Mathématiques 3e Prépa-Pro - Livre professeur- Ed. 2016 2013997353, 9782013997355

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Prépa pro

MATHÉMATIQUES LIVRE DU PROFESSEUR Jean-Louis Berducou Jean-Claude Larrieu-Lacoste Cédric Mazeyrie

Maquette de couverture : Valérie GOUSSOT Maquette intérieure : Valérie GOUSSOT Réalisation : Christine BOSSARD www.hachette-education.com

320 g éq. CO2

© Hachette Livre 2016, 58 rue Jean Bleuzen 92178 Vanves Cedex ISBN : 978-2-01-399735-5 Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

SOMMAIRE Algorithmique 1   Algorithmique et programmation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Nombres et calculs 2   Divisibilité et nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3   Puissances et racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4   Calcul littéral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5   Équations et inéquations du premier degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Organisation et gestion de données, fonctions 6   Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7   Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 8   Fonctions linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9   Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Grandeurs et mesures 10   Grandeurs et mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Espace et géométrie 11   Transformations dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 12   Théorème de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 13   Rapports trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 14   Théorème de Thalès. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 15   Géométrie dans l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3

1

Algorithmique et programmation I – Prendre son élan …

1 Calculer mentalement A2 = 25 ;  3 × A + 2 = 17 ;  M2 = 144 ; M = 2,4. – M = – 12 ;  A + 4 × M = 53 ;  A 2 QCM 1: A et C ; 2 : A et B ; 3 : A et B ; 4 : A, B et C ; 5 : A et B ; 6 : A ; 7 : B. 3 Lire un programme a. Si A prend la valeur 5, l’algorithme affiche A = 5 et B = 13. b. • Si A prend la valeur 1, l’algorithme affiche A = 1 et B = 5. • Si A prend la valeur 0, l’algorithme affiche A = 5 et B = 3. 4 Écrire un algorithme – Placer un cube. – Répéter deux fois « placer un cube à côté d’un autre ». – Monter à l’étage supérieur. – Placer un cube à cheval sur deux autres. – Placer un cube à côté d’un autre. – Monter à l’étage supérieur. – Placer un cube à cheval sur deux autres.

II – Page d’ouverture Une solution : – Avancer de 1 carreau ; Tourner à gauche de 90° ; – Avancer de 1 carreau ; Tourner à droite ; – Avancer de 1 carreau ; Tourner à droite ; – Avancer de 2 carreaux ; Tourner à droite ; – Avancer de 1 carreau ; Tourner à gauche ; – Avancer de 3 carreaux ; Tourner à gauche ; – Avancer de 2 carreaux ; Tourner à gauche ; – Avancer de 3 carreaux ; Tourner à droite ; – Avancer de 3 carreaux ; Tourner à droite ; – Avancer de 1 carreau ; Tourner à droite ; – Avancer de 2 carreaux ; Tourner à gauche ; – Avancer de 2 carreaux ; Tourner à gauche ; – Avancer de 2 carreaux ; Tourner à droite ; – Avancer de 1 carreau.

III – Activités Activité 1 1 L’instruction « mettre … à… » correspond à l’entrée des données. « cow » est affecté à la variable A ; « boy » est affecté à la variable B. 2 La sortie est donnée par les deux dernières lignes : « Le mot composé est : cow-boy ». 3 Modifications : on ajoute une variable nommée C. Variables A, B, C : mots Saisir A Saisir B Saisir C Afficher « le mot composé est : » Afficher A ; « – » ; B ; « – » ; C

Activité 2 Les instructions de la 3e et 4e ligne permettent de calculer la remise R et le prix soldé PS . Variables Pi, T, R, PS : nombres Saisir Pi Saisir T R prend la valeur Pi × T 100 PS prend la valeur Pi – R Afficher « Montant de la remise : » ; R;«€» Afficher « Prix soldé : » ; PS ; « € »

Entrée des données Traitement des données Sortie des résultats

Activité 3 Pour D = 15 km, l’affichage est de 3 €. Pour D = 64 km, l’affichage est de 9,60 €. 1 Si D , 50 est vraie alors l’algorithme calcule un coût avec 0,20 €/km. 2 Si D , 50 est fausse alors l’algorithme calcule un coût avec 0,15 €/km. Chapitre 1 I Algorithmique et programmation

5

Activité 4 a. Pour l’étoile à 5 branches : n = 5, L = 90, A = 144°. b. Pour l’hexagone régulier : n = 6, L = 50, A = 60°. Si n = 12, i prend les valeurs 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12. On sort de la boucle pour i = 12.

Activité 5 a. Figure 1 : N = 8 ; Figure 2 : N = 3. b. Répéter 10 fois :   Avancer de 30   Tourner à droite de 60° Fin Répéter 1 Pour initialiser à 0 le nombre de motifs à dessiner.

IV – Méthode Une rosace constituée de rectangles décalés par des rotations de 30° autour d’un sommet. Algo Variables longueur, largeur : nombres entiers Saisir longueur Saisir largeur Effacer l’écran Positionner le stylo au départ Répéter 12 fois Répéter 2 fois Avancer longueur Tourner à droite de 90° Avancer largeur Tourner à droite de 90° Fin Répéter Tourner à droite de 30° Fin Répéter

Programme

2 Pour l’exécution de l’algorithme pour une frise de 3 hexagones, N prend les valeurs 0, 1, 2, 3. Pour l’exécution de la frise, N prend les valeurs 0, 1, 2. 3 Le programme s’arrête pour la valeur N + 1.

Activité 6 b. Avant la première boucle n = 0 ; premier affichage 9 × 0 = 0 ; deuxième affichage 9 × 1 = 9. c. Pour la dernière valeur n = 10, on a 9 × 10 = 90. 1 À chaque boucle : – Afficher le produit de 9 par un nombre entier inférieur ou égal à 10. – Augmenter ce nombre entier d’une unité. 2 La boucle s’arrête lorsque la condition n < 10 est fausse c’est-à-dire pour n = 11.

6

Thème I Algorithmique

Dessin

b. Giulia

V – Activité TICE

L’algorithme calcule le volume d’un cylindre.

1. Écrire les deux programmes avec Scratch et jouer au PONG. 2. « rebondir si le bord est atteint » signifie que lorsque la balle touche une paroi autre que la verte (le sol), la balle rebondit avec la même orientation. Cette instruction est utilisée lors du contact de la balle sur les bords de la fenêtre du jeu. 3. « tourner de 180 degrés » permet à la balle de rebondir en conservant la direction mais en changeant de sens. Cette instruction est utilisée lors du contact de la balle avec le palet rouge.

VI – Exercices Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement a. Variable Affichage

i

1

2

3

4

2×i

2

4

6

8 10 12 14 16

i×i+5 6

5

6

7

8

9 14 21 30 41 54 69

b. Le stylo tourne de 270°. c. Le stylo revient à son orientation initiale. 2 Discerner le vrai du faux • Il est préférable d’écrire l’algorithme avant le programme. • Afficher « Le prix d’un ballon est : » ; P permet d’écrire à l’écran : « Le prix d’un ballon est : 42,50 euros », si la variable P a reçu la valeur 42,50 euros. • A reçoit 3,14 × D × H correspond à un traite­ ment de données. • Répéter « DRING » 12 fois affiche à l’écran : « DRING DRING DRING DRING DRING DRING DRING DRING DRING DRING DRING DRING ». 3 Corriger les erreurs a. Rony Pour entrer les valeurs variables A et B, j’écris :

300 et 5 dans les

A  prend la valeur 300 B  prend la valeur 5

Saisir R Saisir h A reçoit 3,14 x R x R x h V reçoit A x h Afficher « Le volume du cylindre est égal à : » ;  A  V

c. Titou Si t . 12  Alors afficher « Le temps écoulé est supérieur à » ; 12 ; « s »  Sinon afficher « Le temps écoulé est inférieur à » ; 12 ; « s » FinSi

4 Fabriquer un gâteau 1. Faire fondre le beurre dans une casserole. 2. Verser le beurre fondu dans un plat creux. 3. Ajouter le sucre, les œufs, la farine, la levure et la vanille. 4. Tant que la pâte n’est pas homogène, mélanger les ingrédients. 5. Transvaser le mélange dans un moule. 6. Cuire au four à 180° pendant 40 minutes.

Appliquer le cours 5 Suivre une variable a. Si a = 5 alors le programme affiche 8. b. Paola n’a pas raison car le contenu de la variable change au cours de l’exécution de l’algorithme : toute affectation dans la variable « a » détruit la valeur précédente. c. Programme Scratch :

6 Comprendre la structure d’un algorithme a. Variables a, b : nombres Saisir a b reçoit 2 × a a reçoit a + 10 a reçoit a + b Afficher a

Entrée des données Traitement des données Sortie des résultats

Chapitre 1 I Algorithmique et programmation

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b.  On doit obligatoirement utiliser deux variables car « a » change plusieurs fois de valeur. 7 Corriger un algorithme a. Pour une durée de 1 heure : C = 12 €. Pour une durée de 4 heures : C = 12 + 2,5 × (4 – 2) = 17 €. b. Les résultats de l’algorithme sont : • pour une durée de 1 heure : C = 12 + 2,5 × 1 = 14,50 € ; • pour une durée de 4 heures : C = 12 €. c. L’algorithme est faux et les 4e et 5e lignes doivent être : … Alors C reçoit 12 Sinon C reçoit 12 + 2,5 × (t – 2) …

d. Le programme Scratch correspondant :

Problèmes 9 Gérer une cagnotte a. Algorithme complété : Variables C : nombre, n : nombre entier C reçoit 75 n reçoit 0 Tant que C < 81 C reçoit 75 + 0,3n. n reçoit n + 1 FinTant que Afficher C Afficher n – 1

b. Il lui faut 6 € pour acheter sa console. C×t×n On cherche donc n pour =6 100 6 × 100 600 soit n = = = 20. C×t 75 × 0,4 Le budget sera atteint au bout de 20 mois. 10 Tracé de polygones a. n est le nombre de côtés, on trace un hexa­ gone, n = 6. b. 

8 Comprendre la construction d’une frise a. Oui, l’algorithme donné permet de tracer ce motif. b. L’algorithme permettant de tracer une frise constituée de 8 motifs est : Effacer l’écran Stylo en position d’écriture Répéter 8 fois Avancer de 30 Tourner à gauche de 60° Avancer de 65 Tourner à droite de 60° Avancer de 20 Tourner à droite de 60° Avancer de 65 Tourner à gauche de 60° Fin répéter Relever le stylo

QCM pour faire le point 1 : C ; 2 : B ; 3 : C ; 4 : B ; 5 : C. 8

Thème I Algorithmique

c. Pour la 4e ligne, on affecte le nombre de côtés du polygone saisi à la variable n. Pour la 5e ligne, on saisit les coordonnées du stylo au départ. 11 Diviseurs d’un nombre a. Les deux variables sont : nombre et div. b. En 6e ligne, le test est : « si nombre est divisible par div ». Pour nombre = 84 et div = 4, on affiche « Ce nombre est un diviseur ». Pour nombre = 84 et div = 5, on affiche « Ce nombre n’est pas un diviseur ». c. L’algorithme correspondant à ce programme Scratch est : Variables nombre, div : nombres entiers positifs Saisir nombre Saisir div Si div divise nombre Alors afficher « div est un diviseur de » ; nombre Sinon afficher « div n’est pas un diviseur de » ; nombre FinSi

12 Jeu de craps a. L’instruction ① réalise la somme des points obtenus. En ② on teste si cette somme est 7 ou 11. En ③ on teste si cette somme est 2 ou 3 ou 12. b. Dans l’affichage en ④, on considère les situations où la somme est égale à : 4 ou 5 ou 6 ou 8 ou 9 ou 10. 13 Volume de réservoir cylindrique a. Les variables utilisées dans ce programme sont R, h. b. Dans la cellule C4, on calcule le volume du cylindre. c. Dans la cellule D4, on vérifie si le volume du cylindre est supérieur ou inférieur à 4 000.

Vers le Brevet 14 Amélioration d’un algorithme Algorithme complété : Variable C : nombre Afficher « Entrer le coût d’une place » Saisir C Si C > 18 Alors afficher « Coût excessif » Sinon Si C > 12 Alors afficher « Coût normal » Sinon afficher « Coût faible » FinSi FinSi

15 Pyramide de cubes a. La 1re couche dans la figure est composée de 4 × 4 = 16 cubes. b. L’algorithme donnant le nombre de cubes S pour former une pyramide de n couches est : S reçoit 0 Saisir n Répéter jusqu’à n = 0 S reçoit S + n × n n reçoit n – 1 FinRépéter Afficher « Nombre de cubes : », S 16 Pile ou Face ? a. Le nombre de lancers de la pièce est saisi dans la variable n. b. L’instruction ① simule le tirage Pile ou Face (1 pour Pile et 2 pour Face). c. En ②, la variable compteurFace augmente de 1 parce que R est égal à 2 (non Pile). d. Lorsque la taille de l’échantillon augmente et devient très importante, la distribution des fréquences s’approche d’une distribution de fréquences théoriques : 50 % Pile et 50 % Face soit pour 2 000 lancers, 1 000 Pile et 1 000 Face.

Chapitre 1 I Algorithmique et programmation

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2

Divisibilité et nombres premiers I – Prendre son élan …

1 Les diviseurs du nombre 45 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 et 45.

1 Calculer mentalement a. Multiples de 3 : 3 et 6 ; de 5 : 10 et 15 ; de 30 : 30 et 300. b. Deux diviseurs de 12 : 2 et 4 ; de 14 : 2 et 7 ; de 50 : 5 et 10. 2 QCM 1 : A et C ; 2 : C ; 3 : C ; 4 : A et B ; 5 : B et C ; 6 : A et B ; 7 : A ; 8 : A et B. 3 Exploiter une division euclidienne a. 28812 24 24 48 48 0

22412 12 18 104 96 08

25212 24 . 21 12 12 0

21612 12 . 18 96 96 0

b. 288 = 12 × 24 + 0 224 = 12 × 18 + 8 252 = 12 × 21 + 0 216 = 12 × 18 + 0. c. Dividende : 288 ; diviseur : 12 ; quotient : 24 ; reste : 0. d. 12 est un diviseur de 288 car le reste de la division euclidienne de 288 par 12 est 0. e. Le nombre 12 est un diviseur de 252 et de 216.

II – Page d’ouverture 1 Ils peuvent faire 4 sachets identiques, chacun contenant 14 nougats et 8 caramels. 2 Le nombre maximal de sachets identiques est de 8, constitués de 7 nougats et 4 caramels.

III – Activités Activité 1 Égalité Diviseurs 45 = 1 × 45 1 et 45 45 = 3 × 15 3 et 15 45 = 5 × 9 5 et 9

2 Les longueurs des côtés des carreaux utilisés sont donc de 1 cm ; 3 cm ; … ; 45 cm.

Activité 2 a. b. c. 1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29 39 49

10 20 30 40 50

Les 3 nombres premiers suivants sont 53, 59 et 61.

Activité 3 a. La dernière étape affiche :

b. On écrit : 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

602 302 153 55 1

Pour 125 : 125 = 5 × 5 × 5 ; pour 126 : 126 = 2 × 3 × 3 × 7.

Activité 4 a. Diviseurs communs à 216 et à 156 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 12. b. Le plus grand de ces diviseurs est 12. c. Les carreaux les plus grands ont un côté de longueur 12 cm. d. Pour une feuille rectangulaire de 240 mm sur 150 mm : carreaux de 30 mm maximum. Pour déterminer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux nombres, on écrit les deux listes de tous les diviseurs des deux nombres et on choisit le plus grand.

Activité 5 a. Simplifications : 3 1 16 4 3 1 8 2 1 = ;  = ;  = ;  = = . 9 3 24 6 15 5 16 4 2 Chapitre 2 I Divisibilité et nombres premiers

11

b. Les figures avec le tracé des fractions les plus simples : ②

③

④

1 Les fractions les plus simples sont : 1 ; 4 3 6 1 1 (on peut encore simplifier) ; ; . 5 2 2 On obtient la fraction la plus simple en divisant le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le plus grand nombre entier possible (le PGCD).

IV – Méthode a 240 45

b 45 15

Reste 15 0

a 288

b 48

Reste 0

Le PGCD de 288 et 48 Le PGCD de 240 et 45 est le nombre : 48. est le nombre : 15.

V – Activité TICE Tableur Pour les nombres 108 et 63 : PGCD = 9. Pour les nombres 493 et 377 : PGCD = 29. Scratch Pour les nombres 856 et 32 : PGCD = 8. Pour les nombres 1 280 et 64 : PGCD = 64.

VI – Exercices Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement • Oui  • Non  • Oui  • Oui  • Oui  • Oui. 2 Discerner le vrai du faux • Faux : c’est {1 ; 2 ; 4 ; 8}. • Vrai • Vrai • Vrai • Vrai • Faux, le PGCD des nombres 8 et 2 est le nombre 2. • Faux, le PGCD des nombres 18 et 24 est le nombre 6. • Vrai 12

Thème I Nombres et calculs

3 Corriger les erreurs a. Caroline : Dans la liste des diviseurs de 24, il manque 4 et 6. Et PGCD(18, 24) = 6. 12 2 × 2 × 3 2 = . b. Ahmed : = 30 2 × 3 × 5 5 c. Minh : 21 n’est pas premier car 3 et 7 le divisent aussi. 4 Compléter la liste des diviseurs a. Absent : 4. b. Absent : 1. c. Absent : 18. 5 Calculer le PGCD a. Les PGCD sont : 2 ; 1 ; 6 ; 25 ; 4 et 10. b. Le plus petit des deux nombres est le PGCD. 6 Simplifier « de tête » Les fractions irréductibles sont : 1 2 1 1 • • • • 3 5 12 2 4 • 2 • 3 • •5 5 7 Associer 1 4 3 12 Fig ① : ou Fig ② : ou 5 20 4 16 1 4 1 Fig ③ : ou Fig ④ : 3 12 2

Appliquer le cours 8 Appliquer les critères de divisibilité Nombres Divisible par 2 Divisible par 3 Divisible par 5

24 O O N

27 N O N

105 N O O

110 123 OUI N NON O OUI N

9 Trouver tous les diviseurs • Div(12) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12} • Div(64) = {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64} • Div(32) = {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32} • Div(28) = {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28} • Div(17) = {1 ; 17} • Div(50) = {1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 25 ; 50} • Div(123) = {1 ; 3 ; 41 ; 123} • Div(488) = {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 61 ; 122 ; 244 ; 488} • Div(500) = {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 ; 25 ; 50 ; 100 ; 125 ; 250 ; 500}

10 Déduire le PGCD a. Div(48) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48}. b. Div(63) = {1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63}. c. Diviseurs communs : 1 et 3. d. PGCD(48, 63) = 3. 11 Trouver les nombres premiers entre eux Sont premiers entre eux : 6 et 11 ; 9 et 10 ; 27 et 100. 12 Décomposer en produits 44 = 2 × 2 × 11 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 90 = 2 × 3 × 3 × 5 100 = 2 × 2 × 5 × 5 525 = 3 × 5 × 5 × 7 728 = 2 × 2 × 2 × 7 × 13 13 Appliquer la méthode des divisions a. a

b

162 48 18 12

48 18 12 6

Reste de la division de a par b 18 12 6 0

b. Le PGCD de 162 et de 48 est 6. 14 Simplifier avec la calculatrice 256 321 et . Sont irréductibles : 129 400 15 Simplifier avec le PGCD 45 15 × 3 3 300 15 × 20 20 = = = = a. 300 15 × 20 20 45 15 × 3 3 56 56 × 1 1 1 680 56 × 30 = = = =3 b. 168 56 × 3 3 560 56 × 10

QCM pour faire le point 1 : A, B et C ; 2 : A et B ; 3 : A et B ; 4 : C ; 5 : A ; 6 : B ; 7 : A et B ; 8 : A et C ; 9 : B et C.

Problèmes 16 Divisibilité et tableur a. MOD(A3;B2) renvoie le reste de la division euclidienne de A3 par B2 ; MOD(A3;C2) renvoie le reste de la division euclidienne de A3 par C2. b. =SI(MOD($A3;B$2)=0;“oui”;“non”) renvoie « oui » si le reste de la division euclidienne de $A3 par B$2 est nul, et renvoie « non » si le reste n’est pas nul. c. Pour 36 : oui ; oui ; non ; non. Pour 84 : oui ; oui ; non ; oui. Pour 225 : non ; oui ; oui ; non.

17 Divisibilité avec Scratch a. Ce programme contient 3 variables : a, b et c. b. a : le nombre étudié 225 ; b : le diviseur 3 ; c : le reste de la division euclidienne de a par b. c. Si le reste de la division de a par b est nul, le programme affiche : « Le nombre (valeur de a) est divisible par (valeur de b) ». Si le reste n’est pas nul, il affiche : « Le nombre (valeur de a) n’est pas divisible par (valeur de b) ». d. Pour a = 225 et b = 3, le programme affiche : « Le nombre 225 est divisible par 3 ». 18 Recherche de PGCD PGCD : 8 ; 45 ; 11 et 21. 19 Remplissage d’une caisse a.  La longueur de la plus grande arête possible pour ces cubes correspond au PGCD de 56 et 80 : 8 donc 8 cm. b. Dans la première couche : 80 = 8 × 10 et 56 = 8 × 7 donc 10 × 7 = 70 cubes. c. 48 = 8 × 6 donc, dans la caisse : 70 × 6 = 420 cubes. 20 Billes de deux couleurs a. On peut faire 3 paquets contenant chacun 18 billes rouges et 15 billes grises. b. Le nombre maximal de paquets est de 9 car PGCD(54, 45) = 9. c. Un paquet contient alors 6 billes rouges et 5 billes grises. 21 Nombres consécutifs a. Leur somme est égale à 96 qui est un multiple de 3. b. Idem pour 2, 3, 4 ou 3, 4, 5. c. Nombre précédent : n – 1 ; nombre suivant : n + 1. d. La somme : n – 1 + n + n + 1 = 3n qui est bien un multiple de 3. e. S = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 qui est bien un nombre pair donc divisible par 2. 22 Engrenages (Maths et Technologie) a. b. Les schémas colorés (il est aisé d’utiliser une maquette en carton ou PVC) : 6 dents

4 dents

6 dents

5 dents

Chapitre 2 I Divisibilité et nombres premiers

13

c. Pour le système 6/4 dents 2 couleurs différentes ; pour le système 6/5 dents : 1 seule couleur. d. PGCD(6, 4) = 2 et PGCD(6, 5) = 1. Le nombre de couleurs utilisées est égal au PGCD des deux nombres de dents. e. Il faut préférer le système de 41/35 dents car le PGCD de 41 et 35 est 1 : une dent du pignon à 41 dents sera successivement au contact de chacune des dents du pignon à 35 dents. 23 Revêtement de sol a. Par la méthode de la division : a

b

660 360 300

360 300  60

Reste de la division de a par b 300 60 0

Le PGCD des nombres 660 et 360 est bien 60. b. La mesure du côté des dalles est de 60 cm. c. Sur la longueur : 660  ∕ 60 = 11 ; sur la largeur : 360  ∕ 60 = 6 donc 11 × 6 = 66 dalles. 24 Scratch et algorithme a. Les affectations des variables : 240  a et 144  b. b. Le résultat de : a – b est placé dans la variable c. c. Si b est supérieur à c alors b  a et c  b, sinon c  a . d.  C’est la méthode de recherche des différences ; PGCD(240, 144) = 48. e. La longueur maximale des étagères est égale à 48 cm. 25 Équipes mixtes a. 115 = 5 × 23 et 46 = 2 × 23. On peut constituer au maximum 23 équipes. b. Chaque équipe comprend 5 garçons et 2 filles.

