Aufgabensammlung zur Funktionentheorie: Band 1 Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie [7. Aufl. Reprint 2019] 9783111568249, 9783111196701

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SAMMLUNG

G Ö S C H E N

BAND

877

AUFGABENSAMMLUNG ZUR F U N K T I O N E N T H E O R I E von

P R O F . DR. K O N R A D

KNOPPf

ehem. Professor der M a t h e m a t i k an der U n i v e r s i t ä t T u b i n g e n

I

AUFGABEN ZUR ELEMENTAREN

FUNKTIONENTHEORIE

Siebente Auflage

WALTER D E GRUYTER & CO. v o r m a l » G. J . G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • K a r l J . T r ü b D e r • Veit & Comp.

B E R L I N 1965

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: I. Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie (Slg. Göschen Bd. 877) II. Aufgaben zur höheren Funktionentheorie (Slg. Göschen Bd. 878)

© Copyright 1 9 6 5 b y Walter de Gruyter & Co., vorraaU G. J. Göschen'sAe Verlagshandlung / J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer l Karl J. Trübner / Veit & Comp., Berlin 3 0 , Genthiner Str. 1 3 . Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Fhotokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. - Archiv-Nr. 7 7 1 3 6 5 3 . Druck: Lindemann & Lüdecke, Berlin 3 6 Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis. Vorbemerkungen I Kapitel. Grundlegende Begriffe. § 1. Die komplexen Zahlen und ihre Darstellung in der Ebene § 2. Punktmengen. Wege und Gebiete . . II. Kapitel. Zahlenfolgen und unendliche Reihen. § 3. Grenzwerte von Zahlenfolgen. Unendliche R«ihen mit konstanten Gliedern § 4. Konvergenzeigenschaften der Potenzreihen III. Kapitel. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. § ö. Grenzwerte von Funktionen. Stetigkeit und Differenzierbarkeit § 6. Einfache Eigenschaften der elementaren Funktionen IV. Kapiteí. Integralsätze. § 7. Der Integralbegriff § 8. Cauchysche Integralsätze und Integralformeln Y. Kapitel. Reihenentwicklungen. 1 § 9. Reihen mit veränderlichen Gliedern. Gleichmäßige Konvergenz § 10. Potenzreihenentwicklungen § 11. Verhalten von Potenzreihen auf dem Rande des Konvergenzkreises . . . . VI. Kapitel. Konforme Abbildungen. §12. Lineare Funktionen. Stereographische Projektion §13. Spezielle (nicht lineare) Abbildungsaufgaben einfacher Art

Bett«

4 71) 9

451) 48

13

64

16

69

19

66

22

73

26

83

28

88

30 32

92 99

34

108

37

114

42

124

*) Di« In der «nt«n Spalte angegebene Belteniahl beliebt eich auf dit Aufgaben, die in der xweiten angegebene auf die LOmngtn.

Vorbemerkungen. Bei der Auswahl der Aufgaben dieser kleinen Sammlung habe ich mich streng an die in der „Sammlung Göschen" vorhandenen funktionentheoretischen Bändchen gehalten, nämlich 1. K o n r a d K n o p p , Elemente der Funktionentheorie, 5. Auflage, 1959; 2. K o n r a d K n o p p , Funktionentheorie I, Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen, 1.0. Auflage, 1961; 3. K o n r a d K n o p p , Funktionentheorie II, Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie. 10. Auflage, 19Ü2; 4. L u d w i g B i e b e r b a c h , Einführung in die konforme Abbildung, 5. Auflage, 1956. Von dem darin behandelten Stoffgebiet wird aber vorläufig nur der kleinere Teil benutzt, so daß das zweite meiner Bündchen fast gar nicht und dasjenige von Bieberbach nur in geringem Maße als Grundlage dient. Diese finden in dem II. Teil dieser Aufgabensammlung, Aufgaben zur höheren Funktionentheorie, 5. Aufl.. 1959, S a m m l u n g Göschen Nr. 878, entsprechende Berücksichtigung. Wesentlich schien es mir, nur wirkliche Übungsaufgaben zu bringen, also nur solche, die zur Klärung und Beherrschung des dort behandelten Stoffes dienen, ohne sachlich er-

Vorbemerkungen.

6

heblich darüber hinauszugehen. Denn keinesfalls wollte ich eine nur in die F o r m einer Aufgabensammlung gekleidete Ergänzung jener Bändchen bringen. Daher bezieht sich auch die Mehrzahl der Aufgaben auf die grundlegenden Dinge, vor allem also auf das Stoffgebiet der „Elemente" und meines ersten Bändchens, dessen Disposition im großen und ganzen auch jetzt wieder benutzt wurde. FQr den Gebrauch der Aufgabensammlung ist noch die Beachtung der folgenden Bemerkungen von Nutzen: 1. Auf die obengenannten vier Bändchen wird kurz dureh Elem, K I , K II und Bi verwiesen unter Angabe von Paragraph oder Seite, die sich stets auf die obengenannten Auflagen der Bändchen beziehen. 2. Viele von den späteren Aufgaben setzen zur Lösung Vorausgegangenes voraus. Falls besonders darauf verwiesen wird, geschieht es durch Angabe von Paragraph und Nummer der Aufgabe. Bei Aufgaben desselben Paragraphen wird nur die Nummer genannt. 3. Aufgaben, die — im Rahmen dieses Bändchens — als etwas schwieriger anzusehen sind, sind durch ein Sternchen (.*) kenntlich gemacht. 4. Nicht nachdrücklich genug kann empfohlen werden, sich Figurenskizzen zu allen Aufgaben zu machen, bei denen dazu nur irgend Anlaß ist. ö. In der Bezeichnung sind durchgehend die folgenden Regeln eingehalten worden: a) Beliebig gegebene komplexe Zahlen (oder Punkte) sind mit z0,«j, . ..,w0,w1, ..., a, fr, . . . bezeichnet, komplexe Variable mit z, . . . , u>, u), . . . Nur in § 13 sind auch Variable mit z l t z t , . . . bezeichnet. 7 , a , . . . sollen die zu z, a, . . . konjugierten Zahlen bedeuten. b) Beliebig gegebene reelle Zahlen werden mit x0, xlt .. , 4to>Vi> •••.«o. •••."o. ß , •••,)•,(*, . . . bezeichnet.

6

Vorbemerkungen.

