Sammlung von arithmetischen und algebraischen Fragen und Aufgaben: Heft 2 Für obere Klassen [3. Aufl., Reprint 2021] 9783112599983, 9783112599976

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Sammlung von

arithmetischen und algebraischen Fragen und Aufgaben, verbunden mit einem systematischen Aufbau der

Begriffe, Formeln und Lehrsätze der

Arithmetik, für höhere Schulen von

Dr. Hermann Schubert Professor an der Gelehrtensckule des Johanneums in Hamburg.

Zweites Heft: Für obere Klassen. Dritte Auflage.

Potsdam 1896. Verlag von August Stein. Jäger-Kommunikation 9.

Das auf beide Hefte zugleich bezugnehmende Vorwort befindet sich im ersten Heft.

Inhaltsverzeichnis. § 27. § 28. § 29. § 30. § 31.

§ 32.

§ 33.

Fünfter Abschnitt: Quadratisches. Leite Das Quadrieren und seine Unikehrung ......................... . 225 Einfache quadratische Gleichungen .............................................. 236 Dritte Erweiterung des Zahlengebiets (Irrationale Zahlen), Rechnen mit irrationalen Quadratwurzeln............245 Vierte Erweiterung des Zahlengebiets (Imaginäre Zahlen) . 259 Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten in arith­ metischer Sprache, teilweise mit irrationalen und ima­ ginären Wurzeln........................................................ -68 Eingekleidete quadratische Gleichungen mit einer Unbe­ kannten ......................................................................... 279 Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten in arithmetischer Sprache....................................... 285

Eingekleidete quadratische Gleichungen mit mehreren Un­ bekannten ................................................................. .294 Historisches zu Abschnitt V............................................................. .... . 301

§ 34.

Sechster Abschnitt: Die drei Operationen dritter Stufe. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten............................ 303 Wurzeln......................................................................................... 311 Potenzen mit gebrochenen und irrationalenExponenten . • 323 Logarithmen.............................................................................. 328 Geometrische Reihen und ihre Anwendungen,insbesondere auf die Zinseszins- und Rentenrechnung......................................... 344 Historisches zu Abschnitt VI.......................................................................... 359

§ 8 § § §

35. 36. 37. 38. 39.

Siebenter Abschnitt: Kombinatorik, Kettenbrüche, Diophantische Gleichungen. § 40. Permutationen................................................................................ 361 § 41. Kombinationen und Variationen.............................................. 364 § 42. Wahrscheinlichkeitsrechnung......................................................... 373 § 43. Der binomische und der polynomische Lehrsatz...................383 § 44. Kettenbrüche ............................................................................. 388 § 45. Diophantische Gleichungen........................................................... .399 Historisches zu Abschnitt VH........................................................................... 409

Anhang: § 46. Arithmetische Reihen höherer Ordnung......................................... 411 § 47. Kubische Gleichungen....................................................... 414 § 48. Funktionen, graphische Darstellungen, Maxima und Minima 420 § 49. Unendliche Reihen........................................................................ 427 § 50. Gleichungen im allgemeinen................................................. 439 § 51. Lösung von Gleichungen durch Näherung...................... 445 Historisches zum Anhang............................................................................ - 448 Alphabetisches Register................................................................................. - 450 Druckfehler-Verzeichnis zu beiden Heften.....................................................452

Das erste Heft enthielt: Erster Abschnitt: Einführung in die arithmetische Sprache. Seite § 1. Die vier Species in arithmetischer Sprache........................... 1 8 2. Reihenfolge der Rechengeschäfte............................................... 6 § 3. Buchstaben-Ausdrücke........................................................................... 12 § 4. Buchstaben-Gleichungen...................................................................... 18 Historisches zu Abschnitt I.......................................................................... 23

Zweiter Abschnitt: Operationen erster Stufe. § 5. Begriff der Zahl................................................................................ 24 § 6. Begriff der Addition........................................................................... 31 § 7. Begriff der Subtraktion...................................................................... 37 § 8. Gesetze der ersten Stufe..................................................................... 42 § 9. Erste Erweiterung des Zahlengebiets (Null und negative Zahlen) 50 Historisches zu Abschnitt II.......................................................................... 61 Dritter Abschnitt: Operationen zweiter Stufe. § 10. Begriff der Multiplikation............................................................... 62 §11. Begriff der Division.......................................................................... 79 § 12. Gesetze der zweiten Stufe............................................................... 88 § 13. Zweite Erweiterung des Zahlengebiets (Gebrochene Zahlen) . 103 Historisches zu Abschnitt III........................................................................ 123 Vierter Abschnitt: Anwendungen der Gesetze der Operationen erster und zweiter Stufe. Wichtige Berwandelungsformeln...................................124 Die kanonische Form der Ausdrücke ........................................ 129 Proportionen.................................................................. 132 Eigenschaften der natürlichen Zahlen........................ 140 Zahlsysteme und Zahlzeichen........................................ 149 Dezimalbrüche.................................................................. 154 Maße.................................................................................. 165 Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten in arith­ metischer Sprache 172 § 22. Eingekleidete Gleichungen ersten Grades miteiner Un­ bekannten 182 § 23. Gleichungen erst n Grades mit mehrerenUnbekannten in arithmetischer Sprache........................................ 196 § 24. Eingekleidete Gleichungen ersten Grades mitmehreren Unbekannten.................................................................. 207 § 25. Zwölf Gleichungen aus der griechischen Anthologie .... 214 § 26. Arithmetische Reihen erster Ordnung.........................217 Historisches zu Abschnitt IV........................................................................ 222 Alphabetisches Register.............................. 223