14

Thème I Nombres et calculs

26 Carte vitale a. En suivant l’algorithme, on trouve r = 60 et Clé = 37. b. r prend la valeur du reste de la division euclidienne du NIR par 97. c. Pour trouver la clé C, il faut opérer 97 – r. d. On trouve C = 37. e. Les codes NIR : – sexe – année et mois de naissance – département – commune – n° d’inscription à l’état civil.

Vers le Brevet 27 Bouquets de roses a. 827 = 11 × 75 + 2 donc il peut réaliser 75 bouquets. b. Il restera 2 roses. 28 PGCD et simplification de fraction a. 42 = 2 × 21 et 42 = 3 × 14. 2 × 9 et 18 = 3 × 6. b. PGCD(42, 18) = 6. 18 6 × 3 3 = = . c. 42 6 × 7 7 29 PGCD et tableur a. La division euclidienne de 210 par 126 a pour reste 84. b. PGCD(210, 126) = 42, dernier reste non nul. 30 La fête du Club de Judo a. PGCD(72, 40) = 8 ; on peut former au maximum 8 équipes. b. Composition d’une équipe : 9 garçons et 5 filles.

3

Puissances et racine carrée I – Prendre son élan …

1 Calculer mentalement 8 ; 25 ; 1 000 ; 100 000... 2 QCM 1 : B ; 2 : A ; 3 : B et C ; 4 : B ; 5 : A et B ; 6 : C ; 7 : A ; 8 : A et C ; 9 : B et C ; 10 : B ; 11 : A. 3 Utiliser les préfixes a. Fichiers de 10 000 o ; 11 000 o ; 4 478 000 o et 2 724 000 o. b. Le fichier PhotoLoic : 4,478 Mo. c. La taille du disque dur : 256 Go = 256 × 109 o = 256 × 106 ko.

II – Page d’ouverture 1 Huit gigaoctets = 8 000 000 000 o et mille gigaoctets = 1 000 000 000 000 o. 2 L’écriture décimale est trop longue et fastidieuse, d’où l’utilisation du préfixe giga qui remplace 109 (ou 9 zéros).

III – Activités Activité 1 a. Au bout de 20 minutes : 2 bactéries. Au bout de 40 min : 22 = 4 bactéries. Au bout de 1 heure : 23 = 8 bactéries. b. Au bout de 1 h 40 min, le nombre de bactéries dans la culture est de 2 × 2 × 2 × 2 × 2 soit 25. Ce produit contient 5 facteurs : 25 = 32. c. Au bout de 10 heures : 230 soit 1 073 741 824 bactéries. d. L’écriture décimale est trop encombrante et peu lisible au niveau de l’ordre de grandeur. Au bout de 24 heures : 272 bactéries.

Activité 2 a. Dans le nombre mille : 3 zéros. Dans le nombre un million : 6 zéros. Dans le nombre un milliard : 9 zéros.

b. 1 000 = 10 × 10 × 10 ; 1 000 000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 ; 1 000 000 000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10. c. 1 000 = 103 ; 1 000 000 = 106 ; 1 000 000 000 = 109. Coefficient

Préfixe

Symbole du préfixe

1 000 000 000

giga

G

1 000 000

méga

M

1 000

kilo

k

100

hecto

h

10

déca

da

d. 16 Gbits = 16 000 000 000 bits soit 16 × 109 bits. Les puissances de 10 et les préfixes k, M et G raccourcissent et simplifient les écritures des grands nombres.

Activité 3 a. 186 millions  affichage : 1,86 × 108 ; 4,5 milliards  affichage : 4,5 × 109 . b. S’affichent : 1,99 × 1030 et 1 × 1013. On passe de l’écriture décimale d’un nombre à son écriture scientifique en l’écrivant sous forme d’un produit d’un nombre décimal compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu) par une puissance de 10. On passe de l’écriture scientifique à l’écriture décimale en multipliant le nombre décimal par la puissance de 10.

Activité 4 a. 102 × 103 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105 = 102+3 5 10 × 10 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105+1 = 106 5 10 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 103 =105–2 b. 2 = 10 10 × 10 Chapitre 3 I Puissances et racine carrée

15

De même : 102 10 × 10 = 102–4 =10–2 = 104 10 × 10 × 10 × 10 2 10 × 10 1 ce qui revient ou 104 = = 10 10 × 10 × 10 × 10 102 1 à écrire : 2 = 10–2. 10 1 Les égalités sont : 10n × 10p = 10n+p ; 10n = 10n–p. 10p 2 Dans l’univers : 100 × 109 × 100 × 109 = 1022 étoiles environ.

IV – Méthode a. Volume de sable du terrain : 5 000 × 3 000 × 20 = 30 × 107 ou 3 × 108 cm3. b. Nombre de grains de sable : 3 × 108 × 5 000 = 1,5 × 1012.

V – Exercices Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement a. 16 ; 36 ; 49 ; 121 et 144. b. 5 ; 9 ; 3 et 12. c. 8 ; 16 ; 9 ; 1 ; 7 ; 100 ; 10 000 000 et 125. 2 Discerner le vrai du faux 100 = 10 10–2 est un nombre positif. 3 Corriger les erreurs a. Joël : 200 000 000 ou 2 × 108 . b. Yasmina : 105 × 107 = 105+7 = 1012 . c. Rico : 10–5 = 0,000 01 . 4 Lire un nombre • 60 000 000 se lit soixante millions. • 0,001 se lit un millième . • 4 × 10–3 se lit quatre millièmes . • 8 × 109 se lit huit milliards . • 7 × 10–5 se lit sept cent-millièmes . 5 Associer carré et racine carrée a. 12 cm  144 cm2 ; 64 cm2  8 cm ; 9 cm2  3 cm ; 5 cm  25 cm2 ; 2 1 cm  1 cm . b. ! = c2 et c = ! . 16

Thème I Nombres et calculs

6 Donner l’ordre de grandeur • Faux, c’est 5 × 105. • Faux, c’est 104. • Faux, c’est 3 × 10–5. • Vrai • Vrai • Vrai 7 Appliquer les propriétés • 10–2 × 104 = 102 • 102 × 103 = 105 • 10 × 105 = 106 • 102 × 100 = 102 107 1 • 4 =103 • 3 =10–3 10 10 10–2 • 105 × 10–5 = 100 = 1 • –3 =101 10 • (102)3 = 106 8 Maîtriser la notation scientifique 458 000 : 4,58 × 105 7 000 000 000 : 7 × 109 – 82 000 : – 8,2 × 104 0,000 24 : 2,4 × 10–4

Appliquer le cours 9 Ordonner a. 13 × 106 , 0,13 × 109 , 130 × 107 b. 340 × 10–2 . 34 × 10–3 . 3,4 × 10–5 10 Traduire en puissances a. 105 ; b. 10–1 ; c. 10–2 ; d. 10–4 ; e. 10–3 ; f. 109. 11 Vérifier par le calcul • Faux : 25 ≠ 49 • Faux : 14 ≠ 36 • Faux : 36 ≠ 216 • Vrai : 365 = 365 • Vrai : 25 = 25 • Vrai : 81 = 81 12 Calculer avec des puissances • 55 • 7–1 • 25 14 23 •` j • (– 4)5 •` j 4 5 • 51 = 5 • 92 • 25 13 Calculer avec des puissances de 10 • 1010 • 100 = 1 • 102 • 107 2 3 • 10 • 1 • 10 • 103

14 Calculer avec une calculatrice a. 13,824 ; 9,859 6 ; 0,722 5 ; 2,073 6 ; – 39,062 5 ; – 15,625. b. 2,6 ; 7,5 ; 10,2 ; 9,3.

21 Organismes de petite taille (Maths et SVT) a. Virus : 0,050 μm ; champignons : 100 μm ; bactérie : 1 μm. b. Champignon . bactérie . virus.

15 Donner l’écriture décimale • 100 000 000 000 • 1 000 • 0,88 • 815 000 • 0,04554 • 66,5

22 Astronomie (Math et Physique) a. En une année : d = v × t = 299 790 000 × 365,25 × 24 × 3 600 = 9,46 × 1015 m soit 9,46 × 1012 km. 40 000 × 109 = 4,23 al. b. d = 9,46 × 1012

• 200 000 • 24,2 • 185 000

16 Donner l’écriture scientifique • 4,5 × 10–4 • 8,25 × 104 • 2,25 × 105 • 8,3 × 107 • 4 × 10–7 • 4,5 × 101 6 –2 • 6,78 × 10 • 9,2 × 10 • 2,448 × 102 17 Calculer les expressions a. A = 300 000 = 3 × 105 et B = 8 827 619,048 = 8,828 × 106 (à 103 près). b. C = 97 à l’unité près.

QCM pour faire le point 1 : A et C ; 2 : C ; 3 : A et B ; 4 : B ; 5 : A et C ; 6 : A ; 7 : B et C ; 8 : A et B ; 9 : A ; 10 : C.

Problèmes 18 Énergie électrique (Maths et Géographie) a. 5 290 MWh = 0,005 29 TWh. b. Énergie renouvelable totale consommée en 2014 : 68 + 17,1 + 5 + 0,005 29 = 90,1 TWh. c. Énergie électrique consommée en France en 2014 : 100 ≈ 450 TWh. 90,1 × 20 19 Système solaire (Maths et Physique) a. d(T ; S) = 1,496 × 1011 m ; d(T ; L) = 3,844 × 108 m. d(T ; S) ≈ 389 à l’unité près. b. Le quotient d(T ; L) Le Soleil est 389 fois plus éloigné de la Terre que la Lune. 20 Distances et vitesse (Maths et Physique) a. v = 3 × 108 m/s. b. La durée mise par la lumière : x 1,496 × 1011 t= = ≈ 499 s v 3 × 108 soit 8 min 19 s. c. d(T ; N) = 3 × 108 × 4 × 3 600 = 4,32 × 1012 m soit 4,32 milliards de km.

23 Puissance de calcul a. 109 ÷ 106 = 1 000 ; l’ordinateur Cray 2 était 1 000 fois plus rapide que l’ordinateur Control Data. b. 1015 ÷ 109 = 106 ; Roadrunner est 1 million de fois plus rapide que l’ordinateur Cray 2. c. 8,25 pétaflops = 8,25 × 1015 flops. 24 Feuilles d’or sur le dôme a. 84 mm = 8,4 cm ; 180 nm = 180 × 10–9 m = 180 × 10–7 cm. b. Aire occupée par les feuilles d’or : c2 = 8,42 = 70,56 cm2. c. Volume d’or utilisé : V = 550 000 × 70,56 × 180 × 10–7 = 698,5 cm3. d. Masse d’or : m = 698,5 × 19,3 = 13 480 g soit 13,48 kg, peu différent des 12 kg annoncés par les journaux. 25 Le saviez-vous ? (Maths et SVT) a. Par espèce : 109 ÷ 106 = 1 000 bactéries. Dans une benne de 6 tonnes : 6 000 000 × 109 = 6 × 1015 bactéries. b. 1 100 × 10 × 1012 = 1,1 × 1016 synapses et 1 300 × 10 × 1012 = 1,3 × 1016 synapses. Donc : 1,1 × 1016 < nombre de synapses < 1,3 × 1016.

Vers le Brevet 26 Calcul • 30 • – 8 • 128

• 49 • 40 • 106

• 14 • 36 • 102

Chapitre 3 I Puissances et racine carrée

17

27 Notation scientifique (Maths et Physique) a. Planète Distance au Soleil (en km) Mercure 5 800 × 104 = 58 ×106 = 0,058 ×109 Terre

15 × 107 = 150 × 106 = 0,15 × 109

Mars

2,3 × 108 = 230 × 106 = 0,23 × 109

Neptune 0,045 × 1011 = 4 500 ×106 = 4,5 × 109

b. Mercure est située à moins de 100 millions de kilomètres du Soleil. 28 Stock génétique (Maths et SVT) a. Schéma pour 2 paires de chromosomes : Cellule mère (2 paires de chromosomes) A

B

C

D

Gamètes

18

Thème I Nombres et calculs

Donc 4 types de gamètes différents. À partir de 2 paires de chromosomes, on obtient 22 = 4 gamètes différents ; avec 3 paires de chromosomes, on obtient : 23 = 8 gamètes différents. b. Pour 23 paires de chromosomes, on obtient 223 gamètes différents soit 8 388 608 gamètes. 29 Pliages multiples a. Après 1 pliage : 0,16 mm = 0,08 × 21. Après 2 pliages : 0,32 mm = 0,08 × 22. Après 5 pliages : 0,08 × 25 = 2,56 mm. b. En A4, A5…, on lit : 3 ; 4 ; 5… c. $E$4 renvoie la valeur fixe : 0,08 mm. d. Pour déplacer une hauteur de 1,54 m, il faut 15 pliages successifs.

4

Calcul littéral I – Prendre son élan …

1 Calculer mentalement a. 32 = 9 ; 92 = 81 ; 122 = 144. b. 2 × 7 × 10 = 140 ; 2 × 3,1 × 5 = 31. c. 10 × 22 = 40 ; 2 + 3 × 10 = 32 ; 100 – 102 = 0. 2 QCM 1 : A ; 2 : B ; 3 : C ; 4 : A et C ; 5 : B et C ; 6 : C ; 7 : C ; 8 : B ; 9 : A, B et C ; 10 : C. 3 Vocabulaire On écrit : • 3x + 9 = 3(x + 3), on factorise l’expression 3x + 9 ; • 7x + 3 + x + 1 = 8x + 4, on réduit l’expression 7x + 3 + x + 1 ; • 2(2x – 3) = 4x – 6, on développe l’expression 2(2x – 3) ; • l’expression littérale 7t² + 2t utilise la variable t ; • 2ab, on fait le double produit de a et b ; • b², on fait le carré de b. 4 Chercher l’intrus Dans l’expression D, on ne peut pas supprimer le signe × pour le produit 12,5 × 8.

II – Page d’ouverture 1 Pour v = 50 km/h on a : 50 2 DF = ` j = 12,23 m 14,3 soit 12 m au mètre près ; 50 2 j = 24,51 m DF = ` 10,1 soit 25 m au mètre près. 2 Les formules permettent de déterminer les distances de freinage pour toutes les vitesses.

III – Activités Activité 1 a. MP = MN + NP = 2x + (4 + 3x) b. MP = 2x + 4 + 3x c. 2x + (4 + 3x) = 2x + 4 + 3x 1 Sans les parenthèses, 5x + (3x + 7) s’écrit 5x + 3x + 7. 2 Lorsque l’on supprime les parenthèses précédées du signe +, on supprime le signe + et on réécrit l’expression sans changer les signes situés à l’intérieur.

Activité 2 a. AB = AD – BD =5x – (30 + x) b. AB = AD – BC – CD = 5x – 30 – x c. 5x – (30 + x) = 5x – 30 – x 1 5x – (3x + 7) s’écrit sans les parenthèses 5x – 3x – 7. 2 Lorsque l’on supprime les parenthèses précédées du signe –, on supprime le signe – qui les précède et on réécrit l’expression en changeant tous les signes situés à l’intérieur.

Activité 3 a. !1 = ac ; !2 = ad ; !3 = bc ; !4 = bd. b. L’aire totale sous forme : • d’une somme : ac + ad + bc + bd ; • d’un produit : (a + b)(c + d). c. On peut écrire l’égalité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Le développement de (2x + 1)(3x + 4) est : 2x × 3x + 2x × 4 + 1 × 3x + 1 × 4 = 6x2 + 11x + 4.

Activité 4 a. Meï a commis une erreur : elle doit écrire !M = 24 + 6x + 18 + 12x. b. Flore fait le produit de 6 par la somme des largeurs des rectangles. c. Yann donne l’expression réduite. d. Jordi donne la factorisation de l’expression réduite. Chapitre 4 I Calcul littéral

19

1 On peut choisir 18x + 42 car, pour calculer l’aire totale, il n’y a que deux calculs à faire. 2 Pour x = 2 on a 18 × 2 + 42 = 78 m2.

Activité 5 a. L’expression réduite est : ! = a² + b² + 2ab. b. EH = EF = a + b c. ! = (a + b)(a + b) 1 On peut écrire : (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b². 2 (3x + 4)2 = 9x2 + 24x + 16 3 64x² + 160x + 100 = (8x + 10)² = 4(4x + 5)²

IV – Méthode A = 9x + 20x² = x(9 + 20x) B = (3x + 1)(x + 4) – (3x + 1)(5x + 2) = (3x + 1)[(x + 4) – (5x + 2)] = (3x + 1)(– 4x + 2) C = 100y² + 80y + 16 = (10y + 4)2 D = 49t² – 4 = (7t + 2)(7t – 2)

V – Exercices

2 Discerner le vrai du faux a. Pour toutes les valeurs de x, on n’a pas 3x² – x = x + 8 car si x = 3, on a 3 × 3² – 3 ≠ 3 + 8 en effet 24 ≠ 11. c. L’expression M = 3m² + 2m – m peut se réduire en écrivant M = 3m² + m. d. Pour r = 105, l’expression 4r² est égale à 4 × 1010. f. L’équation (x – 4)(x +1) = 0 a pour solution x = 4 et x = – 1. 3 Corriger les erreurs a. Clément : • 2e ligne : Le carré de 4x est 16x² • dernière ligne : D’où (4x + 1)² = 16x² + 8x + 1. b. Arthur : • dernière ligne : D’où (x – 9)² = x² – 18x + 81. c. Cloé : • 3e ligne : Le double produit de 2x et de 3 est 2 × 2x × 3 = 12x. • dernière ligne : D’où (2x – 3)² = 4x² – 12x + 9.

Appliquer le cours

Répondre à l’oral 1 Résoudre à l’oral a. Pour t = 3 on a : B=2×3+1=7; A = 4 × 32 = 36 ; C = (3 + 1)² = 16 ; D = (3 + 2)(3 + 1) = 20. b. Expressions réduites : E = x2 + 4x ; F = 2x2 + 6 ; G = 2x2 + x + 4 ; H = 24x2 + 1 ; I = 3n ; J = – y2 + 8y. c. Expressions développées : K = 3x(x + 1) = 3x² + 3x ; L = r(2r – 4) = 2r² – 4r ; M = (x + 1)² = x² + 2x + 1 ; N = (x – 1)² = x² – 2x + 1 ; O = (x + 1)(x – 1) = x² – 1. d. Expressions factorisées : P = 7x + 14 = 7(x + 2) ; Q = x² – 3x = x(x – 3) ; R = a² + 2ab + b² = (a + b)² ; S = x² – 2x + 1 = (x – 1)² ; T = 9y² – 25 = (3y + 5)(3y – 5). e. Équation-produit : (x – 5)(x + 6) = 0 si x = 5 ou x = – 6. 20

Thème I Nombres et calculs

4 Développer a. Le carré d’une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b² 2ab

b²

Forme développée

(4y + 3)² 4y 3 16y² 24y

9

16y² + 24y + 9

4t² 28t 49

4t² + 28t + 49

(a + b)²

a

b

(2t + 7)² 2t 7

a²

b. Le carré d’une différence : (a – b)² = a² – 2ab + b² (a – b)²

a

b

2ab

a²

b²

(6s – 5)² 6s 5 36s² 60s 25

Forme développée 36s² – 60s + 25

(5 – 9t)² 5 9t 25 90t 81t² 25 – 90t + 81t²

c. Le produit de la somme par la différence : (a + b)(a – b) = a² – b² Forme développée

(a + b) (a – b)

a

b

a²

(y + 4)(y – 4)

y

4

y² 16

y² – 16

1

1 – 9t²

(1 + 3t)(1 – 3t)

1 3t

b²

9t²

5 Factoriser Forme Identité développée choisie 49x² – 14x + 1 (a – b)² 16 + 8x + x² (a + b)² 25r² – 81 (a + b) (a – b) 36 + 24x + 4x² (a + b)²

a

b

7x 4 5r 6

1 x 9 2x

Forme factorisée (7x – 1)² (4 + x)² (5r + 9)(5r – 9) (6 + 2x)²

6 Calculer sans machine a. A = 32² = (30 + 2)² = 30² + 2 × 30 × 2 + 2² = 900 + 120 + 4 = 1 024 B = 62² = (60 + 2)² = 60² + 2 × 60 × 2 + 2² = 3 600 + 240 + 4 = 3 844 C = 25² = (20 + 5)² = 20² + 2 × 20 × 5 + 5² = 400 + 200 + 25 = 625 D = 40,1² = (40 + 0,1)² = 40² + 2 × 40 × 0,1 + 0,1² = 1 600 + 8 + 0,01 = 1 608,01 b. E = 79² = (80 – 1)² = 80² – 2 × 80 × 1 + 1² = 6 400 – 160 + 1 = 6 241 F = 128² = (130 – 2)² = 130² – 2 × 130 × 2 + 2² = 16 900 – 520 + 4 = 16 384 G = 48² = (50 – 2)² = 50² – 2 × 50 × 2 + 2² = 2 500 – 200 + 4 = 2 304 H = 69,9² = (70 – 0,1)² = 70² – 2 × 70 × 0,1 + 0,1² = 4 900 – 14 + 0,01 = 4 886,01 c. I = 39 × 41 = (40 – 1)(40 + 1) = 40² – 1² = 1 600 – 1 = 1 599 J=  99 × 101 = (100 – 1)(100 + 1) = 100² – 1² = 10 000 – 1 = 9 999 K = 42 × 38 = (40 + 2)(40 – 2) = 40² – 2² = 1 600 – 4 = 1 596 L = 20,1 × 19,9 = (20 + 0,1)(20 – 0,1) = 20² – 0,1² = 400 – 0,01 = 399,99 7 Fabriquer des formules ALGO • Machine 1 : EC = 0,5mv² = 0,5 × 50 × 10² = 2 500 J. • Machine 2 : (B + b)h (2,8 + 1,7)5,6 = = 12,6 m. != 2 2 • Machine 3 : P = RI² = 50 × 10² = 5 000 W. • Machine 4 : π a2c π × 42 × 3,91 V= = = 49,1 cm3. 4 4 8 Faire une application numérique Si a = 25 on a : M = 0,8 × (190 – 100 + 2,5) = 74 kg. 9 Exploiter des données Nombre de vélos : 0,12x = 0,12 × 200 = 24. Nombre de scooters : 0,42x = 0,42 × 200 = 84.

