Mathematik-Taschenbuch [3., verbesserte Auflage. Reprint 2018] 9783486796582, 9783486246698

Citation preview

MathematikTaschenbuch Von

Prof. Dr. Karl Bosch

5., verbesserte Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Bosch, Karl: Mathematik-Taschenbuch / von Karl Bosch. - 5., verb. Aufl. M ü n c h e n ; Wien : Oldenbourg, 1998 ISBN 3 - 4 8 6 - 2 4 6 6 9 - 0

© 1998 R. O l d e n b o u r g Verlag Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München ISBN 3 - 4 8 6 - 2 4 6 6 9 - 0

Inhaltsverzeichnis Vorwort

XXIII

1. 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.3.1

Grundlagen der Arithmetik und Algebra Mengenlehre Grundbegriffe und Mengenoperationen Abbildungen (Funktionen) von Mengen Direkte Produkte von Mengen Direktes Produkt zweier Mengen

1 1 1 3 5 5

1.2. 1.2.1 1.2.1.1 1.2.1.2 1.2.1.3 1.2.1.4 1.2.1.5 1.2.1.6 1.2.1.7 1.2.1.8 1.2.1.9 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.2.9 1.2.10 1.2.10.1 1.2.10.2 1.2.11 1.2.11.1 1.2.11.2 1.2.11.3 1.2.11.4

Die reellen Zahlen R Die natürlichen Zahlen IN Menge der natürlichen Zahlen Rechenoperationen Dezimalsystem Dualsystem (Binärsystem) p-adische Darstellung Primzahlen Größter gemeinsamer Teiler Euklidischer Algorithmus zur Bestimmung von ggT(m, n) . . . . Kleinstes gemeinsames Vielfaches Die ganzen Zahlen Z Die rationalen Zahlen (Brüche)Q Das Rechnen mit Brüchen Dezimalbrüche Eigenschaften der rationalen Zahlen Die reellen Zahlen E Das Rechnen mit reellen Zahlen Ungleichungen Intervalle Beschränkte Intervalle Nicht beschränkte Intervalle Absolute Beträge Der absolute Betrag Abstand zweier Zahlen Das Rechnen mit Betragsungleichungen Quadratische Ungleichungen

6 6 6 6 7 8 8 9 9 9 10 11 11 12 13 15 16 18 21 24 24 24 25 25 25 26 27

1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5

Potenzen und Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Die n-te Wurzel Potenzen mit rationalen Exponenten Potenzen mit irrationalen Exponenten Lösung von Potenzgleichungen

27 27 28 30 32 33

VI

Inhaltsverzeichnis

1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.2.1 1.4.2.2 1.4.2.3 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.4.6 1.4.7 1.4.7.1 1.4.7.2 1.4.8 1.4.8.1 1.4.8.2

Kombinatorik und binomischer Lehrsatz Fakultäten Binomialkoeffizienten Binomialkoeffizienten bei natürlichen Zahlen Binomialkoeffizienten bei reellen Zahlen Das Pascalsche Dreieck Der binomische Lehrsatz Polynominalkoeffizienten Der Polynomische Lehrsatz Permutationen (Anordnungsmöglichkeiten) Kombinationen Kombinationen ohne Wiederholung Kombinationen mit Wiederholung Variationen Variationen ohne Wiederhohlung Variationen mit Wiederhohlung

34 34 35 35 35 36 37 38 38 39 40 40 41 41 41 42

1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7

Logarithmen Allgemeine Logarithmen Dekadische Logarithmen Natürliche Logarithmen Binäre Logarithmen Logarithmengesetze Umrechnungsregel bei verschiedenen Basen Anwendungen

43 43 43 43 44 44 45 46

1.6

Vollständige Induktion

46

1.7 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.7.4 1.7.5 1.7.6 1.7.6.1 1.7.6.2 1.7.7 1.7.7.1 1.7.7.2 1.7.7.3 1.7.7.4

Elementare Folgen und Reihen; Summen und Mittelwerte . . . Zahlenfolgen und (endliche) Reihen Arithmetische Folgen und Reihen (erster Ordnung) Arithmetische Folgen und Reihen höherer Ordnung Geometrische Folgen und Reihen Spezielle endliche bzw. unendliche Reihen (Summenformeln) . . Finanzmathematik Abschreibungen Zinseszins-und Rentenrechnung Mittelwerte Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel Harmonisches Mittel Anwendungsmöglichkeiten der einzelnen Mittelwerte

48 48 48 49 51 54 55 55 56 59 59 59 59 60

1.8 1.8.1 1.8.2 1.8.3 1.8.4

Komplexe Zahlen Menge der komplexen Zahlen Gaußsche (komplexen) Zahlenebene Das Rechnen mit komplexen Zahlen Die Eulersche Formel

60 60 61 62 63

Inhaltsverzeichnis

VII

1.8.5 1.8.6 1.8.7 1.8.8 1.8.9

Die Moivresche Formel Geometrische Konstruktion der Wurzel Komplexe n-te Einheitswurzel Komplexe Lösungen bei quadratischen Gleichungen Fundamentalsatz der Algebra

66 67 68 69 69

1.9 1.9.1 1.9.2 1.9.2.1 1.9.2.2 1.9.2.3 1.9.2.4 1.9.2.5 1.9.3 1.9.3.1 1.9.3.2 1.9.3.3 1.9.3.4 1.9.3.5 1.9.3.6 1.9.4 1.9.4.1 1.9.4.2 1.9.4.3 1.9.4.4 1.9.4.5 1.9.4.6 1.9.5 1.9.5.1

Gleichungen mit einer Unbekannten Lineare Gleichungen ax + b = 0 Quadratische Gleichungen (Gleichungen zweiten Grades) . . . Elementar lösbare Spezialfälle Quadratische Ergänzung-geschlossene Formel Zerlegung in Linearfaktoren Die Wurzelsätze von Vieta Graphische Lösung (und Anwendungen) Kubische Gleichungen (Gleichungen dritten Grades) Graphische Lösung Elementar lösbare Spezialfälle Abspalten eines Linearfaktors bei einer bekannten Lösung . . . Die Cardanische Formel Die Wurzelsätze von Vieta Numerische Bestimmung reeller Lösungen Gleichungen vierten Grades Lösbare Spezialfälle Abspalten von Linearfaktoren Die kubische Resolvente Benutzung einer reellen Lösung der kubischen Gleichung . . . . Numerische Bestimmung reeller Lösungen Satz von Vieta Algebraische Gleichungen n-ten G r a d e s - P o l y n o m e Berechnung der Funktionswerte mit dem Horner-Schema und Polynomdivision Wurzeln algebraischer Gleichungen Gleichungen, die sich auf algebraische Gleichungen zurückführen lassen Gleichungen mit gebrochen rationalen Funktionen Wurzelgleichungen Die Substitutionsmethode Transzendente Gleichungen Exponentialgleichungen Logarithmische Gleichungen Numerische Verfahren zur Lösung von Gleichungen Iterationsverfahren bei kontrahierenden Abbildungen Regula falsi (lineares Eingabein) Quadratisches Eingabein Das Newton-Verfahren

70 71 75 75 75 76 77 77 80 80 81 82 82 86 87 87 87 88 88 90 91 91 91

1.9.5.2 1.9.6 1.9.6.1 1.9.6.2 1.9.6.3 1.9.7 1.9.7.1 1.9.7.2 1.9.8 1.9.8.1 1.9.8.2 1.9.8.3 1.9.8.4

92 94 96 96 97 97 97 99 100 101 101 104 105 105

Vili

Inhaltsverzeichnis

1.10 1.10.1 1.10.2 1.10.3 1.10.3.1 1.10.3.2 1.10.4 1.10.4.1 1.10.4.2

Interpolationspolynome Allgemeines Polynom durch n + 1 Punkte Interpolationspolynom Lagrange-Interpolation Formel für beliebige Stützstellen Formel für äquidistante Stützstellen Newton-Interpolation (Differenzschema) Formel für beliebige Stützstellen Formeln für äquidistante Stützstellen

106 106 107 107 107 108 109 109 110

1.11 1.11.1 1.11.2 1.11.3 1.11.4 1.11.5 1.11.5.1 1.11.6 1.11.6.1

Approximationspolynome Taylerpolynome Interpolationspolynome Approximation durch Bernsteinpolynome Kleinste Quadrat Approximation Approximation im quadratischen Mittel Entwicklung nach Legendre-Polynomen Approximation im gewichteten quadratischen Mittel Entwicklung nach Tschebyscheff-Polynomen

115 115 115 116 116 117 119 120 120

2. 2.1

Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume Zwei-und dreidimensionale Zahlenräume

122 122

2.2

2.2.7.1 2.2.7.2

Zwei- und dreidimensionale Euklidische Vektorräume V2 und V 3 Der Begriff des Vektors Komponentenzerlegung Zweidimensionale Vektoren Dreidimensionale Vektoren Das Rechnen mit Vektoren in Komponentenzerlegung Das Skalarprodukt (inneres Produkt) Das Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) Spatprodukt und doppelte Vektorprodukte Linear unabhängige (abhängige) Vektoren-Komponentenzerlegung Vektoren in der Ebene Räumliche Vektoren

140 140 141

2.3

Der n-dimensionale Zahlenraum R n

142

2.2.1 2.2.2 2.2.2.1 2.2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7

123 123 126 126 127 128 130 133 137

2.4

Der n-dimensionale Euklidische Vektorraum V n

143

2.5

Allgemeine abstrakte Vektorräume (lineare Räume)

145

2.6

Euklidische Vektorräume

147

3. 3.1 3.1.1

Geometrie der Ebene (analytische Geometrie und Planimetrie) . Koordinatensysteme in der Ebene Geradlinige Koordinatensysteme

151 151

Inhaltsverzeichnis

3.1.1.1 3.1.1.2 3.1.2 3.1.2.1 3.1.2.2 3.1.3 3.1.3.1 3.1.3.2

Schiefwinklige geradlinige Koordinatensysteme Kartesisches Koordinatensystem Krummlinige Koordinatensysteme Polarkoordinaten Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Transformationen kartesischer Koordinaten Parallelverschiebung Drehung

3.2 3.2.1 3.2.1.1 3.2.1.2 3.2.1.3 3.2.1.4 3.2.1.5 3.2.1.6 3.2.2 3.2.2.1 3.2.2.2 3.2.2.3 3.2.3 3.2.3.1 3.2.3.2 3.2.3.3 3.2.3.4 3.2.3.5 3.2.4 3.2.4.1 3.2.4.2 3.2.4.3 3.2.4.4 3.2.4.5 3.2.4.6 3.2.5 3.2.5.1 3.2.5.2 3.2.5.3 3.2.5.4 3.2.5.5 3.2.5.6 3.2.5.7 3.2.5.8 3.2.6 3.2.7 3.2.7.1

Analytische Geometrie der Ebenen und Planimetrie Längen und Winkelberechnung, Streckenteilung und Lote Abstand zweier Punkte (Streckenmessung) Winkelmessung Streckenteilung Streckenhalbierung und Mittellot Lot auf eine Strecke (Abstand) Halbieren eines Winkels Die Gerade Die Parameterdarstellung einer Geraden Koordinatengleichungen Hessesche N o r m a l f o r m - A b s t a n d von einer Geraden Zwei Geraden Parallele Geraden Schnittpunkt zweier Geraden Schnittwinkel zweier Geraden Orthogonale Geraden Winkelhalbierende Dreiecke Allgemeine Dreiecke Ähnliche Dreiecke und Strahlensätze Rechtwinklige Dreiecke Gleichschenklige Dreicke Gleichseitige Dreicke Trigonometrische Funktionen im allgemeinen Dreieck Vierecke Das allgemeine Viereck Trapez Parallelogramm Rhombus (Raute) Rechteck Quadrat Sehnenviereck Tangentenviereck Regelmäßiges n-Eck Kreis Kreisgleichungen

IX

151 152 153 153 155 156 157 157 . . .

159 159 159 160 161 162 163 163 164 164 166 169 173 173 175 176 177 177 178 178 186 189 191 192 192 195 195 195 197 198 198 199 199 200 201 204 204

X

Inhaltsverzeichnis

3.2.7.2 3.2.7.3 3.2.7.4 3.2.7.5 3.2.7.6 3.2.7.7 3.2.7.8 3.2.7.9 3.2.7.10 3.2.7.11 3.2.8 3.2.8.1 3.2.8.2 3.2.8.3 3.2.8.4 3.2.9

Kreiseigenschaften Kreis durch drei Punkte Schnitt vom Kreis und Gerade Kreisnormale Abstand eines Punktes vom Kreis Tangente in einem Punkt auf dem Kreis Kreistangente von einem Punkt außerhalb des Kreises Gemeinsame Tangenten an zwei Kreise Schnitt zweier Kreise Längen-und Flächenberechnung am Kreis Kegelschnitte Ellipse Hyperbel Parabel Polarkoordinaten von Kegelschnitten Kurven zweiter Ordnung

205 206 207 208 209 210 210 212 214 215 217 219 232 242 249 251

4. 4.1 4.1.1 4.1.1.1 4.1.1.2 4.1.2 4.1.2.1 4.1.2.2 4.1.3 4.1.3.1 4.1.3.2

Geometrie des Raumes (analytische Geometrie und Stereometrie) Koordinatensysteme Geradlinige Koordinatensysteme Schiefwinklige geradlinige Koordinatensysteme Kartesisches Koordinatensystem Krummlinige Koordinatensysteme Kugelkoordinaten Zylinderkoordinaten Transformationen kartesischer Koordinaten Parallelverschiebung Drehungen

253 253 253 253 254 255 255 256 257 257 258

4.2 4.2.1 4.2.1.1 4.2.1.2 4.2.1.3 4.2.2 4.2.2.1 4.2.2.2 4.2.2.3 4.2.2.4 4.2.2.5 4.2.2.6 4.2.2.7 4.2.3 4.2.3.1 4.2.3.2

Analytische Geometrie des Raumes Strecken und Winkel Abstand zweier P u n k t e - L ä n g e einer Strecke Winkel zwischen zwei Strecken Streckenteilung Die Gerade Parameterdarstellung einer Geraden Gerade als Schnitt zweier Ebenen Richtungswinkel einer Geraden Abstand eines Punktes von einer Geraden Parallele Geraden Abstand zweier windschiefer Geraden Schnitt zweier Geraden Die Ebene Parameterdarstellung der Ebene Koordinatengleichungen der Ebene

260 260 260 261 261 262 262 263 264 265 267 268 270 270 271 272

Inhaltsverzeichnis

XI

4.2.3.3 4.2.3.4 4.2.3.5 4.2.3.6 4.2.3.7 4.2.3.8

Spezielle Ebenendarstellungen Die Hessesche Normalform Parallele Ebenen Schnitt zweier Ebenen Schnitt einer Geraden mit einer Ebene Schnitt dreier Ebenen

273 275 278 279 281 282

4.3

Flächeninhalt von räumlichen Dreiecken und Parallelogrammen

283

4.4 4.4.1 4.4.1.1 4.4.1.2 4.4.1.3 4.4.1.4 4.4.1.5 4.4.1.6 4.4.1.7 4.4.1.8 4.4.2 4.4.2.1 4.4.2.2 4.4.2.3 4.4.2.4 4.4.3 4.4.3.1 4.4.4 4.4.4.1 4.4.4.2 4.4.4.3 4.4.4.4

Volumina und Oberflächen von Körpern (Stereometrie) Polyeder Prisma Pyramide Pyramidenstumpf Tetraeder Regelmäßige Polyeder Keil Obelisk Prismoid (Prismatoid) Zylinder Schiefer Zylinder Gerader Zylinder Schiefer Kreiszylinder Gerader Kreiszylinder Kegel Kreiskegel Kugel Vollkugel Kugelausschnitt Kugelabschitt (Kugelsegment oder Kugelkappe) Kugelschicht

4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.2.1 4.5.2.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.5.6 4.5.7 4.5.8 4.5.9 4.5.10 4.5.11 4.5.12

Flächen zweiter Ordnung Allgemeine Flächen zweiter Ordnung Hauptachsentransformation Drehung Parallelverschiebung Ellipsoid Einschaliges Hyperboloid Zweischaliges Hyperboloid Elliptischer Kegel Elliptischer Zylinder Hyperbolischer Zylinder Parabolischer Zylinder Elliptisches Paraboloid Hyperbolisches Paraboloid Allgemeine Diskussion der Flächen zweiter Ordnung

. . . .

284 284 284 287 288 290 290 292 293 294 295 295 296 296 297 300 301 305 305 306 307 307 308 308 309 309 310 310 311 313 314 315 316 317 318 319 320

XII

Inhaltsverzeichnis

4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5 4.6.5.1 4.6.5.2 4.6.5.3

Sphärische Trigonometrie (Geometrie der Kugeloberfläche) . . G r o ß - u n d Kleinkreise auf der Kugel Kugelzweieck (Kugelkeil) Kugeldreieck Rechtwinkliges Kugeldreieck Entfernungsberechnung auf der Kugel (Erdoberfläche) Grundbegriffe Kürzeste Entfernung zweier O r t e - o r t h o d r o m e Entfernung . . . Loxodrome

322 322 323 324 329 330 330 331 333

5. 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.6.1 5.1.6.2 5.1.6.3 5.1.6.4 5.1.7

(Unendliche) Folgen, Reihen und Produkte Reelle Zahlenfolgen Grundbegriffe Arithmetische Zahlenfolgen Geometrische Zahlenfolgen Konvergente Zahlenfolgen Divergente Zahlenfolgen Spezielle Grenzwerte Geometrische Folgen Gebrochen rationale Funktion in n Grenzwerte bei stetigen Funktionen Wichtige Grenzwerte Grenzwerte von rekursiv definierten Zahlenfolgen

334 334 334 335 336 336 339 340 340 340 341 341 341

5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.2.6

342 342 345 346 346 347

5.2.7 5.2.8 5.2.9 5.2.10

Unendliche Reihen Konvergenz und Divergenz bei unendlichen Reihen Die unendliche geometrische Reihe Das Rechnen mit konvergenten Reihen Alternierende Reihen (Leibniz'sche Reihen) Absolute Konvergenz Konvergenz- und Divergenzkriterien bei Reihen mit nichtnegativen Gliedern Konvergenzkriterien für beliebige Reihen Spezielle Reihen Doppelreihen (Doppelsummen) Multiplikation von Reihen

5.3 5.3.1 5.3.2

Unendliche Produkte Konvergenz bei unendlichen Produkten Absolute Konvergenz von unendlichen Produkten

359 359 362

6. 6.1

Reelle Funktionen einer Variablen Grundbegriffe

364 364

6.2 6.2.1 6.2.2

Grenzwerte einer Funktion Allgemeine Grenzwerte Praktische Berechnung von Grenzwerten

369 369 372

348 351 352 355 357

Inhaltsverzeichnis

6.2.3

XIII

6.2.3.1 6.2.3.2

Grenzwertbestimmung nach der Regel von Bernoulli-L'Hospital (unbestimmte Ausdrücke) Die Regel von Bernoulli-L'Hospital Behandlung weiterer unbestimmter Ausdrücke

373 373 375

6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4

Stetige Funktionen Der Begriff der Stetigkeit Unstetigkeitsstellen Hebbare Unstetigkeiten (Definitionslücken) Eigenschaften stetiger Funktionen

377 377 379 381 383

6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.4.5 6.4.6 6.4.7 6.4.8 6.4.9 6.4.10 6.4.11

384 384 385 385 388 388 391 392 393 395 397

6.4.12 6.4.13 6.4.14 6.4.15 6.4.16 6.4.17

Die Ableitung einer Funktion Differenzenquotient Einseitige Ableitungen Die Ableitung an einer bestimmten Stelle Ableitungsfunktion Ableitungsregeln Logarithmische Ableitung Eigenschaften differenzierbarer Funktionen (Mittelwertsätze) Das Differential einer Funktion Höhere Ableitungen Differentiale höhere Ordnung Ableitungen einer in Parameterdarstellung gegebenen Funktion Ableitungen einer in Polarkoordinaten vorgegebenen Funktion . Ableitungen einer impliziten Funktion Taylor-Polynome und Taylor-Reihen Kurvendiskussion Krümmung und Krümmungskreis Die Elastizität einer Funktion

6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.2.1 6.5.2.2 6.5.2.3 6.5.2.4 6.5.2.5 6.5.3 6.5.4 6.5.4.1 6.5.4.2 6.5.4.3 6.5.4.4 6.5.4.5

Elementare Funktionen Einteilung der elementaren Funktionen Ganze rationale Funktionen (Polynome) Konstante Funktion Lineare Funktion Quadratische Funktion Kubische Parabel Polynome n-ten Grades Gebrochene rationale Funktionen Allgemeine Potenzfunktionen f ( x ) = x a ; a S R Die Potenzfunktionen y = x n ; n G N Wurzelfunktionen y = Vx Potenzfuntionen mit beliebigen positiven Exponenten Potenzfunktionen mit negativen Exponenten Eigenschaften der Funktionen y = x a

418 418 419 419 419 419 420 422 426 433 433 434 437 437 438

398 399 401 401 405 412 417

XIV

Inhaltsverzeichnis

6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4

Exponentialfunktion und logarithmische Funktionen Die allgemeine Exponentialfunktion Die e-Funktion y = e x (spezielle Exponentialfunktion) Der natürliche Logarithmus Der allgemeine Logarithmus

439 439 441 442 445

6.7 6.7.1 6.7.2 6.7.2.1 6.7.2.2 6.7.3 6.7.4 6.7.5

Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen) Definition der trigonometrischen Funktionen Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen . . . . Rückführung auf Winkel zwischen 0 und 90° Umrechnungsformel für den gleichen Winkel Additionstheoreme Die allgemeine Sinusfunktion Ableitungen

446 446 449 449 450 450 454 455

6.8 6.8.1 6.8.2 6.8.3 6.8.4 6.8.5

Zyklometrische Funktionen (Arcusfunktionen) Arcussinus Arcuskosinus Arcustangens Arcuskotangens Beziehungen zwischen zyklometrischen Funktionen

459 459 461 462 464 465

6.9

Hyperbolische Funktionen (Hyperbelfunktionen)

468

6.10 6.10.1 6.10.2 6.10.3 6.10.4 6.10.5

Inverse Hyperbelfunktionen (Areafunktionen) Areasinus (Area Sinus hyperbolicus) Areakosinus (Area Cosinus hyperbolicus) Areatangens Areakotangens Beziehungen zwischen den Areafunktionen

472 472 474 475 477 478

6.11 6.11.10. 6.11.2 6.11.3 6.11.4 6.11.4.1 6.11.4.2 6.11.5 6.11.6 6.11.6.1 6.11.6.2 6.11.7

Integralrechnung Das bestimmte Integral Die Integralfunktion Stammfunktion und unbestimmtes Integral Integrationsregeln Partielle Integration Substitutionsmethode (Integration durch Substitution) Grundintegrale Klassen integrierbarer Funktionen Integration rationaler Funktionen Integration spezieller irrationaler Funktionsklassen Integrale, die nicht durch elementare Funktionen darstellbar sind 6.11.8 Uneigentliche Integrale 6.11.8.1 Uneigentliche Integrale über unendliche Intervalle 6.11.8.2 Uneigentliche Integrale nicht beschränkter Funktionen 6.11.9 Anwendungen der bestimmten Integrale 6.11.9.1 Flächeninhalte ebener Bereiche

480 480 485 485 487 488 490 494 495 495 498 506 508 509 514 517 517

Inhaltsverzeichnis

XV

6.11.9.2 6.11.9.3 6.11.9.4 6.11.9.5 6.11.9.6

Bogenlänge Mantelflächen von Rotationskörpern Volumenberechnung aus Querschnittsflächen Volumen von Rotationskörpern Schwerpunkte und statische Momente (Momente 1. Ordnung) 6.11.9.7 Die Guldinschen Regeln bei homogenen Rotationskörpern . . . 6.11.9.8 Trägheitsmomente(Momente2. Ordnung) 6.11.10 Numerische Integration (Quadratur) 6.11.10.1 Approximation durch Interpolationspolynome 6.11.10.2 Newton-Cotes-Formeln füraquidistante Stützstellen 6.11.11 Parameterabhängige Integrale 6.11.11.1 Allgemeine parameterabhängige Integrale 6.11.11.2 Die Gammafunktion (Eulersches Integral zweiter Gattung) . . 6.11.11.3 Die Betafunktion (Eulersches Integral erster Gattung)

532 540 542 549 549 550 555 555 556 557

6.12 6.12.1 6.12.2 6.12.3 6.12.4 6.12.4.1 6.12.4.2 6.12.4.3 6.12.4.4 6.12.4.5 6.12.5

Funktionenfolgen und Funktionenreihen Funktionenfolgen Allgemeine Funktionsreihen Potenzreihen Fourier-Reihen und Fourier-Entwicklung Fourier-Reihen Fourier-Koeffizienten einer Funktion f Fourier-Entwicklung einer Funktion mit der Periode 2 JI Fourier-Entwicklung einer Funktion mit der Periode 2 T Fourier-Entwicklung einer Funktion in einem Intervall ( a , b ) Das Fourier-Integral

558 558 560 562 566 566 566 567 570 571 572

7. 7.1

Funktionen von zwei Variablen Der Funktionsbegriff

574 574

7.2

Grenzwert einer Funktion

575

7.3 7.4 7.4.1 7.4.1.1 7.4.1.2 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5

Stetigkeit Differentiation Partielle Ableitungen Partielle Ableitung erster Ordnung Partielle Ableitungen höherer Ordnung Totales (vollständiges) Differential und Tangentialebene . . . . Vollständige Differenzierbarkeit Richtungsableitung und Gradient Differentation mittelbarer Funktionen (verallgemeinerte Kettenregel) Auflösbarkeit und Ableitung impliziter Funktionen Zwischenwertsatz Taylorentwicklung Relative Extremwerte und Sattelpunkte

577 578 578 578 580 581 582 583

7.4.6 7.4.7 7.4.8 7.4.9

. .

