Klausurtraining Mathematik [3., verbesserte Auflage. Reprint 2016] 9783486808308, 9783486257281

Citation preview

Klausurtraining Mathematik Von

o. Prof. Dr. Karl Bosch und

Prof. Dr. Uwe Jensen

3., verbesserte Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Bosch, Karl: Klausurtraining Mathematik / von Karl Bosch und Uwe Jensen. - 3., verb. Aufl.. - München ; Wien : Oldenbourg, 2001 ISBN 3-486-25728-5

© 2001 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei GmbH ISBN 3-486-25728-5

Vorwort (zur ersten bis dritten Auflage) Die vorliegende Aufgabensammlung enthält Klausuraufgaben, welche in den vergangenen Jahren an der Universität Stuttgart - Hohenheim in der Kursvorlesung Mathematik für den Studiengang Wirtschaftswissenschaften gestellt wurden. Die Aufgaben wurden redaktionell überarbeitet und neu zusammengestellt. Weil die zweisemestrige Vorlesung jeweils nur aus zwei Semesterwochenstunden bestand, begleitet von einer einzigen wöchentlichen Übungsstunde, konnten in den Klausuren im wesentlichen nur die unbedingt erforderlichen Grundkenntnisse abgeprüft werden. Eine zweistündige Hohenheimer Klausur enthielt 10 Aufgaben. Die Stoffeinteilung ist an den einzelnen Universitäten nicht einheitlich. Manche beginnen-wie hier in Hohenheim- mit der Infinitesimalrechnung, andere dagegen mit der linearen Algebra. Aus diesem Grund wurden die zwanzig Klausuraufgaben in vier Gruppen unterteilt mit folgender Stoffauswahl: A: Mengenlehre, Ungleichungen und Beträge, Finanzmathematik, Zahlenfolgen und geometrische Reihen, Infinitesimalrechnung bei Funktionen einer Veränderlichen; B: Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen; C: Differentialrechnung bei Funktionen mehrerer Variabler; D: Lineare Algebra: Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme sowie lineare Ungleichungssysteme (lineare Programmierung bei zwei Veränderlichen). Aus diesen vier Blöcken können die Aufgaben für die enstsprechende Klausur ausgewählt werden. Bei jeder dritten Klausur werden vollständige Lösungen und für ein weiteres Drittel nur die Ergebnisse angegeben. Ganz bewußt haben wir für das letzte Drittel keine Ergebnisse in das Buch aufgenommen, damit diese Klausuren als wirkliche Testklausuren verwendet werden können und niemand in Versuchung gerät, so lange zu rechnen, bis er das angegebene Ergebnis erhält. Bei der Aufnahme eines neuen Aufgabentyps haben wir dafür gesorgt, daß er erstmals in einer Klausur mit vollständigen Lösungen auftritt. Eine solche Aufgabensammlung ensteht im Laufe der Jahre unter Mithilfe einer ganzen Reihe von Mitarbeitern und Tutoren, die Aufgabenvorschläge erarbeitet und Klausuren zur Probe gerechnet haben. Ihnen allen sei an dieser Stelle herzlich gedankt. Besonders hervorheben möchten wir dabei Herrn Dipl. Math. Gert Heinrich, der die Veranstaltung Mathematik für Wirtschaftswissenschaften in den letzten Jahren vorbildlich mitbetreut hat. Bedanken möchten wir uns auch bei Frau Schulze für die schreibtechnische Unterstützung. Für Hinweise auf Fehler, für Kritik und Anregungen sind wir stets dankbar. Allen Lesern wünschen wir Erfolg beim Lösen der Aufgaben. Karl Bosch

Uwe Jensen

Klausur 1

1

Klausur 1 A 1.

Die Analyse einer Befragung von Klausurteilnehmern ergab folgendes Bild: Von 200 Klausurteilnehmern war genau die Hälfte gut vorbereitet. Eine bestimmte Gruppe von Teilnehmern beurteilte vor der Klausur die Chance zu bestehen optimistisch (Optimisten). 20 Teilnehmer haben bestanden, obwohl sie weder gut vorbereitet waren noch zu den Optimisten gehörten. 13 Optimisten und 57 Pessimisten waren schlecht vorbereitet und haben nicht bestanden. Wie viele Optimisten haben die Klausur trotz schlechter Vorbereitung bestanden?

2.

Gegeben sind die Mengen A = { ( x , y ) e R x R | y > x 2 } und B = {x e R | 0 < x < 2 }. a) Skizzieren Sie A und B x B. b) Bestimmen Sie die Elemente von A fl (B x B) D (Z x Z).

3.

Für welche x e R gilt

>l,x*{-l;l}?

4.

Wie groß ist die Summe der geraden natürlichen Zahlen k e N mit 1101 — k | < 2 6 ?

5.

Durch Vergabe von Krediten verzinst sich das Kapital K = 106 DM einer Bank vierteljährlich mit 3 %. Jeweils am Ende eines Jahres (31.12.) erhöht sich das Kapital um neue Spareinlagen der Höhe S = 125500 DM. a) Bestimmen Sie den effektiven Jahreszinssatz. b) Welches Kapital steht der Bank zu Beginn des dritten und zu Beginn des (n + l ) - t e n Jahres (jeweils am 1.1.) zur Verfügung?

6.

Untersuchen Sie die Folgen ( a ^ , n e N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.

c) a t a =

(-!)".[n2-(n-I)2].

2

Klausur 1 ^ + 3 x + 1 stetig? x - x- 2 LäSt sich f an den kritischen Stellen stetig fortsetzen? Bestimmen Sie die Asymptoten der Funktion f.

7.

Für welche x eR ist die Funktion f(x) =

8.

Bestimmen Sie für die Funktion f(x)= ( l x 2 + x + I ) . e - 2 * +

2x

7

den maximal möglichen Definitionsbereich D, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. Skizzieren Sie f(x).

9.

2

Die Funktion f(x) = 2 e ~ gebe in einem bestimmten Bereich den Preis eines Waschmittels in Abhängigkeit von der Nachfragemenge x an. a) Berechnen Sie die Elastizität £ f (x). b) Bestimmen Sie für den Umsatz U(x) = x-f(x) mit Hilfe der Formel aus a) den Grenzumsatz U'(x) unter Verwendung der Formel von Amoroso - Robinson. c) Für welche Nachfragemenge x ist der Umsatz maximal?

10. Es sei k(x) = x 3 — 0,3 x — 1 eine Grenzkostenfunktion. Sie besitzt im im Intervall [ 1 ; 2 ] eine Nullstelle, die näherungsweise bestimmt werden soll. a) Bestimmen Sie dazu das Taylorpolynom 2. Grades von k(x) um die Entwicklungsstelle Xq = 1. Bestimmen Sie als Näherung für die Nullstelle von k(x) die Nullstelle des Taylorpolynoms in [1; 2]. b) Führen Sie an dieser Nullstelle eine Restgliedabschätzung durch.

B 11. Berechnen Sie folgende Integrale Tt2

e*2 s P

a) i ^?dx; ' J 2Mx ' t2

b) —1—^-¿dx; > J ((lnx) lnx)2 x e

2c) ) J

x2-sinxdx.

Klausur 1

3

12. Es sei N(p) = 1 1 0 - p die Nachfragefunktion und A(p) = p 2 + p + 1 1 die Angebotsfunktion. a) Berechnen Sie den Marktpreis p M . b) Berechnen Sie die Produzenten- und die Konsumentenrente für die Preisuntergrenze p u = 5 und die Preisobergrenze p 0 = 50. 13. Im Zeitintervall [0;t] falle der Ertrag B(t) an mit dem Ertragsstrom B '(t) = b(t) = 2 + 1 . Der Ertrag werde laufend stetig verzinst mit der Jahreszinsrate y = jjjjg = 0,05. a) Berechnen Sie für den Zeitpunkt T > 0 den Endwert K(T) des Ertragsstroms. b) Berechnen Sie den Barwert v(T) von K(T), also den auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinsten Wert. c) Existiert der Grenzwert lim v(T) ? T—m»

c 14. Untersuchen Sie die Funktion f ( x , y ) = 5y x + 3(y — 5 ) 2 - 2 0 x auf relative (lokale) Extremwerte und Sattelpunkte.

15. Die Herstellungskosten in Abhängigkeit der Mengen x und y zweier Einsatzfaktoren betragen K(x, y) = 5 x + 4 y. Die Anzahl der hergestellten Produkte sei r (x, y) = ^x • y (Produktionsfunktion). Bestimmen Sie die minimalen Kosten unter der Nebenbedingung, daß 20 = ^x • y Produktionseinheiten hergestellt werden.

16. Vom Rohstoffpreis x und den Transportkosten y hängen die Herstel3 1 lungskosten f(x, y) = x 2 • y 2 für eine Mengeneinheit einer Ware ab. a) Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials, um wieviel sich näherungsweise die Herstellungskosten ändern, wenn der Rohstoffpreis von 100 auf 105 Geldeinheiten steigt und sich die Transportkosten von 25 auf 24 Einheiten senken lassen. b) Ist die Funktion homogen?

4

Klausur 1

D 17. Zur Herstellung der Produkte A, B und M^Mj« und M 3 benotigt. Die nebenstehende Matrix gibt den Materialverbrauch für jeweils eine Einheit der M2 Erzeugnisse an. M.

C werden die Materialien

M,

A

B

C

1 6 4

2 2 10

3 8 4

Wie viele Einheiten x, y, z der Produkte A, B und C können hergestellt werden, wenn im Betrieb 25 Einheiten vom Material M l t 50 von M 2 und 100 von M 3 zur Verfügung stehen? a) Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem auf. b) Geben Sie die Lösung an. 18. a) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen des Gleichungssystems 2x - 3y + 5 z = 2 3x + y + 2 z = - 8 x + 2y - z = - 6 . b) Gibt es eine Lösung von a), für die x + y + z = 5 gilt?

19. Bestimmen Sie die inverse Matrix A (

-1

1

1 - 1 >Ì2

>i2

1

von

>12 ^ >|2 0

Berechnen Sie A • (A + A).

20. Ein Unternehmen verarbeitet das Erdöl aus einer Erdölquelle in zwei Raffinerien R a und R2. Dabei können in R 1 höchstens 8000 t und in R j höchstens 5000 t Erdöl am Tag verarbeitet werden. Die maximale Förderkapazität der Ölquelle liegt bei 10 000 t am Tag. a) Skizzieren Sie den zulässigen Bereich der möglichen Liefermengen an R j und R2b) Der Nettogewinn beträgt bei der Veredelung einer t Erdöl in R j 200 DM und in R^ 300 DM. Wie hoch ist unter diesen Bedingungen der maximale Gesamtgewinn des Unternehmens?

Klausur 2

5

Klausur 2 A 1. a) Wie lang ist die Raumdiagonale des Würfels A = { ( x , y , z ) e R 3 | | x | < 1, | y | < l , | z | < 1} ? b) Geben Sie alle Elemente der Menge A ("I (N x N x N) an. 2.

Den Studierenden Sj, S 2 , . . . , Sgg wird nach der Mathematikklausur eine der Punktzahlen 0,1,2,..., 39,40 zugeordnet. Diese Zuordnung sei eine Abbildung von S = { S x , S 2 , . . . , S ^ } auf Y = {0,1,2, ...,39,40}. Zum Bestehen der Klausur waren 17 Punkte erforderlich. a) Wie viele Studierende können die Klausur maximal bestanden haben? b) Ist es möglich, daß bei einer Durchfallquote von 25 % 58 Studierende mindestens 20 Punkte erreicht haben? Begründung!

3.

Für welche x e R gilt

2 • | x | < | x - 11 ?

4.

Die oberste Stufe einer Pyramide besteht aus 4 Steinen. Jede weitere Stufe ist aus 3 Steinen mehr zusammengesetzt als die über ihr liegende. Wie viele Steine benötigt man für den Bau einer Pyramide mit 101 Stufen?

5.

Herr Wusel soll als Jungmanager mit einem Anfangsmonatsgehalt von 4500 DM eingestellt werden. Für die nächsten n Jahre wird ihm eine jährliche Gehaltssteigerung von 5,2 % zugesagt. a) Welches Monatsgehalt erhält Herr Wusel im n - ten Jahr seiner Betriebszugehörigkeit? b) Wieviel wird Herr Wusel bei jährlich 13 Monatsgehältern insgesamt während der ersten n Jahre verdienen?

6.

Untersuchen Sie die Folgen (a^), n € N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert. x c)

n

_ 2n+ln. -3S-. (— l ) n • [(— l ) n + h] •

M n

_ 2n 2 + 3 n 4 - 7 n + 8. 4n + 6n 2 — 2n 4 — 9 '

b , a n _

6 7.

Klausur 2 Ein Unternehmen erzielt bei einem Absatz von x Mengeneinheiten einen Gewinn vor Steuern von G(x) = — 10 x + 2 • >|x. Es wird eine Mengensteuer von T = r • x erhoben, r > 0. a) Bestimmen Sie die Absatzmenge x M , für welche der Nettogewinn N(x) = G(x) — r • x maximal ist. b) Bestimmen Sie den Steuersatz r, der dem Staat höchste Steuereinnahmen beim Nettogewinnmaximum garantiert, d. h. mit x M aus a) ist T(r) = r • x M zu maximieren.

8.

Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = x• ^ x + 2 den Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte. Skizzieren Sie f(x).

9.

Bei einem Normal-Benzinpreis von x DM je Liter beträgt die Nach2 frage nach Fahrrädern f(x) = e 2 x ~ 2 . a) Berechnen Sie die Elastizität £f (x). b) Bestimmen Sie näherungsweise mit dem Ergebnis aus a), um wieviel % sich die Nachfrage nach Fahrrädern erhöht, wenn der Literpreis von 1,40 DM um 1% erhöht wird.

_|x-l[.(x-l) 10. Läßt sich die Funktion f(x) = -— 5 -, x / 1 an der Stelle x = l x — 2x+ 1 stetig ergänzen ?

11. Berechnen Sie folgende Integrale a)

lljfeV 1

b

>J « - - ^ 1

0

;

G 2 (y) = ^

,y> 0 .

Bestimmen Sie den maximal möglichen Gesamtgewinn Gj(x) + G 2 (y) des Unternehmens unter der Nebenbedingung, daß insgesamt eine Kapitalmenge von x + y = 10 Geldeinheiten zur Verfügung steht. 15. Bestimmen Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte von f(x,y) = 3 x y 2 + | x 2 - 6 y 2 - 4 5 x

.

16. Eine Firma vertreibt Gurken in zylindrischen Gläsern mit dem Radius r 0 = 6 cm und der Höhe h 0 = 12 cm. Diese Werte sollen geändert werden und zwar um A r = 0,25cm und A h = — 1 cm. Bestimmen Sie mit Hilfe des totalen Differentials näherungsweise a) die Änderung der Oberfläche ohne Deckel (Glasverbrauch) O (r, h) = ir-r 2 + 2 * r - h ; b) die Änderung des Volumens V (r, h) = v r 2 h .

24

Klausur 6

D 17. Gegeben ist die Ebene E:

x-2y+z+3=0.

a) Geben Sie die Gleichung der Ebene E in Parameterform an. b) Steht die Gerade

, X e R senkrecht auf E ?

18. Den 113 Mitarbeitern des Instituts für Geistesblitze stehen 81 Büroräume zur Verfügung, die jeweils mit einem oder zwei Mitarbeitern besetzt werden. a) Wie viele Einzelbüros gibt es? b) Dem neuen Chef erscheint es zulässig, die Räume mit bis zu drei Mitarbeitern zu besetzen. Um wieviel ist bei einer solchen Besetzung die Anzahl der Einzelbüros gröfier als die Anzahl der "Dreien-Büros? Hinweis: Lösen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem. 19. a) Für welche Konstanten a e R ist das folgende Gleichungssystem lösbar? - 2 x + y + 3z =

5

- 4 x + 3y -

9

z =

x — y + 2z =

a.

b) Geben Sie für die in a) berechneten Konstanten a die allgemeine Lösung des Gleichungssystems an 20. a) Bestimmen Sie die inverse Matrix A -

1

zu

b) Berechnen Sie (A — E)2 , wobei E die Einheitsmatrix ist.

Klausur 7

25

Klausur 7 A 1.

Eine Umfrage zur Untersuchung der Werbewirksamkeit der Medien ergab, daß 70 % der Befragten täglich Radio hören und 50 % regelmäßig eine Zeitung lesen. Weniger als 40 % taten beides. Wie groß ist höchstens der Anteil derjenigen, die weder eine Tageszeitung lesen noch Radio hören?

2.

Gegeben sind die Mengen A = { ( x , y) € R 2 1 y = x 2 }

und

B = {(x,y) eR2| y - 5 = 4x}.

Bestimmen Sie A H B . 3.

f(x) = x 2 sei eine Abbildung von X = {-1;0;2}

in

Y = { - 1 ;0; 1 ;2;4}.

a) Ist f eine Abbildung auf Y? b) Ist f eineindeutig? 4.

Für welche x € R gilt 1

< J^J , x / 0 ?

5.

Zu Beginn eines Jahres wird ein Konto mit einer Einzahlung von 5 500 DM eröffnet. a) Welchen Betrag muß man nach einem Jahr auf dieses Konto einzahlen, damit am Ende des zweiten Jahres bei 10 % jährlicher Verzinsung der Kontostand 11000 DM beträgt? b) Von diesem Betrag 11000 DM wird vom dritten Jahr an jeweils zum Jahresbeginn der gleiche Betrag y abgehoben. Wie groß muß y sein, damit nach der zehnten Abhebung das Kapital aufgebraucht ist?

6.

Die Folge a ^ =

, n = 1,2,...

; ^ = 10

ist auf Konvergenz zu untersuchen. a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, daß a Q > 0 für alle n gilt. b) Beweisen Sie, daß die Folge (a^) monoton fallt. c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.

26

Klausur 7

7.

Bei einem Absatz von x Mengeneinheiten eines Gutes erzielt ein Unternehmen einen Bruttogewinn von x + 5. Vom Bruttogewinn muß für jede verkaufte Einheit eine Lizenzgebühr von a DM gezahlt werden, a > 0. a) Bestimmen Sie die Absatzmenge x M , bei welcher der Nettogewinn N(x) = G(x) — a • x maximal ist. b) Wie muß der Lizenzgeber den Wert a festsetzen, um möglichst hohe Lizenzgebühren L(a) = a • x M beim Nettogewinnmaximum zu erzielen? Bestimmen Sie mit dem Wert x M aus a) das Maximum von L(a) = a - x M .

8.

Bestimmen Sie für die Funktion f ( x ) = - x + In (x + 1) den maximal möglichen Definitionsbereich D c R , die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. Skizzieren Sie f.

9.

Gegeben ist die Produktionsfunktion P(x) =

„2 x

.

a) Berechnen Sie die Elastizität e p (x). b) Bestimmen Sie mit Hilfe von a) näherungsweise, um wieviel Prozent sich die Produktionsmenge ändert, wenn die Einsatzmenge von XQ = 2 Mengeneinheiten um 3 % erhöht wird. c) Berechnen Sie den Grenzwert lim £p (x) und interpretieren Sie das x_>0 Ergebnis. ° 10. Ein Schnittpunkt der Kurven gj(x) = In (x + 1)

und

g2(x)=x-i

soll näherungsweise ermittelt werden. a) Entwickeln Sie dazu die Funktion f(x) = gj(x) — g 2 (x) in ein Taylorpolynom zweiten Grades an der Stelle XQ = 0 und berechnen Sie die Nullstelle dieses Polynoms. b) Um wieviel weicht f(x) an der in a) gefundenen positiven Nullstelle höchstens von Null ab. Führen Sie eine Restgliedabschätzung durch. 11. Berechnen Sie im Falle der Existenz folgende Grenzwerte a)

i i m l-cosx x—»o sin x

.

b)

Hm

x-too

x

.sin|.

c)

( » * 2 + 1> x—»oc In (x + 1 )

Um

ln

27

Klausur 7

B 12 Bestimmen Sie für die Nachfragefunktion N(p) = «J In p • j j die Konsumentenrente bei einem Marktpreis p^j = 1 und der Preisobergrenze Po =

e

-

13. Die Grenzkostenfunktion in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x sei gegeben durch 2

k(x) = 2 x • e ~ * . a) Berechnen Sie daraus die Kostenfunktion K(x) mit K(0) = 0. b) Für welches x gilt mit dieser Kostenfunktion K(x) = 1 — e ~ 4 ? 14. Die Elastizität einer Produktionsfunktion f(x) > 0, x > 0 laute £[ (x) = a • x Q mit Konstanten a, a e R, a ^ 0. Bestimmen Sie alle Produktionsfunktionen mit dieser Elastizität. Hinweis: Benutzen Sie die Fallunterscheidungen: a = 0 und a ^ 0. 15. Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen x und y. Um wieviel ändert sich näherungsweise die Länge der Diagonalen f(x,y)=>|x2 + y2, wenn x von 4 m auf 4,1 m vergößert und y von 3 m auf 2,9 m verkleinert wird? 16. Bestimmen Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte der Funktion f ( x , y ) = — x 3 — y 2 + 3 x + 8y + 38. 17. Gesucht sind die Extremwerte der Funktion f(x,y,z) =

I x 3 + x-y + i z

2

unter der Nebenbedingung y + z = 3. Hinweis: Benutzen Sie die Eliminationsmethode.

D

'3t\

18. Gegeben sind die Vektoren

at =

t 1 \ 2

und

bt =

)

a) Für welche Werte t sind a t und b t orthogonal ? b) Für welche Werte t sind a t und b t parallel ?

1 1

\ 6/

, teR.

Klausur 7

28

19. Ein Unternehmen produziert 3 Güter Gj, G 2 , G 3 , die an drei verschiedenen Orten Oj, 0 2 , 0 3 verkauft werden. Der folgenden Tabelle ist zu entnehmen, wie viele Mengeneinheiten (ME) XJJ von Gut Gj am Ort O; abgesetzt werden können, i, j = 1,2,3. Gi

G2

G3

Ol

2

1

3

02

2

2

4

03

4

0

4

Wie müssen die Preise p 1( p 2 , p 3 je ME von Gj, G 2 , G 3 festgesetzt werden, damit im Ort ein Umsatz von 24, in 0 2 ein Umsatz von 32 und in 0 3 ein Umsatz von 32 Einheiten erzielt wird? a) Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem auf. b) Geben Sie sämtliche Lösungen an. c) Welche Lösung ergibt sich, wenn die Preise p 2 und p 3 übereinstimmen sollen? 20. Student S. Trebsam plant, für die Mathematik-Klausur x Stunden und für die Statistik-Klausur y Stunden Vorbereitungszeit aufzuwenden. Um die Freizeitaktivitäten nicht zu sehr einschränken zu müssen, soll die Vorbereitungszeit für beide Klausuren zusammen maximal 30 Std. betragen. Erfahrungsgemäß ergibt eine Vorbereitungsstunde für Mathematik 2 Klausurpunkte und eine Stunde für Statistik 2,5 Punkte. Damit die Mindestpunktzahlen 17 für Mathematik und 25 für Statistik erreicht werden, muß also 2 x > 17 und 2,5 y > 25 gelten. Da S. Trebsam viel Freude an der Mathematik hat, soll außerdem x > y erfüllt sein. a) Skizzieren Sie den zulässigen Bereich und bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte. b) Wie viele Vorbereitungsstunden sind unter diesen Bedingungen zum Bestehen beider Klausuren mindestens erforderlich? c) Ein Mäzen belohnt jeden Mathematik-Punkt und jeden StatistikPunkt mit 4 DM. Wie hoch ist die maximal mögliche Gesamteinnahme aus beiden Klausuren zusammen für S. Trebsam? Bei welcher Aufteilung der Vorbereitungsstunden wird dieses Maximum erreicht?

Klausur 8

29

Klausur 8 A 1.

Gegeben sind die Mengen

A = {0;4}

und

B = {1 ; 4 } .

Bestimmen Sie die Elemente der Mengen a) (A x B)\(B x A) b) (A\B) x (B\A) . 2.

f(x) = sin x sei eine Abbildung von X in Y, X, Y C R. Bestimmen Sie zwei Mengen X und Y derart, daß f eine eineindeutige Abbildung von X auf Y ist. Begründung!

3.

Für welche x e R gilt | 2 x - l | + | < l

4.

Herr H. erhält im ersten Jahr seiner Anstellung beim Unternehmen U. ein Jahresgehalt von 40000 DM. Das Jahresgehalt wird von Jahr zu Jahr um 1900 DM erhöht.

?

a) Welches Jahresgehalt bezieht Herr H. im 10. Jahr? b) Wie hoch ist der Betrag, den Herr H. insgesamt während der ersten 12 Jahre verdienen wird? 5.

Berechnen Sie

6.

Eine Maschine mit einem Anschaffungswert Jahre lang geometrisch degressiv mit jährlich schrieben werden. In den folgenden 5 Jahren auf 0 abgeschrieben. Welche Beträge werden abgeschrieben?

7.

