Sammlung von arithmetischen und algebraischen Fragen und Aufgaben: Heft 1 Für mittlere Klassen [4. Aufl., Reprint 2021] 9783112393222, 9783112393215

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Sammlung von

arithmetischen und algebraischen Fragen und Aufgaben, verbunden mit einem systematischen Aufbau der

Begriffe, Formeln und Lehrsätze der

Arithmetik, für höhere Schulen von

Dr. Germann Schubert Professor an der Gelehrtensckule des JohaunenmS in Hamburg.

Erstes Heft: Für mittlere Klaffen.

Vierte Austage.

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Potsdam 1896. Verlag von August Stein. Jäger-Kommunikation S.

AuF dem Vorwort zur ersten Auflage. Das vorliegende Buch enthält erstens einen systematischen Aufbau der Begriffe, Formeln und Lehrsätze der Arithmetik und Algebra, welcher wissenschaftlichen und didaktischen Prinzipien

int gleicher Weise Rechnung trägt, zweitens ein reichhaltiges Übungsmaterial von Fragen und Aufgaben auf allen Ge­ bieten des arithmetischen Gymnasial-Unterrichts. Obwohl den Aufgaben im ganzen viel mehr Raum gespendet ist, als den jedem Paragraphen vorangestellten theoretischen Erörterungen, so sollen die letzteren doch ein besonderes Lehrbuch entbehrlich machen. Im Hinblick aus den Zweck des arithmetischen GymnasialUnterrichts, zur allgemeinen Universitätsreife mitzuwirken, habe ich die nur durch Kunstgriffe lösbaren Gleichungen weniger berücksichtigt, als andere Bücher es gethan haben, dagegen durch eine ausführlichere Behandlung der Arithmetik im engeren Sinne die Mittel dazu geboten, daß dem Schüler ein tieferes Ver­ ständnis von dem Organismus der arithmetischen Operationen,

von dem Wesen der negativen, gebrochenen, irrationalen und imaginären Zahlen eröffnet werden könne. In Bezug hierauf möchte ich jedoch folgendes nicht unerwähnt lassen. Da eine naturgemäße Systematik der Arithmetik sich mit einer Einteilung des arithmetischen Unterrichtsstoffs nach Klaffen-Pensen nicht genau vereinigen läßt, so enthalten der zweite und der dritte Abschnitt auch schon solche theoretischen Unterscheidungen und Fragen, welche man aus didaktischen Gründen lieber für eine höhere Unterrichtsstufe reserviert. Es muß daher dem Urteile und der Neigung des Lehrers überlassen bleiben, zu entscheiden, was er aus diesen Abschnitten neben den Umformungen der Ausdrücke und ähnlichem den Schülern schon auf den ersten Unterrichtsstufen bieten, und was er einer Besprechung in höheren Klassen unterziehen will. Selbst diejenigen Fachmänner, welche sich der vom Verfasser gegebenen theoretischen Entwickelung nur teilweise oder gar nicht anschließen mögen, werden doch in dem umfangreichen, geordneten Aufgaben - Material genügenden Ubungsstoff für ihre Schüler finden, und vielleicht auch die

vorgerechneten Muster-Beispiele bei ihrem Unterricht ver­ wenden können.

IV Gelegentlich habe ich nicht allein geometrische und physikalische, sondern auch sprachliche und historische Notizen und Fragen herangezogen, namentlich, wenn dieselben geeignet sind, arithmetische Begriffe nnd Wahrheiten Heller zu beleuchten. Ebenso habe ich geglaubt, dem Buche auch zwölf eingekleidete Gleichungen aus der griechischen Anthologie, einige Aufgaben aus dem antiken Leben, sowie eine Tabelle der griechischen und römischen Maße einverleiben zu dürfen. Durch den ersten Abschnitt, welcher, an den RechenUnterricht anknüpfend, nichts von Begründungen enthält, soll erreicht werden, daß der Schüler mit dem Konventionellen in der Arithmetik (Termini, die im Rechen-Unterrichte weniger ge­ bräuchlich sind, Vergleichungs- und Operationszeichen, KlammerKonventionen, Bedeutung der Buchstaben u. s. w.) vertraut ist, ehe er an die eigentliche Arithmetik herantritt. Zugleich bietet dieser Abschnitt dem Lehrer die Gelegenheit, seine Schüler bereits in den ersten Wochen des arithmetischen Unterrichts durch passende Berechnungs-Aufgaben auch schriftlich beschäftigen zu können. Gleichungen ersten Grades, bei denen die Unbekannte nur an einer Stelle vorkommt, sind schon den Abschnitten II und III an gewissen Stellen eingereiht, da die Lösung solcher Gleichungen sich naturgemäß an die Subtraktion, bezw. die Di­ vision anschließt. Ferner sind die Gleichungen ersten Grades, bei denen die Unbekannte an mehreren Stellen vorkommt, in § 21 derartig rubriziert, daß man mit Leichtigkeit diejenigen heraus­ finden wird, welche man den Schülern schon während der Durchnahme der arithmetischen Sätze geben kann, um ihnen die Erfolge der Buchstabenrechnung greifbar zu machen. Die Expo­ nentialgleichungen sind den Paragraphen über Potenzen und

Logarithmen eingereiht. Potenzen, deren Exponenten natürliche Zahlen sind, habe ich als abgekürzt geschriebene Produkte schon bei der

Multiplikation eingeführt. Dem Abschnitt über die Operationen dritter Stufe habe ich aus praktischen Gründen einen Abschnitt vorangehen lassen, welcher das Quadrieren, die Qua­

dratwurzeln, die quadratischen Gleichungen, das Irrationale und das Imaginäre für sich behandelt.

Die Gründe für diese Einschaltung erkennt man, wenn man bedenkt, daß die Planimetrie und die Algebra den Schüler viel öfter auf die Quadratwurzel, als auf die allgemeine Wurzel führen, und daß die Potenz- und Wurzelrechnung mit allge­ meinen Exponenten erst wichtig wird, wenn das Verständnis der Logarithmen vorzubereiten ist. Daß § 28 nur solche qua­ dratischen Gleichungen enthält, deren Wurzeln reell und rational sind, erscheint selbstverständlich, wenn man beachtet, daß die irrationalen und die imaginären Zahlen erst in § 29 und in § 30 definiert werden. Der Begründung der im Rechen-Unterricht ge­ lernten Algorithmen ist besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Denn der arithmetische Unterricht hat die Pflicht, das bei dem Schüler geweckte Kausalitätsbedürfnis auch hinsichtlich des elemen­ taren Rechen-Unterrichts vollauf zu befriedigen. Aus demselben Grunde ist aus die Begründung des Verfahrens der Quadratwurzel-Ausziehung nicht weniger Wert gelegt, als auf die Ein­ übung dieses Verfahrens. Bei einem großen Teile der Fragen und kürzeren Auf­ gaben hat der Verfasser an eine mündliche Beantwortung in der Klasse gedacht. Um die Benutzung des Buches zu erleichtern, hat jede noch so kurze Frage oder Aufgabe eine besondere Nummer erhalten. Ebenso sind die wichtigsten arithmetischen Gesetze mit besonderen Namen bezeichnet. Hinsichtlich der Rechtschreibung sowie der Abkürzung der Maß-Benennungen sind die gesetzlichen Vorschriften befolgt. Ein besonderes Heft enthält die Resultate aller derjenigen Aufgaben, bei welchen eine Beruhigung des Schülers über die Richtigkeit der gefundenen Lösung wünschenswert erscheint, jedoch die Kenntnis des Resultats ihm die Denkarbeit nicht abnimmt. Obwohl bei der Abfassung dieses Buches in erster Linie an den Gebrauch an Gymnasien gedacht ist, so wird dasselbe doch den Bedürfnissen auch anderer höherer Schulen (z. B. Real­ gymnasien)*) entsprechen können, sofern nur an denselben die Mathematik als Mittel zu allgemeiner Geistesbildung betrieben *) Für Realschulen ist in unserm Verlage ein Auszug aus diesem Buche unter dem Titel „Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra" (Preis broch. 1 Mark) für sich erschienen. Die Verlagshandlung.

VI wird. Einerseits liefert ein kurzer Anhang Aufgaben aus dennjenigen Gebieten, welche die Prüfungs-Ordnung bei Gymnasieien nicht verlangt, bei Real-Gymnasien aber vorschreibt. Andererseitits kann in den wenige Druckseiten umfassenden griechischen Epingrammen (zumal jedem Epigramm der arithmetische Inhalt bin deutscher Sprache hinzugefügt ist), in den bei der Besprechunng der Maße berücksichtigten antiken Maßen und Münzen und bin den Fragen sprachlichen Inhalts kein wesentliches Hindernins gegen die erwähnte Erweiterung des Gebrauchs gesehen werdenn. Auf die Richtung, welche ich seit Jahren bei meinem arithhmetischen Unterricht befolge, und auch bei der Ausarbeitunaig dieser Sammlung befolgt habe, sind namentlich die Arbeiten vovn Graßmann (Lehrb. d. Arithm), Hankel (Vorl. üb. komplexe Zahlen) und Ernst Schröder (Lehrb. d. Arithm.), sowie dme Vorlesungen meines verehrten Lehrers Kronecker, nicht ohn ne Einfluß geblieben. Möge es mir gelungen jein, die Resultante der wissenschaftlichen Studien dieser Männer über da-as System der Arithmetik und über die Erweiterungen des Zahlen ngebiets dem Schulunterrichte soweit zugänglich gemacht zu haben n, wie es didaktische Rücksichten zulassen!

Hamburg, im Februar 1883.

Hermann Schubert

Vorwort zur vierten Auflage. Die vierte Auflage ist ein fast unveränderter Abdruck deier dritten. Hamburg, im März 1896.

Hermann Schubert

VI wird. Einerseits liefert ein kurzer Anhang Aufgaben aus dennjenigen Gebieten, welche die Prüfungs-Ordnung bei Gymnasieien nicht verlangt, bei Real-Gymnasien aber vorschreibt. Andererseitits kann in den wenige Druckseiten umfassenden griechischen Epingrammen (zumal jedem Epigramm der arithmetische Inhalt bin deutscher Sprache hinzugefügt ist), in den bei der Besprechunng der Maße berücksichtigten antiken Maßen und Münzen und bin den Fragen sprachlichen Inhalts kein wesentliches Hindernins gegen die erwähnte Erweiterung des Gebrauchs gesehen werdenn. Auf die Richtung, welche ich seit Jahren bei meinem arithhmetischen Unterricht befolge, und auch bei der Ausarbeitunaig dieser Sammlung befolgt habe, sind namentlich die Arbeiten vovn Graßmann (Lehrb. d. Arithm), Hankel (Vorl. üb. komplexe Zahlen) und Ernst Schröder (Lehrb. d. Arithm.), sowie dme Vorlesungen meines verehrten Lehrers Kronecker, nicht ohn ne Einfluß geblieben. Möge es mir gelungen jein, die Resultante der wissenschaftlichen Studien dieser Männer über da-as System der Arithmetik und über die Erweiterungen des Zahlen ngebiets dem Schulunterrichte soweit zugänglich gemacht zu haben n, wie es didaktische Rücksichten zulassen!

Hamburg, im Februar 1883.

Hermann Schubert

Vorwort zur vierten Auflage. Die vierte Auflage ist ein fast unveränderter Abdruck deier dritten. Hamburg, im März 1896.

