Gewöhnliche Differentialgleichungen [4., neubearb. Aufl. Reprint 2019] 9783111360010, 9783111002705

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SAMMLUNG GÖSCHEN BAND 920

Gewöhnliche Differentialgleichungen Von

Dr. Guido Hoheisel o. Professor der M a t h e m a t i k a n der Universität K ö l n

Vierte, neubearbeitete

W A L T E R

DE

Auflage

G R U Y T E R

&

CO

vormals G J Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung . Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

Berlin

1951

Alle

Rechte, insbesondere das von der Ver1agshand1ung

Druck

von

Übersetzungsrecht, vorbehalten

A r c h i v - N r 11 09 20 W a l t e r d e G r u y t e r & Co., B e r l i n P r i n t e d in G e r m a n y

W 35

Inhaltsverzeichnis.

Seite

K a p i t e l I: Die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g erster Ordnung. § 1. Einleitende Sätze § 2. Richtungsfeld der Differentialgleichung y' = j(x, y) § 3. Integrierender Faktor § 4. Andere integrable Typen § 5. Existenz- und Eindeutigkeitssatz § 6. Die allgemeinste Differentialgleichung erster Ordnung: F(x,y,y') = 0 , § 7. Integrable Typen § 8. Singulare Lösungen § 9. Verlauf der Integralkurven in der Nähe eines singulären Punktes K a p i t e l II: A. D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n h ö h e r e r O r d n u n g . § 1. Allgemeines § 2. Besondere Typen B. L i n e a r e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n . § 1. Allgemeine Existenzsätze § 2. Über die Integration homogener und inhomogener Gleichungen § 3. Greensche Funktion, Adjungierte § 4. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . Kapitel III: R a n d w e r t a u f g a b e n . § 1. Allgemeine Theorie § 2. Eigenwerte § 3. Sturm-Liouvillesche Systeme. Asymptotische Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen § 4. Nicht LiouviUesche Systeme. Randwertaufgabe der Periodizität '. § 5. Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen § 6. Nullstellen von Lösungen •.

5 8 9 14 20 25 28 32 40

50 53 .Vi 63 68 75 84 90 95 102 113 118

Abkürzung. AB. = Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Sammlung Göschen Bd. 1059. 2. Aufl. 1950.

1*

Literatur. B a t e m a n , H , Differential équations. London 1918. B i e b e r b a c h , L., Theorie der Differentialgleichungen. Berlin, 3. Aufl. 1937. B ô c h e r , Leçons sur la méthode de Sturm. 1917. C o 11 a t z , Eigenwertprobleme und ihre numerische Behandlung Leipzig 1945. F o r s y t h , A. It., Lehrbuch der Differentialgleichungen. 2. Aufl. Neudruck, 1924. H e f f t e r , L., Einleitung in die Theorie der linearen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Veränderlichen. 1894. H o r n , J., Gewöhnliche Differentialgleichungen. 4. Aufl. (Göschens Lehrbücherei.) Berlin u. Leipzig 1947. H o r t , W , Die Differentialgleichungen des Ingenieurs. 2. Aufl. 1925. I n c e , E. L., Ordinary differential équations. London 1927. K a m k e , Differentalgleichungen reeller Funktionen (2 Bände). T r i c o m i , Fr. Equazioni differenziali. Einaudi, 1948. Außerdem. Die verschiedenen Lehrbücher der Differential- und Integral« rechnung. H a u p t , K n o p p - M a n g o l d t , S c h l ö m i l c h - K n e s e r , S c h r u t t k a usw. Weitere Hinweise und Originalarbeiten in den Aufsätzen der Enzyklopädie der mathem. Wissenschaften.

K a p i t e l 1.

Die Differentialgleichung erster Ordnung. § 1. Einleitende Sätze1). Eine stetige Funktion von zwei Veränderlichen z = f(x, y) stellt im (x, y, 2)-Raum eine Fläche dar. Die Gesamtheit der S c h n i t t p u n k t e dieser Fläche mit der zur (x, f/)-Ebene parallelen Ebene z = c heißt Niveaukurve der Höhe c. Wird die Niveaukurve senkrecht auf die (x, ?/)-Ebene projiziert, so gilt f ü r jeden Projektionspunkt die Beziehung f(x, y) = c. Unter welchen Bedingungen die Gesamtheit dieser Projektionsp u n k t e eine stetige Kurve darstellt, lehrt der Satz über implizite Funktionen: Ist f(x, y) eine in einer Umgebung des P u n k t e s (x0, y0) mit stetigen Ableitungen erster Ordnung versehene Funktion und Vo) = ist ferner f {x^ j / J =j= 0 , so gibt es eine einzige Funktion i/= 0, erhält man zwei Werte y', also zwei Differentialgleichungen. Die Punkte P2 — QN < 0 geben überhaupt keinen reellen Wert y'. Diese beiden Arten von Punkten bilden Gebiete, die voneinander getrennt werden durch das Kurvengebilde

28

Die Differentialgleichung erster Ordnung. D {x, y)=P*{x,y)-Q

(x, y)N(x,y)=

0.