Bestimmen Sie im Falle der Existenz die Grenzwerte der Folgen (an),neN 1 n 3 • (7 n — 0,5 n 2 ) . > 2 n2 - n + 3 b) a„ = *) = " n 7 c)

(4)M(-l)

n

+ (-2)n].

von 10000 DM soll zwei 20 % vom Restwert abgewird die Maschine linear in den ersten drei Jahren

Klausur 8

30 8.

Berechnen Sie die ersten Ableitungen der Funktionen a) f(x) = x e ;

b) f(x) =

c)f(x) = sin (e x );

d) f(x) = (sine) x ;

e

x

e

-

2 x

;

e) f(x) = >|x2 + e . 9.

Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = e " x - e -

2 x

den maximal möglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. Skizzieren Sie f(x). Hinweis: Benutzen Sie zur Lösung der entsprechenden Gleichungen jeweils eine Faktorzerlegung, z. B. x x e - x _ e - 2 x = e - . ( l - e " ) .

10. a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritten Grades der Funktion f(x) = x • lnx an der Stelle XQ = 1. b) Geben Sie mit Hilfe dieses Polynoms Näherungswerte für und 2 • In 2 an. c) Führen Sie für die in b) erhaltenen Werte jeweils eine Fehlerabschätzung durch. 11. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte: a)

c)

lim x - l n ( l + | ) , a > 0 ; x-+oo

b)

lim x • In (1 + f ) , a > 0 ; x—>0

sin (x + f ) lim — 1 2 7T xJ —I— 4

B 12. Berechnen Sie folgende Integrale e a) | l " 2 f d x ; l

b)

l Jx.sinOr.x)dx.

Klausur 8

31

13. Wie muß die Preisobergrenze p Q festgesetzt werden, damit die Konsumentenrente für die Nachfragefunktion N(p) = -j—^— bei einem Marktpreis p M = 1 den Wert In 10 annimmt? ^

14. Die Dichte der Normalverteilung y>(x) nimmt für x = 0 den Wert 1 an, der von den beiden Parametern fi und er abhängt. Um wieviel ändert sich dieser Wert näherungsweise, wenn statt fi = 0 und (7 = 1 die Werte fi = 0,1 und er = 1,1 einzusetzen sind? Benutzen Sie das totale Differential. 15. Die Nachfrage z = f(x,y) nach Pulverkaffee hänge ab vom Preis x für Pulverkaffee und vom Preis y für Bohnenkaffee in der Form f(x,y) = l n x - ( y - x ) 2 - ± y , x , y > 0 . Geben Sie die Preiskombination an, bei der die Nachfrage maximal wird. 16. Gesucht ist der Vektor ( x , y , z ) minimaler Länge, dessen Skalarprodukt mit dem Vektor (1; 2; 1) den Wert 4 ergibt. Zu bestimmen ist also das Minimum von f(x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 unter der Nebenbedingung x + 2y + z = 4. 17. Ein Betrieb verkauft von zwei Gütern die Mengen x und y. Die Gewinnfunktion lautet f ( x , y ) = 2 0 x + 39y — 2 x 2 — 3 y 2 . Bei welcher Mengenkombination ist der Gewinn maximal, wenn die Produktionsbedingung 4 x + 6y = 24 eingehalten werden muß?

Klausur 8

32 D

18. Die Produkte P l t P 2 und P 3 werden auf drei Maschinen M x , M 2 und M 3 gefertigt. Die für die Herstellung jeweils einer Produkteinheit benötigten Maschinenzeiten (in Stunden) können folgender Tabelle entnommen werden: Mx M,

1 3 2

M, Wie viele Einheiten von P l t P 2 und P 3 können hergestellt werden, wenn alle drei Maschinen 8 Stunden in Betrieb sind? Lösen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem. 19. Bestimmen Sie die Inverse der Matrix

A =

2

- 1

1

2

- 1

2

1

-1

2

20. In einem Kaufhaus sollen auf einer Etage die Abteilungen Sport (S) und Musik (M) untergebracht werden. Dafür steht eine Fläche von maximal 300 m 2 zur Verfügung. Die S - Abteilung soll nicht größer als 175 m 2 werden und höchstens doppelt soviel Fläche wie die M-Abteilung in Anspruch nehmen. Der Mindestbedarf für die M - Abteilung wird mit 75 m 2 veranschlagt. a) Skizzieren Sie den zulässigen Bereich. b) Pro Jahr werden in der S-Abteilung bzw. M-Abteilung Gewinne von 4 bzw. 3 Geldeinheiten pro m 2 erwartet. Wie hoch ist der maximale Jahresgewinn für beide Abteilungen zusammen? Bei welcher Flächenaufteilung wird dieses Maximum erreicht?

Klausur 9

33

Klausur 9 A 1.

Gegeben sind die Mengen A = {x G R | x 2 > 4}

und B = { - 2; 1; 3; 5} .

a) Bestimmen Sie das Komplement A = R\A der Menge A. b) Geben Sie die Elemente der Mengen A H B und A H B an. | x + 1 | > x2 - 1 ?

2.

Für welche x G R gilt

3.

Wie groß ist die Summe aller dreistelligen natürlichen Zahlen, die durch 4 teilbar sind?

4.

Herr P. möchte zu Beginn eines Jahres einen Kredit von 63000 DM aufnehmen, um sich ein sportliches Auto zu kaufen. a) Die Rückzahlung soll in zwei gleichen Jahresraten jeweils am Jahresende erfolgen. Wie hoch ist diese Rate (Annuität) bei einem Zinssatz von 10 %? b) Welchen einmaligen Betrag hätte Herr P. nach 2 Jahren bei einem Zinssatz von 7 % zurückzahlen müssen?

5.

a_ + 1 Die Folge a^ + 1 = — , a j = 2, n = 1,2,... ist auf Konvergenz zu untersuchen. a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, daß a^ > 1 für alle n gilt. b) Beweisen Sie, daB die Folge monoton fällt. c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.

6.

Bestimmen Sie im Falle der Existenz die Grenzwerte der Folgen OO-neN

_ 2n +1 _ 3 n +1 + 4n + 1 »n > ~= 4n - 3n + 2n

cc )

34 7.

Klausur 9 Berechnen Sie die erste Ableitung von a) f(x) = e 2 k l > i * ;

b) f(x) = ln(2 + sinx);

c ) f ( x ) = ln(x x );

d) f(x) =

e)f(x) = 8.

e^'1)2;

(Mx) x .

Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = l n ( |

+

X

) , X

2

€

R

den maximal möglichen Definitionsbereich D C R , die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. Skizzieren Sie f(x).

9.

K(x) = x 2 • e

_

X

sei eine Kostenfunktion.

280

a) In welchem Bereich ist K(x) monoton wachsend? b) In welchem Bereich ist die Stückkostenfunktion S(x) = ton fallend?

^

mono-

c) Berechnen Sie die Elastizität der Stückkostenfunktion S(x). d) Berechnen Sie mit Hilfe von c) möglichst einfach die Elastizität der Kostenfunktion K(x). 10. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte l n ( | + x2) a) lim — ^ ; ' x-»oo lnx c) lim 4 X-

b) lim g - ^ - l n U + x 2 ); ' 1 2i-l \4 /'

l n ( | + x2) U

J

8 i n

( -è) x

B 11. Berechnen Sie folgende Integrale 2ir

a)

In 2

x-sinfixìdx; J

[ 2

J

b)

l

* dx. (e* + 1 )

Klausur 9

35

12. B. gUt

I=J = Vi . o Für I soll ein Näherungswert berechnet werden.

a) Bestimmen Sie dazu das Taylorpolynom dritten Grades von f(x) = In (1 + x) an der Stelle Xq = 0. b) Berechnen Sie mit Hilfe von a) einen Näherungswert I für I. c) Zeigen Sie, daß für das Taylorpolynom die Restgliedabschätzung I R 3 W I < Y für 0 < x < 1 gilt. d) Benutzen Sie c), um den Fehler 11 — I | abzuschätzen. 13. Die Elastizität der Funktion f(x) mit f(0) = 3 lautet e f (x) = 2 x 2 + x . Bestimmen Sie die Funktion f(x).

C 14. Bestimmen Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte von f(x,y) = x 2 •(e y — 2) —y2. 15. Überprüfen Sie, ob folgende Funktionen homogen sind und bestimmen Sie gegebenenfalls den Homogenitätsgrad. a)f(*,y) =

x-yin(^l);

b)f(x,y) = x - y 2 +

yx.

I 3 16. Die Produktionsfunktion f(x, y) = x • y 2 - 4 y 2 gibt die Ausbringungsmenge pro Tag in Abhängigkeit von den Mengen x und y zweier Einsatzfaktoren an. Wie hoch ist die maximale Ausbringungsmenge, wenn zwischen den Mengen der Einsatzfaktoren die Beziehung x = 3 y + 6 gelten muß?

Klausur 9

36 D 17. a) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene von f(x,y) = In (x 2 + 1) + e 1 * an der Stelle (1; 0) ?

b) Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene in Parameterform an.

18. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der drei Ebenen Ej:

2x + y — z = - 3

E2:

x - y + z

=

E3:

- 3 x - y + 2z =

0 5.

19. Geben Sie alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems an: x— y + 3x +

z =

1

y + 7z = 11

— 2x + 3y — z =

0.

20. H. Imglück mochte eine Pferdewette abschließen. Seiner Meinung nach kommen für den Sieg im Großen Preis von Hohenheim die Pferde Alberich (A) mit Wahrscheinlichkeit 0,4 und Tristesse (T) mit Wahrscheinlichkeit 0,5 in Frage. Die Siegchancen eines Außenseiters schätzt er mit 0,1 ein. Deshalb möchte er x DM auf A und y DM auf T setzen, wobei sein Gesamteinsatz auf 200 DM begrenzt ist. Der Mindesteinsatz je Pferd beträgt 10 DM. H. Imglück möchte mindestens 50 DM mehr auf T als auf A setzen. a) Skizzieren Sie den Bereich möglicher Wetteinsatzkombinationen. b) Gewinnt A, werden 4 DM, gewinnt T, werden 3 DM je DM Einsatz ausgezahlt. Bei welcher Wetteinsatzkombination wird der erwartete Reingewinn von 0,4 (3 x - y) + 0,5 (2 y - x) + 0,1 ( - x - y) = 0,6 x + 0,5 y maximal?

37

Klausur 10

Klausur 10 A 1.

Auf einem Waldgrundstück waren 10 % der Nadelbäume gesund, 70 % leicht geschädigt und 20 % schwer geschädigt. 30 % der kranken Nadelbäume wurden behandelt. 75 % der leicht geschädigten wurden dagegen nicht behandelt. a) Welcher Anteil des schwer geschädigten Bestandes wurde nicht behandelt? b) Wie groß ist der Anteil der behandelten schwer geschädigten Bäume am Gesamtbestand?

2.

Die Anzeige einer Personenwaage weicht vom tatsächlichen Gewicht x um maximal yjjQ + 0,15 ab. In welchem Bereich (Intervall) liegt das tatsächliche Gewicht einer Person, für welche die Waage ein Gewicht von 75 kg anzeigt?

3.

Für welche x e R gilt

> 0 ; x ± 1?

4.

Jemand legt 100 000 DM zu einem Jahreszinssatz von 7 % (zahlbar am Ende eines jeden Jahres) an. a) Welche nachschüssige a) jährliche ß) monatliche ewige Rente kann er damit erhalten? b) Welchen konstanten Betrag kann er jährlich nachschüssig abheben, damit der Kontostand nach 20 Jahren erstmals auf Null ist?

5.

Die Folge a ^ ^ j = ^ • ( a ^ + 1 ) , a 1 = 0, n=l,2,... zu untersuchen.

ist auf Konvergenz

a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, daB für alle n gilt 1.

a) Bestimmen Sie die Elastizität der Umsatzfunktion U(p) = p • N(p). b) Um wieviel ändert sich näherungsweise der Umsatz, wenn sich der Preis von p 0 = 7,4 um 2 % erhöht. Verwenden Sie a). 10. Gesucht sind Näherungswerte für und

w

.

a ) Bestimmen Sie dazu das Taylorpolynom zweiten Grades der Funk4 4 tion an der Stelle Xq = 0. Dabei -Jista a +>x0 eine Konstante. b) Berechnen Sie mit Hilfe von a) einen Näherungswert für 4>| 17 mit a = 2 und einen Näherungswert für mit a = 3. c) Führen Sie in beiden Fällen eine Restgliedabschätzung durch.

11. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte a)

c)

lim

l ^ X ;

X—0

x'

lim x • (e

X—»OO

V

b)

lim

Ä

x—»7r In ( j f ) x

— lY J

;

Klausur 11

43

B 12. Berechnen Sie folgende Integrale •f*

a) | 2 x • o

IT

sin(x 2 )

dx;

b)

Jex-sinxdx. o

C 13. Überprüfen Sie, ob folgende Funktionen homogen sind und bestimmen Sie gegebenenfalls den Homogenitätsgrad a) f ( x , y ) = x 2 -e* + y 2 - e * ; b) f ( x , y ) = ln(x + y ) + x - y , x + y > l . 14. Bestimmen Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte der Funktion f ( x , y ) = e x • (x 2 — y 2 ) . 15. Bestimmen Sie das maximale Volumen eines Kreiskegels V = V(r,h) = j i r r 2 h unter der Nebenbedingung für den Kegelmantel M(r ,h) = *r2>|r2 + h 2 = 9^3" ir. 16. Mit dem Newton'schen Gravitationsgesetz läßt sich die Kraft angeben, mit der sich ein kugelförmiger Körper der Masse m und die Erdmasse mit dem Mittelpunktsabstand r gegenseitig anziehen: F(r, m) = c • 21 ; c=3,9685 • 104 [ r s a) Ist F homogen? b) Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials den relativen Fehler von F, der sich ergibt, wenn m um 1% und r um 1,5 % zu groß gemessen werden. D 17. a) Berechnen Sie die Schnittpunkte von jeweils zwei der folgenden drei Geraden: gl

: x1=

i 1 J + A-i 1 j , A € R ;

g 3 : x-;= ^

+p o j

%2'• *2 = ( i )

,PeR.

+

A

''(j)',ieR;

Klausur 11

44

b) Geben Sie die von den drei Punkten aus a) aufgespannte Ebene E in einer Parameterform an. c) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der in b) angegebenen Ebene. 18.

Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems x - 2y -f 3z = 4x— 5 y + 6 z - 7 x + 8y -

=

9z =

3 6 -9.

19. Gegeben ist die Matrix

(

0

1 0 0

-1 0 0 0

0 0 0 -1

0 0 1 0

\

/

Berechnen Sie a) A 2 , A 3 und A 4 ; b) die Inverse A ~ 1 . 20. Ein Vitaminpräparat, welches neu auf den Markt gebracht werden soll, wird aus den Präparaten Vj und V 2 zusammengesetzt. Es soll aus x Gramm von V j und y Gramm von V 2 bestehen und höchstens 14 g wiegen. In der nachfolgenden Tabelle sind die Vitaminanteile (in Gewichtseinheiten) je Gramm der Präparate V x und V 2 angegeben und der Mindestbedarf, der abgedeckt werden soll. Vitamin

Vj

V2

Mindestbedarf

A

2

5

40

B

0

7

28

C

12

5

65

a) Stellen Sie das zugehörige Ungleichungssystem auf und skizzieren Sie den zulässigen Bereich. b) Für welche Mischung wird das neue Präparat am billigsten, wenn 1 Gramm V x zwei DM und 1 Gramm V 2 sechs DM kostet?

Klausur 12

45

Klausur 12 A 1.

Gegeben sind die Mengen A = {x 6 R | 0 < x < 2}

und

B = {0, 1, 2} .

a) Geben Sie die Mengen A U B, A PI B und (A U B) \ (A D B) an. b) Stellen Sie A x B graphisch dar. 2.

Für welche x 6 R gilt

| x - 1 | < ¿x + 2 ?

3.

a) Herr Kaufmann legt alle 2 Jahre seine Uberschüsse zu einem Jahreszinssatz von 8 % fest an. Am Anfang des 1. Jahres legt er 5000 DM an, am Anfang des 3. Jahres 3000 DM. Wieviel müßte er am Anfang des 5. Jahres mindestens anlegen, um am Ende des 6. Jahres 15000 DM zur Verfügung zu haben? b) In wieviel Jahren könnte er die Summe von 15 000 DM bei einem Jahreszins von 5 % und einer jährlichen Einzahlung von 2 000 DM ansparen?

4.

Bestimmen Sie im Falle der Existenz die Grenzwerte der Folgen ( a j , nelSI. (6 n 2 + l ) 2

b)

n - ( 4 n 3 + 3n 2 + l) '

5.

=

Berechnen Sie: M

V

5k +

k=2

9

2

2 n + 3 n + 1 + 4n 22n + 3n

+ 2

46

Klausur 12

6.

In einer Tonne sind 1001 Wasser. Tagsüber fließen 501 hinzu; jeden Abend wird die Hälfte des Inhalts entnommen. a) Wieviel Wasser befindet sich am Abend des 3. Tages nach der Entnahme in der Tonne? b) Geben Sie an, wie der Wasserstand x ^ 1 am Abend des (n + l)-ten Tages vom Wasserstand x^ am Abend des n-ten Tages abhängt. c) Der Wasserstand strebt gegen einen Grenzwert. Berechnen Sie diesen.

7.

Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung folgender Funktionen: a) f(x)

b) f(x) = e * ' ^ ;

d) f(x) = cos ( i n

8.

c) f(x) =

e) f(x) =

•

Bestimmen Sie für die Funktion f: D -+ R ,

f ( x ) = ex + 2 -

e2x

den maximal möglichen Definitionsbereich D, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. Skizzieren Sie f. 9.

An einer rechtwinkligen Strassenkreuzung liegt ein dreieckiges Grundstück (s. Figur). Es soll ein möglichst großer, rechteckiger Bauplatz A B C D auf dem Grundstück abgesteckt werden. Bestimmen Sie die Seitenlängen x und y . (Hinweis: Bestimmen Sie die Gleichung der Koordinaten des Punktes C und stellen Sie mit Hilfe dieser Gleichung y in Abhängigkeit von x dar.)

10. a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades für f(x) =

sin (2 x)

an der Stelle XQ = ^ .

b) Geben Sie mit Hilfe von a) einen Näherungswert für I.sin(^)

an.

c) Führen Sie eine Fehlerabschätzung durch.

47

Klausur 12 11. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte: X

cos

a)

S a x-»2

c)

lim

f X —4

5

i\

b)

r

^ — sin ( ( l + x ) f ) ; r. 3X -1 | X 2 x—»0

5x-ln(l— j ) .

B 12. Berechnen Sie folgende Integrale 7T o


0 . Bestimmen Sie f(x).

Durch welchen Wert kann f in 0 rechtsseitig stetig ergänzt werden?

14. Überprüfen Sie, ob folgende Funktionen homogen sind und bestimmen Sie gegebenenfalls den Homogenitätsgrad. a) f(x,y) = l n ( ^ ) y + In ( £ ) " ; x+y b) f(x, y) = x 2 - e - -

x+y x • y • ex - y .

15. Die Fläche eines Kreisausschnitts beträgt F(r, a ) = i r 2 - a (r Radius, a Winkel im BogenmaB). a) Stellen Sie die Formel für das totale Differential auf. b) Um wieviel Prozent ändert sich die Fläche näherungsweise, wenn r um 1 % erhöht und a um 1,5 % verringert wird?

Klausur 12

48

16. Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt eines Kreisausschnitts F(r, a ) = i r 2 • a

unter der Nebenbedingung für den Umfang

U(r, ar) = 2r + a r = c = const. 17. Bestimmen Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte der Funktion f(x, y) = x • y • e y - x . D 18. a) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Ebene E : x + y + z = 1 mit der Geraden

«•* = (!)+

*(;).*•«•

b) Geben Sie die Gleichung der Ebene an, die den Punkt und die Gerade g : x = I—2 ) + /i I 1 ), p € R

P( 1; 2; 3)

enthält.

19. Gegeben sind die Matrix A und der Vektor x A =

/0 1 1 0\ 0 0 11 10

0 1

1\ -1 x = 1

\ 1 1 0 0

/

\"1/

Berechnen Sie a) A - A ;

b) A • x ;

c) A

1

, falls die Inverse existiert.

20. Aus einem Warenlager L sollen x Tonnen (t) einer Ware in die Filiale A und y t in die Filiale B transportiert werden. L hat eine maximale Kapazität von 1000 t. A benötigt mindestens 2001 und B mindestens 300 t. Ein Transport wird aus Rentabilitätsgründen erst dann durchgeführt, wenn insgesamt mindestens 7001 zu transportieren sind. a) Stellen Sie das zugehörige Ungleichungssystem auf und skizzieren Sie den zulässigen Bereich. b) Die Transportkosten betragen 30 DM pro t für A und 20 DM pro t für B. Welche Mengen müssen transportiert werden, damit unter den oben angegebenen Bedingungen die Gesamttransportkosten minimal sind?

Klausur 13

49

Klausur 13 A 1.

Gegeben sind die Mengen A = { ( x , y) € R 2 | x > 2 y — 2}

und

B = { ( x , y) e R 2 | y < x 2 } .

a) Skizzieren Sie C = A fl B ;

b) Bestimmen Sie C f"l (N x N).

2.

Für welche x e R gilt

3.

Berechnen Sie im Falle der Existenz die Grenzwerte der Folgen (aj, neN \ _ Vn~-n _ 7n+1 - 7 ~ n ; * * ~ l+MTT + 2n ' ~ 7n + 7 _ n ' c

4.

'

"ta

_

—

| x - 2,51 < x 2 - 6,25 ?

22p + 3 n ~ 1 yi+1 •

Um ihre Kunden zu längerfristigem Sparen anzuregen, macht eine Bank folgendes Angebot: Der eingezahlte Betrag wird im ersten Jahr mit 5 %, im zweiten mit 7 % und dann jählich mit 9 % verzinst. Ein Kunde zahlt 10 000 DM ein. a) Wie groß ist sein Kapital am Ende des vierten Jahres? b) Bei welchem konstanten (effektivem) Zinssatz würde sich nach vier Jahren der gleiche Kontostand ergeben?

5.

Berechnen Sie k=0

6.

« ) k=l £(-Ä)

k=0

k

-

In einem Waldgebiet hat sich der Anteil an kranken Bäumen a^ (in%) während der letzten Jahre näherungsweise nach der folgenden Formel entwickelt 8 ^ = 0 , 7 5 ^ + 20; n = 1,2,...;

a1=10.

a) Berechnen Sie a^ und a-j. b) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, daß für alle n e N gilt an|x 2 + l ) ;

= 5 X 2 + 2X;

e)

f

W

=

eX2cOSX-

8.

Bestimmen Sie für die Funktion f ( x ) = (x 2 + 2 x — 1) - e _ x den maximal möglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. Skizzieren Sie f.

9.

Die Nachfrage f ( x ) nach einem Luxusartikel hänge vom P r o - K o p f Einkommen x ab in der Form f « = • l

+ e

800

a ) Berechnen Sie die Elastizität £ f ( x ) der Funktion f . b ) Um wieviel ändert sich näherungsweise die Nachfrage, wenn sich das Pro - Kopf - Einkommen von X q = 1600 DM um 2 % erhöht? Verwenden Sie das Ergebnis aus a). 10. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte «0

X-.1

b)

m x

lim x—»0

x

f

n

> L y ~ )

B 11. a ) Bestimmen Sie die Taylorpolynome ersten und dritten Grades T 1 ( x ) und T 3 (X) der Funktion f(x) = tan x an der Stelle Xq = 0. b ) Geben Sie mit Hilfe von T x ( x ) einen Näherungswert für tan (0,1) an und fuhren Sie eine Fehlerabschätzung durch. Hinweis: Benutzen Sie für die Fehlerabschätzung = tanx • (1 + t a n 2 x ) und verwenden Sie den für tan (0,1) becos x rechneten Näherungswert. t 4 c ) Bestimmen Sie näherungsweise J tan x dx mit Hilfe von T 3 ( x ) .

E

4 12. Berechnen Sie J tanxdx 0

° (vgl. Aufgabe 11. c)).

13. Bestimmen Sie alle Funktionen f ( x ) mit der Elastizität a ) e f ( x ) = — x a • f ( x ) , a e R\ { 0 } ; b) e f ( x ) = - f ( x ) , x > 1 .

Klausur 13

51

C 14. Die Funkionen f ^ x , y) und f 2 (x, y) besitzen beide den gleichen Homogenitätsgrad r. Sind dann auch folgende Funktionen homogen? Geben Sie gegebenenfalls den Homogenitätgrad an. a

) g( x >y) =

C)

W(x

f

i( x »y) + f 2 (x.y);

'y)= ^

J

b)M*,y) = f 1 (x,y)-f 2 (x,y);

fürf2(x,y)#0.

