Einführung in die Ökonometrie [6., durchgesehene und verbesserte Auflage. Reprint 2016] 9783486804461, 9783486254495

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Einführung in die Ökonometrie Von

Dr. Johann Heil Universitätsdozent

6., durchgesehene und verbesserte Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Heil, Johann: Einführung in die Ökonometrie / von Johann Heil. - 6., durchges. und verb. Aufl. - München ; Wien : Oldenbourg, 2000 ISBN 3-486-25449-9

© 2000 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: MB Verlagsdruck, Schrobenhausen ISBN 3-486-25449-9

Inhaltsverzeichnis Vorwort 1. Zielsetzung und einführende Überlegungen 1.1. Vorbemerkungen 1.2. Begleitendes Beispiel: Das flexible Akzelerationsmodell 1.3. Anwendungsbedingungen und Bedeutung ökonometrischer Methoden 1.3.1. Quantifizierungsprobleme 1.3.2. Kausalitätsprobleme 1.3.3. Empirische Basis und Bedeutung ökonometrischer Methoden Übungsaufgaben 2. Das einfache, deskriptive, lineare Regressionsmodell 2.1. Das Ernteertrag-Düngermenge-Beispiel 2.2. Anpassungskriterien 2.3. Die Kleinst-Quadrate-Methode 2.4. Umkehrregression 2.5. Zusammenhang zwischen der Regression von Y auf X und der Regression von X auf Y Übungsaufgaben 3. Das einfache, lineare Regressionsmodell 3.1. Nachteile des deskriptiven Modells 3.2. Übergang zum einfachen, linearen Regressionsmodell 3.3. Schätzfunktionen für die Parameter 3.3.1. Verteilung der Yi 3.3.2. KQ-Schätzfunktionen für die Regressionsparameter 3.3.3. Wünschenswerte Eigenschaften von Schätzfunktionen 3.4. Eigenschaften der KQ-Schätzfunktionen a und ß 3.4.1. Erwartungstreue der KQ-Schätzfunktionen a und ß 3.4.2. Effizienz der KQ-Schätzfunktionen ä und ß 3.4.3. Konsistenz der KQ-Schätzfunktionen d und ß 3.5. Intervallschätzungen für die Parameter a und ß 3.6. Prognosen mit dem einfachen, linearen Regressionsmodell Übungsaufgaben Anhang 3.1. Erwartungswert und Varianz einer Linearkombination von Zufallsvariablen 4. Begriff des ökonometrischen Modells und verwandte Begriffe 4.1. Vorbemerkungen 4.2. Begriff des ökonometrischen Modells 4.2.1. Erste Begriffsbestimmung 4.2.2. Inhaltlich genauere Begriffsbestimmung 4.3. Ökonometrische Modelle kennzeichnende Begriffe Übungsaufgaben 5. D a s Multiple, lineare Regressionsmodell 5.1. Ableitung der Schätzfunktionen 5.2. Das Multikollinearitätsproblem Übungsaufgaben

3 4 4 5 10 10 11 12 18 19 19 21 23 28 30 33 34 34 34 40 40 41 43 49 50 50 55 56 63 72 73 75 75 75 76 77 82 86 87 87 89 101

2

Inhaltsverzeichnis

Anhang 5.1. Zeitreihen für das flexible Akzelerationsmodell 6. Nichtlineare Modelle Übungsaufgaben 7. Verfahren zur Prüfung ökonometrischer Modelle: Statistische Tests und andere Methoden 7.1. Modellbildungsprobleme 7.2. Erklärungsziel 7.3. Prüfung von Modellhypothesen 7.3.1. Art der funktionalen Beziehung 7.3.2. Das Bestimmtheitsmaß 7.3.3. Der t-Test 7.3.4. Der Durbin-Watson-Test 7.3.5. Weitere Hilfsmittel zur Spezifikation und Prüfung von Modellen Übungsaufgaben Anhang 7.1. Zeitreihen für das naive Akzelerationsmodell (7-70), (Mill. DM, in Preisen von 1970) Anhang 7.2. Zeitreihen für das Akzelerationsmodell (7-75), (Mill. DM, in Preisen von 1970) 8. Das verallgemeinerte lineare Regressionsmodell und sein grundsätzlicher Stellenwert 8.1. Abweichungen vom KLR, Gründe dafür und Versuche, auf ein KLR zu reduzieren 8.1.1. Der Erwartungswert der Störvariablen ist ungleich Null 8.1.2. Heteroskedastizität 8.1.3. Autokorrelation der Residuen 8.2. Schätzung von heteroskedastischen Modellen und von Modellen mit autokorrelierten Residuen 8.2.1. Konsequenzen für die KQ-Schätzer bei Verletzung der KLR-Annahmen 8.2.2. Schätzung eines heteroskedastischen Modells und des Modells mit autokorrelierten Residuen erster Ordnung Übungsaufgaben 9. Zum Problem simultaner Gleichungssysteme 9.1. Interdependenz zwischen ökonomischen Variablen 9.2. Entsteht Interdependenz durch Fehlspezifikationen? 9.3. Schätzung eines einfachen, interdependenten Systems Übungsaufgaben Anhang Tabelle I: Zum t-Test Tabelle II: Zum Durbin-Watson Test Literaturverzeichnis Sachverzeichnis Korrekturverzeichnis

102 104 116 117 117 119 127 128 138 157 161 172 186 187 188 189 190 191 192 198 202 202 206 211 212 212 214 217 219 220 221 222 224 226

Vorwort zur 1. Auflage Das vorliegende Buch ist für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, aber auch anderer Sozialwissenschaften gedacht. Außerdem wendet sich der Verfasser damit an Kollegen, die eine zwar mathematisch einfache, aber gründliche Diskussion der ökonometrischen Methoden suchen, die in der Angewandten Ökonometrie und Empirischen Wirtschaftsforschung im wesentlichen benutzt werden (können). Beim Leser wird vorausgesetzt, daß er eine statistische Grundausbildung hat, wie sie den Studenten der Wirtschaftswissenschaften im allgemeinen vermittelt wird. Weiter wird angenommen, daß er elementare Kenntnisse in der mikroökonomischen und makroökonomischen Theorie besitzt. Die vorliegende „Einführung in die Ökonometrie" basiert auf einer vierstündigen Wintersemestervorlesung, die der Verfasser mehrmals an der Universität Regensburg gehalten hat. Die Auswahl des Stoffes und die Darstellungsweise sind außerdem wesentlich geprägt von der wissenschaftlichen Arbeit und den Lehrveranstaltungen des Verfassers zur Angewandten Ökonometrie und Empirischen Wirtschaftsforschung sowie der wissenschaftstheoretischen Auseinandersetzung mit deren Grundlagen. An dieser Stelle muß ausdrücklich vielen Studenten gedankt werden, die durch Fragen und Einwände Schwächen früherer Fassungen aufgedeckt haben, sei es, daß sie zu kurz geratene Ausführungen moniert, auf Verständnisschwierigkeiten hingewiesen oder auf mehr Beispiele gedrängt haben. Ich danke auch Dr. rer. pol. Matthias Mors, Dr. rer. pol. Peter de Gijsel und Dr. rer. pol. Josef Ibler, die zur Verbesserung der letzten Fassung beigetragen haben. Mein besonderer Dank gilt meinem Kollegen Priv. Doz. Dr. rer. nat., Dr. rer. pol. Hans-Günther Seifert für viele allgemeine Diskussionen zum Thema in den vergangenen Jahren und für wichtige, verbesserungsfördernde Hinweise.

