Essenz der Rechenkunst: Arabisch und deutsch [Reprint 2019 ed.] 9783111684758, 9783111297620

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Essenz der Rechenkunst von

Mohammed ßeha-eddin ben Alhossain aus Amul, arabisch und deutsch herausgegeben von

Dr. G. H. F. W E S S E L M A N N , aufserurdenlüchem Professor an der Universität i u

Berlin. II C i G. I l e i n i e r.

1843. Aladi-misclic

BuchdrucWei.

Königsberg.

Vorrede. v v enn auch bei dem heutigen Stande der Wissenschaft die Herausgabe eines arabischen Auetors keiner Entschuldigung bedarf, so kann ich doch Gründe

nicht ganz mit Stillschweigen

welche mich vermocht haben,

die

übergehen,

ohne neue Verglei-

chung von Handschriften, blofs nach einem

frühe-

ren D r u c k e einen Arabischen Mathematiker zu ediren.

B e h a - e d d i n lebte in der spätesten Zeit der

Blüthe der arabischen Cultur, sein W e r k ist gewissermafsen der letzte Blick, den ein Scheidender auf den Glanz früherer Jahre zurückwirft,

um

davon

dem Gedächtnisse noch zu erhalten, was sich retten läfst.

Insofern ist gegenwärtiges W e r k c h e n interes-

sant für die Geschichte der Mathematik, und bildet ein zweckdienliches Seitenstück zu der von d r i c h R o s e n herausgegebenen A l g e b r a

des

FrieMo-

h a m m e d b e n M u s a ; wenn uns nämlich der letztgenannte Mathematiker die Algebra

der Araber

in

den ältesten Zeiten der Literatur dieses V o l k e s v o r die Augen führt, so zeigt uns B e h a - e d d i n ' s W e r k

IV

was dieses Volk in dem Zeitraum von achthundert Jahren aus dieser seiner Pflegebefohlenen gemacht h a t ; wir haben in beiden W e r k e n den Anfang und das E n d e der arabischen Algebra vor Augen. sem mathematisch-historischen

Die-

Zwecke, der mich

bei meiner Ausgabe geleitet hat, konnte die Calcuttaer Ausgabe wenig entsprechen.

Erstens ist die-

selbe, wie alle dortigen D r u c k e , in Europa sehr selten; sodann ist der Text, auf die dortigen Schulen berechnet, ohne Ubersetzung in eine Europäische Sprache geblieben und nur von einer Persischen Paraphrase begleitet, wodurch sie den Mathematikern unzugänglich wird; drittens ist sie sehr uncorrect und enthält trotz ihres sechs Seiten starken Druckfehlerverzeichnisses doch noch viele daselbst nicht angezeigte, wie meine Koten

zeigen,

welche nur die dort unbemerkt gelassenen Fehler berühren ; viertens endlich ist die Ausgabe für den Gebrauch, besonders für das Nachschlagen, so unbequem eingerichtet, wie es nur irgend möglich war; abgesehen davou, dafs der Text in lauter

kleine

Sätze zerrissen ist und unaufhörlich von der Paraphrase, oft sehr weitläufig, unterbrochen wird, läuft das ganze Buch vom Anfang bis zum Ende fast ohne Absatz fort, und die Überschriften der Kapitel und Abschnitte stehen in der Regel in einer ununterbrochen-fortlaufenden Zeile mitten im Texte,

V

ohne

durch

irgend

eine Auszeichnung

des S u c h e n d e n zu H i l f e zu k o m m e n .

dem

Auge

E i n e deutsche

U b e r s e t z u n g und eine gehörige Abtheilung des T e x tes in dieser neuen A u s g a b e

werden

den

wesent-

lichsten der genannten U b e l s t ä n d e abhelfen, und so wage ich zu h o f f e n , dafs man meine Arbeit nicht als etwas ganz Überflüssiges bei S e i t e werfen wird. Um

die V e r g l e i c h u n g b e i d e r A u s g a b e n zu er-

leichtern, h a b e ich bei j e d e m A b s ä t z e meines T e x tes die Seitenzahl der C a l c u t t a e r A u s g a b e angemerkt. Meine U b e r s e t z u n g macht keine A n s p r ü c h e auf Vollendung Wörtlichkeit.

in der F o r m , In

sondern

Kleinigkeiten

mag

nur auf ich

treue

zuweilen

gefehlt h a b e n ; b e d e u t e n d e F e h l e r , welche dem des A r a b i s c h e n U n k u n d i g e n die S a c h e entstellen, g l a u b e ich nicht begangen

zu h a b e n .

sollen nur das N o t w e n d i g s t e

Die

Anmerkungen

erläutern und

bezie-

hen sich meistens auf die S a c h e , selten nur auf die Sprache.

fWVfWV*

VW«

Ü b e r s e t z u n g .

l o w w n / v v «

Im N a m e n Golles, d e s Barmherzigen, des E r b a r i n e r s .

Wir

preisen Dich, dessen G n a d e n s u m m e k e i n e Z a h l be-

grenzt, und dessen ohne E n d e w i e d e r h o l t e T h ei I n n g e n 7.11 keinem E n d e f ü h r e n : w i r beten fiir u n s e r n H e r r n M o h a m m e d , den A u s c n v ä h l t e n , und für seine V e r w a n d t s c h a f t , vorzüglich die vier u n t e r e i n a n d e r V e r b u n d e n e n '), die I n h a b e r des Ilerrs c h e r m a n t e l s ").

Ist das geschehen, so (darf sich n e n n e n ) d e r

A r m e in Vergleich zu G o t t dem reichen, R c h a - e d d i u M o h a m med, S o h n des Alhosain, aus Amol, den G o t t d e r E r h a b ' n c möge s p r e c h e n lassen, w a s sich als w a h r e r w e i s t am Tage, da R e c h n u n g gelegt wird. E r sagt: „ W a s die R e c h e n k u n s t anlangt, so ist es nicht u n b e k a n n t , w i e erhaben ihr W e s e n , wie hoch ihr Rang, w i e zierlich ihre A u f g a b e n , wie fest ihre B e w e i s e sind, n o c h dafs viele W i s s e n s c h a f t e n ihrer b e d ü r f e n und. eine unzählige Menge von G e s c h ä f t e n v o n ihr G e b r a u c h macht. handlung, w e l c h e das N o t w e n d i g s t e von

Dieses ist eine Abihren

Elementen

umfafst, u n d das W i c h t i g s t e aus ihren Kapiteln u n d Abschnitten vereinigt, u n d v o n ihr a u f g e n o m m e n hat zierliche K u n s t griffe, w e l c h e die E s s e n z der B ü c h e r ä l t e r e r A u e t o r e n ausmachen, u n d ist d a r a u s gearbeitet auf a u s g e z e i c h n e t e n G r u n d l a gen, w e l c h e das M a r k der A b h a n d l u n g e n k ü n f t i g e r Schriftsteller sein w e r d e n Rechenkunst,

Ich h a b e sie g e n a n n t E s s e n z

u n d habe sie a n g e o r d n e t in eine

tung und zehn Kapitel.

1*

der

Einlei-

Einleitung. ^

D i e Rechenkunst ist eine Wissenschaft, welche die Auffindung u n b e k a n n t e r Zahlen vermöge e i g e n t ü m l i c h e r Kenntnisse lehrt, und ihr Object ist die Zahl; und da diese, wie behauptet wird, sich in der Materie offenbart, so zählt man aus diesem G r u n d e die Rechenkunst zu den abstractcn W i s s e n schaften; jedoch herrscht darüber Streit. Nach Andern ist die Zahl eine Vielheit, die sich auf die Einheit und was aus ihr zusammengesetzt ist, reduciren läfst; in dieser (Definition) ist die Einheit mitbegriffen. Nach Andern (ist die Zahl) die halbe Summe ihrer beiden Grenzen; dann ist (die Einheit) ausgeschlossen; man hat sich indefs bemüht sie hineinpassen zu lassen, indem man unter der Grenze auch einen Druch verstand. Die W a h r h e i t ist, dafs sie keine Zahl ist, obgleich die Zahlen aus ihr zusammengesetzt sind, gleichwie die einfache Substanz, denen zufolge, die eine solche statuiren, kein Körper ist, obgleich die K ö r p e r aus ihr zusammengesetzt sind. Die Zahl ist entweder absolut, und heifst dann g a n z e Z a h l , oder bezogen auf eine angenommene Einheit, und heifst dann ein B r u c h , und diese Einheit ihr N e n n e r . W e n n die absolute Zahl einen der neun (ersten) Theile, oder eine Quadratwurzel hat, so heifst sie a r t i c u l i r t , wenn nicht, so (heifst sie) s t u m m . W e n n die articulirteZahl gleich ist ihren Theilen, so heifst sie v o l l k o m m e n ; ist sie kleiner, so heifst sie ü b e r f l ü s s i g , ist sie grüfscr, so heifst sie m a n g e l h a f t . Die Zahl hat drei ursprüngliche Grade, Einer, Zehner und H u n d e r t e r ; höhere aber, welche diese überschreiten, giebt es unendlich viele, die indefs auf jene ursprünglichen sich zurückführen lassen. D i e Gelehrten Indiens haben dafür die bekannten n e u n Zeichen e r f u n d e n . s )

E r s t e s Kapitel. D i e R e c h n u n g mit g a n z e n

Zahlen.