15. Das Volumen des nebenstehenden Kreisels (Halbkugel + Kegel) beträgt V(r,h) = | - 7 r . r 3 + i - 7 r - r 2 - h . a) Ist V(r, h) homogen? b) Stellen Sie die Formel für das totale Differential auf. c) Es sind h = 18 cm und r = 9 cm gegeben. Berechnen Sie mit Hilfe von b), wie r abgeändert werden muß, damit das Volumen bei einer Vergrößerung von h um 0,5 ungefähr gleich bleibt. 16. Wie sind der Radius r und die Höhe h eines Kegels zu wählen, damit das Volumen V(r, h) = ^ tt r 2 h maximal wird, wenn die Länge der Mantellinie m = 2}

und

B = {1;2;3;4}.

a) Stellen Sie A und B graphisch dar. b) Bestimmen Sie A H B und B\A. 2.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung ^

^

>

0

,x#l,5.

3.

Berechnen Sie

4.

Frau Spärlich hat am 31.12. 1985 30000 DM auf ihrem Konto; der Zinssatz beträgt 0,95 % monatlich. Im Jahr 1986 muß sie den Betrag von 12000 DM an das Finanzamt zahlen. Zur Rückzahlung hat sie zwei Möglichkeiten: 1. Sie zahlt ein Jahr lang jeweils am 1. des Monats 1000 DM. 2. Sie zahlt den reduzierten Betrag 11500 DM am 1.1.1986. Berechnen Sie für beide Möglichkeiten den Kontostand am 1.1.1987. In welchem Fall stellt sich Frau Spärlich besser?

5.

Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen (%), n e N

6.

Bilden Sie jeweils die erste Ableitung der Funktionen a ) f ( x ) = (x 2 + 1) • e 2 * ;

e) f(x) = x.2 x

54 7.

Klausur 14 Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = In (x 2 — 4 x + 5) den maximal möglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. Skizzieren Sie f.

8.

Gegeben ist die Funktion f(x) = (x 2 + 1) • e ~ x . a) Berechnen Sie die Elastizität e f (x). b) Um wieviel ändert sich f(x) näherungsweise, wenn der Wert x = 3 um 0,5 % erhöht wird?

9.

Gegeben ist die Folge an+1 = ^6+a„

; a 1 = 0; n = 1,2,...

a) Berechnen Sie a^, aß und a 4 . b) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, daß für alle n e N gilt 00

2 cos (x • ir) — 2 •»•2 _/(•»• _L A

Klausur 14

55

B 12. Berechnen Sie die Integrale TT 2

a) i) | x l n ^ d x ; l

2

3

b) J 2cosx • (sin x) dx; 3

c) J

^ In x

'

13. Die Funktion f: R + —• R + besitze die Elastizität e f (x) = 1 + x . Ferner gelte f(l) = 2e. Bestimmen Sie die Funktion f(x).

C 14. Überprüfen Sie folgende Funktionen auf Homogenität, und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Homogenitätsgrad: a)f(x,y) =

lnx-lny;

b) f(x, y) =

In x + In y — ln(x + y);

c) f(x, y) = x 3 ( l - y 2 ) + xy 2 (x 2 - 1). 15. Bestimmen Sie edle Extremwerte und Sattelpunkte der Funktion f(x,y)=xy3-3xy + ix2. 16. Die Oberfläche eines Kreiszylinders mit dem Radius r und der Höhe h lautet 0 ( r , h) = 2irrh + 2 i r r 2 . a) Stellen Sie die Formel für das totale Differential auf. b) Um wieviel cm 2 ändert sich die Oberfläche näherungsweise, wenn der Ausgangsradius r = 10 cm um 0,5 cm verringert und die Ausgangshohe h = 20 cm um 2 cm vergrößert wird? Benutzen Sie das Ergebnis von a).

56

Klausur 14

17. Lösen Sie folgendes Gleichungssysten x +

y -2z

=

5

4 x + 3y - 5 z

=

22

— 2 x + 2y - 8z = - 1 8 . 18. Gegeben ist die Matrix

(

1

V

1

MI 1 - 1 0 /

A= I —1

0

a

mit einer Konstanten a € R .

Für welche a existiert die Inverse von A? Geben Sie die Inverse in Abhängigkeit von a an. 19. Eine Ebene E ist durch folgende Gleichung gegeben: E: x + 2y + 3z = 7. a) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Ebene E an. b) Bestimmen Sie eine Gerade g, die durch den Punkt P(1; 1; 1) geht und senkrecht auf der Ebene E steht.

20. Aus Orangensaft und Sekt soll ein Drink gemixt werden, und zwar wenigstens 9 Liter, aber höchstens 30 Liter. Dabei soll das Verhältnis Orangensaft zu Sekt mindestens 1 : 2 betragen. Es sollen höchstens drei Liter Orangensaft mehr verbraucht werden als Sekt. a) Stellen Sie das zugehörige Ungleichungssystem auf, und skizzieren Sie den Bereich der zulässigen Mengen. Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Bereichs. b) Ein Liter Orangensaft kostet 1,20 DM und ein Liter Sekt 12 DM. Mit wieviel Liter Orangensaft bzw. Sekt aus dem in a) bestimmten zulässigen Bereich wird das Getränk am billigsten?

Klausur 15

57

Klausur 15 A 1.

Gegeben sind die Mengen A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } , B = {x e R | | x | < 4 } und C = { x e R | 3 < x < 4 } . a) Geben Sie die Mengen A H B , A\B , B n C und B \ C an. b) Stellen Sie A x B und B x C graphisch dar.

2.

a) Über welchen Betrag verfügt man nach 20 Jahren, wenn zu Beginn jeden Jahres 1000 DM bei konstantem Zinssatz 7 % fest angelegt werden? b) Welche Rente kann man von 40 000 DM monatlich (vorschüssig) 10 Jahre lang bei gleichem Zinssatz (7 %) abheben?

3.

Berechnen Sie im Falle der Existenz die Grenzwerte der Folgen (O.neN .

2 ^

+ 3 ^

n.(4>17

0 , ist. b) Berechnen Sie mit Hilfe von a) das bestimmte Integral J (lnx)-(lnx) dx .

59

Klausur 15

12. Berechnen Sie die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graph der Funktion f(x) = x 2 - 6 x + 8 für x G [0,4] . l

2

13. Gesucht ist das bestimmte Integral A =

f

2

ex d x .

2

2

a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Grades T 2 (x) für f(x) = e x an der Entwicklungsstelle Xq = 0 . Um wieviel weicht T 2 (x) im Intervall [ — j ] von f(x) höchstens ab? b) Berechnen Sie mit Hilfe von T 2 (x) einen Näherungswert für A und schätzen Sie den Fehler ab, der durch diese Näherung entsteht.

C 14. Es sei z = f ( x , y ) = 3xy + y 2 - 2 x 3 . Berechnen Sie das totale Differential dieser Funktion und den ungefähren Zuwachs von z an der Stelle (2,1), wenn der x-Wert um 0,02 abnimmt und der y-Wert um 0,02 wächst.

15. Eine Firma will ein neues Produkt auf den Markt bringen; die Werbung hierfür soll von zwei Medien getragen werden. Die Kosten, die dabei anfallen, seien x bzw. y Geldeinheiten. Der Umsatz U lautet 100 x

Ii (rv U x , yvi) -

^

-i. +

50

y

.

Wie sind die Werbekosten x, y auf die beiden Medien aufzuteilen, damit der Nettogewinn G ( x , y ) = l . U ( x , y ) - ( x + y) am größten ist unter der Bedingung, daß der Werbeetat x + y = 10 voll ausgeschöpft wird?

16. Die Funktion f(x, y) sei homogen vom Grad 0 und besitze die partielle Elastizität bezüglich der Variablen x e

f,x(x-y)

=

1

+ r

Bestimmen Sie die partielle Elastizität e t y ( x , y) bezüglich y.

Klausur 15

60

17. Bestimmen Sie sämtliche relativen Extremwerte und die Sattelpunkte der Funktion f(x,y) = 3 xy + y 2 — 2 x 3 .

18. Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems Xj + 3 x 2 — 4 x 3 = - 5 — Xj + 2 x 2

=

3

2 xi — x 2 — x 3 = — 3 .

19. Berechnen Sie die Inverse A ~ 1 der Matrix

20. Die Ebene E: x — y + 2z = 4 wird von der Geraden

(

g : x = | 1 I + p-[—2 I, p e R

W

geschnitten.

V 4/

a) Geben Sie den Schnittpunkt an. b) Steht die Gerade g senkrecht auf der Ebene E ?

61

Klausur 16

Klausur 16 A 1.

Gegeben sind die Mengen A = { — 2 ; — 1;0; 1;2};

B = { x 6 R | - 1 < x < 1};

C = {(x, y) e R 2 | x 2 + y 2 — 4 > 0 }. a) Geben Sie die Mengen B \ A und A H B an. b) Stellen Sie A x B und C graphisch dar. 2.

Für welche x e R gilt

x 2 - 4 < i | x + 2|?

3.

Ein Gewinn wird an einem 1. Januar zu 7 % Zinsen auf 11 Jahre fest angelegt. Nach genau einem Jahr verlangt das Finanzamt einen erheblichen Betrag an Gewinnsteuer. Der Gewinner nimmt diese Steuerlast als Kredit zu 6 % auf, der mit der konstanten nachschfissigen Jahresannuität A = 50 000 DM in 10 Jahren zurückgezahlt wird. a) Welchen Betrag forderte das Finanzamt? b) Wie hoch war der Gewinn, wenn die Annuität A = 50 000 DM genau 3 % des Betrages ist, den der Gewinner nach 11 Jahren aus seiner Anlage ausgezahlt bekommt?

4.

Berechnen Sie im Falle der Existenz die Grenzwerte der Folgen (O-neN _ >|3n2 — 5n + 4 . ®n 22nn — 7 '

5.

_ 4• 1 0 n - 3 • 10 2 n ~ 3• 1 0 n ~ 1 + 2• 1 0 2 n _

1

'

Berechnen Sie &>

6.

>

2 s

n=0

—p—;

b

)

2 s

n=2

J

c

)

2 s

n=0

l ^ "

^

1

"

°

-

J -

Die Folge (a^), n 6 N ist definiert durch a n + 1 = ^• ^ 4 a n — 1 ; a x = 2. a) Zeigen Sie, daB für alle n e N gilt a n > ^. b) Geben Sie die Folgenglieder a^ und a^ an, und zeigen Sie, daß die Folge monoton fallend ist. c) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge.

62 7.

8.

Klausur 16 Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktionen a)f(x) = 2 . ( 2 - x 2 ) - 5 ;

b) f(x) =

c)f(x) =

d) f(x) = aJcos(x2) .

Bestimmen Sie für die Funktion f(x) W =

2x + 1

den maximal möglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. Skizzieren Sie f. 9.

Der Umsatz U(x) einer Warenhauskette ist abhängig von der Anzahl x der in den Schaufenstern ausgestellten Artikel. Man fand folgenden Zusammenhang U(x) =x-e45ö. a) Bestimmen Sie die Elastizität e^ (x). b) Die Anzahl der ausgestellten Artikel wird von Xg = 200 auf 208 erhöht. Um wieviel nimmt der Umsatz ungefähr zu? (Benutzen Sie Teil a)).

10. Bestimmen Sie die Grenzwerte a)

lim x_> 7

b) lim ^ x—>o

;

c)

lim (x 10 ° • In (x 99 )) x—»o

B 11. Berechnen Sie die Integrale •K 4 a)

f sinx d x . J (cosx)2^' 0

b)

e+1 f ln(x~1)dx J 2(x —1) 2

12. Berechnen Sie die Fläche, die von der x-Achse und dem Graph der Funktion f(x) =

2

über dem Intervall [ — 1;2] eingeschlossen wird.

Klausur 16

63

13. Gesucht ist das bestimmte Integral

A

-i( x + ri?) f c

a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 1. Grades von f(x) = x H an der Stelle XQ = 0.

1

+

x

b) Um welchen Betrag weicht dieses Polynom im Intervall [ 0 ; ^ ] von f(x) höchstens ab? c) Geben Sie mit Hilfe der Integration des Taylorpolynoms aus a) eine Näherung für A an. Berechnen Sie den maximalen Fehler, der hierbei entstehen kann. C 14. Die Produktionskosten K(x, y) in einem Werk hängen ab von den Mengen x und y zweier Einsatzfaktoren und zwar durch K(x,y)=ln(^). a) Ist die Funktion K homogen? b) Berechnen Sie das totale Differential von K. c) Benutzen Sie das totale Differential, um näherungsweise die Änderung der Kosten auszurechnen, wenn Xg = 100 um 1 % erhöht und y 0 = 100 um 2 % herabgesetzt wird. 15. Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f(x, y) = x • y unter der Nebenbedingung x 2 + y 2 = 1. 16. Gegeben ist die Funktion f(x,y) = In (x 2 + e 2 y ) + (x + l ) 2 + y. a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 1. Grades der durch f(x, y) = 0 implizit gegebenen Funktion y = y(x) an der Stelle XQ = 0. Hinweis: Berechnen Sie dazu y(0) aus f(0, y(0)) = 0 und y '(0) nach der Ableitungsregel für implizite Funktionen

y

W

f

y(x.y)

y =

y(x).

b) Geben Sie mit Hilfe des Taylorpolynoms aus a) einen Näherungswert für die Lösung der Gleichung In (0,1 2 + e 2 y ) + (0,1 + l ) 2 + y = 0 an, also einen Näherungswert für y(0,l).

64

Klausur 16

17. Bestimmen Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte der Funktion f(x,y) = (x 2 -y).e*+y. D 18. Gegeben sind die Ebenen E j : 2x + 4 y -

z -4

E 2 : x - 3y + 2z - 6

= 0 = 0.

a) Geben Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen an.

s:

b) Steht die Gerade

(i)-(iM-iH

senkrecht auf einer der Ebenen E l t E 2 ?

19. a) Berechnen Sie die Matrix B, deren Produkt mit der Matrix

die Einheitsmatrix E ergibt, also B • A = E. b) Lösen Sie mit der Matrix B aus a) die Gleichungssysteme

B.(;).(j)

- a

" • ( ; ) - ( ! ) •

20. Ein landwirtschaftlicher Betrieb hält Kühe und Schweine. Eine Kuh benötigt 10 m 2 , ein Schwein 2 m 2 Stallfläche. Insgesamt ist eine Stallfläche von 200 m 2 vorhanden. Jede Kuh und jedes Schwein verbraucht 10 kg Futterzusatz pro Woche. Insgesamt sind jedoch nur 800 kg pro Woche vorrätig. Zur Versorgung der Tiere muß der Landwirt pro Schwein 4 min, pro Kuh 30 min am Tag aufwenden. Für diese Arbeit hat er täglich 8 Stunden Zeit. Der Nettogewinn beträgt für eine Kuh 1800 DM pro Jahr, für ein Schwein 600 DM pro Jahr. a) Skizzieren Sie den zulässigen Bereich für die Anzahl der Kühe und Schweine und bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte. b) Stellen Sie die Zielfunktion auf und ermitteln Sie den maximal möglichen Nettogewinn pro Jahr sowie die dazugehörige Anzahl von Schweinen und Kühen.

Klausur 17

65

Klausur 17 A 1.

Gegeben sind die Mengen A = {(x, y) € R 2 1 1 < x 2 +y 2 < 9}

und

B = {x € R | 0 < x < 3 }.

a) Skizzieren Sie die Menge (B x B)\A. b) Bestimmen Sie A f l ( N x N ) . 2.

Für welche x € R gilt

3.

Herr Rentenfuchs zahlt zu Beginn eines jeden Jahres seine Rentenversicherung ein. Ab 1.1.1950 zahlte er jährlich 7000 DM; anfangs betrug der Zinssatz 4 % und fiel ab 1.1.1970 auf 3,5 %. Herr R. ging am 31.12.1989 in Rente.

| x + 21 • x < 1 ?

a) Berechnen Sie das Guthaben von Herrn R. am 1.1.1990. b) Welche ewige, monatliche, vorschüssige Rente steht ihm zu, wenn jährlich anteilsmäßig mit 3 % verzinst wird? c) Welche vorschüssige, monatliche Rente kann er erhalten, damit das Kapital nach genau 20 Jahren aufgebraucht ist? 4.

Bestimmen Sie im Falle der Existenz die Grenzwerte der Folgen (aJ.neN a) a^ =

^ 9 n 2 + 15 n + 7 - 3 n ; 3.52n-l_l.5t-

k) ^ 5.

=

a) Berechnen Sie , V ^ 3 5. Q > 4*

3

+ e-n

g.g2n+2 _2*n

m

n=l *

'

V

k=3

4k+x-2k «1 3 k - i •

b) Wie groß ist die Summe aller natürlichen Zahlen, die kleiner als 1000 und durch 17 teilbar sind? 6.

Gegeben ist die Funktion f(x) =

*2 + x ~ 2 x ^2x—3

Bestimmen Sie den Definitionsbereich, und untersuchen Sie, ob sich die Funktion an den Definitionslücken stetig ergänzen läßt. Geben Sie gegebenenfalls die Ergänzung an.

66 7.

Klausur 17 Bilden Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen a)f(x) = e

8

^ ;

e

c ) f ( x ) = (x + 1)*;

8.

b) f(x) =

x

d) f(x) = sin x-cos (x 2 ).

Für die Vertriebskosten von x Mengeneinheiten einer Ware gelte 2

- — + 4x K(x) = x • e 2 _ a) Berechnen Sie die Elastizität e K (x) der Funktion K. b) Geben Sie mit Hilfe der Elastizität die näherungsweise prozentuale Änderung der Vertriebskosten an, wenn XQ = 3,5 um 4 % erhöht wird. Kfx) c) An welcher Stelle besitzt die Funktion S(x) = ^ der durchschnittlichen Vertriebskosten einen Extremwert? 9.

Bestimmen Sie für die Funktion f(x) =

3

*

den maximal möglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. Skizzieren Sie f. 10. Bestimmen Sie die Grenzwerte

B 11. Gegeben ist die reelle Funktion f(x) =

— x2 .

a) Bestimmen Sie für f(x) das Taylorpolynom 2. Grades an der Stelle Xq = 0. Berechnen Sie damit einen Näherungswert für . b) Schätzen Sie den Fehler ab, den Sie bei der Näherung in a) höchstens machen. c) Mit Hilfe des Taylorpolynoms aus a) soll ein Näherungswert A berechnet werden für das bestimmte Integral A=

J > ] 4 - x 2 dx. 0

d) Um wieviel weicht A von A höchstens ab?

Klausur 17

67

12. Berechnen Sie die Integrale

-1

0

13. Eine Produktionsfunktion P(x) besitze die Elastizität £p (x) = 3 x 3 • - J x 3 + 1 ; ferner gelte P(0) = 1. Bestimmen Sie die Funktion P(x). C 14. a) Berechnen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Funktion f(x,y) = ln(x 2 + e 2 r ) +

,y ^ 0

an der Stelle (XQ , y 0 ) = (0,1). b) Bestimmen Sie die Schnittlinie, die beim Schnitt der durch f bestimmten Fläche mit der y - z -Ebene (x 15. Gegeben sei die Funktion ix + vi 2 v2 f ( x , y ) = 1 1 Z I L + 2X + 4 L ; x , y # 0 . a ) Ist f homogen? b) Geben Sie für f die Summe der beiden partiellen Elastizitäten an. 16. Bestimmen Sie die Extremwerte von f(x, y) = 2 x + 3 y unter der Nebenbedingung x 2 + y 2 = 1.

i'\

17. Gegeben sei die Gerade g : x =1 0 I + p l 2 I, p e R und die Ebene

D

E:

x =

a) Für welche Werte a,b steht die Gerade g senkrecht auf der Ebene E? b) Schneiden sich g und E, wenn a = 1 und b = 2 gilt?

68

Klausur 17

18. Gegeben ist die Matrix

X=

(iJ)

a) Berechnen Sie das Produkt X T • X, wobei X T die Transponierte der Matrix X ist. b) Zeigen Sie, daß für die Matrix A = JT •

) gilt

19. Bestimmen Sie alle Punkte, welche die folgenden drei Ebenen gemeinsam haben: Ey

x— 7 y + z —7 = 0

E2:

2 x + 3y —z + 4 = 0

E3:

5x-

y - z + 1 = 0.

20. Ein Zweiradhändler möchte zwei neue Fahrradmarken in sein Sortiment aufnehmen. Hierfür will er insgesamt 45000 DM investieren. Die Anzahl x der Räder der Marke A soll wenigstens zwei Drittel und höchstens so groß sein wie die Anzahl y der Rader der Marke B. Ein Rad von A kostet den Händler 450 DM, eines von B 300 DM. Die Nettogewinne für A betragen 50 DM je Rad, für B je Rad 60 DM. Wie viele Rader von den beiden Marken soll der Händler einstellen, um am meisten daran zu verdienen? Wie hoch ist dieser Gewinn? Fertigen Sie eine Skizze an.

Klausur 18

69

Klausur 18 A 1.

Gegeben seien die Mengen A = { ( x , y ) e R 2 1 x 2 + y 2 < 9 und y > 0};

B = [ - 4 ; 1).

a ) Skizzieren Sie A . b ) Geben Sie die Menge A n (B x R) D (NQ X NQ) an mit NQ = N U { 0 } .

2.

Ein eifriger Sparer ließ jährlich vorschüssig 8000 D M auf sein Sparbuch einzahlen. Welche Summe steht ihm nach 14 Jahren zur Verfügung, wenn der jährliche Zinssatz zunächst 4 % betragen hat, dann nach 4 Jahren um 2 % gefallen und weitere 4 Jahre später auf 7 % angestiegen ist?

3.

Geben Sie die Lösungsmenge der Ungleichung

4.

Berechnen Sie im Falle der Existenz die Grenzwerte der Folgen

-.—^¡-r < 4 x | x — 11

( « J . N E N

a

) ^1 =

^ 3n2 + n -

Vn"

•JTn+T

b)

a„ =

gn + 2 _ ^n + l yn 5n-2 +

5.

Berechnen Sie die folgenden Summen: b)

6.

2 (-1)Dn=0

1

Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktionen a ) f ( x ) = x e • jt* ;

b) f(x) = sin (e 2 x

_ 1);

an.

70

Klausur 18

7.

Ein quaderförmiges Schwimmbassin mit quadratischer Grundfläche fasse, wenn es bis zum Rand gefüllt ist, 32 000 Liter. Wie tief ist es, wenn die Innenoberfläche minimal sein soll?

8.

Bestimmen Sie den maximal möglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten der Funktionenschar f t (x) =

*

2

; dabei sei t eine positive Konstante.

Skizzieren Sie den Graph von f t (x) für t = 1. 9.

In Abhängigkeit vom Preis p einer Ware lautet die Nachfragefunktion N(p) = e " . ( l - p ) • a) Berechnen Sie die Elastizität

(p) der zugehörigen Umsatzfunktion

anzugeben, wenn der Ausgangspreis p von 12 Geldeinheiten um 0,3 Geldeinheiten erhöht wird.

10. Berechnen Sie im Falle derExistenz die Grenzwerte

c)

B 11. Berechnen Sie folgende Integrale X

In 4

0

In 3

12. Eine Gewinnfunktion f(x) besitze die Elastizität n 2 eff (x) = — 2^ — . Bestimmen Sie die Funktion f mit f(0) = 1. w 3x + l

Klausur 18

71

13. Gegeben sei die Funktion f(x) = 3 ^lnx + 1 . a) Bestimmen Sie für f(x) das Taylorpolynom 1. Grades an der Stelle Xo = 1. b) Berechnen Sie unter Verwendung dieses Polynoms einen Näherungs_ 2 wert A für A = J 3-\| In x + 1 dx . l c) Um wieviel weicht das Taylorpolynom aus a) im Intervall [1,2] von f(x) höchstens ab? d) Um wieviel weicht A von A höchstens ab?

14. Der Ersatzwiderstand R zweier parallel geschalteter elektrischer Widerstände R j und R j berechnet sich zu R

_

Ri R-2

RJ + R2

a) Bestimmen Sie das totale Differential von R. b) Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials näherungsweise die Änderung von R, falls R 1 = 100 Q um ein Prozent fällt, während R 2 = 50 Q um 4% zunimmt. 15. a) Ist f(x, y) = ^ ^

+

homogen? Wenn ja, von welchem Grad?

b) Geben Sie eine linear homogene (r = 1) Funktion zweier Veränderlicher an. 16. Bestimmen Sie die Lage möglicher Extremwerte der Funktion f(x,y) = i x 3 + 6 y 2 - x y unter der Bedingung x + 2y = i S .

17. Geben Sie sämtliche Lösungen des folgenden Gleichungssystems an: 2 xx — 4 x2 + 2 x 3 — 2 x 4 =

4

— 4 xx + 6 x2 — 2 x 3 + 6 x 4 =

2

2 Xj — 2 x 2

— 4 x4 = — 6 .

