Vollständige logarithmisehe und trigonometrische Tafeln,: zum Theil in neuer Anordnung, durch Zusätze erweitert und mit ausführlichen Erläuterungen versehen [Reprint 2022 ed.] 9783112625101

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Vollständige

logarithmische und trigonometrische T a f e l n , zum Theii in neuer A n o r d n u n g , durch Zusätze erweitert und mit ausführlichen Erläuterungen

versehen

voll

Dr. E. F. August, Professor und Director d e s Cöllnischen R e a l - G y m n a s i u m s . Riller des r o t h e n A d l e r o r d e n s v i e r l e r Classe, Milglied mehrerer gelehrten Gesellschaften.

B e r l i n .

V e r l a g von V e i t u n d C-qtnp. 184«.

V o r w o r t .

Der Zweck dieser Sammlung von Tafeln ist, sowohl dem Rechner die erforderlichen Hülfsmittel darzubieten, deren er so oft bedarf, als auch dem Lehrer der Mathematik die Gelegenheit zu geben, seine Schüler in der Anwendung der gewöhnlichsten Hülfsmittel der höhern Rechenkunst nigfach zu üben.

man-

Dabei ist zugleich darauf Be-

dacht genommen, dies Buch durch Reichhaltigkeit nützlich,

durch Genauigkeit zuverlässig,

durch

Wohlfeilheit für Viele zugänglich und durch Dauerhaftigkeit für machen.

langen Gebrauch

anwendbar zu

iv

Vorwort. Der Rechner findet, wie die Inhalts-Uebersicht

am Ende zeigt, hier mehrere Tafeln, die in den gewöhnlichen kleinern Handbüchern fehlen, z. B. die Quadratzahlen in vier Spellen, deren Benutzung für die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate

so wichtig ist, und 'welche der

verewigte Bessel

für eine nothwendige Zugabe

eines solchen Büchleins erklärte; ferner die Aufzählung der ganzen Factoren für alle Zahlen unter 10000, einige natürliche Logarithmen, die in der Mechanik so oft Anwendung finden und dergl. Der Mathematiker wird einiges in der Anordnung und Darstellung für neu, und, wie der Verfasser hofft, auch für zweckmässig erkennen. Dahin gehört vorzüglich die Aufstellung der Gaussschen Logarithmen - Differenzen zur Berechnung des Logarithmus einer Summe oder einer Differenz zweier Zahlen, aus den Logarithmen dieser Zahlen.

Diese Tafeln werden durch die ihnen

Vorwort.

v

hier gegebene Einrichtung gewiss gemeinnütziger werden.

Wie nützlich sie für die Auflösungen

numerischer Gleichungen sind,

hat Encke im

astronomischen Jahrbuche für 1841 S. 301, gezeigt. Auch die Art, wie hier die trigonometrischen Funktionen sehr kleiner Winkel interpolirt werden, dürfte sich vielleicht einiges Beifalles erfreuen; so auch die Ableitung mehrer wichtiger Grundformeln beider Trigonometrieen. Dem Lehrer wird es gewiss willkommen sein, Beispiele der verschiedensten Tafeln seinen Schülern vorlegen und sie im Gebrauch derselben üben zu können.

Wie oft bedarf man z. B. nicht

der trigonometrischen Funktionen

bei Lösung

mancher Aufgaben, die durch die Logarithmen dieser Funktionen,

welche

die

gewöhnlichen

Sammlungen darbieten, nur auf Umwegen möglich sind.

Wie ungern entbehrt man diese Zah-

len beim Unterrichte in der Physik, in welcher

vi

Vorwort.

sie ein Ausdruck mancher Gesetze

sind.

Wie

sehr wird durch die kleine Factorentafel die Auffindung rationaler Wurzeln einer Gleichung erleichtert u. dergl. m. Dass diese Sammlung, obwohl nur auf fünfstellige Logarithmen berechnet, auch zur Erklärung und selbst zum Ersatz siebenstelliger Tafeln dienen kann, ist gewiss eine willkommene Zugabe, nicht nur für die Schule, sondern auch für solche Rechner, die sich auf den Gebrauch dieses Büchleins beschränkt sehn, das ja in der Bibliothek eines Reisenden u. s. w. so leicht einen Platz findet.

Wer selten, rechnet, begnügt sich mit den

einfachsten Hülfsmitteln und

scheut dann auch

eine kleine Nebenrechnung nicht, um ein vollständigeres Resultat zu gewinnen. Vor allen Dingen wird jedem Benutzer des Buches die vollkommene Richtigkeit der Tafeln erwünscht sein, welche durch den Fleiss des für

Vorwort.

VII

die sorgfältige Correctur unermüdlichen Hrn. Dr. Willing verbürgt ist, der bei dieser Gelegenheit manche Fehler in vielgebrauchten ähnlichen Werken aufgefunden hat, die er zum Nutzen der Besitzer derselben bekannt machen will.

Da die

Tafeln stereotyp sind, so wird ihre Richtigkeit mit dem Gebrauch steigen, indem jedes etwa noch aufgefundene Versehen für alle ferneren Abzüge berichtigt wird, neue aber, wie sonst bei neuen Auflagen, nicht einschleichen können. Für die Wohlfeilheit und für die Dauerhaftigkeit ist der verehrlichen Verlagshandlung Dank zu sagen. Sie hat sich in Hinsicht auf den letzten Punkt ganz nach dem ßathe BesseVs gerichtet, der sich für das Erscheinen dieser kleinen Tafeln brieflich interessirte, und ausser anderen aus seiner reichen Erfahrung geschöpften Winken für ein praktisches Buch dieser Art haltbares weisses Papier neben deutlich lesbarem Drucke als ein

vi«

Vorwort.

Haupterforderniss solcher Werke, die mehr zum Blättern, als zum Lesen bestimmt sind, dringend empfahl. So ist das Buch denn wohl berathen

und

wohl besorgt, möge es auch überall wohl aufgenommen sein! B e r l i n , im Mai 1846.

August.

I.

Logarithmentafel, enthaltend

a) die g e m e i n e n (briggschen) Logarithmen von 1 bis 1000 vollständig mit Charakteristik und fünfstelliger Mantisse. Seite 2—7. b) die fünfziffrigen Mantissen für alle vierziffrige Zahlen von 1000 bis 9999. Seite 8—33. c) Modulus. Grundzahl, Formeln und mehrere zwölfstellige Logarithmen des n a t ü r l i c h e n Systems. Seite 33 und 34.

91

Vollständige Logarithmen 0 1 2 3 4

10

11 12 13 14 15 16

17 18 19 20

21 22

23 24 26

27 28 29 30 31 32 33 34

0 — oo 1,00 000 1,30 103 1,47 712 1,60 206 1,69 897 1,77 815 1,84 510 1,90 309 1,95 424 2,00 000 2,04 139 2,07 918 2,11 394 2,14 613 2,17 609 2,20 412 2,23 045 2,25 527 2,27 875 2,30 103 2,32 222 2,34 242 2,36 173 2,38 021 2,39 794 2,41 497 2.43 136 2.44 716 2,46 240 2,47 712 2.49 136 2.50 515 2.51 851 2,53 148 0

1 0,00 000 1,04 139 1,32 222 1,49 136 1,61 278 1,70 757 1,78 533 1,85 126 1,90 849 1,95 904 2,00 432 2,04 532 2,08 279 2,11 727 2,14 922 2,17 898 2,20 683 2,23 300 2,25 768 2,28 103 2,30 320 2,32 428 2,34 439 2,36 361 2,38 202 2,39 967 2,41 664 2,43 297 2,44 871 2,46 389 2,47 857 2,49 276 2,50 651 2,51 983 2,53 275 1

2

0,30 103 1,07 918 1,34 242 1,50 515 1,62 325 1,71 600 1,79 239 1,85 733 1,91 381 1,96 379 2,00 860 2,04 922 2,08 636 2,12 057 2,15 229 2,18 184 2,20 952 2,23 553 2,26 007 2,28 330 2,30 535 2,32 634 2,34 635 2,36 549 2,3S 382 2,40 140 2,41 830 2,43 457 2,45 025 2,46 53S 2,48 001 2,49 415 2,50 786 2,52 114 2,53 403 2

3 0,47 712 1,11 394 1,36 173 1,51 851 1,63 347 1,72 428 1,79 934 1,86 332 1,91 908 1,96 848 2,01 284 2,05 308 2,08 991 2,12 385 2,15 534 2,18 469 2,21 219 2,23 805 2,26 245 2,28 556 2,30 750 2,32 838 2,34 830 2,36 736 2,38 561 2,40 312 2,41 996 2,43 616 2,45 179 2,46 687 2,48 144 2,49 554 2,50 920 2,52 244 2,53 529 3

4 0,60 20« 1,14 613 1,38 021 1,53 148 1,64 345 1,73 239 1,80 618 1,86 923 1,92 428 1,97 313 2,01 703 2,05 690 2,09 342 2,12 710 2,15 836 2,18 752 2,21 484 2,24 055 2,26 482 2,28 780 2,30 963 2,33 041 2,35 025 2,36 922 2,38 739 2,40 483 2,42 160 2,43 775 2,45 332 2,46 835 2,48 287 2,49 693 2,51 055 2,52 375 2,53 656 4

mit fünfziffrigen Mantissen. 5 0 0,69 897 1 1,17 609 2 1,39 794 3 1,54 407 4 1,65 321 5 1,74 036 6 1,81 291 7 1,87 506 8 1,92 942 9 1,97 772 10 2,02 119 11 2,06 070 12 2,09 691 13 2,13 033 14 i 2,16 137 15 2,19 033 16 2,21 748 17 2,24 304 18 2,26 717 19 2,29 003 20 2,31 175 21 2,33 244 22 2,35 218 23 2,37 107 24 2,38 917 25 2,40 654 26 2,42 325 27 2,43 933 28 2,45 484 29 2,46 982 30 2,48 430 31 2,49 831 32 2,51 1S8 33 2,52 504 34 2,53 782 5

6 0,77 815 1,20 412 1,41 497 1,55 630 1,66 276 1,74 819 1,81 954 1,88 081 1,93 450 1,98 227 2,02 531 2,06 446 2,10 037 2,13 354 2,16 435 2,19 312 2,22 011 2,24 551 2,26 951 2,29 226 2,31 387 2,33 445 2,35 411 2,37 291 2,39 094 2,40 824 2,42 488 2,44 091 2,45 637 2,47 129 2,48 572 2,49 969 2,51 322 2,52 634 2,53 908 6

7 0,84 510 1,23 045 1,43 136 1,56 820 1,67 210 1,75 587 1,82 607 1,88 649 1,93 952 1,98 677 2,02 938 2,06 819 2,10 380 2,13 672 2,16 732 2,19 590 2,22 272 2,24 797 2,27 184 2,29 447 2,31 597 2,33 646 2,35 603 2,37 475 2,39 270 2,40 993 2,42 651 2,44 248 2,45 788 2,47 276 2,48 714 2,50 106 2,51 455 2,52 763 2,54 033 7

8 0,90 309 1,25 527 1,44 716 1,57 978 1,68 124 1,76 343 1,83 251 1,89 209 1,94 448 1,99 123 2,03 342 2,07 188 2,10 721 2,13 988 2,17 026 2,19 866 2,22 531 2,25 042 2,27 416 2,29 667 2,31 806 2,33 846 2,35 793 2,37 658 2,39 445 2,41 162 2,42 813 2,44 404 2,45 939 2,47 422 2,48 855 2,50 243 2,51 587 2,52 892 2,54 158 8 a 2

9 0,95 424 1,27 875 1,46 240 1,59 106 1,69 020 1,77 085 1,83 885 1,89 763 1,94 939 1,99 564 2,03 743 2,07 555 2,11 059 2,14 301 2,17 319 2,20 140 2,22 789 2,25 285 2,27 646 2,29 885 2,32 015 2,34 044 2,35 984 2,37 840 2,39 620 2,41 330 2,42 975 2,44 560 2,46 090 2,47 567 2,48 996 2,50 379 2,51 720 2,53 020 2,54 283 9

Vollständige Logarithmen 0 1 35 2,54 407 2,54 531 36 2,55 630 2,55 751 37 2,56 820 2,56 937 38 2,57 978 2,58 092 39 2,59 106 2,59 218 40 2.60 206 2,60 314 41 2.61 278 2,61 384 42 2.62 325 2,62 428 43 2.63 347 2,63 448 44 2.64 345 2,64 444 45 2.65 321 2,65 418 46 2.66 276 2,66 370 47 2.67 210 2,67 302 48 2.68 124 2,68 215 49 2.69 020 2,69 108 50 2.69 897 2,69 984 51 2.70 757 2,70 842 52 2.71 600 2,71 684 53 2.72 428 2,72 509 54 2.73 239 2,73 320 55 2,74 036 2,74 115 56 2,74 819 2,74 896 57 2,75 587 2,75 664 58 2,76 343 2,76 418 59 2,77 085 2,77 159 60 2,77 815 2,77 887 61 2,78 533 '2,78 604 62 2,79 239 2,79 309 63 2,79 934 2,80 003 64 2,80 618 2,80 686 65 2,81 291 2,81 358 66 2,81 954 2,82 020 67 2,82-607 2,82 672 68 2,83 251 2,83 315 69 2,83 885 2,83 948 0 1

2 2,54 654 2,55 871 2,57 054 2,58 206 2,59 329 2,60 423 2,6l 490 2,62 531 2,63 548 2,64 542 2,65 514 2,66 464 2,67 394 2,68 305 2,69 197 2,70 070 2,70 927 2,71 767 2,72 591 2,73 400 2,74 194 2,74 974 2,75 740 2,76 492 2,77 232 2,77 960 2,78 675 2,79 379 2,80 072 2,80 754 2,81 425 2,82 086 2,82 737 2,83 378 2,84 011 2

3 2,54 777 2,55 991 2,57 171 2,58 320 2,59 439 2,60 531 2,61 595 2,62 634 2,63 649 2,64 640 2,65 610 2,66 558 2,67 486 2,68 395 2,69 285 2,70 157 2,71 012 2,71 850 2,72 673 2,73 480 2,74 273 2,75 051 2,75 815 2,76 567 2,77 305 2,78 032 2,78 746 2,79 449 2,80 140 2,80 821 2,81 491 2,82 151 2,82 802 2,S3 442 2,84 073 3

4 2,54 900 2,56 110 2,57 287 2,58 433 2,59 550 2,60 638 2,61 700 2,62 737 2,63 749 2,64 738 2,65 706 2,66 652 2,67'578 2,68 485 2,69 373 2,70 243 2,71 096 2,71 933 2,72 754 2,73 560 2,74 351 2,75 128 2,75 891 2,76 641 2,77 379 2,78 104 2,78 817 2,79 518 2,80 209 2,80 889 2,81 558 2,82 217 2,82 866 2,83 506 2,84 136 4

5

mit fünfziffrigen Mantissen. .35 .36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

öa

56 57 58 59

60 61 62

63 64 65

66 67

68 69

o

2.55 2.56 2.57 2.58 2.59 2.60 2.61 2.62 2.63 2.64 2.65 2.66 2.67 2.68 2.69 2.70 2.71 2.72 2.72 2.73 2.74 2.75 2.75 2.76 2.77 2,78 2.78 2.79 2.80 2,80 2.81 2.82 2.82 2.83 2.84 5

023 229 403 546 660 746 805 839 849 836 801 745 6(59 574 461 329 181 016 835 640 429 205 967 716 452 176 888 588 277 956 624 282 930 569 198

2.55 2.56 2.57 2.58 2.59 2.60 2.61 2.62 2.63 2.64 2.65 2.66 2.67 2.68 2.69 2,70 £,71 2,72 2.72 2.73 2.74 2.75 2.76 2.76 2.77 2,78 2.78 2.79 2.80 2.81 2.81 2.82 2.82 2.83 2.84

6

6

145 348 519 659 770' 853 909 941 949 933 896 839 761 664 548 415 265 099 916 719 507 282 042 790 525 247 958 657 346 023 690 347 995 632 261

7 2.55 267 2.56 467 2.57 634 2.58 771 2.59 879 2,60 959 2.62 014 2.63 043 2.64 048 2.65 031 2.65 992 2.66 932 2.67 852 2.68 753 2,(¡9 636 2.70 501 2.71 349 2.72 181 2.72 997 2.73 799 2.74 586 2.75 358 2.76 118 2.76 864 2.77 597 2.78 319 2.79 029 2.79 727 2.80 414 2.81 090 2.81 757 2.82 413 2.83 059 2.83 696 2.84 323 7

2.55 2.56 2.57 2.58 2.59 2,61

8

2,62

2,6.3 2.64 2.65 2.66 2.67 2.67 2.68 2.69 2.70 2.71 2.72 2.73 2,73 2.74 2.75 2.76 2.76 2.77 2.78 2.79 2.79 2.80 2.81 2.81 2.82 2.83 2.83 2.84

3S8 585 749 883 9S8 066 118

8

144 147 128 087 025 943 842 723 586 433, 263 078 878 663 435 193 938 670 390 099 796 482 158 823 478 123 759 386

2.55 2.56 2.57 2.58 2,60 2.61 2.62 2.63 2.64 2.65

9

2,66

2.67 2.68 2.68 2.69 2.70 2.71 2.72 2.73 2,73 2.74 2.75 2.76 2.77 2,77 2.78 2.79 2.79 2.80 2.81 2.81 2.82 2.83 2.83 2.84

509 703 864 995 097 172 221 246 246 225 181

9

117 0.34 931 810 672 517 346 159 957 741 511 26S 012 743 462 169 865 550 224 889 543 187 822 448

Vollständige Logarithmen 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80

81 82

83 84 85 86

87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

0 2.84 510 2.85 126 2.85 733 2.86 332 2,86 923 2.87 506 2.88 081 2.88 649 2.89 209 2,89 763 2,90 309 2.90 849 2.91 381 2.91 908 2.92 428 2.92 942 2.93 450 2.93 952 2.94 448 2,94 939 2,95 424 2.95 904 2.96 379 2.96 848 2.97 313 2.97 772 2.98 227 2.98 677 2.99 123 2,99 564 0

1 2,84 572 2,85 187 2,85 794 2,86 392 2,86 982 2,87 564 2,88 138 2,88 705 2,89 265 2,89 818 2,90 363 2,90 902 2,91 434 2,91 960 2,92 480 2,92 993 2,93 500 2,94 002 2,94 498 2,94 988 2,95 472 2,95 952 2,96 426 2,96 895 2,97 359 2,97 818 2,98 272 2,98 722 2,99 167 2,99 607 1

2

2,84 634 2,85 248 2,85 854 2,86 451 2,87 040 2,87 622 2,88 195 2,88 762 2,89 321 2,89 873 2,90 417 2,90 956 2,91 487 2,92 012 2,92 531 2,93 044 2,93 551 2,94 052 2,94 547 2,95 036 2,95 521 2,95 999 2,96 473 2,96 942 2,97 405 2,97 864 2,98 318 2,98 767 2,99 211 2,99 651 2

3 2,84 696 2,85 300 2,85 914 2,86 510 2,87 099 2,87 679 2,88 252 2,88 818 2,89 376 2,89 927 2,90 472 2,91 009 2,91 540 2,92 065 2,92 583 2,93 095 2,93 601 2,94 101 2,94 596 2,95 085 2,95 569 2,96 047 2,96 520 2,96 988 2,97 451 2,97 909 2,98 363 2,98 811 2.99 255 2,99 695 3

4 2,84 757 2,85 370 2,85 974 2,86 570 2,S7 157 2,87 737 2,88 309 2,88 874 2,89 432 2,89 9S2 2,90 526 2,91 062 2,91 593 2,92 117 2,92 634 2,93 146 2,93 651 2,94 151 2,94 645 2,95 134 2,95 617 2,96 095 2,96 567 2,97 035 2,97 497 2,97 955 2,98 408 2,98 856 2,99 300 2,99 739 4

B e m e r k u n g . Die vorangehenden, wie die folgenden, Tafeln haben für j e d e n darin enthaltenen Logarithmus einen C o l u m n e n - I n d e x und einen Z e i l e n - I n d e x , ersteren ü b e r und u n t e r der C o l u m n e , worin der Logarithmus steht, letzteren in gleicher Zeile mit ihm, v o r dem Doppelstrich.

7

mit fiinfziffrigen Mantissen.

5

2.84 819 2.85 431 2.86 034 2.86 629 2.87 216 2.87 795 2.88 366 2.88 930 2.89 487 2.90 037 2.90 580 2.91 116 2.91 645 2.92 169 2,92 686 2,93 197 2.93 702 2.94 201 2.94 694 2.95 182 2.95 665 2.96 142 2.96 614 2.97 081 2,97 543 2,98 000 2,98 453 2.98 900 2.99 344 2,99 782 5

6

2,84 880 2,85 491 2,86 094 2,86 688 2,87 274 ,2,87 852 2,88 423 2,88 986 2,89 542 2,90 091 2,90 634 2,91 169 2,91 698 2,9'2 221 2,92 737 2,93 247 2,93 752 2,94 250 2,94 743 2,95 231 2,95 713 2,96 190 2,96 661 2,97 128 2,97 589 2,98 046 2,98 498 2,98 945 2,99 388 2,99 826 6

7

2,84 942 2,85 552 2,86 153 2,86 747 2,87 332 2,87 910 2,88 480 2,89 042 2,89 597 2,90 146 2,90 687 2,91 222 2,91 751 2,92 273 2,92 788 2,93 298 2,93 802 2,94 300 2,94 792 2,95 279 2,95 761 2,96 237 2,96 708 2,97 174 2,97 635 2,98 091 2,98 543 2,98 989 2,99 432 2,99 870 7

8

2,85 003 2,85 612 2,86 213 2,86 806 2,87 390 2,87 967 2,88 536 2,89 098 2,89 653 2,90 200 2,90 741 2,91 275 2,91 803 2,92 324 2,92 840 2,93 349 2,93 852 2,94 349 2,94 841 2,95 328 2,95 809 2,96 284 2,96 755 2,97 220 2,97 681 2,98 137 2,98 588 2,99 034 2,99 476 2,99 913 8

9

2,85 065 2,85 673 2,86 273 2,86 864 2,87 448 2,88 024 2,88 593 2,89 154 2,89 708 2,90 255 2,90 795 2,91 328 2,91 855 2,92 376 2,92 891 2,93 399 2,93 902 2,94 399 2,94 890 2,95 376 2,95 856 2,96 332 2,96 802 2,97 267 2,97 727 2,98 182 2,98 632 2,99 078 2,99 520 2,99 957 9

Der Columnenindex ist die letzte Ziffer der zu dem Logarithmus gehörigen Zahl, d e r Zeilenindex giebt die dieser voran gehenden Ziffern. Z. B. Zur Zahl 7 8 3 gehört der Logarithmus 2 , 8 9 3 7 6 . Sein Zeilenindex ist 7 8 , der Columnenindex 3 . Vergl. Erläuterungen g. 6.