Inline Zahl zu einer andern hinzulegen, heifst ad (Ii r e u , sie von dieser wegnehmen s u b t r a h i r e n , sie einmal vervielfältigen v e r d o p p e l n , und mehrmals nach der Anzahl der Einheiten einer andern (Zahl) m u l t i p l i c i r e n ; sie in zwei gleiche (Theile) Iheilen h a l b i r e n , in mehre gleiche (Theile) nach der Anzahl der Einheiten einer andern (Zahl) d i v i d i r e n ; die Zahl zum Vorschein bringen, durch deren Quadrirung sie entstanden ist, heifst d i e W u r z e l a u s z i e h e n . Wirtheilen diese Operationen in (einzelnen) Abschnitten mit. Erster Abschnitt. Addition. Schreibe die beiden Zahlen untereinander, und fange von der rechten Hand an zuzulegen jede Stelle zu ihrer entsprechenden; kommt nun eine Zahl heraus, welche kleiner als zehn ist, so schreibe sie darunter, bei einer gröfsern ihren Überschufs, bei zehn eine Null; in den beiden (letzten Fällen) behalte für die Zehn eine Einheit im Sinne, um sie zu dem, was an der folgenden Stelle steht, zuzulegen, oder schreibe sie zur Seite der vorhergehenden Stelle, wenn diese leer ist, oder in dieselbe. J e d e Stelle, welcher keine Zahl (in der andern Reihe) entspricht, setze unverändert iu die Reihe der Suuimc, Das Schema ist dieses: 20372 7656 28028 W e n n aber mehre Reihen von Zahlen da sind, so schreibe

6 sie Stelle für Stelle unter einander, und fange von der Rechten an, indem du für jede Zehn eine Eiuheit im Sinne behältst, wie du gelernt hast. Das Schéma ist dieses:

72373 3318 514 76205 W i s s e , dafs die V e r d o p p e l u n g eigentlich die Addition zweier gleichen Zahlen ist, n u r dafs du nicht nöthig hast, dieselbe zweimal zu schreiben, sondern jede Ziffer zu sich selbst addirst, gleichsam zu der ihr entsprechenden. Das Schema ist dieses. 252073 504146 D u kannst bei diesen Operationen auch von der L i n k e n anfangen, nur dafs du dann wegstreichen, corrigiren und Linien ziehen mufst, was eine Weitläufigkeit ohne Nutzen ist. Das Schema ist dieses: Addilion zweier Zahlen.

5 2 5 3 7 2 7 9 4 2 7 9 4 7 ~9 S

Addition m e i n e r Zahlen.

5 3 7 4 1 1 5 7 9 T Ö

3 2 7 9 0 5 ö ~6~

Verdoppelung.

2 5 0 6 7 2 4 T ~ö j T 5 n

T

W i s s e , dafs man die N o n n einer Zahl dasjenige nennt, was übrig bleibt, wenn man so oft als möglich neun wegnimmt. Dann besteht die P r o b e der Addition und der V e r doppelung darin, dafs man die N o r m e n der addirten Zahlen addirt und die Norm der verdoppelten Zahl verdoppelt, und die N o r m der Summe nimmt. W e i c h t nun die N o n n des Resultats ab, so ist die Rechuung fehlerhaft.

7 Zweiter A b s c h n i t t . Halbirung. Fange von der Linken an, und setze die Hälfte jeder (Ziffer) unter sie, wenn sie gerade ist, und die in ihrer Hälfte enthaltene gauze Zahl, wenn sie ungerade ist, indem du für den Bruch fünf im Sinne behältst, um diese zu der Hälfte der vorhergehenden Stelle zu addiren, wenn daselbst eine andere Zahl als die Einheit steht; steht aber Eins oder Null, so setze die Fünf unter sie. Hast du so die Reihe durchgemacht und behältst du einen Bruch, so setze dafür das Zeichen für eiu Halb; so: S7303I3 4365156 ^ I)u kannst auch von der Rechten anfangen, wenn du zwischen Linien schreibst, nach diesem Schema: 1 3 6 o 4 1 3 2 o i 6 s Die Probe besieht darin, dal's man die Norm der Hälfte verdoppelt, und davon wieder die Norm nimmt: weicht diese von der Norui der halbirten Zahl ab, so ist die Rechnung falsch. Dritter Abschnitt. Subtraction. Ordue beide Znhleu an wie vorher, und fange an von der Rechten und nimm weg jede Ziffer von der über ihr stehenden, und setze den Rest unter die Horizontallinie; bleibt nichts übrig, so (setze) eine Null. Ist aber die Subtraction nicht möglich, so nimm eine Einheit von den Zehnern hinzu und subtrahire nun, und schreibe den Rest hin. W e n n aber die (Stelle der) Zehner leer ist, so nimmst du von den Hunderten (eine Einheit), wclchc in Bezug auf die Zehner zehn

8 bedeutet; neun davon schreibe hin, und mit der Eiuheit verfahre, wie du gelernt hast, und führe die Operation zu Ende; so: 270753 29872 240881 Du kannst auch von der Linken anfangen, so: 9 2 6 3 6 2 7 4 y o~ 9 9 ~2" "9 ~8 Die Probe besteht darin, dafs mau die Nonn des Subtrahcndus von der Nonn des Diminuendus abzieht, wenn es möglich ist; wenn nicht, so legt man dein letztern neun zu und subtrahirt; wenn dieser Rest von der Norm des Restes abweicht, so ist die Rechnung falsch.

Vierter Abschnitt. Multiplication. Dieses ist die Aufsuchung einer Zahl, zu welcher sich einer der Multiplicatoren verhält, wie die Einheit zu dem andern Multiplicator, woraus folgt, dafs die Einheit auf die Multiplication keinen Einflufs hat. Es giebt hier drei Fälle, entweder (ist zu multipliciren) eine einfache Zahl in eine einfache, oder (eine solche) in eine zusammengesetzte, oder eine zusammengesetzte in eine zusammengesetzte. 6 ) Im ersten Falle hat man entweder Einer in Einer, oder Einer in Nicht-Einer, oder Nicht-Einer in Nicht-Einer. "Was den ersten Fall betrifft, so bürgt der für sich selbst. In den beiden andern Fällen dagegen werden die Nicht-Einer auf ihre gleichnamigen Einer reducirt. Multiplicire dann Einer in Einer, und merke dir das Product. Darauf addire die

9 (Anzahl der) Stellen beider Factoren, und vervielfältige das (obige) Product um den um eins k l e i n e m G r a d . 7 )

Wenn

du also 3 0 in 40 multipliciren sollst, so vervielfältigst du 12 um hundert, weil die Anzahl der Stellen vier, und die dritte die Stelle der Hunderter ist; und hast du 4 0 iu 5 0 0 zu multipliciren, so nimmst du die 20 tausendfach, weil die Anzahl der Stellen fünf ist. D e r zweite und dritte Fall wird, w e n n man die zusammengesetzte Zahl in ihre einfachen auflöst, auf den ersten reducirt.

Multiplicire dann die einfachen Zahlen, jede in jede,

und addire die Resultate. E s giebt elegante Hegeln für die Multiplication, w e l c h e zu der Auflösung ausgezeichneter Aufgaben führen. l l e g e l für zwei Zahlen zwischen fünf und zehn: Nimm den einen Factor zehnfach, und subtrahire davon das Product desselben (Factors) in den Überschufs der Zehn über den andern Factor.

Z. B. S in 9; w i r subtrahiren v o n 9 0

das Product der 9 in 2, so bleibt 72 übrig. Eine andere Regel: Addire die b e i d e n Factoren,

und

nimm den Überschufs der Summe über zehn zehnfach, und dazu addire das Product der Überschüsse der Zehn über jeden Factor.

Z . B . 8 in 7; wir addiren zu 50 das Product

der 2 in die 3. Regel für die Multiplication von Einern in eine Zahl z w i schen zehn und zwanzig: Addire die beiden Factoren, und nimm den Überschufs (der Summe) über zehn zehnfach; dann, subtrahire davon das Product des Überschusses v o n über die kleinere Zahl in die Einer der gröfsern.

zehn

Z. B. 8 in

14; wir subtrahiren v o n 120 das Product v o n 2 in 4. Regel für die Multiplication zweier Zahlen, die zwischen zehn und zwanzig liegen: Addire die Einer der einen zu der ganzen andern, und nimm die Summe zehnfach; dann addire dazu das Product der Einer in die Einer. addiren zu 150 sechs.

Z. B. 12 in 13; wir

10 Regel: W e n n da irgend eine Zahl in 5 oder 50 oder 500 inultipliciren sollst, so nimm ihre Hälfte zehnfach, oder hundertfach oder tausendfach, und nimm für den Bruch die Hälfte dessen, was du für die ganze Zahl genommen hast. Z. B. 16 in 5 giebt 80; oder 17 in 50 giebt 850. Regel für die Multiplication einer Zahl zwischen zehn und zwanzig in eine zusammengesetzte Zahl zwischen zwanzig und hundert: Multiplicire die Einer der kleinern in die Anzahl der Zehner (der gröfsern), addire zu dem Product die gröfsere, nimm die Summe zehnfach, und addire dazu dos Product der Einer iu die Einer. Z. B. 12 in 26; du addirst 4 zu 26", nimmst 30 zehnfach, und führst die Operation zu Ende, so kommt 312 heraus. Regel: "Wenn du irgend eine Zahl in 15 oder 150 oder 1500 multipliciren sollst, addire zu ihr ihre Hälfte und nimm das Resultat zehnfach oder hundertfach oder tausendfach, und für den Bruch nimm die Hälfte dessen, was du für die ganze Zahl genommen hast. Z. B. 24 in 15 giebt 360; oder 25 in 150 giebt 3750. Regel für die Multiplication zweier Zahlen zwischen zwanzig und hundert, deren Zehner gleich sind: Addire die Einer der einen zu der andern, multiplicire die Summe in die Anzahl der Zehner, nimm das Product zehnfach und addire dazu das Product der Einer in die Einer. Z. B. 23 in 25 ; du multiplicirst 28 in 2, und nimmst 56 zehnfach, und wendest die Regel vollständig an, so kommt 575 heraus. Regel für zwei Zahlen zwischen zwanzig und hundert mit verschiedenen Zehnern: Multiplicire die Zehner der klein e m in die ganze gröfsere, addire dazu das Product der Einer der kleinern in die Zehner der gröfsern, nimm die Summe zehnfach und lege dazu das Product der Einer in die Einer. Z. B. 23 in 34; addire zu 68 neun und zu 770 zwölf. Regel: Jede zwei verschiedene Zahlen, deren halbe Summe eine einfache Zahl ist, addire. und multiplicire die halbe Summe

11 in sich selbst, und sublrahire von dem Resultat das Quadrat ihrer halben Differenz. Z. B. 24 in 36; subtrahire von 900 das Quadrat ihrer halben Differenz, das ist 36, so bleibt 864 übrig. Regel: Zuweilen wird die Multiplication dadurch erleichtert, dafs man einen der Factoren durch die erste Zahl einer höhern O r d n u n g dividirf, und mit dein Quotienten die andere Zahl multiplicirt, und das so erhaltene Resultat vervielfältigt nach der angenommenen Zahl, indem man dem Bruch seinen W e r t h g i e b t . 8 ) Z. B. 25 in 12; dividire die erste Zahl durch 100, (der Quotient ist) ein Viertel: n u n nimm von 12 und multiplicire es in 100; oder (25) in 13; ein Viertel davon ist 3 J , und das Resultat 325. Regel: Zuweilen wird die Multiplication dadurch erleichtert, dafs du einen der Factoren ein und mehrmal verdoppelst und dann den andern in demselben Maafsc haibirst, und die beiden Resultate in einander multiplicirst. Z . B . 25 in 16; wenn d u nun die erste Zahl zweimal verdoppelst und die zweite eben so oft haibirst, so kommt es darauf hinaus 4 in 100 zu multipliciren. U n d dieses ist ganz einleuchtend. E r l ä u t e r u n g . W e n p aber der Stellen viele sind und die Operation schwierig wird, so suche dir mit Schreiben zu helfen. Sollst du also eine einfachein eine zusämmengesetzte Zahl multipliciren, so schreibe sie hin. Dann multiplicire mit d e r Ziffer der einfachen Zahl in die erste Stelle, u n d schreibe die E i n e r des Products darunter, für die Zehner aber behalte eben so viele Einer im Sinne, um sie zu dein Product der folgenden Stelle zu addiren, wenn daselbst eine Zahl steht; steht da aber eine Null, so schreibe die Anzahl der Zehner darunter. Kommen keine Einer heraus, so setze eine Null, und behalte für jede Zehn eine Einheit im Sinne, um damit zu verfahren wie du gelernt hast. Multiplicirst d u in Null, so schreibe eine Null. W e n n endlich an der einfachen Zahl Nullen hängen, so schreibe diese zur Rechten in die Reihe des Products.