Nombre de voitures : 0,20x = 0,20 × 200 = 40. Nombre de motos : x – (0,2x + 0,42x + 0,12x) = 200 – (24 + 84 + 40) = 52.

QCM pour faire le point 1 : C ; 2 : B ; 3 : A ; 4 : C ; 5 : A et B ; 6 : B ; 7 : B ; 8 : C.

Problèmes 10 En physique a. L’énergie cinétique pour une vitesse de 30 km/h est : 1 2 1 30 000 2  mv = × 100 × ` j = 3 472 J. 2 2 3 600 b. Si v′ = 3v, l’énergie est multipliée par 3² soit 9. 11 Quelle aire ? a. La surface bleue a pour aire 81 – (x + 4)2. b. ! =  81 – (x + 4)² = 81 – (x² + 8x + 4²) = 81 – x² – 8x – 16 = – x² – 8x + 65 c. ! =  81 – (x + 4)² = [9 – (x + 4)][9 + (x + 4)] = (9 – x – 4)(9 + x + 4) = (5 – x)(13 + x) d. Pour x = 3, ! = (5 – x)(13 + x) = (5 – 3)(13 + 3) = 2 × 16 = 32. Pour x = 5, ! = (5 – x)(13 + x) = (5 – 5)(13 + 5) = 0 × 18 = 0. 12 Le tricercle a. La longueur du cercle rouge est 4 π soit à 10–2 près 12,57 cm. b. Le diamètre du grand cercle vert est de (4 – x). c. La longueur de la ligne colorée en vert est de π x + π (4 – x) = 4 π soit, à 10–2 près, 12,57 cm. d. La circonférence du cercle rouge est égale à la somme des circonférences des deux cercles verts. 13 Trafic routier a. Tableau du trafic en fonction de x : Tranches horaires 15 h - 16 h 16 h - 17 h 17 h - 18 h 18 h - 19 h 19 h - 20 h 20 h - 21 h 21 h - 22 h 15 h - 22 h

Nombre de voitures x 2x 4x 3x 2x x x 14x

Chapitre 4 I Calcul littéral

21

b. On donne 4x = 2 000 soit x = 500. Tableau des valeurs numériques : Tranches horaires 15 h - 16 h 16 h - 17 h 17 h - 18 h 18 h - 19 h 19 h - 20 h 20 h - 21 h 21 h - 22 h 15 h - 22 h

Nombre de voitures 500 1 000 2 000 1 500 1 000 500 500 7 000

c. 7 000 voitures ont quitté cette ville entre 15 h et 22 h. 14 Sécurité routière a. Dans la cellule B7, on saisit : =A7*1,2/3,6. b. Pour les vitesses allant de 0 à 80 km/h on obtient le tableau : v 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

22

DR 0,00 1,67 3,33 5,00 6,67 8,33 10,00 11,67 13,33 15,00 16,67 18,33 20,00 21,67 23,33 25,00 26,67

DF 0,00 0,12 0,49 1,10 1,96 3,06 4,40 5,99 7,82 9,90 12,22 14,79 17,60 20,66 23,96 27,51 31,30

Thème I Nombres et calculs

DA 0,00 1,79 3,82 6,10 8,62 11,39 14,40 17,66 21,16 24,90 28,89 33,13 37,60 42,33 47,29 52,51 57,96

c. Pour éviter une collision, avec une distance d’arrêt de 37,60 m, la vitesse du motocycliste ne doit pas dépasser 60 km/h.

Vers le Brevet 15 Gestionnaire de production a. Les résultats : x C R

10 290 200

50 850 1 000

100 2 000 2 000

b. Pour une production de 50 étuis, la recette est supérieure au coût de production donc la production est rentable. 16 Un réservoir a. Aire de la sphère : ! = 4 π × R² = 4 π × (6)² = 452 m² au m² près. b. Volume de gaz qu’elle peut contenir : 4 4 V = × π × R3 = × π × (6)3 = 905 m3 3 3 au m3 près. 17 Équation - Produit a. Expression réduite : A = 16x² – 64. b. Expression factorisée : 16(x + 2)(x – 2). c. Si 16x² – 64 = 0, on a x = – 2 ou x = 2, valeurs qui annulent chaque facteur. 18 Tableur a. La formule est : 6(2x + 1)². b. Dans C3, il y aura 5 766. c. Cette formule permet de calculer une aire : c’est l’aire de la surface totale du cube.

5

Équations et inéquations du premier degré I – Prendre son élan …

1 Lorsqu’on additionne ou soustrait un même nombre à chaque membre d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité.

1 Calculer mentalement 140 + 160 = 300 ;  155 – 50 = 105 ; 14 × 5 = 70 ;  120 ÷ 30 = 4. 2 QCM 1 : C ; 2 : A ; 3 : C ; 4 : C ; 5 : B et C ; 6 : C ; 7 : C ; 8 : A et C ; 9 : B et C ; 10 : B. 3 Calculer a. Prix du stylo : 9 – 2 = 7 €. b. Longueur des côtés égaux : (35 – 5) ÷ 3 = 10 m. La base mesure 10 + 5 = 15 m. c. Montant des économies : 3 × 60 = 180 €.

2 Lorsqu’on multiplie ou divise* par un même nombre chaque membre d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité. * Le diviseur ne doit pas être nul.

Activité 2 a. Le périmètre de la partie herbeuse est égal à : 3a + 3a + 100 = 6a + 100 ; celui de la partie arborée est égal à : 2(100 + a) = 200 + 2a. On a donc l’égalité : 6a + 100 = 200 + 2a. b. Justification des différentes étapes (les mesures sont en mètre) :

4 Comparer des nombres 7 4 9 3 27 a. 2 , b. , c. = 3 7 7 4 36 3 1 1 e. . 0,4 f. . – 4 d. 3 . 2 2 4

6a + 100 = 200 + 2a

5 Réduire les expressions a. 2x + x + x = 4x b. 2t + 2 + 2 = 2t + 4 c. 3a + 2a + 3 + 2 = 5a + 5 d. 2L + 2 – L + 4 = L + 6

4a + 100 – 100 = 200 – 100

6a – 2a + 100 = 200 + 2a – 2a 4a + 100 = 200

4a = 100 4a 100   = 4 4 a = 25

II – Page d’ouverture 15 € correspond à la dépense de 5 bâtonnets (2 cornets = 4 bâtonnets) donc le prix d’un bâtonnet est de 3 €. Le prix d’un cornet est de 6 €.

III – Activités Activité 1 a. Dans 20 ans : a + 20 = b + 20. b. Il y a 5 ans : a – 5 = b – 5. c. Lorsque leur âge sera le triple de celui d’aujourd’hui : 3a = 3b. d. Lorsque leur âge était le quart de celui a b d’aujourd’hui : = . 4 4

On retranche 2a à chaque membre. On réduit. On retranche 100 aux deux membres. On réduit.

On divise les deux membres par 4. On simplifie.

1 On vérifie que 25 est solution de l’équation en remplaçant a par 25 dans la première égalité : 6 × 25 + 100 = 200 + 2 × 25. On a bien 250 = 250. 2 La mesure de la largeur du rectangle est a = 25 m. 3 La mesure d’un côté du triangle isocèle est 3a = 75 m.

Activité 3 a. Si a . b alors a + c . b + c et a – c . b – c. b. A1 = ac et A2 = bc ; on a A1 . A2. Si a . b alors ac . bc lorsque c est positif (mesure d’une longueur).

Chapitre 5 I Équations et inéquations du premier degré

23

Pour c = 2 et avec 10 . 5, on a 10 × 2 . 5 × 2 soit 20 . 10. Pour c = – 2 et avec 10 . 5, on a 10 × (– 2) , 5 × (– 2) soit – 20 , – 10. Lorsque l’on multiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l’inégalité. Pour rendre exact le message de Karine, on doit le modifier comme suit : Si a . b alors •a+c.b+c •a–c.b–c • avec c . 0, on obtient ac . bc • avec c , 0, on obtient ac , bc

Activité 4 a. Si on appelle x la masse inconnue on a : 5 + 5 + x + x + x . 30 + 10 + x soit l’inéquation : 3x + 10 . x + 40. b. En appliquant la démarche, on obtient : 3x – x . + 40 – 10 ; 2x . 30 ; 2x 30 . ; 2 2 x . 15. 1 x représente la masse en grammes d’une boule bleue. 2 Au dixième de gramme près, la valeur minimale de la masse inconnue est de 15,1 g. 3 Il y a une infinité de solutions à cette inéquation (toutes les masses supérieures à 15 g).

V – Activité TICE a. Modéliser et résoudre un problème du premier degré avec un tableur x (Durée en journée) P1 (Wheeling) P2 (Marmotte) P2 - P1 (Différence) … … … …

5 6 7 8 9 10 77,50 93,00 108,50 124,00 139,50 155,00 77,50 90,50 103,50 116,50 129,50 142,50 0,00 – 2,50 – 5,00 – 7,50 – 10,00 – 12,50

Interprétation : Pour une durée inférieure à 5 journées (x , 5), on a 15,50x , 13x + 12,50 ; c’est le tarif de «  Wheeling » qui est inférieur à celui de « Marmotte ». Pour une durée égale à 5 journées (x = 5), on a 15,50x = 13x + 12,50 ; les deux tarifs sont égaux. Pour une durée supérieure à 5 journées (x . 5), on a 15,50x . 13x + 12,50 ; c’est le tarif de « Marmotte » qui est inférieur à celui de « Wheeling ».

b. Construire l’algorithme de résolution d’équation du premier degré ALGO L’algorithme de résolution des équations du type ax = 10 est : Variable a : nombre Début Saisir a Si a = 0  alors afficher « L’équation n’a pas de solution. »  sinon afficher « La solution de l’équation est : x = » ; 10/a FinSi

IV – Méthode Soit x le nombre de films policiers. Nombre de comédies : x + 5 ; nombre de sciences-fictions : 2x ; nombre de drames : x – 3. On a 72 = x + x + 5 + 2x + x – 3 = 5x + 2 soit 5x = 70 d’où x = 14. Nombre de policiers : 14 ; nombre de comédies : 14 + 5 = 19 ; nombre de sciences-fictions : 2 × 14 = 28 ; nombre de drames : 14 – 3 = 11. Vérification : 14 + 19 + 28 + 11 = 72. 24

Thème I Nombres et calculs

1 2 3 4 15,50 31,00 46,50 62,00 25,50 38,50 51,50 64,50 10,00 7,50 5,00 2,50

VI – Exercices Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement a. Solutions des équations : Équations Solutions 2x = 4 x=2 10x = 1 000 x = 100 x – 10 = 30 – b = 12

x = 40 b = – 12

Équations Solutions 900x = 1 800 x=2 x = 20 x = 80 4 x – 10 = 25 x = 35 – 2b = 12 b = – 6

b. Solutions des inéquations : Inéquations Solutions

Appliquer le cours

Inéquations Solutions

10x . 100

x . 10

5x , 10

x,2

3x , – 9

x , – 3

2x . – 60

x . – 30

x + 5 , 10

x,5

x + 5 . 10

x.5

x+3>3

x>0

x – 3 > – 3

x>0

Inéquations

Solutions

2x < 15

x < 7,5

– 5x < 15

x > – 3

x – 5 , 10

x,5

x – 3 > – 3 + 4

x>4

7 Résoudre les inéquations et présenter les solutions sur une droite graduée a. x – 6,5 . 3,5 donne x . 10

10 4

b. 9x – 4 . 2x + 24 donne x . 4

2 Discerner le vrai du faux Corrections des propositions inexactes : • Pour passer de 9x – 4 = 23 à 9x = 27, on a ajouté 4 aux deux membres. 4 • Pour passer de 7x < 4 à x < , on a divisé 7 les deux membres par 7. • Pour passer de – 3x > 9 à x < – 3, on a divisé les deux membres par – 3 et changé le sens de l’inégalité. 3 Calculer un prix x est le prix d’un tee-shirt, on a 2x + 20 = 40 40 – 20 = 10 €. soit x = 2 4 Corriger les erreurs Correction des erreurs : a. Zora, 2e ligne : 4x = 9 + 3 donne x = 3. 2 b. Clément, 3e ligne : x = donne x = – 1. – 2 e c. Maeva, 2 ligne : 2x – x = – 16 donne x = – 16. d. Léo, 3e ligne : 0x = 1 ne donne aucune solution. 12 donne x . 3 ; e. Ester, 4e ligne : x . 4 les solutions sont :

6 Résoudre les équations a. 4x + 3 = 12,2 donne x = 2,3 b. 4x + 0,5 = – 3x + 14,5 donne x = 2 c. 6 – 4,5x = 8,25 donne x = – 0,5 d. 9x – 6 = 42,6 donne x = 5,4 e. – 3x – 4 = – 20,2 donne x = 5,4 f. 3x – 7 = x + 2,2 donne x = 4,6

3

solutions

f. Jules, 4e ligne : les solutions sont : 2

solutions

5 Calculer une valeur maximale On a 6x + 8x + 10x < 240 donc x < 10. La valeur maximale de x est de 10 m.

c. 6 – 4,5x > 8,25 donne x < – 0,5

– 0,5

0,6

d. 6,5x – 4 > – 0,1 donne x > 0,6 5,5

e. – 3x – 4 < – 20,5 donne x > 5,5 4,6

f. 3x – 7 , x + 2,2 donne x , 4,6 8 Rechercher la question a. Une question : « Quelle est la longueur de ce rectangle dont le périmètre est 26,4 m ? » b. 2x + 12 = 26,4 a pour solution x = 7,2 ; la longueur du rectangle est de 7,2 m. 9 Trouver trois nombres consécutifs a. Le nombre manquant est 1. b. Les deux autres nombres sont, en fonction de n : le précédent n – 1 et le suivant n + 1. Leur somme est : 3n. 456 = 152 ; le nombre c. On a 3n = 456 soit n = 3 médian est 152, le précédent 151 et le suivant 153. 10 Traduire un texte en équation L’équation qui traduit les achats est E3 : 3x + 4x = 70. 11 Traduire un texte en inéquation On a 2x + 7 . x + 13 soit x . 6. Pour x . 6 la distance parcourue en passant par M est supérieure à celle passant par N.

Chapitre 5 I Équations et inéquations du premier degré

25

12 Rechercher l’inconnue 2b + 135 51 + 3b 31 + b b + 104 51 + b 2b b b b 31 104 51 Lorsque le même nombre est affiché au sommet des deux pyramides on a : 2b + 135 = 51 + 3b soit b = 84. 13 Manipuler des formules P P • P = U × I donne U = et I = ; I U P P •m= ;P=m×g;g= ; g m • A = C + I donne C = A – I et I = A – C ; I I • I = C × t × n donne C = ;t= t × n C × n I et n = ; C×t P • P = 4c donne c = ; 4 P P P • L + l = donne L = – l ; l = – L 2 2 2 et P = 2(L + l) ; S S • S = π D × h donne D = et h = ; π×h π×D D–6 D–6 et t = . • D = v × t + 6 donne v = t v

QCM pour faire le point 1 : B et C ; 2 : A, B et C ; 3 : B et C ; 4 : A, B et C ; 5 : A et B ; 6 : C ; 7 : A et B ; 8 : C ; 9 : A, B et C ; 10 : B et C.

Problèmes 14 Limiter ses achats Si n est le nombre de croissants on a 20 – 11,50 donc 11,50 + 0,85n < 20 soit n < 0,85 n < 10. Antoine peut acheter 10 croissants au maximum. 15 Degrés Fahrenheit et degrés Celsius a. 0°C est la température de solidification de l’eau pure et 100 °C la température d’ébullition de l’eau pure. b. Si C = 0, on a F = 32 + 0 = 32 ; 0 °C correspond à 32 °F. Si C = 100, on a F = 32 + 1,8 × 100 = 212 ; 100 °C correspond à 212 °F. c. Si F = 68, on a 68 – 1,8 C = 32 soit 36 = 20 ; 68 °F correspond à 20 °C. C= 1,8 26

Thème I Nombres et calculs

16 IMC (Maths et SVT) 65 a. IMC = = 22,5 1,702 M M b. IMC = 50 = soit M = 128 kg. = 1,602 2,56 50 50 = 3,33 soit c. IMC = 15 = 2 donc T² = T 15 T = 1,82 m. 17 Pythagore BC2 = (k + 4)2 = k2 + 2 × k × 4 + 42 = k2 + 8k + 16 AB2 + AC2 = 122 + k2 Le triangle est rectangle donc on peut appliquer le théorème de Pythagore : k2 + 8k + 16 = 122 + k2 soit 8k = 144 – 16 d’où k = 16. 18 Même périmètre a. Le périmètre du rectangle DEFG est : P1 = 2[x + (x + 5)] = 4x + 10. Le périmètre du triangle isocèle ABC est : P2 = 2(x + 3) + 3x = 5x + 6. b. Tableau de valeurs : Valeur x Périmètre P1 (rectangle) Périmètre P2 (triangle) Différence P2 – P1

1 2 3 4 5 14 18 22 26 30 11 16 21 26 31 – 3 – 2 – 1 0 1

Valeur x Périmètre P1 (rectangle) Périmètre P2 (triangle) Différence P2 – P1

6 7 8 9 10 34 38 42 46 50 36 41 46 51 56 2 3 4 5 6

Pour x . 4, le périmètre du triangle est supérieur à celui du rectangle. 19 Programme « Scratch » ALGO a. Sarah a 14 ans et son père 40 ans. b. Cette consigne signifie que l’on répète les instructions suivantes jusqu’à ce que l’âge du père soit égal au double de celui de sa fille. c. On additionne 1 an à l’âge du père et on ajoute 1 an à l’âge de la fille. d. En exécutant le programme, on obtient 52 ans pour l’âge du père et 26 pour l’âge de Sarah. 20 Longs drinks ALGO A. Par l’algèbre a. • Les verres de 15 cL et de 40 cL ne conviennent pas. Celui de 26 cL convient. • Si x est le volume de sirop alors le volume d’eau est 7x.

• Celui du liquide (sirop + eau) est 8x. b. Si le volume de liquide est de 24 cL on a 8x = 24. c. Il faut diviser chaque membre par 8, 8x = 24 donne x = 3 ; le volume de sirop est 3 cL. B. Par l’algorithmique d. L’algorithme : Variable v : nombre Saisir le volume du verre v Si 20 , v et v , 30  alors afficher : « Verser dans le verre » ; v/8 ; « cL de sirop. »  sinon afficher : « Ce verre n’a pas un volume convenable. » Fin Si

e. Correspondance algorithme-Scratch Algorithme saisir le volume du verre v si 20 , v et v , 30 alors afficher : « Verser dans le verre » ; v/8 ; « cL de sirop » sinon afficher : « Ce verre n’a pas un volume convenable. »

Scratch mettre v à □ si 20 , v et v , 30 alors dire regroupe « Verser dans ce verre » regroupe v/8 « cL de sirop. » sinon dire « Ce verre n’a pas un volume convenable. »

f. Si v = 15 cL ou v = 40 cL, la réponse est « Ce verre n’a pas un volume convenable. » Si v = 26 cL la réponse est « Verser dans ce verre 3,25 cL de sirop. » 21 Viennoiseries a. Nombre de croissants : x + 28. b. L’équation est x + x + 28 + 42 = 124. Sa résolution donne x = 27. Le nombre de pains aux raisins vendus est de 27 ; celui des croissants 55. c. Si p est le prix d’un croissant, celui d’une chocolatine est également p et celui d’un pain aux raisins est : p + 0,20.

d. L’équation traduisant la recette est : 27 (p + 0,20) + 55p + 42p = 104,60 ; en réduisant, on obtient 124p + 5,40 = 104,60 soit p = 0,80. Le prix d’un croissant est de 0,80 €, celui d’une chocolatine de 0,80 € et celui d’un pain aux raisins est de 1 €. 22 Taxis (Travail en groupe) En appelant x la distance à parcourir, les tarifs correspondant aux deux sociétés sont : • Société Carbel : P1 = 0,50x + 2,50 ; • Société Carjol : P2 = 0,60x + 1,50. On cherche P1 , P2, on obtient 0,50x + 2,50 , 0,60x + 1,50 soit x . 10. La Société Carbel est moins onéreuse que la Société Carjol pour une course supérieure à 10 km.