§ § § § § § § §

14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Fünfter Abschnitt. Quadratisches. 8 27.

Das Guadrieren und seine Umkehrung. (ab)2 = a2b2; (a: b)2 = a2: b2; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a—b)2 = a2—2ab + b2; (a + b + c)2 = (a2 + 2ab + b2) + 2 (a + b) c + c2.

Definition der Quadratwurzel: (]/q)2 = q; Vq2 = q. Väb — V» • Vb j ]/a: b = Va : Vb.

A) Die Geometrie lehrt, daß man den Inhalt eines Quadrats findet, indem man die Zahl, welche angiebt, wieviel Längen-Einheiten die Seite des Quadrats hat, mit sich sebst multipliziert und dem erhaltenen Produkte die entsprechende Flächen-Einheit als Benennung giebt, also z. B. Meterquadrate oder Quadratmeter sagt, wenn die Längen-Einheit das Meter war. Deshalb nennt man auch in der Arithmetik a • a oder a2 das Quadrat von a, und die Operation, welche darin besteht, daß man eine Zahl oder einen Ausdruck mit sich selbst multipliziert, quadrieren. Es ist z. B. das Quadrat von 16 gleich 256, von | gleich -f9^, von lf gleich 3^6 • Das Quadrieren kann auch als ein Potenzieren mit dem Ex­ ponenten 2 aufgefaßt werden (§ 10 H, § 35), z. B. 162 — 256, (|)2 —

3V

Ui)2 = t Die Gesetze über das Quadrieren folgen unmittelbar aus den Gesetzen der Multiplikation. Namentlich beachte man: 1) Ein^ zweigliedrige Summe wird quadriert, indem man zur Summe der Quadrate ihrer Summanden daK ^doppelte

Produkt dieser Summanden addiert. 2) Eine Differenz wird quadriert, indem man Minuendus und Schubert, Arithmetik. 3. Aufl. 15

226

§ 27.

Das Quadrieren und seine Umkehrung.

§ 27.

Subtrahendus quadriert und von der Summe der erhaltenen Quadrate das doppelte Produkt aus dem Minuendus und Sudtrahendus subtrahiert. 3) Eine mehrgliedrige Summe wird quadriert, indem man eine algebraische Summe aus den Quadraten aller Glieder und aus allen möglichen doppelten Produkten je zweier Glieder bildet, sodaß jedes Quadrat positiv wird, jedes doppelte Produkt aber positiv oder negativ wird, je nachdem die Glieder, aus denen es hervorgeht, gleiche oder ungleiche Vorzeichen hatten. Z. B.:

(a—b + c — d)2 — a2 + b2 + c2 + d2 — 2ab + 2ac—2 ad—2bc4-2bd — 2 cd. B) Wenn man in a2 = q nicht wie bei dem Quadrieren a als ge­ geben und q als gesucht, sondern umgekehrt q als gegeben und a als ge­ sucht betrachtet, so entsteht die zur Quadrierung umgekehrte Operation, welche man Quadratwurzel-Ausziehung oder kurz Wurzel-Aus­ ziehung (Radizierung) nennt. Man versteht also unter Quadrat­ wurzel aus q, geschrieben: ]/q, die Zahl, welche, mit sich selbst multipliziert, q giebt. Demnach ist a = ]/q~nur eine andere Aus­ drucksweise für a2 = q.

Hieraus ergiebt sich die

Definitionsformel der Quadratwurzel: (j/qf)2 — q.