Klausur 18

72 0 0 - 1 18. Gegeben sei die Matrix A = I O l 0 V —i o o a) Bestimmen Sie A

1

.

b) Berechnen Sie A 5 . (Verwenden Sie dabei das Ergebnis aus a)!). 19. Die Ebene E enthält den Punkt (1,0,2) und wird von den Richtungsvektoren aufgespannt. a) Bestimmen Sie a so, daB diese beiden Richtungsvektoren orthogonal sind. b) Geben Sie E in einer Parameterform an. c) Für welchen Wert b schneidet die Gerade

die Ebene mit der Gleichung 2 x —y — 2 z + 2 = 0 nicht? 20. Ein Damenschneider will in sein Angebot eine Kollektion aus zwei Modellen, einem Kostüm und einem Abendkleid, aufnehmen. Für das Zuschneiden möchte er insgesamt maximal 120 Stunden, für das Fertigstellen höchstens 160 Stunden aufwenden. Pro Kostüm braucht er 2 h für den Zuschnitt und 5 h für die Fertigstellung; jedes Abendkleid benötigt 4 h für den Zuschnitt und 3 h für die Fertigung. Sein Reingewinn beträgt 400 DM für ein Kostüm und 600 DM pro Abendkleid. a) Stellen Sie obige Restriktionen als Ungleichungen dar. b) Skizzieren Sie den Bereich möglicher Herstellungskombinationen. c) Berechnen Sie den Gewinn für sämtliche Eckpunkte des zulässigen Bereichs. d) Bei welcher Kombination ist dieser Gewinn am größten?

73

Klausur 19

Klausur 19 A 1.

Gegeben sind die Mengen A = { ( x , y ) € R21 y > — x 2 + 5 x — 4; y > 0}, B = [ 1 ; 4 ] und C = [ 0 ; 2 , 5 ] . a ) Skizzieren Sie B x C . b ) Skizzieren Sie A . c) Geben Sie die Elemente von D = ( A fl (B x C ) ) n (N x IM) an.

2.

Für welche reellen Zahlen x € R gilt 4 < x - | x + 2 | + x

?

3.

Eine Stadt will anläßlich ihrer jährlich stattfindenden Touristik-Messe ein Werbepräsent verlosen. Im ersten Jahr kostet sie dieses Präsent 100 DM; von Jahr zu Jahr erhöht sich der Vorjahrespreis um 5 % plus 1 DM. a ) Bei welchem Preis K 3 ist man im 3. Jahr angelangt? b ) Welcher Preis K n ergibt sich für das n-te Jahr? c) Welche Summe S 3 hat die Stadt innerhalb von 3 Jahren insgesamt für dieses Präsent aufgewendet? d ) Welche Ausgaben S n ergeben sich insgesamt für einen Zeitraum von n Jahren?

4.

Berechnen Sie im Falle der Existenz 3

a)

e)

5.

lim ( l + i y . - i - j ; 11 t i n—»oo v ' y

b)

3n-n-^7na + n - l lim—j , n—»oo n — n • N n — 1 + 2

3k ~ 1 — 2k

Gegeben ist die durch a n + 1 = Folge.

+

a j = 4 für n = l , 2 , . . . definierte

a ) Zeigen Sie, daß die Folge nach unten beschränkt ist. b ) Zeigen Sie, daß die Folge monoton fallend ist. c ) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge.

74 6.

Klausur 19 Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktionen a) f(x) = In [ (x 4 + 3) • x 3 ]; c

7.

)

( ) = £

f x

n=0

b) f(x) =

;

sin (nx") .

1 Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) = x • (x 3 — x + 5) 3, x > 0. Kfx) a) An welcher Stelle x nimmt die Stückkostenfunktion S(x) = ^ ein Extremum an? b) Bestimmen Sie die Elastizität e s (x) der Stückkostenfunktion . c) Xq = 5 werde um 10 % erhöht. Berechnen Sie mit Hilfe der Elastizität näherungsweise die prozentuale Änderung der Stückkosten. d) Berechnen Sie mit Hilfe der Elastizität e s (x) der Stückkostenfunktion die Elastizität (x) der Kostenfunktion K(x).

8.

Gegeben sei die Funktionenschar + 1 mit jeweils festem t e R. f t (x) = x—pr~ a) Bestimmen Sie den maximal möglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten von f t (x). b) Skizzieren Sie den Graph von f t für t = 2.

9.

Einem Kreis mit dem Radius 1 wird ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite 2 a einbeschrieben, dessen Höhe h = 1 + ^ 1 — a 2 ist. a) Berechnen Sie den Fächeninhalt F(a) des Dreiecks. b) Für welchen Wert a M ist der Flächeninhalt maximal?

10. Gegeben sei die Funktion fix) = - ¡ = L = . a) Berechnen Sie das Taylorpolynom T 2 (x) zweiten Grades von f(x) um die Entwicklungsstelle Xq = 0. b) Bestimmen Sie damit einen Näherungswert für

.

c) Wie groß ist der Fehler höchstens, der bei der Näherung in b) gemacht wird?

Klausur 19

75

11. Bestimmen Sie die Grenzwerte a) c)

lim n X ~ 1 ; x-+l 2 - N O - x

b)

lim cos3x-cos2x . _o x

x

lim (sinx)*. x-»0

2

12. a) Berechnen Sie A = f s i n x c ? s x d x . ' J 1 + sin x 0 b) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, den der Graph der Funktion f(x) = ln^ jQ im Intervall [1 ;4] mit der x-Achse einschließt. 13. Eine Funktion f(x) besitze die Elastizität e f (x) =

[f(x)]3, x ^ 0

und den Funktionswert f(l) = 1. Bestimmen Sie die Funktion f(x). C 14. Bestimmen Sie die Tangentialebene T 1 (x, y) der Funktion f(x, y) = x 2 • In y + e -

x y

an der Stelle (xq, y 0 ) = (0,1). 15. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = x 2 + y 2 . a) Berechnen Sie die partiellen Elastizitäten e{< x (x, y) und e f

(x, y).

b) Bestimmen Sie die Summe der partiellen Elastizitäten und geben Sie eine Begründung für das erhaltene Ergebnis an. 16. Bestimmen Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte der Funktion f(x> y) = ( * + y) •«

x+iv2

•

17. Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f(x, y,z) = x + 2y + 3z unter den Nebenbedingungen

z—x—y = 1

und

y + z 2 = 9.

Klausur 19

76 D 18. a) Gegeben ist die Gerade g: x =

, AeR.

Geben Sie ein Gerade h an, die g schneidet und auf g senkrecht steht. b) Berechnen Sie die Inverse der Matrix A =

19. Für welche Parameterwerte a ist das Gleichungssystem x - 2y +

z =

4

z =

0

- x + 2y + 2z =

-1

2 x — 4 y + 5z =

a

2x +

y -

losbar? Geben Sie alle Lösungen an. 20. Um in den Genuß der Prämien für Flächenstillegung in der Landwirtschaft zu kommen, beschließt ein Agronom, x ha Wiesenland und y ha Ackerland, insgesamt aber höchstens 90 ha, brachliegen zu lassen. Aus betrieblichen Gründen sollen höchstens 35 ha Wiese darunter sein. Darüber hinaus darf die brachliegende Ackerfläche höchstens doppelt so groß sein wie die Wiesenfläche. a) Stellen Sie das entsprechende Ungleichungssystem auf und fertigen Sie ein Skizze an. b) Für 1 ha Wiese bekommt der Landwirt 300 DM, für 1 ha Ackerland 450 DM Prämie im Jahr. Geben Sie die Zielfunktion an. Berechnen Sie die Flächen, welche die größte Prämie insgesamt ergeben. Wie hoch ist diese?

77

Klausur 20

Klausur 20 A 1.

Gegeben sind die Mengen A = {(x,y) e R 2 | x 2 + y 2 < 1; y < 0};

B = {(x,y) e R 2 | y > 2x - 1}.

a) Skizzieren Sie A und B. b) Stellen Sie A \ B dar. c) Geben Sie (Z x Z) n A an. x - 2 > | x 2 - 161 ?

2.

Für welche x e R gilt

3.

In 25 m Tiefe beträgt die Temperatur der Erde 10° C. Messungen haben ergeben, daß die Erdtemperatur ab dieser Tiefe um einen konstanten Wert je m zunimmt. a) Welche Zunahme z pro Meter ergibt sich demnach, wenn in 89 m Tiefe die Erdtemperatur 12° C beträgt? b) In welcher Tiefe t findet man 210° C vor? c) Welche Temperatur T erwartet man in 10 km Tiefe?

4.

Wie lange dauert es, bis ein Kapital von 100 DM auf 100000 DM anwächst, wenn der Jahreszins in den ersten 15 Jahren 6 % beträgt, danach aber nur noch 5,5 %?

5.

Berechnen Sie im Falle der Existenz die Grenzwerte der Folgen (aJ.neN

6.

Berechnen Sie

78 7.

Klausur 20 Bilden Sie jeweils die erste Ableitung der Funktionen a)f(x) = c) f(x) =

ln(eX

-2C~X); x

Sin(3

co

X

s:

27r)

b) f(x) = d) f(x) = ^ e - ( » +

b

);alb€R.

8.

Einem Kegel mit dem Radius r = 15 cm und der Höhe h = 30 cm soll ein Zylinder mit größtmöglichem Volumen einbeschrieben werden. Berechnen Sie Radius R und Höhe H dieses Zylinders.

9.

Gegeben sei die Funktionenschar f t (x) =

mit jeweils festem t > 0.

a) Bestimmen Sie den maximal möglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. b) Skizzieren Sie den Graph von f t (x) für t = 1. 10. Berechnen Sie die Grenzwerte . l n ( e 2 x + 4x) a) lim —-—x 5 x—»0 sin(a-x) c) lim ^ — , € R. x—»0 B

. x

->°°

, k x • ln(l — ^ J 5

l

2

11. Gesucht ist das bestimmte Integral A = J In (1 — x )dx. 0 a) Bestimmen Sie von der Funktion f(x) = l n ( l - x 2 ) ; x e [ 0 ; i ] das Taylorpolynom T 2 (x) zweiten Grades an der Entwicklungsstelle xo = 0. b) Geben Sie für 0 < x < ^ eine Abschätzung für das Restglied an. c) Berechnen Sie mit dem Taylorpolynom aus a) einen Näherungswert A für das Integral A. d) Bestimmen Sie den maximalen Fehler, der bei dieser Näherung gemacht wird.

Klausur 20

79 x

2

12. a) Zur Berechnung von A = J l n ( 1 - x )dx soll die Funktion 0 f(x) = In (1 — x 2 ) durch g(x) = — x 2 angenähert werden. Berechnen Sie den exakten Fehler, der hierbei gemacht wird, also l F = | J (f(x)-g(x))dx|. 0 Hinweis: Es gilt In (1 - x 2 ) = In ( 1 + x) + In (1 - x) . £ 4

b) Berechnen Sie

| -^^-dx. J COS X

13. Für die Elastizität einer Funktion f(x), x > 1 mit f(e 2 ) = 2 gelte c f (x) =

\ , . [f(x)J

Bestimmen Sie f(x).

C 14. Gegeben sei die Funktion

f(x, y) = x 2 • In y + e ~ x y .

Geben Sie das totale Differential df an. 15. Gegeben ist die Funktion f(x, y) = ^ x 2 + x y + y 2 . a) Berechnen Sie die partiellen Elastizitäten £ i x ( x , y ) und e { y ( x , y ) . b) Ist f homogen? c) Wie groß ist die Summe S der partiellen Elastizitäten?

16. Bestimmen Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte der Funktion f ( x , y ) = >|l + x - y . 17. Gesucht sind die Extremwerte der Funktion f(x, y) = x + y unter der Nebenbedingung

j + y = 1.

Klausur 20

80 D 18. Gegeben sei die Ebene E: x =

Geben Sie eine Gerade g an, die auf E senkrecht steht und durch den Schnittpunkt der beiden Geraden h:

x =

und

5 + H - 1

k:

x =

+v-

1

geht.

19. Für welche Parameter werte a hat das Gleichungssystem x

- 25 z =

3

x + 2y — 3 z =

a

- x

2

+ a z = 2-a

keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen ? Bestimmen Sie diese Lösungen.

20. Eine Lederverarbeitungsfirma stellt Schulranzen und Einkaufstaschen aus demselben Rohmaterial her. Um die Maschinen sinnvoll auszunutzen, müssen hiervon mindestens 18 m 2 pro Woche verarbeitet werden. Außerdem ist zu berücksichtigen, daB dem Betrieb 40 Arbeitsstunden in der Woche zur Verfügung stehen. Weiterhin wird für einen Ranzen dreimal soviel Rohmaterial wie für eine Tasche, zu deren Herstellung 0,6 m 2 benötigt werden, verbraucht. Die Herstellung einer Tasche dauert 1 Stunde, die eines Ranzens 5 Stunden. Es ist davon auszugehen, daß mindestens 2 Ranzen in der Woche verkauft werden. a) Stellen Sie das Ungleichungssystem auf und skizzieren sie den Bereich der möglichen Herstellungsmengen. b) Ermitteln Sie den maximalen Umsatz, wenn ein Ranzen 60 DM und eine Tasche 7 DM kosten soll. Geben Sie dazu die Zielfunktion an. (Graphische und rechnerische Lösung).

81

Klausur 21

Klausur 21 A 1.

Gegeben seien die Mengen A = {(x, y) e R 2 | x 2 + y 2 + 2 < 6} und B = [ — 4; 4] x [ - 4; 4] . a) Skizzieren Sie A und B . b) Skizzieren Sie A D B . c) Geben Sie die Elemente von A f l ( N x N ) an.

2.

Ein Unternehmen hat einem Mitarbeiter 7 Jahre lang vierteljährlich 5 000 DM nachschfissig als Prämie zu zahlen. Mit welchem einmaligen Betrag muß das Unternehmen den Mitarbeiter jetzt abfinden bei 5 % Zinsen jährlich?

3.

Für welche x e R gilt °

4.

a) Zeigen Sie, daß die Folge a n = cos (njr) nicht konvergiert. Hinweis: Verwenden Sie eine einfachere Darstellung für ajj.

< x ? x—2—

b) Berechnen Sie mit Hufe von a) c) Berechnen Sie

0oo 0

^

n=0

5.

,

n=3 e

«jn^— > 2°

2n-e3n pe 4n

Gegeben sei eine rekursiv definierte Folge (a^), n g N mit a n + i = K - 2 ) 2 + 2; a 1 = 2 , 5 . a) Zeigen Sie, daß für alle n e N gilt: 2 < a^ < 3 . b) Beweisen Sie, daß diese Folge monoton fallend ist. c) Berechnen Sie den Grenzwert g.

6.

Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung folgender Funktionen a c

)f(

x

)

) f(x)=

= §

p^f;

2na ^ x (In x)

b

) fW=xtax;

d

) f(x) = ^ • cos(x 2 )• e " x .

Klausur 21

82 7.

Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) =

x 4 (x + 2 x 2 ) .

a) Geben Sie die Stückkostenfunktion S(x) und ihre 1. Ableitung S'(x) in möglichst einfacher Form an. b) Bestimmen Sie die Elastizität £§(x) der Stückkosten. c) Die Einsatzmenge XQ = 6 werde um 50 % erhöht. Berechnen Sie näherungsweise die prozentuale Änderung der StCckkosten.

8.

Ein quaderförmiger Behälter mit quadratischer Grundfläche ist oben offen. Seine Innenoberfläche beträgt 20 m 2 . Bei welcher Grundseitenlänge a und welcher Höhe h ist das Volumen des Behälters maximal?

9.

Gegeben sei die Funktionenschar f,(x) = 1 — tv x +2t

mit t > 0.

a) Bestimmen Sie den maximal möglichen Definitionsbereich von f t , die Nullstellen, Ableitungen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten von f t . b) Skizzieren Sie den Graph von f t für t = 1.

10. Berechnen Sie folgende Grenzwerte: . a)

c)

B

ex

x™ lim

x—-2

2-3x

+2 _

2

1

(x — 1) • (x — 2) '

b)

L1^

—

x2 + 2 x + 3 + 3x + 10

X

3

2

11. Gesucht ist ein Näherungswert für F = J x* dx . l a) Entwickeln Sie die Funktion f(x) = x* in ein Taylorpolynom T x (x) ersten Grades um XQ = 1 . b) Führen Sie zu a) eine Restgliedabschätzung durch. 3 2

c) Berechnen Sie den Näherungswert F = J T j ( x ) dx . l d) Schätzen Sie den Fehler | F — F | nach oben ab.

83

Klausur 21 12. Berechnen Sie folgende Integrale: W 2

e

a)

fx2.(lnx)2dx; J l

b) f 8sinx-cosx d x J sin x — cos x 3

13. Bei welcher Funktion f(x) mit dem Definitionsbereiche D = ( 0 ; oo) und dem Funktionswert f(4) = ^ gilt für die Elastizität £f

(x)=-I.x2.(f(x))4?

C 14. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = 3-J x 4 — y 4 . a) Bestimmen Sie die partiellen Elastizitäten. b) Berechnen Sie die Summe der partiellen Elastizitäten. c) Ist f(x, y) homogen? Wenn ja, von welchem Grad?

D 15. Welcher Punkt Q, der in den beiden Ebenen E j : x — 3 y — 2z = E 2 : 2 x + y + 3z =

2 -3

liegt, hat vom Punkt P(1; 1; — 1) den kürzesten Abstand? Hinweis: Benutzen Sie die Lagrange-Funktion zur Bestimmung von Extremwerten unter 2 Nebenbedingungen!

16. Gegeben seien die zwei Ebenen x+y + z = 1 x —y—2z = 1 . a) Berechnen Sie die Schnittgerade h dieser Ebenen. b) Steht

g : x = [ 1 | + A-j 1 J , A e R senkrecht auf h ? W

V W

c) Geben Sie die Ebene an, die senkrecht auf g steht und h enthält.

Klausur 21

84

17. Ein Betrieb stellt aus 3 Rohstoffen (R ; ) über 3 Zwischenprodukte (Zj) 3 Endprodukte (E^) her. Der Materialverbrauch zur Herstellung einer Einheit der entsprechenden Produkte ist folgenden Tabellen zu entnehmen: Z2 Z3 Ri R* Zi Zi

l

0

3

Ei

2

3

4

Z2

4

2

2

E2

1

1

3

Z3

3

1

2

E3

0

2

1

Geben Sie eine Tabelle an, die den Rohstoffverbrauch für die Endprodukte E j , E 2 und E 3 angibt. 18. Für welche a, b, c, d € R gilt:

19. Gegeben sei das Gleichungssystem x+ y + 2z = -2 3x + 4y + 5z = —5 x + 2y + (a 2 + 3 a + 2)z = a 2 - 2 a - 3 . Für welche Werte von a 6 R hat das Gleichungssystem a) keine Lösung? c) Unendlich viele Lösungen?

b) Genau eine Lösung? Die Lösungen sind nicht anzugeben!

20. Es sind 57 ha mit Kartoffeln und Getreide zu bebauen. Für den Getreideanbau eignen sich jedoch höchsten 40 ha. Der Arbeitsaufwand betrage für den Kartoffelanbau 0,8 Tage/ha, für den Getreideanbau 0,2 Tage/ha. Es stehen 3 Arbeiter zu je 8 Arbeitstagen zur Verfügung. a) Stellen Sie das entsprechende Ungleichungssystem auf und fertigen Sie eine Skizze an. b) Der Ertrag pro Hektar Kartoffeln wird in diesem Jahr auf 20 t geschätzt. Der Absatzpreis für die unbegrenzt absetzbaren Kartoffeln betrage 50 DM/t. Die variablen Kosten für den Kartoffelanbau (Saatkosten etc.) belaufen sich auf 200 DM/ha. Für Getreide wird mit einem Hektar-Bruttogewinn von 400 DM/ha gerechnet. (Von fixen Kosten wird abgesehen.) Geben Sie eine Zielfunktion an und berechnen Sie die Flächenaufteilung, die insgesamt den größten Gewinn ergibt. Wie hoch ist dieser?

Klausur 22

85

Klausur 22 A 1.

Gegeben seien die Mengen A = { ( x , y ) e R 2 | 2 x 2 + 2y 2 < 18; y > 0 } ; B = { ( x , y ) € R21 y < 4 — 2x u n d y < 4 + 2 x } . a) Skizzieren Sie A und B. b) Skizzieren Sie A D B. c) Geben Sie die Elemente von ( A n B ) n ( N x N ) an.

2.

Für welche reellen Zahlen x e R gilt

3.

Ein Unternehmen hat einem Mitarbeiter 5 Jahre lang halbjährlich 6000 DM nachschüssig als Prämie zu zahlen. Mit welchem einmaligen Betrag B soll das Unternehmen den Mitarbeiter jetzt abfinden bei einem jährlichen Zinssatz von 7 % ?

4.

Berechnen Sie

x — < -,—^-r, x ^ 1 ? | x — 11

a

5.

Gegeben sei die rekursiv definierte Folge (a n ), n = 1,2,...

an+l =>J 5 a n- 4 5 a l = 2" a) Zeigen Sie, daß für alle n e N gilt: 1 < a n < 4. b) Beweisen Sie, daß die Folge monoton wachsend ist. c) Berechnen Sie den Grenzwert a der Folge. 6.

Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktionen a) f(x) = (x + l ) 3 . l n ( s i n f ) ;

b) f(x)

=

c) f(x) = (In x ) x ;

d) f(x) =

4cosx.

Klausur 22

86 7.

Bei einem Preis x j e Mengeneinheit lassen sich von einer Ware f

W=

Mengeneinheiten (ME) absetzen. a) Geben Sie die Umsatzfunktion U(x) und ihre erste Ableitung U '(x) in möglichst einfacher Form an. b) Bestimmen Sie die Elastizität e u (x) der Umsatzfunktion. c) Die Einsatzmenge Xq = 5 werde um 8 % erhöht. Berechnen Sie mit Hilfe von b) näherunsgweise die prozentuale Änderung des Umsatzes U. d) Berechnen Sie aus der Elastizität e y (x) der Umsatzfunktion U(x) die Elastizität e f (x) der obigen Mengenfunktion f(x). 8.

Bestimmen Sie für die Funktion , xeR x den maximal möglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. Skizzieren Sie f. f(x) =

9.

Ein Schwimmbad hat die Form eines oben offenen Zylinders. Das Volumen beträgt 20 x m 3 . Bei welchem Radius r und welcher Höhe h ist die Innenoberfläche minimal?

10. Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f(x) = — | + x + ln^x". a) Entwickeln Sie f(x) in ein Taylorpolynom 2. Grades um XQ = 1. b) Berechnen Sie die Nullstellen des Taylorpolynoms. c) Um wieviel weicht die Funktion f(x) an der kleineren Nullstelle aus b) von 0 höchstens ab? 11. Berechnen Sie die Grenzwerte a)

c)

lim

>|2x —TT

lim (1 — cosx)*

x—*0

b) ;

Hm

x—>0

e

(*-l>(«-2>-e3; sin(x + | )

Klausur 22

87

B 12. a) Berechnen Sie die Fläche, die der Graph der Funktion x t(„\ — —1 f(x) = e„x — „2x e — mit der x-Achse zwischen x = 0 und x = 2 einschließt. e

b) Berechnen Sie das bestimmte Integral J l

• (In x) dx .

13. Welche Funktion mit dem Definitionsbereich D = {x e R | x > 1}, dem Wertebereich W = { y € R | y > 0 } und dem Funktionswert f(l) = 4 besitzt die Elastizität

C 14. Gegeben sei die Funktion a) Bestimmen Sie die partiellen Elastizitäten. b) Ist f(x, y) homogen? Wenn ja, von welchem Grad?

15. Ein kleines Werkstück hat die Form eines Zylinders mit dem Radius r und der Hohe h mit einem speziell aufgesetzten Kegel, dessen Radius gleich seiner Höhe ist. Das Volumen beträgt dann

V = x r2 h + j v i3.

Durch ungenaues Einstellen der Maschine vergrößerten sich sowohl der Radius als auch die Höhe des Werkstückes um 10%. Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials näherungsweise die prozentuale Änderung des Volumens. 16. Bestimmen Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte der Funktion f(x,y) = l x 2 + i y

2

- | x y - i x + y + 7.

Klausur 22

88 D 17. Für welche a, b, c e R sind die 3 Vektoren

paarweise senkrecht?

18. Ist das folgende lineare Gleichungssystem lösbar? Wenn ja, geben Sie die Lösungen an! x + 2x

y +

z = 3

+ 2y +

z = 4

3x + 3y — z = 0 . 19. Für welche a e R existiert die Inverse A - l

/ der Matrix

A =

1 -a —a 0

0 1 —a

-a

1

/

Berechnen Sie im Falle der Existenz die Matrix A - 1 20. Ein Tankwart kauft bei einer Raffinerie Normal- und Superbenzin. Die Mindestabnahmemenge für Normalbenzin beträgt 1500 1, die für Super 1000 I. Die maximale Lagerkapazität für Superbenzin beträgt 8000 1 . Der Anteil von Superbenzin muß mindestens 25% betragen. Die Einkaufspreise für Normal- bzw. Superbenzin sind 0,84 DM bzw. 0,98 DM pro Liter, die Verkaufspreise dagegen 1,20 DM und 1,30 DM. Der Tankwart möchte höchstens 11200 DM ausgeben. a) Stellen Sie das entsprechende Ungleichungssystem auf und fertigen Sie eine Skizze an. b) Geben Sie eine Zielfunktion zur Bestimmung des maximalen Gewinns an. Berechnen Sie die Einkaufsmengen von Normal- und Superbenzin, die zu diesem maximalen Gewinn fuhren und berechnen Sie diesen ebenfalls.

