Kwyk Maths 5e - Livre professeur - Edition 2016 2012753477, 9782012753471

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e Cycle 4

M AT H S Livre du professeur Nouveau programme 2016

Lydie CUTTICA professeur au collège Edmond-Rostand à Marseille (13) Sandrine MEYER professeur au collège épiscopal Saint-Étienne à Strasbourg (67) Charles SÉVA professeur au collège Paul-Éluard à Vigneux-sur-Seine (91) Xavier TAUPENAS professeur au collège Clair-Soleil à Marseille (13)

Couverture : Valérie Goussot Maquette intérieure : Valérie Goussot Réalisation : Jérôme Pagès

www.hachette-education.com © Hachette Livre 2016, 58 rue Jean Bleuzen, CS 70007, 92178 Vanves Cedex ISBN : 978-2-01-275347-1

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Sommaire Proposition de progression pour la classe de 5e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Les bases de l’algorithmique et de la programmation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

NOMBRES ET CALCULS 1 Les nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 A L’addition et la soustraction de nombres décimaux.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B La multiplication de nombres décimaux.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C La division de nombres décimaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Atelier numérique : utiliser une formule pour réaliser des calculs avec des nombres décimaux à l’aide d’un tableur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Les nombres relatifs : comparaison et repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 A B C D

La découverte des nombres relatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Le repérage sur une droite graduée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 La comparaison de nombres relatifs.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Le repérage dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Atelier numérique : tracer un objet à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Les nombres relatifs : addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 A B C D

L’addition de deux nombres relatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 La soustraction entre deux nombres relatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Les suites d’additions et de soustractions de nombres relatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 La distance entre deux points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Atelier numérique : effectuer des opérations sur des nombres relatifs à l’aide d’un tableur. . . . . . . . . . . . 40 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 La division avec des nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 A La division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 B Multiples, diviseurs et nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Atelier numérique : calculer le reste d’une division euclidienne à l’aide d’un tableur.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Sommaire

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5 Les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A L’écriture fractionnaire d’un quotient et la notion de proportion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 B L’égalité et la simplification de fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 C Le repérage sur une droite graduée et la comparaison de nombres rationnels.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Le calcul littéral .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Expressions littérales et tests d’égalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Atelier numérique : calculer une somme de nombres à l’aide d’un tableur .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Problèmes complexes transversaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

ORGANISATION ET GESTION DE DONNÉES, FONCTIONS 7 La proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 A B C D E

Reconnaître une situation de proportionnalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Le calcul d’une quatrième proportionnelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Les pourcentages et les proportions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Les échelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 La notion de fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Atelier numérique : utiliser des formules à l’aide d’un tableur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8 Les statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A La lecture de données. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 B La représentation de données. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 C L’étude de séries statistiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Atelier numérique : construire un diagramme à l’aide d’un tableur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4

Sommaire 

9 La notion de probabilité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Calculs de probabilités et lien avec les fréquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Atelier numérique : utiliser les fonctionnalités de base de Scratch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Problèmes complexes transversaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

GRANDEURS ET MESURES 10 Les notions de périmètre, aire et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 A Les notions de périmètre et d’aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 B La notion de volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Atelier numérique : réaliser des calculs de volume à l’aide d’un tableur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

ESPACE ET GÉOMÉTRIE 11 Les symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A Symétrie axiale et médiatrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 B La symétrie centrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 C Construction et centre de symétrie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Atelier numérique : transformer une figure par symétrie à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

12 Les triangles .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 A B C D

La condition d’existence d’un triangle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 La somme des angles d’un triangle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 La construction d’un triangle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Le cas d’égalité des triangles et les triangles semblables.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Atelier numérique : démontrer que des points sont alignés avec un logiciel de géométrie dynamique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Sommaire

5

13 Les angles et le parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 A Les angles alternes et internes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 B Angles et droites parallèles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Atelier numérique : reproduire une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.. . . . . . . . . . . . 144 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

14 Le parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 A Le parallélogramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 B Reconnaître un parallélogramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 C Les parallélogrammes particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Atelier numérique : construire un parallélogramme à partir de n’importe quel quadrilatère à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

15 La géométrie dans l’espace .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 A Les solides de l’espace.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 B Initiation au repérage dans l’espace.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Atelier numérique : construire un prisme droit à base hexagonale à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Résolution de problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Problèmes complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Problèmes complexes transversaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION 16 L’algorithmique et la programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Algorithme et programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Atelier numérique : écrire un programme dans lequel des actions sont déclenchées par des événements extérieurs à l’aide d’un logiciel de programmation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6 Sommaire 

Proposition de progression pour la classe de 5e Ordre dans l’année 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13

14 15 16 17

18 19

Connaissance (numéro de la partie du chapitre)

Numéro et titre du chapitre

Les bases de l’algorithmique et de la programmation Chapitre 16 L’algorithmique Algorithme et programme et la programmation A L’addition et la soustraction de Chapitre 1 Les nombres nombres décimaux décimaux B La multiplication de nombres Chapitre 1 Les nombres décimaux décimaux C La division de nombres Chapitre 1 Les nombres décimaux décimaux A La condition d’existence Chapitre 12 Les triangles d’un triangle B La somme des angles Chapitre 12 Les triangles d’un triangle C La construction d’un triangle Chapitre 12 Les triangles Chapitre 2 Les nombres A La découverte des nombres relatifs : comparaison et relatifs repérage Chapitre 2 Les nombres B Le repérage sur une droite relatifs : comparaison et graduée repérage A Les angles alternes et Chapitre 13 Les angles et le internes parallélisme Chapitre 13 Les angles et le B Angles et droites parallèles parallélisme Chapitre 2 Les nombres C La comparaison relatifs : comparaison et de nombres relatifs repérage Chapitre 2 Les nombres D Le repérage dans le plan relatifs : comparaison et repérage Chapitre 14 A Le parallélogramme Le parallélogramme B Reconnaître un Chapitre 14 parallélogramme Le parallélogramme Chapitre 3 Les nombres A L’addition de deux nombres relatifs : addition et relatifs soustraction Chapitre 3 Les nombres B La soustraction entre deux relatifs : addition et nombres relatifs soustraction C Les parallélogrammes Chapitre 14 particuliers Le parallélogramme

Thème du programme Algorithmique et programmation Algorithmique et programmation Nombres et calculs Nombres et calculs Nombres et calculs Espace et géométrie Espace et géométrie Espace et géométrie Nombres et calculs

Nombres et calculs Espace et géométrie Espace et géométrie Nombres et calculs

Nombres et calculs Espace et géométrie Espace et géométrie Nombres et calculs

Nombres et calculs Espace et géométrie

Proposition de progression pour la classe de 5e

7

Ordre dans l’année 20

8

Connaissance (numéro de la partie du chapitre) C Les suites d’additions et de soustractions de nombres relatifs

Numéro et titre du chapitre

Thème du programme

Chapitre 3 Les nombres relatifs : addition et soustraction

Nombres et calculs

21

D La distance entre deux points

Chapitre 3 Les nombres relatifs : addition et soustraction

Nombres et calculs

22

D Le cas d’égalité des triangles et les triangles semblables

Chapitre 12 Les triangles

Espace et géométrie

23

A La division euclidienne

Chapitre 4 La division avec des nombres entiers

Nombres et calculs

24

Expressions littérales et tests d’égalités

Chapitre 6 Le calcul littéral

Nombres et calculs

25

B Multiples, diviseurs et nombres premiers

Chapitre 4 La division avec des nombres entiers

Nombres et calculs

26

A Symétrie axiale et médiatrice

Chapitre 11 Les symétries

Espace et géométrie

27

B La symétrie centrale

Chapitre 11 Les symétries

Espace et géométrie

28

A L’écriture fractionnaire d’un quotient et la notion de proportion

Chapitre 5 Les fractions

Nombres et calculs

29

B L’égalité et la simplification de fractions

Chapitre 5 Les fractions

Nombres et calculs

30

C Construction et centre de symétrie

Chapitre 11 Les symétries

Espace et géométrie

31

A Reconnaître une situation de proportionnalité

Chapitre 7 La proportionnalité

Organisation et gestion de données, fonctions

32

B Le calcul d’une quatrième proportionnelle

Chapitre 7 La proportionnalité

Organisation et gestion de données, fonctions

33

A Les notions de périmètre et d’aire

Chapitre 10 Les notions de périmètre, aire et volume

Grandeurs et mesures

34

C Le repérage sur une droite graduée et la comparaison de nombres rationnels

Chapitre 5 Les fractions

Nombres et calculs

35

C Les pourcentages et les proportions

Chapitre 7 La proportionnalité

Organisation et gestion de données, fonctions

36

D Les échelles

Chapitre 7 La proportionnalité

Organisation et gestion de données, fonctions

37

E La notion de fonction

Chapitre 7 La proportionnalité

Organisation et gestion de données, fonctions

38

A Les solides de l’espace

Chapitre 15 La géométrie dans l’espace

Espace et géométrie

Proposition de progression pour la classe de 5e

Ordre dans l’année

Connaissance (numéro de la partie du chapitre)

Numéro et titre du chapitre

Thème du programme

39

B Initiation au repérage dans l’espace

Chapitre 15 La géométrie dans l’espace

Espace et géométrie

40

A La lecture de données

Chapitre 8 Les statistiques

Organisation et gestion de données, fonctions

41

B La représentation de données

Chapitre 8 Les statistiques

Organisation et gestion de données, fonctions

42

C L’étude de séries statistiques

Chapitre 8 Les statistiques

Organisation et gestion de données, fonctions

43

B La notion de volume

Chapitre 10 Les notions de périmètre, aire et volume

Grandeurs et mesures

44

Calculs de probabilités et lien avec les fréquences

Chapitre 9 La notion de probabilité

Organisation et gestion de données, fonctions

Proposition de progression pour la classe de 5e

9

Les bases de l’algorithmique et de la programmation Programme Connaissances et compétences associées > Algorithmique et programmation • Notions d’algorithme et de programme.

Nombre et calculs

Repères de progressivité En 5e, les élèves s’initient à la programmation événementielle.

B La définition et la structure d’un algorithme Exercices

p. 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

1 1. Les variables dans cet algorithme sont A, B et C. 2. Après l’exécution de l’algorithme, on obtient : A = 9, B = 36, C = 45. 3. En sortie de cet algorithme, on obtient le résultat 45. 2 1. À l’issue de l’algorithme, la valeur de la variable X est 54. 2. Si la valeur initiale de X est 3,5, la valeur de X en sortie de l’algorithme est 73,5.

10

3 Algorithme qui demande une température C (exprimée en degrés Celsius), puis qui la transforme en son équivalent F exprimé en degrés Fahrenheit.

Variables  : C et F sont des nombres décimaux. Entrée : Saisir C Traitement  : F prend la valeur 1,8 × C + 32 Sortie : Afficher F

c h a pi t

re

1

Les nombres décimaux

Programme

Nombres et calculs

Connaissances et compétences associées > Nombres et calculs • Nombres décimaux . Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté . Calculer avec des nombres décimaux (somme, différence, produit, quotient) . Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur .

OUVERTURE

p . 17

1. Le prix total des néons et des platys  est de 15,50 €. 2. Le montant total de la dépense est de 26,50 €. 3. Les guppys coûtent 11 €.

Top Chrono ! a) 7,7 b) 22,3 c) 5,1 d) 1,6 e) 1 810 f) 0,004 g) 0,791 h) 3,24

Je sais Additionner ou soustraire deux nombres décimaux et donner un ordre de grandeur du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 19

Activité

1. a) Le score obtenu par Lena Woods appartient à la catégorie des nombres entiers. b) Les scores obtenus par Slimane, Gabriella et Réphaël appartiennent à la catégorie des nombres décimaux. 2. Le rang s’appelle le rang des dixièmes. 3. 36,6 > 36,5 > 16,9 > 10. 4. Ici, Réphaël a remporté la finale de l’émission. Dans la réalité, c’est Slimane qui a remporté la finale de l’émission. A L’addition et la soustraction de nombres décimaux

Activité 2

p . 18

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 18 Activité 1

1. Le montant approximatif des achats est de 54 €. Thomas a donc raison. 2. Le montant exact des achats est de 54,39 €.

Exercices d’application 1 a) 14,9 + 25,47 = 40,37 Ordre de grandeur : 15 + 25 = 40 b) 845,26 + 3,1 = 848,36 Ordre de grandeur : 845 + 5 = 850 c) 20,4 + 569 = 589,4 Ordre de grandeur : 20 + 570 = 590 d) 65 + 28,32 = 93,32 Ordre de grandeur : 65 + 30 = 95 a) 27,5 – 16,6 = 10,9 Ordre de grandeur : 27 – 17 = 10 b) 568,12 – 345,08 = 223,04 Ordre de grandeur : 570 – 350 = 220 c) 48 – 14,72 = 33,28 Ordre de grandeur : 50 – 15 = 35 d) 1 024,3 – 456,27 = 568,03 Ordre de grandeur : 1 025 – 450 = 575 2

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 20 3 1. a) 2,7 est la somme de 1,5 et 1,2. b) 1,2 et 1,5 sont les termes de la somme. 2. a) 0,9 est la différence entre 3,6 et 2,7. b) 3,6 et 2,7 sont les termes de la différence.

Chapitre 1 • Les nombres décimaux 11

4 a) 62,3 c) 113,25 b) 9,01 d) 75,4

e) 785,02 f) 33,326

5 a) 255,8 c) 85,5 b) 2,04 d) 420,7

e) 149,06 f) 517,6

6 a) 771,98 c) 69,23 b) 56,264 d) 450,4

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21

a) 82,6 c) 183,346 b) 195,53 d) 6,88 7

19   L’abreuvoir contient désormais 52,2 L (50,3 − 15,6 + 20 − 2,5).

a) 41,54 c) 2 535,49 d) 1 010,22 b) 24,07 8

a) 112,5 c) 711,1 b) 9,6 d) 112,1 9

10     a) 13,13 c) 65,87 b) 54,1 d) 1 057,77 11   a) 15,6 + 0,4 + 18 + 57 + 29,3 + 4,7 = 125 b) 169 + 17 + 21,2 + 6,8 + 13,54 + 2,46 = 230 12   a) 5 c) 26,8 b) 8,82 d) 58,97 13   Le

ticket de caisse correspondant aux achats est celui indiquant 19,58 €. B : 2 400 ➃ A : 6 000 14   ➀

➁ C : 1 100 ➄ B : 90

➂ B : 50

15   Consommation d’eau pour la lessive :

12,8 + 12, 4 = 25,2 L. Consommation totale d’eau par foyer et par jour : 139,9 L. 16   Série n° 1 : 6,4 – (1,7 – 0,3) = 5.

Série n° 2 : 10,382 + 0,618 – 2,5 = 8,5. 17   1. Tristan doit saisir dans la cellule B2 la formule « = B1 + 5,30 ». Voici les sommes d’argent qu’il obtiendra :

2. Tristan doit saisir dans la cellule B3 la formule « = B1 – 3,40 ». Voici les sommes d’argent qu’il lui restera :

12 Nombres et calculs

18   1. 25,3 + 28,4 + 21,5 + 35 = 110,2 cL = 1,102 L. Or, 1,102 < 1,5. Donc Guillaume ne parviendra pas à passer une nuit paisible. 2. 1,5 – 1,102 =  0,398 L. Guillaume devra donc ajouter dans sa boisson 39,8 cL d’eau pour obtenir 1,5 L de boisson.

20   1. L’abréviation HT signifie «  hors taxes  » et l’abréviation TTC signifie «  toutes taxes comprises ». 2. On calcule le prix TTC en additionnant le prix HT et le montant de la TVA. 3. Prix HT TVA Prix TTC Désignation (en €) (en €) (en €) Tonte de la 127,86 25,57 153,43 pelouse Taille des 83,84 16,77 100,61 haies Taille des 39,11 7,82 46,93 rosiers Main-d’œuvre 159,69 31,94 191,63 Total 410,50 82,10 492,60

B La multiplication de nombres décimaux p. 22 Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22 Activité 1

1. Prix des œufs : 1,05 €. 2. Prix des pommes : 0,90 €. 3. Il reste à Chloé 0,05 €.

Activité 2

1. a) Ordre de grandeur du résultat : 18,5. Rayan propose 0,45, ce qui n’est pas vraisemblable car 0,45 est proche de zéro et le résultat est proche de 18,5. b) 0,9 ¥ 18,5 = 16,65. Lucie a bien raison. 2. a) Paloma a calculé 9 ¥ 5 = 45. Elle a placé 45 en partie décimale puis elle a ajouté 18 pour obtenir 18,45, ce qui est bien évidemment faux. b) Rayan a calculé comme Paloma au début  : 9 ¥ 5 = 45. Il a placé 45 en partie décimale. Il a calculé ensuite 0 ¥ 18 = 0, ce qui a donné la partie entière de son résultat, ce qui est aussi bien évidemment faux. Je sais Multiplier deux nombres décimaux et donner un ordre de grandeur du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

Exercices d’application 21   a) 6,75 ¥ 38 = 256,5 Ordre de grandeur : 7 ¥ 40 = 280 b) 19,2 ¥ 4,3 = 82,56 Ordre de grandeur : 20 ¥ 4 = 80 c) 156,4 ¥ 8 = 1 251,2 Ordre de grandeur : 150 ¥ 8 = 1 200 d) 36,1 ¥ 74,5 = 2 689,45 Ordre de grandeur : 40 ¥ 75 = 3 000 22   a) 5 ¥ 30 = 150

b) 70 ¥ 10 = 700 c) 1 000 ¥ 40 = 40 000 d) 100 ¥ 10 = 1 000 Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24 23   a) 24,8 est le produit des nombres 12,4 et 2.

b) Le produit 8,5 ¥ 6,1 ¥ 4 est composé de trois facteurs. c) La somme 10,7 + 10,7 + 10,7 + 10,7 + 10,7 est égale au produit de 10,7 par 5. 24   a) 62 b) 3 580

c) 54,78 d) 1 562,8

25   a) 0,25 c) 15,248 8 d) 0,548 7 b) 9,843 26   a) 241,24 c) 249,2 d) 272,0 b) 37,26 27   a) 87,1 c) 1,404

b) 21 467,6 d) 471,195

28   a) 43,2 c) 50,65 b) 33,6 d) 44,8

e) 3,43 f) 2 910

29   a) 5 ¥ 0,2 ¥ 6 ¥ 8 = 48 b) 8 ¥ 0,25 ¥ 2 ¥ 9 = 36 c) 0,5 ¥ 10 ¥ 6 ¥ 7 = 210 d) 4 ¥ 2,5 ¥ 3 ¥ 9 = 270 30   a) 29 240 c) 2 924

b) 29 240 d) 2 924 000 31   a) 49,9 c) 49,89

b) 77,4 d) 467,6 32   a) Un ordre de grandeur de 5,5 ¥ 4,9 5 ¥ 5 = 25. Donc 5,5 ¥ 4,9 = 26,95. b) Un ordre de grandeur de 61,2 ¥ 29,7 60 ¥ 30 = 1 800. Donc 61,2 ¥ 29,7 = 1 817,64. c) Un ordre de grandeur de 1,1 ¥ 24,5 1 ¥ 25 = 25. Donc 1,1 ¥ 24,5 = 26,95. d) Un ordre de grandeur de 8,7 ¥ 32,5 9 ¥ 30 = 270. Donc 8,7 ¥ 32,5 = 282,75.

est est est est

Un ordre de grandeur de 4,3 ¥ 18 est 4 ¥ 20 = 80. Donc le nombre total de kilos de paille pour toute l’écurie est plutôt proche de 80 kg. 33  

34   Corentin a dépensé 22,94 €. 35   On a : 9,98 ¥ 0,66 = 6,586 8. Donc la peluche coûte environ 6,59 €.

1. 3,7 ¥ 3 = 11,1. Le périmètre du triangle équilatéral est de 11,1 cm. 2. 5,9 ¥ 4 = 23,6. Le périmètre du losange est de 23,6 cm. 3. 2 ¥ 6,2 + 2 ¥ 0,48 = 13,36. Le périmètre du rectangle est 13,36 dm, soit 133,6 cm. 36  

37   1. a) Lorsque l’on choisit pour nombre de départ 1, on obtient 3 000. b) Lorsque l’on choisit pour nombre de départ 5, on obtient 15 000. c) Lorsque l’on choisit pour nombre de départ 20, on obtient 150 000. d) Lorsque l’on choisit pour nombre de départ 1 000, on obtient 3 000 000. 2. On peut trouver un programme plus court en remarquant que pour obtenir chaque résultat, on a multiplié le nombre de départ par 3 000.