521 523 527 529

586 587 589 589 590

XVI

Inhaltsverzeichnis

7.4.10 7.4.11 7.4.12

Extremwerte unter einer Nebenbedingung Differenzierbare Abbildungen ebener Bereiche Partielle Elastizitäten

592 594 598

7.5

Homogene Funktionen

598

7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 7.6.4.1 7.6.4.2 7.6.4.3 7.6.4.4 7.6.4.5 7.6.4.6 7.6.4.7 7.6.4.8

Integralrechnung bei Funktionen zweier Veränderlicher Gebietsintegrale (Flächenintegrale) Zweifache Integrale (Doppelintegrale) Variablentransformation bei Gebietsintegralen Anwendungen von Gebietsintegralen Volumenberechnung Flächeninhalt eines Gebiets Inhalt eines räumlichen Flächenstücks (vgl. 9.5.3) Masse und Scherpunkte ebener Gebiete Masse und Schwerpunkte eines räumlichen Flächenstücks . . . . Trägheitsmomente eines ebenen Gebiets Trägheitsmomente eines räumlichen Flächenstücks Weitere Anwendung von Gebietsintegralen

599 599 602 604 606 606 607 608 609 610 610 610 610

8. 8.1

Funktionen mehrerer Veränderlicher Der Funktionsbegriff

611 611

8.2

Grenzwert einer Funktion

611

8.3 8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.4.5

612 613 613 614 615 615

8.4.8 8.4.9 8.4.10 8.4.11

Stetigkeit Differentiation Partielle Ableitungen Totales (vollständiges) Differential Vollständige Differenzierbarkeit Richtungsableitung und Gradient Differentiation mittelbarer Funktionen (verallgemeinerte Kettenregel) Differenzierbare Abbildungen Auflösung und Ableitung impliziter Funktionen und Funktionensysteme Mittelwertsatz Taylorentwicklung Relative Extremwerte Extremwerte unter Nebenbedingungen

8.5

Homogene Funktionen

622

8.6 8.6.1 8.6.2 8.6.3 8.6.4 8.6.4.1

Integralrechnung bei Funktionen von drei Veränderlichen . . . . Raumintegrale Dreifachintegrale (Berechnung der Raumintegrale) Variablentransformation bei Dreifachintegralen Anwendungen von Raumintegralen Volumenberechnung

623 623 624 625 625 625

8.4.6 8.4.7

616 617 618 619 619 620 621

Inhaltsverzeichnis

XVII

8.6.4.2 8.6.4.3 8.6.4.4

Masse und Schwerpunkt eines Körpers Trägheitsmomente eines Körpers Massenanziehung

626 627 628

9. 9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4 9.1.5 9.1.6 9.1.7 9.1.8 9.1.9 9.1.10

Differentialgeometrie und Vektoranalysis Raumkurven und ebene Kurven Definition einer Raumkurve Stetigkeit und Differenzierbarkeit Bogenlänge Tangenteneinheitsvektor Normalebene Schmiegebene Hauptnormale und Krümmung Binormalenvektor und rektifizierende Ebene Torsion (Windung) Frenetsche Formeln

629 629 629 630 632 633 634 635 635 637 637 638

9.2 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.2.5 9.2.6 9.2.7 9.2.8 9.2.9

Ebene Kurven Definitionsmöglichkeiten einer ebenen Kurve Ableitungen Tangenten-und Normalenvektor Bogenlänge Krümmung Singulare Punkte Evolute Evolventen Einhüllende (Enveloppe) einer Kurvenschar

639 639 639 639 640 641 641 643 644 644

9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.3.4.1 9.3.4.2 9.3.4.3 9.3.5 9.3.5.1 9.3.5.2 9.3.5.3 9.3.5.4 9.3.6 9.3.7

Spezielle ebene Kurven Algebraische Kurven erster und zweiter Ordnung Algebraische Kurven dritter Ordnung Algebraische Kurven vierter Ordnung Zyklische Kurven (Rollkurven) Zykloiden Epizykloiden Hypozykloiden Spirallinien Archimedische Spirale Hyperbolische Spirale Logarithmische Spirale Klothoide (Spinnlinie) Kettenlinie Traktix (Schleppkurve)

645 645 645 648 653 653 656 661 665 665 667 668 669 670 670

9.4

Zylindrische Schraubenlinie

671

9.5 9.5.1

Flächen Flächengleichung

673 673

XVIII

Inhaltsverzeichnis

9.5.2 9.5.3 9.5.4 9.5.5

Tangentialebene und Normalenvektor Flächeninhalt Bogenelement einer auf der Fläche liegenden Kurve Singulare Flächenpunkte

674 676 677 678

9.6 9.6.1 9.6.2 9.6.3

Skalare Felder, Vektorfelder, Gradient und Potential In kartesischen Koordinaten Vektorfelder in Zylinderkoordinaten (Polarkoordinaten) . . . . Vektorfelder in Kugelkoordinaten

679 679 680 682

9.7 9.7.1 9.7.2 9.7.3

Kurvenintegrale (Linienintegrale) Das Kurvenintegral über ein Skalarfeld (Linienintegral 1. Art) Kurvenintegrale (Linienintegrale) 2. Art in ebenen Vektorfeldern Kurvenintegrale (2. Art) in räumlichen Vektorfeldern

9.8 9.8.1 9.8.2

Oberflächenintegrale (Flächenintegrale) Oberflächenintegrale 1. Art Oberflächenintegrale 2. Art in räumlichen Vektorfeldern

9.9

Volumenintcgrale

694

9.10 9.10.1 9.10.2 9.10.3

Divergenz, Zirkulation und Rotation Divergenz eines Vektorfeldes Zirkulation Rotation eines Vektorfeldes

695 695 696 969

9.11 9.11.1 9.11.2

Integralsätze Der Gaußsche Integralsatz Der Stokessche Integralsatz

697 697 697

10. 10.1

Lineare Algebra Vektorräume (lineare Räume)

698 698

10.2 10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4 10.2.5

Matrizen und Determinanten Matrizenoperationen Der Rang einer Matrix Determinanten Inverse Matrix (Kehrmatrix) Orthogonale Matrizen

698 698 702 703 706 707

10.3 10.3.1 10.3.2 10.3.3 10.3.4

Lineare Gleichungssysteme Darstellung linearer Gleichungssysteme Lösbarkeitskriterium Lösungsmengen des homogenen und inhomogenen Systems . . . Der Gaußsche Algorithmus zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Berechnung der inversen Matrix Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe der inversen Matrix Cramersche Regel für m = n

707 707 708 708

10.3.5 10.3.6 10.3.7

.

. . . .

683 683 685 688 691 691 692

709 712 713 714

Inhaltsverzeichnis

XIX

10.4 10.4.1 10.4.2 10.4.3 10.4.4 10.4.4.1 10.4.4.2 10.4.5

Lineare Abbildungen (Transformationen) von Vektorräumen . . Grundbegriffe Matrix einer linearen Abbildung Verknüfpungen von linearen Abbildungen Koordinatentransformationen Transformationen bei beliebigen Basen Transformationen bei orthonormalen Basen Abbildungen bzgl. verschiedener Basenpaare

714 715 715 716 717 718 719 720

10.5 10.5.1 10.5.2 10.5.3 10.5.4 10.5.5

Eigenwerte und Eigenvektoren Definition der Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenschaften Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer reeller Matrizen . Hauptachsentransformation symmetrischer Matrizen Hauptachsentransformation quadratischer Formen

721 721 722 722 723 724

11. 11.1

Lineare Optimierung (Programmierung) Allgemeine Problemstellung

726 726

11.2

Geometrische Lösung bei zwei Variablen

726

11.3

Mathematische Formulierung des allgemeinen Problems

11.4

Einführung von Schlupfvariablen

729

11.5

Kanonische Form

731

11.6 11.6.1 11.6.2 11.6.3 11.6.4 11.6.5

Simplexverfahren (Simplexalgorithmus) Ausgangstableau aus einer zulässigen kanonischen Form Basisaustauschverfahren für das Problem z = Min Praktische Durchführung des Simplexverfahrens Beispiele Duales Problem

12. 12.1

Gewöhnliche Differentialgleichungen Begriff der gewöhnlichen Differentialgleichung

745 745

12.2 12.2.1 12.2.2 12.2.3 12.2.3.1 12.2.3.2 12.2.3.3

Explizite Differentialgleichungen 1. Ordnung Das Richtungsfeld Existenz und Eindeutigkeitssätze Spezielle integrierbare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . Trennung der Veränderlichen Die Differentialgleichung y' = f ( a x + b y + c) Gleichungen mit homogenen Faktoren. Die Ahnlichkeitsdifferentialgleichungmitf (Xx,Xy) = f ( x , y )

745 745 746 747 747 748

12.2.3.4 Die Differentialgleichung y' = f (

A x + B y + C

ax + by + c 12.2.3.5 Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung 12.2.3.6 Die Bernoullische Differentialgleichung 12.2.3.7 Die Riccatische Differentialgleichung

)

. . . .

. . . .

728

732 732 734 735 739 742

749 750 752 755 756

XX

Inhaltsverzeichnis

12.2.3.8 Exakte (vollständige) Differentialgleichung 12.2.3.9 Integrierender Faktor (Eulerscher Multiplikator) 12.2.4 Singuläre Punkte der expliziten Differentialgleichung y-f(x.v)

761

12.3 12.3.1 12.3.2 12.3.3 12.3.3.1 12.3.3.2 12.3.3.3 12.3.3.4 12.3.4

Die implizite Differentialgleichung 1. Ordnung F ( x , y , y ' ) = 0 . . Nach y' auflösbare Gleichungen y' = f(x, y) Reguläre und singulare Linienelemente Nach y auflösbare Gleichungen Die Differentialgleichung y = g ( x , y ' ) Die Differentialgleichung y = g ( y ' ) Die Clairautsche Differentialgleichung Died'AlembertscheDifferentialgleichung Nach x auflösbare Gleichung x = g ( y , y ' )

764 764 765 766 766 767 768 768 769

12.4 12.4.1 12.4.2 12.4.2.1 12.4.2.2 12.4.2.3 12.4.2.4

Systeme expliziter Differentialgleichungen 1. Ordnung Allgemeine Systeme Systeme linearer Differentialgleichungen Das homogene lineare System Das inhomogene System Das Reduktionsverfahren von d'Alembert Lineare Systeme 1. Ordnungmit konstanten Koeffizienten

771 771 772 773 774 774 776

12.5 12.5.1 12.5.2 12.5.2.1 12.5.2.2 12.5.2.3 12.5.2.4 12.5.2.5

Die explizite Differentialgleichung höherer Ordnung Existenz-und Eindeutigkeitssatz Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung Die allgemeine lineare Differentialgleichung Die homogene lineare Differentialgleichung Die inhomogene lineare Differentialgleichung Die Reduktionsmethode von d'Alembert Homogene lineare Differentialgleichung mit vorgegebenen Lösungen Lösung durch Potenzreihenansatz Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Die homogene Gleichung Die inhomogene Gleichung Die Eulersche Differentialgleichung Spezielle lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung Die Besseische Differentialgleichung Die Legendresche Differentialgleichung Die Laguerresche Differentialgleichung Die Hermetische Differentialgleichung DieTschebyscheffsche Differentialgleichung

12.5.2.6 12.5.3 12.5.3.1 12.5.3.2 12.5.4 12.5.5 12.5.5.1 12.5.5.2 12.5.5.3 12.5.5.4 12.5.5.5 12.6 12.6.1 12.6.2

756 758

. . .

Randwertaufgaben Allgemeine Randwertaufgaben Lineare Randwertaufgaben bei linearen Differentialgleichungen n-ter Ordnung

779 779 780 780 781 781 783

.

784 785 786 785 787 790 792 792 795 797 798 798 800 800 801

Inhaltsverzeichnis

12.6.2.1 Lösungsmöglichkeiten beim allgemeinen Randwertproblem 12.6.2.2 Die Greensche Funktion 12.6.2.3 Selbstadjungierte Randwertprobleme

XXI

. .

801 803 807

12.7

Eigenwertaufgaben

810

12.8 12.8.1 12.8.2 12.8.3 12.8.4 12.8.5 12.8.6

Numerische Behandlung gewöhnlicher Differentialgleichungen . Euler-Cauchyscher Polygonzug Verfahren von Heun Klassisches Runge-Kutta-Verfahren Allgemeiner Ansatz für Runge-Kutta-Verfahren Verfahren der schrittweisen Verbesserung Prädiktor-Korrektur Verfahren

812 812 814 815 815 816 817

Anhang: Tabellen I. Ableitungen II. Unbestimmte Integrale III. Bestimmte und uneigentliche Integrale

819 819 821 855

Register

864

Vorwort zur fünften Auflage Bei den Neuauflagen wurde die Grundkonzeption des Buches nicht verändert. Beseitigt wurden nur Fehler im Text und in den Formeln. Den Kolleginnen, Kollegen und Studierenden, die mich auf Fehler aufmerksam gemacht haben, möchte ich recht herzlich danken. Karl Bosch

Vorwort zur ersten Auflage Nach einer sehr ausführlichen Darstellung der Elementarmathematik werden in diesem Taschenbuch die wichtigsten Gebiete der höheren Mathematik behandelt. Selbstverständlich können in einem einzigen Band nicht sämtliche Spezialgebiete der höheren Mathematik gebracht werden. Daher ist die Stoffauswahl so getroffen worden, daß der Praktiker hier die wesentlichen Gebiete der Mathematik findet, die er in seinem Berufsleben zur Lösung mathematischer Probleme benötigt. Wegen der Einbeziehung der Elementarmathematik wendet sich das vorliegende Buch nicht nur an Studierende und Personen, die in ihrem Beruf mit der Lösung mathematischer Probleme konfrontiert werden, wie z.B. Ingenieure, Naturwissenschaftler und Ökonomen, sondern auch an Schüler und Erwachsene, die sich auf dem Gebiet der Mathematik weiterbilden wollen. Mit diesem Mathematiktaschenbuch möchten Autor und Verlag kein Lehrbuch im klassischen Sinne schaffen. Da es völlig unmöglich ist, sämtliche Beweise lükkenlos in einem einzigen Band zu bringen, wird auf die meisten Beweise verzichtet. An deren Stelle treten manchmal Plausibilitätsbetrachtungen. Die Konzeption des Buches ist so gestaltet, daß es zugleich als Arbeitsbuch und als Nachschlagewerk benutzt werden kann. Eine starke Untergliederung in den einzelnen Kapiteln und das ausführliche Register sollen dafür sorgen, daß der Benutzer die entsprechenden Stellen sehr sehneil findet. Neben der Angabe von übersichtlichen Formeln werden die einzelnen Probleme soweit möglich ausführlich und anschaulich beschrieben. Zahlreiche Beispiele sollen zum besseren Verständnis beitragen. Sie sollen gleichzeitig zeigen, wie man die einzelnen Formeln in die Praxis umsetzt. Der Autor hat versucht, der Übersicht halber sehr stark verwandte Gebiete zusammenzufassen. So wurde z.B. bei der Behandlung der ebenen und räumlichen Geometrie teilweise die Vektorrechnung benutzt. Mit dem Hilfsmittel der Vektorrechnung können viele Eigenschaften einfach bewiesen werden. Bei der elementaren Geometrie wurden viele Formeln ohne Beweise angegeben, wie z.B. Flächeninhalte, Längen oder Umfang von Kurvenstücken, Krümmungsradius, Volumina und Oberflächeninhalte, die erst später mit den Mitteln der Differential- und Integralrechnung bzw. der Differentialgeometrie hergeleitet werden können. Viele dieser Formeln werden in den jeweiligen Abschnitten als Beispiele durchgerechnet und somit exakt hergeleitet. Mit Hilfe des Registers können diese Stellen sehr schnell gefunden werden.

XXIV

Vorwort

Manche Probleme werden unter verschiedenen Gesichtspunkten mehrfach behandelt. D a b e i sind meistens entsprechende Hinweise gegeben. Nach Möglichkeit wurde jedoch eine geschlossene Darstellung angestrebt. So wurden z.B. bei der Behandlung spezieller Funktionen in Abschnitt 6 an den jeweiligen Stellen gleich die Ableitungen, Integrale und Reihenentwicklungen der entsprechenden Funktionen angegeben. Dadurch wird für den Benutzer ein unnötiges Suchen überflüssig. W e r diese Formeln selbst ableiten möchte, muß natürlich die Formeln aus den entsprechenden Unterabschnitten anwenden. A u c h diese A b schnitte können mit Hilfe des Inhaltsverzeichnisses sehr schnell gefunden werden. Das Taschenbuch wurde von einem einzigen A u t o r geschrieben. D a d u r c h ist die Homogenität gewährleistet. So kommt es z.B. nicht vor, daß in verschiedenen Abschnitten plötzlich Bezeichnungen geändert werden. B e d a n k e n möchte ich mich bei dem Verlag f ü r die hervorragende Z u s a m m e n a r beit während der Entstehungsphase dieses Buches, besonders bei H e r r n DiplomVolkswirt M. Weigert. J e d e m Benutzer dieses Taschenbuchs wünsche ich viel Erfolg, vor allem daß er mit der Konzeption des Buches sehr schnell vertraut wird, so daß es ihm während seines Studiums und in seinem Berufsleben bei der Lösung mathematischer Probleme ein wertvolles Hilfsmittel und ein ständiger Begleiter wird. J e d e m Leser bin ich f ü r Hinweise und Verbesserungsvorschläge sehr dankbar. Karl Bosch

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra 1.1 Mengenlehre 1.1.1 Grundbegriffe und Mengenoperationen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Dinge (Elemente) zu einem Ganzen. Diese Definition stammt von Georg Cantor (1845-1918). Bezeichnungen: Mengen A , B, C , . . . , X, Y, Z , A b A 2 , A 3 , . . . (große lateinische Buchstaben) E l e m e n t e a , b , c, x, y, z, a 1 ; a 2 , a 3 , . . . (kleine lateinische Buchstaben). x G A (x ist Element von A ) , falls das Element x in der Menge A enthalten ist. x £ A (x ist nicht Element von A), falls x nicht in A enthalten ist. A = {xlx erfüllt eine vorgeschriebene Eigenschaft}. Z u r Menge A gehören diejenigen E l e m e n t e , welche die entsprechende Eigenschaft erfüllen (beschreibende Darstellung). Spezielle

Mengen:

Die Grundmenge £2 enthält alle betrachteten Elemente. Diese G r u n d m e n g e hängt also von der speziellen Problemstellung ab. Die leere Menge 0 = { } enthält kein E l e m e n t . Mengenoperationen: A C B (A ist Teilmenge von B), falls jedes Element der Menge A auch in der Menge B enthalten ist ; a E A = > (daraus folgt) a G B. A = B ( A gleich B), falls A und B jeweils die gleichen Elemente enthalten. Alle E l e m e n t e der M e n g e A sind also auch in der Menge B enthalten und umgekehrt. Es gilt also A = B (genau dann) A C B A (und) B C A. Die Enthaltenseins- oder Teilmengenoperation umfaßt also auch die Gleichheit; für jede Menge A gilt A C A . A J B ( A ist echte Teilmenge von B), falls alle Elemente der Menge A in der Menge B enthalten sind, aber B von A verschieden ist. Es muß also mindestens ein E l e m e n t in B geben, das nicht in A enthalten ist, während alle Elemente der Menge A in B enthalten sind.

2

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

A n B = A B (Durchschnitt, Schnittmenge) von A und B = {x I x G A A (und) x G B}. Der Durchschnitt besteht aus denjenigen Elementen, die sowohl in A als auch in B, also gleichzeitig in beiden Mengen enthalten sind. A U B (Vereinigung von A und B) = {x I x G A v (oder) x G B}. Die Vereinigung besteht aus denjenigen Elementen, die in A oder B (oder in beiden Mengen) also in mindestens einer der beiden Mengen A, B enthalten sind. Bei dem benutzten „oder"-Zeichen v handelt es sich um ein nichtausschließendes „oder". A \ B = A fl B (Differenzmenge von A und B) = {x I x G A A x G B} besteht aus denjenigen Elementen, die in A, aber nicht in B enthalten sind. A = C A (Komplement, Komplementärmenge) = {x I x G £2 und x G A}. Die Komplementärmenge wird bzgl. der Grundmenge Q gebildet. Sie enthält alle Elemente, die in der Grundmenge Q, jedoch nicht in A enthalten sind. Das Komplement hängt also von der Grundmenge ab. AundBheißendisjunkt(elementenfremd), falls A f l B = 0 . DisjunkteMengen besitzen also kein gemeinsames Element. Beispiele: 1. Aufzählende und beschreibende Darstellung: Q = { 1 , 2 , 3 , . . . , 98,99,100} (natürliche Zahlen zwischen 1 und 100). Gerade Zahlen: G = { 2 , 4 , 6 , . . . , 96,98,100}; G = { 1 , 3 , 5 , 7 , ...,97,99} (ungeradeZahlen); Quadratzahlen: Q = { 1 , 4 , 9 , 1 6 , 2 5 , 3 6 , 4 9 , 6 4 , 8 1 , 1 0 0 } ; G n Q (gerade Quadratzahlen) = {4,16,36, 64,100}; G \ Q (ungerade Quadratzahlen) = {1,9,25,49,81}; durch 11 teilbare Zahlen: B = {11,22,33,44,55,66,77,88,99}; durch 22 teilbare Zahlen: C = {22,44,66,88}; Es gilt C C B ; G n G = 0 ; G U ü = £ 2 ; B n C = C ; B U C = B. A ^ /

2. Venn-Diagramme: A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {6,7,8,9,10} C={11} D = 0

/ /

2

1

\

\

3 5

\ /

10

3

1.1 Mengenlehre

3. Flächendarstellung: A = Kreisscheibe; B = Kreisscheibe

Allgemein gilt A U B = (A n B) U (A \B) U (B \ A ) = AB U A B U AB Die Vereinigung A U B kann also als Vereinigung von drei paarweise disjunkten Mengen dargestellt werden. A H B besteht aus denjenigen Elementen, die in beiden Mengen liegen, während (A \ B ) U (B \ A) diejenigen Elemente enthält, die in genau einer der beiden Mengen A, B liegen. Eigenschaften der Mengenoperationen: AUÄ=Q;

A PIA = 0

A U B = B U A;

A fl B = B D A

(Kommutativgesetze)

A U (B U C) = (A U B) U C A n (B n C) = (A n B) n C

(Assoziativgesetze)

A n (B U C) = (A n B) U (A n C) AUB=AHB A DB = A UB A CB

A l~l B = A

A

(Distributivgesetz) (De Morgansche Regeln)

A U B = B.

Durchschnitts- vor Vereinigungsbildung: In (A n B) U (C fl D) werden die Klammern häufig weggelassen. Das bedeutet daß in AHB

U

CflD

= AB U CD

erst die beiden Durchschnitte und danach die Vereinigung dieser beiden Durchschnitte gebildet werden müssen. In

A

n (B u c) n D

darf die Klammer nicht weggelassen werden. 1.1.2 Abbildungen (Funktionen) von Mengen Wird jedem Element a £ A einer Menge A durch eine bestimmte Abbildungsvorschrift f genau ein Element b = f (a) E B einer Menge B zugeordnet, so heißt f eine Abbildung (Funktion) der Menge A in die Menge B.

