Ingenieur-Mathematik in Beispielen 2: Analytische Geometrie - Differentialrechnung [4., verbesserte Auflage. Reprint 2018] 9783486783926, 9783486221954

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IngenieurMathematik in Beispielen 2 Analytische Geometrie Differentialrechnung von Dr. Helmut Wörle und Hans-Joachim Rumpf Professoren an der Fachhochschule München 4., verbesserte Auflage 310 vollständig durchgerechnete Beispiele mit 252 Bildern

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1992

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Wörle, Helmut:

Ingenieur-Mathematik in Beispielen / von Helmut Wörle u. Hans-Joachim Rumpf. - München ; Wien : Oldenbourg NE: Rumpf, Hans-Joachim: Bd. 2. Analytische Geometrie, Differentialrechnung. - 4., verb. Aufl. - 1992 ISBN 3-486-22195-7

© 1992 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk außerhalb lässig und filmungen

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Gesamtherstellung: Rieder, Schrobenhausen

ISBN 3-486-22195-7

INHALT

VORWORT

6

1.

ANALYTISCHE GEOMETRIE

1.1 1.2 1.3 1.4

Gerade und Ebene Kreis und Kugel Kegelschnitte in Parallellage im R 2 Kegelschnitte in beliebiger Lage im R 2

2.

DIFFERENTIALRECHNUNG

104

2.1 2.2 2. 3 2.4 2. 5

Explizite algebraische Funktionen Explizite transzendente Funktionen Implizit definierte Funktionen Funktionen in Parameterdarstellung Unendliche Reihen

104 154 205 234 266

3.

ANHANG

290

3.1 Mathematische Zeichen 3.2 Sachverzeichnis

7 7 33 57 88

290 295

VORWORT ZUR V I E R T E N AUFLAGE

Die Beherrschung mathematischer Grundkenntnisse und die Fähigkeit diese anwendungsbezogen einzusetzen, ist f ü r jeden Studenten einer technischen Fachrichtung, wie auch für den im Beruf stehenden Ingenieur unerläßlich. Als Hilfestellung für den Lernenden und als Nachschlagemöglichkeit für den Praktiker kann hierbei eine Sammlung einschlägiger, sich über ein weit gestreutes Anwendungsgebiet e r s t r e c k e n d e r Beispiele mit ausführlicher Angabe der Lösungswege von erheblichem Nutzen sein und eine große Arbeitserleichterung bieten. Diese Überlegungen waren Veranlassung für die Bereitstellung der dreibändigen "Ingenieurmathematik in Beispielen", von der hiermit die vierte Auflage des zweiten Bandes vorliegt. Da die getroffene Auswahl der Aufgaben und die gewählte Darstellungsweise, wie uns immer wieder bestätigt wird, den Belangen der angesprochenen Zielgruppe entspricht, waren auch bei der Bearbeitung dieser Auflage, abgesehen von einigen Umstellungen in der Bezeichnungsweise, nur wenige Verbesserungen erforderlich. In Band I werden die Stoffgebiete lineare und nichtlineare Algebra, spezielle transzendente Funktionen und komplexe Zahlen, in Band III Integralrechnung und gewöhnliche Differentialgleichungen behandelt. Das ebenfalls im R. Oldenbourg erscheinende "Taschenbuch der Mathematik", derzeit in 10. Auflage, enthält alle theoretischen Grundlagen und Formeln für s ä m t liche drei Bände

München, im April 1992

H. Wörle, H. Rumpf

1. ANALYTISCHE GEOMETRIE

1.1 Gerade und Ebene 1.

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die drei Punkte

Pj

-

P 2 (3;3) und Pg ^ -

;

j als Eckpunkte eines Dreiecks.

Wie groß sind der Umfang U und der Flächeninhalt A des Dreiecks bei Koordinatenangaben in cm? Mit Verwendung der Formel

.pp Tp> ,

- I i 2l ~

x

/ x2 " U

= y/ (x2 - Xj)2

nl

+ (y2

i\

-

y

i

)

2

für die Entfernung zweier Punkte P 1 (x 1 ;y 1 ) und P 2 (x 2 ;y2) berechnet sich der Umfang U = PIP2

=

+

V s

V97 + i Li

£t

+

V i

zu

2

* (-1 - i ) 2

•

Vl3Ö"+ ~ >/85~« 15,24. Ci

X x 1 2 x3 Der Flächeninhalt kann aus A = — • 1 1 1 y3

S A R R U S erhalten werden :

mit Hilfe der Regel von

8

1. Analytische

1

Geometrie

3

-3

87 8

* T

+

15 4

ü 2

"

A 2

+

Ì. 2

= 10,875, d.h. A = 10,875 cm2

2.

Die Ecken eines Dreiecks ABC sind durch die dimensionierten Orts/ 6\ /-5\ /-2\ vektoren») ? A = 9 lern, ? B = I 2 Ism und = I -4 lern gegeben. Man berechne Umfang U und Flächeninhalt A dieses Dreiecks. Der Ujnfang U = AB + BC + CA ist wegen AB = r j j - r A , BC = r c - r B und CA = r A - t q in der Form U

= |?B "

? Al

+

|?C "

? Bl

IrA "

+

rcl

darstellbar. Für die gegebenen Werte wird U cm

/-11\ =

\

-

7

2/

+

/-63\ \ -6/

V l 2 1 + 49 + 4 + V 9 + 36 + 36 + + ^64 + 169 + 16

= n/hI + V Ü

+ V*249 « 37,97.

Zur Ermittlung des Flächeninhaltes A kann eines der v e k t o r i e l l e n dukte

Pro-

A = y-|ÄB x ÄC| =|--|BC x I a | =Y"|CA " CB| herangezo-

gen werden.

> Wenn nicht anders vermerkt, beziehen sich die Koordinatenangaben immer auf ein kartesisches Koordinatensystem, d.h. auf ein Rechtssystem mit orthogonalen Achsen und gleichen Längeneinheiten auf diesen. Unter Koordinaten und Vektoren werden immer Maßzahlen verstanden; mit Einheiten multiplizierte Koordinaten (Größen) werden als dimensioniert bezeichnet.

1.1 Gerade und

Bei Verwendung von A '-11

-

A B x AC

(?B -

?A)

Ebene

x ( f Q - f^

8

-13

cm

ergibt sich mit i, j, k als

Einheitsvek+

t o r e n in den Richtungen der positiven X, Y, Z Achsen

A. - A cm

2 "

2

i

-11

-

8

? - 7 -13 £ 2 - 4

\ • |28i + 143k - 16? - 56k + 2 6 i - 44?| ¿t

= ~ • |54? - 60? + 87?| = y

3.

\/54 2 + 60 2 + 87 2

59,34.

»

Wo muß der Punkt P auf der X - A c h s e liegen, damit er von den beiden

Punkten A(-2,5; -0,5) und B(-0,5; 3, 5) gleichweit entfernt ist? Mit P(x;0) führt die Forderung A P = BP über I / x + 2,5 \ | 1 / x + 0,5 \ 1 l( 0,5 ) H ( -3,5 )l auf V(x

+ 2,5) 2 + 0,5 2

, , d l e Glexchung

= V ( x + 0,5) 2 + ( - 3 , 5 ) 2

= |BPI oder

m I

Durch Quadrieren ergibt sich

S S } s

5 x + 6,25 + 0,25 = x + 0,25 + 12,25

A

t

» ' . - j

1

\ —

0

P

ü1

und daraus die gesuchte Abszisse von P zu x = 1,5.

4.

P

mbwi 1+rf: :t

in der Grundmenge OR.

*

;: ;

Man ermittle die Koordinaten x und y desjenigen Punktes M, dessen

Abstände

von den Punkten A

^ -1; - | j , B | 3; - M

und C i

groß sind.

3j

gleich

^

Es muß gelten A M = B M = C M , also | A M | = I B M | = I C M | , was mit M(x;y) auf | (

v y -1,5) 1

~2

] / ( x + l ) 2 -t 1 )

x -3 \| _ | / x -3,5^ j y +0,5/1 " I \ y -3

2

+ ( y - 3) 2

oder

•

X

10

1. Analytische

Geometrie

Von den damit festgelegten drei Gleichungen sind nur jeweils zwei voneinander unabhängig und man erhält nach Quadrieren von beispielsweise AM = BM und A M = CM (x + l ) 2 + ( y

-|)

= (x - 3) 2 + ( y

2

c , , « • ( , . 4 ) ' .

und

( „ - I ) ' • ( , - « » .

was sich auf das lineare Gleichungssystem 8x - 4y = 6 9 x + 3 y = 18 vereinfachen läßt. 0 Dessen Lösungsmenge in der Grundmenge R L = | (x;y)| (x;y) = ( f

! f ) j

ist

- woraus M ( f J f

5. Die Strecke mit den Endpunkten P i ( - 5 ; 2,5) und P 2 (2; -1,5) ist in 5 gleiche T e i l e zu zerlegen. Liegt ein Punkt P auf einer durch die Punkte P j und P 2 festgelegten Geraden, so ist das T e i l u n g s v e r h ä l t n i s X , in welchem P die gerichtete Strecke P1P2 teilt, durch P j ^ = X-PP 2 definiert. Sind der Reihe nach r p , r p und ? p die O r t s v e k t o r e n von P j , P 2 und P, so ist 1 2 r

+

P j

Xr

p 2

mit X ^

1 + X

-1.

Für den Teilungspunkt A in der Abbildung ist X=

, womit man 2

1 rA

=

>2,5

+

r

-1.5

1 +

-3,6 1,7

also A(-3,6; 1,7) erhält. EE3T

In gleicher Weise findet man mit * = — , > 3 A

= — und A = 4 der Reihe nach

B(-2,2; 0,9), C(-0,8; 0,1) und D(0,6; -0,7).

1.1 Gerade und Ebene

11

6. Von welchem Punkt D(x D ; y D ; z D ) wird die durch P j ( 3 ; - 4 ; 1) und P2(l,5; -1; 2) festgelegte Strecke P j P 2 in Verbindung mit dem Punkt C | 2; - 2 ; | j h a r m o n i s c h

geteilt?

Mit P 1 C = X C CP2 muß im Falle harmonischer Teilung und X j ) = - 'C sein.

= X D • DP*

Die gegebenen speziellen Werte führen über -1 2

= X

3 Xc = 2 = -XD. Dadurch erhält man ? rPl

^D

+

X

d

?

i

P2

1 + XD

1

-

2

oder D(0; 2; 3).

7. Man ermittle die dimensionierten Koordinaten des Schwerpunktes S und die Längen der Schwerlinien des Dreiecks mit den Eckpunkten A(4; 1) cm, B(2; 5) cm, C ( - l ; 2) cm. r A + r ß + rc Aus r Q =

5 folgt Xg = - cm

8 y s = - cm.

Sind A' , B' , C' der Reihe nach die nicht in die Ecken fallenden Endpunkte der Schwerlinien AA' , B B ' , CC' , so ist

12

1. Analytische

Geometrie

15)cmCC' = | CS = ^

-I5*-

-0,5 -3,5

cm.

j cm.

Damit findet man AA' = IÄA'1 = y V r 7 4 c m ^ 4,30 cm,

5 r— BB1 = - - v 2 c m « 3,54 cm und

CC' = V i 7 cm ®= 4,12 cm.

8.

Von einem Dreieck sind bekannt die Ecken A(-3; 1; 3) und B ( l ; -2; 1)

sowie der Schwerpunkt S

;

1 \ . Wo liegt die dritte Ecke C?

rA + rB + r

Es gilt r„ =

woraus bei Einsetzen der gegebenen Zah-

lenwerte über

+

0,5N 1,5 .1 /

-2

+ r.

v3

und

3,5 \ 5,5

'1,5* rC

=

4>5

"

31

schließlich C(3,5; 5,5;-1)

\ 1,

gefunden wird.

9. Wie lauten die Gleichungen der Geraden, die jeweils durch zwei Ecken des Dreiecks ABC mit A(-2; -1), B(3; 2), C(-2; 6) verlaufen? Die Gleichung einer Geraden durch die Punkte P^ix^; y^) und P2^x2> y2^ X 1 ^ x 2 ^ a n n a u s der Formel y - Yi x

"

X1

=

Y2 - Vi x2

"

X1

entwickelt werden, die nach Beseitigung der Nenner

mit

1.1 Gerade und Ebene

13

auch für x = Xj und X2 = x^ gilt; y 2 " Vi

ist für x 2 # x x die S t e i -

X2 - Xj gung von

So ergibt sich die Gleichung der Geraden durch A und B über

2

+

1

= -3-^-2

3

3

=J

y + 1 x + 2

=

« j 3 1 zu g A B = 3x - 5y + 1 = 0 oder y = - x +

m^ß = — = tan a j liefert den üblicherweise auf 0 < c t j < 180° beschränkten S t e i g u n g s w i n k e l

* 30,96°.

Die Gerade durch B und C hat die Gleichung

y - 2 X

-

o

=

6-2 — ¿t

-

o

4 = -— 0

oder ggj-. s 4 x + 5y - 22 = 0; ihr Steigungswinkel « 2 berechnet sich aus tan a 2 = -0,8 zu a 2 « 1 8 0 ° - 38.66° = 141,34°. Aus (y - y j ) • (x 2 - x^) = (x - Xj) • (y 2 - y j ) folgt für die Gerade durch A und C die Gleichung 0 = (x + 2)-7 oder g A C = x + 2 = 0. Es liegt eine Parallele zur X-Achse mit dem Steigungswinkel a 3 = 90° vor.

10.

Durch den Punkt A ^ - — ; 2 J sind die Parallele g j und die Senkrechte

g 2 zur Geraden g = 2 x - 3 y - 6 gen?

= 0 z u ziehen. Wie lauten ihre Gleichun-

Die Gleichung der Geraden g j hat wegen der geforderten Parallelität mit g die Form 2 x - 3 y - c = 0. Zur Ermittlung von c dient die Tatsache, daß die Koordinaten von A diese Gleichung erfüllen müssen: 2

"(-l)

"3-2-c-O.

Mit dem hieraus gefundenen Wert

Wegen der O r t h o g o n a l i t ä t

der

gesuchten Geraden g 2 bezüglich g mit

14

1. Analytische

Geometrie

2 1 3 der Steigung m = — , ist deren Steigung mo - —• 3 m 2 y yA 2 ^ Damit folgt = — — = - — u n d daraus g 9 h 6 x + 4y - 5 = 0. x - x. 1 2 ^ "

X + —

X

2

11. Gegeben sind die Punkte A(0,5; 2,5), B(0; -3,5), C(6,5; -0,5) undD(8;5) als Eckpunkte eines Vierecks. Unter welchem spitzen Winkel a und in welchem Punkt M schneiden sich die beiden Diagonalen? '1

Gleichung der Geraden AC : y - 2,5 _ -0,5 - 2,5 x - 0,5 ~ 6,5 - 0,5 ' also m A C = ~

;

Gleichung der Geraden BD : y + 3^5 x also m

5 + 3,5

t

8

_ 17 BD - 16

Der S c h n i t t w i n k e l a kann damit aus der für 1 + m ^ ^ • m g j j # 0 gültigen Formel ^ m

tana =

BD " m AC 1 + mAC m BD

—

16

+

=

" 2 '

2

10 T

«3,33333

16

zu a % 73,30 berechnet werden. Die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes M sind das gemeinsame Wertepaar der beiden Geradengleichungen gAC = 2 x + 4 y - l l

= 0

und *BD

S 17x

"

16y

"

56 =

Man findet

X

M = 4-

=f •

12.

Eine Gerade g j ist festgelegt durch den Punkt A(-2; -5; 6) und den Rieh/ 2 \ tungsvektor u j = I 3 I . In welchem Punkt P und unter welchem spitzen Winkel o wird g j von der Geraden g 2 durch B(8; 2; 0) und C(0; 6; 6) geschnitten?

1.1 Gerade und Ebene

15

Mit der Parameterdarstellung r = r ^ + U j • t für eine Gerade durch den Punkt A und dem Richtungsvektor u j findet man für g j die Gleichung

/•2\

r =

-5

+

(

2\

3 I -t A t e R als Parameter.

Die Gleichung von gg durch die Punkte B und C mit den Ortsvektoren rjg und ? q f o l g t unter Verwendung von r = r g + Ug • s mit Ug = TQ - r /8\ /"8\ r = I 2 + I 4 - s A s e E als Parameter. \ 0. / \ 6/

zu

F a l l s ein Schnittpunkt P der beiden Geraden existiert, müssen die zugeordneten P a r a m e t e r w e r t e t = t p und s = Sp die V e k t o r g l e i c h u n g -8

-2

-5

4 I • s erfüllen.

•t =

6

6

Diese ist gleichwertig mit dem System - 2 + 2 t = 8 - 8 s -5 + 3t = 2 + 4 s 6 t = 6s

oder

t + 4s = 5 3t - 4 s = 7 t + 6s = 6 von drei linearen Gleichungen für die skalaren Komponenten. Aus den beiden ersten Gleichungen folgt t p = 3 und s p = i

. Da für

diese Lösungsmenge auch die dritte Gleichung erfüllt ist,

schneiden sich die beiden Geraden.

Es ergibt sich aus r = r ^ + ?

p

=

| -5 j

+ |

3 j -3 =

• t durch Einsetzen j

oder P(4;4;3).

Zur Ermittlung des spitzen Schnittwinkels a der beiden Geraden g j und gg mit den Richtungsvektoren u j und Ug kann die F o r m e l cos o

=

I V

"21 v

Iul|-Iu2|

mit

16

>

1. Analytische

Geometrie

->

Uj • u 2 = U l x . u 2 x + u l y . u 2 y + \i\ z • u 2 z als Skalarprodukt und u sowie = BI ?el |t r ä= g ^e nUlx von + u^ l yund + uu^ l z herangezogen l ^ l werden. ^ " i x + u 2y + u 2z ' 2\ /-8V

E s ergibt sich

cos o =

(-1,

als

sO,24815, was einem Winkel

V l 4 • n/116 a « 75,63° entspricht.

13.

Durch die Endpunkte der drei Vektoren r ^ =

I 4 I ,

=

3,5 2,5

[ 5 I wird ein Dreieck ABC aufgespannt. Wie lauten die Glei\ 3 / chungen derjenigen Geraden g ^ p und g^Q durch A und C, deren Schnittpunkt D das Dreieck zum Parallelogramm ergänzt? Wo liegt der Punkt D? und TQ =

Die gesuchten Geraden sind parallel zu den Dreieckseiten BC bzw. BA. Ihre Gleichungen sind daher SAD = r " ^A "

?„) • t = ? -

1,5 1 2,5

?B)-t = ? -

-2,5 > 1,5

t =W

und 'CD

=

?

-

=

Gleichsetzen führt auf die drei Koordinatengleichungen -4 + 1,5t = - 2 , 5 s - 1 + 2,5t = 1,5s 2 t = s. Die ersten beiden z. B. liefern *D = X>

S

D = 1-

Da diese P a r a m e t e r w e r t e auch die dritte Gleichung erfüllen, schneiden sich g^yj und im Punkt D(2,5;6,5; 4).

1.1 Gerade und Ebene

17

Der Punkt D kann ohne Verwendung der Geradengleichung auch unmittelbar / 5 \ /"2'5\ /2'5\ — etwa aus f ß = den.

14.

+ BA =

I 5 I + \ 3/

I 1,5 V i /

=

I 6,5 gefunden w e r \ 4 /

Gegeben sind die beiden sich im Punkt S schneidenden Geraden

• (i)t=°

undgisf-

0-(-i)-si

mit t, Sj e R als Parametern. Welche Gleichung hat diejenige Gerade g 2 , die in bezug auf g zu g j symmetrisch liegt? - i

—>

Denkt man sich die Richtungsvektoren u, Uj, u 2 von g, g j , g 2 in S angreifend, besteht gemäß der Abbildung die Vektorbeziehung u 2 = u^ + BC = Uj + 2BA = Uj + 2(SA - uj) = 2 SA - u j , woraus wegen SA = ( u ° u j ) ü ° u2

= 2 ( u ° u 1 ) u ° - Uj folgt.