Vorwort zur 3. Auflage Die dritte Auflage wurde mit dem Textsatzprogramm PcTeX des Rechenzentrums der Universität Regensburg von Herrn Dipl. Geogr. Werner Beck neu geschrieben und formal umgestaltet. Dafür danke ich ihm sehr herzlich. Gegenüber der zweiten Auflage ergaben sich inhaltlich nur wenige Korrekturen.

Vorwort zur 6. Auflage Da sich die Konzeption dieser „Einführung in die Ökonomie" gut bewährt hat, bleibt die 6. Auflage gegenüber der Vorauflage weitgehend unverändert.

1. Zielsetzung und einführende Überlegungen 1 . 1 . Vorbemerkungen Die Ökonometrie besteht aus zwei Teildisziplinen, den Methoden der Ökonometrie und der Angewandten Ökonometrie. Letztere gehört zur Empirischen Wirtschaftsforschung im weitesten Sinn. In diesem Buch werden einfache Methoden der Ökonometrie behandelt. Sie lassen sich durch zwei Charakteristika bestimmen: Einmal durch die benutzten mathematischen Methoden, zum anderen durch die Tatsache, daß sie den größten Teil der ökonometrischen Methoden bilden, die in der Angewandten Ökonometrie benutzt werden (können). An mathematischen Methoden werden hier nur elementare lineare Algebra ohne Matrizendarstellung herangezogen; außerdem Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistische Theorie auf einfachem Niveau. Angesichts der Tatsache, daß in den meisten Lehrbüchern der Ökonometrie die Matrizendarstellung gewählt wird, erscheinen ein paar begründende Hinweise notwendig, warum dieser Weg hier nicht gegangen wird. Ohne Zweifel ist erst mit Hilfe der Matrizentheorie eine allgemeine, einheitliche und kurze Darstellung ökonometrischer Methoden möglich. Es hat sich aber bei Lehrveranstaltungen immer wieder gezeigt, daß die meisten Studenten zu viel Zeit aufwenden müssen, um die in der „Matrizensprache" dargestellten Methoden zu verstehen, so daß den für den Anwender ökonometrischer Methoden sehr wichtigen Problemen zu wenig Beachtung geschenkt werden kann. Da sich weiter die meisten in der Angewandten Ökonometrie sinnvoll1 einsetzbaren Methoden auch im Rahmen elementarer linearer Algebra darstellen - wenigstens jedoch beispielhaft erklären - lassen, wird auf die Matrizenrechnung ganz verzichtet. Ahnliche Überlegungen haben in den letzten Jahren vermutlich auch einige englischsprachige Autoren dazu bewogen, ökonometrische Methoden ohne Matrizendarstellung abzuhandeln. 2 Der Verzicht auf die Matrizenrechnung bedeutet jedoch nicht, daß die zu behandelnden Methoden wie Kochrezepte oder Verfahrensregeln dargestellt werden sollen. Das Gegenteil ist der Fall. Durchgängiges Ziel ist es, auf der Basis schon gut eingeübter, auch durch die Anschauung stützbarer, mathematischer Verfahren die zu behandelnden ökonometrischen Methoden genau zu begründen. Denn nur dann ist es möglich, Methoden korrekt - also ihren Voraussetzungen entsprechend - anzuwenden und die Ergebnisse richtig zu interpretieren. Bei der Ableitung ökonometrischer Maße, von Schätzverfahren, usw. wird deshalb unmittelbar von der Fragestellung ausgegangen und es werden, aufbauend auf intuitiven Vorstellungen und vorgängigem Wissen, mögliche Lösungen dargestellt. Dann werden die Lösungen diskutiert und anhand 1

Damit ist gemeint, daß die Voraussetzungen der benutzten Methoden (approximativ) erfüllt sind.

2

Beispiele hierfür sind: Common (1976), Koutsoyiannis (1977), Kelejian, Oates (1974) und Allard (1974).

1. Zielsetzung und einführende Überlegungen

5

ihrer Eigenschaften die (relativ zu bestimmten Kriterien) beste Lösung bestimmt. Dieser Vorstellung entspricht, daß man z. B. das arithmetische Mittel X nicht als eine Schätzfunktion des Erwartungswertes einer Zufallsvariablen X, die bestimmten Bedingungen3 genügt, einführen sollte; sondern, daß man vielmehr - gegeben bestimmte Beobachtungswerte XijX?, . . ., Xn - von der Frage nach einem Durchschnittswert, Mittelwert oder Repräsentanten für diese Beobachtungswerte ausgehen sollte, oder noch einfacher von dem Problem, wie die „Größenordnung" der Beobachtungswerte durch eine einzige Zahl beschrieben werden kann. Aus den vorgeschlagenen Maßgrößen, Median, arithmetisches Mittel, usw. läßt sich dann unter Berücksichtigung der Art der Beobachtungswerte also je nachdem, ob das betrachtete Merkmal eine nominale, ordinale oder quantitative Variable ist, um nur die gröbste Einteilung zu nennen -, und der Fragestellung die geeignete Maßzahl bestimmen. Selbstverständlich sind auch theoretische Kriterien wichtig, um eine statistische oder ökonometrische Maßzahl zu beurteilen; aber sie sind nicht allein entscheidend: Ein erstes Verständnis, korrekte Anwendung und sichere Interpretationsfähigkeit erzielt man nach Meinung des Verfassers leichter, wenn man von einer konkreten Fragestellung ausgeht, auf intuitiven Vorstellungen aufbaut und an vorhandenem praktischen Wissen anknüpft. Gemäß der beschriebenen Auffassung werden ökonometrische Methoden in einem weiteren Sinn verstanden als von mathematisch orientierten Autoren. 4 Nicht nur Schätzverfahren und statistische Tests werden betrachtet, sondern alle Hilfsmittel, die der Prüfung und Verbesserung eines Modells dienlich sein können. Dazu gehören graphische Veranschaulichungen der Ergebnisse, expost und ex-ante Prognosen, anschauliche Maße wie der durchschnittliche, prozentuale, absolute 5 Prognosefehler, u. a.