Hermann Schubert

Inhalts-Verzeichnis des ersten Heftes. Erster Abschnitt: Einführung in die arithmetische Sprache. Seite § 1. Die vier Species in arithmetischer Sprache ...... 1 § 2. Reihenfolge der Rechengeschäste................................................ 6 § 3. Buchstaben-Ausdrücke..................... 12 § 4. Buchstaben-Gleichungen...................................................................... 18 Historisches zu Abschnitt I.......................................................................... 23

Zweiter Abschnitt: Operationen erster Stufe. § 5. Begriff der Zahl................................................................................. 24 § 6. Begriff der Addition............................................................................ 31 § 7. Begriff der Subtraktion.......................................................................37 § 8. Gesetze der ersten Stufe...................................................................... 42 § 9. Erste Erweiterung des Zahlengebiets (Null und negative Zahlen) 50 Historisches zu Abschnitt II............................................................... 61

Dritter Abschnitt: Operationen zweiter Stufe. § 10. Begriff § 11. Begriff § 12. Gesetze § 13. Zweite Historisches zu

der Multiplikation..................................................................62 der Division............................................................................ 79 der zweiten Stufe.................................................................88 Erweiterung des Zahlengebiets (Gebrochene Zahlen) . 103 Abschnitt III........................................................................ 123

Vierter Abschnitt. Anwendungen der Gesetze der Operationen erster und zweiter Stufe. Wichtige Verwandelungsformeln......................................... 124 Die Haupt-Form der Ausdrücke....................................................129 Proportionen.........................................................................132 Eigenschaften der natürlichen Zahlen...............................140 Zahlsysteme und Zahlzeichen...............................................149 Dezimalbrüche.........................................................................154 Maße........................................................................................ 165 Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten inarith­ metischer Sprache 172 §22. Eingekleidete Gleichungen ersten Grades mit einer Un­ bekannten ........................................................................................ 182 § 23. Gleichungen ersten Grades mit mehrerenUnbekannten in arithmetischer Sprache................................................196 § 24. Eingekleidete Gleichungen ersten Gradesmit mehreren Unbekannten..........................................................................207 § 25. Zwölf Gleichungen aus der griechischen Anthologie . . . 214 § 26. Arithmetische Reihen erster Ordnung............................... 217 Historisches zu Abschnitt IV........................................................................ 222 Alphabetisches Register...................................................................................223

§ 14. §15. § 16. § 17. § 18. § 19. § 20. § 21.

VIII

Inhalts Verzeichnis des zweiten Heftes. Fünfter Abschnitt: Quadratisches. Das Quadrieren und seine Umkehrung. Einfache quadratische Gleichungen. Dritte Erweiterung des Zahlengebiets (Irrationale Zahlen), Rechnen mit irrationalen Qnadratwurzeln. § 30. Vierte Erweiterung des Zahlengebiets (Imaginäre Zahlen). § 31. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten in arithme­ tischer Sprache, teilweise mit irrationalen und imaginären Wurzeln. § 32. Eingekleidete quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten. § 33. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten in arith­ metischer Sprache. § 34. Eingekleidete quadratische Gleichungen mit mehreren Un­ bekannten. Historisches zu Abschnitt V.

§ 27. § 28. § 29.

Sechster Abschnitt: Die drei Operationen dritter Stufe. § § § § §

35. 36. 37. 38 39.

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Wurzeln. Potenzen mit gebrochenen und irrationalen Exponenten. Logarithmen. Geometrische Reihen und ihre Anwendungen, insbesondere auf die Zinseszins- und Rentenrechnung. Historisches zu Abschnitt VI.

Siebenter Abschnitt: Kombinatorik, Kettenbrüche, Diophantische Gleichungen. § 40. Permutationen. § 41. Kombinationen und Variationen. § 42. Wahrscheinlichkeitsrechnung. § 43. Der binomische und der polynomische Lehrsatz. § 44. Kettenbrüche. § 45. Diophantische Gleichungen. Historisches zu Abschnitt VII.

Anhang: § 46. Arithmetische Reihen höherer Ordnung. A 47. Kubische Gleichungen. § 48. Funktionen, graphische Darstellungen, Maxima und Minima. § 49. Unendliche Reihen. § 50. Gleichungen im allgemeinen. § 51. Lösung von Gleichungen durch Näherung. Historisches zum Anhang. Alphabetisches Register. -------------------------

Erster Abschnitt.

Einführung in die arithmetische Sprache.

§ i. Die vier Species in arithmetischer Sprache. A) Das Zeichen

—

liest man

gleich

1B) Namen der viäer Species oder Operationen:

Beispiel:

plus

| minus 1

mal

Die zweite DieersteZahl, Zahl, hier 4, hier 12, heißt: heißt:

durch. Namen des Resultats:

12 + 4—16 Summand Summand Summe Addition ^Subtraktion , 12 — 4 = 8 Minuend Subtrahend Differenz Produkt M«ultiplika1ion 12 .4 = 48 FaktorFaktor 12 : 4 = 3 Dividend Quotient. Divisor Division Summand plus Summand gleich Summe. Minuend minus Subtrahend gleich Differenz. Faktor mal Faktor gleich Produkt. Dividend durch Divisor gleich Quotient.

Addition und Subtraktion heißen Operationen erster Stufe.

Multiplikation und Division heißen Operationen zweiter Stufe. C) Bei jeder Operation findet man aus zwei Zahlen eine dritte. Dieese dritte Zahl heißt je nach der Operation Summe, Differenz, Produkt, Quuotient; sie kann auf doppelte Weise dargestellt werden: entweder aus-

g errechn et, wie in den obigen vier Beispielen: 16, 8, 48, 3; oder uuaussgerechnet, wie: 12 + 4, 12—4, 12 • 4, 12:4.

Unausgerechnet dargestellte Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten nennnt man Ausdrücke. Zwei Ausdrücke sind gleich, wenn sie dieselbe Zahhl darstellen, z. B.: 15 — 6 — 3 - 3, 20 + 8 = 56 : 2. i Schubert, Arithmetik.

4. Aufl.

1

2

§ 1.

Die vier Species in arithmetischer Sprache.

D) Jeden arithmetischen Ausdruck kann man auch rückwärts lesen.

Dann hat man das Plus- und Mal-Zeichen ebenso zu übersetzen, wie beim Lesen von links nach rechts, also mit „plus" und „mal."

Dagegen hat

man dann das

Minus-Zeichen mit „von" Durch Zeichen mit „in" zu übersetzen, z. B.:

7 — 4 mit „4 von 7"

72 : 6 mit „6 in 72". E) Ist eine Zahl nicht gleich einer andern, so ist sie entweder größer oder kleiner. Auch für „größer als" und für „kleiner als" hat man zwei

Zeichen, nämlich: > und


6 .. 9etB

( vorwärts gelesen: 7 größer als 4 ) | rückwärts gelesen: 4 kleiner als 7 |'

b folgt b < a und umgekehrt; oder in Worten: Vertauscht man die beiden Seiten einer Ungleichung, so muß man das Ungleichheitszeichen in das entgegengesetzte ver­ wandeln. VII) Eine Ungleichung behält ihr Ungleichheitszeichen erstens, wenn man da, wo die größere Zahl steht, eine ihr gleiche oder eine noch größere Zahl einsetzt; zweitens, wenn man da, wo die kleinere Zahl steht, eine ihr gleiche oder eine noch kleinere einsetzt. Also in Formelsprache: a > b a > b a > b a < b a < b a < b c > a c = b c < b c = a c < a c = b

c > b a > c a > c

c < b c < b

a < c

VIII) Das Gleichheitszeichen ist in ein Größer-Zeichen zu verwandeln, wenn links größeres oder wenn rechts Kleineres substituiert wird. Das Gleichheitszeichen ist in ein Kleiner-

§ 5.

Begriff der Zahl.

27

Zeichen zu verwandeln, wenn links Kleineres oder wenn rechts Größeres substituiert wird. Also in Formelsprache:

a = b e > a c > b

| ! |

a — b c < b

a = b c > b

a > c

c > a.

1) Ein Schüler zählt die Bänke seiner Klasse, indem er für jede Bank einen Finger seiner linken Hand hochhebt, a) Was kann er behaupten, wenn er schließlich findet, daß alle Finger seiner linken Hand hochgehoben sind? b) Welchen Finger mußte er zuerst hochheben? c) War es gleichgültig, bei welcher Bank er zu zählen anfing? d) Was hat sich bei dem Abzählen als einander gleich erwiesen? e) Was kann der Schüler behaupten, wenn sich findet, daß nach Aufhebung aller Finger noch Bänke da sind, für die noch kein Finger hochgehoben ist? f) Was, wenn sich findet, daß nach Ab­ zählung aller Bänke noch nicht alle Finger erhoben sind? 2) Zähle die Schüler deiner Klasse indem du statt jedes Schülers einen Punkt auf das Papier machst und a) bei dem als Erster sitzenden Schüler, b) bei dem als Letzter sitzenden Schüler, c) bei dir selbst zu zählen anfängst, d) Welchen Namen hat das entstandene Zahlbild im Deutschen, im Französischen und im Lateinischen? e) Welches ist das kurze Zeichen dafür? 3) Bei welchen Spielen wendet man noch jetzt natürliche Zahlbilder an? 3j) Auf welche Weise stellen die Schlagwerke der Uhren die Zahlen von 1 bis 12 dar? 5) Welches Volk des Altertums hatte für die ersten drei oder

vier Zahlen natürliche Zahlbilder? 4j) Jamblichus erzählt, daß die Griechen in der ältesten Zeit die Zahlen durch Aneinanderreihung von Strichen dar­ stellten. Was für Zahlbilder hatten demnach die Griechen in der frühesten Zeit? 4z) Titus Livius erzählt in seiner römischen Geschichte (VII, 3), daß nach einem uralten Gesetze in dem Heiligtume der Minerva, der Erfinderin des Zählens, alljährlich ein Nagel eingeschlagen wurde, um die Zahl der Jahre darzustellen. An derselben Stelle wird erzählt, daß auch im Tempel zu

28

§ 5.

Begriff der Zahl.

Volsinii Nägel gezeigt wurden, die von den Etruskern als Zeichen der Jahreszahl eingeschlagen waren. Inwiefern entspricht diese Sitte der natürlichsten Art des Zählens? 4z) Wie erklärt sich, daß „zählen" im Griechischen ns/wu^st» (ntpns — TiEVTS — fünf) heißt? 5) Jemand, der von einem hohen Berge aus einer Parade zuschaut, zählt ohne Unterscheidung Offiziere, Unter-Offiziere, Gemeine und Konstabler. Welche gemeinsame Benennung könnte er der gefundenen Zahl geben? 6) In welcher Hinsicht darf man Fledermäuse, Vögel und Luftballons unter dieselbe Anzahl zusammenfasfen?

7) Sprich die folgenden Zahlen aus: a) 17, b) 217, c) 3217, d) 43217, e) 543217. 8) Ebenso: a) 273, b) 1883, c) 492753, d) 40397, e) 57029, f) 23001, g) 900005. 9) Bei Zahlen von einer Million an aufwärts, die also mit mehr als 6 Ziffern geschrieben werden, pflegt man von rechts ab nach je 6 Ziffern ein Zeichen oben zu machen, und zwar einen kleinen Strich nach den ersten sechs Ziffern, zwei Striche nach den zweiten sechs Ziffern und so fort. Einen Strich liest man dann Millionen, zwei Striche Billionen und so fort. Lies demnach die folgenden Zahlen: a) 43'476293, b) 456732'193782, c) 123"456789'098765. 10) Die Erde wiegt ungefähr 5 Quadrillionen Kilogramm. Schreibe diese Zahl. 11) Eine Milliarde ist dasselbe wie tausend Millionen. Die von Frankreich nach dem Kriege der Jahre 1870 und 1871 zu zahlenden Kriegskosten betrugen 5 Milliarden Franks. Mit wieviel Ziffern wird diese Zahl geschrieben? 12) Am 1. Dezember 1875 gab es im Deutschen Reiche vier­ undvierzig Millionen siebenhundertsiebennndzwanzigtausenddreihundertundsechzig Menschen. Schreibe diese Zahl. 13) Wieviel Hunderter haben die Zahlen: a) 3475? b) 23475? 14) Wieviel Zehntausender sind in a) 23475? b) 589476? 15) Im Deutschen spricht man die Einer vor den Zehnern. a) Gieb lateinische Zahlwörter an, bei denen es ebenso ist. b) Spricht man im Französischen die Zahlwörter in der­ selben Reihenfolge, wie man sie schreibt?

§ 5.

Begriff der Zahl.