Klausur 23

89

Klausur 23 A 1.

Gegeben sind die Mengen A = {(x,y) e R x R | x 2 + y 2
|x|};

C = {(x,y) e R x R | y < 3 , x e R } . b) Skizzieren Sie A 0 B fl C .

a) Skizzieren Sie B .

c) Geben Sie die Elemente von D = (AnB)D(NxN) an. 2.

Für welche x 6 R gilt

1 , < 2 ? 1—x

3.

Ein Sparer zahlt zu Beginn eines Jahres 6000 DM auf ein Sparkonto ein. In den folgenden 3 Jahren zahlt er jeweils zu Jahresbeginn die Hälfte der Einzahlung des Vorjahres ein. Anschließend erfolgen keine Einzahlungen mehr. Die Verzinsung erfolgt jährlich mit p = 4%. a) Berechnen Sie das Guthaben K s am Ende des 5. Jahres. b) Nach wieviel Jahren beträgt das Guthaben 100000 DM ?

4.

a) Zeigen Sie, daS die Folge a^ = sin ^ir(n + g

, n = 1,2,...

nicht

konvergiert. Geben Sie dazu eine einfachere Darstellung für ajj an. b) Berechnen Sie

j j

v

n=l

5.

1

_2

;

und

J j

^

n=2

Gegeben sei eine rekursiv definierte Folge a n durch =

1

~ T+^2«^

5 a

i =

L

a) Zeigen Sie, daß für alle n € N gilt: ^ < »n« b) Beweisen Sie, daß die Folge monoton fallt. c) Berechnen Sie den Grenzwert a der Folge. 6.

Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung folgender Funktionen : a) f ( x ) = < T T n T ; c) f(x) = x • In (In x);

b) f(x) = e ( x _ X ) ; d) f(x) = - y ^ x •

.

90

Klausur 23

7.

Bei einem Preis x je Produktionseinheit läßt sich von einer Ware die Menge f(x) =

4x

NX

absetzen.

a) Bestimmen Sie die Elastizität t u (x) der Umsatzfunktion U(x) = x-f(x) . b) Der Preis XQ = ^ werde um 3 % erhöht. Berechnen Sie näherungsweise die prozentuale Änderung des Umsatzes. c) Bestimmen Sie aus der Elastizität £y(x) der Umsatzfunktion U(x) die Elastizität (x) der obigen Funktion f(x). 8.

Gegeben sei die Kurvenschar f*(x) = 1

(x + t) 2

; t > 0.

a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten von ff. . b) Skizzieren Sie den Graph von fj. für t = 1 .

9.

Dem endlichen Flächenstück, das der Graph der Funktion f(x) = 4 — x 2 mit der x-Achse einschließt, soll ein Rechteck mit größtmöglichem Umfang einbeschrieben werden. Berechnen Sie die beiden Seitenlängen und den Umfang dieses Rechtecks.

10. a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T 2 (x) 2. Grades der Funktion f(x) = (cos x) 2 an der Stelle XQ = ^ . b) Geben Sie mit T 2 (x) einen Näherungswert für ^cos ^ ^

an.

c) Schätzen Sie den Fehler ab, der bei der Näherung in Aufgabe b) entsteht. 11. Berechnen Sie folgende Grenzwerte: .) c)

lim ^ x + 1 ~ C0S X ; x—»0 x-sinx + x lim x—>0

x0 2 > .

b)

lim f x—>ln2 \

_

—

e2x-4

V

Klausur 23

91

B 12. Berechnen Sie die folgenden Integrale jr 2

e+1

a) | 2 c o s x • a) Ö

sin x d x ;

b)

J ( x —1) • l n ( x — 1 ) d x .

"2

13. Für welche Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D = (— oo; 1) und dem Funktionswert £ f (x)

j = 2 lautet die Elastizität

2

= i.(f(x)) ?

C 14. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = y 2 • ^x". Ermitteln Sie mit Hilfe des totalen Differentials näherungsweise die prozentuale Änderung von f, wenn x um 4 % erhöht und y um 3 % verringert wird. X

15. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = x • e y + y . a) Bestimmen Sie die partiellen Elastizitäten. b) Ist f(x, y) homogen? Wenn ja, von welchem Grad? 16. Gegeben sei die Funktion f(x, y, z) = e x

2 +, y2 +, z2

.

Bestimmen Sie die Extremwerte unter den Nebenbedingungen y = 1 + x und y + z = 5 .

D

,

17. a) Gegeben seien die Vektoren a = |

..

,_2,

4 | und b = |

•ii)

3

Geben Sie einen Vektor c an, der zu a und b senkrecht ist und die Länge 1 hat. /1\ b) Gegeben seien die Vektoren a = I 4 I und b = | Gibt es Werte x und y, so daß a und b parallel sind? Berechnen Sie diese gegebenenfalls.

Klausur 23

92 18. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem x

l

"2x3 =

1

- 2 x a + t x 2 + x3 = 7 X2-2X3 = 1 ,teR\{0}. Für welche Werte von t hat das System a) keine Lösung,

b) genau eine Lösung,

c) unendlich viele Lösungen? Geben Sie die Lösungen an. 19. Gegeben sind die Matrizen

Berechnen Sie A • B und C

1

.

20. Zur Herstellung eines Produktes stehen einer Firma maximal 7 festangestellte Mitarbeiter und maximal 10 Aushilfskräfte zur Verfügung. Die festangestellten Mitarbeiter stellen 30 StGck, die Aushilfskräfte 20 Stück pro Stunde her, wobei die festangestellten Mitarbeiter 10% und die Aushilfskräfte 20 % unverkäufliche Artikel (Ausschuß) produzieren. Pro Stunde sollen mindestens 180 Stück (einschließlich der unverkäuflichen) produziert werden. Jeder unverkäufliche Artikel verursacht Kosten in Höhe von 5 DM. Der Stundenlohn für die festangestellten Mitarbeiter beträgt 15 DM, derjenige für die Aushilfskräfte 10 DM. a) Welche Kosten entstehen der Firma pro Stunde für einen festangestellten Mitarbeiter und welche für eine Aushilfskraft? b) Stellen Sie die Zielfunktion auf, welche die Gesamtkosten der Firma pro Stunde angibt, falls x festangestellte Mitarbeiter und y Aushilfskräfte beschäftigt werden. c) Stellen Sie das dazugehörige Ungleichungssystem auf. d) Wie viele festangestellte Mitarbeiter und wie viele Aushilfskräfte soll die Firma beschäftigen, wenn sie ihre Kosten möglichst gering halten will?

Klausur 24

93

Klausur 24 A 1.

Gegeben seien die Mengen A = { ( x , y ) e R x R | — |x | > y}; B = {(x,y) e R x R | 4 > x 2 + y 2 } ; C = (x,y) e R x R | | x | < l } . a) Skizzieren Sie A.

b) Skizzieren Sie A fl B fl C .

c) Skizzieren Sie B \ C . d) Geben Sie die Elemente von

D = (A fl B fl C) D (Z x Z) an.

2.

Für welche x e R gilt

3.

Zu Beginn eines Jahies werden auf ein Sparkonto 4 000 DM eingezahlt. In den folgenden 9 Jahren werden jeweils zu Jahresbeginn 2000 DM eingezahlt. Anschließend erfolgen keine weiteren Einzahlungen mehr. Die Verzinsung erfolgt jährlich mit 3 %. a) Wie hoch ist das Guthaben K 1 2 am Ende des 12. Jahres? b) Nach wieviel vollen Jahren beträgt das Guthaben erstmals mehr als 75000 DM?

4.

Ein Pflanzenbestand umfafit anfangs 500 m 2 Fläche. In den folgenden Winterperioden sterben jeweils 20% der vorhandenen Fläche ab, als Ausgleich werden jedes Frühjahr 60 m 2 neu bepflanzt. a) Wie hängt der Pflanzenbestand a a nach der n-ten Neupflanzung von derjenigen des Vorjahres ab? b) Zeigen Sie, daß diese Folge monoton fallend und beschränkt ist. c) Berechnen Sie den Grenzwert a dieser Folge.

5.

Berechnen Sie

94 6.

Klausur 24 Gegeben sei die Funktion

f(x) =

* ln 5y . e —5e

a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f. b) Wo ist f stetig? c) Ist f an der Definitionslücke stetig ergänzbar?

7.

Geben Sie jeweils die erste Ableitung folgender Funktionen an: a)

f(x) = —k— , k e N ;

b) f(x) = > [ r ^ T - l n x ;

COS X

c)

f(x)= e ^ ;

d) f(x) =

ln(5-(x-2)20).

8.

Dem endlichen Flächenstück, das der Graph der Funktion f(x) = x 2 — 9 mit der x-Achse einschließt, wird ein Rechteck (siehe Skizze) einbeschrieben. Bestimmen Sie die Länge 1 und Breite b des Rechtecks, dessen Diagonale d am kleinsten ist. (Hinweis: Betrachten Sie das Extremwertproblem für das Quadrat der Diagonalen.)

9.

Gegeben sei die Kurvenschar fj.(x) = (— 21 + ln x) • ln x

mit t G R .

a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten von f^. b) Skizzieren Sie den Graph von fj. für t = 0,5 .

10. Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f(x)=x2 + 2 x - ^ + ln(x+l),

x > - l .

a) Bestimmen Sie für f(x) das Taylorpolynom 2. Grades um XQ = 0 . b) Berechnen Sie die Nullstellen des Taylorpolynoms. c) Um wieviel weicht f an der im Definitionsbereich liegenden Nullstelle aus b) von 0 höchstens ab?

Klausur 24

95

11. Berechnen Sie folgende Grenzwerte: > | x - 2 - i1 x a)

c)

lim

x—>3

i n in^x-^j

b

lim

)

x_in»

i er ^ -fa '

a > 0

'

lim x s x—>0

B 12. Berechnen Sie die Integrale

0

| (x + l ) -• ssin i 2x dx TT 2

13. Für welche Funktion f(x) mit f (1) = ^2 gilt für die Elastizität

c 14. Gegeben sei die Funktion

f(x, y) = x 2 • In y .

a) Bestimmen Sie die partiellen Elastizitäten. (Fassen Sie diese soweit wie möglich zusammen!) b) Ist f(x, y) homogen? Wenn ja, von welchem Grad? 15. Berechnen Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte der Funktion f(x,y)= - 3 ( y + l)2 + ^

+ (y + l ) 3 ;

y ^ - 2 .

16. Gegeben sei die Funktion f(x,y) = x 2 . 4 7 + 1 + i l - ( 1 - a H T ) 3 ; x

x,y>0.

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene T(x, y) an f(x, y) an der Stelle (1; 9 ) .

Klausur 24

96 D 17. Gegeben sei die Ebene E: x =

v-

a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E. b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, die durch den Punkt P(4, — 6,7) geht und auf E senkrecht steht.

18. Gegeben sind die Matrizen

a) Welche der Matrizenprodukte A • B, A • C, B • C, B • A, C • A und C • B sind ausführbar? Hierbei ist keine Berechnung erforderlich! b) Berechnen Sie allgemein in Abhängigkeit vom Parameter b die Inverse B ~ 1 . Für welchen Wert b existiert diese nicht?

19. Für welches a e R hat das lineare Gleichungssystem x

l + x2

—

2 Xj — x 2

x

3

=

+ 4 x3 =

^ 2

2

3 Xj + x 2 + (2 a — 1) x 3 = a + 7 unendlich viele Lösungen? Geben Sie die Lösungen an. 20. Aus Himbeeren und Brombeeren soll eine Marmeladenmischung hergestellt werden. Dabei können höchstens 10 kg Himbeeren und 8 kg Brombeeren verarbeitet werden. Die gesamte zu verarbeitende Menge darf 12 kg nicht überschreiten. Außerdem soll der Anteil von Brombeeren an der Gesamtmenge mindestens 20% betragen. Beim anschließenden Verkauf beträgt der Gewinn 1,50 DM je Kilogramm verwendeter Himbeeren und 1 DM je Kilogramm verwendeter Brombeeren. a) Stellen Sie das dazugehörige Ungleichungssystem auf. b) Ermitteln Sie die Zielfunktion z, welche den Gesamtgewinn beim Verkauf der Marmelade angibt. c) Bei welchen Einsatzmengen für Him- und Brombeeren wird dieser Gesamtgewinn maximal?

Klausur 25

97

Klausur 25 A 1.

Gegeben seien die Mengen A = { ( x , y ) e R x R | x2 + y 2 < 2 5 } ; B = {(x,y)eRxR | 0 < y + x < 6 } ;

C = [0; 5) x [0;4).

a) Skizzieren Sie B . b) Skizzieren Sie die Menge A fl (B \ C) . c) Geben Sie die Menge ((A \ B) i~l C) fl (N x N) an. V2

2.

Für welche x e R gilt - — £ ^ < 1? 2 + |x — 11 -

3.

Ein Sparer zahlt zu Beginn eines Jahres x DM auf ein Sparkonto ein. Jeweils am 1.7. des ersten Jahres und der folgenden Jahre bezahlt er zusätzlich 1000 DM ein. Das Kapital wird am Jahresende mit 4 % anteilmäßig verzinst. Wie groß muB x sein, damit zu Beginn des dritten Jahres das Guthaben 5 000 DM beträgt?

4.

a) Bestimmen Sie die Summe aller dreistelligen natürlichen Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind. b) Berechnen Sie den Grenzwert c) Berechnen Sie V '

5.

¿—t

n=2

lim ( ^ n 2 + n + 1 — ^ n 2 + 1 ). n—»oo * '

i• gn + 1 , 2® — 1

Gegeben sei eine rekursiv definierte Folge ( a ^ , n e N durch 2a£ a) Geben Sie eine sinnvolle untere Schranke an und zeigen Sie dann, daß a n nach unten beschränkt ist. b) Beweisen Sie, daß die Folge monoton fallt. c) Berechnen Sie den Grenzwert a.

Klausur 25

98

1

2 —e-*

, x 2. a) Für welche x € R ist f(x) stetig?lnx b) Für welche x € R ist f(x) differenzierbar? 7.

8.

Geben Sie jeweils die erste Ableitung folgender Funktionen an: a)f(x) = ( l + e " x ) ? ;

b) f(x) = tan

c) f(x) = ( x 2 ) ^ ;

d) f(x) =

Gegeben sei die Kurvenschar f ^ x ) = ^ ^

;

>

^

mit t > 0, t fest.

a) Bestimmen Sie den maximal möglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten von f^ . b) Skizzieren Sie den Graph von f^ für t = 2 . 9.

Welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypothenusenlänge 1 besitzt den größten Umfang? Geben Sie die Kathetenlängen x und y dieses Dreiecks und dessen Umfang an.

10. Gesucht ist ein Näherungswert für ^2 . a) Entwickeln Sie dazu f(x) = ^ ^ + x in ein Taylorpolynom 2. Grades um XQ = 0 . b) Berechnen Sie mit Hilfe dieses Taylorpolynoms einen Näherungswert N für ^2 . Dabei soll N als Bruch angegeben werden. c) Um wieviel weicht N von ^2 höchstens ab? 11. Berechnen Sie folgende Grenzwerte: -v

a)

c)

e2x + ex + l x™ 2-e2'-x; 1

lim (sin x) s i n x . x—•O

.v

b)

/2x + l i S

77 \ ~ (x —3)(x + 8) / '

Klausur 25

99

B 12. Berechnen Sie folgende Integrale TT 2 a) | (sin x • ^cösx + 1) dx ; 0

1 b) | l 3

e3x-(x-l)dx.

13. Bei welcher Funktion f(x) , x < N 2 , f(l) = 1 gilt für die Elastizität

C 14. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = — ^ x • x • y . a) Bestimmen Sie die partiellen Elastizitäten. (Fassen Sie diese soweit wie möglich zusammen!) b) Ist f(x, y) homogen? Wenn ja, von welchem Grad? X

15. Gegeben sei die Funktion f(x,y) = x - y •e y . a) Bestimmen Sie die beiden partiellen Ableitungen f x ( x , y ) und f y (x, y) an der Stelle (2; 1) . b) Bestimmen Sie die Richtungsableitung an der Stelle (2; 1) in Richtung des Vektors v = 16. Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes P(1; 1; 1) von der Ebene E : x + y + z — 6 = 0 mit Hilfe der Methode "Extremwerte unter Nebenbedingungen". D 17. Gegeben seien zwei Geraden g 1 und g 2 durch

a) Zeigen Sie, daß g j und g 2 parallel sind. b) Geben Sie die Ebene E an, in der g j und g 2 liegen. c) Der Punkt P (— 27; 14; - 50) liegt auf g 2 . Geben Sie eine Gerade h an, die g 2 im Punkt P senkrecht schneidet.

Klausur 25

100

18. Gegeben seien die vier linearen Gleichungssysteme A • X; = bj für i = 1,2,3,4 mit (

A =

0 -2N

1 - 1 2

2

0

b1

=

4

und

2

T ( o j , b2 =

(i ^

f 0^ b3 =

4

, b4 =

/

Bestimmen Sie die Vektoren x l t x 2 , x 3 und x 4 .

1

4

1 \ 4 /

19. Gegeben seien die Matrizen A und B in Abhängigkeit der Parameter a, b, c und d durch

r/)

a) Welche der folgenden Matrizenprodukte können gebildet werden und welche nicht? A B , A T B , A B T , B-A . Geben Sie, falls möglich, Zeilen-und Spaltenanzahl der Produkte an. b) Bestimmen Sie a, b, c und d so, daß

A•B= ^

^jj

^ ^ gilt.

20. Gesucht sind das Minimum und das Maximum der Funktion z = 3 x + 3 y unter den Nebenbedingungen: x>l, y>i x+y>3 x < 9 — 2y . a) Stellen Sie den zulässigen Bereich graphisch dar! b) Ermitteln Sie dessen Eckpunkte. c) Geben Sie alle Punkte an, in denen das Minimum bzw. das Maximum angenommen wird.

Lösungen Klausur 1

101

Lösungen Klausur 1 1.

B: bestanden;

G: gut vorbereitet;

O: Optimisten;

gegeben: |ß| = 200; |G| = 100; | B n G n Ö | = 2 0 ; | B C l G n O | = 13; | B D G f l Ü | = 57;

gesucht:

|BnGnO|

|BnGnO| = |BnG|- |BnGnö| = |BnG|-20; | B D G I = | B n G n O | + | B n G n Ü | = 70; |G| = 200 - I G I = 100; | B n G | + | B n G | = |G| =» I B n G I = 100-70 = 30; | B n G n O | = | B n G | - 20 = 30-20 = 10.

3.

Gleichung wird mit | x | — 1 durchmultipliziert; I) (Nenner positiv)

| x | > 1 O x > 1 oder x < — 1

=> 1 > | x | — 1 => | x | < 2 ; II) (Nenner negativ) | x | < 1 Lösung: 4.

— 2 < x < 2 ; Lj = ( — 2; — 1) U (1; 2); 1 < | x | - 1 0 | x | > 2 ; L n = 0;

L = L r U L n = ( - 2; - 1) U (1; 2).

1101 - k | < 26

75 < k < 127 ; arithmetische Reihe mit a a = 76;

a^ = 126 = 76 + (n - 1) • 2 => n = 26; s 2 6 = 13.(76 + 126) = 2626. 5.

a) q = 1,034 = 1,12550881; p e f f = 12,550881 %; b) Kn = Kapital am Ende des n - ten Jahres; K j = K • q + S; K 2 = K • q 2 + S • q + S = 1532 458,68 DM; K n = K - q n + S - q n - 1 + S - q n - 2 + ... + S = K . q n + S - ^ f ^ .

Lösungen Klausur 1

102

b)

0
| >fn + 1 --\J V n - 1 (>|

+ 1 -^Hjg^T)• (^yg+T + -^fg^T) ^n + 1 + ^ ^ n - 1

=

i

,

2

-

< „ i

2

.

0

=> lim a = 0.

c) a n = ( - i r . ( n 2 - n 2 + 2 - ^ ) = ( - l ) n . ( 2 - i ) ; Teilfolge mit geradem Index

lim a j „ = 2 ; n—»oo

Teilfolge mit ungeradem Index

lim n - 1 11—»oo

=

— 2.

Die Folge ist divergent.

7.

Nullstellen des Nenners: — 1 ; 2 ; Nullstellen des Zählers: — 1 ; —

f(x)=VX-»? iststetigauf RV{-12;}fr

1 , .v

( - l + h + l).[2(-l+h) + l]_ - l + 2 h .

lim f( — 1 + h) = lim ~ V Aù h-o h-»0 +

h

= à

V

«(-

1

,n.

) à= i

2x + 1 An der Stelle — 1 läßt sich f fortsetzen zur Funktion g(x) = mit g( — 1) = g. Wegen lim g(x) = + oo und lim g(x) = — oo x—»2+ X—2 ist an der Stelle x = 2 keine stetige Fortsetzung möglich, x = 2 ist vertikale Asymptote (Polstelle). Es gilt 2 , lim 2 x + 3 x + 1 __ 2. x-±oo x — x — 2 Daher ist y(x) = 2 horizontale Asymptote.

Lösungen Klausur 1 8.

f(x)

= (lx2

103

+ x +

l).

e

-

2

* +

7

= l(x+l)2-e-2* +

Definitionsbereich: D = R ; Nullstellen : Xj f'(x) = ( x + l ) - e - 2 x f"(x)

=

7

(-2x-l).e"

= f'"(x)

+

-(x+l)2-e-2x 2 x +

(2x2-l).e"2x +

= (-4x

2

+ 4x + 2 ) - e "

= — 1 (doppelt) ;

+ 7

=-x(x + l)-e-2x

+ 2(x 2 + x ) . e - 2 x

7 7

2

7 ;

+

; 2x +

7

.

f "(0) < 0

=>

= 0 ; x E = —1. 1 2 relatives Maximum an der Stelle P(0 ;

f " ( - 1) > 0

=>

relatives Minimum an der Stelle P( - 1 ; 0 ). 2

7

7

Extremwerte: f'(x) = 0 ; x E

Wendepunkte: f " ( x ) = 0 ; x W i

+

= ±y5

f'^Wj

2

7

;

) # 0.

Asymptoten: Wegen lim f(x) = 0 ist die positive x-Achse Asymptote.

9. a ) f ( x ) = 2 e " 2 x 2 ; f'(x) = - 8 x e " 2 x 2 ;

ef(x)=^-x =

-4x2.

b) U '(x) = f(x) • [1 + e{ (x)] = 2(1 - 4 x 2 ) e * 2 x 2 = (x • f(x)) ' . c) U '(x) = 0 ; Xj = Ì ; x 2 = —^ kann keine Nachfragemenge sein. U " ( x ) = (32x 2 — 2 4 x ) e _ 2 x 2 ; 10. k(x)

= x 3 —0,3x — 1

k'(x)

=

3 x 2 — 0,3

k "(x)

=

6x

k"'(x) =

6;

U"(±) Maximum.

k(l) = - 0 , 3 ; k ' ( l ) = 2,7; k " ( l ) = 6;

Lösungen Klausur 1

104 a)

= b)

|(x-l)2

T2(x) = - 0 , 3 + 2 , 7 ( x - l ) + 1^(1,1) =

3 x 2 — 3,3x = 3 x ( x — 1 , 1 ) ; |(1,1-1)

3

xN=l,l;

= 0,001.

11. a) Substitution: u = ^x ; du = ;j-i=dx ; ;r 2 |

r ^j^T^

=

|sinudu =

= 1.

— cosu

JT

ir 4

2

b) Substitution: l n x = u ; ^dx = du e2 2 f Idx = U d u = J v(lnx) 2 x Ju e ' i

-I| u |

2

l

2-

c) Partielle Integration x 2 = f(x); sin x = g '(x) Jx2-sinxdx

= — x 2 cosx + 2 J x c o s x d x

5r = —x 2 cosx + 2 x s i n x — 2 J s i n x d x 2 ir J x 2 • sin x dx = [ — x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x]2 = t t - 2 . 0

12. a) A(p) = N(p)

p 2 + p + l l = 1 1 0 - p ; p + 2 p + 1 = 100;

(p + l ) 2 = 100; p = - 1 + 10; Marktpreis p M = 9. |(p2 + p + ll)dp 5 50

b)P=

j(110-p)dp =

K =

9

_ 820. 5 ~ 3 '

= 2 -|

110p-^-

i 13. K ( T ) = J (t + 2) e °'

50 = 3300,5.

r 05

~ ^ dt = e

0,05 T

• J (t + 2) e -

_ e0,05 T , v ( T ) (wird nach b) ausgerechnet).