Ebenso erkennt man auch die Richtigkeit der Formel Vq2 — q. Beide Formeln geben den Satz: Quadrierung und Quadratwurzel-Aus­ ziehung heben sich auf. Die Zahl, aus welcher die Wurzel gezogen werden soll, heißt Radikand. Z. B. in 1/25 ist 25 der Radikand. Das Zeichen V ist entstanden aus dem kleinen lateinischen r, dem Anfangsbuch­ staben des Wortes radix. Die Formeln für das Radizieren ergeben sich aus den entsprechenden Formeln für das Quadrieren. Man beachte:

1) 1/ib = 1/r • Vb; weil (yr. VEr)2 = (VT)2 . (1/b)2 = a . b ist;

2) l/älT = 1/ä: 1/b; weil (V* : 1/b )2 = (1/T)2: (1/b")2 = a:b ist; 3) 1/a2 + 2 ab + b2 = a + b, weil (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 ist;

4) 1/a2 — 2 ab + b2 = a — b, weil (a — b)2 — a2 — 2 ab + b2 ist.

Daß Va + b nicht gleich 1/äT + 1/b" ist, erkennt man daraus, daß (l/ä"+ 1/b")2nicht gleich a+ b,sondern gleich (1/a)2+ 2 • 1/a • Vb-V (1/b )2 = a + b + 21/ab ist.

C) Die Quadrate der natürlichen Zahlen heißen Quadratzahlen. Die ersten 30 Quadratzahlen enthält die folgende Tabelle.

§ 27.

Das Quadrieren und seine Umkehrung.

227

§ 27.

Tabelle der Quadratzahlen. 162 = 256 172 = 289

82 = 64

132 = 169

182 = 324

92 = 81

142 = 196

IO2 = 100

152 = 225

62 = 36 72 == 49

32 = 9 42 == 16 52 = 25

Da

ll2 = 121 122 = 144

12 = 1 22 == 4

/a\2

212 = 441

262 = 676

222 = 484

272 = 729

192 = 361

232 = 529 242 = 576

292 = 841

202 = 400

252 = 625

302 = 900

282 = 784

a2

= p ist, so ist jedes Quadrat entweder eine Quadratzahl

oder der Quotient zweier Quadratzahlen.

Deshalb hat Vq vorläufig (§ 29)

nur Sinn, wenn q eine Qnadratzahl oder der Quotient zweier Quadrat­

zahlen oder endlich ein Quotient ist, der sich durch Heben in den Quotienten

zweier Quadratzahlen verwandeln läßt.

Daraus, daß 102 die erste dreiziffrige, 104 die erste fünfziffrige Zahl u. s. w. darstellt, ergiebt sich leicht, daß das Quadrat einer natür­ lichen Zahl entweder doppelt soviel Ziffern hat als diese, oder nur eine Ziffer weniger. Umgekehrt ist also die Quadratwurzel aus einer

tziffrigen oder 2ziffrigen Zahl: Iziffrig, Zziffrigen oder 4ziffrigen Zahl: 2ziffrig, öziffrigen oder 6ziffrigen Zahl: Zziffrig u. s. w.

Das Quadrieren einer mehrziffrigen Zahl kann man dadurch bewerk­

stelligen, daß man dieselbe als Summe von Vielfachen ihrer dekadischen Einheiten (§ 18) darstellt und dann die Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 anwendet, oder die aus dieser hervorgehenden Formeln: (a + b + c)2 = (a2 + 2ab + b2) + 2 (a + b).c + c2; (a + b4-c + d)2 = [(a2 + 2ab + b2)4-2(a + b)c + c2] + 2(a + b + c)d4-d2;

u. s. w.

Beispiel für das Quadrieren. Ausführlich:

Abgekürzt:

4792 — (a + b + c)2, wo a = 4 • 100

a2 = 160000 b = 7. 10 2ab= 56000 c = 9b2= 4900 2(a + b)c= 8460

c2= 81 4792 = 229 441

4792

16 56

1 ist. =

49

846 81 = 229441.

D) Durch Umkehrung des eben besprochenen Verfahrens erhält man das Verfahren der Quadratwurzel-Ausziehung. Man erkennt die Rich­ tigkeit desselben, wenn man das folgende Beispiel mit dem Beispiel in C vergleicht.

228

§ 27.

Das Quadrieren und seine Umkehrung.

§ 27.

Beispiel für die AnSziehung der Quadratwurzel. Ausführlich:

Abgekürzt:

V229441=a+b+c,roo y22'94'41 =479.

160000 =a2 a=400 16 09441 b= 70 69'4 2 a =800) 56000= 2 ab c= 9 8 )56 49 13441 wird. 4900=b2 609 854'1 «541 94 )846 = 940 )8460=2 (a + b) c 81 81 81=c2 8541

Noch kürzer, da V , Ist_ /nÄ , i \i 2ab4-b2=(2a+b)btft: 1/22'94'41=479.

