Vollständige logarithmische und trigonometrische Tafeln: zum Theil in neuer Anordnung, durch Zusätze erweitert und mit ausführlichen Erläuterungen versehen [Zehnte (Stereotyp-) Auflage., Reprint 2022] 9783112625088

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Vollständige logarithmische und trigonometrische

Tafeln zum Theil

in neuer Anordnung, durch Zusätze erweitert und mit ausführlichen Erläuterungen versehen von

Dr. E. F. August, Gew. Professor und Director des Cölnischen Reai-Gymnasiums in Berlin.

Zehnte (Stereotyp-) Auflage.

Leipzig V e r l a g

von

V e i t

1874.

&

Comp.

Vorwort. Der Zweck dieser Sammlung von Tafeln ist, sowohl dem Rechner die erforderlichen Hülfsmittel darzubieten, deren er so oft bedarf, als auch dem Lehrer der Mathematik Gelegenheit zu geben, seine Schüler in der Anwendung der gewöhnlichsten Hülfsmittel der höhern Rechenkunst mannigfach zu üben. Dabei ist zugleich darauf Bedacht genommen, dies Buch durch Reichhaltigkeit nützlich, durch Genauigkeit zuverlässig, durch Wohlfeilheit f ü r Viele zugänglich und durch Dauerhaftigkeit für langen Gebrauch anwendbar zu machen. D e r Rechner findet, wie die Inhalts-Uebersicht am E n d e zeigt, hier mehrere Tafeln, die in den gewöhnlichen kleinern Handbüchern fehlen, z. B. die Quadratzahlen in vier Stellen, deren Benutzung für die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate so wichtig ist, und welche der verewigte Bessel f ü r eine nothwendige Zugabe eines solchen Büchleins erklärte; ferner die Aufzählung der ganzen Factoren für alle Zahlen unter 10000, einige natürliche Logarithmen, die in der Mechanik so oft Anwendung finden, und dergl. Der Mathematiker wird einiges in der Anordnung und Darstellung f ü r neu, und, wie der Verfasser hofft, auch für zweckmässig erkennen. Dahin

IV

Vorwort.

gehört vorzüglich die Aufstellung der Gowra'schen Logarithmen - Differenzen zur Berechnung des Logarithmus einer Summe oder einer Differenz zweier Zahlen, aus den Logarithmen dieser Zahlen. Diese Tafeln werden durch die ihnen hier gegebene Einrichtung gewiss gemeinnütziger werden. W i e nützlich sie für die Auflösungen numerischer Gleichungen sind, hat Encke im astronomischen Jahrbuche für 1841, S. 301, gezeigt. Auch die A r t , wie hier die trigonometrischen Functionen sehr kleiner Winkel interpolirt werden, dürfte sich vielleicht einiges Beifalles erfreuen; so auch die Ableitung mehrerer wichtiger Grundformeln beider Trigonometrieen. Dem Lehrer wird es gewiss willkommen sein, Beispiele der verschiedensten Tafeln seinen Schülern vorlegen und sie im Gebrauch derselben üben zu können. W i e oft bedarf man z. B. nicht der trigonometrischen Functionen bei Lösung mancher Aufgaben, die durch die Logarithmen dieser Functionen, welche die gewöhnlichen Sammlungen darbieten, nur auf Umwegen möglich sind? W i e ungern entbehrt man diese Zahlen beim Unterricht in der Physik, in welcher sie ein Ausdruck mancher Gesetze sind? W i e sehr wird durch die kleine Factorentafel die Auffindung rationaler Wurzeln einer Gleichung erleichtert? u. dergl. m. Dass diese Sammlung, obwohl nur auf fünfstellige Logarithmen berechnet, auch zur Erklärung und selbst zum Ersatz siebenstelliger T a f e l n dienen

Vorwort. kann, ist gewiss eine willkommene Zugabe, nicht nur f ü r die Schule, sondern auch f ü r solche Rechner, die sich auf den Gebrauch dieses Büchleins beschränkt sehn, das j a in der Bibliothek eines Reisenden u. s. w. so leicht einen Platz findet. W e r selten rechnet, begnügt sich mit den einfachsten Hülfsmitteln und scheut dann auch eine kleine Nebenrechnung nicht, um ein vollständiges Resultat zu gewinnen. Vor allen Dingen wird jedem Benutzer des Buches die vollkommene Richtigkeit der Tafeln erwünscht sein, welche durch den Eleiss des für die sorgfältige Correctur unermüdlichen H r n . Dr. Willing verbürgt ist, der bei dieser Gelegenheit manche Fehler in vielgebrauchten ähnlichen W e r ken aufgefunden hat, die er zum Nutzen der Besitzer derselben bekannt machen will. D a die Tafeln stereotyp sind, so wird ihre Richtigkeit mit dem Gebrauch steigen, indem jedes etwa noch aufgefundene Versehen f ü r alle ferneren Abzüge berichtigt wird, neue aber, wie sonst bei neuen Auflagen, nicht einschleichen können. F ü r die Wohlfeilheit und f ü r die Dauerhaftigkeit ist der verehrlichen Verlagshandlung D a n k zu sagen. Sie hat sich in Hinsicht auf den letzten P u n k t ganz nach dem Rathe BesseVs gerichtet, der sich für das Erscheinen dieser kleinen Tafeln brieflich interessirte, und ausser anderen aus seiner reichen E r f a h r u n g geschöpften Winken für ein praktisches Buch dieser Art haltbares weisses P a -

vi

Vorwort.

pier neben deutlich lesbarem Drucke als ein Haupterforderniss solcher Werke, die mehr zum Blättern, als zum Lesen bestimmt sind, dringend empfahl. So ist das Buch denn wohl beratlien und wohl besorgt, möge es auch überall wohl aufgenommen sein! B e r l i n , im Mai 1846. August.

Bei der z w e i t e n und d r i t t e n Auflage sind mehrere Fehler der ersten, namentlich im Druck der Erläuterungen, berichtigt. I n den Tafeln selbst ist bis jetzt k e i n F e h l e r entdeckt worden. B e r l i n , im März 1853. August

Vorrede zur vierten Auflage. Auch die v i e r t e Auflage kann den Freunden des Büchleins mit der Versicherung übergeben werden, dass die Haupttafeln sich fortdauernd als durchaus correct erwiesen haben. I n den Nebentafeln, sowie in den Erläuterungen sind Verbesserungen nothwendig geworden, die ich hier angebe, damit Lehrer ihre Schüler, welche im Besitz der dritten Auflage sind, darauf aufmerksam machen mögen. E s ist S. 66 Sin 71 0 = 0,9455186, Sin 6 6 0 = 0 , 9 1 3 5 4 5 5 ; S. 67 Sin 55° = 0,8191520, Sin

Vorrede.

VII

52 0 = 0,7880108, und noch auf derselben Seite unter N bei 4500 die Ziffer 8 statt 7. Diese Aenderungen der letzten Bruchstellen beruhen auf einer erneuten Berechnung, welche Herr Prediger Dr. L e h m a n n angestellt und in den astronomischen Nachrichten bekannt gemacht hat, bei welcher Gelegenheit er diesen Tafeln eine genauere Uebereinstimmung als anderen zuspricht. Ausser diesen Verbesserungen, für die ich dem geehrten wissenschaftlichen Freunde dankbar bin, fand ich noch zu ändern: S. 164 bei den Wurzeln der cubischen Gleichungen x = + 2 cot 2 ijj j/5^ Seite 197 Zeile 12 von unten „in der d r i t t e n Keihe" statt „in der z w e i t e n Reihe", S. 207 in der Mitte tg z = i j/3"statt tg x, S. 208 Zeile 11 v. u. l i n k s statt r e c h t s , S. 219 in der Form 69 im Zähler S — C statt S — A , S. 220 in Form 70 (aus 65) statt (aus 66) und in Form 72 im Zähler Sin a statt Sin c. Da das Büchlein immer mehr Eingang in den Schulen gefunden hat, so habe ich zur Vervollständigung der Erläuterungen einen Paragraph hinzuzufügen für angemessen gehalten. So sei denn das Buch Lehrern und Lernenden aufs Neue freundlich empfohlen. Berlin im December 1856. August.

Vorrede zur fünften Auflage. Die Verbreitung, welche diese Tafeln gefunden haben, .giebt einerseits einen Beweis ihrer Brauchbarkeit und legt andrerseits dem Herausgeber die Pflicht auf, so wenig als möglich an ihnen abzuändern. Daher erscheinen sie auch in dieser neuen Auflage in derselben Gestalt mit den Berichtigungen, welche sich namentlich in den Erläuterungen hie und da als nothwendig gezeigt haben. In den Haupttafeln ist kein Fehler wahrgenommen. Auf einen überflüssigen Stern vor der Zahl 99 Seite 58 Z. 4 v. u. hat mich ein Primaner des Berlinischen Gymnasiums, Clemens Schlomka, aufmerksam gemacht. Dieses kleine Versehen ist in der neuen Auflage berichtigt. Mit grossem D a n k e wird jede Mittheilung dieser Art zur Vervollkommnung des Büchleins benutzt w e r d e n , dessen Hauptwerth die Correctheit ist. Berlin im J a n u a r 1863. August.

I.

Logarithmentafel, enthaltend

a) die g e m e i n e n (Briggs'schen) Logarithmen von 1 bis 1000 vollständig mit Charakteristik und fünfstelliger Mantisse. Seite 2—7. b) die fünfziffrigen Mantissen für alle vierziffrige Zahlen von 1000 bis 9999. Seite 8—33. c) Modulus. Grundzahl, Formeln und mehrere zwölfstellige Logarithmen des n a t ü r l i c h e n Systems. Seite 33 und 34.

