Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: Band 1 Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie [Reprint 2019 ed.] 9783110855098, 9783110072150

Citation preview

Aufgabensammlung zur Funktionentheorie I Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie von

Konrad Knopp f

Achte Auflage

w DE

G 1977

Walter de Gruyter • Berlin • New York

SAMMLUNG GÖSCHEN 2127 Dr. Konrad Knopp t ehem. o. Professor der Mathematik an der Universität Tübingen Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: Elemente der Funktionentheorie Funktionentheorie I: Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen II: Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie Aufgabensammlung zur Funktionentheorie I: Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie II: Aufgaben zur höheren Funktionentheorie CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Knopp, Konrad Aufgabensammlung zur Funktionentheorie. — Berlin, New York : de Gruyter. 1. Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie. — 8. Aufl. - 1977. (Sammlung Göschen ; Bd. 2127) ISBN 3-11-007215-7

© Copyright 1977 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung, J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung, Georg Reimer, Karl J. Trübner, Veit & Comp., 1 Berlin 30 — Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden — Printed in Germany — Reproduktion und Druck: Mercedes-Druck, 1 Berlin 61 — Bindearbeiten: Lüderitz 8c Bauer, Buchgewerbe-GmbH, 1 Berlin 61

Inh al ts Verzeichnis. Vorbemerkungen I Kapitel. Grundlegende Begriffe. § 1. Die komplexen Zahlen und ihre Darstellung in der Ebene § 2. Punktmengen. Wege und Gebiete . . IL Kapitel. Zahlenfolgen und unendliche Reihen. § 3. Grenzwerte von Zahlenfolgen. Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern § 4 Konvcrgenzeigenschaften der Potenzreihen III. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. § 6. Grenzwerte von Funktionen. Stetigkeit und Differenzierbarkeit § 6. Einfache Eigenschaften der elementaren Funktionen IV. Kapitef. Integralsätze. § 7. Der Integralbegriff § 8. Cauchyscne Integralsätze und Integralformeln Y. Kapitel. Reihenentwicklungen. § 9. Reihen mit veränderlichen Gliedern. Gleichmäßige Konvergenz § 10. Potenzreihenentwicklungen §11. Verhalten von Potenzreihen auf dem Rande des Konvergenzkreises . . . . VI. Kapitel Konforme Abbildungen. §12. Lineare Funktionen. Stereographische Projektion . §13. Spezielle (nicht lineare) Abbildungsaufgaben einfacher Art

4

8«itc

71) 9

13

451) 48

64

16

19

66

22

73

26 28 30 32

92 99

34

106

37

114

42

124

*) Dl« In der entra Spalt« IQgegebene Belteoiahl besieht lieh aal dU Aalgaben, di« In der iweiten angegebene aal die Ltenngen.

Vorbemerkungen. Bei der Auswahl der Aufgaben dieser kleinen Sammlung habe ich mich streng an die in der „Sammlung Göschen" vorhandenen iunktionentheoretischen Bändchen gehalten nämlich 1. K o n r a d K n o p p , Elemente der Funktionentheorie 2. K o n r a d K n o p p , Funktionentheorie I, Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen 3. K o n r a d K n o p p , Funktionentheorie II, Anwendungen und Weiterfuhrung der allgemeinen Theorie 4. L u d w i g B i e b e r b a c h , Einführung in die konforme Abbildung Von dem darin behandelten Stoffgebiet wird aber vorläufig nur der kleinere Teil benutzt, so daß das zweite meiner Bändclien fast gar nicht und dasjenige von Bieberbach nur in geringem Maße als Grundlage dient. Wesentlich schien es mir, nur wirkliche Übungsaufgaben zu bringen, also nur solche, die zur Klärung und Beherrschung des dort behandelten Stoffes dienen, ohne sachlich er-

Vorbemerkungen.