16 6 94 87 )6 09 85 41 949)8541

Nach derselben Methode findet man auch zu jeder beliebigen natür­ lichen Zahl die Quadratwurzel aus der nächst kleineren Quadratzahl. Z. B.:

(a + b + c)2 < 229400 < [a + b + sc + l)]2, roo a = 400 160000 = a2 b = 70 69400 c = 8 ist. 2a = 800) 56000 = 2 ab 13400 4900 = b2 8500 2(a + b) = 940 )J7ö2O = 2 (a + b) c und 8460 = 2 (a + b) (c + 1) 980 40 64 = c2 81 = (c + l)2 Rest: + 916; Rest: —41. Also ist: 4782< 229400 25b2 + 60ac -j- 30bc + 9c2 162) 12x3 + 9x4 + 46x2 49 — 28x 162J V4x6 + x2 -H 9 — 4x4 + 12x3 — 6x 1622) Vx8—6x7-|-9x6— 14x5-|-44x4— 6x3-)-49x2— 14x-|-l 163) V4 + 121x6 + 114x3 + 154x5 + 159x4 + 53x2 + 20x 164) V4 p2q2—40pq2s4~56p2qs -j~100q2s2—280pqs2-|-196 p2s2 165) |/ya2 — + 25b2 — 8ac + 30bc + 9c2

166) l/Ä-l + i-P2 + l(2--^ + y L u di ob 167) ]/p4 + 2p3 +7 + 2p + 4 + | + 168) ]/Vx4+4x3+6x2+ 4x+1 169) l/VF-4x3+6x2-4x+1. Berechne durch Zerlegung in Faktoren:

170) V9216

171) V27Ö4ÖÖ 172) V58564 173) V3-8748

174) Vö3 • 8192Ö 175) V24 • 33 • 7 • 1029 176) 177) Welches sind die beiden Zahlen, die durch Quadrierung a) 16; b) 289; c) 2,89; d) f; e) 2f; f) 3V0 liefern? 178) Man weiß sicher, daß a2 — b2 ist. Weiß man dann auch sicher, daß a = b ist? 179) Man weiß, daß x eine negative Zahl ist, und daß x2 — 100 ist. Wie groß ist x? 180) Kann man aus a2 < 100 schließen: — 10 < a < +10? 181) Was kann man aus a2 > als 100 schließen? 182) Warum ist die Behauptung, daß Größeres radiziert Größeres giebt, nicht unbedingt richtig? 183) Wie muß man das Gleichheitszeichen lesen, wenn man aus x2 = a2 — 2ab + b2 den Schluß zieht x = a — b? 184) Wo macht man einen Fehlschluß in dem folgenden Beweise, daß 9 — 5 ist? „Es ist 9 + 5 — 2-7, also auch, wenn

236

§ 28.

Einfache quadratische Gleichungen.

§ 28.

man mit 9 — 5 beiderseits multipliziert, 9* — 52 = 2 • 7 • 9 —2-7-5 oder92— 2 - 9 - 7 — 52 — 2 - 5 - 7, woraus folgt: 92—2 • 9 • 7 + 72 = 52—2 • 5.7 + 72. Nun steht links das Quadrat von 9 — 7, rechts das von 5 — 7. Also ist 9 — 7 = 5 — 7 oder 9 = 5." _ 185) Wie liest man: „Aus x2 — 16 folgt x = + V16 = + 4" ? 186) Was folgt aus x2 — p: a) für x, b) für — x? 187) Aus a = b folgt + Va = + Vb. Dies sind der Form nach vier verschiedene Gleichungen, doch dem Inhalt nach nur wieviel? Bei der Berechnung der folgenden Ausdrücke beachte, daß das Wurzel­ zeichen eindeutig aufzufassen ist: (z. B. 1/T= 2, — f/4 = —2.)

188) 50+ V1849 191) 7i-i-V36

189) 50—VI^49 190) 7f—V36 192) 10-^0^24336

193) 10 + ^1/24336 194) V243,36 — V225 195) V7921 — V64ÖÖ+3 .V4900 196) J+|V361—|V4ÖÖ? 197) Welche von den folgenden Quadratwurzeln haben vorläufig keinen Sinn: V25; V —25; V26; VIÖ; V16—25; yi)-’ ^^4+29? § 28.

Einfache quadratische Gleichungen. A) Rein-quadratisch heißt jede Gleichung, welche sich durch Um­ formung schließlich auf die Form x2 = d bringen läßt-

Bei dieser Um­

formung hat man dieselben Operationen vorzunehmen, wie bei den in

§ 21 u. f. behandelten Gleichungen, namentlich also Brüche fortzuschaffen,

in deren Neuner x vorkommt, Klammern zu lösen, welche x enthalten, u. s. w. Ist man so auf eine Gleichung von der Form ex2 — f gestoßen, so dividiere man durch e, den Koeffizienten von x2.

Dadurch erhält man x2 — —.

