Partielle Differentialgleichungen [3., neubearb. Aufl. Reprint 2019] 9783111369297, 9783111012278

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SAMMLUNG

G O S C H E N BAND 1003

Partielle Differentialgleichungen Von

Dr. Guido Hoheisel o. Professor an der Universität Köln

Dritte, neubearbeitete Auflage

W a l t e r

de

G r u y t e r

&

Co.

vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung * J . Guttentag, Verlags* buchhaadlung • Georg Reimer ' Karl J . Trübner • Veit & Comp. Berlin

1953

Alle R e c h t e , einschl. d e r R e c h t e der H e r s t e l l u n g von Photokopien u n d M i k r o f i l m e n , von der V e r l a g s h a n d l u n g vorbehalten

Archiv-Nr. 1 1 1 0 03 Satz: W a l t e r de G r u y t e r & Co., Berlin W 35 D r u c k : Osw. Schmidt GmbH., Leipzig 111/18/65 P r i n t e d in G e r m a n y

Inhaltsverzeichnis K a p i t e l I. Die Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Veränderlichen § 1. Vorbemerkungen § 2. Lineare Gleichungen § 3. Allgemeines und vollständiges Integral §4. Das vollständige Integral § 5. Darstellung des vollständigen Integrals §6. Pfaffsche Gleichungen § 7. Cauchysches Problem Zusammenhang zwischen Charakteristiken und dem vollständigen Integral K a p i t e l II. Die Differentialgleichung erster Ordnung mit n Veränderlichen § 1. Die lineare Gleichung § 2. Die allgemeine Differentialgleichung § 3- Kanonische Transformationen § 4. Die Gruppe der kanonischen Transformationen . . § 5. Kanonische Transformationen und Integration einer Differentialgleichung § 6. Kanonische Transformationen und Cauchysches Anfangswertproblem § 7. Berührungstransformationen Kapitel III. Systeme mit einer und mehr unbekannten Funktionen § 1. lineare Systeme mit einer unbekannten Funktion §2. Allgemeine involutorische Systeme § 3. Allgemeine involutorische Systeme und die Integration einer Differentialgleichung § 4. Systeme mit mehreren unbekannten Funktionen . . K a p i t e l IV. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen § 1. Systeme in Involution § 2. Charakteristiken zweiter Ordnung § 3. Lineare Gleichungen § 4. Randwertaufgaben bei hyperbolischen Gleichungen . § 5. Bestimmte Integrale und Integration linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . Nachträge Sachverzeichnis 1*

5 5 8 11 14 16 20 25 33 35 35 39 44 60 53 61 64 66 66 70 74 79 87 87 96 104 109 116 122 129

Abkürzungen G. D. = Gewöhnliche Differentialgleichungen. Sammlung Göschen Bd. 920 (4. Aufl.). 1951. As. = Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Sammlung Göschen Bd. 1059 (2. Aufl.) 1961.

Literatur B i e b e r b a c h , Differentialgleichungen. 3. Aufl. Berlin, 1937. H o r n , Partielle Differentialgleichungen. (Göschens Lehrbücherei, Band 14) 4. Aufl. Berlin i949. H o r t - T h o m a , Differentialgleichungen der Technik und Physik. Berlin 1939. Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen. Leipzig 1930. Kamke, Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen, Bd. II. Becker & Erler, 1944. C a r a t h é o d o r y , Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen 1935. G o u r s a t , Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Paris 1921. G o u r s a t , Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre. 2 Bände. Paris 1896. E. L. Ince, Ordinary Differential équations. London 1927. C o u r a n t - H i l b e r t , Methoden der mathematischen Physik, Bd. II.

Kapitel I

Die Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Veränderlichen § 1. Vorbemerkungen Es wird zunächst an einige Sätze aus der Theorie der reellen Funktionen von mehreren Veränderlichen erinnert. f v . . . , f n seien Funktionen von n Veränderlichen xlt..., xn. Die des weiteren immer als stetig angenommene Ableitungen

ptj

CXji

bilden eine (n, n) reihige Matrix, deren Determinante die Funktionaldeterminante heißt: f.^" " '' 8(x1,...,

oder kurz xn)

. d(x)

Für diese Größen gelten ähnliche Regeln wie für die Ableitungen nach einer Veränderlichen. Sind z. B. die / Funktionen der 2/D • • •"> Vn und diese wiederum Funktionen von xlt..., xn, so gilt für F((xJ, . . ., Xn) = M f / r f a Xn), . . . , yn{x^ . . . , xn)) d(F)= jn(xi> ^a» • •

^i)»

das für xi = xl die Werte x°,..., x% annimmt. Man erhält das allgemeine,Integral, d.h. alle Bahnkurven einer Umgebung von P0, wenn man die x\,..., x^ durch Werte c 2 , . . . , c„ einer Umgebung von x\,..., ersetzt. Für zwei verschiedene Wertesysteme ( c 2 , . . . , c„) erhält man auch verschiedene Bahnkurven, da die Funktionaldeterminante I f ' l ' - " jn)0. in P 0 gleich 1 ist (G. D. S. 127/128). Ist nun o(x 2,. . ., X„) xv ..., xn ein Punkt der von x\,..., x° ausgehenden Bahnkurve, dann ist die Bahnkurve (£,• die Veränderlichen)

— h($i'< x2< • • • > xn'< xi)' • • •
xn> x

8

I. Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Veränderlichen

wegen des Eindeutigkeitssatzes bei gewöhnlichen Systemen mit der von . . x % ausgehenden Bahnkurve identisch, und daher muß sein X2 =

i)

• • Xn\

• • •»

=

Infal' ^2» • • •> Xn)

•

Das gilt f ü r jeden P u n k t ( a ^ , . . x n ) dieser Bahnkurve. Man erhält alle Bahnkurven einer Umgebung von P 0 , wenn durch Werte c 2 , . . c n einer Umgebung ersetzt werden. cv = jv(x; x2 xn\ Xj) (v = 2,..., n) ist also das allgemeine Integral von (2'), d. h. von (2). Kürzer geschrieben: cv = Fv(x1,..., xn) (v = 2 , . . . , w). Geometrisch besagt diese Darstellung: eine Integralkurve ergibt sich als Schnitt von (n — 1) Flächen der Dimension « — 1. Die F„ sollen Vorintegrale heißen. Sie müssen verschieden sein, d. h. die Matrix 8Fv(xlt..., xn) 8{x1,..., xn) muß vom Rang (n — 1) sein, damit die Gleichungen cv = I(x, y). Also za=y> ?/0), p0=y>x(x0,y0), q0= ipy(x0, y0). Die Gleichung f(x0, y0, z0, p, q) = 0 läßt sich dann etwa nach p W(t,

t)

*) S. Beispiel in Nachtrag TV.