8 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134

Fünfziffrige Mantissen 0 1 2 3 4 00 000 043 087 130 173 432 475 518 561 604 860 903 945 988*030 01 284 326 368 410 452 703 745 787 828 870 02 119 160 202 243 284 531 572 612 653 694 938 979*019*060*100 03 342 383 423 463 503 743 782 822 862 902 04 139 179 218 258 297 532 571 610 650 689 922 961 999*038*077 05 308 346 385 423 461 690 729 767 805 843 06 070 108 145 183 221 446 483 521 558 595 819 856 893 930 967 07 188 225 262 298 335 555 591 628 664 700 918 954 990*027*063 08 279 314 350 386 422 636 672 707 743 778 991*026*061*096*132 09 342 377 412 447 482 691 726 760 795 830 10 037 072 106 140 175 380 415 449 483 517 721 755 789 823 857 11 059 093 126 160 193 394 428 461 494 528 727 760 793 826 860 12 057 090 123 156 189 3S5 418 450 483 516 710 743 775 808 840 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 217 260 303 346 389 647 689 732 775 817 *072*115*157*199*242 494 536 578 620 662 912 953 995*036*078 325 366 407 449 490 735 776 816 857 898 *141*181*222*262*302 543 583 623 663 703 941 981*021*060*100 336 376 415 454 493 727 766 805 844 883 *115*154*192*231*269 500 538 576 614 652 881 918 956 994*032 258 296 333 371 408 633 670 707 744 781 »004*041*078*115*151 372 408 445 482 518 737 773 809 846 882 »099*135*171*207*243 458 493 529 565 600 814 849 884 920 955 *167*202»237*272*307 517 552 587 621 656 864 899 934 968*003 209 243 278 312 346 551 585 619 653 687 890 924 958 992*025 227 261 294 327 361 561 594 628 661 694 893 926 959 992*024 222 254 287 320 352 548 581 613 646 678 872 905 937 969*001 5 6 7 8 9

der Logarithmen. 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

13

14 15 16 17

18 19

20

21 22

0 1 2 3 4 033 066 098 130 162 354 386 418 450 481 672 704 735 767 799 988*019*051*082*114 301 333 364 395 426 613 644 675 706 737 922 953 983*014*045 229 259 290 320 351 534 564 594 625 655 836 866 897 927 957 137 167 197 227 256 435 465 495 524 554 732 761 791 820 850 026 056 085 114 143 319 348 377 406 435 609 638 667 696 725 898 926 955 984*013 184 213 241 270 298 469 498 526 554 583 752 780 808 837 865 033 061 089 117 145 312 340 368 396 424 590 618 645 673 700 866 893 921 948 976 140 167 194 222 249 412 439 466 493 520 683 710 737 763 790 952 978*005*032*059 219 245 272 299 325 484 511 537 564 590 748 775 801 827 854 011 037 063 089 1J5 272 298 324 350 376 531 557 583 608 634 789 814 840 866 891 0 1 2 3 4

9

5 6 7 8 9 1). 194 226 258 290 322 32 513 545 577 609 640 830 862 893 925 956 *145*176*208*239*270 31 457 489 520 551 582 768 799 829 860 891 *076*106*137*168*198 381 412 442 473 503 685 715 746 776 806 30 987*017*047*077*107 286 316 346 376 406 584 613 643 673 702 879 909 938 967 997 29 173 202 231 260 289 464 493 522 551 580 754 782 811 840 869 *041*070*099*127*156 327 355 384 412 441 28 611 639 667 696 724 893 921 949 977*005 173 201 229 257 285 451 479 507 535 562 728 756 783 811 838 *003*030*058*085*112 27 276 303 330 358 385 548 575 602 629 656 817 844 871 898 925 "085*112*139*165*192 352 378 405 431 458 617 643 669 696 722 880 906 932 958 985 26 141 167 194 220 246 401 427 453 479 505 660 686 712 737 763 917 943 968 994*019 26 5 6 7 8 9

10 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204

Fünfziffrige Mantissen 0 23 045 300 553 805 24 055 304 551 797 25 042 285 527 768 26 007 245 482 717 951 27 184 416 646 875 28 103 330 556 780 29 003 226 447 667 885 30 103 320 535 750 963 0

1 2 3 4 070 096 121 147 325 350 376 401 578 603 629 654 830 855 880 905 080 105 130 155 329 353 378 403 576 601 625 650 822 846 871 895 066 091 115 139 310 334 358 382 551 575 600 624 792 816 840 864 031 055 079 102 269 293 316 340 505 529 553 576 741 764 788 811 975 998*021*045 207 231 254 277 439 462 485 508 669 692 715 738 898 921 944 967 126 149 171 194 353 375 398 421 578 601 623 646 803 825 847 870 026 048 070 092 248 270 292 314 469 491 513 535 688 710 732 754 907 929 951 973 125 146 168 190 341 363 384 406 557 578 600 621 771 792 814 835 984*006*027*048 1 2 3 4

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der Logarithmen. 205 200 207 20S 209 210 211 212 213 214 215 21(5 217 218 219 220 221 222 223 224 225 220 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239

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11 D.

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Fünfziffrige Mantissen 0 1 2 3 4 38 021 039 057 075 093 202 220 238 256 274 382 399 417 435 453 561 578 596 614 632 739 757 775 792 810 917 934 952 970 987 39 094 111 129 146 164 270 287 305 322 340 445 463 480 498 515 620 633 655 672 690 794 811 829 846 863 967 985*002*019*037 40 140 157 175 192 209 312 329 346 364 381 483 500 518 535 552 654 671 688 705 722 824 841 858 875 892 993*010*027*044*061 41 162 179 196 212 229 330 347 363 380 397 497 514 531 547 564 664 681 697 714 731 830 847 863 880 896 996*012*029*045*062 42 160 177 193 210 226 325 341 357 374 390 488 504 521 537 553 651 667 684 700 716 813 830 846 862 878 975 991*008*024*040 43 136 152 169 185 201 297 313 329 345 361 457 473 489 505 521 616 632 648 664 680 775 791 807 823 838 0 1 2 3 4

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der Logarithmen. 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309

0 1 2 3 4 43 933 949 965 981 996 44 091 107 122 138 154 248 264 279 295 311 404 420 436 451 467 560 576 592 607 623 716 731 747 762 778 871 886 902 917 932 45 025 040 056 071 086 179 194 209 225 240 332 347 362 378 393 484 500 515 530 545 637 652 667 682 697 788 803 818 834 849 939 954 969 984*000 46 090 105 120 135 150 240 255 270 285 300 389 404 419 434 449 538 553 568 583 598 687 702 716 731 746 835 850 864 879 894 982 997*012*026*041 47 129 144 159 173 188 276 290 305 319 334 422 436 451 465 480 567 582 596 611 625 712 727 741 756 770 857 871 885 900 914 48 001 015 029 044 058 144 159 173 187 202 287 302 316 330 344 430 144 458 473 487 572 586 601 615 629 714 728 742 756 770 855 869 883 897 911 996*010*024*038*052 0 1 2 3 4

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Fiinfziffrige Mantissen

14 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344

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719 732 744 757 769113

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der Logarithmen. 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 35S 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379

15

5 6 7 8 9 D. 0 1 2 3 4 53 782 794 807 820 832 845 857 870 882 895 13 908 920 933 945 958 970 983 995*008*020 54 033 045 058 070 083 095 108 120 133 145 158 170 183 195 208 220 233 245 258 270 283 295 307 320 332 345 357 370 382 394 407 419 432 444 456 469 481 494 506 518 12 531 543 555 568 580 593 605 617 630 642 654 667 679 691 704 716 728 741 753 765 777 790 802 814 827 839 S51 864 876 S88 900 913 925 937 949 962 974 986 998*011 55 023 035 047 000 072 084 096 108 121 133 145 157 169 182 194 206 218 230 242 255 267 279 291 303 315 328 340 352 364 376 388 400 413 425 437 449 461 473 485 497 509 522 534 546 558 570 582 594 606 618 630 642 654 666 678 691 703 715 727 739 751 763 775 787 799 811 823 835 847 859 871 883 895 907 919 931 943 955 967 979 12 991*003*015*027*038 *050*062*074*086*098 56 110 122 134 146 158 170 182 194 205 217 229 241 253 265 277 289 301 312 324 336 348 360 372 384 396 407 419 431 443 455 467 478 490 502 514 526 538 549 561 573 585 597 608 620 632 644 656 667 679 691 703 714 726 738 750 761 773 785 797 808 820 832 844 855 867 879 891 902 914 926 937 949 961 972 984 996*008*019*031*043 57 054 066 078 089 101 113 124 136 148 159 171 183 194 206 217 229 241 252 264 276 287 299 310 322 334 345 357 368 380 392 403 415 426 438 449 461 473 484 496 507 519 530 542 553 565 576 588 600 611 623 634 646 657 669 680 692 703 715 726 738 749 761 772 784 795 807 818 830 841 852 864 875 887 898 910 921 933 944 955 967 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Iß 380 3SI 382 383 884 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410

411 412 413 414

Funfziffrige Mantissen 0 1 2 3 4 57 978 990*001*013*024 58 092 104 115 127 138 206 218 229 240 252 320 331 343 354 365 433 444 456 467 478 546 557 569 580 591 659 670 681 692 704 771 782 794 805 816 883 894 906 917 928 995*006*017*028*040 59 106 118 129 140 151 218 229 240 251 262 329 340 351 362 373 439 450 461 472 483 550 561 572 583 594 660 671 682 693 704 770 780 791 802 813 879 890 901 912 923 988 999*010*021*032 60 097 108 119 130 141 206 217 228 239 249 314 325 336 347 358 423 433 444 455 466 531 541 552 563 574 638 649 660 670 681 746 756 767 778 788 853 863 874 885 895 959 970 981 991*002 61 066 077 087 098 109 172 183 194 204 215 278 289 300 310 321 384 395 405 416 426 490 500 511 521 532 595 606 616 627 637 700 711 721 731 742 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 *035»047*058*070*081 149 161 172 184 195 263 274 286 297 309 377 388 399 410 422 490 501 512 '524 535 602 614 625 636 647 715 726 737 749 760 827 838 850 861 872 939 950 961 973 984 *051*062*073*084*095 162 173 184 195 207 273 284 295 306 318 384 395 406 417 428 494 506 517 528 539 605 6J6 627 638 649 715 726 737 748 759 li 824 835 846 857 868 934 945 956 966 977 *043*054*065*076*086 152 163 173 184 195 260 271 282 293 304 369 379 390 401 412 477 487 498 509 520 584 595 606 617 627 692 703 713 724 735 799 810.821 831 842 906 917 927 938 949 *013*023*034*045*055 119 130 140 151 162 225 236 247 257 268 331 342 352 363 374 437 448 458 469 479 542 553 563 574 584 648 658 669 679 690 752 763 773 784 794 5 6 7 8 9

der Logarithmen. 415 416 417 418 419 420 4^1 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449

0 61 805 909 62 014 118 221 325 428 531 634 737 839 941 63 043 144 246 347 448 548 649 749 849 949 64 048 147 246 346 444 542 640 738 836 933 65 031 128 225 0

1 2 815 826 920 930 024 034 128 138 232 242 335 346 439 449 542 552 644 655 747 757 849 859 951 961 053 063 155 165 256 266 357 367 458 468 558 568 659 669 759 769 859 869 959 969 058 068 157 167 256 266 355 365 454 464 552 562 650 660 748 758 846 856 943 953 040 050 137 147 234 244 1 2

3 836 941 045 149 252 356 459 562 665 767 870 972 073 175 276 377 478 579 679 779 879 979 078 177 276 375 473 572 670 768 865 963 060 157 254 3

4 847 951 055 159 263 366 469 572 675 778 880 982 083 185 286 387 488 589 689 789 889 988 088 187 286 385 483 582 680 777 875 972 070 167 263 4

17

5 6 7 8 9 857 868 878 888 899 962 972 982 993*003 066 076 086 097 107 170 180 190 201 211 273 284 294 304 315 377 387 397 408 418 480 490 500 511 521 583 593 603 613 624 685 696 706 716 726 788 793 808 818 829 890 900 910 921 931 992*002*012*022*033 094 104 114 124 134 195 205 215 225 236 296 306 317 327 337 397 407 417 428 438 498 508 518 528 538 599 609 619 629 639 699 709 719 729 739 799 809 819 829 839 899 909 919 929 939 998*008*018*028*038 098 108 118 128 137 197 207 217 227 237 296 306 316 326 335 395 404 414 424 434 493 503 513 523 532 591 601 611 621 631 689 699 709 719 729 787 797 807 816 826 885 895 904 914 924 982 992*002*011*021 079 089 099 108 118 176 186 196 205 215 273 283 292 302 312 5 6 7 8 9

SB

D. ll

10

10

9

18 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484

F i i n f z i f f r i g e Mantissen 0 1 2 3 4 65 321 331 341 350 360 418 427 437 447 456 514 523 533 543 552 610 619 629 639 648 706 715 725 734 744 801 811 820 830 8 3 9 896 906 916 925 935 992*001*011*020*030 66 087 096 106 115 124 181 191 200 210 219 276 285 295 304 314 370 380 389 398 408 464 474 483 492 502 558 567 577 586 596 . 652 661 671 680 689 745 755 764 773 783 839 848 857 867 876 932 941 950 960 969 67 025 034 043 052 062 117 127 136 145 154 210 219 228 237 247 302 311 321 330 339 394 403 413 422 431 486 495 504 514 523 578 587 596 605 614 669 679 688 697 706 761 770 779 788 797 852 861 870 879 888 943 952 961 970 979 68 034 043 052 061 070 124 133 142 151 160 215 224 233 242 251 305 314 323 332 341 395 404 413 422 431 485 494 502 511 520 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 369 379 389 398 408 466 475 485 495 504 562 571 581 591 600 658 667 677 686 696 753 763 772 782 792 849 858 868 877 887 944 954 963 973 982 »039*049*058*068*077 134 143 153 162 172 229 238 247 257 266 323 332 342 351 361 417 427 436 445 455 511 521 530 539 549 605 614 624 633 642 699 708 717 727 736 792 801 811 820 829 885 894 904 913 922 978 987 997*006*015 071 080 089 099 108 164 173 182 191 201 256 265 274 284 293 348 357 367 376 385 440 449 459 468 477 532 541 550 560 569 624 633 642 651 660 715 724 733 742 752 806 815 825 834 843 897 906 916 925 934 988 997*006*015*024 079 088 097 106 115 169 178 187 196 205 260 269 278 287 296 350 359 368 377 386 440 449 458 467 476 529 538 547 556 565 5 6 7 8 9

D. 10

9

0

19

der Logarithmen. 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494, 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519

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Fünfziffrige Mantissen 0 1 2 3 4 71 600 609 617 625 634 684 692 700 709 717 767 775 784 792 800 850 858 867 8J5 883 933 941 950 958 966 72 016 024*032 041 049 099 107 115 123 132 181 189 198 206 214 263 272 280 288 296 346 354 362 370 378 428 436 444 452 460 509 518 526 534 542 591 599 607 616 624 673 681 689 697 705 754 762 770 779 787 835 843 852 860 868 916 925 933 941 949 997*006*014*022*030 73 078 086 094 102 111 159 167 175 183 191 239 247 255 263 272 320 328 336 344 352 400 408 416 424 432 480 4S8 496 504 512 560 568 576 584 592 640 648 656 664 672 719 727 735 743 751 799 807 815 823 830 878 886 894 902 910 957 965 973 981 989 74 036 044 052 060 068 115 123 131 139 147 194 202 210 218 225 273 280 288 296 304 351 359 367 374 382 0 1 2 3 4

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D. 8

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der Logarithmen. 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589

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3 4 453 461 531 539 609 617 687 695 764 772 842 850 920 927 997*005 074 082 151 159 228 236 305 312 381 389 458 465 534 542 610 618 686 694 762 770 838 846 914 921 989 997 065 072 140 148 215 223 290 298 365 373 440 448 515 522 589 597 664 671 738 745 812 819 886 893 960 967 034 041 3 4

6 7 8 9 5 468 476 484 492 500 547 554 562 570 578 624 632 640 648 656 702 710 718 726 733 780 788 796 803 811 858 865 873 881 889 935 943 950 958 966 »012*020*028*035*043 089 097 105 113 120 166 174 182 189 197 243 251 259 266 274 320 328 335 343 351 397 404 412 420 427 473 481 488 496 504 549 557 565 572 580 626 633 641 648 656 702 709 717 724 732 778 785 793 800 808 853 861 868 876 884 929 937 944 952 959 *005*012*020*027*035 080 087 095 103 110 155 163 170 178 185 230 238 245 253 260 305 313 320 328 335 380 388 395 403 410 455 462 470 477 485 530 537 545 552 559 604 612 619 626 634 678 686 693 701 708 753 760 768 775 782 827 834 842 849 856 901 908 916 923 930 975 982 989 997*004 048 056 063 070 078 5 6 7 8 9

21

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Fünfziffrige Mantissen

0 1 2 ,3 4 59ft 77 085 093 100 107 115 159 166 173 181 188 591 232 240 247 254 262 592 305 313 320 327 335 593 379 386 393 401 408 594 452 459 466 474 481 595 525 532 539 546 554 596 597 605 612 619 627 597 670 677 685 692 699 598 743 750 757 764 772 599 815 822 830 837 844 600 887 895 902 909 916 601 960 967 974 981 988 602 603 78 032 039 046 053 061 104 111 118 125 132 604 176 183 190 197 204 605 247 254 262 269 276 606 319 326 333 340 347 607 390 398 405 412 419 608 462 469 476 483 490 609 533 540 547 554 561 610 604 611 618 625 633 611 675 682 689 696 704 612 746 753 760 767 774 613 817 824 831 838 845 614 615 888 895 902 909 916 958 965 972 979 986 616 617 79 029 036 043 050 057 099 106 113 120 127 618 169 176 183 190 197 619 620 239 246 253 260 267 309 316 323 330 337 621 379 386 393 400 407 622 449 456 463 470 477 623 518 525 532 539 546 624 0 1 2 3 4

5 .6 7 8 9 122 129 137 144 151 195 203 210 217 225 269 276 283 291 298 342 349 357 364 371 415 422 430 437 444 488 495 503 510 517 561 568 576 583 590 634 641 648 656 663 706 714 721 728 735 779 786 793 801 808 851 859 866 873 880 924 931 938 945 952 996*003*010*017*025 068 075 082 089 097 140 147 154 161 168 211 219 226 233 240 283 290 297 305 312 355 362 369 376 383 426 433 440 447 455 497 504 512 519 526 569 576 583 590 597 640 647 654 661 668 711 718 725 732 739 781 789 796 803 810 852 859 866 873 880 923,930 937 944 951 993*000*007*014*021 064 071 078 085 092 134 141 148 155 162 204 211 218 225 232 274 281 288 295 302 344 351 358 365 372 414 421 428 435 442 484 491 498 505 511 553 560 567 574 581 5 6 7 8 9

D. 8

7

7

der Logarithmen. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 625 79 588 595 602 609 616 623 630 637 644 650 657 664 671 678 685 692 699 706 713 720 626 727 734 741 748 754 761 768 775 782 789 627 796 803 810 817 824 831 837 844 851 858 628 865 872 879 886 893 900 906 913 920 927 629 934 941 948 955 962 969 975 982 989 996 630 631 80 003 010 017 024 030 037 044 051 058 065 072 079 085 092 099 106 113 120 127 134 632 140 147 154 161 168 175 182 188 195 202 633 209 216 223 229 236 243 250 257 264 271 634 277 284 291 298 305 312 318 325 332 339 635 346 353 359 366 373 380 387 393 400 407 636 414 421 428 434 441 448 455 462 468 475 537 482 489 496 502 509 516 523 530 536 543 638 550 557 564 570 577 584 591 598 604 611 639 618 625 632 638 645 652 659 665 672 679 640 686 693 699 706 713 720 726 733 740 747 641 754 760 767 774 781 787 794 801 808 814 642 821 828 835 841 848 855 862 868 875 882 643 889 895 902 909 916 922 929 936 943 949 644 645 956 963 969 976 983 990 996*003*010*017 646 81 023 030 037 043 050 057 064 070 077 084 090 097 104 111 117 124 131 137 144 151 647 158 164 171 178 184 191 198 204 211 218 648 224 231 238 245 251 258 265 271 278 285 649 291 298 305 311 318 325 331 338 345 351 650 358 365 371 378 385 391 398 405 411 418 651 425 431 438 445 451 458 465 471 478 485 652 491 498 505 511 518 525 531 538 544 551 653 558 564 571 578 584 591 598 604 611 617 654 624 631 637 644 651 657 664 671 677 684 655 690 697 704 710 717 723 730 737 743 750 656 757 763 770 776 783 790 796 803 809 816 657 823 829 836 842 849 856 862 869 875 882 658 889 895 902 908 915 921 928 935 941 948 659 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

23

Fünfziffrige

24

Mantissen

1 2 0 660 8 1 9 5 4 961 9 6 8 6 6 1 8 2 0 2 0 027 033 662 086 092 099 151 158 164 663 217" 223 2 3 0 664 282 2 8 9 2 9 5 665 347 3 5 4 3 6 0 666 4 1 3 4 1 9 426 667 4 7 8 4 8 4 491 668 543 5 4 9 5 5 6 660

3 974 040 105 171 236

4 981 046 112 178 243

5 987 053 119 184 249

6 7 8 9 D. 994*000*007*014 7 060 0 6 6 073 0 7 9 125 132 138 145 191 197 2 0 4 210 256 2 6 3 269 2 7 6

302 367 432 497 562

308 373 439 504 569

315 380 445 510 575

321 387 452 517 582

328 393 458 523 588

334 400 465 530 595

341 406 471 536 601

607 672 737 802 866

627 692 756 821 885

633 698 763 827 892

640 705 769 834 898

646 711 776 840 905

653 718 782 847 911

659 724 789 853 918

666 730 795 860 924

670 671 672 673 674 675 67(5 677 8 3 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 84 693 694

614 679 743 808 872

620 685 750 814 879

9 3 0 937 9 4 3 9 5 0 956 9 6 3 969 975 982 9 8 8 S 995*001*008*014*020 »027*033*040*046*052 0 5 9 065 0 7 2 0 7 8 085 091 097 104 110 117 123 129 1 3 6 142 149 155 161 168 174 181 187 193 2 0 0 2 0 6 213 219 225 2 3 2 2 3 8 245 251 315 378 442 506

257 321 385 448 512

264 327 391 455 518

270 334 398 461 525

276 340 404 467 531

283 347 410 474 537

289 353 417 480 544

296 359 423 487 550

302 366 429 493 556

308 372 436 499 563

569 632 696 759 822

575 639 702 765 828

582 645 708 771 835

588 651 715 778 841

594 658 721 784 847

601 664 727 790 853

607 670 734 797 860

613 677 740 803 866

620 683 746 809 872

626 689 753 816 879

885 948 011 073 136 0

891 954 017 080 142 1

897 960 023 086 148 2

904 967 029 092 155 3

910 973 036 098 161 4

916 979 042 105 167 5

923 985 048 111 173 6

929 992 055 117 180 7

935 942 998*004 061 067 123 130 186 192 8 8 9

der Logarithmen.

25

1 205 267 330 392 454

2 211 273 336 398 460

3 217 280 342 404 466

223 286 348 410 473

4

5 230 292 354 417 479

6 236 298 361 423 485

7 242 305 367 429 491

8 248 311 373 435 497

9 D. 255 6 317 379 442 504

516 578 640 702 763

522 584 646 708 770

528 590 652 714 776

535 597 658 720 782

541 603 665 726 788

547 609 671 733 794

553 615 677 739 800

559 621 683 745 807

566 628 689 751 813

825 887 948 009 071

831 893 954 016 077

837 899 960 022 083

844 905 967 028 089

850 911 973 034 095

856 917 979 040 101

862 924 985 046 107

868 930 991 052 114

874 936 997 058 120

132 193 254 315 376

138 199 260 321 382

144 205 266 327 388

150 211 272 333 394

156 217 278 339 400

163 224 285 345 406

169 230 291 352 412

175 236 297 358 418

181 S 242 303 364 425

431 491 552 612 673

437 497 558 618 679

443 503 564 625 685

449 509 570 631 691

455 516 576 637 697

461 522 582 643 703

467 528 588 649 709

473 534 594 655 715

479 540 600 661 721

485 546 606 667 727

733 794 854 914 974

739 800 860 920 980

745 806 866 926 986

751 812 872 932 992

757 763 769 775 781 788 8 1 8 824 8 3 0 836 842 8 4 8 878 884 890 896 902 908 938 944 9 5 0 956 962 968 998 * 0 0 4 * 0 1 0 * 0 1 6 * 0 2 2 * 0 2 8

725 86 0 3 4 0 4 0 046 726 094 100 106 727 153 159 165 213 219 225 728 273 279 285 729

052 112 171 231 291

058 118 177 237 297

0 695 8 4 198 261 696 323 697 386 698 448 699 700 510 572 701 634 702 696 703 757 704 705 819 880 706 942 707 708 8 5 003 065 709 126 710 187 711 248 712 309 713 370 714 715 716 7171 718 719 720 721 722 723 724

0

1 2

3

4

064 124 183 243 303 5

070 130 189 249 308 6

076 136 195 255 314 7

082 141 201 261 320 8

088 147 207 267 326 6 9

26

Fiinfziffrige Mantissen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 730 86 332 338 344 350 356 362 368 374 380 386 392 398 404 410 415 421 427 433 439 445 731 451 457 463 469 475 481 487 493 499 504 732 510 516 522 528 534 540 546 552 558" 564 733 570 576 581 587 593 599 605 611 617 623 734 629 635 641 646 652 658 664 670 676 682 735 688 694 700 705 711 717 723 729 735 741 736 747 753 759 764 770 776 782 788 794 800 737 806 812 817 823 829 835 841 847 853 859 738 864 870 876 882 888 894 900 906 911 917 739 923 929 935 941 947 953 958 964 970 976 740 982 988 994 999*005 *011*017*023*029*035 741 742 87 040 046 052 058 064 070 075 081 087 093 099 105 111 116 122 128 134 140 146 151 743 157 163 169 175 181 186 192 198 204 210 744 216 221 227 233 239 245 251 256 262 268 745 274 280 286 291 297 303 309 315 320 326 746 332 338 344 349 355 361 367 373 379 384 747 748 390 396 402 408 413 419 425 431 437 442 448 454 460 466 471 477 483 489 495 500 749 506 512 518 523 529 535 541 547 552 558 750 564 570 576 581 587 593 599 604 610 616 751 752 622 628 633 639 645 651 656 662 668 674 679 685 691 697 703 708 714 720 726 731 753 754 737 743 749 754 760 766 772 777 783 789 755 795 800 806 812 818 823 829 835 841 846 852 858 864 869 875 881 887 892 898 904 756 910 915 921 927 933 938 944 950 955 961 757 967 973 978 984 990 996*001*007*013*018 758 759 88 024 030 036 041 047 053 058 064 070 076 081 087 093 098 104 110 116 121 127 133 760 138 144 150 156 161 167 173 178 184 190 761 195 201 207 213 218 224 230 235 241 247 762 252 258 264 270 275 281 287 292 298 304 763 309 315 321 326 332 338 343 349 355 360 764 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

der Logarithmen.