Es wird e — x-\- iy = r (cos5p + i sin50), te — u iv gesetzt, wenn reeller und imaginärer Teil, 91(2) und 3( 2 )> Betrag und Arcus, und arc2, besonders zu bezeichnen sind. c) Durch r, q, 6, e, . . . sollen stets positive, durch k, m, n , p, . . . im allgemeinen g a n z e positive Zahlen bezeichnet werden. d) G e b i e t e werden mit großen deutschen, Ränder und Wege mit kleinen deutschen Buchstaben bezeichnet: © , 83, 8, f , . . . Endlich sei zur Ergänzung und Vertiefung hingewiesen auf die große und ausgezeichnete funktionentheoretische Aufgabensammlung von G. P o l y a und G. S z e g ö , Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Band I und I I , Berlin 1925; 2.. unveränderte Auflage 1954.

E r s t e r Teil.

Aufgaben. I. Kapitel.

Grundlegende Begriffe. § 1. Die komplexen Zahlen und ihre Darstellung in der Ebene. (Elem, §§ 1 - 2 2 ; K I, § 1-2.) 1. Es sei z0 eine von 0 verschiedene komplexe Zahl. Welche komplexe Zahl entspricht dem Spiegelbild von z0 a) am Nullpunkte, b) an der Achse des Reellen, c) an der Achse des Imaginären, d) an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten, e) an der Winkelhalbierenden des 2. Quadranten? 2. Es ist stets

\

2

x| + | y | ) s | e | s | * | + | y | .

3. Welches ist der geometrische Ort aller Punkte e für die »)M=S2:

b)|«|>2;

d) 0 ^ 5 R ( t i ) < 2tt ; 0 3(«") = * ( g 0 ) ; h) 121 — 11 = « > 0 ;

c) 3 t ( * ) i = i ;

e) 31(2») = « ( g 0 ) ; g)|i«-«|sl; 1 i) < d , 0 ;

8

I. Kap.: Grundlegende Begriffe.

k) m)

2~1

— — 1) I\V+T

S+ l = « > 0

4. Wann liegen 3 Punkte (Man V

betrachte

n) , z2

2 — Z1 Z — Z,

=

1?

z3 in gerader Linie?

den Differenzenquotienten —1 Zu .

Za

)

5. Wann liegen 4 Punkte zlt 2 2 , z3, zi auf einem Kreise? Man betrachte das Doppelverhältnis — — 22 22 2— % :— 4 . 'J 6. Es ist stets 12, i«x — = 2 ( 1 ^ 1 « + !«,!«). Welchen geometrischen Satz liefert diese Gleichung? 7. Welcher Punkt 2 teilt die Strecke zx . . . z2 im Verhältnis (/•! + A2 4= 0)? 8. Ein Dreieck hat die Ecken 2X, z 2 , z3. Wo liegt sein Schwerpunkt, wenn a) in jede Ecke dieselbe Masse X, b) in die Ecken der Reihe nach die Massen i l t X^,, gelegt werden? Man zeige zu b) r e i n a r i t h m e t i s c h , daß für positive Massen Aj, Aj, Äj der Schwerpunkt stets im Innern des Dreiecks liegt. 9. Man zeige, daß der Schwerpunkt des aus den mit den Massen X^, ..., Xk belegten Punkten z l t z 2 , . . . , zk bestehenden Systems in z = i z i + + ••• liegt. + + •••+** 10. Für 3 Punkte zlt zt, z3 sei 2X + 2g - f z3 — 0 und 12j | = j 22 i = j z31 = 1 . Behauptung: zlt zt> z3 ist ein dem Einheitskreise einbeschriebenes gleichseitiges Dreieck. 11. Ist 2 t + zt + 2S + 24 = 0 und | z11 = 122 | = | z31 = | z41 = 1, so bilden die 4 Punkte z ein dem Einheitskreise einbeschriebenes Rechteck.

§ 2. Punktmengen.

Wege und Gebiete.

9

12. Wann sind die Dreiecke z1 z3 z3 und z[ z3' einander (gleichsinnig) ähnlich? (Man betrachte die Differenzenquotienten, s. Aufgabe 4.) *13. Es sei | zx | < 1 und | z3 | < 1. Dann gibt es eine nur von z1 und z2 abhängige positive Konstante K — K{zx, z2) derart, daß für jedes z, das dem Dreieck + 1 , z 1 , za angehört und von + 1 verschieden ist, stets l - | z | bleibt, mag z dem Punkte + 1 sonst so nahe kommen, wie es will. — Man bestimme für z1 = * "t" * , h — * - * den kleinsten Wert der Konstanten K. § 2. Punktmengen. Wege und Gebiete. (Elem, §§ 23—25; K L § 3—4.) 1. Die Menge alle* Gleichungen der Form a0zn + a1z"~1+

Wurzeln . . . + o„_i

aller

algebraischen

z + 1

ii

ii

lV mm '

h)

„

„

„

„

f); v

N

I B

,

—. n "IJ

•

I

\

M

+

N

„ nj;

± — ± - - . m n (—1)" n

k ) Die Menge aller derjenigen Zahlen, deren jede als (unendlicher)Dezimalbruchso geschrieben werden kann, daß er mit „ 0 , . . . " anfängt und dann nur ungerade Ziffern (also auch nicht die Ziffer 0) enthält. *5. Man beweise, daß bei dem letzten Beispiel der vorigen Aufgabe j e d e r Punkt der Menge ein Häufungspunkt derselben ist. 6. Wenn a bzw. ß nicht zur Menge gehören, so ist cc = X bzw. ß = (i. ' ) B e i b ) b i s i ) sollen n und m b e l i e b i g e n a t ü r l i c h

Zahlen b e d e u t e n .

§ 2.

Punktmengen.

Wege und Gebiete.

11

7. Ist die durch die Beziehung | z | + 9f(z) =g 1 definierte Menge- beschränkt ? Welches Gebiet erfüllen ihre Punkte ? 8. Man gebe alle Häufungspunkte der folgenden Mengen an: a)

1 m

1

i n

,

(m und n natürliche Zahlen)

b ) M < l ,

c) | e | > 0 , d) die Menge aus Aufgabe 2 , e) alle nicht reellen z aus dem Innern des Einheitskreises. *9. Ist die Menge in Aufgabe 4 k abgeschlossen ? 10. Jeder nicht selbst zur IVJenge gehörige Häufungspunkt ist ein Randpunkt derselben. 11. Jeder zu M gehörige Randpunkt £ einer Menge M ist Häufungspunkt der Menge M' aller nicht zu M gehörigen Punkte (der sogenannten Komplementärmenge von M). 12. Die Gesamtheit R der Randpunkte einer Menge M bildet selbst stets eine abgeschlossene Menge. *13. Sind M' und M" zwei abgeschlossene Mengen ohne gemeinsamen Punkt, von denen wenigstens die eine — etwa M' — beschränkt ist, so gibt es eine positive Zahl d, so daß der Abstand eines Punktes z' aus M' von einem Punkte«" aus M" stets s < 2 ist. Und unter allen diesen Zahlen d gibt es eine größte d0. 14. Man zeige, daß kein Stück der stetigen Kurve

streckbar ist,'wenn es den Nullpunkt enthält.

