Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen [4., neubearb. Aufl. Reprint 2019] 9783111724447, 9783111213651

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SAMMLUNG GÖSCHEN

BAND

1059/1059a

AUFGABENSAMMLUNG ZU DEN GEWÖHNLICHEN UND P A R T I E L L E N

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN von

DR. GUIDO H O H E I S E L

em. Professor der M a t h e m a t i k an der U n i v e r s i t ä t Köln

Vierte, neubearbeitete Auflage

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

B E R L I N 1964

© Copyright 1964 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp., Berlin 30. - Alle Rechte, einschl. der Hechte der Herstellung von photokopien und Mikrofilmen, Ton der Verlagshandlung vorbehalten. - Archiv-Nr. 7720647. - Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. - Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

1. Kapitel. 1.1. 1. 2. 3. 4. 5.

Differentialgleichungen erster

Ordnung

Elementare Integrationsmethoden E x a k t e Differentialgleichungen Integrierender F a k t o r Trennung der Variablen Koordinatentransformationen Aufgaben mit Lösungen

6 7 8 11 12 13

1. 2. Spezielle integrable Typen 1. Homogene Differentialgleichungen 2. Differentialgleichungen, die sich auf homogene transformieren lassen 3. Bernoullische Differentialgleichung 4. Jacobische Differentialgleichung 5. Riccatische Differentialgleichung 6. Aufgaben mit Lösungen

17 18 19 20 22

1. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 7.

27 27 29 30 32 38 41

Die allgemeine Differentialgleichung erster Ordnung . Eine Variable fehlt Homogene Differentialgleichungen Lagrangesche Gleichung Berührungstransformationen Singulare Lösungen, p- u n d c-Diskriminante . . . . Aufgaben mit Lösungen

1 . 4 . Singulare P u n k t e

;

2. Kapitel. D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n h ö h e r e r 2.1. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Nichtlineare integrable Typen Reduktion der Ordnung Eine der Variablen fehlt Homogene Differentialgleichungen Dimensionsmethode E x a k t e Differentialgleichungen Aufgaben mit Lösungen

l*

16 16

51 Ordnung 56 56 57 57 57 59 60

Inhalt

4

2. 2. Lineare Differentialgleichungen 1. 2. 3. 4. 5.

Reduktion der Ordnung Potenzreihenmethode Operatorenmethode Reihenentwicklung Aufgaben mit Lösungen

3. Kapitel. S y s t e m e von

68 68 69 70 73 75

Differentialgleichungen

1. Lösung durch Potenzreihen 2. Vorintegrale 3. Aufgaben mit Lösungen

83 85 91

4. Kapitel. V e r m i s c h t e A u f g a b e n 4 . 1 . Lineare Differentialgleichungen

94

4. 2. Nichtlineare Differentialgleichungen

95

4. 3. Gleichungstypen

97

4. 4. Reihenentwicklungen. Operatoren. Adjungierte. Greensche Funktion

98

4. 5. Aufgaben zur Theorie

101

4. 6. Existenzsätze

103

4. 7. Oszillationsprobleme

105

Abkürzungen und Symbole 6 . D. = Hoheisel, Gewöhnliche Differentialgleichungen. lung Göschen, Bd. 920. 6. Auflage i 9 6 0 . P. D. = Hoheisel, Partielle Differentialgleichungen. Göschen, B d . 1003, 4. Auflage 1960. e

=

e! =

Samm-

Sammlung

exp /.

Literatur E . Kamke, Differentialgleichungen. Lösungsmethoden und Lösungen. 2 Bände. Leipzig, Akademieverlag. G. Julia, Exercices d'analyse. B d . I I I und IV. Paris, GauthiersVillars, 1935.