3t

2

Vollständige Logarithmen 1 0,00 000 1,00 000 1,04 139 1,30 103 1 32 222 1,47 712 1,49 136 1,60 206 1,61 278 1,69 897 1,70 757 1,77 815 1,78 533 1,84 510 1,85 126 1,90 309 1,90 849 1,95 424 1,95 904 2,00 000 2,00 432 2,04 139 2,04 532 2,07 918 2,08 279 2,11 394 2,11 727 2,14 613 2,14 922 2,17 609 2,17 898 2,20 412 2,20 683 2,23 045 2,23 300 2,25 527 2,25 768 2,27 875 2,2S 103 2,30 103 2,30 320 2,32 222 2,32 428 2*34 242 2,34 439 2,36 173 2,36 361 2,38 021 2,38 202 2,39 794 2,39 967 2,41 497 2,41 664 2.43 136 2.43 297 2.44 716 2.44 S71 2,46 240 2,46 389 2,47 712 2,47 857 2.49 136 2.49 276 2.50 515 2.50 651 2.51 851 2.51 983 2,53 148 2,53 275 1 0 0

CO

10

11 12 13 14 15

16

17 IS 19 20 21 22 23 24 •Ja

26 27 28 29 30 31 32 33 34

0,30 103 1,07 918 1,34 242 1,50 515 1,62 325 1,71 600 1,79 239 1,85 733 1,91 381 1,96 379 2,00 860 2,04 922 2,08 636 2,12 057 2,15 229 2,18 184 2,20 952 2,23 553 2,26 007 2,28 330 2,30 535 2,32 634 2,34 635 2,36 549 2,38 382 2.40 140 2.41 830 2,43 457 2.45 025 2.46 53S 2.48 001 2.49 415 2.50 786 2.52 114 2.53 403

3 0,47 712 1,11 394 1,36 173 1,51 851 1.63 347 1,72 428 1,79 934 1,86 332 1,91 908 1,96 848 2,01 284 2,05 308 2,08 991 2,12 385 2,15 534 2,18 469 2,21 219 2,23 805 2,26 245 2,28 556 2,30 750 2,32 838 2,84 830 2,36 736 2,38 561 2.40 312 2.41 996 2,43 610 2.45 179 2.46 687 2.48 144 2.49 554 2.50 920 2.52 244 2.53 529 3

4 0,60 206 1,14 613 1,38 021 1,53 148 1,64 345 1,73 239 1,S0 618 1,86 923 1,92 428 1,97 313 •2,01 703 2,05 690 2,09 342 2,12 710 2,15 836 2,18 752 2,21 484 2,24 055 2,26 482 2,28 780 2,30 963 2,33 041 2.35 025 2.36 922 2,38 739 2,40 483 2.42 160 2.43 775 2.45 332 2.46 835 2.48 287 2.49 693 2.51 055 2.52 375 2.53 656 4

mit lunfziffrigen Mantissen. 0 1 2 3 4

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

5 0,69 897 1,17 609 1,39 794 1,54 407 1,65 32t 1,74 036 1,81 291 1,87 506 1,92 942 1,97 772 2,02 119 2,06 070 2,09 691 2,13 033 2,16 137 2,19 033 2,21 748 2,24 304 2,26 717 2,29 003 2,31 175 2,33 244 2,35 218 2,37 107 2,38.917 2,40 654 2.42 325 2.43 933 2.45 484 2.46 982 2.48 430 2.49 831 2.51 1S8 2.52 504 2.53 782 5

6 0,77 815 1,20 412 1,41 497 1,55 630 1,66 276 1,74 819 1,81 954 1,88 081 1,93 450 1,98 227 2,02 531 2,06 446 2,10 037 2,13 354 2,16 435 2,19 312 2,22 011 2,24 551 2,26 951 2,29 226 2,31 387 2,33 445 2,35 411 2,37 291 2,39 094 2,40 824 2,42 488 2,44 091 2,45 637 2,47 129 2,48 572 2,49 969 2,51 322 2,52 634 2,53 908 6

7 0,84 510 1,23 045 1,43 136 1,56 820 1,67 210 1,75 587 1,82 607 1,88 649 1,93 952 1,98 677 2,02 938 2,06 819 2,10 380 2,13 672 2,16 732 2,19 590 2,22 272 2,24 797 2,27 184 2,29 447 2,31 597 2,33 646 2,35 603 2,37 475 2,39 270 12,40 993 2,42 651 2,44 248 2,45 788 2,47 276 2,48 714 2,50 106 2,51 455 2,52 763 2,54 033 7

8 0,90 309 1,25 527 1,44 716 1,57 978 1,68 124 1,76 343 1,83 251 1,89 209 1,94 448 1,99123 2,03 342 2,07 188 2,10 721 2,13 988 2,17 026 2,19 866 2,22 531 2,25 042 2,27 416 2,29 667 2,31 806 2,33 846 2,35 793 2,37 658 2,39 445 2,41 162 2,42 813 2,44 404 2,45 939 2,47 422 2,48 855 2,50 243 2,51 587 2,52 892 2,54 158 8 51 2

9 0,95 424 1,27 875 1,46 240 1,59 106 1,69 020 1,77 085 1,83 885 1,89 763 1,94 939 1,99 564 2,03 743 2,07 555 2,11 059 2,14 301 2,17 319 2,20 140 2,22 789 2,25 285 2,27 646 2,29 885 2,32 015 2,34 044 2,35 984 2,37 840 2,39 620 2,41 330 2,42 975 2,44 560 2,46 090 2,47 567 2,48 996 2,50 379 2,51 720 2,53 020 2,54 283 9

4

Vollständige Logarithmen

1 2.54 531 2.55 751 2.56 937 2.58 092 2.59 218 2,60 206 2.60 314 2.61 278 2.61 384 2.62 325 2.62 428 2.63 347 2.63 448 2.64 345 2.64 444 2.65 321 2.65 418 2.66 276 2.66 370 2.67 210 2.67 302 2.68 124 2.68 215 2.69 020 2.69 108 2.69 897 2.69 984 2.70 757 2.70 842 2.71 600 2.71 684 2.72 428 2.72 509 2.73 239 2.73 320 2,74 036 2,74 115 2.74 819 2.74 896 2.75 587 2.75 664 2.76 343 2.76 418 2.77 085 2.77 159 60 2.77 815 2.77 887 61 2.78 533 2.78 604 62 2.79 239 2.79 309 63 2.79 934 2.80 003 64_ 2.80 618 2,80 686 65 2,81 291 2.81 358 66 2.81 954 2.82 020 67 2.82 607 2.82 672 68 2.83 251 2.83 315 69 2,83 885 2,83 948 0

35 36 37 38 39 40 41 4-2 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

0 2.54 407 2.55 630 2.56 820 2.57 978 2,59 106

4 2.54 654 2.54 777 2,54 900 2.55 871 2.55 991 2.56 110 2.57 054 2.57 171 2.57 287 2.58 206 2.58 320 2.58 433 2.59 329 2.59 439 2.59 550 2.60 423 2.60 531 2.60 638 2.61 490 2.61 595 2.61 700 2.62 531 2.62 634 2.62 737 2.63 548 2.63 649 2.63 749 2.64 542 2.64 640 2.64 738 2.65 514 2.65 610 2.65 706 2.66 464 2.66 558 2.66 652 2.67 394 2.67 486 2.67 578 2.68 305 2.68 395 2.68 485 2.69 197 2.69 285 2.69 373 2,70 070 2.70 157 2.70 243 2.70 927 2.71 012 2.71 096 2.71 767 2.71 850 2.71 933 2.72 591 2.72 673 2.72 754 2.73 400 2.73 480 2.73 560 2,74 194 2.74 273 2.74 351 2.74 974 2.75 051 2.75 128 2.75 740 2.75 815 2.75 891 2.76 492 2.76 567 2.76 641 2.77 232 2.77 305 2.77 379 2.77 960 2,78 032 2,78 104 2.78 675 2.78 746 2.78 817 2.79 379 2.79 449 2.79 518 2.80 072 2.80 140 2.80 209 2,80 754 2,80 821 2,80 889 2.81 425 2.81 491 2.81 558 2.82 086 2.82 151 2.82 217 2.82 737 2,82 802 2,82 866 2.83 378 2.83 442 2.83 506 2.84 011 2.84 073 2.84 136 o 3 4

mit liinfzifTrigen Mantissen. 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

2.55 2.56 2.57 2.58 2.59 2.60 2.61 2.62 2.63 2.64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,70 2,71 2,72 2,72 2,73 2,74 2,75 2,75 2,76 2,77 2,78 2,78 2,79 2,80 2,80 2,81 2,82 2,82 2,83 2,84

5

5

023 229 403 546 660 746 805 839 849 836 801 745 669 574 461 329 181 016 835 640 429 205 967 716 452 176 888 588 277 956 624 282 930 569 198

6 2,55 145 2,56 348 2,57 519 2,58 659 2,59 770 2,60 853 2,61 909 2,62 941 2,63 949 2,64 933 2,65 896 2,66 839 2,67 761 2,68*664 2,69 548 2,70 415 2,71 265 2,72 099 2,72 916 2,73 719 2,74 507 2,75 282 2,76 042 2,76 790 2,77 525 2,78 247 2,78 958 2,79 657 2,80 346 2,81 023 2,81 690 2,82 347 2,82 995 2,83 632 2,84 261 6

2,55 2,56 2,57 2,58 2,59 2,60 2,62 2,63 2,64 2,65 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,70 2,71 2,72 2,72 2,73 2,74 2,75 2,76 2,76 2,77 2,78 2,79 2,79 2,80 2,81 2,81 2,82 2,83 2,83 2,84

7

267 467 634 771 879 959 014 043 048 031 992 932 852 753 636 501 349 181 997 799 586 358 118 864 597 319 029 727 414 090 757 413 059 696 323 7

2,55 2,56 2.57 2,58 2,59 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,67 2,68 2,69 2,70 2,71 2,72 2,73 2,73 2,74 2,75 2,76 2,76 2,77 2,78 2,79 2,79 2,80 2,81 2,81 2,82 2,83 2,83 2,84

8 388 585 749 883 988 066 118 144 147 128 087 025 943 842 723 586 433 263 078 878 663 435 193 938 670 390 099 796 482 158 823 478 123 759 386 8

5 9 2,55 509 2,56 703 2,57 864 2,58 995 2,60 097 2,61 172 2,62 221 2,63 246 2,64 246 2,65 225 2,66 181 2,67 117 2,68 034 2,68 931 2,69 810 2,70 672 2,71 517 2,72 346 2,73 159 2,73 957 2,74 741 2,75 511 2,76 268 2,77 012 2,77 743 2,78 462 2,79 169 2,79 865 2,80 550 2,81 224 2,81 889 2,82 543 2,83 187 2,83 822 2 84 448 9

Vollständige Logarithmen 70 71 72 73 74

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

0 2.84 510 2.85 126 2.85 733 2.86 332 2,86 923 2.87 506 2.88 081 2.88 649 2.89 209 2,89 763 2,90 309 2.90 849 2.91 381 2.91 908 2.92 428 2.92 942 2.93 450 2.93 952 2.94 448 2,94 939 2,95 424 2.95 904 2.96 379 2.96 848 2.97 313 2.97 772 2.98 227 2.98 677 2.99 123 2,99 564 0

1 2,84 572 2,85 187 2,85 794 2,86 392 2,86 982 2,87 564 2,88 138 2,88 705 2,89 265 2,89 818 2,90 363 2,90 902 2,91 434 2,91 960 2,92 480 2,92 993 2,93 500 2,94 002 2,94 498 2,94 988 2,95 472 2,95 952 2,96 426 2,96 895 2,97 359 2,97 818 2,98 272 2,98 722 2,99 167 2,99 607 1

2

2

2,84 634 2,85 248 2,85 854 2,86 451 2,87 040 2,87 622 2,88 195 2,88 762 2,89 321 2,89 873 2,90 417 2,90 956 2,91 487 2,92 012 2,92 531 2,93 044 2,93 551 2,94 052 2,94 547 2,95 036 2,95 521 2,95 999 2,96 473 2,96 942 2,97 405 2,97 864 2,98 318 2,98 767 2,99 211 2,99 651

3 2,84 696 2,85 309 2,85 914 2,86 510 2,87 099 2,87 679 2,88 252 2,88 818 2,89 376 2,89 927 2,90 472 2,91 009 2,91 540 2,92 065 2,92 583 2,93 095 2,93 601 2,94 101 2,94 596 2,95 085 2,95 569 2,96 047 2,96 520 2,96 988 2,97 451 2,97 909 2,98 363 2,98 811 2,99 255 2,99 695 3