12

I. Kap.: Grundlegende Begriffe.

15. Aus der oberen Halbebene [^(z) > 0] schließe man alle Punkte aus, die auf den Loten von der Länge 1 liegen, welche man auf der reellen Achse in den dort gelegenen Punkten 0 und ± —, (n = 1, 2, 3, . . . ) errichtet hat. n Bilden die verbleibenden Punkte M ein Gebiet? Welches sind die Randpunkte von M ? Ist speziell u ein Randpunkt? Auf welchem Wege kann man von dem zu M gehörigen Punkte z0 = 2 + i nach-^-gelangen, wenn dieser i Weg, von—abgesehen, ganz im Innern von M liegen soll? u 16. Ist die durch die Gleichungen z = g (/) — r(t)e'- £ konvergiert. 2. Aus zn - > £ folgt stets, daß auch ,

z1 + zt+

=

...

+z„

n

fe

strebt. Gilt dies auch für £ = oo ? 3. Aus z„ —> £ folgt stets, daß auch e, =

P i h + Pa % + . . • + y n t n Pi + Vt + • • • + P»

=

JV1 + (P, -

F l ) ^ + . • • + ('Pn -

Pn-l)

Zn

P«

j. ^

strebt, wenn die p r irgendwelche p o s i t i v e Zahlen sind, für die P» = (Pi + p» + . . . + p„) — + oo strebt. 4. Aus £ folgt stets, daß auch t _ hzi + % + • • • + K gn + fct + ... + bn _B1z1

+ {Bt-B1)

strebt, wenn die

g , + ••• + ( g « - B n - l ) Z n Bn

r

^

irgendwelche k o m p l e x e Zahlen sind,

14

II. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

+ , für alle |Oi|+ | o 2 | + . . . -r|o„| n oberhalb einer festen positiven Zahl ß liegen und (l 6 il + |&*|+ . . . + \ h \ ) - > - + 0 0 strebt. '

für die die Zahlen ß n =

5. Aus zn —>- 0 folgt stets, daß auch die Zahlen z'n

=

a

n i

z 1 +

a„222

+

. . .

+

a

n n

z

n

- > •

0

streben, falls die aKz des Schemas «n ^21 «22 «31 «32 «33 «41 «42 «43 «44 die folgenden beiden Bedingungen erfüllen: 1. in jeder Spalte steht eine Nullfolge, d. h. a — >• 0 bei festem p ; 2. es gibt eine Konstante M , so daß für jedes n immer | ««1 | + | «n2 | + . • • + | «nn| ^ M ist. — 6. Aus z„ — £ folgt stets, daß auch die Zahlen n p

z'n = «nl^l + «n2«2 +

• • • + «nn«n - > • £

Btreben, falls die a x i außer den beiden Bedingungen der vorigen Aufgabe noch die folgende erfüllen: 3. Die Summen An = am + «„2 + • • • + Inn streben - > - 1 . Man zeige überdies, daß dieser Satz die in Aufgabe 6, 4, 3, 2 ausgesprochenen Sätze als Spezialfälle enthält. 7. a) Aus z ' z % - > folgt stets, daß i Ii . J JI 1 ZiZt + Z «2+ . . . +1 Zntn„n , n

2n =

_

2

r

rn

6trebt. *b) Unter denselben Voraussetzungen strebt auch J „II 1 J J! 1 , J JI ZH =

>- ^ t, .

§ 3. Grenzwerte v. Zahlenfolg. Reihen m. konst Gliedern. 15 *c) Unter denselben Voraussetzungen strebt auch *n = «nl «Uli + «B2 4

+ •••+

~>

£"»

falls die a x i außer den in Aufgabe 5 und 6 genannten Bedingungen 1., 2. und 3. noch die folgende erfüllen: 4. Auch in jeder Schräglinie des Schemas in Aufgabe 5 stehen Nullfolgen, d. h. es strebt aH: 0 für jedes feste p. 8. Aus zn — £ folgt stets, daß auch die Zahlen *« =

2"

streben. 9. Es strebe z'n ->• 0 und zu der Folge (*J) gebe es eine Konstante M, so daß | z'l | + | | + . . . + | | ^ M bleibt für alle n. Dann bilden auch die Zahlen «n = + + ... + ¿ « 7 eine Nullfolge. 10. Eine unendliche Reihe £ c n ist dann und nur dann n—0 konvergent, wenn bei b e l i e b i g e r Wahl der ganzen positiven Zahlen p 1 , p,, . . . , p„, . . . stets T„ = (c„+i

+ e»+?

+

. . • + e„+t>n)

->-

0

strebt. 11. Sind a,,, (4, Oj, . . . und 60, . . . zwei ganz beliebige Zahlenfolgen und wird a0 -f % + • • • + «n = s» gesetzt (n = 0 , 1 , . . . ) , so ist für beliebiges n 0 und beliebiges p & 1 »+P

»^n-f-l

n+P y1,

r= n+ l

— b,+ i) — 8 n 6 n + i - | -

(Abcische partielle Summation.)

sn+vbn+1)+1.