(29)

In i h m stecken die e t w a möglichen singulären L ö s u n g e n . B e i s p i e l : xy'2— y= 0 liefert D(x, y)= xy= 0; y — 0 ist eine singulare Lösung. Auch x = 0 ist eine L ö s u n g . E s ist d o r t nämlich, wie die Differentialgleichung zeigt, y' — o o , d. h. der Pfeil des Richtungsfeldes fällt in die R i c h t u n g der Geraden selbst, ist also identisch m i t der T a n g e n t e n r i c h t u n g der Geraden.

§ 7. Integrable Typen. A u c h bei der Differentialgleichung F(x, y, y')= 0 gibt es einige T y p e n , bei denen sich die Lösung auf Q u a d r a turen zurückführen läßt. 1. Eine der beiden Veränderlichen x, y fehlt. F(x,y')=

0

oder

F(y,y')=

0.

Man löst n a c h y' auf u n d erhält Gleichungen V'=f ( » ) ; • • • oder «/'=/(«/);..., die m a n d u r c h T r e n n u n g der V a r i a b l e n integrieren k a n n . Doch ist vielleicht die Auflösung n a c h y' nicht d u r c h f ü h r b a r , dagegen n a c h x bzw. n a c h y. Man l ä ß t d a n n y' = p als Veränderliche zu. E r g i b t sich im ersten Falle x = f ( y ' ) = f(p), so ist y

= j

d

d x

d X =

f

V d X

=

x = f ( p )

= f

P f

'

{ P )

dV;

1

2 / = Jpf'(p)dp + cj ist d a n n das allgemeine I n t e g r a l i n P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g (p P a r a m e t e r ) . N a t ü r l i c h wird die A u f l ö s u n g n a c h x im allgemeinen m e h r e r e F u n k t i o n e n (Zweige) x = f(p), x = f x (p)... ergeben. J e d e r F u n k t i o n e n t s p r i c h t d a n n eine solche Lösung. Die G e s a m t h e i t dieser Lösungen ist das allgemeine I n t e g r a l der ursprünglichen Gleichung.

Integrable Typen.

29

Entsprechend verfährt man im zweiten Falle. Ist y = f(p), so ergibt sich

* =fdx=Idy • "=Jr,dy=S\fvdv=ñr

(JJ) dr'

y = f(v), % = / ( p ) dp + c ist dann das allgemeine Integral. B e i s p i e l : a;)/l + p2 — p = 0 läßt sich leicht nach p auflösen. dy x ,/ T-=V=-, i y = — / l —a^ + c; dx |/i _ 2 X

(y — cf + x2 = 1, also Kreise mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt auf der y-Achse. Gibt es singulare Lösungen? dF _

xp

d p - y . r q ^ -

Vl + p2 1 = 0

ergibt

x

= - j - '

dies in F=0 eingesetzt: = 0, woraus wieder aus x — \/p~2 + 1; x = ^ 1 folgt. Diese beiden Geraden sind in der Tat Lösungen der Differentialgleichung. Sie haben in jedem Punkte die Richtung des Richtungsfeldes: p = oo. Sie sind die Einhüllenden der Kreisschar. p—1

Beispiel:

yp2 — 1 = 0;

entweder

und dx

yy

Integration durch Trennung der Variablen oder y=p-2;

x=

— f 2 p~4dp + c;

D(x,y) = y = 0 ist keine Lösung; es gibt also keine singuläre Lösung. 2. F(x,y,y')=0. Die linksstehende Funktion soll homogen in x, y sein, etwa vom Grade m. Dann ist offenbar (y: x = z gesetzt) F(x, y, y')= xmF(l,z, y')= 0.

30

Die Differentialgleichung erster Ordnu ng.

