Vollständige logarithmische und trigonometrische Tafeln: zum Theil in neuer Anordnung, durch Zusätze erweitert und mit ausführlichen Erläuterungen versehen [7. Aufl., Reprint 2022] 9783112694244

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Vollständige

logarithmische und trigonometrische T a f e l n zum Theil

in neuer Anordnung, durch Zusätze erweitert und mit ausführlichen Erläuterungen versehen von

Dr. E. F. August, Professor und Director dos Cöllnischen B e a l - Gymnasiums In Berlin, Ritter des rothen Adlerordens vierter Classe, Mitglied mehrerer gelehrten Gesellschaften.

Siebente Auflage.

Leipzig, V e r l a g von V e i t & Comp. 1868.

V o r w o r t .

Der Zweck dieser Sammlung von Tafeln ist, sowohl dem Kechner die erforderlichen Hülfsmittel darzubieten, deren er so oft bedarf, als auch dem Lehrer der Mathematik Gelegenheit zu geben, seine Schüler in der Anwendung der gewöhnlichsten Hülfsmittel der h o h e m Rechenkunst mannigfach zu üben. Dabei ist zugleich darauf Bedacht genommen, dies Buch durch Reichhaltigkeit nützlich, durch Genauigkeit zuverlässig, durch Wohlfeilheit f ü r Viele zugänglich und durch Dauerhaftigkeit f ü r langen'Gebrauch anwendbar zu machen. Der Rechner findet, wie die Inhalts-Uebersicht am E n d e zeigt, hier mehrere Tafeln, die in den gewöhnlichen kleinern Handbüchern fehlen, z. B. die Quadratzahlen in vier Stellen, deren Benutzung für die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate so wichtig ist, und welche der verewigte Bessel f ü r eine nothwendige Z u g a b e eines solchen Büchleins erklärte; ferner die Aufzählung der ganzen Factoren für alle Zahlen unter 10000, einige natürliche Logarithmen, die in der Mechanik so oft Anwendung finden, und dergl. Der Mathematiker wird einiges in der Anordnung und Darstellung f ü r neu, und, wie der Verfasser hofft, auc h fiir zweckmässig erkennen. Dahin

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Vorwort.

gehört vorzüglich die Aufstellung der Gauss'schen Logarithmen-Differenzen zur Berechnung des Logarithmus einer Summe oder einer Differenz zweier Zahlen, aus dea Logarithmen dieser Zahlen. Diese Tafeln werden durch die ihnen hier gegebene Einrichtung gewiss gemeinnütziger werden. Wie nützlich sie für die Auflösungen numerischer Gleichungen sind, hat Encke im astronomischen Jahrbuche für 1841, S. 301, gezeigt. Auch die Art, wie hier die trigonometrischen Functionen sehr kleiner Winkel interpolirt werden, dürfte sich vielleicht einiges Beifalles erfreuen; so auch die Ableitung mehrerer wichtiger Grundformeln beider Trigonometrieen. Dem Lehrer wird es gewiss willkommen sein, Beispiele der verschiedensten Tafeln seinen Schülern vorlegen und sie im Gebrauch derselben üben zu können. Wie oft bedarf man z. B. nicht der trigonometrischen Functionen bei Lösung mancher Aufgaben, die durch die Logarithmen dieser Functionen, welche die gewöhnlichen Sammlungen darbieten, nur auf Umwegen möglich sind? Wie ungern entbehrt man diese Zahlen beim Unterricht in der Physik, in welcher sie ein Ausdruck mancher Gesetze sind? Wie sehr wird durch die kleine Factorentafel die Auffindung rationaler Wurzeln einer Gleichung erleichtert? u. dergl. m. Dasjä diese Sammlung, obwohl nur auf fünfstellige Logarithmen berechnet, auch zur Erklärung und selbst zum Ersatz siebenstelliger Tafeln dienen

Vorwort.

v

kann, ist gewiss eine willkommene Zugabe, nicht nur für die Schule, sondern auch für solche Rechner, die sich auf den Gebrauch dieses Büchleins beschränkt sehn, das j a in der Bibliothek eines Reisenden u. s. w. so leicht einen Platz findet. Wer selten rechnet, begnügt sich mit den einfachsten Hülfsmitteln und scheut dann auch eine kleine Nebenrechnung nicht, um ein vollständiges Resultat zu gewinnen. Vor allen Dingen wird jedem Benutzer des Buches die vollkommene Richtigkeit der Tafeln erwünscht sein, welche durch den Fleiss des für die sorgfältige Correctur unermüdlichen Hrn. Dr. Willing verbürgt ist, der bei dieser Gelegenheit manche Fehler in vielgebrauchten ähnlichen Werken aufgefunden hat, die er zum Nutzen der Besitzer derselben bekannt machen will. Da die Tafeln stereotyp sind, so wird ihre Richtigkeit mit dem Gebrauch steigen, indem jedes etwa noch aufgefundene Versehen für allß ferneren Abzüge berichtigt wird, neue aber, wie sonst bei neuen Auflagen, nicht einschleichen können. Für die Wohlfeilheit und für die Dauerhaftigkeit ist der verehrlichen Verlagshandlung Dank zu sagen. Sie hat sich in Hinsicht auf den letzten Punkt ganz nach dem Rathe BesseVs gerichtet, der sich für das Erscheinen dieser kleinen Tafeln brieflich interessirte, und ausser anderen aus seiner reichen Erfahrung geschöpften Winken für ein praktisches Buch dieser Art haltbares weisses Pa-

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Vorwort.

pier neben deutlich lesbarem Drucke als ein Haupterforderniss solcher Werke, die mehr zum Blättern, als zum Lesen bestimmt sind, dringend empfahl. So ist das Buch denn wohl berathen und wohl besorgt, möge es auch überall wohl aufgenommen sein! B e r l i n , im Mai 1846. August.

Bei der z w e i t e n und d r i t t e n Auflage sind mehrere Fehler der ersten, namentlich im Druck der Erläuterungen, berichtigt. In den Tafeln selbst ist bis jetzt k e i n F e h l e r entdeckt worden. B e r l i n , im März 1853. August

Vorrede zur vierten Auflage. Auch die v i e r t e Auflage kann den Freunden des Büchleins mit der Versicherung übergeben werden, dass die Haupttafeln sich fortdauernd als durchaus correct erwiesen haben. In den Nebentafeln, sowie in den Erläuterungen sind Verbesserungen nothwendig geworden, die ich hier angebe, damit Lehrer ihre Schülcr, welche im Besitz der dritten Auflage sind, darauf aufmerksam machen mögen. Es ist S. 66 Sin 71 0 = 0,9455186, Sin 6 6 0 = 0 , 9 1 3 5 4 5 5 ; S. 67 Sin 55° = 0,8191520, Sin

Vorrede.

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5 2 ° = 0 , 7 8 8 0 1 0 8 , und noch auf derselben Seite unter N bei 4 5 0 0 die Ziffer 8 statt 7. Diese A e n derungen der letzten Bruchstellen beruhen auf einer erneuten B e r e c h n u n g , welche H e r r Prediger Dr. L e h m a n n angestellt und in den astronomischen Nachrichten bekannt gemacht hat, bei welcher Gelegenheit er diesen T a f e l n eine genauere Uebereinstimmung als anderen zuspricht. Ausser diesen Verbesserungen, für die ich dem geehrten 'wissenschaftlichen Freunde dankbar bin, fand ich noch zu ändern: S. 1 6 4 bei den W u r z e l n der cubischen Gleichungen x = + 2 cot 2 %p j / i J Seite 1 9 7 Zeile 1 2 von unten „in der d r i t t e n R e i h e " statt „in der z w e i t e n R e i h e " , S. 2 0 7 in der Mitte tg z = i f/3 statt tg x, S; 2 0 8 Z e i l e 1 1 v. u. l i n k s statt r e c h t s , S . 2 1 9 in der F o r m 6 9 im Zähler S — C statt S — A , S . 2 2 0 in F o r m 7 0 (aus 6 5 ) statt (aus 6 6 ) und in F o r m 7 2 im Zähler Sin a statt Sin c. D a das Büchlein immer mehr Eingang in den Schulen gefunden hat, so habe ich zur Vervollständigung der Erläuterungen einen P a r a g r a p h hinzuzufügen für angemessen gehalten. S o sei denn das B u c h Lehrern und Lernenden aufs Neue freundlich empfohlen. B e r l i n im Deoember 1 8 5 6 . August.

Vorrede zur fünften Auflage. Die Verbreitung, welche diese Tafeln gefunden haben, giebt einerseits einen Beweis ihrer Brauchbarkeit und legt andrerseits dem Herausgeber die Pflicht auf, so wenig als möglich an ihnen abzuändern. Daher erscheinen sie auch in dieser neuen Auflage in derselben Gestalt mit den Berichtigungen, welche sich namentlich in den Erläuterungen hie und da als nothwendig gezeigt haben. In den Haupttafeln ist kein Fehler wahrgenommen. Auf einen überflüssigen Stern vor der Zahl 99 Seite 58 Z. 4 v. u. hat mich ein Primaner des Berlinischen Gymnasiums, Clemens Schlomlca, aufmerksam gemacht. Dieses kleine Versehen ist in der neuen Auflage berichtigt. Mit grossem Danke wird jede Mittheilung dieser Art zur Vervollkommnung des Büchleins benutzt werden, dessen Hauptwerth die Correctheit ist. Berlin im Januar 1863. August.

I.

Logarithmentafel, enthaltend

a) die g e m e i n e n (Briggs'schen) Logarithmen von 1 bis 1000 vollständig mit Charakteristik und fünfstelliger Mantisse. Seite 2—7. b) die fünfziffrigen Mantissen für alle vierziffrige Zahlen von 1000 bis 9999. Seite 8—33. c) Modulus. Grundzahl, Formeln und mehrere zwölfstellige Logarithmen des n a t ü r l i c h e n Systems. Seite 33 und 34.

a

Vollständige Logarithmen 0 1 2 3 4

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

0 — oo 1,00 000 1,30 103 1,47 712 1,60 206 1,69 897 1,77 815 1,84 510 1,90 309 1,95 424 2,00 000 2,04 139 2,07 918 2,11 394 2,14 613 2,17 609 2,20 412 2,23 045 2,25 527 2,27 875 2,30 103 2,32 222 2,34 242 2,36 173 2,38 021 2,39 794 2,41 497 2.43 136 2.44 716 2,46 240 2,47 712 2.49 136 2.50 515 2.51 851 2,53 148 0

1 0,00 000 1,04 139 1,32 222 1,49 136 1,61278 1,70 757 1,78 533 1,85 126 1,90 849 1,95 904 2,00 432 2,04 532 2,08 279 2,11 727 2,14 922 2,17 898 2,20 683 2,23 300 2,25 768 2,28 103 2,30 320 2,32 428 2,34 439 2,36 361 2,38 202 2,39 967 2,41 664 2,43 297 2,44 871 2,46 389 2,47 857 2,49 276 2,50 651 2,51 983 2,53 275 1

2

0,30 103 1,07 918 1,34 242 1,50 515 1,62 325 1,71 600 1,79 239 1,85 733 1,91 381 1,96 379 2,00 860 2,04 922 2,08 636 2,12 057 2,15 229 2,18 184 2,20 952 2,23 553 2,26 007 2,28 330 2,30 535 2,32 634 2,34 635 2,36 549 2,38 382 2,40 140 2,41 830 2,43 457 2,45 025 2,46 538 2,48 001 2,49 415 2,50 786 2,52 114 2,53 403 2

3 0,47 712 1,11 394 1,36 173 1,51 851 1,63 347 1,72 428 1,79 934 1,86 332 1,91 908 1,96 848 2,01 284 2,05 308 2,08 991 2,12 385 2.15 534 2,18 469 2,21 219 2,23 805 2,26 245 2,28 556 2,30 750 2,32 838 2,34 830 2,36 736 2,38 561 2,40 312 2,41 996 2,43 616 2,45 179 2,46 687 2,48 144 2,49 554 2,50 920 2,52 244 2,53 529 3

4 0,60 206 1,14 613 1,38 021 1,53 148 1,64 345 1,73 239 1,80 618 1,86 923 1,92 428 1,97 313 2,01 703 2,05 (¡90 2,09 342 2,12 710 2.15 836 2,18 752 2,21 484 2,24 055 2,26 482 2,28 780 2,30 963 2,33 041 2,35 025 2,36 922 2,38 739 2,40 483 2,42 160 2,43 775 2,45 332 2,46 835 2,48 287 2,49 693 2,51 055 2,52 375 2,53 656 4

mit fünfzifFrigen Mantissen. 0 1 2 3 4

10 11 12 13 14 15 10 17 18 19 20 21 22

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

5 0,09 897 1,17 609 1,39 794 1,54 407 1,05 321 1,74 036 1,81 291 1,87 500 1,92 942 1,97 772 2,02 119 2,06 070 2,09 091 2,13 033 2,16 137 2.19 033 2,21 748 2,24 304 2.20 717 2,29 003 2,31 175 2,33 244 2,35 218 2.37 107 2.38 917 2,40 654 2.42 325 2.43 933 2.45 484 2.46 982 2.48 430 2.49 831 2.51 188 2.52 504 2.53 782 5

6 0,77 815 1,20 412 1,41 497 1,55 030 1,00 276 1,74 819 1,81 954 1,88 081 1,93 450 1,98 227 2,02 531 2,00 440 2,10 037 2,13 354 2,10 435 2,19 312 2,22 011 2,24 551 2,20 951 2,29 226 2,31 387 2,33 445 2,35 411 2,37 291 2,39 094 2,40 824 2,42 488 2,44 091 2,45 637 2,47 129 2,48 572 2,49 969 2,51 322 2,52 634 2,53 908 6

7 0,84 510 1,23 045 1,43 130 1,56 820 1,67 210 1,75 587 1,82 007 1,88 049 1,93 952 1,98 677 2,02 938 2,06 819 2,10 380 2,13 072 2,10 732 2,19 590 2,22 272 2,24 797 2,27 184 2,29 447 2,31 597 2,33 646 2,35 003 2,37 475 2,39 270 2,40 993 2,42 651 2,44 248 2,45 788 2,47 276 2,48 714 2,50106 2,51 455 2,52 763 2,54 033 7

8 0,90 309 1,25 527 1,44 716 1,57 978 1,08 124 1,76 343 1,83 251 1,89 209 1,94 448 1,99 123 2,03 342 2,07 188 2,10 721 2,13 988 2,17 020 2,19 866 2,22 531 2,25 042 2,27 416 2,29 667 2,31 806 2,33 846 2,35 793 2,37 058 2,39 445 2,41 102 2,42 813 2,44 404 2,45 939 2,47 422 2,48 855 2,50 243 2,51 587 2,52 892 2,54 158 8 51 2

9 0,95 424 1,27 875 1,46 240 1,59 106 1,69 020 1,77 085 1,83 885 1,89 763 1,94 939 1,99 564 2,03 743 2,07 555 2,11 059 2,14 301 2,17 3)9 2,20 140 2,22 789 2,25 285 2,27 646 2,29 885 2,32 015 2,34 044 2,35 984 2,37 840 2,39 020 2,41 330 2,42 975 2,44 560 2,4(5 090 2,47 567 2,48 990 2,50 379 2,51 720 2,53 020 2,54 283 9

Vollständige Logarithmen 35 36 37 38 39 40 41 .42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61

62 63 64 65

66 67

68 69

0 2,54 407 2,55 630 2,56 820 2,57 978 2,59 106 2.60 206 2.61 278 2.62 325 2.63 347 2.64 345 2.65 321 2.66 276 2.67 210 2.68 124 2.69 020 2.69 897 2.70 757 2.71 600 2.72 428 2.73 239 2,74 036 2.74 819 2.75 587 2.76 343 2.77 085 2.77 815 2.78 533 2.79 239 2.79 934 2.80 618 2,81 291 2.81 954 2.82 607 2.83 251 2,83 885 0

1 2 2,54 531 2,54 654 2,55 751 2,55 871 2,56 937 2,57 054 2,58 092 2,58 206 2,59 218 2,59 329 2,60 314 2,60 423 2,61 384 2,61 490 2,62 428 2,62 531 2,63 448 2,63 548 2,64 444 2,64 542 2,65 418 2,65 514 2,66 370 2,66 464 2,67 302 2,67 394 2,68 215 2>68 305 2,69 108 2,69 197 2,69 984 2,70 070 2,70 842 2,70 927 2,71 684 2,71 767 2,72 509 2,72 591 2,73 320 2,73 400 2,74 115 2,74 194 2,74 896 2,74 974 2,75 664 2,75 740 2,76 418 2,76 492 2,77 159 2,77 232 2,77 887 2,77 960 2,78 604 2,78 675 2,79 309 2,79 379 2,80 003 2,80 072 2,80 686 2,80 754 2,81 358 2,81 425 2,82 020 2,82 086 2,82 672 2,82 737 2,83 315 2,83 378 2,83 948 2,84 011 1 2

3 2,54 777 2,55 991 2,57 171 2,58 320 2,59 439 2,60 531 2,61 595 2,62 634 2,63 649 2,64 640 2,65 610 2,66 558 2,67 486 2,68 395 2,69 285 2,70 157 2,71 012 2,71 850 2,72 673 2,73 480 2,74 273 2,75 051 2,75 815 2,76 567 2,77 305 2,78 032 2,78 746 2,79 449 2,80 140 2,80 821 2,81 491 2,82 151 2,82 802 2,83 442 2,84 073 3

4 2,54 900 2,56 110 2,57 287 2,58 433 2,59 550 2,60 638 2,61 700 2,62 737 2,63 749 2,64 738 2,65 706 2,66 652 2,67 578 2,68 4i& 2,69 373 2,70 243 2,71 096 2,71 933 2,72 754 2,73 560 2,74 351 2,75 128 2,75 891 2,76 641 2,77 379 2,78 104 2,78 817 2,79 518 2,80 209 2,80 889 2,81 558 2,82 217 2,82 866 2,83 506 2,84 136 4

mit fünfziffrigen Mantissen. 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

5 2,55 023 2,56 229 2,57 403 2,58 546 2,59 660 2.60 746 2.61 805 2.62 839 2.63 849 2.64 836 2.65 801 2.66 745 2.67 669 2.68 574 2.69 461 2.70 329 2.71 181 2.72 016 2.72 835 2.73 640 2.74 429 2.75 205 2.75 967 2.76 716 2.77 452 2,78 176 2.78 888 2.79 588 2.80 277 2,80 956 2.81 624 2.82 282 2.82 930 2.83 569 2.84 198 5

6 2,55 145 2,56 348 2,57 519 2,58 659 2,59 770 2,60 853 2,61 909 2,62 941 2,63 949 2,64 933 2,65 896 2,66 839 2,67 761 2,68 664 2,69 548 2,70 415 2,71 265 2,72 099 2,72 916 2,73 719 2,74 507 2,75 282 2,76 042 2,76 790 2,77 525 2,78 247 2,78 958 2,79 657 2,80 346 2,81 023 2,81 690 2,82 347 2,82 995 2,83 632 2,84 261 6

7 2,55 267 2,56 467 2,57 634 2,58 771 2,59 879 2,60 959 2,62 014 2,63 043 2,64 048 2,65 031 2,65 992 2,66 932 2,67 852 2,68 753 2,69 636 2,70 501 2,71 349 2,72 181 2,72 997 2,73 799 2,74 586 2,75 358 2,76 118 2,76 864 2,77 597 2,78 319 2,79 029 2,79 727 2,80 414 2,81 090 2,81 757 2,82 413 2,83 059 2,83 696 2,84 323 7

8 2,55 388 2,56 585 2,57 749 2,58 883 2,59 988 2,61 066 2,62 118 2,63 144 2,64 147 2,65 128 2,66 087 2,67 025 2,67 943 2,68 842 2,69 723 2,70 586 2,71 433 2,72 263 2,73 078 2,73 878 2,74 663 2,75 435 2,76 193 2,76 938 2,77 670 2,78 390 2,79 099 2,79 796 2,80 482 2,81 158 2,81 823 2,82 478 2,83 123 2,83 759 2,84 3S6 8

9 2,55 509 2,56 703 2,57 864 2,58 995 2,60 097 2,61 172 2,62 221 2,63 246 2,64 246 2,65 225 2,66 181 2,67 117 2,68 034 2,68 931 2,69 810 2,70 672 2,71 517 2,72 346 2,73 159 2,73 957 2,74 741 2,75 511 2,76 268 2,77 012 2,77 743 2,78 462 2,79 169 2,79 865 2,80 550 2,81 224 2,81 889 2,82 543 2,83 187 2,83 822 2 84 448 9

Vollständige Logarithmen 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80

81 82

83 84 85 86 87 88

89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

0 1 2 2.84 510 2,84 572 2,84 634 2.85 126 2,85 187 2,85 248 2.85 733 2,85 794 2,85 854 2.86 332 2,86 392 2,86 451 2,86 923 2,86 982 2,87 040 2.87 506 2,87 564 2,87 622 2.88 081 2,88 138 2,88 195 2.88 649 2,88 705 2,88 762 2.89 '209 2,89 265 2,89 321 2,89 763 2,89 818 2,89 873 2,90 309 2,90 363 2,90 417 2.90 849 2,9!) 902 2,90 956 2.91 3S1 2,91 434 2,91 487 2.91 908 2,91 960 2,92 012 2.92 428 2,92 480 2,92 531 2.92 942 2,92 993 2,93 044 2.93 450 2,93 500 2,93 551 2.93 952 2,94 002 2,94 052 2.94 448 2,94 498 2,94 547 2,94 939 2,94 988 2,95 036 2,95 424 2,95 472 2,95 521 2.95 904 2,95 952 2,95 999 2.96 379 2,96 426 2,96 473 2.96 848 2,96 895 2,96 942 2.97 313 2,97 359 2,97 405 2.97 772 2,97 818 2,97 864 2.98 227 2,98 272 2,98 318 2.98 677 2,98 722 2,98 767 2.99 123 2,99 167 2,99 211 2,99 564 2,99 607 2,99 651 1 2 0

3 2,84 696 2,85 309 2,85 914 2,86 510 2,87 099 2,87 679 2,88 252 2,88 818 2,89 376 2,89 927 2,90 472 2,91 009 2,91 540 2,92 065 2,92 583 2,93 095 2,93 601 2,94 101 2,94 596 2,95 085 2,95 569 2,96 047 2,96 520 2,96 988 2,97 451 2,97 909 2,98 363 2,98 811 2,99 255 2,99 695 3

4 2,84 757 2,85 370 2,85 974 2,86 570 2,87 157 2,87 737 2,88 309 2,88 874 2,89 432 2,89 982 2,90 526 2,91 062 2,91 593 2,92 117 2,92 634 2,93 146 2,93 651 2,94 151 2,94 645 2,95 134 2,95 617 2,96 095 2,96 567 2,97 035 2,97 497 2,97 955 2,98 408 2,98 856 2,99 300 2,99 739 4

B e m e r k u n g , Die vorangehenden, wie die folgenden, Tafeln haben für jeden darin enthaltenen Logarithmus einen C o l u i n n e n - I n d e x und einen Z e i l e n - I n d e x , ersleren ü b e r und u n t e r der Columne, worin der Logarithmus steht, letzteren in gleicher Zeile mit ihm, v o r dem Doppelstrich.

mit fünfzifl'rigen Mantissen. 5 2.84 819 2.85 431 2.86 034 2.86 629 2.87 216 2.87 795 2.88 366 2.88 930 2.89 487 2.90 037 2.90 580 2.91 116 2.91 645 2.92 169 2,92 680 2,93 197 2.93 702 2.94 201 2.94 694 2.95 182 2.95 665 2.96 142 2.96 614 2.97 081 2,97 543 2,98 000 2,98 453 2.98 900 2.99 344 2,99 782 5

6 2,84 880 2,85 491 2,86 094 2,86 688 2,87 274 2,87 852 2,88 423 2,88 986 2,89 542 2,90 091 2,90 634 2,91 169 2,91 698 2,92 221 2,92 737 2,93 247 2,93 752 2,94 250 2,94 743 2,95 231 2,95 713 2,96 190 2,96 661 2,97 128 2,97 589 2,98 046 2,98 498 2,98 945 2,99 388 2,99 826 6

7 2,84 942 2,85 552 2,86 153 2,86 747 2,87 332 2,87 910 2,88 480 2,89 042 2,89 597 2,90 146 2,90 687 2,91 222 2,91 751 2,92 273 2,92 788 2,93 298 2,93 802 2,94 300 2,94 792 2,95 279 2,95 761 2,96 237 2,96 708 2,97 174 2,97 635 2,98 091 2,98 543 2,98 Ö89 2,99 432 2,99 870 7

8 2,85 003 2,85 012 2,86 213 2,86 806 2,87 390 2,87 967 2,88 536 2,89 098 2,89 653 2,90 200 2,90 741 2,91 275 2,91 803 2,92 324 2,92 840 2,93 349 2,93 852 2,94 349 2,94 841 2,95 328 2,95 809 2,96 284 2,96 755 2,97 220 2,97 681 2,98 137 2,98 588 2,99 034 2,99 476 2,99 913 8

7 9 2,85 (165 2,85 673 2,86 273 2,86 864 2,87 448 2,88 024 2,88 593 2,89 154 2,80 708 2,90 255 2,90 795 2,91 328 2,91 855 2,92 376 2,92 891 2,93 399 2,93 902 2,94 399 2,94 890 2,95 376 2,95 856 2,96 332 2,96 802 2,97 267 2,97 727 2,98 182 2,98 632 2,99 078 2,99 520 2,99 957 9

Der Columnenindex ist die letzte Ziffer der zu d e m Logarithm u s gehörigen Zahl, der Zeilenindex giebt die d i e s e r vorangehenden Ziffern. Z. B. Zur Zahl 7 8 3 g e h ö r t der Logarithmus 2 , 8 9 3 7 6 . Sein Zeilenindex ist 7 8 , d e r Columnenindex 3. Vergl. Erläuterungen §. 6.