5

heblich darüber hinauszugehen. Denn keinesfalls wollte ich eine nur in die F o r m einer Aufgabensammlung gekleidete Ergänzung jener Bändchen bringen. Daher bezieht sich auch die Mehrzahl der Aufgaben auf die grundlegenden Dinge, vor allem also auf das Stoffgebiet der „Elemente" und meines ersten Bändchens, dessen Disposition im großen und ganzen auch jetzt wieder benutzt wurde. Für den Gebrauch der Aufgabensammlung ist noch die Beachtung der folgenden Bemerkungen von Nutzen: 1. Auf die obengenannten vier Bändchen wird kurz durch Elem, K I, K 11 und Bi verwiesen unter Angabe von Paragraph oder Seite, die Bich stets auf die obengenannten Auflagen der Bändchen beziehen. 2. Viele- von den späteren Aufgaben setzen zur Lösung Vorausgegangenes voraus. Falls besonders darauf verwiesen wird, geschieht es durch Angabe von Paragraph und Nummer der Aufgabe. Bei Aufgaben desselben Paragraphen wird nur die Nummer genannt. 3. Aufgaben, die — im Rahmen dieses Bändchens — als etwas schwieriger anzusehen sind, sind durch ein Sternchen (*) kenntlich gemacht. 4. Nicht nachdrücklich genug kann empfohlen werden, sich Figurenskizzen zu allen Aufgaben zu machen, bei denen dazu nur irgend Anlaß ist. 5. In der Bezeichnung sind durchgehend die folgenden Segeln eingehalten worden: a) Beliebig gegebene komplexe Zahlen (oder Punkte) sind mit z 0 , z x , . . . , ic0, w l t . . . bezeichnet, komplexe Variable mit z, . . . , w, w, . . . Nur in § 13 sind auch Variable mit z15 z 2 , . . . bezeichnet. 7 , a , . . . sollen die zu z, a , . . . konjugierten Zahlen bedeuten. b) Beliebig gegebene reelle Zahleil werden mit x0,xlt .. , 4fo> Vi' •••.»(>. • • •» "o > •• • » « . £ ••• bezeichnet.

6

Vorbemerkungen.

Es wird t — x + iy = r (cos5p + i sings), w — u + iv gesetzt, wenn reeller und imaginärer Teil, 91(2) und 3( 2 )» Betrag und Arcus, \z\ und arcz, besonders zu bezeichnen sind. c) Durch r, q, ö,e, . . . sollen stets positive, durch k, m, n , p , . . . im allgemeinen g a n z e positive Zahlen bezeichnet werden. d) G e b i e t e werden mit großen deutschen, Bänder und Wege mit kleinen deutschen Buchstaben bezeichnet: © , 83, 3, p , . . .

E r s t e r Teil. Aufgaben. I. Kapitel.

Grundlegende Begriffe. § 1. Di« komplexen Zahlen und ihre Barstellung in der Ebene. (Eiern, §§ 1 - 2 2 ; K I, § 1 - 2 . ) 1. Es sei z 0 eine von 0 verschiedene komplexe Zahl. Welche komplexe Zahl entspricht dem Spiegelbild von z0 a) am Nullpunkte, b) an der Achse des Reellen, c) an der Achse des Imaginären, d) an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten, e) an der Winkelhalbierenden des 2. Quadranten? 2. Es ist stets

+

+

3. Welches ist der geometrische Ort aller Punkte t für die a)M=s2;

b)|«|>8;

c){R(2)^i;

d) 0 = i JR(t2) < 2 * ;

e) 5R(e*) = 0 ;

i)

c 1

|= 1 ;

0;

8

I. Kap.: Grundlegende Begriffe. k) m)

Z—1 =11; 2+ 1

2+ 1

= « > 0 ;

1) n)

z+ 1 Z — 2X 2 —

~ 2; = 1?

4. Wann liegen 3 Punkte zl, z 2 , zs in gerader Linie? c

Man betrachte

den Differenzenquotienten

— h

\

Wann liegen 4 Punkte Zj, z 2 , z 3 , z4 auf einem Kreise? 2j — 23 — ^Man betrachte das Doppelverhältnis " " 24 / 6. Es ist stets |'1 z,T + '2 z2r12T + 1 i1 ' 2« [J = 2 (I 2j j8 + | Zj Welchen geometrischen Satz liefert diese Gleichung? 7. Welcher Punkt z teilt die Strecke e1 ... et im Verhältnis Xi.Xi, (Aj + ¿ 2 =|= 0)? 8. Ein Dreieck hat die Ecken z 1 , z t , z a . Wo liegt sein Schwerpunkt, wenn a) in jede Ecke dieselbe Masse Ä., b) in die Ecken der Reihe nach die Massen A t , Aj, A3 gelegt werden? Man zeige zu b) rein a r i t h m e t i s c h , daß für positive Massen Alf Aj, A, der Schwerpunkt stets im Innern des Dreiecks liegt. 9. Man zeige, daß der Schwerpunkt des aus den mit den Massen A^ A,, . . . , A* belegten Punkten z 1 , z 2 , . . . , zk bestehenden Systems in z = V i + ^ + • • • + liegt. + ** + • • • + l * 10. Für 3 Punkte z l t z 2 , z, sei e1 + z t + z3 = 0 und | zx I = j z21 = j z31 = 1 . Behauptung: z1, Zj, z, ist ein dem Einheitskreise einbeschriebenes gleichseitiges Dreieck. 11. I s t + ^ + «4 = 0und 1^1 = ^ 1 = |«j| = |«4| = 1, so bilden die 4 Punkte z ein dem Einheitskreise einbeschriebenes Rechteck.