4

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Bezeichnungen: a — — - b = f(a) A — - — B oder: f : A ^ B . a heißt Urbild, b = f(a) das Bild von a. A ist der Definitionsbereich von f. Die Menge aller Bildelemente von A heißt Wertebereich (Wertevorrat). E r wird mit f(A) bezeichnet, also f(A) = {b I b E B;

b = f(a) für ein a E A};

f(A)CB.

Abbildungen (Funktionen) müssen eindeutig sein; ein Urbild darf also nicht zwei verschiedene Bilder besitzen. Allerdings darf verschiedenen Urbildern das gleiche Bildelement zugeordnet werden. f heißt eineindeutig (injektiv), wenn jedes Bildelement genau ein Urbild besitzt; d.h. aus f(X() = f(x 2 ) folgt X! = x2. f heißt Abbildung von A auf B (surjektiv), wenn jedes Element b G. B als Bild auftritt. Zu jedem Element b £ B gibt es mindestens ein a £ A mit b = f(a). Es ist also f ( A ) = B . f heißt bijektiv (eineindeutige Abbildung auf), wenn f injektiv und surjektiv ist.

Zusammengesetzte Abbildung: f sei eine Abbildung von A auf B und g eine Abbildung von B in C. aEA — I

b

= f(a)£B —

= g(b)EC *

c

h = gof

Dann heißt die durch c = g(b) = g(f(a)) = (g o f) (a) = h(a) erklärte Abbildung gof von A in C die zusammengesetzte Abbildung.

Inverse Abbildung (Umkehrabbildung): Falls f eine eineindeutige Abbildung von A auf B ist (bijektiv), wird für alle b 6 B durch a = f _ 1 (b) b = f(a)

a -

f ^ f1

-b

die inverse Abbildung f _ 1 (Umkehrabbildung) von B auf A definiert.

1.1 Mengenlehre

Eigenschaften: 1) f _ 1 o f undf o f _ 1 ist jeweils die Identität, d.h. f" 1 (f(a)) = a;

f ( f " 1 ^ ) ) = b für alle a G A, b G B.

2) ( f - ^ - ^ f . 3) Falls f _ 1 und existieren, existiert auch (g o f ) - 1 und es gilt -1 ( g o f ) = f~' og~' (Vertauschen der Reihenfolge). 4) f o (g o h) = (f o g) o h (Assoziativgesetz). 5) I. a. ist fog=t= g o f (nicht kommutativ).

1.1.3 Direkte Produkte von Mengen 1.1.3.1 Direktes Produkt zweier Mengen Voraussetzung: A und B seien zwei nichtleere Mengen. Geordnetes Paar (a, b) mit a E A und b G B (Reihenfolge ist wichtig). Direktes Produkt der Mengen A und B: A x B = { ( a , b ) l a £ A und b G B} = Menge der geordneten Paare. Beispiel: A = {1,2};

B = {3,4}.

A x B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}. B x A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)} 4= A x B. A x B

1

2

5

6

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Darstellung einer Mengenabbildung: f sei eine Abbildung der Menge A in die Menge B. Mit den geordneten Paaren (a, f(a)) £ A x f ( A ) kann die Abbildung als Teilmenge des direkten Produkts A x f ( A ) dargestellt werden. 1.1.3.2 Direktes Produkt von n Mengen Voraussetzung: A j , A 2 , . . . , A n seien nichtleere Mengen. ( G e o r d n e t e s ) n - t u p e l ( a t , a 2 , . . . , a n ) m i t a j 6 A j , i = 1,2, . . . , n . Direktes Produkt der Mengen A „ A 2 , . . . , A n : A J X A 2 x ... x A n = {(a,,a 2 , . . . , a n ) l a i G A i , i = l , 2 , . . . , n } = Menge der n-tupel. Stellt lAjl die Anzahl der Elemente der Menge Aj dar für i = 1 , 2 , . . . , n, so gilt für die Anzahl der Elemente des direkten Produkts I A j X A 2 x . . . x A „ l = I A j I • I A 2 I • . . . -I A n _ ] I -1 A „ I.

1.2 Die reellen Zahlen B 1.2.1 D i e natürlichen Zahlen N Bei der Bestimmung der Anzahl der verschiedenen Elemente einer Menge mit endlich vielen Elementen benutzt man zum Abzählen die natürlichen Zahlen. 1.2.1.1 Menge der natürlichen Zahlen N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } ( = Menge der natürlichen Zahlen) ist geordnet und nach unten, jedoch nicht nach o b e n beschränkt. Jede natürliche Zahl n G IN besitzt genau einen Nachfolger, nämlich die nächstgrößere Zahl n + 1. Die kleinste natürliche Zahl ist 0; es gibt keine größte natürliche Zahl. Mit A u s n a h m e der Zahl 0 besitzt j e d e natürliche Zahl genau einen Vorgänger, nämlich die nächstkleinere Zahl n — 1. Durch eine äquidistante Einteilung k ö n n e n die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden.

I

0

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

n—1 (Vorgänger)

1 1

n

n+ 1 (Nachfolger von n)

1.2.1.2 Rechenoperationen Die Addition zweier natürlicher Zahlen kann auf dem Zahlenstrahl durch Aneinanderfügen der entsprechenden Strecken (Streckenaddition) dargestellt werden.

7

1.2 Die reellen Zahlen R

m

n m

n 0

n

m

n+m = m+n

Die Subtraktion n - m ergibt nur für n > m wieder eine natürliche Zahl. Vom nPfeil wird der m-Pfeil „weggenommen" (Umkehrung der Addition). n m x 0

n—m

m

n

x = n—m ist die Lösung der Gleichung x + m = n. Die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen läßt sich als wiederholte Addition interpretieren n - m = m + m + . . . + m (n gleiche Summanden) = n + n+... + n (m gleiche Summanden). Die Division n : m kann als Umkehrung der Multiplikation interpretiert werden. Die Gleichung 7 • x = 35 besitzt die Lösung x = 35 :7 = 5. Die Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen gegenüber den Rechenoperationen der Addition und der Multiplikation, d.h. mit zwei natürlichen Zahlen ist auch deren Summe und deren Produkt wieder eine natürliche Zahl; es gilt also n,m£]N=>n+m,n-mElN. Die Subtraktion und Division sind in der Menge der natürlichen Zahlen nicht uneingeschränkt durchführbar. Zwar besitzt die Gleichung 2 + x = 11 die Lösung x = 9 £ IN, jedoch hat 8 + x = 5 in N keine Lösung. Die Gleichung 3 • x = 7 besitzt in IN ebenfalls keine Lösung.

1.2.1.3 Dezimalsystem Im Dezimalsystem kann jede natürliche Zahl mit Hilfe der zehn Ziffern 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 dargestellt werden. Die Einerstelle bleibt unverändert ( = Multiplikation mit 10° = 1), die Zehnerstelle wird mit 101 = 10,

8

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

die Hunderterstelle wird mit 102 = 100, die Tausenderstelle mit 103 = 1000 multipliziert usw. Die k-te Stelle von rechts wird mit 10k~1 multipliziert. So ist z.B. die Zahl 5 723109 die Abkürzung für 5 • 106 + 7 • 105 + 2 • 104 + 3 • 103 + 1 • 102 + 0 • 10 + 9 • 1. 1.2.1.4 Dualsystem (Binärsystem) Elektronenrechner benutzen im allgemeinen das Dualsystem, das mit den beiden Ziffern 0 und L ( = 1) auskommt. Im Dualsystem stellt z.B. L00LL0L die Dezimalzahl l - 2 6 + 0 - 2 5 + 0 - 24 + l - 2 3 + l - 2 2 + 0- 2 + l - l = 64+ 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77 dar. 1.2.1.5 p-adische Darstellung Zu jeder natürlichen Zahl p > 1 gibt es mit Hilfe der Potenzen von p eine p-adische Darstellung x = ar • p r + a r _! • p r _ 1 + ••. + a 2 • p 2 + a! • p + a 0 • p° = 1 = a r a r _! a r _ 2 ... a 2 a j a 0 , wobei die einzelnen Ziffern ai einen der Ziffernwerte 0 , 1 , 2 , . . . , p - 1 annehmen. Für p = 2 erhält man als Spezialfall das Dualsystem; p = 10 ergibt das Dezimalsystem. Bemerkung: Beim Rechnen mit natürlichen Zahlen, die größer als Null sind, lautet die Grundmenge mit

IN* = { 1 , 2 , 3 , . . . } IN* CIN.

In vielen - vor allem älteren - Lehrbüchern wird die Zahl 0 nicht zur Menge der natürlichen Zahlen gerechnet. Die entsprechenden Autoren bezeichnen somit IN* als Menge der natürlichen Zahlen.

1.2 Die reellen Zahlen R

9

1.2.1.6 Primzahlen Primzahlen sind solche natürliche Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 (ohne Rest) teilbar sind, die also nur unechte Teiler besitzen. Es gibt unendlich viele verschiedene Primzahlen P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,...}. Durch die Primfaktorzerlegung läßt sich jede natürliche Zahl n > 2 in ein Produkt von Primzahlen zerlegen. Beispiel: 12600 = 8 • 1575 = 8 - 9 - 1 7 5 = 8-9-25-7 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 - 5 • 7 = 23 • 32 • 52 • 7. 1.2.1.7 Größter gemeinsamer Teiler Der größte gemeinsame Teiler ggT (n, m) zweier natürlicher Zahlen n und m ist die größte natürliche Zahl, durch welche beide Zahlen n und m (ohne Rest) teilbar sind. n und m sind teilerfremd, falls ggT (n, m) = 1. Teilerfremde Zahlen besitzen also außer der Zahl 1 keinen gemeinsamen Teiler. Der größte gemeinsame Teiler mehrerer Zahlen läßt sich aus der Primfaktorzerlegung bestimmen. Er ist gleich dem Produkt der in allen diesen Zahlen enthaltenen Primfaktoren und zwar in der kleinsten Potenz. Beispiel: 89100 = 2 2 • 32 • 52 • 9 • 11 32760 = 2 3 • 32 • 5 • 7 • 13 19440 = 2 4 • 33 • 5 • 9 56700 = 2 2 • 32 • 52 • 7 • 9 ggT

= 2 2 • 32 • 5 = 180.

Da die Primfaktorzerlegung bei großen Zahlen sehr mühsam ist, wird ein anderes Verfahren benutzt. 1.2.1.8 Euklidischer Algorithmus zur Bestimmung von ggT (m, n) Zunächst wird die größere Zahl durch die kleinere mit Rest dividiert und danach jeweils der alte Rest durch den neuen. Der letzte Divisor, bei dem die Division ohne Rest aufgeht, ist der größte gemeinsame Teiler. Falls dieser letzte Divisor gleich Eins ist, sind die beiden Zahlen teilerfremd. Mit dem Euklidischen Algorithmus kann nur der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen bestimmt werden.

10

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Beispiele: 1) Gesucht ist der ggT von 1366596 und 1211364 1366596:1211364 = 1211364: 155232= 155232: 124740= 124740: 30492= 30492: 2772 =

1 7 1 4 11

Rest 155232 Rest 124740 Rest 30492 Rest 2772

Beim Divisor 2772 geht die Division ohne Rest auf. Damit gilt ggT = 2772. 2) Gesucht ist der ggT von 12818 und 10395 12818 10395 = 10395 2423 = 703 = 2423 314 = 703 314 75 = 14 = 75 14 5= 5 4= 4 1

1 4 3 2 4 5 2 1 4

Rest 2423 Rest 703 Rest 314 Rest 75 Rest 14 Rest 5 Rest 4 Rest 1

ggT = 1 (teilerfremd). 1.2.1.9 Kleinstes gemeinsames Vielfaches Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV (n, m) ist die kleinste natürliche Zahl, die durch n und m teilbar ist. Das kgV beliebig vieler Zahlen läßt sich aus den Primzahlzerlegungen berechnen. Es ist gleich dem Produkt der in allen diesen Zahlen auftretenden Primfaktoren und zwar in der höchsten Potenz. Beispiel: 540 = 22 • 3 3 • 5 630 = 2 •3 2 •5 - 7 1050 = 2 • 3 • 52 • 7 kgV

= 2 2 - 3 3 - 5 2 - 7 = 18900.

Für zwei Zahlen gilt allgemein kgV(n,m)=

n

m

ggT(n,m)

Bei großen Zahlen ist es daher sinnvoll, zunächst mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von n und m zu bestimmen. Division

1.2 D i e reellen Zahlen R

11

von n • m durch ggT (n, m) liefert dann das kleinste gemeinsame Vielfache. Dieses Verfahren ist allerdings auf zwei Zahlen n und m beschränkt. Beispiel: Mit dem ggT 2772 erhält man aus dem obigen Beispiel 1) kgV (1366596; 1211364) =

136659

^211364

=

597202452.

1.2.2 Die ganzen Zahlen Z 1

1

1

1

1

-5

-4

-3

-2

-1

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1

•

7

Mit Hilfe der Spiegelung der natürlichen Zahlen am Nullpunkt 0 entsteht die Menge der ganzen Zahlen: Z={..., -3, -2,-1,0,1,2,3,...}. Z ist geordnet, nach unten und oben jeweils nicht beschränkt. Es gibt also keine kleinste und keine größte ganze Zahl. Jede ganze Zahl z besitzt genau einen Nachfolger z + 1 und genau einen Vorgänger z — 1. Z ist abgeschlossen gegenüber den Rechenoperationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation, es gilt also Z], z 2 , G Z =>Zj + z 2 ,

Zj — z 2 ,

z, • z2 G Z .

Die Division ist in Z nicht uneingeschränkt durchführbar, d.h. der Quotient zweier ganzer Zahlen ist nicht unbedingt wieder eine ganze Zahl. 1.2.3 Die rationalen Zahlen (Brüche)Q Mit Hilfe des Strahlensatzes kann jede Strecke in n gleichlange Teilstrecken zerlegt werden. Auf der eingezeichneten Hilfsgeraden werden mit dem Stechzirkel sieben gleichlange Teilstücke abgetragen. Der Endpunkt wird mit der Zahl 1 ver-

12

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

bunden. Parallelen zu dieser Verbindungsstrecke durch die eingezeichneten Teilpunkte ergeben als Schnittpunkte mit dem Zahlenstrahl die Darstellung der Brü, 1 2 3 4 5 ,6 che - , - , - , - , - und - . 7 7 7 7 7 7 Durch solche Teilungen und Parallelverschiebungen lassen sich auf der Zahlengeraden alle Brüche — , n =t= 0 darstellen. Spiegelung am Nullpunkt liefert die nen gativen Brüche. Menge der rationalen Zahlen: 2 =

2

q

;

p2 = 2q2

p 2 ist gerade => p gerade => p = 2 r (das Quadrat einer ungeraden Zahl wäre wieder ungerade). => (2 r) 2 = 2 q 2 ; 4 r 2 = 2 q 2 ; q 2 = 2 r 2 =s> q 2 gerade => q gerade, q = 21.

1.2 D i e reellen Zahlen R

17

D 2r => — = ; p und q sind nicht teilerfremd im Widerspruch zur Annahme. Daq 21 mit ist die Behauptung bewiesen.

Jede Zahl auf der Zahlengeraden, die nicht rational ist, heißt irrational. Eine weitere irrationale Zahl ist die Zahl ji, die als Umfang eines Kreises mit dem Radius r = - erklärt werden kann. 2 Für die Zahl V2 gelten folgende Ungleichungen

1

0 durchmultipliziert werden. Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl c < 0 drehen sich die Ungleichheitszeichen um. 3)

a

0 a f—a)n= ( " fürgeradesn ^ ' \ — a" für ungerades n;

a>0.

Für gerades n sind alle Potenzen nichtnegativ. Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ist wieder negativ: a2n>0

fürallea;

( - a) 2n + 1 = - a - a 2 n < 0 f ü r a > 0 .

Durch a° = 1, a~ n = —n a

füra + 0 , n G N *

werden die Potenzen a z , a #= 0 für alle ganzen Zahlen z G Z definiert.

28

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Potenzgesetze: für beliebige ganzzahlige n, m gilt: (a • b) n = a n • b n ;

(-£-)" =

an ' am

0 _L x = Vä = a n im Falle der Existenz die nichtnegative Lösung von x n = a. Die n-te Wurzel aus a > 0 ist also diejenige nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist, also ( V a ) n = a. x n

x= Vä=a

;

a = Radikand (a > 0) n = Wurzelexponent; n > 0 x = Wurzelwert, x > 0 Spezialfälle: n= 1

Va = a

n=2

V ä = V ä = Quadratwurzel

n= 3

Vä

= Kubikwurzel

Es gilt Vä2 = V ( - a ) 2 = lal Va2" = laln

;

Va 5 = a• Va f ü r a > 0 .

1.3 Potenzen und Wurzeln

29

Wurzelgesetze: Für a, b > 0 und n, r e IN* gilt (Vä) n = Vä" = a VäTb = Vä-Vb (gliedweises Wurzelziehen nur bei Produkten, nicht bei Summen!) n

r i

=

V ä

Vb LL

"/T _

Vb'Va

1 Vä

Va i = V ä

Beispiel: Vö4 • x4 = 4x • Vx

Vß = 2;

fürx>0.

V i • V i • V512 = V T 4 • 8 = 2 • 8 = 16. ^ i = V32 = 2. V2 Vväl'vi. Bei geraden Wurzelexponenten sind nur nichtnegative Radikanden zulässig. Eine Wurzel mit geradem Wurzelexponent aus einer negativen Zahl ist nicht reell, da jede gerade Potenz nichtnegativ ist, d.h. x2n>0

für jedes x E R .

Die Gleichung x2n = a < 0 kann daher keine reelle Lösung besitzen. Für ungerade Exponenten 2n + 1 hat a2n

+ 1 = a2n . a

das gleiche Vorzeichen wie a. Die Gleichung x 3 = — 8 besitzt die Lösung x

= - 2= - V8,

während x2 = — 8 keine reelle Lösung besitzt. Bei ungeraden Wurzelexponenten sind auch negative Radikanden zulässig. Für a > 0 definiert man V— a = — V ä

für ungerades n und a > 0 .

30

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

1.3.3 Potenzen mit rationalen Exponenten Für a > 0 und p, q G IN* setzt man — 1/

1

r~

a i = VaP = (Va)P

,

a q W Aus -2a qp. = a q£ . q = q folgt Damit dürfen Exponentenbrüche gekürzt oder erweitert werden. Speziell gilt r p

VaP = a ^ = a

•p

yrq

= ' W p für jedes r £ Z m i t r + 0.

Die Potenzgesetze gelten auch für rationale Exponenten: Für beliebige reelle Zahlen a, b > 0 und für beliebige rationale Zahlen (Brüche) u, v und s gilt

au

. av _ a u + v . a -u

=

J_ . j L = a u - v au av

(a u ) v = (a v ) u = a u v s • u _u_ a s v = a v (kürzen im Exponenten). Die rationalen Exponenten dürfen mit den üblichen Rechenoperationen umgeformt werden.

Beispiele: 1) \ / 4 = (22)

l

6

1 = 2 3 = V2. = V4* = V l 6 .

2)

Vi

4

1

3) \ A V ^ [ ( 3 2 ) 5 ] 2

=

32'5-5=3 L V 3 .

1.3 Potenzen und Wurzeln

/ I i i 31' 4) V 2 V 2 \ / 2 = [2-(2-2 2 ) 2 ] 2 = [2-2 2 2 ] 2 . 2

1

7

1

7

[2 • 2 4 ] 2 = 2 4 2 = 2 8 = V27. 111 1 = 2 0 r r 5 = 20 60 = 6°V2Ü. :

5) W V ^

3 /—;— 2 1 7+s i 37 i 6) V a7 • Vä® = (a7 • a 4 ) 3 = (a 4 ) 3 = ( a 4 ) 3 1 12 — 12 = a 12 = a = a3 • a 12 = a3 • Vä

7)

=

3 p >2 )2\5

2T5

füra>0.

V2

Rationalmachen des Nenners: = V^ Vä V ä - V ä 1 _ Va

a

1 I 5

~ ~ (erweitern mit Vä). a n-l 1•a " _ Vä^ I ü^i a a" •a "

(erweiternmit 1 n

Vä™

1 J]1 a"

=

]_1 nzd n n = a n = Va" -1 ). n-m 1•a n Va"3™ ... furm 0 i s t aUn eine Potenz mit rationalem Exponenten. Die Zahlenfolge aUn nähert sich immer mehr einer reellen Zahl. Diesen Grenzwert bezeichnet man mit a a ; es gilt also aa~aUn a

für u „ ~ a , u n rational

(exakt a = limaUn

für limu n = a).

1.3 Potenzen und Wurzeln

33

Beispiel: x = 5^; 1 ^ 14

U) = 1,4; u 2 = 1,41; u 3 = 1,414; u 4 = 1,4142; u5 = 1,41421; Es gilt

+5

5"i = 5 ' = 5

= 5 • V25 = 9,518270

5

5-2 = 5 • "10V 00! /—' T«T-,9,672700 5U3 = 5 • V ^ ^ 9,735171 '0000 / ., .„ 5"" = 59,738305 100000 / ,,,„, 5U* = 5V541421 = 9,738462

= 9,73851774...

51,41421 j s t a j s 0 bereits eine sehr gute Näherung für 5 ^ . Bemerkung: Mit elektronischen Taschenrechnern lassen sich allgemeine Potenzen a a (wenigstens näherungsweise) sehr bequem berechnen. 1.3.5 Lösung von Potenzgleichungen 1) Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung xn = a,

n G N*

1. Fall: n gerade: Da für gerades n die Potenz xn einer reellen Zahl x nichtnegativ ist, hat die Gleichung nur für a > 0 reelle Lösungen, nämlich X[ = + V ä

und

x 2 = —Vä,

a > 0 , n gerade.

Für a > 0 gibt es also zwei betragsgleiche Lösungen, während für a < 0 keine reelle Lösung existiert. 2. Fall: n ungerade: Für ungerades n besitzt die Gleichung für jedes a £ E genau eine Lösung, nämlich x = Va

für a > 0 ; nungerade.

x = — V— a f ü r a < 0 Für beliebige reelle Zahlen a #= 0 und a > 0 besitzt die Gleichung xa = a 1 die Lösungx = a ° .

34

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Beispiele: 1) X 3 = 5 ; X = 5 3 = 125 2) x4 = 32;x = ± ( 1 6 - 2 ) * = ± 2 3) x3 = — 10; 4) x

7 36

5-

~4 = ±2

~4=±2-Vl

x=-Vi(j

=2;X = 2

36 7

«35,330864 J_

5) x V5 = V 3 ; x = V 3 V 5 = V3

(VI) 2

«1,474646.

1.4 Kombinatorik und binomischer Lehrsatz 1.4.1 Fakultäten Für jede positive natürliche Zahl n heißt n

n! = 1 • 2 • 3 •... • (n - 1) • n = II k k= 1

(Produktzeichen)

n-Fakultät. Für n = 0

wird

0! = 1 gesetzt.

Rekursionsformel:

(n + 1)! = ( n + 1 ) • n!;

n E IN.

Beispiel: 0! = 1; 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6 ; 4! = 24; 5! = 120; 6 ! = 720; 7 ! = 5040; 8 ! = 40320; 9!=362880; 101=3628800; 11! = 39916800; 121=479001600. Stirlingsche Formel: Für große n gilt die Näherung n! =

" -V2jtn;

e = 2,718281828... = EulerscheZahl

35

1.4 Kombinatorik und binomischer Lehrsatz

1.4.2 Binomialkoeffizienten 1.4.2.1 Binomialkoeffizienten bei natürlichen Zahlen Für alle natürlichen Zahlen n und k ist der Binomialkoeffizient ^ erklärt durch

(lies n über k)

n! für 0 < k < n k! (n — k)! 0

fürO

b

+

(i,o,i)ac

(0j,0)b2+(0j,l)bc+(0,0,2)c2

= a 2 + b 2 + c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c . (a + b + c ) 3 = ( 3 j

0)

a3

+

( l J >

b

+

(0j,0)b3

+

(

2

j

M l j > +

0)a

2

b

c 2 +

(0;0,3)c3

+

+

(2j1)a2c

( l , l , l )

a b c

(0j)l)b2c

+

(0,l!2)bc2

= a3 + b3 + c3 + 3 a 2 b + 3 a 2 c + 3 a b 2 + 3 b 2 c + 3 a c 2 + 3 b c 2 + 6 a b c . Spezialfall: aj = a 2 = ... = a r = 1. k, + k2 + ... + k,= n (vkj,

n ) = r". k2,..., kr/

1.4.6 Permutationen (Anordnungsmöglichkeiten) Unter Permutationen von n verschiedenen Elementen versteht man sämtliche Anordnungen dieser Elemente unter Berücksichtigung der Reihenfolge. Dabei muß jedes Element in der Anordnung genau einmal vorkommen.