4 2,84 757 2,85 370 2,85 974 2,86 570 2,87 157 2,87 737 2,88 309 2,88 874 2,89 432 2,89 982 2,90 526 2,91 062 2,91 593 2,92 117 2,92 634 2,93 146 2,93 651 2,94 151 2,94 645 2,95 134 2,95 617 2,96 095 2,96 567 2,97 035 2,97 497 2,97 955 2,98 408 2,98 856 2,99 300 2,99 739 4

B e m e r k u n g . Die v o r a n g e h e n d e n , wie die folgenden, Tafeln haben für jeden darin enthaltenen Logarithmus einen C o l u m n e n - I n d e x und einen Z e i l e n - I n d e x , ersteren ü b e r und u n t e r der Columne, worin der Logarithmus steht, letzteren in gleicher Zeile mit ihm, v o r dem Doppelslrich.

mit fünfziffrigen Mantissen. 5

2.84 819 2.85 431 2.86 034 2.86 629 2.87 216 2.87 795 2.88 366 2.88 930 2.89 487 2.90 037 2.90 580 2.91 116 2.91 645 2.92 169 2,92 686 2,93 197 2.93 702 2.94 201 2.94 694 2.95 182 2.95 665 2.96 142 2.96 614 2.97 081 2,97 543 2,98 000 2,98 453 2.98 900 2.99 344 2,99 782 5

C

2,84 880 2,85 491 2,86 094 2,86 688 2,87 274 2,87 852 2,88 423 2,88 986 2,89 542 2,90 091 2,90 634 2,91 169 2,91 698 2,92 221 2,92 737 2,93 247 2,93 752 2,94 250 2,94 743 2,95 231 2,95 713 2,96 190 2,96 661 2,97 128 2,97 589 2,98 046 2,98 498 2,98 945 2,99 388 2,99 826 6

7

2,84 942 2,85 552 2,86 153 2,86 747 2,87 332 2,87 910 2,88 480 2,89 042 2,89 597 2,90 146 2,90 687 2,91 222 2,91 751 2,92 273 2,92 788 2,93 298 2,93 802 2,94 300 2,94 792 2,95 279 2,95 761 2,96 237 2,96 708 2,97 174 2,97 635 2,98 091 2,98 543 2,98 989 2,99 432 2,99 870 7

8

7 9

2,85 003 2,85 065 2,85 612 2,85 673 2,86 213 2,86 273 2,86 806 2,86 864 2,87 390 2,87 448 2,87 967 2,88 024 2,88 536 2,88 593 2,89 098 2,89 154 2,89 653 2,89 708 2,90 200 2,90 255 2,90 741 2,90 795 2,91 275 2,91 328 2,91 803 2,91 855 2,92 324 2,92 376 2,92 840 2,92 891 2,93 349 2,93 399 2,93 852 2,93 902 2,94 349 2,94 399 2,94 841 2,94 890 2,95 328 2,95 376 2,95 809 2,95 856 2,96 284 2,96 332 2,96 755 2,96 802 2,97 220 2,97 267 2,97 681 2,97 727 2,98 137 2,98 182 2,98 588 2,98 632 2,99 034 2,99 078 2,99 476 2,99 520 2,99 913 2,99 957 8 9

Der Columnenindex ist die letzte Ziffer der zu d e m Logarithmus gehörigen Zahl, der Zeilenindex giebt die d i e s e r vorangehenden Ziffern. Z. B. Zur Zahl 783 gehört der Logarithmus 2 , 8 9 3 7 6 . Sein Zeilenindex ist 7 8 , der Columnenindex 3 . Vergl. Erläuterungen §. 6.

8 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134

Fünfziffrige Mantissen 0 1 2 3 4 ¡00 000 043 087 130 173 432 475 518 561 604 860 903 945 988*030 01 284 326 368 410 452 703 745 787 828 870 02 119 160 202 243 284 531 572 612 653 694 938 979*019*060*100 03 342 383 423 463 503 743 782 822 862 902 04 139 179 218 258 297 532 571 610 650 689 922 961 999*038*077 05 308 346 385 423 461 690 729 767 805 843 06 070 108 145 183 221 446 483 521 558 595 819 856 893 930 967 07 188 225 262 298 335 555 591 628 664 700 918 954 990*027*063 08 279 314 350 386 422 636 672 707 743 778 991*026*061*096*132 09 342 377 412 447 482 691 726 760 795 830 10 037 072 106 140 175 380 415 449 483 517 721 755 789 823 857 11 059 093 126 160 193 394 428 461 494 528 727 760 793 826 860 12 057 090 123 156 189 385 418 450 483 516 710 743 775 808 840 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 217 260 303 346 389 647 689 732 775 817 *072*115*157*199*242 494 536 578 620 662 912 953 995*036*078 325 366 407 449 490 735 776 816 857 898 *14I*181*222*262*302 543 583 623 663 703 941 981*021*060*100 336 376 415 454 493 727 766 805 844 883 *115*154*192*231*269 500 538 576 614 652 881 918 956 994*032 258 296 333 371 408 633 670 707 744 781 *004*041*078*115*151 372 408 445 482 518 737 773 809 846 882 *099*135*17l*207*243 458 493 529 565 600 814 849 884 920 955 *167*202*237*272*307 517 552 587 621 656 864 899 934 968*003 209 243 278 312 346 551 585 619 653 687 890 924 958 992*025 227 261 294 327 361 561 594 628 661 694 893 926 959 992*024 222 254 287 320 352 548 581 613 646 678 872 905 937 969*001 5 6 7 8 9

der Logarithmen. 1351 13 033 066 098 130 162 194 226 258 290 322 354 386 418 450 481 513 545 577 609 640 136 672 704 735 767 799 830 862 893 925 956 137 988*019*051*082*114 »145*176*208*239*270 138 139| 14 301 333 364 395 426 457 489 520 551 582 140 II 613 644 675 706 737 768 799 829 860 891 141 922 953,983*014*045 *076*106*137*168*198 142 15 229 259 290 320 351 381 412 442 473 503 143 534 564 594 625 655 685 715 746 776 806 1441| 836 866 897 927 957 987*017*047*077*107 1451| 16 137 167 197 227 256 286 316 346 376 406 146 435 465 495 524 554 584 613 643 673 702 147 732 761 791 820 850 879 909 938 967 997 148 17 026 056 085 114 143 173 202 231 260 289 149|| 319 348 377 406 435 464 493 522 551 580 150 | 609 638 667 696 725 754 782 811 840 869 151 898 926 955 984*013 *041*070*099*127*156 152 18 184 213 241 270 298 327 355 384 412 441 153 469 498 526 554 583 611 639 667 696 724 154 | 752 780 80S.837 865 893 921 949 977*005 1551 19 033 061 089 117 145 173 201 229 257 285 156 312 340 368 396 424 451 479 507 535 562 157 590 618 645 673 700 728 756 783 811 838 158 866 893 921948 976 *003*030*058*085*112 1591| 20 140 167 194 222 249 276 303 330 358 385 1601| 412 439 466 493 520 548 575 602 629 656 161 683 710 737 763 790 817 844 871 898 925 162 952 978*005*032*059 *085*112*139*165*192 163 21 219 245 272 299 325 352 378 405 431 458 164 | 484 511537 564 590 617 643 669 696 722 1651| 748 775 801 827 854 880 906 932 958 985 166| 22 011 037 063 089 115 141 167 194 220 246 167 272 298 ^24 350 376 401 427 453 479 505 168| 531557 583 608 634 660 686 712 737 763 1691| 789 814 840 866 891 917 943 968 994*019 0 1 2 3 4 5 ( 5 7 8 9

9

Fünfziffrige Mantissen

10 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204

0 23 045 300 553 805 24 055 304 551 797 25 042 285 527 768 26 007 245 482 717 951 27 184 416 646 875 28 103 330 556 780 29 003 226 447 667 885 30 103 320 535 750 963 0

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5 6 7 8 9 D. 172 198 223 249 274 25 426 452 477 502 528 679 704 729 754 779 930 955 980*005*030 180 204 229 254 279 428 452 477 502 527 674 699 724 748 773 920 944 969 993*018 164 188 212 237 261 24 406 431 455 479 503 648 672 696 720 744 888 912 935 959 983 126 150 174 198 221 364 387 411 435 458 600 623 647 670 694 834 858 881 905 928 *068*091*114*138*161 23 300 323 346 370 393 531 554 577 600 623 761 784 807 830 852 989*012*035*058*081 217 240 262 285 307 443 466 488 511 533 668 691 713 735 75S 892 914 937 959 981 22 115 137 15!) 181 203 336 358 380 403 425 557 579 601 623 645 776 798 820 842 863 994*016*038*060*081 211 233 255 276 298 428 449 471 492 514 643 664 685 707 728 856 878 899 920 942 *069*091»112*133*154 21 5 6 7 8 9

der Logarithmen. 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239

0 1 2 3 4 31 175 197 218 239 260 387 408 429 450 471 597 618 639 660 681 806 827 848 869 890 32 015 035 056 077 098 222 243 263 284 305 428 449 469 490 510 634 654 675 695 715 838 858 879 899 919 33 041 062 082 102 122 244 264 284 304 325 445 465 4S6 506 526 646 666 686 706 726 846 866 885 905 925 34 044 064 084 104 124 242 262 282 301 321 439 459 479 498 518 635 655 674 694 713 830 850 869 889 908 35 025 044 064 083 102 218 238 257 276 295 411 430 449 468 488 603 622 641 660 679 793 813 832 851 870 984*003*021*040*059 36 173 192 211 229 248 361 380 399 418 436 549 568 586 605 624 736 754 773 791 810 922 940 959 977 996 37 107 125 144 162 181 291 310 328 346 365 475 493 511 530 548 658 676 694 712 731 840 858 876 894 912 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 281 302 323 345 366 492 513 534 555 576 702 723 744 765 785 911 931 952 973 994 118 139 160 181 201 325 346 366 387 408 531 552 572 593 613 736 756 777 797 818 940 960 980*001*021 143 163 183 263 224 345 365 385 405 425 546 566 586 606 626 746 766 786 806 826 945 965 985*005*025 143 163 183 203 223 341 361 380 400 420 537 557 577 596 616 733 753 772 792 811 928 947 967 986*005 122 141 160 180 199 315 334 353 372 392 507 526 545 564 583 698 717 736 755 774 889 908 927 946 965 *078*097*116*135*154 267 286 305 324 342 455 474 493 511 530 642 661 680 698 717 829 847 866 884 903 *014*033*051*070*088 199 218 236 254 273 383 401 420 438 457 566 585 603 621 639 749 767 785 803 822 931 949 967 985*003 5 6 7 8 9

11 D. 21

20

1B

18 18

12 240 241 242 243 244 245 240 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274