Für die gegebenen speziellen Werte findet man

Damit ergibt sich die Gleichung der gesuchten Spiegelgeraden g 2 zu s 2 mit

15.

Welche Maßzahlen

s 2 e R als P a r a m e t e r .

und e* haben die gerichteten Abstände der

Punkte A(5; -4) und B(l; 2,5) von der Geraden g = -

- -

- 1 = 0?

18

1• Analytische

Geometrie

Die HESSEsche N o r m a l f o r m einer Geraden g s a x + by + c = 0 ist a x + by + c = 0, wobei für c # 0 von den beiden Vorzeichen der Wurzel dasjenige zu nehmen ist, für welches das konstante Glied negativ wird. Setzt man in die linke Seite der HESSEschen N o r m a l f o r m die Koordinaten eines Punktes ein, so ergibt sich die Maßzahl seines gerichteten Abstandes vor der Geraden. Bei der vorliegenden Aufgabe führt dies über 4x - 3y - 12 + \ / 4 2 + 32 e

A = * B =

16.

= 0 auf

4-5 + 3 - 4 - 1 2 " ' s

=

4-1-3-2,5-12 5

4

=

Kfeiiii

' "3'L

Durch den Punkt A(7,5; -1) cm ist eine Gerade g zu legen, die auf

dem Richtungsvektor n = iI

2 \

1 cm senkrecht steht. Wie lautet ihre Glei-

chung und welchen Abstand eg hat der Punkt B(7; 4) cm von g? Für alle Punkte P mit den Ortsvektoren ? der gesuchten Geraden g gilt die Orthogonalitätsbeziehung n • (? - r^) = 0. Somit lautet ihre Gleichung

r - 12 cm Durch Einsetzen von r = r ^ in die linke Seite der zugehörigen HESSEschen '2l

r - 12 cm

Normalform

findet man eg =

14 cm = — -cm s« 3,88 cm. Vl3~

1.1 Gerade und Ebene

17. Man bestimme die Gleichungen der Parallelen zur Geraden g = 2 x - y + 2 = 0 , deren Abstände die Maßzahlen v T haben. Aus der HESSEschen N o r m a l f o r m —

y + -VT

2

= 0 der gegebenen Gera*

den erkennt man e

2 =

als MaßVIF

zahl ihres Abstandes vom Nullpunkt. Für die Konstante c der gesuchten Parallelen mit der Gleichung 2 x - y + c = 0 müssen daher die c 2 , r— Bedingungen = - V 5 erfüllt sein. VT

VIT

Dies liefert Cj = 7 und Cg = -3, und damit die Gleichungen g

1

=2x-y+7 = 0

und

g 2 = 2x - y - 3 = 0.

18. Welche Gleichungen haben die Winkelhalbierenden Wj. 2 in bezug auf die Geraden •1«

( 56 )

?

"

2

»

=»

und (_£)

?

- « 7 . 0 ?

Es gilt r - 211 + V 3 3 2 + 56 2

157 + V 6 3 2 + 16 2

oder nach Multiplikation mit 65

19

20

1. Analytische

Geometrie

Die Gleichungen der W i n k e l h a l b i e r e n d e n Wl

=

|

j r - 46 = 0

und

wg =

( J

sind somit

] r + 9 = 0.

19. Es soll nachgewiesen werden, daß sich die drei Geraden g 1 = x - y + 1 0 = 0,g2=x + 3y-18 = 0undg3=2x-y+13 in einem Punkt schneiden.

= 0

Die drei Geraden besitzen voneinander verschiedene Steigungen, weshalb keine zu einer der beiden anderen Geraden parallel sein oder mit ihnen zusammenfallen kann. Die Geradengleichungen sind jedoch linear abhängig, da die hierfür notwendige und hinreichende Bedingung, das Verschwinden der Determinante

erfüllt ist. Die drei Geraden haben deshalb genau einen Punkt gemeinsam.

20. Wie lautet die Gleichung derjenigen Geraden g, die durch den Schnitt punkt S von g i = x - 2 y + l = 0 und g 2 = x + y - 5 = 0, sowie durch den Punkt p(2; 0) verläuft? Mit Ausnahme von g 2 wird die Gesamtheit aller Geraden durch den Schnittpunkt von g^ und g 2 durch g^ + M g 2 = = x - 2 y + l + j i ( x + y - 5 ) = 0 mit M e R dargestellt. Für die gesuchte spezielle Gerade g des B ü s c h e l s durch P muß 2 + 1 + n -(2 - 5) = 0 erfüllt sein, woraus ju = 1 folgt. Die Gerade g hat demnach die Gleichung 2 x - y - 4

= 0.

21

/. 1 Gerade und Ebene

21.

Durch den Schnittpunkt der Geraden g j

-10

s

r - 17

und %2 =

r + 21 = 0 ist eine Gerade g zu legen, die auf g g =

t +

+ 4 = 0 senkrecht steht. Zur Lösung der gestellten Aufgabe sucht man den Parameterwert ¡i des 6 2 Geradenbüschels g j + ¿i g 2 = \ 2 / r ~ 1 7 + ' ' 1 r + 21 -10

so zu bestimmen, daß

= 0.

Mit der Lösung pi = — ergibt sich io die Gleichung der gesuchten Geraden zu g

s

1 = 0.

Hätte sich fi nicht bestimmen lassen, wäre g = g 2 gewesen.

22. Ein Punkt P bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit längs einer Geraden so, daß er zur Zeit t j = 1 s den Punkt A(4j - l j 2) cm und für t j = 5 s den Punkt B(-4; 5; 4) cm durchläuft. Wie lautet seine Bewegungsgleichung in Abhängigkeit von der Zeit t? Nach der Parameterdarstellung r = r"0 + u • t einer Geraden g mit dem Richtungsvektor u durch den Punkt P 0 gilt für t j = 1 s = *o + "

, l s

•••

und für t 2 = 5 s r B = rQ + u • 5 s

. . . 2)

2) - 1) r ß - r ^ = if - 4 s oder -» tt =

1 /-» -» \ 1 4 ^ B - ^ - J -

Aus 1) r

= rA - u -1 s =

= \ < 5 ? A " Tß)-

22

1 Analytische

Geometrie

Damit folgt -v 1

cm s

23.

Welcher Gleichung genügt ein Lichtstrahl, der in der Zeichenebene

über den Punkt A

5; — J einfällt und in B

M )

an der Parallelen zur

X-Achse reflektiert wird? Da die Parallele zur Y-Achse durch B Symmetrielinie in bezug auf einfal3 lenden und reflektierten Strahl mit den Steigungen m e = — und m r = - m e ist, wird der Strahlenverlauf durch die Gleichungen y -

"2 x - 3 y

3

für x > 3 und

für x < 3 oder

kürzer durch y = — + — |x - 3| dargestellt, was offensichtlich auch für x = 3 gilt.

24. Man bestimme den geometrischen Ort aller Punkte P(x; y) für den die Differenz der Quadrate der Entfernungen von den Punkten A(-3; 0) und B(3; 0) die Maßzahl 15 hat. Die geometrische Forderung Ä P 2 - BP 2 = ± 15 kann vektoriell in der Form [ ? - ÖA] 2 - [r - OB]2 = ± 15 geschrieben werden. Dies läßt sich über

I 1 Gerade und Ebene

23

vereinfachen, womit der geometrische Ort als das P a r a l l e n p a a r zur Y-Achse in den gerichteten Abständen mit den Maßzahlen ± 1,25 erkannt wird.

25.

Die beiden Eckpunkte A(6; 0; 0) und B ( l ; 5; 1) eines Dreiecks ABC

/2 \

seien fest, während sich die dritte Ecke C auf der Geraden g = r" - [ I I / 1\ ^ u / 2 I t = 0 bewegt. Welche Gleichung hat die hierbei vom Schwerpunkt S des Dreiecks durchlaufene Kurve? 1 Es gilt r s = - [ r A + r B + r f

mit r c =

1

+

was auf die Gleichung r

S =

\

)

*

A

\

r

einer zu g parallelen Geraden gg führt.

26. Einem Dreieck P^P 2 P2 sollen Rechtecke einbeschrieben werden, deren eine Seite AB in P j ^ liegt und deren andere Ecken C und D sich auf den Dreieckseiten P 2 P3 und P^Pg befinden. Welches ist der geometrische Ort aller Diagonalschnittpunkte S dieser Rechtecke, wenn P j ( - 3 ; 0), P 2 (3; 0) und P 3 (2; 5) gegeben sind, Die Gleichung der Geraden durch die Eckpunkte P, und P , ergibt sich über

24

1. Analytische

Geometrie

die der Geraden durch Pg und Pg über JTT1

= -5 z u y = - 5 x + 15.

=

Diese beiden Geraden werden von der Parallelen zur X-Achse mit der Gleichung y = t, wobei t e ] 0 ; 5 [ , in den Eckpunkten c | - - | + 3 ; t | und D(t - 3 ; t ) geschnitten. In Verbindung mit A(t - 3; 0) errechnen sich XA +

Xg =

X

C

=_

2 5t

un< * y S =

yA +

2

y

C

t =~2'

wo^ei

Koordinaten von

S der Beschränkung 0 < Xg < 2, 0 < y g < 2.5 unterliegen. Die Elimina4ys

5

tion von t erbringt Xg = — — , also y = — x für x e ]0; 2[ als Gleichung der den gesuchten geometrischen Ort bildenden Strecke.

27. Welche Gleichungen haben die senkrechten Projektionen (Risse) der Geraden z,

•t = 0

g = r -

auf die Koordinatenebenen? Wo liegen die Durchstoßpunkte (Spurpunkte) von g mit den Koordinatenebenen?

g)J

l \ ! 4

1 ^ ¿t =

-i—1

Ty gi

i

.

^f

?

0

i

!

i J g\

s r

- - ^a T S~ii ; Die Gleichung der R i s s e ~ g j , g 2 und g 3 in den X Y - , Y Z - und ZX-Koordinatenebenen ergeben sich durch Nullsetzen der jeweiligen dritten Komponenten in der Geradengleichung.

Man erhält

o-

-2

gl = g 2 se

63 »=

3 o

-

G) -

3 2

•t = 0 •t = 0

-2

2

t = 0.

25

1.1 Gerade und Ebene

Zur Ermittlung der Spurpunkte S, T und U der Geraden g mit den XY-, YZ- und ZX-Koordinatenebenen setzt man diejenigen P a r a m e t e r w e r t e t, f ü r welche die jeweilige dritte Komponente des Ortsvektors r verschwindet, in g = 0 ein. Es ergibt sich aus

0 = 4 - 2t

mit t = 2

28.

Man bestimme die Gleichung der Ebene E durch den Punkt P(3; 2; 5) / 4,5\ /4,5V die von den in P angreifenden Vektoren u^ = 1 - 3 I und v?2 = I 3 j \ 0 / V-7,5 I aufgespannt wird. Welche Gleichungen haben die Spuren dieser Ebene? Nach der P u n k t - R i c h t u n g s g l e i c h u n g t j und t2 als P a r a m e t e r n wird

(i)

(?')-'•

r = rp+uj-tj + ug^

mit

( D -

Die Elimination von t j und tg aus den dazu gleichwertigen Gleichungen x = 3 + 4,5t, + 4,5t?

26

1. Analytische

Geometrie

Z,

y = 2 - 3 t j + 3tg z = 5

- 7,5t2

führt auf die a l l g e m e i n e G l e i c h u n g dieser Ebene in der Form E s

lOx + 15y + 12z - 120 = 0. 9 K

Setzt man hierin der Reihe nach z = 0, x = 0 und y = 0, so ergeben sich die Gleichungen der Spuren

/

*

-1

¡¿21

des Grundrisses in der XY-Ebene zu 2 x + 3 y - 24 = 0, des A u f r i s s e s in der YZ-Ebene zu 5 y + 4 z - 40 = 0, und des Seitenrisses in der XZ-Ebene zu 5 x + 6 z - 60 = 0.

29.

In welchem Punkt S schneidet die Gerade

die Ebene E durch die drei Punkte P 1 ( - 4 ; -3; -1). P 2 (6; 4; 1), P 3 ( - 2 ; 4; 4)? Die Gleichung r = + (? 2 - r j ) • S j + (? 3 - r ^ • s 2 = 0 einer Ebene E durch drei Punkte mit den Ortsvektoren r 1 ; r 2 und r 3 wird für die gegebenen Zahlenwerte

In Verbindung mit g = 0 berechnen sich die dem Schnittpunkt S zugehörigen P a r a m e t e r w e r t e s^, s 2 und t als gemeinsames Lösungstripel des Gleichungssystems

+

X

1.1 Gerade und Ebene

27

Man findet aus l O s j + 2 s 2 - 3t = 2 7s1

+

7s2

2s1 +

5s

+

2t=6

2

-2t=l

S l

=|,

s

2

=|.

t = |

und mit Hilfe der Geradengleichung

30. Wie groß ist die Maßzahl e * des gerichteten Abstandes e des Punktes P(6; -5; 10) von der Ebene E = i Die Maßzahl e* des Abstandes e = SP kann durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes P in die linke Seite der HESSEschen N o r m a l f o r m n° • r - S = 0 gefunden werden. Hierbei ist n° ein Einheitsvektor der Ebenennormalen, f ü r den die Maßzahl des Abstandes der Ebene vom Nullpunkt 5 > 0 ist.

/ °'5 \

Da jede Ebenennormale auf den Richtungsvektoren Uj = I -2 I und / 1\ V-1,5 / u 2 = ( 2 I von E senkrecht steht, läßt sich ein Normalenvektor n mit V0 / Hilfe des V e k t o r p r o d u k t e s i Ui * u„ =

0,5 -2 -1,5

l

k

3k

-

1 2 0 3 -1,5

bestimmen. Skalare Multiplikation von E = (? mit n ergibt ' 3 ^ -1,5 , 3 /

= 0

oder

r - 6 = 0, woraus

28

1. Analytische

Geometrie

nach Division mit +1 n| = 3 die Normalform 1 / 2 \ - 1-1 r - 2 = 0 erhalten wird.

Daraus folgt e

*

1 = —

- 1 - 5 - 2

31

31. Eine Ebene E ist festgelegt durch die Gleichungen s s 4x + 5y - 20 = 0 und u s 3x + 5z - 15 = 0 ihrer Spuren in der X Y - und ZX-Ebene. Es ist die Gleichung der zu E parallelen Ebene E' durch den Punkt P(3; 2; 2) aufzustellen. Die Achsenabschnitte der Spuren auf X-, Y - und Z-Achse sind a = 5. b = 4 und c = 3, womit nach der A c h s e n a b s c h n i t t s f o r m y z x einer Ebenengleichung E = v + t + T ~ 1 5 4 3

=

0, oder

Schreibweise nach Multiplikation mit 60, E = wird.

X

V

z

— + 7- + — a b c

vektorieller

r - 60 = 0 erhalten

Aus der Gleichung E =

r - c = 0

der Gesamtheit aller Parallelebenen zu E findet man die Konstante c für die durch den Punkt P verlaufende Ebene aus

Somit ist E'

32.

- c = 0

zu c = 106.

=

r - 106 = 0.

Unter welchem spitzen Winkel a und in welchem Punkt S schneidet

die Gerade

g

= ? -

( -3 ) - (

| ] -t =

die Ebene

1

E =

(

2 ) r - 8 = 0?

1.1 Gerade und

29

Ebene

D e r Schnittwinkel a , d e f i n i e r t als der spitze Winkel, den g und die senkrechte Projektion g' von g auf E miteinander bilden, f o l g t wegen o

= 90° - a

mit a als spitzem Winkel zwischen g und einem Normalenvektor n von E

aus cos et = sincr

=43

19 3'

zu

o

74,98

Vif

Schnittpunkt S von g mit E :

8=0,

t = 3,

('Q\

Gegeben sind die beiden Ebenen E^ = r -

33.

1-2

{ 11

-

\ 3/

8

• t2 = O

und

E2 s r

\0

-

s2

=

Man b e s t i m m e die Schnittgerade g und den spitzen Schnittwinkel a • Durch Gleichsetzen von E j = 0 und E 2 = 0 folgt aus /-.V

m

,0

z, 3-

'-6

•

' 2

, 3 6

/

p "

1

y> i' V i i y^

n2

30

1. Analytische

Geometrie

das inhomogene lineare Gleichungssystem von 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten 3 Sn

=

ti

0

2 s j + 2 s 2 + t ! + 8 t 2 = 10 3 si

3t2 =

Verwendet man etwa s^ als f r e i wählbare Unbekannte, so ergibt sich für den ebenfalls zu E 2 gehörenden Parameter s 2 = - 2 s j + 2. Damit folgt bei Einsetzen in E 2 eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden g zu

g = r -

( - 2 S ! + 2) =

Der gesuchte Schnittwinkel o von E^ und E 2 ergibt sich als spitzer Winkel von Normalen dieser Ebenen. Er kann mit i T k

1 1 0

i

und

0

T

-2

k

3

3 -2

0

als Normalenvektoren dieser Ebene über 13

cos a \/82-

34.

69,62° gefunden werden.

vi7

Welchen Abstand d hat der Punkt P(2; -3; 5) cm von der Geraden

g = r -

cm -

t = 0?

Der gesuchte Abstand d ist die Länge des Lotes PS von P auf die Gerade g. S kann hierbei als Schnittpunkt der Normalebene E zu g durch P mit g ermittelt werden. Da ein Normalenvektor von E mit dem Richtungsvektor von g zusammenfällt,ist 2\

1

/- 4 = 0, also

E = | - l j r - 5 cm = 0.

1.1 Gerade und Ebene

Der Parameterwert tg von S genügt der Gleichung

?Jcm+ (l)' - 5 cm = 0 mit der Lösung tg = 1 cm,

die über

/ 0\ r g = | 3 ) cm 4

auf -2

d = PS = lr2 53. / 64

Welche Gleichung hat derjenige Kreis Kg, der den Kreis K j = r r - 12 = 0 in P ( - l ; 7) senkrecht schneidet und dessen Mittelpunkt r - 36 = 0 liegt?

Mg auf der Geraden g = Anhand der Normalform 2

- 25 = 0

r -

des Kreises K j wird die Tangente in P zu - 25 = 0 oder t =

3

r + 31 = 0

erhalten. Der Mittelpunkt Mg von Kg liegt wegen des vorgeschriebenen Schnittwinkels von 90° auf dieser Tangente, weshalb sich die Koordinaten von Mg als Lösungsmenge von 7 x - y - 3 6 = 0 und 3 x - 4 y + 31 = 0 zu x = 7 und y = 13 ergeben. Mit MgP = 10 ist demnach 2 - 100 = 0. Kg s r -

54. Gegeben sind die beiden Kreise K^ = x 2 + y 2 - 25 = 0 und Kg = = x 2 - lOx + y 2 - 20y + 25 = 0. Gesucht ist die Gleichung des Kreises K durch P ( - l ; 0), der beide Kreise senkrecht schneidet. Da die C h o r d a l e CH zweier Kreise der geometrische Ort aller Punkte ist, von denen die Tangentenabschnitte an diese Kreise jeweils gleiche Längen haben, liegt hierauf der Mittelpunkt M des gesuchten Kreises K. Es müssen somit die Koordinaten x und y von M der Gleichung CH — K^ - Kg = lOx + 20y - 50 = 0 oder x + 2 y - 5 = 0

genügen.