Die Differentialgleichung läßt sich also schreiben G(z, y') = 0. K a n n man nach y' auflösen, so ergeben sich Gleichungen P = 2/'=

+ K(p)b

(30)

h{ (p) hi{p) — x + r - r K dp p — hiP) P — h(P)' Das ist eine lineare Differentialgleichung f ü r x = x(p), die sich durch Quadraturen lösen läßt. Es ergibt sich dx

Integrable Typen. x=Q1(p)

31 (30b)

+ e-Gt(p),

dies in Gleichung (30a) eingesetzt: y=H1(p)

(30c)

+ c-H2(p).

Mit (30 b, c) ist das allgemeine Integral in Parameterform gegeben. Dabei sind uns infolge Dividierens möglicherweise noch Lösungen entgangen, nämlich solche, für welche p — hx (p) = 0 ist: Hat diese Gleichung in p reelle Wurzeln 2/(n—1) wiß in u,u', - • •, «(n-1). Mit Hilfe dieser Identität läßt sich leicht zeigen: Die Adjungierte von L(u) ist L(y). Ist L = L, so heißt L sich selbst adjungiert. Für Systeme wird der Formalismus noch einfacher. Zeilen und Kolonnen in einer Matrix 31 vertauscht, führt zur transponierten Matrix 91*. Ein Vektor mit n Komponenten ist eine (n, l)-reihige Matrix. Für zwei solche Vektoren 9= • • yn) 8 = (ßi, • • l ä ß t sich das Produkt bilden = 3*9 = Vizi H + eine (1, l)-reihige Matrix. Wir werden, da ein Mißverständnis nicht zu befürchten ist, den Stern weglassen. Der reellen Systemform n © 0 ? ) = y ' i — £ Vij Vj (i = 1 , . . w ) ordnet man als Adjungierte zu die Form ~ n-

Greensche Funktion.

Adjungierte.

73

Für zwei beliebige Funktionenvektoren t), 5 gilt s®0j)-i}@(a) = ¿ - 0 j § ) . das Analogon zur Lagrangeschen Identität bei linearen Differentialgleichungen. Insbesondere gilt für Lösungen ty, 3 der Gleichungssysteme @o?) = 0, © 6 ) = 0 die Beziehung % = const. Kennt man daher ein Hauptsystem der adjungierten Gleichung, so gewinnt man aus den n Gleichungen tjj, = cy das allgemeine Integral t) = (yv ..., yn) enthaltend die n willkürlichen Konstanten cv . . c n . Das Analogon zur Greenschen Funktion ist hier eine Matrix (gik) die folgendermaßen definiert wird: t). = (y. v . . y i ) seien n linear unabhängige Lösungen des Gleichungsystems (45). W(£) = \\yi k(£) 11 =f= 0 ist die Wronskische Determinan te. Es ist sign (x — i) Dabei ist h}-j der Wert der Determinante folgender Matrix: Man ersetze in der zu W(£) gehörigen Matrix (y. k(£)) die l-te Kolonne durch y'fl, y^l(x),..., y{*\(%). Daraus folgt für.j =j= l • f ) = 0, denn dann sind Z-te und j-te Kolonne gleich, g. t(x, £) ist also stetig für a (x, £) íS b. Anders für j = l. Dann ist und daher ®o =

eine bestimmte Greensche Matrix.

74

Lineare Differentialgleichungen. ®

=

(gjk(x,

£) +

mit willkürlichen

ck yk/x))

ev

c2,

...,cn

ist die allgemeinste Greensehe Matrix. Wir behaupten jetzt: b u =

f ® ( x j ) f ( i ) d i a

ist die (allgemeine) Lösung des inhomogenen Systems n u

p

'i

=

i ñ

f

i(x}

( i = = 1

> - - - < «)•

Dabei bedeutet f(£) die (n, l)-reihige Matrix f ß ) . Es genügt b

zu zeigen, daß u =

f a

©0(a;, i)

eine Lösung des in-

f{£)dt;

homogenen Systems ist. Die i-te Komponente von u ist u. =

/ (9il(x,i)

f ß ) +

• • •+

gi¡n(x,

|) f ß ) )

d£.

a

Bei Berechnung von u\ wollen wir einfacher ¿ an Stelle von sign (x— n schreiben, (a, b) wird in (a, x) und (x, b) zerlegt. b 7, u

'i =

¿

f

3ÁX>

x

+ °))

a

1— 1 o Gemäß der Definition ist

1 f

i

i

b

n m

n t

)

)

-

1

¿

A

ß

)

iijx)

dt

í¿x)

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.