29

16) Das griechische Zahlwort [atoquh für 10000 ist nicht, wie das deutsche aus zwei Zahlwörtern (zehn und taufend) zu­ sammengesetzt, sondern hat einen besonderen Stamm. Dem entsprechend nennt man eine Gruppe von zehntausend Dingen wohl auch Myriade. Lerxes zählte das Heer, welches er 480 vor Christi Geburt gegen Griechenland führte, indem er 170mal nacheinander einen umzäumten Platz anfüllte, in welchem gerade eine Myriade Platz hatte, a) Wieviel Mann zählte das Heer? b) Was betrachtete Xerxes bei diesem Zählen als Einheit? 17) Welche Zahl wird bei der graphischen Abbildung der natür­ lichen Zahlenreihe durch einen Punkt dargestellt, der in der Mitte zwischen den beiden Punkten liegt, welche die Bilder von 8 und 12 find.

18) Welches ist der jedesmalige Stellenwert von 7 in den Zahlen 347, 3475, 34756, 347562, 700000, 741'235849? 19) Der Stellenwert einer in einer gewissen Zahl befindlichen Ziffer ist 1000, welches ist der Stellenwert a) der vorher­ gehenden Ziffer? b) der nachfolgenden Ziffer? c) der vor­ vorhergehenden Ziffer? 20) a) Inwiefern hat man bei der Zahl-Darstellung die Zahl zehn vor allen übrigen bevorzugt? b) Wie ist der Mensch dazu gekommen, gerade die Zahl zehn zu bevorzugen? 20J Es ist behauptet, daß das Wort zehn mit „Zehen", das Wort deceni mit digiti zusammenhängt. Was spricht für diese Behauptung? 21) Wie ist zu erklären, daß die malayischen Sprachen für „fünf" nnd „Hand" dasselbe Wort haben? 22) In einer Indianer-Sprache heißt 11 wörtlich übersetzt „Fuß eins", 12 „Fuß zwei", 20 „ganzer Mensch". Wie erklärt sich dies? 23) Welche Zahl bevorzugten bei der Bildung ihrer Zahlwörter die Azteken, die Ureinwohner Mexikos, welche für zwanzig ein besonderes, nicht aus zwei und zehn abgeleitetes Zahl­ wort hatten, dann hieraus Zahlwörter bis 20 mal 20 bildeten, z. B. 33 in der Form 204-13, 40 wie 2-20, 67 wie 3-20-47, und endlich neue Wörter für 20 mal 20, 20 mal 20 mal 20 besaßen?

§ 5.

30 24)

Begriff der Zahl.

Welche französische Zahlwörter verraten noch, daß der keltische Sprachstamm dieZahl 20 bei derZahl-Darstellung bevorzugte?

25) Eine bekannte Anzahl von Rekruten sollte eingekleidet werden. Von den vorrätigen Uniformen blieb keine übrig; es hatte aber auch jeder Rekrut eine erhalten, a) Waren auf solche Weise die vorrätigen Uniformen gezählt? b) Auch von den vorrätigen Helmen blieb keiner übrig, als jeder Rekrut einen erhalten hatte. Welchen Grundsaß wendet man an, wenn man nun schließt, daß die Zahl der vorrätigen Helme gleich der Zahl der vorrätigen Uniformen war? 26) Was hätte man in dem Beispiel 25) schließen können, wenn sich gefunden hätte, daß noch Helme vorrätig blieben, als jeder Rekrut einen erhalten hatte? 27) Man weiß, daß am gleich bm ist. Was läßt sich über a) a Jt, b) a leg, c) a Häuser, d) a Personen aussagen? 28) Was folgt aus a = 20 und b = a? 29) Man weiß, daß am gleich bm und daß am mehr als cm ist. Was läßt sich über bm im Vergleich zu cm aussagen? Füge bei den folgenden Schlüssen unter dem fehlenden Bergleichungszeichen —, > oder < Hinz»:

b 30) a b=c a c 34) p>q q>3

31) x 4 36) bd a < 11 a d 11 b 42) 13m < am 43) 4 leg = a leg am — bm a cl b°d jü d=e c° b c > d (abbJ a 4" c > b 4- d.

Um z. B. den Schluß 1) zu beweisen, verfährt man so: Wenn c größer ist als d, jo muß c gleich der Summe von d und einer anderen Zahl sein, die p heißen möge. Also ist e — d4~ p. Addiert man die beiden Seiten dieser Gleichung zu beiden Seiten der Gleichung a = b, so kommt a 4- c = b 4- (d 4- p) oder a 4~ c = (b 4- d) 4" P- Also ist a 4~ c größer als b 4- d, nämlich um p. Liest man jede Gleichung oder Ungleichung rückwärts, jo ergeben sich aus 1), 2), 3) die Schlüsse: 4) b — a 5) b < a 6) b < a d < c (abb.) d — e (adb.) d < c (adb.) b 4- d < a 4- c b 4~ d a 4™ o b 4" d < a 4“ c. Diese G Schlüsse werben in Worten kurz so ausgesprochen: 1) Größeres zu Gleichem oder Gleiches zu Größerem oder Größeres zu Größerem addiert, giebt Größeres. 2) Kleineres zu Gleichem oder Gleiches zu Kleinerem oder Kleineres zu Kleinerem addiert, giebt Kleineres.

§ 6.

Begriff der Addition.

33

E) Wenn man die beiden Summanden einer Summe unterscheiden will, so könnte man den einen Augendus, den andern Auktor oder Inkrement nennen. Wegen welches Gesetzes ist diese Unterscheidung für das bloße Rechnen unwesentlich? Außer dem Namen Summanden für Angend und Inkrement sind auch die Namen:

Addenden, Posten, Terme, Glieder gebräuchlich.

F) Aus den beiden mit I und II beichneten Formeln der Addition ergeben sich noch eine Reihe von anderen Formeln, welche, der Kürze wegen, auch Berbindungsgesetze heißen sollen. Z. B.: a + b -j~ c = a, + c -|- b, weil a + b -|- c =• a -|- (b + c) = a + (c + b) = a + c + b j a + (b + c) = c + (a + b), weil a + (b + c) == a + b -|- c = (a -|- b) + c = c -j- (a -f~ b) * sl —|— (b —|— c —d) = a + b + c + d, weil a + (b -|- c + d) = a + (b -|- c) + d = a -|- b + c + d. So gelangt man zu der folgenden praktischen Regel:

Allgemeine Berbindungsregel:Beiein em Ausdruck, welcher außerhalb und innerhalb der Klammern keine anderen Ope­ rationszeichen als Pluszeichen enthält, dürfen alle Klammern beliebig fortgelassen und beliebig gesetzt werden, und dürfen auch alle Summanden in beliebige Reihenfolge gebracht werden.

Beispiel:

e +(c + 4) + [6 + (b + d) + (a + f)] = e + c + 4 + 6 + (b +d) + (a + f)

=e+c+4+6+b+d+a+f = a + b + c + d + e + f+(4 + 6) = a + b + c + d + e + f + 10. G) Eine Summe, deren erstes Glied selbst wieder eine Summe ist, faßt man kurz als eine Summe von drei Glie­ dern auf, und so fort. Z. B: a + b + 4 ist eine Summe von drei Gliedern. x + y + z + u + v ist eine Summe von fünf Gliedern. x + (y + z) + (u + v) ist eine Summe von drei Gliedern.

H) Besonders häufig treten Summen von lauter gleichen Gliedern auf. Man schreibt dann dieses Glied nur einmal, setzt davor einen Punkt und vor den Punkt die Zahl, welche angiebt, wieviel solche Glieder die Summe haben soll. Z. B: 3 + 3 + 3 +3+ 3 — 5«3 a+a+a+a == 4 • a x+x = 2 • x. Die Zahl, welche zählt, wieviel Glieder man sich denken soll, nennt man den Koeffizienten der abgekürzt geschriebenen Summe. Schubert, Arithmetik. 4. Aufl. 3

34

§ 6.

Begriff der Addition.

Der Punkt kann vor einem Buchstaben oder vor einer Klammer fort­ gelassen werden. Z. B.: a + a + a + a + a + a = 6a (b + c) + (b + c) + (b + c) + (b + c) = 4 (b + c). Wenn mau zwei abgekürzt geschriebene Summen mit demselben Gliede zu addieren hat, so hat man nur die Koeffizienten zu addieren. Denn: 3 a -f- 4 a = (a a -J- a) -J- (a -j~ a -s- a -f~ a) = a -|- a -f- a -j- a -|~ a -j- a -|- a = 7 a. Eine einzige Zahl kann man als Summe von einem Gliede auffassen, und deshalb mit dem Koeffizienten 1 behaftet denken. Z. B.: 4b b = 4 b -p 1 b - (b -|- b -f- b -|— b) -|- (b) = b b -j- b -J- b -|- b = ob. Ist das Glied einer abgekürzt geschriebenen Summe selbst eine Summe, so hat man es in eine Klammer einzuschließen. Z. B. 5(a + b).

1) Welches Gesetz der Addition benutzt die lateinische Sprache, indem sie mit Septuaginta quattuor und mit quattuor et Septuaginta dieselbe Zahl bezeichnet? 2) Verschmelze die Zahlbilder ::: und zu einem einzigen Zahlbilde, und gieb den deutschen, lateinischen und französichen Namen dafür an. 3) Jemand hat 16 Jl und 9 Ji zu addieren, und giebt als Resultat 25 an. Warum ist die Antwort ungenau? 4) Um wieviel ist eine Summe größer als einer ihrer Summanden? 5) Welchen Addenden muß man zu einer Zahl addieren, a) damit sich als Summe die in der natürlichen Zahlenreihe folgende Zahl ergiebt? b) damit sich die nächstnächste Zahl ergießt? 6) Der Kölner Dom hatte einst nur eine Höhe von 130 m. Jetzt, wo er vollendet ist, ist er um 26 m höher geworden. Die Summe beider Zahlen giebt seine jetzige Höhe in Metern an. a) Was hat man bei dieser Addition passender Weise als Augendus, was als Inkrement angesehen? b) Warum wird das Resultat der Addition nicht beeinflußt, wenn man 26 m als ursprüngliche Höhe und 130 m als Inkrement angesehen hätte? 7) Wieviel Schritte (§ 5 B) muß man von dem die Zahl a darstellenden Punkte nach rechts gehen, um auf das Bild der Zahl a-f-b zu stoßen? Betrachtet jemand, der auf diese Weise a-f-b berechnet, b als Augendus oder als Inkrement? 8) Berechne graphisch (Nr. 7) a) 8 + 5, b) 5 + 8.

8j) a) Was giebt 8 Bünke 7 Bänke? b) Warum ist „8 7 Bänke" eine ungenaue Schreibweise? c) Könnte man so schreiben: „(8 + 7) Bänke"? 9) Wie heißt die Zahl, a) die um 6 größer ist als p, b) die um p größer ist als 6? 10) Jemand soll zu m erst 3 addieren, und zur erhaltenen Summe 4 addieren. Er addiert aber zn m nur die Zahl 7. Hat er die Formel II), vorwärts oder rückwärts gelesen, angewandt? 11) Übersetze die Formel II, von rechts nach links gelesen, ins Deutsche. Die folgenden Ausdrücke sollen mit Anwendung der Verbindungsgesetze auf bequemste Weise berechnet werden. Namentlich führe man solche Addi­

tionen zuerst aus, welche auf Zahlen führen, die mit der Ziffer Null endigen:

12) 4+ (996+ 782) 13) 25+(83+ 75) 14) 999 + 589-s-1 15) 3472 + 18 + 582 16) 40+1254+(60+ 746) 17) 91 + 92 + 8 + 9 18) 14 + 15 + 16 + 24+25 + 26 19) 43 -j- [8 + (7 + 42) + 50] 20) 446 + 724 + (30 + 800) + 566 + (337 + 34) 21) 9960 + 7473 + [27 + (20040 + 500)]. In den folgenden Ausdrücken sollen die Klammern gelöst (d. h. fort­ geschafft) werden:

22) a + (b + 6 + d) 24) x + [4 + (y + z)] 23) a-|-b + (c+d+e + f) 25) e + {f+(g+[h-j-i])} 26) 7 + [4 + (a + b)] + (c + 9) 27) a + (b + e) s(d -s- o) -s- (k + g)]. 28) Um wieviel wächst eine Summe vou zwei Summanden, wenn der eine Summand um 23, der andere um 7 wächst? 29) Jemand führt eine Addition von vielen Posten aus, bemerkt aber nachträglich, daß er einmal eine in einer Einerstelle stehende 7 für eine 1 gehalten hat. Wie hat er sein Resultat zu berichtigen? 30) Die in einer Kiste befindliche Ware (Netto) wiegt a kg, die leere Kiste wiegt t kg (Tara), a) Wieviel kg wiegt die Ware mit der Kiste zusammen (Brutto)? b) Wieviel kg würde Ware mit Kiste wiegen, wenn die Kiste V kg schwerer würde? 31) Welche Formel wendet man an, wenn man als Summe von 50 Jl und 20 Jl 40 gy. das Resultat 70 Jl 40 g6 /. angiebt?