8

Fünfziffrige Mantissen

100 101 102 103 104

0 00 000 432 860 01 2 8 4 703

1 043 475 903 326 745

2 087 518 945 368 787

3 4 5 6 130 173 217 260 561 604 647 689 988*030 *072*115 410 452 494 536 828 870 912 953

105 106 107 IOS 109

02 119 531 938 03 342 743

160 202 243 284 325 366 407 449 490 572 612 653 694 735 776 816 857 898 979*019*060*100 *141*181*222 *262*302 383 423 463 503 543 583 623 663 703 782 822 862 902 941 9 8 1 * 0 2 1 * 0 6 0 * 1 0 0

110 111 112 113 114

04 139 532 922 05 308 690

179 571 961 346 729

218 258 297 336 376 415 454 493 610 650 689 727 766 805 844 883 999*038*077 *115*154*192*231*269 385 423 461 500 538 576 614 652 767 805 843 881 918 956 994*032

115 116 117 118 119

06 070 446 819 07 188 555

108 483 856 225 591

145 521 893 262 628

120 121 122 123 124

918 954 990*027*063 »099*135*171*207*243 08 279 314 350 386 422 458 493 529 565 600 636 672 707 743 778 814 849 884 920 955 991*026*061*096*132 *167*202*237*272*307 09 342 377 412 447 482 517 552 587 621 656

125 126 127 128 129

691 10 037 380 721 11 0 5 9

726 072 415 755 093

760 106 449 789 126

795 140 483 823 160

830 175 517 857 193

864 209 551 890 227

899 243 585 924 261

934 968*003 278 312 346 619 653 687 958 992*025 294 327 361

130 131 132 133 134

394 727 12 057 385 710 0

428 760 090 418 743 1

461 793 123 450 775 2

494 826 156 483 808 3

528 860 189 516 840 4

561 893 222 548 872 5

594 926 254 581 905 6

628 661 694 959 992*024 287 320 352 613 646 678 937 969*001 7 8 9

183 558 930 298 664

7 8 9 303 346 389 732 775 817 *157*199*242 578 620 662 995*036*078

221 258 296 333 371 408 595 633 670 707 744 781 967 * 0 0 4 * 0 4 1 * 0 7 8 * 1 1 5 * 1 5 1 335 372 408 445 482 518 700 737 773 809 846 882

der Logarithmen. 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D. 13 033 066 098 130 162 194 226 258 290 322 354 386 418 450 481 513 545 577 609 640 32 672 704 735 767 799 830 862 893 925 956 988*019*051*082*114 »145*176*208*239*270 14 301 333 364 395 426 457 489 520 551 582 31 613 644 675 706 737 768 799 829 860 891 922 953 9 8 3 * 0 1 4 * 0 4 5 » 0 7 6 * 1 0 6 * 1 3 7 * 1 6 8 * 1 9 8 15 229 259 290 320 351 381 412 442 473 503 534 564 594 625 655 685 715 746 776 806 30 836 866 897 927 957 9 8 7 * 0 1 7 * 0 4 7 * 0 7 7 * 1 0 7 16 137 167 197 227 256 286 316 346 376 406 435 465 495 524 554 584 613 643 673 702 732 761 791 820 850 879 909 938 967 997 29 17 026 056 085 114 143 173 202 231 260 289 319 348 377 406 435 464 493 522 551 580 609 638 667 696 725 754 782 811 840 869 898 926 955 984*013 *041 * 0 7 0 * 0 9 9 * 1 2 7 * 1 5 6 18 184 213 241 270 298 327 355 384 412 441 28 469 498 526 554 583 611 639 667 696 724 752 780 SOS 837 865 893 921 949 977*005 19 033 Oöl 089 117 145 173 201 229 257 285 312 340 368 396 424 451 479 507 535 562 590 618 645 673 700 728 756 783 811 838 866 893 921 948 976 » 0 0 3 * 0 3 0 * 0 5 8 * 0 8 5 * 1 1 2 27 20 140 167 194 222 249 276 303 330 358 385 412 439 466 493 520 548 575 602 629 656 683 710 737 763 790 817 844 871 898 925 952 9 7 8 * 0 0 5 * 0 3 2 * 0 5 9 * 0 8 5 * 1 1 2 * 1 3 9 * 1 6 5 * I 9 2 21 219 245 272 299 325 352 378 405 431 458 484 511 537 564 590 617 643 669 696 722 748 22 011 272 531 789 0

775 037 298 557 814 1

801 063 324 583 840 2

827 089 350 608 866 3

854 115 376 634 891 4

880 141 401 660 917 5

906 167 427 686 943 6

932 194 453 712 968 7

958 985 26 220 246 479 505 737 763 994*019 26 8 9

Fünfziffrige Mantissen

10

170 171 172 173 174

0 23 045 300 553 805 24 055

1 070 325 578 830 080

2 096 350 603 855 105

3 121 376 629 880 130

4 147 401 654 905 155

5 172 426 679 930 180

6 198 452 704 955 204

7 S 9 D. 2 2 3 2 4 9 2 7 4 25 477 502 528 729 754 779 980*005*031) 229 254 279

175 176 177 178 170

304 551 797 25 042 285

329 576 822 066 310

353 601 846 091 334

378 625 871 115 358

403 650 895 139 382

428 674 920 164 406

452 699 944 188 431

477 724 969 212 455

502 527 748 773 993*018 2 3 7 2 6 1 24 479 503

180 181 182 183 184

527 768 26 007 245 482

551 792 031 269 505

575 816 055 293 529

600 840 079 316 553

624 864 102 340 576

618 888 126 364 600

672 912 150 387 623

696 935 174 411 647

720 959 198 435 670

185 186 187 188 189

717 951 27 184 416 646

834 858 881 905 928 741 764 788 811 9 7 5 9 9 8 * 0 2 1 * 0 4 5 * 0 6 8 * 0 9 1 * 1 1 4 * I 3 8 * I 6 I 23 207 231 254 277 300 323 346 370 393 4 3 9 462 485 5 0 8 531 554 577 600 623 6 6 9 692 715 738 761 784 807 830 852

744 98! 221 45S 694

875 103 330 556 780

898 126 353 578 803

921 149 375 601 825

944 171 398 623 847

967 194 421 646 870

989*012*035*058*0S1 217 240 262 285 307 443 466 488 511 533 668 691 713 735 758 8 9 2 9 1 4 9 3 7 9 5 9 «181 22

195 196 197 198 199

29 003 226 447 667 885

026 248 469 688 907

048 270 491 710 929

070 292 513 732 951

092 314 535 754 973

115 137 159 181 203 336 358 380 403 425 557 579 601 623 645 776 798 820 842 863 994*016*038*060*081

200 201 202 203 204

30 103 125 146 1 6 8 190 211 2 3 3 255 2 7 6 2 9 8 320 341 363 384 406 428 449 471 492 514 535 557 578 600 621 643 664 685 707 728 750 771 792 814 835 856 8 7 8 8 9 9 920 942 9 6 3 9 8 4 * 0 0 6 * 0 2 7 * 0 4 8 * 0 6 9 * 0 9 1 * 1 1 2 * 1 3 3 * 1 5 4 21 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4

100 191 192 193 194

28

der Logarithmen. 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239

0 1 2 3 4 31 175 197 218 239 260 387 408 429 450 471 597 618 639 660 681 806 827 848 869 890 32 015 035 056 077 098 222 243 263 284 305 428 449 469 490 510 634 654 675 695 715 838 858 879 899 919 33 041 062 082 102 122 244 264 284 304 325 445 465 486 506 526 646 666 686 706 726 846 866 885 905 925 34 044 064 084 104 124 242 262 282 301 321 439 459 479 498 518 635 655 674 694 713 830 850 869 889 908 35 025 044 064 083 102 218 238 257 276 295 411 430 449 468 488 603 622 641 660 679 793 813 832 851 870 984*003*021*040*059 36 173 192 211 229 248 361 380 399 418 436 549 568 586 605 624 736 754 773 791 810 922 940 959 977 996 37 107 125 144 162 181 291 310 328 346 365 475 493 511 530 548 658 676 694 712 731 840 858 876 894 912 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 281 302 323 345 366 492 513 534 555 576 702 723 744 765 785 911 931 952 973 994 118 139 160 181 201 325 346 366 387 408 531 552 572 593 613 736 756 777 797 818 940 961) 980*001*021 143 163 183 203 224 345 365 385 405 425 546 5U6 586 606 626 746 766 786 806 826 945 965 985*005*025 143 163 183 203 223 341 361 380 400 420 537 557 577 596 616 733 753 772 792 811 928 947 967 986*005 122 141 160 180 199 315 334 353 372 392 507 526 545 564 583 698 717 736 755 774 889 908 927 946 965 »078*097*116*135*154 267 286 305 324 342 455 474 493 511 530 642 661 680 698 717 829 847 866 884 903 *014*033*051*070*088 199 218 236 254 273 383 401 420 438 457 566 585 603 621 639 749 767 785 803 822 931 949 967 985*003 5 6 7 8 9

11

12 240 241 242 243 244 245 240 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274

Fiinfziffrige Mantissen 0 1 2 3 4 38 021 039 057 075 093 202 220 238 256 274 382 399 417 435 453 561 578 596 614 632 739- 757 775 792 810 917 934 952 970 987 39 094 I I I 129 146 164 270 287 305 322 340 445 463 480 498 515 620 637 655 672 690 794 811 829 846 863 967 985*002*019*037 40 140 157 175 192 209 312 329 346 364 381 483 500 518 535 552 654 671 688 705 722 824 841 858 875 892 993*010*027*044*061 41 162 179 196 212 229 330 347 363 380 397 497 514 531 547 564 664 681 697 714 731 830 847 863 880 896 996*012*029*045*062 42 160 177 193 210 226 325 341 357 374 390 488 504 521 537 553 051 667 684 700 716 813 830 840 862 878 975 991*008*024*040 43 136 152 169 185 201 297 313 329 345 361 457 473 489 505 521 616 632 648 664 680 775 791 807 823 838 0 1 2 3 4

6 7 8 9 5 112 130 148 166 184 292 310 328 346 364 471 489 507 525 543 650 668 686 703 721 828 840 803 881 899 »005*023*041*058*076 182 199 217 235 252 358 375 393 410 428 533 550 568 585 602 707 724 742 759 777 881 898 915 933 950 *054*071*088*106*123 226 243 261 278 295 398 415 432 449 460 569 586 603 620 037 739 756 773 790 807 909 926 943 960 970 *078*095*111*128*145 246 263 280 296 313 414 430 447 464 481 581 597 614 631 647 747 764 780 797 814 913 929 940 963 979 »078*095*111*127*144 243 259 275 292 308 406 423 439 455 472 570 586 602 619 635 732 749 765 781 797 894 911 927 943 959 *056*072*088*104*120 217 233 249 265 281 377 393 409 425 441 537 553 569 584 600 696 712 727 743 759 854 870 886 902 917 5 6 7 8 9

D. 18

17

16

16

der Logarithmen. 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 29(5 297 29S 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309

43 44

45

46

47

48

4 1 2 3 0 933 949 965 981 996 091 107 122 138 154 248 264 279 295 311 404 420 436 451 467 560 576 592 607 623 716 731 747 762 778 871 886 902 917 932 025 040 056 071 086 179 194 209 225 240 332 347 362 378 393 484 500 515 530 545 637 652 667 682 697 788 803 818 834 849 939 954 969 984*000 090 105 120 135 150 240 255 270 285 300 389 404 419 434 449 538 553 568 583 598 687 702 716 731 746 835 850 864 879 894 982 997*012*026*041 129 144 159 173 188 276 290 305 319 334 422 436 451 465 480 567 582 596 611 625 712 727 741 756 770 857 871 885 900 914 001 015 029 044 058 144 159 173 187 202 287 302 316 330 344 430 444 458 473 487 572 586 601 615 629 714 728 742 756 770 855 869 883 897 911 996*010*024*038*052 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 "012*028*044*059*075 170 185 201 217 232 326 342 358 373 389 483 498 514 529 545 638 654 669 685 700 793 809 824 840 855 948 963 979 994*010 102 117 133 148 163 255 271 286 301 317 408 423 439 454 469 561 576 591 606 621 712 728 743 758 773 864 879 894 909 924 *015*030*045*060*075 165 180 195 210 225 315 330 345 359 374 464 479 494 509 523 613 627 642 657 672 761 776 790 805 820 909 923 938 953 967 *056*070*085*100*114 202 217 232 246 261 349 363 378 392 407 494 509 524 538 553 640 654 669 683 698 784 799 813 828 842 929 943 958 972 986 073 087 101 116 130 216 230 244 259 273 359 373 387 401 416 501 515 530 544 558 643 657 671 686 700 785 799 813 827 841 926 940 954 968 982 *066*080*094*108*122 5 6 7 8 9

13

14

14 310

311 312 313

314 315

316 317

318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329

Fünfziffrige Mantissen 0 49 136 276 415 554 693 831 969 50 106 243 379 515 651 786 920 5 1 055 188 322 455 587 720

5 6 7 8 0 1 2 3 4 1 5 0 164 1 7 8 192 2 0 6 2 2 0 2 3 4 2 4 8 262 2 9 0 3 0 4 3 1 8 332 3 4 6 3 6 0 3 7 4 3 8 8 4 0 2 4 2 9 4 4 3 4 5 7 471 4 8 5 4 9 9 5 1 3 527 541 5 6 8 582 5 9 6 6 1 0 6 2 4 6 3 8 651 6 6 5 6 7 9 707 721 734 7 4 8 762 776 7 9 0 8 0 3 817 8 4 5 8 5 9 8 7 2 8 8 6 9 0 0 9 1 4 9 2 7 941 955 982 9 9 6 * 0 1 0 * 0 2 4 » 0 3 7 * 0 5 1 * 0 6 5 * 0 7 9 * 0 9 2 1 2 0 133 1 4 7 161 174 188 202 2 1 5 2 2 9 2 5 6 2 7 0 2 8 4 2 9 7 311 3 2 5 3 3 8 352 3 6 5 3 9 3 4 0 6 4 2 0 4 3 3 4 4 7 461 4 7 4 4 8 8 501 5 2 9 542 5 5 6 5 6 9 583 5 9 6 6 1 0 6 2 3 637 6 6 4 6 7 8 691 705 7 1 8 732 745 7 5 9 772 799 8 1 3 8 2 6 8 4 0 8 5 3 8 6 6 8 8 0 8 9 3 907 9 3 4 9 4 7 961 9 7 4 9 8 7 * 0 0 1 * 0 1 4 * 0 2 8 * 0 4 1 13 0 6 8 081 0 9 5 108 121 135 148 162 175 202 335 468 601 733

215 348 481 614 746

228 362 495 627 759

242 375 50S 640 772

255 388 521 654 786

268 402 534 667 799

282 415 548 680 812

295 428 561 693 825

308 441 574 706 838

8 5 1 8 6 5 8 7 8 891 9 0 4 917 9 3 0 9 « 957 9 7 0 330 983 996*009*022*035 *048*061*075*0S8*101 331 332 52 1 1 4 127 140 153 166 179 192 2 0 5 2 1 8 231 244 257 270 284 297 310 323 336 349 362 333 3 7 5 3 8 8 401 4 1 4 427 4 4 0 4 5 3 4 6 6 4 7 9 492 334 5 0 4 517 5 3 0 5 4 3 55« 5 6 9 582 5 9 5 6 0 8 621 335 6 3 4 647 6 6 0 6 7 3 6 8 6 6 9 9 711 7 2 4 737 7 5 0 336 7 6 3 776 7 8 9 802 8 1 5 827 8 4 0 8 5 3 8 6 6 8 7 9 337 892 9 0 5 917 9 3 0 9 4 3 9 5 6 9 6 9 982 9 9 4 * 0 0 7 338 3.39 5 3 0 2 0 0 3 3 0 4 6 0 5 8 071 0 8 4 0 9 7 U O 122 135 148 161 173 186 1 9 9 212 2 2 4 237 2 5 0 2 6 3 340 2 7 5 2 8 8 301 3 1 4 3 2 6 3 3 9 352 3 6 4 3 7 7 3 9 0 341 4 0 3 4 1 5 4 2 8 441 4 5 3 4 6 6 4 7 9 491 5 0 4 5 1 7 342 5 2 9 542 5 5 5 567 5 8 0 5 9 3 6 0 5 6 1 8 6 3 1 6 4 3 343 6 5 6 668 681 6 9 4 706 7 1 9 732 7 4 4 757 7 6 9 i n 344 2 1 0 5 6 7 8 9 3 4

der Logarithmen. 345 346 347 348 349 350 351 35'2 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379

0 1 2 3 4 53 782 794 807 820 832 908 920 933 945 958 54 033 045 058 070 083 158 170 183 195 208 283 295 307 320 332 407 419 432 444 456 531 543 555 568 580 654 667 679 691 704 777 790 802 814 827 900 913 925 937 949 55 023 035 047 060 072 145 157 169 182 194 267 279 291 303 315 388 400 413 425 437 509 522 534 546 558 630 642 654 666 678 751 763 775 787 799 871 883 895 907 919 991*003*015*027*038 56 110 122 134 146 158 229 241 253 265 277 348 360 372 384 396 467 478 490 502 514 585 597 608 620 632 703 714 726 738 750 820 832 844 855 867 937 949 961 972 984 57 054 066 078 089 101 171 183 194 206 217 287 299 310 322 334 403 415 426 438 449 519 530 542 553 565 634 646 657 669 680 749 761 772 784 795 864 875 887 898 910 0 1 2 3 4

15

5 6 7 8 9 D. 845 857 870 882 895 13 970 983 995*008*020 095 10S 120 133 145 220 233 245 258 270 345 357 370 382 394 469 481 494 50« 518 12 593 605 617 630 642 716 728 741 753 765 839 851 864 S76 888 962 974 986 998*011 084 096 108 121 133 206 218 230 242 255 328 340 352 364 376 449 461 473 485 497 570 582 594 606 618 691 703 715 727 739 811 823 835 847 859 931 943 955 967 979 12 *050*062*074*086*098 170 182 194 205 217 289 301 312 324 336 407 419 431 443 455 526 538 549 561 573 644 656 667 679 691 761 773 785 797 808 879 891 902 914 926 996*008*019*031*043 113 124 136 148 159 229 241 252 264 276 345 357 368 380 392 461 473 484 496 507 576 588 600 611 623 692 703 715 726 738 807 818 830 841 852 921 933 944 955 967 11 5 6 7 8 9

16 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414

Fiinfziffrige Mantissen 0 1 3 3 4 57 978 990*001*013*024 58 092 104 115 127 138 206 218 229 240 252 320 331 343 354 365 433 444 456 467 478 546 557 569 580 591 659 670 681 692 704 771 782 794 805 816 883 894 906 917 928 995*006*017*028*040 59 106 118 129 140 151 218 229 240 251 262 329 340 351 362 373 439 450 461 472 483 550 561 572 583 594 660 671 682 693 704 770 780 791 802 813 879 890 901 912 923 988 999*010*021*032 60 097 108 119 130 141 206 217 228 239 249 314 325 336 347 358 423 433 444 455 466 531 541 552 563 574 638 649 660 670 681 746 756 767 778 788 853 863 874 885 895 959 970 981 991*002 61 066 077 087 098 109 172 183 194 204 ÔI5 278 289 300 310 321 384 395 405 416 426 490 500 511 521 532 595 606 616 627 637 700 711 721 731 742 0 1 3 3 4

5 6 7 8 9 *035*047*058*070*081 149 161 172 184 195 263 274 286 297 309 377 388 399 410 422 490 501 512 524 535 602 614 625 636 647 715 726 737 749 760 827 838 850 861 872 939 950 961 973 984 *051*062*073*084*095 162 173 184 195 207 273 284 295 306 318 384 395 406 417 428 494 506 517 528 539 605 616 627 638 649 715 726 737 748 759 824 835 846 857 868 934 945 956 966 977 »043*054*065*076*086 152 163 173 184 195 260 271 282 293 304 369 379 390 401 412 477 487 498 509 520 584 595 606 617 627 692 703 713 724 735 799 810 821 831 842 906 917 927 938 949 *013*023*034*045*055 119 130 140 151 162 225 236 247 257 268 331 342 352 363 374 437 448 458 469 479 542 553 563 574 584 648 658 669 679 690 752 763 773 784 794 5 6 7 8 9

der Logarithmen. 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 134 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449

0 61 805 909 62 014 118 221 325 428 531 634 737 839 941 63 043 144 246 347 448 548 649 749 849 949 64 048 147 246 345 444 542 640 738 836 933 65 031 128 225 0

1 2 815 826 920 930 024 031 128 138 232 242 335 346 439 449 542 552 644 655 747 757 849 859 951 961 053 063 155 165 256 266 357 367 458 468 558 568 659 669 759 769 859 869 959 969 058 068 157 167 256 266 355 365 454 464 552 562 650 660 748 758 846 856 943 953 040 050 137 147 234 244 1 2

3 836 941 045 149 252 356 459 562 605 767 870 fl72 073 175 276 377 478 579 679 779 879 979 078 177 276 375 473 572 670 768 865 963 060 157 254 3

4 847 951 055 159 263 366 169 572 675 778 880 982 083 185 286 387 488 589 689 789 889 988 088 187 286 385 483 582 680 777 875 972 070 167 263 4

17

5 6 7 8 9 857 868 878 8S8 899 962 972 982 993*003 066 076 086 097 107 170 180 190 201 211 273 284 294 304 315 377 387 397 408 418 480 490 500 511 521 583 593 603 613 624 685 696 706 716 726 788 793 808 818 829 890 900 910 921 931 992*002*012*022*033 094 104 114 124 134 195 205 215 225 236 296 Ü06 317 327 337 397 407 417 428 438 498 508 518 528 538 599 609 619 629 639 699 709 719 729 739 799 809 819 829 839 899 909 919 929 939 998*008*018*028*038 098 108 118 128 137 197 207 217 227 237 296 306 316 326 335 395 404 414 424 434 493 503 513 523 532 591 601 611 621 631 689 699 709 719 729 787 797 807 816 826 885 895 904 914 924 982 992*002*011*021 079 089 099 108 118 176 186 196 205 215 273 283 292 302 312 5 6 7 8 9 SS

18 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484

Fünfziffrige Mantissen 0 1 2 3 4 65 321 331 341 350 360 418 427 437 447 456 514 523 533 543 552 610 619 629 639 648 706 715 725 734 744 801 811 820 830 839 896 906 916 925 935 992*001*011*020*030 66 087 096 106 115 124 181 191 200 210 219 276 285 295 304 314 370 380 389 398 408 464 474 483 492 502 558 567 577 5S6 596 652 661 671 680 689 745 755 764 773 783 839 848 857 867 876 932 941 950 960 969 67 025 034 043 052 062 117 127 136 145 154 210 219 228 237 247 302 311 321 330 339 394 403 413 422 431 486 495 504 514 523 578 587 596 605 614 669 679 688 697 706 761 770 779 788 797 852 861 870 879 888 943 952 961 970 979 68 034 043 052 061 070 124 133 142 151 160 215 224 233 242 251 305 314 323 332 341 395 404 413 422 431 485 494 502 511 520 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 369 379 389 398 408 466 475 485 495 504 562 571 581 591 600 658 667 677 686 696 753 763 772 782 792 849 858 868 877 887 944 954 963 973 982 •039*049*058*068*077 134 143 153 162 172 229 238 247 257 266 323 332 342 351 361 417 427 436 445 455 511 521 530 539 549 605 614 624 633 642 699 708 717 727 736 792 801 811 820 829 885 894 904 913 922 978 987 997*006*015 071 080 089 099 108 164 173 182 191 201 256 265 274 284 293 348 357 367 376 385 440 449 459 468 477 532 541 550 560 569 624 633 642 651 660 715 724 733 742 752 806 815 825 834 843 897 906 916 925 934 988 997*006*015*021 079 088 097 106 115 169 178 187 196 205 260 269 278 287 296 350 359 368 377 386 440 449 458 467 476 529 538 547 556 565 5 6 7 8 9

der Logarithmen. 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519

.

