (Bild 6).

Bild 6. Erhaltung des Teilverhältnisses in einer Oeraden bei Parallelprojektionen

Die Geraden g und g schneiden sich im Spurpunkt S. Aus Bild6 erkennt man sofort, daß die Dreiecke S R R; SQQ und S P P einander ähnlich sind. Daher verhalten sich die Seitenlängen eines Dreiecks wie diejenigen des anderen. Es gilt also die Proportion oder:

8R:SQ:SP PQ-.QR

= S R:S =

Q:S P

PQ-.QR.

Diesen Sachverhalt können wir auch so aussprechen: Der Punkt Q teilt die Strecke P R in demselben Verhältnis wie der Bildpunkt Q die Bildstrecke P R. Daraus folgt der Satz: Die durch eine Anzahl Punkte einer Geraden, die Icein Pro-

Bild 7. Figuren, die zur Bildebene parallel sind, haben kongruente Bilder

jektionsstrahl ist, gebildeten Streckenverhältnisse bleiben bei Parallelprojektionen erhalten. Diese beiden Sätze sind von grundlegender Bedeutung für die weitere Untersuchung sowie für die Anwendungen der Parallelprojektionen. Die Erhaltung des Streckenverhältnisses bei Parallelprojektionen gibt uns keine Auskunft

3. Senkrechte Parallelprojektion

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darüber, wie sich die Länge einer einzelnen Strecke bei der Projektion verhält. Einen ersten Anhaltspunkt gibt der folgende Satz: Jede zur Bildebene parallele Strecke erscheint in der Parallelprojektion in gleicher Länge und in gleicher •Richtung (Bild 7). Den Beweis dürfen wir wohl als selbstverständlich übergehen. Als Verallgemeinerung folgt der Satz: Die Parallelprojektion einer ebenen Figur, deren Ebene parallel zur Bildebene n ist, ist eine kongruente Figur der Bildebene. Die V e r z e r r u n g , das ist das Verhältnis der Länge einer Strecke zur Länge ihrer Parallelprojektion, hängt von der Kichtung der Strecke und von der Projektionsrichtung ab. 3. Senkrechte Parallelprojektion Die L ä n g e n v e r z e r r u n g wird besonders einfach bei der senkrechten Parallelprojektion. Darunter versteht man diejenige Parallelprojektion, deren Projektionsrichtung senkrecht zur Bildebene n ist. Für sie gelten selbstverständlich die im vorigen Abschnitt aufgestellten Sätze. Bild 8 veranschaulicht die senkrechte Projektion einer Strecke A B. B

Bild 8. Senkrechte Projektion einer Strecke

Wir haben die Strecke verlängert bis zu ihrem Schnittpunkt 8 mit der Bildebene, dem S p u r p u n k t der G e r a d e n A B. Dann ist B S B ein rechtwinkliges Dreieck, in dem SB = SB • cosa ist, wenn a den Neigungswinkel der Geraden gegen die Bildebene bedeutet. Ebenso ist AB = AB - cos ol. Um das einzusehen, zieht man durch A eine Parallele zu A B, die den Projektionsstrahl B B in Bx trifft. Dann ist ABX=ÄB und ABX = AB • cos a. 2