Durch Gleichsetzen der Entfernungen MP = MS = V M M 2 - MgS 2 ,

1.2 Kreis und Kugel

mit M P * als Radius von K, wird die zweite Beziehung V (x + l ) 2 + y 2 = =

n/(X - 5) 2 + (y - 10) 2 - 100

gewonnen. Einsetzen von x = 5 - 2 y n

o

erbringt über ( 6 - 2 y r + y

=

= 4 y 2 + (y - 10)2 - 100 die Lösung y = 9.

Mit dem

zugehörigen Abszissenwert x = - 13 folgt r = M P = V l 2 2 + 9 2 = 15, und man erhält K = (x + 13)2 + (y - 9) 2 - 225 = 0.

55. Durch die Schnittpunkte der beiden Kreise

ist ein Kreis K zu legen, der außerdem durch den Punkt P (1; -4) verläuft. Mit K^ + JJK2 = 0 und dem Parameter n e R ist ein K r e i s b ü s c h e l gegeben, dem - abgesehen von K2 - alle Kreise durch die Schnittpunkte von K j und K2 angehören. Hier ist speziell n so zu bestimmen, daß der betreffende Büschelkreis auch durch P geht. Man erhält aus

M = 3, und damit

47

48

1. Analytische

Geometrie

oder nach einfacher Umformung

56.

o Wie lautet die Gleichung des zum Kreisbüschel K^ + j/K^ s (x - 2) +

+ y 2 - 10 + n [(x + 4) 2 + y 2 - 4] = 0 A n e R orthogonalen Büschels? Die Mittelpunkte des gesuchten Büschels liegen auf der Ch o r d a l e n 3

CH

des gegebenen Büschels, die sich für p =-1 zu x = - — ergibt. Der R a dius eines O r t h o g o n a l k r e i s e s

mit Mittelpunkt _M

auf der

Chordale kann z . B . in bezug auf Kg ermittelt werden. Gemäß der Abbildung ist

p 2 = P M * 2 = M 2 M * 2 - M^P * 2 = k 2 +

("| +

4

o 9 = k + —. Die Gleichung des orthogonalen Büschels ist daher + (y - k) 2 = k 2 + ^ ; es liegt ein e l l i p t i s c h e s

)

*

4

= 9

/ 3 \ I x + —j +

B ü s c h e l vor, bei dem sich

alle Kreise in den Punkten A(-3; 0) und B(0; 0) schneiden.

Das gegebene Büschel ist h y p e r b o l i s c h Z u r Berechnung seiner G r u n d p u n k t e wird nach den beiden N u l l k r e i s e n des Büschels gefragt. Hierzu bringt man

' Die Unterscheidung in elliptische und hyperbolische Kreisbüschel erfolgt nach F. Klein unter Bezugnahme auf deren Nullkreise. Verschiedentlich wird auch, bezogen auf die Grundpunkte eines Büschels, die umgekehrte Festlegung getroffen.

49

1.2 Kreis und Kugel

K j + HK2=

x 2 (1 + n ) + 4x(2/i - 1) + y 2 ( l + /u ) + 12/i - 6 = 0

auf die Normaliorm x

2(2 M -

+ —;

1)

2

1 + ß

2

+ y

=

2(2^ - 1)(M - 5)

mit

(i + M r

f/ =£- 1,

woraus diejenigen Parameterwerte, für welche die Kreisradien verschwinden, unmittelbar als ß j = y

und

// 2

=

5

abgelesen werden. Die Null-

kreise haben somit die Gleichungen x 2 + y2 = 0

und

(x + 3) 2 + y 2 = 0 ;

sie fallen mit den Schnittpunkten A und B des elliptischen Büschels zusammen.

57.

Man ermittle die Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an die beio 9 153 / 17\ 2 2 I7 den Kreise K x = x 2 + y* - — = 0 und K g ü I x - — I + y = 0.

—

•H-t-i-l- -Ij.i-f- fyfT- -H-H" .^iljj.j.ll

; • 1

B s P "t fTT ^'fei" lit:

A

V l

\ '

i q i S H S -H-Hj;—? ff ¡T{~j H"i'T^j" t fltt

\ V

~ •>• , j V

J^

Ist n ° r - 5 = 0 mit 5 > 0 und n° = ^ ß ) A a 2 +

m

0 2 = 1 die Gleichung

irgendeiner der gemeinsamen Tangenten in HESSEscher N o r m a l f o r m , so ergibt sich nach Einsetzen der Koordinaten der Kreismittelpunkte M j (0; 0) P2 =

und Mg

; oj

unter Verwendung der Radien

v T 7 das Gleichungssystem

P\

und

50

1. Analytische

Geometrie

Die erste Gleichung liefert ô = — a - 2

y/n

4

\/l7, wodurch die zweite Gleichung in

= — v/17 übergeht und durch a ^ = 4

erfüllt wird. Über a

2

+

2 —j- • [ ] , — • V i 7 v ±N/Ï3 VÎ7 t 2 = 8 x - 4 \ / l 3 y - 51 t 3 s 4 x + 16 y - 51 = 0, äußeren Tangenten.

ß2

, a 2 - —— Vl7 VÎ7 = 1 erhält man so für n° die 4 Vektoren

/ 1 \ und damit t r = 8 x + 4 ^ 1 3 y - 51 = 0, \ ±4 ' = 0 als Gleichungen der inneren Tangenten und t 4 s 4 x - 16 y - 51 = 0 als Gleichungen der

58. Ein Punkt P bewege sich in einer Ebene so, daß die Summe der Quadrate der Maßzahlen seiner Abstände von den festen Punkten A(-6; 0) und B (6; 0) immer gleich dem vierfachen Quadrat der Maßzahl seines Abstandes ÖP vom Nullpunkt ist. Wie lautet die Gleichung der von P beschriebenen Kurve? Aus A P 2 + B P 2 = 4 Ö P 2 folgt mit OP = r (r - ÖA)2 + (r - OB) 2 = 4 r 2 oder

2

4 r

Der gesuchte geometrische Ort ist somit ein Kreis mit der Gleichung r 2 - 36 = 0.

59. In einem Dreieck ABC mit der Seite AB der Maßzahl AB* = 5 soll stets sinß = 2 sin a sein. Wo kann die Ecke C liegen? Bei Wahl des Koordinatensystems gemäß der Abbildung wird mit x und y v

als Koordinaten von C wegen sin a = Vx der Forderung durch 2 4

_ (5 - x) 2 + y 2 2 2 x + y"

genügt. Die Ausrechnung ergibt den Kreis

2

+ y

und sin

ß

=

y V(5 - x) 2 + y 2

1.2 Kreis und Kugel

K

s

I (

2 0 x

r

+

" t )

v

2

51

ioo

als gesuchten geometrischen Ort. Hierin sind jedoch die Punkte mit den K o o r d i n a t e n ^ ; ojund(10; 0)auszuschließen, da dort das Dreieck entartet. Für negative y ändert sich der Umlaufsinn des Dreiecks.

60. Die Strecke AB = a sei mit ihren Endpunkten A und B längs der Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems verschiebbar. Welche Kurve durchläuft der Schwerpunkt S der Dreiecksfläche OAB ? Mit 0(0; 0),

A(p; 0),

B(0; ± ">/a2 - p 2 ) und 0 < |p| < a gilt für die Schwerpunktskoordinaten x = y =

0 + p + 0

und

0 + 0 ± V a 2 - p2 3 •

Die Elimination des Parameters p erbringt die Kreisgleichung x 9 + y2 = . Die Punkte dieses Kreises bilden die gesuchte Ortskurve, wenn man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ausnimmt, denen entartete Dreiecke entsprechen.

61. Welchen geometrischen Ort beschreibt der Schwerpunkt S des Dreiecks ABC, wenn A(-l; 0) und B(4; 0) fest liegen und sich die Ecke C auf dem Kreis 2

- 16 = 0 bewegt? Werden mit ~tq und rg die Ortsvektoren des Eckpunktes C und des Schwerpunktes S bezeichnet, dann gilt

52

1. Analytische

Geometrie

Einsetzen in K = 0 erbringt

3rs

-

- 16 = 0

oder

2 K1

16 - — = 0 als Gleichung des gesuchten geometrischen

=

Ortes, wobei jedoch die Schnittpunkte mit der X-Achse ausgeschlossen werden müssen, da bei ihrer Entstehung A, B und C in einer Geraden liegen würden.

62. Von einem Punkt P Q außerhalb eines Kreises K vom Radius p sind Sekanten an diesen K r e i s gezogen. Welches ist der geometrische Ort der Mittelpunkte M aller dadurch entstehenden Kreissehnen S j S 2 ? Das Koordinatensystem sei so gewählt, daß sich der Kreis K in Mittelpunktslage befindet. Dann lautet seine Gleichung K = r 2 - p 2 = 0 und es kann die Gesamtheit aller Geraden durch P 0 ( x 0 ; y Q ) in der Form / x_ o

-V

\Yo

+ u • t mit u als Richtungsvektor angegeben werden.

Sind t j , t 2 die den Schnittpunkten S j , S 2 zugeordneten Parameterwerte, *1

+

t2

so ist M der Parameterwert 0

als Lösungen der Gleichung "o . u • t + y0 /

+ 2

y0 2 _

2 -

p

zugeordnet, wobei sich t^ und t 2 2

+ u-t

"

P

2

= 0 oder u2 • t 2 +

0 ergeben. Nach dem Koeffiziententi + t .

satz von Vièta gilt dann ti + to =

u•

also

a2 o y0i

woraus r M

ses Ergebnisses in /Xo\

- rM » -= iM , l jP ro

erkennt man, daß der Vektor M P 0 stets die senkrechte Projektion des Vektors M P Q auf die Sekante ist. Die Punkte M liegen daher auf dem T h a i e s k r e i s mit Durchmesser M P Q und Mittelpunkt Mx

] . Dieser Kreis K j

folgt. Bei Umformung die-

1.2 Kreis und Kugel

53

mit der Gleichung

ist in der Abbildung für x 0 = 5, yQ = 4 und P j = 3 gezeichnet. Der geometrischen Forderung genügt hierbei aber nur das innerhalb von K liegende Bogenstück.

63. Eine Stange OP ist in ihrem einen Endpunkt O drehbar gelagert und wird in T an einer Kreisscheibe vom Radius r, die längs einer Geraden durch O in der Zeichenebene abrollt, tangential geführt. Man gebe die Lage des anderen Endpunktes P der Stange in-Abhängigkeit von der Bewegung der Kreisscheibe an. Wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem gemäß der Abbildung eingeführt, dann gilt innerhalb des Bewegungsbereiches mit OP = 1 für Abszisse Xp und Ordinate yp von P

Xp = lcos a = 1-

i1 + ,tan 2— «

und OL

2tany p = 1 sin a = 1-

1 + tan^ Bezeichnet Xj^ die auf 0 < x^j < 1 beschränkte Abszisse des Kreismittela

punktes M, so folgt über r = x^j • tan — hieraus xp= 1

und

4>

2 r i xM y

p

=

4

64. Welche Gleichung hat eine Kugel mit Mittelpunkt M(4; -2; 1) und Radius P = 3? Unter Verwendung der Gleichung K = (r - Fm)2 - p 2 = 0 einer Kugel, deren Mittelpunkt M durch den Ortsvektor rj^j festgelegt ist, erhält man

54

].

Analytische

Geometrie

' 4' 9 = 0.

K = 1,

/

M,

Die Darstellung in kartesischen Koordinaten lautet K = (x - 4) 2 + (y + 2)2 + (z - l) 2 - 9

9

65. Es ist die Gleichung xÄ + y die Normalform zu bringen.

2

+z

2

1

- 5 x - 3 y + 2 z - y

= 0auf

Durch quadratische Ergänzung wird 2 +

M )

(y • I ) 2

+ (z+1)2

•10=

oder in vektorieller Darstellung 2,5 v 1,5

2 -

10 =

0

erhalten. Es handelt sich somit um eine Kugel K vom Radius p = v T o mit Mittelpunkt

M

( | ; | ; -1 ) .

66. Wie lautet die Gleichung der Kugel, die durch die Punkte Pj(4; 4; -7), P 2 (0; -2; -7), P 3 (2; 3; 2) und P 4 (4; 1; 2) verläuft? Die Ortsvektoren der gegebenen Punkte müssen die allgemeine Kugelgleichung + a ? + b = 0 erfüllen, was für den Vektor a und den Skalar b auf die vier Bestimmungsgleichungen ' 4

2

/ „v 4j a + b = 0

...1)

-2 I a + b = 0

.. .2)

V -7 j ! 0

' Bei dieser und den folgenden Aufgaben sind in den Bildern die Kugeln nur durch ihre Großkreise im Aufriß ( Y Z - E b e n e ) angedeutet.

1.2 Kreis und Kugel

(i)-(iH-

0

3)

-

führt. Die Ermittlung der skalaren Komponenten a ^ a y , a z des Vektors a und der Konstanten b kann wie folgt geschehen:

1) - 2)

28 + ^ 6 I a = 0

1) - 3)

64 +

^ 1

1) - 4)

60 +

| 3ja = 0

oder 14 + 2a

x

J

a = 0

= 0

+ 3a y

64 + 2 a x +

a

20

ay - 3a„2 = 0.

+

- 9az = 0

Mit der Lösung a x = - 4, ay = - 2, a z = 6 dieses linearen Gleichungssystems und b = -15 erhält man

r2 +

K =

/-4\ I -2 I r - 15 = 0, was sich noch auf die Form

-(I

- 29 = 0

bringen läßt.

Die Kugel hat den Mittelpunkt M(2; 1; -3) und den Radius p = V29.

67.

In welchen Punkten durchstößt die Gerade g = r ,

die Kugel K =

-,2 - 17 = 0?

" 1 1 ,

55

56

1. Analytische

Geometrie

Zur Bestimmung der, den Schnittpunkten S 1 und S 2 zugehörigen Parame-1 -t in K = 0 ein. -2/

terwerte t setzt man r = Die in t quadratische Gleichung

i :r

- 17 = 0

läßt sich auf t - 31 + 2 = 0 vereinfachen und hat die Lösungen t j = 1, t 2 = 2. Damit findet man /-1 r

' und

si

, 3/

r, S2

An die Kugel K =

68.

- 22 = 0 ist im Punkt P ,

die Tangentialebene zu legen. Wie lautet deren Gleichung? Nach der Formel T = (? 0 - r M ) ( ? - fj^) - p 2 = 0 für die Gleichung der Tangentialebene in P Q an eine Kugel vom Radius p und Mittelpunkt M wird z 2

2

- 22 = 0

2

3, oder T =

69.

r - 12 = 0 erhalten.

Wie lautet die Gleichung der zur Kugel K =

r -

-

16 = 0

1.3 Kegelschnitte

konzentrischen Kugel K j , die die Ebene E =

in Parallellage im R 2

57

| - 2 j r - 8 = 0 berührt?

Wo liegt der Berührpunkt P ? Der Radius der gesuchten Kugel ist gleich dem Abstand M P ihres Mittelpunktes M von der Ebene. Bei Verwendung der HESSEschen N o r m a l -

1 /M» 8

form

— - i — 2 1 r" - — = 0 der gegebenen

-2

Ebenengleichung mit n

als

2/

Einheitsvektor ergibt sich unmittelbar

e

*

1

=-,

1\ / 2 \

Dl 3 -

''

als gerichteter Abstand der Ebene E von M. Über M P * = le*l= 6 o , n2

erhält man K j =

r -

36 = 0 mit dem Radius r^ = 6.

Wegen e * < 0 liegt M in der negativen Halbebene von E und es sind deshalb M $ und n gleich orientiert. Somit ist r p = r ^ + r^ . H = 2 -1 j

und damit P(4; -1; 1).

1.3 Kegelschnitte in Parallellage im R 2

70. Es ist die Gleichung einer Ellipse mit dem Mittelpunkt M(-2; 1) und den Halbachsen a = 3, b = 2 parallel zur X - bzw. Y-Richtung anzugeben*). 2 Nach der Formel

(x ' h) a2

2 +

~ b2

1 = 0 für die G l e i c h u n g

) Unter Halbachse, linearer und numerischer Exzentrizität sowie Halbparameter werden hier und bei allen folgenden Beispielen, falls nicht anders vermerkt, die Maßzahlen der zugehörigen Strecken verstanden.

58

1. Analytische

Geometrie

e i n e r E l l i p s e in P a r a l l e l l a g e mit den Mittelpunktskoordinaten x = h und y = k, sowie den H a l b a c h s e n a und b, die parallel der Abszissenbzw. Ordinatenachse sind, folgt unmittelbar (x + 2) 2 9

(y - l ) 2 4

_

Es sind ferner wegen a > b die l i n e a r e e = Va

2

- b

2

Exzentrizität

= VT

als Maßzahl der halben Entfernung der Brennpunkte F 1 und F 2 , die numerische b2

e 1 /— E x z e n t r i z i t ä t — = — v 5 und der H a l b p a r a m e t e r a 3

4

71. Die Brennpunkte einer Ellipse seien Fj(2; -3) und F 2 (2; 1), ihre kleine Halbachse sei a = 3. Wie lautet die Gleichung des Kegelschnitts? Es handelt sich um eine Ellipse, deren Brennpunkte auf einer Parallelen zur Y-Achse liegen. Die l i n e a r e E x z e n t r i z i t ä t ist e = 2, die große Halbachse b = V e 2 + a 2 = V l 3 . Mit den Mittelpunktskoordinaten h = 2 und k = -1 wird die N o r m a l g l e i c h u n g (x - 2)2 9

(y + l) 2 13

Die n u m e r i s c h e _ _e E = b

_ Exzentrizität

ist

2_ =

V^ '

der H a l b p a r a m e t e r _ a2 _ 9 P

"

b

" Vis '

Die Radien der K r ü m m u n g s k r e i s e in den Scheiteln S^ und S 2 sind a2

9

j

n

b2

13

1.3

Kegelschnitte

in Parallellage

im R2

59

Eine Konstruktion der Mittelpunkte der Krümmungskreise mit den Radien P i und P2 in Scheiteln der Ellipse ist in der Abbildung ausgeführt.

72.

Von einer Hyperbel in achsenparalleler Lage sind bekannt die Gleichun4 gen der beiden Asymptoten y = 2 ± - (x - 3) und die reelle Halbachse a = 1 in der X-Richtung. Man gebe die Gleichung der Hyperbel an. Aus der A s y m p t o t e n g l e i c h u n g y = k ± — a (x - h) der H y p e r b e l _ 2 (x - h) 2 (y - k) ,. , ,, . , „ „ , --- 2 1 = 0 mit der r e e l l e n A c h s e 2a parallel zur o2 v a b X-Achse erkennt man die Koordinaten des Mittelpunktes M zu xj^ = h = 3, b 4 yM = k = 2 sowie — = — , womit wegen a = 1 auch die i m a g i n ä r e a 5 4 H a l b a c h s e b = — gefunden ist. 5 Die gesuchte H y p e r b e l g l e i c h u n g lautet daher (x - 3)2 1

(y - 2)2 "

16

25 Es berechnen sich ferner die lineare Exzentrizität e = V a 2 + b 2 = 45 V41 , die numerische Exzentrizität e = — = ^ V^41

P

und der Halbparameter

_ b^ _ 16 " a " 25 '

In der Abbildung ist eine Konstruktion der Hvperbelordinaten yjj aus den zugehörigen Asymptotenordinaten y^ eingetragen.

73. Eine Hyperbel in Mittelpunktslage habe die in die Y-Achse fallende reelle Halbachse b = 2 und verlaufe durch den Punkt P(3;4). Gesucht ist die Gleichung der Hyperbel.

60

1. Analytische

Geometrie

Die unbekannte i m a g i n ä r e

H a l b a c h s e a kann durch Einsetzen der geJ[2 y2 gebenen Werte in die Gleichung — + 1 = 0 einer d e r a r t gelegenen a2 b2 9 16 r~ Hyperbel gewonnen werden. A u s — + 1 = 0 findet man a = V 3. 2 2 a 2 Als A s y m p t o t e n

besitzt diese Hyperbel y2 mit der Gleichung — - — + 1 = 0 ü 1 das G e r a d e n p a a r x2

2 b y = + —x = +

x.