32) Warum hat die Summe 20^ + 40^. doch einen Sinn, trotzdem die Addenden verschiedene Benennung haben? 33) Addiere a m b cm zu a' m b' cm. Berechne für a = 10, b — 8, e — 6, d = 2 erstens die folgenden Ansdrücke, so wie sie dastehen

(§ 3), zweitens auch die ans ihnen durch

Auflösung der Klammern entstehenden Sunnnen:

34) a+(b + c + a). 35) a+b + (c + a4-d).

36) a + [b + (d-|-c)l. 37) a+(a-|-b)+(a+c+d).

Führe die angedeuteten Additionen (vergl. 0 und D) aus und löse nachträglich die etwa vorhandenen oder entstandenen Klammern:

38) a = b 39) a — 9 e — 4 (add.) b = c4-d (add.) 41) a + b = 4 40) a — b-J-c c — x-s- 5 (add.) e = f+g (add.) 42) e>124-b 43) a + b < 7 f ==4 (add.) o — 4 (add.) 44) b + 8 15 2 3 (add.) 46) a + b 10 sein. Was für eine Ungleichung muß bestehen, damit folgende Differenzen Sinn haben? a)x —19, b) x — a, c) b + c — a, d) 4x + 5 — 8. 44,) Erläutere mit Hilfe von § 5 E V, warum der am Schluß von C) ausgesprochene Satz richtig ist. 45) Wende diesen Satz ans die folgenden Voraussetzungen an: a) x = y b) x = a + b c) a -|- b = c a = d (subtr.) 5 = 5 (subtr.) b = b (subtr.) f) a = 4(b—c) d) x = a + b e) 3a = 4b x = 3 (b—c) (subtr.) y = 4 (subtr.) 2a = c (subtr.)

Berechne »ach Vorschrift von F), was man für x setzen muß, damit die folgenden Gleichungen richtig werden:

46) x — 15 = 6 47) x +20 = 31 48) 25 + x = 100 49) 98 — x = 90 50) 424 = x-[-399 51) 1000=497+x 52) 728 = 1028—x 53) 625—x = 433 54) 728-^x = 900.

55) x + 24 = 100 56) x + a = b 57) x-s-a = b-^-e 58) b + c + d — x = b + c 59)a — x = 2b 61) 89 — x = 6a 63)x + 4 + 5 = 20 64) x+24—13+67+10= 100 65) x-4+16+10-35=35 66) x-|-a—b—c+d+e+f=g 67)x+3a—4l>+9c = lld. 68) Zwei Knaben A und B spielen „Zahlenraten". A denkt sich eine Zahl, B sagt ihm, er solle 4 hinzuzählen und 11 ab­ ziehen, A sagt, er habe schließlich 43 erhalten. Welche Zahl hat sich A gedacht? 69) Wenn ich eine Zahl, die ich im Sinne habe, von 16 sub­ trahiere, zur erhaltenen Differenz 16 addiere, von der Summe erst 6 und dann 3 subtrahiere, erhalte ich 16. Welche Zahl hatte ich int Sinne? 70) Jemand giebt von dem Gelde, welches er bei sich hat, erst 10 Jt und dann 13 .1 aus. Als er dann noch 19 j«. ein­ genommen hatte, sah er sich im Besitze von 100 Jt. Wie­ viel Jl hatte er ursprünglich bei sich? Löse die folgenden Gleichungen durch Transpositionsregel:

mehrmalige Anwendung der

71) 19 — (x + 4) = 10 72) 100 = 87 + (x + 11) 73) 19 —(x —4) = 10 74) 100 = 87 +(x —11) 75) 100 — (100 — x) — 50 = 20 76) 406 + [84 — (x + 10)] = 479 77) 125 — [100—(10—x)] = 34 78) 251 = 723 — [412 + (66 — x)].

§ 8.

Gesetze der ersten Stufe. I) a + (b + c) = a + b + c (Verbind.-Ges. d. Add. § 6II)

a + (b — c) = a + b — c, III) a — (b + c) = a — b — c, IV) a — (b — c) = a — b + c, V) a — b = (a — n) — (b — n). II)

§ 8.

Gesetze der ersten Stufe.

43

A) Die erste Formel ist schon in § 6 aus dem Begriff der Addition abgeleitet.

Bei

den übrigen

Formeln

ist mindestens eine Seite eine

Differenz. Um sie zu beweisen, hat man also wegen der Definitionsformel I

der Subtraktion nur zu prüfen, ob die andere Seite, um den Subtrahendus jener Differenz vermehrt, den Minuendus giebt. Bei Formel II ist z. B. die rechte Seite a + b — c eine Differenz, welche die Zahl bedeutet, die, um e vermehrt, a + b giebt. Da es nur

eine solche Zahl geben kaun, so darf jeder Ausdruck, bei auch die Eigen­ schaft hat, um c vermehrt, a -j- d zu geben, gleich a -j- b — c gesetzt werden. Wir haben also nur zu prüfen, ob die linke Seite a + (b — c) wirklich diese Eigenschaft hat. Wir vermehren also a -j- (b — c) um c. Dann dürfen

wir wegen des Berbiudungsgesetzes der Addition den zweiten Summanden b — e um e vermehren. Dadurch erhalten wir aber nach der Definition

der Subtraktion b, und deshalb im ganzen a + b. Folglich hat die linke Seite der Formel II die verlangte Eigenschaft, die Formel ist also bewiesen. Um Formel III zu beweisen, beachte man, daß die linke Seite, um b 4- c vermehrt, a giebt, prüfe also, ob dies auch die rechte Seite leistet. Dies ergiebt sich so:

a — b — c + (b + c) = a — b — c + (c + b) = a — b — c + c + b

= a — b + b = a. Formel IV ist richtig, weil a —- (b — c), um b — c vermehrt, a giebt,

und weil auch a — b + c4-(b — c) durch Anwendung der Formel II, der Berbindungsgesetze und der Definitionsformeln schließlich gleich a wird; nämlich: a — b + c + (b — c) = a — b + c+ b — c = a — b + b + c — c = a + c — c = a.

Bei Formel V giebt die rechte Seite, um b — n vermehrt, a — n.

Es ist also zu prüfen, ob es auch die linke Seite thut. Dies ergiebt sich so: a — b + (b — n) = a — b -j— b — n — a — n.

B) Das Übersetzen der Formeln, vorwärts und rückwärts, ist schon in § 4 eingeübt. Die Formeln I, II, III, IV liefern, von links nach rechts übersetzt, Regeln, wie Summen und Differenzen addiert und subtrahiert werden dürfen: dagegen, von rechts nach links übersetzt, Regeln, wie Sum­

men und Differenzen vermehrt oder vermindert werden dürfen. Falle werden

Im ersten

die Klammern gelöst, im zweiten Falle gesetzt.

Die

Formel V giebt an, daß die durch eine Differenz dargestellte Zahl unver­ ändert bleibt, wenn Minuendus und Subtrahendus um dieselbe Zahl ver­

mindert werden. Durch mehrmalige Anwendung der Formeln I bis IV kann man auch solche Klammern lösen, welche auf Plus- oder Minuszeichen folgen und

kompliziertere Ausdrücke einschließen.

Z. B.:

44

§ 8.

Gesetze der ersten Stufe.

a + b + (c4-d — e — f + g) = a+b + (c + d — e — f) + g = a + b + (c + d — e) — f + g = a+ b + (c + d)—e — f + g — a + b + c + d — e — f+g. 2) m + [a + (b — c) — d] = m + [a + (b — c)] — d — m + a + (b — c) — d = m + a + b — c — d. 3) m — (b — c + d - e) = m — (b — c + d) + e — m — (b — c) — d + e — m — b + c — d + e. 1)

Hieraus ergeben sich die praktischen Rechenregeln:

Erste Rechenregel: Eine Klanimer, vor der ein Plus­ zeichen steht, kann immer ohne weiteres fortgelasscn werden. Zweite Rechenregel: Eine Klammer, vor der ein Minus­ zeichen steht, kann mau dann fortlassen, wenn man alle in der Klammer befindlichen, freien Pluszeichen in Minus­ zeichen, alle freien Minuszeichen in Pluszeichen verwandelt, und vor den zuerst gestellten Summ and ns oder Minuendus das Minuszeichen setzt. (?) Den beiden Seiten jeder der Formeln I bis IV können noch manche andere Ausdrücke gleichgesetzt werden. Dadurch entstehen neue Formeln, die mit Benutzung der Hauptformeln I bis IV sowie des Ver­ tauschungsgesetzes (§ 6 I) leicht bewiesen werden können. Namentlich beachte man noch: 1) a + b + c ■= a + c + b, 2) a + b— e — a — c + b, 3) a — b — c = a — c — b, 4) a — b + e — a + e — b. Hieraus ergiebt sich die

Dritte Rechenregel: Summanden und Subtrahenden dürfen in beliebige Reihenfolge gebracht werden. D) Für Summe und Differenz hat man einen gemeinsamen Namen Aggregat eingeführt. Man nennt dann die beiden Summanden oder den Minuendus und den Subtrahendus die beiden Glieder des Aggregats. Ein Aggregat, dessen erstes Glied selbst wieder ein Aggre­ gat ist, faßt man als ein Aggregat von drei Gliedern auf, und so fort (vgl. § 6 G). Ein Aggregat besitzt also immer ein Glied mehr, als freie Plus- und Minuszeichen. Man nennt ein Glied additiv oder subtraktiv, je nachdem dasselbe auf ein Plus- oder auf ein Minuszeichen folgt. Das erste Glied, das ja entweder ein Summandus oder ein Mi­ nuendus sein muß, bezeichnet man als additiv. Einen Ausdruck, der gar keine freien Plus- oder Minuszeichen enthält, bezeichnet man als ein Aggregat von einem Gliede. Also:

§ 8.

Gesetze der ersten Stufe.

45

ist ein Aggregat von 1 Gliede, ist ein Aggregat von 4 Gliedern, 10 + b — c — d + e ist ein Aggregat von 5 Gliedern, c — (a + b) + (d + e) ist ein Aggregat von 3 Gliedern, Aggregate von 2 Gliedern nennt man auch Binome, von mehr als 2 Gliedern Polynome. Die unter C) angeführte dritte Rechenregel liefert für Aggregate die Vierte Rechenregel: Die auf das erste Glied folgenden Glieder eines Aggregats dürfen in beliebige Reihenfolge gebracht werden. Durch Anwendung dieser Regel und der Formel a — b — c = a — (b + c), ergiebt sich die Fünfte Rechenregel: Ein Aggregat kann berechnet werden, indem man die Summe der additiven Glieder um die Summe der subtraktiven Glieder vermindert. Z. B.: 10 + 9 — 8 — 7 + 6 — ö+ 4 — 3 = (104-9 + 6 +4) — (8 4-7 + 5 + 3) = 29 — 23 = 6. E) Die Schlüsse, welche bei der Subtraktion den 6 Schlüssen in § 6 D entsprechen, sind folgende: 2) a=b 3) a > b 1) a > b c = d (subt.) c > d (subt.) c < d (subt.) a—c>b—d a—cb—d und umgekehrt gelesen: 5) b=a 4) b < a 6) b < a d = c (subt.) d < c (subt.) d > c (subt.) b—da—c b—d d} (c == d + p}' tt’° p abc a+b+c—d

die Zahl bedeutet, um welche c größer ist als d. Durch Subtraktion kommt dann: a — c = b — d — p. Also ist a — c c, b > d fallen zu lassen, zweitens diese Schlüsse eben­ sowohl wie die Schlüsse in § 5 E und § 6 D auch auf den Fall auszu­

dehnen, daß die verglichenen Zahlen positiv, null oder negativ sind.