Haack

Darstellende Geometrie I

18

I. Die wichtigsten Darstellungsm^thoden

Aus der obigen Gleichung erkennen wir, daß die senkrechte Projektion einer Strecke niemals länger sein kann, als die Strecke selbst. Ferner hängt die Längenverzerrung nur von der Neigung der Strecke gegen die Bildebene ab. Diese einfachen Beziehungen, die zwischen einer Strecke im R a u m u n d ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene bestehen, f ü h r e n dazu, die senkrechte Projektion immer dann anzuwenden, wenn m a n aus der Zeichnung die natürlichen Maße des gezeichneten Gegenstandes entnehmen will. Alle t e c h n i s c h e n Z e i c h n u n g e n w e r d e n in senkrechter Parallelprojektion ausgeführt. Die technische Zeichnung f ü h r t zu einer n e u e n P r o b l e m s t e l l u n g . H a t t e n wir bisher festgestellt, daß jeder P u n k t und jeder Körper des Raumes genau ein Bild besitzt, so wenden wir uns jetzt zur u m g e k e h r t e n F r a g e , nämlich a u s g e h e n d v o n d e r Z e i c h n u n g , also der Projektion, d e n r ä u m l i c h e n G e g e n s t a n d zu b e s t i m m e n . Man erkennt sofort, daß das nicht möglich ist. Wenn im Bild 8 lediglich die Strecke Ä B der E b e n e n gegeben ist, so ist es unmöglich, allein daraus Länge u n d Richtung der Strecke A B im R ä u m e zu bestimmen. Die Projektion einer Figur reicht nicht aus, u m die Figur selbst zu rekonstruieren. U m umkehrbare Eindeutigkeit zu erreichen, muß m a n die Zeichnung in geeigneter Weise ergänzen. Hierfür sind z w e i V e r f a h r e n gebräuchlich. Das eine besteht darin, daß man z w e i s e n k r e c h t e P r o j e k t i o n e n des räumlichen Objektes herstellt. Das andere erreicht die Eindeutigkeit dadurch, daß m a n an die Bildpunkte Zahlen, sogenannte K o t e n , anschreibt, die angeben, wieweit der zugehörige R a u m p u n k t von der Bildebene entfernt ist. Welches Verfahren vorzuziehen ist, richtet sich nach dem darzustellenden Objekt und dem Zweck der Zeichnung. Wenden wir uns zum ersten Verfahren, das den Namen Zweitafelverfahren oder Grund- und Aufrißverfahren f ü h r t . Die waagerechte Ebene TZV die Grundrißebene, möge als erste Projektionsebene dienen. Die senkrechte Projektion eines räumlighen Objekts auf ^ heißt der Grundriß. Die Projektion des Punktes A auf 7tx ist der Grundriß von A und wird mit A'

3. Senkrechte Parallelprojektion

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bezeichnet (Bild 9). Gleichzeitig führen wir eine zweite Projektion auf die vertikale ProjektionsebeneTC2, die Aufrißebene, aus und erhalten den Aufriß des Objektes. Die senkrechte Projektion von A auf n2 ist der Aufriß von A und wird mit A" bezeichnet. Die Schnittgerade a der Ebenen undyr 2 nennt man die Projektionsachse. Nun ist es aber nicht ratsam, in zwei zueinander senkrechten Ebenen zu zeichnen. Deshalb denkt man die Ebene TIx um die Achse a gedreht, bis sie mit TT2 zusammenfällt. Bei dieser Drehung kommt der

Grundriß A' senkrecht unter A" zu liegen (Bild 9). Das Ergebnis des Vorganges zeigt Bild 10. Natürlich kann man auch die Aufrißebene in die Grundrißebene umlegen und die Grundrißebene als Zeichenebene deuten. In der Ebene der Zeichnung erscheinen zwei Bildpunkte des Punktes A, deren Verbindungslinie, die sogenannte Ordnungslinie, senkrecht zur Projektionsachse steht. Aus dieser Zeichnung läßt sich die Lage des Punktes A im Räume ablesen. A liegt senkrecht über A' in einer Höhe, die durch die Entfernung des Punktes A" von der Achse a angegeben ist. Im Zweitafelverfahren werden die Punkte des Raumes dargestellt durch geordnete Punktepaare der Zeichenebene.