40

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

1. Für n verschiedene Elemente gibt es n! verschiedene Permutationen (Anordnungen unter Berücksichtigung der Reihenfolge). 2. Gegeben seien nElemente, von denen j e w e i l s ^ , n 2 ,..., n r gleich sind (n, + n 2 + ... + n r = n). Dann gibt es unter Berücksichtigung der Reihenfolge insgesamt n

(

)=

Vn],n 2 , . . . , n r /

5!

ni!

• n2! •... • n r !

verschiedene Anordnungsmöglichkeiten. Spezialfall: r = 2 Zwei verschiedene Gruppen von k bzw. n — k jeweils gleichen Elementen lassen sich unter Berücksichtigung der Reihenfolge auf

verschiedene Arten anordnen. 1.4.7 Kombinationen Jede Auswahl (Zusammenstellung) von k Elementen aus n Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge heißt eine Kombination von n Elementen der Ordnung (Klasse, Umfang) k. 1.4.7.1 Kombinationen ohne Wiederholung Bei einer Kombination ohne Wiederholung darf jedes der n Elemente für die Teilmenge höchstens einmal ausgewählt werden. Es handelt sich also um die Auswahl (Anordnung) von k aus n Elementen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt und jedes Element höchstens einmal ausgewählt werden darf. Die Auswahl der k Elemente kann auf einmal oder einzeln durchgeführt werden, wobei ein ausgewähltes Element vor dem nächsten Zug nicht zu den nichtgezogenen Elementen zurückgelegt werden darf. Man spricht hier von Ziehen ohne Zurücklegen. Es muß k < n gelten. Die Anzahl aller Kombinationen ohne Wiederholung aus n Elementen zur Klasse kist

1.4 Kombinatorik und binomischer Lehrsatz

41

Aus n verschiedenen Dingen können ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung k Stück auf /n\ _ n - (n - 1) •... • (n - k + 1) 1 • 2 • 3 •... • k

= _

n! k! • (n — k ) !

verschiedene Arten ausgewählt werden (Ziehen ohne Zurücklegen); k < n. Beispiele: 1) Beim Zahlenlotto 6 aus 49 werden aus 49 Zahlen sechs ausgewählt. Dafür gibt es insgesamt (49\

49-48-47-46-45-44 =13983816 1-2-3-4-5-6

verschiedene Möglichkeiten. 2) Drei gleiche Preise sollen unter 10 Personen zufällig verteilt werden, wobei eine Person höchstens einen Preis erhalten kann. Insgesamt gibt es * ^

* ^ = 120 verschiedene Auswahlmöglichkeiten der 10 Per1-2-3 sonen für die drei gleichen Preise.

(?)

1.4.7.2 Kombinationen mit Wiederholung Bei einer Kombination mit Wiederholung von k aus n Elementen wird die Reihenfolge nicht berücksichtigt, während jedes der n Elemente beliebig oft gezogen werden darf. Die Ziehung muß einzeln erfolgen, wobei vor dem nächsten Zug das gezogene Element zur Grundgesamtheit zurückgelegt werden muß (Ziehen mit Zurücklegen). Hier kann k beliebig sein. Die Anzahl aller Kombinationen mit Wiederholung aus n Elementen zur Klasse k ist

Aus n verschiedenen Dingen können ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholung k Stück auf f n + k - 1 \ _ (n + k - l ) - ( n + k - 2 ) - . . . - n _ (n + k - 1)! k ) 1 • 2 •... • k k! • (n — 1)! \ verschiedene Arten ausgewählt werden (Ziehen mit Zurücklegen); k beliebig.

42

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Beispiel: Drei gleiche Preise sollen unter 10 Personen zufällig verteilt werden, wobei jede Person mehrere Preise erhalten kann. Insgesamt gibt es

verschiedene Auswahlmöglichkeiten. 1.4.8 Variationen Jede Zusammenstellung (Auswahl) von k aus n Elementen unter Berücksichtigung der Reihenfolge heißt eine Variation von n Elementen zur k-ten Klasse. 1.4.8.1 Variationen ohne Wiederholung Bei einer Variation ohne Wiederholung von n Elementen zur Klasse k kann das erste Element auf n verschiedene Arten ausgewählt werden, das zweite nur noch auf (n — 1) Arten, das dritte auf (n — 2) Arten usw., schließlich das k-te auf (n - k + 1)-Arten. Damit gilt Anzahl der Variationen ohne Wiederholung von n Elementen zur k-ten Klasse n vJ = n - ( n - l ) - ( n - 2 ) - . . . - ( n - k + l ) = r ^ f ü r k < n. Aus n verschiedenen Dingen können k Stück unter Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung auf n • (n — 1) • (n — 2) •... • (n — k + 1) verschiedene Arten ausgewählt werden (Ziehen ohne Zurücklegen); k < n. Spezialfall: k = n ergibt V„ = n! ( = Anzahl der Permutationen). Beispiele: 1. Unter 10 Personen werden drei verschiedene Preise verteilt, wobei jede Person höchstens einen Preis erhalten kann. Insgesamt gibt es 10 • 9 • 8 = 720 verschiedene Verteilungsmöglichkeiten. 2. Aus den Ziffern 1,2, 3 , 4 , 5,6, 7, 8 , 9 sollen fünfstellige Zahlen gebildet werden , deren Ziffern alle voneinander verschieden sind. Insgesamt gibt es 9 • 8 • 7 • 6 • 5 = 15120 verschiedene solche Zahlen.

1.5 Logarithmen

43

1.4.8.2 Variationen mit Wiederholung Bei Variationen mit Wiederholung kann jedes Element beliebig oft ausgewählt werden. Damit gibt es für jeden der k Züge jeweils n verschiedene Auswahlmöglichkeiten (Ziehen mit Zurücklegen). Anzahl der Variationen mit Wiederholung von n Elementen zur k-ten Klasse V£ = n k ,

k beliebig.

Aus n verschiedenen Dingen können unter Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholung k Dinge auf nk verschiedene Arten ausgewählt werden (Ziehen mit Zurücklegen); k beliebig. Beispiele: 1) Unter 10 Personen sollen drei verschiedene Preise verteilt werden, wobei jede Person auch mehrere Preise erhalten kann. Dafür gibt es insgesamt 103 = 1000 verschiedene Verteilungsmöglichkeiten. 2) Aus den Ziffern 0, 1, 2, ..., 9 lassen sich V f = 104 = 10000 Variationen mit Wiederholung zur 4. Klasse bilden, nämlich die Zahlen 0 = 0000, 1 = 0001, 2 = 0002,..., 9998,9999 (höchstens vierstellige Zahlen).

1.5 Logarithmen 1.5.1 Allgemeine Logarithmen Für j ede reelle Zahl a > 0 mit a =t= 1 und j ede reelle Zahl b > 0 hat die Gleichung ax = b genau eine Lösung. Diese Lösung bezeichnet man mit x = log a b (Logarithmus b zur Basis a) ax = b. Es gilt also aiogab

= b ; a, b >

0.

Logarithmen können nur von positiven reellen Zahlen berechnet werden. 1.5.2 Dekadische Logarithmen Logarithmen zur Basis a = 10 heißen dekadische (gewöhnliche oder Briggssche) Logarithmen. Sie wurden zuerst von dem englischen Mathematiker Henry Briggs (1561-1630) berechnet.

44

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Bezeichnung: log 10 b = lgb

mit 10'sb = b

z = lgb 10z = b. 1.5.3 Natürliche Logarithmen Logarithmen mit der Eulerschen Zahl e = 2,71828182... als Basis heißen natürliche Logarithmen. Bezeichnung: mit

logeb = In b

(logarithmus naturalis)

e l n b = b; z = In b ez = b.

1.5.4 Binäre Logarithmen Logarithmen zur Basis a = 2 heißen binäre (duale) Logarithmen. Bezeichnung: mit

log2 b = ld b (logarithmus dualis) 2 l d b ==b;z = ldb2 z = b.

Beispiel: lgl = 0; lg 10 = 1; lg 1000 = 3; lg 0,1 = — 1 log 5 125 = 3 wegen 5 3 = 125 ld 32 = 5 wegen 25 = 32 i I l d V 2 = i wegen 2 2 = V2. 1.5.5 Logarithmengesetze Für jede Basis a > 0, a + 1 gilt log a (u•

= log a u + loga-u f ü r u , u > 0

log a (u a ) = a • log a u f ü r u > 0 ; a G R Ioga 1 = 0 Ioga a =

1.

1.5 Logarithmen

45

Beim logarithmischen Rechnen werden alle Rechenoperationen „um eine Stufe erniedrigt". Produkt (Quotient) —• Summe (Differenz) Potenz (Wurzel) —» Produkt. Folgerungen aus den Logarithmengesetzen: loga ax = x; lg 10x = x; In ex = x.

l0g a Vb = l0g a (b H ) =

1 •log a b. n

Vorsicht: Im allgemeinen ist loga (u + u) + loga u + loga v (der Logarithmus ist nicht additiv!).

1.5.6 Umrechnungsregel bei verschiedenen Basen Für zwei beliebige Basen a und b gilt l o g a b - l o g b x = loga x, d . h . log b x = —-— • loga x log a b

für alle x > 0.

von x unabhängiger Faktor Logarithmen zu zwei verschiedenen Basen unterscheiden sich nur durch einen konstanten Faktor. Beispiele: 1) lnx

1 lg x Ige

(b = e, a = 10)

1 •lgx 0,4342944819 (b = 10, a = e)

2,302585093

lnx

46

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

3)ldx=^-lgx

(b = 2, a = 10)

1 , •lgx 0,3010299957 4) log 5 x = — • lgx lg 5

(b = 5, a = 10)

, 1 lgx. 0,6989700043

1.5.7 Anwendungen 1) Beim Rechenschieber wird eine logarithmisch eingeteilte Skala benutzt. Im Zeitalter des Taschenrechners ist er jedoch heute genauso wie die Logarithmentafeln überflüssig. 2) Wie die Exponentialfunktion e x spielt der natürliche Logarithmus bei vielen Naturprozessen eine wesentliche Rolle, z.B. beim stetigen Wachstum oder radioaktiven Zerfall. 3) Spezielle Exponentialgleichungen können mit Hilfe des Logarithmus gelöst werden. Die Gleichung c-ax = b

c,b>0

geht durch Logarithmieren über in Ige + x • lga = lgb. Hieraus erhält im Falle der Existenz die Lösung x =

l g b - I g e _ lg (b/c) lga

lga

Bei der Basis a = e benutzt man am bequemsten den natürlichen Logarithmus. Beispiele: 1) 5 - e 6 x = 4

1:5

e 6x = 0,8 6x • Ine = In0,8 = 1

= lEM^-o,037191. 6

1.6 Vollständige Induktion

47

2) 8" = 1 2 ; x • lg 8 = lg 12 x—

lg 8

1,194988.

1.6 Vollständige Induktion Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion wird nachgewiesen, daß eine Aussage (Eigenschaft oder Formel) A (n) für alle natürlichen Zahlen n > m, also von m an richtig ist. Dazu genügen folgende Beweisschritte: 1. Induktionsanfang (Induktionsverankerung): A (n) ist für n = m richtig. Dies muß (meist auf direktem Weg) nachgewiesen werden. 2. Induktionsschluß (Schluß von n 0 auf n 0 + 1): a) Induktionsannahme: die Aussage sei für eine (beliebige) natürliche Zahl n0 richtig, d.h. A ( n ) sei für n = n 0 richtig. b) Unter Benutzung der Induktionsannahme wird gezeigt, daß die Aussage dann auch für n 0 + 1 richtig ist, d.h. aus A (n 0 ) folgt A (n 0 + 1) (Schluß von n 0 auf n 0 + 1). Aus 1) und 2) folgt, daß die Behauptung für alle natürlichen Zahlen n > m gilt. Beispiel: Für jede natürliche Zahl n > 1 gilt l + 2+...+n=

n

"(n

+

2

l)

Induktionsanfang: Für n = 1 ist die Behauptung richtig, da auf beiden Seiten Eins steht 1 = 1 ^ . 2 Induktionsschluß: Für ein n 0 sei die Behauptung richtig; es gelte also l + 2+... + n0=n°-(n2"+1) Addition von n 0 + 1 auf beiden Seiten liefert 1 + 2 + ... + n 0 + (n 0 + 1) =

n

°'(n20+1)+n0+l

= (n0+lH

^+1]

( n 0 + l ) - ( n 0 + 2 ) _ ( n 0 + l ) - [ ( n 0 + ! ) + !] 2 2

48

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Mit n 0 ist die Behauptung also auch für n 0 + 1 richtig. Damit gilt die Formel für a l l e n > 1. Vorsicht: Der Induktionsschluß von n 0 auf n 0 + 1 macht den Nachweis der Gültigkeit für n = m (Induktionsanfang) nicht überflüssig. Der Induktionsschluß kann gelingen, auch wenn die Aussage A (n) für alle natürlichen Zahlen falsch ist.

1.7 Elementare Folgen und Reihen; Summen und Mittelwerte 1.7.1 Zahlenfolgen und (endliche) Reihen Falls jeder natürlichen Zahl n > 1 eine reelle Zahl a n £ R zugeordnet wird, entsteht eine Z a h l e n f o l g e a a 2 , a 3 ,..., a n , a n + 1 , . . . Die einzelnen Zahlen a n heißen Glieder der Folge. Summation der ersten n Glieder einer Zahlenfolge ergibt die n

endliche Reihe a, + a 2 + ... + a n = 2 a, . i=l

Beispiel: Durch die Zuordnung a n = —2-y , n > 1 entsteht die Zahlenfolge a , - - ; a 2 - - ; a 3 - - ; a 4 - - ; a 5 - - ;.

1.7.2 Arithmetische Folgen und Reihen (erster Ordnung) Bei einer arithmetischen Folge (1. Ordnung) ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Durch das Anfangsglied aj = a und diese Differenz d ist die Zahlenfolge eindeutig bestimmt als a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , a + 4 d , ...,a + ( n - l ) d , . . . Das n-te Glied der arithmetischen Folge lautet a n = a + (n — 1 ) d f ü r n = 1 , 2 , . . . a = Anfangsglied ( = a ^ . d = (konstante) Differenz mit a n + 1 — a n = d für alle n.

1.7 Elementare Folgen und Reihen; Summen und Mittelwerte

49

Endliche arithmetische Reihe: Summe der ersten n Glieder der arithmetischen Folge s„ =

n k?, ^

= a + (a + d) + (a + 2 d ) + (a + 3d) + ... + [a + (n - l ) d ] = =

k

=

2[a+(k-l)d]

y[2a+(n-l)d] = y[a + a+(n-l)d] =

y [ a l + a n]

Anfangsglied Endglied 1- a+ d

-

2 d

r

• [ . + !];

a = Anfangsglied 1 = a n = Endglied d = Differenz. l+2+3 + . . . + n - h k=l

n

'

( n

+ 1)

2

(a-d-1).

Beispiele: 1) Summe aller ungeraden Zahlen von 21 bis 199 (d = 2, a = 21,1 = 199, n = 90) 90

21 + 23 + 25 + ... + 197 + 199 = y (21 + 199) = 9900. 2) Die Bundespost hat im Jahre 1982 Überlegungen angestellt, Briefmarken von Automaten drucken zu lassen und zwar von 5 Pfg. bis 99,95 DM in Schritten von jeweils 5 Pfg. Mit a = d = 0,05 erhält man die Anzahl n der Briefmarken aus 1 = 99,95 = 0,05 + (n - 1) • 0,05 als n = 1999. Der gesamte Satz würde dann 1999

^

(0,05 + 99,95) = 99950DM kosten.

1.7.3 Arithmetische Folgen und Reihen höherer Ordnung Bei einer arithmetischen Folge (1. Ordnung) ist die erste Differenzenfolge A{ = a 2 — ai, A | = a 3 — a 2 , A3 = a 4 — a 3 , . . . , A j = a k + 1 — a k , . . .

50

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

konstant. Bei allgemeinen Zahlenfolgen werden von diesen Differenzen wiederum die Differenzen gebildet, also usw. Durch A™ = A k + j — A k _ 1 , k = l , 2 , . . . ; m = l , 2 , . . . mit Ak = a k für alle k entsteht das Differenzenschema 31 a

2

a

3 a 4 35

a n -2 a

n-l a„

A 11 1 A A 2 »1 3 A1 AI

AA

2 1 A2 2 2 AA 3 a- 2 A4

AA3

1

3 2

a3 ^3 A3

AA4

1 A 42 .4 A3 A '

A5 1

A5 A 22

AA61

$

Ms

A n _ 3 • n3 n—2 * 2 ~ A 1 A n-2 Ai-i

Eine Folge heißt arithmetische Folge m-ter Ordnung, wenn ihre m-te Differenzenfolge konstant, ihre (m — l)-te Differenzenfolge jedoch nicht konstant ist, also A'j, = A? = A,? = A^ = ... A m-1 ; A m-1 ( A m-1 ; A m - i . . . n i c h t

alle gleich.

Aus der Theorie der Differenzengleichungen erhält man den Satz: a k , k = 1,2, ..., ist genau dann eine arithmetische Folge m-ter Ordnung, falls mit einem Polynom m-ten Grades gilt m a k = P m (k) = cm k» + c m _j km"> + ... + c,k + c0 = .21 q • k\ cm * 0 1=0 fürk = 1,2,3,...

1.7 Elementare Folgen und Reihen; Summen und Mittelwerte

51

Spezialfall: (cm= l,Ci = O f ü r i < m ) : l m , 2 m , 3 m , 4 m , 5 m , . . . , an = n m , . . . ist eine arithmetische Folge m-ter Ordnung. Die Quadratzahlen 1, 2 2 , 3 2 , ... bilden also eine arithmetische Folge der Ordnung m = 2. Für jede arithmetische Folge m-ter Ordnung gilt mit dem Anfangsglied a! n-tes Glied an = a, + ( n ~

A} + ( n "

l

) A2 + ... + ( n ~

AT-

Summe der ersten n Glieder sn = a1

a

+

2 +

...

+

a

n

= (ga

1

+

0 A

!

g ) A

+

? +

. . .

+

(

m

"

+ 1

)AT.

1.7.4 Geometrische Folgen und Reihen Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient je zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant, d.h.

a"+1 a

= q (konstant) für allen.

n

Allgemein lautet das k-te Glied ak = a • q k ~ 1 ; a = Anfangsglied q = konstanter Quotient

k = 1 , 2 , . . . mit q° = 1.

Geometrische Folge: a, aq, aq 2 , aq 3 , a q 4 , . . . Eigenschaft: an = Va n _] • a n + ] (geometrisches Mittel) für alle n > 2 für a, q > 0. Endliche geometrische Reihe (Summe der ersten n Glieder):

= 1

1 + q + q 2 + ... + q"" 1 =

n

n

—

1

q- 1

für q = 1

ina

n—1

sn = a + aq + aq 2 + ... -1- a q " - 1 = a • k 2 fl q k

a-

-1 ^ q 1

für q 4=1

für q 4 1

(a =

Beispiele: 1) 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 10 = : y £ y - = 2 n - 1 = 2047; (q = 2);

52

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Mf

r 3 ) i - i ' 3

+

J _2 - J _ 3 + 3 3

1

1 . 1

l 34

" 39

+

310

MV

V

Unendliche geometrische Reihen: Für Iql < 1 wird lqln = lqnl beliebig klein, wenn n nur groß genug gewählt wird. Damit kommt q" für n —> 00 beliebig nahe an den Grenzwert 0 heran. Dann nähert sich die Summe 1 — an — ü 1-q

sn = l + q + . . . + q " - ' =

immer mehr dem Grenzwert s = —-— . 1-q Dieser Grenzwert s wird als unendliche Reihe bezeichnet. Es gilt also 00

1 + q + q 2 + ... = k ? Q q k = -j

1

(Beginn der Reihe mit q° = 1) für Iql < 1.

50

a

k=o

1— q

2 a + aqM + aq + ... = 2 aq k = M

Für den sog. ö Reihenrest s — s n =

für Iql < 1. n

oc

n-1

k=0

k=0

I q k - 2 nq k 0gilt

s - s n = nq n + nq n + 1 + q n + 2 + ... = 2 q k = q n - 2 nq' = ^

aq" + aq

n+1

+ aq

n+2

k=n

^

k

+ ... = 2 aq = k=„

l —q

i=0

— ;

1 - q

M

für Iql < 1 .

.

Für Iql < 1 wird dieser Reihenrest beliebig klein, wenn n nur groß genug gewählt wird.

53

1.7 Elementare Folgen und Reihen; Summen und Mittelwerte

q = x bzw.

q = — x ergibt speziell

l + x + x 2 + x 3 + . . . = 2 xk = k=0

2

3

1 1- X

für Ixl < 1.

4

k

l - x + x - x + x - + . . . = 2 v(— x) = — k=o

>

1+ x

Beispiele:

2 je mehr Summanden hinzugenommen werden, desto näher kommt die Summe an den Grenzwert 2heran. 5

2)

' k=o

l

12)

60 23

11 12

( 1 1 ) . 12

Periodische Dezimalbrüche können als unendliche geometrische Reihen dargestellt werden. Beispiele: 1) 0,7 = 0 , 7 + 0,07 + 0,007+ ... 1 1 = 0,7• v(1 + — + 2 + ...) = 0,7' 10 10 ' '

-

1 7 = -. J_ 9 10

2) 0,123 = 0,1 + 0,023• v(1 H—— H H + ...) ' 100 1002 1003 ' = 0,1 + 0,023

= 0,1 + 0,023 • — i

100 = 1 23 _ 122 _ 61 10 990 990 495' 3) 0,9 = 0,9-(1 + ± + i L + . . . ) = 0 ,9-

'

99

l

~Y=l10

54

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

1.7.5 Spezielle endliche bzw. unendliche Reihen (Summenformeln) D i e nachfolgenden F o r m e l n können mit H i l f e der vollständigen Induktion bewiesen werden. 1 +

2 +

...

3 +

+

j ; k =

n =

HilLjlii

k=i

2 + 4 + 6 + . . . + 2 n =

2

2 2 k = n ( n + 1)

k=l

'

v

1 + 3 + 5 + ... + ( 2 n - 1 ) =

1) = n2

2 (2 k -

m + ( m + 1 ) + ( m + 2 ) + ... + ( m + n) = J 12

+

2

2

+ 32+...+n

12 + 32 + 5

2

2

=

j

k

k=i

+...+(2n-l)

2 =

2

= J

2 2 + 42 + 62 + ... + (2 n)2 = £

1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = 14

+

24 +

3

4

+

|

n

n(n +

)

n 2

4_

g

k k=l

2

=

4

"C

^

2

H

n

'1)

4

)

2

n ( n + l ) ( 2 n + l)(3n2 +

4_

1

2 n ( n + 1) ( 2 n + 1)

n + 1

(

+

6

(2 k ) 2 =

2 k3 =

(n

( m + k) =

l)(2n+l)

( 2 k - 1 )

k=l

Q

3 n - l )

3 0 n_1

1 - 2 + 2 - 3 + 3 - 4 + ... + ( n - l ) n =

2)k-(k + l)=

nC n2— u

'

l - 2 - 3 + 2 - 3 - 4 + . . . + ( n — 2 ) ( n — l ) n = V k (k + 1) (k + 2) = =

n (n - 2) (n2 -

1)

4 l + q + q2+... + qn"1=

fürq + 1 n

l + q + q

2

+...+q

n

=

q + q 2 + q 3 + ... + q" =

k

Q

2flqk=

^ q

k

n+1 _

1

—j—

= q • _SlH_L

fürq+1

fürq + 1

+

2 m

)

1.7 Elementare Folgen und Reihen; Summen und Mittelwerte

1 s = l + q + q2 + q 3 + . . . = k ? ( ) q k = ^ — -

für Iql < 1

s-

für Iql < 1

2 q k = q n + q n + 1 + ... = 2 q k = —3—

k=0

k=n

1 — q

55

(Reihenrest). 1.7.6 Finanzmathematik 1.7.6.1 Abschreibungen 1.7.6.1.1 Lineare Abschreibung Bei der linearen Abschreibung wird der Anschaffungswert A in N gleichen Jahresraten auf den Restwert R N abgeschrieben. A — RN Jährlicher Abschreibungsbetrag: — A = Anschaffungswert R n = Restwert nach N Jahren. Restwert nach n Jahren: R n = A —n-

A —R —,n = 1,2, . . . , N N

(arithmetische Zahlenfolge). 1.7.6.1.2 Geometrisch-degressive Abschreibung Bei der geometrisch-degressiven Abschreibung wird in jedem Jahr p % vom Restwert aus dem Vorjahr abgeschrieben. Restwert nach n Jahren: R n = A • (1 mit q = 1 —

2 - )n = A • q n , n = 1 , 2 , . . .