27

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D. 765 88 366 372 377 383 389 395 400 406 412 417 8 766 423 429 434 440 446 451 457 463 468 474 767 480 485 491 497 502 508 513 519 525 530 768 536 542 547 553 559 564 570 576 581 587 769 593 598 604 610 615 621 627 632 638 643 770 649 655 660 666 672 677 683 689 694 700 771 705 711 717 722 728 734 739 745 750 756 772 762 767 773 779 784 790 795 801 807 812 - 818 824 829 835 840 846 852 857 863 868 773 874 §80 885 891 897 902 908 913 919 925 77-1 775 930 936 941 947 953 958 964 969 975 981 986 992 997*003*009 »014*020*025*031*037 776 777 89 042 048 053 059 064 070 076 081 087 092 098 104 109 115 120 126 131 137 143 148 77S 154 159 165 170 176 182 187 193 198 204 779 780 209 215 221 226.232 237 243 248 254 260 6 781 265 271 276 282 287 293 298 304 310 315 1 782 321 326 332 337 343 348 354 360 365 371 •376 382 387 393 398 404 409 415 421 426 783 432 437 443 448 454 459 465 470 476 481 784 785 487 492 498 504 509 515 520 526 531 537 542 548 553 559 564 570 575 581 586 592 786 597 603 609 614 620 625 631 636 642 647 787 653 658 664 669 675 680 686 691 697 702 788 708 713 719 724 730 735 741 746 752 757 789 763 768 774 779 785 790 796 801 807 812 790 818 823 829 834 840 845 851 856 862 867 791 873 878 883 889 894 900 905 911 916 922 792 927 933 938 944 949 955 960 966 971 977 793 982 988 993 998*004 *009*015*020*026*031 794 795 90 037 042 048 053 059 064 069 075 080 086 796 091 097 102 108 113 119 124 129 135 140 146 151 157 162 168 173 179 184 189 195 797 200 206 211 217 222 227 233 238 244 249 798 255 260 266 271 276 282 287 293 298 304 3 799 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

28 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 810 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834

Fünfziffrige Mantissen 0 90 309 363 417 472 526 580 634 687 741 795 849 902 956 91 009 062 116 169 222 275 328 381 434 487 540 593 * 645 698 751 803 855 908 960 92 012 065 117 0

1 2 314 320 369 374 423 428 477 482 531 536 585 590 639 644 693 698 747 752 800 806 854 859 907 913 961 966 014 020 068 073 121 126 174 180 228 233 281 286 334 339 387 392 440 445 492 498 545 551 598 603 Ö51 656 703 709 756 761 808 814 861 866 913 918 965 971 018 023 070 075 122 127 1 2

3 325 380 434 488 542 596 650 703 757 811 865 918 972 025 078 132 185 238 291 344 397 450 503 556 609 661 714 766 819 871 924 976 028 080 132 3

4 331 385 439 493 547 601 655 709 763 816 870 924 977 030 084 137 190 243 297 350 403 455 508 561 614 666 719 772 824 876 929 981 033 085 137 4

5 336 390 445 499 553 607 660 714 768 822 875 929 982 036 089 142 196 249 302 355 408 461 514 566 619 672 724 777 829 882 934 986 038 091 143 5

6 342 396 450 504 558 612 666 720 773 827 881 934 988 041 094 148 201 254 307 360 413 466 519 572 624 677 730 782 834 887 939 991 044 096 148 6

7 8 9 347 352 358 401 407 412 455 461 466 509 515 520 563 569 574 617 623 628 671 677 682 725 730 736 779 784 789 832 838 843 886 891 897 940 945 950 993 998*004 046 052 057 100 105 110 153 158 164 206 212 217 259 265 270 312 318 323 365 371 376 418 424 429 471 477 482 524 529 535 577 582 587 630 635 640 682 687 693 735 740 745 787 793 798 840 845 850 892 897 903 944 950 955 997*002*007 049 054 059 101 106 I I I 153 158 163 7 8 9

D. t

s

8

der Logarithmen. 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 835 92 169 174 179 184 189 195 200 205 210 215 221 226 231 236 241 247 252 257 262 267 836 273 278 283 288 293 298 304 309 314 319 837 324 330 335 340 345 350 355 361 366 371 838 376 381 387 392 397 402 407 412 418 423 839 428 433 438 443 449 454 459 464 469 474 840 480 485 490 495 500 505 511 516 521 526 841 531 536 542 547 552 557 562 567 572 578 842 583 588 593 598 603 609 614 619 624 629 843 634 639 645 650 655 660 665 670 675 681 844 845 686 691 696 701 706 711 716 722 727 732 846 737 742 747 752 758 763 768 773 778 783 847 788 793 799 804 809 814 819 824 829 834 848 840 845 850 855 860 865 870 875 881 886 891 896 901 906 911 916 921 927 932 937 849 850 942 947 952 957 962 967 973 978 983 988 993 998*003*008*013 *018*024*029*034*039 851 852 93 044 049 054 059 064 069 075 080 085 090 095 100 105 110 115 120 125 131 136 141 853 146 151 156 161 166 171 176 181 186 192 854 855 197 202 207 212 217 222 227 232 237 242 856 247 252 258 263 268 273 278 283 288 293 298 303 308 313 318 323 328 334 339 344 857 349 354 359 364 369 374 379 384 389 394 858 399 404 409 414 420 425 430 435 440 445 859 450 455 460 465 470 475 480 485 490 495 860 500 505 510 515 520 526 531 536 541 546 861 551 556 561 566 571 576 581 586 591 596 862 601 606 611 616 621 626 631 636 641 646 863 651 656 661 666 671 676 682 687 692 697 864 865 702 707 712 717 722 727 732 737 742 747 752 757 762 767 772 777 782 787 792 797 866 802 807 812 817 822 827 832 837 842 847 867 852 857 862 867 872 877 882 887 892 897 868 902 907 912 917 922 927 932 937 942 947 869 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

29

30

Fünfziffrige Mantissen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D. 870 93 952 957 962 967 972 977 982 987 992 997 5 871 94 002 007 012 017 022 027 032 037 042 047 052 057 062 067 072 077 082 086 091 096 872 101 106 111 116 121 126 131 136 141 146 873 151 156 161 166 171 176 181 186 191 196 874 875 201 206 211 216 221 226 231 236 240 245 250 255 260 265 270 275 280 285 290 295 876 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345 877 349 354 359 364 369 374 379 384 389 394 878 399 404 409 414 4J9 424 429 433 438 443 879 448 453 458 463 468 473 478 483 488 493 880 498 503 507 512 517 522 527 532 537 542 881 547 552 557 562 567 571 576 581 586 591 882 596 601 606 611 616 621 626 630 635 640 883 645 650 655 660 665 670 675 680 685 689 884 694 699 704 709 714 719 724 729 734 738 6 885 743 748 753 758 763 768 773 778 783 787 886 792 797 802 807 812 817 822 827 832 836 887 841 846 851 856 861 866 871 876 880 885 888 890 895 900 905 910 915 919 924 929 934 889 939 944 949 954 959 963 968 973 978 983 890 988 993 998*002*007 *012*017*022*027*032 891 892 95 036 041 046 051 056 061 066 071' 075 080 085 090 095 100 105 109 114 119 124 129 893 134 139 143 148 153 158 163 168 173 177 894 895 182 187 192 197 202 207 211 216 221 226 231 236 240 245 250 255 260 265 270 274 896 279 284 289 294 299 303 308 313 318 323 897 328 332 337 342 347 352 357 361 366 371 898 376 381 386 390 395 400 405 410 415 419 899 900 424 429 434 439 444 448 453 458 463 468 472 477 482 487 492 497 501 506 511 516 901 521 525 530 535 540 545 550 554 559 564 902 569 574 578 583 588 593 598 602 607 612 903 617 622 626 631 636 641 646 650 655 660 s 904 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

der Logarithmen.

31

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D. 905 95 665 670 674 679 684 689 694 698 703 708 s 713 718 722 727 732 737 742 746 751 756 906 761 766 770 775 780 785 789 794 799 804 907 809 813 818 823 828 832 837 842 847 852 908 856 861 866 871 875 880 885 890 895 899 909 910 904 909 914 918 923 928 933 938 942 947 952 957 961 966 971 976 980 985 990 995 911 999*004*009*014*019 *023*028*033*038*042 912 913 96 047 052 057 061 066 071 076 080 085 090 095-099 104 109 114 118 123 128 133 137 914 142 147 152 156 161 166 171 175 180 185 915 190 194 199 204 209 213 218 223 227 232 916 237 242 246 251 256 261 265 270 275 280 917 284 289 294 298 303 308 313 317 322 327 918 332 336 341 346 350 355 360 365 369 374 919 379 384 388 393 398 402 407 412 417 421 5 920 426 431 435 440 445 450 454 459 464 468 921 473 478 483 487 492 497 501 506 a l l 515 922 520 525 530 534 539 544 548 553 558 562 923 567 572 577 581 586 591 595 600 605 609 924 925 614 619 624 628 633 638 642 647 652 656 926 661 666 670 675 680 685 689 694 699 703 927 708 713 717 722 727 731 736 741 745 750 928 755 759 764 769 774 778 783 788 792 797 929 802 806 811 816 820 825 830 834 839 844 930 848 853 858 862 867 872 876 881 886 890 931 895 900 904 909 914 918 923 928 932 937 932 942 946 951 956 960 965 970 974 979 984 988 993 997*002*007 *011*016*021*025*030 933 934 97 035 039 044 049 053 058 063 067 072 077 935 081 086 090 095 100 104 109 114 118 123 936 128 132 137 142 146 151 155 160 165 169 937 174 179 183 188 192 197 202 206 211 216 220 225 230 234 239 243 248 253 257 262 938 267 271 276 280 285 290 294 299 304 308 5 939 1 2 3 4 0 5 6 7 8 9

32

Fünfziffrige Mantissen

7 8 9 5 6 4 0 1 2 3 940 97 313 317 322 327 331 336 340 345 350 354 359 364 368 373 377 382 387 391 396 400 941 405 410 414 419 424 428 433 437 442 447 942 451 456 460 465 470 474 479 483 488 493 943 497 502 506 511 516 520 525 529 534 539 944 543 548 552 557 562 566 571 575 580 585 945 589 594 598 603 607 612 617 621 626 630 946 635 640 644 649 653 658 663 667 672 676 947 681 685 690 695 699 704 708 713 717 722 948 727 731 736 740 745 749 754 759 763 768 949 950 772 777 782 786 791 795 800 804 809 813 818 823 827 832 836 841 845 850 855 859 951 864 868 873 877 882 886 891 896 900 905 952 909 914 918 923 928 932 937 941 946 950 953 955 959 964 968 973 978 982 987 991 996 954 955 98 000 005 009 014 019 023 028 032 037 041 046 050 055 059 064 068 073 078 082 087 956 091 096 100 105 109 114 118 123 127 132 957 958 137 141 146 150 155 159 164 168 173 177 182 186 191 195 200 204 209 214 218 223 959 960 227 232 236 241 245 250 254 259 263 268 961 272 277 281 286 290 295 299 304 308 313 962 318 322 327 331 336 340 345 349 354 358 963 363 367 372 376 381 385 390 394 399 403 964 408 412 417 421 426 430 435 439 444 448 965 453 457 462 466 471 475 480 484 489 493 498 502 507 511 516 520 525 529 534 538 966 543 547 552 556 561 565 570 574' 579 583 967 588 592 597 601 605 610 614 619 623 628 968 632 637 641 646 650 655 659 664 668 673 969 970 677 682 686 691 695 700 704 709 713 717 971 722 726 731 735 740 744 749 753 758 762 972 767 771 776 780 784 789 793 798 802 807 973 811 816 820 825 829 834 838 843 847 851 974 856 860 865 869 874 878 883 887 892 896 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

der Logarithmen.

33

5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 975 98 900 905 909 914 918 923 927 932 936 941 945 949 954 958 963 967 972 976 981 985 976 989 994 998*003*007 »012*016*021*025*029 977 978 99 034 038 043 047 052 056 061 065 069 074 979 ' 078 083 087 092 096 100 105 109 114 118 123 127 131 136 140 145 149 154 158 162 980 167 171 176 180 185 189 193 198 202 207 981 211 216 220 224 229 233 238 242 247 251 982 255 260 264 269 273 277 282 286 291 295 983 300 304 308 313 317 322 326 330 335 339 584 344 348 352 357 361 366 370 374 379 383 985 388 392 396 401 405 410 414 419 423 427 986 432 436 441 445 449 454 458 463 467 471 987 476 480 484 489 493 498 502 506 511 515 988 520 524 528 533 537 542 546 550 555 559 989 564 568 572 577 581 585 590 594 599 603 990 607 612 616 621 625 629 634 638 642 647 991 651 656 660 664 669 673 677 682 686 691 992 695 699 704 708 712 717 721 726 730 734 993 739 743 747 752 756 760 765 769 774 778 994 995 782 787 791 795 800 804 808 813 817 822 826 830 835 839 843 848 852 856 861 865 996 870 874 878 883 887 891 896 900 904 909 997 913 917 922 926 930 935 939 944 948 932 998 957 961 965 970 974 978 983 987 991 996 999 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B e m e r k u n g . Der M o d u l u s d e s Briggschen S y s t e m s ist:

0,434294481903 . . .

Man erhält durch Multiplication mit dieser Zahl alle Briggschen Logarithmen a u s den n a t ü r l i c h e n . Die naturlichen Logarithmen beziehen sich auf die Grund-

zahl:

2,718281828459...

Einige derselben sind auf der folgenden Seite angegeben.

e

34 Einige natürliche (hyperbolische) Logarithmen. N. L. L. L. 4,262679877041 173 5,153291594498 0,000000000000 0,693147180500 4,290459441148 179 5,187385805841 1,098612288668 4,369447852467 181 5,198497031266 1,609437912434 4,418840607797 191 5,252273428047 1,945910149055 4,488636369732 193 5,262690188905 2,397895272798 97 4,574710978503 197 5,283203728738 2,564949357462 101 4,615120516841 199 5,293304824724 2,833213344056 103 4,634728988230 211 5,351858133476 2,944438979166 107 4,672828834462 22315,407171771460 3,135494215929 109 4,6913478822291 22715,424950017481 3,367295829986 113 4,727387818712 229 5,433722003554 3,433987204485 127 4,844187086459 233 5,451038453566 3,610917912644 131 4,875197323201 239 5,476463551932 3,713572066704 137 4,919980925828 241 5,484796933491 3,7612001156941 139 4,934473933131 251 5,525452939132 3,850147601710 149 5,003946305945 257 5,549076084895 3,970291913552 151 5,017279836815 263 5,572154032178 4,077537443906 157 5,056245805348 269 5,594711379602 4,110873864173 163 5,093750200807 271 5,602118820880 4,204692619391 167 5,117993812417 277 5,624017506187 B e m e r k u n g . Durch Addition dieser Logarithmen kann man die natürlichen Logarithmen v i e l e r zusammengesetzten Zahlen [s. d. Erläut.] erhalten. Zur Auffindung andrer dienen die Formeln: a—1 1 /a—4 \ 3 4 /'a—1 \5 —I J H—r 1+• •

[

4 V a — 1 " \ 2 n —4 +

2n—4 V i + T )

"I

+.. J

2) Log. nat: x = i ^ L o g . nat: (x-|- 4) -J- Log. nat: ( x — 4 ) ^ 4 1 4 4 2x>—4 3(2x®— 4) 3 "^*5 ( 2 x J — 4 ) * ~^~(2n-4)(2xa-1)2n-l Die Grundzahl des natürlichen Systems kann bis auf beliebig vieleDecimalstellen gefunden werden nach der Formel: 4 1 4 4 4 e = 4 + — + 4.2.3 + 7 7 2 . 3 . 4 4.2 4.2.3.,n

+ •• +

II. Abgekürzte

siebenziffilge Logarithmentafel, durch welche

alle Rechnungen mittelst einer kleinen Nebenrechnung ausgeführt werden können, zu denen die grösseren siebenstelligen Logarithmentafeln erforderlich sind. -S. 36—41.

Mnltiplicationstafela, um die natürlichen Logarithmen in gemeine zu verwandeln und umgekehrt. Seite 42.

36

Tafeln zur Auffindung siebenziffriger A

11 12 13 14 15 16 17 18 19

0413927 0791812 1139434 1461230 1760913 2041200 2304489 2552725 2787536

20 22 23 24 25 26 27 28 29

3010300 3424227 3617278 3902112 3979400 4149733 4313638 4471580 4623980

30 33 34 35 36 37 38 39

4771213 5185139 5314789 5440680 5563025 5682017 5797336 5910646

40 44 45 46 47 48 49

6020600 6434527 6532125 6627573 6720979 6312412 6901961

50 55 56 57 58 59

6989700 7403627 7481830 7558749 7634280 7708520

60 7781513 66 8195439 67 8260748 68 6325089 69 8388491 70 8450980 77 8864907 78 8920946 79 6976271 SO 9 0 3 0 9 0 0 88 9444827 89 9493900 SO 9 5 4 2 4 2 5 es

9956352

B 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1000 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023 1024 1025 1026 1027 1028 1029 1030 1031 1032 1033 1034

0 1 2 0000000 0434 0869 4341 4775 5208 8677 9111 9544 0013009 3442 3875 7337 7770 8202 0021661 2093 2525 5980 6411 6843 0030295 0726 1157 4605 5036 5467 8912 9342 9772 0043214 3644 4074 7512 7941 8371 0051805 2234 2663 6094 6523 6952 0060380 0808 1236 4660 5088 5516 8937 9365 9792 0073210 3637 4064 7478 7904 8331 0081742 2168 2594 6002 6427 6853 0090257 0683 1108 4509 4934 5359 8756 9181 9605 0103000 3424 3848 7239 7662 8086 011^1474 1897 2320 5704 6127 6550 9931 *0354 *0776 0124154 4576 4998 8372 8794 9215 0132587 3008 3429 6797 7218 7639 0141003 1424 1844 5205 5625 6045 2 0 1

3 1303 5642 9977 4308 8635 2957 7275 1588 5898 *0203 4504 8800 3092 7380 1664 5944 »0219 4490 8757 3020 7279 1533 5784 •0030 4272 8510 2743 6973 *1198 5420 9637 3850 8059 2264 6465 3

4 1737 6076 *04U 4741 9067 3389 7706 2019 6328 *0633 4933 9229 3521 7809 2092 6372 •0647 4917 9184 3446. 7704 1959 6208 •0454 4696 8933 3166 7396 »1621 5842 »0059 4271 8480 2685 6885 4

Mantissen und fiinfziffriger Zahlen. B 1000 1001 1002 1003 1004

5 0002171 6510 0010844 5174 9499

6 7 8 9 2605 3039 3473 3007 6943 7377 7810 8244 1277 1710 2143 2576 5607 6039 6472 6905 9932 *0364 *0796 *1228

1005 1006 1007 1008 1009

0023821 8138 0032451 6759 0041063

4253 8569 2882 7190 1493

1010 1011 1012 1013 1014

5363 5793 6223 6652 7082 9659 »0088 »0517 *0947 »1376 0053950 4379 4808 5237 5666 8238 8666 9094 9523 9951 0062521 2949 3377 3805 4233

1015 1016 1017 1018 1019

6799 7227 7655 8082 8510 0071074 1501 1928 2355 2782 5344 5771 6198 6624 7051 9610 *0037 *0463 *0889 *1316 0083872 4298 4724 5150 5576

1020 1021 1022 1023 1024

8130 0092384 6633 0100878 5120

8556 2809 7058 1303 5544

1025 1026 1027 1028 1029

9357 0113590 7818 0122043 6264

9780 *0204 *0627 *1050 4013 4436 4859 5282 8241 8664 9086 9509 2465 2887 3310 3732 6685 7107 7529 7951

1030 1031 1032 1033 1034

01304S0 4692 8901 0143105 7305 5

0901 5113 9321 3525 77^5 6

4685 9001 3313 7620 1924

8981 3234 7483 1727 5967

5116 9432 3744 8051 2354

9407 3659 7907 2151 6391

5548 9863 4174 8481 2784

9832 4084 8332 2575 6815

1323 1744 2165 5534 5955 6376 9742 *0162 »0583 3945 4365 4785 8144 8564 8984 7 8 9

C

1

2 3 4 5 6 7 8 9

1

2 3 4 5 6 7 8 9

1

2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 9 6 7 8 9 1 2 .3 4 5 6 7 8 9

37

Proportio-

naltheile. 434433432 43 43 67 87 130 130 174 173 217 217 260 260 304 303 347 346 391 390

43 66 130 173 216 259 302 346 389

431430429 43 43 86 86 129 129 172 172 216 215 259 258 302 301 345 344 388 387

43 86 129 172 215 257 300 343 386

428427426 43 86 128 171 214 257 300 342 385

43 85 128 171 214 256 299 342 384

43 85 128 170 213 256 298 341 383

425424423 43 85 128 170 213 255 208 340 383

42 42 85 85 127 127 170 169 212 212 254 254 297 298 339 338 382 381

422421420 42 84 127 169 211 253 295 338 380

42 84 126 168 211 253 295 337 379

42 84 126 168 210 252 294 336 378

38 11 12 13 14 15

Tafeln zur Auffindung siebenziffriger

0413927 0791812 1139434 1461280 1760913

1« 2011200 17 2304489 18 2552725 19 2787536 20 22 23 »4 25 26 27 28 29

3010300 3424227 3617278 3802112 3979400 4149733 4313638 4471580 4623980

30 33 34 35 36 37 38 39

4771213 5185139 5314789 5440680 5563025 5682017 5797836 5910646

40 44 45 46 47 48 49

6020600 6431527 6532125 6627578 672097» 6812411 6901961

(0 55 56 57 58 59

6989700 7403627 7481880 7558749 7634280 7708520

60 66 67 68 69

7781513 8195439 8260748 8325089 3388491

70 77 78 79

8450980 8864907 8920946 8976271

60 68 69 «0 99

9030900 9444827 9493900 9542425 9956351

B 1035 1036 1037 1038 1039 1040 1041 1042 1043 1044 1045 1046 1047 1048 1049 1050 1051 1052 1053 1054 1055 1056 1057 1058 1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069

0 1 0149403 9823 0153598 4017 7788 8206 0161974 2392 1 6155 6573 1 0170333 0751 4507 4924 8677 9094 0182843 3259 7005 7421 0191163 1578 5317 5732 9467 9882 0203613 4027 7755 8169 1 1 0211893 2307 6027 6440 0220157 0570 4284 4696 8406 8818 0232525 2936 6639 7050 0240750 1161 4857 5267 8960 9370 0253059 3468 7154 7563 0261245 1654 5333 5741 9416 9824 0273496 3904 7572 7979 0281644 2051 5713 6119 9777 »0183 0 1

2 »0243 4436 8625 2810 6991 1168 5342 9511 3676 7837 1994 6147 •0296 4442 8583 2720 6854 0983 5109 9230 3348 7462 1572 5678 9780 3878 7972 2063 6150 »0233 4312 8387 2458 6526 »0590 2