20

I. Die wichtigsten Darstellunggmethoden

Das Zweitafelverfahren ist die Grundlage der technischen Zeichnung. Seine Behandlung wird den größten Teil des vorliegenden Büchleins einnehmen. Bei dieser ersten Übersicht beschränken wir uns auf die Erklärung des Prinzips und ergänzen sie durch einige Beispiele, die die Darstellung einfacher Körper zeigen. Unsere Aufgabe wird später eine zweifache sein, nämlich zunächst eine rein d a r s t e l l e n d e , bei der es sich lediglich darum handelt, das Bild, also die Grund- und Aufriß-Darstellung, eines gegebenen Körpers zu bestimmen, und zum anderen eine k o n s t r u k t i v e , die uns lehrt, wie räumliche Konstruktionsaufgaben in der Zeichnungsebene ausgeführt werden können. 4. Grund- und Aufriß einfacher Körper Als einfachstes Beispiel wollen wir die P r o j e k t i o n e n eines W ü r f e l s bestimmen, der so auf der Grundrißebene steht, daß zwei Wände zur Aufrißebene parallel sind. Bild 11

Bild 11. Veranschaulichung des Grund- und Aufrisses eines Würfels

Bild 12. Grund- und Aufriß des Würfels

zeigt eine Skizze der Anordnung. Dabei wollen wir schon hier verabreden, daß alle Kanten eines Körpers, die durch andere Körperteile verdeckt sind, punktiert oder gestrichelt gezeichnet werden sollen. Man erkennt sofort, daß der Grundriß des Würfels durch das Quadrat 1234 und der Aufriß durch das Quadrat 1 4 8 5 begrenzt wird. Der Grundriß T des Punktes 7 fällt mit dem Punkt 3 zusammen.

4. Grund- und Aufriß einfacher Körper

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Der Grundriß des Punktes 3 ist der Punkt 3 selbst, da er von vornherein in der Grundrißebene liegt. Wir lassen daher bei diesem Punkt den Akzent, der die Projektion andeutet, fort. Entsprechendes gilt für die anderen Ecken des Würfels. Im Aufriß fällt 7 " zusammen mit 8. Nach Umlegung der Grundrißebene um die Projektionsachse in die Aufrißebene erhalten wir die Z w e i t a f e l p r o j e k t i o n des W ü r f e l s (Bild 12). Es besteht kein Zweifel, daß der unmittelbare optische Eindruck dem Betrachter des Bildes 12 keineswegs die Vorstellung eines Würfels vermittelt. Das Zweitafelverfahren erhebt keinen Anspruch auf Anschaulichkeit. Dagegen ist es für jeden, der die Voraussetzungen kennt, ein Leichtes, aus dem Bild 12 den Würfel maßgetreu zu rekonstruieren.

Bild 13. Veranschaulichung der Zweitafelprojektion einer Pyramide

Bild 14. Grund- und Aufriß der Pyramide

Als z w e i t e s B e i s p i e l wählen wir eine v i e r s e i t i g e P y r a m i d e , die in der Grundrißebene steht. Bild 13 zeigt die Anordnung. Der Grundriß der Pyramide ist das Quadrat 12 34 mit den beiden Diagonalen, die die Grundrisse der Pyramidenkanten darstellen. Ihr Schnittpunkt ist der Grundriß T' der Pyramidenspitze T. Der Aufriß wird begrenzt von dem Dreieck 1"= 2", T", 3" = 4". Durch Umlegung der Grundrißebene in die Ebene entsteht das

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I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden

Bild 14, welches uns die Zweitafelprojektion der Pyramide zeigt. Die Ordnungslinien, die Grund- und Aufriß eines Punktes verbinden und zur Projektionsachse senkrecht sind, deutet man oft durch dünne gestrichelte (punktierte) Linien an. Betrachtet man Bild 14, so gewinnt man leichter den Eindruck, daß durch die Zeichnung eine Pyramide dargestellt wird, als dies im Bild 12 für den Würfel der Fall war. Aber auch jetzt kann von Anschaulichkeit der Darstellung keine / T Z

4"