§ 2. Punktmengen. Wege und Gebiete.

9

12. Wann sind die Dreiecke z1 za z3 und z[ z^ einander (gleichsinnig) ähnlich? (Man betrachte die Differenzenquotienten, s. Aufgabe 4.) *13. Es sei | z11 < 1 und | za j < 1. Dann gibt es eine nur von z1 und z2 abhängige positive Konstante K = K(zlt z2) derart, daß für jedes z, das dem Dreieck + 1 , z 1 , z3 angehört und von 1 verschieden ist, stets H-zl

K e bleibt, mag z dem Punkte + 1 sonst so nahe kommen, wie es will. — Man bestimme für = — , den kleinsten Wert der Konstanten K.

z2 — •——-

§ 2. Punktmengen. Wege und Gebiete. (Elem, §§ 23—25; K I. §3—4.) 1. Die Menge allet Wurzeln aller algebraischen Gleichungen der Form a,«" + alzn~1+ . . . + a B _ i z + aH = 0 , bei denen die ay komplexe ganze Zahlen sind [d. h. $R(a„) und sollen reelle ganze Zahlen sein], ist abzählbar. Man gebe eine Abzahlung an. 2. Die Menge aller Zahlen z = x -f- iy mit rationalen x und y ist abzählbar. Man führe eine bestimmte Abzahlung durch. 2 ^ 3. Die Menge der Zahlen z = — (m und n positivm n ganz) ist abzählbar. Man ordne sie zu einer Zahlenfolge. 4. Man bestimme die untere Grenze « , die obere Grenze ß, den unteren Limes k und den oberen Limes u für folgende reelle Punktmengen und gebe jedesmal an, ob die betreffende Zahl zur Menge gehört oder nicht:

10

I. Kap.: Grundlegende Begriffe.

a) Die rationalen Zahlen, deren Quadrat ^ 10 ist und deren Nenner eine gerade Zahl ist. b) Die Zahlen der Form ( l ±

l).

C)

»

>>

ii

ii

(

d)

„

„

„

„

n ±

1 —.

ii

>i

ii

ii

^ i

•

"

"

"

"

S) ii

n

ii

i>

f)

.

n2

n

n

lV m T m

„

„

„

„

JV•

«'

»> i)

1

(1i

i y + n I • nj

n

l +

n k) Die Menge aller derjenigen Zahlen, deren jede als (uncndlicher)Dezimalbruch so geschrieben werden kann, daß er mit „0, . . . " anfängt und dann nur ungerade Ziffern (also auch nicht die Ziffer 0) enthält. *5. Man beweise, daß bei dem letzten Beispiel der vorigen Aufgabe j e d e r Punkt der Menge ein Häufungspunkt derselben ist. 6. Wenn a bzw. ß a = A bzw. ß = fi.

nicht zur Menge gehören, so ist

' ) Bei b) bis i) sollen n utid m beliebige natürlich

Zahlen bedeuten.

§ 2. Punktmengen. Wege und Gebiete.

11

7. Ist die durch die Beziehung | z | + 9t(z) 1 definierte Menge beschränkt ? Welches Gebiet erfüllen ihre Punkte? 8. Man gebe alle Häufungspunkte der folgenden Mengen an: 1 i a) 1 , (m und « natürliche Zahlen) i» n

b)M 0 , d) die Menge aus Aufgabe 2 , e) alle nicht reellen z aus dem Innern des Einheitskreises. *9. Ist die Menge in Aufgabe 4k abgeschlossen? 10. Jeder nicht selbst zur Menge gehörige Häufungspunkt ist ein Rändpunkt derselben. 11. Jeder zu M gehörige Randpunkt £ einer Menge M ist Häufungspunkt der Menge M' aller nicht zu M gehörigen Punkte (der sogenannten Komplementärmenge von M). 12. Die Gesamtheit R der Randpunkte einer Menge M bildet selbst stets eine abgeschlossene Menge. *13. Sind M' und M" zwei abgeschlossene Mengen ohne gemeinsamen Punkt, von denen wenigstens die eine — etwa M' — beschränkt ist, so gibt es eine positive Zahl d, so daß der Abstand eines Punktes z' aus M' von einem Punkte z" aus M" stets i r d ist. Und unter allen diesen Zahlen d gibt es eine größte d0. 14. Man zeige, daß kein Stück der stetigen Kurve

I

x sin—, x 4= T 0 x'

0 für x = 0

streckbar ist, wenn es den Nullpunkt enthält.