0

68 574 664 753 842 931 69 020 108 197 285 373 461 548 636 723 810 897 984 70 070 157 243 329 415 501 586 672 757 842 927 71 012 096 181 265 349 433 517 0

1

2

3

4

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19

5 6 7 8 9 619 628 637 646 655 708 717 726 735 744 797 806 815 824 833 886 895 904 913 922 975 984 993*002*011 064 073 082 090 099 152 161 170 179 188 241 249 258 267 276 329 338 346 355 364 417 425 434 443 452 504 513 522 531 539 592 601 609 618 627 679 688 697 705 714 767 775 784 793 801 854 862 871 880 888 940 949 958 966 975 »027*036*044*053*062 114 122 131 140 148 200 209 217 226 234 286 295 303 312 321 372 381 389 398 406 458 467 475 484 492 544 552 561 569 578 629 638 646 (555 663 714 723 731 740 749 800 808 817 825 834 885 893 902 910 919 969 978 986 995*003 054 063 071 079 088 139 147 155 164 172 223 231 240 248 257 307 315 324 332 341 391 399 408 416 425 475 483 492 500 508 559 567 575 584 592 5 6 7 8 9 582

D. 9

9

8

20 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554

Fünfziffrige Mantissen 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D. 7 1 600 6 0 9 6 1 7 6 2 5 634 642 650 6 5 9 6 6 7 B75 8 684 692 700 709 717 725 734 742 750 7 5 9 767 775 784 792 8 0 0 8 0 9 817 8 2 5 8 3 4 842 8 5 0 8 5 8 8 6 7 8 7 5 8 8 3 892 900 9 0 8 917 9 2 5 933 9 4 1 950 9 5 8 966 975 983 991 9 9 9 * 0 0 8 72 0 1 6 024 032 041 0 4 9 057 066 074 082 090 0 9 9 107 115 123 132 140 148 156 165 173 1 8 1 189 198 206 214 222 230 2 3 9 247 255 263 272 2 8 0 288 296 3 0 4 313 3 2 1 3 2 9 337 346 354 362 370 3 7 8 387 395 403 4 1 1 4 1 9 4 2 8 4 3 6 444 452 460 4 6 9 4 7 7 4 8 5 493 5 0 1 5 0 9 518 526 534 542 550 558 567 575 583 5 9 1 5 9 9 607 616 624 632 6 4 0 6 4 8 6 5 6 6 6 5 6 7 3 6 8 1 6 8 9 697 705 713 722 730 738 746 754 762 770 7 7 9 787 795 803 8 1 1 8 1 9 827 8 3 5 8 4 3 852 8 6 0 868 8 7 6 884 892 900 9 0 8 8 916 925 9 3 3 941 9 4 9 957 9 6 5 973 981 9 8 9 997*006*014*022*030 »038*046*054*062*070 73 0 7 8 086 094 102 I I I 1 1 9 127 135 143 151 1 5 9 167 175 183 191 199 207 2 1 5 223 231 2 3 9 247 255 2 6 3 272 280 2 8 8 2 9 6 304 312 320 3 2 8 336 344 352 360 368 376 384 3 9 2 4 0 0 4 0 8 416 424 432 4 4 0 4 4 8 456 4 6 4 472 480 4 8 8 496 504 512 520 5 2 8 536 5 4 4 552 5 6 0 568 576 584 592 600 6 0 8 616 624 632 6 4 0 6 4 8 6 5 6 664 672 6 7 9 6 8 7 6 9 5 703 711 719 727 735 743 751 759 767 775 783 791 7 9 9 807 815 823 8 3 0 8 3 8 846 854 862 8 7 0 8 7 8 8 8 6 894 902 910 9 1 8 926 933 9 4 1 9 4 9 9 5 7 9 6 5 973 981 9 8 9 9 9 7 * 0 0 5 * 0 1 3 * 0 2 0 * 0 2 8 74 036 044 052 060 0 6 8 076 084 092 0 9 9 107 1 1 5 123 131 1 3 9 147 155 162 170 178 186 194 202 2 1 0 218 2 2 5 2 3 3 2 4 1 2 4 9 257 2 6 5 273 280 288 296 304 312 320 327 3 3 5 3 4 3 3 5 1 3 5 9 367 374 382 3 9 0 3 9 8 4 0 6 414 4 2 1 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

der L o g a r i t h m e n . 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586' 587 588 589

0 74 429 507 586 663 741 819 896 974 75 051 128 205 282 358 435 511 587 664 740 815 891 967 76 042 118 193 268 343 418 492 567 641 716 790 864 938 77 012 0

1 2 437 445 515 523 593 601 671 679 749 757 827 834 904 912 981 989 059 066 136 143 213 220 289 297 366 374 442 450 519 526 595 603 671 679 747 755 823 831 899 906 974 982 050 057 125 133 200 208 275 283 350 358 425 433 500 507 574 582 649 656 723 730 797 805 871 879 945 953 019 026 1

2

3 4 453 461 531 539 609 617 687 695 764 772 842 850 920 927 997*005 074 082 151 159 228 236 305 312 381 389 458 465 534 542 610 618 686 694 762 770 838 846 914 921 989 997 065 072 140 148 215 223 290 298 365 373 440 448 515 522 589 597 664 671 738 745 812 819 886 893 960 967 034 041 3

4

5 6 7 8 9 468 476 484 492 500 547 554 562 570 578 624 632 640 648 656 702 710 718 726 733 780 788 796 803 811 858 865 873 881 889 935 943 950 958 966 *012 »020*028»035*043 089 097 105 113 120 166 174 182 189 197 243 251 259 266 274 320 328 335 .343 351 397 404 412 420 427 473 481 488 496 504 549 557 565 572 580 626 633 641 648 656 702 709 717 724 732 778 785 793 800 808 853 861 868 876 884 929 937 944 952 959 »005*012*020*027*035 080 087 095 103 110 155 163 170 178 185 230 238 245 253 260 305 313 320 328 335 380 388 395 403 410 455 462 470 477 485 530 537 545 552 559 604 612 619 626 634 678 686 693 701 708 753 760 768 775 782 827 834 842 849 856 901 908 916 923 930 975 982 989 997*004 048 056 063 070 078 5 6 7 8 9

21 D. 8

7

7

.

22

Fünfziffrige Mantissen

590 591 592 593 594

0 77 085 159 232 305 379

1 093 166 240 313 386

2 100 173 247 320 393

3 107 181 254 327 401

4 115 188 262 335 408

5 122 195 269 342 415

6 129 203 276 349 422

7 137 210 283 357 430

8 144 217 291 364 437

9 151 225 298 371 444

595 596 597 598 599

452 525 597 670 743

459 532 605 677 750

466 539 612 685 757

474 546 619 692 764

4SI 554 627 699 772

488 561 634 706 779

495 568 641 714 786

503 576 648 721 793

510 583 656 728 801

517 590 663 735 808

(iOO 601 602 603 604

815 887 960 78 032 104

822 895 967 039 111

830 902 974 0-16 118

837 909 981 053 125

844 916 988 061 132

851 859 866 873 880 924 931 938 945 952 996*003*010*017*025 068 075 082 089 097 140 147 154 161 168

605 606 607 608 609

176 247 319 390 462

183 254 326 398 469

190 262 333 405 476

197 269 340 412 483

204 276 347 419 490

211 283 355 426 497

219 290 362 433 504

226 297 369 440 512

233 305 376 447 519

240 312 383 455 526

610 611 612 613 614

533 604 675 746 817

540 611 682 753 824

547 618 689 760 831

554 625 696 767 838

561 633 704 774 845

569 640 711 781 852

576 647 718 789 859

583 654 725 796 866

590 661 732 803 873

597 668 739 810 880

615 616 617 618 619

888 958 79 029 099 169

895 965 036 106 176

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916 986 057 127 197

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620 621 622 623 624

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246 316 386 456 525 1

253 323 393 463 532 2

267 337 407 477 546 4

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281 351 421 491 560 6

288 358 428 498 567 7

295 365 435 505 574 8

302 372 442 511 581 9

der Logarithmen. 6251179 626 627 628 6291| 630 631 80 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 81 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659

0 588 657 727 796 865 934 003 072 140 209 277 346 414 482 550 618 686 754 821 889 956 023 090 158 224 291 358 425 491 558 624 690 757 823 889 0

1 2 595 602 664 671 734 741 803 810 872 879 941 948 010 017 079 085 147 154 216 223 284 291 353 359 421 428 489 496 557 564 625 632 693 699 760 767 828 835 895 902 963 969 030 037 097 104 164 171 231 238 298 305 365 371 431 438 498 505 564 571 631 637 697 704 763 770 829 836 895 902 1 2

3 609 678 748 817 886 955 024 092 161 229 298 366 434 502 570 638 706 774 841 909 976 043 III 178 245 311 378 445 511 578 644 710 776 842 908 3

4 616 685 754 824 893 962 030 099 168 236 305 373 441 509 577 645 713 781 848 916 983 050 117 184 251 318 385 451 518 584 651 717 783 849 915 4

5 6 7 8 9 623 630 637 644 650 692 699 706 713 720 761 768 775 782 789 831 837 844 851 858 900 906 913 920 927 969 975 982 989 996 037 044 051 058 065 106 113 120 127 134 175 182 188 195 202 243 250 257 264 271 312 318 325 332 339 380 387 393 400 407 448 455 462 468 475 516 523 530 536 543 584 591 598 604 611 652 659 605 672 679 720 726 733 740 747 787 794 801 808 814 855 862 868 875 882 922 929 936 943 949 990 996*003*010*017 057 064 070 077 084 124 131 137 144 151 191 198 204 211 218 258 265 271 278 285 325 331 338 345 351 391 398 405 411 418 458 465 471 478 485 525 531 538 544 551 591 598 604 611 617 657 664 671 677 684 723 730 737 743 750 790 796 803 809 816 856 862 8611 875 882 921 928 935 941 948 5 6 7 8 9

23

24 660 66L 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694

Fünfziffrige Mantissen 0 1 2 3 4 81 954 961 968 974 981 82 020 027 033 040 046 086 092 099 105 112 151 158 164 171 178 217 223 230 236 243 282 289 295 302 308 347 354 360 367 373 413 419 426 432 439 478 484 491 497 504 543 549 556 562 569 607 614 620 627 633 672 679 685 692 698 737 743 750 756 763 802 808 814 821 827 866 872 879 885 892 930 937 943 950 956 995*001*008*014*020 83 059 065 072 078 085 123 129 136 142 149 187 193 200 206 213 251 257 264 270 270 315 321 327 334 340 378 385 391 398 404 442 448 455 461 467 506 512 518 525 531 569 575 582 588 594 632 639 645 651 658 696 702 708 715 721 759 765 771 778 784 822 828 835 841 847 885 891 897 904 910 948 954 960 967 973 84 011 017 023 029 036 073 080 086 092 098 136 142 148 155 161 0 1 2 3 4

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der Logarithmen. 5 6 7 8 9 0 I 2 a 4 695 84 198 205 211 217 223 230 236 242 248 255 261 267 273 280 286 292 298 305 311 317 696 323 330 336 342 348 354 361 367 373 379 697 386 392 398 404 410 417 423 429 435 442 69S 448 454 460 466 473 479 485 491 497 504 699 70« 510 516 522 528 535 541 547 553 559 566 701 572 578 584 590 597 603 609 615 621 628 634 640 646 652 658 665 671 677 683 689 702 696 702 708 714 720 726 733 739 745 751 703 757 763 770 776 782 788 794 800 807 813 704 819 825 831 837 844 850 856 862 868 874 705 880 887 893 899 905 911 917 924 930 936 706 942 948 954 960 96'/ 973 979 985 991 997 707 708 85 003 009 016 022 028 034 040 046 052 058 065 071 077 083 089 095 101 107 114 120 709 710 126 132 138 144 150 156 163 169 175 181 187 193 199 205 211 217 224 230 236 242 711 248 254 260 266 272 278 285 291 297 303 712 309 315 321 327 333 339 345 352 358 364 713 370 376 382 388 394 400 406 412 418 425 714 715 431 437 443 449 455 461 467 473 479 485 716 491 497 503 509 516 522 528 534 540 546 552 558 564 570 576 582 588 594 600 606 717 612 618 625 631 637 643 649 655 661 667 718 673 679 685 691 697 703 709 715 721 727 719 720 733 739 745 751 757 763 769 775 781 788 721 794 800 806 812 818 824 830 836 842 848 722 854 860 866 872 878 884 890 896 902 908 914 920 926 932 938 944 950 956 962 968 723 974 980 98(5 992 998 »004*010*016*022*028 724 725 86 034 040 046 052 058 064 070 076 082 088 726 094 100 106 112 118 124 130 136 141 147 153 159 165 171 177 183 189 195 201 207 727 213 219 225 231 237 243 249 255 261 267 728 273 279 285 291 297 303 308 314 320 326 729 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4

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Fünfziffrige Mantissen

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der Logarithmen. 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 765 88 366 372 377 383 389 395 400 406 412 417 423 429 434 440 446 451 457 463 468 474 760 480 485 491 497 502 508 513 519 525 530 767 536 542 547 553 559 564 570 576 581 587 768 593 598 604 610 615 621 627 632 638 643 769 770 649 655 660 666 672 677 683 68!) 694 700 771 705 711 717 722 728 734 739 745 750 756 772 762 767 773 779 784 790 795 801 807 812 773 818 824 829 835 840 846 852 857 863 868 774 874 880 885 891 897 902 908 913 919 925 775 930 936 941 947 953 958 964 969 975 981 986 992 997*003*009 »014*020*025*031*037 776 777 89 042 048 053 059 064 070 076 081 087 092 098 104 109 115 120 126 131 137 143 148 778 154 159 165 170 176 182 187 193 198 204 779 209 215 221 226 232 237 243 248 254 260 780 265 271 276 282 287 293 298 304 310 315 781 321 326 332 337 343 348 354 360 365 371 782 376 382 387 393 398 404 409 415 421 426 783 432 437 443 448 454 459 465 470 476 481 784 785 487 492 498 504 509 515 520 526 531 537 542 548 553 559 564 570 575 581 586 592 786 597 603 609 614 620 625 631 638 642 647 787 653 658 664 669 675 680 686 691 697 702 788 708 713 719 724 730 735 741 746 752 757 789 763 768 774 779 785 790 796 801 807 812 790 818 823 829 834 840 845 851 856 862 867 791 873 878 883 889 894 900 905 911 916 922 792 927 933 938 944 949 955 960 966 971 977 793 982 988 993 998*004 *0I)9*015*020*026*031 794 795 90 037 042 048 053 059 064 069 075 080 086 091 097 102 108 113 119 124 129 135 140 796 146 151 157 162 168 173 179 184 189 195 797 200 206 211 217 222 227 233 238 244 249 798 255 260 266 271 276 282 287 293 298 304 799 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3

L

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28

Fiinfziffrige Mantissen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 800 90 309 314 320 325 331 336 342 347 352 358 801 363 369 374 380 385 390 396 401 407 412 802 417 423 428 434 439 445 450 455 461 466 472 477 482 488 493 499 504 509 515 520 803 526 531 536 5"42 547 553 558 563 569 574 804 805 580 585 590 596 601 607 612 617 623 628 634 639 644 650 655 660 666 671 677 682 806 807 687 693 698 703 709 714 720 725 730 736 808 741 747 752 757 763 768 773 779 784 789 809 795 800 806 811 816 822 827 832 838 843 849 854 859 865 870 875 881 886 891 897 810 902 907 913 918 924 929 934 940 945 950 811 956 961 966 972 977 982 988 993 998*004 812 813 91 009 014 020 025 030 036 041 046 052 057 062 068 073 078 084 089 094 100 105 110 814 815 116 121 126 132 137 142 148 153 158 164 816 169 174 180 185 190 196 201 206 212 217 817 222 228 233 238 243 249 254 259 265 270 818 275 281 286 291 297 302 307 312 318 323 819 328 334 339 344 350 355 360 365 371 376 820 381 387 392 397 403 408 413 418 424 429 821 434 440 445 450 455 461 466 471 477 482 822 487 492 498 503 508 514 519 521 529 535 823 540 545 551 556 561 566 572 577 582 587 593 598 603 609 614 619 624 630 635 640 824 825 645 651 656 661 666 672 677 682 687 693 826 698 703 709 714 719 724 730 735 740 745 827 751 756 761 766 772 777 782 787 793 798 828 803 808 814 819 824 829 834 840 845 850 829 855 861 866 871 876 882 887 892 897 903 830 908 913 918 924 929 934 939 944 950 955 831 960 965 971 976 981 986 991 997*002*007 832 92 012 018 023 028 033 038 044 049 054 059 833 065 070 075 080 085 091 096 101 106 H l 834 117 122 127 132 137 143 148 153 158 163 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

der Logarithmen. 0 835 92 169 8315 221 837 273 838 324 839 376 840 F 428 480 841 531 842 583 843 634 844 845 686 846 737 847 788 848 840 849 891 850 942 851 993 852 93 044 853 095 854 146 '197 855 247 856 298 857 34!) 858 399 859 860 450 500 861 551 862 601 863 651 864 865] 702 752 866 802 867 852 868 902 869 0

1 2 3 4 174 179 184 189 22(5 231 236 241 278 283 288 293 330 335 340 345 381 387 392 397 433 438 443 449 485 490 495 500 536 542 547 552 588 593 598 603 639 645 650 655 691 696 701 706 742 747 752 758 793 799 804 80!) 845 850 855 860 896 901 906 911 947 952 957 962 998*003*008*013 04!) 054 059 064 100 105 110 115 151 156 161 166 202 207 212 217 252 258 263 268 303 308 313 318 354 359 364 36!) 404 409 414 420 455 460 465 470 505 510 515 520 556 561 566 571 606 611 616 621 6515 661 666 671 707 712 717 722 757 762 767 772 807 812 817 822 857 862 867 872 907 912 917 922 1 2 3 4

5 6 7 8 9 195 200 205 210 215 247 252 257 262 267 298 304 309 314 319 350 355 361 366 371 402 407 412 418 423 454 459 464 469 474 505 511 516 521 526 557 562 567 572 578 609 614 619 624 629 660 665 670 675 681 711 716 722 727 732 763 768 773 778 783 814 819 824 829 834 865 870 875 881 886 916 921 927 932 937 967 973 978 983 988 *018 *024*029 *034*039 069 075 080 085 090 120 125 131 136 141 171 176 181 186 192 222 227 232 237 242 273 278 283 288 293 323 328 334 339 344 374 379 384 389 394 425 430 435 440 445 475 480 485 490 495 526 531 536 541 546 576 581 586 591 596 626 631 636 641 646 676 682 687 692 697 727 732 737 742 747 777 782 787 792 797 827 832 837 842 847 877 882 887 892 897 927 932 937 942 947 5 6 7 8 9

29

30

Fünfziffrige Mantissen

0 1 2 3 4 870 93 952 957 962 967 972 871 94 002 007 012 017 022 052 057 062 067 072 872 101 106 I I I 116 121 873 151 156 161 166 171 874 201 206 211 216 221 875 250 255 260 265 270 876 300 305 310 315 320 877 349 354 359 364 369 878 399 404 409 414 419 879 448 453 458 463 468 880 498 503 507 512 517 881 547 552 557 562 567 882 596 601 606 611 616 883 645 650 655 660 665 884 885 694 699 704 709 714 886 743 748 753 758 763 887 792 797 802 807 812 888 841 846 851 856 861 889 890 895 900 905 910 939 944 949 954 959 890 988 993 998*002*007 891 892 95 036 041 040 051 056 085 090 095 100 105 893 134 139 143 148 153 894 895 182 187 192 197 202 231 236 240 245 250 896 279 284 289 294 299 897 328 332 337 342 347 898 376 381 386 390 395 899 424 429 434 439 444 900 472 477 482 487 492 901 521 525 530 535 540 902 569 574 578 583 588 903 617 622 626 631 636 904 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 D. 977 982 987 992 997 5 027 032 037 042 047 077 082 086 091 096 126 131 136 141 146 176 181 186 191 196 226 231 236 240 345 275 280 285 290 295 325 330 335 340 345 374 379 384 389 394 424 429 433 438 443 473 478 483 488 493 522 527 532 537 542 571 576 581 586 591 621 626 630 635 640 (¡70 675 680 685 689 719 724 729 734 738 5 768 773 778 783 787 817 822 827 832 836 866 871 876 880 885 915 919 924 92Q 934 963 968 973 978 983 »012*017*022*027*032 061 066 071 075 080 109 114 119 124 129 158 163 168 173 177 207 211 216 221 226 255 260 265 270 274 303 308 313 318 323 352 357 361 366 371 400 405 410 415 419 448 453 458 463 468 497 501 506 511 516 545 550 554 559 564 593 598 602 607 612 641 646 650 655 660 6 5 6 7 8 9

der Logarithmen.