1. Kapitel. Differentialgleichungen erster Ordnung 1 . 1 . Elementare Integrationsmethoden Eine Differentialgleichung (im folgenden Dgl abgekürzt) integrieren heißt, ihre Lösungen in geschlossener F o r m mittels der Elemente folgender Menge M darzustellen. M enthält die rationalen Funktionen, die e- und log-Funktionen, ferner alle f(g) mit /, y) = / cost dt + f [2 t cos (x + i2) + 3a] dt

o

o

= sin (x + y2) + 3 xy. Das allgemeine Integral ist sin (x + y2) + 3xy = c.

2. Integrierender Faktor Ist die linke Seite von (1. 2) kein totales Differential, so wird man versuchen, eine Funktion' ju(x, y) so zu bestimmen, daß fj,Päx + ¡uQdy ein totales Differential ist. Eine solche Funktion heißt integrierender Faktor oder Multiplikator. Notwendig und hinreichend für die Existenz eines Multiplikators [j, ist also die Bedingung d. h.

(ßp)v

=

W ) x ,

Nach P. D., S. 8—10 hat diese partielle Dgl immer wenigstens eine Lösung. Es existieren also stets Multiplikatoren. Natürlich ist die partielle Dgl (1. 4) schwerer zu lösen als die gewöhnliche (1. 2). Uns genügen jedoch partikuläre Integrale von (1. 4), und diese lassen sich oft durch Probieren gewinnen. Ist ein ¡x bestimmt, so kann man

Integrierender Faktor (1. 5)

f i P d x

+

=

¡xQdy

9

0

als totale Dgl integrieren. z { x , y ) — c = 0 (1. 6) sei das allgemeine Integral von (1. 5). Jedes Integral von (1. 5) ist auch ein solches von (1. 2), es sei denn in dem Kurvengebilde / j l { x , y ) = 0 enthalten. Umgekehrt ist auch jedes Integral von (1. 2) ein solches von (1. 5), wenn es nicht in dem Gebilde x, y) = 0 enthalten ist. Hat man also eine Dgl (1. 2) mit Hilfe eines Multiplikators fi gelöst, so stellt (1. 6) die Gesamtheit aller Integrale dar, wobei man unter Umständen noch ¡j, = 0 fortnehmen und = 0 hinzufügen muß. Beispiel: ( 1 . 7 )

i/2(x —

3 y ) d x

(1 —

+

3 y

2

x ) d y

0.

=

Ein Multiplikator ist fi = y~2. (x — 3y) dx + (y~2 — 3z) dy ist total. Nach (1. 3) ergibt sich mit x0 = 0 und y0 = 1 X a =

v

f ( i

—

3 ) d t +

f

o =

x

2

{t~2

—

3 x ) d t

—

3 x ( y — l ) .

1

/ 2 —

3 x

—

l / y +

l

z = c ist das allgemeine Integral, fi = 0 hat keine Bedeutung. Dagegen ist l u _1 = y2 = 0 Lösung von (1. 7), ohne aus dem allgemeinen Integral direkt ablesbar zu sein. Wenn (1. 2) einen integrierenden F a k t o r ¡x hat, der nur von einer Funktion v ( x , y ) abhängt, d. h. f i = / j , (v ( x , y ) ) , dann ist wegen {¡u,P) = (p,Q) y

(1. 8)

¡1'

(v)

(.Pvy

x

-

Qvx)

=

f i (v)

{Qx

-

P

y

) .

Damit es eine solche Funktion gibt, muß offenbar ( 1 . 9 )

( P V y - Q V

x

) / ( Q

x

- P y )

eine Funktion von v allein sein. Ist das der Fall, dann ist fi aus der linearen Dgl (1. 8) sofort zu bestimmen. Wir finden ¡¿(v)

=

e < j ( v ) y

m i t

10

Differentialgleichungen erster Ordnung

Insbesondere!! Fällen wird man erkennen können, für welche Funktion v der Ausdruck (1. 9) nur'von v abhängt. Besonders einfache Bedingungen erhält man für v = x\ v = y\ v = xy, v = x\y\ v = x2 + iß usw. Hat man irgendzwei wesentlich verschiedene /Uj, ¡ i 2 gefunden, d. h. für welche der Quotient i a ] / l a 2 = Q ( x > y) nicht konstant ist, so ergeben die Gleichungen (1. 4) einmal für fij und einmal für ¡i^ = fi 2 o geschrieben