1. 2. B e g l e i t e n d e s Beispiel: D a s flexible Akzelerationsmodell Mit der Forderung, bei der Darstellung ökonometrischer Methoden an vorhandenes praktisches Wissen anzuknüpfen, ist unter anderem auch gemeint, daß ökonometrische Fragestellungen an einem realistischen Beispiel diskutiert und die Lösungen anhand dieses Beispiels veranschaulicht werden sollen. 3

D a m i t sind Erwartungstreue, Effizienz und Konsistenz gemeint. Siehe hierzu Abschnitt 3. 3. 3.

4

Als Beispiel sei Schönfeld (1969) genannt.

5

Damit ist der Absolutbetrag eines Prognosefehlers gemeint.

6

1. Zielsetzung und einführende Überlegungen

Deshalb wird ein den Text begleitendes Modell 6 gewählt, das allerdings erst ab dem 4. und besonders im 7. Kapitel für die Argumentation unmittelbar wichtig wird. 7 Als eines der wichtigsten ökonomischen Probleme gilt es, das Investitionsvolumen der Unternehmen insgesamt oder von kleineren Aggregaten wie des Warenproduzierenden Gewerbes oder des Verarbeitenden Gewerbes zu erklären. Als Beispiel soll deshalb ein Modell aus der Investitionstheorie betrachtet werden, und zwar das flexible Akzelerationsmodell. Es gehört zur Akzelerationstheorie, durch die im wesentlichen behauptet wird, daß die Investitionen überwiegend von der erwarteten Produktion bestimmt werden. 8 Durch das flexible Akzelerationsmodell soll versucht werden, die Bruttoanlageinvestitionen l \ des Verarbeitenden Gewerbes zu erklären. 9 Die Fragestellung, auf die das flexible Akzelerationsmodell eine Antwort darstellen soll, lautet etwa folgendermaßen: Von welchen Größen werden die Bruttoanlageinvestitionen eines Jahres t, bestimmt? Oder: Von welchen Größen hängen die Bruttoanlageinvestitionen ab? Oder: Wodurch wird ein bestimmtes Volumen von Bruttoanlageinvestitionen in einem Jahr t bewirkt oder verursacht? 6

Der Begriff Modell wird im 4. Kapitel genau eingeführt, nachdem das einfachste ökonometrische Modell diskutiert wurde. Bis dahin wird auf ein Modellverständnis rekuriert, wie es in den Einführungen in die Mikro- und Makroökonomische Theorie und im folgenden beispielhaft vermittelt wird. Als Erinnerung sei darauf hingewiesen, daß ein Modell eine Antwort auf eine Fragestellung ist. Statt des Ausdrucks Modell wird auch die Bezeichnung Hypothese benutzt. Je nachdem, ob ein Modell als Antwort auf eine Fragestellung „akzeptiert" ist oder nicht, unterscheidet man (vorerst) gestützte, akzeptierte oder begründete oder (noch) nicht gestützte, nicht akzeptierte oder nicht begründete Modelle und (vorerst) abgelehnte Modelle oder Hypothesen, wenn die Prüfung nicht erfolgreich war. Im folgenden werden im allgemeinen nicht mehr begründete, (noch) nicht begründete und abgelehnte Modelle unterschieden. Was gemeint ist, ergibt sich aus dem Zusammenhang.

7

Die in den ersten drei Kapiteln diskutierten Fragestellungen und ihre Lösungen sollte sich der Leser am Beispiel des flexiblen Akzelerationsmodells selbst verdeutlichen, ohne daß durch Übungsaufgaben dazu aulgefordert wird.

8

Die einzelnen Akzelerationsmodelle unterscheiden sich in der Art und Weise, wie die Investitionen von den Produktionserwartungen abhängen, bzw. anders ausgedrückt: wie die Investitionen von den durch die Absatzerwartungen bestimmten Produktionsplänen abhängen. Näheres zur Akzelerationstheorie siehe in Heil (1985b).

9

Im folgenden werden oft die Begriffe „erklären" bzw. „Erklärung" benutzt. Auf diese wichtigen Begriffe kann hier jedoch nicht genau eingegangen werden. Dazu sei auf Stegmüller I (1969), Kapitel I hingewiesen. Nachdem das flexible Akzelerationsmodell dargestellt ist, soll jedoch versucht werden, den Erklärungsbegriff, wie er in der Ökonometrie benutzt wird, wenigstens beispielhaft einzuführen.

1. Zielsetzung und einführende Überlegungen

7

Im folgenden wird zuerst das flexible Akzelerationsmodell dargestellt. Dann wird diskutiert, welche Probleme zu lösen sind, u m von der betrachteten ökonomischen Fragestellung zum flexiblen Akzelerationsmodell zu kommen. Schließlich geht es darum, was ökonometrische Methoden leisten können, u m das flexible Akzelerationsmodell (besser) zu begründen, d. h. besser „empirisch zu stützen". 1 0 Im allgemeinen leitet man heute die verschiedenen Modelle der Investitionstheorie aus einem allgemeinen Investitionsmodell ab. 1 1 Der Einfachheit halber soll dieser Weg hier nicht beschritten, sondern unmittelbar von der speziellen Struktur eines einfachen Investitionsentscheidungsprozesses ausgegangen werden. Danach werden Nettoinvestitionen in Periode t-1 für die Periode t , in der Regel für ein Jahr, geplant. Sie werden mit /"* bezeichnet. 12 Weil aus verschiedenen Gründen 1 3 die geplanten Nettoinvestitionen / " * nicht genau realisiert werden (müssen, können), postuliert man für die realisierten Nettoinvestitionen / " : I? = ßltn*

mit

0< ß

(1-1)

Da es das Ziel ist, die Bruttoinvestitionen I f , also das gesamte Investitionsvolumen einer Periode t zu erklären, müssen die Ersatzinvestitionen ext r a erklärt werden. Durch die verbreitetste Hypothese wird Proportionalität zwischen den Ersatzinvestitionen in t, / t r , und dem Kapitalstock der Vorperiode t — 1, / \ t _ i , angenommen: Irt = 6Kt-1

mit

0< 6< 1

14

(1-2)

Ausgehend von (1-1) bleiben also die geplanten Nettoinvestitionen / " * zu erklären. Sie sind bestimmt als Differenz des für Periode t geplanten Kapitalstocks K* und des am Ende von Periode t-1 vorhandenen Kapitalstocks

10

Was „empirisch stützen" bedeutet, wird im Verlauf dieses 1. Kapitels noch erklärt.

11

Siehe hierzu z. B. Wynn, Holden (1974) und HeU (1985 b), S. 137ff.