12 Z. B. 5 in diese Zahl 62043; das Schema der Operation ist folgendes: 5 62043 310215 Und wären es 500 gewesen (statt 5), so hättest du an die Reihe des Products zwei Nullen anhängen müssen, so 31021500. W e n n du aber eine zusammengesetzte Zahl in eine zusammengesetzte mullipliciren sollst, so giebt es da verschiedene Methoden, z. B. des Netzes, die Multiplication des Uragürtens 9 ), des Gegenüberstellens und andere; am bekanntesten aber ist die Netzmethode. Zeichne eine vierseitige Figur und theile sie in Quadrate, und jedes Quadrat in zwei Dreiecke, ein oberes und ein unteres, durch Diagonalen, wie du sogleich sehen wirst. Dann setze den einen Factor über die Figur, jede Stelle über ein Quadrat, und den andern links davon, die Einer nach unten, über ihnen die Zehner, dann die Hunderter u. s. fort. Dann multiplicire die einzelnen Ziffern, jede mit jeder, und setze das Product in das Quadrat, an dem sich beide begegnen, die Einer in das untere Dreieck, die Zehner in das obere, und lafs die Quadrate, an denen eine Null steht, leer. Ist nun Alles angefüllt, dann setze, was in dem ersten Dreieck unten rechts steht, unverändert unter die Figur, und wenn es leer ist, eine Null; und das ist die erste Stelle des Products. Dann addire, was zwischen je zwei Transversallinien steht, und setze das Resultat links von dem vorigen, und ist der Raum leer, eine Null, ganz wie bei der Addition. Z. B. wir wollen 62374 in 207 (multipliciren); dieses ist das Schema der Operation: 6

2

0

i y

2

3

7

/ 6 /

/ / / /

/

-^

4

l /

i

X

/ 7 4 / 1 / 2 / /4 ¡> 2 / / - / 4 / 1 ' 9 1 1 4 1 8

8

1

2

13 Die Probe besteht dariu, dafs man die Normen der beiden Factoreu in einander multiplicirt; wenn dann die Norm dieses Products von der Norm des gewonnenen Resultats abweicht, ist die Rechnung fehlerhaft. Fünfter Abschnitt. Division. Dieses ist die Aufsuchung einer Zahl, welche sich zu der Einheit verhält, wie der Dividendus zum Divisor; sie ist also das Umgekehrte der Multiplication. Das Geschäft besteht hier also darin, dafs man eine Zahl sucht, deren Product in den Divisor gleich ist dem Dividendus, oder kleiner ist als dieser um eine kleinere Zahl als der Divisor ist. Ist n u n (das genannte Product dem Dividendus) gleich, so heifst die angenommene Zahl der Quotient; und wenn es in genannter W e i s e kleiner ist, so gieb dieser kleinern Zahl den Divisor zum Nenner, so ist dieser Bruch nebst jener Zahl der Quotient. W e n n die Zahlen grofs sind, so zeichne eine Tabelle mit so vielen Linien als der Dividendus Stellen hat, und setze diese zwischen die Linien, den Divisor aber nach unten, so dafs die höchsten Stellen unter einander zu stehen kommen, wenn der Divisor nicht gröfser ist, als die ihm entsprechenden Stellen des Dividendus; ist das so, so stelle ihn darunter; im Gegcntheil stelle ihn so, dafs er unter die vorletzte (zweite) Stelle des Dividendus zu stehen kommt. Dann suche die gröfste Zahl unter den Einern, deren Product in jede einzelne Stelle des Divisors sich von denjenigen Stellen des Dividendus, die über derselben oder etwa zur Linken stehen, subtrahiren läfst, und setze den Rest unter eine Trennungslinie. Hast du (eine solche Zahl) gefunden, so setze sie über die Tabelle, an den der ersten Stelle des Divisors entsprechenden Platz, und verfahre mit ihr wie du gelernt hast. Dann rücke den Divisor um eine Stelle rechts fort, oder das, was vom Divi-

14

1 8 9 5 4 4

4 1 0

7 5 7 4 1 3 4 0

T 24 2T 2 0

TT

T 1

2

T

5 "5 3 0

0-»'

5" 4 5 3 T

O

dendus übrig ist, (um eine Stelle) links, nachdem (du) eine Horizontallinie (gezogen hast). Darauf suche wiederum die gröfste Zahl, wie vorher, und setze sie rechts von der ersten, und verfahre mit ihr wie du gelernt hast. Läfst sich keine der Art finden, so setze eine Null, und rücke ein, wie vorher, und so weiter fort, bis endlich die kleinste Stelle des Divisors unter die kleinste des Dividendus zu stehen kommt, dann ist das über die Tabelle gesetzte der Quotient. W e n n von dem Dividendus etwas übrig bleibt, so ist das ein Bruch, dessen Nenner der Divisor ist. Z. B. Die Zahl 975741 (soll dividirt werden) durch die Zahl 53; dann ist der Quotient 18410 als ganze Zahl und 11 von 53 Theilen, wenn 53 als Einheit gesetzt wird. Und dieses ist das Schema:

Die Probe besteht darin, dafs man die Norm des O110tienten in die Nonn des Divisors mulliplicirt, und die Norm des Restes dazu nddirt, wenn ein solcher vorhanden ist; weicht die Norm dieser Summe von der Norm des Dividendus ab, so ist die Rechnung fehlerhaft.

Sechster Abschnitt. A u s z i e h u n g der Q u a d r a t w u r z e l . Das in sich selbst Multiplicirte heifst W u r z e l in der Rechenkunst, S e i t e in der Geometrie, und ein D i n g in der Algebra; das Resultat heifst dann Q u a d r a t . 1 °)

15 W e n n die Zahl klein ist, so e r f o r d e r t die A u f s u c h u n g der W u r z e l k e i n e Anstrengung, sobald sie rational ist; ist sie a b e r irrational, so s u b t r a h i r e (von d e r gegebenen Zahl) ihr nächstes Q u a d r a t , u n d gieb dem R e s t die d o p p e l t e W u r z e l des s u b t r a h i r t e n ( Q u a d r a t s ) nebst der E i n h e i t zum N e n n e r ; d a n n ist die W u r z e l des s u b t r a h i r t e n ( Q u a d r a t s ) n e b s t diesem B r u c h e d i e W u r z e l d e r gegebenen Zahl n ä h e r u n g s w e i s e

1

').

W e n n sie a b e r grofs ist, so setze sie i n n e r h a l b einer Tabelle, w i e d e n D i v i d e n d u s , u n d bezeichne ihre Stellen eine um die a n d r e ; d a n n s u c h e die gröfste Zahl unter d e n E i n e r n , s o dafs, w e n n d u ihr

.3

Q u a d r a t v o n d e r u n t e r dem ersten Zei-

1 2 8 9 3 3 0

c h e n s t e h e n d e n u n d der

vorhergehen-

den (links s t e h e n d e n ) Stelle subtrahirst, (diese

Subtraction)

entweder

aufgeht

o d e r einen R e s t läfst, d e r k l e i n e r ist als das s u b t r a h i r t e ( Q u a d r a t )

12

).

Hast d u

eine solche (Zahl) g e f u n d e n , so setze sie n a c h o b e n u n d nach unten in einer gewissen

E n t f e r n u n g ; multiplicire

.5

8 o*J 5 5

.8

1 7 2

5

¥ 6

6

4 ~8

dann

die o b e r e in die u n l e r e , u n d setze das P r o d u c t u n t e r die Zahl, d e r e n W u r z e l gesucht w i r d , so dafs ihre E i n e r u n t e r den

Multiplicator zu stehen

kommen,

u n d s u b t r a h i r e (das P r o d u c t ) von dem w a s d a r ü b e r und z u r L i n k e n steht, u n d

7

T

1 7 8

Ö

"6 5

setze den R e s t d a r u n t e r , n a c h d e m (du) eine T r e n n u n g s l i n i e (gezogen hast).

D a r a u f a d d i r e das o b e n

S t e h e n d e zu dem unten S t e h e n d e n , u n d s c h r e i b e die S u m m e hin, indem d u eine Stelle z u r R e c h t e n einrückst.