0,051

dt

105

Lösungen Klausur 1 b) v(T) = j (t + 2) • e _ ^ ^ d t T

= — 20 • [(t + 2) e ~

0,05

+20-Je-°'05tdt

*

= — 20 (T + 2) e - 0 , 0 5 T + 40 - 400 e - ° ' O 5 T = — 20 (T + 2) e ~ °' 0 5 T + 40 - 400 • e " °' 0 5 T + 400 =

440 — (440 + 20 T) e - °' 0 5 T ;

a ) K ( T ) = e ° - 0 5 T . v ( T ) = 4 4 0 - e ° ' O 5 T - ( 4 4 0 + 20T) (s. o); c)

lim v(T) = 4 4 0 - l i m ^ ± T—>oo T—»oo e

14. f ( x , y )

2 = 4 4 0 - lim ° T—»oo 0,05 «e •

^

=440.

= 5 y 2 x + 3(y — 5)2 — 20x

f x ( x , y ) = 5y 2 —20;

f y ( x , y ) = lOxy + 6 (y - 5);

f x x ( x , y ) = 0; f y y ( x , y ) = 10x + 6; f x y ( x , y ) = lOy; f x ( x , y ) = 0 => y = ± 2 ; f y ( x , y ) = 0 ; y = + 2 =S» x = 0,9; y = - 2 = > x = - 2 , 1 . Stationäre Punkte: P j ( 0 , 9 ; 2 ) ; P 2 ( — 2,1; — 2 ) ; A x = A 2 = - 400 < 0. Beide Punkte sind Sattelpunkte. 15. a) Eliminationsmethode: y= m

*

K(x,y) = 5x + M

g'(x) = 5 - 4 0 x "

3/2

= 0; X

3/2

= g ( x ) ;

= 8; x = 3 ^64" = 4; x = 4;y = 10.

g"(x) = 6 0 x _ s / 2 ; g "(4) > 0 =• Minimum. b) Methode von Lagrange:

Lagrange-Funktion

L(x, y ,A)

= 5 x + 4 y + A • (•JIT • y — 20)

L x (x,y,A)

=5+A^==0;

|-2X

L y (x,y,A)

= 4 + A->Tx=0;

|-y

LA(X , y ,A)

= >Tx~ • y - 20 = 0 (Nebenbedingung)

lOx + Ay^x = 0 4y + AyMx = 0

1 J

10 x = 4y • y = ^ x . iux-*y, y_2x,

Nebenbedingung: ^x"• | x = 20; x 3 / 2 = 8;

x = 4;

y = 10.

Lösungen Klausur 1

106

16. a ) f x ( x , y ) = ¡^Jxy; f y ( x , y ) = i x^-y df(x,y) = |>Jxydx+± X 2-y

2

dy

df(100,25) = |^100-25 - 5 - i 100^-25~2 -1 = 275; b) f(Ax, Ay) = A 2 -f(x, y) 17. a)

x + 2y + 3z 6x + 2y + 8z 4x + 1 0 y + 4 z

=> f ist homogen vom Grad r = 2.

= 25 = 50 =100

b) Lösung mit dem Gaufischen Algorithmus 1 6 4

2 2 10

3 8 4

1 0 0

2 -10 2

3 -10 -8

25 -100 0

1 0 0

2 1 0

3 1 -10

25 10 -20

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Lösung: x = 3; 18. a)

25 50 100

(1) (2) (3) (1) (2) - 6 x (1) = (2') (3) - 4 x (1) = (3') (1) (2'):(-10) = (2") (3') - 2 x (2") = (3") (1) — 2 x (2'") — 3 x (3"') (2") - (3"') = (2"') (3"):( - 10) = (3"')

3 8 2 y = 8; z = 2.

2 3 1

-3 1 2

5 2 -1

2 -8 -6

1 0 0

2 -7 -5

-1 7 5

- 6 (3. Gleichung) 14 10

1 0 0

2 1 0

-1 -1 0

-6 -2 0

(Gleichung ist

z = A (beliebig); y = - 2 + A; x = - 6 + A - 2 ( - 2 + A ) = - 2 - A . b ) x + y + z = - 2 - A - 2 + A + A = 5; x = - 11; y = 7; z = 9.

A = 9;

107

Lösungen Klausur 1

12

1

-1

-1 1

0

0

2 0 0

0 2 0

0 0 2

(1) (2) (3)

>12

0

2

0

(2) = (1')

0 2^2

2

2

0

(2) + (l) = (2')

>f2 i2x(l) = (3')

1

-1

0

-1

1

0

(2)->f2x(3")=(l")

0

2^2

0

l2 = (2"') (3")

12

>i2 2 >i2 2

= A. 0

b) Aus A " 1 = A folgt A 2 = E und A • (A + A) = 2 A 2 20. x = Liefermenge an R x pro Tag; a)

y = Liefermenge an R^ pro Tag

x < 8000 y < 5000 x + y < 10000

x = 8000

x,y>0. b) Zielfunktion y = 5000

z = 200 x + 300 y = max. Lösung:

x = y = 5 000; „ - ... 2 000s|T x

2000

Ergebnisse Klausur 2

108

Klausur 2 1.

a)|d| = 2->|3;

2.

a) 6 3 ;

b) A DIM3 = { ( 1 , 1 , 1 )}.

b) höchstens 57 können eine Punktzahl von mindestens 20 erreichen. 3.

Fallunterscheidungen: I: x < 0

Lj = [ — 1 ; 0) ; I I : 0 < x < l

III : x > 1 =>•

Ljjj

= 0.

Lösungsmenge

4.

15554.

5.

a) a n = 4 500 • (l,052) n " 1 ;

6.

a)

7.

a) x M =

8.

D = [ - 2 ; + oo) ;

lim a„ = 0 ; n—»oo

=>• L n = [0;£]; L = [ — 1 ; i].

b) 1125 000 • (1,052° - 1) DM.

o b) lim a^ = — £ ; n—too '

)2 ( ^ a x ^ m u m ) '

c) lim a^ = 1. n—»oo

b) r M = 10 (Maximum).

Nullstellen: x x = 0 ; x 2 = - 2 ;

Minimum an der Stelle P( - 1 ; - 1 •

);

kein Wendepunkt im Definitionsbereich.

X

2

9.

a) e f ( x ) = 4 x 2 ;

b) e f (1,40) = 4 • 1,42 = 7,84;

Erhöhung um ungefähr 7,84 %.

Ergebnisse Klausur 2

10.

f(x)

=

109 für

x > 1

für

x < 1

lim f(x) = 1; lim f(x) = — 1; nicht stetig ergänzbar. x—>1+ x—»l — b) - i - l n 2 +

11. a) 1;

12. a) T 2 ( x ) = 1 — x 2 ;

b)

i;

c)

-2.

jT2(x)dx = iI;

C) iR^ix)! < | x 3 ; l 5 d)| J[fW-T2(x)]dx|
00 n—>oo 4+ n 1 i.

Lösungen Klausur 4

111

4

.V b)

7

7 n 3 — 0,5 n 3 = — n + n3

C)

»0=

>

7n_1-0,5 = — ï — - ; n 3+ l

(3-Mn)-(Mn + 2) _ 8n — 4

\

- 11 -i8 8

1

-i-g6 +

3

1 2-

lim ajj n—»oo

- n + ^n + 6 8n —4

\

.

4

-ff

- 11 ++ 1 ++ VÏÏ

lim a„ = lim n—»oo n—too

88

_

6 ÏÎ

_

3

4

n

n—»oo ^ lim

1 _ '8 ~

= ?* •

Nullstellen : Xj = 0 ; x 2 = 3 ; f / ix x 1

(x + l ) ( 2 x - 3 ) - ( x 2 - 3 x ) (x + 1 ) 2

=

'

„

=

=

x2 + 2 x — 3 (x + 1) 2

( x + l ) 2 ( 2 x + 2 ) - ( x 2 + 2 x - 3 ) 2 ( x + l) (x+1)4

K>

_

(x + 1)(2 x + 2) — 2 (x 2 + 2 x — 3) g (x+1)3 " ( x + 1)3-

Extremwerte: f'(x) = 0 ;

x 2 + 2 x - 3 = 0;

x3=l;

x

4

=-3.

f"(l) = 1 > 0

=>• rel. Minimum an der Stelle P 3 ( l ; - 1) ;

f " ( - 3) = - 1 < 0

=> tel. Maximum an der Stelle P 4 ( — 3 ; — 9) ;

Globale (absolute) Extremwerte gibt es nicht. Wendepunkte : f "(x) ^ 0 für alle x

=>• keine Wendepunkte.

Asymptoten: lim

f(x) = + oo

x—» — 1+

und

lim

f(x) = — oo .

x—» — l —

x = — 1 ist vertikale Asymptote.

Lösungen Klausur 4

112

8.

a) f(x) = x • e * 2 + 1 ; f'(x) = e x 2 + 1 + 2 x 2 • e x 2 + 1 = ( 1 + 2 x 2 ) • e x 2 + 1 ; efW =

1 +

2x2

"

b) ef (1) = 3 ; die Nachfrage nimmt um ungefähr 3 • 1,5 = 4,5 % zu. 9.

I*2 Iv2 a) K(x) = e 8 ; K'(x)=|-e8 ;

(51

+

2 \ I*2 T6 J ' ® 8 > 0 für alle x

=> K ist konvex.

X Wegen S '(x) < 0 für 0 < x < 2 und S '(x) > 0 für x > 2 handelt sich um ein globales (absolutes) Minimum aus dem Definitionsbereich. 3 ( 2 ) = ^ = ? .

Lösungen Klausur 4 10. a)f(x)

T2W

=

113

ln(l+ix);

=

f(0) = 0 ;

—

1^(5)1 ^

(2 + tf)3

=

6"^4=lfe-

Das Maximum wird für »7 = 0 angenommen.

4

11. a)

4

J2x +^dx i x 2

j

l

= | ( 2 x " 2 + x " 1 ) d x =(4x2 + lnx) 1 = 8 + In 4 — 4 = 4 + In 4.

b) Zweimalige partielle Integration mit ex = f'(x), g(x)=sinx bzw. cos x ergibt J e x - s i n x d x = e x -sinx — Je* • cosxdx

= e*-sinx — e x -cosx — Je x -sinxdx; Addition von J e x • sin x dx auf beiden Seiten ergibt Jex-sinxdx

=

^e x (sinx —cosx)+ C

und mit C = 0

J e x -sinxdx = j^e x (sinx —cosx)j^ = ^-(e^ + l ) . c) Substitution : sin x = u ; cos x dx = du ; x = 0 => u = 0;

x = ^ =s> u = 1 ;

2 1 j r I ^sinx-cosxdx = J u^du =

_ 2 0 ~ 3-

Lösungen Klausur 4

114 12. f(x) = x ( x - 6 ) = 0;

x 1 = 0;

x 2 = 6.

| f(x)dx=

- 3 X 2 ] q = 7 2 - 3 - 3 6 = - 3 6 ; | F | = 36.

g(x,t) =

gx(x,t)=^;

dg(x,t)= ^-Ax I:

gt(x,t) =

-

Ax = +0,005; At = - 0 , 0 0 1

(beide Summanden positiv)

Ag « 2-0,005 + 4-4,9-0,001 = 0,0296; II: Ax = — 0,005; At = + 0,001 Ag «

-2-0,005 -

(beide Summanden negativ)

19,6-0,001 = - 0 , 0 2 9 6 ;

g = 9,8000 ± 0,0296.

14. f ( x , y )

= x

3

^ L _

+

f x ( x , y ) = 3x 2 fy(x,y) = ^ fx(x,y) = 0

3 x

2

2

2y n2 - 6 X = 0 (1+x)2 =0

o

y= 0

O 3 x 2 — 6x = 3 x - ( x - 2 ) = 0.

fxx(*.y)= 6x +

4 y (1 + x)3

-6;

P 1 ( 0 ; 0 ) ; A l = - 2 4 < 0; P 2 ( 2 ; 0 ) ; A2 = 6 - | - 0 > 0 ;

fyy(x,y)=

x t = 0; x 2 = 2. ^

P x ist Sattelpunkt. fyy(2;0)=§ P 2 ist relatives Minimum. Wegen lim f ( x , y ) = — oo X—• — oo ist P 2 kein globales (absolutes) Minimum.

Lösungen Klausur 4

115

15. Lagrange-Funktion L ( x , y , A ) = 4 x + y + A-(>pcTy — 10) Lx(x,y,A)= 4 +

=0

(1)

Ly(x,y,A)= 1 + A . i . ^

=0

(2)

L ^ ( x , y , A ) = ^x• y — 10 = 0 (Nebenbedingug). (1)

4-^ff + lA = 0

(2)x>if

+ ^

= 0-

Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt 4

16

-\iF=>[I;

•y = * ;

Aus der Nebenbedingung folgt

x 16. a) x = I y ) =

y 2 = 16x 2 ; y = 4 x ( x , y > 0 ) . ^ x - 4 x —10 = 0; x = 5;

y = 20.

O P i + A• P j l ^ + /*-PiP 3 , A, f i e R = OP4;

komponentenweiser Vergleich: A + 3/i = 4;

A - / i = 0;

Lösung: A = p = 1 b) - 1 + A + 3/i =

=>

(1) (2)

A - p

=

y

3 +

A

=

z

=>

P 4 liegt in E.

x

2+

(1) + 3 x (2)

A = 1;

=>

A = z—3

5 + 4A = x + 3y

A = z — 3 hier eingesetzt ergibt 5 + 4 ( z - 3 ) = x + 3y ;

x + 3y-4z + 7= 0 .

Lösungen Klausur 4

116

17. a) Die Rohstoffe, die zur Herstellung je einer Einheit von den Endprodukten E 1 und E 2 benötigt werden, werden durch die Produktmatrix A B beschrieben mit Ei E 2 /

AB =

4

11

12

29

0

2

>

R

(

l

4

11

12

29

l°

»

2

\

>

53 \

»•(S)

147

=

«3

J

)

von R j werden 53 Einheiten, von R 2 147 Einheiten von R j 6 Einheiten benötigt. b) (2; 1; 4) • / 53 \ = 277 (Einheiten) Gesamtkosten.

(t)

18.

2 0 4

2 -1 1

-6 3 -2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(1) (2) (3)

2 0 0

2 1 -3

-6 -3 10

1 0 -2

0 -1 0

0 0 1

(1) = (!') - ( 2 ) = (2') (3) — 2 x (1) = (3')

2 0 0

0 1 0

0 -3 1

1 0 -2

2 -1 -3

0 0 1

( l ' ) - 2 x ( 3 ' ) = (l") " ( 2 ) = (2") (3') + 3 x ( l ' ) = (3")

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0,5 1 - 6 -10 -2 -3

0 3 1

|x(l") (2") -I- 3 x (3")

1 5 -6-10

0

-2

1

-3

3

Lösungen Klausur 4

117

19. Im Gleichungssystem A x = b wurde die Matrix A in Aufgabe 18 in vertiert. Damit lauten die Lösungen X =

b.

A

è

'

> -6-10

a)

2

-3

-1

> -6-10

3

-2

0

-2

è

-3

f o >

è

> -6-10

c)

2 ^

-2

0

-3

k 0

=

,

20. x = Anzahl der Morgen Erbsen; y = Anzahl der Morgen Möhren x + y < 200x + 100y < x + 2y < z = 400 x + 600 y =

Land: Investition : Arbeitstage: Zielfunktion: A V

Koordinaten von P: 200 x + 100 y = 5000 x + 2y =50

%

30

-t-

°o

150 x = 2 500 ; x = ^ i$•

20

\

30 5000 50 max.

%

Pi 50. 50 x 3 ' 3 '

\ X

10

¿X

\ \

10

Lösung: x = y = ^ ;

20

30

\

40

maximaler Gewinn z M a x = M0Q0

50

=y

Ergebnisse Klausur 5

118

Klausur 5 1.

a)

B x C = {(1,1), (1,3), (2,1),(2,3)};

b ) A x A = { ( x , y) e R 2 1 0 < x , y < 2 }. (A x A) D (B x C) = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) } . 2.

Ansatz: | x - 961 < 0,2 x.

3.

a) f(2) = i ; 4

Lösung: Preisintervall L = [80; 120] .

lim f(x) = i = f(2); f ist an der Stelle 2 stetig. 4 x-> 2+

b) f(x) > 0 für alle x

=>• keine Abbildung auf R.

c) f( - 1) = f ( l )

=> f ist nicht eineindeutig.

4.

995 DM.

5.

a) K 1

=

K-l,l-r;

b) Kj, = K • ( l , l ) n — 10 r • [ ( l , l ) n — 1]; c) K 7 = 256,41 DM.

6) a)

liman = i ; 1 n—>oo

b)

liman=4; n—»oo

c)

7.

x M = 5 - >|2.

8.

Definitionsbereich D = R; Nullstelle XQ = 0 ;

lima n—»oo

t a

=i. lu

globales (absolutes) Minimum an der Stelle P(0; 0 ) ; lokales (relatives) Maximum P( — 2 ; Wendepunkte an den Stellen x w

=

e

; kein globales Maximum. —2±

;

Ergebnisse Klausur 5 9.

H9

a) £f (x) =

b) ungefähr um 5 %.

10. a ) T 2 ( x ) = x + l j x 2 ; b) |Ra(x)| < Ä

=0,0001375.

c) T 2 (0,06) = 0,06165. 11. a) J ;

p eff « 6,165 %.

b) f - J ; 8 4'

12. 1 = [ f(x)dx — oo

= =

c)

64'

lim a- [ e " ^dx =

h

lim — 2a• (e

2

b—»oo

lim - 2 » - [ e " * ] 0

- 1 ) = 2a

=>

a = ±.

13. Lokales (relatives) Minimum an der Stelle P(6;0), kein globales (absolutes) Minimum. P( - 2 ; 4) und P( - 2 ; - 4) sind Sattelpunkte. 14. P ( - | ; |) . Abstand

d=

.

15. a) f ist homogen vom Grad r = 2 ; b) f i M - X p 1,1 x 2 ,1,1 x 3 ) = l,l 2 -f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 1,21-z; z nimmt um 21 % zu. c)' £

»f1 = 1 ; £„ * 2 »f1 = 2 ; £__3'f = — 1 ; Summe = 2 = r.

16. a) z = x 2 + y 2 + 4 b) Globales Minimum an der Stelle P( 0,0) mit Z j ^ = 4. 17. a) z = A ergibt

g: ^ y

J ^OJ =

b) nein, es gibt kein A ; c) X ( 2 ; 3 ; 3 ) ;

d = 0 1

+*0

a)

a ^

=

>

-o

0 < a n (ist nach a) richtig).

2 — = a ; a 2 = 4 a + a 2 => a = 0. 4+ a

1 N(x)= 3-x3 —3x + 5 —ax N'(x) = x

- 1 3

-3

-a = 0

O

x

, = -L- = 3 + a

3

x5

3 X M =

( 3 + , )

N "(x) =

"

5

=

_5

- |x

3

< 0 für alle x > 0 (konkav)

=>• es handelt sich um ein globales (absolutes) Maximum. N(Xm)

= =

+ 5 =

^3+1 " ( 3 + a H 3 + a 2 - ( 3 + a)

L(a)

=

a • (3 + a)

(3++aH3 + a

2

=

(3 + a)->|3 + a

b)

,

^3 + a

5

'

_3

2

L'(a) = ( 3 + a ) ' 5 + a . ( - | ) . ( 3 + a ) " I = (3 + a ) ~ 2 . ( 3 + O L"(a) = L x = 2 .

U

+ 1

L

=> u =

1;

3" l _ 2 2 o — 3"

j ^ u - e ^ d u ; o u = 0=>t = 0 ; u = x = > t

|x2 = 10

=

ax

p=l=i>u = 0;p = e T |J.

1 >

2x x2 + l

1—e~*2;

=

x2

Lösungen Klausur 7 H 14.

ef

125

a ; (, x>) = -f 'pW 5 - x = a.x

f ' W = a - x °a — 1;

ff'ixi f J - j ^ y dx = a • J x ° ~ 1 dx ; wegen f(x) > 0 folgt hieraus In f(x)

=a-|x°-1dx;

1. Fall: a = 0: In f(x) = a - J ^ d x = a - l n x + C = l n x ' + C m i t C e R ; f(x)=elnxa

+ C

=

eCeinx'l= cxa

mit c > 0.

2. Fall: a # 0 : In f(x) = a - J x 0 " 1 d x = §-x Q , + C ,

CeR

a a Ip n a a a a f(x) = e a ' x + = euea'x = cea'x mit c > 0. 15. dx = 0,1 ; dy = - 0 , 1 •Jx2 + y 2

N

+ y2

d f ( x , y ) = f x ( x , y) • dx + f y ( x , y ) - d y d f(4,3) = | - 0 , l + | - ( - 0 , l ) = 0,02.

=

— x 3 — y 2 + 3x + 8y + 38

fx(x,y)

=

— 3 x 2 + 3 = 3(1— x 2 ) = 0 ;

Xl

fy(x,y)

=

-2y + 8 =0;

y= 4

16. f ( x , y )

fxx(x,y) = - 6 x ;

fyy(x,y)=-2;

= 1 ; x2 = - 1

fxy(x,y) = 0 .

P j ( l ; 4 ) : A 1 = 1 2 > 0 ; f x x ( x , y) < 0 => lokales (relatives) Maximum ; wegen lim f(x, y) = +oo gibt es kein globales (absolutes) Maximum. X—+ — oo P 2 ( - 1 ; 4) : A 2 = - 12 < 0

=> Sattelpunkt.

Lösungen Klausur 7

126 17. Nebenbedingung y + z = 3 f(x,y,z) =

=• z = 3 — y .

i x 3 + x.y + ^ z 2 = i x 3 + x-y + i ( 3 - y )

«x(x»y)= f x 2 + y = o

=>

2

= g(x,y).

y=

g y ( x , y) = x — g (3 — y) = 0 ;

mit

y = — j|x2 erhält man hieraus

x - I ( 3 + fx2) = 0 ; 5X-3-|X

2

= 0;

=

x 2 — Tpx = — 4 ;

+

xi,2 =

i

8xx( x - y) = § x ;

= xi =

¥ 6>

x2 = |

gyy(x ' y) = 5 ;

; y i

= -27; y2=

M * » y) =

-i.

1

P x ( 6 ; — 27): A 1 = 9 - ^ - 1 > 0 ; g x x (6 ; - 27) > 0

lokales (rel.) Minimum;

kein globales (absolutes) Minimum. P2(|;-i):

A2 = 1 - i - 1 < 0

18. a) Skalarprodukt:

Sattelpunkt.

ä^ T -b t = 3 t 2 + t + ^ = 0 ;

0 = 3.(t2+it+i)=3.(t+i)2

O

- i ;

b) Beide Vektoren sind parallel, wenn es eine Konstante A gibt mit

(zt) t

f = A-

t\ 1

l

1 V6 Vergleich der dritten Komponenten:

A= 3

Vergleich der zweiten Komponenten:

t= 3

\2 J

Vergleich der ersten Komponenten: Für t = 3 sind die Vektoren parallel.

9 = 3 * 3 (ist erfüllt).

127

Lösungen Klausur 7 2 2 4

1 2 0

3 4 4

24 32 32

2 0 0

1 1 -2

3 1 -2

24 8 -16

1 0 0

0,5 1 0

1,5 1 0

12 8 0

p 3 = A (bleliebig); p 2 = 8 — A Pl

= 12-4 + | - | A = 8-A.

b) C

)P2 = P3 < * 8 - A = A

V

A = 4 => p 1 = p 2 = p 3 = 4. x + y 17 2,5 x > 25 y0

y = 10

x 10

Eckpunkte: b) Zielfunktion

P^lOjlO);

20

30

P 2 (20; 10); P 3 (15;15).

= x + y = min.

Werte der Zielfunktion an den Eckpunkten: P j : 20; P 2 : 30; P 3 : 30 Losung: x = y = 10: z1 = 20 Std. c) Zielfunktion z2 = 8 x + 10 y = max. Zielfunktion an den Eckpunkten: P j : 180; P 2 : 260; Lösung: x = y = 15: z2 = 270 DM Belohnung.

P 3 : 270

Ergebnisse Klausur 8

128

Klausur 8 1.

a) (A x B)\(B x A) = {(0; 1), (0; 4), (4; 1) }. b) (A\B) x (B\A) = {(0; 1)}.

2.

Z.B.

X = [ - f ; + f ] , Y = [ - l ; +1]

m i t Y = f(X).

f(x) = sin x ist auf X streng monoton wachsend und nimmt jeden Wert zwischen — 1 und + 1 genau einmal an. In X * = [ f ; ^tt] ist f streng monoton fallend. Damit ist f ebenfalls eine eineindeutige Abbildung von X * auf Y. 3.

L = (0;i).

4.

a) 57 100 DM;

b) 605400 DM.

5.

a)

b) I .

6.