Stellt

nun y eine positive Quadratzahl oder den positiven Quotienten zweier Quadrat­ zahlen dar, so erhält man nach § 27G zwei Werte für x, nämlich +1/X r-f V e uni)-]/!. Z. B.:

Aus x-p-^- = x

A erhält man durch Umformung zunächst

8x2 — 50, also x2 = ^ = ^, woraus sich für x die .1/25 5 . 1/25 5 + V ~£= + -2 unb — }/— = — — ergeben.

beiden Werte

§ 28.

Einfache quadratische Gleichungen.

237

§ 28.

Wenn in der Gleichung ex2 — t der Koeffizient e von x2 selbst schon

eine Quadratzahl ist, so kann man unmittelbar die Quadratwurzel ziehen, z. B.: 9xs = 110s giebt 3x = + VNr = ±

also x = 1+ 34

l—

B) Gemischt-quadratisch, allgemein - quadratisch, oder auch nur quadratisch heißt jede Gleichung, welche sich schließlich auf die geordnete

x2 + ax + b = 0

Form:

bringen läßt, wo a und b, die Koeffizienten der Gleichung, bekaunte

Zahlen sind.

Giebt es dann eine Zahl, welche, für x gesetzt, die Gleichung

beftiedigt, so giebt es auch noch eine zweite solche Zahl.

Diese beiden

Zahlen, die beiden Wurzeln der gegebenen Gleichung, lassen sich mit

Hilfe der Formeln:

Vx’+ax+ (|)8 = x + | unb ]/x2-ax+ (|)8 = x-| durch Radizierung leicht bestimmen, wie folgende Beispiele zeigen:

1) x2 — 8x + 15 = 0

2) x2 + 23x + 60 = 0

x2 — 8x — — 15

x2 + 23x = — 60

x2 — 2 • 4 • x = — 15

x2 + 2 •

x2 — 2 • 4 • x + 42 = 16 — 15

x2

(x - 4)2 = 1, also

(x + ^)2=^, also

x —4 = ±V1 = { + 1

x+ V =±^=[+3 l 2

folglich x

folglichx = - ^ + ^=-3,

4 + 1 = 5,

aber auch x = —20.

aber auch x — 4 — 1 — 3.

3) (4x+3)(2x-l)+(4x-5)(x+2) = 4 (x2 — 13x — 5)

giebt durch Vereinfachung: 8x2 + 57x4-7 = 0

• x = - 60

+ 2.^.x+(V)2=^F-60

4)

llx —19

7 —x

X— 1 X+ 1 giebt durch Vereinfachung: 6x2 — 16x — 6 = 0,

und deshalb die geordnete Form:

und deshalb die geordnete Form:

X2 + V X + l = 0.

x2 —f x—1=0.

Hieraus folgt nacheinander:

Hieraus folgt nacheinander:

x2 — Ax = 1 x2 —2.|.x = 1

I2-2.|.x+^ = V + 1 (x-1)2 = V x-t=±yy.=|+i V

i 5__ q alfox = n + |_ j ( 4

"5

§ 28.

238

Einfache quadratische Gleichungen.

§ 28.

C) Das aus den obigen vier Beispielen ersichtliche Verfahren der Auf­ lösung der quadratischen Gleichung beruht im wesentlichen auf der Ergänzung der linken Seite zu einem vollständigen Quadrate, d. h. zu dem Qua­ drate einer Summe oder einer Differenz. Um die Wiederholung dieses

Verfahrens an jedem neuen Beispiel zu vermeiden, gestaltet man dasselbe allgemein, indem man in derselben Weise die Buchstaben-Gleichung xa + ax + b = 0 behandelt. Dann erhält man nach und nach:

X1 + ax=—b, x« + 2.|.x = -b,x«+2.|.x + (|)2=(|)2-b, (;+i)‘=©■ -». * *+1=±

Die beiden Werte, welche sich bei der Auflösung jeder quadratischen

Gleichung für x ergeben müssen, pflegt man mit xt und x2 zu bezeichnen. Es folgt also aus

Natürlich darf man diese Formeln erst dann anwenden, wenn man die gegebene Gleichung auf die geordnete Form gebracht hat. Beispiele: 1)

x2 — 8x + 15 = 0.

Hier ist a = — 8, b = + 15.

Also:

x = + 4 + ]/ 42 — 15 — 4 + 1, d. h. Xi — -s- 5 und x2 — + 3.

2) v 1

x2 — 23x + 60 = 0. 23

Hier ist a = — 23, b = + 60. Also:

1/232 23 1 .---------------23 1 ± v -±— 60 = y + y V232 — 240 = y ± y V289

3) 5xa + 16x — 144 = 0. Die Gleichung gewinnt erst dadurch

die geordnete Form, daß man durch 5 dividiert.

xJ + x/x —1-^=0.