+ 7 > — 2

- 4 = —4

— 2 > — 3

+ 1 > — 1 (add.)

_|_ 7 > - 3

-3 > -5

O
— 3 (subt.) 2 < + 8.

H) Wieviel geschmeidiger die arithmetische Sprache durch die Erfindung der Null und der negativen Zahlen wird, erkennt man namentlich auch bei der Lösung Don Bestimmungsgleichungen. Hat man z. B. die in § 7 F

gegebene Gleichung 7 — x = 5 zu lösen, so darf man aus derselben jetzt

ohne Weiteres (durch Subtraktion der Gleichung 7 — 7) — x = 5 — 7 — — 2 schließen, und hieraus, indem man sich — 2 von 0 — 0 subtrahiert denkt, x — 2. Hierbei bemerke man, daß man überhaupt aus jeder richtigen

Gleichung wieder eine richtige Gleichung erhält, wenn man zugleich allen Gliedern des die linke Seite bildenden Aggregats und allen Gliedern des die rechte Seite bildenden Aggregats das entgegengesetzte Vorzeichen giebt. Um dies einzuseheu, subtrahiere man die gegebene Gleichung von der Glei­

chung 0 — 0. Endlich beachte mau, daß Gleichungen, die vor Einführung der Null und der negativen Zahlen als nicht lösbar erscheinen mußten,

jetzt als lösbar erscheinen können.

Z. B. ergiebt

4 — (x + 7) = 2 die Lösung: x — — 5.

J; Da die Reihe der negativen Zahlen durch wiederholtes Hinzusügen von — 1 entsteht, so nennt man — I die EinheitdernegativenZahlen.

Die obigen Betrachtungen, welche auf die Erfindung der Null nud der negativen Zahlen führten, lassen sich ohne weiteres auch auf bekannte Zahlen übertragen. So ist z. B. — 9 Jl eine Differenzsorm, welche aus­ spricht, daß man — 9-# + (n + 9M = n_* setzen will. In den Anwendungen kann man aus einer negativen benannten Zahl durch Veränderung eines Wortes immer die entsprechende positiv be­ nannte Zahl bilden. So heißt z. B.:

— aSchritte vorwärts dasselbe wie a Schritte rückwärts. — Vermögen dasselbe wie a^k Schulden. — a Jl Gewinn dasselbe wie a^ü Verlust. Ferner heißt z. B.:

0 Schritte vorwärts dasselbe wie keinen Schritt vorwärts und keinen rückwärts.

1) Gieb Differenzformen an, welche der Differenzform a) 8 — 8 b) 9 — 11 c) 13 — 41 d) 128 — 400 e) 428 — 428 f) 7100 —• 8100 gleichgesetzt werden dürfen. 2) Wie schreibt man kürzer für a) 20 — 20? b) 18 — 25? c) 700 — 920? 3) Inwiefern ist die Formel (§ 8, Nr. 6)b —c-s-a —b-s-a—c in § 8 noch sinnlos, wenn b < c ist, und inwiefern erhält sie durch diesen Paragraphen Sinn? 4) Was ist a — b — c, wenn a = b + c ist? 5) Was ist 5a — 5a? 6) Was ist 5a —(5a + l)? 7) Was ist a) 16+0? b) 0+16? c) 16—0? d) 0 — 16? e) 0+0? f) 0 — 0? 8) Wieviel Einer haben die Zahlen 40, 150, 7000? 9) Warum darf die Null bei 40 nicht fortgelassen werden, während doch bei 4 + 0 das Zeichen + 0 fortgelassen werden darf? 10) Weshalb pflegt man vor eine Zahl nie eine 0 zu setzen und schreibt z. B. statt 0713 nur 713? 11) Was ist (a — n) — a? 12) Was wird aus der Formel a — (b + c) = a — b — c, wenn — c statt c substituiert wird? 13) Wie heißt der absolute Betrag der Differenzen: a) 16 — 19, b) 19 — 16, c) 24 — 124, d) 124 — 24?

56

§ 9.

Erste Erweiterung des Zahlengebiets.

14) a) Was wird aus der Definitionsformel der negativen Zahlen a— (a-|-n) — — n, wenn n = 0 gesetzt wird? b) Was hat man also unter — 0 zu verstehen? c) Warum ist + 0 = — 0? 15) Formuliere und beweise den Satz: „Die Summe zweier verschiedener relativer Zahlen von gleichem absoluten Betrage beträgt Null." 16) Verdeutliche graphisch die Berechnung von: a) 4-s-(—7), b) 10 —(— (—6), c) 6+ (-10), d) —6 + (— 6).

16i) Berechne: a) 11 — (—5) + (—6) — (+ 3), b) (—27) + (—3) —(— 15), c)-243-(+18)+ (-18), d) 400 + 16 —(— 16)+ (—400). 17) Wenn b zu a zu addieren ist, so ist in § 6 a Augendus, b Inkrement genannt, a) Warum sind diese Benennungen sprachlich schlecht, wenn b eine negative Zahl ist? b) Welche Benennungen könnten in diesem Falle dafür eintreten? 18) Gilt der Satz, daß eine Summe größer ist, als einer ihrer Summanden, auch wenn der andere Summand negativ ist?

19) 20) 21) 22) 23)

Um wieviel ist — Um wieviel ist — Um wieviel ist — Um wieviel ist — Erläutere, warum

7 kleiner n kleiner n kleiner 7 kleiner aus a >

als + 7? als + a? als Null? als 4? b, — a< — b folgt?

23t) A machte beim Billardspiel a points, B a + p points. a) Wieviel points machten beide zusammen? b) Um wieviel points steht A besser? 23g) Drei Personen A, B, C spielen so, daß immer eine allein gegen die beiden andern spielt. Zuerst gewinnt A ein Spiel von 18, d. h. es hat B an A 18 Pfennig, und ebenso auch 6 an A 18 Pfennig zu bezahlen. Darauf verliert B ein Spiel von 30. Dann gewinnt C ein Spiel von 20, endlich gewinnt A ein Spiel von 12. Drücke nun durch positive und negative Zahlen aus, wieviel jeder der drei Spieler schließlich gewonnen hat. Führe die folgenden Schlüsse aus:

24)

16 = 16 — 5 = — 5 (subt.)

25)

a > b — c> d (add.)

26) 27) 28) 29) 33)

34) 35)

36) 37) 38)

39)

40)

41)

42)

42.) 42-)

42g)

19 >18 30) 9>8 — 5 — 5 (add.) a=a x< 18 31) — b = — b (add.) a < b (add.) 32) a 7 — 4 = — 4 (subt.) - - c > — d (subt.) a>b 32t) x — 4 (subt.) — c< — d (subt.) Erläutere an Zahlenbeispielen, warum die Schlüsse in § 6 D und in § 8 E auch richtig sind, wenn die verglichenen Zahlen negativ sind. Wird eine negative Zahl kleiner oder größer, wenn ihr absoluter Betrag größer wird? Was folgt, wenn man von der Gleichung 0 — 0 die Un­ gleichung 7 >5 subtrahiert? Drücke durch eine Ungleichheit aus, a) daß x eine positive Zahl ist, b) daß x eine negative Zahl ist. Was bedeutet: a) — 7 < x < + 7? b) —7 < x < -j- 7? Wieviel positive Glieder hat die algebraische Summe a — b H-c —9 + 27? Wie schreibt man kürzer die Summen: a) — a — a? b) — a — a — a — a — a? c) a + a + a — a? d) 3 b — b — b — b —b —b? e) 4v — 7v? f) y+y—y+y —y —y? Inwiefern kann unsere graphische Abbildung der positiven und negativen Zahlen mit der Skala eines Thermometers verglichen werden? Wieviel Grad wurde es wärmer, wenn das Thermometer stieg von a) — 5°C. bis + 7°C., b) von — a° bis + b°C.? Wieviel Jahre vor Chr. Geb. wurde Augustus geboren, der 14 Jahre nach Chr. Geb. im Alter von 77 Jahren starb? Wie ändert sich das Resultat der Subtraktion, wenn man Minuendus und Subtrahendus miteinander vertauscht? Die Brocken-Spitze liegt 1142m über dem Meeresspiegel, das Tote Meer liegt 1536m unter dem Gipfel des Brocken. Welche Höhe über dem Meeresspiegel hat das Tote Meer? Blei schmilzt bei 332° Celsius, Quecksilber friert bei einer um 371° C. tieferen Temperatur. Bei wieviel Grad C. friert Quecksilber?

Wie sind die folgenden Rechnungs-Resultate aus der arithmetischen Zeichensprache zurückzuübersetzen:

43) 45) 47) 49) 51) 53) 55) 57)

— 18 Jahre n. Chr. Geb.? — 11 Schritte nach Osten? — aJl Vermögen? — t Grad C. über Null? — b Points gewonnen? — 0 m weiter bewegt? — x km stromaufwärts? — 90° Drehung im Sinne

44) -- 18 Jahre v. Chr. Geb.? 46) -- 11 km vorwärts? 48) -- 1000 Jt Gewinn? 50) -- V Grad C. unter Null? 52) -- am gestiegen? 54) -— a cm tiefer? 56) -- Stunden später? eines Uhrzeigers?

Bei den folgenden Beispielen soll das, was unten steht, a) zu dem, was oben steht, addiert werden, b) von den», was oben steht, subtrahiert werden: 58) + 22 59) — 22 60) — 7 61) — 8 6!2) + 5 63) + 15 — 17 + 17 — 13 — 7 +8 +3 64) — 129 65) - 729 66) + 841 67) 710 68) -26 — 271 + 29 — 41 - 85 29 97 — 85 70) -50-69 71) -a-b 72) — a — b — c — d 69) 3+35 -50-31 —|— a —|— b + c —d +a+b 75) — a 74) + a 73) — a 76) — 6 77)—4 —c —j— x —|—a—3 —b +b 79) — 5x 80) — 5x 81) — 9v 82) —16x 78) + 5x + 9v - 4y + 3y ""V 3y -3y 84) x + 5 85) 7 m 86) 8 87)-9 83) —5 x—3 n+2 —n+9 +1 3 v +1 89) 90 ) 7a + 3 88) a — b — a—3 — 2b ■ 4v + 5 93•) 4 a—b—3 c-j—d 91) — 4a — 3x 92) X 4 a—b—3 c—3d — 5a — 8x — X —y 4p — q — r 95) —6x + 2y — 3z 94) — 3p + 2q + 3r — 5x — 3y — z 96) -3a- b + 4c + 9d — e + 6f — 5a + 7b — 8c — 12d + 3e 97) 4a — b 4" 3c -|- 9d — f — 3a —|— 8 c — 12 d —|- e

98)

a—b+c - d

4a 4" 3b 4~ c — 2 - 7a — 2b 4- 3125 101) 8A4-9B —400 — 8A—11B —C + D 99)

100) — 4 x + y + 3z — 7 — 3 x — z — 4v

102) — 102a— b + 423 — 728d4~433e — f+3g 4- 104a —33b — 400 4- 28d —400e+ 60f — 3g

103) + 14a— 3b 4-29c — 15a 4~ 87g — e-

1728d — 1496e4- g —3h 272 d 4- 423h—40c+3b.