12

I. Kap.: Grundlegende Begriffe.

15. Aus der oberen Halbebene > 0] schließe man alle Punkte aus, die auf den Loten von der Länge 1 liegen, welche man auf der reellen Achse in den dort gelegenen Punkten 0 und ± —, « (n = 1, 2, 3, . . . ) errichtet hat. Bilden die verbleibenden Punkte M ein Gebiet? Welches sind die Randpunkte von M ? Ist speziell — ein Randu

punkt? Auf welchem Wege kann man von dem zu M gehörigen Punkte z0 = 2 + i nach—-gelangen, wenn dieser i

Weg, von — abgesehen, ganz im Innern von M liegen soll? u

16. Ist die durch die Gleichungen z = z {() — r (/)e1>''> mit r — e- i ', g> =1 y für 1 ü ; / > 0 nach Hinzunahme des Punktes 2 = 0 (dem Parameterwert t = 0 entsprechend) definierte Spirale S ein W e g , der zx = z ( l ) mit z0 = 0 verbindet? *17. Man beweise, daß der einfache Zusammenhang eines Gebietes auch folgendermaßen definiert werden kann: Ein Gebiet & heißt einfach-zusammenhängend, falls die Menge der Randpunkte des stereographischen Bildes von © zusammenhängend ist. (Eine abgeschlossene Menge heißt dabei zusammenhängend, wenn sie nicht in zwei abgeschlossene Teilmengen ohne gemeinsames Element zierlegt werden kann.) 18. Ist das in Aufgabe 15 definierte Gebiet einfachzusammonliängend ? 19. Ein einfach-zusammenhängender (schlichter) Bereich © auf der Kugel, der 2 Punkte der K u g e l nicht enthält, enthält u n e n d l i c h v i e l e Punkte der Kugel nicht.

§ 3. Grenzwerte von Zahlenfolgen.

13

IL K&piteL

Zahlenfolgen und unendliche Reihen. § 3. Grenzwerte von Zahlenfolgen. Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern. (Elem, §§ 26—30; K I, § 3.)

1. Zj, zg, ..., z„, ... Bei eine beliebige Punktfolge. £ ein Häufungspunkt derselben. Man zeige, daß man aus der Folge der z„ stets eine T e i l f o l g e z\, «2, . . . so herausheben kann, daß z'n ->• £ konvergiert. 2. Aus g„ —»- £ folgt stets, daß auch , Z1 g» =

+ Z 2 + ... + t n n

. >- S

strebt. Gilt dies auch für £ — oo? 3. Aus zn — £ folgt stets, daß auch ^

=

Plh + P» h + ' • • + Pn *» Vi + Vi +

• • • + Pn

Plh + { P i ~ P l ) * t + ... + ( > n ~ P n - 1 )

=

~~

Pn

> ^

Btrebt, wenn die p, irgendwelche p o s i t i v e Zahlen sind, für die P „ = (px + p, + . . . + pH) —>- + oo strebt. 4. Aus zH —v £ folgt stets, daß auch , e"

_B1zl

Ml + ~

+ (Bt-B1)et+

h + . • • + in g«

ii + h+ ... +

... + bn (Bn-Bn-1)zn

B„ strebt, wenn die b, irgendwelche k o m p l e x e Zahlen sind,

14

II. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

für die die Zahlen ß n = , J * ! 1 ' " + V J , für alle I h I + I bt I + • • • -r | o„\ n oberhalb einer festen positiven Zahl ß liegen und ( I M + | I + • • • +1 6 »l) + 00 strebt5. Aus z„ —>• 0 folgt stets, daß auch die Zahlen 2« = «nl2l + a„ 2 «2 + . . . + «„„«„ - > 0 streben, falls die a x x des Schemas «11

so daß | | + | e'i | + ... + | z'i | ^ M bleibt für alle n. Dann bilden auch die Zahlen + «22n— 1 + • • • + «»«1 «» = eine Nullfolge. ^ 10. Eine unendliche Reihe ist dann und nur dann n=0 konvergent, wenn bei beliebiger Wahl der ganzen positiven Zahlen pl, pt, . . . , p„, . . . stets Tn = (c B + 1 + C b+!} + . . . +