Fünfzifl'rige Mantissen 38

39

40

41

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0 1 2 3 4 021 039 057 075 093 202 220 238 256 274 382 399 417 435 453 561 578 596 614 632 739 757 775 792 810 917 934 952 970 987 094 111 129 146 164 270 287 305 322 340 445 463 480 498 515 620 637 655 672 690 794 811 829 846 863 967 985*002*019*037 140 157 175 192 209 312 329 346 364 381 483 500 518 535 552 654 671 688 705 722 824 841 858 875 892 993*010*027*044*061 162 179 196 212 229 330 347 363 380 397 497 514 531 547 564 664 681 697 714 731 830 847 863 880 896 996*012*029*045*062 160 177 193 210 226 325 341 357 374 390 488 504 521 537 553 651 667 684 700 716 813 830 846 862 878 975 991*008*024*040 136 152 169 185 201 297 313 329 345 361 457 473 489 505 521 610 632 648 664 680 775 791 807 823 838 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 112 130 148 166 184 292 310 328 346 364 471 489 507 525 543 650 668 686 703 721 828 846 863 881 899 *005*023*041*058*076 182 199 217 235 252 358 375 393 410 428 533 550 568 585 602 707 724 742 759 777 881 898 915 933 950 *054*071*088*106*123 226 243 261 278 295 398 415 432 449 466 569 586 603 620 637 739 750 773 790 807 909 926 943 960 976 *078*095*111*128*145 246 263 280 296 313 414 430 447 464 481 581 597 614 631 647 747 764 780 797 814 913 929 946 903 979 *078*095*111*127*144 243 259 275 292 308 406 123 439 455 472 570 586 602 619 635 732 749 765 781 797 894 911 927 943 959 *056*072*088*104*120 217 233 249 265 281 377 393 409 425 441 537 553 569 584 600 696 712 727 743 759 854 870 886 902 917 5 0 7 8 9

D. 18

17

16

16

der Logarithmen. 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309

0 1 2 3 4 43 933 949 965 981 996 44 091 107 122 138 154 248 264 279 295 311 404 420 436 451 467 560 576 592 607 623 716 731 747 762 778 871 886 902 917 932 45 025 040 056 071 086 179 194 209 225 240 332 347 362 378 393 484 500 515 530 545 637 652 667 682 697 788 803 818 834 849 939 954 969 984*000 46 090 105 120 135 150 240 255 270 285 300 389 404 419 434 449 538 553 568 583 598 687 702 716 731 746 835 850 864 879 894 982 997*012*026*041 47 129 144 159 173 188 276 290 305 319 334 422 436 451 465 480 567 582 596 611 625 712 727 741 756 770 857 871 885 900 914 48 001 015 029 044 058 144 159 173 187 202 287 302 316 330 344 430 444 458 473 487 572 586 601 615 629 714 728 742 756 770 855 869 883 897 911 996*010*024*038*052 0 1 2 3 4

13

5 6 7 8 9 D. *012*028*044*059*075 16 170 185 201 217 232 326 342 358 373 389 483 498 514 529 545 638 654 669 685 700 793 809 824 840 855 948 963 979 994*010 102 117 133 148 163 255 271 286 301 317 408 423 439 454 469 15 561 576 591 606 621 712 728 743 758 773 864 879 894 909 924 *015*030*045*060*075 165 180 195 210 225 315 330 345 359 374 464 479 494 509 523 613 627 642 657 672 761 776 790 805 820 909 923 938 953 967 *056*070*085*100*114 202 217 232 246 261 349 363 378 392 407 494 509 524 538 553 640 654 669 683 698 784 799 813 828 842 929 943 958 972 986 073 087 101 116 130 14 216 230 244 259 273 359 373 387 401 416 501 515 530 544 558 643 657 671 686 700 785 799 813 827 841 926 940 954 968 982 *066»080*094*108 *122 14 5 6 7 8 9

14 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344

Fünfziffrige Mantissen 0 1 2 3 4 49 136 150 164 178 192 276 290 304 318 332 415 429 443 457 471 554 568 582 596 610 693 707 721 734 748 831 845 859 872 886 969 982 996*010*024 50 106 120 133 147 161 243 256 270 284 297 379 393 406 420 433 515 529 542 556 569 651 664 678 691 705 786 799 813 826 840 920 934 947 961 974 51 055 068 081 095 108 188 202 215 228 242 322 335 348 362 375 455 468 481 495 508 587 601 614 627 640 720 733 746 759 772 851 865 878 891 904 983 996*009*022*035 52 114 127 140 153 166 244 257 270 284 297 375 388 401 414 427 504 517 530 543 556 634 647 660 673 686 763 776 789 802 815 892 905 917 930 943 53 020 033 046 058 071 148 161 173 186 199 275 288 301 314 326 403 415 428 441 453 529 542 555 567 580 656 668 681 694 706 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 D. 206 220 234 248 262 346 360 374 388 402 485 499 513 527 541 624 638 651 665 679 762 776 790 803 817 900 914 927 941 955 *037*051*065*079*092 174 188 202 215 229 311 325 338 352 365 447 461 474 488 501 583 596 610 623 637 718 732 745 759 772 853 866 880 893 907 987*001*014*028*041 121 135 148 162 175 255 268 282 295 308 388 402 415 428 441 521 534 548 561 574 654 667 680 693 706 786 799 812 825 838 917 930 943 957 970 *048*061*075*088*101 179 192 205 218 231 310 323 336 349 362 440 453 466 479 492 569 582 595 608 621 699 711 724 737 750 827 840 853 866 879 956 969 982 994*007 084 097 HO 122 135 212 224 237 250 263 339 352 364 377 390 466 479 491 504 517 593 605 618 631 643 719 732 744 757 769 in 5 6 7 8 9

der L o g a r i t h m e n . .345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379

0 1 2 3 4 53 782 794 807 820 832 908 920 933 945 958 54 033 045 058 070 083 158 170 183 195 208 283 295 307 320 332 407 419 432 444 456 531 543 555 568 580 654 667 679 691 704 777 790 802 814 827 900 913 925 937 949 55 023 035 047 060 072 145 157 169 182 194 267 279 291 303 315 388 400 413 425 437 509 522 534 546 558 630 642 654 666 678 751 763 775 787 799 871 883 895 907 919 991*003*015*027*038 56 110 122 134 146 158 229 241 253 265 277 348 360 372 384 396 467 478 490 502 514 585 597 608 620 632 703 714 726 738 750 820 832 844 855 867 937 949 961 972 984 57 054 066 078 089 101 171 183 194 206 217 287 299 310 322 334 403 415 426 438 449 519 530 542 553 565 634 646 657 669 680 749 761 772 784 795 864 875 887 898 910 0 1 2 3 4

15

5 6 7 8 9 D. 845 857 870 882 895 13 970 983 995*008*020 095 108 120 133 145 220 233 245 258 270 345 357 370 382 394 469 481 494 506 518 12 593 605 617 630 642 716 728 741 753 765 839 851 864 876 888 962 974 986 998*011 084 096 108 121 133 206 218 230 242 255 328 340 352 364 376 449 461 473 485 497 570 582 594 606 618 691 703 715 727 739 811 823 835 847 859 931 943 955 967 979 12 »050*062*074*086*098 170 182 194 205 217 289 301 312 324 336 407 419 431 443 455 526 538 549 561 573 644 656 667 679 691 761 773 785 797 808 879 891 902 914 926 996*008*019*031*043 113 124 136 148 159 229 241 252 264 276 345 357 368 380 392 461 473 484 496 507 576 588 600 611 623 692 703 715 726 738 807 818 830 841 852 921 933 944 955 967 U 5 6 7 8 9

16 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414

Fi'infzifTrige Mantissen 57 58

59

60

61

0 1 2 3 4 978 990*001*013*024 092 104 115 127 138 206 218 229 240 252 320 331 343 354 365 433 444 456 467 478 546 557 569 580 591 659 670 681 692 704 771 782 794 805 816 883 894 906 917 928 995*006*017*028*040 106 118 129 140 151 218 229 240 251 262 329 340 351 362 373 439 450 461 472 483 550 561 572 583 594 660 671 682 693 704 770 780 791 802 813 879 890 901 912 923 988 999*010*021*032 097 108 119 130 141 206 217 228 239 249 314 325 336 347 358 423 433 444 455 466 531 541 552 563 574 638 649 660 670 681 746 756 767 778 788 853 863 874 885 895 959 970 981 991*002 066 077 087 098 109 172 183 194 204 215 278 289 300 310 321 384 395 405 416 426 490 500 511 521 532 595 606 616 627 637 700 711 721 731 742 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 •035*047*058*070*081 149 161 172 184 195 263 274 286 297 309 377 388 399 410 422 490 501 512 524 535 602 614 625 636 647 715 726 737 749 760 827 838 850 861 872 939 950 961 973 984 *051*062*073*084*095 162 173 184 195 207 273 284 295 306 318 384 395 406 417 428 494 506 517 528 539 605 616 627 638 649 715 726 737 748 759 824 835 846 857 868 934 945 956 966 977 *043»054*065»076*086 152 163 173 184 195 260 271 282 293 304 369 379 390 401 412 477 487 498 509 520 584 595 606 617 627 692 703 713 724 735 799 810 821 831 842 906 917 927 938 949 •013*023*034*045*055 119 130 140 151 162 225 236 247 257 268 331 342 352 363 374 437 448 458 469 479 542 553 563 574 584 648 658 669 679 690 752 763 773 784 794 5 6 7 8 9

der Logarithmen. 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449

61 805 909 62 014 118 221 335 428 531 634 737 839 941 63 043 144 246 347 448 548 649 749 849 949 64 048 147 246 345 444 542 640 738 836 933 65 031 128 225 0

815 920 024 128 232 335 439 542 644 747 849 951 053 155 256 357 458 558 659 759 859 959 058 157 256 355 454 552 650 748 846 943 040 137 234 1

826 836 847 930 941 951 034 045 055 138 149 159 242 252 263 346 35t! 366 449 459 169 552 562 572 655 6fi5 675 757 767 778 859 870 880 961 972 982 063 073 083 165 175 185 266 276 2*6 367 377 3S7 468 478 488 568 579 589 669 679 689 769 779 789 869 879 889 969 979 988 068 078 088 167 177 187 266 276 286 365 375 385 464 473 483 562 572 582 660 670 680 758 768 777 856 865 875 953 963 972 050 060 070 147 157 167 244 254 263 2 3 4

857 868 878 888 899 962 972 982 993*003 066 076 086 097 107 170 180 190 201 211 273 284 294 304 315 377 387 397 408 418 480 490 500 511 521 583 593 603 613 624 685 696 706 716 726 788 793 808 818 829 890 900 910 921 931 992*002*012 *022»033 094 104 114 124 134 195 205 215 225 23ü 296 ¿06 317 327 337 397 407 417 428 438 498 508 518 528 538 599 609 619 629 639 699 709 719 729 739 799 809 819 829 839 899 909 919 929 939 998*008*018*028*038 098 108 118 128 137 197 207 217 227 237 296 306 316 326 335 395 404 414 424 434 493 503 513 523 532 591 601 611 621 631 689 699 709 719 729 787 797 807 816 826 885 895 904 914 924 982 992*002*011*021 079 089 099 108 118 176 186 196 205 215 273 283 292 302 312 5 0 7 8 9