Man erhält weiterhin e = V a 2 + b2 = e £ =

1

b = 2

«AT '

V7

sowie

P =

a2 "b

=

3 T"

Der R a d i u s p d e s K r ü m m u n g s k r e i s e s in den Scheiteln S j und S 2 3 hat den Wert p = p = — . Eine Konstruktion des Mittelpunktes des Krümmungskreises f ü r einen Scheitel der Hyperbel ist in der Abbildung angegeben.

74. Man stelle die Gleichungen derjenigen Parabeln in Scheitellage auf, die durch den Punkt Q(9; -6) verlaufen. Als Gleichungsformen der gesuchten Parabeln mit Scheitel im Ursprung und Symmetrielinie in einer der Koordinatenachsen kommen hier P j s y2 - 2 p j x = 0 und ? 2 - x 2 - 2 p 2 y = 0 in Frage, aus denen die speziellen Werte der H a l b p a r a m e t e r PJ und p 2 durch Einsetzen der Koordinaten von P erhalten werden.

1.3

Kegelschnitte

in Parallellage

im R2

61

Es ergibt sich aus 36 = 18 p j die Gleichung P^ = y 2 - 4 x = 0 einer zur X - A c h s e s y m m e t r i s c h e n P a r a b e l mit Öffnung in deren positiven Richtung. 2 27 Aus 81 = -12 po folgt Po = x + — y = 0; dies ist eine in Richtung der b

negativen

Y - A c h s e geöffnete und zu ihr s y m m e t r i s c h e

Parabel.

Die Brennpunkte F j und F2 liegen auf der + X-bzw. - Y-Achse in den Pl P2 27 Abständen — = 1 bzw. — vom Nullpunkt; die zugehörigen L e i t o l i n i e n d j und d 2 schneiden die -X-bzw. + Y-Achse in den gleichen Pl Entfernungen ~~~ bzw.

P2

vom Ursprung. Als R a d i e n d e r

Krüm-

m u n g s k r e i s e in den zusammenfallenden beiden S c h e i t e 1 n findet man P1 = Pl und j0 2 = |p 2 | .

75.

Wie lautet die Gleichung desjenigen Kegelschnitts in Parallellage, der

durch die Punkte P j

y j , P 2 ^ 7; y j , P g | 3; y j und den

Nullpunkt verläuft? Es muß für die Koordinaten der gegebenen Punkte die a l l g e m e i n e Gleichung A x 2 + B y 2 + Cx + D y + E = 0 erfüllt sein. Damit liegt ein System von 4 h o m o g e n e n l i n e a r e n G l e i c h u n g e n für die 5 Unbekannten A, B, C, D, E v o r : 576 24 B + 6 C + - ^ D + E = 0, 25 5 441 21 P zo | 4 9 A + — B + 7 C + -=-D + E = 0, 25 5 729 27 P , l 9 A + — B + 3 C + 4 - D + E = 0, 3 25 5

P ,1 I 36 A +

P4 I

E = 0.

Die Auflösung mit A = t als f r e i e r V e r ä n d e r l i c h e n sungsmenge

ergibt die Lö-

L = | (A; B; C; D; E) | (A; B; C; D; E) = ( t; y t; - 6t; - y t; o ) A t e r ] .

62

I. Analytische

Geometrie

Da es nur auf das Verhältnis A : B : C : D : E der Koeffizienten ankommt, kann z . B . t = 1 gewählt werden, was auf die Ellipse „ _

2

^ = x

25 2 +~9~y

„

40

- 6x - — y

= 0 führt, deren Gleichung sich nach zwei-

maliger quadratischer Ergänzung auf die N o r m a 1 f o r m 12 \

2

bringen läßt. Die Kurve hat den Mittelpunkt M ^ 3; ^

) .

ihre

Halbachsen a = 5 und

b = 3 verlaufen parallel zur X - bzw. Y-Achse.

76. Es sollen die Gleichungen derjenigen Parabeln mit zu den Koordinatenachsen parallelen Symmetrielinien angegeben werden, auf denen die Punkte P ^ O ; -2,5), P 2 ( l ; 0) und Pg(2; 1,5) liegen. Die a l 1 g e m e i n e P a r a b e l g l e i c h u n g für diese Lage ist durch A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 gegeben, wobei entweder A ^ O A B = 0 A D # 0 oder aber A = 0 A B = ? t 0 A C = ? t 0 z u fordern ist.

=

Im ersten Falle, also der Gleichungsform A x 2 + C x + D y + E = 0, kann A 0 beliebig, z . B . A = 1 gewählt werden, weil nur das Koeffizientenverhältnis A : C : D : E wesentlich ist. Einsetzen der Koordinaten der drei gegebenen Punkte ergibt das lineare Gleichungssystem P j | - 2,5D + E = 0, P 2 | 1 + C + E = 0, P 3 | 4 + 2 C + 1,5D + E = 0 mit der Lösung (C;D;E) = ( - 6 ; 2; 5) . Die zugehörige Parabelgleichung P' = x

2

- 6 x + 2 y + 5

= 0

kann noch auf die Form (x - 3 )

O

= - 2(y - 2)

gebracht werden, woraus der Scheitel zu S' (3; 2) erkannt wird. In gleicher Weise ergibt sich für A = 0 und B = 1 aus B y 2 + Cx + Dy + E = 0

1.3 Kegelschnitte

in Parallellage im R2

63

die Lösung (C;D;E) = ^ - 15; y ; 15 Die entsprechende Parabel P" =

9 - 15x + ~17y + 15 = 0 mit SymmetrieI

49

linie parallel zur X-Achse und dem Scheitel S" I

17 \ > ~4/

in

Abbildung strichliert gezeichnet. 77. Von einer Parabel mit Brennpunkt F im Nullpunkt ist die Leitlinie oder Direktrix d durch die Gleichung x = 2 gegeben. Welche Gleichung hat die Parabel ? Wegen BF = | p | = 2 hat der Scheitel S die Koordinaten X

S =

VS =

Damit erhält man aus (y - k r = 2p(x - h) unmittelbar y 2 = - 4 ( x - 1).

78. Es ist die Gleichung einer Ellipse E in Mittelpunktslage anzugeben, von der die Gleichungen y = + 3 der Leitlinien d j und 62 und die lineare Exzentrizität e = 2 bekannt sind. Zur Aufstellung der M i t t e l p u n k t s g l e i c h u n g x2 y2 — + — = 1 müssen die Halbachsen a und b 2 ,2 a b berechnet werden. Diese bestimmen sich aus b2 — = 3 für die Maßzahl des A b s t a n d e s d e r eL e i t l i n i e n v o n d e r X - A c h s e und e = 2 = \ / b 2 - a 2 für die l i n e a r e E x z e n t r i z i t ä t zu b = V T und a = v T Die v2 Gleichung der Ellipse ist daher E s — + ^— 1 = 0 ;

2

6

P,A,

P,AX

flU

1. Analytische

Geometrie

ihre numerische Exzentrizität beträgt

'-I-VT-

79. Unter welchen spitzen Winkeln o j und a 2 schneidet die Gerade g = x + 3 y - 2 = 0 die Hyperbel H s 4 x 2 - 16 x - 9 y 2 - 36 y - 164 =0? Die Koordinaten der Schnittpunkte S j und S2 ergeben sich als die Elemente der Lösungsmenge L des Gleichungssystems g = 0 und H = 0. Einsetzen von x = 2 - 3 y i n H = 0 liefert über die quadratische Gleichung 3 y 2 - 4 y - 20 = 0 die Elemente / x j = - 8 ; y j = von IL. \

und (x 2 = 8; y 2 = - 2 )

(x - 2) (y + 2) - 1 0 der gegebenen 36 16 Hyperbelgleichung erkennt man a = 6 als reelle und b = 4 als imaginäre Halbachse, sowie den Mittelpunkt M(2; - 2 ) . Aus der N o r m a l f o r m

Die S t e i g u n g mt

der

u2

xn - h

,2

yn "

k

H =

Tangente

für y 0

im Berührpunkt P 0 ( x 0 ; y 0 ) folgt aus

k.

Man findet hiermit für S j die Steigung mt

l

16 ="36

- 8 - 2 10

T +2

_

_5_ " 6 '

während für S2, dem rechten Scheitel der

Hyperbel, die Formel wegen y Q = k unbrauchbar ist.

Mit der Steigung tan a = m

g

mg - m t j punkt S j tan a^ ^

oj «

1 + m tr

- — der Geraden g wird dann im Schnitt0 1 5

mg

"3

+

6

1 +44 6 3

= "TT und damit 23

21,37°.

Der Winkel a 2 , in dem sich die in S 2 zur Y-Achse parallele Hyperbeltangente und die Gerade g schneiden, folgt aus ct2 = a - 90°

mit

161,57°

zu O j « 71,57°.

1.3 Kegelschnitte

65

in Parallellage im R2

80. An die Ellipse E = x 2 - 2x + 4y 2 + 24 y + 12 = 0 ist im Punkt P 0 (4; - 1) die Tangente zu legen. Gemäß der T a n g e n t e n f o r m e l

(x

'

h)(x

o '

h)

+

(y

'

k)(y

a2 für die Ellipse mit der Gleichung

(x - h) 2 a2

b

2

k)

o '

=

1

(v - k) 2 +— — = 1 wird durch b2

Vergleich mit (x - l ) 2 25

_ 4(y + 3) 2 25

=

x

die Gleichung der Tangente zu (x - 1)(4 - 1) 25

4(y + 3) ( - 1 + 3) 25

t = 3 x + 8y - 4 = 0

= 1

oder

erhalten.

81. Man stelle die Gleichung der Normale n in bezug auf die g l e i c h s e i t i g e H y p e r b e l H = x 2 - y 2 - 5 = 0 in ihrem Kurvenpunkt P 0 (-3; 2) auf. Die Steigung der Normale n im Punkt P 0 (x 0 ; y 0 ) der Hyperbel 2 _1 = 0 A . *>-* H 5 (x - h)2 _ ( y - k) ibtsichaus a2

b2

n

b2

x

0

-h

5 2 - 0 2 ^ für x Q ^ h, was hier speziell auf m n = - — • —^ — = — führt. Damit y - y y - 2 2 folgt aus — - S = m„ die gesuchte Gleichung der Normalen über =— x - x 0 n x + 3 3 z u n = 2x - 3y + 12 = 0.

82. Welche Gleichungen haben die Tangente t und die Normale n der Parabel P = y 2 - 4 y - 2 x - 2 = 0 i m Kurvenpunkt P 0 (5; 6)? Mit m t = — f ü r >0 " K

y0 # k

als T a n g e n t e n s t e i g u n g der Parabel P = (y - k) 2 - 2 p(x - h) = 0

66

1. Analytische

Geometrie

S Ä

im Kurvenpunkt P 0 ( x 0 ; y 0 ) wird über (y - 2) 2 - 2(x + 3) = 0 die Steigung l

m

t

=

6 - 2

=

— 4

erhalten.

fi

Vn

tf ¡liHllff^

t

MSh ¡ÖS |J§$: ì— M Tfiiffirm jU m a t l f f i :-,,: i±tHW|ia-iUt fll'inriiil 'ini i ö U & T —

Dies liefert y - 6 _ 1 x - 5 4

tTri ttttt

oder

c-^

•

Site

M ¿i •

H• •:» X

t = x - 4 y + 19 = 0 und V - 6 - = -4 x - 5

oder

n = 4 x + y - 2 6

= 0.

Aus der Tangentengleichung (y - k) • (y 0 - k) = p • (x + x 0 - 2 h) folgt für y = k die Beziehung

X

^

X°

= h. Die Projektion T P ^ = 2 c des Tangenten-

abschnittes T P 0 auf die Symmetrielinie wird somit vom Scheitel S der P a r a b e l halbiert.

8 3 . Wie lautet die Gleichung der zur Geraden g = y - 2 x + 2 lelen Tangente an die P a r a b e l P = (x - l ) 2 + 4(y - 2) = 0 ?

x Wegen m^. = — Steigung

- h

als

= 0 paral-

Tangenten

in P 0 ( x 0 ; y Q ) für eine

P a r a b e l der F o r m (x - h) 2 = 2p(y - k) gilt für das spezielle Beispiel 2 =

X°

* , woraus die Abszisse

x 0 = - 3 des Berührpunktes folgt. Mit dem aus der Parabelgleichung entnommenen Ordinatenwert y Q = - 2 kann die Gleichung der gesuchten Tangente aus der F o r m e l (x - h) • ( x 0 - h) - p(y + y 0 - 2 k ) = 0 zu t s 2 x - y + 4 = 0 berechnet werden.

p 9 8 4 . Welche Tangenten an die Ellipse E = x ' + 9 y ' - 4 = 0 sind parallel zur Geraden g s 4 x - 9 y + 4 = 0 ?

1.3

Mit m t

b 1 die numerische Exzentrizität der Hyperbel bedeutet. Es berechnet sich 3 1 + £ c o s i c i + 30°) 1) : 2) — = -

oder f

1 1 + f cos( 0

41

sind.

Transformationsgleichungen - y' sina

und y = x' sina

+ y' cosa

ist nun ein Winkel a zu bestimmen, um den ein X1 Y' -Koordinatensystem gegenüber dem ursprünglichen XY-System gedreht sein muß, damit in bezug auf e r s t e r e s der Faktor von x' y' in der neuen Kegelschnittgleichung verschwindet. Man erhält durch Einsetzen n

2

?

2

(41 cos a - 2 4 s i n a cosa + 34 sin a )x' + (-14 sina c o s a - 2 4 c o s a + + 2 4 s i n 2 a )x : y' + ( 4 1 s i n 2 a + 24 sina c o s a + 34 c o s 2 a ) y ' 2 + ( 1 8 0 c o s a - 260 s i n a )x' - (180 sina + 2 6 0 c o s a ) y ' + 300 = 0, womit der gesuchte Drehwinkel a aus der g o n i o m e t r i s c h e n G l e i c h u n g 7 s i n a c o s a - 1 2 c o s z a = 0 berechnet werden kann. Uber 12 s i n 2 a 2 7 tan a - 12 = 0 mit 12 t a n « den Lösungen tan a j tan « 2

=

und

" " J folgen, falls a ^ im

Intervall 0 < a x < 90° angenommen wird, cosai =

1

*

V T 7 tan 2 a .

und tan a , sin a 1 = v i r tan 2 a . dies entspricht

a ^ « 53,13°.

Der im Intervall 0 < a 2 < " 9 0 ° liegende Winkel « 2 = a l " 9 0 ° b e z i e h t sich auf eine Drehung des neuen Systems gegenüber dem alten im UhrzeigerMit den gefundenen Ergebnissen wird die transformierte Ellipsengleichung x'2

+

90

1. Analytische

Geometrie

+ | 180--| - 2 6 0 - | j x , formung auf x

2

+ 2y

- | l 8 0 - - | + 260--|j y' 2

- 4x'

- 12y'

+ 300 = 0, die nach Um -

+ 12 = 0 gebracht werden kann.

Die N o r m a l f o r m folgt schließlich durch zweimalige quadratische E r (x' - 2)2 (y' - 3)2 gänzung zu — + —— = 1, woraus die Koordinaten des M i t telpunktes M' als h' = 2 und k' = 3, sowie die Halbachsen der Ellipse als a = y/lÖ und b = x/iTzu entnehmen sind.

110. Man transformiere die allgemeine Kegelschnittgleichung A x

+ Bxy +

+ C y 2 + D x + E y + F = (x - l>(y - 1) - 1 = 0 auf eine Normalform. Die gegebene Gleichung x y - x - y 0

1

-1

1

0

-1

-1

-1

0

näre

= 2

und 4 A C - B

Hyperbel

Die Gleichung A ' x'

= 0 stellt wegen 2

= - 1 < 0 eine r e e l l e

oder

dar. o

+ B' y'

2

+ C' x' + D' y' + E1 = 0 des gedrehten

Kegelschnitts kann mit Verwendung der Beziehungen 2

2

A'

= A c o s a + B sin a c o s a + C sin a ,

B'

= A sin 2 a - B sin a c o s a + C c o s 2 a ,

C'

= Dcosa + Esina,

D'

= - D s i n a + E cos a ,

E'

= F,

unmittelbar angegeben werden, wenn zuvor ein Drehwinkel a aus tana

=

C - A ± V(C

- A ) 2 + B2 —

Es berechnen sich mit A = 0, B = 1, C = 0, D = - 1 , E = - 1 und F = 0, tan a = und unter Verwendung von a = 45°, sina

= cosa

=

1 V2"

A

= -B
0

eine Ellipse.

124. Gegeben ist die Parameterdarstellung r = u c o s t + v- s i n t mit den nichtkollinearen Vektoren u", v" und t e IR. Man weise unter Verwendung k a r t e s i s c h e r Koordinaten nach, daß der zugehörige Graph eine Ellipse ist und zeige, daß u, v den k o n j u g i e r t e n H a l b m e s s e r n entsprechende Richtungsvektoren sind. Multipliziert man ? = u- c o s t + v sin t von rechts her vektoriell mit vf bzw. v, so erhält man -» -» -> -> . , r x u = v x u - sin t r x v = -(v x u) • cos t . Quadrieren und Addieren beider Gleichungen führt auf (r x 5) 2

(? x v) 2 = (v x i ) 2 ,

+

und

was sich mit u =

(u 2 x - u x y) 2 + (v 2 x - v x y) 2 = ( v ^ 2

(u + v | ) - x

2

v

auf die Form 2

- VgUj) 2

- 2( U1 U 2 + V j V j l - x y + (u

2

oder

+ v ^ ) - y 2 - (vjUg - v 2 U l ) 2 = 0,

also die Gleichung einer Kurve 2. Ordnung bringen läßt. Mit den Bezeichnungen von Nr. 109 ist hier wegen D = E = 0 2A B D

B 2C E

D E 2F

=

Nun errechnet man 4(U1V2

- u ^ )

-(v x u)

2

2

2A B 0

B 0 2C 0 0 2F

(4 A C - B 2 ) • 2 F.

4 AC - B 2 = 4(u 2 + v 2 ) ( u j + Vj) - 4(u x u 2 + v^v 2 ) = 4(u x v)2 > 0

und

F

( v l u 2 " V2U1J

=

0.

Die Determinante ist demnach von 0 verschieden, was zusammen mit 4 A C - B 2 > 0 die Kurve 2. Ordnung als Ellipse kennzeichnet.

14 Kegelschnitte

in beliebiger Lage im R 2

103

Sind jetzt P j , Q^ Ellipsenpunkte mit den P a r a m e t e r w e r t e n ± t j , so ist = u costj + v sintj tq^ = u costj - v sintj und folglich Q j P j =

-

= 2 v*sintj. Demnach verläuft die Ellipsen-

sehne P j Q j parallel zu dem mit v gleichgerichteten Ellipsendurchmesser, falls

k 7r A k e Z ist, es sich also um voneinander verschiedene El-

lipsenpunkte P j , Q j handelt. Der Mittelpunkt M j der Sehne P ] Q i ergibt ?

sich aus

Pl

+

=

"Ql = u - c o s t j , d.h. M^ liegt auf dem zu u gleich-

gerichteten Ellipsendurchmesser, womit sich Halbmessern der . . . -180° t X ... -4 -1 y

~v als den zwei, konjugierten

Ellipse entsprechende Richtungsvektoren erweisen. -135° -90° 0° 45° 90° 135° 180° . . . -45° 3,54 4 -1 -3,54 -4 ... 1 2,12 -2,12 -2,12 -2 -0,71 1 2,12 2 0,71 -1 ...