2 000 DM;

7.

a)

8.

a) f ' t x ^ e - x 6 " 1 ;

1600 DM;

i2" ;

1280 DM.

b) - i ;

b) f'(x) = - e " x ;

d) f'(x) = In (sine)-(sine)*; 9.

c)

1. c) f'(x) = cos (e x ) • e x ; e) f'(x) =

>|x2 + e

Definitionsbereich: D = R; Nullstelle: Xq = 0; Extremwerte: P ( l n 2 ; £ ) ist globales (absolutes) Maximum; Wendepunkt: W ( l n 4 ; ^ ) ; Asymptoten: positive x — Achse. n v

Ergebnisse Klausur 8 10. a)

T3(X)

= (x - 1) + 1 (x - l) 2 - 1 (x - l ) 3 ; '

b)X3(|)= 11. a)

a;

12. a) I ;

129

T 3 (2) = b) 0;

b)

| ;

C)

1 ^ ( 1 ) 1

< ¿ 5

1^(2)1


|2T-

15. P ( 3 ; ^ ) i s t ein relatives Maximum. 16. ( x , y , z ) =

(§,§,§)•

17. Globales (absolutes) Maximum für x = 1,5;

y = 3.

18. Eine Einheit von P j , zwei Einheiten von P 2 , 5 Einheiten von P 3 .

b) Bei 175 m 2 für die Sport- und 125 m 2 für die Musik-Abteilung. Maximaler Jahresgewinn = 1075 Einheiten.

Lösungen Klausur 10

130

Klausur 10 1.

Angaben in relativen Anteilen: 0,1 entspricht z.B. 10%. Gegeben sind die unterstrichenen Werte, wobei 30 % der leicht oder schwer geschadigten Bäume behandelt wurden (gehört zu beiden Bereichen zusammen), das entspricht 27 % vom Gesamtbestand. gesund

leicht gesch.

0

schwer gechädigt behandelt

0,3-0,9 = 0,27 y ( = 0,095) 0,7 0,75

0,1

x( = 0,105)

= 0,525 0,7

0,1

0,2

x = 0,9 - 0,525 - 0,27 = 0,105; a) ^ ^ 2.

= 0,525

| x - 75 | < ^ I : x > 75 :

nicht beh.

y = 0 , 2 - x = 0,095.

=S> 52,5 %;

b) 100 • y = 9,5 %.

+ 0,15 x - 75 < j j ^ + 0,15

0 , 9 9 - x < 75,15 I I : x < 75 :

- x + 75 < ^

x

= 7 5 , 9 0 ; Lx = [75; 75,90);

+ 0,15

74,85 < 1,01 x o

=74,1089 ; L n = [74,1089 ; 7 5 ) .

Lösungsmenge: L = L j U L n = [74,1089 ; 75,90]. 3.

Da | x — 2 | > 0 für x ^ 2 immer erfüllt ist, muß der Nenner x — 1 > 0 sein => x > 1 und x ^ 2. Lösungsmeng: L = ( l ; o o ) \ { 2 } .

4.

a) o) Jährliche ewige Rente: r j = 100 000 • 0,07 = 7 000 DM pro Jahr; ß) monatliche ewige Rente: r M : r M • [l2 +

= r j = 7 000;

b) K 2 0 = 100 000 • 1,07 2 0 - A -

r M = 565,20 DM pro Monat.

1 (17^ i 'q07 = 0. A = 9439,29 DM.

Lösungen Klausur 10

131

5. a) 0 < a j < 1 (Induktionsverankerung); Schluß von n 0 auf ng + 1: Annahme, für ein n 0 gelte

0 0 (ist immer erfüllt) . c)

l i m a n = a; a = i ( a 2 + l ) ; a 2 + l = 2 a ; ( a - l ) 2 = 0; a = 1 . n—>oo ® d) aj = 1 =>• ^ = 1 für alle n.

-

x aj

8,1

l\

_ 4" + 5• 3 n _ l + 5 - ( f ) P " I• 3 n —16• 4 n " I - ( | ) n - 1 6 ; 2n n2 _ iTTT-^TT-

b>

c) ^ ^

2

.. n^o^ 1

. n

n-^o

_ "

„ _9

( _ 2 ) ln + l _ (_1)2n+2=(_1)l_1= _2;

lim a^ = — 2. n—»oo 7. a) f'(x) = (cos x — sin x) • e8™ *+cos *; b) f(x) = x 2 ;

f'(x) = 2 x ;

c) f'(x) = cos(lnx)-jj; =

a J x +

e)f(x) = (2x)*;

=

2x + 2Vx'

In (f(x)) = x • ln(2 x); ^

= ln(2x) + x . i . 2 = ln(2x) + l ;

f'(x) = f(x) • [ ln(2 x) + 1 ] = (2x) x • [ln(2x) + 1].

1 !6; 1 _3. 2 2'

132 8.

Lösungen Klausur 10 a)ft(x) = l - ^

;t>0

Definitionsbereich: D = R wegen e x + 1 > 0 für alle x; Nullstellen: 2e x = e x + t ; t = e x ; Xj, = I n t ; N t ( l n t ; 0 ) ; x x x x - ^(e + 1 )f 2-xe — 2e • e = (e + t ^ daher gibt es keine Extremwerte.

x= f/(x) 1

x f t ' ( x ) = - 2 t e x+ 1 - 21 _ x- 2 t (e + t) e +t

f t "( x )

=

=

2tex _ 4t2ex x (e + t Y (ex +1) 21e x • (e x — t) _ ft -g = 0; (e x + t) 3

x „ x *ot tee * < 0»für alle (e +1)

2t ' (e x + t) 2 _

2te2x + 2t2ex-4t2ex (e x +1)

Xj = In t .

Da f t "(x) an der Stelle In t einen Vorzeichenwechsel hat, ist W t (ln t ; 0) = N t (ln t ; 0) ein Wendepunkt. Asymptotisches Verhalten:

y = — 1 ist rechtsseitige Asymptote; lim ( l - 4 g - ) = 1 - 0 = 1; x-> - OO v e + 1 / y = 1 ist linksseitige Asymptote. b)

133

Lösungen K l a u s u r 1 0 l 9.

a) m ( x ) =

m

0

-(l-Ì2 ) 3

„2

m'(x) = 2

b

)

10. a)

b

)

e

£1

=

£

m(ö'c) =

lim S S J ^ x-»l l n x l i m

=

rC " *

=

2

2

2

2° 2 2 = c —a •c

( T )

=

0

2

.

-

lim x-»l

U

X

( x + l)2 + sinx

— — 7r.

("0")

=

l i m

U

x—»0

x-»oo

=

2x

Wegen

ü m

x

x 2 + 2 x + 1 + sin x

x-»oo =

2X

lim ( 1 + 1 + l - Ä ) , x-»oo V 2 x 2x 2x '

s i n x < -—^-5- —• 0 für x—»00 folgt 2 x z _ 12 x 2 1

1 1 . a) Substitution: u = l n x ; d u = j d x

1

1 —a

Ì

c) D i e Regel von L ' H o s p i t a l führt hier nicht z u m Ziel. l i m

2

2 • Änderung u m c a 1 —a

2 ( l - c o s 2 x ) ( J ) = lim

x—>0

2 '

f.

C2

0

b) Partielle Integration m i t l n x = f(x) und \ = g ' ( x ) x

8cm2x -

1

=

4

134

L ö s u n g e n K l a u s u r 10

x / x f'W 2 x 12. a ) e f ( x ) = 1 ^ l . x = x 2 e * ;

i

Ttf*

xex 1

I f M ^ e * " x _ 1

b)2 = f(l)=c

| exdx = xex -

) ^

e X

)

0

;

=}•

13. a ) f(A x , A y ) =

1

f(x) =

Ax +

)^

=

Cl

x

+

.efT;

V(3,3>f2~) =

9{ïir.

Ergebnisse Klausur 11

139

16. a) F ist homogen vom Grad r = — 1. b) F ist um ungefähr 2 % zu klein. 17. a)

gl

n g 2 : P j ( l ; 0 ; 1);

/x\ b) x = i y 1 =

gl

n g 3 : P2(l;2;3); g2ng3:

P3(3;2;l);

/l\ /0\ / 2\ I 0 1 + A i 2 j + / J 2 1, X , f i e R ;

c) x — y + z — 2 = 0.

19. a) A 2 = — E (E = Einheitsmatrix);

A 3 = - A; A 4 = E ;

b) A " 1 = - A . 20.

X

b) Zielfunktion: Lösung:

z = 2x + 6y—• Min.

x = 10; y = 4;

Z j ^ = 44

(im Eckpunkt P 3 ).

140

Lösungen Klausur 13

Klausur 13 1.

a)

b) C n (N x N) = { ( 1 ; 1)}. 2.

Fall I : x > 2,5: x - 2,5 < x 2 - 6,25

x 2 - x - 3,75 > 0 (x-0,5)2 O

> 3,75 + 0,25 = 4

|x — 0,51

> {4

=2

Lx = ( 2 , 5 ; oo). Man könnte auch die Nullstellen von x 2 — x — 3,75 = 0 ausrechnen mit Xj = — 1,5, x 2 = 2,5 ; x > 2,5 (x > 2,5 gilt j a für diesen Fall). Fall I I : x < 2,5: — x + 2,5 < x 2 — 6,25

x 2 + x — 8,75 > 0 ( x - 0 , 5 ) 2 > 8,75 + 0,25 = 9

Nullstellen:

x x = 2,5;

x 2 = — 3,5;

Ln = ( - o o ; -3,5). Lösungsmenge L = L I U L n = ( — oo; - 3 , 5 ) U ( 2 , 5 ; oo) = [ — 3,5;2,5]. l 3.

a) a* =

n

n

- *

2

_ 1

+n

5

; +

lim

lim

22n + 3

n-l

3n+l

a^ = lim

-i;

2

7 • 7n — 7 ~ Q 7 - 7 " 2n 7n + ? - n 2 n' 1+ 7C) »n =

a^ =

_ 4» + | • 3 n 3-3n ~ j

lim

3 \3/

+

9

a n = 7;

;

= +oo (bestimmt divergent).

141

Lösungen Klausur 13 4. a) K 4 = 10 000 • 1,05 • 1,07 • 1,092 = 13 348,30 DM. b ) ( l + iJö) 4 = 1,05-1,07-1,09 2 . p = 100 • [ 4-\ 1,05-1,07-1,092 - 1 ] = 7,487143 %.

5

^ o f - ' l 1 = 10-[l-(0,9) 1 0 ] = 6,513216:

b) ¿ ( Ä ) ^

v ( - ±\k ' ¿iV 10>J 6. a) b)

= 27,5;

v L I V 10'it^V 10,1 -

9 l D ' 1 + i10-

--919-

% = 40,625.

Induktionsanfang: a 1 = 10 < 80. Schluß von nQ auf üq + 1: Annahme: Eis gelte a ^ < 80; zu zeigen 8 ^ ^ = 0,75 ^

< 80

+ 20 < 0,75-80 + 20 = 8 0 .

c) a„ < a ^ = 0,75-8^ + 20 O O^öa^j < 20 O a,, < 80 ; gilt nach a). d)

lim a n = a; 11—»oo

a = 0,75a + 20;

a = 80 .

7. a) f'(x) = l - x ^ - e " 3 1 - x 3 / 2 - e " x =

>nr.(|-x)-e-x;

b) f'(x) = - = — — = v2 5 - ; ' •Jx + l - 2- ^ x + l x + l*

• u = cosO = 1; x = ? u — cos • e ? ^= = — 4 > 1 x T ^^ J t a n x d x = - J ¿ d u = In | u | 1 = - In ( -¡L) = In aJT «0,3466. 0 l l >12 N2 f'(x) 13. a ) e f ( x ) = ^ 1. , xY = — - x f(x) f 2 (x) Jf F m

=

— j^y f(x)

a

- J k -

-f(x),a?i0^®= - x ^ a - l ^ f 2 (x) 1

dx

— —s-xa + =

-1

C;C€R;

j - 1 — ; x —L

CeR;

s

b) a = 0 ergibt

f 2 (x)

J

- j K f(x) "fO f

W

=

- lnx + C ; C e R ;

=

E l t e

'

C e R

14. a) g(Ax,Ay) = f^Ax,Ay)+f 2 (Ax,Ay) = Ar• [^(x.y) + f 2 (x,y)] = Ar • g(x, y);

homogen vom Grad r.

b) h(A x, A y) = f x (Ax, A y) • f2(A x, A y) = Ar • f^x, y) • Ar • f 2 (x, y) = A2r.f1(x,y).f2(x,y) = A2r.h(x,y); homogen vom Grad 2 r.

1

"

y )

~

f 2 (Ax,Ay) -

Ar• f 2 (x,y) ~ f 2 (x,y)

= w(x, y) = A° • w(x, y); homogen vom Grad 0.

Lösungen Klausur 13

145

15. a) V ( A r , A h ) = | - i r . A 3 - r 3 + ± - j r - A 2 - r 2 - A - h = A 3 - V ( r , h ) ; V ist homogen vom Grad r = 3. b) dV(r, h ) = V r (r, h)dr + V h (r,h)dh = 2 • • r • (r + ^ • h) dr + ^ • ?r • r 2 • dh. c) dV(r, h) = 0 ; r = 9 ; h = 18; dh = 0 , 5 , dr gesucht 0 = ff • (18 • 15 • dr + 27 • 0,5)

=• dr =

- 27 = -0,05 . 2 • 18 • 15

16. Lagrange-Funktion =

L(r,h,A)

j1i r_„2 r^h

A• ( h 2 + r 2 — 9)

L r (r, h, A) =

|irrh + A-2r

L h (r,h,A) =

j i r r 2 + A • 2h

L A (r, h, A) =

h 2 + r2 - 9

Lr • h — Lh • r = j r h

=0 =0 =0

-±:rr3 =

2

Nebenbedingung: h 2 + 2 h 2 = 9 ;

17. a)AB

=

(

2 0 0 \

0 2 0

0 0 2 /

(Nebenbedingung) • ( 2 h 2 - r 2 ) = 0 => r = ^ • h; h = f3 ; r =

== 2 • E (E =

Einheitsmatrix);

b) Aus A • B = 2 • E folgt A • ( i B) = E, also

A - > = ' B

j

5 2

3 2

1 2

7

5 2

1

11 T

7 2

1 2

=

( 0 = a 1 (-!)=(=i): =

A"

1

— 6\ / 16 ^ 2 1 = 1 20 8/ V— 30 i

.

Losungen Klausur 13

146 18. a) (1) 4 x - 6y + 2 z (2) 4 x - 5y + z

- 4 = 0 - 4 = 0 .

z = /ieR. ( l ) - ( 2 ) = > - y + z = 0 =>y = z = /i; (1): 4x — 6/i + 2/i —4 = 0 => x = 1 + g: b) Die Punkte

P x ( l ; 0; 0) ; P 2 (0; 0; 4) und P 3 ( 0; - | ; 0) liegen in

der Ebene E 2 . Dann liegen die Verbindungsvektoren PlP2

und

=

/-I PjPs = | - 5 / 4 ]

in der Ebene und müssen auf dem Richtungsvektor Geraden senkrecht stehen. Damit erhält man die Bedingungen = -a+4 =

0 = (4;b;l).

)

f - 1 = —4 —^b •5/4

19. x: Strecke von A ; 2 y = z; 2 (z — y) = x + 15 4 x + 20

Strecke von B; O x+ 2y-2z 4x -3z

a = 4;

b = -5.

z: Strecke von C = -15. = -20.

1 0 4

2 2 0

-2 -1 -3

-15 0 -20

1 0 0

2 2 -8

-2 -1 5

-15 0 40

Lösung:

1 0 0

2 2 0

-2 -1 1

-15 0 40

x = 25 cm y = 20 cm z = 40 cm.

der

Lösungen Klausur 13

147

20. a) x kg Obstsalat nach R j ; 2 x + 3 y > 30 x + 3y < 60 4x + y < 6 4

y kg Obstsalat nach R^

I II III

Eckpunkte: Ej: 2x + 3y = 30;y = 0;

E a (15;0);

E 2 : 4 x + y = 64;y = 0;

E 2 (16;0);

E 3 : x + 3y = 60; 4 x + y = 64;

E 3 (12; 16);

E 4 : x + 3 y = 60; x = ö ;

E 4 (0;20);

E 5 : 2x + 3y = 30; X = 0;

E s (0;10).

b) Zielfunktion: z = 5x+10y—• Max. Im Eckpunkt z

P 3 (12; 16) wird das Maximum angenommen:

M«x. =

220

fi»1

x

=

12

und

y=

16

-

148

Ergebnisse Klausur 14

Klausur 14 1.

a) A

3

^

- 1

0


0 9 < x + y < 30 x :y > 1:2 x - y < >

30 — x 9- x 2x x —3 .

P ^ I O ^ O ) ; P 2 ( 3 ; 6 ) ; P 3 (6; 3); P 4 (16,5; 13,5).

b) z = 1,2 x + 12 y ; z

Min. = 43,2 bei P 3 (6; 3), also mit 6 1 Orangensaft und 3 1 Sekt.

151

Lösungen Klausur 16

Klausur 16 1.

a) B \ A = ( - 1; 1) \ {0} = ( - 1; 0) U ( 0 ; 1); A f l B = { — 1;0;1;}; b) C = {(x, y) e R 2 1 x 2 + y 2 < 4 },

Kreis mit dem Radius r = 2 mit

(x — 2) (x + 2) < i ( x + 2) a ) Für x = — 2 ist die Ungleichung erfüllt. ß) x > - 2 : Division durch (x + 2) > 0 ergibt:

x-22

1

^ 4 . a

5 ' _

*

n o

o . 3 _ 11

- l > l

S + i ^ i ' ^ ' S -

1

a3«l,0358.

4 ^ - 1

- a + I

=

4.

es gelte

=

lim a^ = a ; n—»oo 0=

,

_

gilt

0 < 4 •(a2 - a^ + c)

_

r r r i

=

a2 = i - > j y « 1,3223;

Wegen a n > 0

1

a1 = 2 > ^.

* b)aj =2;

-15;

>|n + 3 +>Jn" 3

Schluß von n 0 auf n 0 + 1: >

. '

.Jn + 3

(5)k

a ) Induktionsbeginn:

%

4 1 0 ~ n —3 3 1 0 _ n - 1 + 2-10-1

(bestimmt) divergent.

-

b

=

=

>|n + 3 + >fn" _ n + 3 - n

5

_

=

4 • (a„ - i ) 2

a = i• ^4a — 1 * =(a-^)2;

O

[2. 3 ^ ~T> ~ ~2~) ' 4 \ ~ ~2~» -yv-

Die Gleichung der Nebenbedingung stellt einen Kreis um den Koordinatenursprung O mit dem Radius 1 dar. Da diese Menge abgeschlossen und beschränkt ist, nimmt die stetige Funktion f(x, y ) = x y ein globales Maximum und Minimum an. Die Funktionswerte lauten r ( Ì l - & - f ( -

"

2 ' 2 '

^ 2 '

^

2 '

—

2' 2

"

,

Ì2v_

1

2

~2

J

2 ' ~

2

P j , P 2 globale (absolute) Maxima und P 3 , P 4 globale Minima. 16. f ( x , y ) = In (x 2 + e 2 y ) + (x + 1 ) 2 + y. a)fx(x,y) = ^

V >U)

y W

-

^

+2(x + l);

2 x 2 2 v +2 x + 1 _ * +e * . 2y 2e ' x2 + e 2 y +

, i0 v y W

~

2 2+ 1 ~

_2 3'

Aus In (x 2 + e 2 y ) + (x + l) 2 + y = 0 erhält man für x = 0 l n ( 0 + e 2 y ( O ) ) + l + y ( 0 ) = 0; T

l ( x

2 • y(0) + 1 + y(0) = 0 ; y(0) = - ± ;

)=-l-§x.

b) In (0,1 2 + e 2 y ) + (0,1 + l) 2 + y = 0 y(0,l) « T l ( 0 , l ) = - i - 3 ^

=

-§.

Losungen Klausur 16

157

17. f(x, y) = (x 2 -y) • e x + y . f x (x, y) = 2 x • e x + y + (x 2 -y) • e x + y = (x 2 + 2 x - y) • e x + y f y (x, y) = - e x + y + (x 2 -y) • e x + y = (x2 - y - 1) • e x + y f x x (x, y) = (2 x + 2) • e x + y + (x 2 + 2 x - y) • e x + y = (x 2 + 4 x - y + 2) • e x + y f y y (x, y) = - e x + y + (x 2 - y - 1) • e x + y = (x 2 - y - 2) • e x + y f x y (x,y) = - e x + y + (x 2 + 2x - y ) • e x + y = (x 2 + 2 x - y - 1) • e x + y . f x (x,y) = 0=» x 2 + 2 x — y fy(x,y)=0=> x (1) — (2) (29

2

= 0

-y-1 = 0

2x + l = 0;

(1) (2)

x=

=>• y = x 2 — 1;

- i

y=

A(-i;-|) = e - t . [ l . ( - l ) - ( - l ) 2 ]

,also

x= ^-ip.

Mit A = 2 p erhält man die Parameterdarstellung für die Schnittgerade:

^ y j = ¿ - ^ - 4 j + A-^

lj,AeR.

b) a) z = n und y = v ergibt eine Parameterdarstellung für

steht die Gerade g nicht senkrecht auf E r

Lösungen Klausur

158 ß)

M i t z = s u n d y = t erhält m a n eine Parameterdarstellung für

E

2

:

+ s*|

0

I +

t

| 1 1,

s,teR.

Wegen ( - 2 , 6 , - 4 ) - / - 2 \ =

0

und

( - 2 , 6 ,

- 4) • / 3 \

= 0

steht die G e r a d e g senkrecht a u f E 2 . 19. a) A u s A • B = E f o l g t

.

1

1

1

1

0

0

(1)

3

2

0

0

1

0

(2)

0

1

1

0

0

1

(3)

1

1

1

1

0

0

(1) = (1')

0

1

1

0

0

1

(3) = (2')

0

-

1

0

(2) — 3 x (1) = (3')

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

(2*)

1

1

(3') + (2')

0

1

0

-

-

3

2

- 3

- 3

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

3/2

1

0

0

1

0

1

0

-3/2

0

0

1

3/2

2 B

= A

- 1

=

b

- 3 3

b)

_ 1

B = A

B

- 1

=

A.

-

1

-

1

(1') — (2') 1

-1/2

-1/2

0

3/2

—1/2

-1/2

0

- 2

1

3 -

(2') (3') + (2') = ( 3 " )

- 1

1/2

- 1

(1') — (2')

1

(2')-(3")

16

Losungen Klausur 16 20. a)

x: Anzahl Kühe;

(1) 10 x +

159 y: Anzahl Schweine

2 y < 200

(2) lOx + lOy < 800 (3) 30 x +

4y < 480

b) Zielfunktion: z = 1800 x + 600 y

Max.

p

(16 ;0)

(5; 75)

(0;80)

(8; 60)

z

28800

54000

48000

50400

Lösung in P 1 (5;75), also x = 5; y = 75 ; z M a x = 54000.

Ergebnisse Klausur 17

160

Klausur 17 b) A n ( N x N ) ;2), (2; 1), (2; 2 ) } .

2.

L = ( — oo; >J~2 - 1].

3.

a ) G = 636 241,50 DM. b) M a • [l2 +

= 0,03 • G

M a = 1565,17 DM.

c) 0 = K 2 0 = G • 1 , 0 8 » - M A • [12 + « f o f l •

M ^ l

=> M A = 3 506,80 DM. 4.

a) 2,5;

5.

a)

6.

D = R \ { 1 ; — 3 } . An der Stelle x = 1 ist eine stetige Ergänzung durch o f(l) = ^ möglich. Für x = 3 gibt es keine stetige Ergänzung.

7.

a)f'(x) = l . C o s | . e 8 i n t ;

a) 1;

b)

fa.

ß)

b) 29087.

b

) f'(x) =

2(1

c) f'(x) = e • t • x c ~ 1 • (x e + 1 ) * ~ 1 ; d) f '(x) = cos x • cos (x 2 ) — 2 x • sin x • sin (x 2 ).

-321nx);

Ergebnisse Klausur 17 8.

161

a) e K (x) = 1 + 4 x — x 2 ;

b) Zunahme um ungefähr 11 %.

c) Globales Maximum an der Stelle x = 4. 9.

Definitionsbereich: D = R \ { 0 } ; lokales (relatives) Maximum: Wendepunkt: W ( l ; l ) ;

10. a) 1;

b) 3,5;

Nullstelle N ( 1 ; 0 ) ; P^;

Asymptote:

c)

x-Achse.

0.

11. a) T2(X) = 2 - > | 3 " « T

2

( l ) = 1,75;

b) | R j ( x ) | < g - ^ j - x 3 « 0,128-x 3 f ü r 0 < x ; 1 ^ ( 1 ) 1 < 0,128. c)

22 '

1 o d) | A — A | < 0 , 1 2 8 - J x 3 dx =0,032. o 12. a) i ; 13. P(x) = e

b)

1-|.

_ 23

2,3 -e3

+

1

J

.

14. a ) T 1 ( x , y ) = 2 x + y + 2; b) z = f(0,y) = I n ( e 2 y ) + y = 2 y + } , y ? É 0 .