, A = Anschaffungswert

(geometrische Zahlenfolge). Beispiel: Eine Maschine soll in 10 Jahren geometrisch-degressiv auf 1% des Anschaffungswertes abgeschrieben werden. Gesucht ist der prozentuale jährliche Abschreibungssatz. A u s R 1 0 = 0,01 • A folgt P_\io

P \10 100'

0,01 1 0 = 1 - - 2 - ; p = 100 • [1 - 0 , 0 1 1 0 ] = 36,904266%.

56

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

1.7.6.2 Zinseszins- und Rentenrechnung Zinssatz p % pro Jahr; einmalige Verzinsung mit Zinseszins jeweils am Jahresende Aufzinsungsfaktor

q= 1+

1.7.6.2.1 Einmalige Einzahlung Ein einmal eingezahltes Kapital K erreicht bei jährlicher Verzinsung mit Zinseszins nach n Jahren den Endwert

Kn = K • qn

K = Ausgangskapital n = Laufzeit in Jahren. 1.7.6.2.2 Jährliche Einzahlung E = jährliche Einzahlung Kontostand nach n Jahren

^

n

_

an — 1 E • q •— bei vorschüssiger Einzahlung Q — 1 (jeweils zum Jahresbeginn) qn — 1

E • ——— 1_ 1

bei nachschüssiger Einzahlung (jeweils zum Jahresende).

1.7.6.2.3 Rentenzahlungen K = Ausgangskapital r = jährliche Rente. Wird ein Kapital K jährlich um die gleiche Summe (Rente) r vermehrt oder vermindert, so gilt für den Wert K n nach n Jahren bei vorschüssiger Zahlung (zu Beginn eines jeden Jahres) bei nachschüssiger Zahlung (am Ende eines jeden Jahres)

r q (q n — 1) n —1— 1 r(q n - 1) R n = K • q n ± —^——— 9— 1 + bei Einzahlungen — bei Auszahlungen Rn = K • qn ±

Anwendungen: Rentenzahlungen: Falls aus dem Ausgangskapital K n Jahre lang eine vor- bzw. nachschüssige Rente r ausgezahlt wird, so stellt mit dem negativen Vorzeichen R n das Restguthaben nach n Jahren dar.

1.7 Elementare Folgen und Reihen; Summen und Mittelwerte

57

1.7.6.2.4 Annuitätenkredite Ein Kredit der Höhe K werde jährlich mit p% verzinst. Die Rückzahlung erfolge in konstanten Jahresannuitäten A (= anfallende Zinsen + Tilgung). Dann stellt mit r = A in der obigen Formel mit negativem Vorzeichen R n die Restschuld nach n Jahren dar bei vor- bzw. nachschüssiger Annuitätenzahlung. Laufzeit: Für die Laufzeit N einer Rentenzahlung oder eines Annuitätenkredits gilt ^ d - K O p O ) bei vorschüssiger Zahlung (am J ahresanf ang)

N=

bei nachschüssiger Zahlung (am Jahresende)

N=

— 'S1

1

K = Ausgangskapital (Kredit) r = Jahresrente (Annuität) 1.7.6.2.5 Unterjährige Verzinsung mit Zinseszins Die Verzinsung erfolge m-mal unterjährig mit jeweils p % mit Zinseszins; m

1

Verzinsung

jährlich

12 halbjährlich

vierteljährlich

monatlich

Für den zugehörigen konformen effektiven Jahreszinssatz peff gilt 1 + P s a = (v i + J L y; » 100 100 peff=100-[(l+I2_r-l] p=100-[(l+£g)™-l] peff = effektiver (konformer) Jahreszinssatz p = (konformer) unterj ähriger Zinssatz (m-mal pro Jahr) mit Zinseszins. Eine einmalige jährliche Verzinsung mit p eft % ist gleichwertig mit der m-maligen unterjährigen Verzinsung mit jeweils p % mit Zinseszins. 1.7.6.2.6 Unterjährige Zahlungen bei jährlicher Verzinsung Die (Ein- oder Aus-)Zahlungen sollen m-mal unterjährig entweder vor- oder nachschüssig getätigt werden. Die Verzinsung erfolge jährlich anteilmäßig.

58

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Dann sind die m unterjährigen Zahlungen der jeweiligen Höhe a äquivalent einer einzigen konformen nachschüssigen Zahlung A. Dabei gilt bei vorschüssiger unterj ähriger Zahlung:

A = [m 4-

^ ]•a

bei nachschüssiger unterjähriger Zahlung: A = [m +

^]•a

a = m-maliger unterj ähriger Zahlungsbetrag p = Jahreszinssatz bei jährlicher anteilmäßiger Verzinsung A = konforme (gleichwertige) nachschüssige Jahreszahlung. 1.7.6.2.7 Der Barwert Für den (abgezinsten) Barwert eines nach n Jahren anfallenden Betrages K gilt bei j ährlicher Verzinsung K = B0-q" = B 0 - ( l + K

R B0 v

100;

B 0 = Barwert des nach n Jahren anfallenden Kapitals K. Der zum jetzigen Zeitpunkt zum Zinssatz p angelegte Barwert B 0 wächst in n Jahren einschließlich Zinseszinsen auf den (dann fällig werdenden) Betrag K an. Für den Barwert einer n-maligen Jahresrente r gilt bei vorschüssiger Rentenzahlung bei nachschüssiger Rentenzahlung

B 0 = - l ün i i l 11. = _ L 9 _ . ( i — J_); q -(q-l) q-1 qn' rr((aqn " —- 1l ) _ rr 11 (1 B 0 = —n ^ = (1 ). q • (q - 1 ) q-i qn

Beispiele: 1) Ein Kredit werde jährlich mit 7,5% verzinst. Er soll in 10 gleichbleibenden nachschüssigen Jahresannuitäten der Höhe 3000 D M zurückgezahlt werden. Der Kreditbetrag ist gleich dem Barwert dieser 10 (Renten-)Zahlungen 3000 , _ 1_ B0 = ^ • (1 " t ^ J ) = 20592,24 D M . 0,075 1,075' 2) Ein Kredit über 50000 D M soll bei einem Jahreszinssatz von 7,2% in 15 gleichen nachschüssigen Jahresannuitäten zurückgezahlt werden. Die Annuität A erhält man aus 5 0 0 0 0 = — — ( k1 0,072

—i—) 1,07215

als A = 5559,28 D M pro Jahr.

1.7 Elementare Folgen und Reihen; Summen und Mittelwerte

59

1.7.6.2.8 Stetige Verzinsung Bei einer stetigen Verzinsung mit dem nominellen Jahreszinssatz p wächst ein Kapital K nach t Jahren an auf K (t) = K • e 100 ; e = 2,71828182... (Eulersche Zahl). Für den zugehörigen effektiven Jahreszinssatz peff gilt p

1 +

Peff = e 1 0 ° ioo ~ e '

peff=100-(e10°-l) p = 100 • In (1 +

J Q Q )

peff = effektiver Jahreszinssatz p = nomineller Jahreszinssatz bei der stetigen Verzinsung. 1.7.7 Mittelwerte von n reellen Zahlen Xj, x 2 ,.. •, x n _[, x n ; n GIN* 1.7.7.1 Arithmetisches Mittel Xf + x 2 + ... + x n 1 " xa = x = — = — S X| n n 1=1 Eigenschaft: Summe aller Werte X] + x2 + ... + xn = n • xa . 1.7.7.2 Geometrisches Mittel (mittlere Proportionale) xg = Vx[ • x2 • x3 •... • xn

fürxj>0.

1.7.7.3 Harmonisches Mittel xh=

2 =—2— fürx: + 0. n 1 1 1 1 — + —+...+ — 2 — Xf X2 Xn ¡ = 1 Xj Allgemein gilt für Xj > 0 x^ = x„ ^ x a wobei ein (und damit beide) Gleichheitszeichen nur für Xf = x2 = ... = xn gilt.

60

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

1.7.7.4 Anwendungsmöglichkeiten der einzelnen Mittelwerte a) Das arithmetische Mittel dient zur Berechnung von Gesamtsummen. Falls bei n Gegenständen das mittlere Gewicht (arithmetisches Mittel) xa = x beträgt, lautet das Gesamtgewicht n • xa. b) Während n Jahren steige der Preis für eine bestimmte Ware der Reihe nach jeweils um p,, p 2 , . . . , p n % mit den sog. jährlichen Preissteigerungsfaktoren q4. i

= l + -Pi10Q

f ü r i = 1,2, ...,n.

Das geometrische Mittel qg = V q r q 2 - q 3 - - q n - r q n ist der mittlere Preissteigerungsfaktor. Falls der Preis jedes Jahr konstant um 100 • (1 — q g ) % gestiegen wäre, würde er nach n Jahren genauso hoch sein wie bei den verschiedenen Preissteigerungen pj, p 2 ,..., p r . c) An n verschiedenen Stellen koste eine bestimmte Ware pro Mengeneinheit jeweilsp t , p 2 , •••, pna) Falls an jeder Stelle die gleiche Menge eingekauft wird, stellt das arithmetische Mittel p a = P1 + P 2 + ••• "'"P" d e n Durchschnittspreis dar. ß) Falls an jeder Stelle für den gleichen Betrag eingekauft wird, ist das harmonische Mittel ph = — Pl

j—^ +

P2 +

— der Durchschnittspreis. "

Pn

1.8 Komplexe Zahlen 1.8.1 Menge der komplexen Zahlen Im Bereich der reellen Zahlen besitzt die Gleichung x2 + 1 = 0 keine Lösung. Ebenso stellen V— 4 und V— 10 keine reellen Zahlen dar. Falls eine quadratische Gleichung keine reelle Lösung besitzt, ist es trotzdem möglich, Lösungen anzugeben und zwar komplexe Zahlen. Zur Darstellung dieser komplexen Zahlen muß eine Erweiterung des Bereichs der reellen Zahlen vorgenommen werden. Ausgangspunkt ist die imaginäre Einheit

i

mit

i2 = — 1.

61

1.8 Komplexe Zahlen

Mit dieser imaginären Einheit und zwei reellen Zahlen a und b stellt z = a + bi eine komplexe Zahl dar mit dem Realteil a und dem Imaginärteil b. Die komplexe Zahl z ist also durch das geordnete Zahlenpaar (a, b) eindeutig bestimmt und kann somit auch mit diesem geordneten Zahlenpaar identifiziert werden. C = {z = a + b i I a, b E R} ist die Menge der komplexen Zahlen. Für b = 0 ist z = a eine reelle Zahl. Damit gilt RCC. Die reellen Zahlen sind also in der Menge der komplexen Zahlen eingebettet (enthalten). Für a = 0 ist z = i • b eine imaginäre Zahl mit 2 z2 = j 2 . b 2 = - b < 0 f ü r b = f = 0 .

1.8.2 Gaußsche (komplexe) Zahlenebene D e r Realteil a werde auf der reellen Achse (Abszissenachse) und der Imaginärteil b auf der imaginären Achse (Ordinatenachse) abgetragen. Damit kann in der Gaußschen Zahlenebene jede reelle Zahl z = a + b i mit dem Punkt P (a, b) oder mit dem vom Koordinatenursprung O zu diesem Punkt P gerichteten Ortsvektor ö i M , identifiziert werden. Ib I maginäre

Achse

P(a, b) bi

z = a + ib

reelle A c h s e

-bi

z = a — ib

Auf der x-Achse werden die reellen, auf der y-Achse die imaginären Zahlen dargestellt.

62

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Betrag der komplexen Zahl: Der Betrag Izl ist gleich der Länge des Vektors ÖT^, also | Z | = Va 2 + b 2 = r. Konjugiert komplexe Zahl: z = a — b i ist die zu z = a + b i konjugiert komplexe Zahl. Durch Spiegelung an der reellen Achse geht der Punkt P (a, b) in den zugehörigen Punkt P (a, — b) über. Es gilt z = z ; Izl = Izl = Va 2 + b 2 . 1.8.3 Das Rechnen mit komplexen Zahlen z ^ a j + bji;

z2 = a2 + b 2 i

z1 = z2 a t = a 2 u n d b [ = b 2 .

Gleichheit:

z = 0 a = b = 0. Addition:

ZX + z2 = A^ 4- a 2 + (bj + b 2 ) i

Subtraktion: ZX — z 2 = 2LX — a 2 + (b, — b 2 ) i Multiplikation: Zj • z 2 = (a! + bj i) • (a 2 + b2 i) = a! a 2 + a j b 2 i + bi a 2 i + b t b 2 i2 = a j a 2 — b! b 2 + (aj b2 + a 2 b!) i z • z = (a + b i) • (a - b i) = a2 + b 2 = Izl2.

=

~

1

Division durch z 2 4= 0: z, _ al + b, i _ (aj + i) • (a 2 — b 2 i) _ aj a 2 + fy b 2 + (fy a 2 — a t b 2 ) i z2 a 2 + b2 i (a 2 + b 2 i) • (a 2 - b 2 i) a | + B\ (erweitern mitz 2 = a 2 — i b 2 ). Praktisches Rechnen mit komplexen Zahlen: Beim Rechnen mit komplexen Zahlen werden auf die Darstellung z = a + b i die für reelle Zahlen gültigen Rechenoperationen angewandt, wobei i2 = i • i = — 1 gesetzt wird. Dabei gilt i 2 = — 1; i 3 = — i ; i 4 = 1 ; i5 = i ; i 6 = i 2 = — 1 ; jk+4n

=

j0=l

¡k . jk+4n+2 = ; i

-l

=

-ik;k,nGN*.

l = - i .

1.8 Komplexe Zahlen

63

Bei der Division wird der Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert. Durch diese Erweiterung wird der Nenner reell. Die Addition bzw. Subtraktion zweier komplexer Zahlen z1 = al + b1i und z2 = a 2 + b2 i kann geometrisch als Addition bzw. Subtraktion der entsprechenden Ortsvektoren Ö ? , = (bJ

und

^

=

interpretiert werden.

1.8.4 Die Eulersche Formel (s. Polarkoordinaten 3.1.2.1). cp = arg (z) heißt das Argument (Phase) der komplexen Zahl z. Es ist derjenige (orientierte) Winkel im Bogenmaß, den der Ortsvektor O F^ = ven reellen Halbachse einschließt.

mit der positi-

cp ist nur bis auf Vielfache von 2 JI bestimmt. Für z = 0 ist das Argument nicht definiert. Betrag r = Izl und Argument cp mit 0 < cp < 2 Jt bestimmen den Punkt P und damit die komplexe Zahl über die Polarkoordinaten Realteil Re (z) = a = r cos cp Imaginärteil Im (z) = b = r sin cp

r 2 — a 2 + b2

64

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Damit gilt die Darstellung z = r(coscp + isincp) ;

r=lzl

cp = 0 => positive reelle Zahlen cp = % => negative reelle Zahlen cp = - y => imaginäre Zahlen mit positivem Imganinärteil

3

cp = - n => imaginäre Zahlen mit negativem Imaginärteil.

Produkte: zx = r j • (cos cpj + i sin qpj ;

z2 = r 2 • (cos o = 90°;

w0 = 3 • (cos 90° + i sin 90°) = 3 i.

i|>i = 210°;

Wj = 3 • (cos 210° + i sin 210°) = — | ( V 3 + i).

1|>2 = 330°;

w2 = 3 • (cos 330° + i sin 330°) = | (V3 - i).

Probe WQ = (3 i) 3 = — 27 i (V3 + i)2 = 2 + 2 V 3 i ; (V3 + i)3 = (2 + 2 V 3 i) (V3 + i) = 8i w 31 = - — - 8i = - 27i

8

2

(V3 - i) = 2 - 2 V 3 i ; (V3 - i)3 = (2 - 2 V 3 i) (V3 - i) = - 8 i w | = ? - ( - 8 i ) = -27i.

1.8.7 Komplexe n-te Einheitswurzeln Die Gleichung wn = 1 besitzt im Bereich der komplexen Zahlen genau n verschiedene Lösungen (Einheitswurzeln). Mitr = 1 und cp = Oerhält man aus 1.8.5 die Einheitswurzeln: w k = cos

n

+ 1 sin

n

,k = 0 , l , . . . , n — 1 mit w0 = 1.

1.8 Komplexe Zahlen

69

Spezialfälle: n = 2:

W[ = 1; w2 = — 1.

n = 3:

1 V3 . 1 w,1 = 1; w2 = — - H l ; w, = 2 3 2 2 2

n = 4:

w, = 1; w, = i ; w3 = - 1; w4 = - i.

V3. 1 2

1.8.8 Komplexe Lösungen bei quadratischen Gleichungen Beispiel: x2 — lOx + 29 2

x — 10 x

=0 =—29

x2 — lOx + 25

I

+ 52 (quadratische Ergänzung)

=-4

(x - 5) 2 = - 4 x 1>2 = 5 ± V ^ 4 = 5 ± 2-V-^l

= 5 ± 2i

Xj = 5 + 2 i ; x2 = 5 — 2i. Quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten können im Komplexen dadurch gelöst werden, daß man formal V— 1 = i bzw. V— a = Va • i für a > 0 setzt. Falls eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten keine reelle Lösung besitzt, gibt es zwei konjugiert komplexe Lösungen. 1.8.9 Fundamentalsatz der Algebra Die algebraische Gleichung c0 + c, z + c2 z 2 + ... + cn zn = 0 , C| £ eine reelle Doppellösung x = — -2-

_

^

76

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

D < 0 => keine reelle Lösung zwei konjugiert komplexe Lösungen

Normalform

allgemeine Form

2

ax2 + bx + c = 0 , a * 0

x + px + q = 0 Diskriminante D = ^ ^ j

D

_ q

D > 0 : zwei reelle Lösungen x 1 2 =

—

2 ~Vif)

_

— b ± Vb 2 — 4 a c 2a

^

D = 0: eine reelle Doppellösung x = — -ED< 0

b2 - 4 a c 4 a2

_

X =

b " 2 l

keine reelle Lösung konjugiert konlplexe Lösungen Z

l,2~

-b±iV4ac-b2 2a

Beispiele: 1) 3x 2 —6x —3 = 0

I: 3 (Überführung in die Normalform)

x2 — 2 x — 1 = 0

x u = 1 ± Vi + 1 X[ = 1 + V 2 ; x2 = 1 — V 2 (zwei reelle Lösungen). 2) x 2 + 4x + 4 = 0 X] 2 = — 2 ± V4 — 4 ; x = — 2 (eine reelle Doppellösung). 3) x 2 — 6 x + 14 = 0 x l j 2 = 3 ± V 9 — 14 = 3 ± V—3 keine reelle Lösung; komplexe Lösungen z 1 2 = 3 ± i • V I . 1.9.2.3 Zerlegung in Linearfaktoren Falls die quadratische Gleichung a x 2 + b x + c = 0 die (nicht unbedingt verschiedenen) Lösungen X] und x 2 besitzt, kann der quadratische Ausdruck in Linearfaktoren zerlegt werden a x 2 + b x + c = a • (x — X[) • (x — x 2 ).

1.9 Gleichungen mit einer Unbekannten

77

Da ein Produkt genau dann verschwindet, erhält man hieraus wieder die Lösungen X! undx 2 . 1.9.2.4 Die Wurzelsätze von Vieta Sind X! und x2 reelle Lösungen der Standardform x2 + p x + q = 0, so gilt x2 + p x + q = (x — Xj) • (x - x2) = x2 — (xj + x2) • x + Xj • x2. Hieraus folgt: Summe der Lösungen (Wurzeln) X! + x2 = — p = —— a Q Produkt der Lösungen X] • x 2 = q = — . a Diese Bedingungen sind auch für konjugiert komplexe Lösungen zx 2 = a ± i b erfüllt wegen (x — Zj) • (x — z2) = (x — a — i b) • (x — a + i b) = x2 — 2 a x + a 2 + b2 mit z, + z 2 = 2 a; Zj • z 2 = a 2 + b2. 1.9.2.5 Graphische Lösung (und Anwendungen) Die Funktion (mit der Normalform) y =x2 + px + q = (x+|)

2

+ q-

4

stellt eine nach oben geöffnete Normalparabel dar mit dem Scheitelpunkt

Die Vertikale durch diesen Scheitel ist Symmetrieachse. a) Nullstellen der Normalparabel Durch y = x2 + p x + q = 0 werden die Nullstellen dieser Parabel bestimmt. Im Falle y s = q — Nullstellen

p

2

4

< 0 (Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse) liegen die beiden

78

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

symmetrisch zum Abszissenwert x s = -

P

des Scheitels. Für y s = q -

P

= 0 gibt

es eine doppelte Nullstelle, nämlich den Scheitelpunkt, in dem die Parabel die xAchse berührt. p2

Für y s = q -

> 0 liegt die Parabel oberhalb der x-Achse und besitzt keine

Nullstellen. Die Gleichung hat dann keine reelle Lösung.

eine doppelte Nullstelle x = Xq

zwei Nullstellen x , , x 2

keine Nullstelle

Die Stellen mit y = x2 + p x + q = c erhält man als Lösungen der quadratischen Gleichung x2 + p x + q — c = 0. b) Schnitt von Parabel und Gerade Bei der Bestimmung der Schnittpunkte einer Parabel mit einer Geraden müssen ebenfalls quadratische Gleichungen gelöst werden. Allgemeine Parabel:

y = ax 2 + b x + c,a=l=0

Geradengleichung:

y= mx+ d

Ansatz:

ax 2 + bx + c = m x + d a x2 + (b — m) x + (c - d) = 0

l:a

1.9 Gleichungen mit einer Unbekannten b - m

2 |

x2 H

a

c - d

x H

b - m

p= 2

Diskriminante D =

_ = 0

a

? , , n x2 + p x + q = 0;

79

a

—q =

;q =

( b - m )

2

c - d

- 4 a

a (c-d)

4 a2

1. F a l l

D > 0

=>

2. Fall

D = 0

=>

ein B e r ü h r u n g s p u n k t

3. Fall

D < 0

=>

kein S c h n i t t p u n k t

zwei Schnittpunkte

Schnitt zweier Parabeln: 1. Parabel

y = aj x2 + bj x + C!;

a t =t= 0

2. Parabel

y = a 2 x 2 + b2 x + c 2 ;

a2 =t= 0

Ansatz:

2

a^

+ fy x + q = a 2 x

(a, - a2)

x2

2

+ b 2 x + c2

+ (bj - b2) x + ( C l - c j = 0.

I m F a l l e a { =f= a 2 e n t s t e h t e i n e q u a d r a t i s c h e , für a j = a 2 u n d b , =4= b 2 e i n e l i n e a r e B e stimmungsgleichung.

80

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Lösungsmöglichkeiten: a) b) c) d)

zwei Schnittpunkte ein Berührungspunkt kein Schnittpunkt zwei identische Parabeln für a! = a 2 , b, = b 2 , C[ = c 2 .

1.9.3 Kubische Gleichungen (Gleichungen dritten Grades) Die allgemeine Form einer kubischen Gleichung a x 3 + bx 2 + cx + d = 0 mit a 4= 0 wird durch Division durch a übergeführt in die Normalform:

x3 + rx 2 + sx + t = 0 ; r = — ,s = - , t = — . a a a

1.9.3.1 Graphische Lösung y = f (x) = x3 + r x2 + s x + 1 stellt eine Polynom dritten Grades dar mit l i m f ( x ) = - o o ; l i m f ( x ) = + °o. X—»-CC

Durch die Lösung der kubischen Gleichung f (x) = x 3 + r x2 + s x + t = 0 werden die Nullstellen dieses Polynoms bestimmt.

1.9 Gleichungen mit einer Unbekannten

a) drei verschiedene reelle Lösungen

b} eine einfache und eine doppelte reelle Lösung

*

81

c} nur eine relle Lösung ( + 1 Paar konjugiert komplexer Lösungen)

Jede kubische Gleichung besitzt mindestens eine, aber höchstens drei verschiedene reelle Lösungen. Falls nur eine einfache reelle Lösung existiert, gibt es noch zwei konjugiert komplexe Lösungen.