3 •0662 4855 9044 3229 7409 1586 5759 9927 4092 8253 2410 6562 •0711 4856 8997 3134 7267 1396 5521 9642 3759 7873 1982 6088 *0190 4288 8382 2472 6558 *064l 4719 8794 2865 6932 •0996 3

4 •1082 5274 9462 3647 7827 2003 6176 »0344 4508 8669 2825 6977 *1126 5270 9411 3547 7680 1808 5933 *0054 4171 8284 2393 6498 *0600 4697 8791 2881 6967 *1049 5127 9201 3272 7339 •1402 4

Mantissen und fünfziffriger Zahlen. B 5 6 7 8 9 0151501 1920 2340 2759 3178 1035 5693 6112 6531 6950 7369 1036 9881 *0300 *0718 *1137 *1555 1037 0164065 4483 4901 5319 5737 [038 8245 8663 9080 9498 9916 1039 I 1040 0172421 1041 6593 1042 0180761 4925 1043 9084 1044 1

2838 7010 1177 5341 9500

3256 3673 4090 7427 7844 8260 1594 2010 2427 5757 6173 65S9 9916 *0332 *0747

1045 0193240 3656 4071 4486 4902 7392 7807 8222 8637 9052 1046 0201540 1955 2369 2784 3198 1047 5 6 8 4 6 0 9 9 6 5 1 3 C927 7 3 4 1 ' 1048 9824 *0238 *0652 *1066 *1479 1049 | 1050 1051 1052 1053 1054

0213961 8093 0222321 6345 0230466

4374 8506 2634 6758 0878

4787 8919 3046 7170 1289

5201 9332 3459 7582 1701

5614 9745 3871 7994 2113

1055 105S 1057 1058 1059

4582 8695 0242804 6909 0251010

4994 9106 3214 7319 1419

5405 9517 3625 7729 1829

5817 6228 9928 *0339 4036 4446 8139 8549 2239 2649

1060 1061 1062 1063 1064

5107 9200 0263289 7375 0271457

5516 5926 6335 6744 9609 *0018 *0427 *0836 3698 4107 4515 4924 7783 8192 8600 9008 1865 2273 2680 3088

1065 1066 1067 1068 1069

5535 5942 6350 6757 7165 9609 * 0 0 1 6 * 0 4 2 3 *0830 »1237 0283679 4086 4492 4899 5306 7745 8152 8558 8964 9371 0291808 2214 2620 3026 3432 h 6 7 8 9

C

1 2 S 4 5 6 7 8 9

39

Proportio-

naltheile. 419418417 42 84 126 168 210 251 233 335 377

42 84 125 167 209 251 293 334 376

42 83 125 167 209 250 292 334 375

416415414

1 42 42 83 83 2 3 125 125 4 166 165 5 208 208 6 250 249 7 291 291 8 333 332 9 374 374 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

. 3 4 5 6 7 8 9

41 83 124 166 207 248 290 331 373

413412411 41 41 83 82 124 124 165 165 207 206 248 247 289 288 330 330 372 371

41 82 123 164 206 247 288 329 370

410409408 41 82 123 164 205 216 287 328 369

41 82 123 164 205 245 286 327 368

407406 41 81 122 163 204 244 285 326 366

41 81 122 162 203 244 284 325 365

41 82 122 163 204 245 286 326 367

40

Tafeln zur Auffindung siebenziffriger

A

11 Ii 13 14 15 16 17 18 19

0413997 0791812 1139431 1461280 1760913 1041200 2304489 2552725 2787536

20 22 23 21 25 26 27 28 29

3010300 3424227 3617278 3802112 3979400 4149733 4313638 4471580 4623980

30 33 34 35 36 37 38 39

4771213 5185139 5314789 5440680 5563025 5682017 5797836 5910646

40 44 45 46 47 48 49

6020600 6134527 6532125 6627578 6720979 6812412 6901961

50 55 56 57 58 59

6989700 7403627 7481880 7558749 7634280 7708520

60 66 67 68 69

7781513 8195439 8260748 8325089 3388491

70 77 78 79

8450980 81Ú4907 8920946 8976271

6 0 9030900 8 8 9444827 89 9493900 9 0 9542425 89 9956352

B 1070 1071 1072 1073 1074

0 0293838 7895 0301948 5997 0310043

1 4244 8300 2353 6402 0447

2 4649 8706 2758 6807 0851

3 5055 9111 3163 7211 1256

4 5461 9516 3568 7616 1660

1075 1076 1077 1078 1079

4085 8123 0322157 6188 0330214

4489 8526 2560 6590 0617

4893 8930 2963 6993 1019

5296 9333 3367 7396 1422

5700 9737 3770 77991824

1080 1081 1082 1083 1084

4238 8257 0342273 6285 0350293

4640 8659 2674 6686 0693

5042 9060 3075 7087 1094

5444 9462 3477 7487 1495

5846 •9864 3878 7888 1895

1085 1086 1087 1088 1089

4297 8298 0362295 6289 0370279

4698 8698 2695 6688 0678

5098 9098 3094 7087 1076

5498 9498 3494 7486 1475

58Í» 98S8 3893 7885 1874

1090 1091 1092 1093 1094

4265 8248 0382226 6202 0390173

4663 8646 2624 6599 0570

5062 9044 3022 6996 0967

5460 9442 3419 7393 1364

5358 S839 3817 7791 1761

1095 1096 1097 1098 1099

4141 8106 0402066 6023 9977

4538 8502 2462 6419 »0372

4934 8898 2858 6814 *0767

5331 9294 3254 7210 •1162

5727 9690 3650 7605 *1557

1100 1101 1102 1103 1104

0413927 7873 0421816 5755 9691 0

4322 8268 2210 6149 *0084 1

4716 8662 2604 6543 »0477 2

5111 9056 2998 6938 *087l 3

5506 9451 3392 7330 *1264 4

1

Mantissen und fünfziffriger Zahlen. B 1070 1071 1072 1073 1074

6 7 8 9 5 0295867 6272 6678 7084 7489 9922 *0327 *0732 »1138 »1543 0303973 4378 4783 5188 5592 8020 8425 8830 9234 9638 0312064 2468 2872 3277 3681

1075 1076 1077 1078 1079

6104 0320140 4173 8201 0332226

6508 0544 4576 8604 2629

6912 0947 4979 9007 3031

7315 1350 5382 9409 3433

7719 1754 5785 9812 3835

1080 1081 1082 1083 1084

6248 0340265 4279 8289 0352296

6650 0667 4680 8690 2696

7052 1068 5081 9091 3096

7453 1470 5482 9491 3497

7855 1871 5884 9892 3S97

1085 1086 1087 1088 1089

6298 0360297 4293 8284 0372272

6698 0697 4692 86S3 2671

7098 1097 5091 9082 3070

7498 1496 5491 9481 3468

7898 1896 5890 9880 3867

1090 1091 1092 1093 1094

6257 0380237 4214 8188 0392158

6655 0635 4612 8585 2554

7053 1033 5009 8982 2951

7451 1431 5407 9379 3348

7849 1829 5804 9776 3745

1095 1096 1097 1098 1099

6124 0400086 4045 8001 0411952

6520 0482 4441 8396 2347

6917 0878 4837 8791 2742

7313 1274 5232 9187 3137

7709 1670 5628 9582 3532

1100 1101 1102 1103 1104

5900 6295 6690 7084 7479 9845 *0239 *0633 *1028 *1422 0423786 4180 4574 4968 5361 7723 8117 8510 8904 9297 0431657 2050 2444 2837 3230 5 6 7 8 9

C

1 2 3

41

Proportio-

naltheile. 406405404 41 81 122

41 81 122

40 81 121

203 203 244 243 284 284 325 324 365 365

202 242 283 323 364

4 162 162 162 5 6 7 8 9

403402401

40 40 81 80 121 121 161 101 5 202 201 6 242 241 7 282 281 8 322 322 9 363 362 1 2 3 4

1

2

3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

40 80 120 160 201 241 281 321 361

400399398 40 80 120 160 200 210 280 320 360

40 80 120 160 200 239 279 319 359

40 80 119 150 199 239 279 318 358

397396395 4 0 40 79 7» 119 119 159 158 199 198 238 238 278 277 318 317 357 356

394393 39 79 118 158 197 236 276 315 355

39 79 118 157 197 236 275 314 354

40 79 119 159 198 237 277 316 356

42

Multiplications - Täfelchen.

Nützliche Multiplications - Täfelchen. Cm einen n a t ü r l i c h e n Logarithmus in den B r i g g s c h e n zu verwandeln, muss man e r s t e r e n (vergl. S. 3 3 ) mit dem M o d u l u s M des Briggschen S y s t e m s m u l t i p l i c i r e n . Dies wird erleichtert durch die erste hier unten aufgeführte Multiplications-Tafel, w e l c h e d i e V i e l f a c h e n j e n e s M o d u l u s enthält. Um aus dem B r i g g s c h e n Logarithmus den n a t ü r l i c h e n für dieselbe Zahl zu b e r e c h n e n , m u s s man e r s t e r e n durch den M o d u l u s des Briggschen S y s t e m s M d i v i d i r e n , oder mit dem umgekehrten W e r t h e

d e s s e l b e n — multipliciren. Dazu Jtt dient die z w e i t e Tafel, in w e l c h e r die V i e l f a c h e n d e r u m g e k e h r t e n W e r t h e j e n e s M o d u l u s angegeben sind. l M ^

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,434294481903 0,868588963807 1,302883445710 1,737177927613 2,171472409516 2,605766891420 3,040061373323 3,474355855226 3,908650337129

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2,302585092994 4,605170185988 6,907755278982 9,210340371976 11,512925464970 13,815510557964 16,118095650958 18,420680743952 20,723265836946

B e i s p i e 1 e. Log. nat. 1000 — 6,907755278982 6 . . . 2,605766891420 9 390865033713 3040061373 7 7 304006137 5 21714724 5 2171472 2 086859 7 30401 8 3474 9 391 8 35 2 I Log. brigg. 1000 = 3,000000000000

l o g . b r i g g . « = 0,497149872694 4 . . . 0,921034037198 9 . . . . 207232658369 7 16118095651 X 230258509 4 92103404 9 20723266 8 1812068 7 161181 2 4605 6 1382 9 207 4 9 Log. nat. ir = 1,144729885849

III.

Die Gauss'schen Tafeln zur Auffindung des Logarithmus einer Summe oder Differenz in einer n e u e n , den Gebrauch erleichternden Anordnung. Seite 44—56.

Regel ffir die Anwendung dieser Tafeln Seite 56.

44

Zur Berechnung der Summen -

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 D. - 4, 0,00001 001 001 001 001 002 002 003 003 004 l 2-3 005 007 009 011 014 017 3, 018 018 019 019 019 020 020 021 021 022 1 -3,3 3,2 022 023 023 024 024 025 026 026 027 027 1 028 029 029 030 031 031 032 033 034 034 3,1 035 036 037 038 039 040 041 041 042 043 3,0 044 045 047 048 049 050 051 052 053 055 -2,9 056 057 059 060 061 063 064 066 067 069 2 2,8 070 072 074 075 077 079 081 083 085 087 2,7 089 091 093 095 097 099 102 104 106 109 2,6 I I I 114 117 119 122 125 128 131 134 137 3 2,5 -2,4 140 144 147 150 154 157 161 165 169 173 4 2,3 177 181 185 189 194 198 203 207 212 217 J 2,2 222 227 233 238 244 249 255 261 267 273 6 2,1 280 286 293 299 306 313 321 328 336 344 7-8 2,0 352 360 368 377 385 394 403 413 422 432 8-9 -1,99 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 1 1,98 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 1,97 453 454 456 457 458 459 460 461 462 463 1,96 464 465 466 467 468 469 470 471 473 474 1,95 475 476 477 478 479 480 481 482 483 485 486 487 488 489 490 491 492 494 495 496 -1,94 497 498 499 500 502 503 504 505 506 507 1,93 1,92 508 510 511 512 513 514 515 517 518 519 1,91 520 521 523 524 525 526 527 529 530 531 1,90 532 533 535 536 537 538 540 541 542 543 -1,89 545 546 547 548 550 551 552 553 555 556 1,88 557 558 560 561 562 564 565 566 567 569 1,87 570 571 573 574 575 577 578 579 581 582 1,86 583 585 586 587 589 590 591 593 594 595 2 1,85 597 598 599 601 602 604 605 606 608 609 -1,84 611 612 613 615 616 618 619 620 622 623 1,83 625 626 628 629 630 632 633 635 636 638 1,82 639 641 642 644 645 646 648 649 651 652 1,81 654 655 657 658 660 661 663 664 666 667 1,80 669 671 672 674 675 677 678 680 681 683 X

und Differenz - Logarithmen.

45

8 7 6 5 9 4 3 2 1 0 -1,79 0,00684 686 688 689 691 692 694 696 697 699 700 702 703 705 707 708 710 712 713 715 1,78 716 718 720 721 723 725 726 72S 730 731 1,77 733 735 736 738 740 741 743 745 747 748 1,76 750 752 753 755 757 759 760 762 764 766 1,75 -1,74 767 769 771 773 774 776 778 780 781 783 1,73 785 787 789 790 792 794 796 798 799 801 1,72 803 805 807 809 810 812 814 816 818 820 1,71 822 823 825 827 829 831 833 835 837 839 841 842 844 846 848 850 852 854 856 858 1,70 -1,69 860 862 864 866 868 870 872 874 876 878 1,68 880 882 884 886 888 890 892 894 896 898 1,67 900 902 904 906 908 910 912 915 917 919 1,66 921 923 925 927 929 93 1 933 936 9:58 940 1,65 942 944 946 948 951 953 955 957 959 962 -1,64 964 966 968 970 973 975 977 979 981 984 1,63 986 988 990 993 995 997 999*002*004*006 1,62 0,01009 011 013 016 018 020 022 025 027 030 1,61 032 034 037 039 041 044 046 048 051 053 056 058 060 063 065 068 070 073 075 077 1,60 -1,59 080 082 085 087 090 092 095 097 100 102 1,58 105 107 110 112 115 117 120 122 125 128 1,57 130 133 135 138 140 143 146 148 151 153 1,56 156 159 161 164 167 169 172 175 177 180 1,55 183 185 188 191 193 196 199 202 204 207 -1,54 210 213 215 218 221 224 226 229 232 235 1,53 238 240 243 246 249 252 255 257 260 263 1,52 266 269 272 275 278 280 283 286 289 «92 1,51 295 298 301 304 307 310 313 316 319 322 1,50 325 328 331 334 337 340 343 346 349 352 -1,49 355 358 361 364 368 371 374 377 380 383 1,48 386 389 393 396 399 402 405 408 412 415 1,47 418 421 424 428 431 434 437 441 444 447 450 454 457 460 464 467 470 474 477 480 1,46 484 487 490 494 497 501 504 507 511 514 1,45 4 3 2 1 0 9 8 7 6 5

46

Zur Berechnung der Summen9

S

7

6

5

4

3

2

1

0

•IM 0,01518 521 525 528 531 535 538 542 545 549

552 1,43 588 1,42 624 1,41 661 1,40 -1,39 699 1,38 738 1,37 778 1,36 818 1,35 860 902 •1,34 945 1,33 990 1,32 1,31 0,02035 081 1,30 • 1,29 129 1,28 177 1,27 226 1,26 277 1,25 329 1,24 381 1,23 435 1,22 490 1,21 547 1,20 604 -1,19 663 1,18 723 785 1,17 848 1,16 912 1,15 -1,14 977 1,13 0,03044 1,13 113 183 1,10 254 9

556 591 628 665 703 742 782 822 864 906 950 994 040 086 133 182 231 282 334 387 441 496 552 610 669 729 791 854 918 984 051 120

190 261 8

559 563 560 570 574 577 581 584 595 599 602 606 610 613 617 621 632 635 639 643 646 650 654 658 669 673 676 680 684 688 692 695 707 711 715 719 722 726 730 734 746 750 754 758 762 766 770 774 786 790 794 798 802 806 810 814 827 831 835 839 843 847 851 856 868 872 877 881 885 889 894 898 911 915 919 924 928 932 937 941 954 959 963 967 972 976 981 985 999*003*008 *012*017*021*026i|,030 044 049 053 058 063 067 072 077 091 095 100 105 110 114 119 124 138 143 148 153 158 162 167 172 187 192 197 202 207 211 216 221 236 241 246 252 257 262 267 272 287 292 297 303 308 313 318 323 339 344 350 355 360 365 371 376 392 397 403 408 414 419 424 430 446 452 457 463 468 474 479 485 502 507 513 518 524 530 535 541 558 564 570 575 581 587 593 599 616 622 628 634 639 645 651 657 675 681 687 693 699 705^711 717 735 742 748 754 760 766 772 779 797 803 810 816 822 829 835 841 860 867 873 879 886 892 899 905 925 931 938 944 951 957 964 971 991 997*004 *011*017*024*031*037 058 065 071 078 085 092 099 106 126 133 140 147 154 161 168 175 197 204 211 218 225 232 240 247 268 276 283 290 298 305 312 320 7 6 5 4 3 2 1 0

und Differenz-Logarithmen. 9 -1,09 0,03327 401 1,08 478 1,07 555 1,06 635 1,05 -1,04 716 1,03 799 1,02 883 1,01 970 1,00 0,04058 -0,99 148 0,98 240 0,97 334 0,96 430 0,95 528 -0,94 628 0,93 731 0,92 835 0,91 941 0,901 0,05050 -0,891 161 274 0,88 390 0,87 508 0,86 628 0,851 -0,841 751 0,83 876 0,82 0,06004 0,81 134 0,801 267 -0,79 403 0,78 541 0,77 683 0,76 827 0,75 973 9

47

4 3 2 1 0 D. 8 7 6 5 334 342 349 357 364 371 379 386 394 409 417 424 432 439 447 455 462 470 485 493 501 509 516 524 532 540 548 563 571 579 587 595 603 611 619 627 643 651 659 667 675 6S3 691 700 708 724 732 741 749 757 765 774 782 790 807 816 824 832 841 849 858 866 875 892 901 909 918 926 935 944 953 961 979 987 996*005 *014*023*032*040*049 067 076 085 094 103 112 121 130 139 157 167 176 185 194 203 213 222 231 250 259 268 278 287 297 306 315 325 344 353 363 373 382 392 401 411 421 440 450 460 469 479 489 499 509 519 538 548 558 568 578 588 598 608 618 639 649 659 669 679 689 700 710 720 741 751 762 772 782 793 803 814 824 845 856 867 877 888 898 909 920 931 952 963 974 985 995*006*017*028*039 061 072 083 094 105 116 127 139 150 172 183 195 206 217 229 240 251 263 286 297 308 320 332 343 355 366 378 12 401 413 425 436 448 460 472 484 496 519 531 543 555 567 579 591 604 616 640 652 664 677 689 701 714 726 738 13 763 775 788 800 813 825 838 851 863 889 901 914 927 939 952 965 978 991 017 030 043 056 069 082 095 108 121 147 161 174 187 200 214 227 240 254 281 294 308 321 335 348 362 376 389 417 430 444 458 472 486 500 513 527 555 569 583 597 612 626 640 654 668 15 697 711 725 740 754 769 783 798 812 841 856 870 885 900 914 929 944 959 988*003*018*033 *048*063*078*093*I08 8 7 6 5 4 3 2 1 0

48

Zur Berechnung der Summen-

8 7 9 - 0 , 7 4 0,07123 138 154 0,73 2 7 6 291 307 0,72 432 4 4 8 4 6 3 0,71 591 607 6 2 3 0,70 753 769 785

6 169 322 479 639 802

5 184 338 495 655 818

-0,69 918 9 3 4 951 9 6 8 985 0,68 0,08086 103 1 2 0 137 154 0,67 257 275 292 3 0 9 327 0,66 4 3 2 4 5 0 4 6 8 485 503 0,65 6 1 0 6 2 8 646 664 6S3 -0,64 792 8 1 0 8 2 9 847 865 0,63 977 9 9 6 * 0 1 4 * 0 3 3 * 0 5 2 0,62 0,09165 184 2 0 4 223 242 0,61 3 5 7 3 7 7 3 9 6 4 1 6 435 0,60 5 5 3 5 7 3 593 6 1 2 632 752 773 793 8 1 3 833 -0,59 9 5 5 976 9 9 6 * 0 1 7 * 0 3 8 0,58 0,57 0,10162 183 2 0 4 225 246 3 7 3 3 9 4 415 437 458 0,56 587 6 0 9 630 6 5 2 674 0,55 -0,54 8 0 5 827 0,53 0,11028 050 0,52 254 277 0,51 4 8 4 507 0,50 7 1 9 742

849 073 300 531 766

872 (195 323 554 790

894 118 345 577 814

-0,49 957 9 8 1 * 0 0 5 * 0 3 0 * 0 5 4 0 , 4 8 0,12200 2 2 4 2 4 9 2 7 4 2 9 8 0,47 447 472 497 5 2 2 547 046 6 9 8 724 749 775 8 0 0 0,45 954 980*006*032*058 - 0 , 4 4 0,13214 2 4 0 267 2 9 3 319 4 7 9 505 532 559 586 0,43 748 775 802 8 2 9 857 0,42 0,41 0,14021 049 077 104 132 3 0 0 3 2 8 356 3 8 4 412 0,40 9 8 7 6 5

4 199 354 511 671 835

3 215 369 527 687 851

2 230 385 543 704 868

1 245 400 559 720 884

0 261 416 575 736 901

*001*018*035*052*069 171 188 206 223 240 3 4 4 3 6 2 379 397 415 521 539 557 5 7 4 592 701 719 737 755 774 8 8 4 902 921 940 958 *071*090*108*127*146 261 2 8 0 2 9 9 3 1 9 338 4 5 5 4 7 4 4 9 4 5 1 4 533 652 672 692 712 732 853 8 7 4 894 914 935 *058*079*100*120*141 267 288 3 0 9 330 351 4 7 9 501 522 544 565 696 718 739 761 783 916 938 960 9 8 3 * 0 0 5 140 163 186 2 0 8 231 3 6 8 392 415 4 3 8 461 6 0 1 6 2 4 6 4 8 671 695 837 861 8 8 5 909 933 *078*102*127*151*175 323 3 4 8 372 3 9 7 422 572 5 9 7 622 648 673 8 2 6 851' 877 903 928 »084*110*136*162*188 3 4 6 372 399 425 452 613 6 4 0 667 6 9 4 721 8 8 4 911 939 966 994 160 188 216 2 4 4 272 441 4 6 9 4 9 7 5 2 6 5 5 4 4 3 2 1 0 |

und Differenz-Logarithmen. 8 9 - 0 , 3 9 0,14583 611 870 899 0,38 0,37 0,15162 192 460 489 0,3(3 761 792 0,35

7 640 928 221 520 822

6 668 957 251 550 853

5 697 986 281 580 884

49

4 3 2 1 0 726 755 783 812 841 *016*045*074*104*133 3 1 0 3 4 0 3 7 0 400 430 6 1 0 6 4 0 6 7 0 701 731 9 1 4 9 4 5 976*007*037

- 0 , 3 4 0,16068 0 9 9 130 161 192 3 8 0 411 4 4 3 4 7 4 506 0,33 697 729 761 793 8 2 5 0,32 0 , 3 ! 0,17018 051 0 8 3 116 148 345 378 411 444 477 0,30

224 538 857 181 510

255 569 889 214 544

286 601 921 247 577

317 633 954 279 610

-0,29 0,28 0,27 0,2ti 0,25 -0,24 0,23 0,22 0,21 0,20 -0,19 0,18 0,17 0,1(5 0,15

845 184 529 879 234

878 218 564 914 270

912 253 599 949 306

946 980 287 322 633 668 985*020 342 37h

349 665 986 312 643

677 0,18014 356 703 0,19056 414 777 0,20145 519 898

710 048 390 738 091 450 813 182 557 937

744 777 811 082 116 150 425 460 494 773 8 0 8 8 4 4 127 163 198 486 522 5 5 8 850 8 8 7 9 2 3 2 2 0 257 2 9 4 5 9 4 632 670 975*013*052

