Gewöhnliche Differentialgleichungen [5., durchges. Aufl. Reprint 2019] 9783111360003, 9783111002699

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

920

GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN von

DR. G U I D O

HOHEISEL

o. Professor der Mathematik an der Universität Köln

Fünfte, durchgesehene Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Gö6chen'sche Verlogshandlung J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r a b n e r • Veit & Comp.

B E R L I N 1956

Alle R e c h t e , einschl. der R e c h t e der H e r s t e i l u n g P h o t o k o p i e 11 u n d M i k r o f i l m e n , v o n d e r V e r l a r s Handlung vorbehalten'

C o p y r i g h t 1956 by W a l t e r de G r u y t e r & Co., B e r l i n W 35, G e n t h i n e r S t r . 13

Archiv-Nr. 11 01)20 Satz und Druck 1/10/14 Walter de Gruyter & Co. 5000/24/56 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis Kapitel § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

§ 7. § 6. § 9. Kapitel

I: Die Differentialgleichung

Seite

Ordnung

Einleitende Sätze R i c h t u n g s f e l d d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g y' = f(x,y) Integrierender F a k t o r A n d e r e integrable T y p e n Existenz- und Eindeutigkeitssatz D i e allgemeinste D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g erster O r d n u n g : y, V') = o Integrable T y p e n Singuläre L ö s u n g e n V e r l a u f der I n t e g r a l k u r v e n in der N ä h e eines singulären P u n k t e s

höherer

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6.

25 28 32 40

Ordnung

Allgemeines Besondere T y p e n

50 57

B. L i n e a r e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n § 1. A l l g e m e i n e E x i s t e n z s ä t z e § 2. Ü b e r die I n t e g r a t i o n h o m o g e n e r und i n h o m o g e n e r Gleichungen § 3. G r e e n s c h e F u n k t i o n , A d j u n g i e r t e § 4. L i n e a r e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n m i t k o n s t a n t e n K o e f f i z i e n t e n . Kapitel

5 8 9 14 20

II:

A. D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n § 1. § 2.

erster

III:

HO K7 72 7H

Bandwertaufgaben

Allgemeine Theorie 88 Eigenwerte 94 Sturm-Liouvillesche Systeme. A s y m p t o t i s c h e Berechnung v o n Eigenwerten und Eigenfunktionen . 9« N i c h t L i o u v i l l e s c h e S y s t e m e . R a n d w e r t a u f g a b e der P e r i o d i zität 106 V o l l s t ä n d i g k e i t des S y s t e m s der E i g e n f u n k t i o n e n 117 Nullstellen von Lösungen • . 12'¿

Abkürzung A s . = A u f g a b e n s a m m l u n g z u den g e w ö h n l i c h e n und partiellen gleichungen. S a m m l u n g Göschen B d . 1059. 2. A u f l . 1952.

Differential-

1*

Literatur B a t e m a n , H., Differential équations. London 1918. B i e b e r b a c h , 1., Theorie der Differentialgleichungen. Berlin, 3. Aufl. 1937. B û c h e r , Leçons sur la méthode de Sturm. 1917. C o 11 a t z , Eigenwertprobleme und ihre numerische Behandlung. Leipzig 1945. F o r s y t h , A. B.., Lehrbuch der Differentialgleichungen. 2. Aufl. Neudruck, 1024. H e f f t e r , L., Einleitung In die Theorie der linearen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Veränderlichen. 1894. H o r n , J., Gewöhnliche Differentialgleichungen. 5. Aufl. (Göschens Lehrbücherei) Berlin 1948. H o r t , W., Die Differentialgleichungen des Ingenieurs. 2. Aufl. 1925. I n c e , E. L., Ordinary differential équations. London 1927. K a m k e , Differentalgleichungen reeller Funktionen (2 Bände). T r i c o m i , Fr. Equazioni differenziali. Einaudi, 1948. Außerdem: Die verschiedenen Lehrbücher der Differential- und Integralrechnung: Haupt, Enopp-Mangoldt Weitere Hinweise und Originalarbeiten in den Aufsätzen der Enzyklopädie der mathem. Wissenschaften.

Kapitel I

Die Differentialgleichung erster Ordnung § 1. Einleitende Sätze1) Eine stetige Funktion von zwei Veränderlichen z = f(x, y) stellt im (x, y, 2)-Raum eine Fläche dar. Die Gesamtheit der Schnittpunkte dieser Fläche mit der zur (x, y)-Ebene parallelen Ebene z = e heißt Niveaukurve der Höhe c. Wird die Niveaukurve senkrecht auf die (x, i/)-Ebene projiziert, so gilt für jeden Projektionspunkt die Beziehung f(x, y) = c. Unter welchen Bedingungen die Gesamtheit dieser Projektionspunkte eine stetige Kurve darstellt, lehrt der Satz über implizite Funktionen: Ist f(x, y) eine in einer Umgebung des Punktes ( % y0) mit stetigen Ableitungen erster Ordnung versehene Funktion und f(xo> Vo) = c> ist ferner 'fy(zQ, 2/0)=i= 0> s 0 gibt es eine einzige Funktion y=- na I y„(.x)

— !/(*)

I
bedeutet: konvergiert gleichmäßig, während der einfache Pfeil —> nur die Konvergenz bezeichnet.

