Gewöhnliche Differentialgleichungen [5., erw. Aufl. Reprint 2019] 9783111338187, 9783110989656

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Göschens Lehrbücherei 1. G r u p p e

Reine und angewandte Mathematik Band 10

Gewöhnliche Differentialgleichungen Von

Professor Dr. J. Horn f

W a l t e r de G r u y t e r & Co. vormals

G. J. G ö s c h e n ' s c h e

J. G u t t e n t a g , Reimer

—

Verlagshandlung

Verlagsbuchhandlung

Karl

J. T r ü b n e r

Berlin

—

W 35

1948

Veit

—

Georg

&

Comp.

Gewöhnliche Differentialgleichungen Von

Dr. J, Horn f ehemals o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt

Fünfte, erweiterte Auflage

Mit 4 F i g u r e n

W a l t e r de G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J. O ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g — G e o r g R e i m e r — Karl J. T r i i b n e r — Veit & Comp.

Berlin

W 35

1948

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten

Archiv-Nr. 120548 Satz n. Druck der Dieterichschen Univ.-Buchdruckerei W.Fr. Kaestner, Göttingen

Vorwort. Das vorliegende Buch beginnt mit einer elementar gehaltenen Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, geht aber in den späteren Teilen über die Anfangsgründe hinaus. Bei der Auswahl des Stoffes wurden Gegenstände, welche Anwendungen zulassen, bevorzugt. Genauere Auskunft gibt das Inhaltsverzeichnis. In den fünf ersten Kapiteln wird nur die Differential- und Integralrechnung, im sechsten, siebenten und zehnten (teilweise auch im achten und neunten) Kapitel werden auch die Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen vorausgesetzt. Von Band L der Sammlung Schubert ist 1927 eine zweite, völlig umgearbeitete Auflage als Band 10 von Göschens Lehrbücherei erschienen. Die dritte und die vierte Auflage sind durch anastatischen Nachdruck hergestellt worden; daher konnten nur geringe Änderungen vorgenommen werden, Die fünfte Auflage hat Änderungen und Zusätze erfahren. So sind im fünften Kapitel die hypergeometrischen Funktionen etwas eingehender behandelt. Die (in der 2.—4. Auflage nur angedeutete) asymptotische Darstellung der Integrale linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung durch divergente Reihen im komplexen Gebiet bildet den Gegenstand des zehnten Kapitels. Die Randwertaufgaben für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen fehlen hier wie in den früheren Auflagen, weil sie im Band 14 von Göschens Lehrbücherei: „Partielle Differentialgleichungen" behandelt sind. Darmstadt. J. Horn.

Inhaltsverzeichnis. Erstes Kapitel. § § § § § § § § §

Elementare Integrationsmethoden.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Gewöhnliche Differentialgleichungen . Geometrische Deutung einer Differentialgleichung erster O r d n u n g . . . T r e n n u n g der Veränderlichen . . Homogene Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung E x a k t e Differentialgleichungen Integrierender F a k t o r . . . . . . Clairautsche Differentialgleichung Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die sich auf Differentialgleichungen erster Ordnung z u r ü c k f ü h r e n lassen § 10. Differentialgleichung zweiter Ordnung und System \ on zwei Differentialgleichungen erster O r d n u n g Zweites Kapitel.

§ § § §

11. 12. 13. 14.

1 2 3 5 8 12 14 lö 19 23

Existenzbeweise. Methode der schrittweisen Näherung.

Differentialgleichung erster Ordnung System \ on Differentialgleichungen . ' . . . . Singulare Lösungen Differentialgleichungen, welche die Lipschitzsche Bedingung nicht erfüllen Drittes Kapitel.

Seite

25 31 35 38

Numerische und graphische Näherungsmethoden.