12

Im folgenden werden geplante und erwartete Größen durch ein „* " von den entsprechenden realisierten Größen unterschieden.

13

ES ist nicht zwingend, daß genau die geplanten Nettoinvestitionen realisiert werden, weil z. B. Lieferengpässe in der Investitionsgüterindustrie bestehen oder Finanzierungsprobleme auftreten können, tatsächlich mehr oder weniger produziert werden muß als erwartet, sodaß zusätzlich oder weniger investiert wird als geplant.

14

Diese Hypothese wird begründet in Jorgenson, Stephenson (1967), S. 178f. Argumente für die Meinung, daß Netto- und Ersatzinvestitionen nicht getrennt erklärt werden sollen, sind zu finden in Heil (1985b), S. 145ff.

8

1. Zielsetzung und einführende Überlegungen

i r = I + Y. eingesetzt ergibt

p

Da

~

E*,?

"

E*
X„ kann sich z. B. die Art der funktionalen Abhängigkeit zwischen X{ und YJ ändern oder es können andere Modellannahmen verletzt werden. Man unterscheidet deshalb Prognosen für X{ aus dem durch Xi, Xi,.. ,X„ definierten Intervall von Prognosen für kleinere oder größere Werte von Xi als Xi bzw. Xn. Erstere bezeichnet man als ex-post Prognosen, die zweite A r t von Prognosen als ex-ante

Prognosen.27

Im folgenden soll Y für x = xo prognostiziert werden. Da Y0 = a + ßx o + «o

(3-72)

eine Zufallsvariable ist, kann man versuchen, Yo selbst oder E(Yo) zu prognostizieren. Um eine Prognose von Ho = E(Y0) = a + ßx0

(3-73)

zu erhellten, setzt man ä für a und ß für ß in (3-73) ein und erhält als Prognose fa für ßo: = ßx0 (3-74) ßo liegt also auf der geschätzten Geraden und ist die Ordinate zum Abszissenwert x = xo (siehe Abbildung 3-12). Wenn man eine Prognose für Yo : Yo = « + ß x o + «o berechnen will, dann muß man nach (3-72) noch uo - die Störvariable an der Stelle x = x0 - prognostizieren, «o kann mein durch das arithmetische Mittel ü der Realisierungen Ü i = Y i - Y i , « = 1,2 n (3-75) 27

Im allgemeinen bezeichnet man Prognosen des Regressanden für die Regressorenwerte, die bei der Schätzung der Parameter eingingen, als ex-post Prognosen, die anderen als ex-ante Prognosen. Der Grund für die hier gewählte Definition von ex-ante Prognosen ergibt sich aus ihrer Bedeutung für die Prüfung von Modellen. Siehe hierzu Kapitel 7.

3. Das einfache, lineare Regressionsmodell

ex-ante-Prognose

e x-posf-Prognose

65

ex-ante-F¥ognose

Abb. 3-12

prognostizieren: «o

=

. Da

.

ßsr

Xj = 0, ist û = «o = 0.

Damit erhält man als Prognose YQ für y 0 ebenfalls fi0. Da die Prognose fio nichts anderes als eine Schätzfunktion für f i o und Yo ist, ist es wie bei der Punktschätzung für a und ß sinnvoll, Konfidenzschätzungen für die unbekannten Werte fio und V0 abzuleiten. Man erhält damit also Information über die Genauigkeit der Punktprognose fioZuerst soll die Intervallschätzung für fio bestimmt werden. Dazu muß, entsprechend der Intervallschätzung für a und ß, der Erwartungswert, die Varianz und die Art der Verteilung von fio bekannt sein.

G6

3. Das einfache, lineare Regressionsmodell

Nach (3-74) ist ßo eine Linearkombination der Zufallsvariablen d und ß und ist deshalb wie ä und ß normal verteilt. Da a und ß erwartungstreu sind, erhält man aus (3-74) E(ji0)

= E(&)

+

x0E(ß)

E(fio) = a + ßx0 = /i 0

(3-76)

ßo ist also auch erwartungstreu. Als Varianz von fio erhält man 2 8 Var(fio)

= K a r ( d ) + x20Var{ß)

+ 2

x0Cov(a,ß)

Da sowohl ä als auch ß eine lineare Funktion der YJ ist, erwartet man, daß a und ß korreliert sind, daß also Cov(d,ß) ^ 0 ist. Tatsächlich ist jedoch Cov(ä,ß) = 0 (siehe Übungsaufgabe 3. 9). Deshalb folgt mit 0, 0 < 6 < 1 ist, können die Modellstrukturen durch Variation der Parameter nicht beliebig sein. Diese Tatsache macht folgende Definition sinnvoll: Die Menge der Strukturen, die mit allen das Modell konstituierenden Hypothesen und Festlegungen verträglich sind, nennt man die Menge der zulässigen Strukturen. Die Menge der Tupel von Werten der Parameter, die zulässige Strukturen definieren, heißt Parameterraum des Modells. Das Tupel ( a 0 , a , ß , E ( u ) , a 2 ) = (5;3;0,5;0,7;0;20) gehört zum Parameterraum des flexiblen Akzelerationsmodells, weil die gewählten Parameterwerte eine zulässige Struktur definieren. Das Tupel (5;3;0,5;1,5;0;-10) gehört dagegen nicht zum Parameterraum, weil 8 nicht größer als 1 und der Wert einer 10

Wegen statistischer und anderer Tests zur Prüfung ökonometrischer Modelle siehe Kapitel 7.

84

4. Begriff des ökonometrischen Modells

Varianz nicht negativ sein kann. Oben wurde behauptet, daß ein ökonometrisches Modell (wie alle Hypothesen und Theorien) grundsätzlich den Charakter einer Hypothese behält, auch wenn es durch verschiedenartige Tests gestützt ist. Es wurde aber auch behauptet, daß man sich vorstellen kann, daß es tatsächlich ein wahres Modell gibt, durch das also die Abhängigkeit des Regressanden genau so beschrieben wird, wie sie tatsächlich ist. Die „Abhängigkeit des Regressanden . . . wie sie tatsächlich ist" kann man sich durch ein Simulationsexperiment hergestellt denken oder sich tatsächlich herstellen. Um Werte für den Regressanden Y eines einfachen linearen Regressionsmodells Y = a0+ßX +u (4-2) zu bestimmen, wählt man Werte für 10 kg linear ist bzw. durch eine lineare Funktion approximiert werden kann, wird die Düngermenge X in Schritten von einem kg von 11 auf 20 kg erhöht. Es wurden dazu folgende Erträge YJ gemessen i

i ii

Xi kg] Yi M 70

2 3 4 5 6 7 8 9 14 12 13 15 16 17 18 19 70 74 80 76 75 71 66 61

10 20 50

a) Man zeichne die Beobachtungen (X,-, Vi), i = 1, . . . , 10 in ein Diagramm ein, versuche mit.der dadurch vermittelten Information eine adäquate funktionale Beziehung zu spezifizieren und schätze die Regressionsparameter. b) Man betrachte alle Daten für das Ernteertrag-Düngermenge Beispiel (X{ = 1,2,. . . ,20), spezifiziere dafür ein adäquates Modell und schätze es. 6. 2. Man versuche folgende Modelle in lineare Modelle zu transformieren; а) Y = a + ßXy б) Y