31

5 6 7 8 9 D. 0 1 2 3 4 905 95 665 670 674 679 684 689 694 6 9 » 703 708 5 713 718 722 727 732 737 742 746 751 756 906 761 766 770 775 780 785 789 794 799 804 907 809 813 818 823 828 832 837 842 847 852 908 856 861 866 871 875 880 885 890 895 899 909 904 909 914 918 923 928 933 938 942 947 910 952 957 961 966 971 976 980 985 990 995 911 999*004*009*014*019 *02.3*028*033*038*042 912 913 96 047 052 057 061 066 071 076 080 085 090 095 099 104 109 114 118 123 128 133 137 914 142 147 152 156 161 166 171 175 180 185 915 190 194 199 204 209 213 218 223 227 232 916 237 242 246 251 256 261 265 270 275 280 917 918 284 289 294 298 303 308 313 317 .322 327 919 332 336 341 346 350 355 360 365 369 374 920 379 384 388 393 398 402 407 412 417 421 5 921 426 431 435 440 445 450 454 459 464 468 922 473 478 483 487 492 497 501 506 511 515 520 6 2 5 530 534 539 544 548 553 558 562 923 567 572 577 581 586 591 595 600 605 609 924 925 614 619 624 628 633 638 642 647 652 656 661 666 670 675 680 685 689 694 699 703 926 708 713 -717 722 727 731 736 741 745 750 927 755 759 764 769 774 7 J 8 783 788 792 797 928 802 806 811 816 820 825 830 8.34 8.39 844 929 930 848 853 858 862 867 872 876 881 886 890 895 900 904 909 914 918 923 928 932 937 931 942 946 951 956 960 965 970 974 979 984 932 988 993 997*002*007 »011*016*021*025*030 933 934 97 035 039 044 049 053 058 063 067 072 077 935 081 086 090 095 100 104 109 114 118 123 128 132 137 142 146 151 155 160 165 169 936 174 179 183 188 192 197 202 206 211 216 937 220 225 230 234 239 243 248 253 267 262 938 267 271 276 280 285 290 294 299 304 308 S 939 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

32

Fünfziff'rige Mantissen

0 1 2 3 4 5 940 97 3I3»317 322 327 331 336 359 364 368 373 377 382 941 405 410 414 419 424 428 942 451 456 460 465 470 474 943 497 502 506 511 516 520 944 543 548 552 557 562 566 945 589 594 598 603 607 612 946 635 640 641 649 653 658 947 681 685 690 695 699 704 948 727 731 736 740 745 749 949 772 777 782 786 791 795 950 818 823 827 832 836 841 951 864 868 873 877 882 886 952 909 914 918 923 928 932 953 955 959 964 968 973 978 954 955 98 000 005 009 014 019 023 956 046 050 055 059 064 068 957 091 096 100 105 109 114 958 137 141 116 150 155 159 182 18(J 191 195 200 204 959 227 232 236 241 245 250 960 961 • 272 277 281 286 290 295 318 322 327 331 336 340 962 363 367 372 376 381 385 963 408 412 417 4^1 426 430 964 453 457 462 466 471 475 965 498 502 507 511 516 520 966 543 547 552 556 561 565 967 588 592 597 601 605 610 968 632 637 641 646 650 655 969 677 682 686 691 695 700 970 971 722 726 731 735 740 744 972 767 771 776 780 784 789 973 811 816 820 825 829 834 974 856 860 865 869 874 878 0 1 2 3 4 5

6 340 387 433 479 525 571 617 663 708 754 800 845 891 937 982 028 073 118 164 209 254 299 345 390 435 480 525 570 614 659 704 749 793 838 883 6

7 345 $91 437 483 529 575 621 667 713 759 804 850 896 941 987 032 078 123 168 214 259 304 349 394 439 484 529 574 619 664 709 753 798 843 887

8 350 396 442 488 534 580 626 672 717 763 809 855 900 946 991 037 .082 127 173 218 263 308 354 399 444 489 534 579 623 668 713 758 802 847 892 7 8

9 354 400 447 493 539 585 630 676 722 768 813 859 905 950 996 041 0S7 132 177 223 268 313 358 403 448 493 538 583 628 673 717 762 807 851 896 9

D.

s

s

4

der Logarithmen.

33

0 98 900 945 989 99 034 078 123 167

1 905 949 994 038 083 127 171

255 300 344 388 432 47(5 520

260 304 348 392 436 480 524

'2 3 4 5 6 7 8 9 909 9 1 4 9 1 8 9 2 3 9-27 9 3 2 9 3 6 941 9 5 4 9 5 8 ¡1(53 967 972 971! 981 9 8 5 998*003*007 *012»016*021»025*029 0 4 3 0 4 7 0 5 2 0 5 6 061 0 6 5 0 6 9 0 7 4 087 092 0 9 6 100 1 0 5 109 114 118 131 136 140 145 149 154 158 162 176 180 1 8 5 189 193 198 2 0 2 207 2 2 0 2 2 4 2 2 9 2 3 3 2 3 8 2 4 2 2 4 7 251 2 6 4 2 6 9 2 7 3 2 7 7 2 8 2 2 8 6 291 2 9 5 3 0 8 3 1 3 317 3 2 2 326 3 3 0 3 3 5 3 3 9 3 5 2 3 5 7 361 3 6 6 3 7 0 3 7 4 3 7 9 3 8 3 3 9 6 401 4 0 5 4 1 0 4 1 4 4 1 9 4 2 3 427 441 4 4 5 4 4 9 4 5 4 4 5 8 4 6 3 4 6 7 471 4 8 4 4 8 9 4 9 3 4 9 8 5 0 2 5 0 6 511 5 1 5 5 2 8 5 3 3 537 5 4 2 5 4 6 5 5 0 5 5 5 5 5 9

564 607 651 695 739

568 612 656 699 743

572 616 660 704 747

577 621 664 708 752

581 625 669 712 756

585 629 673 717 760

590 634 677 721 765

594 638 682 726 769

599 642 686 730 774

603 647 691 734 778

782 826 870 913 957 0

787 830 874 917 961 I

791 835 878 922 965 2

795 839 883 926 970 3

800 843 887 930 974 4

804 848 891 935 978 5

808 852 896 939 983 6

813 856 900 944 987 7

817 861 904 948 991 8

822 865 909 952 996 9

211 216

B e m e r k u n g . Der M o d u l u s des Briggschen Systems ist: 0,434294481903 . . . Man erhält durch Multiplication mit dieser Zahl alle Briggschen Logarithmen aus den n a t ü r l i c h e n . Die natürlichen Logarithmen beziehen sich auf die Grundzahl: 2,71828182845?... Einige derselben sind auf. der folgenden Seite angegeben.

34 Einige natürliche (hyperbolische) Logarithmen. L. N. . L. N. L. 1 0,000000000000 4,262679877041 173 5,153291594498 2 0,693147180560 4,290459441148 179 5,187385805841 3 1,098612288668 4,369447852467 181 5,198497031266 5 1,609437912434 4,418840607797 191 5,252273428047 7 1,945910149055 4,488636369732 193 5,262690188905 2,397895272798 97 4,574710978503 197 5,283203728738 2,564949357462 101 4,615120516841 199 5,293304824724 2,833213344056 103 4,634728988230 211 5,351858133476 2,944438979166 107 4,672828834462 223 5,407171771460 3,135494215929 109 4,691347882229 227 5,424950017481 3,367295829986 113 4,727387818712 229 5,433722003554 3,433987204485 127 4,844187086459 233 5,451038453566 3,610917912644 131 4.875197323201 239 5,476463551932 3,713572066704 137 4,9199S0925828 241 5,484796933491 3,761200115694' 139 4,934473933131 251 5,525452939132 3,850147601710 149 5,003946305945 257 5,549070084895 3,970291913552 151 5,017279836815 263 5,572154032178 4,077537443906 157 5,056245805348 269 5,594711379602 4,110873864173 163 5,093750200807 271 5,602118820880 4,204692619391 167 5,117993812417 277 5,624017506187 B e m e r k u n g . Durch Addition dieser Logarithmen kann man zusammengesetzten die natürlichen L o g a r i t h m e n v i e l e r Zahlen [s. d. E r l ä u t ] erhalten. Zur Auffindung andrer dienen dje Formeln: a—1 4 /a—1 \3 4 s a — 1 \5

[

a - + T + ¥ f c H V + . « G + ? ) + " 4 / a - ) \ i i i - l "1

2n—4 V a + 4 / 2) Log. nat: x = | ^ L o g . nat: ( x + 4) +

+..

J

Log. nat: ( x —

x>—4 ' 3(2xa — 1 ) 3 _ r 6 ( 2 x s — Die Grundzahl des natürlichen Systems kann bis auf beliebig vieleDecimalstellen gefunden werden nach der Formel: 4 4 4 4 4 6 — ' H J~5 I" 4.2.3 i 1 3 "t" J t> 3 i "I" ' ' I 9 3 r\ ^ 4.2.3.4 4h I 4.2 4.2.3..n

II. Abgekürzte

siebenziffrige L ogarithmentafel, durch welche

alle Rechnungen mittelst einer kleinen Neben rechnung ausgeführt werden können, zu denen die grösseren siebenstelligen Logarithmentafeln erforderlich sind. Seite 36—41.

Multiplicationstafeln, um die natürlichen Logarithmen in gemeine zu verwandeln und umgekehrt. Seite 42.

5097 5077 5061 5049

6119 6095 6075 6060 6048

7117 7093 7074 7059 7047

8114 8091 8072 8057 8045

9 1 1 1 998 9089 9070 9 9 9 9056 9044

+• 3 , 0 1 3 , 0 0 0 4 3 3 , 1 3,10034 3 , 2 3,20027 .3,3 3 3 0 0 2 2 +• ». 1 3,00043 4,00004 4. 5,00000 >i 0

1042 1034 1027 1021 10034 10003

2041 2033 2026 2021 20027 20003

3041 3032 3026 3020 30022 80002

4040 4031 4025 4020 40017 40002

5039 5031 5024 5019 50014 50001

6038 6030 6024 6019 60011 60001

7037 7029 7023 7019 70009 70001

8036 8029 8023 8018 80007 80001

9035 9028 9 0 2 2 100O 9 0 1 8 999 90005 9999 90001

1

2

3

4

5

6

7

8

992 993 995 99ff 997

9

Bemerkung. Für die Anwendung dieser Tafel n\erke man: 4) E s sei A = Log. a , B = L o g . b , C = A — B. Die Zahl C sehe man mit Berücksichtigung ihres Vorzeichens als Index an und suche unter Benutzung der DilTerenztafel, wie bei den Logarithmen, die zugehörige Zahl der Tafel. Diese sei Z. Dann ist: Log (a + b) = B + Z 2 ) Wenn A > B ; so suche man C in der Tafel auf und ermittle mit Hülfe der Differenztafel den dazu gehörigen Index. Dieser sei ± J ; so ist Log ( a — b ) = B ± J , so dass auch hier das jedesmalige Zeichen des J berücksichtigt wird. Näheres nebst Beispielen in den Erläuterungen.

IV. T a f e l der

vierstelligen Quadrate aller Zahlen zwischen

0 , 0 0 0 und 2 , 1 0 0 . Seite 58 bis 63.

T a f e l n zur Verwandlung der Kreisbogen in Theile des Halbmessers und umgekehrt. Seite 64.

58

Vierstellige Quadratzahlen.

0 0,0000 01 04 09 16 25 36 49 64 81 0,0100 21 44 69 96 0,0225 56 89 0,0324 61 0,0400 41 84 0,0529 76 0,0625 76 0,0729 84 0,0841 0,0900 61 0,1024 0,33 89 0,34 0,1156

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32

0

1 2 00 00 01 01 04 05 10 10 17 18 26 27 37 38 50 52 66 67 83 85 02 04 23 25 46 49 72 74 99 *02 28 31 59 62 92 96 28 31 65 69 04 08 45 49 88' 93 34 38 81 86 30 35 81 86 34 40 90 95 47 53 06 12 67 73 30 37 96 *02 63 7 0 1 2

3 00 02 05 II 18 28 40 53 69 86 06 28 51 77 »04 34 66 99 35 72 12 54 97 43 90 40 92 45 *01 58 18 80 43 *09 76 3

4 00 02 06 12 19 29 41 55 71 88 08 30 54 80 *07 37 69 *03 39 76 16 58 *02 48 95 45 97 51 *07 64 24 86

5 00 02 06 12 20 30 42 56 72 90 M 32 56 82 *10 40 72 *06 42 SO

20 62 »06 52 *00 50 *02 56 *12 70 30 92 50 56 *16 *22 83 90 4 5

6 00 03 07 13 21 31 44 58 74 92 12 35 59 85 *13 43 76 *10 46 84 24 67 *ll 57 *05 55 *08 62 »18 76 36 99 63 *29 97 6

7 00 03 07 14 22 32 45 59 76 94 14 37 61 88 *16 46 79 *13 50 88 28 71 *15 62 no 60 »13 67 *24 82 42 *05 69 *36 *04 7

8 Ol 03 08 14 23 34 46 61 77 96 17 39 64 90 *19 50 82 »17 53 92 33 75 »20 66 *15 66 »18 73 *29 88 49 *11 76 *42 *11 8

9 Ol 04 08 15 24 35 48 62 79 98 19 42 66 93 *22 53 86 »20 57 96 37 80 *24 71 *20 71 *24 78 *35 94 55 *18 82 *49

*18 9

D. 0 0 i i i i i 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 S 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7

Vierstellige Quadratzahlen. 0 0 , 3 5

0 , 1 2 2 5

3

4

2 3 2

1

2 2 3 9

2 4 6

2 5 3

2 6 0

2 6 7

2 7 4

5

6

7

59 8

9

2 8 2

2 8 9

0,3(5

2 9 6

3 0 3

3 1 0

3 1 8

3 2 5

3 3 2

3 4 0

3 4 7

3 5 4

3 6 2

0 , 3 7

3 6 9

3 7 6

3 8 4

3 9 1

3 9 9

4 0 6

4 1 4

4 2 1

4 2 9

4 3 6

0 , 3 8

4 4 4

4 5 2

4 5 9

4 6 7

4 7 5

4 8 2

4 9 0

4 9 8

5 0 5

5 1 3

0 , 3 9

5 2 1

5 2 9

5 3 7

5 4 4

5 5 2

5 6 0

5 6 8

5 7 6

5 8 4

5 9 2

0 , 4 0

6 0 0

6 0 8

6 1 6

6 2 4

6 3 2

6 4 0

6 4 8

6 5 6

6 6 5

6 7 3

0 , 4 1

6 8 1

6 8 9

6 9 7

7 0 6

7 1 4

7 2 2

7 3 1

7 3 9

7 4 7

7 5 6

0 , 4 2

7 6 4

7 7 2

7 8 1

7 8 9

7 9 8

8 0 6

8 1 5

8 2 3

8 3 2

8 4 0

0 , 4 3

8 4 9

8 5 8

8 6 6

8 7 5

8 8 4

8 9 2

9 0 1

9 1 0

9 1 8

9 2 7

0 , 4 4

9 3 6

9 4 5

9 5 4

9 6 2

9 7 1

9 8 0

9 8 9

0 , 4 5

0 , 2 0 2 5

0 3 4

0 4 3

0 5 2

0 6 1

0 7 0

0 7 9

0 8 8

0 9 8

1 0 7

0 , 4 8

1 1 6

1 2 5

1 3 4

1 4 4

1 5 3

1 6 2

1 7 2

1 8 1

1 9 0

2 0 0

0 , 4 7

2 0 9

2 1 8

2 2 8

2 3 7

2 4 7

2 5 6

2 6 6

2 7 5

2 8 5

2 9 4

0 , 4 8

3 0 4

3 1 4

3 2 3

3 3 3

3 4 3

3 5 2

3 6 2

3 7 2

3 8 1

3 9 1

0 , 4 9

4 0 1

4 1 1

4 2 1

4 3 0

4 4 0

4 5 0

4 6 0

- 4 7 0

4 8 0

4 9 0

0 , 5 0

5 0 0

5 1 0

5 2 0

5 3 0

5 4 0

5 5 0

5 6 0

5 7 0

5 8 1

5 9 1

0 , 5 L

6 0 1

6 1 1

6 2 1

6 3 2

6 4 2

6 5 2

6 6 3

6 7 3

6 8 3

6 9 4

0 , 5 2

7 0 4

7 1 4

7 2 5

7 3 5

7 4 6

7 5 6

7 6 7

7 7 7

7 8 8

7 9 8

0 , 5 3

8 0 9

8 2 0

8 3 0

8 4 1

8 5 2

8 6 2

8 7 3

8 8 4

8 9 4

9 0 5

0 , 5 4

9 1 6

9 2 7

9 3 8

9 4 8

9 5 9

9 7 0

9 8 1

0 , 5 5

0 , 3 0 2 5

0 3 6

0 4 7

0 5 8

0 6 9

0 8 0

0 9 1

1 0 2

1 1 4

1 2 5

0 , 5 6

1 3 6

1 4 7

1 5 8

1 7 0

1 8 1

1 9 2

2 0 4

2 1 5

2 2 6

2 3 8

9 9 8 * 0 0 7 * 0 1 6

9 9 2 * 0 0 3 * 0 1 4

0 , 5 7

2 4 9

2 6 0

2 7 2

2 8 3

2 9 5

3 0 6

3 1 8

3 2 9

3 4 1

3 5 2

0 , 5 8

3 6 4

3 7 6

3 8 7

3 9 9

4 1 1

4 2 2

4 3 4

4 4 6

4 5 7

4 6 9

0 , 5 9

4 8 1

4 9 3

5 0 5

5 1 6

5 2 8

5 4 0

5 5 2

5 6 4

5 7 6

5 8 8

0 , 6 0

6 0 0

6 1 2

6 2 4

6 3 6

6 4 8

6 6 0

6 7 2

6 8 4

6 9 7

7 0 9

0 , 6 1

7 2 1

7 3 3

7 4 5

7 5 8

7 7 0

7 8 2

7 9 5

8 0 7

8 1 9

8 3 2

0 , 6 2

8 4 4

8 5 6

8 6 9

8 8 1

8 9 4

9 0 6

9 1 9

9 3 1

9 4 4

9 5 6

0 , 6 3

9 6 9

9 8 2

0 , 6 4

0 , 4 0 9 6

1 0 9

1 2 2

1 3 4

1 4 7

1 6 0

1 7 3

1 8 6

1 9 9

0 , 6 5

2 2 5

2 3 8

2 5 1

2 6 4

2 7 7

2 9 0

3 0 3

3 1 6

3 3 0

3 4 3

0 , 6 6

3 5 6

3 6 9

3 8 2

3 9 6

4 0 9

4 2 2

4 3 6

4 4 9

4 6 2

4 7 6

0 , 6 7

4 8 9

5 0 2

5 1 6

5 2 9

5 4 3

5 5 6

5 7 0

5 8 3

5 9 7

6 1 0

0 , 6 8

6 2 4

6 3 8

6 5 1

6 6 5

6 7 9

6 9 2

7 0 6

7 2 0

7 3 3

7 4 7

0 , 6 9

7 6 1

7 7 5

7 8 9

8 0 2

8 1 6

8 3 0

8 4 4

8 5 8

8 7 2

8 8 6

0

1

3

4

5

6

7

8

9

9 9 4 * 0 0 7 * 0 2 0

2

» 0 3 2 * 0 4 5 * 0 5 8 * 0 7 0 * 0 8 3 2 1 2

60 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1.03 1.04

Vierstellige Quadratzahlen. 0 0,4900 0,5041 184 329 476 625 776 929 0,6084 241 400 561 724 889 0,7056 225 396 569 744 921 0,8100 281 464 649 836 0,9025 216 409 604 801 1,0000 201 404 609 816 0

1 2 914 928 055 069 198 213 344 358 491 506 640 655 791 806 944 960 100 115 257 273 416 432 577 593 740 757 906 922 073 090 242 259 413 430 586 604 762 779 939 957 118 136 299 317 482 501 668 686 855 874 044 063 235 254 428 448 624 643 821 841 020 040 221 241 424 445 630 650 837 858 1 2

3 942 084 227 373 520 670 822 975 131 288 448 610 773 939 106 276 448 621 797 974 154 336 519 705 892 082 274 467 663 860 060 262 465 671 878 3

4 956 098 242 388 535 685 837 991 147 304 464 626 790 956 123 293 465 639 815 992 172 354 538 724 911 101 293 487 683 880 080 282 486 692 899 4

5 6 7 8 9 970 984 998*013*027 112 127 141 155 170 256 271 285 300 314 402 417 432 446 461 550 565 580 595 610 700 715 730 746 761 852 868 883 898 914 *006*022*037*053*068 162 178 194 209 225 320 336 352 368 384 480 496 512 529 545 642 659 675 691 708 806 823 839 856 872 972 989*006*022*039 140 157 174 191 208 310 327 344 362 379 482 500 517 534 552 656 674 691 709 726 832 850 868 885 903 »010*028 *046*064*082 190 208 226 245 263 372 391 409 427 446 556 575 593 612 630 742 761 780 798 817 930 949 968 987*006 120 139 15S 178 197 312 332 351 370 390 506 526 545 565 584 702 722 742 761 781 900 920 940 960 980 100 120 140 161 181 302 323 343 363 384 506 527 547 568 588 712 733 754 774 795 920 941 962 983*004 5 6 7 8 9

-,

Vierstellige Quudratzahlen. 0 1,05] 1 , 1 0 2 5 236 1,06 449 1.07 664 1.08 881 1,09

1

2

046 257 470 086 903

067 278 492 707 925

3 088 300 513 729 946

4 109 321 535 751 968

61

6 7 8 5 130 151 172 1 9 4 342 364 385 406 556 578 599 621 772 794 816 837 990*012*034*056

9 215 428 642 859 078 299 522 746 973

D. 21 22

22

1,10 1,11 1,12

1 , 2 1 0 0 1 2 2 1 4 4 166 188 321 343 365 388 410 544 566 589 611 634 769 792 814 837 860 996*019*042 *064*087

254 277 477 499 701 724 928 950 156*179

•202

1,1a 1,16

210 232 432 455 656 679 882 905 '110*133

22 22 22 22 23 ?.3 23

1,3225 456 689 924 1,4161

248 479 712 948 185

271 502 736 971 209

294 317 526 549 759 783 995*019 232 256

340 363 572 590 806 830 '042*066' 280 304

386 410 433 6 1 9 6 4 2 666 853 877 900 '090*113 *J37 328 352 376

23 24 24 24 24

400 641 1,22; 8 8 4 1,231 1 , 5 1 2 9 376 1,24

424 665 908 154 401

448 C89 933 178 426

472 714 957 203 450

496 738 982 228 475

520 544 568 762 787 811 '000*031*055' 252 277 302 500 525 550

625 876 1,6129 384 641

650 901 154 410 667

675 926 180 435 093

700 952 205 461 718

725 750 775 800 977 ' 0 0 2 * 0 2 8 * 0 5 3 231 256 282 307 487 512 538 564 744 770 796 822

1.13 1.14

1.17

1.18 1,19

1,20,

l,2l!