16

II. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen. m 12. J£a„ sei irgendeine (konvergente oder divergente) n = 0

unendliche Reihe, es werde a 0 + a i + • • • + an = s„ gesetzt (n = 0 , 1 , . . . ) , und es sei die Zahlenfolge 6 0 , blt ... so beschaffen, daß 1. die Folge der Zahlen s„6„_f.i und 2. die Reihe J?s„(&„— 6 n + 1 ) konvergiert. n =• 0 co Es soll gezeigt werden, daß dann auch die Reihe JEanbn n= 0 konvergent ist. 13. Man zeige, daß die Voraussetzungen des Satzes der vorigen Aufgabe insbesondere erfüllt sind, wenn a) stets & „ _ ! > & „ ist, bn—> 0 strebt und (s„) beschränkt ist, oder wenn b) stets &„_! > b„ > « i s t und J £ a „ konvergiert, oder wenn c) b„ —>- 0 strebt, £ \ bn — 6 n + i | konvergiert und (s„) beschränkt ist. *14. Es seien die Teilsummen s„ der Reihe J £ a „ so beschaffen, daß die Folge

beschränkt ist,

und

die positiven Faktoren b„ mögen monoton und so ->- 0 abnehmen, daß auch noch Ynb„—»- 0 strebt und daß £fn{bn—bn + konvergiert. Dann ist 2£a,nb„ konvergent. § 4. Konvergenzeigenschaften der Potenzreihen. (Klein, §§ 29—30; K I, §§ 17—19.) 1. Man bestimme den Konvergenzradius der Potenz00

reihe ^ a n z n , wenn . 1 a ) a « = —, = n , n

1 = —, n"

= np,

/n + «\ =1 \ n )

§4.

Konvergenzeigenschaften der Potenzreihen.

17

b)a„=i, = nl- £ streben und ist für jedes w stets z'n =f= z„, so strebt 2/1 —Z/>

22

III. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Anleitung: Man setze f (z) =

-0

— 6 c =f= 0 erhält man als cz -f- d Bild einen Kreis Kw und zwei Punkte w1 und wv Man beweise, daß w 1 und w 2 Spiegelbilder von einander bezüglich Kw sind. 14. Man bilde den Einheitskreis | z \ ^ 1 so auf den Kreis j w — 11 3 1 1 linear ab, daß die Punkte 0 und 1 des a z J r

ersten in die P u n k t e

und 0 des zweiten übergehen. — £i Ist die abbildende lineare Funktion eindeutig b e s t i m m t ? *15. Man gebe die allgemeinste lineare Abbildung an, die die obere Halbebene in sich überführt. 16. Man bilde das Innere des Einheitskreises so auf die obere Halbebene ab, daß die Randpunkte 1, i, — 1 des ersteren in die Randpunkte 0 . 1, oo der letzteren übergehen. W a s wird dabei aus dem Büschel der Radien des

§ 12. Lineare Funktionen. Stenographische Projektion. 41 Einheitskreises ? Speziell aus den nach + 1, + t, — 1, — i gehenden Radien? 17. Man bilde das Ä u ß e r e des Einheitskreises so auf die r e c h t e Halbebene ab, daß die Randpunkte + 1, — i , — 1 des ersteren in die Randpunkte i, 0, — i der letzteren übergehen. Was wird dabei aus dem Büschel der Nullstrahlen (d. h. der Strahlen arc z = const., | z \ ^ 1) ? Was aus den Kreisen | z | = r > 1 ? *18. Welche Form hat die allgemeinste lineare Abbildung des Innern des Einheitskreises auf sich selbst? *19. Welche linearen Abbildungen liefern für die (der Ebene durch stenographische Projektion gemäß der Vorbemerkung zu Aufgabe 6—9 entsprechende) Zahlenkugel eine D r e h u n g dieser Kugel? 20. In der z-Ebene sind zwei nicht konzentrische Kreise X j : | z — zl | = r x und Kt:\z — z2 \ = r2 gegeben, deren Ränder keinen gemeinsamen Punkt haben. Lassen sich — und wie ? und auf wieviel Arten ? — Kl und K2 durch eine lineare Abbildung in zwei k o n z e n t r i s c h e Kreise K l und K-z um w —• 0 als Mittelpunkt überführen? Welcher Punkt der «-Ebene wird dabei zum gemeinsamen Mittelpunkt der Kreise K[ und Ä'2' ? az + 1 21. Hat die lineare Abbildung w = — zwei sjecz d trennte Fixpunkte und so läßt sie sich auf die Form bringen: r r

'Mi

bei der, falls oder t 2 = oo ist, die entsprechenden Differenzen durch 1 zu ersetzen sind. Hat sie nur den einen (doppelt zählenden) Fixpunkt £0, so läßt sie sich auf die Form 1 1 -p- = p- + V v> — Co 2 — Co

42

VI. Kap.: Konforme Abbildungen.

bringen, falls t 0 im Endlichen liegt. Ist £ 0 = oo, so handelt es sich um die Translation w = z + b. — Man beweise diese Behauptungen und leite daraus her, was aus den Kreisbüscheln durch und f 2 bzw. durch f 0 und den dazu orthogonalen Büscheln wird. az 4- b *22. Die lineare Funktion w = 7 , « i i — bc-j=0, cz -+- a sei gegeben, z0 beliebig gewählt und es werde nun für v = 0 , 1 , 2, . . . azv + b CZy +

d

gesetzt. Man untersuche die entstehende Punktfolge zw zv z2, . . . , entscheide insbesondere, ob sie konvergiert oder nicht und ob sie aus unendlich vielen verschiedenen Punkten besteht oder nicht. §

13.

Spezielle (nicht lineare) Abbildungsaufgaben einfacher Art 1 ). (Klein, §§ 38—47; Bi, §§ 7, 8 und 11—15. 0 in Kt: | z—Z | < g m i n d e s t e n s ein P u n k t e t von R. E s liegt s o g a r m i t g e e i g n e t e m ö > 0 die k r e i s f ö r m i g e U m g e b u n g K': | ? — z11 < ö in Ke. Diese a b e r e n t h ä l t m i n d e s t e n s je einen P u n k t a u s M sowie einen Punkt- aus M' ( K o n i p l e m e n t ä r m e n g e von M ) . welche s o m i t a u c h in /v'„ liegen. Also ist Z ein H a n d p u n k t v o n M .