=a

+ u

+ ßX + yX2+SZ

c ) Y -

aXßeu

d) Y =

aeßXeu

e) Y

+ ß— + u

=a

+ eZ2 + u

6. 3. Es seien folgende Beobachtungen gegeben: X, 1 2 v< 1,5 2,8

3 3,5

4 3,5

5 3,8

6 4,2

7 8 4 5

Man zeichne (-X,-,Yi) in ein Diagramm, spezifiziere ein lineares und ein nichtlineares Modell, schätze die Parameter und berechne jeweils den durchschnittlichen, absoluten, prozentualen Fehler DF. Welches der beiden Modelle ist adäquater? Der durchschnittliche, absolute prozentuale Fehler ist definiert als d f -

= g ÜC i

i100

6. 4. Der Leser stelle die ihm bekannten nichtlinearen Modelle aus der ökonomischen Theorie zusammen und versuche sie in lineare Modelle zu transformieren.

7. Verfahren zur Prüfung ökonometrischer Modelle: Statistische Tests und andere Methoden 7. 1. M o d e l l b i l d u n g s p r o b l e m e Im vorangehenden Teil des Buches wurden Modelle mit mehreren Regressoren und damit verbundene Probleme zumindest beispielhaft behandelt; es wurden nichtlineare Modelle betrachtet; außerdem wurde der Begriff des ökonometrischen Modells genau bestimmt. Nunmehr läßt sich die zweite Aufgabe der ökonometrischen Methodenlehre genauer beschreiben als im 1. Kapitel: Man kann nun angeben, welche Hypothesen geprüft werden müssen, und damit die Verfahren bestimmen, die die Methodenlehre der Ökonometrie dazu bereitstellen muß. Die erste Aufgabe der ökonometrischen Methodenlehre - die adäquate Schätzung der Modellparameter - wurde im 2. und 3. Kapitel für das einfache, lineare Regressionsmodell schon diskutiert. Die Probleme, wie eine (modellkonstituierende) Hypothese geprüft bzw. gestützt werden kann, werden als Modellbildungsprobleme bezeichnet, und entsprechende Verfahren zur Prüfung solcher Hypothesen heißen Modellbildungsverfahren oder Modellbildungsmethoden. In diesem Abschnitt sollen die wichtigsten Modellbildungsprobleme zusammengestellt werden. Dabei wird sich (genauer als im 1. Kapitel) zeigen, daß die Modellbildungsprobleme, die ein ökonometrisches Modell, also die funktionale Abhängigkeit einer Variablen von anderen Variablen und der Zufallsvariablen, betreffen, nur ein Teil der Modellbildungsprobleme sind, die gelöst werden müssen, um ausgehend von einer ökonomischen Fragestellung ein empirisch gestütztes ökonometrisches Modell als Antwort „anbieten" zu können. Es wird also von einer typischen ökonomischen Fragestellung ausgegangen, z. B. von der Frage, wovon die Bruttoanlageinvestitionen (des Verarbeitenden Gewerbes) in der Zeit nach 1950 abhängen. Bis eine (vorläufig befriedigende) Antwort auf eine solche Fragestellung durch ein ökonometrisches Modell gegeben werden kann, muß eine Reihe von Problemen gelöst werden, die bei allen Fragestellungen auftreten, auf die ein ökonometrisches Modell die Antwort sein soll; das sind z. B. Metrisierungsprobleme oder Probleme der stochastischen Spezifizierung. In diesem Sinn spricht man von ökonometrischen Modellbildungsproblemen. Bevor versucht wird, einen Katalog der wichtigsten ökonometrischen Modellbildungsprobleme zusammenzustellen, werden beispielhaft einige oft auftretende Probleme bei der Spezifikation eines ökonometrischen Modells daraufhin untersucht, ob sie ökonometrische Modellbildungsprobleme sind oder nicht. Als erstes soll das Aggregationsproblem betrachtet werden. Es tritt bekanntlich dann auf, wenn man den Zusammenhang zwischen makroökonomischen oder - allgemeiner - aggregierten Variablen studieren will, entsprechende Hypothesen aber nur für die korrespondierenden mikroökonomischen Variablen begründen kann, bzw. begründen zu können glaubt. Bei der Erklärung der Bruttoanlageinvestitionen des Verarbeitenden Gewerbes wird

118

7. Verfahren zur Prüfung ökonometrischer Modelle

man also von Hypothesen über die Abhängigkeit der Bruttoanlageinvestitionen einzelner Firmen ausgehen und versuchen, davon auf die Abhängigkeit der Bruttoanlageinvestitionen des Verarbeitenden Gewerbes zu schließen. Das Aggregationsproblem ist, wie man weiß, nicht allgemein lösbar. Deshalb hilft man sich meistens damit, daß man Hypothesen für eine „repräsentative Firma" zu begründen sucht und diese Hypothesen dann analog für das entsprechende Aggregat behauptet. D a ökonometrische Modelle sowohl zur Erklärung von mikroökonomischen als auch makroökonomischen Variablen spezifiziert werden, ist das Aggregationsproblem kein Problem der ökonometrischen Modellbildung. Es ist vielmehr ein Problem, das die Bildung ökonomischer und ökonometrischer Makromodelle betrifft. 1 Nicht ökonometrische Modellbildungsprobleme sind selbstverständlich alle Probleme, die nur bei einer bestimmten Fragestellung auftreten; z. B. , ob bestimmte a-priori Informationen wichtig sind und wie sie sich auf die Hypothesenbildung auswirken: Soll etwa versucht werden, die bei Unternehmensbefragungen oftmals geäußerte Meinung, daß Investitionen auch von einer Größe „Investitionsklima" abhängen, zu beachten und deshalb eine entsprechende Variable bei der Erklärung der Bruttoanlageinvestitionen zu berücksichtigen? Die Frage dagegen, wie man prüft, ob eine Variable einen signifikanten Einfluß auf den Regressanden hat, ist ein typisches ökonometrisches Modellbildungsproblem, weil es bei jedem Modell behandelt werden muß. Dies gilt ebenso für alle Quantifizierungsprobleme, weil eine ökonomische Größe nur d a n n durch ein ökonometrisches Modell erklärt werden kann, wenn sie quantifiziert werden kann oder schon quantitativ ist. Weil, wie im ersten Kapitel betont wurde, ökonomische Fragestellungen im allgemeinen auf kausale Erklärungen zielen, also nach kausalen Abhängigkeiten gefragt ist, durch ökonometrische Modelle jedoch (nur) funktionale Abhängigkeiten behauptet werden, besteht in der Frage nach dem Zusammenhang zwischen funktionalen und kausalen Relationen ebenfalls ein Modellbildungsproblem. Die bisherigen Überlegungen kann man folgendermaßen zusammenfassen: Unter ökonometrischen Modellbildungsproblemen2 versteht man solche Probleme, die grundsätzlich auftreten, wenn eine ökonomische Fragestellung durch ein ökonometrisches Modell beantwortet werden soll.3 1