In den folgenden Beispielen sollen die untereinander stehenden Zahlen oder Ausdrücke addiert werden:

104) -7 +8 -5 109)

±2

105)—17 —-72 4-34 -16

106)+729 107)—4123 - 29 —2122 +200 — 1000 —1000 +476

108) - 4a — 3a + 7a +12a

4a —1>—|—c 110) 4x —y—- 7z 111) — p—3q—r —x-|-5y-]-19z — 3a 4~ b — c 4*4p4-7q—2r +7a—3b+4c —16x—y—87z +3q+ r—p 112) 7x4 v — w+ 13y — z 4 v—w-f-6x— 3y -|- 7z 8w-|-6x— y+ 17z —3v — 4y—7x—3w-|~ 8z — v 113) — 4A — B + 3C- D+ E — 7A- B -j- 3C — D-4- E -11A - 2B + 6C— 2D4-2E — 18A + 5B— C— D— E

114)

a— a + a —j— — 6a -j-4a—

b —|— 3c — — 5c 4* 4b 7b —I™ 8c 3b b —

4d —e— f d — 6e d + f -4— 5e — 6f 8d

115) — 3in 4~4n — p -- q 4“ w 4~7r -j-4m—q4~s—P — — — 4-

3s 5p 7p 5p

— 4r 4“ m — q 4" n 4“ 8r —3q—8 - 8q 4-3r — 16s4-m4~n.

Substituiere in ven folgenden Ausdrücken: a) b) c) d) e) f)

A = — 1, B = — 3, C = + 5, D = — 32 A = - 6, B = + 8, C = — 9, D = + 15 A = — 0, B = — 3, C = — 100, D = — 4 A —7a, B = — 3 b, C = — 5 c, D = — d A — 3p — q, B = — 4p, C = — p — q, D — 4q A = 4x — 3y4~z, B = —"x+y+ö, C = 4y4-5z —26, D — 3y - 8: 116) A — B 4- C — D 117) A 4- B — C 4- D A — B 4- C — D 119) - A + B — C + D 118) 120) A + B — C - D 121) A — B — C - D. 122) Was folgt für x 4- y aus den Vorausfetzungen: a) — 17 < x < 34 b) — 3a-|-4 b < x c ist and negative Zahlen noch vermieden werden sollen, hat man dann ans m + a c — ab zu schließen: m + a(c — b) oder m —a(b — c)? Wende die allgemeine Berteilungsregel unter D an, um bei den

folgenden Ausdrücken die Klammern zu lösen:

116) + b)(r + s) 117) (a—b)(r + s) 118) (a—b) (r—s) (a 119) (2a—3b) (d+e) 120) (4a—c) (b+2d) 121)(2a—b)(c—2d) 122)(4a+7b) (3c —d) 123) (4a —16b) (7c+16d) 125) (4a+b—3c) (2x — y) 124) (3a — b — c) (x+y) 126) (a-f-öb — 6c) (2x-|-3y) 127) (14a—b+c)(3m+4p)

74 128) 130) 132) 134)

§ 10. Begriff der Multiplikation. (a—b — c) (x—j-y-f-z) 129) (a-|-b —c) (x-(-y —z) (4a+7b —1) (x+3y) 131) (4a+7b-l)(x-]-3y+l) (a-j-b-)-c) (3x—4y—z—u) 133) (a—b+2c)(2x—y—z+u) (a+b) (c—d) + (3 a + 4 b) (2 c + d) + (2 a—b) (7 c dj

13o) (4 p + q) (3 r — s) + (7 p — q) (r+s) - (3 p + q) (4r +19s). Ten Ausdruck ac + ad + bc-f-bd samt man durch wiederholtes Absondern in ein Produkt verwandeln. Nämlich ac + ad-j-bc + bd = a (c + d) + b (c + d) — ia 4- b) (c + d). Verfahre ähnlich bei: 136) 4ab + 4ac— db — dc 137) 7a+7b—2bc—2ac 139) 16 ab — 16ac — 5pb-j-5pc 138) 7a-|-7 — ab—b 140) 4aq — 3q+8ar— 6r 141) 16 — as — a t —|— b s —|— b t 142) 3 a b + 3 a c — 3 a d + 5 m b + 5 m c — 5 m d 143) 3ap-j-4p — 3aq — 4q-f- 15a4“20

144) ae + af — a g + b e — bg —bf — cg + ce + cf. 144J Oft samt man eine solche Zerlegung in Faktoren nur durch Raten (vgl. jedoch § 28, Nr. 135 bis 153) erzielen. Hat man z. B. x2 — 7x4-12 zu zerlegen, so hat man die beiden Zahlen zu raten, deren Summe 7 und deren Produkt 12 ist. Da diese Bedingung die Zahlen 3 und 4 erfüllen, so erhalt man: x2 — 7x4-12 —(x — 3) (x — 4). Zerlege in ähnlicher Weise: a) xa4-9x4-18, b) x24~18x4-45, c) x2 — 20x4*91, d) a2—28a4*96, e) x24~x —42, f) b2 —5b—36, g)x2+19xy+90y2, h) a2— 13ab4~30b2, i) p2—9pq—52q2, k) 3x24* 16x4*5, 1) 12x2 —xy—y2. 145) Was bedeutet: a) p7, b) 27, c) 53, d) 106? 1454 Berechne: a) 34, b) 53, c) 42 • 53, d) 93, e) 4 • 23, f) 334-43, g) 43 — 33, h) 4« 32* 53, i) 1 • 1034-8-10248*10 + 3.1, k) 4 + 3.10 + 2 • 102+7.103 + 8 » 104 + 9 • 105 + 6 • 106 + 5 • IO7. 146) Wie kann man a) 100, b) 1000, c) 10000, d) 1000000, e) eine Milliarde, f) eine Billion als Potenz von 10 schreiben? 147) Wie kann man kürzer schreiben für: a) a5*a? b) a3«a3? c)b3.b*b? d)b5.b3*b2? e)g4.(g3.g)? f) a7.a6.(a4*c5)eb12? 147J Wie heißt die Basis und wie der Exponent bei der Potenz a) 73, b) 102, c) 210, d) a4, e) (a + b)2, f) (a — b)3, g) (abc)4, h) (a:b — c)2?

1472) Berechne die dritten Potenzen aller Zahlen von 1 bis 10. 147z) Wie unterscheiden sich die Resultate vou a) (-s- 3)2 und (- 3)2, b) (+ 3)3 und (- 3)3, c) (+ 3)* nnd (- 3)4, d) (+ l)16 und (— l)16, e) (+ l)19 und (— l)19? Löse die Klammern bei den folgenden Ausdrücken und vereinfache möglichst:

148)3p2(4p —q2-4-r4) 149) 4a2b3(a44-b3+1) 150) 7p2q(q +1" + s4) — 3pq(4q5 — 3p2-j-p3q) 151) 4a2b2(a3 + a2b - b3) —2a2b(a3b — ab4 + b5) 152) 15 p2q (3 p2 4- 4 p q + q2) Z- 27 p q2 (4 p2 - p q + Q2) 153) (a-|-b)fa—|—b) 154) (a—|—b2) (a24~b) 155) (7a-s-b2) (a — b) 156) (a-f-b)2 157)1 -b)2 158) (a + b) (a - b) -b2)2 161)(a24-b2)(a2-b2) 159) (a2 + b2)3 160)1 162) (a4Z-a2) (a5—a) 163) (a4 — a3)(a24-a) 165) (y + 4)24-(y-4)2 164) (2 a24~b) (a2 —2 b) 167) (1-4 x)2 168) (1-x)2 166) (y-7)2 169) (1 -J-x) (1—x) 170) (4a24-3b) (a —b4-4) 171) (a2 —3b2)2 172) (a24-b2 — c2)(d24-e2) 173) (a24-b2-c2) (a2+b2) 174) (a4b24" b2c3) (b2a4~bca) 175J (a2- b2) (2a2 - b2) 175) (7a2+3b2)(2a2—b2) 176) (4a2- ab-s-b2) (3 a2 — 13 ab 4- 5b2) 177) (9q2 —5r3 + s2) (3r+s)4-(4r2+s2) (3p2 - q) 178) 24 c2 d2 (c2 4- d2) 4- 3 c d3 (c2 - 3 d2) - (c d+d2) (4 d4+c2 d2) 179) (4 a2 +13 a5+a6 — 1) (a4+a3) — (7 a2 4- 3 a) (a - a8).

180) Erlüntere, warum die beiden Produkte a4b9 und a8b5 den gemeinsamen Faktor a4b5 haben. 180J Suche bei den folgenden Produkten einen solchen gemein­ samen Faktor, daß die zurückbleibenden Faktoren keinen gemeinsamen Faktor mehr besitzen: a) a2b, a3c, a4d; b) 16a4b2, 64a5b5c, 256a7b8c8; c) 33a4b4c5dä, 11 a2b2c, 55a5b5c6d3; d) 14x5y2, 7x7y4, 119x44y46, 84x9y7. 181) Welches Produkt kann man für die Summe a4b9-s-a8b3 setzen? Bereinige die Produkte mit gemeinsamem Faktor bei:

182) a4b4-a2b3-j-ab2

183) a4b94-a5b8+a6b7

184)5a4b+3a2b2+2ab2 185) 15a4b4-15a2b24-15ab2 186) 25a4b+15a2b24-5ab 187) 35m2n4p34-7mn3p2 1871)4a4b4-c5d4-c4d2+3c3d3—16c6

188) 11 c2 d4+22 c2 d2+2 (d2+2)—5 (d2+2) c2 189) (4a2b24- 16a5b2—3ab)+(4abc4-16a4bc—3c) 190) 3a4b3c3 — 15a5b8c9 + 21 a3b6c7-|-27a10b8c4. Löse die Klammern und vereinfache dann:

191) 192) 193) 195)

197) 199) 200) 201)

(a+b)(a+b)(a+b) (a —f- b —j— c) (a-|—b —J— c) (a—f— b—c) (a-j-b— c) (p —q)(p2+pq+q2j

191, ) (a—b) (a—b) (a—b) 192, ) (a-|-b — c) (a-j-b—c) 194) (a-j-b-f-c)(a— b — c) 196) (p-j-q)(p3-p2q+pq2-q3) (x4-x3+x2-x+l)(x+l) 198) (x3 —j— x2 —x —j— 1) (x — 1) 3a2-j-4b2—(a—b) (3a —4b) —3ab 15xy—(3x-|-y)(x —5y)-|-(7x—y)x 4xyz —(xy-f-xz-j-yz) (x—y — z). In den folgenden Ausdrücken soll:

a) A = 4y, B = x4-4y — Bz, C = 3x-|-5y — 10z; b) A = x2 — y2, B==x2 z2, C = y2-z2; c) A = 4xz — y2, B = x2 — xy-j-5z2, C = 4xy—y2 — z2 gesetzt und dann möglichst vereinfacht werden:

202) AB+AC+BC 204) A(B4-C-A)) 206) AB — B2—C2

203) AB -AO-j-B2 205) A24-B2-j-C2 207) 4AB-j-3AC—BC.

208) Was wird aus einem Produkte von beliebig vielen Fak­ toren, a) wenn ein Faktor null ist, b) wenn zwei Faktoren, c) wenn alle Faktoren null sind? 209) Berechne a) 7-j-0.4-3.04-0.0, b) (16-0).0-j-4 (0—0), c) (1+24-34-... 100)2-0, d) O3. 210) Was wird aus (x—y) (u-j-v) — (x2—y2) (u—v)+(x2+y2) (u—v) für x —y und u = v? 211) Was muß man für x einsetzen, damit jeder der folgenden Ausdrücke Null wird: a) x—23, b) x—a, c) a—x, d) a-j-c—x, e) a—x—c, f) 3a+x—4b—2c, g) (x—3) (x—5), h) (x—a)(x-3b)? 212) Prüfe die Regel über die Multiplikation zweier negativer Zahlen an dem Beispiel (7 —11) (5 — 8) = 7 • (5 — 8) —11.(5-8)^7.5—7.8—11.54-11-8. 212,) Prüfe die Formel a(bc) — abc für a = — 1, b — — 2, c = +3.