§ 7. Cauchysches Problem

31 1

auflösen p = p (q) mit p0 = p (? 0 ). Es gibt also oo Integralelemente (x0, y0, z0, p (q), q) im Punkte (x0, y0, z 0 ) und es handelt sich darum, einen auf der gegebenen Integralfläche liegenden charakteristischen Streifen herauszufinden, der von x0,.. .,q0 ausgeht. Die o o 1 Ebenen (23) = p(q)(X-x0) + q(Y~y0) Z~z0 haben eine Einhüllende, die Mongescher Kegel genannt wird. Man erhält sie aus (23) und (24) 0 = p'(q)(X-x0) + (Y-y0) durch Elimination des Parameters q. Wegen fp{x0.2/o> V P> i) v'{l) + /«(®o> 2/o. zo> P,q) = 0 läßt sich statt (24) 0 = - f l ( X - x 0 )+ fp(Y-y0) schreiben. Ein festes Element der Schar, etwa (25) Z-z0 = p(q0)(X-x0) + q0(Y-y0) und der Kegel berühren sich in einer Geraden, deren Richtung aus (25) u n d 0 = _ / O ( X - * 0 ) + /»(Y-2/0) (Po = P(?o). /o = f(x0. 2/0. W o . ?o)) sich so bestimmt: (25*) (X - x„): (Y - y0): (Z - z0) = / $ : / } : (p,/J + «,/}). In jedem nichtsingulären Punkte x0, y0, z0 der Fläche ip(x,y) ist also allein durch rp(x, y) die Richtung (25*) gegeben, die übrigens eine tangentiale Richtung ist. Das System dx:dy=fp-.fi, wo fp,fg genommen sind für Elemente der Fläche f(x, y) und also z, p, q von x, y abhängen, hat genau eine Lösung, die durch einen P u n k t (x0, y0) geht: x = x(t), y — y(t). Sind nun 2, p, q die übrigen mit x, y ein Element der Fläche bildenden Größen, so soll z(t) die Funktion ip(x(t), y(t)) bezeichnen und p(i), q(t) die entsprechende Bedeutung haben. Bei variablem t, so behaupten wir, bilden diese Elemente — es sind ja Elemente der Integralfläche ip(x, y) — eine Charakteristik, nämlich die

32

Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Veränderlichen

durch das Element x0,y0,z0 = y)(x0,y0), p0 = yx(x0, y0), q0 = . ... ä = ai (x(i)'

....

dx dy> dy • Tt + Ty'• f t =

... dx , dt + ®W

P{t)

dy i

liegt zunächst einmal ein Streifen vor. Ferner folgt aber wie früher aus den f ü r alle Elemente der Integralfläche geltenden Beziehungen (19) f ü r die Streifenelemente x(t),..., q(t) dp dx , dy di = TtVxx + Tt W« = - ( / . + /.p) und entsprechend

womit unsere Behauptung gemäß Gleichung (20) bewiesen ist. Damit haben wir gezeigt: Durch eine gegebene Nichtcharäkteristik (X(T), ..., q(R)) (mit lauter nichtsingulären Elementen) geht genau eine Integralfläche der Differentialgleichung. Die Existenz einer solchen Integralfläche ist f ü r eine gewisse Umgebung der Anfangskurve gesichert. Dabei ist vorausgesetzt, daß die stetig differenzierbare Anfangskurve eine singularitätenfreie Projektion auf die x, i/-Ebene hat x'(rf+y'( t)2+ 0 und / zweimal stetig differenzierbar ist. Wir wollen noch diesen Satz mit genauen Existenzgrenzen formulieren, ohne den Beweis hierfür an dieser Stelle zu erbringen: Die Differentialgleichung wird in bereits aufgelöster Form (F =)p-f(x,y,z, q) = 0 angenommen. Offenbar kann gemäß Gleichung (20) keine in einer Ebene x = const. liegende Kurve Charakteristik sein wegen Fp = l.f sei in einem Gebiete @ : {\x — x0\^a;y,z,q beliebig} mit stetigen Ableitungen nach y, z, q versehen, und

§8. Zusammenhangzwisch.Charakteristikenu.d. vollst.Integral 3 3 ferner seien diese Ableitungen in © beschränkt und mögen dort Lipschitzbedingungen I ii(x> y» «l. 9i) — /a(®> Vi, z2. ?s) | ^

Ax,2.s(l 2/2 — 2 / 1 1 + K — « i l + (A = y oder z oder q)

|«i — 2i|)

genügen. A werde so gewählt, daß die Ableitungen von f sowie alle Lipschitzkonstanten im Absolutbetrage unterhalb A bleiben, x = x0, y = t, z — w (r) sei die Anfangskurve, die durch q—w' (r) und p = f(x0, r, w, w') zu einem Anfangsstreifen erweitert wird, w' genüge ebenfalls einer Lipschitzbedingung | w' (z^) — w' (r 2 ) | < M | t x — t 2 | und es sei ferner w' beschränkt. B wird so groß gewählt, daß 1 + | w' (r) 1 + M ^ B. Das z-Intervall wird nun so eingeschränkt \x — x0\ ^a'(^a), daß ia'AB ^ 1 ist. Dann gibt es genau eine Integralfläche z = y> (x, y) für | x — x0 \ < a', y beliebig, so daß y>(x0, y) — w(y) ist. (Siehe Math. Ztschr. Bd. 43.)

§ 8. Zusammenhang zwischen Charakteristiken und dem vollständigen Integral Was nutzt die Erkenntnis von der geometrischen Bedeutung der Charakteristiken für die Integration der Differentialgleichung? Zunächst ist klar, wie die Kenntnis des allgemeinen Integrals des Systems (20) bzw. (14) auch zum allgemeinen Integral der Differentialgleichung / = 0 führt. Ist nämlich x — w i (T)> V = w 2 (T)> z = w s (r) eine willkürliche Anfangskurve (die nur keine Charakteristik sein darf) und wird diese Kurve zu einem Integralstreifen erweitert (aus w'3 — pw[ + qw'2 und / = 0 gewinnt man Werte p(r),q(r)), so ist dasjenige Integral des Charakteristikensystems, das für t = 0 die Anfangswerte x0 = w1(t), y0 = w2(x), z0 = w 3 (r), p 0 = p ( r ) , H o h e l s e l , Partielle Differentialgleichungen.

3

34

Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Veränderlichen

q0 = q(r) hat, in der Form x(t, r ) , . . . , q(t, r) schreibbar und die Gleichungen x=x(t,r), y=y(t, r), z — z(t, r) stellen das allgemeine Integral von f = 0 dar. Jedoch wissen wir von früher, daß wir vom System (14) gar nicht das allgemeine Integral zu kennen brauchen, um ein vollständiges Integral und damit nach § 3 auch das allgemeine Integral von / = 0 zu erhalten. Wir zeigen jetzt, wie die Kenntnis des vollständigen Integrals sofort zur Kenntnis aller Charakteristiken führt. Ist V (x, y, z, a, b) = 0 ein vollständiges Integral von / = 0, so sind die Kurven, die sich als Schnitt der beiden Flächen (26)

V(x,y,z,a,b)

= 0,

Va+Vb-c=

0

ergeben, charakteristische Kurven. Da a, b, c willkürliche Konstante bezeichnen, gibt es oo3 Kurven, etwa in der Form y = y (x; a, b, e),

z = z(x;a,b,c).

Aus

=

Vy + — 0 genommen an der Stelle x, y(x;...), z(x;...) bestimmen sich1) p = p(x; a, b, c), q = q(x; a, b, c), womit zunächst einmal oo3 Streifen gewonnen sind. Es sind Integralstreifen, da gemäß Definition des vollständigen Integrals jedes Element, das den drei Gleichungen V=VX+VZP=V1I+

Vzq = 0

genügt, ein Integralelement ist. Es sind auch charakteristische Streifen. Um das einzusehen, löst man aber erst V = 0 nach z auf. z = v(x, y, a, b) sei also ein beliebiger Zweig. Dann sind z — v = 0, va + vbe = 0 alle oder ein Teil der aus (26) gewonnenen Kurven. Längs dieser Kurven gilt nun wegen va + vbc = 0 (vax + vbxe) dx + (vay + vbyc) dV =

Aus der Identität in a, b

f(x, y, v, vx, vy) = 0 folgt für die Ableitungen nach a und b fzVa + fpVax + fqVay = 0 U»b !+ fpVbx + 1q%v = 0,

') Es ist ja Fj i 0 gemäß Fußnote S. 13.