D a n n suche

w i e d e r u m die gröfste Zahl, so dafs, w e n n d u sie o b e n an das zweite Zeichen und auch u n t e n hingesetzt hast, ihr P r o d u c t in die ganze u n t e r e Zahl v o n den d a r ü b e r u n d z u r L i n k e n s t e h e n d e n Stellen sich s u b t r a h i r e n läfst; ist d i e s e Zahl g e f u n -

16 den, so verfahre damit, wie du gelernt hast, addire das Obere zu dem Unteren und rücke, was unten steht, um eine Stelle rechts ein. Läfst sich aber (eine solche Zahl) nicht finden, so setze oben an das Zeichen und unten eine Null und rücke ein, Und so verfahre, bis du zu Ende bist, dann ist das oben Stehende die Wurzel, und wenn kein Rest unter den Trennungslinien geblieben ist, so ist die Zahl ein rationales Quadrat; bleibt aber ein Rest, dann ist sie ein irrationales, und dieser Rest ist ein Rruch, dessen Nenner man findet, wenn man das bei den letzten Zeichen oben Stehende nebst der Einheit zu dem unten Stehenden addirf. Beispiel: W i r wollen die Wurzel aus dieser Zahl 128172 ausziehen; wir thun, wie wir gesagt haben, und dann wird es so (s. Figur). Es bleibt unter den Trennungslinien 8 ttbrig, und das ist ein Bruch, dessen Nenner entsteht, wenn man das oben an dem letzten Zeichen Stehende nebst der Einheit zu dem unten Stehenden addirt, und das ist 717Die Probe besteht darin, dafs man die Norm des Resultats quadrirt und dazu die Norm des Restes, wenn einer da ist, addirt. Weicht nun die Norm dieser Summe von der Norm der (gegebenen) Zahl ab, so ist die Rechnung falsch.

/VWI'VWIiWVl

Zweites KapiteL Die Rechnung

mit B r ü c h e n .

Enthält drei Vorbereitungen und sechs Abschnitte. Erste

Vorbereitung.

"VVcnn irgend zwei Zahlen mit Ausschlufs der Einheit einander gleich sind, so (nennt man sie) i d e n t i s c h e ; ist das nicht der Fall, mifst aber die kleinere die grüfsere, so (nennt man sie) a u f g e h e n d e ; ist auch das nicht, mifst aber eine dritte Zahl beide, so (nennt man sie) a c c o r d i r e n d e , und der Bruch, dessen Nenner diese (dritte Zahl) ist, heifst ihr A c c o r d ; findet aber auch das nicht Statt, so (heifsen sie) f r e m d a r t i g e . Die Identität ist an und für sich klar; die übrigen erkennt man, w e n n man die gröfsere durch die kleinere dividirt; bleibt kein Rest, so sind sie aufgehende; bleibt aber ein Rest, so dividiren wir den Divisor durch den Rest und so fort, bis kein Rest mehr bleibt; dann sind die Zahlen accordirende, und der letzte Divisor ist ihr gemeinschaftliches Maafs; w e n n aber die Einheit als Rest bleibt, so sind sie fremdartige. D e r Bruch ferner ist entweder a r t i c u l i r t , und das sind die neun bekannten (ersten) Brüche, oder s t u m m , dessen Ausdruck n u r durch Umschreibung möglich ist. Ferner ist jeder von ihnen entweder e i n f a c h , wie ein Drittel, ein Elfte], oder v i e l f a c h , wie zwei Drittel, zwei Elftel, oder a b h ä n g i g , wie die Hälfte des Sechstels, ein Elftel eines Dreizehntels, oder c o m p l i c i r t , wie ein Halbes und ein Drittel, ein Elftel und ein Dreizehntcl ' "Wenn du einen Bruch schreiben willst, so schreibe, wenn er mit einer ganzen Zahl verbunden ist, diese nach 2

18 oben, und den Bruch darunter, den Zähler über den Nenner; im entgegengesetzten Falle setze eine Null an ihre Stelle. Complicirte Brüche verbindet man mit u n d , und surde a b h ä n g i g e mit v o n . Daher schreibt man eins 0 1 1 und zwei Drittel so 2, die Hälfte von fünf Sechsteln so 2 . 3 5 6 0 0 Zwei Fünftel und drei Viertel so 2 u n d 3 S 4 Ein Elftel von einem Dreizehntel so

0 0 1 von 1 11 13.

Zweite Vorbereitung. Der Nenner eines Bruches ist die kleinste Zahl, von welcher er eine ganze Zahl ist. Der Nenner des einfachen Bruches liegt vor Augen, und er selbst ist unverändert der Nenner des vielfachen Bruchs. Der Nenner des abhängigen Bruchs ist das Product der Nenuer seiner einfachen Brüche in einander. W a s den coinplicirten Bruch anlangt, so vergleiche (zunächst) die Nenner zweier seiner Brüche; sind sie fremdartige Zahlen, so multiplicire sie in einander, sind sie accordirende, so (multiplicire) den Accord des einen in den andern; sind sie aufgehende, so begnüge dich mit dem gröfsern; dann vergleiche das Resultat mit dem Nenner des dritten Bruchs, und verfahre wie du gelernt hast, und so fort; das Resultat ist der gesuchte (Nenner). Willst du z. B. den (gemeinschaftlichen) Nenner der neun (ersten) Brüche finden, so multiplicire 2 in 3 , weil sie fremdartig sind; das Resultat in die Hälfte von 4, weil (hier) Accord (Statt findet); das Resultat in 5 wegen der Fremdartigkeit; 6 aber geht in das Resultat auf, darum begnüge dich damit und multiplicire es

19 in 7 wegen der Fremdartigkeit, und das Resultat in ein Viertel v o n 8, dieses dann in ein Drittel von 9, w e g e n des Accords; 10 geht in das Resultat, welches 2 7 2 0 ist, auf, darum begnüge dich damit;

es ist nämlich der

gesuchte

(gemein-

schaftliche Nenner). Zusatz.

D u kannst auch die N e n n e r der einfachen

Brüche (auf einmal) mit einander vergleichen.

Diejenigen

v o n ihnen, welche in einen andern aufgeheil, streiche dann fort und begnüge dich mit dem gröfsern; und für diejenigen, w e l c h e (mit einem andern) accordiren, substituiré ihren A c cord und verfahre mit dem Accord ebenso, bis die Nenner auf (das Ycrhältnifs der) Fremdartigkeit reducirt sind; dann multiplicire sie in einander, so Ist das Product das Gesuchte. In dem Beispiel streiche w e g 2 , 3 , 4 und 5 , weil sie in die folgenden aufgehen; 6 ist mit S accordirend nach (dem Verhältnifs von) einem Halb, darum substituiré dafür die Hälfte, und da diese in 9 aufgeht, so streiche sie w e g ; 8 ist accordirend mit 10 nach (dein Verhältnifs von) einem Halb; darum multiplicare 5 in 8 , das Product in 7 und dieses in 9, s o hast du das Gesuchte. Ein Scherz.

Man erhält den N e n n e r der neun Brüche,

w e n n man die Tage des Monats in die Anzahl der Monate, und dieses Product in die Tage der W o c h e multiplicirt.

Oder

w e n n man ein Product bildet aus denjenigen Nennern, in denen der Buchstabe Ain vorkommt (d. i. 4. 7- 9. 10).

Der

Beherrscher der Gläubigen, A l i , (Heil über ihm!) ward hierüber befragt; er antwortete: Multiplicire die Tage der W o c h c in die Tage des Jahres 1 ").

Dritte

Vorbereitung.

V e r w a n d l u n g gemischter B r ü c h e in und

unächte

umgekehrt.

D i e Verwandlung eines gemischten Bruchs in einen uniiehten besteht darin, dafs man eine ganze Zahl zu einem 2*

20 Bruche macht von dem Nenner eines gegebenen Bruchs, und die Operation ist die, dafs man, wenn die Verbindung einer ganzen Zahl und eines Bruchs gegeben ist, die ganze Zahl in den Nenner des Bruchs multiplicirt und den Zähler dazu addirt. Daher ist edi Verwandlung von 2\ gleich -fc, die Umwandlung von 6% gleich " , und die Umwandlung gleich | f . Die Verwandlung eines unächten Bruchs in einen gemischten besteht darin, dafs man einen Bruch zu Ganzen macht. W e n n wir nämlich einen Bruch haben, dessen Zähler gröfser ist als sein Nenner, so dividiren wir jenen durch den Nenner; dann ist der Quotient ganze Zahl und der Rest ein Bruch mit demselben Nenner. Somit ist die Auflösung von fünfzehn Vierteln drei und drei Viertel.

Erster Abschnitt. Addition und V e r d o p p e l u n g der Brüche. Man nimmt, nachdem (die Brüche auf) gemeinschaftlichen Nenner (gebracht sind), die Summe oder das Doppelte, und dividirt den Zähler, wenn er gröfser ist, durch jenen; wenn er kleiner ist, schreibt man den Nenner darunter; wenn er ihm gleich ist, ist das Resultat eine Einheit. Daher ist ein Halb, ein Drittel und ein Viertel gleich eins und ein Zwölftel; ein Sechstel und ein Drittel ist ein Halb; ein Halb, ein Drittel und ein Sechstel ist eins; und das Doppelte von drei Fünfteln ist eins und ein Fünftel.

Zweiter Abschnitt. H a l b i r u n g und S u b t r a c t i o n der Brüche. H a l b i r u n g . W e n n der Zähler eine gerade Zahl ist, so halbire ihn; wenn er eine ungerade Zahl ist, so verdoppele den Nenner und schreibe ihn unter den Zähler. Dieses ist , einleuchtend.

21 S u b t r a c t i o n . Subtrahirc einen (Zähler) von dem andern, nachdem sie auf gleichen Nenner gebracht sind, und schreibe unter den Rest diesen (den gemeinschaftlichen Nenner). W e n n du also ein Viertel von einem Drittel subtrahirst, so bleibt ein Zwölftel.

Dritter Abschnitt. Multiplication der Brüche. Wenn nur auf einer Seite ein Bruch steht, mit oder ohne ganze Zahl, so multiplicire den eingerichteten Bruch oder den (einfachen) Zähler in die ganze Zahl; dann dividiré das Product durch den Nenner, oder schreibe diesen darunter. Wenn man also zwei und drei Fflöftel in vier multiplicirt, So dividiren wir das Product des eingerichteten Bruchs in die ganze Zahl, nämlich 52, durch 5, so kommt Heraus 10%. Und wenn wir \ in 7 multipliciren, so dividiren wir 21 durch 4, so kommt heraus und das ist das Gesuchte. Steht aber auf beiden Seiten ein Bruch, und bei beiden, oder bei einem, oder bei keinem eine ganze Zahl, so multiplicire die (Zähler der) eingerichteten Brüche in einander, oder des einen eingerichteten Bruchs in den Zähler des andern, oder Zähler in Zähler, und dieses sei das e r s t e R e s u l t a t . Sodann (multiplicire) Nenner in Nenner, und dieses sei das z w e i t e R e s u l t a t . Dann dividiré das erste durch dieses, oder schreibe dieses als Nenner unter jenes, so ist das Re. sultat das Gesuchte. Das Product von in ist also 8^, das Product von 2^ in \ ist 1 \ ; und von \ in | ist \ plus S- (— 28

V

28/'

Vierter Abschnitt. D i v i s i o n der Brüche. Hier giebt es acht Fälle, wie das (eigne) Nachdenken bezeugt. Das Verfahren besteht darin, dafs du den Divi-

22 dendus und deu Divisor in den gemeinschaftlichen Nenner uiultiplicirst, wenn auf beiden Seiten Brüche stehen, oder in den vorhandenen Neuner, wenn nur eine (Seite) einen Bruch enthält; dann dividirst du das Product des Dividendus durch das Product des Divisors, oder schreibst dieses als Nenner darunter.