17

18 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484

Fünfziffrige Mantissen 0 1 2 3 4 65 321 331 341 350 360 418 427 437 447 456 514 523 533 543 552 610 619 629 639 648 706 715 725 734 744 801 811 820 830 839 896 906 916 925 935 992*001*011*020*030 66 087 096 106 115 124 181 191 200 210 219 276 285 295 304 314 370 380 389 398 408 464 474 483 492 502 558 567 577 586 596 652 G61 671 680 689 745 755 764 773 783 839 848 857 867 876 932 941 950 960 969 67 025 034 043 052 062 117 127 136 145 154 210 219 228 237 247 302 311 321 330 33!) 394 403 413 422 431 486 495 504 514 523 578 587 596 605 614 669 679 688 697 706 761 770 779 788 797 852 861 870 879 888 943 952 961 970 979 68 034 043 052 061 070 124 133 142 151 160 215 224 233 242 251 305 314 323 332 341 395 404 413 422 431 485 494 502 511 520 1 2 3 4 0

5 6 7 8 9 369 379 389 398 408 466 475 485 495 504 562 571 581 591 600 658 667 677 686 696 753 763 772 782 792 849 858 868 877 887 944 954 963 973 982 *039*049*058*068*077 134 143 153 162 172 229 238 247 257 266 323 332 342 351 361 417 427 436 445 455 511 521 530 539 549 605 614 624 633 642 699 708 717 727 736 792 801 811 820 829 885 894 904 913 922 978 9S7 997*006*015 071 080 089 099 108 164 173 182 191 201 256 265 274 284 293 348 357 367 376 385 440 449 459 468 477 532 541 550 560 569 624 633 642 651 660 715 724 733 742 752 806 815 825 834 843 897 906 916 925 934 988 997*006*015*024 079 088 097 106 115 169 178 187 196 205 260 269 278 287 296 350 359 368 377 386 440 449 458 467 476 529 538 547 556 565 5 6 7 8 9

D. 10

9

9

485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519

der Logarithmen.

19

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 168 574 583 592 601 610 619 628 637 646 655 664 673 681 690 699 708 717 726 735 744 753 762 771 780 789 797 806 815 824 833 842 851 860 869 878 886 895 904 913 922 | 931 940 949 958 966 975 984 993*002*011 69 020 028 037 046 055 064 073 082 090 099 108 117 126 135 144 152 161 170 179 188 197 205 214 223 232 241 249 258 267 276 285 294 302 311 320 329 338 346 355 364 373 381 390 399 408 417 425 434 443 452 461 469 478 487 496 504 513 522 531 539 548 557 566 574 583 592 601 609 618 627 636 644 653 662 671 679 688 697 705 714 723 732 740 749 758 767 775 784 793 801 | 810 819 827 836 845 854 862 871 880 888 | 897 906 914 923 932 940 949 958 966 975 984 992*001*010*018 *027*036*044*053*062 70 070 079 088 096 105 114 122 131 140 148 157 165 174 183 191 200 209 217 226 234 | 243 252 260 269 278 286 295 303 312 321 329 338 346 355 364 372 381 389 398 406 415 424 432 441 449 458 467 475 484 492 501 509 518 526 535 544 552 561 569 578 586 595 603 612 621 629 63S 646 655 663 672 680 689 697 706 714 723 731 740 749 757 766 774 783 791 800 808 817 825 834 842 851 859 868 876 885 893 902 910 919 927 935 944 952 961 969 978 986 995*003 71 012 020 029 037 046 054 063 071 079 088 096 105 113 122 130 139 147 155 164 172 181 189 198 206 214 223 231 240 248 257 265 273 282 290 299 307 315 324 332 341 349 357 366 374 383 391 399 408 416 425 433 441 450 458 466 475 483 492 500 508 517 525 533 542 550 559 567 575 584 592 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

D. 9

SB

2

9

8

20

Fünfziffrige Manlissen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D. 5 2 0 71 600 6 0 9 617 6 2 5 634 642 650 6 5 9 6 6 7 675 8 684 692 700 709 717 725 734 742 750 759 521 767 775 784 792 800 8 0 9 817 825 834 842 522 850 858 867 8 7 5 883 892 900 908 917 9 2 5 523 933 941 950 958 966 9 7 5 983 991 9 9 9 * 0 0 8 524 5 2 5 72 016 024 032 041 049 057 066 074 082 090 0 9 9 107 115 123 132 140 148 156 165 173 526 1 8 1 189 198 206 214 222 230 2 3 9 247 2 5 5 527 263 272 280 288 296 304 313 3 2 1 3 2 9 337 528 346 354 362 370 3 7 8 387 3 9 5 403 411 4 1 9 529 4 2 8 436 4 4 4 452 460 4 6 9 477 485 493 5 0 1 530 5 0 9 5 1 8 526 534 542 550 558 567 575 583 531 591 599 607 616 624 632 640 648 656 665 532 673 6 8 1 6 8 9 697 705 713 722 730 738 746 533 754 762 770 7 7 9 787 795 803 811 8 1 9 827 534 8 3 5 8 4 3 852 860 868 876 884 892 900 908 8 535 916 9 2 5 9 3 3 941 949 957 9 6 5 973 981 9 8 9 536 997*006*014*022*030 *038*046*054*062*070 537 538 73 0 7 8 086 0 9 4 102 I I I 1 1 9 127 135 143 151 1 5 9 167 175 183 191 199 207 2 1 5 223 231 539 540 2 3 9 247 2 5 5 263 272 280 2 8 8 296 304 312 541 320 3 2 8 336 344 352 360 368 376 384 392 4 0 0 4 0 8 416 424 432 4 4 0 4 4 8 456 4 6 4 472 542 4 8 0 4 8 8 4 9 6 504 512 520 5 2 8 536 5 4 4 552 543 5 6 0 568 576 584 592 600 6 0 8 6 1 6 624 632 544 640 648 656 664 672 6 7 9 6 8 7 6 9 5 703 711 545 7 1 9 727 735 743 751 759 767 775 783 791 546 7 9 9 807 815 823 830 838 8 4 6 854 862 8 7 0 547 8 7 8 8 8 6 894 902 9H) 9 1 8 926 933 9 4 1 9 4 9 548 957 965 973 981 9 8 9 9 9 7 * 0 0 5 * 0 1 3 * 0 2 0 * 0 2 8 549 5 5 0 74 036 044 052 060 068 076 084 092 0 9 9 107 115 123 131 139 147 155 162 170 178 186 551 552 194 202 210 218 2 2 5 233 241 2 4 9 257 2 6 5 553 273 2 8 0 288 296 304 312 320 3 2 7 3 3 5 343 554 3 5 1 3 5 9 367 374 382 390 398 4 0 6 414 4 2 1 8 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4

der Logarithmen. 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589

0 74 429 507 586 663 741 819 896 974 75 051 128 205 282 358 435 511 587 664 740 815 891 967 76 042 118 193 268 343 418 492 567 641 716 790 864 938 77 012 0

1 2 437 445 515 523 593 601 671 679 749 757 827 834 904 912 981 989 059 066 136 143 213 220 289 297 366 374 442 450 519 526 595 603 671 679 747 755 823 831 899 906 974 982 050 057 125 133 200 208 275 283 350 358 425 433 500 507 574 582 649 656 723 730 797 805 871 879 945 953 019 026 1 2

3 4 453 461 531 539 609 617 687 695 764 772 842 850 920 927 997*005 074 082 151 159 228 236 305 312 381 389 458 465 534 542 610 618 686 694 762 770 838 846 914 921 989 997 065 072 140 148 215 223 290 298 365 373 440 448 515 522 589 597 664 671 738 745 812 819 886 893 960 967 034 041 3 4

5 6 7 8 9 468 476 484 492 500 547 554 562 570 578 624 632 640 648 656 702 710 718 726 733 780 788 796 803 811 858 865 873 881 889 935 943 950 958 966 *012*020*028*035*043 089 097 105 113 120 166 174 182 189 197 243 251 259 266 274 320 328 335 343 351 397 404 412 420 427 473 481 488 496 504 549 557 565 572 580 626 633 641 648 656 702 709 717 724 732 778 785 793 800 808 853 861 868 876 884 929 937 944 952 959 »005*012*020*027*035 080 087 095 103 110 155 163 170 178 185 230 238 245 253 260 305 313 320 328 335 380 388 395 403 410 455 462 470 477 485 530 537 545 552 559 604 612 619 626 634 678 686 693 701 708 753 760 768 775 782 827 834 842 849 856 901 908 916 923 930 975 982 989 997*004 04S 056 063 070 078 5 6 7 8 9

21

22 0 590 77 085 159 591 232 592 305 593 379 594 452 595 525 596 597 597 670 598 743 599 815 600 887 601 960 602 603 78 032 104 604 176 605 247 606 319 607 390 608 462 609 610 533 611 604 612 675 746 613 817 614 888 615 958 616 617 79 029 099 618 169 619 239 620 309 621 379 622 449 623 518 624 0

Fünfziffrige Mantissen 1 2 093 100 166 173 240 247 313 320 386 393 459 466 532 539 605 612 677 685 750 757 822 830 895 902 967 974 039 046 111 118 183 190 254 262 326 333 398 405 469 476 540 547 611 618 682 689 753 760 824 831 895 902 965 972 036 043 106 113 176 183 246 253 316 323 386 393 456 463 525 532 1 2

3 107 181 254 327 401 474 546 619 692 764 837 909 981 053 125 197 269 340 412 483 554 625 696 767 838 909 979 050 120 190 260 330 400 470 539 3

4 115 188 262 335 408 481 554 627 699 772 844 916 988 061 132 204 276 347 419 490 561 633 704 774 845 916 986 057 127 197 267 337 407 477 546 4

5 6 7 8 9 D. 122 129 137 144 151 8 195 203 210 217 225 269 276 283 291 298 342 349 357 364 371 415 422 430 437 444 488 495 503 510 517 561 568 576 583 590 634 641 648 656 663 706 714 721 728 735 779 7S6 793 801 808 851 859 866 873 880 924 931 938 945 952 996*003*010*017*025 068 075 082 089 097 140 147 154 161 168 211 219 226 233 240 7 283 290 297 305 312 355 362 369 376 383 426 433 440 447 455 497 504 512 519 526 569 576 583 590 597 640 647 654 661 668 711 718 725 732 739 781 789 796 803 810 852 859 866 873 880 923 930 937 944 951 993*000*007*014*021 064 071 078 085 092 134 141 148 155 162 204 211 218 225 232 274 281 288 295 302 344 351 358 365 372 414 421 428 435 442 484 491 498 505 511 553 560 567 574 581 7 5 6 7 8 9

der Logarithmen.