13. Würde es keine Zahl d > 0 mit der angegebenen Eigenschaft geben, so hieße dies: Für jedes w ließe sich ein Paar von Punkten z'n und z" (z'n aus M\ z" aus M") finden, für die \ z'n — z" ] ^ — ist. n

Jeder Häufungswert J

der z'n — ein solcher ist sicher vorhanden, weil M' beschränkt sein sollte — wäre hiernach auch Häufungswert der z". £ müßte also zugleich zu M' und M" gehören, gegen die Annahme. Also gibt es ein ä > 0 mit der angegebenen Eigenschaft. Ist d0 die (sieher endliche) obere Grenze aller d, so hat d„ auch noch dieselbe Eigenschaft und ist mithin das größte aller d. 14. Sind Elt Et, . . . die Stellen der Kurve, für die o 13/1 = 1 = — — - ist, Nlt

N3, . . . die Stellen, wo y = 0,

62 x =

I. Kap.: Grundlegende Begriffe. ist, k = 1, 2, . . . , so ist der einbeschriebene

Sehnenzug N^-iEi-Nic größer als die doppelt genommene 2 2 T i Ordinate von Ek, also > 2 • — > — . Da y-r2k — 1 k ^ k divergiert, so kann jedem Bogen der Kurve, der den Nullpunkt enthält, ein Sehnenzug einbeschrieben werden, dessen Länge eine beliebig gegebene Zahl übersteigt. 15. M ist ein Gebiet. Denn jedes zt = x^ -f iy0 mit y0 > 0, das nicht auf den ausgeschlossenen Loten liegt, hat entweder ein y0> 1 oder ein mit x0 =}= 0 und =4= rfc —• n Im ersten Falle umschließt der Kreis \z— z0 < y0 — 1, im zweiten der Kreis | z — z0 j < Q0 nur Punkte von M, wenn qq kleiner gewählt wird als die Abstände des Punktes z0 von den ausgeschlossenen Loten und von der reellen Achse. — Sind ferner zl und zt zwei Punkte von M, so kann man sie folgendermaßen durch einen ganz innerhalb M verlaufenden Weg verbinden: Man gehe von z1 und z2 vertikal in die Höhe bis zu Punkten mit einem Ordinatcnwert, der > 3 ( 2 i) 1 > 3 (z2) und > 1 ist, und verbinde diese dann horizontal. — Alle reellen Punkte und alle auf den ausgeschlossenen Loten gelegenen Punkte sind Randpunkte; i ein Randpunkt (denn andere gibt es nicht. Speziell ist — u er gehört nicht zu M , aber in jeder Nähe von ihm liegen Punkte von M). — Dieser Randpunkt

ist ein „unerreichu barer" Randpunkt. Denn sind z' und z' irgend zwei Punkte i um weniger als £ entfernt sind und deren aus M , die von —

§ 2. Punktmengen. Wege und Gebiete.

53

Abszissen für kein n b e i d e zwischen — und liegen, & n n + 1 so ist jeder sie verbindende, in M verlaufende Weg länger als Es kann also keine streckbaren Kurven geben, die von ZQ innerhalb M nach ~

führen.

16. J a , denn S ist ein Jordansches Kurvenstück ( S ist ein stetiges und ein eindeutiges Bild der Strecke 1 ^ t Í É 0) und besitzt eine Länge, die sich elementar berechnen läßt und = — VÉTist. e ' 17. Es sei © einfach zusammenhängend nach der Definition dieser Aufgabe und zunächst beschränkt. Dann ist © auch gemäß K I. S. 25. einfach zusammenhängend. Denn gäbe es einen in © verlaufenden geschlossenen Weg, der Punkte von ©', der Komplementärmenge von © (s. Aufgabe 11), einschlösse, so würden die vom Wege umschlossenen Punkte aus © ' für sich eine abgeschlossene Menge bilden. © ' zerfiele also in mindestens zwei abgeschlossene Teilmengen ohne gemeinsames Element. Ist umgekehrt eine solche Zerlegung möglich, so kann man den Weg so wählen, daß genau eine dieser Teilmengen von ihm umschlossen wird. — Ähnlich schließt man im allgemeinen Falle, indem man sich auf der Kugel bewegt. 18. J a , denn die Randpunkte bilden eine zusammenhängende (abgeschlossene) Menge. 19. Jeder geschlossene Weg, der die beiden Punkte trennt, muß mindestens einen nicht zu © gehörigen Punkt enthalten, denn er könnte nur dann ganz in © verlaufen, wenn © mehrfach-zusammenhängend wäre.

54

IL Kap.: Zahlenfolgen und anendliche Reihen. II. Kapitel.

Zahlenfolgen und unendliche Reihen. § 3. Grenzwerte von Zahlenfolgen. Unendliehe Reihen mit konstanten Gliedern. 1. Nach der Definition des Häufungspunktes liegt im Gebiete 0 < \ z — f | < 1 mindestens ein z n , etwa . .Im Gebiete 0 < | z — f | < — liegt ebenso mindestens a' ein e a mit n > etwa «„,. Allgemein liegt für v jjg 2 im Gebiete 0 < \g—f| n v _ j , v etwa z ^ . Die Folge der z, = z„r leistet offenbar das Verlangte. 2. Beweis wörtlich wie'bei Aufgabe 3 (s. u.), wenn dort alle p„ = 1 gesetzt werden. — Für £ = oo ist der Satz falsch, denn z. B. für = —22t = 2k — 1, k = 1, 2, . . . , also für die Folge 1, —1, 3, —3, 5, —5, . . . ist £ = 00, während die Folge der z'n, nämlich die Folge 1, 0, 1, 0, 1 , 0 , . . . keinen Grenzwert hat. — Im Reellen, wo das Symbol 00 stets ein bestimmtes Vorzeichen hat, ist der Satz richtig: Sind die z n reell und strebt «„ -> + 00 bzw. — 00, so streben auch die zi -*• + 00 bzw. — co. 3. Ist £ = 0,

so läßt

sich nach Wahl von e > 0

ein m so wählen, daß \z r \ < b l e i b t für alle v > m, u sodann wegen Pn -> + 00 ein n0>m so groß, daß das für » > « , bleibt.

stets | z , + • . . . + p* z n |: P B
0 ein n 0 so angeben, daß für jedes n > w0 und für j e d e s p | c » + l + en + 2 + • • • + "n + p| < « ausfällt. Füf n > n0 ist dann speziell | T„ \ < e, so daß T n —>• 0 streben muß. Die Bedingung ist also notwendig zur Konvergenz. b) Strebt umgekehrt für jede Wahl der p„ stets T„ —y 0, so muß 2 c n konvergieren. Denn wäre die Reihe divergent, so hieße dies, daß es eine spezielle Zahl e 0 > 0 gäbe, derart daß oberhalb jeder noch so großen Zahl immer noch (also unendlich oft) zwei Zahlen n und n + p lägen, für die 1 . , „ 1 - - , ausfiele. Da dies unendlich oft der Fall sein würde, so gäbe es also — entgegen der Voraussetzung — doch Folgen der Form Tn, die n i c h t - > 0 streben. Also muß £cn doch konvergieren. 11. Der Beweis ergibt sich sofort, wenn man linker Hand a,,= s,. — 3V 1 setzt (für v— 0 natürlich nur a 0 = s 0 ) und die Glieder mit demselben s,. sammelt. 12. Es ist nach Aufgabe 11 n + p„