§ 1. Die lineare Gleichung also

35

h • 0 + fp(?ax + «>»*) + fq(vay + CVby) = 0.

Daher gilt

fq dx — fpdy = 0.

Das genügt aber nach S. 27, um die durch (26) definierten Kurven als Charakteristiken zu kennzeichnen. K a p i t e l II

Die Differentialgleichung erster Ordnung mit n Veränderlichen § 1. Die lineare Gleichung xv ..., xn sind jetzt die unabhängigen Veränderlichen. z = z (xv ..., xn) ist die gesuchte Funktion, deren Ableitungen

8z

— mit f„ bezeichnet werden. Eine Gleichung

CXp

f(xv ..., xn, e, pu ...,pn) = 0

heißt Differentialgleichung erster Ordnung und wird kurz mit f(x, z, p) bezeichnet. Die besondere Gleichung

«iPH

h anpn — o B+ i= 0

(a{ = «,(», z)) ist eine quasilineare Differentialgleichung. Wir homogenisieren, indem wir die Lösung implizit in der Gestalt (p(x, z) = 0 ansetzen. Man verlangt (pz =f= 0, um die Auflösbarkeit nach z zu sichern. Es ist dann cpzpi = — (px., also

'hVti

1- an

8x¡

,8p

da ja / identisch in (i, w) verschwindet. W7,- ist als Funktion von t Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung, und es verschwindet Wf (t, u) für t = 0. Daher verschwindet Wj identisch in (t, u). Hiermit ist (2.3) bewiesen. Zu einer gegebenen (n — l)-dimensionalen nicht singulären Anfangsmannigfaltigkeit9l(für die (2.4) gilt) gibt es eine Lösung, die 91 enthält. Ist es die einzige ? Ja, falls

8Aj 8Uj

=j= 0 ist, denn

fPi

mit einem (nichtsingulären) Element von 21 gehört auch die durch dieses Element bestimmte Charakteristik zur Integralfläche. x ) / wird zweimal stetig differenzierbar angenommen, dann existieren gemäß (2.8) alle vorkommenden Ableitungen.

44 II. Differentialgleichung erster Ordnung mit n Veränderlichen § B. Kanonische Transformationen Bisher wurde bei der Darstellung der Integrale von f(x,z,p) = 0 die z-Achse ausgezeichnet vor den x-Achsen. Dieser Mangel läßt sich beheben, wenn das Integral in der impliziten Form u(xv ..., xn, z) = 0 gesucht wird. Wird nunmehr die Funktion u als unbekannte Funktion aufgefaßt, so drücken sich die p durch die Ableitungen der u aus: du

, du

Die Differentialgleichung, in der für z jetzt xn+1 geschrieben wird, nimmt die folgende Gestalt an 0 — f I xv . .., xn,

du 8x1 xn+1, du

du^ dxn du

öx n+1

8xn. _

— 9(xl» • • •> xn+l> Vi, • • •> Vn+1)>

wenn mit pv die Ableitung von u nach xv bezeichnet wird. In der so gewonnenen Differentialgleichung für die unbekannte Funktion u kommt diese selbst nicht mehr vor. Diese Vereinfachung ist freilich durch Vermehrung der unabhängigen Veränderlichen erkauft, was für die Praxis durchaus nicht gleichgültig ist, aber bei Entwickelung der allgemeinen Theorie belanglos bleibt. Weiterhin ist also die allgemeine Differentialgleichung in der Gestalt (2.10)

f(x1,...,xn,p1,...,pn)

= 0

gegeben, wofür wir oft kurz f(x,p) = 0 schreiben werden. Eine solche Differentialgleichung integrieren heißt — so kann man sich ausdrücken — Funktionen pv .. .,p„ von xv finden, so daß p1dx1 -)

b

pndxn

ein totales Differential ist und (2.10) erfüllt ist. Denken wir uns nun eine Transformation derart, daß

§ 3. Kanonische Transformationen

45

.. .Xn, P l t . . . P n Funktionen von x, p sind und diese Transformation umkehrbar ist. F ( X , P) = 0 sei die transformierte Differentialgleichung. Wir wollen verlangen, daß bei unserer Transformation ein Integral der einen Gleichung wieder in ein Integral der anderen übergeht. Das bedeutet, daß mit Pidx1

H

1-

auch A « !

pndxn

+ • • • +

P„dXn

ein totales Differential ist und umgekehrt. Das muß in den unabhängigen Veränderlichen xv.. .x„ verstanden werden. Die fv sind ja in diesem Falle Funktionen der x, also die X, P ebenfalls Funktionen der x. Die Forderung wird zunächst nur für Integrale von (2.10) gestellt. Damit sie für jedes Integral erfüllt ist, verlangt man sogar: P1dX1

H

H PndXn

— pldx1

Pndxn

soll ein totales Differential sein in den unabhängigen Veränderlichen x1,..., xn, . . . , f n . Es soll also identisch in x, p PvdXv

— p,dxv

=

dU

sein, wo U=U(x,p) irgendeine zweimal differenzierbare Funktion ist. Eine Transformation xv

= 9>vO, p);

Pv = wO,

p)

dieser Art heißt kanonisch. Über die Umkehrbarkeit der Transformation sagen wir nichts aus. Zum Studium dieser Transformationen schicken wir den Hilfssatz voraus: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß n

I») d£ß 1 ein totales Differential dz in den unabhängigen Variablen darstellt, drückt sich aus durch die n 2 Gleichungen

46

II. Differentialgleichung erster Ordnung mit n Veränderlichen'

8

~f \8v du 8u 8v , gilt demnach für kanonische Transformationen wegen c o ^ = 0 : (2.12)

«r*

Xfl y

= in,

Plt y

= o

yi = xi> 2/5 = Yi = P\, Y2 = Xt, Y3 = Ps, Yi — Xt, y 5 = x 6 .

In x, p, X, P lauten diese Gleichungen: Y _ p _ _ ^JL y — — 3 SPS 8X2' ~SP3' 0X 4 ' _£i7 Pl

~

dx1'

__

_

8U,Pi=

5

8U

8xt'

8X6 _8U

Pb

~öx6'

52 II. Differentialgleichung erster Ordnung mit «Veränderlichen wo 2/5. Y j , ..., Ys)=U(x1,p2,ps,xi,

U(yi,...,

xs,PlrX2,

P3, Xt,

Xs).

Das ist eine kanonische Transformation, denn es ist ,TT

817

dU ,

au ,

,

au

= pj dxj — x2 dp, — x3

+ •pi dxt + pB dxs P2 + X 3 dP 3 - Pt dX5 — P 5 dXt. Nun ist aber z. B. x2dp2 = d (®2P2) — i t y ^ Also ist I ( ? Ä — pvdxv) ein totales Differential. + X1 dP1 -

Um auch solche kanonische Transformationen zu erfassen, für die

= 0 ist, benötigen wir einige auch für sich

interessante Betrachtungen. Zunächst: Die kanonischen

Transformationen

bilden eine

Gruppe.