23

625 626 627 628 629

0 79 588 657 727 796 865

1 595 664 734 803 872

2 602 671 741 810 879

3 609 678 748 817 886

4 616 685 754 824 893

5 623 692 761 831 900

6 630 699 768 837 906

7 637 706 775 844 913

8 644 713 782 851 920

9 650 720 789 858 927

630 631 632 633 634

934 80 003 072 140 209

941 010 079 147 216

948 017 085 154 223

955 024 092 161 229

962 030 099 168 236

969 037 106 175 243

975 044 113 182 250

982 051 120 188 257

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635 636 637 638 639

277 346 414 482 550

284 353 421 489 557

291 359 428 496 564

298 366 434 502 570

305 373 441 509 577

312 380 448 516 584

318 387 455 523 591

325 393 462 530 598

332 400 468 536 604

339 407 475 543 611

640 641 642 643 644

618 686 754 821 889

625 693 760 828 895

632 699 767 835 902

638 706 774 841 909

645 713 781 848 916

652 720 787 855 922

659 726 794 862 929

665 733 801 868 936

672 740 808 875 943

679 747 814 882 949

645 646 647 648 649

956 81 023 090 158 224

963 030 097 164 231

969 976 037 043 104 I I I 171 178 238 245

983 050 117 184 251

990 996*003*010*017 057 064 070 077 084 124 131 137 144 151 191 198 204 211 218 258 265 271 278 285

650 651 652 653 654

291 358 425 491 558

298 365 431 498 564

305 371 438 505 571

311 378 445 511 578

318 385 451 518 584

325 391 458 525 591

331 398 465 531 59S

338 405 471 538 604

345 411 478 544 611

351 418 485 551 617

655 656 657 658 659

624 690 757 823 889 0

631 697 763 829 895 1

637 704 770 836 902 2

644 710 776 842 908 3 4

651 717 783 849 915

657 723 790 856 921

664 730 796 862 928 5 0

671 737 803 86!> 935 7

677 743 809 875 941 8

684 750 816 882 948 9

Fünfziffrige Mantissen

24 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 68S 689 690 691 692 693 694

81 82

83

84

0 1 2 3 4 954 961 968 974 981 020 027 033 040 046 086 092 099 1U5 112 151 158 164 171 178 217 223 230 236 243 282 289 295 302 308 347 354 360 367 373 413 419 426 432 439 478 484 491 497 504 543 549 556 562 569 607 614 620 627 633 672 679 685 692 698 737 743 750 756 763 802 808 814 821 827 866 872 879 885 892 930 937 943 950 956 995*001*008*014*020 059 065 072 078 085 123 129 136 142 149 187 193 200 206 213 251 257 264 270 276 315 321 327 334 340 378 385 391 398 404 442 448 455 461 467 506 512 518 525 531 569 575 582 588 594 632 639 645 651 658 696 702 708 715 721 759 765 771 778 784 822 828 835 841 847 885 891 897 904 910 948 954 960 967 973 011 017 023 029 036 073 080 086 092 098 136 142 148 155 161 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 987 994*000*007*014 053 060 066 073 079 119 125 132 138 145 184 191 197 204 210 249 256 263 269 276 315 321 328 334 341 380 387 393 400 406 445 452 458 465 471 510 517 523 530 536 575 582 588 595 601 640 646 653 659 666 705 711 718 724 730 769 776 782 789 795 834 840 847 853 860 898 905 911 918 924 963 969 975 982 988 •027*033*040*046*052 091 097 104 110 117 155 161 168 174 181 219 225 232 238 245 283 289 296 302 308 347 353 359 366 372 410 417 423 429 436 474 480 487 493 499 537 544 550 556 563 601 607 613 620 626 664 670 677 683 689 727 734 740 746 753 790 797 803 809 816 853 860 866 872 879 916 923 929 935 942 979 985 992 998*004 042 048 055 061 067 105 111 117 123 130 167 173 180 186 192 5 6 7 8 9

D 7

6

6

der 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729

0 8 4 198 261 323 386 448 510 572 634 696 757 819 880 942 85 003 065 126 187 248 309 370 431 491 552 612 673 733 794 854 914 974 86 034 094 153 213 273 0

1 205 267 330 392 454 516 578 640 702 763 825 887 948 009 071 132 193 254 315 376 437 497 558 «18 679 739 8(10 860 920 980 040 100 159 219 279 1

2 211 273 336 398 460 522 584 646 708 770 831 893 954 016 077 138 199 260 321 382 443 503 564 625 685 745 806 866 926 986 046 106 165 225 285 2

Logarithmen. 3 217 280 342 404 466 528 590 652 714 776 837 899 960 022 083 144 205 266 327 388 449 509 570 631 691 751 812 872 932 992 052 112 171 231 291 3

25

5 6 7 8 9 D. 4 223 230 236 242 248 255 6 286 292 298 305 311 317 348 354 361 367 373 3 7 9 410 417 423 429 4 3 5 442 473 4 7 9 485 491 497 504 535 541 547 553 559 566 597 603 609 615 621 628 658 665 671 677 683 689 720 726 733 739 745 751 782 788 794 800 807 813 844 850 856 862 868 874 905 911 917 924 930 936 967 973 979 985 9 9 1 997 028 034 040 046 052 058 089 095 101 107 114 120 150 156 163 169 175 181 6 211 217 224 230 236 242 272 278 285 291 297 303 333 3 3 9 345 352 358 364 394 400 406 412 418 425 455 461 467 473 4 7 9 485 516 522 528 534 540 546 576 582 588 594 600 606 637 643 6 4 9 655 661 667 697 703 709 715 721 727 757 763 769 775 781 788 818 824 830 836 842 848 878 884 890 896 902 908 938 944 950 956 % 2 968 998 *004*010*016*022*028 058 064 070 076 082 088 118 124 130 136 1 II 147 177 183 1 8 9 195 201 207 237 243 2 4 9 255 261 267 297 303 308 314 320 326 6 4 5 6 7 8 9

26

Fünfziffrige Mantissen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 730 86 332 338 344 350 356 362 368 374 380 386 392 398-404 410 415 421 427 433 439 445 731 451 457 463 469 475 481 487 493 499 504 732 510 516 522 528 534 540 546 552 55S 564 733 570 576 581 587 593 599 605 611 617 623 734 735 629 635 641 646 652 658 664 670 676 682 688 694 700 705 711 717 723 729 735 741 736 747 753 759 764 770 776 782 788 794 800 737 806 812 817 823 829 835 841 847 853 859 738 S64 870 876 882 888 894 900 906 911 917 739 740 923 929 935 941 947 953 958 964 970 976 741 982 988 994 999*005 »011*017*023*029*035 742 87 040 046 052 05S 064 070 075 081 087 093 099 105 111 116 122 128 134 140 146 151 743 157 163 169 175 181 186 192 198 204 210 744 745 216 221 227 233 239 245 251 256 262 268 274 280 286 291 297 303 309 315 320 326 746 332 338 344 349 355 361 367 373 379 384 747 390 396 402 408 413 419 425 431 437 442 748 448 454 460 466 471 477 483 489 495 500 749 506 512 518 523 529 535 541 547 552 558 750 564 570 576 581 587 593 599 604 610 616 751 622 628 633 639 645 651 656 662 668 674 752 679 685 691 697 703 708 714 720 726 731 753 737 743 749 754 760 766 772 777 783 789 754 755 795 800 806 812 818 823 829 835 841 846 852 858 864 869 875 881 887 892 898 904 756 910 915 921 927 933 938 944 950 955 961 757 967 973 978 984 990 996*001*007*013*018 758 759 8S 024 030 036 041 047 053 058 064 070 076 081 087 093 098 104 HO 116 121 127 133 760 138 144 150 156 161 167 173 178 184 190 761 195 201 207 213 218 224 230 235 241 247 762 252 258 264 270 275 281 287 292 298 304 763 309 315 321 326 332 338 343 349 355 360 |e 764 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 '

der Logarithmen. 0 1 2 3 4 765 88 366 372 377 383 3S9 766 423 429 434 440 446 480 485 491 497 502 767 536 542 547 553 559 768 593 598 604 610 615 769 770 649 655 660 666 672 705 711 717 722 728 771 772 762 767 773 779 784 773 818 824 829 835 840 774 874 880 8S5 891 897 775 930 936 941 947 953 986 992 997*003*009 776 777 89 042 048 053 059 064 098 104 109 115 120 778 154 159 165 170 176 779 780 209 215 221 226 232 781 265 271 276 282 287 782 321 326 332 337 343 783 376 382 387 393 398 784 432 437 443 448 454 487 492 498 504 509 785 542 548 553 559 564 786 597 603 609 614 620 787 653 658 664 669 675 788 708 713 719 724 730 789 790 763 768 774 779 785 818 823 829 834 840 791 873 878 883 889 894 792 927 933 938 944 949 793 982 988 993 998*004 794 795 90 037 042 048 053 059 091 097 102 108 113 796 146 151 157 162 168 797 200 206 211 217 222 798 255 260 266 271 276 799 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 395 400 406 412 417 451 457 463 468 474 508 513 519 525 530 564 570 576 581 587 621 627 632 638 643 677 683 689 694 700 734 739 745 750 756 790 795 801 807 812 846 852 857 863 868 902 908 913 919 925 958 964 969 975 981 *014*020*025*031*037 070 076 081 087 092 126 131 137 143 148 182 187 193 198 204 237 243 248 254 260 293 298 304 310 315 348 354 360 365 371 404 409 415 421 426 459 465 470 476 481 515 520 526 531 537 570 575 581 586 592 625 631 636 642 647 680 686 691 697 702 735 741 746 752 757 790 796 801 807 812 845 851 856 862 867 900 905 911 916 922 955 960 966 971 977 *009*015*020*026*031 064 069 075 080 086 119 124 129 135 140 173 179 184 189 195 227 233 238 244 249 282 287 293 298 304 5 6 7 8 9

27 D. s

6

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28 0 800 90 309 363 801 417 802 472 803 526 804 805 580 634 806 687 807 741 808 795 809 810 849 811 902 812 956 813 91 009 814 062 815 116 816 169 222 817 275 818 328 819 820 381 821 434 822 487 540 823 593 824 825 645 698 826 751 827 803 828 855 829 908 830 960 831 832 92 012 065 833 117 834 0

Fiinfziffrige Mantissen 1 2 314 320 369 374 423 428 477 482 531 536 585 590 639 644 693 698 747 752 800 806 854 859 907 913 961 966 014 020 068 073 121 126 174 ISO 228 233 281 286 334 339 387 392 440 445 492 498 545 551 598 603 651 656 703 709 756 761 808 814 861 866 913 918 965 971 018 023 070 075 122 127 1 2

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4 331 385 439 493 547 601 655 709 763 816 870 924 977 030 084 137 190 243 297 350 403 455 508 561 614 666 719 772 824 876 929 981 033 085 137 4

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Fünfziffrige Vfantissen

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Fünfzifl'rige Mantissen 1 2 317 322 364 368 410 414 456 460 502 506 548 552 594 598 640 644 685 690 731 736 777 782 823 827 868 873 914 918 959 964 005 009 050 055 096 100 141 116 186 191 232 236 277 281 322 327 367 372 412 417 457 462 502 507 547 552 592 597 637 641 682 686 726 731 771 776 816 820 860 865 1 2

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9 D. 354 5 400 447 493 539 585 630 676 722 768 813 859 905 950 996 041 3 087 132 177 223 268 313 358 403 448 493 538 583 628 673 717 762 807 851 896 4 9

der L o g a r i t h m e n . 0 1 2 3 4 975 98 900 905 909 914 918 945 949 954 958 963 976 989 994 998*003*007 977 978 99 034 038 043 047 052 979 078 083 087 092 096 123 127 131 136 140 980 9S1 167 171 176 180 185 982 211 216 220 224 229 983 255 260 264 269 273 984 300 304 308 313 317 985 344 348 352 357 361 388 392 396 401 405 986 432 436 441 445 449 987 476 480 484 489 493 988 520 524 528 533 537 989 990 564 568 572 577 581 607 612 616 621 625 991 651 656 660 664 669 992 695 699 704 708 712 993 739 743 747 752 756 994 782 787 791 795 800 995 826 830 835 839 843 996 870 874 878 883 887 997 913 917 922 926 930 998 957 961 965 970 974 999 1 2 3 4 0

5 6 7 8 9 D. 923 927 932 936 941 4 967 972 976 981 985 »012*016*021*025*029 056 061 065 069 074 100 105 109 114 118 145 149 154 158 162 189 193 19S 202 207 233 23S 242 247 251 277 282 286 291 295 322 326 330 335 339 366 370 374 379 383 410 414 419 423 427 454 458 463 467 471 498 502 506 511 515 542 546 550 555 559 585 590 594 599 603 629 634 638 642 647 673 677 6S2 686 691 717 721 726 730 734 760 765 769 774 778 804 808 813 817 822 848 852 856 861 865 S91 896 900 904 909 935 939 944 948 952 978 983 987 991 996 4 5 6 7 8 9

B e m e r k u n g . D e r M o d u l u s d e s Briggschen S y s t e m s ist:

0,434294481903 . . .