Daß das Aggregationsproblem bei der Spezifikation ökonometrischer Modelle oft schwerwiegend ist, berührt diesen Tatbestand offensichtlich nicht.

2

Im folgenden wird meistens einfach von Modellbildungsproblemen gesprochen.

3

Das bedeutet nicht, daß alle ökonometrischen Modellbildungsprobleme bei der Spezifikation eines jeden Modells auftreten. Bei Modellen mit einem Regressor kann es z.B. kein Multikollinearitätsproblem geben.

7. Verfahren zur Prüfung ökonometrischer Modelle

119

Ausgehend von einer typischen ökonomischen Fragestellung und der Definition eines ökonometrischen Einzelgleichungsmodells, läßt sich also folgender Katalog der wichtigsten Modellbildungsprobleme für ökonometrische Einzelgleichungsmodelle angeben: 1. Zusammenhang zwischen kausalen und funktionalen Relationen 2. Quantifizierung 3. Wahl der Regressoren 4. Wahl der funktionalen Beziehung 5. Stochastische Spezifizierung Bei ökonometrischen Mehrgleichungsmodellen treten weitere Modellbildungsprobleme auf, die hier nicht beachtet werden sollen. Die genannten Modellbildungsprobleme bestehen selbst aus mehreren Einzelproblemen. Man denke etwa an die stochastische Spezifizierung. Wenn Kausalitätsprobleme und Quantifizierungsprobleme gelöst sind, befindet man sich auf der Stufe, ab welcher es um Abhängigkeiten zwischen quantitativen Variablen geht. Da also Kausalitätsprobleme und Quantifizierungsprobleme gelöst sein müssen, damit auf eine ökonomische Fragestellung als Antwort ein ökonometrisches Modell vorgeschlagen werden kann, damit ökonometrische Methoden also fruchtbar angewandt werden können, werden Kausalitätsprobleme und Quantifizierungsprobleme als Grundlagenprobleme der Angewandten Ökonometrie und der Empirischen Wirtschaftsforschung eingestuft.4

7. 2. Erklärungsziel

Nachdem festgestellt wurde, welche Arten von ökonometrischen Modellbildungsproblemen es gibt, müssen die einzelnen Modellbildungsprobleme genauer bestimmt und Lösungen vorgeschlagen werden. Da, je nachdem, welches Modell a-priori behauptet wird, unterschiedliche Eigenschaften getestet werden müssen, wird zuerst diskutiert, ob es ein anzustrebendes Idealmodell gibt, das etwa so bestimmt sein könnte, daß dadurch eine Variable am genauesten erklärt wird. Wenn solch ein Idealmodell existiert, müßte man Art und Aufbau der Tests daran ausrichten: man müßte prüfen, ob ein aufgrund der a-priori Information spezifiziertes Modell schon dieses angestrebte Idealmodell ist. Zu Beginn wurde das einfache, lineare Regressionsmodell als Spezialfall des klassischen, linearen Regressionsmodells (KLR) als arpriori naheliegendes Modell diskutiert: Das KLR ist mathematisch einfach zu handhaben, seine Parameter können mit der KQ-Methode erwartungstreu, effizient und 4

Beide Problemkreise werden in (Heil (1983a) und Heil (1983b)) ausführlich diskutiert.

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konsistent geschätzt werden, und es erschien als geeignet, in seinem Rahmen den Ernteertrag beim betrachteten Beispiel zu erklären. 5 Die Bedeutung des K L R hängt zwar damit zusammen, daß seine Parameter mit der KQ-Methode erwartungstreu, effizient und konsistent geschätzt werden können, der Hauptgrund dafür besteht jedoch in einer anderen T a t sache, auf die schon einige Male hingewiesen wurde: Das KLR steht deshalb im Zentrum des Interesses, weil es das Modell ist, in dessen Rahmen eine Variable a m genauesten erklärt wird. 6 Diese Behauptung soll nun im einzelnen diskutiert werden. Kann man sie begründen, dann folgt daraus, daß als Ziel jede Variable im Rahmen eines KLR erklärt werden sollte, und weiter, daß ökonometrische Modellbildungsprobleme darin bestehen, wie man schließlich ein KLR begründet. Das bedeutet, daß dann im wesentlichen solche Tests betrachtet werden müssen, mit denen KLR-Eigenschaften geprüft werden können. Wie schon wiederholt festgestellt wurde, ist das Ziel jeder Erklärung einer quantitativen Variablen Y, sie möglichst genau zu erklären. Die genaueste Erklärung von Y würde man offensichtlich durch ein deterministisches Modell Yi = a 0 + ßXi + SZi + . . . + f W t (7-1) erzielen; also indem m a n Y als exakt funktional (z. B. linear) abhängig von explizit angegebenen Variablen begründen kann. Da aber ein deterministisches Modell, also eine exakte Erklärung von Y durch explizit angegebene Variable X, Z, . . . , W , nach aller Erfahrung nicht möglich ist, soll „wenigstens" die Differenz zwischen den beobachteten Variablen Y< und ihrem durch Xi, Z i , . . . ,Wi erklärten Teil Yi möglichst klein sein: die Varianz der ui soll also möglichst klein sein. Diese Forderung deckt sich auch mit einem praktisch bestimmten Interesse an ökonometrischen Modellen: möglichst genau prognostizieren zu können. Daß der Versuch, die Yi möglichst genau zu erklären, also einem deterministischen Modell näher zu kommen, fruchtbar ist, kann durch Erfahrung diesbezüglich belegt werden. Diese Erfahrung resultiert aus denselben Versuchen, die zu der Einsicht führen, daß man das wahre (deterministische) Modell nicht erkennen kann: Durch differenziertere Analysen, mehr Informationen, genauere Rechenverfahren u. a. kann man im allgemeinen ein ökonometrisches Modell verbessern, d. h. eine Variable noch genauer erklären, aber man kann sie trotz aller Anstrengung nicht exakt erklären. Hier kann man fragen, warum das wahre Modell bzw. genauer die tatsächliche Abhängigkeit einer quantitativen Variablen von anderen Variablen, der 5

Was für das Ernteertrag-Düngermenge Beispiel gilt, trifft auch oft für ökonomische Fragestellungen zu. Darüber mehr in diesem und dem 8. Kapitel.