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

23

Aus X

y*( )=y.+

/ fW> yn~\ WH xa folgt, da man wegen der Gleichmäßigkeit in (21) unterhalb des Integrals zur Grenze gehen kann, x

X

2/ («) = 2/o + ff( 2/(0) dt;

y (a:0) =

y0.

y(x) ist differenzierbar, nämlich y'(x)=f(x,y(x)), und also eine Lösung der Differentialgleichung. Es bleibt noch die Einzigkeit dieser Lösung zu zeigen. Sei z(x) eine zweite Lösung definiert in einem Intervall um z ( x o ) = 2/o- Es ist dann X

« ( * ) = 2/0 +

ff(t,z(t))dt, Xn

also

X

u

x

Daher

X

\yn-z\^M\

f | J"o

yn_1{t)-z{t)\dt\.

Im Intervall | x — x0 \ ^ ?/, das beide Lösungen y, z gemein haben mögen, sei V das Maximum von | yn(x) — z(x) \. Dann gilt rjMVn_i. Verkleinern wir das Intervall nötigenfalls noch so, daß ?ßl < 1 ist, so folgt Vn-*0, d. h. y = - > 2, also y = z.

24

Die Differentialgleichung erster Ordnung

Der Existenzsatz zeigt uns zugleich, daß wir von einem inneren Punkte aus eine Integralkurve nach beiden Richtungen so lange verfolgen können, bis sie den Rand des Gebietes erreicht. Das Stück a, um das wir nämlich längs der x-Achse nach beiden Seiten hin fortschreiten, hat nur den Bedingungen aM < 1 und aN < b, a iS a' zu genügen. Die beiden letzten Bedingungen hängen von der Lage des Punktes (xg, y0) ab. Solange aber die Integralkurve noch um mehr als eine kleine feste Zahl d vom Rande entfernt ist, sind auch a' und b oberhalb einer festen Grenze gelegen; man schreitet also immer mindestens um ein festes Stück a in Richtung der s-Achse vorwärts, muß also nach endlich vielen Schritten die Existenz der Integralkurve so weit gesichert haben, daß der Endpunkt um weniger als d vom Rande entfernt ist. Lassen wir -0 gehen, so ist damit das Konstruktionsgesetz gesichert, das die Integralkurve bis zum Rande führt. Sei das Gebiet G der Einfachheit halber die ganze Ebene. Es ist f ( x , y - N x ) + N > 0. Betrachten wir die DiSerentialgleichung y' = f ( x , y - N x ) + N. (22) Jede Integralkurve von (22) schneidet die Gerade x0 + y0 = 0 nur einmal, weil nämlich jede Integralkurve nach rechts dauernd steigt, nach links dauernd fällt und nach beiden Richtungen beliebig weit verfolgt werden kann. Läuft also der Punkt (x 0 , y0) die Gerade entlang, so erhält man die Gesamtheit der Integralkurven, deren jede nach dem Existenzsatz die Gestalt hat y=y(x;x0, y0). (x 0 , i/0) kann man aber offenbar durcfi einen Parameter c ausdrücken, etwa c = x0. Dann bezeichnet also y= y(x;c, — c)= y>(x, c) die Gesamtheit der Integralkurven von (22);

Die allg. Differentialgleichung erster Ordnung: F(x, y, y1) — 0. y = y>(x,c) — N • x

25 (23)

also offenbar die Gesamtheit der Integralkurven der Differentialgleichung (19). Da zu jeder Integralkurve nur ein Wert c gehört, so läßt sich (23) nach c auflösen. c= -

1 = 0

ergibt

dies in F = 0 eingesetzt: p~1 = 0, woraus wieder aus x = J / p ~ 2 + 1 ; x = ^ 1 folgt. Diese beiden Geraden sind in der Tat Lösungen der Differentialgleichung. Sie haben in jedem Punkte die Richtung des Richtungsfeldes: p = o o . Sie sind die Einhüllenden der Kreisschar. Beispiel:

yp2 — 1 = 0 ;

entweder ^

=

dx

^

und

yy

Integration durch Trennung der Variablen oder y = p—2;

x = — j 2p—idp + c;

D(x, y) = y — 0 ist keine Lösung; es gibt also keine singuläre Lösung. 2.

F(x,y,y')=

0.

Die linksstehende Funktion soll homogen in x, y sein, etwa vom Grade m. Dann ist offenbar (y.x=z F(x,

y, y')=xmF(l,e,

gesetzt) y')=0.