Chapitre 1 • Les nombres décimaux 13

Algorithme : Variable : X est un nombre décimal Traitement : X prend la valeur X ¥ 3 000 Sortie : Afficher X J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

On a : 4 ¥ 12,5 = 50. La capacité totale des quatre arrosoirs est de 50 L. Or, 2,3 ¥ 3 ¥ 7 = 48,3. L’eau gaspillée par les enfants est de 48,3 L, ce qui est proche de 50 L. 2. 50 – 48,3 = 1,7. Il manquerait alors 1,7 L d’eau pour remplir complètement les quatre arrosoirs et ainsi récupérer l’eau pour l’arrosage des plantes. 38   1.

39   1. On a  : 8,30 ¥ 0,25 = 2,075. Le flacon « Boscheveu » coûte 2,07 €. 10,15 ¥ 0,2 = 2,03. Le flacon « Éclatbrill » coûte 2,03 €. Or 2,03 < 2,075. Donc le facon « Éclatbrill » est le moins cher. 2. 10,15 ¥ 0,25 = 2,5375. Or 2,075 < 2,5375. Le flacon « Boscheveu » est donc le plus économique. 40   1. Le calcul c) 5 ¥ 6 indique le nombre de livres rangés. 2. a) La libraire souhaite connaître la masse totale de l’ensemble des livres rangés. b) (6 ¥ 5) ¥ 474,2 = 14  226. La masse totale de l’ensemble des livres rangés est de 14 226 g, soit 14,226 kg. 41   Joséphine et Mathilde achètent des bonbons sur le chemin de l’école. On donne les prix en € pour 50  g de plusieurs sortes de bonbons. Les filles ont acheté 150  g de frites, 200  g de réglisses et 50 g de sucettes. Elles paient avec un billet de 30 €. 1. Quel est le montant de la dépense ? 2. Quelle somme d’argent leur reste-t-il ?

C La division de nombres décimaux

p. 26

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26 Activité 1

1. Élysa possède 150 ¥ 0,1 = 15  € en pièces de 10 centimes et Bachir possède 300 ¥ 0,1 = 30 € en pièces de 10 centimes. 14 Nombres et calculs

2. Pour Élysa : 45 – 15 = 30 et 30 : 0,01 = 3 000. Élysa possède 3 000 pièces de 1 centime. Pour Bachir  : 56 – 30 =  26 et 26  : 0,01 =  2  600. Bachir possède 2 600 pièces de 1 centime. Or 3 000 > 2 600. Donc Élysa possède le plus de pièces de 1 centime. Activité 2

1. Début de la table de multiplication de 479  : 479 ¥ 1 = 479 ; 479 ¥ 2 = 958 ; 479 ¥ 3 = 1 437. 2. 1 437 : 479 = 3 3. La division permettant de calculer le nombre de pots achetés est 143,70 : 47,90. 4. On a : 143,70 : 47,90 = 1 437 : 479 = 3. Donc, 3 pots ont été achetés pour peindre les deux murs du couloir. Je sais Diviser deux nombres décimaux et donner un ordre de grandeur du résultat . . . . . p. 27

Exercices d’application 42   a) 5,6 : 0,7 = 8 Ordre de grandeur : 6 : 1 = 6 b) 18,45 : 1,5 = 12,3 Ordre de grandeur : 18 : 2 = 9 c) 1,62 : 2,4 = 0,675 Ordre de grandeur : 2 : 2 = 1 d) 36,6 : 1,2 = 30,5 Ordre de grandeur : 35 : 1 = 35 43   a) 18 : 2 = 9 b) 75 : 25 = 3

c) 100 : 5 = 20 d) 80 : 40 = 2

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28 44   a) 2,025 : quotient décimal. b) 5,4 : quotient décimal. c) quotient non décimal. d) 0,64 : quotient décimal. e) 2,75 : quotient décimal. f) quotient non décimal. g) 760,3 : quotient décimal. 45   a) 17,5 c) 12,4 b) 9,125 d) 6,144

e) 279,2

46   a) 93,59 c) 5,55 b) 4,54 d) 0,87

e) 188,32

47   a) 36,547 c) 0,3125

b) 9,865

d) 0,069587

48   a) 24,8 c) 984,6 b) 36 925 d) 54 800 49   1.

L’opération qui permet d’obtenir le nombre de tablettes que l’on peut acheter avec 12 € est : 12 : 2,40. 2. La division qui donne le nombre recherché est 1 200 : 240. 3. Avec 12  €, on peut acheter 5 tablettes de chocolat Cœur de lait.

56   1. On a  : 2 ¥ 20 – 29, 80 = 10,20. Il reste à répartir la somme de 10,20 € entre les trois fils. 2. 10,20 : 3 = 3,40. Chacun des fils recevra 3,40 €. 57   On a  : 9,20 – (2,5 ¥ 1,60 + 1,80) = 3,40 et 3,40 : 6,8 = 0,50. Le prix du mètre de tissu rouge est de 0,50 €.

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

51   La largeur de ce tableau est : 3,12 : 2,40 = 1,3 m.

58   1. 14,99 ¥ 6 + 29,98 ¥ 4 = 209,86 et 209,86 : 2 = 104,93. Un disque dur externe coûte donc 104,93 €. 2. a) 350 : 104,93 ª 3,3. Loïc peut donc s’acheter 3 disques durs externes. b) 350 – 3 ¥ 104,93 = 35,21. Il lui restera alors 35,21 €.

52   a)

59   1. 1,99 : 48 ª 0,04. Une page coûte donc environ

50   1. Le prix de 15 kg de courgettes est :

3,45 ¥ 10 = 34,50 €. 2. La division qui donne le prix en euros d’un kilogramme de courgettes est : 3,45 : 1,5. 3. Un kilogramme de courgettes coûte 2,30 €.

Un ordre de grandeur de 549,875 : 62,5 est 550 : 60 ª 9. Donc le résultat est 8,798. b) Un ordre de grandeur de 4  812,48  : 55,7 est 4 800 : 50 ª 96. Donc le résultat est 86,4. c) Un ordre de grandeur de 17  175,27  : 28,9 est 17 000 : 30 ª 567. Donc le résultat est 594,3. 53   1.

Si on choisit 7,1 comme nombre de départ, on obtient en sortie 58,6. 2. Pour obtenir 256 en sortie de cet algorithme, il faut choisir au départ le nombre 40. 3. Pour obtenir 1 048,6 en sortie de cet algorithme, il faut choisir au départ le nombre 172,1. 54   1 075,20 – 58 ¥ 4 = 843,2 et 843,2 : 6,2 = 136. Ce jour-là, 136 adultes ont visité le musée. 55  

Ticket de caisse ***Copie client***

3 kg de pommes de terre

5,25 €

1,75 €/kg 2 filets de courgettes

6€

3 € le filet 4,2 kg de carottes

3,99 €

0,95 €/kg

TOTAL

0,04 €. 2. 0,21 ¥ 0, 297 = 0,062 37. L’aire d’une page est de 0,062 37 m². Or 0,062 37 ¥ 48 = 2,993 76. La surface totale des 48 pages est de 2,993 76 m². Et 1,99 : 2,993 76 ª 0,66 > 0,10. Un m² coûte alors environ 0,66 €. La publicité est donc mensongère. 60   1. a) 5,85 : 9 = 0,65. Un beignet coûte 0,65 €. b) 12,60 : 12 = 1,05. Un macaron coûte 1,05 €. 2. 2,48 ¥ 3 = 7,44 et 7,44 : 4 = 1,86. Un paquet de céréales coûte 1,86 €. 3. 0,9 +  0,45 =  1,35. Donc 3 litres de limonades coûtent 1,35 €. Or 1,35 : 3 = 0,45. Donc un litre de limonade coûte 0,45 €. 4. 2 ¥ 2,70 = 5,40. Donc 3 packs d’eau coûtent 5,40 €. Or 5,40 : 3 = 1,80. Donc un pack d’eau coûte 1,80 €. 6 L d’eau coûtent 1,80 €. Or 1,80 : 6 = 0,30. Donc un litre d’eau coûte 0,30 €.

Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30 61   a) 8,9 c) 37,6 b) 14,9 d) 42

e) 1 f) 340,46

62   a) 7

e) 175,74 f) 83,9

b) 3,2

15,24 €

c) 3,8 d) 31,6

63   a) 52,8 c) 197,52

b) 353,4

d) 14,44

e) 457,8 f) 2 600,08

Chapitre 1 • Les nombres décimaux 15

64   a) 542 c) 183,9

b) 69 850 d) 2,5 65   a) 4,52 c) 0,012 65

b) 7,980 1 d) 0,004 56

e) 0,02 f) 5 864,5 e) 3,974 f) 0,11

Étape 3 Utiliser la feuille de calcul pour calculer un montant 3. a) Quentin ne peut pas acheter tous ces articles pour 80 €.

66   Débat Un nombre est décimal lorsque sa partie décimale s’écrit avec un nombre fini de chiffres, ce qui n’est pas le cas pour le résultat de 22 : 0,7. Justin a donc raison.

Atelier numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

b) Il pourrait alors retirer un anneau à double face par exemple :

Étape 1 Créer une facture dans une feuille de calcul 1.

Il paiera alors 77,20 €. Étape 2 Saisir des formules dans la feuille de calcul 2.

Étape 4 Utiliser la feuille de calcul pour faire des simulations d’achat pour un montant donné 4. Pour 50 € et afin de démarrer la pratique de la jonglerie, Félix peut acheter : 3 anneaux simples, 1 petit diabolo, 2 baguettes à diabolo et de la ficelle à diabolo. Il paiera alors 49,75 €.

a) Dans la cellule D2, on doit saisir la formule « = B2*C2 ». b) Dans la cellule D11, on doit saisir la formule « = SOMME(D2 : D6) ». c) Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

Charlotte devra payer 86,92 €. 16 Nombres et calculs

68   Problème d’application 950 ¥ 2 + 1  500 ¥ 2 = 4  900. Le périmètre du champ est 4 900 m. 4 900 : 650,5 ª 7,53. Il faudra alors 8 lots de grillage. 8 ¥ 27,99 = 223,92. Le paysan paiera alors 223,92 € pour grillager entièrement son champ.

69   27 ¥ 9,99 = 269,73. L’ensemble des 27 DVD en bon état coûte 269,73 €. 269,73 + 43,20 = 312,93 et 312,93 : 11,59. Victoire a revendu chaque DVD sur le site au prix de 11,59 € l’unité.

76   1. 15 cL = 0,15 L et 1,65 : 0,15 = 11. La mère de Raphaël pourra servir 11 personnes avec une bouteille. 2. 30 : 11 ª 2,73. La mère de Raphaël devra alors prévoir 3 bouteilles pour les 30 invités.

70  

10,5 ¥ 3 ¥ 7 = 220,5. La quantité de sirop nécessaire pour une semaine est 220,5 mL. Or un flacon contient 200 mL de sirop. Le pharmacien proposera donc 2 flacons de sirop.

77   4,7 ¥ 2,1 + 4 ¥ 0,6 = 12,27. Le prix total de la clôture est 12,27 €.

71   1. 30,48 : 2,54 = 12. Il y a 12 pouces dans un pied. 2. Amy mesure 5 pieds et 1 pouce soit : 5 ¥ 30,48 + 1 ¥ 2,54 = 154,94 cm. Amy mesure donc 1,549 4  m. Or 1,549 4 < 1,55. Donc Amy est plus petite que Marie.

78   1. a) Forfait n° 1 : 12 + 0,13 ¥ 80 = 22,40 €. Forfait n° 2 : 16 + 0,09 ¥ 80 = 23,20 €. b) Le tarif le plus avantageux pour 80 minutes de communication par mois est celui de 22,40 € du forfait n° 1. 2. 2 heures = 120 min. Forfait n° 1 : 12 + 0,13 ¥ 120 = 27,6. Forfait n° 2 : 16 + 0,09 ¥ 120 = 26,8. Le tarif le plus avantageux pour deux heures de communication par mois est celui de 26,80 € du forfait n° 2.

72   25,470 – 5,470 = 20. La bouteille contient 20 kg

de gaz, soit 20 000 g de gaz. 20  000  : 2,6 ª 7692,31 L. La bouteille contient environ 7 692,31 L de gaz. 85 + 120 = 205. La famille utilise chaque jour 205 L de gaz. 7 692,31 : 205 ª 37,52. La famille devra envisager de changer la bouteille de gaz au bout de 37 jours d’utilisation. 73   5,98  : 2 =  2,99. Pour cette première offre, un stylo coûte 2,99 €. 8,55 : 3 = 2,85. Pour cette deuxième offre, un stylo coûte 2,85 €. 14,55 : 5 = 2,91. Pour cette troisième offre, un stylo coûte 2,91 €. La proposition d’achat la plus avantageuse pour Nadia est le lot de 3 stylos à 8,55 € le lot. 74   1. Enzo devra enlever au minimum 2 articles, par exemple 1 DVD et 1 livre. 2. 4 ¥ 1,3 + 9,99 + 8 + 7 ¥ 0,5 =26,69 €. 3. 28,78 – 26,69 = 2,09. Il lui restera alors 2,09 €.

1. a) 1,5  : 12 =  0,125. Le restaurateur utilise 0,125 kg de viande pour confectionner une seule brochette. b) 0,125 ¥ 19,9 = 2,487 5. Le coût de fabrication d’une brochette est environ 2,49 €. 2. 0,9 ¥ 12 = 10,8. S’il vend toutes ses brochettes, le restaurateur réalisera un bénéfice de 10,80 €. 75  

79   1. 8 ¥ 12 = 96 et 240 – 96 = 144 et 144 : 6 = 24. Il y a 24 boîtes de 6 lapins dans un carton. 2. Le carton plein pèse 13,2 kg. Le carton vide pèse 300 g soit 0,3 kg. 240 ¥ 50 = 12 000. Les 240 lapins pèsent 12 000 g, soit 12 kg. 24 ¥ 20 = 480. Les 24 boîtes de 6 lapins vides pèsent 480 g, soit 0,48 kg. 13,2 – 0,3 – 12 – 0,48 =  0,42. Les 8 boîtes de 12 lapins vides pèsent 0,42 kg, soit 420 g. 420  : 8 =  52,5. Une boîte de 12 lapins vide pèse 52,5 g. 3. On ne peut pas répondre à cette question car on ne connaît que les prix de vente d’une boîte de 6 lapins et d’une boîte de 12 lapins. On ne peut que calculer la recette puisqu’on ne connaît pas le coût de fabrication qui nous permettrait de calculer le bénéfice réalisé.

Problèmes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

Problème complexe 1 À 110  km/h, la distance de freinage sur route sèche est de 121 m. On note D la distance d’arrêt en m sur route sèche. Donc D = 121. On déroule l’algorithme pour calculer la distance d’arrêt en m sur route humide : B = D : 2 = 121 : 2 = 60,5 Chapitre 1 • Les nombres décimaux 17

A = D + B = 121 + 60,5 = 181,5 201,3 – 181,5 = 19,8. L’automobiliste s’arrêtera à 19,8 mètres du tronc d’arbre. Problème complexe 2 1  459 +  115 =  1  574. Donc 1  574 personnes recevront le règlement intérieur du collège.

18 Nombres et calculs

Le règlement est imprimé sur 3 pages, soit sur 1,5 feuille de papier. 1 574 ¥ 1,5 = 2 361. Il faudra donc 2 361 feuilles de papier. 2 361 : 500 = 4,722. Il faudra alors 5 ramettes de feuilles de papier pour l’ensemble des professeurs et des élèves.

c h a pi t

re

2

Les nombres relatifs : comparaison et repérage

Programme Connaissances et compétences associées > Nombres et calculs Notion d’opposé . • Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté . > Espace et géométrie • (Se) repérer sur une droite graduée, dans le plan muni d’un repère orthogonal . Abscisse, ordonnée .

Nombres et calculs

Repères de progressivité Les élèves rencontrent dès le début du cycle 4 le nombre relatif qui prend possible toutes les soustractions . Ils […] rencontrent la notion d’opposé .

OUVERTURE

p . 35

Top Chrono ! a) 12 b) 6 c) 16,2 d) 4,03 e) 84 f) 17,9 g) 813,6 h) 87 Activité

1. La scène se passe à la piscine. Deux amis sont au bord de la piscine et observent un nageur. 2. Nombres présents sur le dessin : 0 ; 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; −1,50 ; −2,50. 3. Première catégorie de nombres : 0 ; 10 ; 20 ; 30 ; 40. Deuxième catégorie de nombres : 0 ; − 1,50 ; − 2,50. 4. La profondeur de la piscine où se trouve le nageur est de 2,50 mètres.

A La découverte des nombres relatifs

p . 36

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 36 Activité 1

1. L’élève qui récupère sa copie a une note de 12. Cette note est supérieure à 0. 2. J’ai sanctionné par −1 chaque faute d’orthographe. 3. Le nombre évoqué par le jeune garçon brun s’appelle un « nombre négatif ». Activité 2

1. La température annoncée à Nice est de 3 degrés. Elle est supérieure à 0. 2. La température mesurée le même jour à Strasbourg est de −3 degrés. Elle est inférieure à 0. 3. La température de Nice est positive et celle de Strasbourg est négative. 4. La température le même jour à Paris est de 0 degré. Elle est positive mais aussi négative. 5. Les différents nombres visibles sur la carte s’appellent des « nombres relatifs ». Chapitre 2 • Les nombres relatifs : comparaison et repérage 19

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

Nombres supérieurs à 0 : (+ 32) ; 12,4 ; + 15,3. Nombres inférieurs à 0 : (− 56,02) ; − 27. 1

2 1. et 2. − 4 ; 18,2 ; (− 26,5) ; + 52 ; (+ 5,1) ; 0. Soulignés : les nombres relatifs positifs. En gris : les nombres relatifs négatifs.