6

Eine Variable exakt funktional abhängig von anderen Variablen zu erklären, wäre zwar genauer, ist aber nach edler Erfahrung nicht möglich. Siehe hierzu auch die Überlegungen weiter unten.

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das wahre Modell entspricht, deterministisch sein soll, wo doch ausnahmslos jedes bisherige auch noch so genaue Modell stochastisch war (auch wenn es, wie in manchen Fachgebieten üblich, nicht explizit als stochastisches Modell formuliert wurde bzw. wird). Die Antwort ergibt sich aus dem oben Gesagten, daß durch immer bessere Analyse, zuverlässigere Information, genauere Rechenverfahren der Regressand immer exakter erklärt werden kann. Dieser Sachverhalt wird in allen Fachgebieten bestätigt, weniger in der Ökonometrie, mehr z. B. in der Physik, wo oft -sogar über Jahrhunderte hinweg- physikalische Gesetze immer genauer formuliert werden können. Diese Tatsache legt die Vermutung nahe, daß die wahre, aber nicht vollständig modellhaft erfaßbare Abhängigkeit einer Variablen von anderen Variablen deterministischer und nicht stochastischer Natur ist. Diese Vermutung vom „deterministischen Charakter der Welt" soll im folgenden als Arbeitshypothese akzeptiert bzw. der Arbeitshypothese vorgezogen werden, daß die entsprechenden Abhängigkeiten tatsächlich stochastisch sind. Nachdem man akzeptiert hat, daß eine quantitative Variable Y nur bis auf einen unerklärten Rest durch andere explizit aufgeführte Variable X, Z, . . , W erklärt werden kann, muß man fragen, ob neben der Varianz von u noch andere Eigenschaften von u den Grad der Genauigkeit der Erklärung von Y bestimmen. Ist z. B. ein Regressand Y genau genug erklärt, wenn zwar Var(«,) „klein" ist, die Uj aber nicht unkorreliert sind, oder Var(uj) nicht konstant ist für alle i? Bei den folgenden Überlegungen soll lediglich der Fall korrelierter Residuen betrachtet werden. Für den Fall nichtkonstanter Varianz der Residuen treffen entsprechende Überlegungen zu. Dies wird im Kapitel 8 deutlich, in dem versucht werden soll, Modelle mit korrelierten Residuen oder mit Residuen mit nichtkonstanter Varianz durch korrigierte, genauere Spezifikation auf ein KLR zu reduzieren. Die oben gestellte Frage ist folgendermaßen zu beantworten: Ein Regressand ist durch ein Modell mit korrelierten Residuen oder mit Residuen mit nichtkonstanter Varianz sicher schon deshalb nicht genau genug erklärt, weil das Idealmodell ein deterministisches Modell ist. Weil ein deterministisches Modell aber nicht erreichbar ist, muß mein anders fragen: Läßt sich ein Regressand Y noch genauer erklären, wenn zwar Var(ui) „klein" ist, aber die Ui korreliert sind oder Var(u,) nicht konstant ist? Wenn dies grundsätzlich oder in einigen Fällen nicht möglich ist, wie es nicht möglich ist, ein deterministisches Modell zu erhalten, dann wird man mit der Genauigkeit der gegebenen Erklärung zufrieden sein und sich darum bemühen, Modelle mit korrelierten Residuen oder mit Residuen, deren Varianz nicht konstant ist, adäquat zu schätzen. Wenn es jedoch grundsätzlich möglich ist, einen Regressanden genauer zu erklären, als dann, wenn die Residuen korreliert sind oder ihre Varianz nicht konstant ist, dann wird man versuchen, die Modellspezifikation so zu

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7. Verfahren zur Prüfung ökonometrischer Modelle

ändern, daß eine genauere Erklärung des Regressanden resultiert. Es müssen also Modelle mit korrelierten Residuen betrachtet und es muß geprüft werden, ob dies eine ungenauere Erklärung des Regressanden bedeutet, als wenn die Residuen unkorreliert sind. Es gibt verschiedene Gründe dafür, daß die ut- korreliert sind: z. B. wenn die Art der funktionalen Beziehung falsch spezifiziert wurde oder wenn ein bestimmter systematischer Einfluß auf den Regressanden nicht explizit durch den entsprechenden Regrtssor beschrieben, sondern implizit durch die Störvariable mit erfaßt wurde. Bevor beide Fälle diskutiert werden, soll eine Art der Korrelation der «,• definiert werden, die bei funktionaler Fehlspezifikation und vergessenem Regressor häufig a u f t r i t t und auch in der ökonometrischen Praxis eine wichtige Rolle spielt. Autokorrelation

erster Ordnung der

Residuen

Seien e^, i = 1, 2, . . . unkorrelierte identisch normal verteilte Zufallsvariable 7 mit E f a ) = 0 und Var(ci) = a \ : e, ~ JV(0,crf), i = 1, 2, . . . und sei «i = />«.-1 + U

(7-2)

D a n n heißen die i = 1, 2, . . . autokorreliert erster Ordnung. Die Folge derui, i = 1, 2, . . . heißt autoregressiver Prozeß erster Ordnung. Ob die ttj autokorreliert erster Ordnung sind, kann man mit dem DurbinWatson-Test, der weiter unten besprochen wird, prüfen. Um die beiden Fälle diskutieren zu können, soll hier nur die einfachste Entscheidung beim Durbin-Watson-Test angegeben werden. Die Prüfgröße d beim Durbin-Watson-Test hängt vom Stichprobenumfang n und der Anzahl der Regressoren k' ab. 8 Bei Gültigkeit der Nullhypothese: die uf- sind unkorreliert ist (für n — 1 -2 1

(Y¡ 1 4 1 6

Y/)2

wí 0 -2 2

0 4 4 8

X' = 4,Y'=a' = 6,ß'=^:Yi' = 6 + ix 0.

159

7. Verfahren zur Prüfung ökonometrischer Modelle

Da die Standardabweichung 0

Da die Anzahl der Freiheitsgrade k = 8 ist, erhält man zu einer Irrtumswahrscheinlichkeit von o = 0,05 den Ablehnungsbereich für HQ (siehe Tabelle I, Anhang) {t,t > 1,860}

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7. Verfahren zur Prüfung ökonometrischer Modelle

Konfidenzintervall: 2 ta / 2

H

r-

0

è

V Annahmebereich: 2 t

a/2

Abb. 7-20 Berechnung der Prüfgröße t: Als Spaltensumme von Spalte (5), Tabelle 2-3 x i = 82,5 und weiter erhält man x? = 9,08. Mit der Spaltensumme von Spalte (8) und weil k = 8 ist, ergibt sich =

49,16 = 2,48.