Daraus folgt aber, daß Q (X, y) = c das allgemeine Integral von (1. 5) ist. Denn die Ableitung dieser impliziten Funktion ist

und genügt wegen ( 1 . 1 0 ) der Dgl (1. 5). Also: Hat man zwei linear unabhängige integrierende Faktoren ^ und fi2 einer Dgl gefunden, so ist fiJ/J.2 = e das allgemeine Integral. Beispiel: y' = 1 + 2x(x— y) c t g s 2 hat die Multiplikatoren fix = sin x? und /i 2 = lj(x— y). Das allgemeine Integra] ist also (x — y) sin x2 = c. Wegen der Schwierigkeit, Multiplikatoren zu finden, hat diese Feststellung nur geringe praktische Bedeutung. Ist cp (x, y) = c das allgemeine Integral einer Dgl Pix + Qdy — 0 , ist ferner /n(x, y) ein integrierender Faktor, so ist auch fiw{(p) ein solcher, wobei w eine beliebige stetig differenzierbare Funktion einer Variablen bedeutet. Beweis: (flW((p) P)y = w( y) ~ ° ( ) - Nach G. D., S. 38 kann man bei (0, 0) ein Wirbelpunkt oder ein Strudelpunkt liegen. Transformation auf Polar= —1/r 2 . Also liegt ein Strudelpunkt vor.

koordina ergibt !

64 y' =

gV

+

y

+ g3/3 + x+y

'

- -

=

3 x

+ y +

x+y

3*(x'y)

j h a t die Eigenwerte A1>2 = 1 ± [/3 u n d gx,?.{x,y) = o(r). Also liegt nach G. D., S. 30 bei (0, 0) ein Sattelpunkt. 65

y> =

a + / i ] x + y + |/3/3 f ( - 1 + )/3 ) x - y + )/3/3 (l+\/B)x

+••• • + y+

( - 1 + VS) x — y +

g2(x,y) 9í(x,

y)

Differentialgleichungen erster Ordnung

54

(

1

1 4- l'/3\ ^ _ ' ^ j hat den doppelten Eigenwert

A = /3T Ferner ist glti(x, y) = o (jj^yJ

• Nach G. D., S.27und

S. 35 liegt bei (0, 0) ein eintangentiger Knoten.

L66

* H • r l - !)hatdendoppete,n

Eigenwert X = 1. Es ist gli2(x, y) = o (r 3 ' 2 ). Nach G. D., S. 34 liegt bei (0, 0) ein Quellpunkt. die Eigenwerte A 1i2 = ± 1. Nach G. D., S. 30 liegt bei P j ein Sattelpunkt. b) P 2 = (0. !)• Die Transformation y = rj; x = ^ + 1 liefert rj +

dn

2£rj +

rf

.

/ — 1 0\ ,

.

• ^ - - g + ^ + V + n ' ^ ' t 2 l ) h a t dle werte Aj^ = ± 1. Also liegt bei P 2 ein Sattelpunkt.

Elgen"

c) Analog findet man, daß bei P3 = (1, 0) ein Sattelpunkt liegt. d) P 4 = (1/3, 1/3). Die Transformation y = rj + 1/3; x = £ + 1/3 liefert dri # j

Die Matrix A = ^

r j ß + 2g/3 + 2£r) + 2ij/3+f/3+2fij+fi» ]/g

^ß

'

2/3\

y^j hat die Eigenwerte A li2 =

i

Also liegt bei P 4 nach G. D., S. 38 ein Strudelpunkt oder ein Wirbelpunkt. Aus der Lösung (s. Aufgabe 1. 2) ergibt sich ein Wirbelpunkt. 1. 68 Integration ergibt J/| xy | • sign (xy) = z 2 + i/2 + C. Zu den Lösungen x = 0 und y = 0 tritt hier noch (für C = 0) eine Lemniskate mit dem Doppelpunkt im Nullpunkt, deren Äste die Achsen berühren. 1. 69

r = — i - ^ r - . Strudelpunkt.