Für u = | ^ j und v = ( ergibt sich die spezielle P a r a m e t e r d a r Stellung x = 4 cost - sint y =

c o s t + 2 sint

der Ellipse. Ihre Halbachsen lassen sich aus den gegebenen konjugierten Halbmessern mittels der R Y T Z s c h e n K o n s t r u k t i o n bestimmen. Dienachfolgende Konstruktion der S c h e i t e l k r ü m m u n g s k r e i s e (vgl. Nr. 71) gestattet eine bequeme Zeichnung der Ellipse, deren Gleichung sich über (x - 4y) 2 + + (2x + y) 2 = 81 zu 5 x 2 - 4 x y + 17y 2 - 81 = 0 ergibt.

2. D I F F E R E N T I A L R E C H N U N G 2.1 Explizite algebraische Funktionen 125. Gegeben ist in der G r u n d m e n g e G = R*) die g a n z r a t i o n a l e F u n k t i o n 3. G r a d e s f = { ( x ; y ) | y = 5x 3 - 7x 2 - 4x + 9 A x s R } oder kürzer y = f ( x ) = 5 x 3 - 7 x2 - 4x + 9 mit der D e f i n i t i o n s m e n g e Oy = R. Es sind sämtliche Ableitungen anzugeben. f' = { (x; y ' ) | y1 = 15 x 2 - 14 x - 4 A xe R } ^ = y' = 15 x 2 - 14 x - 4 dx

oder kürzer

mit der Definitionsmenge D3v> = R;

f " = { (x; y " ) | y" = 30x - 14 A x e R } , f ' " = { (x; y"' )| y"' = 30 A x e R } bzw. 2 iLl dx 2 d3y

= y" = 30 x - 14 = y1" = 30

mit Dyn = R,

mit Dy.n = R;

dx 3 f ( " > = { ( x ; yt ^>) | y< " > = 0 A x e R } mit D y ^ j

= R

bzw. ^ J . dx"

= y(

v)

= 0

für v = 4, 5, 6

126. Man bestimme in der Grundmenge 0 ;

107

108

2.

d y

=

dx

i y . l i 4 z - i . dz

= 3

y"

Differentialrechnung

dx

4

(1 +

= 4 ( 1

Q ) 4

3x

3 x

+

2

i

r

=

4

2

|X(1

.

3X2)"4-(2

+

x 4 x ( i

6

2

V 4

-

5 x

= 2 X . v T ^

y

f ^

=

=

2 d y - f» » f

" -

2bX

mit a, b e R und D y = R .

3 ' x4 J

d^

y

»-S

=

f

- o X3X3

2.1 Explizite

algebraische

Funktionen

111

a2y 2 dx 4

x

¿

4 4

_ 3xj 3x2 32y 3x2 3 x j

2z aa xx

i>

„

a2 y _ „ 3 x j ^3xg

d 2

1'

J - i

3x^ ^3 „x 4

-

ou

92y ^ x4

y

3x2

^—-— = 3X3 3x^

^—^ = 0, 3xg 3 x 2

7 — = - 2 bx44 : 3x 3 3 x 4

9 2iy- — = -— 3x 4 3x2

a 2-y -— = „0, 3x 4 3 x 2

a2 y= -2bx¿ . 3x 4 3 x g *

4 Die Definitionsmengen sämtlicher Ableitungen sind D = IR .

140. Der Graph der Funktion y = f(x) = x 3 + 2 x 2 - 5 x - 6 ist bezüglich vorliegender relativer Extrema (Maxima, Minima) und Wendepunkte zu untersuchen. Welche Gleichung hat die Tangente t des Graphen im Punkt P mit der Abszisse x p = - 1,5? R e l a t i v e E x t r e m a der Funktion y = f(x) oder ihres Graphen können nur an den Nullstellen von f1 (x) vorliegen ( N o t w e n d i g e B e d i n g u n g ) . Mit f' (x) = 3 x 2 + 4 x - 5 erhält man aus der quadratischen Gleichung 3x 2 + 4 x - 5 = 0 die Lösungen x j . 2 = — a l s o x j % 0,786 ' 0 und x 2 «s -2,120. Die zugeordneten y-Werte berechnet man aus y = f(x) unter Verwendung des HORNERschen Schemas:

1 0,786 -2,120

2

- 5 0,786 2,190 2,786 -2,810 -2,120 0,254 -0,120 -4,746

-6 -2,209 -8,209 » y t 10,062 4,062 «s y^

H i n r e i c h e n d e B e d i n g u n g e n für relative Extrema in Xj oder x 2 sind Vorzeichenwechsel von f' (x) an diesen Stellen. Über f' (x) = 3(x - xj)• (x - x 2 ) ss 3(x - 0,786)- (x + 2,102) erkennt man, daß f' (x) mit zunehmen-

112

2

Differentialrechnung

dem x in x^ einen Vorzeichenwechsel von - nach + und in x 2 von + nach - erfährt. Demnach liegt in x^ ein r e l a t i v e s M i n i m u m mit f(x^) = = y^ -8,209 und in X2 ein r e l a t i v e s M a x i m u m mit f(x 2 ) = y 2 « «b 4,062 vor. Ebenfalls h i n r e i c h e n d für relative E x t r e m a sind von 0 verschiedene Werte von f"(x) an diesen Stellen. Über f"(x) = 6x + 4 folgt f " ^ ) - ^ « 6- 0,786 + 4 > 0 und f"(x 2 ) «s 6- (-2,120) + 4 < 0, was ein relatives Minimum in x^ und ein relatives Maximum in x 2 anzeigt. Aus der o . a . Faktorisierung f' (x) = 3(x - x^) • (x - x 2 ) « 3(x - 0,786)•(x + 2,102) ersieht man, daß f1 (x) > 0 f ü r x < x 2 V x > x x , also f(x) in diesen Intervallen s t r e n g m o n o t o n w ä c h s t . Dagegen f ä l l t f(x) f ü r x 2 < x < x ^ s t r e n g m o n o t o n , weil hier f' (x) < 0 ist. .. -3,5 . . -6,875

-3 0

-2,5 3,375

-2 4

-1,5 2,625

-1 0

0 -6

1 -8

1,5 -5,625

2 . . . *) 0 ...

W e n d e p u n k t e können nur an den Nullstellen von f"(x) auftreten ( N o t w e n d i g e B e d i n g u n g ) . Läßt sich darüber hinaus an einer dieser Stellen ein Vorzeichenwechsel von f"(x) oder ein von 0 verschiedener Wert von f'" (x) nachweisen, so handelt es sich tatsächlich um einen Wendepunkt ( H i n r e i c h e n d e B e d i n g u n g ) . Mit f"(x) = 6x + 4 hat die Gleichung 2

f"(x) = 0 als einzige Lösung xg = -— . f"(x) wechselt mit zunehmendem x o

in Xg sein Vorzeichen von - nach + bzw. ist f ' " ( x ) = " 6 ¥=0, so daß mit f(xg) = y 3 « -2,074 der'Wendepunkt W(-0,667; -2,074) gesichert ist. Wegen f"(x) ^ 0 f ü r x ^ x 3 ist der Graph von y = f(x) für x < x 3 k o n k a v und f ü r x > Xg k o n v e x gekrümmt, wenn man im Richtungssinn der +Y-Achse blickt. Die Gleichung der T a n g e n t e t in P ( - 1 , 5 ; 2,625) ergibt sich über die Steigung m = t a n a = f ' ( - 1 , 5 ) = -4,25 mit a als Steigungswinkel zu y - 2,625 -=— = - 4 , 2 5 oder vereinfacht t = 17x + 4 Jv + 15 = 0. x + r1,5 mm 10 mm Mit den Maßstaben M v = e Yx _. , — = Einheit x cm 5 mm cm =

, ,, mm und M„ = eyv y Einheit y

M y ist die Steigung im Bild mß g = f' (xp) & mag der Tangente b ' Mx

= - 2 , 1 2 5 und damit der Steigungswinkel

a

ß

«115,20°.

*) In T a b e l l e n ist k e i n e U n t e r s c h e i d u n g zwischen g e n a u e n u n d g e r u n d e t e n W e r t e n g e t r o f f e n ; x u n d y sind r e c h t w i n k l i g e K o o r d i n a t e n .

2.1 Explizite algebraische

113

Funktionen

141. Man untersuche den Verlauf des Graphen von y = f(x) =

x2 - 1 einem kartesischen Koordinatensystem und ermittle die Gleichung des Krümmungskreises im Punkt P(- v T ; 1). f' (x) =

•2x (x

2

f"(x) = - 2

- l) 2 (x 2 - l ) 2 - 2 x(x 2 - 1) • 2 x (x* - l) 4 3x

+ 1

(x - l ) 3 2

für i x| # 1.

Gerade Funktion: X

y

...

±3

...

0,125

±2

+1,25 i l ±0,75 1,778 ±00 -2,286

±1,5

0,333

0,800

±0,5 -1,333

0 -1

R e l a t i v e E x t r e m a , f1 (x) = 0 : 1 = Vi = Wegen i"(x x ) = - 2 < 0 ist M(0; -1) ein r e l a t i v e s M a x i m u m , was sich auch ohne Verwendung von f"(x) aus der Tatsache ergibt, daß f' (x) mit zunehmendem x in x^ einen Vorzeichenwechsel von + nach - erfährt. X

f"(x) = 0 hat keine Lösungen in der Grundmenge IR; es gibt demnach auch keine W e n d e p u n k t e . Die beiden Nullstellen des Nenners von f(x), nämlich X23 = ±1 lassen das Parallelenpaar x + 1 = 0 als zur X-Achse senkrechte A s y m p t o t e n

er-

kennen. Wegen lim f(x) = lim — = 0 ist die X-Achse eine weitere X -»-±00 >±MX2 - 1 Asymptote. Die Koordinaten x M und y M des M i t t e l p u n k t e s M des K r ü m m u n g s k r e i s e s in P(- \/2\ 1) können nach den Formeln X

M -

y'

X

P

= f' (-

. (1 + y'p) yj>

V~2)

23 und yM = 14

= 2

V2

und

und

y"

y VT = yT

1 + y'p

mit

yï> = f"(- v T ) = 14 zu x „ = - H y / i M

1,64 berechnet werden.

3,23

114

2.

Differentialrechnung

Der R a d i u s p des K r ü m m u n g s k r e i s e s hat die Maßzahl 3 27 (1 + y ' p ) 2 — «= 1,93 und die Gleichung des Krümmungskreises y!P

(

16 \2 x + — \Ì2 I

+

! 23 \ 2 / 27 \ ( y ~ "14 ) = ( l 4 / '

E r

d u r c h s e t z t d e n Gr

aph.

12

142. Man diskutiere den Graph von y = f(x) =

und stelle die x + 2x + 4 Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt mit der kleineren Abszisse auf. x + 1

f ' (x) = - 24 (x

+ 2 x + 4) z x + 2

f"(x) = 72 x

(x 2 + 2 x + 4) 3 f" 1 (x) =

288(x + 1) (2 - 2x - x 2 ) ( x 2 + 2 x + 4) 4

. -5 0,63 Relative

-4

-3 1.71

- 2 - 1 0 4 3

1 1,71

2 1

3 0,63

0,43 . . .

'

E x t r e m a , f'(x) = 0 :

x + 1 = 0, x j = - 1 , y x = 4. Über f"(- 1) = - 72-

< 0 oder auch den ui

Vorzeichenwechsel von + nach -, den f' (x) in x^ mit zunehmendem x erfährt, ist M ( - l ; 4 ) a l s r e l a t i v e s M a x i m u m erkennbar. W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0 : x(x + 2) = 0; x 2 = 0, x 3 = -2; y 2 . 3 = 3. Wegen f'" (0) = £ 0 , f " ' ( - 2 ) ¥=0 erweisen sich W^O; 3) und W 2 (-2;'3) als Wendepunkte. Gleichung der W e n d e t a n g e n t e 3 ^ | = f ( - 2 ) = | ,

^ ^

2

Aus y = f(x)

12

(x+ 1 r + 3 kennbar.

in W 2 (- 2; 3):

3x - 2y + 12 = 0

ist g.= x + 1 = 0 als Symmetrieachse e r -

2.1 Explizite algebraische

143. Man diskutiere den Graph von y = f(x) =

115

Funktionen

und ermittle weiter1

+

x2

hin die Gleichung der Normalen n im Punkte P sowie die Länge von Normalen- und Subnormalenabschnitt bezüglich dieses Punktes.

f"(x)

10 x . (1 + x 2 ) 3

Ungerade Funktion: x y

. . . ±5 . . . ±0,96

Relative

±4 ±1,18

±3 ±1,50

±2

+1

±2

±2,50

0 0

E x t r e m a , f'(x) = 0 :

x 2 = 0, x 1 ; 2 = ±1, y 1 ; 2 = ± I " • f " ( + l ) < 0, f " ( - l ) > 0 oder die Art der Vorzeichenwechsel von f' (x) in x j = + 1 und x 2 = - 1 bestätigen M j ( l ; 2,5) als r e l a t i v e s M a x i m u m und M 2 ( - 1 ; - 2,5) als r e l a t i v e s Minimum . Wendepunkte,

f"(x) = 0 :

x(3 - x 2 ) = 0, x 3 = 0, x 4 . 5 = ± V i f ; ys = f "(0) ^ 0, f'" ( + \ / 3 ) ,,!

y4;5 =

0 erweisen W^O; 0), W 2 ; 3 |±\/3; + \ / 3 1

als

Wendepunkte. Gleichung der N o r m a l e n " I x - 3 y

ninp|3;yj:

1 , n s 5 x - 2 y - 12 f'(3)

0.

Die Längen von N o r m a l e n - u n d S u b n o r m a l e n a b s c h n i t t des Punktes P PN

yp V 7 7

K )

bezüglich

können nach den Formeln

»

cm

—

V ^ cm

1,62 cm

116

2.

und SN =

Differentialrechnung

y

cm = — cm = 0,6 cm 5

P ' yP

berechnet

werden, wobei die Längeneinheiten auf den Achsen in cm angenommen wurden.

144. Der Verlauf des Graphen von y = f(x) = x + 2 + — ist zu untersuchen. x 1 2 f'(x) = 1 , f"(x) = — für x =£0. x2 x3 •

-5

-4

-3

-2

-1

-0,5

-0,25

0

0,25

0,5

1

R e l a t i v e E x t r e m a , f'(x) = 0: x 2 - 1 = 0, x 1 : 2 = ± 1, y 1 = 4, y 2 = 0. f"(+l) > 0, f " ( - l ) < 0 ergeben 4) als r e l a t i v e s M i n i m u m und M 2 (-1; 0) als relatives Maximum.

W e n d e p u n k t e können nicht auftreten, da f"(x) für keinen Wert von x verschwindet. Die Y-Achse ist eine A s y m p t o t e der Kurve. Die weitere Asymptote hat die Gleichung y = m x + q. Ihre Steigung m folgt aus m = l i m i W = lim I 1 + — + — ) x

=1

X2

der Achsenabschnitt q wird aus q = lim [f(x) - mx] = lim

1 x + 2 +— - x x

= 2

erhalten. Demnach ist diese A s y m p t o t e n g l e i c h u n g y = x + 2.

2.1 Explizite algebraische

Funktionen

117

Da der Funktionsterm f(x) der unecht gebrochenrationalen Funktion y = f(x) als Summe des T e r m s x + 2 einer ganzrationalen Funktion und des T e r m s einer echt gebrochenrationalen Funktion vorliegt, kann die Asymptote auch unmittelbar als Graph der ganzrationalen Funktion 1. Grades y = x + 2 erkannt werden.

145. Man untersuche den Graph von y = f(x) = (2 + x) f'(x) = — , f"(x) = 8 1 " 3 (2 + x) (2 +

f " ( x ) = 24

...

xf

X

" 2 , für x # - 2 . (2 + x) 5

2,78

Relative

X

-4 4

-3 9

-2

-1,5

- 1 0 1 0

1 0,11

0,25

0,36

E x t r e m a , f1 (x) = 0 :

X des 1 = °> y l = ^ 0 oder auch die Vorzeichenwechsels von f'(x) in x^ = 0 weisen den Nullpunkt als r e l a t i v e s M i n i m u m aus.

W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0 : 1 - x = 0, Xg = 1, Y2 « 0,11. f'" (1) # 0 oder der Vorzeichenwechsel von f"(x) in x 2 = 1 kennzeichnen W

als Wendepunkt.

Die Gleichung der zur Y-Achse parallelen A s y m p t o t e ergibt sich durch Nullsetzen des Nenners zu 2 + x = 0. „2 Uber lim lim 1 folgt y - 1 = 0 als GleiX ± X -*±oo / 2 (2 + * r 00

chung einer zur X-Achse parallelen Asymptote.

118

2.

Differentialrechnung

Zu diesem Ergebnis führt auch die durch Polynomdivision oder durch die Umformung „. . f(x) =

x

2

x

=

9

=

x

2

+ 4 x + 4 - 4 x - 4

X2 + 4X + 4

(2 + x) 2

, = 1 +

X2 + 4 X + 4

- 4x - 4 X2 + 4 X + 4

erhältliche Zerlegung des T e r m s f ( x ) der unecht gebrochenrationalen Funktion y = f ( x ) in einem ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen T e i l (vgl. N r . 144). E r s t e r e r ergibt die Asymptotengleichung y = 1.

146. Der Graph von y = f ( x ) = suchen.

ist auf seinen Verlauf zu unter(3x - 2) 2

f ' ( x ) = 24 x 2 — — ~

2

f " ( x ) = 192

, (3x - 2)

für x

—

x

...

-4

-3

- 2 - 1

0

0,5

1

2

3

4

5

y

...

-2,61

-1,79

-1

0

4

8

4

4,41

5,12

5,92 . . .

Relative

-0,32

E x t r e m a , f ' ( x ) = 0:

x 2 ( x - 2) = 0, x 1 ; 2 = 0, x 3 = 2, y 1 ; 2 = 0, y 3 = 4. f " ( x 1 ; 2 ) = f " ( 0 ) = 0. Das übliche Kriterium für relative Extrema versagt also hier. Tatsächlich liegt kein relatives Extrem um vor, weil f ' ( x ) in X j = x 2 = 0 keinen Vorzeichenwechsel erfährt. f " ( x 3 ) = f " ( 2 ) > 0 oder auch der mit zunehmendem x in x 3 = 2 auftretende Vorzeichenwechsel von f ' (x) von - nach + ergibt M(2; 4) als r e l a t i v e s M i n i m u m . W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0: Xl

= 0, y x = 0. f ' " (0)=£ 0 führt auf W(0; 0) als Wendepunkt mit der X -

Achse als

Wendetangente.

2.1 Explizite algebraische

Funktionen

119

Über die Nullstelle — des Nenners von f(x) erhält man die zur Y-Achse par3

2

allele Gerade mit der Gleichung x = —• als eine A s y m p t o t e . O

Die Steigung der zweiten Asymptote wird zu m =

lim

X->±oo

f(x) x

2

=

8xa

lim

x->±

(3x -

=

lim

2r

erhalten;

**• (> -1: 2 |2

der zugehörige Achsenabschnitt wird q =

-

lim

X->±oo

lim

X -»±o

[f(x) - m x ] =

8 xJ

lim

x->±=o

(3 x - 2T

12 x

8 x-

lim

9(3 x - 2)

32 9

3 - 1 x

32 27

M)

8 32 Somit lautet die Gleichung dieser Asymptote y = — x + — . Diese kann auch aus der durch Polynomdivision erhältlichen Zerlegung 32 _128 „ . 8 32 3 X " 27 der unecht gebrochenrationalen Funktion f (x) = — x + — - + 9 27 „2 3 x - 12x + 4 hergeleitet werden (vgl. Nr. 144). Der ganzrationale Anteil führt nämlich 8 32 auf y = — x + — als Asymptotengleichung.