212z) Warum kann die Frage, was ein Produkt mit einem negativen Multiplikator bedeutet, nicht eher entschieden werden, als bis die Formel (a—b)c = ac—bc aufgestellt ist, und warum kann ein Produkt mit einem negativen Multiplikandus schon vor Aufstellung der Formel a (b—c) — ab — ac definiert werden? Die folgenden Ausdrücke sollen berechnet werden:

213) (—4).5 + 6.(—2) —3-(—8) + (—4).(—5) 214) (7 —9).3 —(8 —20).5 + 9«(—4) +16.(0-1) 215) (_8)(-3)(-3) + 33; 215.) (-1)6; 215z) (-2)216) 4 (- 7) (- 2) - (-4) (-6) (+ !) + (-4) (-4)(- 2) 217) 3.(— 4)2 + 4-(— 3)2-7.(—3) (—4) 218) (-3) [(-5+16).2 + 3-(-4-3)] + (-2/ 219) 4» 125.(—3 —132)«0 — 4«(—8 + 1) 220) (- 22) • (— 52) + (- 2)2• (— 5)2. Nach Ausführung der Substitutionen:

a) b) c) d)

m — 10, m — — 10, m = — 200, m = —100,

P — —4, p = + 4, P = — 20, P = 4,

7 3 = 3 (mutt.) — 3 = - 3 (mult.)

c) a = b (a u. b positiv) d) a > b (a u. b positiv) c ■ d (mult.) (c u. d Pos.) e) a > b (a und b beide positiv) c d (mult.) (c und d negativ)?

230) Die Richtigkeit des im Rechen-Unterrichte gelernten Ver­ fahrens, um zwei Zahlen zu multiplizieren, folgt aus den Verteilungsgesetzen. Es ist nämlich: a) 2-43 = 2*(3 + 4-10) = 2‘3 + 2«(4«10) = 2*3+ (2 *4) «10 = 6 + 8-10 = 86. b) 6'94 = 6-(4+9• 10) = 24+54'10 = 4+2-10+ 4 • 10+5 • 100 = 4 + 6 • 10+5 • 100 = 564. c) 243'78 = (3+4'10+2'100)'(8+7'10) = 3'8+ 3'7'10+4'S'10 + 4-7'100+2'8'100 + 2-7' 1000 = 24 + 21 • 10 + 32 • 10 + 28 • 100 + 16 • 100 + 14 «1000 = 4 + 55 *10 + 44 «100+14 «1000 = 4 + 5 «10 + 49 *100+14 «1000 = 4+5 «10+9'100 + 18'1000 = 4 + 5'10 + 9'100+8'1000 + 1 • 10000 = 18954. Verfolge an diesen Beispielen das gelernte Verfahren, 7 8 nämlich: 2 4 3 (mal) 2 3 4 (=) (+) 31 2(0) (+) 156 (0)(0) (=) 189 5 4. 231) Multipliziere ausführlich (nach dem Vorbilde von Nr. 230): a) 24 mit 87, b) 98 mit 45, c) 234 mit 259, d) 3425 mit 32, e) 4013 mit 13, f) 140 mit 257. 232) Man kann 78 mit 243 auch von links nach rechts mul­ tiplizieren, nämlich so: 78 Multipliziere nach diesem Verfahren: 243 a) 127 mit 83, b) 479 mit 942, 156(0)(0) c) 613 mit 7200, (+) 312(0) (+) 23 4 d) 43430 mit 16. (=) 189 5 4

§11.

Begriff der Division.

79

232J Jemand hat 12345 mit 12364 zu multiplizieren, bemerkt aber, nachdem er das Resultat schon ausgerechnet hat, daß er sich versehen hat, indem er die Sechs im zweiten Faktor für eine Null angesehen hat. Was muß er zu dem von ihm gefundenen Resultate addieren, um das richtige Resultat zu erhalten? Die folgenden Gleichungen zu lösen und die dabei anstretenden Aus­ drücke möglichst zu vereinfachen:

233) x - 4a = 7 (a — b) 234) x — (a - b) =2 (a + b) 234j)3(a + b) = 4a-s-x 2342) 0 = 7 (p — 2q) — x +14q 234g) 27 (a — b + c) — (20c - x) = 7c 2344) a • b • c — a»c »b-s-x — 4 235) (p + q)2 = x - p2 - q2 236) (3a —b) *4 = 19a - (3b —x) 237) 3 • 42 — (x — 32) = 47 238) m -|- 2n — 3 (2in — n) = x — 4 (5m — n) 239) 3(a — 4b4-3c —d) = 4a — (b — x) + 7 (a — c - d) 240) a(b — c-s-d) — b(a-4~ c — d) = 4ab — (bc -f~ ad —x) 241) (—3)2 + 4*(—7a) = 9 —28(a4-l) + (—4 —x). § 11.

Hegriff der Division. I) Erste Definitionsformel: (a : b) • b = a, II) Zweite Definitionsformel: (a • b): b = a. A) Eine Zahl a durch eine Zahl b dividieren

heißt, die Zahl finden, mit welcher b multipliziert werden muß, damit a herauskommt. Dies spricht Formel I aus. 12:3 bedeutet also die Zahl, mit welcher 3 multipliziert werden muß, damit 12 herauskommt, oder, was dasselbe ist, die Zahl, welche für x gesetzt werden muß, damit die Gleichung x • 3 = 12 richtig wird. Die Division entsteht also aus der Multiplikation dadurch, daß man das Produkt und den einen Faktor als bekannt, den andern Faktor als unbekannt ansieht. Man nennt deshalb die Division die Umkehrung der Multiplikation. Bei dieser Umkehrung erhält: das bekannte Produkt den Nameu Dividendus, der bekannte Faktor den Namen Divisor, der gesuchte Faktor den Namen Quotient. Hiernach besteht die Berechnung eines Quotienten im Raten des Wertes der Unbekannten einer Gleichung. Um z. B. 12:3 zu berechnen,

80

§11.

Begriff der Division.

hat man den Wert von x aus der Gleichung x« 3 — 12 zu raten.

Dieses

Raten wird durch den ersten Rechen-Unterricht teils gedächtnismäßig, teils methodisch (§ 12 G) gestaltet. Statt

„a dividiert durch b" sagt man auch „b dividiert in a"

Statt des aus einem Doppelpunkte bestehenden Divisionszeichens schreibt man auch einen wagerechten Strich, über den man den Dividendus, und unter den man den Divisor stellt.

Diese Schreibweise macht oft

Klammern überflüssig, weil der Divisionsstrich über die Reihenfolge der

Operationen keinen Zweifel läßt.

Z. B.:

(7 + 9): 4 = 74^; 9 : (10-7) =

[a + b (c + d)] : (a — b)

a -J- b (c -f- d) a—b '

(a + b): c • [e : (f: g)] = Um Undeutlichkeiten zu vermeiden, muß der Divisionsstrich immer so gestellt werden, daß seine Verlängerung vorangehende oder nachfolgende Gleichheits- und Operationszeichen in deren Mitte treffen würde. Man mache daher nach einem solchen Zeichen lieber zuerst den Divisions­ strich, und schreibe daun den Dividendus darüber, den Divisor darunter. Da ein Produkt zwei Faktoren hat, so könnte man auch von zwei Umkehrungen der Multiplikation sprechen, je nachdein man nämlich den Multiplikandus oder den Multiplikator als gesucht betrachtet. In der That kann man diese beiden Fälle durch zwei verschieden lautende Frage­ stellungen unterscheiden. Man sucht z. B. den Multiplikandus, wenn man, um 12:3 zu berechneu, fragt, welche Zahl mit 3 multipliziert werden muß, damit das Produkt 12 entsteht. Dagegen sucht man den Multiplikator, wenn man, um 12:3 zu berechnen, fragt, mit welcher

Zahl 3 multipliziert werden muß, damit das Produkt 12 entsteht.

Die

Arithmetik der unbenannten Zahlen hat es jedoch, Dank dem Ver­ tauschungsgesetze der Multiplikation (§ 10V), nicht nötig, die beiden Um­ kehrungen der Multiplikation als verschieden aufzufassen.

Wohl aber zeigt

sich die Verschiedenheit, wenn der eine der beiden Faktoren eines Produkts benannt ist. Da dieser Faktor dann (§ 10A) den Multiplikandns dar­ stellen muß, und der andere Faktor als Multiplikator unbenannt sein muß, so ergiebt sich, daß überhaupt die Division in den folgenden drei Fällen

Sinn hat: 1) Dividendus

und Divisor unbenannt.

Der Quotient wird auch

unbenannt. 2) Dividendus benannt, Divisor unbenannt.

Der Quotient wird eine

Zahl von derselben Benennung, wie der Dividendus.

In diesem

Falle, wo nach einem Multiplikandus gesucht wird, könnte man

§ 11.

81

Begriff der Division.

das Dividieren auch Teilen (in gleiche Teile) oder Einteilen nennen.

Z. B.:

12 m : 3 = 4 m,

12 Menschen : 3 — 4 Menschen. 3) Dividendus und Divisor, beide gleichbenannt.

Der Quotient wird

In diesem Falle, wo nach einem Multiplikator gesucht

unbenannt.

wird, könnte man das Dividieren auch Messen nennen.

Z. B.:

12 m : 4 m — 3, 12 Menschen : 4 Menschen — 3.

0) Damit eine Division ausführbar sei, oder, wie man sagt, aufgehe, muß der Dividendus der Wert eines Produktes sein, dessen einer Faktor der Divisor ist, oder was dasselbe ist, es muß der Dividendus ein Viel­

faches des Divisors sein, oder, was wieder dasselbe ist, es muß der Divisor ein Teiler des Dividendus sein. Im entgegengesetzten Falle ist der die Division darstellende Quotient eine zunächst sinnlose ZeichenVereinigung. Z. B. 15 : 4 ist eine Quotientform, welcher keine der bis jetzt definierten Zahlen gleichgesetzt werden kann. Die Arithmetik läßt jedoch auch derartige Quotientenformen in ihrer Sprache zu, und erweitert damit von neuem (s. § 9) ihr Zahlen-Gebiet (§ 13). D) Die Regel in § 10 C über die Multiplikation zweier relativer Zahlen ergeben für die Division die Regel:

1) Zwei relative Zahlen werden dividiert, indem man ihre absoluten Beträge dividiert und das Vorzeichen nach der Gedächtnisregel bestimmt: Gleiche Vorzeichen

geben bei der Division plus, ungleiche minus. Also:

(+a):(+b) = + (a:b); (+ a): (- b) = - (a : b); (- a):(+ b) = -(a:b); (-a): (-b) = + (a : b).

Der Beweis ist (wegen Formel I) geführt, sobald man gezeigt hat, daß die linke Seite, mit dem Divisor rechts multipliziert, den Regeln des § 10 gemäß, den Dividendus giebt:

Z. B:

(+a):(- b) = -(a: b), weil [- (a: b)] . (— b) = + [(a : b) • b] = + a.

Da 0'w stets 0 ist, gleichviel, ob m positiv oder negativ ist, so ergiebt sich die Regel: 2) Null dividiert durch eine positive

oder negative Zahl,

giebt immer Null.

Macht man bei der Gleichung 0 • m = 0 nicht m, sondern 0 zum

Divisor, so ergiebt sich:

3) Null dividiert durch Null, kann jeder beliebigen Zahl gleichgesetzt

werden.

Dieselbe

kann

positiv,

außerdem auch 0 sein, weil 0 • 0 auch 0 ist.

negativ

vieldeutige Quotientenform. Schubert, Arithmetik.

4. Ausl.

und

0 : 0 ist daher eine

6

82

§11.

Begriff der Division.