0,21283 673 0,22069 470 877

322 712 109 510 918

361 399 438 752 7 9 1 831 149 189 229 551 591 632 959*000*041

595 631 667 704 740 960 997*034*071*108 331 3 6 9 4 0 6 4 4 4 481 7 0 8 746 784 822 860 *090*128 *167*206*244 4 7 7 5 1 6 556 5 9 5 6 3 4 870 910 949 989*029 2 6 9 3 0 9 3 4 9 389 430 6 7 3 713 754 795 836 *082*123*165*206*247

- 0 , 1 4 0,23289 3 3 0 372 4 1 4 4 5 5 0,13 707 749 791 8 3 3 875 0,12 0,24130 173 2 1 6 2 5 8 3 0 1 5 5 9 6 0 3 646 6 8 9 733 0,11 994*038*082*126*170 0,10

497 539 581 6 2 3 665 9 1 8 960*003*045*088 3 4 4 387 4 3 0 4 7 3 516 776 8 1 9 8 6 3 907 950 *214*258*302*346*390

- 0 , 0 9 0,25434 4 7 9 5 2 3 5 6 8 612 881 9 2 6 970*016*061 0,08 0,07 0,26332 3 7 8 4 2 3 469 515 790 8 3 6 8 8 2 9 2 8 974 0,06 0,05 0,27253 3 0 0 3 4 6 3 9 3 4 4 0 9 8 7 6 5

657 7 0 1 746 791 836 *106*151*196*242*287 560 6 0 6 652 6 9 8 744 *021*067*114*160*207 487 5 3 4 581 6 2 8 6 7 5 4 3 2 1 0

©

50

JZur Berechnung der Summen -

9 8 7 6 5 -0,04 0,27722 769 817 864 911 0,03 0,28197 245 292 340 388 0,02 677 726 774 822 871 0,01 0,29163 212 261 310 359 655 705 754 804 854 -0,00 5 9 8 7 6

+0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 +0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

+0,10

0,11 0,12 0,13 0,14 +0,15 0,16 0,17 0,18

0,19 +0,20 0,21 0,22 0,23 0,24

4 3 2 1 0 D. 959*006*054*101*149 48 436 484 532 581 629 920 968*017*066*115 409 458 507 556 606 49 903 953*003*053*103 4 3 2 1 0

5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 0,30103 153 203 253 303 354 404 454 505 555 606 656 707 758 809 859 910 961*012*063 0,31115 166 217 268 320 371 422 474 526 577 629 681 732 784 836 888 940 992*045*097 0,32149 201 254 306 359 411 464 517 569 622 675 728 781 834 887 940 993*046*100*153 0,33207 260 314 367 421 474 528 582 636 690 744 798 852 906 960 *015*069*123*178*232 10,34287 342 396 451 506 561 616 670 726 781 836 891 946*001*057 *112*168*223*279*334 0,35390 446 502 558 614 670 721» 782 838 894 950*007*063*119*176 »233*289*346*403*459 0,36516 573 630 687 744 801 858 916 973*030 0,37088 145 203 260 318 375 433 491 549 607 665 723 781 839 897 955*014*072*130*189 0,38247 306 365 423 482 541 600 659 718 777 836 895 954*013*073 *132*191*251*310*370 0,39430 489 549 609 669 729 789 849 909 969 0,40029 089 149 210 270 331 391 452 512 573 634 695 756 816 877 938 999*061*122*183 0,41244 306 367 428 490 552 613 675 737 798 8G0 922 984*046*108 *170*232*294*357*419 0,42481 544 606 669 731 794 857 920 982*045 0,43108 171 234 297 360 423 487 550 613 677 740 804 867 931 995 *058 *122*186*250 314 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

und Differenz-Logarithmen. +0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 +0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 +0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 +0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 +0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 +0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 +0,55 0,56 0,57 0,58 0,59

51

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,44378 442 506 570 634 698 763 827 891 956 0,45020 085 149 214 279 344 408 473 538 603 . 668 733 799 864 929 994*060*125*190*256 0,46322 387 453 518 584 650 716 782 848 914 980*046*112*178*245 *311*377*444*510*577 0,47643 710 777 844 910 977*044*111*178*245 0,48312 379 447 514 581 648 716 783 «51 918 986*054*121*189*257 *;«r>*393*46l*529*597 0,49665 733 801 869 938 •006*074*143*211*280 0,50349 417 486 555 624 692 761 830 899 96S 0,51037 107 176 245 314 384 453 522 592 661 731 801 870 940*010 •080*150*220*289*360 0,52430 500 570 640 710 781 851 921 992*062 0,53133 204 274 345 416 486 557 628 699 770 841 912 983*055*126 »197*268*340*411*483 0,54554 626 697 769 841 912 984*056*128*200 0,55272 344 416 488 560 632 704 777 849 921 994*066*139*211*284 *357*429*502*575*648 0,56721 794 867 940*013 *086*159*232*305*379 0,57452 525 599 672 746 819 893 967*040*114 k),58188 262 336 410 484 558 632 706 780 854 928*003*077*151*226 *300*375*449*524*598 0,59673 748 822 897 972 *047*122*197*272*347 0,60422 497 572 648 723 798 874 949*024*100 0,61175 251 327 402 478 554 630 705 781 857 1 933*009*085*161*237 *314*390"466*542*619 0,62695 771 848 924*001 •077*154*231*307*384 0,63461 538 615 692 768 845 923*000*077*154 0,64231 308 386 463 540 618 695 773 850 928 |0,65005 083 160 238 316 394 472 549 627 705 1 783 861 939*018*096 *174*252*330*409*487 0,66565 644 722 801 879 958*037*115*194*273 0,67351 430 509 588 667 746 825 904 983*062 0,68141 220 300 379 458 538 617 696 776 855 1 935*014*094*174*253 *333*413*493*573*652 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t>2

52 +0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 +0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 +0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 +0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 +0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 +0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 +0,90 0,91 0,92 0,93 0,94

Zur Berechnung der Summen0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I). 0,69732 812 892 972*052 »132*212*293*373*453 0,70533 614 694 774 855 935*016*096*177*257 81 0,71338 419 499 580 661 742 823 904 984*065 0,72146 227 308 390 471 552 633 714 796 877 958*040*121*202*284 *365*447*529*610*692 82 0,73774 855 937*019*101 *183*264*346*428*510 0,74592 674 757 839 921 *003*085*168*250*332 83 0,75415 497 579 662 744 827 909 992*075*157 0,76240 323 406 488 571 654 737 820 903 986 0,77069 152 235 318 401 485 568 651 734 818 901 984*068*151*235 *318*402*485*569*653 0,78736 820 904 987*071 *155*239*323*407*491 84 0,79575 659 743 827 911 995*079*163*248*332 0,80416 500 585 669 754 838 922*007*091*176 85 0,81261 345 430 515 599 684 769 854 938*023 0,82108 193 278 363 448 533 618 703 788 873 959*044*129*214*300 *385*470*556*641*727 0,83812 898 983*069*154 *240*325*411*497*583 0,84668 754 840 926*012 *097*183*269*355*441 86 0,85527 613 700 786 872 958*044*130*217*303 0,86389 476 562 648 735 821 908 994*081*167 87 0,87254 340 427 514 600 687 774 861 947*034 0,88121 208 295 382 469 556 643 730 817 904 991*078*165*252*339 *427*514*601*689*776 0,89863 951*038*125*213 *300*388*475*563*651 0,90738 826 914*001*089 »177*264*352*440*528 88 0,91616 704 791 879 967 *055*143*231*319*40S 0,92496 584 672 760 848 936*025*113*201*290 0,93378 466 555 643 732 820 908 997*086*174 89 0,94263 351 440 529 617 706 795 883 972*061 0,95150 239 327 416 505 594 683 772 861 950 0,96039 128 217 306 395 485 574 663 752 841 90 931*020*109*198*288 »377*467*556*645*735 89 0,97824 914*003*093*182 »272*362*451»541»631 0,98720 810 900 989*079 »169*259*349*439*528 90 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D.

und Differenz-Logarithmen. +0,95 0,90 0,97 0,98 0,99

0 0,99618 1,00519 1,01421 1,02325 1,03231

1 708 609 511 415 322

2 798 699 601 506 413

3 888 789 692 597 503

4 978 879 782 687 594

5 6 7 8 9 *068*158*248*338*428 969*060*150*240*330 8 7 3 963*053*144*234 778 8 0 8 959*050*140 685 776 8 6 7 957*048

+ 1,00 1,01 1,02 1.03 1.04

1,04139 230 321 412 503 1,05049 140 232 3 2 3 4 1 4 961*053*144^235*326 1,06875 966*058*149*241 1,07790 882 974*065*157

594 6 8 5 776 8 6 7 958 505 5 9 6 687 779 870 *418*509*601 *692 *7.S3 *332*424*516*607*699 *249*341*432*524*616

+1,05 1,06 1.07 1.08 1,09

1,08708 1,09627 1,10548 1,11470 1,12394

800 719 640 562 486

891 811 732 655 579

983*075 9 0 3 995 »24 916 747 839 671 764

*167*259*351*443*535 *087*I79*271*303*455 »009*101*193*285*378 932*024*117*209*301 857 949*042*134*227

+ 1,101 1,13320 1,111 1,14247 1,12 1,15175 1,13 1,16106 1,141 1,17037

412 340 268 199 131

505 432 361 292 224

598 525 454 385 317

690 618 547 478 411

+1,151 971*064*157*251*344 1,16 1,18905 9 9 9 * 0 9 2 * 1 8 6 * 2 7 9 1,171 1,19841 935*029*122*216 1,18 1,20779 872 9 6 6 * 0 6 0 * 1 5 4 1,19| 1,21717 8 1 1 905 9 9 9 * 0 9 3 + 1 , 2 0 1 1,22657 1,21 1,23599 1,22 1,24541 1,23 1,25485 1,241 1,26430

751 693 635 579 524

845 787 730 674 619

+ 1 , 2 5 1 1,27376 1,26 1,28323 1.27 1,29272 1.28 1,30221 1,291 1,31172 0

471 418 367 316 267 1

565 513 462 411 362 2

783 711 64« 571 504

876 804 733 665 597

968*001*154 8 9 7 990*083 8 2 6 920*013 7 5 8 8 5 1 944 6 9 1 7 8 4 877

»438*531*625*718*812 •373*467*560*654*748 »310*403*497*591*685 »248*342*435*529*623 »187*281*375*469*563

939*034 »128*222*316*410*504 8 8 1 9 7 5 »070*164*258*352*447 8 2 4 9 1 8 *013*107*202*296*390 7 6 8 8 6 3 957*052*146*241*335 7 1 4 8 0 8 9 0 3 997*092*187*281 660 608 557 507 458 3

755 703 652 602 553 4

850 797 746 697 648 5

944*039*134*229 8 9 2 987*082*177 8 4 1 936*031*126 792 887 982*077 7 4 3 8 3 8 933*029 6 7 8 9

53

54 +1,30 1.31 1.32 1.33 1.34 + 1,35 1.36 1.37 1.38 1.39 +1,40 1.41 1.42 1.43 1.44 +1,45 1.46 1.47 1.48 1.49 +1,50 1.51 1.52 1.53 1.54 +1,55 1.56 1.57 1.58 1.59 +1,60 1,61 1,62 1.63 1.64

Zur Berechnung der Summen 1,32124 219 314 410 505 600 695 791 886 981 1,33077 172 267 363 458 553 649 744 840 935 1,34030 126 221 317 412 508 603 699 794 890 985*081*176*272*367 *463*559*654*750*845 1,35941 *037*132*228*324 *419*515*611*706*802 1,3(5898 994*089*185*281 *377*472 *568*664*760 1,37856 951*047*143*239 *335*431*527*622*718 1,38814 910*006*102*198 *294*390*486*582*678 1,39774 870 966*062*158 *254*350*446*542*638 1,40734 830 926*022*119 *215*311*407*503*599 1,41695 792 888 984*080 *176*273*369*465*561 1,42658 754 850 946*043 *139*235*332*428*524 1,43621 717 813 910*006 *102*199*295*391*488 1,44584 681 777 874 970 *066*163*259*356*452 1,45549 645 742 838 935 *031*128*225*321*418 1,46514 611 707 804 901 997*094*190*287*384 1,47480 577 674 770 867 964*060*157*254*350 1,48447 544 641 737 834 931*028*124*221*318 1,49415 512 608 705 802 899 996*093*189*286 1,50383 480 577 674 771 868 964*061*158*255 1,51352 449 546 643 740 837 934*031*128*225 1,52322 419 516 613 710 807 904*001*098*195 1,53292 389 486 583 680 778 875 972*069*166 1,54263 360 457 555 652 749 846 943*040*138 1,55235 332 429 526 624 721 818 915*013*110 1,56207 304 402 499 596 693 791 888 985*083 1,57180 277 375 472 569 667 764 861 959*056 1,58153 251 348 446 543 640 738 835 933*030 1,59128 225 322 420 517 615 712 810 907*005 1,60102 200 297 395 492 590 687 785 882 980 1,61077 175 273 370 468 565 663 760 858 956 1,62053 151 248 346 444 541 639 737 834 932 1,63030 127 225 322 420 518 616 713 811 909 97 1,64006 104 202 299 397 495 593 690 788 886 98 984*081*179*277*375 *473*570*668*766*864 98 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D.

und Differenz-Logarithmen. +1,65 1,66 1.67 1.68 1,69 +1,70 1/71 1.72 1.73 1.74 +1,75 1.76 1.77 1.78 1.79 +1,80 1,81 1,82 1.83 1.84 +1,85 1,86 1.87 1.88 1,89 +1,90 1.91 1.92 1.93 1.94 +1,95 1.96 1.97 1.98 1.99

55

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,65962*059*157*255*353 *451*548*646*744*842 1,66940*038*136*233*331 *429*527*625*723*821 1,67919*017*115*212*310 *408*506*6Ü4*702*S00 1,68898 9 9 6 * 0 9 4 * 1 9 2 * 2 9 0 * 3 8 8 * 4 8 6 * 5 8 4 * 6 8 2 * 7 8 0 1,69878 9 7 6 * 0 7 4 * 1 7 2 * 2 7 0 » 3 6 8 * 4 6 6 * 5 6 4 * 6 6 2 * 7 6 0 1,70858 9 5 6 * 0 5 4 * 1 5 2 * 2 5 0 • 3 4 8 * 4 4 6 * 5 4 4 * 6 4 2 * 7 4 1 1,71839 9 3 7 * 0 3 5 * 1 3 3 * 2 3 1 » 3 2 9 * 4 2 7 * 5 2 5 * 6 2 3 * 7 2 2 1,72820 9 1 8 * 0 1 6 * 1 1 4 * 2 1 2 * 3 1 0 * 4 0 9 * 5 0 7 * 6 0 5 * 7 0 3 1,73801 8 9 9 9 9 8 * 0 9 6 * 1 9 4 * 2 9 2 * 3 9 0 * 4 8 9 * 5 8 7 * 6 8 5 1,74783 881 9 8 0 * 0 7 8 * 1 7 6 » 2 7 4 * 3 7 3 * 4 7 1 * 5 6 9 * 6 6 7 1,75766 8 6 4 9 6 2 * 0 6 0 * 1 5 9 • 2 5 7 * 3 5 5 * 4 5 3 * 5 5 2 * 6 5 0 1,76748 847 9 4 5 * 0 4 3 * 1 4 1 » 2 4 0 * 3 3 8 * 4 3 6 * 5 3 5 * 6 3 3 1,77731 830 9 2 8 * 0 2 6 * 1 2 5 * 2 2 3 * 3 2 1 * 4 2 0 * 5 1 8 * 6 1 6 1,78715 813 9 1 2 * 0 1 0 * 1 0 8 * 2 0 7 * 3 0 5 » 4 0 3 * 5 0 2 * 6 0 0 1,79699 797 896 9 9 4 * 0 9 2 » 1 9 1 * 2 8 9 * 3 8 8 * 4 8 6 * 5 8 4 1,80683 781 8 8 0 978*077 » 1 7 5 * 2 7 4 * 3 7 2 * 4 7 1 * 5 6 9 1,81667 766 8 6 4 9 6 3 * 0 6 1 » 1 6 0 * 2 5 8 * 3 5 7 * 4 5 5 * 5 5 4 1,82652 751 8 4 9 9 4 8 * 0 4 6 * 1 4 5 * 2 4 4 * 3 4 2 * 4 4 1 * 5 3 9 1,83638 736 835 9 3 3 * 0 3 2 » 1 3 0 * 2 2 9 * 3 2 8 * 4 2 6 * 5 2 5 1,84623 722 8 2 0 9 1 9 * 0 1 8 » 1 1 6 * 2 1 5 * 3 1 3 * 4 1 2 * 5 1 1 1,85609 7 0 8 8 0 6 9 0 5 * 0 0 4 » 1 0 2 * 2 0 1 * 2 9 9 * 3 9 8 * 4 9 7 1,86595 6 9 4 793 8 9 1 990 • 0 8 9 * 1 8 7 * 2 8 6 * 3 8 5 * 4 8 3 1,87582 681 779 8 7 8 9 7 7 » 0 7 5 * 1 7 4 * 2 7 3 * 3 7 1 * 4 7 0 1,88569 667 766 865 9 6 4 * 0 6 2 * 1 6 1 * 2 6 0 * 3 5 8 * 4 5 7 1,89556 655 753 852 951 » 0 5 0 * 1 4 8 * 2 4 7 * 3 4 6 * 4 4 5 1,90543 1,91531 1,92519 1,93507 1,94496 1,95485 1,96474 1,97463 1,98452 1,99442 0

642 630 618 606 595 583 573 562 551 541 1

741 729 717 705 694 682 671 661 650 640 2

840 827 815 804 792 781 770 760 749 739 3

D. 98

99 98 99

98 99 98

99

98

938 » 0 3 7 * 1 3 6 * 2 3 5 * 3 3 3 * 4 3 2 99 926 » 0 2 5 * 1 2 4 * 2 2 3 * 3 2 1 * 4 2 0 914 * 0 1 3 * 1 1 2 * 2 U * 3 1 0 * 4 0 8 903 *002*100*199*298*397 891 9 9 0 * 0 8 9 * 1 8 8 * 2 8 7 * 3 8 6 880 9 7 9 * 0 7 8 * 1 7 7 * 2 7 6 * 3 7 5 869 9 6 8 * 0 6 7 * 1 6 6 * 2 6 5 * 3 6 4 859 958*057*156*254*353 848 947*046*145*244*343 8 3 8 9 3 7 * 0 3 6 * 1 3 5 * 2 3 4 * 3 3 3 99 5 , 6 7 8 9 D. 4

5 6 Zur Berechnung der Summen- und Differenz-Logarithmen. + 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 + 2,5 2,6 2,7 2,9 + 3,0 3,1 3,2 3,3 +

3. 4, 5,

0

2,00432 2,10344 2,20273 2,30217 2,40173

1

1422 1336 1267 1212 1169 2,50137 1134 2,60109 1106 2,70087 1085 2,80069 1067 2,90055 1053 3,00043 1042 3,10034 1034 3,20027 1027 3 30022 1021 3,00043 10034 4,00004 10003 5,00000 1 0

2

3

4

5

6

7

8

9

D.

2413 2328 2261 2207 2165

3403 3321 3255 3203 3161

4394 4313 4249 4198 4157

5385 5306 5244 5194 5154

6377 6299 6238 6189 6150

7368 7293 7233 7185 7147

8360 8286 8227 8181 8144

9352 9280 9222 9177 9140

2131 2104 2083 2066 2052

4125 4099 4079 4063 4050

5122 5097 6077 5061 5049

6119 6095 6075 6060 6048

7117 7093 7074 7059 7047

8114 8091 8072 8057 8045

9111 998 9089 9070 999 9056 9044

2041 2033 2026 2021 20027 20003

3128 3102 3081 3064 3051 3041 3032 3026 3020 30022 30002

4040 5039 4031 5031 4025 50'24 4020 5019 40017 50014 40002 50001

6038 6030 6024 6019 60011 60001

7037 7029 7023 7019 70009 70001

8036 8029 8023 8018 80007 80001

9035 9028 9022 1000 9018 999 90005 9999 80001

2

3

6

7

8

4

5

992 993 995 996 997

9

B e m e r k u n g . Für die Anwendung dieser Tafel merke m a n : 4) Es sei A = Log. a , B = Log. b , C = = A — B . Die Zahl C sehe man mit Berücksichtigung ihres Vorzeichens als Index an und suche unter Benutzung der Differenztafel, wie bei den Logarithmen, die zugehörige Zahl der Tafel. Diese sei Z. Dann ist: Log (a + b ) = B + Z 3 ) Wenn A > B ; so suche man G in der Tafel auf und ermittle mit Hülfe der Differenztafel den dazu gehörigen Index. Dieser sei ± J ; so ist Log ( a — b ) s = B ± J , so dass auch hier das jedesmalige Zeichen des J berücksichtigt wird. Näheres nebst Beispielen In den Erläuterungen.

T a f e l der

vierstelligen Quadrate aller Zahlen zwischen

0,000 und 8,(00. Seite 58 bis 63.

T a f e l n zur Verwandlung der Kreisbogen in Theile des Halbmessers und umgekehri. Seite 64.

58 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34

Vierstellige 0 0,0000 01 04 09 16 25 36 49 64 SI 0,0100 21 44 69 96 0,0225 56 89 0,0324 61

1 00 01 04 10 17

2 00 01 05 10 18

3 00 02 05 11 18

Quadratzahlen. 4 00 02 06 12 19

5 00 02 06 12 20

6 00 03 07 13 21

2 6 2 7 • 2 8 2 9 30 3 1 37 38 40 41 42 44 5 0 5 2 5 3 55 5 6 5 8 6 6 6 7 6 9 7 1 72 74 8 3 8 5 8 6 8 8 90 92 0 2 0 4 0 6 0 8 10 12 23 25 28 30 32 35 46 49 51 54 56 59 72 7 4 7 7 60 8 2 8 5 9 9 »02 * 0 4 *07 »10 »13 2 8 3 1 3 4 3 7 40 4 3 5 9 6 2 6 6 6 9 72 7 6 9 2 9 6 9 9 »03 *06 »10 28 31 35 39 42 46 6 5 6 9 72 76 SO 8 4

0,0400 41 84 0,0529 76 0,0625 76 0,0729 84 0,0841

04 45 88 34 81

0,0900 61 0,1024 89 0,1156 0

06 67 30 96 63 1

30 81 34 90 47

0 8 12 16 49 54 58 9 3 9 7 »02 38 43 48 8 6 90 9 5 3 5 40 4 5 86 92 97 4 0 4 5 51 95 »01 »07 5 3 5 8 64 12 18 2 4 73 80 86 3 7 4 3 50 *02 »09 *16 70 76 8 3 2 3 4

20 62 *06 52 »00 50 »02 56 *12 70 30 92 56 »22 90 5

24 67 »Ii 57 »05 55 »08 62 »18 76 36 »99 63 »29 97 6

8 "7 9 D. 0 0 Ol Ol 0 03 03 04 0 07 08 08 i 1 4 14 1 5 i 22 . 2 3 2 4 i 3 2 3 4 35 i 45 46 48 i 5 9 6 1 62 2 7 6 77 7 9 2 94 96 9 8 2 14 17 19 3 37 39 42 2 61 64 66 3 88 90 93 3 »16 »19 »22 3 4 6 50 5 3 3 79 82 86 3 » 1 3 »17 »20 4 50 5 3 5 7 4 88 92 96 4 28 33 37 4 71 75 8 0 4 »15 »20 »24 4 6 2 6 6 71 S »10 »15 »20 S 60 66 71 5 » 1 3 » 1 8 »24 6 6 7 7 3 78 S »24 »29 »35 6 8 2 8 8 94 e 42 4 9 55 3 »05 * I 1 »18 6 6 9 76 8 2 7 *36 »42 »49 7 »04 »11 »18 7 7 8 9

Vierstellige Quadratzahlen. 0,35 0,3tì 0,37 0,3S 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,4(5 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69

0 0,1225 296 369 444 521 600 681 764 849 936 0/2025 116 209 304 401 500 601 704 809 916 0,3025 136 249 364 481 600 721 844 969 0,4096 225 356 489 624 761 0

1 2 3 4 232 239 246 253 303 310 318 325 376 384 391 399 452 459 467 475 529 537 544 552 608 616 624 632 689 697 706 714 772 781 789 798 858 866 875 884 945 954 962 971 034 043 052 061 125 134 144 153 218 228 237 247 314 323 333 343 411 421 430 440 510 520 530 540 611 621 632 642 714 725 735 746 820 830 841 852 927 938 948 959 036 047 058 069 147 158 170 181 260 272 283 295 376 387 399 411 493 505 516 528 612 624 636 648 733 745 758 770 856 869 881 894 982 994*007*020 109 122 134 147 238 251 264 277 369 382 396 409 502 516 529 543 638 651 665 679 775 789 802 816 1 2 3 4

6 7 8 9 5 260 267 274 282 289 332 340 347 354 362 406 414 421 429 436 482 490 498 505 513 560 568 576 584 592 640 648 656 665 673 722 731 739 747 756 806 815 823 832 840 892 901 910 918 927 980 989 998*007*016 070 079 088 098 107 162 172 181 190 200 256 266 275 285 294 352 362 372 381 391 450 460 470 480 490 550 560 570 581 591 652 663 673 683 694 756 767 777 788 798 862 873 884 894 905 970 981 992*003*014 080 091 102 114 125 192 204 215 226 238 306 318 329 341 352 422 434 446 457 469 540 552 564 576 588 660 672 684 697 709 782 795 807 819 832 906 919 931 944 956 »032*045*058*070*083 160 173 186 199 212 290 303 316 330 343 422 436 449 462 476 556 570 583 597 610 692 706 720 733 747 830 844 858 872 886 5 6 7 8 9

59

60

Vierstellige Quadratzahlen.