Vers le Brevet 23 Recette d’un match a. Le nombre d’entrées « enfants » est : 1 030 – x. b. La recette est : 10x + 5(1 030 – x) = 10x + 5 150 – 5x = 5x + 5 150. c. 5x + 5 150 = 8 800 donne : 8 800 – 5 150 = 730. x= 5 Le nombre de places « adultes » est de 730 ; le nombre de places « enfants » est de 300. 24 Respect d’un budget a. Le montant des frais versés au moniteur est 42x. b. Pour respecter le budget on a : 42x + 940 < 1 570. c. 42x < 630 soit x < 15 et la durée maximale de canyoning est de 15 heures.

Chapitre 5 I Équations et inéquations du premier degré

27

6

Statistiques I – Prendre son élan …

1 Calculer mentalement • 10 % de 540 = 54,0 ; 50 % de 88 = 44 ; 90 % de 1 500 = 1350 ; • 7 × 3 + 2 × 9 = 21 + 18 = 39 ; 3 × 4 + 5 × 6 12 + 30 42 = = = 4,2. 4+6 10 10 2 QCM 1 : C ; 2 : A et C ; 3 : B ; 4 : A ; 5 : A, B et C ; 6 : A et B ; 7 : A. 3 Proportionnalité Le tableau du milieu indique le bon calcul : 100 × 46 . 25

II – Page d’ouverture On lit sur le graphique que 36 % des élèves ayant obtenu un baccalauréat professionnel ont un emploi. Un tiers des élèves représente 1 33,3 % des élèves ( ≈ 0,333). L’affirmation de 3 Baptiste est donc correcte. Le pourcentage d’élèves qui continuent les études est 49 % donc environ 50 %. On peut donc dire qu’environ la moitié des élèves poursuivent leurs études.

III – Activités Activité 1 a. Les représentations graphiques indiquent les nombres d’utilisateurs actifs sur les principaux réseaux sociaux en France et dans le monde en septembre 2015 et la répartition des abonnés au réseau social Instagram selon l’âge en France à la même période. b. Facebook et YouTube sont les deux réseaux sociaux les plus utilisés en France et dans le monde. c. En septembre 2015, il y avait 5,5 millions d’utilisateurs d’Instagram en France et 300 millions dans le monde.

d. Âge (année) Effectif (%)

[16 ; 25[ 38

[25 ; 34[ 34

[34 ; 43[ 16

Âge (année) Effectif (%)

[43 ; 52[ 7

[52 ; 61[ 3

[61 ; 70[ 2

La tranche d’âge ayant le plus d’abonnés est 16- 25 ans. 1 La première représentation graphique est un diagramme à barres alors que la deuxième est un histogramme. 2 Dans le diagramme à barres, le caractère étudié est le nom du réseau social (caractère qualitatif) et pour l’histogramme, l’âge des abonnés d’Instagram (caractère quantitatif). 3  On aurait pu utiliser un diagramme circulaire. 4  On ne peut représenter avec un histogramme que des caractères quantitatifs répartis en classes.

Activité 2 34 + 54 + 26 + 52 + 61 + 51 + 37 = 45. 7 Ces copines possèdent un nombre moyen de 45 « amis ». b. Dans l’ordre croissant, on obtient : a. x =

Mathilde 26

Émeline 34

Alicia 37

Sarah 52

Chloé 54

Éva 61

Heïdi 51

Il y a un nombre impair de valeurs (7). La médiane est donc la quatrième soit 51. 1 La médiane et la moyenne ont des valeurs différentes. 2 Heïdi possède le nombre médian d’« amis ». 3 Dans une série statistique, il y a autant de valeurs supérieures à la médiane que de valeurs qui lui sont inférieures. Chapitre 6 I Statistiques

29

Activité 3

IV – Méthode

a. Dans cette étude, l’âge maximum d’achat est 17 ans et l’âge minimum est 10 ans. b. L’effectif total de la série statistique est 200. c. Âge Nombre d’élèves ni Fréquences fi

10 9 0,05

11 12 0,06

12 46 0,23

13 27 0,14

Âge Nombre d’élèves ni Fréquences fi

14 39 0,20

15 27 0,14

16 29 0,15

17 11 0,06

Représentation sous la forme d’un diagramme circulaire ou d’un diagramme en bâton.

1 17 – 10 = 7 ; l’étendue de cette série est 7 ans. 2 Les 100e et 101e personnes ont 14 ans. 3 La médiane de cette série est 14. La valeur 14 permet de couper l’effectif total en deux groupes de même effectif. 4 La phrase est fausse. Il faudrait écrire : Plus de la moitié des élèves étaient équipés à 14 ans ou avant.

V – Activité TICE Les deux programmes ci-dessous permettent de remplir une liste de données contenant les fréquences (en appuyant sur la touche F du clavier) ou de vider cette liste (en appuyant sur la touche V du clavier).

30

Thème I Organisation et gestion de données, fonctions

Le programme ci-dessous permet d’analyser la liste des fréquences pour déterminer si la production des boîtes est conforme.

Dans l’exemple du livre, la production est non conforme.

VI – Exercices Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement • 25.   • 2,4.   • 15. • 100 – (28 + 20 + 17) = 35. La fréquence de la classe [0 ; 10[ est 35 %. •

Marque Renault Peugeot Citroën Nissan Dacia Total

Effectif 12 16 8 4 9 49

2 Discerner le vrai du faux • La proposition est exacte. • Un effectif est toujours dénombrable. • L’étendue est une différence de deux valeurs du caractère. • Un diagramme peut être circulaire ou en bâtons. • Un histogramme ne peut être utilisé que pour des caractères quantitatifs rangés en classes.

• La médiane et la moyenne peuvent être identiques. • Min , x , Max. 3 Corriger les erreurs a. Nicolas • Médiane Me = tout nombre compris entre 15 et 16. 10 + 12 + 15 + 16 + 23 + 26 = 17. • Moyenne x = 6 b. Rabah Rabah oublie de classer les valeurs dans l’ordre croissant avant de déterminer l’étendue et la médiane. 4 Calculer une étendue a. Max = 9 ; Min = 0,5 ; Max – Min = 9 – 0,5 = 8,5. b. La valeur calculée à la question a. s’appelle l’étendue de la série. 5 Calculer une moyenne a. Le nombre de points moyen est obli­ gatoirement compris entre le minimum et le maximum de la série. Ici il est compris entre 4 et 18. Chapitre 6 I Statistiques

31

b. Pour calculer la valeur moyenne de la série, il faut diviser la somme de toutes les valeurs par le nombre de valeurs. c. x = 12. 6 Connaître les propriétés sur les moyennes pondérées a. La moyenne est comprise entre 12 et 15. b. La deuxième proposition convient : 12 × 1 + 13 × 1 + 15 × 3 . x= 1+1+3

Appliquer le cours 7 Déterminer une médiane a. Dans l’ordre croissant : {1,85 ; 1,90 ; 1,95 ; 1,99 ; 1,99 ; 2,00 ; 2,02 ; 2,03 ; 2,03 ; 2,11 ; 2,14 ; 2,17}. b. Me = une valeur comprise entre 2,00 et 2,02. On peut prendre 2,01. c. Il y a autant de joueurs ayant une taille inférieure à 2,01 m que de joueurs ayant une taille supérieure à cette valeur. 8 Calculer une moyenne simple a. Le caractère de cette série est quantitatif (nombre de buts). b. L’effectif est égal à sept car il y a sept valeurs. 19 + 41 + 48 + 57 + 82 + 61 + 62 ≈ 52,9. c. x = 7 Lionel Messi a marqué environ 53 buts par an durant ces 7 années. 9 Calculer une moyenne pondérée a. Nombre de magazines

Centre de classe

Effectif

[0 ; 3[

1,5

11

[3 ; 6[

4,5

66

[6 ; 9[

7,5

94

[9 ; 12[

10,5

48

[12 ; 15[

13,5

19

1,5 × 11 + 4,5 × 66 + 7,5 × 94 + 10,5 × 48 + 13,5 × 19 ≈ 7,47. b. x = 11 + 66 + 94 + 48 + 19 Selon cette étude, les adolescents ont lu ou feuilleté en moyenne environ 7,5 magazines au cours du dernier mois. 32

10 Analyser un diagramme en bâton a. Dans cette étude statistique, le caractère étudié est l’âge des fumeurs. b. Oui, on peut affirmer qu’en France en 2014, les hommes fumaient plus que les femmes car pour toutes les tranches d’âge, les hommes fument plus que les femmes. c. Il n’y a aucune information sur l’effectif de l’étude. d. Selon ce diagramme, c’est dans la tranche d’âge 20-24 ans que les femmes fument le plus. Pour les hommes, c’est dans la tranche d’âge 25-34 ans. 11 Réaliser un diagramme circulaire a. Dans un premier temps, il faut calculer l’effectif total (ici 57) puis il faut calculer la quatrième proportionnelle. Par exemple, pour l’apprentissage : 15 × 360 angle = . 57 Faire ensuite le même calcul pour toutes les valeurs du caractère. b.  Souhait de poursuite d’études

Effectif

Angle (°)

Bac Professionnel

27

170

Un autre CAP

3

19

Insertion professionnelle

12

76

Apprentissage

15

95

Total

57

360°

c. Diagramme circulaire. Souhait de poursuite post-CAP Apprentissage 26 %

Insertion professionnelle 21 %

Bac professionnel 48 %

Un autre CAP 5%

QCM pour faire le point 1 : B ; 2 : B et C ; 3 : A ; 4 : C ; 5 : B ; 6 : A et C.

Thème I Organisation et gestion de données, fonctions

14 Qui utilise Facebook ? a. Tableau de données

Problèmes 12 Évaluation a. 2 + 3 + 5 + 8 + 4 + 4 + 1 = 27. Le nombre de copies notées est 27. 8 × 2 + 9 × 3 + 10 × 5 + 11 × 8 +12 × 4 + 13 × 4 + 14 × 1 ≈ 10,9. b. x = 27 La moyenne des notes de la classe est d’environ 10,9. c. Il y a 27 notes, donc la note médiane est la 14e lorsque les notes sont ordonnées, donc Me = 11. 13 Utiliser le tableur a. Calcul de la température minimale moyenne : =MOYENNE(B2 :B13). Calcul de la température minimale médiane : =MEDIANE(B2 :B13). b. Température minimale moyenne = 7,76 °C ; température minimale médiane = 6,85 °C. Température maximale moyenne = 18,14 °C ; température maximale médiane = 18,15 °C. c. Diagrammes en bâtons.

Âge

Fréquence

[16 ; 25[

25 %

[25 ; 35[

29 %

[35 ; 45[

22 %

[45 ; 55[

15 %

[55 ; 65[

9%

b. 75 % des utilisateurs de Facebook ont plus de 25 ans. c. 1,49 × 0,25 = 0,372 5. 372,5 millions d’utilisateurs de Facebook ont moins de 25 ans. d. Facebook est qualifié de « réseau social vieillissant » car les trois quarts de ses utilisateurs ont plus de 25 ans alors que pour Snapchat les trois quarts ont moins de 25 ans. Les jeunes utilisateurs d’internet utilisent plutôt d’autres réseaux sociaux que Facebook. 15 Ventes de voitures a. 

Températures mensuelles à Brive en 2014

Ja nv ier Fé vr ier M ar s Av ril M ai Ju in Ju ille t Ao Se û t pt em br O e ct ob N ov re em Dé bre ce m br e

30 25 20 15 10 5 0

Température minimale (°C) Température maximale (°C)

Courbes Températures mensuelles à Brive en 2014 30 25 20 15 10 5 0

0 2 4 6 Température minimale (°C) Température maximale (°C)

8

10

12

14

Formules à saisir : • pour le total : =SOMME(B2 :B11) • pour la moyenne : =MOYENNE(B2 :B11) • pour la médiane : =MEDIANE(B2 :B11) b. La grande différence entre ces deux valeurs s’explique par le fait que trois marques se partagent une très grande partie du marché ce qui fait augmenter la moyenne. c. Ces marques sont classées dans l’ordre décroissant du nombre de voitures vendues. d. Voir dernière colonne du tableau ci-dessus. Formule saisie dans la cellule D2 : =B2/(1+C2) Lors du semestre précédent, BMW et Général Motors avait vendu plus de véhicules que Toyota. Chapitre 6 I Statistiques

33

17 Production de déchets ménagers a.

Vers le Brevet 16 Pratique sportive a. Le caractère étudié est le type de pratique sportive. b. Tableau complété :

Pratique intensive (. 60min/j) Pratique modérée (, 60min/j) Ne pratique pas Total

Effectif

Fréquence

Fréquence en %

327

0,26

26

614

0,49

49

315

0,25

25

1 256

1

100

c. 26 + 49 = 75. 75 % des jeunes ont une pratique sportive intensive ou modérée. d. 100 – 26 = 74. Si on choisit un jeune au hasard, on a 74 % de chances que sa pratique ne corresponde pas à la préconisation citée.

34

Type de Masse Mesure Pourcentage déchets (kg) des angles Plastiques 96 24 % 86° Métaux 24 6% 22° Verre 40 10 % 36° Papier, carton 60 15 % 54° Déchets 100 25 % 90° organiques Divers 80 20 % 72° Total 400 100 % 360°

b. Chaque habitant produit 400 kg de déchets par an. c. Répartition des déchets produits selon leur nature Divers 20 %

Plastiques 24 %

Métaux 6% Déchets organiques 25 %

Thème I Organisation et gestion de données, fonctions

Verre 10 % Papier, carton 15 %

7

Probabilités I – Prendre son élan …

II – Page d’ouverture

1 Calculer mentalement 3 1 a. 10 % = 0,10 ; 25 % = 0,25 ; = 0,6 ; = 0,5. 5 2 b. A = 0,65 ; B = 0,81 ; C = 0,3.

Il y a 100 cases (10 lignes × 10 colonnes) sur le plateau de jeu. 17 sont occupées par des navires au début du jeu (5 + 4 + 3 + 3 + 2). Un joueur a donc 17 chances sur 100 de toucher un navire lors de son premier tir.

2 QCM 1 : A et B ; 2 : A ; 3 : A ; 4 : B ; 5 : B et C ; 6 : B ; 7 : B. 3 Calculer des probabilités dans des cas simples Correction des phrases fausses : a. Quand on lance une pièce équilibrée, on a une chance sur deux de tomber sur le côté « pile ». b. On a une chance sur six d’obtenir le chiffre trois quand on lance un dé à six faces équilibré. c. Dans l’urne ci-contre, on a plus de chance de tirer une boule bleue qu’une boule jaune. 4 Calculer des fréquences et des effectifs a. Couleur des yeux Fréquence Nombre d’élèves

Vert 0,1 3

Bleu 0,2 6

b. Diagramme en bâtons des effectifs

Marron 0,7 21

III – Activités Activité 1 a. Il y a 8 parts de galette. b. Thibault a 2 chances sur 8 de choisir une part contenant une fève. c. Si Thibault n’a pas gagné de fève, il ne reste que 7 parts mais toujours deux fèves. Maëva a donc 2 chances sur 7 de choisir une part contenant une fève. d. Dans la situation décrite, Maëva a plus de chance que Thibault de trouver une fève 2 2 ( . ). 7 8 1 Thibault a 2 chances sur 8 de choisir une part avec une fève. Maëva a 2 chances sur 7 de choisir une part avec une fève. 2 Pour Thibault, 2 chances sur 8 peut se 2 traduire par le rapport . 8 Pour Maëva, 2 chances sur 7 peut se traduire 2 par le rapport . 7 3 2 = 1 = 0,25 donc Thibault peut effective8 4 ment dire qu’il a 25 % de chances de trouver une fève.

Activité 2 a. Il ne reste que 5 paquets, il y a donc 5 résultats possibles.

Chapitre 7 I Probabilités

35

b. Nombre de chances Évènement Probabilité de valider l’évènement 2 = 0,4 Obtenir des 2 5 chewing-gums 1 = 0,2 Obtenir des 1 5 caramels à la vanille 1 = 0,2 Obtenir des 1 5 réglisses Obtenir des 4 = 0,8 caramels ou des 4 5 chewing-gums 5=1 Obtenir des bonbons 5 5

3 La fréquence de l’événement « obtenir pile  » est plus proche de la probabilité théorique pour N = 200. 4 Marie et Steven doivent lancer la pièce un très grand nombre de fois pour vérifier que la fréquence de sortie de « pile » est très proche de 0,5 afin de déterminer si elle est équilibrée.

IV – Méthode Arbre des éventualités : 1er lancer

2e lancer P

1 Obtenir des bonbons est un évènement certain. Sa probabilité est égale à 1. La dernière ligne du tableau correspond donc à un événement certain.

P F P

2 Ces deux évènements sont contraires car à eux deux ils regroupent toutes les issues possibles et quand on obtient l’un, on ne peut pas obtenir l’autre. 3 Ces évènements sont incompatibles car ils ne peuvent pas être réalisés en même temps.

Activité 3 a. Lorsqu’on lance une pièce équilibrée, p(« obtenir pile ») = 0,5. b. Évènement Nombre de réalisations Fréquence

« obtenir pile » « obtenir face » 7

3

0,70

0,30

c. Par exemple pour une classe de 28 élèves Évènement Nombre de réalisations Fréquence

« obtenir pile » « obtenir face » 129

151

0,46

0,54

1 Dans le premier tableau, N = 10 ; Dans le second tableau, N = 280.

F F

Issues

P

PPP

F

PPF

P

PFP

F

PFF

P

FPP

F

FPF

P

FFP

F

FFF

• Sur les 8 issues possibles, il y en a 2 pour lesquelles le même côté est sortie trois fois. À chaque lancer, Martin a donc 6 chances sur 8 de gagner un bonbon et 2 chances sur 8 de perdre des bonbons. • S’il organise 40 parties, il peut probablement gagner : 6 40 × = 30 parties. 8 Il peut probablement perdre : 2 40 × = 10 parties. 8 • À chaque partie gagnée, Martin gagne 1  bonbon et à chaque partie perdue il en perd 3. Il peut donc s’attendre à gagner : 30 × 1 = 30 bonbons et à perdre : 10 × 3 = 30 bonbons. Il ne devrait ni gagner ni perdre de bonbons en jouant ces 40 parties.

2 Échantillon 1 : f (« obtenir pile ») = 0,7. Échantillon 2 : f (« obtenir pile ») = 0,46. 36

3e lancer

Thème I Organisation et gestion de données, fonctions

V – Activité TICE Image de la simulation sur le tableur Excel.

Explications : À chaque tirage, Dylan a 1 chance sur six de gagner 5 €, 2 chances sur 6 de gagner 1 € et 3 chances sur 6 de perdre 2 €. 1 2 3 1 À chaque tirage, Dylan peut donc gagner 5 × + 1 × – 2 × = €. 6 6 6 6 1 S’il effectue six tirages, la probabilité de gain est de 6 × = 1 €. 6 Lors de la simulation de six parties présentée ci-dessus, Dylan gagne 7 € mais le bilan n’est pas positif lors de toutes les simulations. On peut donc répondre positivement à la question posée : Dylan a des chances de gagner en jouant 6 parties.

VI – Exercices Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement

2 = 0,4 ; 5 3 p(obtenir un nombre impair) = = 0,6. 5 56 = 14. 14 élèves pratiquent un sport b. 4 collectif. 8 1 =  . Un septième des élèves pratiquent la 56 7 natation. a. p(obtenir un nombre pair) =

2 Discerner le vrai du faux Correction des phrases inexactes. a. Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat n’est dû qu’au hasard. c. Deux évènements qui ne peuvent se réaliser en même temps sont des évènements incompatibles. e. La probabilité de réalisation d’un évène­ ment certain est toujours égale à 1.

f. Lorsqu’une expérience aléatoire est réalisée un grand nombre de fois, la fréquence d’un évènement se rapproche de sa probabilité. 3 Corriger les erreurs a. Tania Si je choisis au hasard une balle dans l’urne, il y a 3 issues possibles (obtenir une boule rouge, obtenir une boule bleue, obtenir une boule verte). Il y a 3 boules bleues sur les 6 boules donc j’ai 3 chances sur 6 d’obtenir une boule bleue. b. Dylan J’ai lancé dix fois la roue et obtenu trois fois le secteur vert et trois fois un secteur bleu. On ne peut pas faire de déduction sur les probabilités car p(bleu) = 1 2 et p(vert) = 1 . 4 Chapitre 7 I Probabilités

37

4 Déterminer les issues a. Les issues possibles sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. b. Un évènement certain : obtenir un nombre compris entre 1 et 6 inclus. c. Deux évènements incompatibles : obtenir 3 et obtenir un nombre pair. d. Deux évènements contraires : obtenir un nombre pair et obtenir un nombre impair.

c. 1er obstacle 2e obstacle 3e obstacle G G D G D

Appliquer le cours 5 Utiliser le vocabulaire a. L’expérience aléatoire réalisée est le tirage d’une carte dans un paquet de 52 cartes. b. L’échantillon étudié a une taille de 1 000 tirages. c. Évènement certain : « tirer une carte rouge ou tirer une carte noire » Évènement impossible : « tirer un as de cœur et un sept de trèfle ». d. « Tirer une carte rouge » est un évènement incompatible avec l’évènement « tirer un pique ». e. « Ne pas tirer un roi » est l’évènement contraire à l’évènement « tirer un roi ». 6 Calculer une probabilité 4 a. p(« désigner une fille ») = = 0,8 = 80 % soit 5 4 chances sur 5. 2 p(« désigner une des deux sœurs ») = = 0,4 5 = 40 % soit 2 chances sur 5. 1 p(« désigner un garçon ») = = 0,2 = 20 % soit 5 1 chance sur 5. 1 p(« désigner Alexia ») = = 0,2 = 20 % soit 5 1 chance sur 5. b. Exemple de deux évènements incompa­ tibles : « désigner une des sœurs » et « désigner Clément » 7 Déterminer les issues a. Le robot doit rencontrer trois obstacles sur son parcours. b.  Le robot doit choisir successivement gauche-droite-droite pour suivre le chemin demandé.