147. Welchen Graph hat y = f(x) = — X

...

-2

y

...

6

-1,5 4,58

-1 4

-0,5 5,25

0

0,5

1

1,5

2

2,5

±oo

-2,75

0

1,92

4

6,45 .. .

Division mit x liefert die Zerlegung f(x) = ( X 2

+

i)

+

...

Ii. .

Der ganzrationale Anteil (vgl. Nr. 144) läßt die Parabel P = y - x ^ - l = 0 als Grenzkurve erkennen, welcher sich der Graph von y = f(x) mit x->-± 0 0 beliebig nähert.

2.

120

Differentialrechnung

Die Y-Achse ist A s y m p t o t e . f' (x) = 2x + — , x2 f"' (x) = —

f"(x) = 2 - — , X3

f ü r x * 0.

R e l a t i v e E x t r e m a , f'(x) = 0 : o 2 2 x + — = 0, x = - 1. also Lösung xi = - 1 x2 in der Grundmenge R. Mit f"(-l) > 0 erhält man M ( - l ; 4 ) a l s r e l a t i v e s M i n i m u m . W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0 : 2

= 0, also Lösung x , 1,26 in der Grundmenge R. Wegen x3 f'"(xo)¥= 0 ist W(l,26; 1) ein Wendepunkt.

x 1 148. Man untersuche den Graph von y = f(x) = - v ' x = — x2 und bestimo o me die Länge von Tangenten- und Subtangentenabschnitt f ü r den Punkt

1 — f(x) = - x 2 X

y

0 0

, f ü r x > 0.

4 Vx

1 0,33

Relative

1

, für x > 0; f"(x) =

2

2 0,94

3 1,73

4 2,67

5 3,73

6 4,90

7 6,17 . . .

E x t r e m a , f'(x) = 0 :

Xj = 0. Dies ist aber das kleinste Element der Definitionsmenge t)y = R* von y = f(x) und daher f' (0)= 0 die r e c h t s s e i t i g e A b l e i t u n g . Im Nullpunkt hat der Graph somit eine in die X-Achse fallende einseitige Tangente. Ein relatives Extremum liegt jedoch in Xj = 0 nicht vor, weil y = f(x) f ü r x < 0 nicht definiert ist. Tatsächlich handelt es sich wegen des monotonen Wachsens von f(x) in D y um ein a b s o l u t e s R a n d minimum . f"(x) = 0 hat keine Lösung, weshalb es keine Wendepunkte geben kann. Die Längen von Tangenten- und Subtangentenabschnitt bezüglich des Punktes P (4;

berechnen sich mit Yp = 1 zu

2.1 Explizite algebraische Funktionen

PT =

— VTcm 3,77 cm

ST =

und

= — cm « 2,67 cm

bei cm als Längeneinheiten auf den Achsen.

149. Welchen Verlauf hat der Graph von y = f(x) = x - V x + 2 f'(x) = 1

,

1

f"(x) =

2 Vx + 2 x l -2 y | -2

-1 ^2

0 -1,41

1 -0,73

1 • , 4 n/x + 2 3

2 3 0 0,76

4 1,55

?

für x > - 2.

5 2,35

6 3,17...

'

f(x) hat die (maximale) Definitionsmenge D0y = [ - 2 ; + °° [• Relative 2 Vx+2 Vi =

E x t r e m a , f'(x) = 0: - 1 = 0; x, = - 4 - , i 4

•

A u s

f"

(-}) >

ist M(-1,75; - 2,25) als Minimum

0

relatives

erkennbar. Keine

Wendepunkte,

weil f " ( x ) = 0

keine Lösung hat.

150. Man diskutiere den Graph von y = f(x) = f(x) hat die (maximale) Definitionsmenge D y = IR\ {

3

} •

x + 2 Nachdem die Ungleichung — < 0 in D v die Lösungsmenge x - 3 -- ~ y [-2;3[

besitzt, gilt für x e L die Gleichung

x + 2

x + 2

121

122

2.

Differentialrechnung

I

X +

x + 2 — . Zusammengefaßt ist also x - J

2

x - 3

x + 2 ]/, falls 3 - x

fx(x) = f(x) f

f

iw =

2

«

=

— ,

x e [ - 2 ; 3[

, falls

.

5

xe

ijW

R\[-2;3],

I•

=

4

2 V (x + 2) (3 - x ) 3 für f

4x + 3 V(x

+ 2?

(3 - x ) 5

'

x e ] - 2 ; 3 [,

2(x)

=

f"(X) 4 -

# -5 2 \/(x + 2) (x - 3 ) 3

4 x

y/(x

+

3

+ 2 ) 3 (x -

— , 3)5

für x e R\ [ - 2 ; 3 ] . x

...

-5 .

-4

0,61

0,53

6

7

1,63

1,50 . . .

-3

-2

0,41

-1

0

0

0,5

0,82

1,22

2 2

3 4 °° 2 , 4 5

1,87

'

R e l a t i v e E x t r e m w e r t e können in den Definitionsmengen von f j ( x ) und f ^ x ) nicht a u f t r e t e n , w e i l dort weder f j ( x ) = 0 noch f ^ x ) = 0 Lösungen b e s i t z e n . f l ( x ) und f2(x) sind in x j = - 2 auch nicht e i n s e i t i g d i f f e r e n z i e r b a r . P ( - 2 ; 0) i s t e i n e S p i t z e und das a b s o l u t e

Minimum

des G r a p h e n , d e r dort eine

zur Y - A c h s e p a r a l l e l e Tangente aufweist. Die Gleichung f j ( x ) = 0 b e s i t z t in i h r e r Definitionsmenge ] - 2 ; 3 [ die 3 Lösung x 2 = - — . Wegen des V o r z e i c h e n w e c h s e l s von f'j(x) in ist / 3 1 \ W

j^gj

ein W e n d e p u n k t .

Definitionsmenge R \ [ - 2 ; 3 ]

Die Gleichung fgix) = 0 hat in i h r e r

keine Lösungen.

Die G e r a d e n mit den Gleichungen x = 3 und y = 1 sind A s y m p t o t e n .

2.1 Explizite

algebraische Funktionen

123

n , 151. Der Graph von y = f(x) = x v x + 3 soll auf seine speziellen Eigenschaften untersucht werden. D y = [-3; + « [. f' (x) =

_x 5x + 12

V^Tl

1

3 5x 2 + 24 x + 24 / 3 y/X + 3

4

3 5x 2 + 36 x + 72 f"'(x) = v 8 v^TTT 3 D • = D „ = D

X

y

-3 0

= D\{-3} -2 4

-2,5 4,42

Relative

mit

-1,5 2,76

-1 1,41

0 0

1 2

1,5 4,77

2 8,94 . . .

E x t r e m a , f'(x) = 0 :

x • (5x + 12) = 0,

= 0, y x = 0; x 2 = - ^

Xl

= - 2,4,

y 2 « 4,46.

Wegen f"(0) > 0 und f"(-2,4) < 0 ist M^O; 0) ein r e l a t i v e s und M£(- 2,4; 4,46) ein r e l a t i v e s M a x i m u m des Graphen.

Minimum

W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0 : o - 12 ± 2 v/fT + 24 x + 24 = 0, x 3 ; 4 = ; x g ^ - 1,42, x 4 « -3,38. x 4 € Dy». Mit x 3 und f'" (x 3 ) / 0 ergibt sich W(-1,42; 2,53) als Wendepunkt.

152. Wie verläuft der Graph von y = f(x) = V x 3 - 4 x ? Die Definitionsmenge D D y = [-2; 0] U [2; + oo [ . 3xz - 4

i (x) = 2 f ' " (x)

N/X3

3 x 8

,

ergibt sich als Lösungsmenge von x 1 3 x 4 - 24x 2 - 16 f"(x) = — 4 Vx 3 - 4x 3

-

4X

6

- 20 x 4 - 80 x 2 + 64

Vx 3 - 4 x 5

mit Dy, = D y „ = Dyiu = D y \ { - 2 ; 0; 2} .

0

- 4 x > 0 zu

2.

yl

Differentialrechnung

Ö

1~62

Relative

1/73

1737

0 — 0

2737

3 3,87

4 6,93 . . .

E x t r e m a , f ' ( x ) = 0:

3 x 2 - 4 = 0, x 1 ; 2 = ± - | V 3 « 2 j— x j = —• V 3 € D 3

y

2 A u s x 2 = - — V 3 e (Dyi 3

ergibt sich mit f " ^ ) < 0 das Maximum

±1,15.

relative

M ( - 1,15; 1,75).

W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0: 3 x 4 - 24 x 2 - 16 = 0, x 2 »

±2,94. x 5 ; 6 = ±

(3 ± 2 V T ) , x 3 ; 4 = ± j / y ( 3 + 2 - / 3 ) ~

(3 - 2 V J ) € R.

Von den Werten Xg 2,94, X4.:« -2,94 liefert x g wegen f"'(xg)=£ 0 den Wendepunkt W(2,94; 3,69), während x 4 i D y „ ist.

153. Man untersuche den Graph von y = f(x) = (x + 2) • V x - 1 . Dy =

[1;+-[U

(-2}. ,

f"(x)

Vx - 1 f'"(x) = - f

~ 4 v^TTl5 Dy" = Dy'" =

3

x - 2

4

Î-3 V/x - 1

X

8

mit

Dy'

=

-2 — 0 —

1 0

1,5 2,47

D

y N { " 2 ; *} •

2 4

P ( - 2 ; 0) ist ein i s o l i e r t e r

3 7,07 . . . ' Kurvenpunkt.

Es gibt keine r e l a t i v e n E x t r e m a , w e i l f ' (x) = 0 in der Definitionsmenge Dy, nicht lösbar ist. W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0 : x - 2 = 0, x 1

=

2 e D y n . Wegen f'" (2) ^ 0 ist W(2; 4) ein Wendepunkt.

2.1 Explizite algebraische Funktionen

125

154. Man untersuche die durch r = f(

° 4 ~2 4" 4* 2* 4 r

0

0,39

0,79

1,18

1,57

1,96

2,36

2,75

3,14

9_ 4

T ir

...

3,53 . . .

Wird das kartesische XY-Koordinatensystem so gelegt, daß dessen Ursprung in den Drehpunkt des R a d i u s v e k t o r fällt und dieser für ¡p = 0 in Richtung der positiven X-Achse weist, dann gelten die Transformationsformein x = r cosip und y = r simp . Damit folgt die ParameterdarStellung x = 0,5ip- cos^> , y = 0,5p

0

2.1 Explizite

/ dy\ ^ -E

erhält man

=

2 T'

algebraische

127

Funktionen

Steigung m n der N o r m a l e

n in P

1 2 TT ist daher m n = - — = - — und ihre Gleichung ergibt sich über ¥

6 y - TT _ x

TT 2

zu l,57x + y - 1,91 « 0.

156. Man untersuche die durch r = f( 0, 1 - y j

> 0 ist

0
0 , liegt in M | 0; - 0 , 5; y j

• f ^ - q2y](xi.

yi)

-40 -160 = ^ • 27

0>

ein relatives Maximum vor.

Parallelebenen zur XY-Ebene im gerichteten Abstand c j schneiden die sich als Graph ergebende Fläche in Kegelschnitten mit den Gleichungen 5 x 2 + + (5 + c i ) y 2 + 4 c x y + 4 c i - 5 = 0. Für c j = - 5 erhält man mit x 2 - 4 y - 5 = 0 die Gleichung einer Parabel. Für c j - 5 können über die Umformung

2.1 Explizite algebraische

133

Funktionen

2Cj x2 — 5 - 3cj

+

\

y +

5 + C !/ zjz —r— 5(5 - 3 c , )

= 1

5 im Falle - 5 < Ci1 < — Ellipsen mit 3

r

5 + c, i

(5 + Cl

dem Sonderfall eines Kreises für c^ = 0, sowie f ü r c^ < - 5 Hyperbeln a l s 5 Schnittkurven erkannt werden. Cj > — erbringt keine reellen Kurven. 3 5 / 5\ c^ = — liefert den bereits errechneten Punkt M 10; - 0 , 5 ; — I a l s absolutes Maximum. Die Schnittkurven des Graphen mit Parallelebenen zur XZ-Ebene von der Gleichung y = C2 sind Parabeln mit den Gleichungen 5 x 2 + (2 + c - ^ • z - 5(1 - c 2 ) = 0. 2 y + 2 = 0 ist die Gleichung einer a s y m p t o t i s c h e n E b e n e , welcher sich die Fläche für z -»• - °° beliebig nähert.

161. Man diskutiere den Graph der Funktion z = f(x; y) = 2-—

y

+

2

x2 + y2 mit D z = R 2 \ { 0 ; 0 } . Durch partielle Differentiation ergeben sich 9z _ 9X

2

"

32z 3X2 32z _

- x 2 + y 2 + 2xy - 4 x (x 2

+

y2)2

- x 2 + y 2 - 2 xy - 4 y

3y =

(x 2

+

y2)2

^ x 3 - 3 x 2 y + 6 x 2 - 3xy 2 + y 3 - 2 y 2 (X2 + y 2 ) 3 x 3 - 3 x 2 y - 3 xy 2 + y 3 + 2 x 2 - 6 y 2

3y 2 92z = ^3 x— 3y

3z

(x 2 + y 2 ) 3 92z 3—i— y3x

= 4

. x 3 - y 3 + 3 x 2 y - 3xy 2 + 8xy " , (x 2 + y 2 ) 3

... 2 2 f u r x + y # 0.

Relative Extremwerte, f'x = 0 und f'y = 0 : Die in F r a g e kommenden Wertepaare (x; y) ergeben sich als Lösungsmenge des Gleichungssystems

134

2.

Differentialrechnung

- x 2 + y 2 + 2 xy - 4 x = 0 -x

2

+ y

2

-2xy-4y=0

. . . 1) . . . 2)

in der Grundmenge D z -

1) + 2)

- 2 x 2 + 2y2 - 4x - 4y = 0

. . . 3)

1) - 2) 4 x y - 4 x + 4y = 0

...4)

aus 3) (x + y) (x - y + 2) = 0

. . . 5)

5) in 4) y = -x: x 2 + 2x = 0 X

1

=

x

=

2

~2'

Yl = 0, y 2 =

2;

y = x + 2: x2 + 2 x + 2 = 0 x

3;4 = - 1 ± i-

y3;4 =

1 ± i.

(x 1 ;y 1 ), (x 3 ; y 3 ), (x 4 ; y4)° ^

iyy - f $ ( x 2 ; y 2 )

=

l ' J ~

0

>

^gt

in M(-2; 2; - 0 , 5 ) ein relatives Minimum vor. Durch z = c A c ¥= 0 festgelegte Parallelebenen zur XY-Ebene schneiden die Fläche in Kreisen mit den Gleichungen c x 2 + c y 2 - 2 x + 2y - 4 = 0 1 \2 / 1\2 4c + 2 x - — j + ^y + — I = — . Reelle Kreise t r e ten somit nur f ü r c > - 0 , 5 auf und der sich f ü r c = - 0 , 5 ergebende, ber e i t s f r ü h e r gefundene Punkt M(-2; 2; - 0 , 5 ) ist daher ein absolutes Minimum der Fläche. F ü r c = 0 ist die Schnittkurve eine Gerade mit der Gleichung x - y + 2 = 0.

(

2.1 Explizite

algebraische

135

Funktionen

162. Welchen größten Flächeninhalt A m a x kann ein Rechteck annehmen, das sich von einem Seil der Länge 1 umspannen läßt? Bezeichnet man die Länge einer der Rechteckseiten mit x, dann läßt sich der Inhalt des Rechtecks in der Form A = f(x) = x

l

- x j darstellen, wobei vom

Problem her x auf

X€D A =

1 beschränkt werden muß. Uber f' (x) = — - 2 x 2

liefert f' (x) = 0 als einzige Lösung die Länge x M =

Wegen

l2 f' (x) ^ 0 f ü r x A x e D A liegt daher mit A m a x = f(x M ) = — a b s o l u t e M a x i m u m des Flächeninhalts vor.

das

Das Quadrat hat somit von allen Rechtecken gleichen Inhalts den kleinsten Umfang. I2 / 1\ 2 Durch die Umformung f(x) = — -

Ix - — I

kann der Graph von A = f(x)

als Parabel mit den Scheitelkoordinaten x M und A m a x erkannt werden. Für die Zeichnung wurde 1 = 12 cm gewählt, woraus sich A m a x = 9 cm ergibt. -9 cm2 s * M X t1 j û 1 2 4 3 5 6 A cm A cm

2

0

5

8

9

8

5

i

0 J /

K

a*

4 cm

\ V

XJ—+

163. Bei welchem Zuschnitt eines rechteckigen Kartons mit den Seitenlängen a und b kann aus ihm eine einseitig offene Schachtel mit größtem Rauminhalt hergestellt werden? Die Seitenlänge x der an den Ecken auszuschneidenden Quadrate ist die Höhe der zu faltendem Schachtel. Ihr Volumen i s t daher V = f(x) = (a - 2 x) • • (b - 2x)x = 4x^ _ 2(a + b)x 2 + a b x , wobei ohne Beschränkung der Allgemeinheit a > b vorausgesetzt werden kann und von der Aufgabenstellung her Dy = j x | 0 < x < ^ J ist. f'(x) = 12 x 2 - 4(a + b)x + ab, f"(x) = 24x - 4(a + b)

für x e D v .

136

2.

Differentialrechnung

Relative Extrema von V erfordern f' (x) = 0. Nach dem Satz von R O L L E muß nun diese quadratische Gleichung wegen f(0) = f ^ ) zwei reelle Lösungen

Xl,

x 2 mit 0 < x j
0 von der Art des Gases abhängige Konstante, sowie n die Anzahl der Kilomole des Gases. Für welchen Wert T = T k r besitzt der Graph von p = f(v) einen Wendepunkt W mit zur v-Achse paralleler Tangente ( k r i t i s c h e r P u n k t ) ? Welchen Verlauf nehmen die Graphen für T ^ T k r ? p +

Aus p =

nRT v - nb

-

n2a o v

wird durch Differentiation nach v dp dv

nRT . ,o (v - nb)

d2p _

2 nRT

dv 2

6n2a

(v - nb) 3

für v > nb

2 n2 a "J vö

v4

erhalten. 2

Für den verlangten speziellen W e n d e p u n k t

W muß

dv

= dv

2

= 0 sein.

Division der beiden Gleichungen RT

2 na

(v - nb) 2

v3

, und

RT

3na

(v - nb) 3

v4

führt zunächst auf das kritische Volumen v k r = 3 nb, und dann durch Einr, , . . r,™ 2 na(v - nb) 2 setzen dieses Ergebnisses in R T = — v3 8a peratur T k r =

2 7 b R

auf die kritische Tem-

. Der zugehörige skalare Wert des kritischen Druckes

berechnet sich schließlich zu p k r =

a

2.1 Explizite

algebraische

143

Funktionen

Sämtliche Graphen haben die Parallele zur p-Achse im gerichteten Abstand nb und die v-Achse als Asymptoten. Für Ammoniak NH3 beispielsweise, sind die Konstanten a = 4,23 • 105 Nm4

b = 3,71 • 1CT2 m3-.

und

Mit 2 Kilomolen Ammoniak (etwa 34 kg), also n = 2 wird v k r = 22,26- 10"2 m 3

p ^ « 113,8 • 1 0 5 — m2

und

bei

T k r = 406 K.

Die Zustandsgieichung spezialisiert sich auf 16,64 • 103 T

P =

Nm 16,92 • 10 5 "¿7- - — 1

v - 7,42 • 10"2 m

4

Nm .

v2

T = 430 K: V

10' 2 m 3 P 105 Nm" 2 T.

...

15

20

25

30

35

40

45

50 . . .

. . . 192

146

136

129

121

114

107

100 . . .