S o ist also, wenn man

durch 3 dividirt, der

Quotient \\\ und umgekehrt (wenn man 3 durch

dividirt)

und \ (dividirt) durch \ giebt 2 , wie die oben gelehrte Regel der Division bezeugt.

E s ist übrigens an dir, die übri-

gen Beispiele aufzusuchen.

Fünfter Abschriitt. Q u a d r a t w u r z e l n aus

Brüchen.

W e n n der Bruch mit einer ganzen Zahl verbunden ist, so richte ihn ein, so dafs das Ganze ein Bruch wird.

Dann,

wenn Zähler und Nenner articulirt (d.h. Quadratzahlen) sind, so dividiré die W u r z e l des Zählers durch die W u r z e l des Nenners, oder gieb jener diese als Nenner.

S o ist die W u r -

zel aus 6'.; gleich 2k, und die W u r z e l aus \ gleich |.

Sind

sie aber nicht articulirt, so multiplicire den Zähler in den Nenner, ziehe die W u r z e l aus dem Product näherungsweise, und dividiré sie durch den Nenner. W i l l s t du z. B . die W u r zel aus 3i, ausziehen, so multiplicire 7 in 2, und ziehe aus dem Product die W u r z e l näherungsweise; sie ist

; dann dividiré

sie durch 2, so kommt heraus \ %¡.

Sechster Abschnitt. R e d u c i r u n g eines B r u c h s auf einen gegebenen

Nenner.

Multiplicire den Zähler des Bruchs in den Nenner, auf wclcben er reducirt werden soll, und dividiré das Product

23 durch den (ursprünglichen) Nenmer, so ist der Quotient der Zähler IU dem gegebenen Neuner. W i r d also gefragt: W i e v i e l Achtel sind fünf Siebentel? so diviidire 4 0 durch 7; es kommen 5- Aclr.el heraus. die An.wort

U n d wird gefragt, wieviel Sechstel? so ist

Sechstel.

VIM

W A ^

Drittes Kapitel. A u f s u c h u n g der U n b e k a n n t e n durch die Proportion. H i e r verhält sich das erste Glied zum zweiten, wie das dritte zu dem vierten, und es mufs das Product der äufsern Glieder dem Product der innern gleich sein, wie bewiesen wird. Ist also eins der äufsern Glieder unbekannt, so dividiré das Product der innern Glieder durch das bekannte äufsere; wenn aber eins der innern (unbekannt ist), so dividiré das Product der äufsern Glieder durch das bekannte innere; der Quotient ist die gesuchte Gröfse. Die (hieher gehörigen) Aufgaben beziehen sich entweder auf Summe und Differenz, oder auf Handelsgeschäfte und ähnliches. Erstens, etwa so: W a s ist es für eine Zahl, die, wenn iuan zu ihr ein Viertel ihres Werthés addirt, drei wird? Auflösung: Nimm den Nenner des Bruchs, und nenne ihn die A n n a h m e ; operire damit nach Maafsgabe der Frage, und was dabei heraus kommt, nenne die M i t t e ; dann hast du drei bekannte Gröfsen, nämlich die Annahme, die Mitte und das B e k a n n t e , worunter das zu verstehen ist, was der Aufgabesteller gegeben hat, wenn er sagt: es wird so und so. Nun verhält sich die Annahme als erstes Glied zu der Mitte als zweitem, wie das Unbekannte als drittes zu dem Unbekannten als viertem. Multiplicire also die Annahme in das Bekannte, une dividiré das Product durch die Mitte, so resultirt das Unbekannte, welches in dem Beispiel 2\ ist. Zweitens, wenn etwa so gefragt würde: 5 Pfund für 3 Dirhem, für wieviel 2 Pfund? (Hier sind) 5 Pfund das G e s c h ä t z t e , 3 der W e r t h , die 2 Pfund das G e k a u f t e , und das Gefragte (Gesuchte) ist der Preis. Es verhält sich das

25 Geschlitzte zu dem W e r t h , wie das Gekaufte zu dem Preis. Es ist also das Unbekannte viertes Glied; darum dividiré das Product der Mittelglieder, nämlich 6, durch das erste Glied, 5. W ä r e aber gefragt: wieviel P f u n d für 2 Dirhem? so wäre das Unbekannte das Gekaufte, also drittes Glied; daher müfstest du das Product der äufsern Glieder, nämlich 10, dividiren durch das zweite, 3. — V o n hier ist ihre Regel hergenommen : nniltiplicire das letzte Stück der Frage in das ihm fremdartige, und dividiré das Product durch das jenem gleichartige. Dieses Kapitel ist von grofsem Nutzen. ist der, der um Hilfe gebeten wird.

Behalte es! E r

Viertes Kapitel. Aufsuchung der Unbekannten durch zwei falsche Sätze. N i m m für die Unbekannte an, was du willst, und nenne es die e r s t e A n n a h m e , und operire damit der Aufgabe geroäfs; stimmt es, so ist es. W e n n es aber abweicht, nach einer oder der andern Seite (um plus oder minus), so nenne dieses die e r s t e Abweichung. Dann nimm eine andre Zahl an, und nenne sie die z w e i t e A n n a h m e ; wenn sie abweicht, so entsteht dadurch die z w e i t e A b w e i c h u n g . Darauf multiplicire die erste Annahme in die zweite Abweichung, und nenne das Product das e r s t e R e s u l t a t ; und dann die zweite Annahme in die erste Abweichung, und das ist das z w e i t e R e s u l t a t . Sind nun beide Abweichungen (zugleich) positiv oder negativ, so dividire die Differenz der beiden Resultate durch die Differenz der beiden Abweichungen; sind sie abci verschieden, so (dividire) die Summe der beiden Resultate durch die Summe der Abweichungen, so ist der Quotient die gesuchte Zahl. W ä r e also gefragt: was ist es für eine Zahl, die, wenn man zwei Drittel ihres Werlhes und 1 zu ihr addirt, zehn wird? so ist, wenn du 9 annimmst, die erste Abweichung -+- b; (nimmst du) 6 an, so ist die zweite Abweichung •+• \ ; daher das erste Resultat 9, das zweite 36, und der Quotient, der entsteht, wenn du die Differenz der Resultate durch die Differenz der Abweichungen dividirst, ist 5 u n d das ist die gesuchte Zahl. Und wäre gefragt: W a s ist es für eine Zahl, die, wenn man ein Viertel ihres W e r t h e s zu ihr addirt, zu der Summe drei Fünftel ihres Werths, und von der Summe 5 subtrahirt, selbst wieder heraus kommt? W e n n du 4 annimmst, so weicht es um — 1 ab, wenn 8, dann um-+- 3. Daher ist der Quotient, der entsteht, wenn man die Summe der Resultate durch die Summe der Abweichungen dividirt, 5, und das ist das Gesuchte.

Fünftes Kapitel. Aufsuchung der U n b e k a n n t e n durch Operation der Umkehrung.

die

D i e s e s Verfahren besteht darin, dafs inan das Gegentheil von dem tliuf, was der Frager bestimmt hat; hat er verdoppelt, so halbire, hat er addirt, so subtrahire, hat er multiplicirt, so di\idire, hat er die W u r z e l ausgezogen, so erhebe a u f s Quadrat, und hat er es umgekehrt gemacht, so mache es umgekehrt, indem d u anfängst von dem letzten Stück der Aufgabe: dann erhältst du die Auflösung. Ist z.B. gefragt: W a s ist es für eine Zahl, welche, w e n n man sie in sich selbst multiplicirt, und zu dem Product 2 addirt, und dann verdoppelt und zu dem Resultat 3 addirt, die Summe durch 5 dividirt und den Quotienten mit 10 multiplicirt, als Resultat 50 giebt? so dividire dieses durch 10, multiplicire die 5 in sich selbst, subtrahire davon 3, und von d e r Hälfte der 22 (subtrahire) 2, und nimm die Q u a d r a t w u r z e l aus 9, so ist diese W u r z e l aus 9 die Auflösung. W i r d gefragt: was ist es für eine Zahl, welche, wenn zu ihr ihre Hälfte und 4 addirt, und zu dem Resultat ebenso, 20 giebt? so subtrahire 4, dann den dritten Theil von 16, weil die Hälfte das Addirtc war, so bleibt 10 2 3 ; dann subtrahire davon 4, und an den Rest sein Drittel, so bleibt 4 und das ist die Auflösung ' 5 ) . Gott kennt die W a h r h e i t besser.