38

D

Issues

G

GGG

D

GGD

G

GDG

D

GDD

G

DGG

D

DGD

G

DDG

D

DDD

Selon l’arbre ci-dessus, il y a 8 combinaisons possibles. d. Il y a 1 chance sur 8 (12,5 % de chance) que le robot choisisse par hasard la bonne combinaison. 8 Calculer des fréquences a. Lors de la première simulation : f (« sortie du 6 ») = 0,24. L’échantillon est égal à 50 donc cela correspond à 0,24 × 50 = 12 sorties du chiffre 6. b. Dans ce cas, la taille de l’échantillon est trop petite. c. On peut estimer que la probabilité de sortie du chiffre 6 est de 0,3 car lorsque la taille des échantillons est grande : f (« sortie du chiffre 6 ») = 0,3. d. Le dé n’est pas équilibré car dans ce cas la fréquence de sortie du chiffre 6 serait de 1 ≈ 0,17. 6

QCM pour faire le point 1 : B ; 2 : A ; 3 : B et C ; 4 : A et B ; 5 : B ; 6 : B et C ; 7 : C ; 8 : B et C ; 9 : A, B et C.

Problèmes 9 Comprendre un programme ALGO a. Ce programme simule 100 lancers d’un dé à six faces. b. Algorithme Variable var : nombre entier Liste alea : nombres entiers var reçoit 0 Répéter jusqu’à var = 100 alea reçoit un nombre entier aléatoire compris entre 1 et 6 var reçoit var + 1 Fin Répéter 

Thème I Organisation et gestion de données, fonctions

c. Si la variable « compteur » vaut 18, cela signifie que le nombre 1 apparaît 18 fois dans la liste « alea ». 10 Contrôle qualité a. Il contrôle sa production durant un mois afin que la taille de l’échantillon soit plus représentative de la totalité de la production de l’année. b. p(« masse > 600 g ») =  0,58 + 0,24 + 0,03 = 0,85. c. 0,15 × 80 = 12. Sur 80 pains vendus, 12 peuvent donner lieu à des réclamations. 11 Élections municipales a. 611 + 502 + 335 + 124 = 1 572 personnes étaient inscrites sur les listes électorales. b. Effectifs Fréquences

A. Roubay 611 0,39

P. Affeux 502 0,32

Effectifs Fréquences

Blanc ou nul 335 0,21

Abstention 124 0,08

c. p(« a voté ») = 1 – 0,08 = 0,92. Il y a donc 92 % de chances qu’il ait voté. p(« a voté pour P. Affeux ») = 0,32. Il y a 32 % de chances que cet habitant ait voté pour la liste de P. Affeux. 12 En vacances a. Sportif Non sportif Total

Garçons 12 6 18

Filles 5 6 11

Total 17 12 29

11 = 0,38. Lucas a 38 % de chance 29 que ce soit une fille. 17 p(« sportif ») = = 0,59. Lucas a 59 % de 29 chance que ce soit un sportif. 12 p(« garçon si c’est un sportif ») = = 0,67. 17 Lucas a 71 % de chance de choisir un garçon s’il choisit un sportif. c.  Lucas semble avoir choisi préférentiel­ lement des filles car s’il avait réellement choisi au hasard, il aurait dû désigner plus de garçons que de filles car ils sont plus nombreux. b. p(« fille) =

13 Roue de la fortune a. La roue est composée de 10 secteurs dont 3 sont gagnants. Afin de simuler 250 parties, il faut faire afficher aléatoirement un nombre entre 1 et 10 dans 250 cellules du tableur. Il faut ensuite compter le nombre de sorties de trois de ces 10 chiffres 1, 2 et 3 par exemple) et multiplier cette valeur par 5 €. Le résultat obtenu est le gain. Il suffit ensuite de vérifier si le gain est supérieur à 250 × 3 = 750 €. Pour réaliser cette simulation, il faut saisir les formules suivantes : • Affichage aléatoire c Saisir : « =ALEA.ENTRE. BORNES(1;10) » dans toutes les cellules de la zone A1:A250 • Calcul du gain pour l’organisateur c Saisir : «=750-5*(NB.SI(A1:A250;1)+NB.SI(A1:A250;2) +NB.SI(A1:A250;3))» 3 b. p(« gagner une partie ») = . 10 c. L’organisateur du jeu peut espérer gagner 0,7 × 250 = 175 parties et donc en perdre 75. Il peut donc espérer gagner environ : 3 × 250 – 5 × 75 = 375 €. 14 Débat a. L’enquête montre que 26 % soit environ un quart des élèves de troisième du collège sont des fumeurs réguliers. Mélina en conclut qu’il y a la même proportion dans tous les collèges de France. b. Mélina étudie un échantillon de 118 élèves. c. La remarque de Mathis est pertinente car les 118 élèves de ce collège ne représentent pas la diversité de tous les élèves de troisième de France. d. On ne peut rien dire sur la qualité de l’enquête à la vue de ces seuls chiffres. Le nombre de fumeurs dans ce collège peut être plus élevé que la moyenne nationale sans que la qualité de l’enquête soit remise en cause. e. On peut en déduire que « dans notre collège, si on interroge un élève de troisième, on a une chance sur quatre qu’il s’agisse d’un fumeur régulier. »

Chapitre 7 I Probabilités

39

Vers le Brevet 15 Tirage dans l’urne a. L’arbre représenté ci-dessous ne repré­ sente qu’un tiers de l’arbre total. Il y a donc 27 tirages différents possibles. 1er tirage

2e tirage R

R

B

V

3e tirage

Issues

R B V R B V R B V

RRR RRB RRV RBR RBB RBV RVR RVB RVV

b. Pour l’arbre complet, 3 tirages donnent 3 balles identiques et 6 tirages donnent 3 balles différentes. c. Un joueur gagne de l’argent s’il tire 3 balles identiques (3 chances sur 27) ou 3 balles différentes (6 chances sur 27) ; donc sa 9 1 ou . probabilité de gagner est de 27 3

40

16 Dé à quatre faces ALGO a. L’expérience aléatoire réalisée est le lancer du dé. 1 b. p(« obtenir un chiffre pair ») = ; 2 p(« obtenir un chiffre ») = 1 c. Lors d’une partie : 1er lancer 2e lancer Issues 1er lancer 2e lancer Issues 1 11 1 31 2 12 2 32 1 3 3 13 3 33 4 14 4 34 1 21 1 41 2 22 2 42 2 4 3 23 3 43 4 24 4 44

Il y a 16 évènements possibles. Il y a 13 évènements permettant de gagner. d. Un joueur a donc 13 chances sur 16 de gagner. e. Boucle conditionnelle : Si somme < 6 Alors Afficher « C’est gagné !!!!! » Sinon Afficher « C’est perdu !! » FinSi

Thème I Organisation et gestion de données, fonctions

8

Fonctions linéaires c. La représentation graphique de la fonction f est :

I – Prendre son élan … 1 Calculer mentalement Si x = 3, alors 10 x vaut 30. Si t = 10, alors t2 vaut 100. Si r = 12, alors 10r + 5 vaut 125. 2 QCM 1 : A ; 2 : A et C ; 3 : B et C ; 4 : A et C ; 5 : A ; 6 : B et C. 3 Chercher l’intrus La proposition inexacte est : « en diminuant 200 € de 25 % on obtient 175 € » ; on obtient 150 €. 4 Chercher le nombre manquant 8 16 3,1 6,2

5 2,5

20 10

24 8

90 30

0,5 2,6 3,5 18,2

1  La première ligne du tableau de valeurs d’une fonction contient les valeurs des antécédents (valeurs de la variable). La seconde ligne, les valeurs des images. 2  Les valeurs se trouvant sur l’axe des abscisses sont les valeurs des antécédents (valeurs de la variable). Sur l’axe des ordonnées, ce sont les valeurs des images.

Activité 2

II – Page d’ouverture

Tableau de valeurs :

1  La consommation est proportionnelle à la distance parcourue car les points de la représentation graphique sont alignés avec l’origine du repère. 2  Ce scooter consomme 2,5 L aux 100 km.

III – Activités Activité 1 a. Tableau de valeurs : x : durée (s) f (x) : distance (m)

0 0

1 5

2 4 5 20 80 125

x : durée (s) f (x) : volume (L)

30 6

60 12

90 18

120 24

× 0,2

x : durée (s) 150 180 210 240 f (x) : volume (L) 30 36 42 48

× 0,2

a. La fonction f correspondante est telle que f (x) = 0,2x. b. Cette fonction est de la forme f (x) = ax (fonction linéaire). c. L’image de 120 est f (120) = 24 ; si 0,2x = 45 alors x = 225 donc l’antécédent de 45 est 225. d. Représentation graphique de la fonction :

5 × x2

b. f (3) = 45 ; l’image de 3 est 45. La distance parcourue au bout de 3 secondes est de 45 mètres. Avec f (10) = 500 on a l’antécédent de 500 qui est 10. La durée mise par un corps pour parcourir 500 m est de 10 secondes. Chapitre 8 I Fonctions linéaires

41

1  Les deux lignes du tableau de valeurs d’une fonction linéaire représentent une situation de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est celui de la fonction linéaire. 2  La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère. 3  Avec l’origine du repère, un point suffit pour la représenter graphiquement.

Activité 3 Les situations mettant en jeu une fonction linéaire sont : – (1) au péage, sur le ticket le coût est proportionnel à la distance parcourue ; –  (3) pour la tente demi-sphérique, le périmètre au sol est proportionnel au rayon ; – (6) pour la moto, la distance parcourue est proportionnelle à la durée du parcours.

1  Les variables étudiées sont : – (1) au péage, le coût en fonction de la distance ; – (2) au marché, le prix en fonction de la masse achetée ; – (3) pour la tente, le périmètre au sol en fonction du rayon et (4) l’aire au sol en fonction du rayon ; – (5) pour le téléchargement, le montant des frais en fonction du nombre de téléchargements ; – (6) pour la moto, la distance parcourue en fonction de la durée. 2  Les coefficients des fonctions linéaires sont : – (1) au péage, le coût en fonction de la distance : a = 0,08 ; – (3) pour le périmètre au sol de la tente demi-sphérique en fonction du rayon : a = 2π = 6,28 à 10–2 près ; – (6) pour la distance parcourue par la moto en fonction de la durée : a = 20.

IV – Méthode

V – Activité TICE

VI – Exercices

1  Représentation graphique :

Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement a. Avec f : x  5x on a f (0) = 0 ; f (0,5) = 2,5 ; f (10) = 50 ; f (– 1) = – 5. b. Avec g : x  10x on a 10x = 10 pour x = 1 ; on a 10x = 1 000 pour x = 100 ; on a 10x = 1 pour x = 0,1 et on a 10x = – 20 pour x = – 2.

2  L’énergie consommée par heure d’utilisa­ tion est : 198 000 × 10 = 1 980 000 J. 42

2 Discerner le vrai du faux Correction des propositions inexactes : b. f (3) est l’image du nombre 3 par la fonction f. c. g(5) est égal à l’image du nombre 5 par la fonction g.

Thème I Organisation et gestion de données, fonctions

d. Si h(12) = 10 alors 12 est l’antécédent du nombre 10. f. Le tableau de valeurs n’est pas celui d’une fonction car 4 a deux images. 3 Corriger les erreurs Correction des erreurs commises par les trois élèves. a. Taos fait une erreur sur le coefficient directeur de la droite : a = 0,1 ; h : t  0,1t. b. Yi propose la fonction : f : x  0,75x où x représente la mesure de l’aire à peindre et f(x) le volume de peinture nécessaire.

c. Meï entoure les formules correspondant aux fonctions linéaires : f(x) =

3 x 2

g(x) = 3,17x

u(t) = 10t

h(x) = 0,12x

v(t) = 0,5t2

4 Distinguer antécédent et image a. Les égalités sont g(5) = 12 ; g(20) = 48. b. Les phrases sont : – l’image de 3 par la fonction h est 12 ; – l’image de 100 par la fonction f est – 0,1. c. Les phrases sont : – un antécédent de 144 par la fonction f est 12 ; – un antécédent de 10 000 par la fonction g est 100.

8 Traduire un écoulement a. Débit D Volume V 8 L/s 800 L/min 0,02 m3/s 50 m3/h

40 L 8 000 L 0,5 m3 500 m3

Durée t 5s 10 min 25 s 10 h

b. 8 L/s = 28,8 m3/h ; 800 L/min = 48 m3/h ; 0,02 m3/s = 72 m3/h. Le débit le plus élevé est de 0,02 m3/s soit 72 m3/h. c. Première ligne f : x  28,8 x soit par jour un volume V = 28,8 × 24 = 691 m3 au m3 près. Deuxième ligne g : x  48 x soit par jour un volume V = 48 × 24 = 1 152 m3. Troisième ligne h : x  72 x soit par jour un volume V = 72 × 24 = 1 728 m3. Quatrième ligne k : x  50 x soit par jour un volume V = 50 × 24 = 1 200 m3. 9 Utiliser la notion de débit a. • Trafic autoroutier par heure : 1 125 × 4 = 4 500 véhicules/heure. • Débit d’informations par seconde : 16 = 0,8 gigaoctet/seconde. 20 • Flux des entrées par minute : 36 000 = 300 personnes/minute. 120 b.  Représentation graphique des trois fonctions linéaires : • pour un trafic autoroutier d’une durée maxi­ male d’une heure trente minutes ;

5 Exploiter les coordonnées des points a. D(4 ; 30) n’appartient pas à la représentation graphique de cette fonction car 10 × 4 ≠ 30. b. Égalités complétées : f (3) = 30 ;  f (1) = 10 ;  f (2) = 20. 6 Passer du graphique au tableau Le tableau correspondant est : x k(x)

1 2,5

2 5

3 7,5

4 10

• pour des fichiers ayant un maximum de 80 gigaoctets ;

Appliquer le cours 7 Traduire par une fonction On peut traduire par une fonction linéaire le calcul de la masse d’une corde en fonction de sa longueur. La variable utilisée est la longueur L et la fonction est f : L  0,150L. Chapitre 8 I Fonctions linéaires

43

• pour un stade contenant au maximum 90 000 personnes.

13 Loi d’Ohm (Maths et Physique) a. Le tableau :

b. Représentation graphique des mesures : 10 Vérifier la présence d’un point sur une droite a. Les points A(1 ; – 5), C (– 3 ; 15) et D(0,5 ; – 2,5) appartiennent à la droite D¢ représentant la fonction g définie par g(x) = – 5 x. b. Les points suivants E (1 ; 90), F (0,5 ; 45), G (1,5 ; 135) et H (3 ; 270) sont sur la droite représentative de la fonction définie par h(t) = 90 t. 11 Comprendre un programme ALGO a. Le but recherché par ce programme est de déterminer si un point dont on connaît les coordonnées est sur la droite représentative de la fonction f : x  10,5 x. b. L’algorithme : Variable a, b : nombres Saisir a Saisir b Si b = 10,5 × a Alors afficher « le point est sur la droite » Sinon afficher « le point n’est pas sur la droite » Fin Si 

c. Le point de coordonnées (3 ; 31,5) est sur la droite ainsi que l’origine (0 ; 0) mais le point de coordonnées (3 ; 31,6) n’est pas sur la droite.

QCM pour faire le point 1 : B ; 2 : A et C ; 3 : B et C ; 4 : A et C ; 5 : A et C ; 6 ; A et B ; 7 : C ; 8 : A ; 9 : B ; 10 : B.

Problèmes 12 Grossissement d’une loupe a. Le grossissement de cette loupe est de 5. b. La fonction est f : x  5 x. c. La hauteur du champignon vu à la loupe est f (2,5) = 12,5 soit 1,25 cm. d. La longueur réelle de l’araignée est telle que 5 x = 1,50 soit x = 0,3 cm. 44

c. La fonction est telle que f (I) = 4,7 I. d. Cette fonction est linéaire. La résistance R (en ohm) du conducteur ohmique est R = 4,7 Ω (ohm). La formule est : U = 4,7 I. 14 Verres de même capacité a. La capacité de ces deux verres est de 26 cL. b. Lorsque les deux verres sont pleins, la hauteur du liquide est de 10 cm. c. Le volume d’un cylindre est proportionnel à sa hauteur x, donc le verre cylindrique correspond à la représentation graphique de la fonction f ; le verre conique correspond à celle de g. d. f (5) ≈ 13 et g(5) ≈ 3,5. Ces deux images représentent le volume de liquide, en cL, contenu respectivement dans le verre cylindrique et le verre conique à mi-hauteur. e. L’antécédent de 13 par f est 5 ; celui de 13 par g est 7,75. Ces deux antécédents représentent respectivement la hauteur du liquide dans le verre cylindrique et le verre conique lorsqu’ils contiennent la moitié de leur capacité. f. L’expression algébrique de la fonction f est telle que f (x) = 2,6x. 15 Trek en Guyane a. Durée de cette marche : 10 h. b. Distance parcourue : 40 km. La vitesse d 40 moyenne du parcours est v = = = 4 km/h. t 10

Thème I Organisation et gestion de données, fonctions

c. [OD] et [DE] correspondent à une fonction linéaire. Le coefficient directeur est : a = 4. Il correspond à la vitesse moyenne sur ces deux parties du parcours ; celle-ci est en km/h. d. – Pour [BC], vmoy = 0 km/h : d – pour [CD], vmoy = = 6 km/h. t e. Moyenne des vitesses : 4+0+6+4 v= = 3,5 km/h. 4 Elle n’est pas égale à la vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours. 16 Téléchargements a. Ce sont Élisa et Esther qui téléchargent le plus d’informations (280 Mbits). Le téléchargement qui a duré le plus longtemps est celui d’Esther (40 s) ; le moins longtemps, celui d’Érin (15 s). b. Le débit de transmission s’exprime en Mbit/s. La fonction linéaire f correspondant au plus grand débit de transmission (Élisa) est f : x  14 x. c. En 12 secondes Élisa télécharge : f (12) = 14 × 12 = 168 Mbits. d.  Un téléchargement de 220 mégabits s’effectuera au dixième près en : 220 = 15,7 s. 14 17 Panneaux photovoltaïques (Maths et Physique) a. La variable commune est la tension U. L’intensité et la puissance du panneau photovoltaïque sont représentées en fonction de la tension. b.  La puissance d’un panneau n’est pas proportionnelle à la tension qu’il délivre car les points du graphique ② ne sont pas alignés avec l’origine du repère. c. Sur le graphique ① on a : – tension maximale = 25 V ; – intensité maximale = 1 A. d. Puissance maximale : 11 W pour U = 15 V. e. Intensité de courant : I = 0,75 A pour U = 15 V. Le produit U × I = 15 × 0,75 = 11,25. La puissance maximale de 11 W lue sur le graphique ② approche ce produit à l’unité près.

Vers le Brevet 18 Soldes a. Le coefficient est : a = 1 – 0,25 = 0,75. b. La fonction linéaire est f : x  0,75 x. c. Représentation graphique :

d. Tableau complété : Prix avant Prix après réduction (€) réduction (€) Tee-shirt Mango 24 18 Chemise Alpilles 32 24 Bermuda Trek 64 48 Pantalon Sportfull 88 66 Blouson Hunting 104 78 Article

19 Tests de sélection a. Ces courbes représentent la puissance développée en fonction de la durée de l’effort. b. La puissance maximale enregistrée est de 600 W ; la durée pour atteindre cette puissance maximale est de 10 s. c. L’enregistrement de Théo correspond à une fonction linéaire car c’est une droite passant par l’origine du repère. Le coefficient est : 600 = 60. a= 10 d. Théo développe 60 W/s.

Chapitre 8 I Fonctions linéaires

45

9

Fonctions affines I – Prendre son élan …

• La fonction est f : x  20 x + 100. • Représentation graphique de la fonction f :

1 Calculer mentalement (F = Faux ; V = Vrai) • 4 + 4 × 4 = 32 > F • 4 × 4 + 4 = 20 > V • 5 + 2 × 100 = 205 > V • 10 × 3 + 10 = 130 > F 2 QCM 1:B;2:C;3:C;4:B;5:C;6:A;7:C; 8 : B et C ; 9 : B et C. 3 Chercher l’intrus La fonction qui ne se présente pas sous le même format que les autres est : u(t) = 5 t2 + 2. 4 Changer de représentation a. Tableau de valeurs de la fonction f : x f (x)

–1 4

0 2

1 0

2 –2

b. Cette fonction est définie par : f (x) = – 2 x + 2.

II – Page d’ouverture 1  Prix payé : – pour 20 photos : 0,10 × 20 + 5 = 7 € ; – pour 100 photos : 0,10 × 100 + 5 = 15 €. 2 7 ≠ 15 : le montant du règlement n’est 20 100 pas proportionnel au nombre de photos commandées. 3  Le montant du règlement en fonction du nombre x de photos commandées : 0,10x + 5.

III – Activités Activité 1 • Elle dispose au bout de trois mois de : 100 + 20 × 3 = 160 €. • Tableau de valeurs : Durée (mois) 0 1 2 3 4 5 6 Montant (€) 100 120 140 160 180 200 220 Durée (mois) 7 8 9 10 11 12 Montant (€) 240 260 280 300 320 340

1  La fonction étudiée dans cette activité est de type affine : a = 20 et b = 100. 2  Les points obtenus sont alignés.

Activité 2 Tableau des valeurs : En passant… de A à B de A à C Accroissement t – t = 2 – 1 = 1 tC – tA = 3 – 1 = 2 de la durée (s) B A Accroissement v – v = 24 – 22 vC – vA = 26 – 22 de la vitesse B A =2 =4 (m/s) En passant… de B à E de M à E Accroissement t – t = 5 – 2 = 3 tE – tM = 5 – 0 = 5 de la durée (s) E B Accroissement v – v = 30 – 24 vE – vM = 30 – 20 de la vitesse E B =6 = 10 (m/s)

Rapports des accroissements : vB – vA v –v v –v v –v = 2 ; C A = 2 ; E B = 2 ; E M = 2. tB – tA tC – tA tE – tB tE – tM 1  Vitesse au début de l’enregistrement : 20 m/s. 2  Les points sont alignés entre eux mais pas avec l’origine du repère : la représentation graphique de la vitesse en fonction de la durée ne correspond pas à une situation de proportionnalité. Chapitre 9 I Fonctions affines

47

3  Le tableau des accroissements correspond à une situation de proportionnalité. Le coefficient est de 2. On peut écrire : vB – vA vC – vA vE – vB vE – vM = = = = 2. tB – tA tC – tA tE – tB tE – tM 4  a = 2 et b = 20.