Nombres positifs : + 8 ; 4,89 ; (+ 17,7) ; 0 ; + 25,6 ; (+ 5). Nombres négatifs : − 5 ; 0 ; − 1 ; (− 4,89). 3

4 a) La hauteur du mont Blanc est de 4 810 mètres. b) La profondeur du Lac Léman est de 310 mètres. c) Vercingétorix se rendit à Jules César en 52 avant Jésus-Christ. 5

a) −10 000

b) − 624

c) − 2 500

Activité 2

Partie A 1. a) En 800 : Sacre de Charlemagne En − 1 250 : le règne de Ramsès II b) Début du Moyen-Âge : en 500 Construction de la pyramide de Khéops  : en − 2 600 2. La flèche noire située en bout de frise sert à orienter la droite, des nombres négatifs vers les nombres positifs. 3. Le nombre 0 sert de référence sur cette frise. 4.  Chaque petite graduation noire représente 100 ans. Partie B 1. 2. et 3. C

B

O

A

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

1. La situation n’a pas de sens car 6 0 2. − 28,2 < − 9 < 3,52 < 8 < + 56,4 31   1. a) 5 > − 5 ●

b) 12,5 > 8,6 c) − 100,5 < 99,5 d) − 32 > − 33 e) 29,15 > 0 f) 0 > − 201 2. 13 > 8,3 > + 6,7 > − 19,32 > − 58 Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

c) − 1,2 < 0,2 < + 4 d) 2 − 696,5 > − 4 839 ● 41   (+ 41) > (+ 6) > (+ 5,4) > 0 > (− 7) > (− 8,1) > ●

(− 38,6) 42   ●

32   a) 12  − 14,2 g) + 15 8 > 6 > − 1 > − 7 > − 14

47   a) 47 ●

Activité 1

− 210 > − 220

2. Les températures ainsi rangées le sont dans l’ordre décroissant. 51   − 52 < − 43 < − 37 < − 27 < − 24 < − 20 < − 16 ●

< − 13 < − 9

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

p. 46

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

1. Le skieur a froid car il se trouve sur la partie gauche du plan où les températures sont négatives. 2. Il fait 5 °C sur la plage enneigée. 3. Le skieur (− 12,5  °C ; 2 750 m) ; l’océan (5  °C ; 0 m). 4. En se dirigeant vers l’océan, le skieur va avoir plus chaud et se trouvera à une altitude plus basse.

52   1. ●

Variables : N est un nombre décimal positif Entrée : Saisir N Traitement et sortie : Si N − 23,00 > − 178,99 > − 850,00. 4. − 179 < − 178,99 < − 178

85   ●

4

Q

82   1. ●

b) Lyon(− 2  ; − 3), Nantes(−5  ; − 1,5), Bordeaux(− 4,5 ; − 3,5) et Clermont-Ferrand(− 2,5 ; − 3) 3. a) Axe des abscisses : droite passant par Nantes et Tours Axe des ordonnées  : droite passant par Tours et Toulouse b) Tours(0  ; 0), Clermont-Ferrand(1  ; − 1,5) et Toulouse(0 ; − 3,5)

Tableau 1 Scores obtenus par Paul 85 74,8 80,5 91 79,5

Bilan de la partie pour Paul + 4,5 − 5,7 0 + 10,5 −1

Figure 1

Scores obtenus par Ahmed 86,1 77,2 81 84,9 90

Bilan de la partie pour Ahmed + 7,2 − 1,7 + 2,1 +6 + 11,1

5) Nice 6) La Rochelle 7) Perpignan 8) Toulouse 9) Saint-Germain-des-Prés 10) Marseille Problèmes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56

87   Classement des équipes de la plus performante ●

Problème complexe 1 1. Les quatre fous ont pour coordonnées C1, F1, C8 et F8. Les deux dames ont pour coordonnées E1 et E8. 2. a) Si un roi se situe en C4, on peut le déplacer sur les cases B3, B4, B5, C3, C5, D3, D4 ou D5. b) • B6 en C4 : il s’agit d’un cavalier. • G4 en G6 : on ne peut pas identifier cette pièce : cela peut être une dame ou une tour.

à la moins performante : 1) Nantes 2) Auxerre 3) Strasbourg 4) Clermont-Ferrand

Problème complexe 2 Les profondeurs minimales de tous les poissons sont supérieures à − 250 mètres. Le plongeur doit donc se trouver dans le plateau continental pour pouvoir observer tous ces poissons.

Chapitre 2 • Les nombres relatifs : comparaison et repérage 31

c h a pi t

re

Les nombres relatifs : addition et soustraction

3

Programme

Nombres et calculs

Connaissances et compétences associées > Nombres et calculs • Notion d’opposé . Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté . Calculer avec des nombres relatifs (somme, différence) . Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur .

Nombre et calculs

Repères de progressivité Les élèves rencontrent dès le début du cycle 4 le nombre relatif qui prend possible toutes les soustractions . Ils généralisent l’addition et la soustraction dans ce nouveau cadre et rencontrent la notion d’opposé .

OUVERTURE

p . 57

3.

Top Chrono ! a) 33 e) 0

b) 7 f) 331,4

c) 40,6 g) 660

d) 9,9 h) 440,1

Activité

1. Une soustraction est écrite au tableau : 12 – 20. 2. Dans cette opération, 12 et 20 représentent les termes. 3. La fille assise entre les deux garçons donne la bonne réponse.

A L’addition de deux nombres relatifs

p . 58

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 58 Activité 1

1. et 2. Jour 1er jour 2e jour 3e jour 4e jour 5e jour 6e jour 32 Nombres et calculs

1re partie gagne 9 perd 10 perd 10 gagne 4 gagne 10 gagne 6

2e partie perd 4 gagne 8 perd 5 gagne 11 perd 15 perd 6

gagne 5 et perd 1 perd 7 et (− 7) + (+ 6) gagne 6 perd 8 et (− 8) + (− 2) perd 2 gagne 3 et (+ 3) + (− 2) perd 2 gagne 11 (+  11) +  (− 16) et perd 16 gagne 10 (+ 10) + (+ 7) et gagne 7 (+  5) +  (− 1)

4. a) − 2 b) − 12

Bilan gagne 5 perd 2 perd 15 gagne 15 perd 5 gagne 0 ou perd 0

c) +  3 d) + 14

e) − 31 f) + 10

Bilan

Autre écriture du bilan

gagne 4

(+  4)

perd 1

(− 1)

perd 10 gagne 1

(− 10)

perd 5

(− 5)

gagne 17

(+  17)

g) − 12 h) − 11

Autre écriture (+  9) +  (− 4) (− 10) + (+ 8) (− 10) + (− 5) (+  4) +  (+  11) (+  10) +  (− 15) (+  6) +  (− 6)

(+  1)

5. a) Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on garde le signe commun aux deux nombres et on additionne les distances à zéro de ces nombres. b) Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait la plus petite distance à zéro à la plus distance à zéro de ces nombres.

1. Bilan (− 5) + (+ 10) =+5 (− 3) + (+ 5) =+2 (− 8) + 0 =−8 (− 4) + (+ 2) =−2

2. Dans l’ensemble, Sophia a été perdante.

Je sais Additionner deux nombres relatifs . . . p. 59

Exercices d’application 1 a) (− 22) + (− 33) = (− 55) b) (+ 15) + (+ 16) = 31 c) (− 45) + (+ 17) = (− 28) d) (+ 13) + (− 52) = (− 39) e) 0 + (− 2) = (− 2) f) (+ 50) + 0 = 50 g) (− 1 502) + (+ 1 502) = 0 h) (− 28) + (+ 38) = 10 a) (− 13) + (− 3) = (− 16) b) (− 37) + (− 37) = (− 74) c) (+ 8) + (+ 16) = ( + 24) d) (− 78) + (+ 82) = 4 e) (− 64) + (+ 64) = 0 f) (+  100) +  (− 99) = 1 g) (− 122,1) + (+ 72) = (− 50,1) h) (− 201) + 198 = − 3 2

3 1. La somme de deux nombres positifs est un nombre positif. 2. La somme de deux nombres négatifs est un nombre négatif. 3. La somme de deux nombres opposés est égale à 0.

a) + c) − d) − b) − 4

5 1. b) 2. a)

Activité 2

Jeux Dépenses Gains Chamboule+ 10 € − 5 € tout Pêche aux + 5 € − 3 € canards Tirs de 0,00 € − 8 € ballons Black-jack (jeu de + 2 € − 4 € cartes)

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60

e) + f) + ou −

3. d) 4. c)

6 1. a) négative c) positive b) négative d) négative 2. a) négative c) positive ou négative b) positive d) négative 7 1. a) positive c) négative b) négative d) négative 2. a) positive ou négative c) négative b) négative d) négative

1. a) + 12 b) +  3 2. a) − 29 b) + 10

c) − 13 d) − 7 c) − 8 d) + 6

9 1. a) 65,5 b) 358,7 2. a) − 0,54 b) 36,81

c) − 97,8 d) − 0,42 c) 3,39 d) − 59,09

8

10   1. a) Ordre de grandeur : − 270. ●

Résultat : − 275. b) Ordre de grandeur : 10. Résultat : 14. c) Ordre de grandeur : − 2 100. Résultat : − 2 123. d) Ordre de grandeur : − 458. Résultat : − 458. e) Ordre de grandeur : − 1 200. Résultat : − 1 247. 2. a) Ordre de grandeur : − 100. Résultat : − 100. b) Ordre de grandeur : 20. Résultat : 19,7. c) Ordre de grandeur : − 700. Résultat : − 733,4. d) Ordre de grandeur : 25. Résultat : 25,67. e) Ordre de grandeur : − 5. Résultat : − 5. 11   a) Signe : −. Résultat : − 32,4. ●

b) Signe : + . Résultat : 23,6. c) Signe : −. Résultat : − 0,86. d) Signe : −. Résultat : − 0,15. e) Signe : + . Résultat : 15,66.

Chapitre 3 • Les nombres relatifs : addition et soustraction 33

12   ●

a b − 10,9 4,2 7,6 − 3,5 − 38,4 − 8,5

c 34 2,5 15,4

a +  b − 6,7 4,1 − 46,9

a +  c 23,1 10,1 − 23

b +  c 38,2 −1 6,9

13   1. 17 ●

20   a) 7,3 +  (− 5,6) = + 1,7 ● b) − 6,5 + (− 4,5) = − 11 c) − 26 + (+ 10,8) = − 15,2

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61 21   1. À 21 heures, la température était de − 3 °C ; à ●

2. − 4 3. 5,6

14   1. a) − 959 ● b) − 289 2. Le sous-marin se trouve alors à une profondeur de 289 mètres. 3. Le garçon était né en l’an 959 avant JésusChrist. 15   1. − 67 ● 2. − 11 3. 0 4. − 42 16   a) Ordre de grandeur : − 10. Résultat : − 10,2. ●

b) Ordre de grandeur : − 20. Résultat : − 24,3. c) Ordre de grandeur : − 100. Résultat : − 98,1. d) Ordre de grandeur : − 20. Résultat : − 20,8. 17   1. a) 3 c) 1 ● b) 17 d) − 4 2. a) 2,1 c) − 19,01 b) 20,7 d) − 5,2 18   a) 5 ●

b) − 5 c) − 15

19   ●

x

y

x +  y

−8 − 11

5

−6

−3 − 17

25

+ 19

44

14

−7 − 18

7

− 21 − 31 − 1,5

5,2

+ 6,1

11,3

− 3,1

− 4,7 − 6,9 − 13

− 7,8

+ 13

+ 18,6

− 9,4 34 Nombres et calculs

5,5

11,7

− 22,4

4 heures du matin, la température était de − 7 °C ; à 8 heures, la température était de − 6 °C et à midi, la température était de − 1 °C. 2. La température a recommencé à augmenter à partir de 8 heures. 22   ●

u − 14 − 90 68 −8 − 54 − 32,8

v +2 +5 − 69 + 26,1 − 48 32,8

u +  v − 12 − 85 −1 + 18,1 − 102 0

23   1. Si l’on choisit − 7 comme nombre de départ, ● on obtient − 7 comme résultat. 2. Si l’on choisit +  6 comme nombre de départ, on obtient +  6 comme résultat. 3. On remarque que le résultat obtenu est égal au nombre de départ. 4. Variable : X est un nombre relatif Entrée : Saisir X Traitement : X prend la valeur X +  8 X prend la valeur X +  (− 10) X prend la valeur X +  2 Sortie : Afficher X

B La soustraction entre deux nombres relatifs p. 62 Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62 Activité 1

1. a) − 7 b) − 4 ; − 2,5 ; − 3 2. (− 3) + (− 4) = − 7. Ce résultat est identique à celui de (− 3) – 4.

Activité 2

1. Le signe (–) de la calculatrice correspond au signe du nombre qu’il précède. Le signe – de la calculatrice correspond au signe de la soustraction. 2. Le grand frère de Luc lui dit qu’il a utilisé la touche – de la calculatrice à la place du signe (–). 3. S’il n’y a aucun signe devant le nombre obtenu après un calcul à la calculatrice, cela signifie que le nombre est positif, sinon, un signe – se trouve devant ce nombre. Je sais Soustraire un nombre relatif . . . . . . . . . p. 63

Exercices d’application 24   a) (− 22) − (− 33) = 11 ● b) (+ 15) − (+ 16) = (− 1) c) (− 45) − (+ 17) = (− 62) d) (+ 13) − (− 52) = 65 e) (0) − (− 2) = 2 f) ( + 50) − 0 = 50 g) (− 1 502) − (+ 1 502) = (− 3 004) h) (− 28) − (+ 38) = (− 66) 25   a) (+  62) − (− 63) = 125 ●

b) (− 37) − (− 37) = 0 c) (8) − (+ 16) = (− 8) d) (− 78) − (+ 82) = (− 160) e) (− 64) − (+ 64) = (− 128) f) (+ 100) − (− 99) = 199 g) (− 201) − (+ 198) = (− 399) h) (− 101,3) − (+ 82,1) = (− 183,4) Je sais Effectuer une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs . . . . p. 63

Exercices d’application 26   a) (− 2) + (− 5) + (− 8) − (+ 12) − (− 1) ● = (− 2) + (− 5) + (− 8) + (− 12) + (+ 1) = (− 27) + (+ 1) = (− 26) b) (+ 12) − (− 12) + (− 12) − (+ 12) = (+ 12) + (+ 12) + (− 12) + (− 12) = 24 + (− 24) =0 c) (− 8) − (+ 13) + (+ 2) = (− 8) + (− 13) + (+ 2) = (− 21) + (+ 2) = (− 19)

d) (+ 7) + (− 4) − (+ 15) + (+ 23) − (− 16) = (+ 7) + (− 4) + (− 15) + (+ 23) + (+ 16) = (+ 46) + (− 19) = (+ 27) 27   a) (− 5) + (+ 10) + (− 15) − (− 20) + (− 5) ●

= (− 5) + (+ 10) + (− 15) + (+ 20) + (− 5) = (+ 30) + (− 25) = (+ 5) b) (− 100) + (+ 98) − (+ 20) − (− 4) + (− 1) = (− 100) + (+ 98) + (− 20) + (+ 4) + (− 1) = (− 121) + (+ 102) = (− 19) c) (− 52) + (− 32) − (− 90) − (+ 7) = (− 52) + (− 32) + (+ 90) + (− 7) = (+ 90) + (− 91) = (− 1) d) (− 26) + (+ 26) − (− 26) = (− 26) + (+ 26) + (+ 26) = (+ 52) + (− 26) = (+ 26)

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64 28   a) 5,9 – (− 2,48) = 5,9 + (+ 2,48). Le signe de ●

l’expression est + . b) (– 7,4) – (− 248,19) = (− 7,4) + (+ 248,19). Le signe de l’expression est + . c) 0 – (− 2,36) = 0 + (+ 2,36). Le signe de l’expression est + . d) 246,2 – (− 246,3) = 246,2 + (+ 246,3). Le signe de l’expression est + . e) (− 54) – 54,1 = (− 54) + (− 54,1). Le signe de l’expression est −. 29   ●

Transformation en Résultat addition (− 9) + (+ 6) −3 (− 9) – (− 6) (− 18,5) + (− 2) − 20,5 (− 18,5) – (+ 2) 68,2 – (+ 25,7) 42,5 68,2 + (− 25,7) (+ 45,8) + (+ 8) 53,8 (+ 45,8) – (− 8) (− 10) + (− 10) − 20 (− 10) – (+ 10) Soustraction

30   a) (+ 12) – (− 4) = (+ 12) + (+ 4) = 16 ● b) (− 6) – (+ 3) = (− 6) + (− 3) = − 9 c) (+  8) – (− 4) = (+ 8) + (+ 4) = 12 d) (+  10) – (+  9) = (+  10) +  (− 9) = 1

Chapitre 3 • Les nombres relatifs : addition et soustraction 35

e) (+  2) – (+  11) = (+  2) +  (− 11) = − 9 f) 0 – (− 24) = 0 + (+ 24) = 24 g) (− 15,6) – (− 26,3) = (− 15,6) + (+ 26,3) = 10,7 h) (+  1,01) – (− 1,01) = (+ 1,01) + (1,01) = 2,02 31   a) 2 ●

b) 23

c) − 11 d) 0

32   a) 7,7 c) − 23,1 e) 5 ● b) 12,9 d) 11 f) − 6

b) Ordre de grandeur : − 2. Résultat : − 2,4. c) Ordre de grandeur : 28. Résultat : 28,1. d) Ordre de grandeur : 30. Résultat : 30. e) Ordre de grandeur : 0. Résultat : − 0,3. f) Ordre de grandeur : − 100. Résultat : − 102. 34   a) 53 c) 18,4 ● d) 58 b) 0

c) − 23 b) − 20 d) 0,8

e) − 8,2

36   a) (− 9) + (− 4) = − 13 ● b) 6 – 10 = − 4 c) − 12,5 + (− 18,6) = − 31,1 d) − 15,7 – (+ 21,2) = − 36,9 37   ●

x

y

x–y

−9 − 13

4

−7

− 13 −6

32

+ 32

0

18

− 18 − 42,2 − 2,9 − 10,1 − 34

36

+ 15

− 6,7 + 21,3

− 11,5

de − 1 °C. 2. 0 – 15 – 5 = − 20. Le plongeur se trouve alors à une profondeur de 20 mètres. 3. 0 − 30 – 21 = − 51. Le règne de Cléopâtre a débuté en l’an 51 avant Jésus-Christ. J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

33  . a) Ordre de grandeur : − 20. Résultat : − 21,5. ●

35   a) − 4 ●

40   1. 5 – 6 =  − 1. La température de ce matin est ●

41   Paul a raison car Isidore a perdu 4 € entre la 1re ●

et la 2e partie, alors que les autres pertes d’argent sont inférieures à 4 €. 42   1. Ce record mondial d’amplitude thermique ●

est de 104,4 °C. 2. L’écart entre les deux températures extrêmes est de 149,9 °C.