§ 15. Angenäherte Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung . . . . § 16. Methode von Runge und K u t t a § 17. Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen zweiter Ordnung § 18. Graphische Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung . . . . § 19. A n w e n d u n g der Methode der schrittweisen Näherung zur graphischen oder numerischen Lösung von Differentialgleichungen

40 43 46 49 51

Viertes Kapitel. Lineare Differentialgleichungen ; elementare Integrationsmethoden. § 20. Existenz der Lösungen linearer Differentialgleichungen § 21. F u n d a m e n t a l s y s t e m Von Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung . . . § 22. Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten § 23. Nichthomogcne lineare Differentialgleichungen . . . . . . . § 24. Nichthomogene lineare Differentialgleichungen, besonderer Fall . . . § 25. Kleine Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad § 26. Reduktion linearer Differentialgleichungen . . . .

56 57 62 67 70 73 76

Inhaltsverzeichnis.

VII Seite

§27. Systeme linearer Differentialgleichungen . . . . . . . . . § 28. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . §29. Kleine Schwingungen mechanischer Systeme mit mehreren Freiheitsgraden

79 83 87

Fünftes Kapitel. Lineare Differentialgleichungen; weitere Untersuchungen im reellen Gebiet. § 30. Über die Nullstellen der Integrale linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung § 31. Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten . . . . § 32. Durchführung und Beispiel Sechstes Kapitel. § 33. § 34. §38§36.

Existenzbeweise im komplexen Gebiet.

Existenz der Lösungen einer Differentialgleichung erster Ordnung . Abhängigkeit der Lösungen von Parametern und Anfangswerten . Eiadeutige Bestimmung einer Lösung durch die Anfangswerte . . Existenz der Lösungen eines Systems von Differentialgleichungen .

Siebentes Kapitel.

92 96 99

. . 104 . . 108 . . 110 . . 112

Lineare Differentialgleichungen im komplexen Gebiet.

§ 37. Reguläre und singulare Stellen einer linearen Differentialgleichung . . § 38. Reihenentwicklung der Integrale in der Umgebung einer singulären Stell« der Bestimmtheit § 39. Mehrfache- Wurzeln der determinierenden Fundamentalgleichung und Wurzeln mit ganzzahligen Differenzen § 40. Konvergenzbeweis 141. DiffereaMalgleiehungen vom JFu«hsschen Typus . . . §42. Die Gaußsche Differentialgleichung . § 43. Hypergeometrische Funktionen § 44. Integration der Gaußschen Differentialgleichung vermittels bestimmter Integrale § 45. Die Legeridresche Differentialgleichung §46. Die Besseische Differentialgleichung § 47. Beständig konvergente hypergeometrische Reihen und lineare Differentialgleichungen mit linearen Koeffizienten § 48. Reihenentwicklung der Integrale in der Umgebung einer allgemeineren singulären. Stelle § 49. Form der Differentialgleichung in der Umgebung einer singulären Stelle der Bestimmtheit Achtes Kapitel.

114 116 119 125 127 131 134 138 140 145 150 155 161

Abhängigkeit der Lösungen von Parametern und Anfangswerten.

§ 50. Abhängigkeit der Lösungen von Differentialgleichungen und Differentialgleichungssystemen von Parametern § 51. Abhängigkeit der Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung von den Anfangswerten §52. Übertragung auf ein Differentialgleichungssystem §53. Die einem Differentialgleichungssystem zugeordnete lineare partielle Differentialgleichung §54. Weitere Untersuchungen über Differentialgleichungen mit einem Parameter

165 169 171 173 176

VIII

Inhaltsverzeichnis.

§ 55. Periodische Lösungen eines Differentialgleichungssystems Parameter. Erster Fall § 5 6 . Periodische Lösungen eines Differentialgleichungssystems Parameter. Zweiter Fall Neuntes Kapitel.

mit

einem

mit

einem

Zehntes Kapitel. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68.

182

184 187 194 199 203

Asymptotische Darstellung der Integrale von Differentialgleichungen.

Divergente Reihen, welche linearen Differentialgleichungen genügen . . Laplacesche Integrale als Lösungen linearer Differentialgleichungen . . Konvergenz der Laplaceschen Integrale Asymptotische Darstellung Laplacescher Integrale Die Laplacesche Differentialgleichung Die Hankeischen und Besseischen Funktionen Divergente Reihen, welche nichtlinearen Differentialgleichungen genüigen

Sachregister

180

Singularitäten nichtlinearer Differentialgleichungen.