Activité 3 a. Le volume d’eau dans l’aquarium au bout de 200 s est de : 200 + 0,5 × 200 = 300 L. b. La fonction affine est f : x  0,5 x + 200. Deux points suffisent pour représenter cette fonction.

c. Nature de la manipulation

Volume présent au départ (L)

Débit (L/s)

Fonction

Remplissage

200

0,5

f (x) = 0,5 x + 200

A(0 ; 200) et B(200 ; 300)

Remplissage

200

1

g(x) = x + 200

A(0 ; 200) et C(200 ; 400)

Remplissage

0

0,5

h(x) = 0,5 x

O(0 ; 0) et F(400 ; 200)

200

0

k(x) = 200

A(0 ; 200) et G(200 ; 200)

Pompe en arrêt

Points de la représentation graphique

d. Représentant graphique des 3 autres fonctions :

e. Les trois autres équations sont : – pour g on a y = x + 200 ; – pour h on a y = 0,5 x ; – pour k on a y = 200. 1  a indique la direction de la droite et se nomme « coefficient directeur ». b indique l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées et se nomme « ordonnée à l’origine ». Exemple, pour f on note : a = 0,5 et b = 200. 2  Une fonction affine représentée par une droite dont l’ordonnée à l’origine est nulle est une fonction linéaire. Lorsque le coefficient directeur est nul, on a une fonction constante. 3  Les droites de même coefficient directeur sont des droites parallèles. 48

Thème I Organisation et gestion de données, fonctions

IV – Méthode



• Calcul du coefficient directeur a h(2) – h(0) 5 + 1 = =3 a= 2–0 2 • Calcul de l’ordonnée à l’origine b On a h(0) = – 1 or h(0) = 3 × 0 + b donc – 1 = b. L’expression algébrique de la fonction h est donc : h(x) = 3 x – 1. • Représentation graphique de h

2 Discerner le vrai du faux Correction des propositions inexactes : a.  Les représentations graphiques des fonctions affines ne passent pas par l’origine du repère sauf celles des fonctions linéaires (b = 0). c. Pour une fonction définie par f (x) = 2 x + 5, l’ordonnée à l’origine est 5 et le coefficient directeur est 2. d. Pour la fonction g : x  2 x + 4, g(x) et x ne sont pas des grandeurs proportionnelles (ce sont les accroissements de g(x) et x qui sont des grandeurs proportionnelles). 3 Corriger les erreurs a. Tonio : f (x) = 3x g(x) = 0,5 + 2x u(t) = 5t

v(t) =

h(x) = 2x + 0,5

3 2 t +4 2

w(t) =

6t + 9 2

b. Rachida :

V – Activité TICE 1  Pour les points M(1 ; 2), N(3 ; 3) et P(9 ; 6) le programme affiche « Les 3 points sont alignés » et pour les points M(1 ; 2), N(3 ; 3) et P¢(9 ; 6,1) l’affichage est « Les 3 points ne sont pas alignés ». 2  Ces trois points sont sur une droite parallèle à l’axe des ordonnées. L’affichage des coefficients est : « infinity » car leur dénominateur est nul.

Cette fonction est affine car il y a un coefficient de proportionnalité entre les accroissements de x et de f(x) : a = 100

c. Youri : x

1 2 3 4 f (x) 200 300 400 500 f (4) – f (2) 3 – 2 1 a= = = = 0,5 4–2 4–2 2

3  En fin de programme, il faut ajouter la condition :

4 Distinguer antécédent et image a. g(100) = 101 ; g(2) = 3. b. L’image de 2 par la fonction h est 15 ; l’image de 10 par la fonction f est – 0,2. c. L’antécédent de 9 par la fonction f est 10 ; l’antécédent de 10 par la fonction g est 1 000.

VI – Exercices

5 Exploiter les coordonnées des points a. Le point D(5 ; 12) n’appartient pas à la représentation graphique de la fonction car f (5) = 13. b. f (3) = 9 ;  f (– 2) = – 1 ;  f (5) = 13.

Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement a. f (10) = 1 010 ; f (– 10) = – 990 ; f (5) = 510 ; f (5,5) = 560. b. g(100) = 11 ; g(– 1 000) = 0 ; g(50) = 10,5 ; g(1) = 10,01.

6 Passer du graphique au tableau Tableau complété : x f (x) 0 2 4 6

2 8 14 20

Chapitre 9 I Fonctions affines

49

Appliquer le cours 7 Calculer des accroissements a. L’accroissement de température est : Dq = 40 – 25 = 15 °C. b. L’accroissement de la durée de chauffe est : D t = 5 – 2 = 3 min. Dq 15 = = 5 °C/min ; c. – Le quotient est : D t 3 – la température augmente de 5 °C par minute de chauffe. 8 Vérifier un alignement f (x ) – f (x ) 8 – 1 f (x ) – f (x ) 36 – 8 a. xA – x B = = 7 ; xC – x A = =7 1 – 0 5–1 A B C A donc les points A, B et C sont alignés. f (x) g(x)

40 35 30 25 20 15 A(1 ; 8) 10 5 B(0 ; 1) 0 1

C(5 ; 36)

f g

2

3

4

5

11 Interpréter une représentation graphique Par lecture graphique, on obtient : y

1 0

Coefficient directeur a = 1,5

1

x

1

Ordonnée à l’origine b = – 0,5

d1

12 Résoudre graphiquement a. Pour x = 6 on obtient la même image avec les fonctions f et g : on a f (6) = g(6). b. La solution de l’équation 0,5 x + 2 = x –  1 correspond à l’abscisse x = 6 du point d’inter­ section des deux droites. c. g(x) . f (x) lorsque x . 6. 13 Représenter graphiquement par translation En réalisant une translation de deux unités vers le haut, on obtient la représentation graphique de la fonction affine x  0,4 x + 2.

6 x

b. Les points A, B et C n’appartiennent pas obligatoirement à la représentation graphique d’une fonction affine. Par exemple, ils peuvent se trouver sur la courbe représentative de la fonction g. 9 Passer d’un tableau à l’algèbre a. Accroissements des antécédents : D x = 1 – 0 = 1 et D¢x = 5 – 1 = 4. b. Accroissements des images : D h(x) = 4 – 3,5 = 0,5 et D¢ h(x) = 6 – 4 = 2. h(1) – h(0) 4 – 3,5 = = 0,5 ; c. 1–0 1–0 h(5) – h(1) 6 – 4 = = 0,5 5–1 4 donc les accroissements sont proportionnels. d. L’expression algébrique de cette fonction est telle que h(x) = 0,5 x + b avec b = h(0) = 3,5 on a h(x) = 0,5 x + 3,5. 10 Passer du graphique à l’algèbre a. L’ordonnée à l’origine est : b = 3. b. La valeur du coefficient directeur est : 9–3 = 2. a= 3–0 c. L’expression algébrique de cette fonction est : f : x  2 x + 3. 50

QCM pour faire le point 1 : A, B et C ; 2 : A, B et C ; 3 : C ; 4 : B et C ; 5 : B et C ; 6 : B.

Problèmes 14 Frais publicitaires a. Montant des frais : – avec Pub 2020 : 2,50 × 50 + 506 = 631 € ; – avec Zoom 64 : 3 × 50 + 403 = 553 €. b. • Pub 2020 on a f : x  2,50 x + 506 ; • Zoom 64 on a g : x  3 x + 403. c. Tableau : x f (x) g (x) f (x) – g (x)

Thème I Organisation et gestion de données, fonctions

0 506 403 103

20 556 463 93

40 606 523 83

60 656 583 73

80 706 643 63

100 756 703 53

x f (x) g (x) f (x) – g (x)

120 806 763 43

140 856 823 33

160 906 883 23

180 200 220 956 1006 1056 943 1003 1063 13 3 –7

Pour un nombre d’affiches compris entre 200 et 220 les coûts publicitaires sont égaux. d. Avec un pas de 2 on obtient : x 200 202 204 206 208 210 f (x) 1 006 1 011 1 016 1 021 1 026 1 031 g (x) 1 003 1 009 1 015 1 021 1 027 1 033 f (x) – g (x) 3 2 1 0 –1 –2

f (x) = g(x) pour x = 206 ; les deux montants sont égaux pour une commande de 206 affiches. 15 Valeur acquise (Maths et Commerce) 0,2 × 3 = 12 €. a. I = 2 000 × 100 0,2 × n = 4 n. b. I = 2 000 × 100 c. Représentation graphique de la fonction f : n  4 n + 2 000 :

d. Au bout de 10 mois, Abdenour disposera de 2 040 €. C’est vérifié par : f (10) = 4 × 10 + 2 000 = 2 040 €.

Vers le Brevet 16 Suivi d’un médicament (Maths et Médecine) a.  La diminution de la concentration est régulière dans la durée (1 mg/L toutes les 2 h). C’est une fonction affine. b. L’ordonnée à l’origine est 6 et le coefficient directeur est – 0,5. L’ordonnée à l’origine est la concentration massique du médicament dans le sang après l’injection. Le coefficient directeur représente la diminution de la concentration massique du médicament dans le sang durant une heure (a = – 0,5 mg/L/h). c. Au bout de 12 h le médicament n’est plus présent dans le sang (f (12) = 0). d. Pour maintenir le malade en bonne santé (C  . 2 mg/L), on doit faire une seconde injection au bout de 8 heures. 17 Pression dans l’eau (Maths et Physique) a. La pression dans l’eau augmente avec la profondeur. b. La pression n’est pas proportionnelle à la profondeur car les points ne sont pas alignés avec l’origine du repère. c.  L’ordonnée à l’origine de la droite correspond à une pression de 1 bar. C’est la pression de surface. 3–1 Le coefficient directeur est : = 0,1 soit 20 – 0 une augmentation de pression de 0,1 bar par mètre. d. La fonction f : h  0,1h + 1 associe la profondeur à la pression dans l’eau. f (50) = 6 ; la pression à 50 m de profondeur est de 6 bars.

Chapitre 9 I Fonctions affines

51

10

Grandeurs et mesures

I – Prendre son élan …

Activité 2 a. Volume de la barre : V = 25 × 6 × 2 = 300 cm3. b. Masse volumique du métal : m 5 790 = = 19,3 g/cm3 soit 19 300 kg/m3. V 300

1 Calculer mentalement a. 30 cm = 0,30 m ; 0,3 km = 300 m ; 5 000 mm = 5 m. b. 200 dm2 = 2 m2 ; 2 dam2 = 200 m2 ; 2 000 mm2 = 0,002 m2. c. 4 000 mm3 = 4 cm3 ; 0,004 m3 = 4 000 cm3 ; 0,4 dm3 = 400 cm3.

1  Le volume de la barre est une « grandeur produit » car on multiplie trois dimensions.

2 QCM 1 : C ; 2 : B ; 3 : C ; 4 : A, B et C ; 5 : B ; 6 : C ; 7 : B et C ; 8 : C.

2  La masse volumique du métal est une « grandeur quotient » car on divise la masse par le volume.

3 Chercher l’intrus La formule ne pouvant pas correspondre au volume d’un solide est : 4 π a b.

3  Cette barre est en or.

Activité 3

II – Page d’ouverture

a. Valeur de la consommation : 19 108 – 17 811 = 1 297. Ces trois grandeurs sont exprimées en kWh. b. La formule est : E = P × t. c. Dans la case A, le prix unitaire, en euro, d’un kWh est : 114,53 = 0,088 3. 1 297 Dans la case B l’unité est €/kWh.

Lors d’une réduction au 2/100, le calculateur divise par 50 les dimensions de l’objet réel.

1  La lettre k est le symbole du préfixe kilo.

III – Activités

2  La formule permettant de calculer S est : S = UI.

4 Associer le solide à son volume Formules possibles : V = a3 pour le cube ① ; V = 6 a3 pour le pavé ② ; V = π a3 pour le cylindre ③ ; V = 2 a3 pour le pavé ④.

Activité 1 a. – Hauteur du cylindre : 2R =10 cm ; 10 – hauteur h de liquide : h = cm. 3 b. – Volume du cylindre : V = π × R2 × 3h = π × 52 × 10 = 785 cm3 au cm3 près ; – volume de liquide : V VLiquide = = 262 cm3 au cm3 près. 3 1  VBoule = V – VLiquide = 785 – 262 = 523 cm3. 2  VCalcul = 4 × π × R3 = 4 × π × 53 = 524 cm3. 3 3 On obtient, au cm3 près, le même résultat.

Activité 4 a. P = 4 a et P¢ = 12 a. Pour obtenir P¢ on a multiplié P par 3. b. ! = a2 et !¢ = 9a2. Pour obtenir !¢ on a multiplié ! par 9 = 32. c. V = a3 et V¢ = 27a3. d. Pour obtenir V¢ on a multiplié V par 27 soit par 33.  Lorsqu’on agrandit un cube en multipliant son arête par le nombre k, le périmètre d’une face est multiplié par k ; l’aire d’une face est multipliée par k2 ; le volume du cube est multiplié par k3 ; la mesure d’un angle est inchangée. Chapitre 10 I Grandeurs et mesures

53

IV – Méthode

Q Durée du téléchargement : avec D = on a t Q 45 000 t= = = 900 s soit 15 min. D 50

V – Exercices Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement • Périmètre du triangle : 13 cm. • Aire du rectangle : 100 m2. • Volume du cube : 1 000 cm3. • Vitesse moyenne : 5 km/h. • Débit : 3 m3/s. • Masse volumique : 0,5 g/cm3. • Longueur de l’insecte : 24 mm. • Dimensions de la pièce au dixième : 4 dm × 5 dm. • Le volume d’un cube est multiplié par 27. 2 Discerner le vrai du faux Corrections des propositions inexactes : a. On va à la même vitesse à 36 km/h et à 10 m/s. b. Les unités de volume sont toujours écrites avec l’exposant 3 (sauf lorsqu’elles sont en litres). d. Dans la reproduction d’une figure au 1/20, les aires des surfaces sont divisées par 202 = 400. e. Avec un agrandissement de coefficient 3, les mesures des angles sont inchangées. 3 Corriger les erreurs a. Maya Si le volume d’une pièce de 64 m3 est représenté à l’aide d’une maquette de volume 1 m3 alors les mesures des longueurs de la pièce sont divisées par 4 car 43 = 64.

b. Slatan En parcourant 100 m en 10 s, un sprinter court à une vitesse moyenne de 36 km/h parce qu’en 3 600 s, il parcourt 100 × 360 = 36 000 m soit 36 km.

c. Yohann Si 3 L de liquide pèsent 2,7 kg alors la masse volumique en g/cm3 de ce liquide est 2 700 = 0,9 g/cm3. 3 000

54

Thème I Grandeurs et mesures

4 Convertir a. 1 h 15 min = 75 min 2 h 20 min = 140 min b. 254 dm2 = 2,54 m2 c. 64 000 cm2 = 6,4 m2 d. 65 dm3 = 65 L e. 4 m3 = 4 000 L

2 h 45 min = 2,75 h 5 h 30 min = 5, 5 h 3,7 km2 = 3,7 × 106 m2 50 dam2 = 5 000 m2 27,2 dm3 = 27 200 cm3 125 cm3 = 0,125 L

5 Agrandir une boule • Le rayon de la boule est multiplié par 3. • Le volume de la boule est multiplié par 27. 6 Réduire un pavé • Chaque dimension du pavé droit est multipliée par 0,5. • Le périmètre de la face avant est multiplié 1 par = 0,5. 2 • L’aire de la face avant est multipliée par 1 = 0,25. 4 1 • Le volume du pavé est multiplié par = 0,125. 8

Appliquer le cours 7 Calculer l’aire d’une sphère (! = 4 p R2) a. Ordre de grandeur de l’aire de la sphère : 4 × 3 × 102 = 1 200 cm2. b. La valeur exacte est donnée par Rita ; une valeur arrondie au mm2 est donnée par Maeva ; un ordre de grandeur est donné par Meï ; la valeur erronée est donnée par Zora. 8 Reconnaître les grandeurs a. Débit en L/s. b. Aire d’un rectangle en m2. c. Vitesse moyenne en km/h. d. Énergie en Wh. e. Prix unitaire en €/kg. f. Volume d’un pavé droit en mm3. g. Masse volumique en g/cm3. h. Consommation en L/km. 9 Convertir des grandeurs quotients a. • 2 m/s = 120 m/min • 1,2 L/min = 0,02 L/s • 0,045 hab/m2 = 45 000 hab/km2 • 820 €/tonne = 0,82 €/kg b. • 10 m/s = 36 km/h • 240 m3/h = 4 000 L/min • 90 km/h = 25 m/s • 8,3 g/cm3 = 8 300 kg/m3

10 Calculer la concentration d’une boisson 6 = 8 morceaux de sucre a. Concentration : 0,75 par litre. b. Concentration massique : 8 × 6,2 = 49,6 g/L.

QCM pour faire le point 1 : C ; 2 : A ; 3 : A ; 4 : A ; 5 : A et C ; 6 : C.

Problèmes 11 Glycémie (Maths et Chimie) a. Masse de glucose : 4,8 × 0,85 = 4,08 g. 0,85 = 4,72 × 10–3 mol. b. Nombre de moles : 4,08 c. Soit en millimoles par litre : 4,72 millimoles par litre. 12 Hématogramme (Maths et SVT) a. – Hématies : 5 millions/mm3 = 5 × 106 hématies/mm3 – Hémoglobine : 15,20 g/100 mL = 1,520 × 101 g/100 mL – Leucocytes : 5 mille/mm3 = 5 × 103 leucocytes/mm3 – Plaquettes : 0,15 million/mm3 = 1,5 × 105 plaquettes/ mm3 b. Nombre d’hématies : 5 × 106 × 106 × 5,6 = 2,8 × 1013. c. Concentration massique d’hémoglobine : 1,520 × 10 × 10 = 1,52 × 102 g/L ; la masse d’hémoglobine dans le sang est : 1,52 × 102 × 5,6 ≈ 851 g. d. Proportion des leucocytes par rapport aux 5 × 103 1 hématies : = soit 1 leucocyte pour 5 × 106 103 1 000 hématies. e.  Avec 0,15 million/mm3, les plaquettes n’entrent pas dans la fourchette des valeurs de référence. 13 Running Coureurs Dary El Doghe Borde Koudja Depta Dolté Palut Rigot

Durée (h et min) 50 min 52 min 55 min 1h 1 h 05 min 1 h 10 min 1 h 15 min 1 h 20 min

Durée (h) 0,83 0,87 0,92 1 1,08 1,17 1,25 1,33

Vitesse (km/h) 14,46 13,79 13,04 12,00 11,11 10,26 9,60 9,02

14 Vitesse et Énergie cinétique a. Vitesse du scooter : 2 x 15 750 = 15 m/s. v= 140 b. Vitesse en km/h : v = 54 km/h. c. Si l’énergie cinétique est multipliée par 2, la vitesse est multipliée par 2. d. La vitesse et l’énergie cinétique ne sont pas des grandeurs proportionnelles. 15 Satellite géostationnaire a. Durée mise par ce signal : 36 000 = 0,12 s soit 120 ms. 300 000 b. Distance Paris-satellite : 300 000 × 0,128 = 38 400 km. c. Distance satellite-Lune : 300 000 × 1,147 = 344 100 km. Distance Terre-Lune : 344 100 + 38 400 = 382 500 km soit 380 000 km arrondie à 104 km. 16 Analyse d’une facture d’eau a. Volume d’eau consommé : V = 26 000 L. b. Unités des grandeurs : Quantité en m3 ; Prix unitaire HT en €/m3 ; Montant HT en € ; TVA montant en € ; TOTAL TTC en €. HT : Hors Taxe ; TVA : Taxe sur la Valeur Ajoutée ; TTC : Toutes Taxes Comprises. c. Total abonnement (eau et assainissement) : 7,60 + 25,54 = 33,14 €. d. Montant total TTC de la consommation : 15,09 + 27,17 + 13,87 + 17,55 = 73,68 € e. Coût TTC d’un litre d’eau hors abonnement : 73,68 = 0,002 8 €/L. 26 000 Coût TTC d’un litre d’eau avec l’abonnement et la consommation : 106,82 = 0,004 1 €/L. 26 000

Vers le Brevet 17 Céramique d’art a. Diamètres des trois saladiers arrondis au mm : • DB = 16,0 × 1,2 = 19,2 cm ; • DC = 19,2 × 1,2 = 23,0 cm ; • DD = 23,0 × 1,2 = 27,6 cm. Chapitre 10 I Grandeurs et mesures

55

4 4 × π × R3 = 0,5 × × π × 83 3 3 = 1 072 cm3 soit au cL près 1,07 L. La valeur annoncée est bien vérifiée. c. VB = VA × 1,23 = 1,85 L VC = VB × 1,23 = 3,20 L VD = VC × 1,23 = 5,53 L (résultats arrondis à la dizaine de cm3 donc à 0,01 L). d. Pour contenir un volume de pâte à crêpe de 2,5 L, on peut utiliser un saladier C ou D dont les volumes sont supérieurs à 2,5 L. b. VA = 0,5 ×

56

Thème I Grandeurs et mesures

18 Aérogénérateur a. Fréquence de rotation : 60 = 18 tours/min. 12 × 40 b. En tours par seconde, on a : 18 = 0,3 tour/s. 60 c. Distance parcourue par le point en un tour : 2 × π × 15 = 94,25 m. d. Vitesse de ce point : 94,25 × 0,3 = 28,3 m/s soit environ 102 km/h.

11

Transformations du plan

I – Prendre son élan …

2  Les quadrilatères AA¢B¢B, AA¢D¢D, AA¢E¢E sont des parallélogrammes.

1 Calculer mentalement 240 ; 90 ; 4 050 ; 135.

Activité 2

2 QCM 1 : C ; 2 : B et C ; 3 : A ; 4 : A et C ; 5 : A et C ; 6 : B ; 7 : B ; 8 : C

a. b. Dessin

C

3 Analyser une figure Figure 1 a. Une symétrie dont le centre est le centre du carré. b. Une rotation d’un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et de centre le centre du carré. Figure 2 a. Une symétrie d’axe vertical. b. Une symétrie centrale de centre celui du carré.

II – Page d’ouverture On passe du lézard ① : – aux lézards ③ et ⑤ par des déplacements appelés « translations » ; – au lézard ② par une rotation ; – au lézard ④ par une rotation.