43   1. La touche (–) permet d’écrire le signe d’un ● nombre à l’aide de la calculatrice. La touche – permet d’effectuer une soustraction à l’aide de la calculatrice. 2. La succession de touches (–) (–) 152 signifie que l’on prend l’opposé de − 152. On obtient alors 152. 3. a) Si l’on tapait 2 016 fois sur la touche (–) suivie du nombre 152, on obtiendrait 152. b) Si l’on tapait 2 017 fois sur la touche (–) suivie du nombre 152, on obtiendrait − 152. 44   1. 140 – (– 18) = 158. Le prix du téléphone ●

portable qu’Adèle aimerait acheter est de 158 €. 2. – 44 – (– 100) = 56. Jules César est mort à l’âge de 56 ans. 3. 4 – (– 4) = 8. L’écart entre les deux températures est de 8 °C.

57,2

45   1. ●

− 3,8 31,4

Épreuve

22,5

38   ●

Total des points Lydia Julia

Écart

Escrime

246

195

51

f

g

h

g−h

f−h

h−g

Natation

178

232

– 54

9

− 13

14

− 27

−5

27

Équitation

287

298

– 11

− 5,6 − 6,6

9,5

16,1

Combiné course-tir

556

517

39

− 16,1 − 15,1

− 32,9 63,5 − 53,8 117,3 39   a) 27 c) 16 ● b) 5 d) 3 36 Nombres et calculs

20,9

− 117,3

2. a) L’écart entre Lydia et Julia était le plus grand après l’épreuve de natation. b) Julia était alors en tête.

C Les suites d’additions et de soustractions de nombres relatifs p. 66 Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66 Activité 1

1. Ordre de grandeur du bilan pour la 1re semaine : 130 €. Bilan de la 1re semaine : 130 €. Ordre de grandeur du bilan pour la 2e semaine  : − 25 €. Bilan de la 2e semaine : – 25,60 €. Ordre de grandeur du bilan pour la 3e semaine  : – 128,10 €. Bilan de la 3e semaine : – 128,10 €. Ordre de grandeur du bilan pour la 4e semaine  : 301 €. Bilan de la 4e semaine : 301 €. 2. Recette mensuelle : 702,50 €. Dépense mensuelle : – 425,20 €. Bilan mensuel : 277,30 €. 3. a) Avec la calculatrice, on obtient  : 227,30. On constate que ce résultat correspond au bilan mensuel. b) Les parents de Louise peuvent vérifier le bilan du mois en effectuant la différence entre la recette mensuelle et la dépense mensuelle. c) 176 – 46 +  225,50 – 251,10 +  0 – 128,10 +  301 +  0. Activité 2

1. (− 8) + (+ 5,5) – (+ 2,5) + (– 6) – (– 1). 2. On obtient le résultat – 10. 3. – 8 +  5,5 – 2,5 – 6 +  1. 4. Lorsqu’il y a un signe +  devant une parenthèse ou aucun signe, il suffit d’enlever les parenthèses et le signe +  puis de recopier le nombre qui était entre parenthèses avec son signe. Lorsqu’il y a un signe – devant une parenthèse, il suffit d’enlever les parenthèses et le signe – puis de prendre l’opposé du nombre qui était entre parenthèses. Je sais Calculer avec des nombres relatifs sans parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67

Exercice d’application 46   a) − 12 + 6 − 15 − 3 + 7 = + 13 − 30 = − 17 ● b) − 23 + 23 + 18 + 15 − 18 = + 56 − 41 = + 15 c) − 100 + 90 − 5 + 15 = + 105 − 105 = 0 d) − 25 + 55 + 1 − 36 + 4 = + 60 − 61 = − 1 e) 2 +  6 − 9 − 5 + 3 − 4 = + 11 − 18 = − 7 f) 47 − 32 + 23 + 5 − 14 = + 75 − 46 = + 29

Je sais Simplifier l’écriture d’une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68

Exercice d’application 47   a) − 2 − 5 − 8 − 12 + 1 ● b) 12 +  12 − 12 − 12 c) 7 − 4 − 15 + 23 + 16 Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68 48   a) – 29 c) – 25 ● b) – 12 d) – 110 49   a) – 12 c) 43 ● b) 21 d) – 200 50   a) – 39 c) 1,8 ● b) 56 d) 0,45 51   a) Ordre de grandeur : – 115. Résultat : – 109. ●

b) Ordre de grandeur : – 25. Résultat : – 29,4. c) Ordre de grandeur : – 325. Résultat : – 329. d) Ordre de grandeur : – 115. Résultat : – 111,69.

52   ●

Écriture avec parenthèses

Écriture simplifiée

Résultat

(+  24) + (+ 26)

24 + 26

50

(+ 9) – (+ 15)

9 – 15

–6

(– 2,3) + (+ 6,3)

– 2,3 + 6,3

4

(– 291) – (+ 66)

– 291 – 66

– 357

0 + (– 6)

0–6

–6

(– 36,1) – (+ 44,9)

– 36,1 – 44,9

– 81

(– 3,5) – (+ 1,5)

– 3,5 – 1,5

–5

53   a) 5 – 8 +  21 = 18 ●

b) – 20 +  6 – 2 = – 16 c) – 13 +  2 – 16 = – 27 d) – 5 – 10 – 14 = – 29

54   A = 7 – 8 – 11 +  4 – 7 = – 15 ●

B = – 26 +  14 – 10 +  6 +  10 = – 6 C = – 13 – 7 +  4 +  13 +  9 +  6 = 12

55   A = 11 ●

B = 19 C = – 36 D = 3

Chapitre 3 • Les nombres relatifs : addition et soustraction 37

56   A = – 13 ●

B = – 210 C = 10,4 D = – 5,4

●

57   A = – 2,7

B = – 19 C = 10 D = – 2,2

58   1. A = – 65 +  (+  9) +  (– 35) + (+ 2) + (– 9) + ●

(+ 238) 2. A = – 65 +  9 – 35 +  2 – 9 +  238 3. A = 140

59   a) 5 – 8 +  3 +  4 = 4 ●

b) – 2 – 9 +  (– 1) + 3 = – 9 c) 6 +  (– 7) + 12 + (– 5) = 6

D La distance entre deux points

p. 70

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70 Activité 1

1. a) et b) Q

W

– 12– 11– 10 – 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0

P 1

2

3

S 4

5

6

2. La différence de température entre Shanghai et Washington est de 7 degrés. 3. (+  5) – (– 2) = 7. On retrouve le résultat de la question 2. 4. – 2 – (– 11,8) = – 2 + 11,8 = 9,8. La différence de température entre Québec et Washington est de 9,8 degrés. 3,1 – (– 11,8) = 14,9. La différence de température entre Paris et Québec est de 14,9 degrés.

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69 60   1. +  28 + 15 – 49 + 14 – 16 – 7. ●

2. + 28 + 15 – 49 + 14 – 16 – 7 = – 15. Joe a donc perdu 15 €.

61   1. 0 – 2 +  0,81 – 1,56 – 2,47 +  0,95 +  1,39. ●

2. Après tous ces déplacements, le plongeur se trouve à une profondeur de 2,88 mètres.

62   1. 3 +  3 +  3 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 5. ● Grégoire a obtenu la note de – 5. 2. a) 3 × 10 = 30. La meilleure note que l’on puisse obtenir à ce QCM est 30. b) – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = – 70. La plus mauvaise note que l’on puisse obtenir à ce QCM est – 70. 3. Raphaël a obtenu 10 points à ce QCM avec 6 bonnes réponses et 4 mauvaises réponses. 63   1. Lorsqu’on choisit X = 4, on obtient en sortie ●

de l’algorithme le nombre 0. 2. Lorsqu’on choisit X = – 4, on obtient en sortie de l’algorithme le nombre – 8. 3. Variable : X est un nombre relatif. Entrée : Saisir X. Traitement : X prend la valeur X – 4 Sortie : Afficher X. 4. Pour X = 4, on obtient bien 0 et pour X = – 4, on obtient bien – 8 en sortie de l’algorithme.

38 Nombres et calculs

Activité 2

1. AB = 2 m 2. AC = 4 m 3. Une soustraction 4. a) EF = − 3 – (− 6) = 3 m GE = 2 – (− 6) = 8 m HG = 7 – 2 = 5 m FG = 2 – (− 3) = 5 m b) c) Voir la figure 1 en page 39. Je sais Calculer la distance entre deux points sur une droite graduée . . . . . . . . . . . . . . p. 71

Exercices d’application 64   AB = 6 BD = 2 ● CE = 2 BA = 6

ED = 7 DB = 2

65   1. et 2. Voir la figure 2 en page 39. ●

3. IJ = 10 MN = 3,5

IK = 1,5 LN = 3,8

KL = 7 JL = 4,5

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72 66   1. MA = 15,5 ; AT = 18 ; TM = 2,5. ●

2. MA = 21 ; AT = 27 ; TM = 6. 3. MA = 25 ; AT = 38 ; TM = 13. 4. MA = 130,5 ; AT = 208 ; TM = 77,5.

67  . 1. Voir la figure 3 en page 39. ●

2. IJ = 14,5 ; KL = 7,5 ; IK = 12 ; LI = 4,5 ; JK = 2,5.

Figure 1 E –6

–5

B

F

A

–4

–3

–2

GC –1

0

D

2

1

3

H

5

4

7

6

Figure 2 K

I

–5

–4

N –3

ML

O

–2

–1

0

1

J

2

3

4

5

6

7

Figure 3 J –7

K –6

–5

–4

L

O –2

–3

–1

0

1

2

3

I 4

5

6

7

8

9

68   1., 2. et 4. ● BD –5

–4

O –3

–2

–1

0

A 1

2

3

69   ●

BA 12 9,92

5

6

7

8

72   1. Aristote Onassis est mort à 69 ans. ●

3. AB = 9 ; AC = 1,7 ; CD = 10,5 ; BD = 0,2. a b c − 10,5 1,5 − 14,5 2,39 − 7,56 − 9,33

4

C

CA 4 11,72

CB 16 1,77

70   1. Pythagore a vécu 90 ans. ●

2. Archimède est né en − 287.

71   Amplitude thermique pour l’Afrique du Sud  : ●

68,6 °C. Amplitude thermique pour l’Antarctique : 19,7 °C. Amplitude thermique pour le Canada : 107,8 °C. Amplitude thermique pour l’Espagne : 79,2 °C. Amplitude thermique pour la France : 85,3 °C. Amplitude thermique pour le Japon : 82 °C.

Périclès est mort à 66 ans. Hippocrate est mort à 83 ans. El Greco est mort à 73 ans. Aristote est mort à 62 ans. Phidias est mort à 60 ans. Melina Mercouri est morte à 74 ans. Strabon est mort à 85 ans. 2. Strabon a vécu le plus longtemps. 3. Phidias a vécu le moins longtemps.

73   1. a) AB = 50 et CD = 5. ●

b) et c) Voir la figure 4 ci-dessous. 2. a) AB = 405 ; CD = 115. b) et c) Voir la figure 5 ci-dessous. 3. a) AB = 3,1 ; CD = 2,5. b) et c) Voir la figure 6 ci-dessous.

Figure 4 A

D

C

B

O 0

5

Figure 5 B

C

O 0

D

A

25

Figure 6 A

C

O 0

B

D

0,5 Chapitre 3 • Les nombres relatifs : addition et soustraction 39

74   1. Archimède a vécu 75 ans. ●

83   a) AB = 10 b) CD = 27 ● 84   Débat ●

2. Auguste a vécu 77 ans. 3. Platon est mort en − 348. 4. Aristote est né en − 384.

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73 75   L et B ont pour abscisses − 42,5 et 17,5. ● 76   10,4 +  3,5 +  2,2 = 16,1. ● 77   1. Voir la figure 1 ci-dessous. ●

2. La distance qui sépare Hugo de Margaux est de 1 750 mètres.

78   ●

B 0

P

E

1

La distance totale entre le sol du bassin et le point d’élévation du plongeur est de 7,3 m. Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74 79   a) − 2 b) 2 c) 41 ●

d) − 8,3 e) − 45 f) 2,5 80   a) − 1 b) 24 c) − 3 ●

Carmen et Pedro ont tous les deux raison. En effet, − 19 – 6,2 = -25,2 peut s’écrire : − 19 – (+ 6,2) = − 25,2 (soustraction). Et − 19 − 6,2 = − 25,2 peut aussi s’écrire : − 19 + (− 6,2) = − 25,2 (addition). Atelier numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75

La grenouille a parcouru au total 16,1 cm.

S

c) EF = 2,9 d) GH = 50

d) 14

Étape 1 Créer une feuille de calcul sur un tableur 1. Voir le tableau 1 ci-dessous. Étape 2 Saisir et étirer une formule pour calculer les points marqués 2. a) Formule à saisir dans la cellule C2 : « =3*E2 +  F2 » b) Voir le tableau 2 en page 41. c) Voir le tableau 3 en page 41. Étape 3 Saisir et étirer une formule pour calculer les différences de buts 3. a) Formule à saisir dans la cellule J2 : « = H2 – I2 » b) Voir le tableau 4 en page 41. c) Voir le tableau 5 en page 41.

e) − 15,6 f) − 10 g) − 3,1 81   a) 32 – 65 – 96 +  24 ●

b) − 25 − 1 – 29 + 5,2 c) 34 +  18 – 5,6 – 1,2 +  7 82   a) − 7,2 ●

b) − 56,4

c) − 3,1

d) 103

Étape 4 Observer les résultats obtenus 4. Les différences de buts obtenues ne sont pas toutes positives car certaines équipes ont un nombre de buts « pour » inférieur au nombre de buts « contre ».

Figure 1 H

L

Tableau 1

40 Nombres et calculs

C 0

P 100

M

Tableau 2

Tableau 3

Tableau 4

Tableau 5

Chapitre 3 • Les nombres relatifs : addition et soustraction 41

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76 86   Problème d’application ●

1re possibilité : Z peut avoir pour abscisse − 7,7 et U peut avoir pour abscisse − 6,9. 2e possibilité : Z peut avoir pour abscisse 2,9 et U peut avoir pour abscisse 2,1. 87   1,80 × 3 = 5,40 et 5,40 > 5. Donc Nils n’est pas ●

satisfait car Xavier lui doit encore 0,40 €.

88   La profondeur du bassin est de 3,4 mètres. ● 89   1. 14 et − 14 car − 14 – 14 = − 28. ●

2. − 56 et − 28 car − 56 – (− 28) = − 28. 3. 13 et − 41 car 13 +  (− 41) = − 28. 4. − 10 et − 18 car − 10 + (− 18) = − 28.

90   Estelle a tort car il existe des nombres décimaux ●

relatifs compris entre − 9,7 et − 9,6 comme − 9,61.

91   1. + 7 – 13 + 15 – 11 + 4,7. ●

2. + 7 – 13 + 15 – 11 + 4,7 = 2,7. Le perchoir du martin-pêcheur se trouve à une hauteur de 2,7 mètres.

92   1. a) 1 500 – 90 = 1 410. Le résultat − 90 réalisé ●

par Matthieu la première semaine correspond à un total de ventes de 1 410 €. b) 1 950 – 1 500 = 450. Pour un total de ventes de 1 950 €, Matthieu aurait inscrit le nombre 450. 2. a) Matthieu : − 90 − 110 + 160 + 150 = 110 Tanguy : − 50 – 25 + 160 − 5 = 80 Étienne : -130 +  230 – 30 – 25 = 45 Matthieu est le meilleur vendeur car 110 > 80 > 45. b) 1re semaine : -90 – 50 – 130 = − 270 2e semaine : − 110 − 25 + 230 = 95 3e semaine : 160 +  160 – 30 = 290 4e semaine : 150 – 5 – 25 = 120 La meilleure semaine pour l’association est la 3e semaine car 290 > 120 > 95 > − 270. 93   1. ●

La voiture de Loïc a été éliminée de la course car, ayant eu un souci de programmation, sa voiture est partie dans le sens contraire de la course. 2. Distance parcourue par la voiture d’Alban  : 37,9 dm.

42 Nombres et calculs

Distance parcourue par la voiture de Mourad  : 21,4 dm. 37,9 > 21,4. Alban est donc sorti vainqueur de cette course. Problèmes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78

Problème complexe 1 Jack habite à Canberra en Australie et le marathon se déroule à Nuuk au Groenland (document 1). Par rapport à la France, il y a un décalage de − 4 heures avec le Groenland et de +  10 heures avec l’Australie. Entre l’Australie et le Groenland, le décalage horaire est de 14 heures. Le marathon a lieu à 14  h  30 à Nuuk et sera retransmis en direct à Canberra à 4 h 30 du matin. Le marathon durant deux heures, Jack devra programmer son magnétoscope à 4 h 30 du matin jusqu’à 6  h  30 du matin pour voir la totalité du marathon. Problème complexe 2 Lundi : William a perdu 2 parties : (− 15 – 15 = − 30 jetons). Mardi : William a perdu 2 parties et gagné 2 parties (− 15 – 15 + 20 + 20 = + 10 jetons). Mercredi  : William a perdu 1 partie et gagné 1 partie (− 15 + 20 = + 5 jetons). Jeudi : William a perdu 1 partie et gagné 1 partie (− 15 + 20 = + 5 jetons). Vendredi : William a perdu 2 parties : (− 15 – 15 = − 30 jetons). Samedi : William a gagné 3 parties : (20 +  20 +  20 = +  60 jetons). Total des jetons gagnés pendant la semaine : − 30 + 10 + 5 + 5 − 30 + 60 = 20 jetons. William joue 4 parties le dimanche soir. On a : 20 – 15 – 15 +  20 +  20 = 30 jetons. Dimanche soir, William doit gagner 2 parties et perdre 2 parties pour recevoir 30 jetons au total à la fin de la semaine.

c h a pi t

re

4

La division avec des nombres entiers

Programme

Nombres et calculs

Connaissances et compétences associées > Nombres et calculs Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur . Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier . • Division euclidienne (quotient, reste) . • Multiples et diviseurs . • Notion de nombres premiers .

OUVERTURE

p . 79

Top Chrono ! a) 15 e) 4

b) 72 f) 6

c) 140 g) 7

d) 600 h) 4

Activité

1. a) La lettre X figure devant les 11 chiffres sur le billet. b) Son rang dans l’alphabet est 24. 2. 2465391322655 3. a) 2465391322655 = 9 × 273932369183 + 8 b) Le reste obtenu est 8. 4. Ce billet est un billet valide. A La division euclidienne

Activité 2

1. 4 0 4 6 4 4 67 2

p . 80

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 80 Activité 1

1. 354 : 12 = 29,5. 29,5 n’est pas un entier. Donc Tom n’a pas assez de cartes pour en donner 12 à chacun. 2. a) Tom ne poursuit pas l’écriture de la table de multiplication plus loin car 364 > 354. b) Chaque participant au concours recevra 13 cartes. c) 354 – 338 = 16. Le petit frère de Tom aura 16 cartes. 3. On calcule : 26 × 13 + 16 = 354. 4. Si Tom avait 378 cartes à 3 7 8 26 distribuer, chaque participant 1 1 8 14 aurait 14 cartes et son petit frère 14 en aurait eu 14 également.