Hier ist a = +

8 1/88 , 144 _ x------- 6 — * 6

Also:

b = — 4" , folglich:

8 , 1/64 + 720 _ — 8+ ^784 5 i ' 52 5

— 8 + 28__ s + 3 4** ------------- 5 l-H

In derselben Weise lassen sich auch quadratische Buchstaben-Gleichungen lösen, z. B.: 4) x2 + 2(p + q)2 — 9pq + 3px — 3qx giebt die geordnete Form:

x2 — 3x • (p — q) — (5pq — 2p2 — 2q2) — 0.

Hier ist a = — 3(p — q),

b = — (5pq — 2p2 — 2q2).

§ 28.

Einfache quadratische Gleichungen.

§ 28.

239

q) ± ]/9(P 4 q)2 + 5pq — 2pa - 2q’

Folglich ist x = —P2

_ 3(P — q)

2

Vp2 + 2pq + q2 2

Daraus ergießt sich x = —?—also x, = 2p—q und

xa = p — 2q. D) Aus x2 + ax + b = 0 folgte:

Addiert man diese beiden Werte, so erhält man: I

3i

ä

X1+2£2=----2=-aMultipliziert man sie, so erhält man:

=H)! - (W3?=?-GM ==+*• Diese Resultate heißen in Worten: 1)

Die Summe der beiden Wurzeln einer quadratischen

Gleichung ist gleich dem negativen Koeffizienten vonxin ihrer

geordneten Form. 2)

Das Produkt der beiden Wurzeln einer quadratischen

Gleichung ist gleich dem positiven, von x freien Gliede in ihrer

geordneten Form.

Es hatte z. B. die Gleichung x2 — 8x + 15 = 0 die Wurzeln 5 und 3,

und es ist 5 + 3 = — (— 8), sowie 5 • 3 = + (+ 15).

Hiernach läßt sich die geordnete Form einer quadratischen Gleichung leicht angeben, wenn man ihre beiden Wurzeln kennt. Sind z. B. 7 und 4 die Wurzeln, so heißt die zugehörige Gleichung x2 — (7 + 4)x + 7 *4=0

oder x2 — llx + 28 = 0. E) Wegen der beiden in D bewiesenen Sätze kann man, wenn xt und

x2 die beiden Wurzeln der Gleichung x2 -s-ax 4-b—0 bedeuten, auch setzen:

x2 + ax + b = (x — xx) (x — x2). An dem rechts stehenden Produkte erkenn: man unmittelbar, daß der quadratische Ausdruck x2 + ax + b in zwei Fällen null wird, erstens,

wenn x = xlz zweitens, wenn x = x2 gesetzt wird; denn im ersten Falle wird der erste Faktor x —x1# im zweiten Falle der zweite Faktor x — x2 gleich null.

Man kann deshalb die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

unmittelbar erkennen, sobald es gelingt, ihre linke Seite in ein Produkt von der Form (x—xj (x —x2) zu verwandeln, während ihre rechte Seite null ist. Auf diese Methode, die Wurzeln der Gleichungen zu bestimmen, ist schon in § 21 G aufmerksam gemacht. Umgekehrt kann man auch durch Auflösen einer quadratischen Gleichung

Ausdrücke von der Form x24-ax + b in solche Produkte verwandeln, oder,

§ 28.

240

Einfache quadratische Gleichungen.

wie man sagt, in lineare Faktoren zerlegen.

§ 28.

Soll man z. B. den

Ausdruck x2 — 15x + 56 in lineare Faktoren zerlegen, so setzt man x2 — 15x + 56 gleich null und sucht die Wurzeln der entstandenen, quadrattschen Gleichung.

Diese sind 8 und 7.

Mso ist x2 — 15x + 56=(x — 8) (x—7).

Ebenso findet man x2 + 29x + 168 = (x + 21) (x + 8), weil

x2 + 29x + 168 = 0 die Wurzeln — 21 und — 8 hat.

Auch Ausdrücke von der Form ex2 + dx + e können derartig zer­ legt werden. Man hat nur den Faktor c vorher abzusondern. Z. B.: 3x2-22x4-35 = 3(x2 — ^x4-^) = 3(x —|) (x —5)=(3x—7)(x—5), ferner 6x2 - x - 70 = 6 (x2 - | - ^) = 6 (x +

(x -1)

= 3(x 42(x-7) = (3x 4- 10) (2x - 7). F) Bei den eingekleideten, quadratischen Gleichungen hat man zu

beachten, daß von den beiden Werten, welche man stets aus der arith­ metisch ausgesprochenen Gleichung für die Unbekannte erhält, nicht

immer jeder eine Antwort auf die in Worten ausgesprochene Frage erteilt.