W M W W V W t

Sechstes Kapitel. Mefskunst. Aus einer Vorbereitung und drei Abschnitten bestehend. Vorbereitung. D i e Mefskunst ist die Untersuchung, wie vielmal in der stetigen räumlichen Gröfse die lineare Einheit oder ihre Theile oder beide zusammen enthalten sind, wenn es eine Linie, oder wievielmal die quadratische Einheit, wenn es eine Flächc, oder die kubische Einheit, wenn es ein Körper ist. Die L i n i e ist die Gröfse von einer Dimension; man theilt sie ein in die g e r a d e , welches die kürzeste von den Linien ist, welche zwei Punkte verbinden, und zugleich diejenige, die man wählt, wenn man freie W a h l hat; ihre zehn Namen sind bekannt 1 6 ), und sie schliefst mit einer ihres Gleichen keinen Raum ein; und die k r u m m e , die man wieder scheidet in die K r e i s l i n i e , die bekannt ist, und in die n i c h t k r e i s f ö r m i g e , mit denen wir uns hier nicht beschäftigen werden. Die Fläche ist die Gröfse von nicht mehr als zwei Dimensionen; sie ist eine E b e n e , wenn die (geraden) Linien, die auf ihr gezogen werden, in jedem Punkte auf sie fallen. W i r d sie begrenzt von einer einzigen Kreislinie, so heifst sie ein K r e i s , die Linie, welche ihn halbirt, der D u r c h m e s s e r , und die ihn nicht halbirt, S e h n e in Bezug auf die beiden B o g e n und B a s i s in Bezug auf die beiden S e g m e n t e ; (wird die Ebene begrenzt) von einem Bogen und zwei Halbmessern, die sich im Centrum schneiden, so ist es .ein A u s s c h n i t t , und zwar (entsteht zugleich) ein gröfserer und ein kleinerer; wenn (sie begrenzt wird) von zwei Bogen, deren Convexitäten nach einer Seite gekehrt sind und die beide kleiner als der Halbkreis sind, so ist das ein M o n d , sind sie

29 gröfser (als der Halbkreis), so ist es ein H u f e i s e n ; wenn beide nach verschiedenen Seiten convex, einander gleich u n d kleiner als der Halbkreis sind, so ist es eine M y r o b a l a n e ; sind sie grüfser (als der Halbkreis), so ist es eine R ü b e . — W e n n (die E b e n e begrenzt wird) von drei geraden Linien, so entsteht ein D r e i e c k , welches entweder gleichseitig, gleichschenklig oder ungleichseitig, rechtwinklig, stumpfwinklig oder spitzwinklig ist; wenn von vier gleichen Linien, so ist es ein Q u a d r a t , w e n n sie aufeinander senkrecht stehen, wenn nicht, ein R h o m b u s ; w e n n sie ungleich sind, init Gleichheit der gegenüber liegenden, so ist es ein R e c h t e c k , wenn sie senkrecht stehen, sonst ein R h o m b o i d e s ; wenn keine von diesen Bedingungen statt findet, so entstehen T r a p e z e , von denen einige bisweilen besondere Nauien b e kommen, z. B. (das Trapez) mit einer Spitze, mit zwei Spitzen, und die G u r k e . 1 7 ) W e n n (die E b e n e begrenzt wird) von mehr als vier Seifen, so heifst es ein Vieleck, und wenn die Seiten gleich sind, so sagt man ein G e f ü n f t e s , ein G e s e c h s t e s und so fort, wenn nicht, so heifst es eine f ü n f s e i t i g e , eine s e c h s s e i t i g e F i g u r und so fort bis zu zehn in beiden Gattungen; von da an heifst es F i g u r v o n e l f G r u u d l i n i e n , von z w ö l f G r u n d l i n i e n und so fort in beiden Gattungen; manchmal bekommen auch einige b e s o n d e r e Namen, als T r e p p e n f i g u r , T r o m m e l f i g u r , S p i t z e n f i g u r 1 8 ) . D e r K ü r p e r i s t die Gröfse von drei Dimensionen; wenn ihn eine Fläche begrenzt, (von der Beschaffenheit), dafs die aus ihrem Innern ausgehenden (geraden Linien) einander gleich sind, so ist es eine K u g e l ; diejenigen Kreise, welche sie halbiren, heifsen g r ö f s t e K r e i s e , die übrigen k l e i n e r e . W e n n sechs gleiche Q u a d r a t e (ihn einschliefsen) so ist es ein K u b u s . W e n n zwei Kreise, die einander gleich und parallel sind, und (aufserdem) eine Fläche, die jene verbindet, (und so beschaffen ist), dafs, w e n n eine gerade Linie, die die Peripheriecn jener verbindet, herumläuft, sie in jedem P u n k t e

30 des ganzen Umlaufs berührt, so ist es ein C y l i n d e r (eine S ä u l e ) , jene beiden (Kreise) seine Grundflächen, und die Linie, welche ihre Mittelpuncte verbindet, seine A x e ; steht diese senkrecht auf der Grundfläche, so ist der Cylinder senkrecht, sonst schief. W e n n ein Kreis und eine erhabene fichtenförmige Fläche (ihn einschliefst), die von der Peripherie aus sich zu einein Puñete verengt, (und so beschaffen ist), dafs, wenn eine gerade Linie verbindend herumläuft, diese (die Fläche) berührt in jedem Puñete des Umlaufs, so entsteht ein K e g e l , der senkrecht oder schief ist, jener (d.i. der Kreis) ist seine Grundfläche, die Linie, welche sein Cenlruin mit jenem Punct verbindet, seine Axe. W e n n er geschniticu wird durch eine Ebene, die ihr (der Basis) parallel ist, so heifst das (der Grundfläche) anliegende Stück ein v e r k ü r z t e r K e g e l . W e n n die Grundfläche des Kegels und des C l ü n ders eine eckige Figur ist, so werden aus beiden von ihnen in ähnlicher Art e c k i g e K ö r p e r . Dieses ist die Mehrzahl der gebräuchlichsten Kunstausdrücke in dieser Disciplin. Erster

Abschnitt.

A u s m e s s u n g der g e r a d l i n i g e n

Figuren.

W a s das D r e i e c k anbelangt, und zwar das r e c h t w i n k l i g e , so mulliplicire eine der Katheten in die Hälfte der andern. Im s t u m p f w i n k l i g e n multiplicire die Senkrechte die von ihm (dem stumpfen Winkel) ausgeht auf die Gegenseite, in die Hälfte der Gegenseite, oder umgekehrt. Im s p i t z w i n k l i g e n multiplicire die aus irgend einem Winkel nach der Gegenseite gehende (Senkrechte) ebenso. Man erfährt, zu welcher von diesen drei Klassen (ein gegebenes Dreieck) gehört, wenn man die gröfste seiner Seiten auf das Quadrat erhebt; ist dieses Q u a d r a t gleich den beiden Quadraten der andern Seiten, so ist es rechtwinklig, ist jenes gröfser, so ist es

31 stumpfwinklig, ist es kleiner, so ist es spitzwinklig. Man findet die H o h e , wenn man die grüfste Seite als B a s i s setzt, und die Summe der beiden kleinein in ihre Differenz uiultiplicirt, das Product durch jene (die gröfste Seite) dividirt, und den Q u o tienten von derselben abzieht; dann ist die Hälfte des Restes der Abstand des Fufspuncts der Höhe v o n dein E n d p u n c t e der kleinsten Seite; ziehe von da eine L i n i e nach der Spitze, so ist das die Höhe; diese multiplicire in die Hälfte der L a s i s , so kommt der Flächeninhalt heraus.

U n t e r den Methoden

den Flächeninhalt des g l e i c h s e i t i g e n (Dreiecks zu finden merke dir die, dnfs du) multiplicirst das Q u a d r a t von dein vierten Theil des Q u a d r a t s einer Seite in 3, ohne Uuterscliied; dann ist die Quadratwurzel aus dein P r o d u c t die Antwort. Im Q u a d r a t multiplicire eine Seite in sich selbst; im R e c h t e c k , in ihre anliegende; im R h o m b u s die Hälfte einer Diagonale in die ganze andere.

Die übrigen V i e r e c k e

theile in j e zwei Dreiecke, so ist die S u m m e der beiden Flächeninhalte gleich dem Flächeninhalt der Summen. F ü r einige unter ihnen giebt es eigene Methoden, die aber nicht für diese Abhandlung geeignet sind. W a s die V i e l e c k e betrifft, s o multiplicire in dem (regelmäfsigen) S e c h s e c k , A c h t e c k und den übrigen von gerader Seitenzahl den halben Durchmesser in die halbe Summe (der Seiten), so ist das Product die Antwort; der Durchmesser aber ist die Linie, welche die Mittelpuncte zweier Gegenseiten verbindet.

Alle übrigen werden in Dreiecke gelheilt

und (dann) gemessen; und das gilt von allen gemeinschaftlich; bei einigen aber hat man Methoden wie bei den Vierecken. Zweiter

Abschnitt.

A u s m e s s u n g der übrigen

Flächen.

W a s den Kreis anlangt, so lege einen F a d e n um seine Peripherie und multiplicire den halben Durchmesser in die llälfte jener (Schnur).

O d e r subtrahire von dem Q u a d r a t e

32 des Durchmessers ein Siebentel und ein halbes Siebentel ( ) desselben, oder multiplicire das Quadrat des Durchmessers in 11, und dividiré das Product durch 14. W e n n du den Durchmesser mit 3% multiplicirst, so erhältst du die Peripherie, und wenn du die Peripherie durch dieselbe Zehl dividirst, erhältst du den Durchmesser. In Betreff der beiden S e c t o r e n multiplicire den halben Durchmesser in den halben Bogen. In Betreff der beiden S e g m e n t e mache das Centruin bemerklich und vollende sie zu Sectoren, so bildet sich da ein Dreieck; dieses subtrahire zu dem kleinern Sector, so resultirt das kleinere Segment, oder addire es zu dem grössern, so resultirt das gröi'scre Segment. Bei dem M o n d e und dem H u f e i s e n verbinde ihre Endpuncte durch eine gerade Linie und subtrahire das kleinere (Segment) von dem gröfsern. Die M y r o b a l a n e und die R ü b e theile in zwei Segmente. Bei der Kugelfläche multiplicire den Durchmesser in die Peripherie des gröfsten Kreises; oder das Quadrat des Durchmessers in vier, und subtrahire davon drei Vierzehntel des Products. Der Inhalt der (krummen) Oberfläche des Kugelsegments ist gleich dein Inhalt eines Kreises, des sen Halbmesser gleich ist der Linie, die den Pol des Segments mit der Peripherie der Basis verbindet. Bei der Oberfläche des senkrechten Cylindcrs multiplicire die Linie, welche parallel der Axe die beiden Grundflächen verbindet, in die Peripherie der Grundfläche. Bei der Oberfläche des geraden Kegels multiplicire die Linie, welche die Spitze mit der Peripherie der Grundfläche verbindet, in diese halbe Peripherie. Bei denjenigen Flächen, die hier nicht erwähnt sind, sucht man sich zu helfen durch die erwähnten.

33 Dritter

Abschnitt.

Ausmessung der

Körper.

