Partielle Differentialgleichungen [4., unveränd. Aufl. Reprint 2019] 9783111337524, 9783110989090

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Göschens Lehrbücherei i. Gruppe

Reine und angewandteMathematik Band 14

Partielle Differentialgleichungen Von

Professor Dr. J. Horn t

Walter

de

Gruyter&Co.

v o r m a l « G . J . G d s c h a n *»ch« V e r l a g s h a n d l u n g J. G u t t e a t a e , V e r l a g a b n c h h a o d l u n g — G e o r g R e i m e r — K a r l J . T r i l i e i - V e i t St C o m p .

Berlin

W35

1949

Partielle Differentialgleichunge Von

Dr J. Horn t

ehemals o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt

Vierte, unveränderte Auflage

Mit 8 Figuren

Walter

de G r u y t e r

& Co.

v o r m a l s C. J . G ö s c h e n ' a c h a V c r l a g s h a n d l n n f J . G u t t a o t a g . V e r l a g s b n c h l i a o d l i i D f — Georg R e i m e r — K a r l J. T r S b n e r — V e i t A C o m p .

Berlin W35 1949

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten

Archiv-Nr.

13054g

Dru, c sind reelle Funktionen von %, t), da der Übergang von x, y zu f , 15 auf reellem Wege vor sich geht und die Koeffizienten von (1) reell sind. Die Differentialgleichung (A) läßt sich durch eine reelle Transformation der unabhängigen Veränderlichen auf eine der drei folgenden Normalformen bringen, je nachdem sie hyperbolisch, elliptisch oder parabolisch ist: .» »

dhi iox0y n r +

/(As) a »

dhi du rdhi ! + r s2 + ® r + dxz dy dx

(Aä)

d^u du du — 2 + a— + b|- cw = 0. dx dx dy

o

du 6, du , 7dx ^ + 7 dy ^ + i

cw =

rdu + ay

O

'

c,1==0

'

Für die drei Normalformen (Aj), (A2), (A3) schreibt sich die Differentialgleichung (4) der Charakteristiken bzw. dxdy 2

— 0,

2

dx + dy = (dx -f- idy) (dx — idy) = 0, dy2 = 0. Die hyperbolische Differentialgleichung (Aj) hat als Charakteristiken die Parallelen x = Const. und y = Const. zu den Achsen; die elliptische Differentialgleichung (Aj) hat die imaginären Charakteristiken x iy = Const. und x — iy — Const.; die Charakteristiken der parabolischen Differenz tialgleicihung (As) sind die Parallelen y = Const. zur x-Achse.

6

Erstes Kapitel.

Lineare partielle Differentialgleichungen.

§ 2. Der Greensche Satz. Ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung der Integrale einer linearen partiellen Differentialgleichung bietet der Greensche Satz. In der x «/-Ebene sei ein beschränktes Gebiet © gegeben, welches von einer geschlossenen Kurve E begrenzt wird, die sich nicht selbst durchschneidet. Die Kurve £ habe eine sich stetig drehende Tangente, oder sie bestehe aus endlich vielen Bögen mit stetiger Tangente, die in Ecken oder Spitzen zusammenstoßen.1) Das Gebiet © wird als abgeschlossen oder als offen bezeichnet, je nachdem die Randkurve G zum Gebiet hinzugerechnet wird oder nicht. P und Q seien zwei Funktionen von x, y, welche nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung im abgeschlossenen Gebiet © stetig sind. Wir betrachten das über das Gebiet © erstreckte Doppelintegral

(9 welches sich, wie wir zeigen wollen, auf ein über die Randkurve (X erstrecktes einfaches Integral zurückführen läßt. Wir nehmen an, daß die Abszisse x eines Punktes der Randkurve (£ zwischen at und o 2 variiert und daß eine zur y-Achse gezogene Parallele, welche einer Abszisse x zwischen den angegebenen Grenzen entspricht, die Kurve E in zwei Punkten mit den Ordinaten yx und y2 > y1 schneidet. Dann ist a

t

J J ®

at

a

Vi

dxdy = J dx J

9

dy = J

[Q (x, yt) -

Q (x, yj]

dx.

|

Vi

Das über die Randkurve (5 im positiven Sinne erstreckte Integral J Qdx e ist gleich flQ (x, y,) — Q {x,

yi)]dx-

Ol

denn beim Durchlaufen der Kurve E im positiven Sinne nimmt x im Punkte (x, yj) zu, im Punkte (x, y2) ab. Wir haben also O)

ffjfidxd9

=

~ JQdX-

o c Wenn eine Parallele zur y-Achse die Kurve E in mehr als zwei, aber nur in einer endlichen (notwendig geraden) Anzahl von Punkten schneidet, bleibt dieses Ergebnis bestehen. ' ) Diese Annahme machen wir anch in Zukunft, wenn von Kurven ohne weiteren Zusatz die Bede ist.

§ 2. Der Greenscbe Satz.