Das bedeutet: Sei X=X(x,

p),P

=

P(x,p)

eine kanonische Transformation, X* = X* {X, P), P* = P* (X, P)

eine zweite. Die Transformation

X' = X'(x, p) = X*(X(x,

p), P(x, p))

ist kanonisch. Beweis: Es seien F(X, P),G(X, P) die Transformierten der beliebigen Funktionen f(x, p), g(x, p) bei der ersten Transformation, F*(X*,P*), G*(X*,P*) die Transformierten von F(X,P), G(X,P) bei der zweiten. Dann ist (F, (?) = (/, g) und ebenso (F*, G*) = (F, G), weil die Transformationen kanonisch sind. Daraus folgt (F*, G*) = ( / , g). F*, G* als Funktionen von (x, p) sind aber offenbar die Transformierten von f, g bei der dritten Transformation (X', P'). Gilt aber für eine Transformation diese Klammerrelation, so ist sie kanonisch, wie schon S. 48 bewiesen wurde. Damit

§ 6. Kanonische Transformat, u. Intégrât, einer Differentialglg. 5 3

ist die Gruppeneigenschaft der kanonischen Transformationen bewiesen. Besonders einfach sind die folgenden Transformationen: Ist (vv ..., vn) irgend eine Permutation der n Ziffern 1 , 2 , . . . , n, dann ist die Transformation x 'i = Pi = VH offenbar kanonisch, denn es ist Up' dx' — pdx identisch Null. Ist ferner für irgend eine ganze Zahl m ^ n x

i — Pi> • • •> xm =

Pmt

x

V\—

=

i> • • •> Pm

x

m+1

=

x

m+1> • • •> xn —

x

m> Pm+i

x

n

— Pm+1> • • •> Vn

=

x

n'

so gilt hier n 21 p'i dx't

1

= —

m 22

1

+

also 2

(p'i d'A

x,- dpi m

n + Pi dxi m+i n

22 Pi dXi + 1

— Pi

d x

i) =

m = — l

d(xt

p()

21 Pi dXi

m+1

22

x

iPiJ

d. h. die Transformation ist kanonisch. Jede Transformation, die sich aus solchen der vorgenannten Art zusammensetzt, ist auf Grund der Gruppeneigenschaft der kanonischen Transformationen kanonisch und heißt elementare kanonische Transformation. Wissen wir jetzt von einer kanonischen Transformation, daß die Matrix

d(x,

p)

den Rang n hat, so können wir durch

elementare Transformationen erreichen, daß

•3/ d(p)

=f= 0 ist.

Für den Beweis verweisen wir auf das eingangs erwähnte Buch von CaiathSodory.

§ 6. Kanonische Transformationen und Integration einer Differentialgleichung Die bisherigen Kenntnisse über kanonische Transformationen erlauben bereits die wichtigsten Anwendungen für

54

II. Differentialgleichung erster Ordnung mit «Veränderlichen

die allgemeine Integrationstheorie. Sei f ( x , p )

=

A

die vorgelegte Differentialgleichung. Wir setzen f = Xi und suchen (n — 1) weitere Funktionen X 2 , . . . , Xn, die mit X1 und untereinander in Involution liegen: (Xh X„) = 0. Dabei j / y\ soll noch -¿jjp) ^ ® w e r ( ^ e n - d i e s e Aufgabe gelöst, so können wir sofort die Integration bewerkstelligen. Setzen wir = •Xj = A; = «2 > • • • > n und berechnen aus diesen n Gleichungen p , . . . , p als Funktionen der x und a a

x

p1

=

< p

1

( x , a ) ; . . . ; p

so ist, wie wir gleich zeigen, Differential dz.

p

1

d x

1

=

n

+

n

t>

xn-,A,a)ctt

x% xn 1-/

• • •>

x

n - i >

1

;

A>

a

)

dt

+

xn

Die

Gesamtheit dieser Lösungen V(x, z,a) = z — x\ A , a , . . . , a„) + a x = 0 heißt vollständiges I n t e gral. Dabei versteht man analog zu n = 2 unter einem vollständigen Integral von F ( x , z , p ) = 0 jede oo"-Lösungsschar V(xv ..., xn, z\ öj, . . . , a„) = 0 mit den n willkürlichen Konstanten a , so daß die ( n - f 1) Gleichungen 7 = 0; V + V p = 0 bei Elimination derKonstanten zu F = 0 (oder wenigstens einem Zweige) führen. Es muß also die Matrix (V a > i V X v a / j V z a / i ) den Rang n haben 1 ). Vom vollständigen Integral gelangt man, wie für n — 2, allein durch Eliminationen zum allgemeinen Integral. Zunächst werde aber erst bewiesen, daß v { x

x

, . . . ,

n

2

x

' ) I n Spezialfällen kann man einfacher kommen. S . Nachtrag V .

zu

vollständigen

2

p

Integralen

§ 5. Kanonische Transformat, u. Integrat. einer Differentialglg. 5 5 x Funktionen der . . x n sind. Natürlich sollen die Xi linear unabhängig sein, d. h. eine Relation X( = 0 mit Xi als Funktionen von xt und bei beliebigen Pi soll nur für A» = 0 möglich sein. Offenbar ist dann m ^ n. Schreiben wir in für die Ableitungen einer Funktion /, so wird X{ mit X((f) bezeichnet: Der Klammerausdruck (Xh Xx) ist (X^ XK) = 2J (au Vi> Px) i,x l

X

OXi

A

= 2/ PxWn -T— — a*i i,x \ oxt OXi

l ÖXx

§ 1. Lineare Systeme mit einer unbekannten Funktion

6^

indem im zweiten Summanden die Summationsindizes vertauscht worden sind. (Zj, X

x

) = 2 1 Px(Xi(a*i) — X J ß a ) ) X

= 2 ä X

x

p

h

Das gilt identisch in den 2n Veränderlichen x { , m ist, wie oben und erhalten vielleicht wieder mehr linear unabhängige Formen m " > m ' . Da es nur n linear unabhängige Formen gibt, so hat dieses Verfahren einmal ein Ende d. h. wir gelangen zu einem System von r n unabhängigen Formen Z x , . . . , X r , so daß die Klammerausdrücke (X,-, X x ) linear abhängig in den Z< sind. Ein solches System heißt vollständig. Jedes homogene lineare System läßt sich zu einem vollständigen System erweitern. Jedes gemeinsame Integral des Anfangssystems ist auch gemeinsames Integral des vollständigen Systems und umgekehrt. Es genügt also die Integrationsaufgabe für ein vollständiges System zu stellen. Für r = n gibt es wegen der linearen Unabhängigkeit der X nur die Lösung p( = 0; d. h. z = const. Es sei also r < n . Dann transformiert man das System zunächst auf eine vereinfachte Normalform. 5•

68

HI. Systeme mit einer und mehr unbekannten Funktionen

Xi=J£auPi- 0 (» = 1,2 r) i=i sei das gegebene vollständige System. Da die X{ linear unabhängig sind, so lassen sich diese r Gleichungen nach r von den p auflösen etwa px pr. So ergibt sich die Normalform = Pi +

Pr+l +

1- Äi,nPn = 0

(3.2)