Victor et son grand-père peuvent remplir 67 boîtes de 6 œufs. 2. Il reste 2 œufs. Il manque alors 4 œufs pour remplir la dernière boîte de 6 œufs. 3. 4 0 4 12 4 4 33 8 Victor et son grand-père peuvent remplir complètement 33 boîtes de 12 œufs. 4. S’ils remplissent une boîte de 6 œufs en plus de ces boîtes de 12 œufs, il restera 2 œufs. Je sais Effectuer une division euclidienne et écrire l’égalité correspondante . . . . . . . . . . . . p . 81

Exercices d’application 1

a)

98 08 2

3 32

c) 2 3 5 21 2 5 11 4

b) 4 7 6 8 7 6 59 4 d) 1 5 6 2 11 4 6 142 2 0

a) 98 = 3 × 32 + 2 et 2 < 3 b) 476 = 8 × 59 + 4 et 4 < 8 c) 235 = 21 × 11 + 4 et 4 < 21 d) 1 562 = 142 × 11 + 0 et 0 < 11 Chapitre 4 • La division avec des nombres entiers 43

2

a)

1. 18 02

4 4

b) 4 8 0 14 0 6 0 34 04



c) 6 0 0 25 1 0 0 24 0

d) 2 7 8 1 5 556 028 031 01 2. a) 18 = (4 × 4) + 2 et 2 < 4 b) 480 = (14 × 34) + 4 et 4 < 14 c) 600 = (25 × 24) + 0 et 0 < 25 d) 2 781 = (5 × 556) + 1 et 1 < 5 3 a) 49 = 5 × 9 + 4 et 4 < 5. b) 695 = 25 × 27 + 20 et 20  54 et 63 sont divisibles par 9. Donc, on peut écrire : 4

10   a)

d)

a) > 108 et 116 sont divisibles par 4. Donc, on

peut écrire : b) > 111 et 63 sont divisibles par 3. Donc, on peut écrire : c) > 625 et 175 sont divisibles par 5. Donc, on peut

11   a)

d)



12   a)

d)

De plus, 125 et 35 sont divisibles par 5. On peut

13   1.

d) > 927 et 81 sont divisibles par 9. Donc, on peut écrire :

a)

d) 6



7

e)

a)



d)

b)



b)

c)



f)



3 2

f) c)



e)



c)



b)

… est divisible par… 2 780 540

donc écrire :

5

e)

f)



b)



c)



e)



écrire :

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 98

b)

f)



2

3

4

5

9

10

oui oui

non oui

oui oui

oui oui

non oui

oui oui

2. 14   a)

b)



c)

d)



c)



15   a)

e)



d)

a)

b)



f)



e)





c)



f)

16  

b)

17   1. Dans

6 roses, la proportion de roses est

c)

3 roses, la proportion de roses est a)

d) 9

d)

.

Dans le bouquet composé de 4 marguerites et de

d) 8

le bouquet composé de 8 tulipes et de

b) e)

a)



b) e)

c)



.

2. Les fractions obtenues sont égales car .

f)



18   1.



c)

f)

 ;

 ;

et

ne peut

pas être simplifiée. 2. Émilie et Camille possèdent la même proportion d’images. Chapitre 5 • Les fractions 55

25   1. Jenny a emmené 35 affaires.

19   1.

2. a) 2.

. Donc Sylvie et Norbert n’ont b) On peut simplifier la fraction par 5. On obtient

pas lu la même proportion de BD. 20   1. a)

3. 5 sous-pulls, 3 pantalons, 1 gilet, 1 paire de lunettes de soleil, 8 paires de chaussettes et 2 paires de gants.

b)

c)

.

. Les fractions obtenues en réponses

aux questions 1. a) et 1. b) ne sont pas égales. 2. a)

C Le repérage sur une droite graduée et la comparaison de nombres rationnels p. 100

b)

c)

. Les proportions évoquées aux

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 100

questions 2. a) et 2. b) ne sont pas égales.

Activité 1

1. Voir la figure 1 ci-dessous. La fraction correspondant à l’emplacement du

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99

. Donc ce parking ne respecte

21  

cybercafé est

pas la loi. 22   1.

2.

.

2. Voir la figure 2 ci-dessous.

litres Activité 2

minute

1. a) Antoine  : 3.

et

. Or

  ; Estelle  :

  ; Jean  :

 ;

. Donc ces Karim :

fractions ne sont pas égales.

et Selen :

.

dire qu’il y a autant de roses que de marguerites.

b) Classement dans l’ordre décroissant des 5 élèves  : 1. Jean  2. Karim  3. Selen  4. Antoine  5. Estelle. c) Le gagnant est Jean. 2. a) 8 > 5 donc Jean est meilleur que Karim. b) 3   Ces deux fractions sont supérieures à 1 car leurs numérateurs sont supérieurs à leurs dénominateurs. On a :

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 102 28   1. et 2.

O C D E B I

On a : Or,

O

Or, d) >  Ces deux fractions sont supérieures à 1 car leurs numérateurs sont supérieurs à leurs dénominateurs. On a : Or, 27   a) On a :

Or, b) On a : Or, c) On a :

C

A

B

I

0

1

2. a) b)

 ;

et

. On a bien

.

30   1. et 2.

c) >  Ces deux fractions sont supérieures à 1 car leurs numérateurs sont supérieurs à leurs dénominateurs. On a :

F

29   1. a) et b)

Or, b) >  Ces deux fractions sont supérieures à 1 car leurs numérateurs sont supérieurs à leurs dénominateurs.

A

O

BD

F

I

0

E

C A

1

31   1. a) Vrai . b) Faux : F est le point d’abscisse c) Vrai d) Faux : le nombre associé au point E est 1,625.

2.

.

32   Proportions de réussite :

Jour 1 : Jour 2 : Jour 3 : Cédric a eu la meilleure proportion de réussite le 2e jour. 33   a)

c)

Or,

34   1.

d) On a :

2.

Or,

35  

b)



d)

Chapitre 5 • Les fractions 57

36   a)

d)

b)

c)

e)

f)

b)

c)

37   a)

d)



e)



38   1. a)

1. Proportion simplifiée de l’eau douce  : .

Proportion simplifiée de l’eau salée : glaciaires et des glaciers :

.

b) Proportion d’eau douce issue des eaux

b)

souterraines : c)

.

2. a) Proportion d’eau douce issue des calottes

f)





42  

.

d)



2. Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 104 39   a)

c) 40   1.

b)

43   1. Proportion de châtaignes :

d)

 ;

2. Proportion de marrons : et

.

44   a) non b) oui

Le club de sport compte le plus d’élèves. 2. La chorale compte le moins d’élèves.

45   a)

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 103 41   1. Proportion de pommiers :

.

Proportion de mirabelliers : Proportion de cerisiers :

d)

c) oui d) non

b)

c)

e)

f)

46   A et B sont bien placés sur la droite graduée car entre O et I il y a 5 graduations ; A est placé à la 2e graduation et B est placé à la 7e graduation

.

.

.

2. a) Proportion de pommiers cédés par rapport au .

nombre total de pommiers :

47   a)

b)

Proportion de mirabelliers cédés par rapport au c) .

nombre total de mirabelliers :

Proportion de cerisiers cédés par rapport au nombre total de cerisiers : b)

  ;

e)

. et 48  

. Les mirabelliers représentent la plus grande proportion cédée. 58 Nombres et calculs

e) oui f) oui



d) f)

Débat et

Justine a tort.

.

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . p. 105

Proportion de lipides dans le steak et les frites  : .

50   Problème d’application

1. Corinne a 9 CD de musique R’n’B sur une collection de 60 CD. 2.

et

.

Corinne possède le moins de CD de musique R’n’B. C’est elle qui recevra un CD supplémentaire. .

51  

Pour sa nouvelle livraison, Laure devra prévoir 96 colliers comportant des morceaux de nacre. 52   1. Fraction

simplifiée de la somme léguée par

rapport à la fortune de Sandy : 2.

.

. L’association reçoit chaque année de la somme léguée.

27 540 = et . 50 1 000 La France a la plus grande proportion de lignes de téléphone fixe. et

.

Classement des pays européens dans l’ordre croissant de leur proportion de lignes de téléphone fixe : 1. Portugal 2. Irlande 3. Grèce 4. France. et

54  

.

Or, le grammage de papier doit être supérieur à 140  g/m². Joy et Sam vont choisir le deuxième type de papier car 170 > 140 et 135 Nombres et calculs • Utiliser le calcul littéral pour valider ou réfuter une conjecture .

Nombres et calculs

Repères de progressivité Dès le début du cycle 4, les élèves comprennent l’intérêt d’utiliser une écriture littérale . Ils apprennent à tester une égalité en attribuant des valeurs numériques au nombre désigné par une lettre qui y figure .

OUVERTURE

p . 109

Top Chrono ! a) 88 e) 3,1

b) 19,6 f) − 10

c) 524,85 d) − 10 g) 112 h) 658

Activité

1. Périmètre de la première piscine à l’aide de la lettre x : 8,5 + x + (8,5 – x) + 6,5 + x + (6,5 + x) = 30 + x – x + x + x. 2. Périmètre de la deuxième piscine à l’aide de la lettre x : 17 + 3 + 11 + x = 31 + x. 3. a) Si x = 4,5 m, alors le périmètre de la première piscine vaut 30 + 4,5 – 4,5 + 4,5 + 4,5 = 39 m. Et le périmètre de la deuxième piscine vaut 31 + 4,5 = 35,5 m. Donc si x = 4,5 m, alors les périmètres de ces deux piscines ne sont pas égaux. b) Si x =  1  m, alors le périmètre de la première piscine vaut 30 + 1 – 1 + 1 + 1 = 32 m. Et le périmètre de la deuxième piscine vaut 31 + 1 = 32 m. Donc si x = 1 m, alors les périmètres de ces deux piscines sont égaux. Expressions littérales et tests d’égalités

p . 110

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 110 Activité 1

1. L’aire du triangle de base 9  cm et de hauteur 8 cm est

cm².

2. Le périmètre du carré de côté 10 m est : 4 × 10 = 40 m. 3. Le périmètre du rectangle de longueur 12 dm et de largeur 5 dm est : 2 × 12 + 2 × 5 = 24 + 10 = 34 dm. 4. La formule de l’aire d’un carré de côté c est c × c. 5. L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l est L × l.

Activité 2

1. a) Si Samuel envoie 10 SMS et téléphone pendant 45 minutes, le montant de la facture est 10 × 0,10 + 45 × 0,2 = 10 €. b) Si Samuel envoie 20 SMS et téléphone pendant 1 heure, le montant de la facture est : 20 × 0,10 + 60 × 0,2 = 14 €. c) Si Samuel envoie x SMS et téléphone pendant y minutes, le montant de la facture est : x × 0,10 + y × 0,20 €. 2. a) 25 × 0,1 + 90 × 0,2 = 20,50 €. Donc Samuel ne peut pas avoir envoyé 25 SMS et téléphoné pendant 1 heure et 30 minutes. b) 50 × 0,1 + 80 × 0,2 = 21 €. Donc Samuel ne peut pas avoir envoyé 50 SMS et téléphoné pendant 80 minutes. c) 100 × 0,1 + 50 × 0,2 = 20 €. Donc Samuel peut avoir envoyé 100 SMS et téléphoné pendant 50 minutes. 3. Dans cette situation, et de manière générale, le calcul littéral permet de faciliter l’étude de nombreuses situations. Chapitre 6 • Le calcul littéral 61

Je sais Tester une égalité . . . . . . . . . . . . . . . . p. 112

Exercices d’application 1 a) On remplace x par 3 dans le membre de gauche et on obtient : 2 × 3 + 3 = 9. On remplace x par 3 dans le membre de droite et on obtient : 8 – 3 = 5. Or 9 ≠ 5. Donc l’égalité est fausse. b) On remplace x par 3 dans le membre de gauche et on obtient : − 3 + 6,5 = 3,5. On remplace x par 3 dans le membre de droite et on obtient : 1,4 + 7 × 3 = 22,4. Or 3,5 ≠ 22,4. Donc l’égalité est fausse. c) On remplace x par 3 dans le membre de gauche et on obtient : 3,4 × 3 – 9 = 1,2. On remplace x par 3 dans le membre de droite et on obtient : 1,7 × 3 − 4,5 = 0,6. Or 1,2 ≠ 0,6. Donc l’égalité est fausse. d) On remplace x par 3 dans le membre de gauche et on obtient : − 3 + 3 = 0. On remplace x par 3 dans le membre de droite et on obtient : 8 × 3 – 24 = 0. On obtient le même résultat dans les deux membres. Donc l’égalité est vraie. a) On remplace x par - 6 dans le membre de gauche et on obtient : − (− 6) – 18 = – 12. On remplace x par – 6 dans le membre de droite et on obtient : − 6 + (− 6) = − 12. On obtient le même résultat dans les deux membres. Donc l’égalité est vraie. b) On remplace x par – 6 dans le membre de gauche et on obtient : 5 −(− 6) + 2 = 13. On remplace x par – 6 dans le membre de droite et on obtient : 3 + (− 6) – 1 = − 4. Or 13 ≠ 4. Donc l’égalité est fausse. c) On remplace x par – 6 dans le membre de gauche et on obtient : – 3,2 + (– 6) = – 9,2. On remplace x par – 6 dans le membre de droite et on obtient : – 6 + (– 6) + 2,8 = – 9,2. On obtient le même résultat dans les deux membres. Donc l’égalité est vraie. d) On remplace x par – 6 dans le membre de gauche et on obtient : 24 – (– 6) – (– 6) = 36. On remplace x par - 6 dans le membre de droite et on obtient : – 6 + 25 = 19. Or 36 ≠ 19. Donc l’égalité est fausse. 2

62 Nombres et calculs

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 113

b) x × 12 = 12x d) 3 × x = 3x

3 a) x + 9 c) x – 2 4

a) n – 1 b) n + 1

c) 2 × n = 2n d) 5

a) x × x = x²

c)



b) x + y d)

a) La somme de x et de 16 b) Le produit de x par 10 c) La différence entre a et b d) La somme du double de a et de 7 6

7 a) 4b² c) 10a² e) 63m b) 8cd² d) 6h f) 23n3 8 a) 5,7 × b b) 18 × h × j c) 7 × (4 × v + 1) d) 4,2 × x × x e) 22 × c – 3 × k f) (h – 2) × (3 × h + 6) 9 a) kh c) 3a d) 8b b) ej

e) v² f) 2w²

g) 15uy h) f3

10   a) 14c c) 40e ●

e) 30c f) 36a²

g) πR2 h) 5,3i²

d) k

b) 27y

11   a) 4(2x + 3) b) 5(8x − 1) ● c) (1,3a + 5)(– 7 + 6,2a) d) x(2x² + 8x – 7) 12   A = 6a + 63 ●

B = c + cd C = a D = u + v E = y3 + h² F = d² − d3

13   a) 5x × 2 = 10x ● b) 7x × 3h = 21xh c) 6x × x = 6x² d) 10 × 5y = 50y 14   a) 1 ●

b) 1

c) 16 d) 27

15   A = 36 ●

C = − 36

e) 0 f) 8 B = 216 D = − 51

g) 9 h) 25

i) 64

16   A = 12 ● C = 82 E = − 2,2

B = 16,4 D = 47,34 F = 42

17   A = 54 ● C = 0

B = 18 D = 9

18   A = 0,24 ● C = 14,31

B = – 2,14 D = 5,13

● a) 2 × 1 +  1 =  3 et 2,5 – 2 =  0,5. Or, 3 ≠ 0,5. L’égalité est donc fausse pour k = 1 et m = 2,5. b) 6 × 1² − 2,5 = 3,5 et 2 × 2,5 + 1 = 6. Or, 6 ≠ 3,5. L’égalité est donc fausse pour k = 1 et m = 2,5. c) 4 × 2,5 × 1 = 10. L’égalité est donc vraie pour k = 1 et m = 2,5. 19  

20   a) 4 × 3 – 5 = 7 et 3² – 2 = 7. L’égalité est donc ●

vraie pour u = 3 et v = 5. b) 3 × 3 × 5 – 5 = 40 et 3² + 5² = 34. Or, 40 ≠ 34. L’égalité est donc fausse pour u = 3 et v = 5. c) 6 × 3 – 4 × 5 = – 2 et 7 + 3 × 5 = 22. Or, – 2 ≠ 22. L’égalité est donc fausse pour u = 3 et v = 5. 21   1. Pour x = 2 et y = 1, on a : D = 11 et E = 11. On ●

constate que D = E. 2. On ne peut pas en déduire que les expressions D et E sont égales car pour x = 0 et y = 1, on a D = 5 et E = 7, donc E ≠ D. 22   1. 231 – 12 × 4 – 81 + 56 × 4 = 326 et 31 × 4 ●

+ 242 – 10 × 4 = 326. L’égalité est donc vraie pour h = 4. 2. 3 × 6 – 1 = 17 et 12 + 6 – 3 = 15. Or, 17 ≠ 15. L’égalité est donc fausse pour a = 6. 23   a) = B1*4 ●

b) = B1+5 c) = B1*B1

Figure 2 : AB + BC × 2 = 7 + x × 2 = 7 + 2x. Figure 3 : 2 × AD + 2 × DC = 2 × 2x + 2 × 3y = 4x + 6y. 2. Figure 1 : 9 m. Figure 2 : 13 m. Figure 3 : 21,6 m. 28   1. Le prix des trois DVD est 3x €. ●

2. Le prix des deux CD est 2y €. 3. Le prix total payé par Louane est 3x + 2y €.

29   1. a) Périmètre de ACBD en fonction de x  : ● AC + CB + BD + DA = 10x + 8x + 4x + 14x. b) Pour x = 2, ce périmètre vaut : 10 × 2 + 8 × 2 + 4 × 2 + 14 × 2 = 72. 2. a) Périmètre de EFGH en fonction de x : 2 × EH + 2 × GH = 2 × 11x + 2 × 7x = 22x + 14x. b) Pour x = 2, ce périmètre vaut : 22 × 2 + 14 × 2 = 72. 3. On peut conjecturer que les périmètres de ACBD et de EFGH sont égaux. 4. 10x + 8x + 4x + 14x = 36x et 22x + 14x = 36x. 30   a) 8 – 10 + 9 = 7 et 7 + 5 – 8 = 4. L’égalité est ● fausse. b) 8 – 8 + 17 = 17 et 7 + 8 – 8 = 7. L’égalité est fausse. c) 4 × 10 − 7 + 6 = 39 et 3 + 6² = 39. L’égalité est vraie. 31   1. a) Lorsque x = 9, la valeur obtenue est 27. ●

b) Lorsque x = 0,5, la valeur obtenue est 1,5. c) Il semble que la valeur obtenue soit égale au triple du nombre de départ. 2. On choisit un nombre x au départ. Le programme de calcul donne : 3x + 2 – 5 + 3 = 3x. 3x est le triple de x. La conjecture est démontrée. 32   1. Soit x l’âge de Benjamin. Son oncle a 9 + 2x ans. ●

24   1. Montant des achats de Carine en fonction de ● x et y : 1,35x + 1,45y. 2. 1,35 × 7 + 1,45 × 5 = 16,7. Donc 7 éclairs à la vanille et 5 éclairs au chocolat coûtent 16,70 €. 25   Fréquence cardiaque maximale d’une femme : ●

226 – x où x représente son âge. Fréquence cardiaque maximale d’un homme  : 220 – y où y représente son âge.