=

k,l

J

a

l..n =

))

f±

75

?/,,(*)

v=l

dt

/• ±

f s m w i ^ r

I «¡(x)-f.(x)

= £ P

n a

1

\ k(x, * > ¿ i

1

6

( . * ) fg ,

k

( x j ) f

k

( m = ^ p j x ) u / x ) .

Das ist die Behauptung. B e i s p i e l : Für die inhomogene Gleichung y" = f(x) soll mit Hilfe der Greenschen Funktion diejenige Lösung im Intervall 0 x SS 1 gefunden werden, die für x = 0 verschwindet und für x = 1 eine horizontale Tangente hat. y t — 1, yt = x sind Lösungen der homogenen Gleichung. Daher: G(x,£)

= «i • 1 +

a2x

für

G(x,()

= lj • 1 +

M

für

a; 0, d = — co2) gibt es genau eine solche Lösung. Zum Beweise setzen wir voraus, daß / durch ihre Fourierreihe darstellbar, d. h. 2 71 f ( x )

=

A

v

e

i v x

\

( 2 n A

=

/

— 00

f ( t )

e ~

M

d t )

* ) ,

Q

und die Fourierreihe von f absolut und gleichmäßig konvergiert. In (58) ergibt gliedweise (unbestimmte) Integration Y

=

+

—

e +


, dann gilt m

'

¡->p(x)eMdt==

oder

0

(Irl = 0 , 1 , 2...)

o

2 71

Jip cos vtdt=

2 71

Jip sin vidi—

0

(j>= 0,1, 2 , . . . ) .

o o Aus diesen Gleichungen folgt ip (t) = 0. Wäre nicht y>(t)= 0, so gäbe es ein Intervall (ot.,ß), in welchem die Funktion etwa positiv wäre. Nun ist

größer als 1 im Intervall ( O i s t in . Aus d j-x (ky'y)

= ky'2 + y ^

d

(ky') = ky'2 + py2 > 0

folgt die Monotonie von kyy' in (a, b). Es kann dort yy', also auch y höchstens eine Nullstelle haben. Gibt es für mehr als ein X eine nullstellenfreie Eigenfunktion, so führt die Orthogonalität zu einem Widerspruch. Das gleiche gilt, wenn zwei solche Funktionen die einzige Nullstelle gemeinsam haben. Gäbe es nun drei Eigenfunktionen ylt 2 , 3 mit den jeweils einzigen Nullstellen x1 > x3 > x2. Die Funktionen y{ sind, da y\ keine Nullstelle haben kann, monoton und könnet!

Eigenwerte.

93

monoton fallend angenommen werden. Mit cl = y2(x3) >0 und c2 — — 2/1(^3) > 0 ist y = c ^ ^ x ) + c 2 y 2 ( x ) eine monoton fallende Funktion, die in X3 Null wird. Es ist also yy3 > 0 für x =4= x3. Wegen der Orthogonalität von y1 und y2 zu y3 ist auch y orthogonal zu y3, was offenbar unmöglich ist. Es kann also f ü r so große negative X höchstens drei verschiedene Eigenwerte geben, nämlich einen mit einer nullstellenfreien und zwei mit Eigenfunktionen, die je eine Nullstelle haben. Noch ist nicht gesagt, ob es überhaupt Eigenwerte gibt. Obgleich später bei der angenäherten Berechnung dieser Werte auch ihre Existenz sich ergeben wird, soll hier für beide Arten I und I I ein allgemeiner Existenzbeweis geführt werden. Es gilt: Es

gibt

mindestens

einen

Eigenwert.

Zum Beweise wird für irgendein stetiges h(x) =j= 0 das inhomogene Randwertproblem L(u)

+ X g u

=

h\

B J u ) =

B2(u)

=

0

(75)

betrachtet. Dann ist, falls kein Eigenwert existiert, offenbar die (eindeutig bestimmte) Lösung u(x, X) stetig und differenzierbar für alle X (S. 125). Es wird definiert (u 0 = u(x, 0)) b

v(X)=X

j g u

0

u

dx.

Aus (75) folgt durch Differentiation nach

X

w = ;r-r ist Lösung der inhomogenen Randwertaufgabe L(w) + VA Xg w = — u g\ B^iv) = B2(w) = 0. Es existiert auch b

v'(X) =

f g u a

b

0

u d x +

X ja g u0

du ^ d x

.

Die beiden rechtsstehenden Integrale lassen sich mit Hilfe der Lagrangeschen Identität umformen. Die Gleichungen

94

Randwertaufgaben.

