Gewöhnliche Differentialgleichungen [7., neu bearb. und erw. Aufl. Reprint 2019] 9783111679815, 9783111293646

Citation preview

SAMMLUNG GÖSCHEN BAND

920/920a

GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN von

DR. G U I D O H O H E I S E L

e m . Professor der M a t h e m a t i k an der Universiät K ö l n

Siebente, n e u bearbeitete und erweiterte Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg R e i m e r • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

B E R L I N 1965

© Copyright 1965 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 7714650. Satz und Bruck: Walter de Gruyter 0 ein n0 = n0(e), so daß für alle n > n„

IW*) -

I 0 vom Rande entfernt ist, sind auch a' und b oberhalb sowie N unterhalb einer festen Grenze gelegen; man schreitet also immer mindestens um ein festes Stück a in Richtung der z-Achse vorwärts, muß also nach endlich vielen Schritten die Existenz der Integralkurve so weit gesichert haben, daß der Endpunkt um weniger als S vom Rande entfernt ist. Lassen wir d 0 gehen, so ist damit das Konstruktionsgesetz gesichert, das die Integralkurve bis zum Rande führt (1. 5). Ist nun m = 1 und das Gebiet G der Einfachheit halber die ganze Ebene, so gilt, wenn außerdem in G vorausgesetzt wird: f(x, y —Nx) + N > 0. Betrachten wir die Differentialgleichung (1.6) y' =f(x,y-Nx)+ N. Jede Integralkurve schneidet die Gerade x0 + y0 = 0 nur einmal, weil nämlich jede Integralkurve nach rechts dauernd steigt, nach links dauernd fällt und nach beiden Richtungen beliebig weit verfolgt werden kann. Läuft also der Punkt (x 0 , y0) die Gerade entlang, so erhält man die Gesamtheit der Integralkurven, deren jede nach dem Existenzsatz die Gestalt hat y = y(x\ x0, i/0). (x0, y0) kann man aber offenbar durch einen Parameter c ausdrücken, etwa c — x0. Dann bezeichnet also

(1. 7)

Existenz- und Eindeutigkeitssätze

11

also die Gesamtheit der Integralkurven der Dgl. (1. 2). Da zu jeder Integralkurve nur ein Wert e gehört, so läßt sich (1. 7) nach c auflösen.

e=W{x,y)

(1.8)

ist also das allgemeine Integral der Dgl. (1. 2). ist dabei eine eindeutige Funktion, von der sich auch zeigen ließe, daß sie Ableitungen erster Ordnung besitzt1). Den Fall m > 1 behandeln wir später. Um allein die Existenz einer Lösung von (1. 2) nachzuweisen, genügt es, von \{x, t)) nur die Stetigkeit zu verlangen. Es gilt nämlich folgender Existenzsatz (Satz von Peano): Sei f (a;, t)) stetig im Gebiet 0 e Rm+1 mit Werten im Rm ( m ¡a 1). Dann existiert zu jedem Punkt (x0, t)0) € G wenigstens eine Funktion t) mit Werten im Rm und t) (z 0 ) = t)0, die über einem gewissen Intervall I : | x — x0 | ^ a definiert und stetig differenzierbar ist, ganz in G verläuft und dort der Dgl. (1. 2) genügt. Beweis: Nach dem Weierstraßschen Approximationssatz läßt sich jede auf einem abgeschlossenen Intervall J stetige Funktion auf J gleichmäßig durch Polynome approximieren. Sei (x 0 , t)0) € G beliebig gewählt. Wir betrachten einen achsenparallelen Quader Q' o +

/f(f.ß(f))Äf » mit f (z, t)) stetig in Q: \ x — x0 | g a, 11) —1)0 | g 6 und max {\f(x, t>) |: (ar, t») € Q } x

Dann ist g stetig in I. Ferner gilt |§(aO—1>0 I ^ N \ x — x 0 \ ^ b und

I S f o ) — §(%) | ^N\x1-x2\. Also ist § € M. Da A offenbar stetig ist, sind die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes erfüllt. Es existiert also ein I) € M, so daß ist. Durch Differenzieren folgt weiter, daß i) der Dgl. (1. 2) genügt. Wir haben die Eindeutigkeit der Lösung von (1. 2) mit Hilfe der Lipschitzbedingung gezeigt. Es sind nun eine Anzahl von Bedingungen bekannt geworden, die ebenso

Existenz- und Eindeutigkeitssätze

15

wie die Lipschitzbedingung die eindeutige Lösbarkeit einer Dgl. sichern. Als Beispiel bringen wir ein Kriterium, welches einen großen Teil der bekannten Eindeutigkeitskriterien umfaßt. Vor: 1) Sei 0) definierte stetige, nichtnegative Funktion. Für jedes feste x sei (p(x, 0) = 0 und cp als Funktion von y (schwach) monoton wachsend. 2) Für jedes x mit 0 < x < a habe die Diffgl. X'(x)

mit

X

= cp(x, X(x)) (0) = 0

(0 0), und es gelte in diesem Gebiet für x + x0 1). I f(«. t>i) - f & y | ^ 0 ist. Nach dem Existenzsatz von Peano gibt es durch den Punkt (x0, Q(X )) eine Lösung Y> der Dgl. y' = existiert, ist die Ungleichung 0

V(x)£Q(X) (1-13) erfüllt. Denn wäre das nicht der Fall, so gäbe es einen Punkt x1

x0

mit

TPIXJ)

=

ß ( % )

u n d

IP(x)

>

Q(X)

für x