1. 70

Lineare Dgl. Aus deren allgemeinem Integral

x

+

d£)'

y = eP* rj

dx \dx)

- ^ r \ ' ß ' - " f ' t ' i + (2/J - «0 %

dg \dx j dx

+

s

Für t — e~ ergibt sich aus der obigen Identität 0 = g

ö p

9 — f

v fx8p—

f f y S p p =

o Daher muß sein gpp

+ • • • + fnu) = 0. Die letzte Klammer ist aber L(u) und verschwindet. Daher haben wir eine Dgl (n — l)-ter Ordnung für v' (x) erhalten. Ein Hauptsystem dieser Gleichung seien die Funktionen v[, . . ., t)Jl_1. Durch Integration ergeben sich daraus die Funktionen vlt . . ., vn . Die Funktionen yl = uvj,. . ., yn_x = uvn_i, yn = u bilden dann ein Fundamentalsystem von (2. 2). Denn eine lineare Beziehung unter den yj führt nach Division durch u auf eine solche unter Vv • • Vn_v 1, d. h. c ^ i + • • • + c„ + cn = 0. Differenzieren ergibt c^ + • • • + cn_1v'n_l = 0. Da die v'k ein Hauptsystem bilden, folgt cx = • • • = c„_j = 0 und also

Reduktion der Ordnung

69

auch cn = 0. Kennt man w < n linear unabhängige Lösungen iij, . . ., u m von (2. 2), so kann man diese auf eine Dgl (n — m)-ter Ordnung reduzieren. Diese Reduktion erfolgt schrittweise nach der angegebenen Methode. Man kommt durch % zunächst zu einer Gleichung für v w i ^ = ( ~ ) > w2 =

, • • • sind aber Lösungen dieser Gleichung. Ent-

sprechend ist d a n n ^ ~ j , . . eine Lösung der neu entstehenden Dgl (n — 2)-ter Ordnung. Ein Hauptsystem der schließlich erhaltenen Dgl (n—m)-ter Ordnung führt durch Quadraturen zu n — m Lösungen von (2. 2), die zusammen mit den um ein Hauptsystem bilden. Kennt man n — 1 Lösungen, so findet man die letzte durch Integration einer linearen Dgl 1. Ordnung. 2. Um die Gleichung mit konstanten Koeffizienten m (2. 3) L(y) = f(x) = 2 bkx*e™ k-0 (L(e'*) =er"l(r)) zu lösen, setzt man an m + iV m+S ^ky y= 2 Bkx*e» = £ Bk k=0 k=0 er wobei N nur dann von Null verschieden ist, wenn r gleich einer genau A'-fachen Wurzel von Kr) ist. Es ist dann: k=o

\ er")

k~o

1=0X1 j

= /(*) + n 2 \ 1 f k .) Z j —o \ J / t'-Oj-O or' \j/ r« + .V gay J vi-r X I b\

= /(«)+ ^

- M /,v

er' J

bk 4 ^ 8 - = er*

k=o

\ M

/t»,

ct = 0 \jfc-a \cr/ / falls die Bk so bestimmt werden, daß das Gleichungssystem

70

Differentialgleichungen höherer Ordnung fk\ £ ß J W~°)(r) k=a \GJ

m+N

(2. 4)