Ergebnisse Klausur 17

162 15. a) f ist homogen vom Grad r = 1;

b) nach der Eulerschen Homogenitätsrelation ist die Summe gleich dem Homogenitätsgrad r = 1.

16 Pi

- (A; Ä ); f ( w ) =

globales (abs) Maximum;

17. a) g steht senkrecht auf E für die beiden Paare o a 1j = 2 und b j == — ^ oder a j = — 3 und b 2 = 1. b) Kein Schnittpunkt. 18. a) X T • X = (

?

5 );

b) A • (X T • X) = E

19. x

A = (X T • X )

- 1

^A

- 1

= XT • X

AeR.

20. gy < x < y 450 x + 3 0 0 y 0.

Zielfunktion: z = 5 0 x + 60y.

\

z M a x = 7000 für x = 50 und y = 75.

z = 3000

Lösungen Klausur 19

163

Klausur 19 1. a)

b)

c) D = {(1; 1), (1; 2), (2; 2), (3; 2), (4; 1), (4; 2)}. 2. Fall I: x + 2 > 0 x> -2 2 x-(x + 2)+x = x + 3 x > 4 (x+|) a > 4 + 1 = 2«; |x + | | > §; x> - | + § = 1 ; x< - § - § = - 4 . LI = (1;«)); Fall II: x + 2 < 0

x< - 2

x • ( - x - 2) + x = - x 2 - x >4 0 x2 + x < — 4 (x+£) 2 < - 4 + | = (nicht möglich);

L n = 0.

Lösungsmenge: L = (1; oo). 3. a)K 2 = 100-1,05 + 1; K3 = 100 • 1,052 +1 • 1,05 + 1 = 112,30 DM. b) K„ = 100 • l,05n ~ 1 + 1 • (1 + 1,05 + 1,052 +... + 1,05° ~ 2) = 100-1,05 = 120- l,05 n _ 1 - 2 0 . c) S3 = 100+ 106+ 112,3 = 318,30 DM. n n • , 1 fl5n — 1 d) Sn = E Kj = E [120 • 1,05' - 1 -20] = 1 2 0 . ' u ° 0 5 -20n = 2 400 • (l,05n — 1) — 20 n.

164 4.

L ö s u n g e n K l a u s u r 19 a)

lim ( l + J Y - - f r = Hm n—»rtr> v ' 11 "T" X n-arv
f

y

2

"

2

l _ J _ Tff\ 1 2

JL_I-J_

~

16

8 "

4 5.

_

k

J

Um - J , n ^ i v t 11 i A

'

x

16'

q Q + 2 — §

a)an_(_1=

O ^ ist eine untere Schranke. 1

b) Induktionsanfang:

a^ =

O

17

16

=

^ < aj = 4;

S c h l u ß von n 0 a u f n 0 + 1; A n n a h m e : es gelte

a

n0+i £ a ^ ;

d a n n folgt d a r a u s unter

Beachtung

von a ) ataQ+l

—anQ _ -

a

% + 2

un
0

f " ( l - t )

für x < x

u m ein globales (absolutes)

2

= - - i ^ n < 0

u n d ft'(x)

< 0

Maximum.

für x > x

2

handelt es

sich

Maximum.

Wendepunkte: ft"(x) =

0;

x

3

=

2 - 1 ;

ft"'(2 - 1 )

^

0: W e n d e p u n k t W ( 2 - 1 ;

2 e

l

"

Asymptoten: lim X—»OO

x + 1 x ®

=

1 l i m -it = X—»OO C

0;

die positive x - A c h s e ist

Asymptote.

2

).

Lösungen Klausur 19

166

X

9. a)F(a) = a + a - " J l - a 2 = a + a - ( l - a 2 ) 5 . b)F'(a) = l + ( l - a 2 ) 5 + a . I ( l - a 2 ) " ^ ( - 2 a ) = F '(a) = 0

1 = ¡*a N 1 —a

2 a 2 -l = ^ 1 — a 2 ; quadrieren

(2a 2 -l) 2 = 1 — a 2 ; 4 a 4 - 4 a 2 +1 = 1 - a 2 ; 4 a 4 - 3 a 2 = 0; a 2 • (4 a 2 — 3) = 0;

a=

. Ein Maximum muß existieren!

a = 0 liefert ein Minimum. 10. a) f(x) f'(x)

=

1

= (1+x)

=-i(l+x)

*=-

f"(x) = | ( l + x) 2 = f"'(x) = - f ( l + x ) T2(X) = 1 - |

b)

l

f(0) = l ;

1 2 - ^ 1 + x)3

3 H(l+x)5

2—

_

8

f"(0)=|;

15 (1 + x) 7 '

+ |x 2 .

= f(l) « T 2 (l) =

_5_ 15 1 _ 15 c) | R ^ l ) | < max 16 3 ! ~ 8-2-3 8 ^ ( 1 + 7 0 ) 7 0

f y ( x , y ) = 0 ; 1 + (x + y) • y = 0 stationäre Stelle:

(x + y) =

+

^y2

-1

=> l - y = Q ; y = l ; x =

-2

P( - 2 ; 1)

A( - 2 ; 1) = e ~ 3 • (3 • 0 - l 2 ) < 0 ; Sattelpunkt an der Stelle P( - 2 ; 1).

17. a) Eliminationsmethode

O

0

Nebenbedingungen: y + z = 9 => y = 9 — 2 z— x — y = 1 =>x= z - y - 1

= z - 9 + z 2 - l ; x = z + z 2 - 10

f(x,y,z) = x + 2y + 3z = z + z 2 - 1 0 + 2 ( 9 - z 2 ) + 3z = - z 2 + 4z + 8 = h(z) . h'(z) = - 2 z + 4 = 0 => h "(z) = - 2 < 0

=>•

z = 2;

y = 5;

x=

Maximum an der Stelle

-4. P( - 4 ; 5 ; 2).

b) Methode von Lagrange Lagrange-Funktion L(x, y, z, A, fi) = x + 2y + 3z

+ A ( z - x - y - 1) + n (y + z 2 - 9)

Lx(x,y,z,A,/i)= 1 - A = 0

=>

A = 1

Ly(x,y,z,A,/i)= 2 - A +ai = 0

=>

n = - 1

Lz(x,y,z,A,/i)= 3 + A +2z/i = 0

=>

z = 2

L A (x,y,z,A,ii)

= z-x-y-1

L^y.z.A.jO

=

y+ z2-9

=0

(1)

=0

=>y = 5;

möglicher Extremwert an der Stelle P( — 4 ; 5 ; 2).

(l)=»x=-4;

Losungen Klausur 19

170

18. a) Die Gerade h soll durch den Punkt P(0; 2; - 1) (für A = 0) gehen. Ansatz fur h: : x =

,

R.

a 1 -a 2 + a 3 = 0. Eine Lösung ist z. B. ax = a^ = 1; h: b)

f

x =

2 1

0 3

1 0

0 1

1 0

0 3

1/2 -1/2

0 1

1 0

0 1

1/2 0 -1/6 1/3

1 2 -1 2

-2 1 2 -4

1 -1 2 5

4 0 -1 a

1 0 0 0

-2 5 0 0

1 -3 3 3

4 -8 3 a —8

1 0 0 0

-2 5 0 0

1 -3 1 0

4 -8 1 a —11

1. Fall: a - 1 1

= 0, also

V

A ~

l

=

also a^11 •O- keine Lösung;

2. Fall: a - 1 1 = 0, also a = 11

letzte Gleichung ist immer erfült.

Lösung für a = 11 : i = l; y = - § + § = - 1 ; J = 4 + 2y — z= 1, also x= 1;

y= — 1;

z=1 .

Lösungen Klausur 19

171

20. a) x + y < 9 0 ; x < 35; y < 2x; x,y > 0

b) z = 300 x + 450 y; Eckpunkte: P^OjO);

P2(35;0);

P3:

x = 35, y = 90 — x = 55;

P 3 (35;55);

P4:

y = 2 x , y = 9 0 - x = 2 x ; x = 30;y = 60;

P 4 (30;60).

P 3 : z = 35 250; P 4 : z = 36 000; Maximum für x = 30 und y = 60.

Ergebnisse Klausur 20

172 K l a u s u r 20 1.

y4

a)

c)

( Z x Z ) n A = { ( - 1 ; 0), (0; 0), (1; 0), (0; — 1)}.

2.

L =

3.

a) z = ^ Grad pro Meter.

4.

128 Jahre.

5.

a) - 10,5;

6.

a)

b) t = 6425 m.

b) | e;

c) T = 321,71875° C.

c)

b) 24. 2 In (e* — e ~ x )

7

-

•>

f

'

w

-

b)f'(x) = u - ^ ü + S i T ) , _ c) f (x) —

2

-

4

^ '

3cosx-cos(3x + 2 i r ) + s i n x - s i n ( 3 x + 2;r) ö ! cos 2 x

n« v ¿sin ( » x + b ) d)f(x) = e 2 ; f'(x) = | . c o s ( a x + b ) .

+

173

Ergebnisse Klausur 20 8.

R = H = 10 cm.

9.

Definitionsbereich: D = R \ { - 2 t } . Nullstellen: N x ( - 1 - ^ 3 ; 0); N 2 (t• -f3 ; 0). Extremwerte:

lokales (relatives) Minimum P 3 ( — t; — 21); lokales (relatives) Maximum P 4 ( — 31; — 61).

Wendepunkte: keine. Asymptote: x 2 — 312 _ x + 2t

(x + 21) (x — 2t) + 1 2 = _x - 2 t x + 2t

+

x + 2t -+0 für x—» ± oo

y = x — 21 ist Asymptote,

x = — 21 ist Polstelle mit vertikaler Asymptote.

X

10. a) 6;

b) - 1 ;

11. a) T 2 ( X ) = - x 2 ;

d) |A — Ä|
oo X

=

— oo ;

("g")

=

die n e g a t i v e y - A c h s e ist j lim £ X—«OO

d i e p o s i t i v e x - A c h s e ist

=

Asymptote.

lim 1 = 0 ; X—»oo 2 X

Asymptote.

Stelle

178

9.

Lösungen Klausur 22

Oberflache: 0 = * r 2 + 2irrh 2ft Volumen: V = x r 2 h = 20 * => h = =y i n O eingesetzt ergibt

0 = ,r(r 2 + f ) = f(r) f'(r) = ^ ( 2 r - ^ ) = 0;

r 3 = 20;

=W ; h =

wegen f "(r) = x ^ r + ^

> 0 für alle r > 0, ist die Funktion konvex.

r

J L _ = W ;

Daher handelt es sich um ein globales (absolutes) Minimum. 10. a ) f(x) = - | + x + ln>f7 = _ | f'(x) f"M

+ x

+ i-lnx

+^ = -

f'(i)=|;

£

f"(i) = - i ;

T2(X)= - § + | ( x - l ) - I ( x - l )

b) T 2 ( X ) = 0 ; x 2 — 8 x + 1 2 = 0 ; c) 11^(2)1 < max 1 < V< 2

f(l) =

\ 1

2

= - ^ + 2x-3.

x 1 = 2;

=i = i. 0

x 2 = 6.

Lösungen Klausur 22 11.

a

) i i m » j P 2 x - l ("0") = ' K ^ 2 x — TT v 0 ' =

b

179

)

lim

2sinx-cosx 1 ^ 2 x —JT

w

lim 2 s i n x - c o s x * ^ 2 x — r

lim e ( X - . 1 } ; X - 2 ; - e 3 x—>0 Sin(x + |)

=

1

=0.

= e 2 —e 3

(kein unbestimmter Ausdruck!). c)

lim ( l - c o s x ) x ( = " 0 ° " ) ; x—»0 g(x) = lnf(x) = x • In (1 — c o s x ) ; lim g ( x ) = lim x - l n ( l - c o s x ) ("0 • oo) = lim x—»0 x—»0 x->0 — sinx ("0") = lim i^cosx = lim U x—>0 4t x—»0 1 C O S X X j j m 2 x s i n x + x 2 c o s x /"0"\ sinX 0 x™ =

lim

x-»0

lp(l~cosx)

J

2 sinx + 4 x c o s x —x 2 sinx n cösx = 0lim g(x)

f(x) =

i i m f(x) x->0

=

lim

x—»O

12. a) Nullstellen : 0 = f(x) = e x - e

x e ®( )

2 x _ 1

= e° = 1.

= e

=*x = 2 x - l ;

x=l.

Links von der Nullstelle ist f positiv, rechts davon negativ, l F = | (ex-e2x"1)dx o

2 | (e* — e 2 x — 1 ) dx 1

• [ ' - K - ' l i - ^ - K - ] ! =

— i — i + j ' - ' - ^ + p + i - j .

=

("gg")

180

Losungen Klausur 22 b) Partielle Integration mit g'(x) = > r x = x 5 ; g ( x ) = | x 2 ;

13. £ f (x)

f(x) = l n x ; f'(x) = x1

=

m* . 2• ^f(x) = 2 - l n x + 2 C ,Jf(x)

=

lnx + C

= (lnx+C)2;

f(x)

(C = Konstante)

4 = f ( l ) = (In 1 + C ) 2 = C 2 ;

Für C = — 2 ist die Elastizität nicht definiert. Lösung:

f(x) =

(lnx+2)2.

+ *2

14. a) f(x, y) =

,2

X• e

x

f,x( »y)

+2x)_ -Jxy3 + x2

b) f(A x, A y) = A 2 - 4 ^ ? + A 2 . x 2 f ist homogen vom Grad r = 2.

+ ^ x y 3 + x2

=A2-f(x,y);

.2

C=±2.

Losungen Klausur 22

181

15. V ( r , h ) = j r r 2 h + ì i r r 3

.

d V = (2 ir r h + jt r ) dr + * r 2 d h . 2

d r

_

1

T - T Ü '

.

J

d r

R

_

L

T

.

d

"Tör!

h

dV = (2xrh + T r 2 ) i r =

TÜ*

f 2

+ ^

h

_

1

T " T Ö

*

+ f 3

;

* r

.

J

2

L

.

1

10

L

,

'

^ h

=

r2 h + j * r3)

=^-V(r,h).

D a s V o l u m e n erhöht sich u m ungefähr 30 % .

16. f ( x , y ) =

l

x

2

+ ì y

2

- ì x y - Ì x + y + 7.

fx(x,y) =

x - ì y - ì

=0

(1)

fy(x,y) =

^y-^x + 1

=0

(2)

( l ) + (2)

=> x = - 1 ;

fxx(x'y)

f

A(x,y)=

yy

ì - i

(x»y) =

(2)

=> f

xy

(x»y)

y = =

-3 -5;

> 0 fur alle ( x , y )

=>• globales (absolutes) E x t r e m u m . f x x ( x , y) = 1 > 0

17. u ± w

u T - w

u ± v u T - v

=>• globales M i n i m u m an der Stelle P ( — 1 ; — 3).

= (2,2,b)-^

= ( 2 , 2 , b) • /

5 ^ = 4 — b 2 = 0; b

1 2

=

±2;

c \ = 2c + 2 a - 6 + b = 0

(1)

M v _L w

vT-w

= ( c , a —3,1) • /

5 \ = 5c-3a + 9-b = 0

(2)

U) 1. F a l l : b = 2 2. F a l l : b = - 2

2c + 2 a = 4 ; 5 c - 3 a = - 7

=> a =

= > 2 c + 2 a = 8 ; 5 c - 3 a = - 1 1 => a =

c = c=

|.

182 L8.

L9.

Lösungen Klausur 22 1 2 3

1 2 3

1 1 -1

3 4 0

1 0 0

1 0 0

1 1 4

3 2 9

1 0 0

1 0 0

1 1 0

3 2 1

1 -

a

0

keine Lösung

—a

0

1

0

0 (1)

1

—a

0

1

0 (2)

—a

1

0

0

1 (3)

-1

1

0

1 (1)"(3)

(1') 1 (2') 0

1 — a2

—a

a

1

0 (2) + (1) -

(3') 0

—a

1

0

0

1 (3)

(1") 1

0

-1

1

0

1

0

(2") 0

1 — 2a2 0

a

1

a (2') + (3')

(3") 0

—a

1

0

0

1

-1

1

0

1

a

1

a

1 0

0

1 — 2a2 0

0

0

1 — 2a2

a2

a

1 - a2

1 -- 2 a 2

0

0

1 - a2

a

a2

a

1

a

a2

a

1 - a2

0 0 Hinweis:

1 — 2a2 0 0

1 — 2a2

(*) = a • (2") + (1 - 2 a 2 ) • (3") (**) = ( 1 - 2 a 2 ) • ( ! " ) + ( 3 " )

(*) (**)

Losungen Klausur 22 Die Inverse A

183 1

existiert für 1 — 2 a 2 / 0, also für a ^

±

.

Sie lautet dann /l-a'

\t

a

a2

a

1

a

a2

a

1 — a2

\

/

20. a) x: Abnahme Normalbenzin ; y Abnahme Superbenzin. x > 1500; y > 1000; y < 8000; xqpy >

x < 3y.

x,y>0.

0,84 x + 0 , 9 8 y < 11200

z = 3600

b) Zielfunktion: z = 0,36 x + 0,32 y . P : Schnitt von 3 y = x und 0,84 x + 0,98 y = 11200 x = 3 y in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt 3,5y = 11200; y = 3200; x = 9600; Maximaler Gewinn: z = 0,36 • 9 600 + 0,32 • 3 200 = 4 480 DM

184

Ergebnisse Klausur 23

Klasusur 23

X

c)

D = {(1;1),(2;2),(1;2)}.

2.

L=(-oo;-l) U

3.

a) K 5 = 13307,99 DM;

4.

a) a n = sin b

) £

11=1

+ g

b) n > 56,42 Jahre; aufgerundet 57 Jahre. = i• ( — l ) n ist divergent.

0,5 •( - 1 ) " on-a =

g

ep+1 _

n=2

5.

U(l;oo),

r2 4 (4 — ir)

4 (4 — e)

m -1,0485 .

a) Vollständige Induktion; b) vollständige Induktion;

b) f'(x) =

- e ( x _ X ^ x - x . ( l n x + l);

c) f'(x) = In (In x ) + j i i ; d) f'(x) = 7.

3 e 3 x — 4 e2* ( 1 - e~*)2

a)eu(x) = 4 x + i ;

b) 7,5 %;

c) e f (x) = 4x

c) a = ^ .

Ergebnisse Klausur 23

185

8. D = R\{ — t}. Nullstellen: keine; Minimum P( 1; y ^ - f ) ; Wendepunkt

+

Asymptoten: x = 1 (Parallele zur x-Achse); x = — t ist vertikale Asymptote (Polstelle).

9. Seitenlängen: a = 2; 10. a) T 2 (x) = ( x - f ) 2 ; 11. a) 12. a ) | ;

b = 3;

Umfang: U = 10.

b) c o s ( ^ ) «

b) 4,5 ;

_2

c) F < 0,0285.

c) 1.

b ) £ + J.

13.f(x)=^=. 14. f nimmt um ungefähr 4 % ab. „2 15. a) ef x(x, y ) =

3C x-ey + ;

b) homogen vom Grad r = 1.

£ f,y( x »y)

*

= —^- x x-e^ + y

Ergebnisse Klausur 23

186

16. Lokales (relatives) Minimum an der Stelle P( 1 ; 2 ; 3). b) x = 2 und y = — 6.

17. a)

18. a ) t = J ; b) t ^

o

Lösung :

c) nicht möglich.

19. A B = |

3 -2 5 -2 7 - 5

(z) = 2t"3 1 3 2

!

C

=

15 15 I- t

3 5 - 1 2 -4 1 6-15 4

20. a) Für eine festangestellte Kraft 30 DM, für eine Aushilfskraft 30 DM b)z = 30x + 30y. c)

x < 7 y < 10 y>9-|x. x,y>0

d) x = 6 ; y = 0.

L ö s u n g e n K l a u s u r 25

187

•

c) E = { ( 3 ; 3 ) , ( 4 ; 2 ) , ( 4 ; 3 ) } . 2.

r< 1 2 + |x— 11 1. F a l l : x > 1

X2 < 2 + | X — 1 | => x

2

< 2 + x - l

= x + l

« > x

2

- x < l

1 _ 5 *

I x - i | < f

2. F a l l : x < 1 «> (x + i )

2

O

l

-

f

< x < I

+

f ;

=> x 2 < 2 - x + 1 = - x + 3

|n 2 + n + l + ^ n 2 + l ) ^ n 2 + n + 1 + ^n 2 + 1 n >|n + n + l + > | n 2 + l

_

1 +^

2

+

lim a n = i . n—>oo c)

5

6n — 2n n + i.2n-i

_

36 • 6 n ~ 2 — 4 • 2 n ~ 2 125 • 5 n ~ 2 • 2 • 2 n ~ 2

1 8 . / 3 \inn _—2 2 125 \ 5 /

_ ~

6°_2° Z^cn + l o n - l n=2 •

2_o // IiV\ n - 2 125 \ 5 /

_ ü ^ m k _ - 125'Ai V 5 " " k=0 " " ' ü _J 125 i 3 5

5.

2 f W n 1 155'¿-»U/ k=0

2 1_ _ J L _ X _ I Z 125', 1 " 2 5 50 " 5 0 " 1 5

2a2 a

K

+

i

=

r ^ -

0

;

a

i

=

1

-

damit gilt a n > 0 für alle n, 2a?

b) Zu zeigen: 0
0 (a^ - i ) 2 > - i

o

a2-an> -I ; =

(ist immer erfüllt).

Lösungen Klausur 25 c) a = l i m a ^ n-»oo

189 a=

2

*2 2 O 0 = a-(2a2 - 2 a + 1 ) ; 1+ 2a

a = 0 oder 2 a 2 — 2 a + l = 0 (diese quadratische Gleichung hat keine reelle Losung). Damit lautet der Grenzwert a = 0. 6.

f ist stetig und differenzierbar für x f {0; 2 }. a) XQ = 0; f(0) = 1 = f(0 - ) = linksseitiger Grenzwert; rechtsseitiger Grenzwert: lim f(x) = 1 ; f stetig an XQ = 0; x —•O x>0 XQ = 2; f(2) = 8 = f(2 - ) = linksseitiger Grenzwert; rechtsseitiger Grenzwert: lim f(x) = In 2 / 8 ; x -.2 x> 2 f ist nicht stetig an Xg = 2; f ist stetig in R \ { 2 }. b) XQ = 0; f ist stetig an dieser Stelle; linksseitige Ableitung fj'(0) = 1; rechtsseitige Ableitung ^f(O) = 3; damit ist f an dieser Stelle nicht differenzierbar. An der Stelle x = 2 ist f nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar. f ist differenzierbar in R \ { 0; 2 }.

7.

a)f'(x) =

_7.e-x.(l+e-*)4;

b) f ' M = — T T I T T ' 7~T7T2 ' cos ( i i i ) (* + *) c) lnf(x) = 2 - > n r . l n x ; ^ = ^ - . ( 2 + lnx);

d) f(x) =

= ^L-lnx + 2->nr4 f'(x)=

=

( 2 + lnx);

jTHS)

Lösungen Klausur 25

190 8

-

W f t '(x)

=

(x2-tx)2 '

f t "w =

(x 2 — t x) 2 • ( — 2) - (t — 2 x) • 2 • (x 2 — t x) • (2 x — t) (x2-tx)4 (x 2 — t x) • (— 2) - (t - 2 x) • 2 • (2 x — t) (x2-tx)3 — 2x 2 + 2 t x + 2t 2 — 8 t x + 8x 2 (x2-tx)3

6 x 2 - 6 t x + 2t2 (x2-tx)3 "

_

Definitionsbereich : D = R\ { 0 ; t } ; Nullstellen:

keine.

Extremwerte: f t '(x) = 0; x1 =

f t "(|) =

=> lokales (relatives) Maximum an der Stelle

< 0 P ^ ; — ^^;

Wendepunkte: f t "(x) = 0 ; x 2 - t x — — i t 2 ; (x - i ) 2 = | t 2 - i t 2 < 0 => keine Wendepunkte. Asymptoten: lim = 0; x—> ±00 x — t X die x-Achse ist Asymptote.

VA

Die y-Achse ist vertikale Asymptote (Polstelle) mit lim , 1 . = +oo; x—>0 — x ( x - t ) lim x_»o+ x ( x

—

x = t ist vertikale Asymptote (Polstelle) mit lim , 1 , x =_ — oo; x-»t- x ( x - 1 ) lim

/ ^

x

= — oo .

— oo .

/T\

Lösungen

Klausur

9.

2

x

+ y

25

=

=

l

U ( x , y )

=

x + y +

f'(x) =

1 -

2

191

.

l =

x

> l l - x f " ( x ) =

^ 1 - :

x + l + > J l - x

2

= 0

2

+

=• 1 — x

x 2 , > | l - x

1 - x

=f(x)

2

=

2

x

;

2

a)f(x) =

f ' W

( | +

=

3 ( l - x

b

c)

)

' 2

«)

- f ( f

3 , 9 , „\~2 f - ( | + x)

^

—

0 7 *

=

a )

f ( - I )

| N - i 2 " |

Hm x—»00

«