III – Activités Activité 1

C≤

A≤

B

A

J I A¢

B¢

C¢

c. AB = A¢B¢ = A≤B≤ = 1,5 cm ; AC = A¢C¢ = A≤C≤= 2,5 cm ; BC = B¢C¢ = B≤C≤ = 2,9 cm. % % % Et ABC = A¢B¢C¢ = A≤B≤C≤ = 59°.  On passe directement du triangle ABC au triangle A≤B≤C≤ par une translation : – d’une distance 2 × IJ ; – de direction (IJ) ; – de sens : de I vers J.

Activité 3

a. b. c. Dessin

a. b. c. Dessin

A1

B1

A¢ C¢ B¢

A C B F

B≤

F¢

D1 E

D¢ E¢

A2

B

D2 E1 O

D B2

D E3

A

E2 D3

E

1  Les segments fléchéssont de même longueur, sont parallèles et ont le même sens.

d. AB = A1B1 = A2B2 = A3B3. % % % Et OAB = OA1B1 = OA2B2.

A3

B3

Chapitre 11 I Transformations du plan

57

1  Lors d’une rotation, l’image d’un segment est un segment de même longueur ; celle d’un angle est un angle de même mesure ; celle d’un triangle est un triangle de même forme ; celle d’un disque est un disque de même rayon. 2  Les points O, D et A sont alignés. Les points O, D1 et A1 obtenus lors de la première rotation sont également alignés.

Activité 4 Figures de gauche A¢B¢ = AB/3 ; B¢C¢ = BC/3 ; etc. % % et ABC = A¢B¢C¢ etc. Figures de droite M¢N¢ = MN/2 ; etc. R¢ = R/2 % % et M¢P¢N¢ = MPN etc.  Le dessinateur a : – aligné les points I, A et A¢ ; I, B et B¢ ; etc. – respecté les angles ; – appliqué un coefficient (1/3, 1/2) pour les longueurs.

IV – Méthode



AB = 4 carreaux A¢B¢ = 6 carreaux donc k = 6/4 = 1,5. (¢ ) B¢

VI – Exercices Répondre à l’oral 1 Observer a. Le symétrique du triangle jaune par rapport à la droite (d) est le triangle gris. b. Celui du triangle bleu par rapport à la droite (d) est le triangle rose. c. Celui du triangle jaune par rapport au centre O est le triangle orange. 2 Discerner le vrai du faux • La symétrie conserve les longueurs, les angles, ainsi que les aires des surfaces. • Une rotation de 180° correspond à un demitour. • L’image d’un segment par une rotation est un segment de même longueur mais qui n’a pas nécessairement la même direction. 1 • Pour une homothétie de rapport –  , les 2 1 longueurs sont multipliées par . 2 3 Corriger les erreurs a. Théa Elle a appliqué une symétrie centrale et non une symétrie par rapport à la droite (d). b. Roger Il a appliqué un sens positif à la rotation. 4 Réaliser une translation La voiture ③.

() B

A¢ A

5 Trouver les axes de symétrie a. Les lettres E, H et M possèdent au moins un axe de symétrie. b. La lettre H possède deux axes de symétrie.

I

V – Activité TICE

6 Reconnaître un centre de symétrie Les drapeaux du Languedoc et du Pays Basque possèdent un centre de symétrie.

1  Construire un triangle rectangle : placer un point A, un segment [AB], la droite % perpendiculaire à [AB] en B, un angle ABC de 15° : on obtient ainsi un triangle ABC.

7 Trouver le rapport a. Rapport d’homothétie : 1,5. b. Rapport d’homothétie : – 0,5.

2  Rotations successives du triangle ABC : d’angle 30°, sens anti-horaire par exemple, de centre A ; puis de 60°…, 330°.

8 Reconnaître la transformation • 1, 2 et 4 : rotation ; • 3 : translation.

58

Thème I Espace et géométrie

14 Dessiner un homothétique

Appliquer le cours 9 Réaliser une symétrie axiale (d)

1

2

k =1 1 2

2

A¢

A¢

k=2

(d) A

A

15 Compléter une image 1

2

10 Réaliser une symétrie centrale 1

16 Découvrir l’angle de rotation

2

O

O

1

A¢

2

60°

O O

A

(d)

Sens négatif

Sens positif

18 Trouver le centre d’homothétie

E

1

D

A

A¢

17 Trouver le rapport d’homothétie a. Rapports : 2 et – 0,5. b. La recherche du centre d’homothétie n’est pas utile pour trouver k : il suffit de comparer deux longueurs correspondantes, sur la figure initiale et sur son image.

12 Construire une translation a. b. F

120°

A

11 Trouver l’axe de symétrie

2

I

C

3

I

I

QCM pour faire le point

B

1 : A et B ; 2 : A ; 3 : A ; 4 : A et C ; 5 : A et C ; 6 : C

Problèmes

13 Trouver le centre de rotation a. b.

19 Dessins de frises a. Les motifs de base : (d)

A

B 1

D¢

D

C

90°

C¢ I

Centre de rotation

A¢

B¢

2

O

b. La recherche du centre d’homothétie est utile pour déterminer le signe de k. L’observation de l’orientation des figures permet de déterminer le signe de k sans forcément rechercher le centre d’homothétie. Chapitre 11 I Transformations du plan

59

20 Marqueterie a. Les diagonales [AC] et [BD] découpent le carré en 4 triangles isocèles et rectangles  : ABO, BOC, COD et DOA. Puisque les 8 triangles numérotés ① à ⑧ sont de même forme, il faut [EG] ⊥ [AB] et [HF] ⊥ [BC]. Donc AE = EB = BF = … = HA et les huit triangles sont des triangles rectangles isocèles. b. On passe du triangle ① au triangle ⑥ : par une symétrie d’axe (HF) ; au triangle ⑤ : par une symétrie de centre O ou une rotation de centre O de 180° ; au triangle ④ : par une symétrie d’axe (BD) ; au triangle ③ : par une rotation de centre O, d’angle 90° dans le sens négatif ; au triangle ⑦ : par une rotation de centre O, d’angle 90° dans le sens positif. 21 La croix basque a. Par rotations de centre I et d’angle 90°, 180° et 270° dans le même sens. b. R2 = R1 = 1,5 cm et R3 = 2 R2 = 3 cm. c.

e. Par Pythagore dans le triangle A¢B¢C¢ : B¢C¢ = 4,962 + 4,632 ≈ 6,79 cm et BC = B¢C¢/1,40 = 4,85 cm. A¢C¢ 5,35 = ≈ 1,40 AC 3,82 L’homothétie conserve les mesures des angles et les longueurs AC et A¢C¢, par exemple, sont liées par la relation : A¢C¢ = k × AC. 23 Éclipse du Soleil sur la Lune a. A est le centre de l’homothétie car A, L et S sont alignés, ainsi que A, R et T. TS 696 000 = ≈ 400. b. k = RL 1 738 c. SA = k × LA = 400 × 375 000 = 1,5 × 108 km.

Vers le Brevet 24 Triangle en rotation a. c. C

C¢

O I

O1

O3

B¢

O2 A

B A¢

22 Logiciel de géométrie a. O, A et A¢ sont alignés. b. B¢ homothétique de B par l’homothétie de centre O est tel que O, B et B¢ sont alignés ; c’est une propriété de l’homothétie. % % c. B¢A¢C¢ = BAC = 90° car l’homothétie conserve les mesures des angles. d. k = 4,96/3,54 ≈ 1,40. AB = A¢B¢/1,40 ≈ 3,31.

60

Thème I Espace et géométrie

b. AB = 30 mm, AC = 58 mm et BC = 50 mm. % ABC = 90°. d. A¢B¢ = AB, B¢C¢ = BC, A¢C¢ = AC. La rotation conserve les longueurs. % e. A¢B¢C¢ = 90°. La rotation conserve les valeurs des angles. 25 Mosaïques hexagonales a. 60°. b. le triangle OAB est l’image du triangle OBC dans la rotation de centre O, d’angle 60° dans le sens positif. c. Le triangle OEF est l’image du triangle OBC dans la rotation de centre O, d’angle 180° ou par la symétrie de centre O.

12

Théorème de Pythagore

I – Prendre son élan … 1 Calculer mentalement a. 90° ; 52° ; 25°. b. 100 ; 64 ; 144 ; 25. 2 QCM 1 : A et C ; 2 : C ; 3 : C ; 4 : B ; 5 : B ; 6 : B ; 7 : A ; 8 : A et C. 3 Identifier les triangles AMN est un triangle isocèle et rectangle en A, NBC et DMC sont rectangles respectivement en B et en D et MNC est isocèle en C. 4 Indiquer les propriétés Les 2e et 3e propositions sont exactes. Les corrigés des propositions 1 et 4 sont % respectivement : FAR = 90° et RF . RA.

Activité 2 a. La touche de la calculatrice x2 et la touche x. b. Le tableau ci-dessus : Côté a (cm)

0,5

0,9

2

4,8

5

Aire a (cm )

0,25

0,81

4

23,04

25

Côté a (cm)

7,8

10

20

42

2

2

Aire a (cm ) 2

2

60,84 100

c. « 23,04 est le carré de 4,8, donc 4,8 est la racine carrée de 23,04. ». La longueur du côté d’un carreau carré est égale à 231,04 = 15,2 cm.

Activité 3 a. b. c. Le tableau avec les résultats. Aire du… Fig. 1

II – Page d’ouverture 1 Triangle isocèle avec 5, 5 et 2 bouts ; triangle équilatéral avec 4, 4 et 4 bouts. 2 On peut former un triangle rectangle avec : 3, 4 et 5 bouts.

III – Activités Activité 1 a. Dans chaque carré il y a 4 triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont a, b et c. b. Figure 1 : A1 = c2. Figure 2 : A2 = b2 + a2. c. Dans les deux figures, l’aire de la surface colorée en vert est égale à l’aire du grand carré diminué des aires de 4 triangles rectangles identiques. d. On en déduit que c2 = b2 + a2. Dans le triangle rectangle, les longueurs des côtés a, b et c vérifient : c2 = b2 + a2.

400 1 764

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5

carré ① a2 = 25 a2 =10 a2 =34 a2 = 16 a2 =64 carré ② b2 = 16 b2 = 9 b2 = 25 b2 = 8 b2 =25 carré ③

c2 = 9

b2 + c2

25

c2 =1 c2 =29 c2 =8 c2 = 25 10

54

16

50

1 b2 + c2 = a2 dans les figures 1, 2 et 4. 2  Dans ces cas-là, le triangle ABC est rectangle.

IV – Méthode • Triangle 1 ROC : RC = 282 + 962 = 10 000 = 100 cm. • Triangle 2 HKJ : HJ = 6,32 – 5,52 = 9,44 ; HJ = 3,07 m au cm près.

V – Activité TICE On reprend la même construction avec la droite (d) médiatrice du segment [AB]. On a au centième près MA = MB = 7,07 et (7,072 + 7,072 ≈ 100). Chapitre 12 I Théorème de Pythagore

61

VI – Exercices Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement a. 36 ; 1 ; 0,49 ; 100 ; 2 500 ; 40 000. b. 9 ; 60 ; 0,3 ; 30 ; 8 ; 0,4. 2 Discerner le vrai du faux • Un triangle isocèle peut être rectangle. • Dans un triangle MNP rectangle en M, le théorème de Pythagore s’écrit : PN2 = MP2 + MN2. 2 • Si AB = 45, alors AB = 45. • Si AB2 = 9, AC2 = 17 et BC2 = 25, alors le triangle ABC n’est pas rectangle en A. 3 Corriger les erreurs a. Birgitt 3e ligne : NM2 = 802 – 652 = 6 400 – 4 225. b. Alina 2e ligne : 222 + 182 = 484 + 324 = 808 et non 402. On a RO = 808 = 28,43 cm à 10–2 près. 4 Nommer l’hypoténuse Les triangles rectangles sont : ABC d’hypoténuse [AC] ; ACD d’hypoténuse [AD] ; ADE d’hypoténuse [AD]. 5 Calculer une longueur Longueurs cherchées : a. 10 cm ; b. 4 cm. 6 Identifier un triangle rectangle 32 + 42 = 52. Donc le triangle RMC est rectangle en M.

9 Déterminer la nature d’un triangle a. • Triangle ① Les carrés sont : 400 ; 441 et 841. • Triangle ② Les carrés sont : 51,84 ; 92,16 et 153,76. b. • Triangle ① 400 + 441 = 841 : le triangle est rectangle. • Triangle ② 51,84 + 92,16 = 144 ≠ 153,76 : le triangle n’est pas rectangle. 10 Exploiter une figure a. Dans le triangle rectangle AEF, Pythagore : EF2 = AE2 + AF2. EF2 = 22 + 52 = 29 d’où EF ≈ 5,4 m. b. Dans le triangle rectangle BFC, Pythagore : FB2 + BC2 = FC2. FB2 = 62 – 52 = 11 d’où FB ≈ 3,3 m. Et AB = AF + FB = 5 + 3,3 = 8,3 m. 11 Exploiter un quadrillage a. En utilisant le quadrillage : HI2 = 32 + 22 = 13 ; HJ2 = 62 + 42 = 52 ; IJ2 = 82 + 12 = 65. b. HI2 + HJ2 = 13 + 52 = 65 = IJ2. La réciproque du théorème de Pythagore est vérifiée, donc HIJ est bien un triangle rectangle.

QCM pour faire le point 1 : C ; 2 : B ; 3 : A ; 4 : A et C ; 5 : B et C ; 6 : B ; 7 : A ; 8 : B.

Problèmes 12 Échelle de charpentier a. Schéma de la situation.

Appliquer le cours 7 Calculer la longueur de l’hypoténuse a. L’hypoténuse est [GS]. b. Pythagore : PS2 + PG2 = GS2. c. GS2 = 562 + 332 = 4 225 d’où la longueur de l’hypoténuse : GS = 65 cm. 8 Calculer la longueur d’un côté a. L’hypoténuse est [LM]. b. Pythagore : HM2 + HL2 = LM2. c. HM2 + 82 = 172 ; HM2 = 225 d’où la longueur du côté [HM] : HM = 15 dm. 62

Thème I Espace et géométrie

b. Dans le triangle rectangle AHB, Pythagore : AB2 = HA2 + HB2. HB2 = AB2 – HA2 = 6,22 – 2,742 ≈ 30,93 d’où HB ≈ 5,56 m.

13 Installation d’une étagère a. Si l’étagère est perpendiculaire au mur, le triangle formé par l’équerre et l’étagère est un triangle rectangle. 402 = 1 600 ; 282 = 784 ; 48,82 = 2 381,44 1 600 + 784 = 2 384 différent de 2 381,44. L’étagère n’est donc pas perpendiculaire au mur. b. Carlos ne doit pas refaire la pose de l’étagère car l’écart entre les deux nombres est minime. 14 Abri agricole % a. BAC = 60° car les 3 angles d’un triangle équilatéral sont égaux à 60°. b. Dans le triangle rectangle AHC, H étant le milieu de [BC], Pythagore : h2 + HC2 = AC2. h2 = 1542 – 772 = 17 787 d’où h ≈ 133,4 cm. 15 Algorithme a. Le programme calcule les carrés de trois longueurs, ainsi que la somme des carrés des deux plus petites longueurs. b. Les valeurs placées dans a, b et c sont les longueurs des trois côtés d’un triangle, c étant celle du plus grand côté. c. « Le triangle est rectangle » et « Le triangle n’est pas rectangle ». d. Si on affecte à a, b et c les valeurs 60, 80 et 100, le programme affiche « Le triangle est rectangle ». Pour les valeurs 56, 78 et 124, il affiche « Le triangle n’est pas rectangle ».

Vers le Brevet 16 Écrans d’appareils électroniques 112 16 = car 112 × 9 = 63 × 16. a. 63 9 Il s’agit d’un format 16/9. b. La mention : « 40 pouces » concerne la diagonale du téléviseur : L = 81,32 – 48,82 ≈ 94,8 cm. Et 94,8 : 2,54 ≈ 37,3 soit une diagonale de 37,3 pouces. Il ne s’agit pas d’un 40 pouces car 37,3 , 40. c. 8 pouces = 8 × 2,54 = 20,32 cm. Pour un format 4/3, on a un triangle rectangle dont les côtés mesurent : 3n, 4n et 5n ; l’hypoténuse mesure 5n. Donc la largeur de la tablette est : 20,32 3× = 12,2 cm au mm près. 5 17 Caisse de rangement a. Dans le triangle rectangle ABC, Pythagore : AC2 = AB2 + BC2. AC2 = 422 + 422 = 3 528 d’où AC ≈ 59,4 cm. b. Dans le triangle rectangle ACG, Pythagore : AG2 = AC2 + GC2. AG2 = 59,42 + 422 ≈ 5 292 d’où AG ≈ 72,7 cm. c. Le tableau rentre verticalement dans le sens de sa longueur car 38 cm , 42 cm et 55 cm , 59,4 cm.

Chapitre 12 I Théorème de Pythagore

63

13

Rapports trigonométriques

I – Prendre son élan … 1 Calculer mentalement A = 7 ;  B = 4 ;  C = 1,5 ;  D = 20

III – Activités Activité 1 a. C

2 QCM 1 : B ; 2 : B ; 3 : A et C ; 4 : A ; 5 : C ; 6 : B ; 7 : C 3 Vrai ou Faux a. En français, « adjacent » signifie « à côté de ». b. L’hypoténuse est le nom du côté le plus long d’un triangle rectangle. d. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. e. Un triangle rectangle possède un angle droit et deux angles aigus.

Blanc

Pierre A

B

Rouge

%

b. Les murs adjacents à l’angle C sont en pierre pour l’un et de couleur blanche pour l’autre. 1 Le côté le plus long d’un triangle rectangle se nomme l’hypoténuse. %

4 Caractériser un triangle rectangle Les bonnes propositions : • Le triangle MNP est rectangle en N. MN , 1. • MP % % • M + P = 90°.

2 [AB] est le côté opposé à l’angle C.

Activité 2 a.

AB AC AC = 0,91  = 0,42  = 0,47  BC BC AB C

II – Page d’ouverture a = 25°

A

1

B

b. c. d. e. %

Angle ABC 25° 50° 65°

2 Dans cette position, les pieds de Siluyna sont à : 80 × sin30° = 40 centimètres du sol. 3 Les pieds de Jonathan sont à : 65 × sin30° = 32,5 centimètres du sol.

%

Angle ABC 25° 50° 65°

AB BC 0,91 0,64 0,42 %

sin ABC 0,42 0,77 0,90

AC BC 0,42 0,77 0,90 %

cos ABC 0,91 0,64 0,42

AC AB 0,47 1,19 2,14 %

tan ABC 0,47 1,19 2,14

f. Les valeurs de la première colonne sont égales aux valeurs du cosinus de l’angle, celles de la deuxième au sinus de l’angle et celles de la troisième à la tangente de l’angle. % AC g. La relation qui convient est sin B = . BC Chapitre 13 I Rapports trigonométriques

65

%

1 sin B = longueur du coté opposé à l’angle B longueur de l’hypoténuse %

%

2 cos B = longueur du coté adjacent à l’angle B longueur de l’hypoténuse % longueur du coté opposé à l’angle B % tan B = % longueur du coté adjacent à l’angle B %

Activité 3 a. sin a2 ≈ 0,2   b. a2 ≈ 12° SECONDE

1 CASIO : cos 0,682 EXE TI : 2nde cos 0,682 entrer SECONDE

2 CASIO : tan 2,475 EXE tan 2nde TI : 2,475 entrer

IV – Méthode 1 Pour calculer la longueur d’un côté

AB =

3,10 ≈ 3,97 m tan 38°

2 Pour calculer la mesure d’un angle % % AB 23 sin C = = = 0,821 donc C = 55,2°. AC 28

V – Exercices Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement % % sin DRM = 0,800 a. cos MDR = 0,800 % % tan DRM = 1,333 tan MDR = 0,750 % b. • B = 60°  • BJ = 12  • cos 60° = 0,500 2 Discerner le vrai du faux a. Le sinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1. b. Un angle aigu a une valeur comprise entre 0° et 90°. c. Les rapports trigonométriques ne sont valables que pour les triangles rectangles. d. Le sinus d’un angle est égal au rapport du côté opposé à l’angle à l’hypoténuse. 66

Thème I Espace et géométrie

3 Corriger les erreurs a. Ibtissam Dans le triangle NUL rectangle en N, % 3 cos U = . On ne peut cependant pas affirmer 4 que la longueur de l’hypoténuse [LU] est 4 ni que la longueur du côté [NU] est 3. C’est le rapport des deux longueurs qui est 3 égal à . 4 b. Mirska 10 GC = ≈ 23,7 cos 65° c. Dorian % OP cos P = . PR 4 Nommer les côtés % • [KF] est le côté opposé à l’angle T . % [TF] est le côté adjacent à l’angle T . [KT] est l’hypoténuse du triangle. % • [OI] est le côté opposé à l’angle K. % [KI] est le côté adjacent à l’angle K. [KO] est l’hypoténuse du triangle. % • [RC] est le côté opposé à l’angle M. % [MR] est le côté adjacent à l’angle M. [MC] est l’hypoténuse du triangle. 5 Choisir la relation % UA 8 = a. sin S = US 12 6 6 b. tan 26° = donc TA = TA tan 26° 12 12 c. cos 25° = donc MR = MR cos 25° CO d. sin 35° = donc CO = 136 × sin 35° 136 % ON 64 e. sin T = = NT 110 % IF 12 = f. cos F = PF 18

Appliquer le cours 6 Calculer la longueur d’un côté a. GC = 5,0 ; PF = 6,1 ; TU = 6,9 ; JK = 10,6 ; DS = 16,1 ; MA = 13,9 b.

8 Calculer l’angle de réorientation du chat ALGO

a. Instruction au point R : « Tourner à gauche de 90° ». % 128 % d’où ACR ≈ 53,13°. b. sin ACR = 160 c. Lors du changement de direction au point C, Basile doit saisir l’angle (180° – 53,13° = 126,87°) car avant de tourner le chat se déplace vers le haut, il doit donc tourner à gauche d’un angle équivalent à l’angle % supplémentaire de l’angle ACR. d. Programme Scratch et tracé :

  9 Cercle et triangle a. AMB est un triangle rectangle car [AB] est un diamètre du cercle et M est sur le cercle. % % % Autre analyse : B + A = 90° donc M = 90° et le triangle AMB est rectangle. b. AM ≈ 9,06 cm et BM ≈ 4,24 cm. % c. BAM = 60°. % d. ABM = 30°.