n + 7>„

»=n+ l

»= n+ l

58

n . K a p . : Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

Unter Benutzung von Aufgabe 10 liefern nun die Voraussetzungen sofort T„ - * - 0 , wie die natürlichen Zahlen pn auch gewählt sein mögen. £ a n b „ muß also, wieder nach Aufgabe 10, konvergieren. 13. Bei a) folgt aus & „ _ ; , > J „ - > - 0 , daß ,£(&„ — bn+1) absolut konvergiert. Da die «„ beschränkt sein sollen, so konvergiertauch J£s„(b„— 6 n + 1 ) , und es strebt ßjb„ sowie >• 0 . Bei b) strebt bn jedenfalls gegen einen Grenzwert « „ S a ; da auch (s„) konvergieren soll, so ist auch lim sKbn+l vorn handen. Da ferner £ (bv —h v+1/ —• 50 — i „ —>- &0 — tx^ v=O

strebt, so ist J£(b„ — K+i) und heit der s„ auch £ s „ ( b n — ¿ n + i ) Bei c) strebt sn6„4_ [ —>- 0 und wegen der Beschränktheit der sn absolut konvergent.

wegen der Beschränktabsolut konvergent. mit £ ( b „ — J n + 1 ) ist auch J£s„(bn— 6„+i)

14. Man hat genau wie bei Aufgabe 11: n+p

" + P

y^atb,=

y.s,,(b,

»+ P

I2 > a »= n+ l

— be+i)—snb„Mi

+

,

n+p

| == k ( 2 " » = »+1 +

\ n +

V

b

H + p + 1

&,+1)+y^+i } .

Auf Grund der Voraussetzungen kann daher nach Wahl von e > 0 ein n , so bestimmt werden, daß j ^ a . f c ^ < e »=n+i bleibt für alle n > n , und alle p ^ l . Also ist 21anb„ konvergent.

§ 4. Konvergenzeigenschaften der Potenzreihen. § 4.

59

Konyergenzeigenschaften der Potonzreihen.

1. a ) Für alle fünf Reihen ist r = 1; b ) r = + oo, r = 1 , r = 0 ; c) r = e ^wegen J ^ = -i-

,

/ " n \ r — 0 rweil yä^ ~ — ist, also —>- + oo s t r e b t j , r — e ^weil Yan =

—

—>-

strebt^,

r = 1 (weil j/dn = e " —>• e° == 1 s t r e b t ) ; d)r=l, weil für w ü^ 2 stets 2 (n)=£n, r = 1 , weil stets 1 ^ gp(n) S n; j n 2t e ) r = — , weil Iimya„ = 1 ^ 3 * = f 3 ist; V3 »_ r = 1 , weil stets l s i a n 5 l » s ; r = 0 , weil lim y a „ 2lt+l = lim y ( l o g * y = + oo ist. 2. a) Ist | z < | s 0 1, so ist = # < 1 , also | a„ « n | z < X • n* • "die Reihe ist — | a* za für & < 1 aber konvergent; b) bei der jetzigen Voraussetzung ist I M > l = I (ao + • • • + m 2 K n k,

—K

"

+ • •• + «„-i*;;-1)!

so daß J£anz n für | z | < | z01 nach a) absolut konvergiert. 3. Für die beiden ersten Reihen kann man allgemein nur die (selbstverständliche) Aussage machen, daß ihr Radius R mindestens gleich der kleineren der beiden

60

II. Kap.: Zahlenfolgen und anendliche Reihen.

Zahlen r und r', d. h. daß R

f

-4-

T'

I

^

T

t* \

ist. Im

übrigen kann er jeden Wert haben, insbesondere R = + °° sein, z. B. für an = 1, a» = — 1 +

ist r = r' = 1, MI aber für die erste Reihe R — + oo. — Für an a'n z" ist stets R ^ r r ' , denn für beliebigese> 0ist von einer Stelle an * i " 1 T

also V| an • a'„ | ^ — z

Für

-+- e', wo s' zugleich mit e klein ist.

" endlich ist notwendig R

~ ,

denn für

e > 0 ist u n e n d l i c h o f t y |a n | > - — e und von einer r » l Stelle an s t e t s |/|a[,| < — j + e , also unendlich oft 1 r




r

so daß

i i s j / H l ^ ) «'„ r

sein muß. — Man zeige an Beispielen, daß in den beiden r letzten Fällen wirklich R > rr' bezw. < -r- sein kann. r „_ 4. Die beiden ersten Reihen haben (wegen ] / » - > - 1 ) denselben Radius wie die dritte ist beständig / » 1 konvergent I weil von einer Stelle an stets y | a n j < + e ist und yiT\ ->- + oo strebt, also lim |/j

= 0 ist j . Die

letzte Reihe ist n i r g e n d s konvergent, wenn r < -f oo

§ 4. Konvcrgenzeigenschaften der Poteözreihen.

61

/ " i ist I denn es ist dann unendlich oft a„ | > e und es \ n \ strebt |/nT—>- + o o ) ; ist r = + oo, so läßt sich keine allgemeingültige Antwort geben. 5. In z = + 1 ist die Reihe bekanntlich divergent. In allen anderen Randpunkten des Konvergenzkreises aber ist die Reihe konvergent. Beweis: Ist \ z \ = l , aber 2 =)= + 1 , so ist l—gn+l 2 II + 2 + . . . + Z"| = 1—2 - | 1 - 2 | Die Teilsummen der Reihe

sind also (für dieses fest-

zuhaltende z) beschränkt.

Die Faktoren — nehmen monon 1 ton zu 0 ab; also ist ^ zn nach § 3, Aufgabe 13a n konvergent. 6. Nach Voraussetzung ist | a„z^| — £ \ an [ rn konvergent. Nach Wahl von e > 0 läßt sich also n 0 so angeben, daß für alle n > »?„ und alle k & 1 stets ¡ßn + i bleibt.

+ | a n + 21 r " + 2 +

. . . + jan+fc|r"+fc < £

Für alle \z\i= r ist dann von selbst ebenfalls |a11+12" + 1 | + . . . + | a n + i i z n + k | < £,

für alle n > n0 und alle lc ^ 1 . der Behauptung.