Man erhält durch Multiplication mit dieser Zahl alle Briggschen Logarithmen a u s den n a t ü r l i c h e n . Die natürlichen Logarithmen beziehen sich auf die Grund-

zahl:

33

2,718281828459...

Einige derselben sind auf der folgenden Seite angegeben.

34 E i n i g e

natürliche (hyperbolische) L o g a r i t h m e n .

N.

L.

L.

N.

71 4,262679877011 73 4,290459441148 79 4,3(59447852467 83 4,418840607797 89 4,488636369732 2,39789527279» 97 4,574710978503 2,564949357462 101 4,615120516841 2,833213344056 103 4,634728988230 2,944438979160[ 107 4,672828834462 3,135494215929! 109 4,691347882229 0,0000000000001 0,693147180560 ,098612288668 1,609437912434 ,945910I49055|

3,367295829986 3,433987204485 3,610917912644 3,713572060704 3,761200115694 3,850147601710 3,970291913552 4,077537443906 4,110873804173 4,204692619391

L.

173 5,153291594498 179 5,187385805841 181 5,198497031266 191 5,252273428047 193 5,262690188905 197 5,283203728738 199 5,293304824724 211 5,351858133476 223 5,407171771460 227;5,42495001748I

13 4,727387818712 229 5,433722003554 127 4,844187086459 233 5,451038453566 131 4 875197323201 239 5,476403551932 137 4,919980925828 241 5,484790933491 139 4,934473933131 251 5,525452939132 149 5,003946305945 257 5,549076084895 151 5,017279836815 263 5,572154032178 157 5,056245805348 269 5,594711379602 163 5,093750200807 271 5,602118820880 167 5,117993812417 277 5,624017506187

B e m e r k u n g . Durch Addition d i e s e r L o g a r i t h m e n kann man die natürlichen Logarithmen v i e l e r zusammengesetzten Zahlen [s. d . Erläut ] erhalten. Zur A u f f i n d u n g andrer dienen die F o r m e l n : I) L o g . n a « : a =

2

ra—\ [ - - 1

t

T

-1 / a — 1 \ 3 ( — ) 2n— I

/¡>— I

+ 2) L o g . n a t : x =

+

T V^+T/ | (^Log

"1

+• • J

nat: (x +

I

1 /-a— I v> + •

I) +

Log. nat:

(x—

4

I

+

2x2 — 1 3(2xa— l)3"'" 5 (2x-—1)s ' ' ~*"(2n-(XSx1-1)2o-l Die Grundzahl d e s natürlichen S y s t e m s kann bis auf b e l i e b i g v i e l e D e c i m a l s t e l l e n g e f u n d e n w e r d e n nach der F o r m e l . 1

1

1 •1.2

+

1

4

1.2.3.1

1.2.3..n

IL Abgekürzte

siebenziffrige Logarithmentafel, durch welche

alle Rechnungen mittelst einer kleinen Nebenrechnung ausgeführt werden können, zu denen die grösseren siebenstelligen Logarithmentafeln erforderlich sind. Seite 36—41.

Multiplicationstafeln, um die natürlichen Logarithmen in gemeine zu verwandeln und umgekehrt Seite 42.

£2

36

Tafeln zur Audfîndung siebenziffriger A

11 12 13 14 15 16 17 18 19

0413927 0791812 1139434 1461280 1760913 2041200 2304489 2552725 2787536

Tí 1000 1001 1002 100S 1004

0 0000000 4341 8677 0013009 7337

1 2 0434 0869 4775 5208 9111 9544 3442 3875 7770 8202

20 22 23 24 25 26 27 28 29

3010300 3424227 3617278 3R02U2 3979400 4149733 4313638 4471580 4623980

1005 1006 1007 1008 1009

0021661 5980 0030295 4605 8912

30 33 34 35 36 37 38 39

4771213 5185139 5314789 5440680 5563025 5682017 5797836 5910646

1010 1011 1012 1013 1014

40 44 45 46 «7 48 49

6020600 6434527 6532125 6627578 6720979 6812412 6901961

50 55 50 57 58 59

6989700 7403627 7481880 7558749 7634280 7708520

60 66 67 68 69

7781513 8195439 6260748 8325089 3388491

70 77 78 79

8450980 8864907 6920946 8976271

80 9030900 88 9444827 89 9493900 90 9512425 99 9956352

3 1303 5642 9977 4308 8635

4 1737 6076 *0411 4741 9067

2093 6411 0726 5036 9342

2525 2957 6843 7375 1157 1588 5467 5898 9772 *0203

3389 7706 2019 6328 *0633

0043214 7512 0051805 6094 0060380

3644 7941 2234 6523 0808

4074 8371 2663 6952 1236

4504 8800 3092 7380 1664

4933 9229 3521 7809 2092

1015 1016 1017 1018 1019

4660 8937 0073210 7478 0081742

5088 9365 3637 7904 2168

5516 5944 9792 *0219 4064 4490 8331 8757 2594 3020

6372 *0647 4917 9184 3446

1020 1021 1022 1023 1204

6002 0090257 4509 8756 0103000

6427 0683 4934 9181 3424

6853 7279 1108 1533 5359 5784 9605 *0030 3848 4272

7704 1959 6208 »0454 4696

1025 1026 1027 1028 1029

7239 7662 8086 8510 0111474 1897 2320 2743 5704 6127 6550 6973 9931 *0354 *0776 *1198 0124154 4576 4998 5420

8933 3166 7396 *1621 5842

1030 1031 1032 1033 1034

8372 0132587 6797 0141003 5205 0

*0059 4271 8480 2685 6885 4

8794 9215 3008 3429 7218 7639 1424 1844 5625 6045 1 2

9637 3850 8059 2264 6465 3

Mantissen und fùnfziffriger Zahlen. B 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023 1024 1025 1026 1027 1028 1029 1030 1031 1032 1033 1034

5 0002171 6510 0010844 5174 9499 0023821 8138 0032451 6759 0041063 5363 9659 0053950 8238 0062521 6799 0071074 5344 9610 0083872 8130 0092384 6633 0100878 5120 9357 0113590 7818 0122043 6264 0130480 4692 8901 0143105 7305 5

6 2605 6943 1277 5607 9932 4253 8569 2882 7190 1493 5793 *0088 4379 8666 2949 7227 1501 5771 »0037 4298 8556 2809 7058 1303 5544 9780 4013 8241 2465 6685 0901 5113 9321 3525 7725 6

7 3039 7377 1710 6039 *0364 4685 9001 3313 7620 1924 6223 *0517 4808 9094 3377 7655 1928 6198 *0463 4724 8981 3234 7483 1727 5967 *0204 4436 8664 2887 7107 1323 5534 9742 3945 8144 7

8 3473 7810 2143 6472 *0796 5116 9432 3744 8051 2354 6652 *0947 5237 9523 3605 8082 2355 6624 *0889 5150 9407 3659 7907 2151 6391 *0627 4859 9086 3310 7529 1744 5955 *0162 4365 8564 8

9 3907 8244 2576 '6905 *1228 5548 9863 4174 8481 2784 7082 *1376 5606 9951 4233 8510 2782 7051 *1316 5576 9832 4084 8332 2575 6815 *1050 5282 9509 3732 7951 2165 6376 *0583 4785 8984 9

C

37

Proportionaltheile.

434433432 I I i ; ' I I

130 171 217 260 301 347 391

130 173 217 260 303 316 390

130 173 216 259 302 346 389

431430429

1 43 ! 86 I 129 l 172 216 259 302 8 345 9 388

3 4 5 5 ,7

43 86 129 172 215 258 301 344 387

43 fili 129 1 72 215 257 301) 3 » 38G

428427426 43 43 85 85 128 171

128 171

128 170

214 257 30O

2W 256 299

213 ¿56 298

385

384

383

8 342 > r t I

213 255 298 340 383

212 254 297 339 382

212 254 296 338 381

422421420 42 84 127 169 211 253 295 338 380

42 84 126 168 211 253 235 337 379

42

126 168 210 252 294 33S 378

38

Tafeln zur Auffindung A

11 12 13 14 15 16 17 18 19

0413927 0791812 1139434 14612S0 1760913 2041200 2304499 2552725 2787536

20 22 23 21 25 26 27 28 29

3010300 3424227 3617278 3802112 3979400 4149733 4313638 4471580 4623980

30 33 34 35 3$ 37 38 39

4771213 5185139 5314789 5440680 5563025 5681017 5797936 5910646

40 44 45 46 47 48

6020600 6434527 6531125 6627578 9720979 0812411

50 55 56 57 58 59

6969700 7403927 7481880 7558749 7634280 7706520

60 66 67 08 69

7781513 8195439 8260748 8325089 S388491

70 77 78 79

8450980 8864907 8920946 8976271

49

* etc.

D i e g a n z e R e i h e ist a l s o g r ö s s e r a l s 1 -f- 1 + elo. oder g r ö s s e r als + i + etc. o d e r g r ö s s e r a l s 1 + 1 - i - 1 + ' l + i + i + i + e,cunendlich gross. D a h e r ist in j e d e m S y s t e m Log 0 = —oc D i e B e t r a c h t u n g d e r R e i h e b e s t ä t i g t a l s o w a s a u s d e r Divis i o n s r e g e l (§. 8 b) folgt. 1 E s ist L o g ~ = Wird a =

Log 1 — Log a =

0 — Log a

c o ; s o ist a u c h L o g a =

Log

i - = L o g O =

oo

also

— co.

17.