26   ●

27   1. Figure 1 : AB × 3 = x × 3 = 3x. ●

cm².

2. 9 + 2 × 15 = 39. L’oncle de Benjamin a 39 ans lorsque Benjamin a 15 ans. J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 115 33   1. Nombre de personnes qui paieront le tarif ● plein : 10 – x. 2. a) Montant total des places à 6 € : 6x. b) Montant total des places à 10,30 € : (10 – x) × 10,30. 3. Montant total à payer par le groupe : 6x + (10 – x) × 10,30.

Chapitre 6 • Le calcul littéral 63

34   Si n = 2, alors n + 2 = 2 + 2 = 4. Et 4  3. ●

b) Formule saisie en C2 : « =−A2+45 ».

Si n = 3, alors n + 2 = 5. Et 5  3.

35   1. La première émission dure x minutes, la ●

deuxième dure 4x minutes et la troisième dure 4x + 10 minutes. Fouad a donc passé x +  4x +  4x +  10 minutes à écouter la radio. 2. Si x = 7, alors 7 + 4 × 7 + 4 × 7 + 10 = 73. La durée totale des trois émissions est 73 minutes, soit 1 heure et 13 minutes. 36   1. ●

c)

2. a) Formule saisie en A3 : « =A2+0,5 ». b)

4. L’égalité 4x+3(x + 7) =  − x + 45 est vraie pour x = 3. 5. On a : 4 × 3 + 3(3 + 7) = 12 + 3 × 10 = 12 + 30 = 42 et − 3 + 45 = 42. L’égalité est vraie pour x = 2. 3. a) Formule saisie en B2 : « =4*A2+3*(A2+7) ». Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 116 37   a) 15a ●

b) a² + 4a c) a3 – 2a

38   a) 3a + 4b ●

b) 5v – 6(1,8 – 2v) c) (9c – 1)(4 + 10c)

39   a) 2 – 8 = – 6 et 3 + 7 × 1 = 3 + 7 = 10. L’égalité ●

est fausse pour a = 8 et b = 1. b) 2 × 8² – 1² – 5 = 2 × 64 – 1 – 5 = 128 – 6 = 122 et 100 + 3 × 8 + 3 × 1 – 5 = 100 + 24 + 3 – 5 = 122. L’égalité est vraie pour a = 8 et b = 1. c) 1 – 9 = – 8 et 8 – 16 = – 8. L’égalité est vraie pour a = 8 et b = 1. 64 Nombres et calculs

40   Aire d’un carré de côté 8x cm : ●

8x × 8x = 64x² cm². Aire d’un rectangle de longueur 16x cm et de largeur 4x cm : 16x × 4x = 64x² cm². Il est donc vrai que l’aire du carré est égale à l’aire du rectangle pour toutes les valeurs de x.

Étape 4 Réaliser une autre démonstration 9.

41   Débat ● Théo choisit une valeur de k, ce qui ne répond pas à la consigne donnée par le professeur. Rachid a raison.

Atelier numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 117

Étape 1 Préparer la feuille de calcul 1.

2. a) Formule saisie dans A2 : « =A1+1 ».

b) Voir le tableau 1 page 66. 3. a) Formule saisie dans B3 : « =A1+A2+A3 ».

b) Voir le tableau 2 page 67. Étape 2 Établir une conjecture 4. Il semble que la somme de trois nombres entiers consécutifs soit un multiple de 3. 5. Non, les exemples étudiés à l’aide du tableur ne suffisent pas à démontrer que cette conjecture est toujours vraie car on a essayé avec quelques exemples et non de manière générale. Étape 3 Démontrer une formule 6. a) Le nombre entier qui suit n est n + 1. b) Le nombre entier qui suit n + 1 est n + 2. 7. n + n + 1 + n + 2. 8. On a n + n + 1 + n + 2 = 3 × (n+1). Et 3 × (n + 1) est un multiple de 3 car n + 1 est un entier, et cela quelle que soit la valeur de n choisie. La conjecture formulée à la question 4 est donc toujours vraie.

On a : n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 + n + 6 + n + 7 + n + 8 + n + 9 = 5 × (2n + 9) qui est un multiple de 5 car 2n + 9 est un entier.

Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . p. 118 43   Problème d’application ●

Poids idéal théorique de Sylvie : 155 – 100 –

= 53 kg.

Poids idéal théorique de Louis : 190 – 100 –

= 80 kg. Chapitre 6 • Le calcul littéral 65

Tableau 1

66 Nombres et calculs

Tableau 2

Chapitre 6 • Le calcul littéral 67

Poids idéal théorique de Estelle : 170 – 100 –

Marie s’est donc connectée le premier jour pour une durée de 46 minutes.

= 62 kg.

Poids idéal théorique de Basile :

50   ●

175 – 100 –

La superficie corporelle approximative d’un enfant de 30 kg est 1 m².

= 68,75 kg.

44   1. Les diagonales d’un losange sont perpen­ ●

diculaires. 2. Aire d’un triangle rectangle en fonction de x : AB × BO : 2 = x × 2x : 2 = x² cm². Aire du losange : 4 × x² = 4x² cm². 3. Pour x = 9 cette aire vaut : 4 × 9² = 4 × 81 = 324 cm².

45   Poids idéal théorique d’une personne de 40 ans ●

mesurant 1,71 m :

kg.

51   22 125 – (650 × 16,90 + 800 × 12,30) = 1 300. ●

1 300 : 50 = 26. Le prix d’une place dans la tribune présidentielle est de 26 €.

52   1. Si a = 15 et b = 8, on obtient l’égalité : ●

15x – 8y = 1. 2. a) Si x = 4 et y = 7, le résultat est 4. L’égalité n’est pas vérifiée. b) Si x = 7 et y = 13, l’égalité est vérifiée. c) Si x = 15 et y = 28, l’égalité est vérifiée. d) Si x = 19 et y = 32, le résultat est 29. L’égalité n’est pas vérifiée.

46   1. Soit x le nombre de cubes sur le plateau de ● la balance électronique. Poids total : 4 × 1,2 + 2x = 4,8 + 2x kg. 2. 10,8 – 4,8 =6 et 6 : 2 = 3. Il y a donc 3 cubes sur le plateau de la balance.

53   1. Soit x le nombre à deviner. On obtient : ●

47   1. 1 748 : 4 = 437. Il y a 437 sièges au total dans ●

20x +33+20x +33+20x +33+20x +33+20x +33–165 100 100x = =x 100 2. Voir les créations des élèves.

l’amphithéâtre. 437 = 28 × 15 + 17. Il y a donc 16 rangées dans l’amphithéâtre. 2. La dernière rangée compte 17 sièges. 3. 1 620 : 4 = 405. Il y a 405 spectateurs dans cet amphithéâtre. 4. 437 – 405 = 32. Il y a 32 places vides aujourd’hui dans cet amphithéâtre. 48   1. Soit x le nombre de pièces de 1 €. Arnaud ●

possède alors 39 – x pièces de 2 €. Le montant total est 49 €, soit x + 2 × (39 – x). Si x = 29, alors 29 + 2 × (39 – 29) = 29 + 20 = 49. Arnaud a donc 29 pièces de 1 €. 2. Arnaud possède alors : 39 – 29 = 10 pièces de 2 €.

49   Soit x la durée de connexion en minutes de ●

Marie le premier jour. Durée de connexion le deuxième jour : x + 10 minutes. Durée de connexion le troisième jour : 3x minutes. Alors x + x + 10 + 3x = 240. Si x = 46, alors x + x +10 + 3x = 46 + 46 + 10 + 3 × 46 = 240.

68 Nombres et calculs

((5x + 6) ¥ 4 + 9) ¥ 5 –165 100 (5x + 6 +5x + 6 +5x + 6 +5x + 6 + 9) ¥ 5 –165 = 100

=

Problèmes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 120

Problème complexe 1 15 × 3 + 1 = 46 46 : 2 = 23 23 × 3 + 1 = 70 70 : 2 = 35 35 × 3 + 1 = 106 106 : 2 = 53 53 × 3 + 1 = 160 160 : 2 = 80 80 : 2 = 40 40 : 2 = 20 20 : 2 = 10 10 : 2 = 5 5 × 3 + 1 = 16

16 : 2 = 8

Problème complexe 2

8 : 2 = 4

IMC = 

.

4 : 2 = 2 2 : 2 = 1 La durée de vol pour n = 15 est 17.

Une personne pesant 55 kg et mesurant 164 cm se situe dans la catégorie « Corpulence normale ».

Chapitre 6 • Le calcul littéral 69

Nombres et calculs

Problèmes complexes transversaux

Problème 1 Collier comportant 20 cercles :

Collier agrémenté de 56 perles :

20 × 4 = 80. Il faudra 80 perles pour le collier.

56 : 4 = 14. Il faudra 14 cercles pour le collier.

Prix total du collier comportant 20 cercles :

Prix total du collier agrémenté de 56 perles :

9,75 + 1,25 × 20 + 0,55 × 80 + 1,95 = 80,70 €.

9,75 + 1,25 × 14 + 0,55 × 56 + 1,95 = 60 €.

Problème 2 306 = 5 × 61 + 1. Mme Falbi recevra 61 vignettes

de 34,99 € l’un et enfin elle paiera 3 sets de deux

grâce au montant de ses achats.

assiettes plates au prix de 25,80 € l’un.

Mme  Falbi obtiendra alors 3 sets de quatre

Soit un total de :

couverts au prix de 7,99 € l’un grâce à ses vignettes,

3 × 7,99 + 3 × 34,99 + 3 × 25,80 = 206,34 €.

puis elle paiera 3 sets de quatre couverts au prix

Problème 3 Gaëtan ne pourra confectionner que 3 quatre-

plaquettes de beurre. Les autres ingrédients sont

quarts au maximum car il ne dispose que de trois

alors en quantité suffisante pour cette réalisation.

Problème 4 Entrées : 2 × 11 + 3 × 5 = 37 €. Plats : 3 × 12 + 13 + 15 = 64 €. Desserts : 4 × 6,50 + 6 = 32 €.

Montant de la facture pour la table 7 : 37 + 64 + 32 = 131 €.

Problème 5 Elsa peut faire par exemple 3 fautes de grammaire : 20 – 2 – 2 – 2 = 14.

70 Nombres et calculs

Composition possible des jeux vidéo qu’elle pourra choisir : Jeu « Scramble » et Jeu « Star » pour un total de 19,99 €.

c h a pi t

re

7

La proportionnalité

Programme Connaissances et compétences associées > Organisation et gestion de données, fonctions Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité . Résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle . Résoudre des problèmes de pourcentages . • Coefficient de proportionnalité . • Dépendance d’une grandeur mesurable en fonction d’une autre . • Notion de fonction .

Organisation et gestion de données,fonctions

Repères de progressivité Les activités autour de la proportionnalité prolongent celles du cycle 3 . […] En 5e, la rencontre de relations de dépendance entre grandeurs mesurables, ainsi que leurs représentations graphiques, permet d’introduire la notion de fonction .

OUVERTURE

p . 123

Top Chrono ! 1. a) 480 b) 21 2. a) 6 b) 8

c) 10,5 d) 0,4 c) 3 d) 0,2

e) 0,06 f) 0,08 e) 0,01 f) 0,3

Activité

1. L’affirmation du garçon est fausse. Dans cette situation, il confond 40 % et 40 euros. 2. Le montant de la remise est égal à 80 euros. En effet, pour un montant de 100 euros, une réduction de 40 euros est accordée. 3. Le prix soldé est égal à 200 – 80 = 120 euros. A Reconnaître une situation de proportionnalité

p . 124

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 124 Activité 1

1. Chloé veut parcourir 4 ¥ 200 = 800 mètres. 2. Lors de sa précédente tentative, Sarah avait parcouru 1 200 ÷ 200 = 6 tours. 3. On obtient la distance parcourue en mètres en multipliant le nombre de tours par 200.

Activité 2

1. Pour réaliser 40 macarons, il faudra deux fois plus d’ingrédients que pour 20 macarons, c’est­à­ dire : • 250 g de poudre d’amandes ; • 450 g de sucre glace ; • 180 g de blancs d’œufs ; • 60 g de sucre semoule ; • 500 g de chocolat ; • 500 g de crème liquide entière. 2. Pour réaliser 4 macarons, il faudra cinq fois moins d’ingrédients que pour 20 macarons ou dix fois moins que pour 40 macarons, c’est­à­dire : • 25 g de poudre d’amandes ; • 45 g de sucre glace ; • 18 g de blancs d’œufs ; • 6 g de sucre semoule ; • 50 g de chocolat ; • 50 g de crème liquide entière. 3. Nombre de macarons 4 20 40 ¥ 6,25 Masse de poudre 25 125 250 d’amandes (en g) 4. La masse de poudre d’amandes est propor­ tionnelle au nombre de macarons préparés car elle s’obtient en multipliant le nombre de macarons par le même nombre, 6,25. Chapitre 7 • La proportionnalité 71

Activité 3

1. Les prix sont proportionnels au nombre de séances si le prix d’une séance est inchangé. On remarque que : 30 ÷ 4 =7,5, 37,5 ÷ 5 = 7,5, 42 ÷ 6 = 7. On peut en déduire que les prix ne sont pas proportionnels au nombre de séances. 2. Les prix n’étant pas proportionnels au nombre de séances, on ne peut pas prévoir le prix de 9 séances. Ce prix dépendra du choix du patron de l’établissement. Je sais Reconnaître un tableau de proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . p. 125

Exercices d’application 1 Les grandeurs de l’énoncé sont la surface de parquet (m2) et le prix (en €). En calculant les quotients, on a : • 301 : 9 = 33,5 ; • 502,5 : 15 = 33,5 ; • 670 : 20 = 33,5 ; • 4 355 : 130 = 33,5. Tous les quotients sont égaux, ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le prix est proportionnel à la surface de parquet achetée. 2 Les grandeurs de l’énoncé sont la masse (en g) et le prix (en €). En calculant les quotients, on a : 5,23 : 200 = 0,02615 ; 6,13 : 300 ≈ 0,020. Les deux premiers quotients ne sont pas égaux, ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité. Le prix payé n’est pas proportionnel à la masse.

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 126 3 1. 6 bonbons coûtent 2 ¥ 1,50 = 3 euros. 2. 12 bonbons coûtent 4 ¥ 1,50 = 6 euros. 3. 1,50 ÷ 3 = 0,50 euros.

1.900 ÷ 2 = 450 g 2. 6 ¥ 4 = 24 livres 3. 3 ¥ 450 = 1 350 g 4. 5 ¥ 450 = 2 250 g 4

5 a) Non, lorsque l’on double l’âge, la taille n’est pas nécessairement doublée. b) Non, cela va dépendre du prix fixé par le magasin. 72 Organisation et gestion de données, fonctions

c) Non, cela va dépendre du prix fixé par la boulangerie. d) Non, lorsque l’on double la quantité d’eau, la plante ne va pas nécessairement être deux fois plus haute. a) 10 ÷ 8 =1,25  ; 30 ÷ 24 = 1,25  ; 127,5 ÷ 102 = 1,25. Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient 1,25. b) 25 ÷ 10 = 2,5 ; 35 ÷ 14 = 2,5 ; 75 ÷ 30 = 2,5. Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient 2,5. c) 15,5 ÷ 5 = 3,1 ; 21,7 ÷ 7 = 3,1 ; 37,2 ÷ 12 = 3,1. Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient 3,1. d) 15,6 ÷ 3 = 5,2 ; 36,4 ÷ 7 = 5,2 ; 62,4 ÷ 12 = 5,2. Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient 5,2. 6

7 1. 20 ÷8 = 2,5 ; 10 ÷ 4 = 2,5 ; 11 ÷ 4,4 = 2,5 ; 110 ÷ 44 = 2,5. C’est un tableau de proportionnalité. 2. Le coefficient de proportionnalité est 2,5.

1. et 2. a) 14,44 ÷ 2 = 7,22  ; 21,66 ÷ 3 = 7,22  ; 36,1 ÷ 5 = 7,22 ; 79,42 ÷ 11 = 7,22. Le tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient est 7,22. b) 24,8 ÷ 4 = 6,2 ; 37,2 ÷ 6 = 6,2 ; 68,2 ÷ 11 = 6,2 ; 80,6 ÷ 13 = 6,2. Le tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient est 6,2. c) 13,5 ÷ 4,5 = 3 ; 18,6 ÷ 6,2 = 3. Le tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient est 3. d) 10 ÷ 4 = 2,5 ; 15 ÷ 6=2,5 ; 22,5 ÷ 9 = 2,5. Le tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient est 2,5. 8

9

a) 3

6

18

2 b)

4

12

6

18

42

5

15

35

¥

¥

10   ●

L’impression d’une page avec le toner B7 revient à 16,80 ÷ 1 200 = 0,014 ≈ 0,01 €. L’impression d’une page avec le toner B8 revient à 87,70 ÷ 4 000 ≈ 0,02 €. Le prix du toner n’est pas proportionnel au nombre de pages. 11   1. ●

Côté d’un triangle équilatéral Périmètre du triangle équilatéral

1

2,25

3

3,5

8

15   L’aire d’un carré n’est pas proportionnelle à ●

son côté car : 2 cm ¥ 2 cm = 4 cm2 et 4 cm ¥ 4 cm = 16 cm2.

16   1. Pour l’offre à 3 €, 1 méga coûte : ●

240 ÷ 3 = 80 €. 2. Pour l’offre à 5 €, 1 méga coûte 400 ÷ 5 = 80 €. 3. Pour l’offre à 3 €, 1 méga coûte 700 ÷ 9 ≈ 78 €. Le prix n’est pas proportionnel à la recharge. 17   1. a) m = 4 ●

3

6,75

9

10,5 24

2. Le périmètre du triangle équilatéral est propor­ tionnel à son côté car on obtient le périmètre en multipliant par trois le côté du triangle. 3. Le coefficient de proportionnalité est 3.

b)

1 2 3 4

A 3 5 8 12

B 21 35 56 84

C 7 7 7 7

2.

● Le temps de réaction est le temps compris entre la découverte d’une situation et l’action y répondant. 2. 17 ÷ 60 ≈ 0,28 20 ÷ 70 ≈ 0,28 23 ÷ 80 ≈ 0,28 25 ÷ 90 ≈ 0,28 28 ÷ 100 = 0,28 31 ÷ 110 ≈ 0,28 34 ÷ 120 ≈ 0,28 On peut considérer que la distance parcourue pendant le temps de réaction est proportionnel leà la vitesse.