In der K u g e l multiplicire ihren kalben Durchmesser in ein Drittel ihrer Oberfläche; oder subtrahire von dem Kubus des Durchmessers drei Vierzehntel, von dem Reste ebenso clor und von dem Reste ebenso. 1 9 ) Bei dem Kugelsegment multiplicire den halben Durchmesser der Kugel in ein Drittel der Oheriläche des Sectors. Bei Cvlinder und Prisma jeder Art multiplicire die Höhe in die Fläche der Basis. B e i dein vollständigen Kegel und der Pyramide jeder Art multiplicire die Höhe in ein Drittel des Inhalts der Basis. B e i dem abgestumpften Kegel multiplicire den Durchmesser der gröfsern Grundfläche in die Höhe, und dividire das Product durch den Unterschied der Durchmesser beider Grundflächen,

so kommt die Höhe des Kegels heraus, als wenn er

vollständig wäre.

D e r Unterschied zwischen der Höhe des

vollständigen und des abgestumpften Kegels ist die Höhe des kleinen Kegels, der diesen ergänzt; multiplicire dann ein Drittel derselben in die kleinere Grundfläche, so erhältst du seinen (des kleinen Kegels) Inhalt; diesen subtrahire von dem vollständigen. B e i der (abgestumpften) Pyramide multiplicire eine Seite der gröfsern Grundfläche in die Höhe und dividire das Product durch den Unterschied zwischen einer Seite (derselben Grundfläche) und einer der kleinern, so erhältst du die Höhe der ganzen (Pyramide), und dann führe die Operation zu Ende. Die Beweise aller dieser Operationen sind erklärt in meinem gröfsern Buche, welches den Titel führt O c e a n

der

R e c h e n k u n s t , zu dessen Vollendung Gott der Erhabene mir beistehen möge. ¿waSj

„die Erzählung von dem Herabsteigen des Iierrschermantels ist „so bekannt bei Jedermann, dafs sie keiner Erklärung bedarf."

60 3) Der Verfasser will offenbar s a g e n , dafs, so wie er den Stoff zu seinem W e r k e aus altern Büchern gezogen habe, so die Met h o d e , die er befolgt, künftigen, späteren W e r k e n zum V o r bilde dienen werde. Ruschen Ali führt hier einige Bücherlilcl a n , und zwar unter den früheren W e r k e n vor Beha-eddin *

m

und seine Commenlare, unter den späteren

iuL^i uiiJL,

_LäÄ4 und

^ ^ a ^ s d j . W e n n er unter

dem erstgenannten eben dieses W e r k Beha-eddins verstanden h a t , was der Titel A b h a n d l u n g d e s ß e h a anzudeuten scheint, so verstehe ich ihn nicht. h) Ruschen Ali pag. 5: i3ou

¿Jj| J j t ! LXJU QLO iS OwÜ »Oup ¿ U i "

„ E i n e Beschreibung dieser Art von Trapezen ist in keinem Buche zu finden, die es erläuterte; vielleicht wird Gott nach dieser Zeit es lehren." 18) Nach dem Commentar sind die drei letztgenannten Figuren folgende

V

Treppenfigur.

Tronimelfigur.

Spitzenfigur.

19) Diese Regel giebt den Inhalt der Kugel für den Durchmesser d an gleich V [t _ ^ _ f i • A _ A ( , _ A _ i i . • _ ! ) ] = 27T» woraus sich TT = 2,91 . . • ergiebt. Ruschen Ali hat den allerdings argen Fehler dahin verbessert, dafs er den Inhalt der Kugel gleich d> [ i _ _ f (t — = fL angiebt, und das giebt für 7r den bekannten Näherungswerth - 7 -.

67 20)

d e r A r m , dann d i e E l l e , hat hier den Zusatz i X J t , E l l e d i r H a n d , über den ich keinen Aufschluß zu geben weifs. W a s Ruschen Ali darüber sagt, scheint mehr erratheil als aus wirklicher Kenntnifs hervorgegangen; es heifst »« ^ ^ ^ „Nach der Elle der Hand, das heifst, nach dein Maafs der Länge der Hand." Wahrscheinlich technicus, dessen Bedeutung auch ist tXxJI ein terminus dem Paraphrasten nicht bekannt w a r ; denn die Länge der Hand kann unmöglich darunter verstanden sein.

21) Ruschen Ali: ¿ L

«JL», KjJ^iXa sILWJ j\ i S kXj.L&j

SLX^WJ „ E r mufs die Abhandlung in zwanzig Kapiteln, welche Mohakkik aus Tua verfafst hat, im Sinne haben; aber die erwähnten Randglossen sind dem Schreiber dieses nicht zu Gesichte gekommen." 22) Diese in ihrer elliptischen Fassung ganz unklar erscheinende Regel lautet, wörtlich übersetzt, so: „sieh nach der Spitze derselben durch die Dioptern, beobachte das untere Ende des Lineals, auf welcher Schattenlinie es sieht und bezeichne deinen Standpunct. Dann drehe es (das Lineal) um, so dafs ein Fufs oder Finger hinzukommt oder weggeht; darauf gehe vor oder zurück, so dafs du die Spitze noch einmal siehst; mifs sodann den Abstand deiner beiden Standpuncte und multiplicire denselben in sieben oder in zwölf nach Maafsgabe des Schattens."— Ich gestehe, dafs aus diesem Labyrinth mir nur der Commentar herausgeholfen hat, welcher so beginnt: „ W i s s e , dafs Manche das Instrument In zwölf gleiche Theile theilen, Manche in sieben; dann nennt man den Schatten in dem ersten Instrumente Finger, in dem zweiten Füfse." Diese Erklärung mit dem Inhalt der Regel zusammengehalten giebt folgendes Resultat über A D die Einrichtung des Instruments: Man denke sich

c

in dem Quadrat AB CD die Spitze A als den Punct, um den sich das Yisirlineal dreht, so ist die Seite B C In 12 oder in 7 gleiche Theile getheilt, und Linien, wie AE, welche A mit diesen 5*

68 T h e i l u n g s p u n c t e n v e r b i n d e n , heifsen S c h a t t e n l i n i c n .

Nun

das ü b r i g e n s n i c h t zu E n d e g e f ü h r t e V e r f a h r e n f o l g e n d e s : SP

ist Sei

die zu m e s s e n d e H ö h e , s o s t e l l e

dich an einen P u n c t G, Strahl

so dafs d e r

verlängert gerade

Sa

T h e i l u n g s p u n c t e trifft.

einen

S c h i e b e dar-

a u f das V i s i r a u f den n ä c h s t e n T h e i l u n g s p u n c t en

deren w i r n

anneh-

m e n w o l l e n , und g e h e v o n G n a c h G ' , d . h . s o w e i t , bis du b e i d e r j e t z t g e g e b e n e n R i c h t u n g des Y i s i r s w i e d e r die S p i t z e S siehst. D a n n h a b e n wir folgende P r o p o r t i o n e n :

eb : ba =

aT

:

TS

e,b, : b,a, — a,T :

also

eb

et b,

a T

eb

e,b, — eb

und da

b,a,

=

a,T =

aT

:

aT eh -

,T =

6 a,

TS

so f o l g t daraus

GG-UaT

GG, GG

aus der e r s t e n P r o p o r t i o n a b e r f o l g t

la aT = eb In . GGi = e b — cb t

TS D e m n a c h ist

TS

a b e r e, b, — eb ist =

—

ab. d e m n a c h

B i s dahin g e h t B e b a - e d d i n s R e g e l ;

TS =

n • G G'.

der C n m n i c n l a r fügt zur

V e r v o l l s t ä n d i g u n g hinzu, dafs du zu diesem R e s u l t a t n o c h deine L ä n g e , nämlich G a ^

PT

addiren sollst.

2 3 ) M o n t u c l a ( T . I . p. 38 3) schliefst aus dem von M e e r m a n in der V o r r e d e s e i n e s S//ecimcn

calculi

flüxionalis

übersetzten T i t e l s

e i n e s A r a b i s c h e n M a n u s c r i p t s a u f der L e i d e n e r B i b l i o t h e k ( l ' A l -

gèbre des équations cubiques, ou la résolution îles problèmes par

Omar

ben Ibrahim),

solides

dafs die A r a b e r die A u f l ö s u n g der k u -

bischen Gleichungen gekannt haben.

D e n T i t e l eines A r a b i -

s c h e n B u c h s zu ü b e r s e t z e n , w e n n man den I n h a l t n i c h t k e n n t ,

69 b a t i m m e r e t w a s Mifsliches, u n d mit G e w i f s h e i t k ö n n e n w i r ann e h m e n , dafs d i e liier g e g e b e n e Ü b e r s e t z u n g falsch ist, w e n n w i r b e d e n k e n , dafs u n s e r A u c l o r , e i n e r d e r s p ä t e s t e n aus d e r A r a b i s c h e n L i t e r a t u r , so n a c h d r ü c k l i c h e r k l ä r t , dafs seine L a n d s l e u t e n i c h t ü b e r die B e h a n d l u n g des Q u a d r a t s h i n a u s g e k o m m e n sind. D i e h o h e m G l e i c h u n g e n s c h e i n e n in d e r T h a t ein ausscbliefsliches E i g e n t h u m E u r o p a ' s z u sein. V e r g l e i c h e hiemit n o c h die N o t e n 3 6 . JS. 2i, so ist n.v die A n z a h l d e r Dinare. — 2« —

Dinare.

Die erste

Vertheilung

Demnach haben w i r —

=

giebt n,

aber

also

x

t.

- 5) V g l . Eue!. Elem. I X , ,}6. — R u s c h e n Ali g i e b t in seinem C o m i n e n t a r d e n A r a b i s c h e n A u s d r u c k f ü r die P r i m z a h l , d e n ich s o n s t n o c h n i r g e n d g e f u n d e n habe, n ä m l i c h Ji^S ¿ J s .

Hinter

s e i n e r E r k l ä r u n g d e r R e g e l giebt e r dieselbe in e i n e m u n d e u t lich a u s g e d r ü c k t e n D i s t i c h o n , w e l c h e s e r d ^ m V e r f a s s e r , d . h . l i e h a - e d d i n zuzuschreiben scheint, den er sonst unter Wort

dem

i m m e r v e r s t e h t ; w a h r s c h e i n l i c h e r a b e r ist es, dafs

die Verse von ihm selbst h e r r ü h r e n , u n d dafs e r sich als V e r f a s s e r des C o m m e n t a r s g e m e i n t hat; es heilst n ä m l i c h : o ^ w i ¡O-S" j j ä j

siAcii q j !