Da ß = 5,87 ist, erhält man als Wert der Prüfgröße t = | S = 21,5. 9,08

Da t = 21,5 > 1,86 ist, muß die Nullhypothese, daß die Düngermenge keinen systematischen Einfluß auf den Ernteertrag hat, abgelehnt werden. Zusammenhang zwischen t-Test und Intervallschätzung Bei der Intervallschätzung wird ein Intervall bestimmt, das mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit 1 — a (z. B. 95%) den wahren Parameter überdeckt. Aus einer Intervallschätzung kann man unmittelbar Aussagen über das Ergebnis des entsprechenden zweiseitigen t-Tests ableiten: Das Konfidenzintervall und das Intervall, das den Annahmebereich beim zweiseitigen t-Test bildet, haben beim selben Signifikanzniveau 1 — a die gleiche Breite: Um dies zu zeigen, muß der Annahmebereich unter HQ : ß = 0 (—ijt,a/2. 2) wieder entstandardisiert werden. Dazu wird — t=l ut Die Beziehung, die zwischen d und ß besteht, wird anschließend abgeleitet. Dabei ergeben sich auch folgende Eigenschaften für d: 1. 0 < d < 4 (7-56) 2. d = 2, wenn e = 0 (7-57) 3. d < 2 (tendenziell) bei positiver Autokorrelation erster Ordnung (7-58) 4. d > 2 (tendenziell) bei negativer Autokorrelation erster Ordnung (7-59) Wenn ß als Schätzfunktion für ß akzeptiert wird, dann entspricht wegen (7-57) die Nullhypothese H0 : d = 2 der Nullhypothese H0 : ß = 0. Die Eigenschaften (7-56) - (7-59) von d ergeben sich aus folgender Umformung von (7-55): _

~ " « - i ) 2 _ E ? = 2 ( " ? ~ 2 M « - i + fi?_i)

37

Ist die Einflußgröße Zt, wie bisher immer angenommen wurde, eine deterministische Variable, dann sind die Zt autokorreliert im deskriptiven Sinn: r(ZuZt-1) » 0, t = 2, 3, . . . , n.

30

Der Durbin-Watson-Test wird wie üblich als zweiseitiger Test dargestellt, obwohl er als einseitiger Test für: keine Autokorrelation gegen positive Autokorrelation erster Ordnung konzipiert wurde. Als zweiseitiger Test kann er nur eine grobe Entscheidungshilfe sein, da dann eine symmetrische Verteilung der Prüfgröfie unterstellt wird, was aber nicht garantiert werden kann, weil die Verteilung der Prüfgröße nicht bekannt ist.

168

7. Verfahren zur Prüfung ökonometrischer Modelle

lJ(=i«« Für einen großen Stichprobenumfang n gilt offensichtlich näherungsweise:

4 — dann verwirft mein Ho'- Unkorreliertheit der ut gegen die Alternative H": negative Autokorrelation erster Ordnung. 3. Ist du < d < 4 — du, dann kann Ho: Unkorreliertheit der ut nicht verworfen werden. 4. Ist di, < d < du oder 4 — du < d < 4 — di, dann ist eine Entscheidung für oder gegen die Nullhypothese nicht möglich. ( d i , d u ) und (4 — du,4 — di) heißen Indifferenzberetche.

Ablehnungsbereich

\

Annahmebereich

Indifierenzbereiche

Ablehnungsbereich

II

Ablehnungsbereich

Abb. 7-23

Annahrnebereich

Ablehnungsbereich

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7. Verfahren zur Prüfung ökonometrischer Modelle

Da der Durbin-Watson-Test aus verschiedenen Gründen nur eine grobe Entscheidungshilfe sein kann, 42 vereinfacht man im allgemeinen die Entscheidungsregel, indem man die Indifferenzbereiche zu den beiden Ablehnungsbereichen hinzunimmt. Dann sind folgende Entscheidungen möglich: 1. Ist d < du oder 4 — du < d, dann verwirft man die Nullhypothese HQ: Unkorreliertheit der «< gegen die Alternativhypothese Hi: Autokorrelation erster Ordnung. 2. Ist du < d < 4— du, dann wird die Nullhypothese Ho'- Unkorreliertheit der u t nicht verworfen. Mit dieser Entscheidungsregel lehnt man Unkorreliertheit der u t eher ab als mit der oben beschriebenen differenzierteren Regel. Da jedoch die Ursachen für Autokorrelation erster Ordnung (funktionale Fehlspeziiikation, vergessener Regressor) schwerwiegend sind, man sie deshalb entdecken und beseitigen will, wird man eher auf der sicheren Seite bleiben, also lieber in Kauf nehmen, daß die richtige Nullhypothese verworfen wird, als daß die zutreffende Alternativhypothese nicht als solche erkannt wird. Das

Ernteertrag-Düngermenge

Beispiel

Abschließend soll der Durbin-Watson-Test beim Ernteertrag-Düngermenge Beispiel durchgeführt werden. Obwohl die Beobachtungen beim Emteertrag-Düngermenge Beispiel Querschnitts* und nicht Zeitreihendaten sind, ist es sinnvoll, den Durbin-WatsonTest anzuwenden, um auf funktionale Fehlspeziiikation zu testen. Die funktionale Abhängigkeit des Ertrags von der Düngermenge braucht nicht linear sein. Man kann sich vorstellen, daß mit zunehmender Düngermenge pro Einheit der Ertragszuwachs abnimmt (abnehmende Grenzerträge) oder gar negativ wird (siehe hierzu Abbildung 3-1). Dann ist aber die wahre funktionale Abhängigkeit zwischen Ertrag und Düngermenge durch eine lineare Funktion fehlspezifiziert. Um eine funktionale Fehlspezifikation, die zu Autokorrelation erster Ordnung der Residuen führt, zu entdecken, ist es deshalb auch bei Querschnittsdaten sinnvoll, den Durbin-Watson-Test anzuwenden. Dies um so mehr, weil man bei ersten Modellspezifikationen im allgemeinen als einfachste Abhängigkeit eine lineare Funktion postuliert. Da die Beobachtungen bei Querschnittsmodellen oft nicht nach der Größe des Regressors geordnet sind, muß darauf geachtet werden, daß bei der Berechnung von d die üj entsprechend der Größe der X,- indiziert sind, also daß gilt: «i

«2

X I < X

42

Üi 2

< . . .

< XI

ün < . . .