L(w) = — (kgw

+ g u)

L(u„) = h ergeben bei Multiplikation mit bzw. (—w), Summation und Integration b b b b J(u0L(w) — wL(u,j)) dx — — A Jgu0w dx — fg u0u dx —jhiv dx a a a a Die linke Seite ist gemäß der Lagrangeschen Identität (S. 72) gleich P{u0, w)

= k(w'u0 — u'o w), wie man auch durch

du Vergleich mit (69) sehen kann. Da u0 und w = ^ denselben VA, Randbedingungen genügen, so ergibt sich unter Beachtung von (71) null. Also ist r , du h^dx. v (A) = — J a Auf ähnliche Weise ergibt sich mit u statt u0 (und also h — gu statt h) b o b cu r r / h ^ dx + gu2ax = 0 ta oA a„ b mithin v'(X) = J g u2 dx > 0, a da u ^ 0 zum Widerspruch h = 0 führte. Wegen v(o) = 0 ist sign v(X) = sign X. Die Schwarzsche Ungleichung 1 ) ergibt r b \ 2 b b v2 = A2 I f g uu dx) ig A2 f g uHx • J gu?dx a ' a a b ¿1 ^ A2 • v' (A) • el; {cl = f g v* dx); jx f(A)- 1 ) ' ) sh. I n t e g r a l g l e i c h u n g e n , Goschen B d . 1 0 9 9 .

Sturm-Liouvillssche Systeme usw.

w(k) =

— c 2gv(h)~ 1

95

X.

wächst also monoton mit

A>0: A-1- c^^-^lim(A"1

=

—c^v-1)

A < 0 : ; . - ,- c 2o v ( A ) - 1^ l i m ( A - 1- c 00

— c 2o lim v 1 ^ Q />.-->•+ 00 2o v - 1) =

b

— c 1 lim v o /.—00

1

> 0. —

Also ist w(A) ^ 0; v ( h ) — ).(?o = X J g u 0 u d x . a

Wegen v'{X)

b

= v'(o), also J gu 2dx = / g u"a dx = j g u0u dx a

b

ist

J g (u — u0) 2 dx =

0. Aus

u = u0

und

a

h = L ( u ) + X g u = L ( u 0 ) + hg u 0 — h + hg u 0 folgt u 0 = 0 und also L ( u 0 ) = h = 0, ein Widerspruch, der die Annahme der Niehtexistenz von Eigenwerten widerlegt.

§ 3. Sturm-Liouville'sche Systeme. Asymptotische Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen. Der Fall (II), gekennzeichnet durch rj l2 = = 0 birgt noch neun verschiedene Typen in sich. Bei den ersten sieben läßt sich die asymptotische Berechnung einheitlich vornehmen; sie unterscheiden sich aber im Resultat von den beiden letzten Typen. Die Identität (64a), die sich zu ??21 = Vli *?23

(76)

vereinfacht, leitet zu folgenden neun in der Tabelle angeführten Typen hin:

96

Randwettaufgaben. Fall II.

Vl2 = Vsi = 0

0

Typus

Vìi • Vis — Vu • Viz Vìi

Vl3

Vu

%3

4

0

= 0

= 0

= 0

2

4= 0

= 0

= 0

=f= 0

3

+ 0

= 0

*

0

= 0

4

*

7

=0 =0 =0

*0 =0 =0 =0

4= o

6 6

4 0 =0 *0

8

= 0

9

= 0

1

0

4

o

4= o

=0 4 0

=t= o

4= 0

= 0

= 0

4= o

= 0

Tabelle 1. Es ist zweckmäßig, zur Vereinfachung der Schreibweise x in x' zu transformieren, wo nix — a) = x'{b — a) ist. (a, b) geht über in (0, n). Wird nachher wieder x statt x' geschrieben, und bezeichnet man die Koeffizienten in der alten Weise, so läßt sich weiter die Vereinfachung k(x) = g(x) = 1 vornehmen. Das bedeutet keine Einschränkung wegen k, g > 0. Wird nämlich in der Differentialgleichung bei Division durch g

1 dt, y'\ l(x) -7-, - T T yJ + g(x) Täx\y % •— gl — g(x) ^

a

die neue Veränderliche

X 71 t =n j g dx: J gdx

•

0

o

an Stelle von x eingeführt, so ergibt sich

sKI)-««»+**=.

0

Sturm-Liouvillesche Systeme usw.