Das ist aber der Inhalt

7. Da die zu untersuchende Reihe aus der in Aufgabe 5 behandelten dadurch entsteht, daß man dort s durch z? ersetzt, so ergibt sich sofort: Unsere Reihe hat den Radius 1 und ist in allen Randpunkten z des Einheitskreises konvergent, in denen zv =}= - f 1 ist, dagegen divergent, wo z? — + 1 ist, d. h. also in den Ecken des dem Einheits-

62

II- Kap.: Zahlenfolgen und nnondliche Reihen.

kreise einbeschriebenen regulären p-Ecks, dessen eine Ecke in - f 1 liegt. 8. a) Da von einer Stelle an |a„| = 4» + A(a0

— w>0) +

A2(a0 — w0)2 +

...;

es darf also vor allem nicht | a0 — u>01 > R sein. Ist aber dg — w 0 \ < R , so ist auch f ü r alle hinreichend kleinen z— z01 noch I — w o | + | «i(« — z 0 ) i + i a i ( z — 2o)21 + • • • < R • Wir wählen nun ein R1 gemäß | a 0 — w0 | < R1 < R und dann q gemäß 0 < Q < r so klein, daß (lie zuletzt genannte Summe Ss R1 bleibt f ü r alle | z — ? 0 12f £ . Für diese z ist dann die gewünschte Umordimng sicher erlaubt und liefert W = g(f(z)). Denn setzt man in dem genannten Umordnungssatze e k „ = a ^ \ z — so sieht man

64

II. Kap.: Zahlenfolgen und unendliche Reihen.

Bofort, daß die dortigen yk sg | A^ | • Äj sind, so daß konvergiert. Etwas Genaueres läßt sich Qber den Konvergenzradius von J£l„(z — z0)n erst sagen, wenn der funktionentheoretische Charakter der Funktionen /(z) und g(w) bekannt ist. 13. Nach Aufgabe 12 darf (vgl. Elem, § 30) Tf =

L

a

_

o + ai2 + • • •

=

1

J_

«o

1

+

nach Ausführung der Potenzen von I — z + — z' + • • • I a L «o o J nach Potenzen von z umgeordnet werden. Die entstehende Beihe konvergiert sicher für alle | z | < wenn q so gewählt wird, daß I «i I • e + 1 k * + — = ! «01 ist, was für einen und nur einen positiven Wert q der Fall ist. — Ist b0 + JjZ + b t z 2 -f . . . die entstandene Reihe für so muß ( « ,W, . . . )n (b l t + i a t * + ...) = 1 , also a+0 b 0 =flj«+«,««+ 1 , und für ^ 0 1+ bstets «l&n-l + • • • + 0= 0 sein. Hieraus findet man, da a 0 4= 0 ist, der Reihe nach und völlig eindeutig die Koeffizienten b 0 , b l , b t , . . . 14. Ist | Zj | = 1 , so ist gemäß Aufgabe 5 die Potenzreihe

§6.Grenzwertev.Funktionen.Stetigkeitu.Differenzierbarkeit.

65

für z = z1 divergent, für alle anderen | z \ *= 1 konvergent. Sind also z l t z 2 , . . . , zp die vorgeschriebenen Randpunkte, so wird die Reihe

?±(± + z"±-+... + z±-)* j n

¿ j n l z?

n= 1 V 1 2 p/ für z = zx, z 8 , . . . , zp divergieren, für alle anderen [ z | = 1 konvergieren. 15. Das ist tatsächlich möglich. Ein erstes Beispiel einer solchen Potenzreihe ist von W. S i e r p i n s k i 1912 angegeben worden. Eine leicht zugängliche Darstellung desselben findet man bei E. L a n d a u , Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, 2. Aufl., Berlin 1929, S. 71. Hier verbietet der Raum die Wiedergabe des Beweises, der nicht ganz einfach ist. III. Kapitel.

Funktionen einer komplexen "Veränderlichen. § 5.

Grenzwerte von Funktionen. und Differenzierbarkeit.

Stetigkeit

1. a) f(z) ist stetig in z = 0 und allen den Punkten z, für die [z| irrational ist. In allen anderen Punkten ist /(z) unstetig. Beweis: Ist |z 0 | irrational, so läßt sich nach Wahl von e > 0 um z0 ein so kleiner Kreis legen, daß für P

alle Punkte z desselben, für die z rational und = — ist, 1 9 q > — ausfällt. Dann ist für alle Punk|te dieses Kreises e | /(z) — /(z0) | < e. Ebenso, falls z0 = 0 Ist dagegen | z01 P

1

rational und = — und wird 0 < e < — gewählt, so liegen ?o io Knopp, Aufgabensammlung z. Funktionenthcörig. 1. ^

66 HI. Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen. in jeder Nähe von z0 Punkte z, für die ]/(z)— /(z 0 ) | > e ist, nämlich alle dortigen z mit irrationalem | z | . b) f(z) ist in allen Punkten der Ebene stetig, außer für z—0. Denn in j e d e r Nähe von z = 0 ist /(z) aller reellen Werte zwischen — 1 und + 1 fähig. Für e < l ist also die Stetigkeitsbedingung in keiner Umgebung des Nullpunktes erfüllt. Ist z0 4= 0 , arc z0 = & 0 , so ist I/(«) - / ( « b ) | = I - sin^ 0 1 s | £ _ 1, also < e für alle z des Winkelraumesj& — 9 a \ < e , also sicher für alle z eines Kreises um z 0 . 2. Die Behauptung ist eine fast unmittelbare Folge der Definition der Stetigkeit: Ist s > 0 gegeben, so läßt sich ö > 0 so bestimmen, daß für alle \z — £ | < 8 stets | /(z) — /(£) | < e ist. Wegen z„ —> £ gehören zu diesen z aber alle z„ für n > n 0 , wenn n 0 passend gewählt wird. Also ist für n > «o stets j /(z„) — /(£) | < e , es strebt also Wn m (vgl. Elena, § 33, 3). 3. Wäre f(z) nicht stetig in so gäbe es ein spezielles e0 > 0 derart, daß sich in j e d e r Umgebung von £ ein Punkt z finden würde, für den |/(z) — /(£) | = «o i s t - Nützt man dies für die kreisförmigen Umgebungen mit den Radien 1, -5-, -5-, . . . aus und nennt die Punkte der Reihe nach u O J z u z t , . . . (für die also |z„ — £ | < — und|/(z„) —

tt

ist), so hat man entgegen der Annahme eine Punktfolge (z n ), die £ strebt, für die aber die Folge /(z„) nicht - > - / ( £ ) konvergiert. j 4. Für jedes I z I < 1 ist stetig, also überall im 1 —z Innern des Einheitskreises. Die Stetigkeit ist aber keine gleichmäßige. Denn denkt man sich um jedes z mit | z | < 1 den größtmöglichen Kreis beschrieben, für dessen

§5. Grenzwerte v. Funktionen. Stetigkeitu.Differenzierbarkeit. 67 Punkte z' (soweit für sie | z' \ < 1 ist) stets | f(z') — f(z) | < 1 bleibt, so ist die untere Grenze der Kadien Q, dieser Kreise

0.