In den F ä l l e n , w o die R e c h n u n g mit d e n k l e i n e n L o g a r i t h m e n t a f e l n d a s R e s u l t a t nicht g e n a u g e n u g g i e b t ; b e d i e n t m a n s i c h d e r o b e n S. 1 6 5 § . 6 b e s c h r i e b e n e n g r ö s s e r e n Tafeln. A u s d i e s e n ist h i e r S. 3 6 bis 41 d e r Anfang initg e t h e i l t und d i e Z u s a m m e n s t e l l u n g s o e i n g e r i c h t e t , d a s s mittelst d e r s e l b e n u n d e i n e r l e i c h t a u s z u f ü h r e n d e n N e b e n r e c h nung die Benutzung der g r ö s s e r e n Tafeln vollständig ersetzt wird. D i e h i e r g e g e b e n e n T a f e l n e n t h a l t e n , j e d e s m a l Uber z w e i g e g e n ü b e r s t e h e n d e S e i l e n s i c h e r s t r e c k e n d , drei v e r s c h i e d e n e Abtheilungen. In d e r e i s t e n mit A ü b e r s c h r i e b e n e n finden s i c h d i e siebenzifl'rigen M a n t i s s e n für d i e L o g a r i t h m e n a l l e r zweiziiTrigen Zahlen v o n 11 b i s 9 9 , in d e n e n die z w e i t e Ziffer e n t w e d e r 0 ist o d e r nicht k l e i n e r als die erste. D a r u n t e r sind a l s o a u c h ( n a c h § . 5 ) die d e r einz i f f r i g e n , n ä m l i c h bei 2 0 , 3 0 , 4 0 e t c . In d e r z w e i t e n mit B b e z e i c h n e t e n Abtheilung b e f i n d e n s i c h d i e s i e b e n z i f f r i g e n M a n t i s s e n a l l e r funfzilTrigen Z a h l e n v o n 1 0 0 0 0 b i s 1 1 0 4 9 , auf d i e Art g e o r d n e t , d a s s d i e e r s t e n 4 Ziffern d i e s e r Z a h l e n d e n Z e i l e n i n d e x b i l d e n , d i e l e t z l o den Columnenindex. S o ist z. B. S. 3 7 für die Zahl 1 0 3 2 8 die M a n t i s s e 0 1 4 0 1 6 2 . Die E i n r i c h t u n g d i e s e s T h e i l s d e r

184

Kurze Erläuterungen

Tafel s t i m m t im W e s e n t l i c h e n mit d e r vorangehenden, §. 6 e r k l ä r t e n Tafel Uberein. f n d e r letzten Abtheilung C sind die zu den in B a u f g e f ü h r t e n Mantissen g e h ö r i g e n Differenzen mit ihren einzelnen Zehntheilen a n g e g e b e n , a u s d e n e n m a n a u c h die H u n d e r t t h e i l e d u r c h A b s c h n e i d e n d e r letzten Ziffer und die T a u s e n d theile d u r c h A b s c h n e i d e n d e r b e i d e n letzten Ziffern findet. So ist z. B. S. 39 die Differenz Log 1 0 5 2 6 - Log 1 0 5 2 5 = 4 1 3 Diese Zahl b e z i e h t sich auf Einheiten d e r letzten (siebenten) B r u c h s t e l l e . Sie ist a m Rande a u f g e f ü h r t u n d a u s den daru n t e r s t e h e n d e n k l e i n e r e n Zahlen e r s i e h t m a n , dass 41 ein Z e h n t e l , 8 3 z w e i Z e h n t e l , 2 8 9 s i e b e n Z e h n t e l d i e s e r Differenz betragen. Auch e r k e n n t m a n l e i c h t , dass 2 5 s e c h s Hundertel u n d 4 n e u n T a u s e n d t e l d i e s e r Differenz s i n d , so wie 1 drei T a u s e n d t e l . §.

18.

Das V e r f a h r e n , zu e i n e r fünfziffrigen Zahl, die sich als I n d e x vollständig in d i e s e n Tafeln v o r f i n d e t , d e n Logarithm u s zu s u c h e n , bedarf k e i n e r E r k l ä r u n g , da es g e n a u mit d e m S. 168 §. 7 E r ö r t e r t e n ü b e r e i n s t i m m t . So i s t : Log 1 0,871 = 1 , 0 3 6 2 6 9 5 , Log 1101,7 = 3 , 0 4 2 0 6 3 3 .

6. 19. Soll zu e i n e r s e c h s - bis achtziffrigen Zahl, d e r e n e^sle 5 Ziffern als I n d e x in d e r Tafel e n t h a l t e n s i n d , d e r Logar i t h m u s g e f u n d e n w e r d e n ; s o s u c h t m a n z u e r s t d e n f ü r die e r s t e n fünf Ziffern g e h ö r i g e n u n d fügt zu d i e s e m so viel Z e h n tel d e r z u g e h ö r i g e n Differenz als die s e c h s t e Ziffer d e r Zahl Einheiten b a t , s o viel H u n d e r t e l als in d e r s i e b e n t e n u n d so viel Tausendtel, als in d e r a c h t e n Einheiten e n t h a l t e n sind. Soll z. B. Log 1 0 6 4 7 , 5 8 9 g e f u n d e n w e r d e n ; so ist n a c h d e r Tafel unmittelbar Log 1 0 6 4 7 = 4 , 0 2 7 2 2 7 3 5 „ 204 T f f d e r Differenz 4 0 7 b e t r a g e n

tSj 9

..

Tüffü" » » " D e m n a c h ist Log 4 0 6 4 7 , 6 8 9

32 6

-

3 7

=4,0272543

''

zu den vorstehenden Tafeln.

J 85

Die a b g e s c h n i t t e n e n Decimalslellen d e r Bruchlheile (hier 6 u n d 7 ) d i e n e n n u r z u r Berichtigung d e r v o r h e r g e h e n d e n C o l u m n e n - S u m m e , i n d e m , da 6 -J- 7 = im ersten und vierten, 2) Tg g> im ersten und dritten, Cot ^p im ersten und dritten, 3) S e e

. Sing). Sing> u. s. w . §

43.

In der T r i g o n o r a e t r i e ( D r e i e c k m e s s u n g ) w e r d e n die goniometrischen Funktionen nur für solche Bogen a n g e w e n det, die kleiner als der Halbkreis und für solche Winkel, die kleiner als zwei rechte sind. Jedes rechtwinklige Dreieck enthält in dem Verhältniss seiner Seiten diese Funktionen für jeden darin enthaltenen spitzen Winkel, nach den §. 39. gegebenen Bezeichnungen; w e n n man darin für r die H y p o t e n u s e , für s die G e g e n k a t h e t e , für c die N e b e n k a t b e t e des Winkels einführt. §. 44. Als Fundamentalsatz der Trigonometrie ist a n z u s e h e n : Die G r ö s s e j e d e r S e i t e e i n e s b e l i e b i g e n D r e i ecks wird bestimmt, wenn man den Cosinus jedes der b e i d e n a n l i e g e n d e n Winkel mit d e r anliegenden Seite multiplicirt und beide Produkte addirt. Wenn m a n , wie üblich, im Dreieck ABC die Winkel mit den daransteheni > den grossen Buchstaben und die Ge: \ genseiten derselben mit den gleichnay migen kleinen bezeichnet; so ist, w e n n D ü CD ein Perpendikel zu AB ist,

! \

AD — = Cos A, also AD = b Cos A ; ebenso B D = a C o s B ; b folglich 42) . . . . AB = c = AD + DB = a C o s B - f . b C o s A .

zu den vorstehenden Tafeln.

203

In dem bei B reclrtwimkligea Dreieck ABC ist AB = lt> Cosa i und Cos B = o; folglicth auch AB =s c = a CosB b iCosA. In dem bei B stumpftwinkliA ( H tj gen Dreieck ist AD = bCosA ... BD = a Cos (*—B) = — aCosB; also, auch; AB = c = AD—BD = b Cos A + a Cos B. §• 45. Aus diesem Lehrsatz lassen sich alle Bestimmungen der ebenen Trigonometrie ableiten. Wendet man ihn zunäcihst arnf alle Dreiecksseiten an; so hat man: a =bCos C -(- cCosB. .und daraus.. a'=abCosC -f- occCosB b=aCosC c Cos A.. „ „ .. b* = ab Cos C -j- bcCosA c = a CosB -¡|-bCosA.. „ „ .. c ' = ac Cos B-f-bcc CosA Folglich: < 3)... a J -|-b2 —c l =2ab CosC .. oderc , =a , -f-b 1 —2aabCosC. § 46. a'+hi'—c* Aus der Formel 13 des vorigen §. folgt CosC = • Stab Setzt man diesen Werth für Cos C in den Ausdruck (< +CosC)(l —CosC) = 1 — Cos »C = Sin >C, so erhält man bei zweckmässiger Anordnung der Grcössen-. U ) . . . Sin C = — l/(a+b4-c)(a+b — c)(a4-c—b)(bJ-c-a) 2ab §. 47. der Formel ^ 4 den Wurz«elfaktcir Bezeichnet man einfach mit D; so ist D D D Sin A = — . . . Sin B = - — . . . Sin C = —- .... 2bc 2ac Sab folglich auch: 15)... b Sin A = a SinB,... a SinC = c SinA, ... b SinC = cSSinB.... Die Sinus zweier D r e i e c k s w i n k e l verbaitenn sich also wie die Gegenseiten derselben.

204

Kurze Erläuterungen

Dieser wichtige Satz folgt auch aus der Betrachtung der Figur §. 44. Dort ist CD = b Sin A = a Sin B ; also a : b = Sin A : Sin B. §. 48. Die Verbindung der Formeln ( 2 und /

Nimmt

man

2 1 / I b . Sin hC

; s o ist a — b (a b)2 c'= (a — b ) 1 S e e ' = — : dann wird * Cos® 9 40. c = a — b Cos y Durch Einführung d e s W i n k e l s g> lässt sich also die R e c h nung logarithmisch f u h r e n . Zur B e r e c h n u n g der Winkel dient §. 4 7 . E s ist Sin A : Sin B = a : b also Sin A 4 . Sin B : Sin A — Sin B = a + b : a — b oder A+ B A— B A + B A —B Sin — 2 — Cos : Cos - — — S i n = a + b : a — b 2 2 2 2 A+ B A—B F o l g l i c h : Tang — i — : TaDg — - — = a + b : a — b Nun ist A +

an Tang Es ist 66, sin (b-|-g>) = ^^ ^ und c o t y = Tg c cos A. Wird hingegen ß , der Gegenwinkel C der anderen gesucht; so ist nach Form 52 „• C „ = S i n e Sin A 67, Sin Sin a Wird endlich y, der von den beiden Seiten eingeschlossene Winkel B g e s u c h t ; so geschieht e s nach Form 63, w e n n Cot A = cos c cot

f-g>) = cot a tang c sin und T g j p s cos c Tg A. 75. Die Berechnung aller übrigen Falle lässt sich durch das Polardreieck (§. 68) auf die bisher erörterten zurückführen; wenn man in den Formeln überall für A, B, C setzt 4 80°—o, ) — — i ; wennCotg>=TgCcosa Cos G , , Sin C sin a 7 2 ) . . ( 6 7 ) . . Sin 73, ..(68)..Sin ( b — y ) = c o t A tg C sinif; weon lg