97

wobei K(t) = k(x(t)) • g(x(t)): / g dx; S(t) =

/ g dx

7t

ist und X an Stelle von X: J g dx geschrieben ist. o Schreiben wir wieder x an Stelle von t, k für K, l für S. Die Gleichung jx{ky')-{l{x)-X)y=

0

vereinfachen wir noch weiter durch die Substitutionen i

,=

"f

\/k(x)

an Stelle von x (c0 so, daß t(ji) = ri)

und z = y • j/fc an Stelle von y. Es ergibt sich dann eine Gleichung in der Form d2z - + ( X - U ( t ) ) t = 0. Die Randbedingungen behalten ihre Gestalt c^z (0) — ocz' (0) = ßjZ (n) — ßz' (n) = 0. Das homogene Problem schreibt sich jetzt so: y"+(Qz-l(x))y = 0 «iM - *V(o) = ßi y f r ) - ßy'W = o ' Dabei ist q1 an Stelle von X geschrieben, da die eventuellen endlich'vielen negativen Eigenwerte f ü r die asymptotische Berechnung ohnehin belanglos bleiben 1 ). Indem man die Differentialgleichung formell als inhomogene Gleichung ansieht, nämlich V" + ky = l(x)y ') Der zu einem Eigenwert A gehörige Zahlenwert e = + j A w i r d weiterhin der Kürze halber als Eigenwert bezeichnet. H o h e 1 s e 1, Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7

Randwertaufgaben.

98

läßt sich zur Lösung die Methode der Greenschen Funktion heranziehen, sin QX, COS QX sind die Lösungen der homogenen Gleichung. G(x,i)

= — s i n p ( x — £) (x>£); Q

G=0(x2 irgend zwei unabhängige in X stetige Lösungen der homogenen Gleichung bedeuten, die Lösung X Jt U(x, X) = ijy Jhy2dt + y2 Jhy1 dt. o X yl sei eine Lösung der homogenen Gleichung, für die B±{y) = 0 erfüllt ist. Setzt man y1 = at Y, + a2 Y2, so ergibt sich aus a1 BJ Fj) + a2 B2{ F 2 ) = 0 eindeutig ax: a2. (Es kann nämlich nicht gleichzeitig Bx( F 2 ) = BJ F 2 ) = 0 sein. Sonst ließe sich a 1>2 so bestimmen, daß B2(a1Y1 + a 2 F 2 ) = 0 und somit X Eigenwert wäre. Dann wäre wegen Rang (ß,( F,)) SS 1 Bi(Yi) = Y2) —. 0, der Eigenwert also mehrfach, was ausgeschlossen wurde.) Ist also ax: a2 bestimmt, so werden alit durch Normierung von yl festgelegt. Die a sind stetige Funktionen von X, also auch yy. Als y2 wählt man eine von unabhängige Lösung, etwa F 2 (für a t =(= 0) oder sonst Von selbst ist dann #i(«/ 2 ) =t= 0. Das allgemeine Integral der inhomogenen Gleichung lautet jetzt

Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen.

115

u = U + Cj yx + c2 yt. Aus B1(u) = 0 ergibt sich B^U) + c2 Bx(y2) = 0, womit c, eindeutig bestimmt und stetig ist für alle X. Aus B2(u) = 0 ergibt sich dann cx eindeutig für alle Nichteigenwerte X. Ist k ein Eigenwert, so gilt für die Eigenfunktion yjx, k) L{Vi)

=

~ k y

1

.

Ferner gilt für X =(= k L(u(x, A)) = h(x) — Xu(x, X). Die Lagrangesche Identität ergibt wegen Bhi(u) = Blii(y1) = 0 n f (y^x, k) L(u) - u L(i/X)) dx = 0 o N

71

und also, da ja Jh o

dx = 0 n. V. gilt, 0 = (X — k) J o n 0 = J u(x, X) y^x, k)dx = J U y^dx + o o N

uy1dx

N

ClU) /Vi(x> X) 2/iO> k) dx + c2{X) f y2(x, X) y^x, k) dx. o o Für X —> k ergibt sich eindeutig N

N

lim Cj(A) = — ct(k)jy^x, k) y2(x, k) dx - J U(x, k) y^x, k) dx. o o Damit ist auch für X = k festgelegt und also u die für alle X stetige Lösung der inhomogenen Aufgabe L(u)

+ Xu

= h; BU2(U)

= 0.