0,70 0,71 0,72 0,73 0,74

0 0,4900 0,5041 184 329 476

1 914 055 198 344 491

2 928 069 213 358 506

3 942 084 227 373 520

4 956 098 242 388 535

0,75 0,76 0,77 0,78 0,79

625 776 929 0,6084 241

640 791 944 100 257

655 806 960 115 273

670 822 975 131 288

685 837 991 147 304

0,80 0,81 0,82

400 561 724 889 0,7056

416 577 740 906 073

432 593 757 922 090

448

464

0,89

225 396 569 744 921

242 413 586 762 939

259 430 604 779 957

276 448 621 797 974

293 465 482 500 517 534 552 639 656 674 691 709 726 815 832 850 868 885 903 992 *010*028»046*064*082

0,90 0,91 0,92 0,93 0,94

0,8100 281 464 649 836

118 299 482 668 855

136 317 501 686 874

154 336 519 705 892

172 354 538 724 911

190 372 556 742 930

208 391 575 761 949

226 409 593 780 968

0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

0,9025 044 216 2 3 5 409 428 604 624 801 8 2 1

0 6 3 082 101 254 274 293 448 467 487 643 663 683 8 4 1 860 880

1.03 1.04

020 221 424 609 630 816 8 3 7

0 4 0 060 080 2 4 1 262 282 445 465 486 650 671 692 858 878 899 2 3 4

120 312 506 702 900 100 302 506 712 920 5

139 332 526 722 920 120 323 527 733 941 6

158 351 545 742 940 140 343 547 754 962 7

0,83 0,84 0,85

0,86 0,87

0,88

1,00 1,0000 1,01 201 1,02 404 0

1

610 626

7V73 7 9 0 939 956 106 123

5 970 112 256 402 550

6 984 127 271 417 565

7 8 9 998*013*027 141 155 170 285 300 314 432 446 461 580 595 610

D.

14 14 15 IS 13 7 0 0 7 1 5 7 3 0 7 4 6 7 6 1 15 8 5 2 8 6 8 8 8 3 8 9 8 9 1 4 15 » 0 0 6 * 0 2 2 * 0 3 7 * 0 5 3 * 0 6 8 16 1 6 2 1 7 8 1 9 4 2 0 9 2 2 5 16 3 2 0 3 3 6 3 5 2 3 6 8 3 S 4 16 4 8 0 4 9 6 5 1 2 5 2 9 5 4 5 16 6 4 2 6 5 9 6 7 5 6 9 1 7 0 8 16 8 0 6 8 2 3 8 3 9 8 5 6 8 7 2 17 9 7 2 9 8 9 * 0 0 6 * 0 2 2 * 0 3 9 17 1 4 0 1 5 7 1 7 4 1 9 1 2 0 8 17 3 1 0 3 2 7 3 4 4 3 6 2 3 7 ! ) 17 17

18 18

18

18 18 19 19 19 1 7 8 1 9 7 19 3 7 0 3 9 0 19 5 6 5 5 8 4 20 7 6 1 7 8 1 20 9 6 0 9 8 0 20 1 6 1 1 8 1 20 3 6 3 3 8 4 20 5 6 8 5 8 8 21 7 7 4 7 9 5 21 9 8 3 * 0 0 4 21 8 9 245 263 427 446 612 630 798 817 987*006

Vierstellige Quadratzahlen. 1.05 1.06 1.07 1.08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 M4 1.15 1.16 1.17 1.18 1,19; 1,20' 1,21 1,22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1,29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39

0 1 2 3 4 1,1025 046 067 088 109 236 257 278 300 321 449 470 492 513 535 664 686 707 729 751 881 903 925 946 968 1,2100 122 144 166 188 321 343 365 388 410 544 566 589 611 634 769 792 814 837 860 996*019*042*064*087 1,3225 248 271 294 317 456 479 502 526 549 689 712 736 759 783 924 948 971 995*019 1,4161 185 209 232 256 400 424 448 472 496 641 665 689 714 738 884 908 933 957 982 1,5129 154 178 203 228 376 401 426 450 475 625 650 675 700 725 876 901 926 952 977 1,6129 154 180 205 231 384 410 435 461 487 641 667 693 718 744 900 926 952 978*004 1,7161 187 213 240 266 424 450 477 503 530 689 716 742 769 796 956 983*010*036*063 1,8225 252 279 306 333 496 523 550 578 605 769 796 824 851 879 1,9044 072 099 127 155 321 349 377 404 432 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 130 151 172 194 215 342 364 385 406 428 556 578 '599 621 642 772 794 816 837 859 990*012*034*056*078 210 232 254 277 299 432 455 477 499 522 656 679 701 724 746 882 905 928 950 973 '110*133*156*179*202 340 363 386 410 433 572 596 619 642 666 806 830 853 877 900 '042*066*090*113*137 280 304 328 352 376 520 544 568 593 617 762 787 811 835 860 '006*031*055*080*104 252 277 302 326 351 500 525 550 575 600 750 775 800 826 851 "002*028*053*078*104 256 282 307 333 358 512 538 564 589 615 770 796 822 848 874 '030*056*082*109*135 292 319 345 371 398 556 583 609 636 662 822 849 876 902 929 *090*117*I44*171*198 360 387 414 442 469 632 660 687 714 742 906 934 961 989*016 182 210 238 265 293 460 488 516 544 572 5 6 7 8 9

61

62 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1,45 1,4(5 1.47 1.48 1,4!» 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1,60 1,61 1,62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1,69 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74

Vierstellige Quadratzahlen. 0 1,9600 881 2,0164 449 736 2,1025 316 609 904 2,2201 500 801 2,3104 409 716 2,4025 336 649 964 2,5281 600 921 2,6244 569 896 2,7225 556 889 2,8224 ' 561 900 2,9241 584 929 3,0276 0

1 2 3 4 628 656 684 712 909 937 966 994 192 221 249 278 478 506 535 564 765 794 822 851 054 083 112 141 345 374 404 433 638 668 697 727 934 963 993*023 231 261 290 320 530 560 590 620 831 861 892 922 134 165 195 226 440 470 501 532 747 778 808 839 056 087 118 149 367 398 430 461 680 712 743 775 996*027*059*091 313 345 376 408 632 664 696 728 953 985*018*050 276 309 341 374 602 634 667 700 929 962 994*027 258 291 324 357 589 622 656 689 922 956 989*023 258 291 325 359 595 629 662 696 934 9(58*002*036 275 309 344 378 (518 653 687 722 964 998*033*068 311 346 3S0 415 1 2 3 4

5 6 7 8 9 740 768 796 825 853 *022*051*079*107*136 306 335 363 392 420 592 621 650 678 707 880 909 938 967 996 -170 199 228 258 287 462 492 521 5a0 580 756 786 815 845 874 *052*0S2*112*141*171 350 380 410 440 470 650 680 710 741 771 952 983*013*043*074 256 287 317 348 378 562 593 624 654 685 870 901 932 963 994 180 211 242 274 305 492 524 555 586 618 806 838 869 901 932 *122*154*186*217*249 440 472 504 536 568 760 792 824 857 889 *0S2*115*147*179*212 406 439 471 504 536 732 765 798 830 863 *060*093*126*159*192 390 423 456 490 523 722 756 789 822 856 *056*090*123*157*190 392 426 460 493 527 730 764 798 832 866 *070*104*138*173*207 412 447 481 515 550 756 791 825 860 894 *102*137*172*206*241 450 485 520 555 590 5 6 7 8 9

Vierstellige Quadratzahlen. 0 1 2 3 4 1.75 3,0625 660 695 730 765 976*011*046*082*117 1.76 1.77 3,1329 364 400 435 471 684 720 755 791 827 1.78 1.79 3,2041 077 113 148 184 1,80 1 400 436 472 508 544 1,81 761 797 833 870 906 1,82 3,3124 160 197 233 270 489 536 562 599 636 1.83 1.84 1 856 893 930 966*003 1.85 Ii 3,4325 262 399 336 373 1.86 596 633 670 708 745 1.87 969*006*044*081*119 1.88 3,5344 383 419 457 495 1,891 '721 759 797 834 872 1.90 13,6100 138 176 214 252 1.91 481 519 557 596 634 1.92 864 903 5 4 1 979*018 1.93 3,7349 288 326 365 404 1.94 II 636 675 714 752 791 1.95 3,8025 064 103 142 181 416 455 494 534 573 1.96 809 848 888 927 967 1.97 1.98 3,9204 244 283 333 363 601 641 681 720 760 1.99 3.00 4,0000 040 080 120 160 2.01 401 441 481 522 562 2,02 804 844 885 925 966 2.03 4,1209 250 290 331 372 616 657 698 738 779 3.04 2.05 4,2025 066 107 148 189 2.06 436 477 518 560 601 2,07 849 890. 932 973*015 2,OS 4,3264 306 347 389 431 2,09 681 723 765 806 848 0 1 3 3 4

G3

5 6 7 8 9 D. 800 835 870 906 941 35 »152*188*223*258*294 35 506 542 577 613 648 36 862 898 934 969*005 36 220 256 292 328 364 36 580 616 652 689 725 36 942 979*015*051*088 36 306 343 379 416 452 37 673 709 746 783 819 37 *040*077*114*I5I*I88 37 410 447 484 522 559 37 782 820 857 894 932 38 *156*194*231*269*306 38 532 570 608 645 683 38 910 948 986*024*062 38 290 328 366 405 443 38 672 711 749 787 826 38 *056*095*133*172*210 39 442 481 530 558 597 39 830 869 908 947 986 39 330 259 298 338 377 39 612 652 691 730 770 39 *006*046*085*125*164 40 402 442 482 521 561 40 800 840 880 920 960 40 200 240 280 321 361 40 602 643 683 723 764 40 *006*047*087*128*16S 41 412 453 494 534 575 41 820 861 902 943 984 41 230 271 312 354 395 41 642 684 725 766 808 41 *056*098*139*181*222 41 472 514 556 597 639 42 890 932 974*016*058 42 5 6 7 8 9

64 Tafeln zur Verwandlung der Kreisbogen in Theile des Halbmessers und umgekehrt. D e r Umfang des Halbkreises ist rsr = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 r, w e n n r den Radius d e s K r e i s e s b e z e i c h n e t .

-¿- = 0,3183099, Log. * = Setzt m a n r =

«» = 9 , 8 6 9 6 0 4 4 0,4971499

l/* =

1,7724539

1, s o hat man folgende V i e l f a c h e :

Grade.

Minuten.

Secunden.

Halbkreise sr

0,0174533 0,0349066 0,0523599 0,0698132 0,0872005 0,1047198 0,1221730 0,1396263 0,1570796

0,0002909 0,0005818 0,0008727 0,0011636 0,0014544 0,0017453 0,0020362 0,0023271

0,0000048 0,0000097 0,0000145 0,0000194 0,0000242 0,0000291 0,(¡000339 0,0000388 0,(¡000436

3,1415927 6,2831853 9,4247780 12,5063706 15,7079633 18,8495559 21,9911486 25,1327412 28,2743339

0,0026180

*

0,3183099 0,6366198 0,9549297 1,2732395 1,5915494 1,9098593 2,2281692 2,5464791 2,8647890

Diese Tafeln sind nützlich für die Verwandlung der B o g e n in Theile des H a l b m e s s e r s . Zur Verwandlung der d a l b m e s s e r theile in B o g e n dienen die folgenden

l r = 57° 17'44,8" 2 = 1 1 4 3 5 29,6 Zehntel.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5°43' 11 27 17 1 1 22 5 5 28 38 3 4 22 40 6 45 50 51 33

46,5" 33,0 19,4 5,9 52,4 38,9 25,1 11,8 58,3

3r=171°53'14,4" 4 = 2 2 9 10 59,2

Hundertel.

0°34' 1 8 1 43 2 17 2 51 3 26 4 0 4 35 5 9

22,6" 45,3 7,9 30,6 53,2 15,9 38,5 1,2 23,8

5r=286028'44,0" 6 = 3 4 3 4 6 28,8

Tausendtel.

Zehntau- Hundertsendlel. tausendtel.

3' 6 10 13 17 20 24 27 30

0' 0 1 1 1 2 2 2 3

26,3" 52,5 18,8 45,1 11,3 37,6 3,9 30,1 56,4

20,6" 41,3 1,9 22,5 43,1 3,8 244 45,0 5,6

2,1" 4,1 6,2 8,3 10,3 12,4 14,4 16,5 18,6

V.

Trigonometrische Tafeln, 1) siebenziffrige Werthe der trigonometrischen Functionen für ganze Grade. Seite 66 u. 67. 2) Hülfstafel für Berechnung der Logarithmen zu den trigonometrischen Functionen kleiner Winkel. Seite 6 7 . . 3) Fünfstellige Logarithmen der trigonometrischen Functionen von Minute zu Minute. Seite 68 bis 157.

e

66

Länge der trigonometrischen Linien

Gr.

Sinus

Tangens

Cosinus

Gr.

0

2 3 4

0,0000000 0,0174524 0,0348995 0,052:5360 0,0697565

0 0,0174551 0,0349208 0,0524078 0,0699268

GO 57,2899617 28,6362533 19,0811367 14,3006663

1,0000000 0,9998477 0,9993908 0,9986295 0,9975641

90 89 88 87 86

5 6 7 8 9

0,0871557 0,1045285 0,1218693 0,1391731 0,1564345

0,0874887 0,1051042 0,1227846 0,1405408 0,1583844

11,4300523 9,5143045 8,1443464 7,1153697 6,3137515

0,9961947 0,9945219 0,9925462 0,9902681 0,9876883

85 84 83 82 81

10

14

0,1736482 0,1908090 0,2079117 0,2249511 0,2419219

0,1763270 0,1943803 0,2125565 0,2308682 0,2493280

5,6712818 5,1445540 4,7046301 4,3314759 4,0107809

0,9848078 0,9816272 0,9781476 0,9743701 0,9702957

80 79 78 77 76

15 16 17 18 19

0,2588100 0,2756374 0,2923717 0,3090170 0,3255682

0,2679492 0,2867454 0,3057307 0,3249197 0,3443276

3,7320508 3,4874144 3,2708526 3,0776835 2,9042109

0,9659258 0,9612617 0,9563048 0,9510565 0,9455185

75 74 73 72 71

20 21 22 23 24

0,3420201 0,3583679 0,3746066 0,3907311 0,4067366

0,3639702 0,3838640 0,4040262 0,4244749 0,4452287

2,7474774 2,6050891 2,4750869 2,3558524 2,2460368

0,9396926 0,9335804 0,9271839 0,9205049 0,9135454

70 69 68 67 66

25 26 27 28 29

0,4226183 0,4383711 0,4539905 0,4694716 0,4848096

0,4663077 0,4877326 0,5095254 0,5317094 0,5543090

2,1445069, 2,0503038 1,9626105 1,8807265 1,8040478

0,9063078 0,8987940 0,8910065 0,8829476 0,8746197

65 64 63 62 61

30 31 32 33 34

0,5000000 0,5150381 0,5299193 0,5446390 0,5591929

0,5773503 0,6008606 0,6248694 0,6494076 0,6745085

1,7320508 1,6642795 1,6003345 1,5398650 1,4825610

0,8660254 0,8571673 0,8480481 0,8386706 0,8290376

60 59 58 57 56

Gr.

Cosinus

Cotangens

Tangens

Sinus

Gr.

1

11 12

1»

Cotangens~

der ganzen Grade für den Radius 1. Gr.

Sinus

35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Gr.

0,5735764 0,5877853 0,6018150 0,6156615 0,6293204 0,6427876 0,6560590 0,6691306 0,6819984 0,6946584 0,7071068 Cosinus

Tangens 0,7002075 .0,7265425 0,7535540 0,7812856 0,8097840 0,8390996 0,8692867 0,9004041 0,9325151 0,9656888 1,0000000 Cotangens

Kleine Hiilfstafel. xSec 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000

M

N

1 0 1 0 0 2 1 3 1 4 2 4 2 6 7 3 4 9 4 11 6 13 6 15 8 17

Logx 3,00.. 3,17.. 3,30.. 3,39.. 3,47.. 3,54.. 3,60.. 3,65.. 3,69.. 3,74.. 3,77.. 3,81.. 3,84..

67

Cotangens

Cosinus

Gr.

1,4281480 1,3763819 1,3270448 1,2799416 1,2348972

0,8191521 0,8090170 0,7986355 0,7880107" 0,7771460 0,7660444 0,7547096 0,7431448 0,7313537 0,7193398 0,7071068 Sinus

55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 Gr.

1,1917536 1,1503684 1,1106125 1,0723687 1,0355303 1,0000000 Tangens

Nützliche Regel. Den Logarithmus des Sinus und der Tangente eines Bogens oder Winkels, der weniger als 2 Grade beträgt, findet man bis aur die fünfte Decimale genau, wenn man das Maass des Bogens oder Winkels in Secunden ausdrückt, durch x bezeichnet und dann nach folgenden Formeln rechnet: Log sin x = 4 , 6 8 5 5 7 + L o g x — M Log tang x = 4,(58557-j- Logx + N Logx = Log sin x — 4,68557 + M Logx = Log tang x — 4 , 6 8 5 5 7 — N .

Die Zahlen U und N sind, in Einheiten der fünften Decimale bestimmt, aus der Hiilfstafel für den angenäherten Werth von x oder Log x zu entnehmen. Näheres nebst Beispielen in den Erläuterungen.

sa

68

Fünfstellige Logarithmen 0 Grad.

G 5

Diff.

Tangens

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

6,46373 30103 6,76476 17609 6,94085 12494 7,06579 7,16270 9691 7918 7,24188 6694 7,30882 5800 7,36682 5115 7,41797 7,46373 4576 4139 7,50512 3779 7,54291 3476 7,57767 3218 7,60985 7,63982 2997 2802 7,66784 2633 7,69417 2483 7,71900 2348 7,74248 2227 7,76475 2119 7,78594 2021 7,80615 1930 7,82545 1848 7,84393 1773 7,86166 1704 7,87870 1639 7,89509 1579 7,91088 1524 7,92612 1472 7,94084

6,46373 6,76476 6,94085 7,06579 7,16270 7,24188 7,30882 7,36682 7,41797 7,46373 7,50512 7,54291 7,57767 7,60986 7,63982 7,66785 7,69418 7,71900 7,74248 7,76476

g

Cosinqs

Sinus GO

Diff.

C.D.

— OD

7,78595 7,80615 7,82546 7,84394 7,86167 7,87871 7,89510 7,91089 7,92613 7,94086 Cotang.

Cotang.

fcs 3

tX

30103 17609 12494 9691 7918 6694 5800 5115 4576 4139 3779 3476 3219 2996 2803 2633 248'2 2348 2228 2119 2020 1931 1848 1773 1704 1639 1579 1524 1473 C.D.

13,53627 13,23524 13,05915 12,93421 12,83730 12,75S12 12,69118 12,63318 12,58203 12,53627 12,49488 12,45709 12,42233 12,39014 12,36018 12,33215 12,30582 12,28100 12,25752 12,23524 12,21405 12,19385 12,17454 12,15606 12,13833 12,12129 12,10490 12,08911 12,07387 12,05914 Tangens

8 9 Grad.

0

0

0

0 1 0

0

0

1 0 o 5

Cosinus

e i

10,00000 10,00000 10,00000 10,00000 10,00000 10,00000 10,00000 10,00000 10,00000 10,00000 10,00000

60 59 58 57 56 55 54 ¡53 52 51 50

10,00000 10,00000 10,00000 10,00000 10,00000 10,00000 9,99999 9,99099 9,99999 9,99999 9,99999 9,99999 9,99999 9,99999 9,99999 9,99999 9,99999 9,99999 9,99998 9,99998

¡49 148 47 46 45 !44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 s 5'

Sinus

der trigonometrischen Functionen. c s 30 31 32 33 34 35 3t) 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 a 5'

fi9

0 Grad. Sinus

7,94084 7,95508 7,96887 7,98223 7,99520 8,00779 8,02002 8,03192 8,04350 8,05478 8,06578 8,07650 8,08696 8,09718 8,10717 8,11693 8,12647 8,13581 8,14495 8,15391 8,16268 8,17128 8,17971 8,18798 8,19610 8,20407 8,21189 8,21958 8,22713 8,23456 8,24186 Cosinus

DifT

Tangens

C.D

Cotang.

1424 1379 1336 1297 1259 1223 1190 1158 1128 1100 1072 1046 1022 999 976 954 934 914 896 877 860 843 827 812 797 782 769 755 743 730

7,94086 7,95510 7,96889 7,98225 7,99522 8,00781 8,02004 8,03194 8,04353 8,05481 8,06581 8,07653 8,08700 8,09722 8,10720 8,11696 8,12651 8,13585 8,14500 8,15395 8,16273 8,17133 8,17976 8,18804 8,19616 8,20413 8,21195 8,21964 8,22720 8,23462 8,24192

1424 1379 1336 1297 1259 1223 1190 1159 1128 1100 1072 1047 1022 998 976 955 934 915 895 878 860 843 828 812 797 782 769 756 742 730

12,05914 12,04490 12,03111 12,01775 12,00478 11,99219 11,97996 11,96806 11,95647 11,94519 11,93419 11,92347 11,91300 11,90278 11,89280 11,88304 11,87349 11,86415 11,85500 11,84605 11,83727 11,82867 11,82024 11,81196 11,80384 11,79587 11,78805 11,78036 11,77280 11,76538 11,75808

Diff.

Cotang.

C.D.

Tangens

8 9 Grä3.

1 's 1 Q

Cosinus

0 9,99998 9,99998 9,99998 9,99998 9,99998 0 9,99998 1 9,99998 0 9,99997 9,99997 9,99997 9,99997 0 9,99997 9,99997 1 9,99997 0 9,99996 9,99996 0 9,99996 9,99996 9,99996 1 9,99996 9,99995 0 9,99995 9,99995 9,99995 1 9,99995 9,99994 0 9,99994 9,99994 9,99994 9,99994 1 9,99993 pa Sinus

i 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 a

70

Fünfstellige Logarithmen

1 Grad. Q 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 B P

Sinus

Dill. Tangens

8,24186 8,24903 8,25609 8,26304 8,26988 8,27661 8,28324 8,28977 8,29621 8,30255 8,30879 8,31495 8,32103 8,32702 8,33292 8,33875 8,34450 8,35018 8,35578 8,36131 8,36678 8,37217 8,37750 8,38276 8,38796 8,39310 8,39818 8,40320 8,40816 8,41307 8,41792

717 706 695 684 673 663 653 644 634 624 616 60S 599 590 583 575 568 560 553 547 539 533 526 520 514 508 502 496 491 485

8,24192 8,24910 25616 8,26312 8,26996 8,27669 8,28332 8,28986 8,29629 8,30263 8,30888 8,31505 8,32112 8,32711 8,33302 8,33886 8,34461 8,35029 8,35590 8,36143 8,36689 8,37229 8,37762 8,3&289 8,38809 8,39323 8,39832 8,40334 8,40830 8,41321 8,41807

Cosinus

Diff.

Cotang.