1,25:

1,26 1.27

1.28

1,29 1,30; 900 926 952 978*004 1,31 1,7161 187 2 1 3 2 4 0 2 6 6 1,32; 424 450 477 503 530 689 710 742 769 796 1.33 956 §83*010*036*063 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39

1,8225 496 769 1,9014 321

0

252 523 796 072 349 1

279 550 824 099 377 2

306 578 851 127 404 3

333 005 879 155 432 4

593 617 835 800 080*104 326 351 575 600

24 25 25 25 25 8 2 6 8 5 1 25 0 7 8 * 1 0 1 25 3 3 3 3 5 8 26 5 8 9 6 1 5 25 8 4 8 8 7 4 26

' « 3 0 * 0 5 6 * 0 8 2 " 1 0 9 * 1 3 5 26 2 9 2 3 1 9 3 4 5 3 7 1 3 9 8 '26 5 5 6 5 8 3 6 0 9 0 3 6 6 6 2 27 8 2 2 8 4 9 8 7 6 9 0 2 9 2 9 21 ' 0 9 0 * 1 1 7 * 1 4 4 * 1 7 1 * 1 9 8 21 360 632 906 182 460 5

387 660 934 210 488 6

414 687 961 238 516 7

4 4 2 4 6 9 27 714 742 28 989*010 2« 265 293 5 4 4 5 7 2 28 8 9 28

62 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1,60 1,61 1,62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1,69 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74

Vierstellige Quadratzahlen, 0 1,9600 881 2,0164 449 736 2,1025 316 609 904 2,2201 500 801 2,3104 409 716 2,4025 336 649 964 2,5281 600 921 2,6244 569 896 2,7225 556 889 2,8224 561 900 2,9241 584 929 3,0276 0

1 2 3 4 62S 656 684 712 909 937 966 994 192 221 249 278 478 506 535 564 765 794 822 851 054 083 112 141 345 374 404 433 638 668 697 727 934 963 993*023 231 261 290 320 530 560 590 620 831 861 892 922 134 165 195 226 440 470 501 532 747 778 808 839 056 087 118 149 367 398 430 461 680 712 743 775 996*027*059*091 313 345 370 408 632 664 696 728 953 985*018*050 276 309 341 374 602 634 667 700 929 962 994*027 258 291 324 357 589 622 656 689 922 956 989*023 258 291 325 359 595 629 662 696 934 968*002*036 275 309 344 378 618 653 687 722 964 998*033*068 311 346 380 415 1 2 3 4

5 6 7 8 9 740 768 796 825 853 *022*05I*079*107*136 306 335 363 392 420 592 621 650 678 707 880 909 938 967 996 170 199 228 258 287 462 492 521 550 580 756 786 815 845 874 *052*082*112*14l*171 350 380 410 440 470 650 680 710 741 771 952 983*013*043*074 256 287 317 348 378 562 593 624 654 685 870 901 932 963 994 180 211 242 274 305 492 524 555 586 618 806 838 869 901 932 *122*154*186*217*249 440 472 504 536 568 760 792 824 S57 889 »082*115*147*179*212 406 439 471 504 536 732 765 798 830 863 *060*093*126*159*192 390 423 456 490 523 722 756 789 822 856 *056*090*123*157*190 392 426 460 493 527 730 764 798 832 866 »070*104*158*173*207 412 447 481 515 550 756 791 825 860 894 *102*137*172*206*241 450 485 520 555 590 5 6 7 8 9

Vierstellige Quadratzahlen. 0 1 2 3 4 1.75 3,0625 660 695 730 765 1.76 976*011*046*082*117 1.77 3,1329 364 400 435 471 1.78 684 720 755 791 827 1.79 3,2041 077 113 148 184 1,80 400 436 472 508 544 1,81 761 797 833 870 906 1,82 3,3124 160 197 233 270 489 526 562 599 636 1.83 856 893 930 966*003 1.84 1.85 3,4225 262 299 336 373 596 633 670 708 745 1.86 969*006*044*081*119 1.87 1.88 3,5344 382 419 457 495 721 759 797 834 872 1,89 1.90 3,6100 138 176 214 252 1.91 481 519 557 596 634 1.92 864 902 941 979*018 1.93 3,7249 288 326 365 404 1.94 636 675 714 752 791 1.95 3,8025 064 103 142 181 416 455 494 534 573 1.96 809 848 888 927 967 1.97 1.98 3,9204 244 283 323 363 601 641 681 720 760 1.99 2,00 4,0000 040 080 120 160 401 441 481 522 562 2,01 2,02 804 844 885 925 966 2.03 4,1209 250 290 331 372 2.04 616 657 698 738 779 2.05 4,2025 066 107 148 189 436 477 518 560 601 2.06 849 890 932 973*015 2.07 2.08 4,3264 306 347 389 431 681 723 765 806 848 2,09 0 1 2 3 4

63

5 6 7 8 9 D. 800 835 870 906 941 35 •152*188*223*258*294 35 506 542 577 613 648 36 862 898 934 969*005 30 220 256 292 328 364 36 580 616 652 689 725 36 942 979*015*051*088 36 306 343 379 416 452 37 672 709 746 782 819 37 *040*077*I14*151*188 37 410 447 484 522 559 37 782 820 857 894 932 38 *I56*194*231*269*306 38 532 570 608 645 683 38 910 948 986*024*062 38 290 328 366 405 443 38 672 711 749 787 826 38 *056*095*133*172*210 39 442 481 520 558 597 39 830 869 908 947 986 39 220 259 298 338 377 39 612 652 691 730 770 39 *006*046*085*125*164 40 402 442 482 521 561 40 800 840 880 920 960 40 200 240 280 321 361 40 602 643 683 723 764 40 *006*047*087*128*168 41 412 453 494 534 575 41 820 861 902 943 984 41 230 271 312 354 395 41 642 684 725 766 808 41 *056*098*139*181*222 41 472 514 556 597 639 42 890 932 974*016*058 42 5 6 7 8 9

64

Tafeln zur Verwandlung der Kreisbogen in Theile des Halbmessers und umgekehrt. Der Umfang des Halbkreises ist r * = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 r, wenn r den Radius des Kreises bezeichnet. =

0,3183099, = 9,8696044 l / * = 1,7724539 Log. * = 0,4971499 Setzt man r = 1, so hat man folgende Vielfache: Grade.

Minuten.

0,0174533 0,0349066 0,0523599 0,0698132 0,0872665 0,1047198 0,1221730 0,1396263 0,1570796

0,0002909 0,0005818 0,0008727 0,0011636 0,0014544 0,0017453 0,0020362 0,0023271 0,0026180

Secunden. Halbkreise * 0,0000048 0,0000097 0,0000145 0,0000194 0,0000242 0,0000291 0,0000339 0,0000388 0,0000436

3,1415927 6,2831853 9,4247780 12,5663706 15,7079633 18,8495559 21,9911486 25,1327412 28,2743339

*

0,3183099 0,6366198 0,9549297 1,2732395 1,5915494 1,9098593 2,2281692 2,5464791 2,8647890

Diese Tafeln sind nützlich für die Verwandlung der Bogen In Theile des Halbmessers. Zur Verwandlung der Halbmessertheile in Bogen dienen die folgenden l r = 57°17'44,8" 2 = 1 1 4 3 5 29,6 Zehntel. 5°43' 11 27 17 1 1 22 55 28 3 8 3 4 22 40 6 4 5 50 5 1 33

46,5' 33,0 19,4 5,9 52,4 38,9 25,4 11,8 58,3

3r=171«53'14,4" 4 = 2 2 9 10 59,2

Tausend- Zehntau- Hunderttel. sendtel. tausendtel. 2,1" 2 2 , 6 " 3 ' 2 6 , 3 " 0' 20,6" 6 52,5 0 41,3 45,3 4.1 1,9 7,9 10 18,8 6.2 22,5 30,6 13 45,1 8,3 4.3,1 53,2 17 11,3 10.3 3,8 15,9 20 37,6 12.4 24,4 38,5 2 4 3,9 14.4 45,0 1,2 27 30,1 16.5 30 56,4 5,6 23,8 18.6

Hundertel. 0°34' 1 8 1 43 2 17 2 51 3 26 4 0 4 35 5 9

5r=286"28'44,0" 6 = 3 4 3 46 28,8

V.

Trigonometrische Tafeln, 1) siebenziffrige Werthe der trigonometrischen Functionen für ganze Grade. Seite 66 u. 67. 2) Hülfstafel für Berechnung der Logarithmen zu den trigonometrischen Functionen kleiner Winkel. Seite 67. 3) Fünfstellige Logarithmen der trigonometrischen Functionen von Minute zu Minute. Seite 6& bis 157.

10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21

22 23 24 25 20 27 28 20 30 31 32 33

0,1908090 0,2079117

0,2249511 0,2419219 0,2588190 0,2756374 0,2923717 0,3090170 0,3255682 0,3420201

Colangens CO

57,2899617 28,6362533 19,0811367 14,3006663 11,4300523 9,5143645 8,1443464 7,1153697 6,3137515 5,6712818 5,1445540 4,7046301 4,3314759 4,0107809 3,7320508 3,4874144 3,2708526 3,0776835

Cosinus

Gr.

1,0000000 0,9998477 0,9993908 0,9980295 0,9975041 0,9% 1947 0,9945219 0,9925402 0,9902081 0,9870883

90 89 88 87 80 85 84 83 82

0,9S48078

2,7474774 2,6050891 2,4750869 2,3558524 2,2460368 2,1445069 2,0503038 1,9626105 1,8807265 1,8040478 1,7320508 1,6042795 1,6003345 1,5398050 1,4825610

0,9816272 0,9781476 0,9743701 0,9702957 0,9059258 0,9012617 0,9563048 0,9510505 0,9455186 0,9396926 0,9335804 0,9271839 0,9205049 0,9135455 0,9063078 0,8987940 0,8910065 0,8829476 0,8746197 0,8660254 0,8571673 0,8480481 0,8386706 0,8290376

Tangent

Sinus

2,9042109

81

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71

70 09 •08 07 06 65 64 63 62 61

60 59 58 57 56

Gr.

der ganzen Grade für den Radius 1.

67

Gr.

Sinus

Tangens

Cotangens

Cosinus

Gr.

35 36 37 38 39

0,5735704 0,5877853 0,6018150 0,6156615 0,6293204

0,7002075 0,7205425 0,7535540 0,7812850 0,8097840

1,4281480 1,3763819 1,3270448 1,2799416 1,2318972

0,8191520 0,8090170

0,7771460

55 54 53 52 51

40 41 42 43 44 45

0,6427876 0,6500590 0,0091300 0,6819984 0.6946584 0,7071068

0,8390996 0,8692867 0,9004041 0,9325151 0,9050888 1,0000000

1,1917536 1,1503684 1,1106125 1,0723687 1,0355303 1,0000000

0,7660444 0,7547096 0,7431448 0,7313537 0,7193398 0,7071068

50 49 48 47 46 45

Gr.

Cosinus

Cotangens

Tangens

Sinus

Gr.

Kleine HülFstafel. x See M N Logx 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000

0 0 0 1

1

2 2 3 4 4 6 6 8

]

1 2 3 4 4 6 8 9 11 13 15 17

3,00 . . 3,17.. 3,30.. 3,39.. 3,47 .. 3,54.. 3,60.. 3,65.. 3,69.. 3,74 .. 3,77.. 3,81 . . 3,84 ..

0,7980355 0,7880108

Nützliche Regel. Den L o g a r i t h m u s d e s S i n u s u n d d e r Tangente eines Bogen« oder Winkels, d e r w e n i g e r als 2 G r a d e betrügt, findet man bis auf die fünfte D e c i m a l e genau, w e n n man das Maass d e s B o g e n s o d e r W i n k e l s in S e c u n d e n a u s d r ü c k t , d u r c h x b e z e i c h n e t und dann n a c h folgenden F o r m e l n r e c h n e t : L o g sin x = 4 , 6 8 5 5 7 + L o g x — M L o g lang x = = 4 , 0 8 5 5 7 I.ogx -J-N I . o g x = = Log sin x — 4 , 0 8 5 5 7 + M Logx SS Logtangx — 4,(58557—N.

Die Zahlen M und N sind, in Einheiten d e r fünften D e c i m a l e b e s t i m m t , a u s d e r Hiilfstafel für den a n g e n ä h e r t e n W e r t h von x o d e r Log x zu e n t n e h m e n . Niiheres n e b s t B e i s p i e l e n in den E r l ä u t e r u n g e n .

G 2

68

Fünfstellige Logarithmen 0 Grad.

o~

i

U&lin.l

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 IG 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

DifT.

Tangens

6,46373 30103 6,76476 17609 6,94085 12494 7,06579 »691 7,16270 7918 7,24188 6694 7,30882 5800 7,36682 5115 7,41797 4576 7,46373 413» 7,50512 377» 7,54291 3476 7,57767 321« 7,60985 -997 7,63982 2802 7,66784 2633 7,69417 2483 7,71900 2348 7,74248 2227 7,76475 2119 7,78594 2021 7,80615 1930 7,82545 1848 7,84393 1773 7,86166 1704 7,87870 163» 7,89509 157» 7,91088 1524 7,92612 1472 7,94084 Diir

Sinus CO

Cosinus

C.D.

Cotang.

6,46373 6,76476 (>,94085 7,06579 7,16270 7,24188 7,30882 7,36682 7,41797 7,46373 7,50512 7,54291 7,57767 7,60986 7,63982 7,66785 7,69418 7,71900 7,74248 7,76476 7,78595 7,80615 7,82546 7,84394 7,86167 7,87871 7,89510 7,91089 7,92613 7,94086

30103 1760» 12494 »691 7918 6694 5M0 5115 4576 4139 3779 3476 3219 2996 2803 2633 248'2 2348 2228 2119 2020 1931 1848 1773 1704 1639 1579 1524 1473

13,53627 13,23524 13,05915 12,93421 12,83730 12,75812 12,69118 12,63318 12,58203 12,53627 12,49488 12,45709 12,42233 12,39014 12,36018 12,33215 12,30582 12,28100 12,25752 12,23524 12,21405 12,19385 12,17454 12,15606 12,13833 12,12129 12,10490 12,08911 12,07387 12,05914

Colang.

C.D.

Tangens

—

9,9.3450 9,93442 9,93435 9,93427 9,93420 9,93412 9,93405 9,93397 9,93390 9,93382 9,93375 9,93.367 9,93360 9,93352 9,93344 9,93337 9,93329 9,93322 9,93314 9,93307

tí p¡

59 Grad.

3

Sinus

c S

30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 f

130

Fünfstellige Logarithmen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

s p

Sinus

9,71184 9,71205 9,71226 9,71247 9,71268 9,71289 9,71310 9,71331 9,71352 9,71373 9,71393 9,71414 9,71435 9,71456 9,71477 9,71498 9,71519 9,71539 9,71560 9,71581 9,71602 9,71622 9,71643 9,71664 9,71685 9,71705 9,71726 9,71747 9,71767 9,71788 9,71809 Cosinus

Diff. Tangens 21 21 21 21 21 21 21 21 21 20 21 21 21 21 21 21 20 21 21 21 20 21 21 21 20 21 21 20 21 21

DilT.

9,77877 9,77906 9,77935 9,77963 9,77992 9,78020 9,78049 9,78077 9,78106 9,78135 9,78163 9,78192 9,78220 9,78249 9,78277 9,78306 9,78334 9,78363 9,78391 9,78419 9,78448 9,78476 9,78505 9,78533 9,78562 9,78590 9,78618 9,78647 9,78675 9,78704 9,78732 Cotang.

C.D. 29 29 28 29 28 29 28 29 29 28 29 28 29 28 29 28 29 28 28 29 28 29 28 29 28 28 29 28 29 28

C.D.

Cotang.

10,22123 10,22094 10,22065 10,22037 10,22008 10,21980 10,21951 10,21923 10,21894 10,21865 10,21837 10,21808 10,21780 10,21751 10,21723 10,21694 10,21666 10,21637 10,21609 10,21581 10,21552 10,21524 10,21495 10,21467 10,21438 10,21410 10,21382 10,21353 10,21325 10,21296 10,21268 Tangens

58 Grad.

Diff.

31 Grad. c 3

8 8 7 8 7 8 8 7 8 8 7 8 8 7 8 8 7 8 8 7 8 8 7 8 8 7 8 8 8 7 O R

Cosinus

9,93307 9,93299 9,93291 9,93284 9,93276 9,93269 9,93261 9,93253 9,93246 9,93238 9,93230 9,93223 9,93215 9,93207 9,93200 9,93192 9,93184 9,93177 9,93169 9,93161 9,93154 9,93146 9,93138 9,93131 9,93123 9,93115 9,93108 9,93100 9,93092 9,93084 9,93077 Sinus

c

S 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 S P

der trigonometrischen Functionen.

30 31 32 33 34 35

9,71809 9,71829 9,71850 9,71870 9,71891 9,71911

36 37 38 39 40

9,71932 9,71952 9,71973 9,71994 9,72014

41 42 43 44

9,72034 9,72055 9,72075 9,72096 9,72116

46 47 48 49 50

9,72137 9,72157 9,72177 9,72198 9,72218

51 52 53 54 55

9,72238 9,72259 9,72279 9,72299 9,72320

56 57 58 59 60 g 5'

9,72340 9,72360 9,72381 9,72401 9,72421

HL

Cosinus

Dill. 20 21 20 21 20 21 20 21 21 20 20 21 20 21 20 21 20 20 21 20 20 21 20 20 21 20 20 21 20 20 Di tr.

Grad.

T a n g e n s C.D. 9,78732 9,78760 9,78789 9,78817 9,78845 9,78874 9,781102 9,78930 9,78959 9,78987 9,79015 9,79043 9,79072 9,79100 9,79128 9,79156 9,79185 9,79213 9,79241 9,79269 9,79297 9,79326 9,79354 9,79382 9,79410 9,79438 9,7916t) 9,79495 9,79523 9,79551 9,79579 Cotang.

28 29 28 28 29 28 28 29 28 28 28 29 28 282» 29 28 28 28 28 29 28 28 28 28 28 29 28 28 28 C.D

Cotang. 10,21268 10,21240 10,21211 10,21183 10,21155 10,21126 10,21098 10,21070 10,21041 10,21013 10,20985 10,20957 10,20928 10,20900 10,20872 10,20844 10,20815 10,20787 10,20759 10,20731 10,20703 10,20674 10,20646 10,20618 10,20590 10,20562 10,20534 10,20505 10,20477 10,20449 10,20421 Tangens

Diff.

Mia!

31 Sinus

131

8 8 8 7 8 8 8 8 7 8

Cosinus

a S

9,93077 9,93069 9,93061 9,93053 9,93046 9,93038

30 29 28 27 26 25

9,93030 9,93022 9,93014 9,93007 9,92999

24 23 22 21 20

8 9,92991 8 9,92983 7 9,92976 8 9,92968 8 9,92960 8 9,92952 8 9,92944 8 9,92936 7 9,92929 8 9,92921 8 9,92913 8 9,92905 8 9,92897 8 9,92889 8 9,92881 7 9,92874 8 9,92866 8 9,92858 8 9,92850 8 9,92842 a Si

Sinus

5 8 Grad.

32

19 18 17 16 15 14 13 12 II 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 K 5

Fünfstellige L o g a r i t h m e n

s

Sinns

0 1 2 3 4 5

9,72421 9,72441 9,72401 9,72482 9,72502 9,72522

6 7 8 9 10

9,72542 9,72502 9,72582 9,72002 9,72622

IL

9,72643 9,72003 9,72683 9,72703 9,72723

20

9,72743 9,72763 9,72783 9,72803 9,72823

20

12 13 14 15 10

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

9,72843 9,72863 9,72883 9,72902 9,72922 9,72942 9,72962 9,72982 9,73002 9,73022

[Min.

Co9inus

Difî. 20 2021 20 20 20 20 20 20 20

21 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 19 20 20 20 20 20 20 DÌ

ir.

Tangens 9,79579 9,79007 9,79035 9,79003 9,79091 9,79719 9,79747 9,79770 9,79804 9,79832 9,79800

9,798S8 9,79916 9,79944 9,79972 9,80000 9,80028 9,80050 9,80084 9,80112 9,80140 9,80108 9,80195 9,80223 9,80251 9,80279 9,80307 9,80335 9,80303 9,80391 9,80419 Cotang.

«rad. C.D 28 28 28 28 28 28 29 28 28 28 28 28 28 28 "28 28 28 28 28 28 28 27 28 28 28 28 28 28 28 28 C.D.

Cotang. 10,20421 10,20393 10,20305 10,20337 10,20309 10,20281 10,20253 10,20224 10,20190 10,20108 10,20140 10,20112 10,20084 10,20050 10,20028 10,20000 10,19972 10,19944 10,19910 10,19888 10,19800 10,19832 10,19805 10,19777 10,19749 10,19721 10,19693 10,19605 10,19637 10,19609 10,19581 Tangens

57 Grad.

8 8 8 8 7 8 8 8 8

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

o pi

Cosinus

Min.

32 •S

piff.

132

9,92842 9,92834 9,92826 9,92818 9,92810 9,92803 9,92795 9,92787 9,92779 9,92771 9,92763

60 59 58 .57 56 55 54 53 52 51 50

9,92755 9,92747 9,92739 9,92731 9,92723

49 48 47 40 45

9,92715 9,92707 9,92699 9,92691 9,92683

44 43 42 41 40

9,92675 9,92607 9,92659 9,92051 9,92043

39 38 37 30 35

9,92635 9,92627 9,92619 9,92611 9,92603

34 33 32 31 30

Sinus

1

der trigonometrischen Functionen.

133

Min.

32 Grad. Sinus

30

9,73022

31

9,73041

32

9,73061

33

9,73081

34

9,73101

35

9,73121

36

9,73140

37

9,73160

38

9,73180

3!)

9,73200

40

9,73219

41

9,73239

42

9,73259

43

9,73278

44

9,73298

45

9,73318

40

9,73337

47

9,73357

48

9,73377

49

9,73396

50

9,73416

51

9,73435

52

9,73455

53

9,73474

54

9,73494

55

9,73513

56

9,73533

57

9,73552

58

9,73574

59

9,73591

60

9,73611

s 3

Cosinu9

Diir. 19 •2» 20 20 20 19 20 20 20 19 20 20 19 20 20 19 20 20 19 20 19 20 19 20 19 20 19 20 19 20 Diff.

Tangens 9,80419 9,80447 9,80474 9,80502 9,80530 9,80558 9,80586 9,80614 9,80642 9,80669 9,80697 9,80725 9,80753 9,80781 9,80808 9,80836 9,80864 9,80892 9,80919 9,80947 9,80975 9,81003 9,81030 9,81058 9,81086 9,81113 9,81141 9,81169 9,81196 9,81224 9,81252 Colang.

C.D. 28. 27 28 28 28 28 28 28 27 28 28 28 28 27 28 28 28 27 28 28 28 27 28 28 27 28 28 27 28 28 C.D

Cotang. 10,19581 10,19553 10,19526 10,19498 10,19470 10,19442 10,19414 10,19386 10,19358 10,19331 10,19303 10,19275 10,19247 10,19219 10,19192 10,19164

5 8 8 8 8 8 8 9 8 8 8 8 8 8 8 8 9

Cosinus

p ä

9,92603

30

9,92595

29

9,92587

28

9,92579

27

9,92571

26

9,92563

25

9,92555

24

9,92546

23

9,92538

22

9,92530

21

9,92522

20

9,92514

19

9,92506

18

9,92498

17

9,92490

16

9,92482

15

10,19136

8

992473

14

10,19108

8

9,92465

13

10,19081

8

9,92457

12

10,19053

8

9,92449

11

9,92441

10

10,19025

8

10,18997

8

9,92433

9

10,18970

9

9,92125

8

10,18942

8

9,92416

7

10,18914

8

9,92408

6

ß ^ 4 0 0

5

10,18887

8

4

10,18859

S

9,92392

10,18831

8

9,92384

3

10,18804

9

9,92376

2

10,18770

8

9,92367

1

9,92359

0

10,18748 Tangens

57 Grad.

~

j

Sinus

K 5'

134

Fünfstellige Logarithmen Sinus

0 9,73611 1 9,73630 2 9,73650 3 9,73669 4 9,73689 5 9,73708 6 9,73727 7 9,73747 8 Î),73766 9 9,73785 10 9,73805 11 9,73824 12 9,73843 13 9,73863 14 9,73882 15 9,73901 16 9,73921 17 9,73940 18 9,73959 19 9,73978 20 9,73997 21 9,74017 22 9,74036 23 9,74055 24 9,74074 25 9,74093 26 9,74113 27 9,74132 28 9,74151 29 9,74170 30 9,74189 a Cosinus 5'

Dill. 19 20 19 20 19 19 20 19 19 20 19 19 20 19 19 20 19 19 19 19 20 19 19 19 19 20 19 19 19 19 Diff.

T a n g e n s C.D.

9,81252 9,81279 9,81307 9,81335 9,81362 9,81390 9,81418 9,81445 9,81473 9,81500 9,81528 9,81556 9,81583 9,81611 9,81638 9,81666 9,81693 9,81721 9,81748 9,81776 9,81803 9,81831 9,81858 9,81886 9,81913 9,81941 9,81968 9,81996 9,82023 9,82051 9,82078 Cotang.