_ xr = Pr + AT,t+I Pr+1 + • • • + Ar>n Pn=0. Ein vollständiges System dieser Form heißt involutorisches System. Die Integration braucht nur für ein solches System geleistet zu werden. Es gilt: In jedem involutorisehen System versehwinden die Klammerausdrücke identisch. Beweis: Die X( und die (Xh Xk) lassen sich linear homogen aus den Xt zusammensetzen und ebenso umgekehrt die X. aus den Xt. Daher folgt leicht, daß das System der Xt auch vollständig ist, d. h. daß die Klammerausdrücke (Xit Xx) sich linear homogen aus den X( zusammensetzen. Da die Xk) aber die plt..., pt nicht enthalten, müssen die Koeffizienten der Xi alle Null sein, d. h. es ist (Z,-, identisch Null. Als Hauptresultat der Integration wird sich ergeben: Jedes vollständige lineare System von r Gleichungen in n Veränderlichen hat (n — r) verschiedene Integrale. Das allgemeine Integral ist eine willkürliche differenzierbare Funktion dieser (n — r) Integrale. Zur Auffindung dieser (n — r) Integrale ist die völlige Integration eines Simultansystems 2 (n — r)-ter Ordnung erforderlich. Wir werden gleich noch mehr zeigen: Das System (3.2)läßt, wenn die Koeffizienten in der Umgebung von ( z j , . . x ° n ) stetig und differenzierbar sind, ein einziges Integral zu, das für gleich irgendeiner vorgeschriebenen Funktion cp(xr+1,..., xn) wird. Wir wenden die May ersehe Transformation an:

§ 1. Lineare Systeme mit einer unbekannten Funktion »i = + Vi\ «2 = Geht eine Funktion x r + v . . x n ) über, so ist du _

8z

8z 2/2

ejh ~ dXj. 8u _

+ 2/12/2; • • xr = z(xv ..., xn) in

8xs

8z

69

+ ViVr-

u(yv ...,

yr,

8z _ +

Vr

" '

_ 8u

_

' 8xr'

3s

Die Lösungen z des Systems (3.2) sind identisch mit den Lösungen u des Systems 1 ) = Vi — ¡7 • Vz 1

= Vi'

Vr + (¿1. r+1 Pr+i + • • ' + ¿1.» Pn) = 0

Vi Vi • Vi + (A,r+1 Vr+l H

+ ¿2,» P») =

0

= Vi'1 • Vr + (4,r+1 Pr+1 + + Ar,n Pn) = 0. Statt der ersten Form F , werden wir die für yx = 0 stetige lineare

Zusammensetzung

Y t + y2Yz +

f- yrYr

=

wählen. = Pi + Br+1 Vr+l H

+

ß

„P«>

ebenso = Da bei einer Transformation ein vollständiges System auch vollständig bleibt, so bilden die Ylt Y2,..., Yr ein vollständiges System der Art (3.2). Wir beweisen zunächst einen Satz, der die Integration dieses Systems auf die Integration der einen linearen Gleichung Yx(u) — 0 zurückführt. Sind nämlich w 2 , . . w „ _ r diejenigen Integrale dieser Gleichung, die sich für yx = 0 auf Uy

Xf+ y

zurückführen, so gilt der Satz: Jedes Integral uv ist auch Integral des Systems, d. h. es ist auch %(«„)= ••• = ! > , ) = 0. du

Beweis: Werden für die p die Größen— eingesetzt, so 8u 8y{

') Es ist Pi— — für i= 1

du

r,p;= — für t = r + 1,...,». dz,-

70

HI. Systeme mit einer und mehr unbekannten Funktionen

wird ja nach (3.1) (S. 67) der Klammerausdruck zu 0 = (Ylt %) = OTc«)) = 0. Da Y1 (u„) = 0 ist, folgt Y J Y i K » = 0. / = Yt(up) ist also ein Integral der linearen Gleichung 7 1 (/) = 0. Wissen wir schon, daß Yi(u„) = 0 wird für y1 = 0, so folgt aus dem Eindeutigkeitssatz für lineare partielle Differentialgleichungen (d. h. für gewöhnliche Systeme), daß es überhaupt Null ist. Wir haben also nur zu zeigen: YiK) = 0 für yx = Da uv = xr+v ist für y1 = 0, so wird wegen Y,- = p( + (• • •)y1 für yt = 0 =

=

(¿Sä 2).

Die u„ sind mithin Integrale des Systems Y1 = 0, = 0, also ist auch jede willkürliche Funktion c o ( u l t . . ,,M n _ f )Integral des Systems. Das sind auch alle Integrale des Systems. Denn co(uv ..., y2, • • •, yr) sind offenbar alle Integrale der linearen Gleichung Y1(m) = 0, in der ja y2,..., yr nur Parameter sind. Damit für u = a> auch Yt(u) Null wird, muß, wie man leicht sieht, coy. verschwinden, d. h. co hängt nicht von yt ab. Gehen wir von den y zurück zu den xv . . x r , . . . , so werden die u v stetig differenzierbare Funktionen 3v(x11..xr, xr+1,.. Denn es 6gilt

dx(

=

Sy{

Für w, = 0 ist ^ = 0 und so 8yt

1

bleibt -z- stetig * 1). 6 mit dem Werte _ 8x{ 8yidyi > § 2. Allgemeine involutorische Systeme Die vorentwickelten Methoden lassen sich auf allgemeine Systeme übertragen. Sei ') S. Nachtrag VI.

§ 2. Allgemeine involutorische Systeme Ffa,...,

x,„ plt...,

pn) = 0 ;

(v = 1,...,

71 m)

ein solches System. Es gilt: Für ein gemeinsames zweimal stetig differenzierbares Integral z zweier Gleichungen F( = 0 und Fx = 0 wird auch {Fi,F*)

=

0.

8z

Beweis: Für p, denke man sich

eingesetzt. Aus

82

v i

folgt

d

h 8xx

+

Diese Gleichung mit

2 ^

8

8e

l i . 8pß

8

^ 8xx

=

n

\ o

multipliziert und dann über X sum-

miert ergibt H8J>.83i x 8

*x'

+ 8

^_8Ei.8Iji.8JEiL

=

o

>-,ß 8Vß ' Spx ' ^xX

Vx

Dasselbe gilt natürlich bei Vertauschung von i und k. Vertauschen wir dabei gleichzeitig in der Doppelsumme die Summationsindizes ). und /x, so erhalten wir 28J?Ji.8Ii+ *

8x

x'

8

Vx

o J^

8

Px ' 8V)x'

8x

ß

Durch Subtraktion folgt n (3.3)

(V v u + 8z

y8F*

8Fi

(dp*

8p

"\

=

n 0.

dz

Da Px = jr~ und p = — ist, so verschwindet die DoppelX

ß

summe. Zu dem gegebenen System können wir also wieder die —— Gleichungen (Fi, F x ) = 0 hinzufügen und

von

diesem System die Höchstzahl der verschiedenen Gleichungen behalten. Man setzt dieses Verfahren so lange fort, bis man

72

HI. Systeme mit einer und mehr unbekannten Funktionen

entweder zu mehr als n Gleichungen kommt und dann das System kein gemeinsames Integral haben kann, weil ja keine Relation unter den x allein besteht 1 ), oder einmal sämtliche Klammerausdrücke keine von den früheren verschiedenen Funktionen liefern. Sei also Fr = 0;...;

Fr=

0;

(rá»)

ein System, bei welchem die Klammerausdrücke (F¡,FX) lineare Punktionen der Fv sind. Ein solches System heißt vollständig. Durch als möglich angenommene Auflösung eines vollständigen Systems nach pv . . . , pr erhält man Gleichungen Pv— • • •> xn\

Vr+1

P«) = 0.