C.D. 718 706 696 684 673 663 654 643 634 625 617 607 599 591 584 575 568 561 553 546 540 533 527 520 514 509 502 496 491 486

1

C.D.

Cotang.

11,75808 11,75090 11,74384 11,73688 11,73004 11,72331 11,71668 11,71014 11,70371 11,69737 11,69112 11,68495 11,67888 11,67289 11,66698 11,66114 11,65539 11,64971 11,64410 11,63857 11,63311 11,62771 11,62238 11,61711 11,61191 11,60677 11,60168 11,59666 11,59170 11,58679 11,58193 Tangens

88 Grad.

5 0

1 0 0

1 0 l" 0

1 0

l 0 1 0 1 0 1 0

o S

Cosinus

d ¡3

9,99993 9,99993 9,99993 9,99993 9,99992 9,99992 9,99992 9,99992 9,99992 9,99991 9,99991 9,99991 9,99990 9,99990 9,99990 9,99990 9,99989 9,99989 9,99989 9,99989 9,99988 9,99988 9,99988 9,99987 9,99987 9,99987 9,991186 9,99986 9,99986 9,99985 9,99985

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30

Sinus

B

5'

der trigonometrischen Functionen. Min.

1 Grad. 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 'S 4i 4: 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Sinus

DilT. Tangens

C.D.

¡Min!

8,41792 480 8,41807 480 8,42272 474 8,42287 475 8,42746 470 8,42762 470 8,43232 8,43216 8,43680 464 8,43696 464 459 8,44156 460 8,44139 455 455 8,44594 4 5 0 8,44611 450 8,45044 445 8,45061 446 8,45489 441 8,45507 441 8,45930 436 8,45948 437 8,46366 433 8,46385 432 8,46799 427 8,46817 428 8,47226 424 8,47245 421 8,47650 419 8,47669 420 8,48069 416 8,48089 416 8,48485 411 8,48505 412 8,48896 408 8,48917 408 8,49304 404 8,40325 404 8,49708 400 8,49729 401 8,50108 396 8,50130 397 8,50504 393 8,50527 393 8,50897 390 8,50920 390 8,51287 386 8,51310 386 8,51673 382 8,51696 383 8,52055 379 8,52079 380 8,52434 376 8,52459 376 8,52810 373 8,52835 373 8,53183 369 8,53208 370 3,53552 367 8,53578 367 8,53919 363 8,53945 363 8,54308 8,54282 Cosinus DilT. Cotang. C.D.

Cotang. 11,58193 11,57713 11,57238 11,56768 11,56304 11,55844 11,55389 11,54939 11,54493 11,54052 11,53615 11,53183 11,52755 11,52331 11,51911 11,51495 11,51083 11,50675 11,50271 11,49870 11,49473 11,49080 11,48690 11,48304 11,47921 11,47541 11,47165 11,46792 11,46422 11,46055 11,45692 Tangens

88 Grad.

71

c 's 5 Cosinus 's 0 9,99985 30 9,99985 29 1 0' 9,99984 28 9,99984 27 9,99984 26 1 25 0 9,99983 9,99983 24 9,99983 23 1 22 0 9,99982 21 9,99982 9,99982 20 1 9,99981 19 0 9,99981 18 9,99981 17 1 0 9,99980 16 9,99980 15 1 9,99979 14 0 9,99979 13 9,99979 12 1 0 9,99978 11 9,99978 10 1 0 9,99977 9 9,99977 8 9,99977 7 1 0 9,99976 6 9,99976 5 1 4 0 9,99975 3 1 9,99975 0 9,99974 2 9,99974 1 9,99974 0 d s äi Sinufr 3'

72

Fünfstellige Logarithmen DifT. Tangens

IMinll

2 Grad. Sinus

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 17 18 19 20 21 22 23 24 25 20 27 28 29 30

8,54282 8,54642 8,54999 8,55354 8,55705 8,56054 8,56400 8,56743 8,57084 8,57421 8,57757 8,58089 8,58419 8,58747 8,59072 8,59395 8,59715 8,60033 8,60349 8,60662 8,60973 8,61282 8,61589 8,61894 8,62196 8,62497 8,62795 8,63091 8,63385 8,63678 8,63968

360 357 355 351 349 346 343 341 337 336 332 330 328 325 323 320 318 316 313 311 309 307 305 302 301 298 296 294 293 290

8,54308 8,54669 8,55027 8,5 a 382 8,55734 8,56083 8,56429 8,56773 8,57114 8,57452 8,57788 8,58121 8,58451 8,58779 8,59105 8,59428 8,59749 8,60068 8,60384 8,60698 8,61009 8,61319 8,61626 8,61931 8,62234 8,62535 8,62834 8,63131 8,63426 8,63718 8,64009

361 358 355 352 349 346 344 341 338 336 333 330 328 326 323 321 319 316 314 311 310 307 305 303 301 299 297 295 292 291

Min.

Cosinus

DifT.

Cotang.

C.D.

C.D.

Cotang.

Iis

S Cosinus 11,45692 1 9,99974 11,45331 0 9,99973 11,44973 l 9,99973 11,44618 9,99972 11,44266 0 9,99972 1 11,43917 9,99971 11,43571 11,43227 11,42886 11,42548 11,42212 11,41879 11,41549 11,41221 11,40895 11,40572 11,40251 11,39932 11,39616 11,30302 11,38991 11,38681 11,38374 11,38069 11,37766 11,37465 11,37166 11,36869 11,36574 11,36282 11,35991 Tangens

87 C r ä a :

0

1 9,99971 0 9,99970 1 9,99970 9,99969 0 1 9,99969 0 9,99968 1 9,99968 0 9,99967 0 9,99967 1 9,99967 0 9,99966 1 9,99966 1 9,99965 0 9,99964 I 9,99964 0 9,99963 1 9,99963 0 9,99962 1 9,99962 0 9,99961 1 9,99961 0 9,99960 1 9,99960 0 9,99959 9,99959 o Sinu9

a S 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 4> 41 43 42 11 10 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 B

5*

der trigonometrischen Functionen.

73

2 Grad. c S

Sinus

30 31 32 33 34 35

8,63968 8,64256 8,64543 8,64827 8,65110 8,65391

36 37 38 39 40

8,65670 8,65947 8,66223 8,66497 8,66769

41 42 43 44 45

8,67039 8,67308 8,67575 8,67841 8,68104

46 47 48 49 50

8,68367 8,68627 8,68886 8,69144 8,69400

51 52 53 54 55

8,69654 8,69907 8,70159 8,70409 8,70658

56 57 58 59 60 s 5

8,70905 8,71151 8,71395 8,71638 8,71880 Cosinus

Diff. 288 287 284 283 281 279 277 276 274 272 270 269 267 266 263 263 260 259 258 256 254 253 252 250 249 247 246 244 243 242 Diff.

Tangens 8,64009 8,64298 8,64585 8,64870 8,65154 8,65435 8,65715 8,65993 8,66269 8,66543 8,66816 8,67087 8,67356 8,67624 8,67890 8,68154 8,68117 8,68678 8,68938 8,69196 8,69453 8,69708 8,69962 8,70214 8,70465 8,70714 8,70962 8,71208 8,71453 8,71697 8,71940 Cotang.

C.D. 289 287 285 284 281 280 278 276 274 273 271 269 268 266 264 263 261 260 258 257 255 254 252 251 249 248 246 245 244 213 C.D.

Cotang.

t: 5

Cosinus

G S

11,35991 11,35702 11,35415 11,35130 11,34846 11,34565

1 0 1 1

9,99959 9,99958 9,99958 9,99957 9,99956 9,99956

30 29 28 27 26 25

9,99955 9,99955 9,99954 9,99954 9,99953

2423 22 21 20

9,99952 9,99952 9,99951 9,99951 9,99950

19 18 17 16 15

9,99949 9,99949 9,99948 9,99948 9,99947 9,99946 9,99946 9,99945 9,99944 9,99944

14 13 12 II 10

9,99943 9,99942 9,99942 9,99941 9,99940

4 3 2 1 0

11,34285 11,34007 11,33731 11,33457 11,33184 11,32913 11,32644 11,32376 11,32110 11,31846 11,3158.3 11,31322 11,31062 11,30804 11,30547 11,30292 11,30038 11,29786 11,29535 11,29286 11,29038 11,28792 11,28547 11,28303' 11,28060 Tangens

87 Grad.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o 3

Sinus

9 8 7 6 5

S 5

74

Füftfstellige Logarithmen

Min

3 Grad. 0 1 2 3 4 5

Sinus 8,71880 8,72120 8,72359 8,72597 8,72834 8,73069

6 8,73303 7 8,73535 8 8,73767 9 8,73997 10 8,74226 11 8 , 7 4 4 5 4 12 8,74680 13 8,74906 14 8,75130 15 8,75353 1 6 8,75575 17 8,75795 1 8 8,76015 19 8,76234 2 0 •8,76451 21 8,76667 2 2 8,76883 23 8,77097 24 8,77310 2 5 8,77522 26 27 28 29 30

8,77733 8,77943 8,78152 8,78360 8,78568

B

Cosinus

P

Diff. T a n g e n s 240 239 238 237 235 234 232 232 230 229 228 226 226 224 223 222 220 220 219 217 216 216 214 213 212 211 310 209 208 208 Dill.

8,71940 8,72181 8,72420 8,72659 8,72896 8,73132 8,73366 8,73600 8,73832 8,74063 8,74292 8,74521 8,74748 8,74974 8,75199 8,75423 8,75645 8,75867 8,76087 8,76306 8,76525 8,76742 8,76958 8,77173 8,77387 8,77600 8,77811 8,78022 8,78232 8,78441 8,78649 Cotang.

C.D. 241 239 239 237 236 234 234 232 231 229 229 227 226 225 224 222 222 220 219 219 217 216 216 214 213 211 211 210 209 208 C.D.

11,28060 11,27819 11,27580 11,27341 11,27104 11,26868

fcs C o s i n u s S 9,99940 0 l 9,99940 l 9,99939 9,99938 9,99938 l 9,99937

e S 60 59 58 57 56 55

11,26634 11,26400 11,26168 11,25937 11,25708

9,99936 9,99936 9,99935 9,99934 9,99934

54 53 52 51 50

9,99933 9,99932 9,99932 9,99931 9,99930

49 48 47 46 45

9,99929 9,99929 9,99928 9,99927 9,99926

44 43 42 41 40

9,99926 9,99925 9,99924 9,99923 9,99923 l 9,99922 î 9,99921 9,99920 0 9,99920 1 9,99919 o Sinus

39 38 37 36 35

Cotang.

11,25479 11,25252 11,25026 11,24801 11,24577 11,24355 11,24133 11,23913 11,23694 11,23475 11,23258 11,23042 11,22827 11,22613 11,22400 11,22189 11,21978 11,21768 11,21559 11,21351 Tangens

86 Grad.

l i l l i

l l l i l l

s

34 33 32 31 30 B

P

der trigonometrischen Functionen.

75

3 Grad. c Ü .30

Sinus

Diir.

31 32 33 34 35

8,78568 8,78774 8,78979 8,79183 8,79386 8,79588

36 37 38 39 40

8,79789 8,79990 8,80189 8,80388 8,80585

41 42 43 44 45

8,80782 8,80978 8,81173 8,81367 8,81560

46 47 48 49 50

8,81752 8,81944 8,82134 8,82324 8,82513

51 52 53 54 55

8,82701 8,82888 8,83075 8,83261 8,83446

187

56 57 58 59 60

8,83630 -8,83813 8,83996 8,84177 8,84358

183

Cosinus

DiiT

C

5

206 205 204 203 202 201 201 199 199 197 197 196 195 194 193 192 192 190 190 189 188 187 186 185 184 183 181 181

Tangens 8,78649 8,78855 8,79061 8,79266 8,79470 8,79673 8,79875 8,80076 8,80277 8,80476 8,80674 8,80872 8,81068 8,81264 8,81459 8,81653 8,81846 8,82038 8,82230 8,82420 8,82610

C.D. 206 206 205 204 203 202 201 201 199 198 198 196 196 195 194 193 192 192 190 190 189

8,82799 8,82987 8,83175 8,83361 8,83547

188

8,83732 8,83916 8,84100 8,84282 8,84464

184

Cotang.

C.D.

188

186 186

185 184 182 182

Cotang. 11,21351 11,21145 11,20939 11,20734 11,20530 11,20327 11,20125 11,19924 11,19723 11,19524 11,19326 11,19128 11,18932 11,18736 11,18541 11,18347 11,18154 11,17962 11,17770 11,17580 11,17390 11,17201 11,17013 11,16825 11,16639 11,16453 11,16268 11,16084 11,15900 11,15718 11,15536 Tangens

8 6 Grad.

S l l i l l l l l 1 l l l l l l l l l l l l l 1 l 1

a 5

Cosinus

Ii

9,99919 9,991)18 9,99917 9,99917 9,99916 9,99915

30 29 28 27 26 25

9,99914 9,99913 9,99913 9,99912 9,99911

24 23 22 21 30

9,99910 9,99909 9,99909 9,99908 9,99907

19 18 17 16 15

9,99906 9,99905 9,99904 9,99904 9,99903

14 13 12 11 10

9,99902 9,99901 9,99900 9,99899 9,99898

9 8 7 6 5

9,99898 9,99897 9,99896 9,99895 9,99894 Sinus

4

3 2

1

s

0

5"

76 G Sinus i 0 8,84358 1 8,84539 2 8,84718 3 8,84897 4 8,85075 5 8,85252 6 8,85429 7 8,85605 8 8,89780 9 8,85955 10 8,86128 11 8,86301 12 8,86474 13 8,86645 14 8,86816 15 8,86987 16 8,87156 17 8,87325 18 8,87494 19 8,87661 20 8,87829 21 8,87995 22 8,88161 23 8,88326 24 8,88490 25 8,88654 26 8,88817 27 8,88980 28 8,89142 29 8,89304 30 8,89464 fes Cosinus 3

Fünfstellige Logarithmen 4 Grad. Dill. 181 179 179 178 177 177 176 175 175 173 173 173 171 171 171 169 169 169 167 168 166 166 165 164 164 163 163 162 162 160 Diff.

Tangens

C.D.

8,84464 8,84646 8,84826 8,85006 8,85185 8,85363 8,85540 8,85717 8,85893 8,86069 8,86243 8,86417 8,86591 8,86763 8,86935 8,87106 8,87277 8,87447 8,87616 8,87785 8,87953 8,88120 8,88287 8,88453 8,88618 8,88783 8,88948 8,89111 8,89274 8,89437 8,89598

182 180 180 179 118 177 177 176 176 174 174 174 172 172 171 171 170 169 169 168 167 167 16S 165 165 165 163 163 163 161

Cotang.

C.D.

s= c 5 Cosinus 's 11,15536 l 9,99894 60 11,15354 l 9,99893 59 11,15174 l 9,99892 58 9,99891 57 11,14994 11,14815 l 9,99891 56 9,99890 55 11,14637 i 11,14460 l 9,99889 54 11,14283 l 9,99888 53 11,14107 l 9,99887 52 11,13931 l 9,99886 51 11,13757 l 9,99885 50 11,13583 l 9,99884 49 11,13409 l 9,99883 48 11,13237 l 9,99882 47 11,13065 l 9,99881 46 11,12894 l 9,99880 45 9,99879 44 11,12723 11,12553 l 9,99879 43 11,12384 l 9,99878 42 9,09877 41 11,12215 11,12047 l 9,99876 40 l 11,11880 l 9,99875 39 11,11713 l 9,99874 38 11,11547 l 9,99873 37 11,11382 l 9,99872 36 11,11217 l 9,99871 35 11,11052 l 9,99870* 34 11,10889 l 9,99869 33 11,10726 l 9,99868 32 11,10563 i 9,99867 31 11,10402 9,99866 30 Cotang.

Tangens

8 5 GräHT

o ai

Sinus

s

5'

der trigonometrischen Functionen.

77

4 Grad. .3 £

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 51 55 56 57 58 59 60 3 5

Sinus

8,89464 8,89625 8,89784 8,89943 8,90102 8,90260 8,90417 8,90574 8,90730 8,90885 8,91040 8,91195 8,91349 8,91502 8,91655 8,91807 8,91959 8,92110 8,92261 8,92411 8,92561 8,92710 8,92859 8,93007 8,93154 8,93301 8,93448 8,93594 8,93740 8,93885 8,94030 Cosinus

Diff. 161 159 159 159 158 157 157 156 155 155 155 154 153 153 152 152 151 151 150 150 149 149 148 147 147 147 146 146 145 149 Diff.

Tangens

8,89598 8,89760 8,89920 8,90080 8,90240 8,90399 8,90557 8,907.15 8,90872 8,91029 8,91185 8,91340 8,91495 8,91650 8,91803 8,91957 8,92110 8,92262 8,92414 8,92565 8,92716 8,92866 8,93016 8,93165 8,93313 8,93462 8,93609 8,93756 8,93903 8,94049 8,94195 Cotang.

C.D. 162 160 160 160 159 158 158 157 157 156 155 155 155 153 154 153 152 152 151 151 150 150 149 148 149 147 147 147 146 146 C.D.

Cotang.

11,10402 11,10240 11,10080 11,09920 11,09760 11,09601 11,09443 11,09285 11,09128 11,08971 11,08815 11,08660 11,08505 11,08350 11,08197 11,08043 11,07890 11,07738 11,07586 11,07435 11,07284 11,07134 11,06984 11,06835 11,06687 11,06538 11,06391 11,06244 11,06097 11,05951 11,05805 Tangens

8 5 Grad.

te £ 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

o 5

Cosinus

c ä

9,99866 9,99865 9,99864 9,99863 9,99862 9,99861 9,99860 9,99859 9,99858 9,99857 9,99S569,99855 9,99854 9,99853 9,99852 9,99851 9,99850 9,99848 9,99847 9,99846 9,99845 9,99844 9,99843 9,99842 9,99841 9,99840 9,99839 9,99838 9,99837 9,99836 9,99834

30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 k

Sinus

78

Fünfstellige Logarithmen 5 Grad.

.9 s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sinus

8,94030 8,94174 8,94317 8,94461 8,94603 8,94746 8,94887 8,95029 8,95170 8,95310 8,95450

11 8,95589 12 8 , 9 5 7 2 8 13 8,95867 14 8,96005 1 5 8,96143 16 8,90280 17 8,96417 1 8 8,96553 19 8,96689 2 0 8,96825 2 1 8,96960 22 8,97095 23 8,97229 2 4 8,97363 2 5 8,97496 26 27 28 29 30

8,97629 8,97762 8,97894 8,98026 8,98157

Min.!

Cosinus

Diff. 144 143 144 142 143 141 142 141 140 140 139 139 139 138 138 137 137 136 136 136 135 135 134 134 133 133 133 132 132 131 Ditr.

T a n g e o s C.D.

8,94195 8,94340 8,94485 8,94630 8,94773 8,94917 8,95060 8,95202 8,95344 8,95486 8,95627 8,95767 8,95908 8,96047 8,96187 8,96325 8,96464 8,96602 8,96739 8,96877 8,97013 8,97150 8,97285 8,97421 8,97556 8,97691 8,97825 8,97959 8,98092 8,98225 8,98358 Cotang.

145 145 145 143 144 143 142 142 142 141 140 141 139 140 138 139 138 137 138 136 137 135 136 135 135 134 134 133 133 133 C.D.

o

9,99834 9,99833 9,99832 9,99831 9,99830 9,99829

c S 60 59 58 57 56 55

11,04940 11,04798 11,04656 11,04514 11,04373

9,99828 9,99827 9,99825 1 9,99824 1 9,99823

54 53 52 51 50

11,04233 11,04092 11,03953 11,03813 11,03675

9,99822 1 9,99821 9,99820 1 9,99819 9,99817

49 48 47 46 45

11,03536 11,03398 11,03261 11,03123 11,02987

44 1 9,99816 9,99815 4 3 1 9,99814 42 1 9,99813 41 I 9,99812 4 0

Cotang.

11,05805 11,05660 11,05515 11,05370 11,05227 11,05083

11,02850 11,02715 11,02579 11,02444 11,02309 11,02175 11,02041 11,01908 11,01775 11,01642 Tangens

84 Grad.

1 1 1 1 1 1 1

Cosinus

1 1

1

9,99810 9,99809 9,99808 1 9,99807 1 9,99806

39 38 37 36 35

9,99804 9,99803 9,99802 9,99801 9,99800

34 33 32 31 30

1 1

1 1 1 1

o 5

Sinus

a

3

der trigonometrischen Functionen.

79

5 8625 4 9,6^648 5 9,68671 6 9,68694 7 9,68716 8 9,68739 9 9,08702 10 9,68784 11 ¡9,(58807 12 :9,(58829 13 i 9,(58852 14 ¡9,68875 15 9,68897 16 9,68920 17 9,68942' 18 • 9,68965 19 ! 9,68987 20 9,69010 21 ; 9,69032 22 9,69055 23 19,69077 24 ; 9,69100 25 9,69122 26 9,69144 27 19,69167 28 1 9,69189 29 9,69212 30 9,69234

*

Cosinus

Diff. 23 23 22 23 23 23 22 23 23 22 23 22 23 23 22 23 22 23 22 23 22 23 22 23 22 22 23 22 23 22 DilT.

T a n g e n s |C.D.

9,74375 9,74405 9,74435 9,74465 9,74494 9,74524 9,74554 9,74583 9,74613 9,74643 9,74673 9,74702 9,74732 9,74762 9,74791 9.74S21

30 30 30 29 30 30 29 30 30 30 29 30 30 29 30

9,74851 9,74880 9,74910 9,74939 9,74969 9,74998 9,75028 9,75058 9,75087 9,75117 9,75146 9,75176 9,75205 9,75235 9,75264

'30

Co tan g.

C.D.

6 0

29 30 29 30 29 30 30 29 30 29 30 29 30 29

Colang.

10,25625 10,25595 10,25565 10,25535 10,25506 10,25476 10,25446 10,25417 10,25387 10,25357 10,25327 10,25298 10,25268 10,25238 10,25209 10,25179 10,25149 10,25120 10,25090 10,25061 10,25031 10,25002 10,24972 10,24942 10,24913 10,24883 10,24854 10,24824 10,24795 10,24765 10,24736 Tangens |

G n ü T

1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

2

Cosinus

1

9,94182 9,94175 9,94168 9,94161 9,94154 9,94147

60 59 58 57 56 55

9,94140 9,94133 9,94126 9,94119 9,94112 9,94105 9.94098 9,94090 9,94083 9,94076

54 53 52 51 50

9,94009 9,94002 9,94055 9,94048 9,94041

49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35

9,94034 9,94027 9,94020 9,94012 9,94005 9,93998 9,93991 9,93984 9,93977 9,93970

34 33 32 31 30

Sinus

5'

S

der trigonometrischen Functionen.

127

29 Grad. d S

Sinus

30 31 32 33 34 35

9,61)234 9,69256 9,G9279 9,69301 9,69323 9,69345

36 37 38 39 40

9,69368 9,69390 9,69412 9,69434 9,69456

41 42 43 44 45

9,69479 9,69501 9,69523 9,69545 9,69567

46 47 48 49 50

9,69589 9,69611 9,69633 9,69655 9,69677

51 52 53 54 55

9,69699 9,69721 9,69743 9,69765 9,69787

22

56 57 58 59 60

9,69809 9,69831 9,69853 9,69875 9,69897

22

S ; Cosinus P 1

DiiT. Tangens C.D

Cotang.

9,75264 9,75294 9,75323 9,75353 9,75382 9,75411

10,24736 10,24706 10,24677 10,24647 10,24618 10,24589

22 23 22 22 22 23 22 22 22 22 23 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 Diff.

9,75441 9,75470 9,75500 9,75529 .9,75558 9,75588 9,75617 9,75647 9,75676 9,75705 9,75735 9,75764 9,75793 9,75822 9,75852 9,75881 9,75910 9,75939 9,75969 9,75998 9,76027 9,76056 9,76086 9,76115 9,76144 Cotang.

30 29 30 29 29 30 29 30 29 29 30 29 30 29 29 30 29 29 29 30 29 29 29 30 29 29 29 30 29 29 C.D.