27 28 28 27 28 28 27 28 27 28 28 27 28 27 28 27 28 27 28 27 28 27 28 27 28 27 28 27 28 27

Cotang.

10,18748 10,18721 10,18693 10,18665 10,18638 10,18610 10,18582 10,18555 10,18527 10,18500 10,18472 10,18444 10,18417 10,18389 10,18362 10,18334 10,18307 10,18279 10,18252 10,18224 10,18197 10,18169 10,18142 10,18114 10,18087 10,18059 10,18032 10,18004 10,17977 10,17949 10,17922

C.D. T a n g e n s J

56 Grad.

Diff.

33 Grad. c H

Cosinus

9,92359 9,92351 9,92343 9,92335 8 9,92326 9,92318 8 8 9,92310 9 9,92302 9,92293 8 9,92285 8 9,92277 8 9 9,92269 8 9,92260 8 9,92252 9,92244 9 9,92235 8 8 9,92227 8 9,92219 9 9,92211 8 9,92202 8 9,92194 9 9,92186 8 9,92177 8 9,92169 9 9,92161 8 9,92152 8 9,92144 9 9,92136 8 9,92127 8 9,92119 9,92111 8 8 8 9

b 3

Sinus

1 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 k 5'

der trigonometrischen Functionen.

135

33 Grad. c S

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 sp

Sinus

9,74189 9,74208 9,74227 9,74246 9,74265 9,74284 9,74303 9,74322 9,74341 9,74360 9,74379 9,74398 9,74417 9,74436 9,74455 9,74474 9,74493 9,74512 9,74531 9,74549 9,74568 9,74587 9,74606 9,74625 9,74644 9,74662 9,74681 9,74700 9,74719 9,74737 9,74756 Cosinus

Diff. 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 18 19 19 19 19 19 18 19 19 19 18 19 DifT.

T a n g e n s C.D.

9,82078 9,82106 9,82133 9,82161 9,82188 9,82215 9,82243 9,82270 9,82298 9,82325 9,82352 9,82380 9,82407 9,82435 9,82462 9,82489 9,82517 9,82544 9,82571 9,82599 9,82626 9,82653 9,82681 9,82708 9,82735 9,82762 9,82790 9,82817 9,82844 9,82871 9,82899 Colang.

28 27 28 27 27 28 27 28 27 27 28 27 28 27 27 28 27 27 28 27 27 28 27 27 27 28 27 27 27 28 CD

Cotang.

10,17922 10,17894 10,17867 10,17839 10,17812 10,17785 10,17757 10,17730 10,17702 10,17675 10,17648 10,17620 10,17593 10,17565 10,17538 10,17511 10,17483 10,17456 10,17429 10,17401 10,17374 10,17347 10,17319 10,17292 10,17265 10,17238 10,17210 10,17183 10,17156 10,17129 10,17101 Tangens

56 Grad.

1^ 15 9 8 8 9 8 9 8 8 9 8 9 8 8 9 8 9 8 9 8 9 8 9 8 9 8 9 8 9 8 9 o 5i

Cosinus

9,92111 9,92102 9,92094 9,92086 9,92077 9,92069 9,92060 9,92052 9,92044 9,92035 9,92027 9,92018 9,92010 9,92002 9,91993 9,91985 9,91976 9,91968 9,91959 9,91951 9,91942 9,91934 9,91925 9,91917 9,91908 9,91900 9,91891 9,91883 9,91874 9,91866 9,91857 Sinus

d H

30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 II 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 s a

136

Fünfstellige Logarithmen 34 G r a d .

s s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 S s

Sinus

9,74756 9,74775 9,74794 9,74812 9,74831 9,74850 9,74868 9,74887 9,74906 9,74924 9,74943 9,74961 9,74980 9,74999 9,75017 9,75036 9,75054 9,75073 9,75091 9,75110 9,75128 9,75147 9,75165 9,75184 9,75202 9,75221 9,75239 9,75258 9,75276 9,75294 9,75313 Cosinus

DifT. 19 19 18 19 19 18 19 19 18 19 18 19 19 18 19 18 19 18 19 18 19 18 19 18 19 18 19 18 18 19 Diff.

Tangens

9,82899 9,82926 9,82953 9,82980 9,83008 9,83035 9,83062 9,83089 9,83117 9,83144 9,83171 9,83198 9,83225 9,83252 9,83280 9,83307 9,83334 9,83361 9,83388 9,83415 9,83442 9,83470 9,83497 9,83524 9,83551 9,83578 9,83605 9,83632 9,83659 9,83686 9,83713 Cotang.

C.D. 27 27 27 28 27 27 27 28 27 27 27 27 27 28 27 27 27 27 27 27 28 27 27 27 27 27 27 27 27 27 C.D.

Cotang.

10,17101 10,17074 10,17047 10,17020 10,16992 10,16965 10,16938 10,16911 10,16883 10,16856 10,16829 10,16802 10,16775 10,16748 10,16720 10,16693 10,16666 10,16639 10,16612 10,16585 10,16558 10,16530 10,16503 10,16476 10,16449 L0,16422 10,16395 10,16368 10,16341 10,16314 10,16287 Tangens

55 G r a d .

|| | 8 9 8 9 8 9 8 9 8 9 9 8 9 8 9 9 8 9

8 9

9 8 9 9

8 9 9 8 9 9

Ii

Cosinus

9,91857 9,91849 9,91840 9,91832 9,91823 9,91815 9,91806 9,91798 9,91789 9,91781 9,91772 9,91763 9,91755 9,91746 9,91738 9,91729 9,91720 9,91712 9,91703 9,91695 9,91686 9,91677 9,91669 9,91660 9,91651 9,91643 9,91634 9,91625 9,91617 9,91608 9,91599 Sinus

c â 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 £

3'

der trigonometrischen Functionen.

137

34 Grad. •

£ 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 s 5'

Sinus

DifT.

9,75313 1 18 9,75331 19 9,75350 ; i8 9,75368 ! 18 9,75386 19 9,754115 18 9,75423 18 9,75441 18 9,75459 19 9,75478 18 9,75196 . 18 9 , 7 5 5 1 4 19 9,75533 18 9,75551 18 9,75569 18 9,75587 18 9,75605 19 9,75624 18 9,75642 18 9 , 7 5 6 6 0 18 9 , 7 5 6 7 8 18 9,75696 18 9 , 7 5 7 1 4 19 9,75733 18 9,75751 18 9,75769 18 9,75787 18 9,75805 18 9 , 7 5 8 2 3 18 9,75841 18 9,75859 Cosinus

DUT.

T a n g e n s C.D. 9,83713 9,83740 9,83768 9,83795 9,83822 9,83849 9,83876 9,83903 9,83930 9,83957 9,83984 9,84011 9,84038 9,84065 9,84092 9,84119 9,84146 9,84173 9,84200 9,84227 9,84254 9,84280 9,84307 9,84334 9,84361 9,84388 9,84415 9,84442 9,84469 9,84496 9,84523 Cotang.

;

27 28 27 21 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 C.D.

Cotang. 10,16287 10,16260 10,16232 10,1(5205 10,16178 10,16151 10,16124 10,16097 10,16070 10,16043 10,16016 10,15989 10,15962 10,15935 10,15908 10,15881 10,15854 10,15827 10,15800 10,15773 10,15746 10,15720 10,15693 10,15666 10,15639 10,15612 10,15585 10,15558 10,15531 10,15504 10,15477 Tangens

55 Grad.

y s 8 9 9 8 9 9 9 8 9 9 8 9 9 9 8 9 9 9 9 8 9 9 9 9 8 9 9 9 9 9 o Si

a

Cosinus

S

9,01599 9,91591 9,91582 9,91573 9,91565 9,91556

30 39 28 27 26 25

9,91547 9,91538 9,91530 9,91521 9,91512

24 23 22 21 20

9,91504 9,91495 9,91486 9,91477 9,91469

19 18 17 16 15

9,91460 9,91451 9,91442 9,91433 9,91425

14 13 12 11 10

9,91416 9,91407 9,91398 9,91389 9,91381

9 8 7 6 5

9,91372 9,91363 9,91354 9,91345 9,91336

4 3 2 1 0

Sinus

S 5

138

Fünfstellige Logarithmen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

9,75059 9,75877 9,75895 9,75913 9,75931 9,75949 9,75967 9,75985 9,76003 9,76021 9,76039 9,76057 9,76075 9,76093 9,76111 9,76129 9,76146 9,76164 9,76182 9,76200 9,76218 9,76236 9,76253 9,76271 9,76289 9,76307 9,76324 9.76342 9,76360 9,76378 9,76395

Min.

Cosinus

i

DifT. T a n g e n s C.D

Cotang.

9,84523 9,84550 9,84576 9,84603 9,84630 9,84657 9,84684 9,84711 9,84738 9,84764 9,84791 9,84818 9,84845 9,84872 9,84899 9,84925 9,84952 9,84979 9,85006 9,85033 9,85059 9,85086 9,85113 9,85140 9,85166 9,85193 9,85220 9,85247 9,85273 9,85300 9,85327

10,15477 10,15450 10,15424 10,15397 10,15370 10,15343 10,15316 10,15289 10,15262 10,15236 10,15209 10,15182 J0,15155 10,15128 10,15101 10,15075 10,15048 10,15021 10,14994 10,14967 10,14941 10,14914 10,14887 10,14860 10,14834 10,14807 10,14780 10,14753 10,14727 10,14700 10,14673

18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 17 18 18 18 18 18 17 18 18 18 17 18 18 18 17 DifT.

Cotang.

27 26 27 27 27 27 27 27 26 27 27 27 27 27 26 27 27 27 27 26 27 27 27 26 27 27 27 26 27 27

C.D. T a n g e n s

54 GräHT

Cosinus

Min.

Sinus

Diff.

35 Grad. d

8 9 9 9 9 9 9 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 9 9 9 9 9 9 9 9

9,91336 9,91328 9,91319 9,91310 9,91301 9,91292 9,91283 9,91274 9,91266 9,91257 9,91248 9,91239 9,91230 9,91221 9,91212 9,91203 9,91194 9,91185 9,91176 9,91167 9,91158 9,91149 9,91141 9,91132 9,91123 9,91114 9,91105 9,91096 9,91087 9,91078 9,91069

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 s 5'

o ä>

Sinus

der trigonometrischen Functionen.

a

a

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 .51 52 53 54 •>Ä 56 57 5,S 59 60 S s"

35 Grad. Sinus

9,76395 9,76413 9,76431 9,76448 9,76466 9,76484 9,76501 9,76519 9,76537 9,76554 9,76572 9,76590 9,76607 9,76625 9,76642 9,76660 9,76677 9,76695 9,76712 9,76730 9,76747 9,76765 9,76782 9,76800 9,76817 9,76835 9,76852 9,76870 9,76887 9,76904 9,76922 Cosinus

niir. | T a n g e n s

C.D.

Cotang.

9,85327 9,85354 9,85380 9,85407 9,85434 9,85460 9,85487 9,85514 9,85540 9,85567 9,85594 9,85620 9,85647 9,85674 9,85700 9,85727 9,85754 9,85780 9,85807 9,85834 9,85860 9,85887 9,85913 9,85940 9,85967 9,85993 9,86020 9,86046 9,86073 9,86100 9,86126

27 26 27 27 26 27 27 26 27 27 26 27 27 26 27 27 26 27 27 26 27" 26 27 27 26 27 26 27 27 26

10,14673 10,14646 10,14620 10,14593 10,14566 10,14540 10,14513 10,14486 10,14460 10,14433 10,14406 10,14380 10,14353 10,14326 10,14300 10,14273 10,14246 10,14220 10,14193 10,14166 10,14140 10,14113 10,14087 10,14060 10,14033 10,14007 10,13980 10,13954 10,13927 10,13900 10,13874

DifT. Il C o t a n g .

C.D

Tangens

18 18 17 18 18 17 18 18 17 18 18 17 18 17 18 17 18 17 18 17 18 17 18 17 18 17 18 17 17 18

54 Grad.

te

S

9 9 9 9 10 9 9 9 ' 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 10 9 9 9 9 9 9 10 9* 9 9 9

O âi

139

Cosinus

s

S

9,91069 9,91060 9,91051 9,91042 9,91033 9,91023 9,91014 9,91005 9,90996 9,90987 9,90978 9,90969 9,90960 9,90951 9,90942 9,90933 9,90924 9,90915 9,90906 9,90896 9,90887 9,90878 9,90869 9,90860 9,90851 9,90842 9,90832 9,90823 9,90814 9,90805 9,90796

30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 _5 4 3 2 1 0

Sinus

f

140

Fünfstellige Logarithmen 36 Grad.

a

s

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

£5'

Sinus

9,76922 9,76939 9,76957 9,76974 9,76991 9,77009 9,77026 9,77043 9,77061 9,77078 9,77095 9,77112 9,77130 9,77147 9,77164 9,77181 9,77199 9,77216 9,77233 9,77250 9,77268 9,77285 9,77302 9,77319 9,77336 9,77353 9,77370 9,77387 9,77405 9,77422 9,77439 Cosinus

Diir. T a n g e n s 17 17 17 18 17 IS

17 18 17 17 17 18 17 17 18 17 .17 17 17 17 17 17 18 17 17

Diir.

C.D.

Cotang.

9,86126 9,86153 9,86179 9,86206 9,86232 9,86259 9,86285 9,86312 9,86338 9,86365 9,86392 9,86418 9,86445 9,86471 9,86498 9,86524 9,86551 9,86577 9,86603 9,86630 9,86656 9,86683 9,86709 9,86736 9,86762 9,86789 9,86815 9,86842 9,86868 9,86894 9,86921

27 26 27 26 27 26 27 26 27 27 26 27 26 27' 26 27 26 26 27 26 27 26 27 26 27 26 27 26 26 27

10,13874 10,13847 10,13821 10,13794 10,13768 10,13741 10,13715 10,13688 10,13662 10,13635 10,13608 10,13582 10,13555 10,13529 10,13502 10,13476 10,13449 10,13423 10,13397 10,13370 10,13344 10,13317 10,13291 10,13264 10,13238 10,13211 10,13185 10,13^58 10,13132 10,13106 10,13079

Cotang.

C.D.

Tangens

53 Grad.

iS

H 9 10 9 9 9 9 10 9 9 9 10 9 9 9 10 9 9 9 10 9 9 10 9 9 9 10 9 9 10 9 ö

S

Cosinus

9,90796 9,90787 9,90777 9,90768 9,90759 9,90750 9,90741 9,90731 9,90722 9,90713 9,90704 9,90694 9,90685 9,90676 9,90667 9,90657 9,90648 9,90639 9,90630 9,90620 9,90611 9,90602 9,90592 9,90583 9,90574 9,90565 9,90555 9,90546 9,90537 9,90527 9,90518 Sinus

a S

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30

s P

der trigonometrischen Functionen.

141

S 30 31 32 33 34 35 36 37 .38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 'S S

Sinus

Diff. T a n g e n s - C.D.

Cotang.

9,86921 9,86947 9,86974 9,87000 9,87027 9,87053 9,87079 9,87106 9,87132 9,87158 9,87185 9,87211 0,87238 9,87264 9,87290 9,87317 9,87343 9,87369 9,87396 9,87422 9,87448 9,87475 9,87501 9,87527 9,87554 9,87580 9,87606 9,87633 9,87659 9,87685 9,87711

10,13079 10,13053 10,13026 10,13000 10,12973 10,12947 10,12921 10,12894 10,12868 10,12842 10,12815 10,12789 10,12762 10,12736 10,12710 10,12683 10,12657 10,12631 10,12604 10,12578 10,12552 10,12525 10,12499 10,12473 10,12446 10,12420 10,12394 10,12367 10,12341 10,12315 10,12289

9,77439 9,77456 9,77473 9,77490 9,77507 9,77524 9,77541 9,77558 9,77575 9,77592 9,77609 9,77626 9,77643 9,77660 9,77677 9,77694 9,77711 9,77728 9,77744 9,77761 9,77778 9,77795 9,77812 9,77829 9,77846 9,77862 9,77879 9,77896 9,77913 9,77930 9,77946

17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 16 17 17 17 17 17 17 16 17 17 17 17 16

Cosinus

Diff.

26 27 26 27 26 26 27 26 26 27 26 27 26 26 27 26 26 27 26 26 27 26 26 27 -26 26 27 26 26 26

Cotang. C.D.

Tangens

53 Grad.

Diff.

36 Grad. a

9 10 9 10 9 9 10 9 9 10 9 10 9 10 9 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 « 10 9 10 9 ) / i T Die b e k a n n t e r e n Auflösungsformeln s i n d : 8

1) f ü r a x * + 2 b x + c = o . . . x = — 2) f ü r x

8

±

j / l

+ 3 a x + 2 b — o (Cardanische Regel.)

—52.J

Kurze Erläuterungen zu den vorstehenden Tafeln. * l. Ein logarithmisches System enthalt bekanntlich alle Potenzen einer und derselben von der Einheit verschiedenen p o s i t i v e n G r u n d z a h l , dergestalt geordnet, dass zu jedem Potenzwerthe der Exponent und zu jedem Exponenten der Potenzwerth bestimmt werden kann. Der Potenzwerlh heisst in diesem Falle die Z a b I (Numerus) und der zugehörige Exponent heisst der L o g a r i t h m u s dieser Zahl in diesem Systeme. Ist z. B. die Grundzahl a und x = a z ; so Ist z = Logx und x = Num. Log ,z in diesem Systeme. Unter der Bezeichnung Log x (oder 1. x oder L x), welche gelesen wird: L o g a r i t h m u s x (eigentlich Logarithmus von x oder zu x) versteht man also den Exponenten, den die Grundzahl a erhallen muss, um den Polenzwerth x hervorzubringen. Unter Num. Log ,z, was zu lesen ist: Numerus logarithmi z, versteht man die Zahl, welche zu einem Logarithmus gehört, der die Grösse z hat. $ 2. Aus den hier als bekannt vorausgesetzten Eigenschaften der Polenzen einer und derselben Grundzahl ergeben sich unmittelbar folgende Sätze. a. Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. Log z Log j Log & Es ist: z = a y=a x= a I.ogi+Logy I.og j + logy+Log'X folglich zy = a zyx = a Daher Log zy = Log z + Log y, Log zyx = Log z + Log y-|-Log x. b. Der Logarithmus eines Quotienten (Bruchs) ist die Differenz der Logarithmen des DIvidendus (Zählers) und Di-

166

Kurze Erläuterungen

visors (Nenners), ersterer als Minuendus, letzterer als Subtrahendus angenommen. Log z

Logy

Es ist: z = a

Log x— Log j

y= a

—= a T

z

folglich auch: Log. — = Log z — Log y. c. Der Logarithmus einer Potenz Ist das Product des Logarithmus der Wurzelgrösse mit dem Potenz-Exponenten. Log z

Es Ist Z B a

,

o

u Lop L

also z = a

folglich Log z" = n Log z d. Der Logarithmus einer Wurzel Ist der Quotient des Logarithmus der gegebenen Zahl, dividirt durch den Wurzel - Exponenten. Log«

Es ist z = a n folgUch Log V z

n

log

\

V z= a n =

"

§3.

Dasjenige System, dessen Grundzahl + 10 ist, wird nach dem ersten Berechner desselben, Henry Briggs, der im Jahre 4 630 als Professor in Oxford starb, das B r i g g ' s c h e S y s t e m genannt. Es ist für den gewöhnlichen Gebrauch das bequemste. Die Logarithmen desselben heissen auch g e m e i n e (gewöhnliche) Logarithmen (L. commune» oder vulgares). Man sieht leicht ein, dass in dem Brigg'schen Systeme 0 sssLog 4, 4 = L o g 4 0 , 2 = L o g < i + i +TV> f > i i + i + * > f > i T,T + T I + T J > t t ^ i etc. Die ganze Reihe ist also grösser als 4— — | 4— — | —— f — — | ^ ——|— etc. oder grösser als etc + T + T+ - o d e r grösser als 4 —4 4— — | 4 — — j - —-4 — e t c . d. h. unendlich gross. Daher ist in jedem System Log 0 = — oo Die Betrachtung der Reihe bestätigt also was aus der Dlvlsionsregel (§, 8 b) folgt. l Es ist L o g — — Log 4 — Log a = 0 — Log a Wird a = o o ; so ist auch Log a = oo also Log i - s = Log 0 = — oo. §. 17. In den Fällen, w o die Rechnung mit den kleinen Logarithmentafeln das Resultat nicht genau genug giebt; bedient man sich der oben S. 4 65 § . 6 beschriebenen grösseren Tafeln. Aus diesen ist hier S. 36 bis 44 der Anfang mitgetheilt und die Zusammenstellung so eingerichtet, dass mittelst derselben und einer leicht auszuführenden Nebenrechnung die Benutzung der grösseren Tafeln vollständig ersetzt wird. Die hier gegebenen Tafeln enthalten, jedesmal Uber zwei gegenüberstehende Seiten sich erstreckend,, drei verschiedene Abiheilungen. I n ' d e r ersten mit A (iberschriebenen finden sich die siebenziffrigen Mantissen für die Logarithmen aller zweizilfrigen Zahlen von 4 4 bis 9 9 , in denen die zweite Ziffer entweder 0 ist oder nicht kleiner als die erste. Darunter sind qjso auch (nach g. K) die der einziffrigen, nämlich bei 30, 30, 40 etc. In der zweiten mit B bezeichneten Abtheilung befinden sich die siebenziffrigen Uantissen aller fiinfziffrigen Zahlen von 40000 bis 4 4049, auf die Art geordnet, dass die ersten 4 Ziffern' dieser Zahlen den Zeilenindex bilden, die letzte den Columnenindex. So ist z . B . S. 37 für die Zahl 4 0338 die Mantisse 0440462. Die Einrichtung dieses Tbeils der

184

Kurze Erläuterungen

Tafel stimmt im Wesentlichen mit der vorangehenden, g. 6 erklärten Tafel Uberein. In der letzten Abtheilung C sind die zu den in B aufgeführten Mantissen gehörigen Differenzen mit ihren einzelnen Zehntheilen angegeben, aus denen man auch die Hunderttheile durch Abschneiden der letzten Ziffer und die Tausendtheile durch Abschneiden der beiden letzten Ziffern findet. So ist z. B. S. 39 die Differenz Log 4 0 5 2 6 — L o g < 0 5 2 5 = 4 1 3 Diese Zahl bezieht sich auf Einheiten der letzten (siebenten) Bruchstelle. Sie ist am Rande aufgerührt und aus den darunter stehenden kleineren Zahlen ersieht man, dass 44 ein Zehntel, 83 zwei Zehntel, 2 8 9 sieben Zehntel dieser Differenz betragen. Auch erkennt man leicht, dass 2 5 sechs Hundertel UDd 4 neun Tausendtel dieser Differenz sind, so wie 4 drei Tausendtel.

18. Das Verfahren, zu einer fünfziffrigen Zahl, die sich als Index vollständig in diesen Tafeln vorfindet, den Logarithmus zu s u c h e n , bedarf keiner Erklärung, da es genau mit dem S. 4 68 g. 7 Erörterten übereinstimmt. So ist: Log 40,874 e s 4 , 0 3 6 2 6 9 5 , Log 4404,7 = 3 , 0 4 2 0 6 3 3 .

§. 19. Soll zu ei'ner sechs- bis achtziffrigen Zahl, deren erste 6 Ziffern als Index in der Tafel enthalten sind, der Logarithmus gefunden werden; so sucht man zuerst den für die ersten fünf Ziffern gehörigen und fügt zu diesem so viel Zehntel der zugehörigen Differenz als die sechste Ziffer der Zahl Einheiten hat, so viel Hundertel als in der siebenten und so viel Tausendtel, als in der achten Einheiten enthalten sind. Soll z. B. Log 4 0 6 4 7 , 5 8 9 gefunden werden; so ist nach der Tafel unmittelbar Log 4 0 6 4 7 = 4 , 0 2 7 2 2 7 3 der Differenz 4 0 7 . betragen „ 204 T§ö » » tf » Tö ö ff " n " » Demnach ist Log 4 0 6 4 7 , 6 8 9

»

"

32,6 °t' =¡4,0272543

zu den vorstehenden Tafeln.