7 Calculer la mesure de l’angle a. a = 45° e. a = 77° b. a = 65° f. impossible c. a = 26° g. a = 15° d. impossible h. a = 39°

QCM pour faire le point 1 : C ; 2 : A ; 3 : A et C ; 4 : B ; 5 : A et C ; 6 : B ; 7 : A et B ; 8 : C Chapitre 13 I Rapports trigonométriques

67

Problèmes 10 La chaîne du pont-levis Longueur a. du pont et du mur 5 cm. Mur

Chaîne

Pont-levis

b.  Le triangle est rectangle isocèle, par conséquent l’angle formé par le mur et la chaîne est de 45°. 5 On a : cos 45 = longueur de la chaîne et la longueur de la chaîne est : 5 = 7,07 m au centième près. cos 45 11 Charpente métallique a. D’après le théorème des milieux, on a : AH = 1,75 m. LJ = 2 3,5 sin 40° = d’où AC ≈ 5,45 m. AC La longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. AC HJ = JC = ≈ 2,72 m 2 b. Dans le triangle HAC on a : 3,5 HC = = 4,17 m. tan 40° Longueur totale : 32 m. c. Volume de bois : V = 32 × 12 × 10–2 × 4 × 10–2 ≈ 0,154 m3. Soit une masse de : 0,154 × 450 = 69,3 kg. 12 L’aiguille du Midi % 2 800 % a. sin ACH = , ACH ≈ 30,8°. 5 467 % b. CH = CA × cos C = 5 467 × cos 30,8° = 4 696 m c. Chamonix et l’Aiguille du Midi sont espacés de : 4 696 ÷ 25 000 = 0,188 m soit 18,8 cm sur une carte au 1/25 000e. 13 Un plan incliné % 0,40 % a. tan DEM = = 0,235 donne DEM = 13,2°. 1,70 b. 13,2 , 15 donc Baptiste peut utiliser ce plan incliné. 68

Thème I Espace et géométrie

MD 40 % = sin 13,2° = 175 cm. sin DEM d. Il faut 11,30 m de métal pour fabriquer ce plan incliné. c. ME =

14 Suivre un cap a. La tangente de l’angle a formé par Belle42 Île, l’Île d’Yeu et La Baule est tan a = = 0,840 50 donne a = 40°. On a Cap = 360° – 40° = 320° ou 40° Ouest 42 b. La distance à parcourir est : = 65,34 sin 40° soit environ 65 km. c. La durée du voyage est : d 65 = = 5,85 h. v 6 × 1,852 Le voyage devrait durer environ 5 h 51min. 15 Le Stade d’Eau Vive a. Schéma de la rivière R

300 m

6m

I Schéma du tapis roulant 50 m T





V P 6m A

6 = 0,020 soit a = 1,15° ; 300 6 sin  b= = 0,120 soit b = 6,9°. 50 c. tan a = tan 1,15° = 0,020 soit une pente de la rivière de 2 % ; tan b = tan 6,9° = 0,121 soit une pente du tapis de 12 %. b. sin a =

Vers le Brevet 16 Un appentis a.

b. Voir ci-contre. c. h = 2,20 + 3 tan19° = 3,23 m. d. La hauteur des poteaux ne doit pas excéder : 3 – 3 tan19° = 1,97 m.

e. L’aire à couvrir est : 3 ) = 14,6 m2. 1,15 × (4 × cos 19° f. Il doit acheter 14,6 – 6 = 8,6 m2 de tuiles.

14

Théorème de Thalès Activité 2

I – Prendre son élan …

a. Le tableau complété :

1 Calculer mentalement x = 12 ;  x = 24 ;  x = 11 ;  x = 8. 2 QCM 1 : A ; 2 : A ; 3 : A ; 4 : A et C ; 5 : A et B ; 6 : A et C 3 S’approprier les informations Les propositions exactes sont : a., d. et f. 4 Comprendre un énoncé Le schéma ③ correspond à la description.

Longueurs des côtés du triangle ABC (au mm près) Longueurs des côtés du triangle APO (au mm près) Rapport des longueurs des côtés (arrondi au dixième)

AB = 3,6 AC = 4,8 BC = 3,3

AP = 6,1 AO = 8,1 PO = 5,7 AB = 0,6 AC = 0,6 BC = 0,6 AP AO PO

b. Voir tableau ci-dessus.

II – Page d’ouverture

1 Les trois rapports arrondis au dixième sont égaux.

Samuel a plusieurs solutions. Il peut : – vérifier que le diamètre du faisceau est proportionnel à la distance à la source et calculer le diamètre du faisceau à 13 mètres avec un tableau de proportionnalité ;

2 Soit un triangle ABC. Si le point P est situé sur la droite (AB) et le point O sur la droite (AC) et si (BC) est parallèle à (PO) alors : AB AC BC = = . AP AO PO

d (m) 2 Ø (m) 2,29

4 4,58

6 6,87

8 10 9,16 11,45

× 1,145

Pour d = 13 m, on a Ø13 = 13 × 1,145 ≈ 14,89 m. – tracer la courbe représentant le diamètre en fonction de la distance à la source puis, en extrapolant, déterminer le diamètre du faisceau à 13 mètres de la source.

III – Activités Activité 1 a. A est le sommet commun à tous les triangles. b. [MN], [RQ], [BC] et [OP] sont les côtés opposés à A. c. (MN)//(BC)// (OP). AMN et AOP sont dans une configuration de Thalès avec le triangle ABC.

Activité 3 a. Le tableau complété : Longueurs des côtés AB = 19 du triangle ABC Longueurs des côtés AM = 10 du triangle AMN Rapport des AB = 1,9 longueurs des côtés AM (arrondi au dixième)

AC = 25 BC = 11 AN = 12 MN = 5 AC = 2,1 BC = 2,2 AN MN

b. Voir ci-dessus. 1 Les rapports ne sont pas égaux. 2 On en déduit que les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles. 3 Dans la nouvelle configuration, on peut écrire le tableau ci-dessous : Longueurs des côtés AB = 19 du triangle ABC Longueurs des côtés AM = 10 du triangle AMN Rapport des AB = 1,9 longueurs des côtés AM (arrondi au dixième)

AC = 25 BC = 11 AN = 13 MN = 5,8 AC = 1,9 BC = 1,9 AN MN

Chapitre 14 I Théorème de Thalès

69

On constate que les trois rapports sont égaux donc les droites (BC) et (MN) sont bien parallèles.

IV – Méthode • Configuration de gauche : AV = 2 • Configuration de droite : KL = 3,9

V – Exercices Répondre à l’oral 1 Calculer mentalement a. Les longueurs inconnues sont : AM = 10 ; OB = 2,8 ; OL = 5 ; OM = 4 ; SP = 24 ; CO = 4 ; UB = 2 ; ST = 12. b. Les longueurs des côtés sont : IK = 6 ; IJ = 10 ; EA = 2,5 ; AC = 8. 2 Discerner le vrai du faux Troisième, quatrième et cinquième proposi­ tions à corriger : • (BC) est parallèle à (MN) AM AN MN = = • AB AC BC • le triangle ABC est un agrandissement de BC rapport du triangle AMN ou Le triangle MN MN AMN est une réduction de rapport du BC triangle ABC. 3 Corriger les erreurs a. Agathe, erreur dans le calcul. 8 × 21 = 11,2 arrondi au dixième. Corrigé : BC = 15 b. Charly, erreur dans le choix du triangle. En appliquant la propriété de Thalès dans le triangle OTU ci-contre, on obtient les relations : OP OQ PQ = = . OT OU TU c. Victoria, erreur dans la deuxième égalité. AB Corrigé : IJ = . 2 4 Comprendre l’utilité de la propriété de Thalès a. Non. b. Non. c. Oui. 70

Thème I Espace et géométrie

5 Agrandir ou réduire a. Un coefficient d’agrandissement est tou­ jours supérieur à 1. b. Un coefficient de réduction est toujours compris entre 0 et 1. c. Si on multiplie toutes les longueurs d’une 4 figure par , on réalise une réduction. 5 d. Si on multiplie toutes les longueurs d’une 3 figure par , on réalise un agrandissement. 2 6 Écrire les rapports de Thalès Les égalités a., b. et c. sont valides.

Appliquer le cours 7 Énoncer la propriété de Thalès • Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A. • Les droites (BC) et (MN) sont parallèles. • Les triangles ABC et AMN sont dans une configuration de Thalès et les longueurs des côtés correspondants des deux triangles sont proportionnelles. • On peut donc écrire les égalités de rapports de longueurs : AB AC BC = =  . AM AN MN 8 Reconnaître les configurations de Thalès BIK et BAH ainsi que CLJ et CHA sont dans des configurations de Thalès. 9 Calculer des longueurs a. Calcul de AM : – AMN et ABC forment une configuration de Thalès mais aussi AMN et AED. – En utilisant les triangles AMN et ABC, on peut écrire : AB BC AC = =  . AM MN AN – AM = 5,46 m. b. AN = 7,8 m et AE = 2,52 m. c. Longueur totale des bordures extérieures ≈ 27 m.

QCM pour faire le point 1:B; 2 : A et C ; 3 : A et C ; 4 : A et B.

Problèmes 10 Agrandir ou réduire a. Dessiner un triangle équilatéral de 5 cm de côté. b. Dessiner un triangle équilatéral de 3 cm de côté. c. Dessiner un triangle équilatéral de 10 cm de côté. 11 Le parcours de natation a. Le parcours natation du triathlon « sprint » a une longueur de 760 m. b.  Le nouveau parcours natation est un agrandissement du premier parcours car « les organisateurs souhaitent rallonger le parcours ». 1 900 = 2,5. c. Le rapport d’agrandissement est 760 d. Les deux grands côtés mesurent 812,5 m et la base du triangle mesure 275 m. 12 Une fourmi à la loupe AB FA 2,5 = d’où OM = × 1,2 = 6. a. OM FO 0,5 OM = 6 cm. b. Si Maïna rapproche la loupe de la fourmi, la taille de l’image diminue car le rapport FO d’agrandissement diminue. FA 13 Fabriquer une étagère a. Largeur intérieure de l’étagère du bas : 54 cm. b. Écart entre chaque étagère : 26,3 cm arrondi au dixième de cm. c. Hauteur du triangle isocèle : 7,9 cm. Longueur de la base : 5,4 cm. Écart entre les étagères : 2,6 cm. d. Longueur étagère du haut : 1 54 × + 12 = 30 cm. 3 Longueur étagère du milieu : 2 54 × + 12 = 48 cm. 3 e. 66 + 48 + 30 + 2 × 83,5 = 311 cm. Axel a besoin d’environ 3,1 mètres de bois.

14 Éclipse et homothétie a. LL¢ = 1 738 km. b. Rapport de réduction : 390 800 ≈ 2,6 × 10–3. 150 × 106 1 738 ≈ 670 000 km. c. SS¢ = 2,6 × 10–3 15 Une chaise géante a. Le rapport d’agrandissement appliqué est d’environ 6,11. b. La hauteur de la chaise est d’environ 8,55 mètres.

Vers le Brevet 16 Verger et potager a. BC = 6 dam. b. C’est un agrandissement de rapport 2. c. (BC) est parallèle à (NP). On peut donc appliquer la propriété de Thalès dans les triangles DBC et DNP. Ainsi, NP = 2 × BC = 12 dam. d. Le périmètre de la parcelle boisée mesure 56 dam. e. L’aire de la parcelle arborée est : AireDPNM – AireABCD = 16 × 12 – 8 × 6 = 144 dam2. (AB + MN) × MA = 72 dam2. f. AireABNM = 2 (BC + NP) × CP = 72 dam2. AireBCPN = 2 Somme des deux aires = 144 dam2. Le résultat précédent (question e.) est vérifié. 17 Quel volume de sel ? OS AO 1 × 6,9 = d’où OS = ≈ 3,6. a.  BC AB 1,9 OS = 3,6 m arrondi au dixième. π × 32 × 3,6 b. V = = 34 m3 arrondi à l’unité. 3 c. 34 , 50. Il ne doit pas encore déplacer le sel.

Chapitre 14 I Théorème de Thalès

71

15

Géométrie dans l’espace

I – Prendre son élan … 1 Calculer mentalement a. b. Nombre de faces Nature de la base Pavé Prisme 1 Prisme 2 Prisme 3

6 7 5 8

rectangle pentagone triangle hexagone

2 QCM 1 : A et C ; 2 : A, B et C ; 3 : A et B ; 4 : A ; 5 : A et C ; 6 : A et C. 3 Chercher l’intrus a. 1 : pyramide ; 2 : cube ; 3 : parallélépipède rectangle (ou pavé) ; 4 : cône de révolution ; 6 : cylindre de révolution ; 7 : prisme droit ; 8 : sphère. b. L’intrus est la figure 5 : c’est un tronc de cône.

II – Page d’ouverture 1 Le grand cercle ① séparant la Terre en deux hémisphères est l’Équateur. 2 Les cercles ①, ② et ③ sont des parallèles (ils sont situés dans des plans parallèles à celui de l’Équateur). 3 Les demi-cercles bleus joignant les pôles sont des méridiens.

III – Activités Activité 1 • Devinette 1 La vue en perspective cavalière est la ①. • Devinette 2 Vue de dessus

1 Dans un dessin en perspective cavalière les arêtes cachées sont en pointillés. Il en va de même dans une vue de face, de gauche… 2 Les longueurs des faces frontales sont respectées, les autres sont plus petites.

Activité 2 a. b. c. Les sections sont grisées : S

S T M

E A

D

D

C

R N C

F B

A

B

La section de la pyramide par le plan 31 est un triangle isocèle ; celle de la pyramide par le plan 32 est un carré.

Activité 3 a. Les lettres I, J et K remplacent 1 sur les trois axes (Ox), (Oy) et (Oz). b. Les sommets sont O, B, C et D. c. Leurs projetés sur le plan de base sont O, B, C et D. d. Les points E, F, G et H ont une altitude de 3. 1 Les coordonnées des huit sommets du parallélépipède rectangle O(0 ; 0 ; 0) B(5 ; 0 ; 0) C(5 ; 4 ; 0) D(0 ; 4 ; 0) E(0 ; 0 ; 3) F(5 ; 0 ; 3) G(5 ; 4 ; 3) H(0 ; 4 ; 3). 2 Le point M de coordonnées (2,5 ; 2 ; 1,5) est le centre du pavé. Pour le placer dans le repère, on trace d’abord son projeté m (2,5 ; 2) dans le plan (O ; I, J) puis on monte de z = 1,5.

Vue de droite

Activité 4 a. Les lieux situés sur l’Équateur ont pour latitude 0°. b. Les lieux situés sur le méridien de Greenwhich ont pour longitude 0°. Chapitre 15 I Géométrie dans l’espace

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c. • Le cycliste : Longitude 15° Est ; latitude 30° Sud ; • Le marcheur : Longitude 45° Est ; latitude 30° Nord ; • Le marin : Longitude 30° Ouest ; latitude 45° Nord. 1 La latitude prend des valeurs allant de 0° à 90° Nord et de 0° à 90° Sud. 2 La longitude prend des valeurs allant de 0° à 180° Est et de 0° à 180° Ouest.

IV – Activité TICE Les constructions pour un plan perpendicu­ laire à la base du cylindre, puis pour un plan parallèle à cette même base.

V – Exercices Répondre à l’oral 1 Observer Solide ❶ 7 15 10

Faces Arêtes Sommets

Solide ❷ 8 18 12

2 Discerner le vrai du faux • Le patron d’un pavé droit possède 6 faces rectangulaires. • Le patron d’un cylindre de révolution possède deux disques de rayons de même longueur. • Dans un dessin en perspective cavalière, les arêtes cachées sont représentées en pointillés. • Paris a pour latitude 48° 51’ Nord. 3 Corriger les erreurs a. Lisbeth : un rectangle possède une longueur trop petite. Patron du prisme

b. Juliana : il faut dessiner les arêtes cachées en pointillés dans les pavés a et b.

a

b

4 Reconnaître des solides On reconnaît : cube, parallélépipède rectangle, prisme à section triangulaire, pyramide à base carrée, cylindre de révolution. 5 Vue de droite La vue ② est la vue de droite. 6 Lire des coordonnées Les quatre points sont dans le plan (OIJ) : M(3 ; 0 ; 0)  N(0 ; 5 ; 0)  P(2 ; 0 ; 0)  Q(0 ; – 3 ; 0). 7 Calculer mentalement a. Aire = 12 + 8 = 20 cm2. b. Volume = 20 × 2 = 40 cm3. 74

Thème I Espace et géométrie

Appliquer le cours 8 Du patron au solide

9 Histoire de cercles a. b. Rayon = 3 cm.

14 Latitude a. Le parallèle de plus grand rayon est l’Équateur. b. La latitude du point M est de 42° Nord. Tous les lieux de même latitude sont situés sur le même parallèle. c. La latitude du point R est de 28° Sud. Celle du point M¢ est de 42° Sud.

QCM pour faire le point 1 : A et C ; 2 : B ; 3 : B ; 4 : A et B ; 5 : B et C ; 6 : C ; 7 : C

10 Patron incomplet

Problèmes 15 Devinette 2D - 3D Le cube 2 ne correspond pas au patron. 16 Tente canadienne a. Le solide possède 5 faces. b. Les trois faces cachées sont : le triangle DFC et les rectangles ADFE et ABCD.

11 Section d’un cube a. La section IJKL est un rectangle. b. Dans le triangle rectangle IBJ, Pythagore : IJ2 = BI2 + BJ2 soit IJ2 = 32 + 32 = 18 d’où IJ ≈ 4,24 cm. c. Les dessins du triangle BIJ et de la section IJKL :

17 Cales prismatiques a. La section du parallélépipède par le plan est un rectangle. b. NF = EF – EN = 32 – 10 = 22 cm. HM = 32 – 10 = 22 cm. c. Les deux solides obtenus par le découpage sont des prismes droits à base de trapèze rectangle : ils sont identiques. d. Soit P le projeté orthogonal de L sur (AB). En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle KLP, on peut écrire : KL2 = PL2 + PK2 soit KL2 = 162 + (32 – 10 – 10)2 = 162 + 122 = 400 d’où KL = 20 cm. e. Le patron du solide AKLDENMH :

12 Coordonnées dans l’espace a. Le point A b. Le point D c. Le point C(4 ; – 2 ; 1) d. Le point B(2 ; 5 ; 2) 13 Longitude a. L = 2 π R : 2 = π × 6 370 ≈ 20 012 km. b. Le point M a pour longitude 20° Est ; le point M¢ a pour longitude 160° Ouest. % c. AOP = 35°. Les points de longitude 35° Ouest sont situés sur le même méridien passant par P. Chapitre 15 I Géométrie dans l’espace

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18 Les solides de Platon (Maths et Histoire des Sciences) a. Dessin des solides ①, ② et ③ en perspective cavalière :

b. Tableau : Solide 1 2 3 4 5

Nombre de faces 4 6 8 12 20

Nature d’une face Triangle équilatéral Carré Triangle équilatéral Pentagone régulier Triangle équilatéral

Ces polyèdres sont réguliers car leurs faces sont des polygones réguliers égaux (côtés de mêmes longueurs). c. Le dodécaèdre (solide ④) avec 12 faces pentagonales. 19 Programmation d’un usinage a. Dessin ci-dessous. b. Coordonnées des huit sommets du pavé : O(0 ; 0 ; 0) A(80 ; 0 ; 0) B(80 ; 50 ; 0) C(0 ; 50 ; 0) D(0 ; 0 ; 72) E(80 ; 0 ; 72) F(80 ; 50 ; 72) G(0 ; 50 ; 72) c. Dessin de la pièce avec la rainure :

d. (OAE) est un plan parallèle au plan (MLQ) ; (OAB) est un plan parallèle au plan (RTL).

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20 Le positionnement par GPS a. Pic des Taules : abscisse : 720 161 Est ; ordonnée : 4 774 012 Nord. b. Le village de Capbis se trouve dans la région Aquitaine-Limousin-Poitou-Charentes. c. L’altitude du Pic des Taules est de 895 m (courbes de niveau de la carte). d. Crabé : 30T - 720 378 Est ; 4 775 730 Nord Altitude 407 m. e. Sallafranque : 30T - 719 440 Est ; 4 776 025 Nord Altitude 350 m. Lasserre : 30T - 719 010 Est ; 4 775 080 Nord Altitude 380 m. 21 Bâtiment commercial a. Pythagore dans le triangle rectangle SOC : SO2 + OC2 = SC2 soit SO2 = 3,52 – 2,12 = 7,84 d’où SO = 2,80 m. La hauteur du bâtiment est : HS = HO + OS = 3,50 + 2,80 = 6,30 m. b. Longueur du bandeau : L = π × D = π × 4,20 = 13,2 m au dm près. c. La surface au sol est un disque. Son aire est : ! = π R2 = π × 2,12 = 13,9 m2 à 0,1 m2 près. d. V = Vcylindre + Vcône = ! × h + ! × h¢/3 = 13,9 × 3,5 + 13,9 × 2,8/3 = 62 m3 au m3 près.

Vers le Brevet 22 Jeu de cubes a. Le solide comprend : 9 + 3 + 1 = 13 cubes. b. Parmi les vues dessinée : – la vue de face : vue 2 ; – la vue de droite : vue 1 ; – la vue de dessus : vue 3. c. Volume du solide : V = 13 × 43 = 832 cm3. 23 Repérage sur la Terre a. Les cercles rouges sont des parallèles ; le plus grand se nomme l’Équateur. b. Les demi-cercles bleus sont des méridiens ; le demi-cercle de référence est le méridien de Greenwich. c. La latitude ; la longitude. d. Lima → C ; Prague → B ; St-Louis → D ; Memphis → A. e. Les coordonnées de Rio de Janeiro : 25° Sud - 35° Ouest environ.