Der Klammerausdruck (p¡ — cp¡, p„ — ir+1, . . ., bn)

sei das Integral des Systems, das für y1 = 0 die Werte Xar.!_„ = ir+v~, pj+v — aT+r

annimmt; ar+r, br+v sind willkürliche Konstante. Die Gleichungen xr+v — q)r+v = 0 lassen sich nach 6 f + 1 , ...,&„ auflösen, da für V l = 0 gilt - 1, = 0 U 4= v), also die Funktionaldeterminante verschieden von Null ist in einer Umgebung von y1 — 0. =

fa+vilh' xr+1> • •

x

ni

2/a. • • •. Vr> ai> •••>i

(2 ^ i ^ r)

Beim Beweise wird natürlich die Involution von und Z ( oder — was ja daraus folgt — die von px — und p{ — 0 , benutzt. Dabei ist der Klammerausdruck (px — 0,p( — 0 ; ) in den neuen Veränderlichen yv . . . , yr, xr,v . . x n verstanden : (Pi—O, Vi— 4>i) = (Pi, Pi) — (Pi.c. Ableitungen nach xx sind j > i genommen. Explizit ist also m „• 3«; « * = « ? » + .)=i +1 OXx

Funktion ipix die Eigennach xt mit einem Index nur die Funktionen m,- mit

1 , du; ? = 1f m OXi l = x+l,..., m (X — Oi(x,w). Jedes System läßt sich bei vorgeschriebener Numerierung der Variablen auf eine kanonische Form bringen, und zwar nur durch Umnumerierung der u und durch lineare Prozesse. Es sei r die Höchstzahl unter den Ableitungen 3 Mx 8um 8xt' ' 8xl ' die sich aus dem System berechnen lassen und also lineare Funktionen der übrigen ~

und aller sonstigen Ableitungen

sind. Setzt man diese Werte — die sich aus r Gleichungen ergeben haben — in die übrigen g—r Gleichungen ein, so können in diesen Gleichungen keine

vorkommen, da sonst r

nicht die Höchstzahl der berechenbaren Ableitungen ^(/¡Cj wäre. Wir numerieren die u so, daß f" 1 . . . . . berechnet sind. oXi ox1

§ 4. Systeme mit mehreren unbekannten Funktionen

83

Die r Gleichungen sind dann schon kanonisch. Mit den übrigen (q —r) Gleichungen verfahren wir so: r' ^ r sei die Höchstzahl der Ableitungen (u 1 ) a?! .,..., (ur)Xl, die sich berechnen lassen. Wir rechnen sie aus und erhalten / neue kanonische Gleichungen. Die Werte tragen wir in den übrigen q — r — r' Gleichungen ein. Dann kann in ihnen keine Ableitung (u-^z (ur)x¡ vorkommen; sonst wäre r' nicht die Höchstzahl. In diesen q — r — r' Gleichungen sei r" die Höchstzahl der berechenbaren Ableitungen {u T + 1 ) X i ,..., {u„)Xl. Wir numerieren sie so, daß (n- r+1 ) Xi ,..., (u r+r ») Xl berechnet werden. In den bleibenden Gleichungen existieren nur Ableitungen nach x3 xn. Da die Numerierung der u bis r + / festgelegt ist, bezeichnen wir mit r " die Höchstzahl der Ableitungen (u-¡)X3,..., (ur+r')Xt, die sich berechnen lassen usw. Nach Beendigung dieses Verfahrens vereinfachen wir noch weiter. Jede Ableitung, die jetzt auf der linken Seite des Systems steht, heißt wesentlich, die übrigen parametrisch. In der letzten Gleichung werden offenbar nur parametrische Ableitungen rechter Hand stehen. In allen voranstehenden Gleichungen, in denen die durch die letzte Gleichung bestimmte wesentliche Ableitung vorkommt, ersetzen wir sie durch die rechte Seite. In der vorletzten Gleichung können dann auch nur parametrische Ableitungen rechter Hand stehen. Wir verfahren mit der hier links stehenden wesentlichen Ableitung ebenso. Das System behält dabei offenbar kanonische Gestalt. Schließlich werden rechter Hand nur noch parametrische Ableitungen stehen. In dieser Gestalt denken wir uns weiterhin das System und bezeichnen es mit S. Ein solches System braucht noch keine Lösung zu besitzen. Die Vertauschbarkeit der Differentiationen des Systems wird zu gewissen Relationen führen. Um diese Relationen zu gewinnen, wollen wir definieren: a8 a heißt cx¿ 8xx

zweifach wesentlich, wenn

dx( 6»

und

8xx

84

III. Systeme mit einer und mehr unbekannten Funktionen

wesentlich sind; sie heißt einfach wesentlich, wenn nur eine dieser beiden Ableitungen wesentlich ist; sie heißt parametrisch, wenn beide Ableitungen parametrisch sind. Die q Gleichungen denken wir uns nach xt einmal differenziert. Für l = 1 , . . . , n gibt das n • q Gleichungen. Die linken Seiten enthalten alle wesentlichen zweiten Ableitungen. Dabei treten die zweifach wesentlichen Ableitungen zweimal linker Hand auf. Die einfach wesentlichen kommen nur einmal vor. Aus diesen letzten Gleichungen, in denen also links sämtliche einfach wesentlichen Ableitungen stehen, werden wir diese Ableitungen berechnen können, d. h. als Funktionen der parametrischen zweiten Ableitungen und der parametrischen ersten Ableitungen gewinnen. Das ist zunächst klar für alle einfach wesentlichen Ableitungen, die sich durch Differentiation der letzten Gleichungen von 8 gewinnen lassen. (Die wesentlichen ersten Ableitungen, die bei der Differentiation auftauchen, werden natürlich sofort durch ihre Werte aus S ersetzt.) Man ersetzt die so ausgerechneten Ableitungen in den durch Differentiation der vorletzten Gleichung von 8 entstehenden Gleichungen usw. Die einfach wesentlichen Ableitungen sind also eindeutig durch die parametrischen bestimmt. Diese Werte setzt man nun in die zwei Gleichungen, 82u die für jede zweifach wesentliche Ableitung -—-z— (i 4= x) vorhanden sind, ein. Die so sich ergebenden Relationen zwischen den parametrischen Ableitungen sollen dann identisch erfüllt sein. Dann heißt das System S vollständig. Nur mit vollständigen Systemen beschäftigen wir uns weiterhin. Ein vollständiges reduziertes kanonisches System zu integrieren ist also die Aufgabe. Wenn die Zahl q der Gleichungen den Höchstwert m • n hat, ist diese Aufgabe rasch gelöst. Man kann, da ja die Gleichungen unabhängig sind, die m • n Ableitungen als Funktionen der x und u berechnen.

§ 4. Systeme mit mehreren unbekannten Funktionen ,„„.

,

.

85

i = 1, . . TO

heißt jetzt das System. Die ip sind zweimal stetig differenzierbar. Daß das System integrabel ist, zeigt sich nun in den Identitäten

wobei

m

Sw• -¿r = (v>ix)x, + 2

(Vi*V, • Vv,
u„)

läßt eine einzige Lösung Uv ...,

Um zu, die für yl = 0 vor-

86

HI. Systeme mit einer und mehr unbekannten Funktionen

geschriebene konstante Werte Z7J,..., U^ annimmt. UiiVi, V2> • • •» Vn) hat Ableitungen nach y2,..., yn, die für y t — 0 offenbar Null werden, weil Z7? konstant ist. Daher läßt sich TJi als stetige und differenzierbare Funktion u { von ..., xn ausdrücken: du _ dU _ du _ dU SU _ du

du

du

Können wir zeigen, daß die U{ eine Lösung von (3.12) darstellen, so folgt, daß die ut eine Lösung von (3.9) sind. Nun ist j a Vi, i = vi, i + y* • vu 2 + • • • + y«, • vun' Vi, i = Vi'Vi, h Also ist zunächst für y^ = 0 :

(z^2)-

= Vi,i\ ( 1 ^ 2 ) .