A B C 1 23 143,8 6,25 2 54 337,5 6,24 3 62 387,5 6,25 4 68 425 6,25 5 89 556,3 6,25 6 112 700 6,25 7 135 843,8 6,25 8 237 1 422 6 9 349 2 181,3 6,25 3. Cet algorithme permet de calculer les quotients successifs.

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 127

Format Longueur (en cm) Largeur (en cm) A0 118,9 84,1 A1 84,1 59,4 A2 59,4 42 A3 42 29,7 A4 29,7 21 A5 21 14,8 2. En accolant deux feuilles A1. 3. En accolant deux feuilles A2. 4. En accolant deux feuilles A5. 5. 118,9 ÷ 84,1 ≈ 1,4  ; 84,1 ÷ 59,4 ≈ 1,4  ; 59,4 ÷ 42 ≈ 1,4 ; 42 ÷ 29,7 ≈ 1,4 ; 29,7 ÷ 21 ≈ 1,4 ; 21 ÷ 14, 8 ≈ 1,4. On peut considérer que les longueurs sont proportionnelles aux largeurs.

12   1.

13   1. Formule saisie en B3 : « =B2÷B1 ». ● 2. En C3 : « =C2÷C1 ». En D3 : « =D2÷D1 ». On peut également étirer la formule. Le tableau proposé est un tableau de proportionnalité. En effet, B2÷B1  donne 7,2, tout comme C2÷C1 et D2÷D1. 14   1. Ce sont la masse de chocolat (en grammes) ●

et le prix (en €). 2. a) Il devra effectuer 8 divisions. b) « =B2÷B1 ». c) Le prix est proportionnel à la masse. d) Le tableur permet d’automatiser les calculs.

18   1. ●

Chapitre 7 • La proportionnalité 73

B Le calcul d’une quatrième proportionnelle

p. 128

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 128

21   4 ¥ 3 = 12 €. ● 22   Une anémone coûte 18 ÷ 5 = 3,60  €, donc ●

7 anémones coûtent 3,6 ¥ 7 = 25,20 €.

Activité 1

1. Jules pourra acheter 15 bonbons. 2. Lydie paiera 4 €.

23   500 grammes coûtent 2 ¥ 4 + 2 = 10 €. ● 24   Il devra utiliser 15 fois plus de chocolat, c’est-à●

dire 250 ¥ 15 = 3 750 g.

Activité 2

1. Un litre coûte 16,80 ÷ 12 = 1,40 €. Ainsi 13 litres coûteraient 13 ¥ 1,4 = 18,20 €. 2. Il pourra acheter 63 ÷ 1,4 = 45 litres. 3. Le plein coûtera 50 ¥ 1,4 = 70 €.

25   La masse sera 2,5 fois plus grande, c’est-à-dire ●

3,045 ¥ 2,5 = 7,612 5 kg.

26   2,70 + 3,60 = 6,30 €. ● 27   1. 107,90 – 41,50 = 66,40 €. ●

2. 66,40 – 41,50 = 24,90 €.

Activité 3

1. • Lait de coco. • Jus multivitaminé. • Citron vert. 2. a) Pour une personne, il faut 9 ÷ 3 = 3 cL de coco, donc il faudra 3 ¥ 8 = 24 cL pour 8 personnes. b) Pour une personne, il faut 36 ÷ 3 = 12 cL de jus multivitaminé donc il faudra 12 ¥ 8 = 96 cL. 3. Ingrédients Lait de coco Jus multivitaminé Jus de citron vert

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 130

Quantités 24 cL 96 cL Environ 6 cuillerées à café

Je sais Résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle . . . . . . . . . p. 129

Exercices d’application 19   6 ballons coûtent 96 €. ● 1 ballon coûte 6 fois moins cher, c’est-à-dire 96 : 6 = 16 €. 17 ballons coûtent 17 fois plus cher, c’est-à-dire 16 ¥ 17 = 272 €. Le montant de cette commande sera de 272 €. 20   Pour ●

réaliser 12 brownies, il faut 50  g de chocolat noir. Pour réaliser 3 brownies, il faut 4 fois moins de chocolat noir, c’est-à-dire 12,5 g. Pour réaliser 30 brownies, il faudra 10 fois plus de chocolat noir, c’est-à-dire 12,5 ¥ 10 = 125 g. 74 Organisation et gestion de données, fonctions

28   1. a) Un kilo de pommes coûte : ●

1,76 ÷ 3,2 = 0,55 €, donc 0,55 ¥ 5 = 2,75 €. b) 0,55 ¥ 13,5 = 7,425 ≈ 7,42 €. 2. 7,15 ÷ 0,55 = 13 kg de pommes. 29   a) 3 heures = 180 min ●

b) 1 h 30 = 90 min c) 30 minutes = 0,5 h d) 6 min 46 s = 406 s

30   a) 5 minutes =  ●

 heures ≈ 0,08 h

b) 15 minutes = 0,25 h c) 17 minutes = 

 heures ≈ 0,28 h

d) 25 minutes = 

heures ≈ 0,41 h

31   1. 290  000 ●

exemplaires représentent 3,625 fois plus que 80  000 exemplaires. Il faudra 3,625 heures, c’est-à-dire environ 3 h 38 min. 2. 3 h 38 min = 3 600 ¥ 3 + 38 ¥ 60 = 13 080 sec. Ainsi, 13 080 ¥ 15 = 196 200 mètres. 32   1. 15 personnes représentent 2,5 fois plus que ●

6 personnes, il faudra donc : 90 ¥ 2,5 = 225 g de beurre ramolli. 100 ¥ 2,5 = 250 g de sucre. 0,5 ¥ 2,5 = 1,25 = 1 sachet +  1/4 de sachet de levure. 220 ¥ 2,5 = 550 g de farine. 10 ¥ 2,5 = 25 cL de lait.

2.

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 131

Beurre ramolli

Sucre

Levure

Farine

Lait

250 g

Un sachet et un quart

550 g

25 cL

Distance parcourue (en m) Temps (en secondes)

13 1

5 000 ≈ 385

225 g

40   1. (2 : 30) ¥ 100 ≈ 6,7 cm. ●

2. (2 : 30) ¥ 225 = 15 cm.

41   a) ●

33  ●

Il faudra environ 385 s = 6 min 25 s. Elle terminera son entraînement à 9 h 06 min 25 si elle continue à cette vitesse.

b)

34   1. ●

En une minute, elle aura parcouru 150 mètres. Au troisième coup de sifflet, elle aura parcouru 150 ¥ 3 = 450 mètres. 2. Distance parcourue (m) Temps (min)

150 1

42   1. ●

4 000 ≈ 27

35   1. 62,5 ÷ 5 = 12,5 et 87,5 ÷ 7 = 12,5. ●

Le prix est proportionnel au nombre de sacs. 2. 62,5 + 87,5 = 150 €. 3. 2 ¥ 62,5 = 125 €. 4. Nombre de sacs Prix (en €)

5 62,5

7 87,5

12 150

10 125

5. Le coefficient de proportionnalité correspond au prix d’un kilo de pommes de terre. 36   1. 163,5 ●

2. 120 3. =A5*5,45 37  . Le volume du pavé est : ●

17 ¥ 13 ¥ 10 = 2 210 cm3. 2 210 cm3 pèse environ : (820 : 300) ¥ 2 210 ≈ 6 041 g. 38   1. x = 10 ●

2. y = 71,28 3. Voir les créations des élèves. 39   1. 1 L = 10 cm ¥ 10 cm ¥ 10 cm ●

= 1 000 cm3 = 1 dm3. 2. (1  : 12) ¥ 10 ≈ 0,8 min = 48 secondes.

2. 2 ¥ π ¥ (300 + 6 371) ≈ 41 894 km. 3. 35,8 heures = 35 h 48 min 00 s. 4. Il faudra : 2 877 000 000 ¥ ≈ 103 010 heures ≈ 4 292 jours.

C Les pourcentages et les ● proportions

p. 132

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 132 Activité 1

1. 18 élèves sur 25 ont eu la moyenne. 2. 3. Non, il faut connaître le nombre d’élèves ayant eu 15/20. Chapitre 7 • La proportionnalité 75

47   1. 30 + 35 + 15 = 80 repas. ●

Activité 2

1. Dans 100 cL de crème, il y a 33 cL de matières grasses. 2. 33 ÷ 4 = 8,25 cL. 3. (100 ¥ 5) ÷ 33 ≈ 15 cL. 4. Pour la crème fraîche «  33  % de matières grasses », il y a 8,25 cL de matières grasses dans les 25 cl. Pour la deuxième crème fraîche, il y a 15 cL de matières grasses dans les 50 cL. Activité 3

1. La photographie va être agrandie. La longueur et la largeur seront trois fois plus grandes : 13,5 cm et 10,5 cm. 2. La photographie va être réduite. La longueur et la largeur seront moitié plus petites : 2,25 cm et 1,75 cm, soit environ 2,3 cm et 1,8 cm. 3. Les dimensions sont multipliées par le coefficient d’agrandissement ou de réduction.

2.

3.

4.

48   1. ●

2. 3. 49   a) ●



c)

b)



d)

50   Quentin a 30 avions. ● 51   a) 3 € c) 343,75 km ●

b) 19,5 kg

d) 597,6 m2

52   0,08 ¥ 3 = 0,24 L. Il y a aura 3,24 litres d’eau ●

gelée. Je sais Calculer une proportion et un pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 133

Exercices d’application 43   1. La proportion de personnes ayant répondu ● « non » est

= 0,117 6.

2. On construit le tableau de proportionnalité suivant : Nombre de personnes ayant 147 ? répondu « non » Nombre de personnes 1 250 100 interrogées Par la méthode du produit en croix, on obtient (147 ¥ 100) : 1 250 = 14 700 : 1 250 = 11,76. Le pourcentage de personnes ayant répondu « non » est égal à 11,76 : 100 = 11,76 %. 44   La ●

proportion des frais de port représente 2,79 : 15,99 ≈ 0,17, soit environ 17 % du prix.

53    ●

¥ 13 = 9,75 litres d’azote et 3,25 litres

d’oxygène. 54   La population augmentera de : ●

¥ 13 500 = 405. Il y 13 905 habitants. 55   18 élèves sont inscrits dans un club de sport. ● 56   1. ●

2.

, soit 60 %. , soit 52 %.

3. L’équipe réseau a la plus grande proportion de personnes ayant travaillé à l’étranger. 57   En 5e F : ●

En 5e C :

≈ 48 %. ≈ 45 %.

La plus grande proportion est en 5e F. Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 134

58   1. ●

¥ 320 = 48 € de remise.

45   ●

2. 320 – 48 = 272 €.

46   ●

59   Cela représente 40 % des résidents. ● 60   = 60 %. ●

76 Organisation et gestion de données, fonctions

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 135

Voiture : environ 20 %. Vélo : environ 12 %. Pieds : environ 14 %. Covoiturage : environ 11 %.

61   Pour 15 g de biscuits : ●

¥ 15 = 3,75 g ;

• énergie :

¥ 15 = 3,3 g ;

• matières grasses : • glucides :

¥ 15 = 3,45 g ;

• protéines :

¥ 15 = 4,5 g.

62   Punk Rock : 1 400 ¥ ●

68   Après augmentation de 5  %, les chaussures ● coûtent 47,25  €. Après augmentation, les chaussures coûtent 49,88 €. Une augmentation de 10 % du prix de départ donnerait un prix de 49,50 €. Conclusion : le prix n’a pas augmenté de 10 %.

Collège B :

= 350 personnes.

Variété : 1 400 ¥

Rap : 1 400 ¥

≈ 34,7 %

Le collège A a une proportion plus grande d’élèves ayant obtenu le brevet avec une mention.

= 490 personnes.

Classique : 1 400 ¥

≈ 35,4 %

69   Collège A : ●

= 1 400 ¥



67   Transports en commun : environ 43 %. ●

= 210 personnes.

D Les échelles

p. 136

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 136

= 280 personnes.

Activité 1

Autre  : 1  400 ¥

= 70 personnes

ou

1 400 – (350 + 490 + 210 + 280) = 70 personnes. 63   1. ●

3.

= 8 % 2.

= 24 %

= 32 % 4.

= 64 %

Activité 2

5. 36 % 64   30 % de 17, 33 € est égal à : ●

0,3 ¥ 17,33 = 5,199 ≈ 5,20 €. Après augmentation, 22,53  € est le cours de l’action. 30 % de 22,53 € est égal à : 0,3 ¥ 22,53 ≈ 6,76 €. Après diminution, le cours de l’action est égal à 15,77 €. Léo a tort.

65   1. ●

≈ 0,97 ≈ 97 %

1. Largeur : 1,85 m – longueur : environ 2 m. 2. Évier : 65 cm ¥ 45 cm (aux erreurs de mesure près). 3. Surface non utilisée : 0,945  m2 +  0,405  m2 =  1,35  m2 (aux erreurs de mesure près). Je sais Utiliser et calculer une échelle . . . . . p. 137

Exercices d’application 70   1. ● Distance réelle (en cm) Distance sur le plan (en cm)

18 000 9

2. a) Le coefficient de proportionnalité de ce

2. Environ 3 %.

tableau est

66   ●

Nombre de points gagnés sur 1re balle Nombre de points gagnés sur 2e balle Points gagnés au retour Montées à la volée

1. La hauteur de l’éolienne sera de 15 cm sur le dessin. 2. La longueur de la pale sera de 6  cm sur le dessin.

≈ 70 % ≈ 42 % ≈ 40 % ≈ 70 %

.

En simplifiant la fraction, on obtient :

b) Le coefficient de proportionnalité appelé l’échelle de la carte.

est

Chapitre 7 • La proportionnalité 77

71   ●

1. 1  cm sur la carte représente 1 000 000 cm = 10 km dans la réalité. 39,2 cm sur la carte représentent donc 10 ¥ 39,2 =  392  km dans la réalité. La distance Paris-Lyon est de 392 km. 2. On construit le tableau de proportionnalité suivant : Distance réelle 1 000 000 50 700 000 (en cm) Distance sur le plan 1 ? (en cm) Le coefficient de proportionnalité est l’échelle 1/1 000 000. 507 km représentent sur le plan : 50 700 000 ¥ 1/1 000 000 = 50,7 cm. Sur la carte, la distance Bordeaux-Marseille est de 50,7 cm. Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 138 72   a) 1 cm représente 50 cm dans la réalité, donc ●

c) Longueur : 2,67 m – largeur : 1,78 m. d) Superficie réelle : 1,78 ¥ 2,67 ≈ 4,75 m2. 80   ● 81   ● 82   On mesure 7  cm entre Rennes et Paris. Or, ●

307 km = 30 700 000 cm. Ainsi, 1 cm représente environ 44  km =  4  400  000  cm. L’échelle est

83   L’échelle est ●

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 139 84   1. ●

3,4 cm représentent 3,4 ¥ 50 = 170 cm = 1,7 m. b) 1,25 m = 125 cm sera représenté par 2,5 cm.

73   1. 1 cm sur la carte représente 1 000 000 cm ●

= 10 km dans la réalité. 2. La distance réelle est égale à : 20 ¥ 10 km = 200 km.

74   1  cm représente 10  000  cm =  100  m. Ainsi ●

530 m seront représentés par 5,3 cm sur la carte.

75   1 cm représente 1 000 cm = 10 m. ●

Ainsi, la hauteur de la tour Eiffel est égale à 32,4 ¥ 10 = 324 m.

76   1. Largeur : 0,24 m = 24 cm – Longueur : 0,32 m ●

= 32 cm. 2. Largeur : 0,096 m = 9,6 cm – Largeur : 0,128 m = 12,8 cm.

77   Sur ●

la photo 0,8  cm sont représentés par 2  micromètres. En mesurant, une estimation du diamètre du globule rouge est de 3,1 cm. Dans la 2 réalité, son diamètre sera d’environ 3,1  ¥  0, 8 2/0,8 = 7,75 micromètres. 78   La longueur est de 3,25  m et la largeur de ●

2,60 m.

79   Les mesures sont les suivantes : ●

a) Longueur : 3,56 m – largeur : 2,67 m. b) Superficie : 3,56 ¥ 2,67 ≈ 9,5 m2.

78 Organisation et gestion de données, fonctions

.

d’environ

Soleil

Diamètre réel (en km) 1 391 900

Mercure

4 880

Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune

12 100 12 800 6 805 142 984 120 536 51 312 49 922

Planète

Diamètre sur la maquette ≈ 17 cm ≈ 0,06 cm (moins d’un millimètre) ≈ 0,15 cm ≈ 0,16 cm ≈ 0,09 cm ≈ 1,8 cm ≈ 1,5 cm ≈ 0,6 cm ≈ 0,6 cm

2. Distance réelle au Distance Soleil (en millions sur la de kilomètres) maquette Mercure 58 7,25 m Vénus 108 13,5 m Terre 150 18,75 m Mars 228 28,5 m Jupiter 778 97,25 m Saturne 1 427 178,4 m Uranus 2 878 ≈ 360 m Neptune 4 497 ≈ 562 cm 3. La maquette de Noah, à l’échelle choisie, semble difficile à réaliser en raison des tailles des planètes et des distances entre ces planètes. Planète

85   ●

L’idée du programme est d’afficher la fraction de numérateur 1. Pour ce faire : • On demande la distance en cm sur la carte. • On demande la distance associée en km puis on la convertit en cm. • Pour obtenir la fraction de numérateur 1, on divise le dénominateur par l’arrondi de Distance réelle (en cm) par distance sur le plan (en cm). 86   1. L’aire de l’allée royale est égale à : ●

335 ¥ 40 = 13 400 m2. Les 2/5 de la pelouse correspondent à 5 360 m2. Il faudra 16 sacs. 2. Les 16 sacs coûteront 16 ¥ 69,90 = 1 118,40 €. 3. Semaines Quantité Prix unité Montant Semaine 1 16 69,90 € 1 118,40 € Semaine 2 15 69,90 € 1 048,50 € Semaine 3 9 69,90 € 629,10 € Total 2 796 € 4. La largeur est de 2  cm et la longueur est d’environ 16,8 cm.

Activité 2

Partie A 1. a) Côté de l’enclos (en m) Périmètre de l’enclos (en m) b) Côté de l’enclos (en m) Aire de la surface non utilisée (en m2)

1

2

3

4

4

8

12

16

1

2

3

4

39

36

31

24

1. Le tableau 1 est un tableau de proportionnalité, le tableau 2 n’en est pas un. Partie B Lorsque que l’on représente graphiquement les points donnés par le tableau de proportionnalité, on remarque que les points sont alignés avec l’origine. Ce n’est pas le cas avec le tableau 2. Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 142 87   a) Non, en effet, les points ne sont pas alignés ●

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 140

avec l’origine. b) Non, en effet, tous les points sont alignés avec l’origine.