Wenn z. B. eine Anzahl von Personen als Unbekannte betrachtet

ist; und nur eine der beiden Wurzeln eine positive, ganze Zahl ist, so kann auch nur diese die Frage nach der Personenzahl beantworten. Sind beide Werte der Unbekannten mit der in Worten gestellten Frage unver einbar,

so müssen die in der Aufgabe gemachten Angaben einen inneren Widerspruch enthalten.

Eine negative Wurzel läßt sich bisweilen in der § 22 B 6 an­

gegebenen Weise deuten.

Kei«-q«adratUch. 2) 4 = 4 3) 5) 2x2 = 72 6) 8) 0,64 = 16x2 9) ll)x.^ = 26A 12)

1) 4) 7) 10)

x* = 25 x2-Jg = 0 1,44 = (2x)2 f-9f = 0

13) 15) 17) 18)

x(x+5) = 5(x+20) (x—4)(x—5) = 9(4—x) 2x(x-|-l)+3(x—12) = 4(-—-)—4=o

xa-|| = o 3x2 = 0,5 • x = ^ (x+l)(x-i)=0

14) 18(x-|-32) = 2x(9+2x) 16) (x4-3)(x—4)=52—x x(x4-5) 19) ^±4+^j=3x;~12

20) (2x + 3)2 + (3x — 2)2 = (8x + 1) (3x — 1) + 30 21) x2 = 7,84 22) x8 = 37636 23) 4284900 = x2 24) 3x(x+l)=:3x+2478843 25) x + 3 = 2x+^846

26) x2 = a2 27) x2—a2=b8+2ab 28) x2—3a2b2=(ab)2 29) 4(x2—c2—d2)—8cd=0 30) px8=p8(p+4q)+pq2.

§ 28.

Einfache quadratische Gleichungen.

§ 28.

241

Gemischt-quadratisch 31) x2—4x = 12 32) x2—6x = 7 33) x2+8x—33=0 34) x2—5x—14=0 35) x(x—7) = 78 36)x2—6x+5=0 37) x2-llx + 24 = 0 38) x2-20x4-64=0 39) x2—16x = -39 40) x2 +8x + 15 = 0 41) x2-i-29x4-210=0 42) x2 4-73x4-210=0 43) x2+25x4-84=0 44) x2-25x-i-84=0 45) x24-25x-84 = 0 46) x2—25x—84=0 47) x2-30x-i-221=0 48) x24-30x4-221=0 49) x2 — 145x + 1224 = 0 50) x2 + 145x + 1224 = 0 51) x2 - 145x — 1224 = 0 52) x2 + 145x + 1224 = 0 53)x2+ 73x+ 1320 = 0 54) x2 + 122x + 1320 = 0.

55) x(x + l) = 5x + 5 56) (x —5) (x — 8) + 2 = 0 57) (x - 4) (x —15)+30 = 0 58) (x —13) (x —14) = 2 59) x2 — fx —1 = 0 59j) x2 — |x = 24 60) 4x2—5x = 2l 61) 5x2+12x = 17 62) 7x2-jx = 5| 63) x2+ 2 =| 64) (x—4)2+2 (x +3) . ........................ ■“ = 177 65) 14x2— y-x+l = 0 66) 3x2—0,75x + A = 0 67) 4x2+l,5x +0,125 = 0 69)(|+l)2-| = fx 68)8x2 = f (x+1) 71) (2x—l)8 —|— (4—x)2 = 10 72)(x+4)(x-3) + (x-l)(x-2) = 14 73) (4x—1)2+ (3x— 2)2+ (5x)2=35 74) x2.0,75-|-J = | 75) (2x - 7) (8x- 4) = 0 76) (V^+ ¥) (¥»-8A) = 0 x + 53 16 2x — 1 . 22 —7x 4x — 2 79) x + 2 ' x —2 x2 — 4 3.5 — 3x A

77)x(5x-2) + i

81) - +

----- 4

78)¥^+^y = 10 8°) sEg-lEi = i 82^ 2x4-1 + 3 —x = T

84) x2 + 2ax = b2 + 2ab

83) L_i =

85) x (x + 1) (x + 2) = (x-2) (x- 1) (x + 27) 86) (2x + 3) (3x + 1) (x + 2) = x(6x — l)(x-j- 11) 87) x2 — 6ax = (4a + 1) (4a — 1) - 2 (5a — 1) 88) x2 + ab = ax-j-bx 89)pq-|-px = x(x-|-q) q. , 4ax -j- 2an 16 a*—2an 90)^* + ^^ = 2 x + |n —

=0

x + 2ä

93) c (ax — b) (2ax+3b) — 0.

242

§ 28.