185

Die abgeschnittenen Decimalstellen der Bruchtheile (hier 6 und 7 ) dienen nur zur Berichtigung der vorhergehenden Columnen-Summe, indem, da 6 -J- 7 = 43 ist, dieser eine Einheit zugelegt werden muss.

i

20.

Soll zu einer fünf- bis achtzilTrigen Zahl, deren erste vier Ziffern nicht als Index in diesen Tafeln stehen, der Logarithmus gefunden w e r d e n ; so dividire man dieselbe, wenn die erste Ziller grösseren Werth als die zweite hat, mit der e r s t e n , in allen andern Fällen mit den ersten beiden. Dadurch zerlegt man sie in zwei Factoren, deren Logarithmen in diesen Tafeln enthalten sind. Man hat also nur nach der oben gegebenen Regel den Logarithmus des durch diese Division erhaltenen Quotienten aufzusuchen und dazu den Logarithmus des Divisors, der aus der Abtheilung A jeder Seite entnommen wird, zu addiren, um (nach §. 8 a S. 169) in der Summe den Logarithmus der gegebenen Zahl zu finden. Es sei z. B. Log 7 2 5 6 9 3 1 8 zu suchen. Die Division dieser Zahl mit der ersten ZifTer 7 zerlegt sie in die beiden Factoren 7 . 4 0 3 6 7 0 4 5 . Aus den Tafeln B und C findet man Log 4 0 3 6 7 0 4 5 = s 7 , 0 1 5 6 5 5 0 und aus A (bei 70) . . . . Log 7 = 0,8450980 Also ist Log 7 2 5 6 9 3 1 8 =7,8607530 Als Beispiel möge noch die Auffindung der Logarithmen für 0,553-274 79 und 4 3 , 6 2 9 4 5 5 dienen. 55327479 = 55.40059487 43629455=43.40484496 Log 4 0 0 5 9 4 8 7 = 0025759 Log 4 0 4 8 4 4 9 6 = 0 2 0 5 3 5 0 Log 55 7403627 Log 4 3 = 4 4 39434 Log 0,653274 7 9 = 0 , 7 4 2 9 3 8 6 — 4

Log 4 3 , 6 2 9 4 5 5 = 4 , 4 3 4 4 7 8 4

§. 21. Soll zu einer siebenzilTrigen Mantisse, die In den Tafeln selbst sich befindet, die Zahl gefunden w e r d e n ; so hat dies keine Schwierigkeit; sie wird aus dem Zeilenindex und Columnenindex zusammengesetzt. So ist: Num Log, 0 , 0 3 0 0 7 3 2 — 2 = 0 , 0 1 0 7 4 7 .

186

Kurze Erläuterungen §. 22.

Soll zu einer siebenziflrigen Mantisse, die zwischen zwei in der Tafel enthaltenen liegt, die Zahl gesucht w e r d e n ; so suche man die nächst niedrige in den Tafeln auf. Aus dieser bestimme man die fünf ersten Ziffern der Zahl. Darauf ermittle man die Differenz der gegebenen und der in den Tafeln gefundenen Uantlsse und unter den Proportionaltheilen die zu der gefundenen Mantisse gehören, suche man denjenigen auf, welcher dieser Differenz am nächsten kommt. Findet sich diese Differenz selbst unter den Proportionaltheilen; so ist die vorstehende Ziffer die sechste der gesuchten Zahl und die folgende = 0 ; findet sie sich nicht darunter, so nehme man die nächst kleinere und setze die ihr vorstehende Ziffer als sechste in die gesuchte Zahl, berechne aber um wieviel die ursprüngliche Differenz grösser ist als der gefundene Proportionaltheil. Diesem neuen Unterschiede hänge man eine 0 an und suche ihn auf dieselbe Weise unter den Proportionaltheilen auf, wodurch die siebente Ziffer und, wenn noch ein Rest zu berücksichtigen ist, auch die achte ZifTer der gesuchten Zahl bestimmt wird. Sei z. B. zur liantisse 0 3 5 0 8 8 7 die Zahl zu s u c h e n ; so findet man in den Tafeln B als nächst niedrigere Mantisse 0 3 5 0 6 9 3 , wozu die Differenz 404 mit Ihren Proportionaltheilen gehört; die durch diese gefundene Mantisse bestimmte Zahl ist < 0 8 4 4 . Die gegebene Mantisse ist aber um 4 94 grösser als die gefundene. Diesem Unterschiede kommt unter den Proportionaltheilen die Zahl 4 60 am nächsten. Deshalb ist 4, welche vor der Zahl 4 60 steht die sechste Ziffer der gesuchten Zahl. Es ist aber 4 6 0 noch um 34 kleiner als 494. Dieser Unterschied dient zur Bestimmung der 7ten Ziffer. Man hängt elue 0 an und sucht nun den unter 3 4 0 nächsten Proportionaltheil. Dieser Ist 3 2 4 . Vor ihm steht 8. Dies ist also die siebente Ziffer der gesuchten Zahl. Der neue Unterschied zwischen 324 und 3 4 0 , nämlich 49, mit einer 0 versehen giebt 4 9 0 . Für diese sucht man den nächsten Proportionaltheil. Es findet sich 204 , wozu die Ziffer 5 gehört, die endlich als achte Ziffer der gesuchten Zahl anzusehen Ist. Es ist daher zur Mantisse 0 3 5 0 8 8 7 die

zu den vorstehenden Tafeln.

187

Zahl 10814185. Weiter als bis zur achten Stelle darf diese Berichtigung nicht fortgeführt w e r d e n . Deshalb ist bei dieser auch nicht m e h r der neue Unterschied berücksichtigt, sondern unmittelbar derjenige Proportionaltheil gewählt worden, weicher der bei Bestimmung der siebenten Ziffer entstandenen Differenz a m n ä c h s t e n l a g , ohne darauf zu s e h e n , ob er grösser oder kleiner als dieselbe war. Zur Erläuterung folge noch ein Beispiel. Gegeben sei die Mantisse 0263440 Die nächstniedrigere in den Tafeln ist 0-263389 zur Zahl 4 0625 gehörig. Differenz dieser und der gegebenen ist 4 51 Zur gefundenen gehört die Differenz 409 Davon bestimmt der ProportionaltheiH 2 3 die sechst« Ziffer 3 Es entsteht der neue Rest 28, zu verwandeln in 280 Dann bestimmt der Proportioaaltheil 345 die siebente Ziffer 6 Es entsteht der neue Rest 35, zu verwandeln in 350 Dieser liegt am nächsten dem Proportioaaltheil 368, welcher die achte Ziffer 9 bestimmt. Also gehört zur Uantisse 0263440 die Zahl 4 0625369. $

23.

Soll nun zu einer Uantisse, die sich nicht in den Tafeln befindet und auch nicht zwischen zwei Mantissen der Tafel liegt, die Zahl bestimmt w e r d e n ; so suche man in der Abtheilung A die nächst niedrigere Mantisse, subtrahire dieselbe von der gegebenen; so wird der Rest eine Mantisse sein, zu der sich die Zahl aus den Tafeln bestimmen lässt. Diese Zahl multiplicire man dann mit derjenigen, welche zu dem aus der Abtheilung A entlehnten Subtrahendijs gehört. Das Product wird die gesuchte Zahl sein. Sei z. B. 6374 348 die gegebene Mantisse; so ist in A die nächst niedrigere 6020600 die zur Zahl 40 gehört. Die Subtraction giebt den Rest 0350648. Dazu gehört nach den Tafeln die Zahl 4 0840888. Die gesuchte Zahl ist also 40. 40840888 = 43363552. Als zweites Beispiel diene die Mantisse: 462739g Die nächste aus A gehört zu 29 und ist 4623980

188

Kurze Erläuterungen

der Unterschied beider ist 0,0003446 dazu gebärt nach der Tafel die Zahl 4 0 0 0 7 8 6 9 Die gesuchte Zahl Ist also 29032820

24. Bei vielen Rechnungen ist es wünschenswerth aus den Logarithmen zweier Zahlen den Logarithmus der Summe oder der Differenz derselben zu finden. Nach einem einfachen unten näher bezeichneten Princip hat der Herr Hofrath G a u s s Tafeln für diese Berechnung aufgestellt, denen hier eine eigent ü m l i c h e , die Anwendung erleichternde Form gegeben ist. Die Einrichtung der hier (S. 4 4 — 5 6 ) vorliegenden Tafeln stimmt möglichst genau mit derjenigen Uberein, welche die Logarithmentafeln haben. In der Spalte vor dem Doppelstrich befinden sich die Zeilen-Indexe und Uber den einzelnen Columnen die Columnen-Indexe, welche als letzte Ziffern zu jenen gehören. So sind in dem ersten Theil der Tafeln bis S. 50 die zu jedem Index zwischen — 4,9 und — 0 , 0 0 0 gehörigen Zahlen leicht aufzufinden, und in dem zweiten Theil die zu jedem Index zwischen 0,000 und -J- 4,9 gehörigen Zahlen. Die Differenzen, welche mit kleinerer Schrift in der Spalte D. angegeben sind, dienen zur Ergänzung der gesuchten Zahlen für die nächst niedrigem ZifTern des Index. Der aus diesen Differenzen berechnete Werth ist in der ersten Hälfte der Tafel s u b t r a c t i v , in der zweiten a d d i t i v . Soll z. B. zu dem Index — 4,04236 die Zahl der Tafel gesucht werden; so ist für — 1,042 in den Tafeln gegeben 0 , 0 3 7 7 4 , wozu die Differenz 9 gehört. Diese ist noch mit t 3 t und T J j zu multipliciren. Man erhält 2,7 und "0,ö4, also 3 Einheiten in* der letzten Stelle, welche von der in den Tafeln gefundenen Zahl subtrahirt werden müssen. Demnach gehört zu — 4 , 0 4 2 3 6 die Zahl 0 , 0 3 7 7 4 . Sollte zu -f- 4 , 0 4 2 3 6 die Zahl der Tafel gesucht werden; so findet man in den Tafeln für 4,042 unmittelbar 4,07974 mit der Differenz 94. Von dieser sind T * T und zu berechnen, also 27,3 -J- 6,5 d. i. 33. Dies muss hinzu addirt werden und man erhält zu -J- 4 , 0 4 2 3 6 die Zahl 4 , 0 8 0 0 7 .

zu den vorstehenden Tafeln.

189

Soll der Index zu der Zahl 0,05846 gesucht w e r d e n , welche zwischen den Zahlen der Tafel 0,05838 (Index — 0,842) und 0,05854 (Index — 0,844) liegt; so bestimmt man die Differenz der gegebenen Zahl von der zum kleineren n e gativen Index gehörigen, 0,05851 — 0,05846 = 5 Einheiten der letzten Decimale und dividirt diese durch die am Rande bezeichnete DilTerenz der aufeinanderfolgenden Zahlen 4 3. Der Quotient T s j = s 0,38 bestimmt dann die zu deiA kleineren negativen Index hinzuzufügenden ZifTern. Zu 0,05846 gehört also der I n d e x — 0 , 8 4 4 3 8 . Zu der Zahl 4,77777 gehört ein Index zwischen -f- 4,770 und -J- 4,774 . Der Unterschied derselben von der zum kleinern positiven Index gehörigen Zahl beträgt 4,77777—4,77754 = 46 Einheiten der letzten Stelle. Der Bruch = 0,46 bestimmt daher wie vorhin die zum kleineren positiven Index hinzuzufügende Decimale. Zu 4,77777 gehört demnach der Index + 4,77046.

§ 25. Um aus zwei gegebenen Logarithmen, Log a und Log b, den Logarithmus der Summe der zugehörigen Zahlen Log (a-f-b) zu finden,berechne man die Differenz beider Logarithmen, L o g a — L o g b, und suche zu dieser als Index in der Tafel die zugehörige Zahl Z. Diese addire man zu dem Logarithmus des Subtrahendus. Die erhaltene Summe, Log b -)- z, ist der verlangte Logarithmus der Sun&ne. (Vergl. S. 66.) B e i s p i e l . Seien Log a = 2,93564, Log b = 0,44832, so findet man Log a — L o g b = - f 2,54729 und dazu in den Tafeln, nach §. 24, Z = 2 , 6 4 8 6 4 , also Log ( a + b ) = L o g b + Z = 2 , 9 3 6 9 3 . Setzt man mit Beibehaltung derselben Logarithmen Log a = 0,44832, Log b = 2,93564 ; so ist Log a — Log b c = — 2,54729. Dazu gehört nach §. 24 Z = 0,00432 also Log ( a + b ) = Log b + Z = 2,93693 wie vorhin. Die Rechnung Ist einfach, in beiden Fällen übereinstimmend nach derselben Regel zu vollziehen. Man hat nur dafür zu sorgen, dass, w e n n die Logarithmen von a und b negativ aber auf die gewöhnliche Weise mit p o s i t i v e r Mantisse geschrieben sind, die Differenz Log a — Log b so be-

190

Kurze Erläuterungen

rechnet w e r d e , dass Charakteristik und Mantisse u n t e r e i n Z e i c h e n gebracht sind. §• 2 6 üm aus zwei Logarithmen, Log a und Log b, den Logarithmus der Differenz der Zahlen, also Log ( a — b ) , zu b e r e c h n e n ; wähle man die Anordnung so, dass a s » b , also die Differenz Log a — Log b positiv ist. Dann suche man diese Differenz in der Tafel als Zahl Z auf und bestimme dazu den Index J nach §. 24. Diesen addire man mit richtiger Beachtung seines Vorzeichens zu dem Logarithmus des Subtrahendus; die erhaltene Summe ist der gesuchte Logarithmus der Differenz Log b -J- J = L o g (a — b). (Vergl. S. 86.) Es sei z. B. Log a = 4 , 2 4 7 9 3 , Log b = 3 , 0 4 4 8 7 ; so ist Log a — L o g b = 4 , 2 0 3 0 6 . Dazu gehört nach den Tafeln S. 63. der vervollständigte Index 4 , 1 7 4 9 5 , diesen zu Log b addirt, giebt 4 , 4 8 9 8 2 = Log ( a — b ) Sei f e r n e r : L o g a = 2 , 0 4 4 4 7 Log b = 4 , 8 4 2 7 3 ; so ist Log a — Log b = 0 , 2 0 4 4 4 . Dazu gehört nach S. 4 85. als vervollständigter Index — 0 , 2 2 9 0 0 . Diesen zu L ö g b addirt glebt 1 , B 8 3 7 3 = L o g (a — b).

27. Leicht übersieht man sowohl die Anwendung der Taf e l n , als auch die Art, wie sie berechnet werden mUssen, durch folgende trigonometrische Betrachtung. Wenn der Index J durch Log tang *

) Cos (p

mithin ist Log b +

Z=

L b (^4

=

+

L ( a + b). Ist L o g ( a . — b ) zu-suclien; so ist nach der Tafel Z = a L o g a — L o g b = 3 L o g — = — LogCoa 'tp und das zugehts-

zu den vorstehenden Tafeln.

191

rige 1 =

Log Tg = Log (4 — Cos '. Nun b b ist L o g — = L o g C o s * g > ; a l s o — = : Cos a g>; folglich J = Log ^ 4 — - ^ + Log-£- =

L o g ^ - — 4^;

mithin

Log b -f- J = Log ( a — b ) .

§• 28. Es ist für viele Untersuchungen wichtig, rasch die Quadratzahlen oder Quadratwurzeln gegebener Zahlen, wenn auch nur auf wenige DecimalzifTern, genau zu finden. Dazu dient die S. 5 8 bis 63 mitgetheilte Tafel, in welcher die ersten drei Ziffern der Zahlen 0 , 0 0 0 bis 2,099 den Zeilenindex, die vierte Ziffer den Columnenindex bilden und die Quadratzahl selbst sich an der durch dieselben bestimmten Stelle findet, indem zugleich die Differenzen je zweier auf einander folgenden Quadratzahlsn in der Columne D ausgeworfen sind.

29.

Für alle Zahlen von 0 , 0 0 0 bis 2 , 0 9 9 kann also Quadratzahl unmittelbar aus der Tafel bis auf 4 Stellen funden werden; eben so für jede Zahl zwischen 0 , 0 0 0 0 4 , 3 0 5 8 die Quadratwurzel; wenn man eben so verfährt, bei der Auffindung der Logarithmen zu den Zahlen und Zahlen zu den Logarithmen oben gezeigt ist. Es ist also 0 , 8 6 i " = B 0 , 7 4 6 8 , 1 / 4 , 7 4 6 4 = 4,340 0,9364 a = : 0 , 8 7 6 4 1 / 4 , 4 4 6 9 = 4,490 + .. 8 + . . 3

die geund wie der

=0,8769 = 4,4903 wobei zu bemerken, dass die letzte durch Interpolation bei der Wurzelausziehung gefundene Ziffer nur zur Berichtigung der vorletzten dient. Wir dürfen uns daher berechtigt halten, 4,490 als richtige Wurzel zu betrachten.

$. 30. Soll zu anderen Zahlen, die nicht in der Tabelle enthalten sind, die Quadratzahl gefunden werden; so Ist eine

192

Kurze Erläuterungen

Division mit 6, oder Multiplicaron mit 0,2 vorher vorzunehm e n , wodurch eine Zahl gefunden wird, die in den Tafeln vorhanden iat. Das Resultat ist dann mit 25 oder zu multipliciren. Es ist 9,3(8® = 5*. 4 , 8 6 3 6 ' Nun ist 4,8636" = 3,4708 also 9,348* = 8 6 , 8 9 5 + 28 = 3,4730

§ 31. Soll die Wurzel einer Zahl bestimmt w e r d e n , w e l c h e ilber 4,3058 hinausgeht; so dividiré man dieselbe durch 4, um eine in den Tafeln befindliche Quadratzahl zu erhalten, zu der die Wurzel nach § , 2 9 aufgesucht und mit 2 multiplicirt w e r d e n muss. So Ist 1 / 9 , 9 8 3 = 1 / 4 . 2,49875 Es ist aber 1 / 2 , 4 9 5 7 =

4,579778; also 1 ^ 9 , 9 8 3 =

3,1596.

33. Auch zur Auffindung von Produkten kann die Tafel b e nutzt werden. Es ist nSmlich ab = | [ ( a + b ) » — a » — b * ] Wenn sich daher a 4 - b in den Tafeln findet; so ist die Rechnung sehr einfach. Soll z. B. 0,542 X 4,24 8 berechnet werden, so ist (a + b) 1 = 4,760« = 3,0976 a« = 0,542» = 0,2938 b* = 4 , 2 4 8 ' = 4,4835 0,542 X 1 , 2 4 8 = 4,3203 x 1 = 0,66045 Findet sich á -(- b nicht in den Tafeln; so kann a und b durch eine und dieselbe Zahl n so dividirt werden, a -4- b dass — • — in den Tafeln vorgefunden wird. In diesem Falle n ist das mittelst der Tafeln berechnete Produkt noch mit n* zu multipliciren.

zu den vorstehenden Tafeln.

193

Soll 9,442 X 3,486 berechnet w e r d e n ; so dividlrt man die S u m m e (2,598, so wie jeden Posten durch 6 und erhält 9.0997 J = 4,40ö8 + 29 = 4,4087 1,5687» = 2,4607 0,5310 3 = 0,2820 9,442 X 3,4 86 = 4 8. 4,6660 = 29,988

§• 33. Sollte bei der Berechnung eines Produkts nach der ana 4- b gegebenen Regel — - — = p etwas grosser als 2,099 ausn fallen; so ist dafür p — 4 In Rechnung zu stellen. Es ist nämlich p* = 2 p — 4 + (p — 4)» Man hat also dem in der Tafel gefundenen Quadrate von p — 4 noch das doppelte p weniger 4 hinzuzufügen. Es sei 9,824 x 9,622 zu suchen. a b Selbst durch 9 dividirt ist — = 4,09 4 7 , — = 4,0694, 9 9 a 4- b

— i — = 2,4 608, das in den Tafeln fehlt.

2,4 608" = 4,4608® = + 2 . 2,4608 — 4 = = 4,0947»= 1,0694 » = also 4 , 0 9 4 7 x 4,0694 = welches Resultat noch mit 84 ursprünglich verlangte Product

Es ist aber

4,3474 3,3246 4,6690 4,4918 4,4429 2 , 3 3 4 3 x £ = 4,4671 zu mullipliciren ist, um das zu erhallen.

34. Wenn Rechnungen der eben beschriebenen Art einzeln vorkommen, so w ä r e es nicht gerathen, sich dieser Tafeln zu bedienen. Die rasche Multiplication w ü r d e schneller zum

9?

194

Kurze Erläuterungen

Ziel führen. Wenn aber mehrere Rechnungen, besonders solche ausgeführt werden sollen, w o die Quadrate gewisser Zahlen und die Producte derselben gleichzeitig in Rechnung kommen, ist die Benutzung dieser Tafeln sehr förderlich. Namentlich hat B e s s e 1 in den astronomischen Nachrichten No. 399 die Benutzung dieser Tafeln sehr empfohlen; wenn es sich darum handelt, die von G a u s s erfundene Methode der kleinsten Quadrate in Anwendung zu bringen. Der einfachste Fall, der hier in Betracht kommt, Ist derjenige, wo durch eine Reihe von Versuchen die Abhängigkeit einer Grösse n von mehreren anderen a, b, c etc. ermittelt werden soll, indem vorausgesetzt wird: dass n . . sei. Es handelt sich dann darum, = ax -(- by -j- cz die Werthe x, y, z zu bestimmen. Dies geschieht nach der genannten Methode, Uber die G n c k e im astronomischen Jahrbuch von 4 843 ausführlich und belehrend gehandelt hat, wenn man die bei den einzelnen Beobachtungen begangenen Fehler durch u, t», u etc. bezeichnet und ansetzt. u = — n ax •)- by -)- cz -(- . . . •u = — n -f- ax -j- by -j- cz -j- . . . •u = ii

n + ax -f- by -(- cz -f- . . .

ii

ii

ii

ii

Bezeichnet man nun nach G a u s s durch [ n ] die Summe n -}• n n -)- . . durch [a] die Summe a a -f- a . . , durch i ii i ii [ a l ] die Summe a* + a ' a 2 -J- . . etc., durch [na] die Summe na

na

na -J- etc. und demgemäss alles übrige;

so findet man, wenn die Ermittelungen für n, a, b, c in jedem einzelnen Versuche möglichst genau, also die Werthe von v, v , i» etc. fast = o sind, die zuverlässigsten Werthe für x, y, z etc. o = — o = o = — o= —

in den [an] + [bn] + [cn] + etc

Gleichungen [a 5 ]x + [ab]y + [ac]z + [ba]x + [ b » ] y + [beiz + [ca]x + [cb]y + [c J ]z ^

.. ..

zu den vorstehenden Tafeln.