§ 57. Die einfachsten Singularitäten einer Differentialgleichung erster Ordnung § 58. Reihenentwicklung der Lösungen von Differentialgleichungssystemen in der Umgebung singulärer Stellen § 59. Singulare Punkte der reellen Integralkurven einer Differentialgleichung erster Ordnung § 6 0 . Der Fall des Wirbelpunktes § 6 1 . Ausnahmefälle

§ § § § § § §

Seile

206 210 215 218 224 229 233 236

Erstes

Kapitel.

Elementare Integrationsmethoden. § 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Eine g e w ö h n l i c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g ist eine Gleichung zwischen einer unabhängigen Veränderlichen x, einer Funktion y von d %4 d'y x und einem oder mehreren Differentialquotienten -y'-, , . . . . Ist ßn dx dx der höchste vorkommende Differentialquotient, so liegt eine u, x D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g n,er Ordnung vor. Wir schreiben sie in der Form ,/ dy dV d-yx 0, \ dx' dx,,m'" dx") wo F eine Funktion der beigefügten Größen bezeichnet. Unter einer L ö s u n g oder einem I n t e g r a l 'der Differentialgleichung verstehen wir eine Funktion y von x, welche die Differentialgleichung identisch (d. h. für beliebige Werte von x) befriedigt; die Bestimmung der Lösungen wird I n t e g r a t i o n der Differentialgleichung genannt. Die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g erster O r d n u n g _ können wir nach ^

o

aufgelöst und so auf die Form

(A) gebracht denken.

Wenn man f(r v) =

-

setzt, erhält die Differentialgleichung die Gestalt B)

P(x,y)dx+

Q{x,y)dy

=

0,

wo P und Q gegebene Funktionen der beiden Veränderlichen x, y sind. H o r n , Gewöhnliche Differentialgleichungen.

1

2

Erstes Kapitel.

Elementare I'ntegrationsmethoden.

Wir können nach Belieben y als Funktion von x oder x als Funktion von y auffassen. Die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g z w e i t e r O r d n u n g

Die Differentialgleichung hat die Lösung

y = ff(x)dx +C

mit der willkürlichen Konstanten 0. Die Berechnung eines Integrals f f ( x ) d x , die wir jetzt Quadratur nennen, erscheint so als besonderer Fall der Integration einer Differentialgleichung. Die älteren Mathematiker haben sich vorzugsweise mit solchen Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung beschäftigt, welche sich mit Hilfe von Q u a d r a t u r e n (gewöhnlichen Integralen) lösen lassen. In denjenigen Fällen, in welchen sich diese Quadraturen vermittels elementarer Funktionen ausführen lassen, gelangt man zu Differentialgleichungen, deren Lösung nur e l e m e n t a r e F u n k t i o n e n er fordert. Wir betrachten zunächst, dem Gange der geschichtlichen Entwicklung folgenden §§3—9 einige Klassen vonDif f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n e r s t e r und zweiter O r d n u n g , welche sich durch Q u a d r a t u r e n i n t e g r i e r e n l a s s e n . Später wenden wir uns, da eine Integration durch Quadraturen nur a u s n a h m s w e i s e möglich ist, anderen Integrationsmethoden zu. § 2. Geometrische Deutung einer Differentialgleichung erster Ordnung. Eine Lösung y =

& -

:: -

*

wegen d*u_ dxdy ist

öiÖM) \dxj dy

_ dP dy

(17)

_

öi- ÖM \dy dx

öy dx

Wenn diese Bedingung in einem einfach zusammenhängenden Gebiet erfüllt ist, läßt sich tatsächlich u so bestimmen, daß die Gleichung (15j oder, was auf dasselbe hinauskommt, die beiden Gleichungen (16) bestehen. Dann erscheint die Differentialgleichung (B) in der Form du = 0; daraus folgt die Integralgleichung (18) u =C mit der willkürlichen Konstanten C. Die Funktion u von x und y wird folgendermaßen berechnet. Aus der ersten Gleichung (16) folgt u = fPdx T{y) spielt die Rolle der Integrationskonstanten. Setzt man den gefundenen Ausdruck für u in die zweite Gleichung (16) ein, so erhält man du dy

^

djPdx dy

+

d