Einfache quadratische Gleichungen.

§ 28.

94) Gieb Summe und Produkt der beiden Wurzeln jeder der folgenden Gleichungen an. ohne dieselben aufzulösen: a) x2 — 8x4-7 = 0, b)x2—15x4-56=0, o) x2-s-16x 4-48 = 0, d) x2—30x—31 = 0, e) x2-|-28x—75 = 0, . f) 2x2 — 16x + 30 = 0. 95) Wie lautet die geordnete Form derjenigen Gleichung, welche die Wurzeln besitzt: a) 1 und 2, b) 3 und 5, c) 7 und 3, ä)-7und3,«)— 7und— 3, f)7unb—3,g) Hund—100? Die Wurzeln der folgenden Gleichungen sind ganze Zahlen.

Rate

dieselben mit Anwendung der beiden in D) ausgesprochenen Sätze:

96) 98) 100) 102) 104) 106) 108) 110) 112)

x2—(2x-|-6x)4-2.6=O 97) x2—15x-)-44 = O x2—17x4-70 = 0 99) x2-|-17x4-70 = 0 101) x84-llx—26 = 0 x2 — llx — 26 = 0 103) x2—5x4-6 = 0 x8— 16x-|-63 = O x24-5x4-6 = O 105) x2-s-5x —6 = 0 x9—5x-6 = O 107) x24-24x-j-143 = 0 X2—(p4-q)x4-pq = 0 109) x2 — (p — q)x—pq= 0 x2—(2a—3b)x+6ab=0 111) x8=2ab-|-2ax—bx x2—(a2—b2)x = a2b2 113) x (x-s-v-s-5ä)-s-5oä = 0. Bestimme die Wurzeln der folgenden Gleichungen durch „Faktoren-

Zerlegung":

114) (x —3) (x —10) = 0 116) (2x — 5) (x-f-13) = 0 118) (2x4-Ä)(x —0,l)=0 120)(l-|)(24-16x) = 0

115) (x-s-3) (x—10) = 0 117) (4x 4- 3) (7x — i) = 0 119) 5x (x 4- 3) = 0 121)(4-l)(7 + 3x) = 0

122) (4-x) (| + t) = 0

123)5(4— x) = |x(x-4) 124) (4 —x) (x-s-1) = (8—2x) (5x—9) 125) (3x4-1) (4x—7) = (2x—D (5x - 1) 126) (|+4) (7-.)=3+4z 127) i±A = it» 128) (x+2^(^0,2A)=9(x-|-2) 129) ^+|)^x~1)=(2x+l)»0,3 130) 3| —x=(15—4x)^±|

131) (x—3a) (x-s-b) = 0

132) (2x-|)(b-3|x)4-(2x-|) (x-b) = 0

133) (4-A) = (4.-1) (7.-6)

134) x-|-2ab4-2b8 = 3 [x 4- 2b(a-(-b)]x.

Die folgenden quadratischen Ausdrücke sollen durch Auflösung einer quadratischen Gleichung in lineare Faktoren zerlegt werden (vgl. E):

135) 138) 141) 144) 147) 149) 152)

x2+8x+15 136) x2—8x4-15 137) x24-x-20 x2—x—20 139) x24-32x4-60 140) x2—20x4-51 x24-2x—360 142) x2—5x—500 143) 2x24~33x—54 5x24-8x—21 145) 12x2-32x+21 146) 15x2-4x—35 12x24-x —221 148) 80x24-818x4-551 x2 — x—l—1 150) x2—Äx-Hf 151) x84-2^14-1 x24-(e4-f)x-|-ef 153) x2—2ax —3bx-|-6ab.

154) Die Gleichung x24~ax — 0 soll sowohl durch Zerlegung in Faktoren, wie auch dadurch gelöst werden, daß in der Formel x = —y+ 1^(1)8 — b die Zahl b gleich null gesetzt wird. 155) Können bei einer rein-quadratischen Gleichung die beiden Wurzeln von null verschieden und doch gleich sein? 156) Beweise, daß die beiden Wurzeln der Gleichung x2+ax+b=0 einander gleich sind, wenn b — (4)2 ist.

157) Wenn die beiden Wurzeln der Gleichung x24-ax-|-b — 0 einander gleich sind, so muß b — (4)2 sein. Beweise dies:

a) durch Gleichsetzung der Formeln für xt und Xz, b) durch Zerlegung von x84~ax-|-(4)8 in zwei Faktoren 158) Man weiß, daß die beiden Wurzeln der Gleichung x24-10x 4-b = 0 einander gleich sind. Wie groß muß b sein? 159) Warum muß man vorläufig sagen, daß die Gleichung x2 4~ ax 4- b — 0 überhaupt keine Wurzel hat, sobald (4)2