Bild 15. Veranschaulichung der Zweitafelprojektion eines Zylinders

Rede sein. Aus Bild 14 kann man die Länge der Pyramidenkanten nicht unmittelbar entnehmen. Die Kanten sind gegen beide Projektionsebenen geneigt, so daß die Grundriß- und Aufrißprojektion verkürzt wird. Aber es ist auch hier nicht schwer, auf Grund der Zeichnung 14 den Körper zu rekonstruieren, denn man kennt die Grundfläche und Höhe der Pyramide. Als d r i t t e s und l e t z t e s Beispiel betrachten wir einen auf der Grundrißebene stehenden Drehzylinder. Den Mantel eines Drehzylinders kann man erzeugen, indem man etwa die Gerade 1 2 (Bild 15) um die Achse des Zylinders rotieren läßt. Die Strecke P Q in Bild 15 zeigt eine Stellung

5. Anwendungsgebiete der verschiedenen Darstellungsmethoden 23 bei dieser Rotation. Der Zylindermantel enthält eine unendliche Schar von Geraden, E r z e u g e n d e oder M a n t e l l i n i e n , die von P Q bei der Rotation durchlaufen werden. Jede Erzeugende ist senkrecht zur Grundrißebene; ihr Grundriß ist somit ein Punkt. Z. B.: der Grundriß der Mantellinie P Q ist der Punkt P. Daher fallen die Grundrisse aller Punkte des Zylindermantels in den Grundkreis des Zylinders. Der Grundriß des Zylinders ist ein Kreis. Der Aufriß jeder Mantellinie ist eine vertikale Uerade der Aufrißebene. Würde man alle Mantellinien in die Aufrißebene projizieren, so würden die Projektionen das Innere des Rechtecks 1" 2" 3" 4" doppelt dicht überdecken. In der Zeichnung gibt man jedoch nur die Projektion der beiden äußersten Mantellinien 1 2 und 3 4 an, die zusammen mit der Projektion der Deck- und Bodenfläche den Bild 16. Umriß des Körfers in der Aufrißprojektion bilden. Die pro- Grund- und Aufriß des Zylinders jizierenden Ebenen der U m r i ß m a n t e l l i n i e n berühren den Zylinder. Nach Umlegung der Grundrißebene um die Projektionsachse entsteht die Zweitafelprojektion des Zylinders, wie sie Bild 16 zeigt. 5. Anwendungsgebiete der verschiedenen Darstellungsmethoden Kavalierperspektive Die im letzten Abschnitt behandelten Beispiele zur Zweitafelprojektion einiger Körper haben gezeigt, daß das Zweitafelverfahren besonders geeignet ist, wenn es gilt, aus der Zeichnung den dargestellten Körper zu rekonstruieren oder auf Grund der Zeichnung den Körper zu fertigen. Gerade das

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I- Die wichtigsten Darstellungsmethoden

ist aber die Aufgabe der technischen Zeichnung, die sich deshalb fast ausschließlich des Zweitafelverfahrens bedient. Andererseits führten die Beispiele zu wenig anschaulichen Bildern. Die H e r s t e l l u n g a n s c h a u l i c h e r B i l d e r ist das Anwendungsgebiet der Zentralprojektion, aber mit gewissen Einschränkungen auch der schiefen oder senkrechten Parallelprojektion. Die Möglichkeit, 9iit Hilfe derZentralprojektion anschauliche Bilder räumlicher Objekte zu gewinnen, ist jedem aus der P h o t o g r a p h i e bekannt. Ein photographischer Apparat mit gut zeichnendem Objektiv gibt eine Zentralprojektion des Objektes, dabei ist der optische Mittelpunkt des Objektivs das Projektionszentrum und die Schichtseite der photographischen Platte die Bildebene (Näheres siehe Bd. III). Für k l e i n e r e O b j e k t e kann auch die Parallelprojektion anschauliche Bilder ergeben. Sie ist wohl das verbreitetste Hilfsmittel zum EntBild 17. Skizzen. Zur Erläuterung der Kava- werfen a n s c h a u l i c h e r Herperspektive als schiefer Alle unsere Abbildungen, die die irftr&iicipiojektion.

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