1.9.3.2 Elementar lösbare Spezialfälle a) Die rein kubische Gleichung

x 3 + 1 = 0 (r = s = 0)

Diese Gleichung hat nur eine reelle Lösung, nämlich

Für t = 0 ist X! = 0 dreifache Lösung. Im Falle 14= 0 lauten die zwei weiteren komplexen Lösungen 1 x2= i - ( - l + iV3).xi;

x 3 = | • ( - 1 - i - V 3 ) -xj .

b) Verschwindendes Absolutglied

x 3 + r x 2 + sx = 0 (t = 0)

Durch Ausklammern von x erhält man x3 + rx 2 + sx = x • (x2 + r x + s) = 0. Neben der reellen Lösung Xj = 0 sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung x2 + rx + s = 0 Lösungen. Achtung: Durch Division durch x geht die Lösung x = 0 verloren!

82

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

1.9.3.3 Abspalten eines Linearfaktors bei einer bekannten Lösung Falls X, eine Lösung ist, kann man im Polynom den linearen Faktor (x — X[) abspalten. Damit entsteht die Zerlegung a x 3 + b x 2 + c x + d = (x — Xj) • (ax 2 + ßx + y). Das Polynom 3. Grades ist dann gleich dem Produkt von x — X! mit dem quadratischen Polynom a x 2 + ß x + y. Die Koeffizienten ß und y erhält man durch Polynomdivision, die ohne Rest aufgeht. Die weiteren Lösungen liefert das Lösen der quadratischen Gleichung a x 2 + ß x + v = 0. Dieses Abspalten ist nur dann möglich, wenn eine Lösung bekannt ist, z.B. durch Erraten oder durch Anwendung numerischer Methoden (Iterationsverfahren). Beispiel: Die kubische Gleichung 4x3 — 1 2 x 2 + l l x — 3 = 0 besitzt die Lösung Xj = 1. Polynomdivision /4x3-12x2+llx-3:(x-l) = 4x2-8x + 3 l 4x3 — 4x2 — 8 x 2 + 11 x \ — 8x2 + 8 x / 3x-3 \ _ 3x - 3 J D a m i t g i l t 4 x 3 - 12x 2 + 11 x - 3 = (x - 1) • (4x 2 - 8 x + 3). Lösung der quadratischen Gleichung 4x2-8x + 3 = 0 _ x

2,3

+ 8 ±V64--48 _ 8 ± 4 . g

g

7

Damit lautet die Lösungsmenge L = {0,5; 1.9.3.4 die Die Cardanische Formel Durch Substitution

x x

2

_ —

1;

1 5 1

.

x

_

0 5

>- 5 > X 3 — U , D .

1,5}.

1.9 Gleichungen mit einer Unbekannten

83

geht in die Normalform x3 + rx 2 + sx + t = 0 über die reduzierte kubische Gleichung y3 + p y + q = 0 r2 2r3 m i t pr = s - — ; M q = — 3 27

sr — +1. 3

jAus den Lösungen dieser reduzierten Gleichung erhält man mit x = y — - die Lösungen der Ausgangsgleichung. Mit der Zerlegung y = u + u geht die reduzierte Gleichung über in (u + u) 3 + p (u + v) + q

=0

u3 + 3 u 2 u + 3 u u 2 + u 3 + p u + p u + q = 0 u 3 + v3 + q + (u + u) (3 u v + p)

=0

= 0(Ziel!) u und v wird so gewählt, daß 3 u v + p = 0 (Nebenbedingung). =>

u 3 4- u 3 = — q

und

u•u= —- .

n

3

Quadrieren: (u 3 + d 3 ) 2 = u 6 + 2 u 3 u 3 + v6 = q 2 3 l, = Nebenbedingung: 4 • u 3 u 3 ~ ^ (~3~) ( u 3 - X)3)2

u3-^=±

=q2 + 4 . | - L J

y

q

2

+ 4

.(|)

3

u 3 + v3, = — q Addition bzw. Subtraktion dieser beiden Gleichungen liefert u J

= - f

±

V ( I H f )

i n l i l

5

M i ) '

84

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Die Lösungen dieser Gleichungen lauten

Hieraus folgt yi = u t + U] ist reeIIfürD= y 2 =

-iü+ül 2

ö . i V 3 2

+

2

|i)3>0. \ 3

2 /

, ] > konjugiert komplex für D > 0.

2

1.Fall: D = ("2") ~M~3") — ^ ^ yi r e e ^> y 2 u n d y 3 konjugiert komplex. Bemerkung: Uj und Uj sind nur dann reell, falls der Radikand

HfHi)

1

nicht negativ ist, also für D > 0. Aus p > 0 folgt D > 0. In diesem Fall ist yi = U! + Uj reell und elementar berechenbar. Für D = 0 stimmen wegen Uj = V] die beiden reellen Lösungen y2 und y 3 überein. 2. Fall: D < 0 (praktische Rechnung ohne komplexe Zahlen): Im Falle D = ( )

2

+ ("3") 3

^

Wurzel aus komplexen Zahlen ge-

zogen werden. Die Gleichung 3. Grades besitzt jedoch mindestens eine reelle Lösung. Man kann zeigen, daß in diesem Fall sogar alle drei Wurzeln reell sind. Aus D < 0 folgt p < 0. Mit p' = — p geht die reduzierte kubische Gleichung über in y 3 - p'y + q = 0. F ü r u . bzw. u, erhält man den Radikanden

V

27

4

2

V

\27

4/ >0

1.9 Gleichungen mit einer Unbekannten

=

85

-y±i-y^-^-=r-(cos u = — l ; u = 2 : w = -

2

1 3 5 1 3 9 y, = - ( — 1 + 2 + - ) = - ; V2= - ( — 1 — 2— - ) = — - ; ^ 2 2 4 2 2 4 1 3 3 1 3 1 y 3 = - ( 1 + 2 — - ) = - ; y4= - ( 1 - 2 + - ) = - . " 2 2 4 2 2 4 x = y — 1 ergibt die 1 13 Lösungen der Ausgangsgleichung X] = - ; x 2 = — — ; x 3 = 1.9.4.4 Benutzung einer reellen Lösung der kubischen Gleichung Aus der Gleichung x 4 + a x 3 + bx 2 + cx + d = 0 bildet man die kubische Gleichung y 3 - b y2 + (c a - 4 d) y + 4 b d - d a 2 - c 2 = 0. yx sei eine reelle Lösung dieser Gleichung (s. 1.9.4). MitAU2= ±V4yj + a 2 - 4 b

91

1.9 Gleichungen mit einer Unbekannten

bildet man die quadratischen Gleichungen x22H_ L

a + A

2

i LxH. 1 /(vi H ay! — — 2 c );.= 0n , .i = l ., 2-. 2 A;

Die vier Lösungen dieser beiden quadratischen Gleichungen sind die Lösungen der Ausgangsgleichung. Beispiel: x4 — 3 x 3 + 3 x2 — 3x + 2 = 0 kubische Gleichung: y3 — 3y 2 + y — 3 = 0 ;

Lösungy] = 3.

A 1j2 = ± V12 + 9 - 12 = ± 3. A,=

3:

A2=-3:

x2+|-(3 + ~93+6

) = 0;

x2 — 3x + - • (3 + — — )7 2 -3 x2 —3x + 2 = 0;

x3=l;

x 2 + l = 0; =

x, = i ; x 2 = - i .

0-

x4 = 2.

Lösungen der Ausgangsgleichung: X! = i;x 2 = — i; x3 = 1; x4 = 2. 1.9.4.5 Numerische Bestimmung reeller Lösungen s. Iterationsverfahren aus Abschnitt 1.9.8. 1.9.4.6 Satz von Vieta Für die vier (evtl. komplexen Wurzeln) der Normalform x4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 gilt X] + x2 + x3 + x 4 = — a Xi x2 + X, x3 + X! x4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 X] X2 X3 + X] X2 X4 Xj x2 x3 x4

Xj X3 X4 4" x2 x3 x4

=b =

c

= d.

Mehrfache Lösungen müssen dabei auch mehrfach gezählt werden. 1.9.5 Algebraische Gleichungen n-ten Grades - Polynome Ein Polynom n-ten Grades (n E IN) besitzt die Darstellung P n (x) = a n x" + a n _,x"" 1 + a n _ 2 x"" 2 + . . . + a 1 x + a 0 = 2 a k x k , a n * 0 . k=0

92

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

1.9.5.1 Berechnung der Funktionswerte mit dem Horner-Schema und Polynomdivision Falls x0 keine Nullstelle des Polynoms ist, bleibt bei der Polynomdivision ein Rest (a n x n + a ^ x " - 1 + a n _ 2 x n ~ 2 + ... + ajX + a«,): (x - x 0 ) = ~~ ( a n x " ~ a n x 0 x n _ 1 ) b^xn-^a^x""2 -(bn-2Xn-'-bn_2Xo-X"-2)

=anX"-1 + b n _ 2 X " - 2 + . . . + b 0 +

x — x0

(a n _ 2 + b n _ 2 x 0 )x"- 2 +

bQx + ao -(b0x-b0x0) Rest mit

a 0 + b 0 ao = b^

t*n-2 = a n-l + a n x 0 bn_3 = an_2 + bn_2x0

b0 = a, + bj x0 bi = a 0 + b 0 x 0

Aus dieser Polynomdivision erhält man die Darstellung P n (x) = a n x" + a n _! x"" 1 + ... + aj x + a 0 = = (a n x n _ 1 + b n _ 2 x n _ 2 + ... + b j x + b 0 ) • (x — x0) + Polynom vom Grad n — 1

b6

.

Rest

Wegen P n (x0) = b^ stellt der Rest b,', den Wert des Polynoms an der Stelle x0 dar. Die Berechnung der bei der Polynomdivision entstehenden Koeffizienten wird am besten der Reihe nach mit den im obigen Kasten angegebenen Formeln durchgeführt. Diese läßt sich sehr einfach darstellen im sog.

93

1.9 Gleichungen mit einer Unbekannten

Hornerschema: Koeffizienten a„

a

a

n-l

+

a

n"

x

+

0

bn_2

x 0 -1

a

n-2

a

n-3

+

/

+o

+

bn-3 • x0-----

y b n - 2 •

a

l

bn_4 f . .

bj '

/

b0

Koeffizienten des Restpolynoms

x

t>0 • xo

0

^

= P m (x 0 ). Funktionswert des Ausgangspolynoms

Bei dieser Rechnung werden untereinanderstehende Zahlen schrittweise addiert und die Summe mit x 0 multipliziert und recht versetzt nach oben geschrieben.

Beispiele: 1) P 5 (x) = 3x 5 + 4x 4 + 2 x 3 - 5 x + 8 ; g e s u c h t P 5 ( - 2 ) . an: x0 = — 2:

3

4 -6

3

—2

2 4 6

0 - 5 - 12 — ^ 24 - 12

8 -38

19

-30 = Ps(-2)

Hieraus folgt P 5 (x) = 3x 5 + 4x 4 + 2x 3 - 5x + 8 = (3x 4 - 2x 3 + 6x2 - 12x + 19) • (x + 2) - 30. P 5 (— 2) = — 30. 2) Gesucht ist der Funktionswert des Polynoms 6 x6 — 23 x5 + 15 x4 + 3 x3 — 20 x — 21 an der Stelle x0 = 3 an:

6

-23 18

x0 = 3:

6

-

5

15 - 15

3 0

0 9

0

3

9

-20 27 T*-

7

-21 21 0 = P 6 (3)

Der Funktionswert verschwindet. x0 = 3 ist somit Nullstelle. Abspalten des linearen Faktors (x — 3) ergibt 6x 6 — 23x 5 + 15x 4 + 3x 3 — 20x — 21 = (x — 3) • (6x 5 — 5x 4 + 3x 2 + 9x + 7). Weitere Anwendungen der Horner-Schemas s. 6.5.2.5.

94

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

Das Polynom x n — a" (Grad beliebig): Das Polynom x n — a" ist durch x — a ohne Rest teilbar mit n—1 (xn - a n ) : (x - a) = x n _ 1 + ax n ~ 2 + ... + a n ~ 2 x + a"" 1 = .2 a'x"- 1 -' Für b > 0 ist das Polynom xn — b

durch

x — V b ohne Rest teilbar.

Das Polynom x 2 n + 1 + a 2 n + 1 (Grad ungerade): Dieses Polynom ist durch x + a ohne Rest teilbar mit (X2n+1 + a 2n+i). ( x + a) = x2n - a x 2 "- 1 + a 2 x 2 n " 2 - + ... - a 2 n _ 1 x + a 2n 2n = 2 ( - lVa'x 2 "-'.

1.9.5.2 Wurzeln algebraischer Gleichungen Nach Division durch a n geht die algebraische Gleichung P n (x) = 0 über in die Normalform: xn + a n - j x " - 1 + a n _ 2 x n ~ 2 + ... + a 2 x 2 + ajX + a 0 = 0. Xj ist eine m-fache Wurzel der algebraischen Gleichung, falls das Polynom n-ten Grades ohne Rest durch (x — x^™, jedoch nicht durch (x — x^™"1"1 teilbar ist, falls also der Faktor (x — X])m ausgeklammert werden kann. Damit erhält man P n (x) = ( x - x i ) m - p n - m ( x ) mit einem Restpolynom P n _ m vom G r a d e n — m, für welches gilt P n _ m (xj) =t= 0. Fundamentalsatz der Algebra: Jede algebraische Gleichung n-ten Grades x n + a n _, x n _ 1 + a n _ 2 x n ~ 2 + ... + a 2 x 2 + a[X + a 0 = 0 mit reellen oder komplexen Koeffizienten a k , k = 0 , 1 , . . . , n — 1 besitzt im Bereich der komplexen Zahlen genau n Wurzeln. Dabei sind m-fache Wurzeln m-mal zu zählen. X], x 2 , . . . , x r seien die verschiedenen Wurzeln mit den Vielfachheiten m,, m 2 , . . . , m r (m t + m 2 + ... + mr = n). Dann gilt die Produktdarstellung P„(x) = xn + a n _ i x n _ 1 + ... + aiX-l- a 0 = (x - X))™1 • (x - x 2 ) m2 - ... • (x - x r ) m ' Gleichungen mit reellen Koeffizienten: Bei reellen Koeffizienten a 0 , a j , . . . , a n _ ] G R treten komplexe Lösungen paarweise konjugiert komplex auf. Mit Zj = a + i b ist auch deren konjugiert komplexe Zahl zx = a — i b Lösung. Dann können die beiden linearen Faktoren

1.9 Gleichungen mit einer Unbekannten

95

(x — z) • (x — z) ausmultipliziert werden zu einer quadratischen Form (x - z t ) • (x - T\) = (x - a - i b) • (x - a + i b) = x2 - 2 a x + (a 2 + b 2 ). Somit kann das Ausgangspolynom dividiert werden durch das Polynom 2. Grades P 2 (x) = x 2 + p x + q, wobei die beiden konjugiert komplexen Zahlen Zj und zl die Wurzeln von P 2 (x) = 0 sind. Da die komplexen Wurzeln paarweise auftreten, ist die Anzahl der komplexen Lösungen einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten gerade. Hieraus folgt: 11 Eine algebraische Gleichung mit ungeradem Grad n und lauter reellen Koeffi11 zienten besitzt mindestens eine reelle Lösung. Falls bei geradem n in der Normalform nur komplexe Wurzeln auftreten, besteht P n (x) = xn + a n _, x"" 1 + ... + a! x + a 0 = 0 aus lauter quadratischen Faktoren x2 + px + q. Diese Faktoren sind an jeder Stelle x G R positiv, da sonst eine reelle Nullstelle ( = Wurzel der Ausgangsgleichung) existieren würde. Dann muß das Normalpolynom Pn (x) an jeder Stelle, also auch an der Stelle x = 0 positiv sein, woraus a 0 > 0 folgt. Bei geradem n gilt für das Normalpolynom lim P n ( x ) = lim P n (x) = + ¡». Für X—»-00

X—» +

a 0 < 0 ist wegen P n (0) = a 0 das Minimalpolynom an der Stelle x = 0 negativ. Wegen der Stetigkeit muß es dann im positiven und negativen Bereich jeweils eine Nullstelle besitzen. Damit gilt Ist bei geradem n in xn + a n _! x n _ 1 + ... + aj x + a 0 das absolute Glied negativ, d.h. a 0 < 0, so hat die algebraische Gleichung mindestens zwei reelle Wurzeln mit verschiedenem Vorzeichen. Wurzelsatz von Vieta: X], x 2 , ..., xn seien die n Wurzeln der algebraischen (Normal-) Gleichung n-ten Grades x n + a n _] x n _ 1 + a n _ 2 x"~ 2 + ... + a 2 x 2 + a , x + a 0 = 0. Dabei sind m-fache Wurzeln m-mal aufgeführt. Dann gilt n X! + x 2 + x 3 + ... + x n = .2 Xj = - a n _ , x

i x 2 + x i x 3 + ••• + Xj x n + x 2 x 3 + ... + x n _! X„ = K 2 j Xj • Xj' = a n _ 2

X

1 X 2 X 3 + X1 X 2 X 4 + ••• + x n - 2 x n - l x n

x1x2x3-...-xn = ( - l ) n a 0 .

=

. K? j < , xk i x i x k'

=

— a

n-3

96

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

1.9.6 Gleichungen, die sich auf algebraische Gleichungen zurückführen lassen 1.9.6.1 Gleichungen mit gebrochen rationalen Funktionen R Cxi Falls in einer Gleichung gebrochen rationale Funktionen ^ ^vorkommen, wobei R (x) und Q (x) Polynome sind, wird die Gleichung mit dem „Hauptnenner" durchmultipliziert. Dadurch entsteht entweder eine für alle x G R gültige Identität oder eine algebraische Gleichung. Die Lösungen der umgeformten Gleichungen müssen in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden. Dadurch können hinzugekommene Lösungen, die nicht Lösungen der Ausgangsgleichung sind, ausgesondert werden, insbesondere solche Werte, für die ein Nenner der Ausgangsgleichung verschwindet. Durch die Multiplikation mit dem Hauptnenner können Lösungen hinzukommen, während keine Lösungen verlorengehen. Beispiele: n

2x + 3 '

x-1

4x + 5 __ 6x 2 + 6x — 2 x2-l

x+1

Multiplikation mit dem Hauptnenner (x — 1) (x + 1) = x 2 — 1 ergibt (2x + 3) • (x + 1) + (4x + 5) • (x - 1)

= 6x 2 + 6x - 2

2x 2 + 3x + 2x + 3 + 4x 2 + 5x — 4x — 5

=6x2 + 6 x - 2

2

= 6x 2 + 6x — 2

6x + 6x — 2

Identische Gleichung, die für alle x G R erfüllt ist. Für x = 1 bzw. x = — 1 ist die Ausgangsgleichung nicht erklärt. Damit lautet die Lösungsmenge L={xeeix4=l;x=t=-1}.

2)

x+ 2 2x — 1

4x — 1 x

• x • (2x — 1)

x • (x + 2) = (4 x — 1) • (2 x — 1) x2 + 2 x =

8x2-4x-2x + l 7x 2 — 8x + l = 0 x

i,2 —

8 ± V64 - 28

, _ 1 ; x i - l;x2 - - .

Beide Werte sind Lösungen der Ausgangsgleichung. Lösungsmenge L = j ^ ; 1J.

1.9 Gleichungen mit einer Unbekannten

^

2x + 1 x—3

+

3x — 5 x+ 3

2x2 + 2x + 18 x2 — 9

97

I • (x - 3) • (x + 3) = x2 - 9

(2x + 1) • (x + 3) + (3x - 5) • (x - 3) = 2x2 + 2x + 1 8 2x2 + 6x + x + 3 + 3x2 — 9x — 5x + 15 = 2x2 + 2x + 18 3x2 — 9x = 0 1:3 x2 - 3x = 0 x • (x - 3) = 0 X! = 0 ist Lösung der Ausgangsgleichung x2 = 3 ist keine Lösung der Ausgangsgleichung, da für x = 3 zwei Nenner verschwinden. Lösungsmenge L = { 0 } . 1.9.6.2 Wurzelgleichungen Manche Wurzelgleichungen können durch ein- oder mehrmaliges Quadrieren in eine algebraische Gleichung überführt werden. Zur Probe müssen die Lösungen der umgeformten Gleichung in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden, da durch das Quadrieren die Lösungsmenge vergrößert werden kann. Beispiele: i) v i r ^ x = x + 1 I Quadrieren 11 - x = x2 + 2x + 1 x2 + 3x - 10 = 0.

X) = 2 erfüllt die Wurzelgleichung, x2 = — 5 jedoch nicht. L = {2}. 2) Vx + 5 = V2x + 3 + 1

I Quadrieren

x + 5 = 2 x + 3 + 2- V2x + 3 + 1 - x + 1 = 2- V2x -I- 3

I Quadrieren

2

x - 2x + 1 = 4 • (2x + 3) = 8x + 12 x 2 - l O x - 11 = 0 X1j2 = 5 ± V 2 5 + 11; x, = LL;X 2 = - 1 . X! = 11 ist keine Lösung der Ausgangsgleichung; x2 = — 1 erfüllt die Ausgangsgleichung; L={-1}. 1.9.6.3 Die Substitutionsmethode Die Gleichung [f (x)]" + a n _j • [f (x)]n-' + • • • + a 2 • [f (x)]2 + a, • f (x) + a 0 = 0

98

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

läßt sich durch die Substitution y = f(x) überführen in die algebraische Gleichung in y y" + a n _, y"" 1 + a n _ 2 y n " 2 + ••• + a i y + a 0 = 0. Falls mit deren Lösungen y( die Gleichungen f W = y, nach x auflösbar sind, erhält man hieraus die Lösungen der Ausgangsgleichung. Beispiele: 1) x + 5 • Vx 2 — 22 Vx + 16 = 0. x + 5 • x2/3 - 22 • x" 3 + 16 = 0. Vx = x1/3 = y

Substitution: 3

2

=> y + 5y — 22y + 1 6 = 0. y = 1 ist Lösung. Abspalten von y — 1 mit dem Hornerschema an:

1

5

y0 = 11 1 3

6

-22 x 6 ' -16

16 „-16 Ö

2

=> (y + 5y - 22y + 16): (y - 1) = y2 + 6y - 16 = 0. y2,3=-3±V9+16;y2 = 2;y3=-8. x = y3 => X! = 1; x2 = 8; x3 = - 512; L = {—512;

1;

8}.

2) x6 - 12x3 + 27 = 0. Substitution x 3 = y y2 - 12y + 27 = 0; y l j 2 = 6 ± V36 - 27 ; y, = 3; y2 = 9; X[ = \ / 3 ; x2 = \ / 9 ; L={V3;V9}. 1.9.7 Transzendente Gleichungen Gleichungen, in denen transzendente Funktionen (s. 6.5.1) auftreten, heißen transzendent, z.B. e2x + x2 + sin x = 0.

1.9 Gleichungen mit einer Unbekannten

99

Solche Gleichungen sind im allgemeinen nicht in einer geschlossenen Form lösbar. In einem solchen Falle ist man auf Näherungs- bzw. Iterationsverfahren aus der numerischen Mathematik angewiesen (s. 1.9.8). 1.9.7.1 Exponentialgleichungen Bei Exponentialgleichungen kommt die Unbekannte nur im Exponent vor. Spezialfälle dieses Typs können mit Hilfe der Potenzgesetze umgeformt und danach durch Logarithmieren zu einer beliebigen Basis bzw. durch eine Überführung in eine algebraische Gleichung mit Hilfe einer geeigneten Substitution gelöst werden. Die Gleichung a • bx = c geht durch Logarithmieren über in lg a + x • lg b = lg c mit der Lösung

Die Gleichung a n bnx + a n _, b( n -') x H

b a 2 b2x + a, bx + a 0 = 0

geht mit Hilfe der Substitution y = bx über in die algebraische Gleichung a n y n + a n-i y n _ 1 + ••• + a 2 y 2 + a, y + a 0 = 0. Ist y > 0 eine reelle Lösung dieser Gleichung, so ist lgb eine Lösung der Ausgangsgleichung. Beispiele: x x 1) 5 • 6X = 2X • -7~

Umformung Losung x =

=5 lg 5

=

2) e 2 x + 3 = e x ~ 4 Logarithmieren zur Basis e ergibt die Gleichheit der Exponenten 2x + 3 = x — 4; L ö s u n g x = — 7 .