30

Die Differentialgleichung erster Ordnung

Die Differentialgleichung läßt sich also schreiben G(Z, y') = 0. Kann man nach y' auflösen, so ergeben sich Gleichungen V = l ( =



die man (siehe S. 15) integrieren kann. Ist es besser, nach z = y : x aufzulösen und ergibt sich etwa z = f ( ; p ) , so hat man d y

dz

dz

U/7) 1 — - x f ' h ) ) = p d x

Oder nung

x

Variablen

d p

woraus

f ( p ) ,

sich

durch

,,

^

Tren-

ergibt; es ist dann damit ist das allgemeine Integral in Parameterform gegeben. B e i s p i e l : x y p + ( a ? — i f ) p — x y = 0 liefert nach Division durch x2 und Auflösung nach p y =

der

—

d p

• f ( p ) —

x = c - i p ( p )

c • f ( p ) y>(p)',

2

- l + Z

2

Z2)

+

± { l

; 22 pl — z und p 2 — — 1 lassen sich leicht integrieren. 3. Lagrangesche Gleichung. F ( x , y , y ' ) ist linear in und y. Die Gleichung hat also die Gestalt 9o(.V)

• V +

9 i ( P ) •

x

+

=

x

0

und läßt sich nach y auflösen y = ' h

l

( p ) - x

+

h

i

( p ) .

(30a)

Nach x differenziert P = K ( p )

+

P - K ( P )

=

d x

( p ) +

h't ( p ) ]

^ [ * - K ( P ) h [ { p )

— d p

[xh[

+

~

,

K ( P ) } ,

(30)

h z ( p )

x • p —

h ( p )

p —

K ( p )

Das ist eine lineare Differentialgleichung für x— x(p), die sich durch Quadraturen lösen läßt. Es ergibt sich

Integrable Typen x=G1(p)

31 (30b)

+ c-G2(p),

dies in Gleichung (30a) eingesetzt: y=H1(p)

(30c)

+ e-Ha(p).

Mit (30b, c) ist das allgemeine Integral in Parameterform gegeben. Dabei sind uns infolge Dividierens möglicherweise noch Lösungen entgangen, nämlich solche, für welche p— //.j (p) = 0 ist. Hat diese Gleichung in p reelle Wurzeln « j , ^ » • • so sind die Geraden y=h1(txk)

• x +

h2(ak)

Lösungen der Differentialgleichung. Denn es ist p = \ (ak) = a-k, also (30 a) erfüllt. Man kommt zu diesen Lösungen auch, wenn man nach singulären Lösungen fragt. Fp = 0 heißt hier h[ (p) x + (p) = 0, was nach (30) wieder zur Gleichung p — \{p)= 0 führt. B e i s p i e l : 2y 2 xy' — jf + x2y = 0 ergibt mit u nach diesem Verfahren:

ß

c

• y 2 2 I + P + P]/I + P '

1

=

yx2

c

J/R+P2'

Die direkte Beziehung zwischen x und y c x= 2 2 e y—' -f- ey—1 ]/c2 — 1 ergibt schließlich (x — c)2 + y2— c2. p — hy(p)= 0 hat hier keine reellen Wurzeln. Besonders interessant gestaltet sich die Lösung für den Fall, daß p — (p) = 0 ist. Das ist die sogenannte Clairautsche Gleichung y = p - s + A(p); nach dem obigen Verfahren ergibt sich dv

(31)

32

Die Differentialgleichung erster Ordnung

also entweder ^ = 0 oder x + h'(p)= 0 . ax Die erste Gleichung ergibt p = c und daraus gemäß (31) das allgemeine Integral y = c • x + h (c); die zweite Gleichung x = — h' (p) zusammen mit (31) führt zu einer durch den Parameter p dargestellten Lösung i 3 5 = — K(V) \y=—p.h'(p)

+ h(p).

Diese Lösung ist eine singuläre Lösung von (31), weil Fp=-(x+W(p))= 0 ist. Man sieht also, daß hier das allgemeine Integral der Differentialgleichung eine Geradenschar ist, während sich außerdem noch eine bestimmte Kurve als singuläre Lösung ergibt. Diese Kurve ist die Einhüllende der Geradenschar *). § 8.

Singuläre Lösungen.

Kurvenscharen

Es ist jetzt an der Zeit, näher auf die singulären Integrale und ihren Zusammenhang mit dem allgemeinen Integral einzugehen. Zur Differentialgleichung F(x,y,y') = 0 gehöre das allgemeine Integral 0 (x, y, e) = 0. Geht man von der Differentialgleichung aus, so sieht man folgendes: Für diejenigen Tripel (x, y, y'), für welche Fy- 4= 0, läßt sich F = 0 in eine endliche oder unendliche Zahl von Gleichungen y' = / j (x, y), y' = f2 (x, y),... auflösen, deren jede eine Kurvenschar q>t(x, y) — c;