= 406 K: V

10" 2 m 3 P 5

10 Nm" 2

13

15

18

20

25

. . . 210

139

116

114,0

113,6

13

15

...

30

35

40

111

107

102

45

50 . . .

96 91 .. .

T = 380 K : V

10'2m3

...

12

17

20

25

30

35 40

45

50 . >

P 10 5 Nm" 2

. . . 206

132

82

75

80

89

92

91

88

85

81 .

170. Eine Sammellinse mit den Brennweiten -f = f' erzeugt von einem Gegenstand G im Abstand - x > - f ein reelles Bild B im Abstand y gemäß der Linsengleichung - — + — = 77 • In welcher Entfernung x muß

144

2.

Differentialrechnung

sich G befinden, damit der Abstand e zwischen Gegenstand und reellem Bild am kleinsten wird? Es gilt xf' x + f'

e = - x + y = - x +

für

de = -x dx

D

e ={x|x

x + 2 f'

d2e

(x + f' ) 2

' dx2

0 und

liegt ein relatives Minimum vor. Dieses beträgt I p ( m i n ) = 3,0275 • 10"^ k g m 2 und bezieht sich auf die zur Z-Achse parallele Achse durch S(0,25; 1,5; 0) cm.

175. In dem dargestellten speziellen sphärischen Viergelenkgetriebe bewirkt eine umlaufende Bewegung des Antriebsgliedes 0AQA mit dem Kurbelwinkel

= i i \ T I T + a - x - y/

festgelegt

In welchem Punkt Q des Innern des Dreiecks 0AB nimmt H den kleinsten Wert an? (Zahlenbeispiel: I j = 1 A, Ig = 4 A, Ig = 0,5 A, a = 4 cm) In der durch die Fragestellung festgelegten Definitionsmenge C>H = { (x; y)| 0 < x < a A 0 < y < a " x } v o n f ( x J y) i s t

I

2.1 Explizite

I fx

= 7T~ 2ir

2

—

T

3

+

algebraische

Funktionen

153

^

(a - x - yV

1cm- • I » 1 cm .

r

™

yy

(

±

2ir

3

\

\ x

,

3

27T \\ y"35

J

h

i

l

_

\

, x3/ (a - x - y) /

'

f"x

(a - x - y)oJ // '

1 =— . y 2tt

2I

3

^

J (a - x - y)

Die für relative Extremwerte notwendigen'Bedingungen f^ = 0, f' = 0 ergeben das Gleichungssystem

a - x - y

a

vT

"

x

"

y

Wegen (x; y)e Dg gelten nur die positiven Vorzeichen. Division beider Gleichungen liefert

| / I

o d e r y - x } ^

,

was nach Einsetzen in die erste Gleichung auf

= T K

Gf

a

v ^

, also x^ = Vi^ + Vi^ + V i3

vT

2

a y

l =

v ^ führt. Wegen 0 < x j < a, y^ > 0 und

Vlj" +

a - x^ = a

Vl2

+ Vig

V2

v/17 + V i 3 v T — ^ Z Z > y x ist (xiJry^eDjj. Weil außer+ + Vlg V T

dem in D H sowohl fxx ^ > 0 als auch XX • fl'„. - f „2 yy xy

154

2.

Differentialrechnung

/ 41^2

4l1I3Vi"

4I2I3VT

1

4 7r2

1

\ x 3 y3

y 3 (a - x - y)3

x 3 (a - x - y) 3

> 0 ist, liegt in

y^) als einziges relatives Extremum in Dg ein relatives Minimum vor. Da sich in der Nähe des Randes von D H beliebig große Feldstärken ergeben, ist H m j n zugleich absolutes Minimum. Die speziellen Werte erbringen x^ « 2,08 cm, y j « 1,04 cm,

H ^ ^

« 58,70 — . m

2.2 Explizite transzendente Funktionen 179. In der Grundmenge y.

= - y lg(l + x 4 ) für D y = R;

3 -2x3lge J 44 -4 x = 4 1 + x 1 + x* Ige

= 2 ab- (a 2 - b 2 x 2 )" 1 für D y , = D y ;

x

y» = - 2 ab(a 2 - b 2 x 2 )" 2 ( - 2 b 2 x) =

y

4'

,

„ 3 x 2 ( l + x 4 ) - x 3 - 4x 3 , „ 3x2 - x6 y" = - 2 • lg e = - 2 • lg e (1 + x 4 ) 2 (1 + x 4 ) 2 4 4 « - 2 • 0,43429 • x 2 - 3 ~ * — = - 0,86858 x 2 • 3 ~ X (1 + x 4 ) 2 (1 + x 4 ) 2 für D y „ = D y , = D y .

2.2 Explizite

188.

y = are sin(x +

V i

=

1 - j ( - x

2

1

1 = l)2

- (x +

= (-x

V - x(x +

^ 2x)~2 • (- 2 x

-

-

y = are c o s — x

y

-

X

2) =

f

+

2)3

lx|>

1 ;

y = xx

^

für x >

Ü b e r die D a r s t e l l u n g y'

= e

x l n x

y"

= e

x l n x

• (4 x

-

2 x)

1

sgn x

y = xx

= e

x

( l

+

lnx) = x (l

( l

+ lnx)2 +

e

+

x

Gleichung

lny

= lnx3' = x • lnx.

Vx

dx

= lnx +

1

191. l i m tan(3 x ) n tanx 2

2

für | x I >

-

1

'

l n x

lnx)2

+

1.

folgt

x l n x

- i

=

(1 +

oder

dx

=

= y'

lim ^

x

-

für x >

der ersten Ableitung ergibt

D i f f e r e n t i a t i o n

Dann ist nämlich — y

2x'

lnx),

l o g a r i t h m i s c h e n

zur

-

0.

E i n anderer Lösungsweg zur Ermittlung mittels der

für | x | > 1 ;

lx| V^c "

s2

190.

- X2)"2

2

- x2)"2

(x4

,

1

(x4

1

=

für

-±

i

±

2

- 2x)

= ] - 2 ; 0[ .

189.

=

2

2)

V - x(x + für Dyii = D y ,

157

Funktionen

= [ - 2 ; 0] . y

1

y-

y"

1) m i t D

transzendente

= xx(l

+

o cos'ex cos2(3x)

lnx).

durch

0.

sich

Übergang

158

2.

3

Differentialrechnung

lim ir

-2cosxsinx - 2 c o s ( 3 x ) sin(3x) • 3

2 c o s ( 2 x) lim 'i 6 c o s ( 6 x )

_ £

s i n ( 2 x) lim tr s i n ( 6 x )

=

*)

~ 3

2

192.

lim x-

x

lim x -> +oo

n

oo

=

oo

='oo

lim ; x-> + oo n

für

(

lim

„n-1

neN.

_1 193.

l i m x • l n x = [0-oo ] x->-0+0

=

oo

lnx

lim 0 \ x =

195.

lim

lim x->o

(x: -

lim x->o

sin x l cosx sinx +

-

1

=

xcosx

sinx

lim x->o

\ / j c 2 - 1 ) = [oo - o o ]

-

x

x • sinx

2cosx

-

lim

xsinx

= 0.

= 0. x + v x'

l i m X' l n x 196.

lim x* x->-0+0

lim e x x->0+0

l n x

= e " ^

x-ln 197. lim

1 +

[1°° ] =

lim

e

= e ° = 1 (vgl. N r . 193).

(l+—) \

x2 /

l i m x • In

ll+—\ V

X

2/

In den Aufgaben Nr. 191 — 199 sollen bei den Grenzwertbildungen für x alle Folgen aus der Grundmenge IR zugelassen sein, soweit deren Elemente .den maximalen Definitionsmengen der betreffenden Funktionen angehören.

2.2 Explizite transzendente

I

/ 1\ Nun ist lim x • In 1 + 1 =[oo-0l= X-»oo l 21 - X 2 . (-2) = lim — — X ->°o / 1\ o 11 + — V x J

i„:L(i»

i.V.

\

lim X—

L

159

l

x2/ 0 —!— = — 1_ [0

2 = lim — = 0 und daher i x ->-oo x +—

*2I

l

n

Funktionen

. i

. lim x-ln(cotx) 198. lim (cotx) x = [oo°] = um e x ' l n ( c o t x ) = e x ^ 0 + 0 . Hierbei x-*0+0 x->-0+0 lim x • ln(cotx) = [()•-0+0 x-i-0+0 _1 x 2x -2 r-—r"x lim = lim = 0, was lim (cotx) x = e0 = 1 o+ocos(2x; »0+0 sin(2 x) x->-o+o

ergibt sich

liefert.

199. Man ermittle die ersten beiden Ableitungen von y = f(x) = = a r c o s h V i + x2 . 1 Dy = R. Für x # 0 kann über y = ar cosh z, z = u 2 die K e t t e n r e g e l Verwendung finden, welche 1 — • u2 • 2 x =

1 V z

2

-

2

1

X

Ixl

liefert, woraus y,r = — v

V i

_ , Sgn ^ — n

r

?

SgnX

+

X2

und u = 1 + x 2

V i

+

X2

folgt.

3

Für x = 0 wird die Kettenregel unbrauchbar, weil y = ar cosh z an der x = 0 entsprechenden Stelle z = 1 nicht differenzierbar ist. Geht man jedoch auf die Definition der Ableitung zurück, so ergibt sich bei Benutzung der L" HOSPITALschen R e g e l über lim

f(x) - f(0)

X-+0+0

X

=

, a r c o s h V i + x2 lim x-i-0±0

- 0

160

2.

-

Differentialrechnung

lim

= ± 1 in x = 0 d i e r e c h t s -

bzw.

linksseitige

Ix l V 1 + x Ableitung

200.

1 bzw.

-1.

G e g e b e n i s t d i e t r a n s z e n d e n t e Funktion • e"x

z = f ( x ; y) = x • s i n y + y

mit D z = R .

E s s i n d s ä m t l i c h e p a r t i e l l e n A b l e i t u n g e n e r s t e r und z w e i t e r Ordnung z u bilden. 3z — S^z 3x

... f"

-

2

" y

o = yz • e

o

_Y

e

x

9z ^

' 32z

,

**

92z 3x 3 y

= fy = X • c o s y + 2 y • e

.„ = f"

= -x

3y2

= Dzt y

= Dz„ = Dz„ yy xy

= Dz„ xx

„ siny + 2 • e

_x ,

_ xY

,

y y

.„ = c. o s. y - 2„ y • e '_xx = "3 2 z. = f» Jr xy ' 3y 3 x

für D , x

201.

s i n y

= f^ =

= f" yx = D„

yx

= R2.

z = f ( x ; y) = a r c tan V x + y = a r c t a n w m i t w = V x + y und

D z = {(x; y ) | x + y > o } . _3_z _ ft _ 3x X

• a2z

3x

2

( x

+

y}

dz dw 1 "2

= r

3w ax

1 . . 1 + x + y }

(1 + x + y) . V x + y

3 x

+

3 y

+

1

x2

xy r

=

X

+

y) , - 1.

gy g x ^

3

y*

f„

2(1 + x + y) V T T ^

y/

=

, dx 92z

3

a2z

= f

/

*yy

(1 + x + y) • V x + y 3x 3 y 9 z * ,=

+

- 1

2

I "4"/i

1 . (J „ _ — 2

3 z 37 -

=

=1.

**

1 „ > 2 V x + y

gy2 '

wobei s ä m t l i c h e Ableitungen die D e f i n i t i o n s m e n g e Di

= D , x y besitzen.

= D_,. xx

= D _z „ yy

= D„.r z xy

= D„,t z yx

= / ( x ; y) ] x + y l '

>0} 1

2.2 Explizite

transzendente

Funktionen

161

O

2 0 2 . Man untersuche den Graph von y = f(x) = 3 s i n x. f' (x) = 6 s i n x - c o s x = 3 s i n ( 2 x ) ,

f"(x) = 6 c o s ( 2 x ) ,

f"' (x) = - 12 sin(2x).

G e r a d e Funktion:

s i n 2 x = 0, x k = k • 180° A k e 2 . Relative

Extrema,

f'(x) = 0:

s i n ( 2 x ) = 0, 2 x = k • 180°, ^k

=

„

sln

?/, (k

90 )

x k = k • 9 0 ° m i t k € Z.

^ - 0 , f a l l s k = 2v f a l l s k = 2y + 1

f"0E k ) = 6 cos(k • 180°) = 6 - ( - 1)* = < j ;

...

fUr

£ £

„ "€Z"

l I i i

- * ^ M i n i m u m - ^ „.. , Mk(xw, Vi) i s t r e l a t i v e s x< . . . > für k = mit

für

„eZ.

ve2.

f"(x) = 0:

c o s ( 2 x ) = 0, 2 x = 9 0 ° + k - 180°, \ f

+

= 4 5 ° + k • 90°,

f"' (x k ) = - 1 2 s i n ( 9 0 ° + k • 180°) =£0;

Wendepunkte in W k ( x k ; y k ) für k e Z . 3 2 Über die D a r s t e l l u n g f(x) = 3 s i n x = — • [1 - c o s ( 2 x)] = 3 3 o = —- + —- sin(2 x - 90 ) kann d i e Aufgabe auch e l e m e n t a r g e l ö s t w e r d e n ¿1

CA

(vgl. Band I, Nr. 172). 2 0 3 . Man untersuche den Graph von y = f(x) = s i n ( x 2 ) . f' (x) = 2 x • c o s ( x 2 ) ,

f"(x) = 2 • [ c o s ( x 2 ) - 2 x 2 - s i n ( x 2 ) ] ,

f " ' ( x ) = - 4 x • [3 s i n ( x 2 ) + 2 x 2 - c o s ( x 2 ) ] .

2.

Differentialrechnung

W e i l f(x) e i n e g e r a d e , f ü r x s R d e f i n i e r t e F u n k t i o n i s t , kann d i e U n t e r s u c h u n g auf x > 0 b e s c h r ä n k t w e r d e n .

Schnittpunkte

mit

x 2 = k-7r , x k =

Vkir

der

X-Achse,

f(x) = 0 :

m i t k e Z+ ; x 0 = 0,

xx = V t

x2 =

\/2n

Xq =

V3ir .

.2,51,

Relative

3,07.

Extrema,

x . c o s ( x 2 ) = 0,

yfc

=

f'(x) = 0:

S Q = 0; x 2 = - f +

xx = } / f . 1 , 2 5 ,

y0 =

«1,77,

s i n

x2

("f

2,17,

+

k , r

)

= M)

sgn[f"(xk)] = ( - l ) k

f"(x0) > 0 ,

kir , x k = ] / | ( 2 k

x3 = ] / f

k + 1

für

- 1) f ü r

.2,80,

x4 = f

k

=


keN. mit

-Minimumrre ei aluav et si «v^ e s < ^ ^ ™ > f ü r

u n d

S p i e g e l u n g an d e r Y - A c h s e l i e f e r t d i e r e l a t i v e n E x t r e m a M _ 1 (

X

o

y

0

± | /I

.

|

±0,63

0,38

1 / 5ir i l / y - 1 , 6 2

s 2,61 0,5

~

|

±0,72

0,5 1 / 7TT ± j / T -1,91

ff

-0,5

0,5

•n

f

f ü r k 5 A ke N, ergeben sich \

« 0,81, 2,53,

S 2 ss 1,82, X4 %3,08,

V(k - l)ir . Die zugehörigen Ordinatenwerte sind «s sin(0,65) ^ 0,61,

72 ^ - 0 , 1 6 ,

« 0,12,

f4«-0,08,

« 0 für k > 5 A k e N . Hierdurch sind Wendepunkte Wj, Wg, . . . festgelegt, weil jeweils in einer die errechneten Näherungswerte der Stellen R (mit enthaltenden Umgebung von x„ die dritte Ableitung £"' (x) von 0 verschieden ist. Durch Spiegelung an der Y-Achse ergeben sich die Wendepunkte W . j , W _ 2 , . . . .

204 Welchen Verlauf nimmt der Graph von y = f(x) = cos ( —) ' sini —) f(x)=—\JLL X2

,

F"(X) = -

cos(— ) + 2 x • s i n ) \X> x4

164

2.

Differentialrechnung

6 x 2 - s i n i — ) + 6x- cos f ' " (x) =-

, f ü r x ¥=0.

Schnittpunkte ±

= (2k

x0 = I

x

+

~0,637,

3 = 4

(Ì)

=

k 7 r

-0,318, . . .

yk = ( - l )

f"

Xl

. , . — = \ k TT

k

( 2 k + 1)7T

= ~

« 0,212,

,

=

Extremwerte,

x 2 = ^ « 0,318, x.j «

2

xk =

* 0,091, . . .

Relative S Ì n

1)|,

mit der X - A c h s e :

'

X

0,127,

- 0,637,

....

f'(x) = 0 :

k = ^

x 2 % 0,159,

mit k£ Z;

mit k e

x3 % 0,106,

{0 } ; x 4 as 0 , 0 8 0 ,

..

;

mit ke Z \ { o } . c o s ( k 7 r ) + -— - s i n ( k T r ) ^ 1

, somit

sgn

(k7r)4

= (-1)

' " ' s

k+1

für k e Z \ { o } .

E s liegen also r e l a t i v e

neZ\{o} n e Z vor.

und r e l a t i v e

Maxima

Minima

an d e n S t e l l e n M c, n„ | — — • 1 ) \ 2 mt / bei M 2 n _ i

^

1

^

; - lj

mit

mit

2 2 Explizite

Gerade

±0,1 -0,839

±0,2 0,284

X

±0,9

±1,0 ... 0,540 .. .

y

0,444

Wendepunkte, cos(I)

165

Funktionen

Funktion:

y

X

transzendente

+

2x

±0,4 -0,801

±0,3 -0,982

±0,5 -0,416

±0,6 -0,096

f"(x) = 0:

sin(|)=0,

tan(i-)

= -A

( I ) .

Eine näherungsweise Ermittlung der Lösungen dieser Gleichung

±0,8 0,315

±0,7 0,142

kann nach der Transformation

transzendenten

= z , also Übergang zur

Gleichung tanz = - 4 z

ähnlich wie bei Nr. 203 zeichnerisch erfolgen, 1 indem die Schnittpunkte der Graphen von y j = tan z und y^j = - — z bestimmt werden, wobei aus Symmetriegründen eine Beschränkung auf z > 0 möglich ist 2

/

Y

/ -1

-5-

'

1 = 1 1 *

/

r )^N. i/ 1/ i i ii

/

Jf

u ,22

/

|! 1 [ 1 Ii 1 1 IT

V

/ i / 3 / / i y i 1 / i b / 1/ 1 1 j

1 i i |

/

^

I 1 1 1 1

Der Zeichnung kann man Näherungslösungen entnehmen, die sich mittels eines Taschenrechners leicht auf 2 gültige Stellen nach dem Komma v e r bessern lassen Man erhält I j « 2,29, 1 2 ^ 5 ~ 8-10' ^ i1.17. . . ., was auf ^

= y

« 0,44, * 2 « 0,20,

« 0,12, I 4 « 0,09, ..

führt. In Umgebungen dieser Stellen, welche deren Näherungswerte enthalten, ist f " ' (x) von 0 verschieden, so daß es sich um die Abszissen von Wendepunkten W j , W 2 , . handelt. Die zugehörigen Ordinaten sind ^ « cos(2,29) « -0,66, y 2 « 0,37, y 3 « - 0 , 2 4 , f 4 « 0,17, . . . . Spiegelung an der Y-Achse erbringt die Wendepunkte W _ j , W_ 2

166

2.

Wegen

Differentialrechnung

lim f(x) = 1 ist die Gerade mit d e r Gleichung y = 1 A s y m p t o t e

x-> + oo

des Graphen.