Denn für z = 1

ist (>¿ = 11

5. Da in dem Gebiete 0 < | z [ < 1 nirgends | z | = 0 ist, so ist die Funktion dort stetig. — Sie ist dort aber auch g l e i c h m ä ß i g stetig. Denn setzen wir noch /(0) = 0, so ist f(z) auch noch in 0 stetig (Beweis?), und da f(z) auch in 0 < | z | < 2 stetig ist, so ist f(e) z. B. in dem a b g e s c h l o s s e n e n Gebiete stetig, also dort auch gleichmäßig stetig (nach K I , § 6 , S.31). Um so mehr gilt dies iür das Teilgebiet 0 < | z | < 1 . 6. Der Nenner von fx ist nirgends 0 , die Nenner der anderen Funktion sind nur in 0 gleich 0. Da im übrigen Zähler und Nenner aller Funktionen in der ganzen Ebene stetig sind, so ist h in der ganzen Ebene, ft bis fs in allen z =f= 0 stetig. In 2 = 0 k ö n n e n diese Funktionen unstetig sein. / 2 und / 4 sind es auch; denn nähert man sich längs der x-Achse von rechts der Stelle ö, so haben sie beide den Grenzwert 1, nähert man sich aber der Stelle 0 längs der y-Achse von oben, so haben sie die Grenzwerte 0 bzw. — 1. Dagegen sind / 3 und / 6 auch in 0 stetig. Denn wegen | S R ( « ) | ^ | z | ist \fa(z)\^\ 0 streben also beide Funktionen 0 = / 3 (0) = / & (0>. 7. Die Antworten sind dieselben; die Beweise analog. 8. Die gleichmäßige Stetigkeit bedeutet, daß man nach Wahl von e > 0 e i n d > 0 60 angeben kann, daß für i r g e n d z w e i dem Innern des Einheitskreises entnommene 3*

68 III. Kap.: Funktionen einer komplexen Ver&nderlichen. Werte z' und z", deren Abstand [ z" — z' | < $ ist, auch der Unterschied der Funktionswerte I f(z") — f(z') | < s ist. Strebt nun zn—>• £ (während alle [ zn [ < 1 sind), so läßt sich w0 so angeben, daß für n > n 0 stets z„ — £ | < ~ d ist. Ist dann n und n' > n 0 , so ist \z„- — zn| < ö, und also |/(V)-/(Z„)| 0 und irrational, so ist f ü r alle z vom gleichen =

v

Betrage D(z, z0) — 0; für ein z mit | g | = — ist dagegen q 1 1 D(z,z0) = —. Wählt man hier z auf demselben q z —z0 Nullstrahl wie z0, so ist

\D(z>*o)\ =

i-

l V — 11 'o I

Bekanntlich aber kann man, wenn y eine irrationale Zahl ist, die natürlichen Zahlen p und q so wählen, daß | p — qy \ so klein ist, als man will. Da hiernach D(z, z0) beliebig großer Werte fähig ist (in jeder Nähe von z0), so kann f'(z0) nicht existieren, kann auch nicht einmal oo sein, weil ü(z, z0) in jeder Nähe von z0 auch = 0 sein kann. b) f(z) aus 1 b ist n i r g e n d s differenzierbar a u ß e r in d e n v o n 0 v e r s c h i e d e n e n P u n k t e n der imaginären Achse. Beweis: Ist ?0 =)= 0 und nähert sich ihm z längs desselben Nullstrahles, so strebt D(z, z0) ->- 0; nähert sich z —>- Zq längs des Kreises \z \ = |20l> s o strebt £>(?, z0) ->-cos&0, = arcz 0 ). Als Punkte, in denen die Ableitung existiert, kommen hiernach höchstens die rein imaginären z0 =}= 0 in Betracht (denn z0 = 0 scheidet als Unstetigkeitspunkt ohnehin aus). Hier ist / ' (z0) = 0. Denn setzt man a r c z = & = --- — r¡, so ist f ü r alle dicht bei z0

u

70

HI- Kap.: Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

gelegenen z ersichtlich | z — z 0 1 [ z01 • sin t], also | D (z, z0) | ^

—r-^— < < £ f ü r alle hinreichend nahe bei z„ |z0|-sm»j |z0| gelegenen z. c) f{z) aus 5 ist f ü r e0 =j= 0 nicht difierenzierbar, da Z)(z, z 0 ) = 0 ist, wenn |z| = |z 0 |, während, w e n n z a u f dem1 L selben Nullstrahl wie z0 liegt, D(z, « 0 ) - > — ^ e l«.l-e—>«"2. strebt, was 4 = 0 ist. In 0 dagegen existiert, falls /(0) = 0 gesetzt wird, /'(z) und ist = 0 , weil dann | D(z, z0) | 1 —i= -—r e 1*1 ist, was mit z ->- 0 selber —>• 0 strebt. M 11. Der Beweis ergibt sich ganz unmittelbar durch Berechn u n g der partiellen Ableitungen von u = u (x, y) = 9t (/"(*)) und v — v (x, y) = 3 (f (z)) nach x und y. 12. Zwei beliebige P u n k t e aus © kann man durch einen ganz in 0 liegenden Polygonzug verbinden. Daraus ersieht man zunächst, daß es zu zeigen genügt, daß / ( z ) in den E n d p u n k t e n irgendeiner in © liegenden Strecke denselben Wert hat. Ist nun 3 eine solche Strecke von der Länge l mit den Endpunkten £ und und e > 0 eine gegebene Größe, so läßt sich um jeden P u n k t z' von da /' (z') existiert, eine so kleine Umgebung abgrenzen, daß f ü r alle Punkte z" derselben e / ( 0 - / ( 0