10,24559 10,24530 10,24500 10,24471 10,24442 10,24412 10,24383 10,24353 10,24324 10,24295 10,24265 10,24236 10/24207 10,24178 10,34148 10,24119 10,24090 10,24061 10,24031 10,24002 10,23973 10,23944 10,23914 10,23885 10,23856 Tangens

60 Grad.

I t= 1 s 7 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 7 » S

Cosinus

c S

9,93970 9,93963 9,93955 9,93948 9,93941 9,93934

30 29 28 27 26 25

9,93927 9,93920 9,93912 9,93905 9,93898

24 23 22 21 20

9,93891 9,93884 9,93876 9,93869 9,93862

19 18 17 10 15

9,93855 9,93847 9,93840 9,93833 9,93826

14 13 12 II 10

9,93819 •9,93811 9,93804 9,93797 9,9.3789

9 8 7 6 5

9,93782 9,93775 9,93768 9,93760 9,93753

4 3 2 1 0

Sinus

te 5

128

Fünfstellige Logarithmen 30 Grad.

er

S

Sinus

0 9,69897 1 9,69919 2 9,69941 3 9,69963 4 9,69984 5 9,70006 6 9,70028 7 9,70050 8 9,70072 9 9,70093 10 9,70115 11 9,70137 12 9,70159 13 9,70180 14 9,70202 15 9,70224 16 9,70245 17 9,70267 18 9,70288 19 9,70310 20 9,70332 21 9,70353 22 9,70375 23 9,70396 24 9,70418 25 9,70439 26 9,70461 27 9,70482 28 9,70504 29 9,70525 30 9,70547 a Cosinus S'

Diir. 22 22 22 21 22 22 22 21 22 22 22

21 22 22 21 22 21 22

22 21 22

21 22 21 21 22 21 22 Difr.

Tangens

9,76144 9,76173 9,76202 9,76231 9,76261 9,76290 9,76319 9,76348 9,76377 9,76406 9,76435 9,76464 9,76493 9,76522 9,76551 9,76580 9,76609 9,76639 9,76668 9,76697 9,76725 9,76754 9,76783 9,76812 9,76841 9,76870 9,76899 9,76928 9,76957 9,76986 9,77015 Cotang.

C.D. 29 29 29 30 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 29 29 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 C.D.

Colang.

10,23856 10,23827 10,23798 10,23769 10,23739 10Î23710 10,23681 10,23(552 10,23623 10,23594 10,23565 10,23536 10,23507 10,23478 10,23449 10,23420 10,23391 10,23361 10,23332 10,23303 10,23275 10,23246 10,23217 10,23188 10,23159 10,23130 10,23101 10,23072 10,23043 10,23014 10,22985 Tangens

5 9 Grad.

la Q

Cosinus

9,93753 9,93746 9,93738 7 9,93731 7 9,93724 7 9,93717 8 7 9,93709 7 9,93702 9,93695 8 9,93687 7 9,93680 7 8 9,93673 7 9,93665 8 9,93658 7 9,93650 9,93643 8 9,93636 9,93628 7 9,93621 7 8 9,93614 9,93606 7 8 9,93599 7 9,93591 7 9,93584 8 9,93577 9,93569 7 9,93562 8 9,93554 7 9,93547 8 9,93539 7 9,93532 Ö Sinus =1 7 8

c S

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 S* S'

der trigonometrischen Functionen. 3 0 Grad. ¡S= | S i n u s

SO 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 g

Diir.

Tangens

9,77015 9,70547 9,70568 21 9,77044 22 9,70590 9,77073 9,70611 2 1 9,77101 9,70633 22 9,77130 9,70654 21 9,77159 21 9,70675 22 9,77188 9,70697 2 1 9,77217 9,70718 21 9,77*46 9,77274 9,70739 9,70761 22 9,77303 21 9,70782 21 9,77332 9,70803 2 1 9,77361 9,70824 22 9,77390 9,70846 2 1 9,77418 9,70867 2 1 9,77447 9,70888 2 1 9,77476 9,70909 2 2 9,77505 9,70931 21 9,77533 9,70952 21 9,77562 9,70973 21 9,77591 9,70994 21 9,77619 9,71015 21 9,77648 9,7! 036 2 2 9,77677 9,71058 21 i 9,77706 9,71079 2 1 9,77734 9,71100 21 9,77763 9,71121 2 1 9,77791 9,71142 21 9,77820 9,71163 21 9,77849 9,77877 9,71184 Cosinus

DifT.

Cotang.

C.D. 29 29 28 29 29 29 29 29 28 29 29 29 29 28 29 29 29 28 29 29 28 29 29 29 28 29 28 29 29 28

C.D.j

Cotang.

10,22985 10,22956 10,22927 10,22899 10,22870 10,22841 10,22812 10,22783 10,22754 10,22726 10,22697 10,22668 10,22639 10,22610 10,22582 10,22553 10,22524 10,22495 10,22467 10,22438 10,22409 10,22381 10,22352 10,22323 10,22294 10,22266 10,22237 10,22209 10,22180 10,22151 10,22123 Tangens

ti 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 7 8 8

a

S Ö ^ r a d T

3

129

Cosinus

9,93532 9,93525 9,93517 9,93510 9,93502 9,93495 9,93487 9,93480 9,93472 9,93465 9,93457 9,9.3450 9,93442 9,93435 9,93427 9,93420 9,93412 9,93405 9,93397 9,93390 9,93382 9,93375 9,93367 9,93360 9,93352 9,93344 9,93337 9,93329 9,93322 9,93314 9,93307 Sinus

c s 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 •i 0

2 1 0 P

Min ||

130

Fünfstellige Logarithmen 3 t Grad. Sinus

0 1 2 3 4 5

9,71184

' sin 2ij/ tg 2if> V/a __ V/3a v/-< ' sin 2i)> lg 2ijj 3 V/a 3)x s —3ax±2b COSgp= : 2 cos J y l / a (a»> b a )

± 2 cos(60°+ -Jy)l/a dt 2 cos(60°— ] = Cos(R— = Cot(R— = 9,4-2906 den Bogen 9 = 1 5 ° 2' „ Log Cos 9 = 9,50933 „ „ g> = 7 1 ° 9 ' u. s. w.

§. 55. Soll für einen Bogen, dessen Secunden auch noch angegeben sind, der Logarithmus einer trigonometrischen Funktion ermittelt w e r d e n ; so sucht man (nach §. 53) den Lo-, garithmus in den Tafeln auf, der für die Grade und Minuten gehört, theilt die dazu gehörige Differenz in 60 Theile und nimmt so viel Sechzigtheile bei wachsenden Funktionen (Sinus und Tangens) hinzu, oder bei abnehmenden Funktionen (Cosinus und Cotangeris) hinweg, als Securfden vorhanden sind: wobei die räumliche Stellung der Differenzen nach g. 52 das Auge unterstützt. Soll z. B. Log Sin 14° 4 6 ' 1 1 , 5 bestimmt w e r d e n ; so ist Log Sin 14" 4 6 ' = 9,40634, die Differenz 48. Man hat also 1 1 , 5 . ¿ § = 9,2 Einheiten der letzten Stelle hinzuzurechnen. Es ist also Log Sin 14° 46' 11,5" = 9,40643. Soll Log ,cos 82° 4 1 ' 3 9 , 9 " bestimmt w e r d e n ; so ist Log Cos 82° 41' = 9,10501, die Differenz 99. Es müssen also . 39,9 = 65,8 Einheiten der letzten Stelle abgezogen werden. Daher ist Log cos 82° 4 1 ' 3 9 , 9 " = 9,10435. Aui dieselbe Art findet m a n : * Tang 22" 46' 54,4" = 9 , 6 2 3 2 4 , . . Cot 63» 30' 8 , 7 " = 9,69769.

o

1

210

Kurze Erläuterungen 56.

Ist ein Funktionswerth logarithmisch gegeben, der zwischen zwei Zahlen der Tafel in demselben Columne liegt; so bestimmt man Grade und Minuten nach derjenigen Grenze, welche der üeberschrift zunächst liegt und berechnet die Secunden, indem man die Differenz dieser Grenze und des gegebenen Logarithmus durch die zugehörige Differenz in der Tafel dividirt und den Quotienten mit 60 multiplicirt. Sei z. ß. Log Sin 5p = 9,70144, so ist S. 128 der Columnenbenennung Sinus zunächst Log Sin 30° 4 4 ' = 9 , 7 0 1 3 7 , die Differenz ist 7. Die Differenz der ganzen Minute ist nach den Tafeln 2 2 , die Zahl der Secunden also 60 . j ' j = 19,1 also ist

. Daher a u c h ; 36, i -(- Cos 2g> = 2 Cos 37, 4 — C o s 2 9 1 = 2 Sin *gi. Dies auf die §. 46 angegebene Formel bezogen, giebt CosC I - f CosC

=

S S i n ' i C1 c> — (a—b)> —r-— - = T a8 22ä - C = — 9Cos J 4C (a + b ) 1 — c '

_ (a 4- c — b) (b - f c — a) (a + b + c)(a + b — c) Man pflegt a>{-l>-j-c = — - — : dann wird * Cos'y a—b 40, C s = Cosg> Durch Einführung des Winkels lässt sieb also die Rechnung logaritbmisch führen. Zur Berechnung der Winkel dient g. 47. Es ist Sin A : Sin B =a a : b also Sin A -}- Sin B : Sin A — Sin B e = a + b : a — b oder A -— f B Cos A — B : Cos — A 4' — - BS i n A—B = a 4 - b : a — b „Sin — 2 2 2 2 A4- B A—B Folglich: Tang — - — : Tang r es a ^ - b : a — b 2 2 A4- B « C Nun ist A 4- B s s tc—C T

'

2

2

2

A 4- B C folglich Tang—£—cssCot—• und aus der Proportion folgt 2 2 A —B a—b „ C 44, T a n g — - — = — — Cot — ' 2 a+b 2 A— Hat man durch 'diese-] Gleichung — - —B; so wird dies zu a=— — addirt den Winkel A und subtrahirtdenWinkel 2 2 . ' Hieraus findet man c = a Sin C = b Sin C. „ geben. B Sin A Sin B »

zn den vorstehenden Tafeln. A n m . Auch mit Hülfe der S . 56 gegebenen kann man b e q u e m nach der Formel r e c h n e n : 42, c bbs l / ( a — b ) > - f 4 ab Sin»$ C.

213 Regeln

§. 61. Sind zwei Seiten a und b und der Gegenwinkel grösseren A g e g e b e n ; so ist b 43, Sin B = : — Sin A und B ein spitzer Winkel, a Daraus ergiebt sich C = 2R — (A -J. B); also auch ' a Sin C Sin C 44, c = es b • ' Sin A Sin B

der

§. 62. Sind zu einer Seite a die beiden anliegenden Winkel B und C gegeben; so ist A = n — ( B - J - C ) und „ Sin B a Sin B a Sin C 45. b = a tss" ; c ca . ' SinA Sin (B-J-C) Sin (B+C) §. 63. Sind zu einer Seite a ein anliegender Winkel B und der Gegenwinkel A g e g e b e n ; so ist auch C s s « — A — B bekannt und zugleich Sin B Sin (A4-B) 46,b = a - . . . ce=a . o ' Sin A Sin A a» S i n B S i n ( A - f B ) i7

'

f

=

SSÜTÄ

§. 64.' Die Berechnung der gleichschenkligen Dreiecke, wie der rechtwinkligen, lässt viele leicht zu entdeckende Vereinfachungen zu. Ist z. B. in einem gleichschenkligen a die Grundlinie, b der S c h e n k e l ; s o ist A & 48, Sin y « s = C o s B « s —

214

Kurze Erläuterungen

Ist ausser der Grundlinie a noch der Winkel A oder B gegeb e n ; so ist |A-|> B s z ß und ^

49, b = s

a

— — = 2Sin ^A

8

SCos B

Ist b und A gegeben; so wird 5 0 , . . . a = 2b Sin-|A, eine Formel, welche auch die Länge einer Sehne ausdrückt, die in einem Kreise mit dem Radius b den Bogen A überspannt.

65. Ein Dreieck, das auf der Oberfläche einer Kugel von den Bogen dreier grösster Kreise eingeschlossen w i r d , heisst ein K u g e l d r e i e c k oder sphärisches Dreieck. Die Seiten desselben sind Bogen grösster Kreise, die mit dem Radius r der Kugel beschrieben sind: die Winkel, welche durch je zwei dieser Seiten gebildet und durch die Tangenten in dem Durchschnittspunkt dargestellt w e r d e n , stimmen mit den Neigungswinkeln der grössten Kreise überein, zu denen sie gehören. Daher das s p h ä r i s c h e Dreieck alle Bestimmungen einer körperlichen Ecke enthält. Man bezeichnet auch hier die Winkel durch grosse Buchstaben und die Gegenseiten derselben durch die entsprechenden kleinen. Der Halbmesser der Kugel wird gewöhnlich als E i n h e i t betrachtet. A.

Ist ACB ein solches Dreieck, ADE . . . der Durchmesser der Kugel, in welchem sich die Ebenen der Seiten AB = c und A C = b schneiden, BD ein Perpendikel auf demselj" ben und CE desgleichen, hat man ferner in D und E auch die Perpendikel DF und C EG errichtet, ausserdem die geraden Linien FC und BG gezogen; so lehren einfache geometrische Betrachtungen, dass DB = DF, EC = EG, F C = B G , Winkel F D B a C E G s s A und FBGC ein Viereck mit zwei parallelen und zwei gleichen Gegenseiten ist (FB:£CG) mit der Diagonale CB. Zu den Eigenschaften eines solchen Vierecks gehört, dass

zu den vorstehenden Tafeln. CB» = Nun ist FB =

215

FB . C G - ( - F C »

2BD Sin — =

2rSin c Sin—,

2

2

CG = 2 CE Sin — 2

= 2

rSinbSin

—

2

FC=JrSini-=-H BC=2rSin — 2 2 Diese Substitutionen verwandeln obige Gleichung in folgende: 4 r ' Sin* — = 4 r » S i n b S i n e S i n * — + 4 r » S i n » b ~ C 2 2 1 2 Alles durch 2 r * dividirt und die Form 3 7 benutzt, giebt: 1 — Cos a c = s i n b s l n c ( 4 — CosA) 4 - 4 — Cos (b — c) und daraus mit Anwendung der 4 9. F o r m ; — Cos a = — s i n b s i n c C o s A — C o s b c o s c woraus sich ganz allgemein für jedes beliebige Dreieck die Grundform ergiebt. 54) Cos a = Cos b Cos c -f- sin b sin c cos A. Diese Gleichung giebt die Beziehung dreier Seiten eines sphärischen Dreiecks zu einem Winkel desselben an.

§. 66. Aus Form 54 folgt Cos A =

Cos a — c o s b cos c

Sin b Sin c Nun ist Sin 1 A s = 1 — Cos 1 A = (4 Cos A) ( f — cos A) c o s a — c o s b c o s c \ /" cosa — c o s b c o s c \ 4 + ) I 4 — Sin b sin c Sin b sin c S \ cosa—cos(b-(-c) cos(b—c) — cosa u. nach F. 2 3 S . 2 0 5 . Sin b sin c sin b sin c 2 S i n £ ( a - f b - | - e ) s i n £ ( a — b — c)

(

Sin b sin 6 2 Sin % (b — c -f- a) sin i ( b — c — a ) X — Sin b sin c a 4- b + c Bezeichnet man der Kürze wegen ' ~ durch s, 2 so ist dann 4 S i n ' A = a i n , f a s i n > | ; Sin s Sin (s — a) sin (s — b ) sin ( s — c);

216

Kurze Erläuterungen

eben s o :

4 — 5 — t - j — SinsSin(s—a)sih(s—b)sin(s—c); folglich: SIQ Ä S1D C Sin* A Sin* a ^ =. oder . . . . BS, Sm A sm b = sm a sm B. 1 Sin B Sin1 b ' Diese Gleichung enthält die Beziehung zweier Seiten des sphärischen Dreiecks zu ihren Gegenwinkeln. Sin' B =

§. 67. Setzt man Cos b = cos a cos c + sin a sin c Cos B (vergl. 51. Form) und also auch: Cos b cos c = cos a c o s J c - | - s i n a sin c c o s c cosB; so ist (51.F.) cosa = c o s a c o s * c + s i n a sin c cos c cos B-f-sin b sin c cos A, cos a (1 — c o s ' c ) = sin a sin c cos c cos B -J- sin b sin c cos A, cos a s i n ' c = sin a sin c cos c cos B -(- sin b sin c cos A, cos a sin c = sin a cos c cos B -f- s >» h cos A. _ sin a sin B Nun ist (nach F . 8 9 ) S i n b c s - ; also auch: sin A cos a sin c = sin a cos c cos B + sin a sin B cot A, oder 8 3 , Cot a sin c = cos c cos B + sin B cot A. Diese Gleichung drückt die Beziehung zweier Seiten zu dem davon eingeschlossenen und noch einem andern Winkel aus. §. 68. Setzen wir in Form 83 für sin c (nach Form 8 2 ) jetzt sin a sin C : so ist: — Sin A ' Cos a sin C _ _ = cos c cos B T4 - sm B cot A, oder Sin A ' Cos a sin C = cos c cos B sin A + Sin B c o s A ; also auch Cos c sin A c = cos a cos B sin C -j- Sin B cos C und Cos c cos B sin A = = cos a c o s ' B sin C -J- Sin B cos B cos C. Aus Verbindung der letzten und drittletzten Gleichung entsteht: Cos a sin C = sin B cos A -j- cos a c o s * B sin C + sin B cos B cos C; oder Cos a sin C s i n ' B = sin B (cos A -f- cos B cos C) und daraus:

zu den vorstehenden Tafeln.

217

64, dos A = — Cos B cos C + Sin B sin C cos a. Diese Gleichung giebt die Beziehungen an zwischen drei Winkeln eines sphärischen Dreiecks und einer Seite desselben. Sie lehrt in Verbindung mit Form 54, d a s s zu jedem sphärischen Dreiecke ein anderes gehört, das die Supplemente der Winkel zu Seiten und die Supplemente der Seiten zu Winkeln hat. Dies ist das geometrisch nachweisbare Polardreieck.

§. 69. Hultiplicirt man die Gleichung 54 mit der Form 61 und zwar die linke Seite der einen Form mit der rechten der andern; so wird Cos A cos b cos c -f. C o s * A sin b sin c = — Cos a Cos B cos C -J- Sin B sin C c o s ' a. Setzt man hierin C o s * A = 4 — S i n ' A und c o s ' a s = 4 — S i n ' a und erwägt, dass, weil Sin b sin A * = S i n B sin a und Sin c Sin A = Sin C sin a, auch Sin b sin c S i n ' A « = Sin B Sin C s i n * a ist; s o erhält man aus obiger Formel 65, Sin b sin c -f- cos b cos c cos A = sm B sin C — cosB cosC cos a, welches die sogenannte C a g n i o l i ' s c b e Gleichung ist.

70. Man setze zur Form 5 5 auf beiden Seiten 4 -f- cos a -J- Cos A hinzu und führe links für cos a den Werth aus 5 4, rechts für cos A den Werth aus 54 ein, und wende die Form 49 a n ; s o entsteht 4 -(. cos A -f- cos ( b — c ) + cos ( b — c ) cos A s = 4 -f- cos a — cos (B—C) — cos (B-|-C) cos a, daraus ( 4 + c o s A ) ( 4 + c o s ( b — c ) ) = ( 4 - f C o s a ) (4 — c o s ( B + C ) ) o d e r 9 Cos» A . a c o s 2 t l i = 2 , C o s 2 - . 2 S i n 2 5 ± i u n d 2 2 2 2 .. „ A b—c a . . B4-C 56, . . . Cos — cos = cos — Sm — 3 — '

2

2

2

2

daraus

J e nachdem man nun zu Form 55 auf beiden Seiten 4 — Cosa—cosA,oder — 4-J-cosa—cosA, oder Endlich — 4 — c o s a

218

Kurze Erläuterungen

+ Cos A hinzu setzt und dieselben Operationen, w i e vorhin, vornimmt, erbält man noch folgende 3 Gleichungen ... A . b+c „. a B—C 57, . . . Sin — cSin —>— ss= Sin — cos '

2

58, . . . Cos

A 2

2

sin

59, . . . Sin — cos '

2

b—c 2 b ~t" c

2

2

a B—C = Sin — Sin 2

2

= cos — cos

2

2

2

Diese Gleichungen heissen nach ihren ersten Erfindern und Berechnern die G a u s s i ' s c h e n oder D e l a m b r e ' s c h e n . 71. Dividirt man Form 56 durch 5 9 ; Form 67 durch 8 9 ; Form 58 durch 57 und Form 58 durch 5 6 ; so erhält man: . A b —c b -4-i c _ B + C 60, . . . Cot — cos = c o s — J — Tg ~ .. '

2

2

2

2

b + c B+ C , a B—C 61, . . lang — c o s — ! — Es ist 66, sin ( b - j - y ) = — und c o t y = Tg c cosA. Wird hingegen ß , der Gegenwinkel C der anderen gesucht; so ist nach Form 62 Sin c Sin A 67, Sin C s = Sin a Wird endlich y, der von den beiden Seilen eingeschlossene Winkel C gesucht; so geschieht es nach Form 53, wenn Cot A = cos c cot y genommen wird. Man erhält: 68, Sin ( B - j - y ) = cot a tang c sin qp und Tg y = cos c Tg A.

75-

Die Berechnung aller übrigen Fälle lässt sich durch das Polardreieck (§. 68) auf die bisher erörterten zurückrühren; wenn man in den Formeln überall für A. B, C setzt 1 8 0 ° — a , 4 8 0 0 — b, 1 8 0 ° — c ; desgleichen für a , ' b , c : i 8 0 ° — A, 1 8 0 » — B, 1 8 0 ° — C . Man erhält dann, wenn alle 3 Winkel gegeben sind und S = j ( A - ) - B + C ) ist, 69, (aus 6 i ) . . Cot

3

F

cos S

cos(S-A) cos{S—A)

220

Kurze Erläuterungen § . 76.

Wenn z w e i Winkel und die dazwischenliegende Seite gegeben sind und a , der Gegenwinkel der letzteren gesucht w i r d , so ist Cos C Sin ( B — a>) 70, (aas 6 6 ) . . . CosA = ——i —; wenn Cot rp => 9 Tg C cos a. Hingegen findet man auch aus den Nepper'schen Analogieen % ( b - J - c ) und J ( b — c ) und daraus b und c. §

77.

Wenn z w e i Winkel und die Gegenseite des einen g e geben sind, so findet man a , die dritte Seite; ß, die Gegenseite des andern Winkels; y, die Zwischen-Seite aus §, 74. und z w a r Cos A sin cp y ; wennColy=TgCcosa 7) = — ^ Sin c

8in

c

( 6 7 ) . . Sin 73, . . ( 6 8 ) . . S i n ( b — g > ) = c o t A t g C s i n y ; wenn t g y ^ c o & C Tga. § . 78. W e g e n sehr häufiger Anwendung der Formein auf rechtwinklige Dreiecke sei hier noch die Zusammenstellung derselben g e g e b e n ; wenn C s = R also Cos C = o , Siu C = 1 , Cot C = o, ist. Es folgt 74 aus 5 4 , 75 aus 5 2 , 76 und 77 aus 53, 78 und 79 aus 54. 74, Cos c = cos a cos b. 77, tg a s tg A sin b. 75, Sin a ss sin c sin A. 78, cos A = SinB cos a. 76, tg a = tg c c o s B . 79, cos cass CotA cot B. 79. W e n n man die drei Seiten eines sphärischen Dreiecks zu ganzen Kreisen erweitert; so entstehen auf der Kugeloberfläche 8 sphärische Dreiecke, deren j e z w e i von entgegengesetzter Lage g l e i c h e O b e r f l ä c h e haben. Das gegebene Dreieck nimmt daher mit den drei an seinen Seiten

zu den vorstehenden Tafeln.

221

angränzenden einen Theil der Kugeloberfläche ein, welcher der halben Kugelfläche — gleich ist.

Es bildet mit jedem

einzelnen derselben zusammen ein s p h ä r i s c h e s Zweie c k , das sich zu der Oberfläche der Kugel v e r h ä l t , wie der beiden Dreiecken gemeinsame Winkel zu 4 Rechter*. Sind A, B, C die drei Winkel eines sphärischen Dreiecks, a , ß, y die entsprechenden anliegenden Dreiecke; so ist, wenn S die Fläche des Dreiecks ist, jener Proportion g e m ä s s : * +

A,

ö+ ß ^ . B ,

ä +

C

Da a + ß -f. y +