= l a , ( m gesetzt wird. Praktisch hat man bei gegebenem / der Gestalt (2. 3) erst N zu bestimmen (meistens wird N = 0 sein), dann das System (2. 4) zu lösen, um damit unmittelbar eine Lösung der inhomogenen Dgl zu haben. Ist f(x) = £ f i ( x ) , wo jedes fj(x) von der Gestalt (2. 3) ist mit r,- statt r, h ik für bk und m^ statt m, so bestimmt man yt aus L(yt) = /,. y = £ Vi ist dann offenbar die gesuchte (partikuläre) Lösung. (Entsprechend ist der Ansatz beim Ausdruck L(y) — 2 an_jX>y(>) für f(x) =

k

log | x | fxr

i

mit y = £Bk{log

| x \ )kxr usw.).

k

Auch für komplexe r bleibt alles gültig, so daß also, ins Reelle übersetzt, für f(x) = i sin rx der analoge Ansatz Bx sin rx + B2 cos rx lautet. 8. Operatorenmethode d/%i

d

D bezeichne jetzt die Operation-^-, D(y) das Resultat ^ . DD = D2 bedeutet: D {—-)

. Entsprechend ist « " f ü r

jedes ganzzahlige positive x erklärt. D° bedeutet die identische Operation D°{y) = y. Es gelten für diese Potenzen die üblichen Rechenregeln. Eine lineare homogene Dgl läßt sich dann schreiben: L(y) = 0, wobei L ^ p0(x)

Dn + • • • + p„(x)

D°

ein Polynom in D ist (dessen Koeffizienten dem Körper der reellen Funktionen angehören). Wir erinnern an die Division zweier Polynome P(z) = a0 zn + • • • + an und Q(z) = b0zm + • • • + 6 m , die zu der Identität P = P1Q + Q1 führt, wobei P j vom Grade n — m und Qt vom Grade m1 < m ist. Dividiert man Q durch Q,, Q = P 2 Q i + Q2> und verfährt entsprechend mit Qi und Q2, so verringert sich der

Operatorenmethode

71

Grad des Restes Q l t Q g . . . usw. immer um mindestens 1 ; der Rest wird also einmal den Grad 0 haben. Qx — + c. Ist c = 0, dann ist Qx+1 der gemeinsame Teiler von P und Q; sonst sind P und Q teilerfremd. Durch diesen Euklidschen Algorithmus läßt sich auch der gemeinsame Teiler zweier Polynome L^D) und L2(D) feststellen, falls die Koeffizienten p0, . . . konstant sind. Es seien jetzt von der Dgl L(y) = 0 bereits m verschiedene partikuläre Integrale bekannt. Man bestimmt dann die Dgl m-ter Ordnung, die Cjjh. + • • • + Cmym = y als allgemeines Integral h a t : L^y) sei das Resultat. Die Division L = L2 L1 + R muß den Rest R = 0 ergeben. Denn R ist von einer Ordnung < m; die Dgl R(y) = 0 hat aber die m verschiedenen Integrale ylt... ym. Um nun alle Integrale von L(y) — 0 zu bestimmen, hat man offenbar nur L2{u) = 0 zu lösen und dann die Integrale von L^iy) = u aufzuschreiben. Man hat also eine lineare Dgl der Ordnung n — m zu lösen. Die inhomogene Gleichung m-ter Ordnung Lt(y) = u löst sich dann durch m Quadraturen, da man das allgemeine Integralen der homogenen Gleichung kennt. Sind die Koeffizienten der Dgl nicht konstant, so läßt sich der Algorithmus nicht völlig übertragen wegen der Nichtkommutativität der Multiplikation. Sei gegeben: Lx=p0{x)Dn + • • • + Vn(x)--, Li^q0(x)Dm + • • • + qm(x). Wir suchen einen Differentialoperator R = r0 (x) Dn~m + • • • + rn_m(x) so zu bestimmen, daß L1 — RL2 von einer Ordnung Meiner als m ist. Man sieht leicht, daß sich die r folgendermaßen bestimmen: Vo=ro%> V-i = Mo +r1{(n

V\ = hlo + ro {(« " — m — 1) q'ü +

m)

?o +