„ U n d d e r V e r f a s s e r selbst

b a t diese R e g e l in V e r s e g e b r a c h t . " Jo^Ls-

S

ijji öjs

Sie lauten Ooi^

oläjocosjj

W e n n d u aus d e n v o n d e r E i n h e i t a n v e r d o p p e l t e n eine P r i m z a h l h e r v o r g e h e n läfst, S o g e l a n g s t du z u e i n e r v o l l k o m m e n e n d u r c h die Multiplication j e n e r in die l e t z t e g e r a d e . U n d am E n d e , n a c h d e m R u s c h e n A l i e i n e n e u e R e g e l g e g e b e n hat, die b l o f s darin v o n d e r des T e x t e s a b w e i c h t , dafs e r statt

70 d e r S u m m e d e r in R e d e s t e h e n d e n Z a h l e n , die f o l g e n d e w e n i ¿'y5

g e r 1 n i m m t , heifst e s : i? y t í r iAS»^

» | » l 3 j

^ij IAJ^

»-Ä*^

(^iij

\j «lAclii

3

(j^ ^ t

iXäL Q L Í J ! UJ

„ U n d M o h a k k e k D e w a n i , ü b e r ihm sei die G n a d e , h a t Beispiels halLer diese R e g e l in V e r s e g e b r a c h t , n ä m l i c h s o : W e n n das D o p p e l t e e i n e r g e r a d e - g e r a d e n Zahl w e n i g e r eins eine P r i m z a h l ist, S o ist das P r o d u c t d i e s e r eine v o l l k o m m e n e ; w e n n n i c h t , so ist es eine m a n g e l h a f t e o d e r e i n e ü b e r v o l l k o m n i e n e . " B e m e r k e n s w e r t h ist h i e r d e r B e g r i f f d e r g e r a d e - g e r a d e n Zahl in d e m S i n n e der s p ä t e m G r i e c h i s c h e n A r i t h m e t i k e r , bei d e n e n dieser A u s d r u c k n u r die P o t e n z e n v o n 2 b e d e u t e t . 26) W e n n x - f - y =

d , also .»: =

— 2 y = • 2 (-^-a — / ) .

a — y ist, so ist -x —y

ser sich b e r u f t . S e l z e n w i r x — y = —

also /

=

=

a

Das ist d e r S a t z , auf den d e r V e r f a s d

o — y

x

i

d, so ist also

— lT

a

^ •

=

a

d

IT -

27) V e r g l e i c h e N o t e 15. 2S) Da die v i e r R ö h r e n das G e f ä f s in r e s p e c t i v e 1, 2, 3, í T a g e n f ü l l e n w ü r d e n , so w i r d v o n i h n e n in einein T a g e r e s p e c t i v e -j-, 4",

-j- des G e f a f s e s g e f ü l l t ; die S u m m e ist ü,- 2 o d e r f j ,

d . h . die vier R ö h r e n z u g l e i c h füllen in e i n e m T a g e ein G e f ä f s , w c l c h e s an I n h a l t

des g e g e b e n e n fafst, w o r a u s sich die P r o -

portion ergiebt a

x

29) '

•

=

a,

c

__ =

1 T a g : x.

u

• so

: 1 = •

ist

Sei AB

AC

=

=

-mAD,

BC

^-^-AD,

j ) ^ a ] s 0 verhält sich mn AD

=

~ AD,

demnach

CD

CD =

a

: mri — (jn -f-

n)

: a.

30) D e r B e s i t z des A sei x,

des B y,

d e r P r e i s P.

statt des D r i t t e l u n d V i e r i e l in der A u f g a b e t u i r e n , so e r h a l t e n w i r P = 0

* +

-Urs =

- 4 ) « x

J

= (1 mn — n

+ ±)y

und

Wenn

wir

~ substi-

71 S e t z e n w i r n u n , um g a n z e Z a h l e n z u e r h a l t e n , a: = n n y ^

rnn — m,

.3l) ^ s - ^ U i C w

so e r g i e h t s i c h d a r a u s P — mn —

oder genauer Persisch

eine

—

n,

1. Mischung,

w i e sie h i e r b e s c h r i e b e n w i r d , die a b e r w a h r s c h e i n l i c h g e k o c h t w u r d e . D e n n m i t fast l ä c h e r l i c h e r Ä n g s t l i c h k e i t f ü g t R u s c h e n A l i d e r E x p o s i t i o n d e r A u f g a b e die W o r t e 'j

KSji'

{S

hinzu:

^

'j

j?l> lX-'^XW

, , . . . w e r d e n z u s a m m e n g e m i s c h t , damit es S a u e r -

h o n i g w e r d e , o h n e j e d o c h an das F e u e r g e b r a c h t zu w e r d e n , damit n i c h t s v e r l o r e n g e h e . " W e n n man a P f u n d I l o n i g , l P f u n d E s s i g , c P f u n d W a s s e r z u s a m m e n m i s c h t , so e n t h ä l t die M i s c h u n g a - f - b +

c Pfund.

N i m m t m a n davon p P f u n d u n d b c z e i c h n c t die Q u a n t i t ä t e n , die v o n j e d e r S o r t e in d i e s e r P o r t i o n e n t h a l t e n sind, r e s p e c t i v e mit j-, j ,

so hat mau o f f e n b a r f o l g e n d e P r o p o r t i o n e n

.«: : a =

y

: b =

z : c =

f) : « -f- 0 +

c,

daher

«p a -t- b -t- c bP

= y

a •+- b a

T b

t; c

S t a t t d i e s e r a l l g e m e i n e n A u l l ö s u n g sind in d e m B e i s p i e l e s t a t t p s u c c c s s i v e die Z a h l e n a, b, c s u b s t i t u i r t . J))Nach

dem

der Figur

bekannten

Salze.

der

ein A u s d r u c k , d e n d e r

Kraut,

Im Original steht:

nach

Paraphrast

n i c h t w e i t e r e r k l ä r t , als dafs er sagt, es sei d e r S a t z v o m r e c h t w i n k l i g e n D r e i e c k , d e m z u f o l g e das Q u a d r a t d e r u.s.w.

Hypotenuse

H i s t o r i s c h e s ü b e r die E i n f u h r u n g dieses N a m e n s ist mir

nicht bekannt. .{!) D a l s diese A u f g a b e u n v e r s t ä n d l i c h

ausgedrückt ist,

bemerkt

s c h o n d e r P a r a p h r a s t , i n d e m er s a g t : Ist u n t e r dein A u s d r u c k „ e i n e a n g e n o m m e n e Z a h l " ü b e r h a u p t n u r e i n e Zahl g e m e i n t , so hat die S a c h e k e i n e S c h w i e r i g k e i t ; ist e i n e g e g e b e n e Zahl g e m e i n t , so ist die A u f l ö s u n g u n b e k a n n t ("d.h. bis j e t z t nicht g e f u n d e n ) ; ist 10 g e m e i n t , w a s d e r A u s d r u c k ( j ^ » ^

anzudeu-

t e n s c h e i n t , dann ist d i e A u f g a b e a b s u r d und u n m ö g l i c h , nicht

72 aber blofs schwierig. — Die Sache verhält sich so, dafs man aus d e r Aufgabe nicht r e c h t ersieht, w e l c h e r Zahl der Ausdruck [.«. -f- > / . ]

[(10 — ..)

VlO — a ]

gleich sein soll. O f f e n b a r aber ist das P r o d u c t immer g r ö f s e r als 10. 35) E s soll x 2 + 10 = y2, x2 — 10 = z2 sein, eine F o r d e r u n g , die sich wirklich nicht erfüllen läfst. 36) W e n n Zaid x2 und A m r u y2 besitzt, so soll Zaid 10 — / und A m r u 5 — x e r h a l t e n ; w i r haben also die beiden G l e i c h u n g e n x2 + y =

) 0 , und y2

+

x =

5

D i e S u b s t i t u t i o n , w e n n w i r in der zweiten G l e i c h u n g f ü r y seinen W e r t h aus der ersten setzen, ergiebt iV*

_

Z0x2 +

.c +

95 =

0

Also ist die Aufgabe nicht u n m ö g l i c h , w o h l aber giebt sie kein rationales Resultat. 37) Die Unmöglichkeit dieser A u f g a b e b e r u h t auf dem b e r ü h m t e n Satze, den F e r m a t 1657 zuerst ausgesprochen und E u l e r b e w i e sen hat. Die A r a b e r haben denselben also einige J a h r h u n d e r t e f r ü h e r gehabt, als w i r . 38) Die beiden T h e i l e seien 5 -+- .» und 5 — x,

so soll

= 5 + x oder = 5 — x sein. Die A u s f ü h r u n g ergiebt eine kubische G l e i c h u n g o h n e rationale W u r z e l n . 39) Diese Aufgabe ist wirklich unmöglich, weil die G l e i c h u n g 2 . 2 2 . 24 2 x + x y = * oder die daraus h e r v o r g e h e n d e 1 + J*

=

'2

sich nicht rational lösen läfst. »-äbrlc » u m

Molutmmed D."

ist,

17. Nov.

len Musa's das

stlgeb/a.

London

1533.

elirislliclic J a l i r Lclriffl, tinriclilig.

1 6 2 1 bis l u m

5. Nuv.

162-

(Greg.

Slyls).

S. 1S3. Das Jahr

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*) In tl. Ausg.

Comm.

* * * ) In der A u s g . ist IJ SO g e d r u c k t , als w e n n es zum C o m mentar g e h ö r t e . j-)

habe ich aus dem C o m m e n t a r g e n o m m e n ; der Text

liest •j-f) Lies

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Om nicht J + ^ i » w i e die Ausgabe hat.

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***) Jf LfJ^s»! Jva L ^Jio ^-Ji!

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JíSL (jvji (J/» (jaiuj ijUuJ'

*) In d. Ausg. « -

**) In d. Ausg. iAj! ***) Ist wohl

zu lesen.

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JnBw! KajwLUI! AJUjiiUi x^v^

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*) In der Ausg.

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* ) In der Calcuttaer Ausgabe heifst dieses Schema a v t*1 . t" I t" f r «

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D e r Paraphrast u n t e r s t ü t z t meine C o r r c c t u r .

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*) Andre Lesart J ^ i

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Vorleger isl erschienen :

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G e s c h i c h t e der

A l g e b r a .

Nach den Q u e l l e n b e a r b e i t e t von

Dil. Ct. I I . F. NESSELIMANN.

Erster

1 heil.

Die A l g e b r a d e r G r i e c h e n .

gr. S.

Preis 2 Tlilr. 1 ), Sgr.