7

Entsprechend findet man, wenn eine Parallele zur x-Achse die Kurve G nur in einer endlichen Anzahl von Punkten schneidet, (10)

I J ^ d a i y « jpdy. ® a Die Kurve G darf auch Stücke von geraden Linien parallel zu den Achsen enthalten. Die bisherigen und die darauf beruhenden künftigen Betrachtungen bleiben bestehen, wenn das Gebiet @ mehrfach zusammenhängend ist, also von mehreren geschlossenen Kurven begrenzt wird, deren Gesamtheit mit (5 zu bezeichnen ist; die einzelnen Teile von £ werden in einem solchen Sinne durchlaufen, daß sich das Innere von @ zur Linken befindet. Nach (9) und (10) ist 4

(11)

f j ( ^ + ^)dxdy= C(Pdy-Qdx) ® c (Integralsatz von Gauss). Dem l i n e a r e n h o m o g e n e n D i f f e r e n t i a l a u s d r u c k z w e i t e r Ordnung i - - + C ~ 2 2 + D ^du. + E du ^-+Fu, (12) L ( u ) ^ Ad^u ~ + 2 B Jd^u oxz dxdy dy dx dy dessen Koeffizienten A, , F in einem gewissen Gebiet der xy-Ebene nebst den im folgenden vorkommenden partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung stetig sind, ordnen wir einen anderen linearen Differentialausdruck zweiter Ordnung (13)

=

dx2 dxdy dy2 dx dy zu, welchen man als den zu L{u) a d j u n g i e r t e n D i f f e r e n t i a l a u s d r u c k bezeichnet. M (v) = 0 ist die zu L(u) = 0 adjungierte Differentialgleichung. Durch Addition der Gleichungen d*u ^ d2 {A v) d_\Avdu _ ud{Avy\ 2 dx* dx dx [ dx dx j ' b v — dxdy

dxdy

_ w ö 2 ^ = Cvd*u dy2 dy2 du ^ d{Dv) n Dv — + u —— = ox dx „ du , d(Ev) Ev — + it -1—L = dy dy Fvu — uFv =

\bv*yi

adjungierten

dy

Für diesen lautet der Greensche Satz: (18)

$$[vL(u)

— uL(v)]dxdy

j(Pdy-Qdx), (£

. ( d u =

(19)

=

© A

\

v

r

dv\ x

-

u

/ du

j dx> i )

i + B

ö®\ , dv

(

du v

V y -

dv\ u

^W} '

_ / du du

öv\ dv\

dy

dy!

Setzt man für L (u) den sich selbst adjungierten elliptischen Differentialausdruck . Au

d2u dx2

d2u —, dy2

, T

so geht (18) in den GreenBchen S a t z der P o t e n t i a l t h e o r i e über, welcher in § 25 direkt hergeleitet wird.

Zweites Kapitel.

Hyperbolische Differentialgleichungen. § 3. Differentialgleichung der schwingenden Saite. Wir beginnen mit der Behandlung der einfachsten hyperbolischen Differentialgleichung, der D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g der s c h w i n g e n d e n Saite 1 ) (A) 1

^ 2 = «« Ü ü2 . dt

dx

Dabei ist u die transversale Verschiebung, welche der Punkt der Saite mit ß

der Abszisse x zur Zeit t erfährt; ferner ist o 2 = —, wo 8 die Spannung und Q

ß die Masse der Längeneinheit darstellt; wir setzen a 2 als konstant, die ') Die Herleitung der im 2., 5. und 6. Kapitel behandelten Differentialgleichungen aus der mathematischen Physik findet man z. B. bei Cl. Schaefer, Einführung in die theoretische Physik, sowie G. Joos, Lehrbuch der theoretischen Physik.

10

Zweites Kapitel.

Hyperbolische Differentialgleichungen.

Saite als homogen voraus. Vorläufig stellen wir uns die Saite nach beiden Richtungen u n b e g r e n z t vor. Ist die Anfangslage und die Anfangsgeschwindigkeit eines jeden Punktes der Saite gegeben, so hat man eine Funktion u von t und x zu bestimmen, welche der Differentialgleichung (A) genügt und die folgenden Anfangsbedingungen erfüllt: (1)

«=/(*),-£=F(x) ot

für < = 0;

f (x) und F (x) sind für alle reellen Werte von x gegeben. Man erhält die Differentialgleichung (A) auch als D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g u n g e d ä m p f t e r ebener Wellen. Wir integrieren sie nach der M e t h o d e vond'Alembert. Die hyperbolische Differentialgleichung (A) hat nach § 1 die Charakteristiken x—at = Const. und x at — Const. Führt man die neuen Veränderlichen (2)

x — at, ii = x -(- at

£ =

ein, so ist du di d2u

d2u

9

=

du öS

du ({>+Vfo)

f =

§ 3.

Differentialgleichung der schwingenden Saite.

J1

die Summe einer Funktion von f allein und einer Funktion von rj allein ist. Die Funktionen q> und tp sind den Bedingungen (4) gemäß zu bestimmen. Hiernach ist

a f y(f) —V(f) = — ^ - J V w d T , mithin £

C

v ( f ) = im

+^-(F[T)dr,

2 aj

also nach (5)

r

i «=JI/(f)+/(