8Sr

Ferner ist d (dUi = ^

+

m

\

d .

8Uj • wr

\

.

d . ™

i < p u

. dUj

{,pu

Andererseits ist wegen der Vollständigkeit des Systems analog zu (3.10) m m o = (vi, i)„ + 2 (Vi, i )U„ . • Vi, i — (Vi, ¡)„, — 2 (Vi, dn. • Vi, c »l j=1 1 *1 j=1 ") Da ^

= y> j:1 ist, so folgt durch Subtraktion der beiden

letzten Gleichungen d (8U{

\

™,

,

(dUj

\

dZJ' Die Funktionen

Ö =

genügen

also

als Funktionen von y1 einem linearen homogenen System.

§ 1. Systeme in Involution

87

Für y1 = 0 werden sie Null. Wegen des Eindeutigkeitssatzes sind sie also identisch Null.

Die so gewonnene Lösung uv .. ,,um von (3.9) ist durch die Werte eindeutig bestimmt, weil die Lösung Ult..., Um dadurch eindeutig bestimmt ist. Das allgemeine Integral des Systems (3.9) hängt also von m willkürlichen Konstanten ab. Für Q = mn g i b t es oo m L ö s u n g e n . Es bleibt noch der Fall Q < m • n zu untersuchen. Ist das System vollständig, dann gilt der folgende Existenzsatz: Sind die Koeffizienten regulär in einer Umgebung von . . . , a:® und bedeutet (pt eine willkürliche reguläre Funktion 8ui aller der Variablen xx, für die parametrisch ist, und die den Wert u° annimmt im Punkte ..x°n; dann gibt es eine einzige Lösung uv .. ,,um von regulären u, sodaß ut zur Funktion (pi wird, wenn man allen für u( wesentlichen Veränderlichen X[,... die Werte x°p . . . erteilt. Der Beweis hierfür wird nicht gebracht, weil er sich in Umfang und Methode in den Rahmen dieses Buches nicht einfügt. K a p i t e l IV

Die Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen § 1. Systeme in Involution Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist äquivalent dem System (3.8). F soll analytisch, Fr verschieden von Null sein. Für (z 0 , y°, z°, p°, q°, r°, s°, t°) sei F = 0. Es gibt dann also eine und nur eine Lösung, wenn — und ^

für x = x"

irgendwelche Funktionen co^y) und 0J2(y) werden. Durch In-

88

IV. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung usw.

tegration sieht man, daß diese Anfangsbedingung gleichb e d e u t e n d ist mit der Bedingung, z u n d p sollen f ü r x — x° i r g e n d w e l c h e F u n k t i o n e n co(y) sein. Bei einer Differentialgleichung erster Ordnung ließ sich die Bestimmung eines Integrals zurückführen auf die Integration eines gewöhnlichen Simultansystems. Für Gleichungen zweiter Ordnung ist diese Zurückführung allgemein bisher noch nicht gelungen und vielleicht unmöglich. Offenbar liegt folgender Gedanke nahe: Im System (3.8) ist m • n = 6 • 2 = 12, die Anzahl der Gleichungen Q = 10. Ließen sich noch zwei Gleichungen hinzufügen, dann hätte dieses neue System oo 6 (nicht oom = oo 6 , weil 2 0 , . . . , t° so gewählt werden müssen, daß F = 0 ist) Lösungen, die durch Integration eines gewöhnlichen Systems erhalten werden. Man kann nun zwei Gleichungen hinzugewinnen, wenn man von den Lösungen von F = 0 noch verlangt, daß ein zweiter Ausdruck G(x, y,z,..., t) konstant bleibt, wenn man also Lösungen des Systems F = 0; G — a sucht. Dieses System ist äquivalent mit dem linearen System 8z_ _ dx~V' dp

_ dz _ 8y~~r'

_ 8r _ ds_ Bs _ Si _ dy~8x' dy~8x'' Sq 8p — rf •dq i .. s= i; ' 8x ' 8x dy" '' dy ds 8r + GS+ Gr r + Gq- s+Gr(*x + Qz- P+Gpdx dx 8r 8s Qy •2 + y)Der Differentialausdruck L(u) = uxy + cu ist selbstadjungiert: L= L*. Die R. F. muß 1 sein auf x=g und x = rj. Für eine Funktion g(t) mit g{0) = 1 erfüllt also g((x — £)(?/ — ??)) die Randbedingung. Sie soll noch Lösung von L*(v) = 0 sein. Das ergibt mit t — (x — f ) (y — rj) t • g"(t) + og(t) = 0.

116

IV. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung usw.

Das geht in eine Besseische Differentialgleichung über durch die Substitution r = Vi et F"(r) + ~F'(r)+F(r)

=0

mit der Lösung F = J0{r), wo J0 die Besselfunktion bezeichnet. So ergibt sich v{x, y; f , rf) = J0(Y4.e(x — |) (y^rj])) als E. F. Wird jetzt z. B. diejenige Lösung u gesucht, die für » = 0, 2/ 0 gleich Null ist, während auf der Winkelhalbierenden im dritten Quadranten x = y = t (i ^ 0) u gleich einer Funktion q> (t) sein soll, so ergibt sich die Lösung u(x, y) = 'cjj' 0 (/4c({ - x) (f-^))

Q - | / f = f )

Die Randwertaufgabe ist zwar nicht von der oben besprochenen Art; denn nur ein Teil der Kurve {x = 0, y ^ 0) ist Charakteristik, der andere Teil (x = yfS, 0) ist eine Kurve, die von keiner Charaktetristik mehr als einmal getroffen wird. Die Formel für u ergibt sich in diesem Falle ähnlich wie früher. Man kann aber auch direkt verifizieren, daß u die Lösung mit den geforderten Randwerten ist. § 5. Bestimmte Integrale und Integration linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Die Verwendung bestimmter Integrale ist das gemeinsame Kennzeichen der Methoden, die hier entwickelt werden. Die Darstellung wird dabei vielfach den heuristischen Charakter der Methoden herausstellen. Es bleibt im einzelnen Falle zu prüfen, ob die Methode gültig angewandt werden kann. Das Fouriersche Integral ergibt eine recht weittragende Methode zur Lösung des Cauchyschen Anfangswertproblems

§ 6. Bestimmte Integrale und Integration usw.

H7

bei linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Sei d2u du ein solcher linearer Differentialausdruck für u(xlt..., Die Gleichung L(u) — 0 hat Lösungen der Gestalt u = exp (¿(ajX! -(

xn).

+

0),

17(0,0 = 0.

Die Lösung ergibt sich aus (4.33):

^'--sWH-^-f^))*Jeder

0 der beiden

Summanden läßt sich

vereinfachen.

Dabei wird v o n der Zeitkoordinate nur der positive W e r t bereich genommen.

I m ersten Integral wählt man — x2a, Tt

als neue Integrationsvariable a>, im zweiten 00

7= I exp ( — \'nj

x

2a\'t

Das ergibt

00

co2)

da/ bzw. —= I exp ( — w2) dco. 1 >7tJ

X

X

lai~t

2aV t

dT-

§ 6. Bestimmte Integrale und Integration usw.