Daraus folgt aber, wie schon beim Beweis für die Existenz eines Eigenwertes S. 93 gezeigt wurde, u = 0, h = 0, also 71

E anyn = f(x), an — J f yn dt. Dabei wird die Stetigkeit o von / und die absolute und gleichmäßige Konvergenz der Reihe vorausgesetzt. Es wurde schon gezeigt, daß diese Konvergenz 8*

Randwertaufgaben.

116

in jedem Teilintervall in (0, n) gesichert ist, wenn z. B. / stetig und von beschränkter Schwankung ist. Damit sie im a b g e s c h l o s s e n e n Intervall gilt, muß / unter Umständen eine der Randbedingungen BU2 = 0 erfüllen, sofern nämlich diese keine Ableitungen enthält. Z. B. für / 3>4 muß /(0) = /(n) sein, für h riu f{0) + f(n) = 0, für' / -,. /(0) = - j(n). G r e e n s c h e F u n k t i o n : Die zu einer Randwertaufgabe gehörige Greensche Funktion (sh. S. 86) soll für / 4 und II explizit berechnet werden. Für selbstadjungierte Aufgaben erweist sich diese Funktion als symmetrisch. Ist yv2 irgend ein Hauptsystem von y" + ViV' + ViV = 0, so ist für W = M z - M i . Go f ) = 2 sign (f — x)-(iJi(x) y2{£) — y2(x)y1 (£))W— 1 ( | ) eine Greensche Funktion. Denn es ist

G{x, f ) = ^ ( x ) + c2y2(x) + G0{x, ist also die allgemeinste Greensche Funktion. Dann gilt für die zur Aufgabe I t gehörige Greensche Funktion:

Es wird Yv2 in der üblichen Bedeutung für yL,2 gewählt: ei +

ö

o (0, f ) = Ci^i (JI) + C2Y2 (7t) + G0 (n, g)

= {n) + {n) + G {n °2 + ix G°(0, ^ ix ° ' Ist A die Determinante dieses Gleichungssystems der Cii2, so gilt — mit F i 2 seien die Werte an der Stelle n gemeint — c1A = (Go(n,Z)-Go(0,mi-Yi)

Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen. e2A =

J-?G

o ( j r > f

)_ jG0(

0 >

f))

( 1 -

Die Aufgabe ist selbstadjungiert (p, = 0 ) : W M

=

(7,7,(1)-

Y ^ d ) -

117

Fj)

= 1 ergibt:

F 2 ( | ) ) ( l — Y'2)

+ Y^Ytf)-Y[Y2(£) + YJg)) = 47,(1) + BY2(£), 2C2A +

=

( 1 -

F 1 ) ( F 2 F 1 ( | ) — Y[ F 2 ( | ) +

Yi(F2Fx(f)- Y J S ) -

Yj(£))

yt(«) = CF^I) +

DYS).

G0(x, |) i s t s y m m e t r i s c h in (x, £). G(x, £) i s t also sym-

e2Y2{x)) s y m m e t r i s c h in ist, denn A i s t eine K o n s t a n t e . N u n ist offenbar m e t r i s c h , wenn 2 Z l ( c 1 F 1 ( a ; ) +

(x, f )

2A&YJx) + c2Y2(x)) = AY1(x)Y1(g) m ) + BY2(X)Y2($) + CY^YS) + DY2(x)YS)- ( ' Mit G = D ist also die S y m m e t r i e von G bewiesen.

D

= — (Fx +

1)(1 — F2) — F 2 F i = C = ( 1 - F

1

Fg — F t

) ( F ^ + 1 ) +

E s ist =

FiF2.

E n t s p r e c h e n d ergibt sich die S y m m e t r i e für die S t u r m Liouville A u f g a b e I I , F o r m e l ( 7 6 a )

OC& — txc2 + MYi - ßeji +

1. Dann ist gemäß (53) X

y, = y 1 f y i - i d t = x ,i + o(i)) (93) a (o(l) bezeichnet künftighin Funktionen von x, die gegen Null gehen mit x~K) Das allgemeine Integral ist daher: y = C 1 ( l + o ( l ) ) + O i - ® - ( l + o(l)). Wird (T^) und außerdem von einem gewissen x an Q =}= 0 angenommen, so läßt sich sagen: Schließlich ist jede Lösung y monoton und ihre Ableitung y' konvergent. Ferner ist schließlich y konvex oder konkav zur x-Achse, je nachdem Q ig 0 oder Q 0 gilt. B e w e i s : Da 0 für x>a, ist jedes andere y höchstens einmal null. Es sei Q ^ 0 und etwa y > 0 für x^b. Dann ist für solche x < x.