Activité 1

88   1. Les grandeurs étudiées sont le nombre de ●

E La notion de fonction

p. 140

1. Les grandeurs sont : le temps (en minutes) et la distance parcourue (en km). 2. En 50 minutes, l’automobiliste aura parcouru 40  km. En 150 minutes, l’automobiliste aura parcouru environ 150 km. 3. La distance n’évolue pas. L’automobiliste est à l’arrêt entre ces deux temps.

sacs (axe des ordonnées). 2. Points Nombre de sacs Prix en €

abscisses) et le prix payé (axe des

A

B

C

D

E

4

9

12

20

26

18

40,5

54

90

117

Chapitre 7 • La proportionnalité 79

a) Il s’agit d’un tableau de proportionnalité car 18  ÷ 4 = 4,5  ; 40,5 ÷ 9 = 4,5  ; 54 ÷ 12 = 4,5  ; 90 ÷20 = 4,5 ; 117 ÷26 = 4,5. b) Le prix payé est proportionnel au nombre de sacs achetés car le tableau est un tableau de proportionnalité. Graphiquement, on observe que les points A, B, C, D et E sont alignés avec l’origine. 3. a) Graphiquement, on lit environ 75  € pour 17 sacs. b) 17 sacs coûtent 17 ¥ 4,5 = 76,50 €. de coefficient 4. Les points seront alignés avec l’origine si on les représente graphiquement.

2. Les points semblent alignés avec l’origine. Il semble que la tension soit proportionnelle à l’intensité. 3. 0,013 ÷ 3 ≈ 0,004. 0,02 ÷ 4,5 ≈ 0,004. 0,027÷ 6 ≈ 0,004. 0,034 ÷ 7,5 ≈ 0,004. 0,04 ÷ 9 ≈ 0,004. Le coefficient de proportionnalité est 0,004. 4. I = 0,04 ¥ V où I désigne l’intensité et V la tension. 5. On remarque que diviser par 0,004 revient à multiplier par 250. On déduit que U = 250 ¥ I. 6. 12 = 250 ¥ I donc I = 12 ÷ 250 = 0,048 A.

90   1. Les grandeurs représentées sont l’âge en ●

93   1. 57 ÷ 1,612 ≈ 22 : corpulence normale. ●

89   Le tableau est un tableau de proportionnalité ●

mois et la taille en cm. 2. La courbe de croissance n’est pas une droite passant par l’origine, les grandeurs ne sont pas proportionnelles. 3. À sa naissance, la taille de Timéo était 50 cm. 4. À 18 mois, sa taille était 79 cm. 5. À partir de 19 mois. 6. On ne peut prédire la taille à l’âge de 4 ans car il n’y pas de lien établi entre la taille et l’âge.

2. 80 ÷ 1,82 ≈ 25  : entre corpulence normale et surpoids. 3. 60 ÷ 1,72 ≈ 21 : corpulence normale. 4. Masse (en kg)

IMC

60

20,7

65

22,5

70

24,2

75

26

80

27,7

85

29,4

90

31,1

95

32

91   1. Les grandeurs représentées ne sont pas ●

proportionnelles car la courbe rouge n’est pas une droite passant par l’origine. 2. Le débit maximal est d’environ 27 Mbit/s. J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 143 92   1. ●

Intensité (A) 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

0

1

2

3

4

5

80 Organisation et gestion de données, fonctions

6

7

8

9

10

Tension (V)

a)

Étape 4 Calculer les masses des autres ingrédients 6. b) Le coefficient de proportionnalité est égal à 125 ÷ 8, soit 15,625. c) La formule à saisir est : « =C1*15,625 ».

IMC 35 30

7. Les formules à saisir sont en C5 « =C2*25 » et en C6 « =C1*12,5 ».

25

Étape 5 Calculer les coûts 8. La formule à saisir est : « =(2,65/100)*B2+0,29* B3+B6*0,001*0,7+(1,56/250)*B4+B5*0,001*1,38 ».

20

60

70

80

90

100

Masse (en kg)

b) Les points sont alignés avec l’origine. Donc à taille fixe, l’IMC est proportionnel à la masse. Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 144 94   a) Non ● 95   a) 220 € ● 96   a) ●

b) Oui b) 165 €

4 16

8 32

1 12

7 84

10 120

3 6

4,5 9

7 14

c) Non c) 330 €

d) 385 €

b)

c)

96   a) 31,50 € ● b) 150 Mo

c) 810 kg d) 62,5 cL

e) 30 Mo f) 150 m2

98   a) Non b) Non ● 99   Léo a raison. Si les deux jeux vidéo ont le même ●

prix de départ, alors Emma a tort.

Atelier numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 145

Étape 2 Calculer les masses de chocolat 2. Le coefficient de proportionnalité est égal à 200 ÷ 8, soit 25. 3. La formule à saisir est : « =C1*25 ». 4. La masse de chocolat est de 650 g. Étape 3 Calculer les quantités d’œufs 5. b) Le coefficient de proportionnalité est égal à 4 ÷ 8, soit 0,5. c) La formule à saisir est : « =C1*0,5 ».

Étape 6 Calculer le nombre d’invités 9. Medhi pourra convier 25 à 26 personnes. Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . p. 146 101

Distance horizontale (m) 100 Dénivelé (m) 6 Le dénivelé est de 47,1 mètres.

785 47,1

102 1. Au bout d’un an : 3,6/100 ¥ 300 = 10,80 €. Son solde sera de 310,80 €. 2. Au bout d’un an : 3,6 ¥ 100 ¥ 1 250 = 45 €. Son solde sera de 1 295 €. 3. En utilisant un tableur, en étirant la formule en B2 « =B1+B1*0,36 », on obtient :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

A 01/09/16 01/09/17 01/09/18 01/09/19 01/09/20 01/09/21 01/09/22 01/09/23 01/09/24 01/09/25 01/09/26 01/09/27 01/09/28 01/09/29 01/09/30 01/09/31 01/09/32 01/09/33 01/09/34 01/09/35 01/09/36

B 125 129,5 134,16 138,99 143,99 149,17 154,54 160,1 165,86 171,83 178,02 184,43 191,07 197,95 205,08 212,46 220,11 228,03 236,24 244,74 253,55

Chapitre 7 • La proportionnalité 81

103 1. Oui, le coefficient de proportionnalité est 16/9. 2. Une longueur de 20 pouces correspond à 20 ¥ 2,54 = 50,8 cm. Longueur (cm) 16 50,8 Largeur (cm) 9 ≈ 28,6 3. Voir les créations des élèves.

1. Roue 26 pouces : 26 ¥ 2,54 ≈ 66 cm. Roue 27,5 pouces : 27,5 ¥ 2,54 ≈ 70 cm. Roue 29 pouces : 29 ¥ 2,54 ≈ 73,7 cm. 2. On peut poser la roue au sol et mettre une marque sur le pneu au point de contact. On fait tourner la roue jusqu’à ce que la marque retouche le sol (cela correspond à un tour de roue). On mesure alors la distance entre le point de départ et le point d’arrivée. Elle correspond au périmètre de la roue. 3. 207 ÷ 66 ≈ 3,14. 219,5 ÷ 27,5 ≈ 3,13. 231,4 ÷73,7 ≈ 3,14. On peut affirmer que le périmètre de la roue est proportionnel au diamètre. 104

1. 3  600 ¥ 24 ¥ 365 ¥ 300  000 = 9  460  800  000  000  km (cas d’une année non bissextile). 2. 50 000 000 ÷ 300 000 ≈ 167 s ≈ 2 min 47 s. 3. Il faudra mille fois plus de temps, c’est-àdire 167  000 s ≈ 2  783,3 min ≈ 46,4  heures ≈ 1 jour 22 h 24 min.

b) 148 ÷ 10 = 14,8. Il faudra prévoir au moins 15 pots de peinture jaune. 2. a) 5 ¥ 13,4 + 10,4 ¥ 10,3 = 174,12 m2 . b) Il faudra prévoir au moins 174,12 ÷ 10 = 17,412 ≈ 18 pots de peinture blanche. 3. Prix Peintures Quantité Prix unitaire Peinture acrylique 15 44 € 660 € jaune Peinture acrylique 18 34 € 612 € blanche Total 1 272 € 108 1. L’affirmation est vraie, en effet si on note x le prix d’une barrette. Une remise de 50  % sur la deuxième barrette

reviendra à Une réduction de 25 % sur le prix des deux barret­ tes reviendra à payer 2.

105

106

1. Un tour de petite roue correspond à

Montant (en €) 31,5

Barrettes Maind’œuvre (en heures)

0,25

30 €/h

7,5

Total HT TVA (19,6 %) Total TTC

39

de

tour de la grande roue.  ¥ 32 = 14 tours de la grande roue. Ainsi, 8 tours de la petite roue correspondent à 14 ÷ 4 = 3 tours et demi de la grande roue. 2. La petite roue fait 32 tours lorsque la grande roue fait 14 tours. 107 1. a) Surface des murs sans les fenêtres et les portes (13,4 + 15,3 + 10,4 + 10,3 + 3 + 5) ¥ 2,8 = 161 m2 Surface des fenêtres : 6 ¥ 1,15 ¥ 1 = 6,9 m2 Surface des portes : 2 ¥ 1,6 ¥ 2 = 6,4 m2 Surface à peindre : 161 – (6,9 + 6,4) ≈ 148 m2

7,76 46,76

3.

32 tours de la petite roue correspondent à

82 Organisation et gestion de données, fonctions

2

Prix unitaire 21

Quantité

A

B

1

Prix

2 Barrettes 3

C

Main-d’œuvre (en heures)

2

21

D Montant (en €) =C2+C2/2

0,25

=B3*C3

4

Total HT

=D1+D2

5

TVA

=D4*0,196

6

Total TTC

=D4+D5

109 1. 585 +  10 =  595  £. En utilisant le taux de conversion, Paul devra dépenser : 595,65 ¥ 1,27 = 755,65 €. 2. Les frais de douane 8 % ¥ 659 = 52,72 $. Il devra dépenser 659 $ + 52,72 $ + 40 $ = 751,72 $. 3. En utilisant le taux de conversion, il devra dépenser 751,72 ¥ 0,91 ≈ 684,07 €. En comparant les prix, il devra l’acheter aux États-Unis.

112 172 ÷ 8 = 21,5 – 322,5÷15 = 21,5 et 752,5 ÷ 35 = 21,5. Le prix de la séance est toujours identique. Le prix est proportionnel au nombre de séances. 2. 7 cours coûtent 425 – 320 = 105 €. Avec la formule d’abonnement, le cours coûte 105  ÷ 7 = 15 €. La carte d’abonnement coûte 320 – 8 ¥ 15 = 200 €. 3. Elle est plus avantageuse à partir de 32 séances.

110 1. L’âge (en mois) et la masse (en kg). 2. Les grandeurs ne sont pas proportionnelles car le graphique n’est pas formé de points alignés avec l’origine du repère. 3. Environ 3,5 kg. 4. Environ 11,4 kg. 5. À partir d’environ 19 mois.

113 1. Il faut 99 piquets. 2. 60 ¥ 2 + 40 ¥ 2 = 200 m. Il faudra 200 ÷ 12 ≈ 17 rouleaux de grillage. 3. Le budget nécessaire sera de 17 ¥ 15 + 2,10 ¥ 99 = 462,10 €.

111 1. 15 ÷ 1 = 15 et 21 ÷ 3 = 7 : la température n’est pas proportionnelle à la durée. 2.

Température

¥ 462,10 ≈ 55,55  € pour la subvention

4.

régionale. Le prix de revient est de 462,10 – 55,55 = 406,55 €. 114

Description

Durée (en min)

Montant (en €)

Ourlet pantalon

13

5,20

Pose de bouton

30

12

Pose d’une fermeture-éclair

20

8

Total HT

25,2

TVA (20 %)

5,04

Total TTC

30,24

40 35 30 25 20 15 10 5 Heure 0

1

2

3

4

5

6

7

8

3. On obtient une droite ne passant pas par l’origine. 4. Horaires

Température (°C)

01 h 00

15

02 h 00

18

03 h 00

21

04 h 00

24

05 h 00

27

06 h 00

30

07 h 00

33

08 h 00

36

115

1. L’échelle est

.

2. 2 ¥ π ¥ 14 = 28 ¥ π ≈ 88 m. 3. a) 22 m b) 44 m c) 88 m 4. a) (88 ¥ 130) ÷ 360 ≈ 31,8 m b) (30 ¥ 360) ÷ 88 ≈123° 5. a)

O

a r

L

Chapitre 7 • La proportionnalité 83

88,34 heures = 88 heures + 0,34 h ≈ 88 h 21 min.

b) Longueur d’arc Angle au centre (en degré)

2¥π¥r

?

360

α

Or, 88 h 21 min = 3 ¥ 24 heures + 16 h 21 min. Le robot commencera ses prélèvements (environ) le vendredi à 6 h 21 min.

La quatrième proportionnelle est égale à : a . (2 ¥ π ¥ r ¥ α) ÷ 360 = 2 ¥ π ¥ r ¥ Problèmes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 150

Problème complexe 1 1. On mesure sur la carte environ 4,7 cm. La distance réelle est égale à : 4,7 ¥ 25 0000 = 1 175 000 cm = 11 750 m. 2. Temps (h) Distance (m)

1 133

≈ 88,34 11 750

84 Organisation et gestion de données, fonctions

Problème complexe 2 La fabrication des 3  000 coques nécessite 1,80 ¥ 3 000 = 5 400 m de fil de plastique. Il faudra donc 5 400 ÷ 115 ≈ 47 bobines de fil de plastique. L’entreprise devra dépenser 47 ¥ 19,90 = 935,30 €. La vente de 3 000 coques devra lui rapporter : 3 000 ¥ 19,95 = 59 850 €. Son bénéfice sera de 59 850 – 935,30 = 58 914,70 €.

c h a pi t

re

8

Les statistiques

Programme Connaissances et compétences associées > Organisation et gestion de données, fonctions Recueillir des données, les organiser. Lire des données sous forme de données brutes, de tableau, de graphique. Calculer des effectifs, des fréquences. • Tableaux, représentations graphiques (diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires, histogrammes). Calculer et interpréter des caractéristiques de position d’une série statistique. • Indicateurs : moyenne, médiane.

Organisation et gestion de données,fonctions

Repères de progressivité Les caractéristiques de position d’une série statistique sont introduites dès le début du cycle.

OUVERTURE

p. 151

Top Chrono ! a) 57 d) 5,2

b) 88 e) 25,8

c) 97 f) 367,4

Activité

1. Alima a effectué 5 tours de piste. 2. Elle a effectué un seul tour en plus de 2 minutes. 3. Elle a effectué deux tours en moins de 2 minutes. A La lecture de données

p. 152

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 152 Activité 1

1. Lucas a gagné 2 parties. 2. La différence est de 300 – 125 = 175 points. 3. Lucas a gagné 250 + 125 + 300 = 675 points et Inès a gagné 200 + 300 + 250 = 750 points. C’est donc Inès qui a gagné le plus de points. 4. La différence de score est de 750 – 675 =  75 points.

Je sais Calculer des effectifs . . . . . . . . . . . p. 153

Exercices d’application 1 1. L’effectif de filles est 28 + 32 + 28 = 88. L’effectif de garçons est 31 + 25 + 27 = 83. 2. L’effectif de benjamins est 28 + 31 = 59. 3. L’effectif d’inscrits qui ne sont pas des cadets est 28 + 31 + 32 + 25 = 116. 4. L’effectif total du club est 88 + 83 = 171. 2 1. Karim a obtenu 5 voix. 2. L’effectif de la classe est 4 + 6 + 12 + 5 = 27 élèves. 3. 27 – 12 = 15 élèves n’ont pas voté pour Jeanne.

Je m’entraîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 154 3 1. Il y 6 filles externes. 2. Au total, il y 6 + 7 = 13 filles. 3. Il y a 4 + 7 = 11 demi-pensionnaires. 4. Au total, il y a 6 + 4 + 7 + 7 = 24 élèves. 4 1. En février, il y a eu 352 Blu-ray vendus. 2. 682 + 563 + 453 = 1 698 ventes en mars. 3. En janvier, il y a eu 1 143 ventes. En février, il y a eu 1 537 ventes. Au total, il y a eu 4 378 ventes.

1. Le vélo est le moyen de transport le moins utilisé. 2. 12 élèves viennent à pied. 3. 5 + 6 = 11 élèves viennent en bus ou en voiture. 4. Il y a au total 12 + 5 + 4 + 6 = 27 élèves. 5. Vélo (4 élèves) – Bus (5 élèves) – Voiture (6 élèves) – Marche (12 élèves). 5

Activité 2

1. En 1960, la superficie était d’environ 16 millions d’hectares. 2. Environ 16 – 10 = 6, soit 6 millions d’hectares. 3. Environ 10 – 5 = 5, soit 5 millions d’hectares. 4. Environ 16 – 2 = 14, soit 14 millions d’hectares.

Chapitre 8 • Les statistiques 85

1. Il s’agit du gros électroménager. 2.  600 × 19 % = 114 €. 3. 600 × 17 % = 102 €. 9

J’approfondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 155 10   1. On compte 32  126 milliers d’hommes en ●

2015. 2. Le nombre de femmes a augmenté de 33 492 à 34 192, soit 700 milliers de femmes. 3. La France a gagné : 66 318 – 62 251 = 4 067 milliers de personnes. 4. Augmentation chez les hommes : 31 588 – 30 958 = 630 milliers. Augmentation chez les femmes : 33 653 – 33 004 = 649 milliers. L’augmentation est donc plus importante chez les femmes. 11   1. En Bretagne, il y a 294 salles. ●

2. 6 552 000 personnes sont allées au cinéma en Lorraine. 3. « =SOMME(B3 :B24) ». 4. « =SOMME (E3 :E24)*1000 ». 86 Organisation et gestion de données, fonctions

ra n

Partie A 1. Le système d’exploitation utilise le plus de batterie. 2. Temps (en heures) 25 20 15 10 5 0 ne

Éc

Pourcentage 54 000 21 600 86 400 43 200 10 800

Activité 1

ho

Type de matériel Tablette Ordinateur Téléphone Télévision HD Caméra

Je découvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 156

ép

8

p. 156

Té l

1. En septembre, la fréquentation est maximale. 2. Au mois d’août, la fréquentation est minimale. 3. Environ 3 000 + 2 750 + 3 250 + 1 500 + 2 500 + 1 200 = 14 200 visites. 4. Entre juillet et décembre, il y a eu environ 500 + 250 + 4 500 + 3 500 + 2 000 + 2 500 = 13 250 visites, soit au total 14  200 +  13  250 =  27  450 visites. 7

B La représentation de données

d’ Sy ex st pl èm oi e ta tio Ap n pl ica tio ns

6 1. Il s’agit du département de l’Indre-et-Loire. 2. 158 monuments. 3. 131 +  137 +  111 +  196 +  140 +  116 =  831 monuments historiques classés.

Partie B 1. Temps 21 5 (en heures) Mesure de l’angle 252° 60° (arrondie au degré) 2.

1 12°

3

30

36° 360°

Écran

Téléphone

Applications Système d’exploitation

Activité 2

1. 4 élèves ont envoyé 15 SMS dans la journée. Une personne a envoyé 43 SMS dans la journée. 2. La lecture n’est pas facile car il faut parcourir l’ensemble des réponses pour déterminer les effectifs.

3. 0≤n