205. Man diskutiere den Graph von y = f(x) = cos(2x) - c o s x . f' (x) = - 2 sin(2x) + s i n x ,

f"(x) = - 4 c o s ( 2 x ) + c o s x ,

f"' (x) = 8 sin(2x) - s i n x . Wegen f ( - x ) = f(x) liegt eine g e r a d e Schnittpunkte

vor.

mit der X - A c h s e , f(x) = 0 : 2 c o s 2 x - c o s x - 1 = 0,

cos(2x) - c o s x = 0, 1 ± 3 cosx = — - — ;

Funktion

c o s x = 1,

x 2 k = 120° + k • 360°,

x l k = k • 360

r,

;

c o s x = - 0,5,

x 3 k = 240° + k • 360°, wobei hier und im folgen-

den k e Z ist. Relative

E x t r e m a , f'(x) = 0:

- 4 s i n x • c o s x + s i n x = 0; x l k = k • 360°, - 4 cosx + 1 = 0 ,

x 2 k = 180° + k -360°; c o s x = 0,25;

x 4 k ~ 284,48° + k • 360°; f " ( x l k ) < 0,

sinx = 0,

f " ( x 2 k ) < 0,

y l k = 0,

y 2 k = 2;

x 3 k « 75,52° + k • 360°,

y 3 k ; 4 k » - 1,125. f"(x 3 k ) > 0,

f " ( x 4 k ) > 0.

E s liegen daher vor die r e l a t i v e n M a x i m a M j k ( k • 360°; 0), M 2 k ( 1 8 0 ° + k • 360°; 2) und die r e l a t i v e n M i n i m a M 3 k ( 7 5 , 5 ° + k-360°; -1,125), M 4 k ( 2 8 4 , 5 ° + k • 360°; -1,125). x y

0 0

±30° -0,366

±60° - 1

±90° - 1

±150°. . . 1,366 . . .

2.2 Explizite transzendente

Funktionen

167

W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0 : - 4 cos(2 x) + c o s x = 0, 8COS2X - c o s x - 4 = 0, c o s x « 0,772,

x l k « 39,5° + k- 360°,

cosx « - 0 , 6 4 7 ,

cosx =

1

±

N/ 129

'

16

•

x 2 k « 320,5° + k • 360°;

x 3 k « 130,3° + k- 360°,

x 4 k « 229,7° + k • 360°.

Die zugehörigen Ordinatenwerte berechnen sich zu = ?2k ~ " ° - 5 8 1

und

°'483-

?3k = ?4k

Da an all diesen Stellen jeweils die dritte Ableitung nicht verschwindet, liegen dort Wendepunkte W l k , W 2 k , Wg k , W 4 k vor.

o 206. Der Verlauf des Graphen von y = f(x) = sin x + 2 c o s x ist zu untersuchen. f'(x) = sin(2x) - 2 sinx,

f"(x) = 2 cos(2x) - 2 cosx, f ^ 4 \ x ) = - 8 cos(2x) + 2 cosx.

f'" (x) = - 4 sin(2x) + 2 sinx,

Wegen f(-x) = f(x) liegt eine g e r a d e Schnittpunkte

Funktion

vor.

mit der X - A c h s e , f(x) = 0 :

cos^x - 2 c o s x - 1 = 0,

cosx = 1 ± \/2;

c o s x « 2 , 4 1 4 liefert keine reellen Nullstellen; c o s x « - 0 , 4 1 4 , x l k « 114,5° + k • 360°, wobei hier und im folgenden ke Z ist. Relative

x 2 k « 245,5° + k • 360°,

E x t r e m a , f'(x) = 0 :

2 sinx(cosx - 1) = 0;

sinx = 0 ,

x 2 k = 180° + k - 360°,

y l k = 2,

c o s x - 1 = 0,

c o s x = 1,

f " ( x l k ) = f ' " ( x l k ) = 0;

f

(4)

x l k = k • 360°, y2k = -2.

x l k = k- 360°,

y l k = 2.

( x l k ) = - 6 < 0.

In den Punkten M l k ( k • 360°; 2) treten somit r e l a t i v e M a x i m a h e r e r O r d n u n g auf. f"(x 2 k ) = 4 > 0 ; in M 2 k (180° + k • 360°; - 2 ) liegen r e l a t i v e m a vor. 0 2

£30° 1,982

±60° 1,750

±90° 1

±120° -0,250

±150° ±180° -1,482

...

hö-

Mini-

2.

Differentialrechnung

W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0: 2 cos 2 x - cosx - 1 = 0; * 3 k = 240° + k • 360°;

x l k = k - 360°,

y l k = 2,

I2k

=

120°

+

'

k

360°'

y 2 k = y 3 k = - 0,250.

K'

A'n

: •- h ,

90°

180° n y

-2-

270°

;

Mi0

Wegen f " ' ( x l k ) = 0 und f ^ 4 H x l k ) ^ 0 liegt in W l k ( k - 360°; 2) kein Wendepunkt vor; vielmehr ist W^ k s M j k . Dagegen treten auf Grund von f" 1 ( x 2 k ) # 0 und f ' " ( x 3 k ) ^=0 die Wendepunkte W 2 k |l20° + k- 360°; - j j

und W g k ^240° + k • 360°; —^ j

207. Man diskutiere den Graph von y = f(x) f'(x)

+

cosx>

f

"W

= -sinx,

Einziger S c h n i t t p u n k t Relative

Extrema,

auf.

sinx.

f"'(x) = -cosx.

Wegen f ( - x ) = -f(x) liegt eine u n g e r a d e

Funktion

mit der X - A c h s e

vor.

ist der Nullpunkt Xj = 0.

y' = 0 :

c o s x = -0,5, x l k « = 2,094 + 2kff , und im folgenden k e Z ist.

x 2 k « 4 , 1 8 9 + 2kff , wobei hier

y l k « 1,047 + 3,142- k + 0,866 = 1,913 + 3,142 k, y 2 k % 2,094 + 3,142. k - 0,866 = 1,228 + 3,142 k. f " ( x l k ) < 0,

f"(x2k)>0.

M2k^2k;

r e l a t i v e

M l k ( x l k ; y l k ) sind r e l a t i v e Minima.

W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0: sinx = 0 , Da f ' " (kw)

x k = k TT «

3,142 k,

y k « 1 , 5 7 1 k.

0, sind Wk(5?k; y k ) Wendepunkte.

Maxima,

X>

360°

2.2 Explizite

x 1 0 y I 0

±5 ±1,541

±1 ±1,341

transzendente

Funktionen

169

±8 ±4,99

208. Man untersuche den Graph von y = f(x) = 3 x • e~ x . f' (x) = 3 e ~ x ( l - x), -1 y

...

-0,5 -2,47

-8,15

Schnittpunkte Relative e"x(l

f " ( x ) = 3 e " x ( x - 2),

0

1,10

OjBl

f " ' (x) = 3 e " x ( 3 - x).

0,45

Relatives

M a x i m u m M ( l ; 1,10).

W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0:

i

M

1

f " ( l ) < 0.

y w . ~ 0,81.

Y

x M = 1,

yM~l,10;

e " x ( x - 2) = 0;

0,10 . . . '

mit der X - A c h s e im Nullpunkt, x^ = 0.

E x t r e m a , f'(x) = 0:

- x) = 0;

0,22

/ /

1

|

x w = 2,

f ' " (2)

0.

Wendepunkt W(2; 0,81). Der Graph der Funktion stellt den G r e n z f a l l a p e r i o d i s c h e n S c h w i n g u n g dar.

1

-2

einer g e d ä m p f t e n

209. Wie verläuft der Graph von y = f(x) = 5 e " x -sinh(0,6x) = =

_Ü( e -0,4x . 2

e

- l , 6x\ '

?

f ' ( x ) = e _ x [ - 5 sinh(0,6x) + 3 cosh(0,6x)] = - e ~ ° ' 4 x + 4 e " 1 ' 6 * ,

/

X

170

2.

Differentialrechnung

f"(x) = e _ x [6,8 sinh(0,6x) - 6 cosh(0,6x)] = 0,4 e " 0 , 4 x - 6,4 e " 1 ' 6 x , f'" (x) = e _ x [ - 10,4 sinh(0,6x) + 10,08 cosh(0,6x)] = = -0,16 e " ° ' 4 x + 10,24 e" 1 ' x ...-1 y ...

-0,5 -2,51

-8,65

0 1 0 1,17

6x

.

2 1,02

3 0,73

4 0,50

5 0,34

6 0,23

7 . . . 0,15...

Die X-Achse wird nur im Nullpunkt geschnitten, x^ = 0. i 1 3 §35ää R e l a t i v e E x t r e m a , f'(x) = 0: - 5 sinh(0,6x) + 3 cosh(0,6x) = 0, tanh(0,6x) = 0,6; 0,6. «0,693, x x « 1,16, y x ~ 5 e " 1 ' 1 6 • sinh(0,693) « 1,18; f ' f x j K 0. R e l a t i v e s M a x i m u m M(l,16; 1,18). W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0: 0,4 e - ° ' 4 x - 6,4 e " 1 ' 6 * = 0,

e " 0 ' 4 x = 16 e " 1 ' 6 x ,

e1'2x=16,

1,2 x = In 16 « 2,773, x w « 2,31, y w 0,93, f'" (2,31)-^ 0. Die Funktion beschreibt eine g e d ä m p f t e a p e r i o d i s c h e S c h w i n gung.

210. Welchen Graph besitzt y = f(x) = e " ° ' 5 x c o s x ? f'(x) = - e ~ ° ' 5 x ( 0 , 5 cosx + sinx),

f"(x) = e " ° ' 5 x ( s i n x - 0,75 cosx),

f"'(x) = e"°' 5 x (0,25 sinx + 1,375 cosx). S c h n i t t p u n k t e mit der X - A c h s e , f(x) = 0: cosx = 0,

x k = ~ + k i r « 1,57 + 3,14 • k

Relative

E x t r e m a , f'(x) = 0:

5x

e " ° ' ( 0 , 5 cosx + sinx) = 0, xk

mit ke Z.

tanx = -0,5;

153,4° + k -180° « 2,68 + 3,14 k,

y k » e" 1 '

34_1

•(-l)

k

'

57-k

- cos(153,4° + k • 180°) ** 0,26 • (e - 1 k

« - 0 , 2 6 - 0,21 - 0,89- ( - l )

k

57 k

) - cos(153,4°)-

k

« -0,23- (-0,21) ;

2.2 Explizite

f " ( x k ) ~ e_0'5*k[sin(153,4° + k

transzendente

Funktionen

180°) - 0,75 cos(153,4° + k

171

180°)}»

« e " 0 ' 5 *k [ ( . i)k . o,45 + ( - l ) k • 0,67] = ( - l ) k • 1,12 e " 0 ' mit k e Z. sgn[f"(X k )] = ( - l ) k für k e Z . Die r e l a t i v e n + 6,28n, y 2 n «

Minima

sind somit festgelegt durch x 2 n =»2,68 +

-0,23- 0,21 2n , die r e l a t i v e n

Maxima

durch

x 2 n + i « 5,82 + 6,28 n, y 2 n + l « 0,23 • 0,21 2 n + 1 « 0,048 • 0,21 2n mit ne Z. Speziell sind S.2^-3,60,

y_ 2 ~ - 5 , 2 2 ;

x0«2,68,

y 0 ^ - 0,23;

x 2 « 8,96,

y 2 « -0,01.

x y

. . . -4 . . . -4,83

-3 -4,44

x_i~-0,46,

xj «

-2 - 1,13

5,82,

-1 0,89

y j

0 1

y . j » 1,10; « 0,05;

1 0,33

-0,15

-0,22

-0,09

W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0: e-0,5x(sinx

_ o,75 cosx) = 0,

tanx = 0,75; Xk = 36,9° + k

180° ~

~ 0,64 + 3,14 k;

f k « e"°»

32_1

'

57k

• cos(36,9° + k

« 0,58 • ( - 0,21) k ;

1 8 0 ° ) ( - l ) k • 0,73 • (0,21) k • 0 , 8 0 «

f " ' (x k ) =#0 für ke Z.

Spezielle Wendepunkte sind: W _ i ( - 2 , 5 0 ; -2,76), W Q (0,64; 0,58), W ^ , 7 8 ; - 0,12). Die Funktion beschreibt eine g e d ä m p f t e

periodische

Schwingung

172

2.

Differentialrechnung

211. Wie verläuft der Graph von y = f(x) = e 2 x 2x f(x) = 4

2

e'

x

2

itfttt

'

?

irrrfT r

6

2x f"(x) = J_ ,2x f"'(x) = --

1 + 4x

maubji; ;

1 + 12x + 24x^ 5 X

W

für x ^ O .

0,90

Wegen z =

-4 0,88

- 2

0,78

0,61

-0,5 0,37

0,25 0,5 7,39 2,72

1 1,65 1,28

1,11

lim e 2 x = lim e z = 0 und lim e 2 x = lim e z = +oo für x ->0-0 »0+0 liegt in x = 0 eine S p r u n g s t e l l e der Funktion vor.

Die Gerade mit der Gleichung y = l

ist A s y m p t o t e

des

Graphen.

W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0: e 2 x ( l + 4 x) = 0;

xw =

yw

4 '

0.

£tt I

W(x^yj y^.) ist also Wendepunkt.

-—I x| 212. Der Graph von y = f(x) = 2 e 2 soll untersucht werden.

2 e

-,x

Aus der Darstellung f(x) = 2e2

für x > 0 folgt

2.2 Explizite

-Ix

"- e

transzendente

f'(x)

und f " ( x ) für x < 0

für x < 0

In x = 0 ist f(x) zwar s t e t i g

mit f(0) = 2, jedoch n i c h t

z i e r b a r , weil die l i n k s s e i t i g e Iax 2 e^ = lim Ax Ax ->0-0

Ableitung 1

-

2

:

lim e Ax-*0-0

Ax

differen-

lim f(° + Ax) - f(0) A x -0+0 Ax^-0+0

Ableitung

UH =..

lim nicht übereinstimmen. Demnach liegt in S(0; 2) Ax-»0+0 eine S p i t z e des Graphen mit e i n s e i t i g e n T a n g e n t e n der Steigungen + 1 und - 1 vor. S(0; 2) ist außerdem das a b s o l u t e M a x i m u m des Graphen, der wegen f ' f x ) ^ 0 keine W e n d e p u n k t e besitzt. Die X-Achse ist A s y m p t o t e .

Gerade X

y

0 2

173

für x > 0

für x > 0

2

Funktionen

Funktion: 10,5 1,56

+1 1,21

±2 0,74

±3 0,45

±4 0,27

±5 0,16 . . . x

213. Man untersuche den Graphen von y = f(x) = Krümmungsradius p im relativen Minimum. lnx - 1

1 2 - In x f"(x) = - . X

(lnx)3

f"' (x) = — . x2

(ln x)

-

(In x) 4

für xelDy.

und ermittle den

174

2.

Differentialrechnung

0,2 -0,12

X

y

7 3,60

6 y 3,35

X

0,5 -0,72

0,7 -1,96

0,8 -3,59

8 3,85

9 4,10...'

1,5 3,70

1 ±00

2 2,89

3 2,73

4 2,89

5 3,11

R e l a t i v e E x t r e m a , f' (x) = 0 : In x - 1 = 0,

x M = e,

y M = e. Weil f" (x M ) =

M(e; e) ein r e l a t i v e s M i n i m u m W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0: 9 2 - In x = 0, x w = e z «s 7,39,

> 0 ist, liegt in

vor.

e2 y w = — ~ 3,69;

f'" (x w )

0 zeigt

W(x^; y^y) als Wendepunkt an. Die Gerade mit der Gleichung x = 1 ist A s y m p t o t e . lim f(x) = lim = 0, weshalb f(x) in x = 0 r e c h t s s e i t i g s t e t i g x-,-0+0 x ->o+o In x wird, wenn man zusätzlich f(0) = 0 definiert. Für die r e c h t s s e i t i g e A b l e i t u n g i n x = 0 ergibt sich dann

lim

ax-»- o+o

f(0 + Ax) Ax

f(0)^ _

Ax tn

= lim = lim — - — = 0. Die positive X-Achse ist also ¿x->0+0 Ax ^->(W)ln Ax rechtsseitige Tangente. Der Radius p des Krümmungskreises in M hat die Maßzahl 2 2 \2 (1 + [f (x M )]^) = e, sein Mittelpunkt ist K(e; 2e). f"(x M )

214. Wie verläuft der Graph von y = f(x) = ln]x 2 - 4| ? 2X

f'(x) = x Gerade X

y

0 1,39

2

,

f"(x) = - 2

- 4

x2 + 4

(x2 - 4) 2

,

für |x|

# 2.

Funktion: +1

±1,5

1,10

0,56

±1,9

±2

-0,94

-00

±2,1 -0,89

±2,5 ±3 ±4 0,81 1,61 2,48

S c h n i t t p u n k t e mit der X-Achse, f(x) = 0 : x 2 - 4 = 1, X3.4

=

x 1 ; 2 = ±>/5.« +2,24 und x 2 - 4 = - 1 , « ± 1,73.

±5 3,04...

l

2.2 Explizite transzendente Funktionen

1 |

y» 3-

175

\ ^ \ j / 1

11/

R e l a t i v e E x t r e m a , f'(x) = 0 :

H in H

"tTXI - i 1J

y M 35 1 , 3 9 ; < also r e l a t i v e s M = M a x i m u m in M. Es existieren keine W e n d e p u n k t e . Die Geraden mit den Gleichungen x = ± 2 sind A s y m p t o t e n .

X

215. Welchen Graph besitzt y = f(x) = x x in der Definitionsmenge D v f'(x) = x*(l + In x), X

y

... ...

0,5 0,71

1 1

f"(x) = x5 (1 + In x)

1,5 1,84

Relative Extrema, 1 + In x = 0,

VM

-G)

2 4

somit r e l a t i v e s

für x e R , s.Nr. 191.

2,5 ... 9,88 . . .

f'(x) = 0 :

In x = - 1 , ; 0,69:

+ x

f"

X

M "

1 = e • ee

:

0,37;

>0;

M i n i m u m M(0,37; 0,69).

W e n d e p u n k t e , f"(x) = 0 : Da weder x* noch (1 + In x)^ + — = 0 mit x e R + x lösbar ist, treten keine W e n d e p u n k t e auf. lim x x = 1 , s.Nr. 196. Definiert man zusätzlich f(0) = 1, so ist f(x) in x ->0+0 x = 0 rechtsseitig stetig.

176

2.

Wegen

lim dx^O+O

=

lim

Differentialrechnung

f(Ax) - f(0) Ax

=

A x ^ x ( l + In Ax) =

&x. -»o+o

lim • dx-»0+0

A x Ax Ax

ist jedoch in x = 0 keine

rechts

s e i t i g e A b l e i t u n g vorhanden; im Punkte P(0; 1) ist die Y-Achse rechtsseitige Tangente.

216. Man untersuche die durch r = f(tp) = 0,5 e " ' ^ rithmische Spirale ) . TT

2

gegebene l o g a 3

r

*

v 5

Der Nullpunkt ist a s y m p t o t i s c h e r P u n k t der Kurve. Bezüglich des noch eingeführten kartesischen Koordinatensystems ist x = f(.p) • cosv? = = 0,-5 • e ° > 3 ^ - cos

- V 0 ) -

führt auf x = und mit cos(v?

a

y =

sini^

cos(i^

-

-

-cos 89 v -

u a 5 « 61,63 V, . . . .

+ t k « -0,0062 s + 0,0144 • k s

mit keN.

235. Wie groß ist der Radius x eines Kreises K' mit Mittelpunkt M' auf dem Umfang des Kreises K vom Radius r zu wählen, damit die von K eingeschlossene Fläche durch K' halbiert wird? Bei Einführung der Hilfswinkel (¿»und \p gemäß der Abbildung muß gelten =

„ f l ? ^ [ 2

1 2? +

1 2 . , ~ 2" s l n i ^

-

was sich wegen \p = 180° - 2