100

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

3) 22x — 2,5 • 2 X+1 + 6 = 0 Umformung: (2X)2 - 5 • 2X + 6 = 0 Substitution 2X = y:

y2-5y+6 = 0

2X = 2=>Xj = 1. 2X = 3 => x2 = ^ = 1,584963. lg 2

1.9.7.2 Logarithmische Gleichungen Bei logarithmischen Gleichungen steht die Unbekannte nur im Argument des Logarithmus. Manche dieser Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Rechengesetze des Logarithmus auf die folgende lösbare Form bringen log a x = b. Ihre Lösung lautet x = ab. Spezielle Gleichungen können mit Hilfe der Substitutionsmethode in eine algebraische Gleichung umgewandelt werden. Beispiele: 1) lg (6x + 10) — lg (x — 3) = 1

x—3 6x + 10 = lOx - 30 40 = 4x ;

x = 10.

2) lg ( l l x - 10) + [lg ( l l x - 10)]2 = 6 Substitution: lg ( l l x - 10) = y. y2 + y - 6 = 0

lg ( l l x - 1 0 ) = y;

l l x - 1 0 =10?

1.9 Gleichungen mit einer U n b e k a n n t e n

10?+10 , io-3 + io x = — - — ; y, = — 3 => x, = — y 2 = 2 =>

101

onolo~ = n0,909182;

102 + 10 — = 10.

x2 =

1.9.8 Numerische Verfahren zur Lösung von Gleichungen Ist f (x) eine stetige Funktion, so heißt jede Zahl x N mit f (x N ) = 0 eine Nullstelle von f. Schnittpunkte zweier Kurven yi = g (x) und y2 = h (x) sind die Lösungen von f ( x ) = g ( x ) - h ( x ) = 0. Sie können also als spezielle Nullstellen berechnet werden. 1.9.8.1 Iterationsverfahren bei kontrahierenden Abbildungen Die Funktion g(x) erfüllt in I = [a, b] eine Lipschitzbedingung, wenn für alle Punkte x,x G I gilt lg(x)-g(x)l quadratische Konvergenz g(k>(s)=t=0

=> Konvergenz der Ordnung k

Konvergenzbeschleunigung: sseiFixpunkt v o n g ( x ) , d.h. s = g(s). Dann ist s auch Fixpunkt der Funktion g(x) = x - n ( x ) - [ x - g ( x ) ] , und umgekehrt.

falls

n(x)=t=0in[a,b]

1.9 Gleichungen mit einer Unbekannten

103

Differentiation ergibt mit s — g (s) = 0 g' (x) = 1 - VL' (x) • [x - g(x)] - pi(x) [1 - g' (x)] g'(s) = l - n ( s ) - [ l - g ' ( s ) ] ; g'(s) = 0

für

Wenn |x (x) =

1

n(s)=

falls g ' ( s ) * l .

1 - g (s)

l-c(x)

die Bedingung ix (s) ~ 0

erfüllt, erhält man ein V e r f a h r e n , das nahezu quadratisch konvergiert. Verfahren von Steffensen für g' (s) 4= 1: In |i (x n ) =

——- wird folgende Näherung benutzt: 1 - c (x n ) g(g(Xn))~g(Xn)

c(xn)=

g (x n ) - x n Damit erhält man das Iterationsverfahren v

n+l

[g(xn)-xn]2

—A

n'

g ( g ( X n ) ) - 2 g ( x n/

n = 0,l,2,-,

1

das ungefähr quadratisch konvergiert. Bestimmung von Nullstellen: Z u r Bestimmung von Nullstellen f (x) = 0 kann das obige Iterationsverfahren auf x= x-

Q

(x) • f (x)

angewandt werden mit einer geeigneten Funktion Q (X) =t= 0 in I. Q(X) = 1 ergibt x = x — f (x). Beispiel (Quadratwurzel): x = Vä;

x2 = a;

x= - ; x

i ( l - 4 )2 ; 2 x - 1
— = Va • x0 2x0 2 • Va 2 2

folgt

, 3 ^a => xf > - a > - . 4 3

Dann ist die Bedingung für Xj erfüllt. x n + ] = - ( x n + — ) konvergiert somit für jedes x 0 > 0 gegen Vä. 2 xn 1.9.8.2 Regula falsi (lineares Eingabein) Von einer Nullstelle einer stetigen Funktion f seien zwei Näherungswerte x 0 und Xj bekannt, wobei die Funktionswerte verschiedene Vorzeichen besitzen, also f (x0)-f(x,) v

i = i,2,...,n

112

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

V2y

Vy

V3y

V4y

yo V2y2

yi

v3ys

Vy2

V4y4

V2y3

y2

V3y4

Vy3

V4y5

V2y4

ys

V3y 5

Vy4 y4

Auch hier erhält man die Koeffizienten bj der Reihe nach als 1 bj= —

V'y, ; i = 0,..., n h1

Allgemein gilt

Vvyk = A v y k _ v fürk>0,

a) Substitution

x = x0 + th;t = -—— h

0 Beginn bei Xo: • X0

1 1

X]

2 1

x2

A v y 0 = Vvyv

3

4

t

1

h-

x

x3

x4

(aufsteigende Differenzen)

Pn (xo + th) = P n (t) = y0 + t A y0 + g ) A 2 y 0 + • • • + (*) A»y0 = k | ( £ ) A k y 0 Restglied für die Approximation von f mit f (xj) = yi : f (Xo

+

th) = Pn (xq + th) + Rn (x0 + th);

R n (x 0 + th) = (j,.^) ' h n+1 • f (n+1) (ri); r| = Zwischenstelle aus dem Intervall [x 0 ,x 0 + nh]. —n b) Beginn bei xn: \ X0 Substitution:

—n+1-n+2 h X!

x = xn + th;t =

-1 —I

0

113

1.10 Interpolationspolynome

t ist negativ mit — n < t < 0 P n (x n + th) = P n (t) Pn(t) = y„ + ( J ) v y n + ( t + 1 ) v 2 y n + t£[-n;0] Restglied für die Approximation von f mit f (Xj) = yj: f (x n + th) = P n (xn + th) + R „ (xn + th) • h n + 1 • f (t|);

R n (x n + th) =

r\ = Zwischenstelle aus [xn - nh, x n ],

Interpolationsformeln von Gauß: Neben den Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzen werden noch sog. zentrale Differenzen ö v yj eingeführt. Dabei werden die Indizes so festgelegt, daß im Differenzenschema alle Werte der gleichen Zeile auch den gleichen Index j besitzen. Somit treten auch halbzahlige Indizes auf und zwar bei all den Differenzen, die versetzt zwischen zwei Werten mit ganzzahligem Index aufgeschrieben werden. Gleichzeitig werden auch negative Indizes zugelassen. Dann gilt z . B . öyi/2 = y i - y 0 ;

öy 3 / 2 = y 2 - y 1 ;

Övyk+1/2 = ö v y k + 1 - ö v y k .

Allgemeines Differenzenschema j

yj

-2

y-2

-1

y-i

0 + 1 +2

ö'yj+i/2

Ö'y-3/2 ö'y-i/2

yo yi y2

ö 1 yi/2 s 1 ys/2

u Ö2

yj

62y-i ö 2 yo 2

ö yi ö2y2

Ö3yJ+1/2

ö 3 y-i/ 2 ö 3 yi/2 ö 3 y 3 /2

Bei ungeradem v treten nur gebrochene Indizes auf, bei geradem v nur ganzzahligeDie zentralen Differenzen können sowohl durch die Vorwärtsdifferenzen als auch durch die Rückwärtsdifferenzen ausgedrückt werden.

114

1. Grundlagen der Arithmetik und Algebra

a ) Stützstellenx 0 ,x 0 + h ; x 0 + 2 h ; . . . x 0 + nh (äquidistant) f (xo + th) = y 0 + ( J ) ö 1 y 1/2 + Q ö 2 y 0 + f 3 ^

y1/2 + ( l + 5 < y 0 +

+ f 5 2 ) 0 5 yi/2 + ( l J 2 ) 8 6 yo + f 7 3 ) ö 7 yi/2 + f § 3 ) ö 8 yo + • • • + R„ t + Restglied

Rn =

.

n+ 1 \ I . h n+1 • f( n+1 ) (r))

n+1

für ungerades n

.

T ) •h n + 1 -f(" + 1 )(ri) n+1/

t +

fürgeradesn.

r) = Zwischenstelle aus [x 0 , x0 + nh], b) Stützstellenx n ;x n — h ; x n — 2h; " S ^ n — nh. f (x n + th) = y n + ( J ) ö yn_i/2 + (* *1) ö 2 y n + f 3 X )ö 3 y„-i/2 + +

f i > y .

- + Rn

+

n - U 2 1 . hn+1. f(n+i)(r|) für ungerades n n +1 Restglied R n = n\ t + 2 . h n+1 • f( n+1 ) (t]) f ü r g e r a d e s n . \ n + 1. T] = Zwischenstelle aus [x n - nh, x n ]. t +

Stirlingsche Formel: Die Stirlingsche Formel stellt bei Verwendung der gleichen Stützstellen das arithmetische Mittel der beiden Gaußschen Formeln dar. Sie liefert gute Näherungswerte in der beidseitigen Umgebung des Anfangswertes x 0 . Mit dem „arithmetischen Mittel" ö v y k = \ (övyk-1/2 + övyk+1/2) erhält man die Stirlingsche Formel f ( x 0 + th) = P n ( t ) = y 0 + t 5 y 0 + | - 6 ' y „ +

'>

+

11

5'y„

1.11 Approximationspolynome

115

Besseische Formel: Stützstellen in der Reihenfolge Xj, Xj +lv Xj_j, Xj+2, Xj_2 ... (gerade Anzahl; äquidistant) f ( x j + th) = +

Pn(t)=

| ( y j + y j + , ) + ^ ö ' j + i / 2 [( D + f V ) ] +

+

i (2)

I

[(' 31)

+

( 3 )]

+

-

+

R

-

Everett-Laplace-Formel: Diese Formel erhält man aus der Gauß'schen Formel durch Umformung der ungeraden Differenzen f (x 0 + th) = sy0 + ( S J 1 ) ö 2 y 0 + ( S 5 2 ) ö 4 y 0 + t

1

+ ty 1 + ( + ) 6 2 y i

+

t

-

2

( + ) ö 4 y i + ... + R n

mits = 1 — t.

1.11 Approximationspolynome Satz von Weierstraß. Die Funktion f sei im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig. Dann gibt es zu jedem e > 0 ein Polynom P (x) mit max If (x) — P (x)l < e. asx0

und

f a I = 0~a = l f (Nullvektor).

Gleichheit zweier Vektoren: Zwei Vektoren a und b sind gleich, d.h. a = b , wenn sie den gleichen Betrag (I a I = I b I) und die gleiche Richtung besitzen. Gleiche Vektoren gehen also durch Parallelverschiebung ineinander über. Vektoren dürfen daher im Raum parallel verschoben werden (freie Vektoren).

124

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

a = t>

a=t=D (aber f a I = f ? l )

a=t=b

Bei gebundenen Vektoren (Ortsvektoren) darf der Anfangspunkt nur in Richtung des Vektors verschoben werden, z.B. der Angriffspunkt einer auf einen starren Körper wirkenden Kraft. Spezielle Vektoren: Der Nullvektor 7? hat den Betrag 0 und unbestimmte Richtung. Jeder Vektor e mit dem Betrag I e I = 1 heißt Einheitsvektor. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar: Durch die Multiplikation mit einem Skalar X G R entsteht wieder ein Vektor X • a mit dem Betrag IX a I = IXI-I a I (iXl-facher Betrag des Vektors a ) . F ü r X > O s i n d X a und a gleichgerichtet, während sie für X < 0 entgegengesetzt gerichtet sind. X = — 1 ergibt den Vektor — ~a\ Dieser Vektor hat den gleichen Betrag wie l i \ jedoch die entgegengesetzte Richtung.

Addition zweier Vektoren: An den Endpunkt des Vektors die Summe

wird der V e k t o r ! ? angefügt. Damit erhält man

~a + T? (= "tf + ~a) als resultierenden Vektor vom Anfangspunkt von a zum Endpunkt des angefügten Vektors b (Parallelogramm der Kräfte). Aus dem Parallelogramm ergibt sich a + b = b + a (kommutativ).

2.2 Zwei- und dreidimensionale Euklidische Vektorräume V 2 und V 3

125

Für den Vektor ~? = ~ a - T ? = ~ a + ( - l ) - T f gilt + "c = T? + f a - TT). Werden die V e k t o r e n " ? und b am gleichen Punkt angeheftet, so weist dei^Vektor IT - b vom Endpunkt von b (des Minuenden) zum Endpunkt von a (des Subtrahenden).

Rechengesetze: (Kommutativgesetz)

~a + " t f = ~t? + ~a

"a + 0 ? + "c ) = (~a + T?) +

~c

X-((x- a ) = X-(x- a , + b') = X-~a + X - T ?

(Assoziativgesetz) (Assoziativgesetz) (Distributivgesetz) (Distributivgesetz)

lX,-~a I = IXI • f a I ||"a 1 - l"?!! < l~a ±~t?l < f a I + ll?l

(Dreiecksungleichung)

126

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

Linearkombination von Vektoren:

heißt eine Linearkombination der Vektoren "a^, ~a2, •••, ~?nDie Vektoren ~a und "fcT =t= i f heißen kollinear, wenn sie parallel bzw. antiparallel sind. Dann ist jeder der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen. Daher existiert eine Vektorgleichung X~a

+ [A~i? =

wobei X und |x nicht gleichzeitig verschwinden. Für X 4= 0 sind die Vektoren ~a und X • ~a kollinear. Drei Vektoren 1? und "?#="(? heißen komplanar, wenn alle am gleichen Punkt angehefteten Vektoren in einer Ebene liegen. Dann gibt es eine Vektorgleichung X~a

+ ^T? + Q~c = 1?,

in der nicht alle drei Skalare "k, Die Vektoren ~a\, ~a2, •••, X.J a, + X 2 ~ a 2 +

q gleich Null sind. heißen linear abhängig, falls die Gleichung =

+

Lösungen X 2 , . . . , X n besitzt, die nicht alle gleich Null sind. Falls X , = X2 = ••• = Xn = 0 die einzige Lösung ist, heißen die Vektoren linear unabhängig. Bei linear abhängigen Vektoren ist mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellbar. Zwei nicht kollineare Vektoren bzw. drei nicht komplanare Vektoren sind stets linear unabhängig. 2.2.2 Komponentenzerlegung 2.2.2.1 Zweidimensionale Vektoren In der zweidimensionalen Ebene bilden zwei linear unabhängige (nichtkollineare) Vektoren ~e\ und ~ e 2 ß i n e Basis. Dann läßt sich jeder Vektor ~a injjer Ebene in eindeutiger Weise als Linearkombination der beiden Basisvektoren e x und e 2 darstellen in der Form = a,

+ a

2

a

1

, a

2

G R .

2.2 Zwei- und dreidimensionale Euklidische Vektorräume V 2 und V 3

127

Die beider^ Vektoren a! • und a 2 • ~e 2 werden durch Parallelen zu den Basisvektoren e ^ n d e 2 konstruiert. Die beidenSkalare a, und a 2 heißen affine Koordinaten des Vektors ~a bezüglich der Basis e e 2 . Jeder Punkt P der Zahlenebene ist durch die beiden affinen Koordinaten des Ortsvektors a ! + a 2 • e 2 eindeutig bestimmt. Bei rechtwinkligen kartesischen Koordinaten sind die beiden Basisvektoren und j aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren eines Rechtssystems, i geht durch Drehung um 90° in mathematisch positiver Richtung (gegen die Uhrzeigerdrehung) in j über. In einem kartesischen ebenen Koordinatensystem ist jeder Vektor durch die beiden Komponenten (Koordinaten) eindeutig bestimmt. D e r Vektor ~a = a , - T + a 2 - Y wird identifiziert mit dem Spaltenvektor

Dabei sind aj und a 2 die beiden Komponenten im rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem der x-y-Ebene.

2.2.2.2 Dreidimensionale Vektoren Im dreidimensionalen Raum bilden drei linear unabhängige (nichtkomplanare) Vektoren e ^ e 2 , e 3 eine Basis mit der eindeutigen Komponentenzerlegung ~a = a 1 - ^ e 1 + a 2 - " e 2 + a3-"e 3 . Bei einem rechtsorientierten kartesischen Koordinatensystem steht ein dritter Einheitsvektor senkrecht auf ~f und " f . Als Richtung von wird diejenige gewählt, in die sich eine Schraube mit Rechtsgewinde beim Drehen auf dem kürze-

128

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

s t e n W e g v o n i nach k bewegen würde. Die drei aufeinander senkrecht stehenden Einheitsvektoren i , j , k eines Rechtssystems besitzen die gleiche Orientierung wie die gestreckten Daumen und Zeigefinger und der um 90° abgewinkelte Mittelfinger der rechten Hand. Falls k in die entgegengesetzte Richtung zeigt, heißt das System Linkssystem. Die rechtwinkligen kartesischen Koordinaten a l 5 a 2 und a 3 können auf den Achsen jeweils mit Hilfe einer Ebene konstruiert werden, die durch den Endpunkt P geht und parallel ist zu den beiden anderen Achsen.

D e r Vektor a = a.l- i + a 2 • j + a 3 • k

wird identifiziert mit dem Spaltenvektor ~a

=

mit den drei Komponenten a], a 2 und a 3 im kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem. Für a 3 = 0 liegt der Vektor in der x-y-Ebene. Läßt man die dritte Komponente weg, so entsteht ein zweidimensionaler Vektor. I T 7 = (a 1? a 2 , a 3 ) ist der (transponierte) Zeilenvektor. Ein Zeilenvektor ist also ein geordnetes Tripel reeller Zahlen, wobei die Änderung der Reihenfolge im allgemeinen den Vektor verändert. Die drei Komponenten stellen die rechtwinkligen kartesischen Koordinaten des Punktes P mit a dar. P ist also der Endpunkt des im Nullpunkt angehefteten Ortsvektors a .

2.2.3 Das Rechnen mit Vektoren in Komponentenzerlegung In diesem Abschnitt seien die Vektoren durch ihre Komponenten ax, a 2 , a 3 bezüglich eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems gegeben

Durch Weglassen der dritten Komponente entstehen zweidimensionale Vektoren, für die dann die gleichen Rechenoperationen gelten.

2.2 Zwei- und dreidimensionale Euklidische Vektorräume V 2 und V 3

129

Gleichheit: a1 = b1? a 2 = b 2 , a 3 = b 3 (komponentenweise). Addition (Subtraktion): (komponentenweise). Multiplikation mit einem Skalar X E R:

X-

=

Aa, ^a2 Ua,

(komponentenweise).

Verbindungsvektor: P (p 1 ; p 2 , P3) und Q (q,, q 2 , q 3 ) seien zwei Punkte mit den kartesischen Koordinaten p; und q j ; i = 1,2,3. Ortsvektor ~p = O P =

Pi P2

Ortsvektor "q = O ^ =

'qi' q2 ^3/

AusO?'-l-PÖ=ÜÜ folgt

~a = P\

b = ( b2 I

heißt

\b3/

/b,\ I/ aM 2 I • I b 2 I = a,b, + a,b 2 + a 3 b 3

\aJ

\bj

das Skalarprodukt (inneres Produkt). Das Skalarprodukt zweier V e k t o r e n ist eine reelle Zahl, also ein Skalar. Mit dem von den beiden V e k t o r e n eingeschlossenen W i n k e l (p gilt

2.2 Zwei- und dreidimensionale Euklidische Vektorräume V 2 und V 3

~a •!> = f a 1 coscp =

a

131

coscp = l~?l • lT?l • cos ~Ef

_

a ^ j + a2b2 + a3b3 Va,2

fa 1

+ a22 + a32 • v V + b22 + b32

Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht aufeinander), falls cp = 90° ist. Dann verschwindet der Kosinus und somit das innere Produkt. Damit gilt für "a ~~a ± T ? (orthogonal)

• TJ = 0.

_ Die drei Einheitsvektoren i =

/1\ _ /0\ /o\ I 0 I , j = I 1 I und k = I 0 I W Vi/ W stehen aufeinander senkrecht, da das Skalarprodukt j e zweier Vektoren verschwindet. Sie bilden eine sog. Orthonormalbasis. Aus ~a • ~a = a ^ + a 2 2 + a 3 2 = l~a I2

folgt allgemein

.

Ca I Beispiele:

1) Gesucht ist der Winkel cp, den die beiden Vektoren

ll\

(°\

-a = I 1 I ; W ~a-T? = l;

-b = I 1 I Vi / Ca I = i =

miteinander einschließen. VITT = V I

a • b 1 1 ,„ 0 coscp = - = 5 — = r - = —=—•= — - => cp = 60 . lal-lbl V2-V2 2 2) Für welchen Wert c sind die beiden Vektoren

I

2\

I 3 I V-4/

und

I 2 I \c/

orthogonal?

(J) 3) Gesucht sind alle Vektoren, die auf dem Vektor I 2 I senkrecht stehen.

Ansatz:

x =

|y |;

( 2 | • | y | = x + 2y + 3z = 0; (Ebenengleichung)

132

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

yundzbeliebig=>x = — 2 y - 3 z . ^ / — 2y — 3z \ x = I y I ; y , z E B (beliebig). \ z / (Parameterdarstellung der Ebene). 4) Gesucht sind alle Vektoren, die auf '2y a = und b =

U )

senkrecht stehen. Ansatz:

x =

= x + 3y - 2z = 0 "2, 2 1

= 2x + y + 3z = 0. 3 , Zwei lineare Gleichungen für die drei Unbekannten x, y, z (s. 10.3). z = X (beliebig) (1) x + 3y = 2X (2) 2x + y = -3X

,H6R

Eigenschaften des Skalarprodukts: (Kommutativgesetz)

= 1? ~a •

(X

(T? +

~~c)

=

(distributives Gesetz)

= (X -1?) = X • (1? •"!?)

2.2 Zwei- und dreidimensionale Euklidische Vektorräume V 2 und V 3

133

a • a = I a I2 —» —» cos ( a , b ) =

•1?

— ( K o s i n u s des eingeschlossenen Winkels) I aI•IbI Der Vektor ( a • 1?) -~c =X-~c ist ein Vielfaches des Vektors ~c . = X - » -> -> Dagegen ist der Vektor a • ( b • c ) = a • ^ = [i • a e i n Vielfaches des Vektors a . Bezüglich des Skalarprodukts gilt also kein assoziatives Gesetz; i.a. ist (~a -T?)-~c

-(TJ

Durch das innere Produkt ~a • T? und den Betrag f ? l = V i ? • wird die Länge eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren eingeführt. Die Menge der drei- bzw. zweidimensionalen Vektoren V 3 bzw. V 2 heißt daher auch Euklidischer Vektorraum .benannt nach Euklid von Alexandria (4. Jahrhundert v.u.Z.). Projektion des Vektors T? auf den Vektor Ansatz Tv^ = X • ~a ^ i t f - j f l = IXI • f a I l~a •

= f a I • ll?l • Icoscpl = f a I • iT^I =

I b-yl = =

-

f a -TJI • T? a •a

AI - •

^ • a =(

f a • "tTl

=

lb • al

2

I~a I

— »

^ 1 a1

Ii

Ia

~a

I a I

= Einheitsvektor.

2.2.5 Das Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) Das vektorielle Produkt a x b (Kreuzprodukt) ist ein Vektor mit folgenden Eigenschaften: — a •x —*• b

134

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

a) I a x b I = I a I • I b I • Isinqpl

(cp = Winkelzwischen a und b ).

Der ^Betrag ist also gleich dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren ~a und b aufgespannten Parallelogramms. ß)

x 1? steht senkrecht auf ~a und auf "I?.

y) "a , T?, ~~a x "Ef bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Falls ~~a auf dem kürzesten Weg nach T? gedreht wird, zeigt tung der Bewegung einer Schraube mit Rechtsgewinde.

x T? in Rich-

Eigenschaften: i f ,1? kollinear =>"? x "1? = 1 ? ; speziell^ x "a = 7 ? 1) x~a = - Ii xl)

(nichtkommutativ)

"a x (T? x "c ) =1= ("a x 1?) x ~c a x ( b + ~~c) = ~a xl)

sin cp = sin (~a\ ~fcT) = Für die Vektoren

,

+li x~c

(distributivesGesetz)

^ X I aI•IbI

(cp = Winkel zwischen"? und"?).