121

Die Summe ist

2aYl 2a yl U(x, i) = — f exp ( — co2) da> = V* J K« J 2aY~t X

X

— / exp ( — cu8)

dm

0

Mithin

u^x, 0 = "7= I exp(—co 2 ) dco (t > 0),

gemäß Formel (4.32) für a = 1, b = 0. Ist nun die Aufgabe für 2^/exp(r w-^)) 0

gdx ein,

o

T)_s/! 9(r)dt

-

Das Duhamelsche Prinzip erlaubt also eine allgemeine Randwertaufgabe (Randwerte g{t)) auf eine spezielle Aufgabe (ig = 1) zurückzuführen. Die Aufgabe: ut = o a it XJ , u(x, 0) = f(x) (x > 0), w(0, t) = g{t) f ü h r t man durch u = Z7X + U2 mit Uu = a* Ulxx, ü.ix, 0) = f(x) (s > 0), 17,(0, t) = 0 ün = a 2 V2XX, U2(x, 0) = 0 (x > 0), t/ 2 (0, t) = g(i) auf die beiden vorangehenden Aufgaben zurück.

Nachträge I) Beispiel zur Bildung des allgemeinen Integrals aus dem vollständigen (zu S. 13): Ein vollständiges Integral von pq = z ist 2 = (x — a) (y — 6). Wählt man W(a, V) = Xa + //& mit | A | + | ¡i | > 0, so ergeben sich f ü r a und b die beiden Gleichungen ka + ¡xb = 0, — a) — ¡x{y — 6) = 0,

Nachträge

123

und daraus folgt: a =

b= —

{te-py),

z = ^-^(te+py)2

II) Auffinden eines vollständigen Integrals (zu S. 14): In Spezialfällen läßt sich ein solches leicht angeben. So hat die Differentialgleichung F(p, q) = 0 das vollständige Integral z = ax + by + c, wobei das Zahlenpaar a, b die Gleichung F(a, b) = 0 erfüllen muß, c beliebig ist, und F als zweimal stetig differenzierbar, sowie | FP | + | FG | > 0 vorausgesetzt ist. Bei der Gleichung F(z, p, q) = 0 macht man den Ansatz z = C(z), x = ax-{-by f ü r beliebiges a, b mit | a | + | b | > 0. Setzt man dies in F — 0 ein, so erhält man die gewöhnliche Differentialgleichung F(£, a b £') = 0, und wenn diese nach £' auflösbar ist (£' = /(£)), das vollständige Integral

C

J j j q = t + c = ax + ly + c, das eine Zylinderfläche ist. Auf diesen Typus läßt sich die Differentialgleichung n m v , g{y% 2) = 0 durch die Substitution Cdx .. , . z { x , y ) ^ < c , r i ) , c = J f l x y v - J

Cdy g ( y )

zurückführen. In p = f(x, q) setzt man y = a und erhält s = f f ( x , a,)dx -{- ay + b, und entsprechend verfährt man mit der Gleichung q = g(y, p). Differentialgleichungen mit getrennten Variablen der F o r m j(x, p) = g(y, q) löst man durch den Ansatz z = u(x) + v(y), wobei man / = g = a setzt. Dies f ü h r t auf die gewöhnlichen Differentialgleichungen f ü r u und v: f(x, u') = a, g(y, v') = a. Die Clairautsche Differentialgleichung z — xp -j- yq + f{p, q) hat das vollständige Integral z — ax + by + f(a, l).

Nachträge

124

III) Beispiel zur Darstellung des vollständigen Integrals (zu S. 19): ?/2p3 + xp + 3yq = 0. Zur Vereinfachung lösen wir nach q auf und erhalten"dann nach (12) das Charakteristikensystem: dx

_ ä y

dp

_

dq 1

V

3

3y

yp+sy

3

X

oder: dy

x =

y p

+

dp

B y

,

V

d y "

1—1 ICO 1

dx

dq

3y*

dy

Es genügt, die beiden ersten Gleichungen zur Bestimmung von x und p in Abhängigkeit von y zu betrachten. (Die dritte Gleichung ist dann lediglich eine Definitionsgleichung für q). Daraus erhält man als Vorintegrale: g =

y f

=

und

Ä1

h =

^

—

V =

A

2

(Alt A2 bezeichnen Konstanten). Da g und h wohl je mit /, aber nicht untereinander in Involution liegen, läßt sich die Methode von § 4 nicht anwenden, aber man gelangt nach § 5 zu zwei verschiedenen vollständigen Integralen: a) Löst man / = 0 und g = 0 nach p und q auf, so erhält man mit

A1

=

A3

i

:p =

A ^

q =

xy~3~

A3 g-.

i

Daraus folgt z =

1

Axy-3 3

A

+

, , u{x),

du

=

—

A -g

x y - i l

i

u = — -g- y + B, also z = A x y~3 —^

-

A3 J +

A

j

i

p

±

,

A

3

y + B.

b) Die Auflösung von / = 0 und h = 0 nach p und q ist dagegen unangenehmer. Deshalb führt man durch die Legendresche Transformation x = P, p = X, y = Y, q = - Q , e = X P -Z, die eine spezielle kanonische Transformation (bzw. Berührungstransformation) ist (s. Kap. II § 4), p und q als unabhängige Veränderliche ein und erhält (mit A2 durch A ersetzt):

Nachträge F^Y*X3 Daraus

+ XP-'5YQ P = X2Y(Y

folgt:

Z = ^X3Y

(Y + A) +

= 0,

z = XP-Z

X =

= ~X Y(Y

A.

~X3(2Y+A),

Q=

U(Y),

~\x%2Y+A)-\x3{2Y+A)=ü,Z

3

Y=

+ Ä),

d

P = X*Y(Y +A),

125

= \x3Y{Y+A)

+ B,

Yf(Tj~Äy + A)—B=^P%(Yz

+

AY)-?-B

IV) Beispiel zur Bestimmung einer Integralfläche durch eine vorgegebene Nichtcharakteristik (z. S. 29—30): pq == 1. Vorgegeben sei der nicht charakteristische Integralstreifen: x = t , y = x3, z = 2t 2 , p = r, q = —

(r > 0).

Das Simultansystem (20) erhält hier die Form: dx dy dz „ dp „ dq dt=«>lt=P>dt=2pq'di = 0'di = 0 Die Charakteristik mit den Anfangswerten ..q0 für t = 0 ist also: ® = ^o + ?cA y = y0 + Po1* 2 = V = Po, i = Setzt man hierin für die Anfangswerte die Werte des Anfangsstreifens ein, so folgt: 2 =

2/ = T 3 + r i , z — 2t 2 + 2t, p = r,

? =

Elimination von t aus den ersten drei Gleichungen ergibt y= y —

xiz,

2 = 2—, woraus man als Integralfläche z = 2 ]/ xyiüi x > 0 , y > 0 erhält.

Nachträge

126

V) Auffinden eines vollständigen Integrals bei Differentialgleichungen mit n Veränderlichen (zuS. 54): In Spezialfällen lassen sich ziemlich leicht vollständige Integrale angeben: F(pv ..., pn) = 0 hat das vollständige Integral z = Aii + A1x1-] b K ¡»n, wenn F(Alt..., An) = 0, F stetig differenzierbar und 2 \ Fpv | =j= 0 ist. F(z, pv ..., pn) = 0 wird durch den Ansatz z = + • • • + Anxn auf die gewöhnliche Differentialgleichung F(£, ,..., A£) = 0 zurückgeführt. Bei der Differentialgleichung mit getrennten Variablen

£ = Axx1

F

{hixv Vi' • • •> tni.%t» Vn '