Nullstellen von Lösungen.

121

xt

y'(x2)~y'(x1)

= f \Q\ydx^0.

(94)

y' istalso monoton nichtabnehmend und daher?/' -> A E s ist aber A < 00, weil ja y < const • x, und =

+00.

const.

Die Konkavität folgt ohne weiteres aus der Monotonie von y' Ist i/ü die Lösung (93), so gilt auch f ü r sie y'2 —> A. Es konvergiert also das Integral rechter H a n d : 00

/ a

QO

00

/1QI • a

d. h . j \Q \ xdxist

+ 0(1)) dx,

konvergent. (Dies gilt also unter der Vor-

a

aussetzung (F x ) und Q =f= 0). (F 2 ): Wird angenommen, daß es eine Lösung y2 gibt, so daß | yt — x | 0, so folgt aus (F a ) auch ( F ^ . Aus (F 2 ) und 00 Q =j= 0 folgt ferner die Konvergenz von f x2 | Q | dx. a 00

B e w e i s : Aus (F 2 ) folgt f ü r 2/1 = 2/2/ (.y 2 (0)~ 2 dl die AbX

Schätzung y y = 1 + o(l). Es gilt also (Fj). Da ( F j ) gilt, ist y'2(x) monoton und konvergent gegen eins, weil aus ~ 1/2(0) x y2(a) ^ Q x—a x —a x —a folgt: y'2(£) - > 1. Aus (94) folgt für x2 - > 0 0 (es wird wieder 0 angenommen): 00 1-2/',(*) =

/\Q\y,dt^o. X

122

Randwertaufgaben.

Das Integral ist konvergent, also y'2(x) = 1 — d(x), wo ¿ > 0 und monoton fällt, da y'2 monoton ist. Es ist daher schließlich: W i - V 2 < x - 1 — (3 — 1 ) = 1

(95)

Anderseits folgt aus (xy )' = xy ' + y' = x | Q \ y + «y'-y.

I*: =

y'

fty*\Q\dt^o.

Wegen (95) ist daher die linke Seite nach oben beschränkt 00 und also das Integral für x2 —s» oo konvergent, d. h.Jx2\Q\ dx konvergent. Entsprechend ist der Beweis für (F 2 ) und Q 0. Mit Hilfe der Picardschen Approximationen lassen sich diese Sätze auch umkehren. Z. B . folgt aus der Konvergenz 00 von j x | Q | dx die Existenz einer Lösung, die gegen eins konvergiert, d . h . (T^). B e w e i s : Die Differentialgleichung ist identisch mit der Integralgleichung 00

y(x) = c t + e2x — f(t — x)Q (t) y (t) dt. X

Um zu einer Lösung zu kommen, die asymptotisch eins ist, wird = 1, c2 = 0 gewählt. Man definiert: 00

y„ = 1, Yk(x) = 1 - f ( t - x ) 0 anzunehmen ist und mit wachsendem Q die Oszillation stärker werden wird. Das lehrt auch ein Sturmsches Yergleichstheorem, das hier in einfachster Art formuliert wird. Liegen die beiden Differentialgleichungen vor: y + Qiy = o, y" + Q,y = o, Q^Q, so gilt: Zwischen zwei Nullstellen einer Lösung der ersten Gleichung liegt mindestens eine Nullstelle irgend einer Lösung der zweiten. B e w e i s : "Seien a, l zwei aufeinanderfolgende Nullstellen von yx, einer Lösung der ersten Gleichung. Es läßt sich y[ (a) > 0, y[ (b) < 0 annehmen. Für eine beliebige Lösung y t der zweiten Gleichung gilt dann: (Qi — Qi) ViV* = y*y" —

= ^

(y[yt — vivi)-

Integration zwischen (a, l) ergibt: b / (Qt —Qi) yiVi'dx = y[(b) y2(b) — y[(a)

y2(a).

Randwertaufgaben.

124

Wird nun y2 =}= 0 angenommen, so ist der Integrand links positiv, da y1 > 0 ist in (a, b) wegen y'(a) > 0 und ferner yt jetzt positiv angenommen werden kann. Rechts steht aber eine nicht positive Größe, womit sich ein Widerspruch ergibt. Sei nunmehr Q = q2(x) > 0 , stetig für x^i a. Die Gleichung y" + q2y = o hat f ü r beliebiges « überhaupt keine Nullstelle mehr oder es gibt eine erste solche Nullstelle ß • m(