195

Es ist nun leicht einzusehen, dass, wenn = $ [ ( n + a ) > — n 1 — a ' ] und [ ( a + b ) « — a > — b > ] elc. ist, auch [na] = $ [ [ ( n - f a ) 1 ] — (n 1 ) — (a»)j und [ab] = £ 1 1 [ [ ( a + b ) ] — (a»J — (b )] sein muss. Hat man also den Grössen n, n, n etc., a, a, a etc. etc. i

n

I

II

durch Division angemessene Werthe gegeben, um alle und die Summe je zweier in den Tafeln zu finden; so ist offenbar durch die Anwendung dieser die Rechnung sehr erleicht e r t , da die in den oben gegebenen Beispielen bei jedem eiuzelnen Resultate nöthigen Multiplicationen hier erst am Ende der ganzen Rechnung eintreten. i . 35. I i s Beispiel diene 4ie Berechnung einer einfachen Gleichung aus 40 Versuchen, welche der Form — n - | - a x - { - b y = o angepasst werden sollen. Aus den Versuchen Durch Substition von b e 400/3 ist unmittelbar — n b= 60 v — n V ß+ v ß 0 0.749 44,94 4 0 0,749 4 2,0 0,4 2 46,68 4 0,778 0,898 23,5 0,236 4 0,828 49,68 4,063 t 35,9 0,359 61,75 0,8625 4.224 4 45,3 0,453 0,8927 53,56 4,346 4 64,7 0,547 0,94 78 55,07 4.466 58,4 0,9322 56,93 0,584 4,546 4 74,2 0,742 4,724 68,94 4 0,9823 4,0476 64 ,05 4 84,6 0,846 4,864 4 93,6 0,936 4,0450 62.70 4,9*4 , bezeichnet durch r Sin w, c 2) „ „ — der C o s i n u s von g>, bezeichnet durch r Cos tp, 3)

„

„

—

4) , „

„

c — s

die T a n g e n t e von g>, bezeichnet durch T g 9 - ' die C o t a n g e n t e durch Cot ip,

von qp, bezeichnet

200

Kurze Erläuterungen

r 5) der Quotient — die S e c a n t e von qp, bezeichnet durch c See g>, — die C o s e c a n t e von g>, bezeichnet 8) „ 8 durch Cosec , bezeichr net durch Sin v cp, r—s . der C o s i n u s v e r s u s von g>, be8) „ r zeichnet durch Cos v tp.

„

i. 40. Die Verschiedenheit der Zeichen von s und c nach der jedesmaligen Lage des Punktes R, R', R", R'", d. i. nach der jedesmaligen Grösse des Bogens oder Winkels g>, während r unveränderlich positiv bleibt, bestimmt nach bekannten algebraischen Gesetzen die Vorzeichen der oben betrachteten Quotienten (die auch W i n k e l f u n e t i o n e n oder g o n i o m e t r i s c h e Funktionen heissen). Es ist nämlich: 4) im ersten Quadranten s positiv und c positiv, 9) „ zweiten „ s positiv „ c negativ, 3) „ dritten „ s negativ „ c negativ, 4) „ •vierten „ a negativ „ c positiv. Deshalb ist immer p o s i t i v : 4) Sin gi im ersten und zweiten, Cos g> im ersten und vierten, 2) Tg g> im ersten und dritten, Cot g> im ersten und dritten, 3) Seo g> im ersten und vierten, Cosec durch die Länge des Sinus genau bestimmt. Man versteht unter dem Zeichen Are sin, % (gelesen: Arcus sinus den Bogen, dessen Sinus die Grösse X, für den-Ra-

zu den vorstehenden Tafeln.

201

dius 4 hat. Aehnliche Bedeutung haben die Zeichen Are cos, X . . . Are tg, X . , . Are cot, X u. 8. w. Die nfihere Betrachtung der Figur lehrt auch, dass In den verschiedenen Quadranten für verschiedene Bogen oder Winkeigrössen genau dieselben goniometrischeu Funktionswerthe wiederkehren. Bezeichnet nämlich * die Länge des Halbkreises zum Radius r = I und ist Are sin, X = g > . . . Are cos, X = , =s4*—gp,=4jf-J-g>, etc. überhaupt: Are cos, X = 2 (n—4;*-|-g>, oder 2nir—

= y „ = * + < ? „ = 2 « + g > „ = 3 * + 9 , , = 4 * + g p „ etc. überhaupt: Are tg, X = (n—4)sr-|-,„ = * + y „ , = 2 * + gp,„ = 3 * + g>„, = 4 * T =

4=

4) . . . . + 4 = 5) . . . . S i n y =

Cos qp. sec =

Sin y -|-Cos'

= — Cos(*—y) 5

202

Kurze Erläuterungen

Sina> Cosqp 7)....Tgg>=-—8) . . . . Cotm =—-Z y ' * Cosg> Siny 9) . . . . Sin 9 = Cos(R—y) 10) . . . . Tgg> = Cot(B—). Die Bezeichnung Sin 9 tp ist Sjnqp. Sin 9 ; Sin* 91 = Sin S i n y . S i n y u. s. w .

§ 43. In der T r i g o n o m e t r i e (Dreieckmessung) werden die goniometrisefien Funktionen nur für solche Bogen angewendet, die kleiner als der Halbkreis und für solche Winkel, die kleiner als zwei rechte sind. Jedes rechtwinklige Dreieck enthält in dem Verhältniss seiner Seiten diese Funktionen für Jeden darin enthaltenen spitzen Winkel, nach den §. 39. gegebenen Bezeichnungen; wenn man darin für r die H y p o t e n u s e , für s die G e g e n k a t h e t e , für c die N e b e n k a t h e t e des Winkels einführt.

§. 44. Als Fundamentalsatz der Trigonometrie Ist anzusehen: Die G r ö s s e j e d e r S e i t e e i n e s b e l i e b i g e n D r e i ecks wird b e s t i m m t , w e n n man den Cosinus jedes der beiden anliegenden Winkel mit der anliegenden Seite multiplicirt und beide Produkte addirt. Wenn man, wie üblich, im Dreieck c ABC die Winkel mit den daranstehen| V*den grossen Buchstaben und die Ge: \ genseiten derselben mit den gleichna/ ; \ migen kleinen bezeichnet; so ist, wenn A c D B CD ein Perpendikel zu AB ist, AD — SS Cos A, also AD = b Cos A; ebenso BD = a Cos B; b

'

folglich 12) . . . . AB = c = AD-f-DB =

aCosB-fbCos.A.

zu den vorstehenden Tafeln.

A

c

B

203

In dem bei B rechtwinkligen Dreieck ABC ist AB = b CosA und Cos B = o ; folglich auch AB = c = a CosB + b CosA. In dem bei B stumpfwinkliD gen Dreieck Ist

AD = b Cos A . . . BD = a Cos ( * — B j = — a C o s B ; also a u c h : AB S c = AD—BD = b Cos A + a Cos B. §. 45. Aus diesem Lehrsatz lassen sich alle Bestimmungen der ebenen Trigonometrie ableiten. Wendet man ihn zunächst auf alle Dreiecksseiten a n ; so hat m a n : a = b C o s C i f . c C o s B . . und d a r a u s . , a ' = a b C o s C -f- acCosB b = a C o s C c C o s A.. „ „ .. b * = ab Cos C - j - b c CosA c=aCosB-f-bCosA.. „ „ . . c J = acCosB -j-bcCosA Folglich: 4 3 ) . . . a * + b s — c ' = 2 a b C o s C . . oder c , = s a i + b » — 2 a b C o s C . §. 46.

a»+bJ—c» 2 ab Setzt man diesen Werth für Cos C in den Ausdruck a J (4 + GosC)(4 — C o s C ) = 4 — C o s C e = Sin C, so erhält man bei zweckmässiger Anordnung der Grössen: Aus d e r Formel 4 3 des vorigen g. folgt CosC =

4 4 ) . . . SlnC = -—- V ( a + b + c ) ( a + b — c ) ( a - f c -b)(b-J-c—a) 2&D §. 47. Bezeichnet man In der Formel 4 4 den Wurzelfaktor einfach mit D; so ist D Sin B = Sin C = — Sin A = — 2ac äbc 2ab folglich a u c h : 4 5 ) . . . b SinA s a a SinB,... a SinC = c SlnA,... b S i n C = c S i n B . . . Die S i n u s z w e i e r Dr e i e c k s wi n k e l v e r h a l t e n sich also wie die Gegenseiten derselben.

204

Kurze Erläuterungen

Dieser wichtige Satz folgt auch aus der Betrachtung der Figur jj. 44. Dort ist CD = b Sin A = a Sin B; also a : b = Sin A : Sin B. §. 48. Die Verbindung der Formeln 42 und 48 ergiebt wichtige Folgerungen. Es ist: aSin C = c S i n A = (b CosA -j- aCosB) SinA = b Cos A SinA aCosBSinA; also: b SinB S i n C = — CosASinA-f-CosBSinA = ^CosASinA-J-CosBSinA. Da nun Sin C s c Sin (* — C) und * — C im Dreieck txs A + B ist; so ist 4 6) . . . Sin (A + B) = Sin A Cos B + Cos A Sin B . Es ist f e r n e r : a=

c CosB -)- b CosC =

(aCosB -(- bCos A) CosB

b CosC

= aCos'B-|-bCosACo9B-(-bCosC .. und also .. -^-(4—Cos'B) = C o s ACosB -f-CosC, o d e r — C o s C = — ? j ^ s i n a B+CosACosB. Da nun — CosC == + C o s ( * — C ) und * — C = A - | - B ; so wird: 47) . . . Cos (A + B ) r = Cos A C o s B — SinA SinB. Ersetzt man in den Gleichungen 46 und 4 7 A -(-B durch A und dem entsprechend A durch A — B , so erhält m a n : SinA = Sin(A — B) Cos B-|> Cos (A — B) SinB Cos A = Cos(A—B)CosB—Sin (A — B) Sin B. Dann folgt f ü j Sin (A — B) und Cos (A — B) aus beiden Gleichungen : 48) . . . Sin (A — B) = Sin A Cos B — Cos A Sin B. 49) . . . Cos (A—B) e s Cos A Cos B + Sin A Sin B. § . 49. Wenn a für A-J-B und ß für A — B gesetzt w i r d ; so ist A =

a + ß

a—ß

—i—, B= —-—.

Bringt man diese Werthe In

die Gleichungen 46, 47, 48, 49 und addirt und j e zwei; so findet m a n :

subtrahirt

zu den vorstehenden Tafeln.

205

20,Sina + Sin/3==2SinJI+^Cos f L ^ 3 .. 24, Cosa + C o s / 3 = 2 C o s ! l + ^ Cos

0 1 - / 3

2

2

22, S i n o - S i n / 3 = 2 C o s - i i ± £ Sin '

2

2

23, Cos a — Cosß = — 2 Sin

Sin

.. ^

§. 50. Setzt man der Kürze wegen Sin a = s , C o s a a c ; so ist : Cos2a = c'—sa Sin 2 a = 2 c s Cos 3 a = Cos a Cos 2 a Sin 3 a = SinaCos 2 a — Sin a Sin 2 a, -f- Cosa Sin 2 a ! ssssC®—3o s = 3 c J 3—s* Cos4a = CosaCos3 a S i n 4 a = SinaCos3a + Sin3aCos a. — Sin aSin 3 a 4 2 4 s« + s =4o,s—4cs3. = c —6c Die Vergleichung dieser Formen mit der binomischen Reihe für die Potenzen von c + s glebt allgemein für Jede ganze Zahl n. 94, Cosnarasc 1 1 — —

c " 1. 2 c»-

4

^

+ '1.

2.

3.

4

s « - » • • • ( " — ») c — 6 s « + . .

25, Sinn cBPanc"~ 1 g— n(n—-4) (n —2)

c

—3g.

n (n—- 4)(n—2)(n—3 (n—4) c n _ 5 s I _ •"l.I. 3. 4 . » Reihen, deren Richtigkeit durch vollständige lnduction bewiesen werden kann. In einem Kreise, dessen Radius r = 4, wird ein Bogen seinem Sinus immer mehr gleich sein, je kleiner er selbst Ist und der Cosinus eines solchen Bogens wird sich immer mehr der Einheit nähern. Ist nun irgend ein Bogen X s s n a und a sehr klein, also n sehr gross, so ist, je grösser n ist, auch immer ge-

206

Kurze Erläuterungen

x wisser s — a — — , c = 1 , n — < = n , n — 2 = n e t c . F ü r ein nen unendlich kleinen Bogen a ist daher xa t® via 26, C o s x = < — — + * 1L... 1.2 1 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6 1 1 . . 8 1..10T TT* T> vi 1» — -4- — ... 2 7 , Sin x = x — — + — 1.2.3 1 1.2.3.4.5 1..7 1 1 . . . 9 Sin x Durch Division dieser Reihen findet man = Tang x Cos x 2 8 , Tg x = '

x +

1

ii + i i ! + i - 7 ^ + 3 1 3 . 5 1 3.3.5.7 '

i l ^ L 3.3.5.7.9

+ 1

...

Aehnliche Reihen können auch für die übrigen trigonometrischen Funktionen entwickelt werden. Zur Berechnung der Tafeln sind diese ausreichend.

51. Ist e die Grundzahl des natürlichen Logarithmensystems; so hat man die S. 4 82 angeführte R e i h e : e*

= 9,70444, so ist S. 128 der Columnenbenennung Sinus zunächst Log Sin 3 0 ° 4 4 ' = 9 , 7 0 1 3 7 , die Differenz ist 7. Die Differenz der ganzen Minute ist nach den Tafeln , die Zahl der Secunden also 6 0 . J7J = 19,4 also ist g> = 3 0 ° 44' 49,4". Es sei Cot y = 9,69500. Die der Columnenbenennung Cotang zunächst liegende Grenze S. 4 20 ist L o g Cot 6 3 ° 38' = 9,69520, die Differenz ist 2 0 , für eine ganze Minute nach den Tafeln 3 2 ; die Zahl der Secunden also 60 . j g = 37,5. Datier g> = = 63® 3 8 ' 37,"5. §•

57.

Die angedeutete Interpolation beruht auf der Voraussetzung, dass die trigonometrischen Logarithmen und die zugehörigen Bogen gleichzeitig einer arithmetischen Reihe folgen. Dies ist nur da angenähert der Fall, w o die Differenzen ziemlich nahe gleich bleiben. Zwischen 0 und 2 ° trifft dies bei dem Sinus und der Tangente nicht ein. Deshalb ist es da vortheilhaft, sich der §. 38 S. 4 97 beschriebenen Täfelchen zu bedienen. §.

58.

Zu j e d e r bestimmten Bogen- oder Winkelgrösse gehört nur eine bestimmte Zahl der T a f e l , aber zu jeder Zahl der Tafel gehören, w i e aus § . 4 4 folgt, unzählige Winkeigrössen. In der Trigonometrie veranlasst dies indess keine Irrungen, da hier die Winkel jederzeit unter 4 8 0 ° sind. Nur in dem Falle, w o der Winkel durch den Sinus bestimmt w e r d e n soll, hat man zwischen dem spitzen Winkel, den die Tafeln

zu den vorstehenden Tafeln.

211

geben, und dem stumpfen, der ihn zu 4 8 0 ° ergänzt, nach anderweitiger Beurtheilung zu wShlon.

§. 59. Zur Berechnung der ebenen Dreiecke dienen die §. 46 etc. entwickelten Formeln. Sind die 3 Seiten eines Dreiecks bekannt; so kann jeder Winkel nach d e r H t e n Formel bestimmt werden. Wählt man die Gegenwinkel der kleineren Seiten; so sind diese spitz. Die Formel, welche den Sinus angiebt, enthält also keine Zweideutigkeit. Der dritte Winkel ergiebt sich dann aus beiden. Bequemer ist aber folgende Berechnungsweise: Es ist aus §. 42. 4 . . 1 = Cos ' + Sin *g> und aus §. 60 . . Cos 2g> = Cos '

4-c

2

die

a4-b — c zu bezeichnen: dann ist — L = 2 ' a

s — b, k

'

a

C S 38, T a n g — == y /

? =

a

s — c,

) »in (•— c);

216

Kurze Erläuterungen

eben s o .

4

Sin 1 B =

g

. , asin'c

Sin' A

Sin* a

( — » ) s i n ( s — b ) s i n ( s — c ) ; folglich:

sinssin s

^ =1 oder . . . . 82, Sin A sin b = sin a sin B. Sin» b ' Sin' B Diese Gleichung enthalt die Beziehung zweier Seiten des sphärischen Dreiecks zu ihren Gegenwinkeln. j

67.

Setzt man Cos b = cos a cos c -f- sin a sin o Cos B (vergl. 61. Form) und also auch: Cos b cos c = c o s a cos a c-|-sina sin c cosc cosB; so ist (54.F.) cosa = cos a c o s ' c-f-sin a sin c cos c cos B-|-sin b sin c cos A, cos a (1—cos'c) = sin a sin c cos c cos B -j- sin b sin c cos A, cos a sin* c a sin a sin c cos c cos B -). sin b sin c cos A, cos a sin c = sin a cos c cos B -J- sin b cos A. sin a sin B Nun Ist (nach F. 52) sin b s : also auch: sin A cos a sin c = sin a cos c cos B + sin a sin B cot A, oder 5 3 , Cot a sin c = cos c cos B -J- sin B cot A. Diese Gleichung drückt die Beziehung zweier Seiten zu dem davon eingeschlossenen und noch einem andern Winkel aus.

$. 68. Setzen wir in Form 53 für sin c (nach Form 52) jetzt sin a sin C ; so ist: Sin A ' Cos a sin C „ . = cos c cos B T4> sin B cot A, oder Sin A ' Cos a sin C = cos c cos B sin A -)- Sin B cos A; also auch Cos c sin A = cos a eos B sin C -j- Sin B cos C und Cos c cos B sin A cos a c o s ' B sin C + Sin B cos B cos C. Aus Verbindung der letzten und drittletzten Gleichung entsteht: Cos a sin C sin B cos A -f- cos a cos 1 B sin C + sin B cos B cos C; oder Cos a sin C s i n ' B sin B (cos A -f> cos B cos C) und daraus:

zu den vorstehenden Tafeln.

217

84, Cos A b — Cos B cos C + Sin B sin C cos a. Diese Gleichung giebt die Beziehungen an zwischen drei Winkeln eines sphärischen Dreiecks und einer Seile desselben. Sie lehrt in Verbindung mit Form 54, dass zu jedem sphärischen Dreiecke ein anderes gehört, das die Supplemente der Winkel zu Seiten und die Supplemente-der Seiten zu Winkeln hat. Dies ist das geometrisch nachweisbare Polardreieck.

§• 69. Muitiplicirt man die Gleichung 61 mit der Form 54 und zwar die linke Seite der einen Form mit der rechten der andern; so wird Cos A cos b cos c -f- Cos * A sin b sin c = — Cos a Cos B cos C -j- Sin B sin C cos 9 a. Setzt man hierin Cos'A = 1 — Sin'A und cos*a:a:4 — S i n ' a und erwägt, dass, weil Sin b sin A = S i n B sin a und Sin c Sin A = Sin C sin a, auch Sin b sin c Sin'A = Sin B Sin C s i n ' a ist; so erhält man aus obiger Formel 55, Sinb sinc -f. cos b cos ccos A = sin B sinC —cosBcosCcosa, welches die sogenannte C a g n i o l i'sche Gleichung ist.

70. Uan setze zur Form 55 auf beiden Seiten 4 -f- cos a Cos A hinzu und führe links für Cosa den Werth aus 54, rechts für cos A den Werth aus 5 i ein, und wende die Form 4 9 an; so entsteht cos a — 4 cos A + cos (b—c) -)- cos (b—c) cos A x= 4 cos (B-J-C) — cos (B-|-C) cos a, darai/s ( 4 - f c o s A) (4-|-cos(b—c)) = (4 + Cosa) (4 — cos (B+C)) oder 9 C o s » - ! . 2 cos 2 2

2

C o s 2 - , 2 S i n a 5 ± £ U n d daraus 2

2

.. . A b—e a „. B4-C 56, . . . Cos — cos = cos — Sin —1— 2 2 3 2 Je nachdem man nun zu Form 55 auf beiden Seiten 4 — Cos a—cos A, oder — 4 cos a— cos A, oder endlich — 4-— cos a

218

Kurze Erläuterungen

-)- Cos A hinzu setzt und dieselben Operationen, wie vorhin, vornimmt, erhält man noch folgende 3 Gleichungen a „ B—C A 67, ,, . . Sin S i n £ ± £ = Sin dos 2 2 2 2 a O B—C . b—c Sin = Sin 8 8 , . , . . Cos 2 sin 2 2 2 b+c a B+C 69, . . . Sin cos 1— = cos cos ' 2 2 *2~ 2 Diese Gleichungen heissen nach ihren ersten Erfindern und Berechnern die G a u s s ¡'sehen oder D e l a m b r e ' s e h e n . §. 71. Dividirt man Form 66 durch 69; Form 67 durch 69; Form 68 durch 67 und Form SS durch 66; so erhält man: „„ . . A b— c b + c _ B+ C 60, . . . Cot — cos = c o s — T g —3— .. ' 2 2 2 2 . b + c B+ C . a B—C 61, . . tang X— cos —-1-— = tg — cos ...

'

a

a

a

a

62, . . . Cot ~ sin i r ^ « , sin Tang ' 2 2 2 a „ , b — c , B+ C . a . B— C 63, . . . tg . sin ——— = tg — sin

'

a

2

2

2

Die aus diesen Gleichungen hervorgehenden Proportionen (Uhren den Namen der N e p p e r ' s c h e n A n a l o g i e e n . §. 72. Die Formein 64 bis 63 dienen zur Berechnung sphärischer Dreiecke. Sind in einem solchen drei Seiten gegeben; so kann nach Form 6< jeder Vinkel leicht bestimmt 4—CosA Sin» ¿A werden. Berechnet man den Werth von — — — - = - — - f 1 +CosA Cos'-j A ES Tang* 4 A u n d wendet die §. 66 gewählten Abkürzungen an; so ergiebt sich 64, Tang ¡»

1

Sin s Sin (s-a)

73.eingeschlossene Winkel A geSind zwei Seiten b,c und der

zu den vorstehenden Tafeln.

219

geben und wird a , die Gegenseite des lezteren a gesucht; so ist nach Form 6 1 Cos a = Cos b cos c + sin b sin c cos A. Mit Hülfe der Gaussischen Logarithmentafeln S , 4 3 bis 5 6 wird auch diese Rechnung leicht logarithmisch "gerührt. Man kann indess auch Sin c Cos A = cos c cot

71, . . ( 6 6 ) . . Sin (B—9>) = — - — — £ ; wennColgp=TgCcosa Cos 6 , , Sin C sin a 72) . . (67) . . Sin c c = — — — v ' ' Sin A 73, ..(68)..Sin (b—qp)=:CotA tgC sintj>; wenn tggpssco&C Tga. 78. Wegen sehr häufiger Anwendung der Formeln auf rechtwinklige Dreiecke sei hier noch die Zusammenstellung derselben gegeben; wenn C = R also Cos C = o, Sin C s 1, Cot C = o, ist. Es folgt 74 aus 51, 75 aus 52, 76 und 77 aus 53, 78 und 79 aus 54, 80 und 84 aus 53. 74, Cos c ' = cos a cos b. 77, tg a = tg A sin b. 75, Sin a b sin c sin A. 78, cos A = SinB cos a. 76, tg a = tg c cos B. 79, cos c - = CotA cot B. 80, Cos A = tg b cot c. ^ ^ 84, cot A s = Cot a sin b. Wenn man die drei Seiten eines sphärischen Dreiecks zu ganzen Kreisen erweitert; so entstehen auf der Kugeloberfläche 8 sphärische Dreiecke, deren je zwei von entgegengesetzter Lage g l e i c h e O b e r f l ä c h e haben. Das gegebene Dreieck nimmt daher mit den drei an seinen Seiten

zu den vorstehenden Tafeln. angranzenden einen Theiljj der Kugeloberfläche der halben Kugelfläche —

gleich ist.

ein,

221 welcher

Es bildet mit jedem

einzelnen derselben zusammen ein s p h ä r i s c h e s Zweie c k , das eich zu der Oberfläche der Kugel verhält, wie der beiden Dreiecken gemeinsame Winkel zu 4 Rechten. Sind A, B, C die drei Winkel eines sphärischen Dreiecks, a, ß, y die entsprechenden anliegenden D r e i e c k e ; so ist, wenn S die Fläche des Dreiecks ist, j e n e r Proportion g e m ä s s :

Da

a

2ö +

6=

ß + y +

S =t —

T = = : T W