, Tc* der Orthonormalbasis gilt

?xT

>

= " f x Y = T^x~k>=~Ö>

Txl

>

= T?;

t>

a x b =

J k

bi b,

a2

> 32 b2 | = 1 . 1 1 a3 b j "

a3 b3

1

| aj 1 a l b l 1 T* ub 1 + k ' 1 a 1 a 2 3 3 '

t>! | b2 1

die nach den Basisvektoren der ersten Spalte entwickelt wird. Beispiele: -1' j ;

TT-

T a x b =

t

2 -1 -1

~\t

= l

2

-1

2

3-2

3 -2

- j •

2 -1 3 -2

+ k•

2-1 -1

2

= i - ( 2 - 6 ) - j -(-4+3)+ k -(4-1)

Probe:

•(1)

(~ia xT?)-~a = 0 ;

(~a x

= 0.

2) Gegeben sind die Punkte P (1; 2; 4); Q ( 2 , 5 , 9 ) und R (5,3,4). Gesucht ist der Flächeninhalt des von den drei Punkten gebildeten Dreiecks. F a = i • Fläche des Parallelogramms = ~ • IPCj x P R j .

PÜ x p 5 =

T

1 4

t ¥

3 5

1 0

IPÜ x P l ? | = V25 + 400 + 121 = V546; FA= \ • V546 = Vl36,5 « 11,6833 FE.

und

3) Gesucht sind alle Vektoren, die auf

Mi) MD^ ^ senkrecht stehen. Lösung x = \ - a X b

136

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

1 a X b =

1

T

3

~t

-2

(3)

3

L= {xIx

1

- J

- 2

+ k•

- 2

1

2

3

1

(3) •

xeR}.

-

Doppelte Vektorprodukte:

Mit b x c =

/ b 2 c 3 — b3C2 \ I —b]C3 + b3C! I \ b,c 2 - b2c, /

6)

erhält man aus ~T

a,

b 2 c 3 - b3c2

j

a2

—b1c3 + b3c1

~t

a3

b!C2 - b2c,

a x ( b x c ) =

durch elementare Rechnung ~a x (~E? x ~c) = (~a • Der Vektor

x

-~tf - (~a • T?) • ~~c .

x ~c) liegt also in der von T? und ~~c aufgespannten Ebene.

Analog erhält man ( a x 1?) x ~~c = - ~ c x (~a x "tf) = -

• 1?) -~a +

Damit gilt der Entwicklungssatz: a x (b x c ) = ( a • c ) • b - (a • b ) • c (~a x T f ) x ~c = (et

(T? •"?) • ~a

Für das Vektorprodukt gilt das Assoziativgesetz nicht.

-~a )T?.

2.2 Zwei- und dreidimensionale Euklidische Vektorräume V 2 und V 3

137

2.2.6 Spatprodukt und doppelte Vektorprodukte Drei nicht komplanare (linear unabhängige) Vektoren a , b , c bilden die Kanten eines Spats oder Parallelepipeds. Das Volumen dieses Spats ist gleich dem Produkt der Grundfläche mit der Höhe h. Das Parallelogramm der Grundfläche besitzt den Flächeninhalt F = fa xT?l = f a I • lT?l • Isincpl.

Da das Kreuzprodukt a x b auf der Grundfläche senkrecht steht, ist die Höhe h gleich der Länge der Projektion des Vektors c auf a x b , a l s o h =

l(~a x~Et)

- ~ c \

faxT?i Damit lautet das Spatvolumen

V = | ( a x b) • c | .

Der vorzeichenbehaftete Skalar ( a x b ) • c heißt Spatprodukt und wird mit ( a , b , c ) bezeichnet. Es gilt ^ ^ ^ (a,b,c) = ( a x b ) - c =

/ a2b3 - a3b2 \ a 3 bj - a ^ I \ a,b 2 - b,a 2 /

/ C] \ I c2 I \ c3 /

= c, • (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) - c2 • ( a ^ - a ^ ) + c 3 • (ajb 2 - b ^ ) . Dieser Zahlenwert stellt die Entwicklung nach der dritten Spalte der folgenden Determinante dar

138

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

Spatprodukt: a

("a

= (~a X ~Ef) • ~~c =

i

3-2

a3

th Ci Ö2 C2 b3 c3

(Spatprodukt)

= a i ' (b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a2 (bic 3 - Cjb3) + a 3 • (bjc 2 - Cjb2) (Entwicklung nach der ersten Spalte). Bei nicht komplanaren Vektoren a , b , c ist das Spatprodukt positiv, falls die Vektoren a , b , c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, sonst ist es negativ.

Drei Vektoren a , b , c sind genau dann komplanar (linear abhängig), wenn das Spatprodukt verschwindet, also für ( a , b , c ) = 0. Anwendung: Vier Punkte P 1 ; P 2 , P3, P4 liegen genau dann in einer Ebene, wenn die Vektoren Pi~?2> Pi und P, P'4 komplanar sind, wenn also deren Spatprodukt verschwindet, d.h. (P, , PT? 3 , Pi~?4) = 0. Eigenschaften des Spatprodukts:

1) Eine zyklische Vertauschung der Vektoren ändert das Spatprodukt nicht (~a , b\~c ) = (~b\~c ,~a ) = (~c ,~a 2) Das Spatprodukt ändert das Vorzeichen (bei gleichem Betrag), falls zwei Vektoren miteinander vertauscht werden, (~E\~a , " ? ) = - (~a ( c , b , a ) = — ( a , b , c) (~a ,~c

,~hT) =

-

( a , T j , ~ c ) .

Dreifache Produkte:

Für die Vektoren ^ a x b =

/ a2b3 - a3b2 \ I a 3 bj - a[b 3 I ; c x d \ aib 2 - a 2 b, / erhält man nach elementarer Rechnung

c2d3 - c3d2 \ c3d1-c1d3 I c,d 2 - c 2 d[ /

2.2 Zwei- und dreidimensionale Euklidische Vektorräume V2 und V3 (a x!?)•("? x I f )

139

= (~a (Lagrangesche Identität).

,!),!:)

( a x 1 ? ) x ( c x l f ) = ("a ~6\1?) -~c — ( a ~c ,~c?)-T?- (T?, ~c , " ? ) • " ? . Subtraktion der beiden Identitäten für ( a x T?) x (~c x i f ) ergibt +

- (~a ,~Ef,~c)

= 1?.

Hieraus erhält man für den Vektor i f die Komponentenzerlegung: 1 (a,b,c)

• [(T?,~c ,~cf) -"a + (~?,~a , " ? ) • ! ? 4- (~a ,T?,~c?) -~c ]

bezüglich einer allgemeinen Basis a , b , c . Beispiele: 1) Die Punkte P, (1; 1; - 1 ) ; P 2 (2, 3,4); P 3 (4,2,1) und P4 ( - 1 , 8,6) bilden Eckpunkte eines Spats. Gesucht ist das Volumen dieses Spats. Mit ~a = P[ P^2; "E? = P[ c = P7?4 erhält man das Spatprodukt 1 3 -2 11 12 7 1 » 12 II 2 1 (a,b,c)= 12 71 J ' | 5 71 15 21 5 2 = - 7 - 3 • ( - 2 1 ) - 2 • ( - 1 ) = 58E. 2) Für welchen Komponentenwert c liegen die vier Punkte P, (1; 0; 1); P2 (2,1,1); P 3 (3; 3; 5) und P4 (6,1, c) in einer Ebene? 0 = (PV?2)pT?3,P^4) = 0 = _ 4

'

|i

1 2 5 1 3 1 0 4 c-1

i| + ( c _ 1 ) ' |i

(Entwicklung nach dritten Zeile)

3I = 1 6 + ( c - l ) = 15 + c = s > c = - 1 5 .

3) Welche Bedingung müssen die Koordinaten des Punktes X (x, y, z) erfüllen, damit er in der von P t ( - 1 ; 2; 1), P2 (2, 3; 5) und P3 (3, - 2 , 0 ) aufgespannten Ebene liegt?

140

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

Das Spatprodukt des von den Punkten P 1; P 2 , P3, X aufgespannten Spats muß verschwinden: 0 = (pT?2;PT?3;P^) =

3 4 x+1 1 - 4 y-2 4 -1 z-1

(y-2)-14

_i|

(Entwicklung nach der dritten Spalte) +(z-i)-

= (x + 1) • 15 + (y - 2) • 19 - (z - 1) • 16 = 15x + 19y — 16z — 7 = 0

(Gleichung einer Ebene).

2.2.7 Linear unabhängige (abhängige) Vektoren - Komponentenzerlegung 2.2.7.1 Vektoren in der Ebene Die Vektoren

sind linear unabhängig, falls die Vektorgleichung

X~a +

= Tf

nur die triviale Lösung X = n = 0 besitzt. Diese Vektorgleichung ist gleichwertig mit den beiden Komponentengleichungen

ax X + b[ (x = 0 a 2 X + b 2 M- = 0 (lineares Gleichungssystem in X und n). Die beiden Vektoren sind genau dann linear abhängig (kollinear), falls die Determinante verschwindet a

i bj = a] • b 2 — a 2 • bj = 0. a2 b2 Für ~a =t= gibt es dann eine Darstellung ~~a = q • 1?, d.h. aj = q • b 1; a 2 = q • b2 mit einem Skalar Q E R. Falls a und T? linear unabhängige Vektoren sind, besitzt jeder Vektor ~c eine eindeutig bestimmte Zerlegung bezüglich der Basis ~a ,T? der Form = Xü* + ^iT?

,d.h.

C[ = Xa! + jxb] c 2 = Xa 2 + |xb2

(Komponentengleichungen).

Dieses lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung X und (i der affinen Koordinaten von c bezüglich der Basis a , b .

2.2 Zwei- und dreidimensionale Euklidische Vektorräume V 2 und V 3

141

Beispiel: t

Wegen

=

(3)

| ^

;

;

(~?)

7 | = 7 + 6 + 0 sind

(-15)

'

u n d 1 ? linear u n a b h ä n g i g .

A n s a t z : ~~c = X a + 1. K o m p o n e n t e

(1)

2. K o m p o n e n t e

(2)

(2) — 3 x (1)

X —2[x = 8 3X +1 n = - 15

1 3 n = — 39;

[x=-3;

( 1 ) X = 8 + 2jx = 2.

D a m i t gilt ~c = 2a

—

3"?.

2.2.7.2 Räumliche Vektoren Die Vektoren

M 5 ) -

M

S

)

-

M

s

)

bilden g e n a u d a n n e i n e Basis, falls sie nicht k o m p l a n a r , also linear u n a b h ä n g i g sind. D a n n besitzt die V e k t o r g l e i c h u n g Xa

+

+ v~c = T f ,

d.h. das lineare Gleichungssystem Xa-i + (xb! + vcj = 0 Xa2 + [ib 2 + vc 2 = 0

Xa3 + |j.b3 + vc 3 = 0 n u r die triviale L ö s u n g

X = [ i = v = 0.

D i e drei V e k t o r e n sind g e n a u d a n n linear u n a b h ä n g i g , falls gilt a, 32

bj b3

c, C2 C3

+ 0

(Determinante = Spatprodukt).

D a n n l ä ß t sich j e d e r V e k t o r 1 ? als L i n e a r k o m b i n a t i o n d e r B a s i s v e k t o r e n !i,~\},~c darstellen: ~cf = X~a + [il? 4- v~c .

142

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

Das lineare Gleichungssystem der Komponentengleichungen X.a! + (ibj + VC] = d; \ a 2 + |xb2 + vc 2 = d 2 Xa3 + (xb3 + vc 3 = d 3 besitzt dann genau eine Lösung.

Beispiel:

Wegen sind a , b und c linear unabhängig. Ansatz

(!)

1\ 0

= 1-

/ -1 \ 2 + v-

(Komponenten) (1) (2) (3) 21+

n

(Lineares Gleichungssystem) (3)-

2 x (1) (2)

3n 2\i

3 x ( l ' ) + 4 x (2')=>17[i

— 4v + 3v

= -29 = 9

(1')

(2')

= -51 ; u= -3

(2) => v = 5 (3) => Ä. = 2 Lösung:

~cf = 2~a — 3 l ? + 5~c .

2.3 Der n-dimensionale Zahlenraum R" Der n-dimensionale Zahlenraum R" besteht aus allen geordneten n-tupeln (x 1 ; x 2 , . . . , x n ) m i t X j G R . Rn={(x1,x2,...,xn)lxieR,i = l,...,n}. Dem n-tupel ( x b x2 x n ) G R" wird der Punkt P (x!, x 2 , . . . , x n ) mit den Koordinaten X,, x 2 , . . . , x n zugeordnet.

2.4 D e r n-dimensionale Euklidische Vektorraum V,

143

2.4 Der n-dimensionale Euklidische Yektorraum Vn Vektoren mit drei Komponenten (n = 3) lassen sich im dreidimensionalen Raum anschaulich darstellen. Durch formelles Hinzufügen weiterer Komponenten können abstrakt n-dimensionale Vektoren des Euklidischen Vektorrraums V n definiert werden. Mit den n Komponenten aj, a 2 , . . . , a n E E heißt

und

a T = (aj, a 2 , . . . , a n ) der zugehörige n-dimensionale Zeilenvektor.

Zeilenvektoren sind also formal (geordnete) n-tupel. Geordnet bedeutet, daß die Reihenfolge der Komponenten nicht geändert werden darf, da sonst ein anderer Vektor entsteht. Die Rechenoperationen erhält man durch formelles Übertragen der Operationen für dreidimensionale Vektoren auf n Komponenten. Dabei müssen die entsprechenden Vektoren jeweils die gleiche Dimension n besitzen. Ein vektorielles Produkt (Kreuzprodukt) ist nur für n = 3 erklärt. Addition (Subtraktion): (komponentenweise).

Multiplikation mit einem Skalar X G R: (komponentenweise).

Nullvektor:~(f T = ( 0 , 0 , . . . , 0)

(alle n Komponenten = 0).

Inneres (skalares) Produkt: n

a • b = ajbj + a 2 b 2 + ... + a n b n = 2 a; • bj . i=l Betrag: f a I = V l M ? = Va, 2 + a 2 2 + ••• + a n 2 .

144

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

Eigenschaften des Betrags: l~a [ > 0 ; f a l = 0~a = T ? lA.-~al = lXl-ial | f a \ - ftTl | < lla ± ~i?l < llTl + lT?l

(Dreiecksungleichung).

Gleichwertig zur Dreiecksungleichung ist die Cauchysche Ungleichung: f a + T ? l < f a I + fEfl

a + b2

+

V|(i i) ^ Vil^ Vil^ für beliebige aj, bj £ R. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: Für beliebige Vektoren a , b gilt l a • b I < I a I • I b I;

hieraus folgt unmittelbar VI xT

n n 1 2 a, • bjl < 2 la,l • 1=1 1=1

/» V 1=1

i / " 2 Y .2 b| V 1=1

Linearkombination: t

= ^ b \ + X 2 V 2 + ••• + X n X , , Xj G R

heißt Linearkombination der m VektorenT?], T? 2 , • • •, T?mLineare (Un-)Abhängigkeit: Vektorgleichung

Xi"a ! + X2~a2

+ • • • + Xm~am

= T?.

Falls diese Vektorgleichung_nur die_triviale Lösung = k2 = ••• = Xm = 0 besitzt, heißen die m Vektoren a b a 2 , . . . , a m linear unabhängig. Gibt es Lösungen, die nicht alle gleich Null sind, so heißen die Vektoren linear abhängig. Bei m linear abhängigen Vektoren ist mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der übrigen m — 1 Vektoren darstellbar. Mehr als n Vektoren mit n Komponenten sind stets linear abhängig. Die Gesamtheit aller Vektoren mit n Komponenten heißt n-dimensionalei^Euklidischer Vektorraum V n . Dabei bilden n linear unabhängige Vektoren b b 2,

145

2.5 Allgemeine abstrakte Vektorräume

..., b n eine Basis des Vektorraums. Dann ist jeder Vektor a (eindeutig) als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellbar, d.h. ~a = a j l ? ! + a 2 b 2 + • • • + a n T? n . a j , a 2 , . . . , a n sind die affinen Koordinaten bezüglich dieser Basis. Einheitsvektoren:

Ii' e i =

e i=

e2 = 0)

Wegen

e,- e , =

V o o

'0*

u

w

0 1 0

-i-teStelle

\ol für i = j füri + j

;...; e n =

W

haben diese Einheitsvektoren den Betrag Eins und „stehen paarweise aufeinander senkrecht". Sie bilden eine sog. Orthonormalbasis mit a =

Durch O ^ =

= a r e ! + a2• e 2 + - " + a n - e n

I P2 I

wird im n-dimensionalen Raum (abstrakt)

\ Pn J

ein Punkt P (p 1 ; p 2 , ..., p n ) mit den kartesischen Koordinaten p 1 ; p 2 , ..., p n definiert. Dadurch entsteht der sog. n-dimensionale Euklidische Raum.

2.5 Allgemeine abstrakte Vektorräume (lineare Räume) Der Begriff Vektorraum kann vom n-dimensionalen Vektorraum nochmals auf allgemeine abstrakte Räume verallgemeinert werden. Dazu werden typische Eigenschaften der Vektoren (Elemente) aus V n als Axiome gefordert. In diesen Räumen muß eine Addition der Elemente und eine Multiplikation mit Skalaren >.£ R erklärt sein. Definition: Eine Menge V von Elementen (Vektoren) heißt reeller Vektorraum oder linearer Raum über R, wenn in V eine Addition u + v und eine Multiplikation X • u mit Skalaren Ä e E erklärt ist mit folgenden Eigenschaften:

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

146

1) Zu je zwei Elementen u, v £ V gibt es genau ein Element u 4- v G V, die Summe von u und v mit u+ v= v+ u u + (v + w) = (u + v) + w

(kommutativ) (assoziativ).

2) Es gibt genau ein neutrales Element 0 (Nullelement) mit u+ 0= u

füralle

uGV.

3) Zu jedem Element u G V gibt es ein inverses Element — u mit u + (— u) = 0. Bezeichnung:

v + (— u) = v - u .

4) Zu jedem Element u G V und jedem X G R gibt es genau ein Element Xu G V mit

X (^iu) = (Xjx) u l u = u;

0 u = 0;

—lu=—u;

X(u + v) = Xu + Xv; (A + [x)u = A.u + jiu; A , n £ R .

(Distributivgesetze)

Bemerkung: Bei der Multiplikation können anstelle der reellen Zahlen auch komplexe Zahlen zugelassen werden. Dann entsteht ein komplexer Yektorraum d.h. ein Vektorraum über (C. Beispiele: 1) Der n-dimensionale Vektorraum V n aus Abschnitt 2.4 ist ein linearer Vektorraum. 2) Die Menge aller Polynome höchstens n-ten Grades wird zu einem reellen Vektorraum durch folgende Verknüpfungen n

n

X • 2 a k x k = 2 v(X • K/a k ) xk k=0 k=0 ¿ k=0

akxk+

2 bkxk= Í k=0

K

(a k + b k )x k

k=0

'

Das Nullelement ist das Polynom 0 ( x ) = 0 (a o = a 1 = - a n = 0). 3) C [a, b] sei die Menge aller im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetiger Funktionen. Durch ( f + g ) ( x ) = f(x) + g(x) , . - s , . (Xf)(x) = X - f ( x ) , X G K

für alle

x G a, b

wird C [a, b] zu einem reellen Vektorraum.

1

J

2 . 6 Euklidische V e k t o r r ä u m e

147

Die Begriffe Linearkombination, lineare Unabhängigkeit, Basis werden formal aus dem V n übertragen. Linearkombination: U=

+

^ e e ^ e v .

Falls die Gleichung > tl v 1 + X2v2 + "- + Xmvin = 0 nur die triviale Lösung = = • • • = Xm = 0 besitzt, heißen die Elemente (Vektoren) vj, v 2 ,..., vm linear unabhängig, sonst linear abhängig. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Elemente aus V heißt die Dimension des Vektorraums. Eine Menge linear unabhängiger Vektoren heißt Basis von V, falls jedes Element aus V als Linearkombination dieser Elemente darstellbar ist. Beispiele: 1) Im Vektorraum der Polynome höchstens n-ten Grades bilden die n + 1 Elemente 1, x, x 2 , x 3 , ..., x" eine Basis. Aus XQ + X]X + X2x2 + ••• + Xnxn = 0 folgt Xo = = • • • = . Damit sind diese n + 1 Elemente linear unabhängig. Wegen P nv n ( x /) =

2 K akxk

k=Q

ist jedes Element (Polynom) als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen. Die Dimension des Vektorraums ist somit n + 1 . 2) Der Vektorraum aller Polynome (beliebigen Grades) besitzt die Basis l,x,x2,x3, ...,xn,... Die Dimension ist abzählbar unendlich.

2.6 Euklidische Yektorräume In allgemeinen Vektorräumen steht zunächst keine Metrik zur Längen- bzw. Winkelmessung zur Verfügung. Diese muß zusätzlich abstrakt durch ein Skalarprodukt eingeführt werden. Von diesem (abstrakten) Skalarprodukt werden Eigenschaften gefordert, die dem Skalarprodukt n-dimensionaler (euklidischer) Vektoren ähnlich sind. Definition: a) Eine auf allen Elementenpaaren u, v eines reellen Vektorraumes gebildete reellwertige Funktion (u, v) G R heißt (reelles) Skalarprodukt, falls sie folgende Eigenschaften besitzt:

148

2. Vektorräume und n-dimensionale Zahlenräume

1) (u, v) = (v,u) (Symmetrie); 2) (u, u) > 0, (u, u) = 0 u = 0 3) (X- u, v) = X • (u, v) für jedes X £ R 4) (u1 + u 2 ,v) = (u 1 ,v) + (u 2 ,v). b) Ein mit einem Skalarprodukt versehener Vektorraum über R heißt Euklidischer Vektorraum. Folgerungen: Aus 1) und 4) folgt (u, vj + v2) = (vt + v2, u) = (v|, u) + (v2) u) = (u, vt) + (u, v2); (u, X • v) = (X • v, u) = X • (v, u) = X • (u, v). Das reellwertige Skalarprodukt ist also in beiden Argumenten linear (additiv). Skalarprodukt in komplexen Vektorräumen: In komplexen Vektorräumen ist das Skalarprodukt (u, v) eine komplexwertige Funktion, d.h. (u, v) G (D mit 1) (u, v) = (v, u)

(konjugiert komplexe Zahl)

2) (u, u) > 0; (u, u) = 0 3) (X-u,v) = X-(u,v)

u = 0; (u, u) ist also reell fürXGC

4) (u1 + u 2 ,v) = (ui,v) + (u 2 ,v). Folgerungen: (u, X • v) = ( X - v,u) = X-(v,u) = X • (vTü) = l • (u, v); (U, Vj + v2) = (vt + v2, u) = (v 1 ? u)+ (v 2 ,u) = (Vi, u) + (v2, u) = (u,V!) + (u,V2). Das komplexwertige Skalarprodukt ist in beiden Variablen additiv. Ein konstanter Faktor X E (D darf nur aus dem ersten Argument herausgezogen werden. Beim Herausziehen aus dem zweiten Argument muß der Faktor X durch die konjugiert komplexe Z a h l ! ersetzt werden. Betrag (Norm) eines Vektors: In einem Euklidischen Vektorraum wird durch llull = V(u,u) der Betrag (Länge, Norm) des Vektors u erklärt.

2.6 Euklidische Vektorräume

149

Eigenschaften des Betrags: 1) II u II > 0,

llull = 0 < = > u = 0 fürjedesXGR

2) IIX• ull = IX.I • llull 3) llu + vII 0 < qp < 180° ; V(u,u)-V(v,v)

wird ein Winkel qp zwischen zwei vom Nullelement 0 verschiedenen Vektoren u und v eingeführt. In einem allgemeinen Euklidischen Vektorraum gilt die Cauchy-SchwarzscheUngleichung:

l(u,v)l heißt Polarwinkel (Phase).

154

3. Geometrie der Ebene

Neben dem Winkel qp muß zur Angabe eines Punktes P noch dessen Abstand Q vom Pol bekannt sein. D e r Abstand o heißt Radius. Für P =1= O ist q positiv. Der Pol O besitzt den Radius Q = 0. Für ihn ist cp unbestimmt. Manchmal wird der Radius auch mit r bezeichnet. Jeder Punkt P 4= O ist durch Q und qp eindeutig festgelegt. Man nennt ( Q , qp) die Polarkoordinaten des Punktes P. Alle Punkte mit dem gleichen Radius Q liegen auf einem Kreis um den Pol mit diesem Radius. Falls ein vom Pol ausgehender Strahl mit der Polarachse den Winkel qp einschließt, besitzen alle Punkte dieses Strahls den gleichen Polarwinkel cp. Der Schnittpunkt dieses Strahls mit dem Kreis um O mit dem Radius Q ergibt den Punkt P mit den Polarkoordinaten (o, ! = 53,1301° qp2 = 360 -