Es fragt sich noch, was für einer Zahl a : 0 gleichzusetzen ist, wenn a positiv oder negativ ist. Da das Produkt von 0 mit keiner von den bis jetzt definierten Zahlen eine positive oder negative Zahl ergiebt, so muß a: 0 für unausführbar erklärt werden. Aus diesen Betrachtungen geht hervor:

4) Eine Division ist immer eindeutig, wenn der Divisor nicht null ist. Ist der Divisor null, und der Dividendus auch null, so ist die Division vieldeutig. Ist der Divisor null und der Dividendus nicht auch nnll, so ist die Division unausführbar. Aus der Eindeutigkeit der Division in jedem Falle, wo der Divisor­ nicht null ist, fogt 0'. § 6 B; § 7 C; § 10 A) der Satz:

5) Gleiches durch Gleiches dividiert, giebt Gleiches, wenn die Divisoren von null verschieden sind. Oder: Aus a — b und c = d folgt a : c = b : d, wenn c und d nicht null sind.

E) Aus der ursprünglichen Definitionsformel der Division a: b • b = a folgt die abgeleitete a • b : b = a. Denn a« b : bsoll ja die Zahl bedeuten, welche, mit b multipliziert, a • b giebt. Diese Bedingung erfüllt aber die Zahl a, und zwar nur die Zahl a, wenn b von null verschieden ist. Da­ gegen kann a • 0: 0 jede beliebige Zahl sein. Die beiden Definitions­ formeln der Subtraktion liefern die Regel: Multiplikation und Division mit derselben Zahl heben sich auf, wenn diese Zahl nicht Null ist. Man nennt deshalb Multiplikation und Division auch entgegensetzte Operationen.

F) Bei der Division zweier Potenzen mit gleicher Basis hat man darauf zu achten, daß die Exponenten subtrahiert werden müssen. Denn es ist z. B.: a5: a3 = (a • a • a • a • a): (a • a • a) = (a • a) • (a • a • a): (a • a • a) = a • a = a2; y8: y3 = y6 • y8; y3 = y5; x7: x = x6 • x : x = x6. G) Daraus, daß x = a : b nur eine andere Ausdrucksweise für x • b = a ist, ergiebt sich die für die Lösung von Gleichungen wichtige

Transpofitionsregel zweiter Stufe: Eine Zahl, welche auf der einen Seite einer Gleichung Faktor ist, kann auf die andere Seite der Gleichung als Divisor geschrieben werden; und umgekehrt. Man nennt dann die Zahl transponiert. Z. B.: Aus x • 4 = 12 folgt x = 12 ; 4 = 3, Aus 7 • x = 28 folgt x = 28 : 7 = 4, Aus x : 9 — 3 folgt x — 3 • 9 = 27. Will man Dividenden transponieren, so hat man die Trans­ positionsregel zweimal anzuwenden. Z. B.:

§ 11.

Begriff der Division.

12:x = 4 12 = 4-x 12 : 4 = x x = 12 : 4 = 3

83

a: x = b a=b•x a :b=x x = a : b.

Kürzer gelangt man von a : x = b zu a:b = x durch Anwendung der Regel: „Divisor und Quotient dürfen vertauscht werden." Die Richtigkeit dieser Regel folgt aus dem Bertauschungsgesetze. Die obigen Beispiele zeigen zugleich, wie durch Transponieren die Isolierung einer unbekannten Zahl und so die Lösung von Gleichungen bewerkstelligt werden kann. Das Transponieren kann auch als eine Anwendung der Sätze: „Gleiches mit Gleichem multipliziert, giebt Gleiches" und „Gleiches durch Gleiches dividiert, giebt Gleiches, wenn die Divisoren von null verschieden sind" ausgefaßt werden. Dividiert man nämlich x. 4 = 12 durch die Gleichung 4 = 4, so erhält mau, da x • 4 : 4 nach Formel II gleich x ist, x = 12 : 4 = 3.

Welche Zahl giebt a) mit 17 multipliziert 68? b) mit 4 multipliziert 68? c) mit 14 multipliziert a? d) mit m multipliziert a? 2) Eine Summe von 10 Addenden ist gleich 130. a) Wie heißt jeder Addend? b) Hat mau beim Dividieren den Multiplikator oder den Mnltiplikandus gesucht? 4) Bei Beginn des peloponnesischen Krieges 431 vor Chr. G. hatten die Athener im Staatsschätze 6000 Talente geprägtes Gold und noch den zwölften Teil davon an Edelmetall. Wieviel Talente besaßen sie? 5) Wie groß ist das Zehnfache des zehnten Teils der Zahl a? 1)

6)

Worin besteht die Probe eines Divisions-Exempels?

7) Welche Formel in § 7

ist a) der Formel a: b • b = a,

b) der Formel a* b : b analog? 7t) Man hat vorgeschlagen, die beiden Zahlen, welche bei jeder der vier Operationen als gegeben betrachtet werden, durch die Namen aktive Zahl und passive Zahl zu unterscheiden. Man rechnet mit der aktiven Zahl an der passiven Zahl, aber nicht umgekehrt, a) Wie nennt man die passive Zahl bei der Subtraktion, bei der Multiplikation, bei der Division? b) Paßt der Name Augendus für die aktive oder für die passive Zahl der Addition? c) Wie heißt die lateinische 6*

84

§11.

Begriff der Division.

Verbal-Endung, welche bei jeder Operation die passive Zahl verrät? d) Paßt die Endung des Namens der aktiven Zahl bei der Multipliklation und Division oder bei der Subtraktion besser zu der Bedeutung der aktiven Zahl? e) Inwiefern wäre es richtiger, „Subtrahent" oder „Subtraktor" statt „Subtrahendus" zu sagen? 8) Schreibe auf zweifache Weise: a) x dividiert durch u«v, b) u 4~ v durch x, o) x in u-s- v, d) x durch u -f- v, e) abc iu d -j— ef, f) ab2-)-cd2 durch g — li. 8J Warum giebt jede Zahl durch sich selbst dividiert, die Zahl 1 ? 9) a) Wie oft muß man in der graphisch abgebildeten Zahlen­ reihe von 12 aus 3 Schritte rückwärts gehen, um auf 0 zu kommen? b) Man kommt in der Zahlenreihe dadurch von 12 auf 0, daß man rückwärts viermal eine und die­ selbe Strecke durchläuft. Wieviel Schritte enthält diese Strecke? c) Bei welcher dieser beiden Fragen sucht man den Multiplikator und bei welcher den Multiplikandus eines Produkts? d) Welche Frage wird durch ein Messen, welche durch ein Teilen beantwortet? 9t) Erläutere, warum man eine Division (Messung) auch dadurck) ausführen kann, daß mau zählt, wie oft man vom Dividendus den Divisor subtrahieren muß, um auf 0 zu kommen. 9z) Gieb an: a) die 3 Teiler der Zahl 25, b) die 6 Teiler der Zahl 32, c) die 12 Teiler der Zahl 72, d) die 16 Teiler der Zahl 1000.

10) Was giebt a) 18 kg dividiert durch 2 kg? b) 18 kg durch 2? c) 18 : 2? d) Hat die Aufgabe 18 : (2 kg) einen Sinn? e) Hat (18 : 2) kg Sinn? 11) Was giebt 54 Häuser durch 9 Häuser dividiert? 12) Warum hat der Quotient 1 Jl; 25 die Benennungen verschieden sind?

doch Sinn, obgleich

Gieb für jede der folgenden Divisionen das Restütat an und zugleich die Multiplikation, welche das Resultat bestätigt:

13) 15) 17) 19) 21)

40 Pferde : 10 57 Jl ; 19 Jl 420 Jl ; 7 3%. 4a : 4 7 (b —|- c) 1 (b Z- c)

14) 16) 18) 20) 22)

80 Pferde : 8 Pferde 420 l : 7 7200 Stunden! 24 Stunden 4a ; a 4ab ; b

23) 25) 27) 29) 31)

32) 33) 34) 35) 36) 37)

39)

3*4*5‘6‘7*8 3(b + c) 24) 5• 6 • 7 • 8 b+c 1820 4798 • 17 26) "13“ 13 17 b 4- c + d 1820 28) —!—— • a . (13 • 10) 13 15m2n8 (b -|- c 4~ d) • a 30) a x2y Eine Arbeit, zu der 1 Mann a Tage gebraucht, soll in a • n Tagen fertig gestellt werden. Wieviel Mann sind dazu erforderlich? 18 kg kosten 72 Jt. a) Wieviel kostet 1 kg? b) Wieviel kosten 7 /#? a kg kosten b Jl. Wieviel kosten a' kg? Für am hat man m Jl zu zahlen. Wieviel kosten (a 4~ b) m? In t Tagen verdient ein Arbeiter m Jl. Wieviel in t' Tagen? Für k Jl Kapital bekommt Jemand p Jl Zinsen. Wieviel bekommt er für k' Jl Kapital? Ein Bote kann sein Ziel in b Tagen erreichen, wenn er täglich c km zurücklegt. In wieviel Tagen wird er hin­ gelangen, wenn er täglich d km zurücklegt? Um einen Garten in Stand zu setzen, sind a Arbeiter a' Tage, b Arbeiter b' Tage, c Arbeiter c' Tage thätig gewesen. In wieviel Tagen hätten d Arbeiter dasselbe geleistet?

Um die folgenden Ausdrücke zu vereinfachen, hat man vor oder nach Anwendung der Definitionsformeln I und II noch andere Formeln aus

§ 6 bis § 10 anzuwenden: i a 4- b | c 4* d 40) a4-y • —7,-----V7-*—— y

. aa

39)

41) [a4-(b—c)]«d:(a4-b-c) 42) 43) (a4-|)c

/3a4~b

44) (a4-^4-A)c2 5a — b . Ila4~9b\

. (m+p4_q) 45) a(bc)d;(cd)

86

§ 11.

Begriff der Division.

47) (a —b)2: (e + f) : (a —b) ■ 3b 5 a—|— 2 b — c , a -4— c 3a—2c • p-------------------- • q + r •— -------------- ------- • t 48) a-\

-K-S-

49) (- + i)(’+s)

, . , /3ac — 4ab + bc\ 51) ab4-ac+^----------- - ----------- )q.

52) (^+^-c)f2 + cf2-bf2-af2. Berechne:

53) 55)

56) 57) 58) 59) 60)

(4 - 4). 5 3 - 18 b ’ 57 3 (4 + 5 • 6) • 0 : 85 + 72 • 0 : 5 + 4 • 102 — 0 • 400 — 27 27 — 36 — 18 . 100 9 + — 9 + — 6 ' 3 + — '20 (— 5) • 21 27 : 9 3 • 22 . 3 • (— 2)2 0 • 55 5 "i 3 4 ' — 4 49 (— 144): (— 2): (— 4): (— 9): (— 1) (- 3)‘:(— 3)3 + (— 3)2: (— 3)1 (-4)2:(-2? + ^^. 0 7

0 13 11 ' 13

61) Was wird aus a) —für x = 2? b) Tf-8 “ fur X = 2? 62) Berechne für x = 8 den Ausdruck: ... x — 19 /on ... 2 — 3x x —4 —|----- —-------- (33-ox) + — 2 Führe die folgenden Schlüsse aus:

63) m = p a = b (div.) 66) x = —10 2 = 2 (div.)

64) x — a -f- b 5 = 5 (div.) 67) -x = + 10 — 2 = —2 (div.)

65)

68)

Vereinfache:

69) —ij-

70) (xn-|-x7): x5

72) a3b4c20: a3b4c19

71) x4 • x • x8; (x3 • x10)

73) (a9—a8+3a7—5a6): a4.

Löse die folgenden Gleichungen durch Anwendung der Transpositions­

Regel zweiter Stufe:

74) ^ = 5

75) — = b a 77) x:(b + c) = e 78) 4x = 64 80) a = (b-j-c)x 81) 4a = 5bx 83) 999 : x = 27

76> f = 37TTb

79) 1400 = 35 x 82) 27 ; x = 9

84) f:x = g

86) (7a2 3b2): x = 4d

86.) a-(-b = c : x

Löse die folgenden Gleichungen durch Anwendung der Transpositions­ regeln erster und zweiter Stufe (§ 7 F und hier unter F):

87) 90) 92) 94)

4x —9 = 31 88) 29 =- 6x — 31 2400 = 1401 + 27x 91) 4x 4- 13 = 8a + b 93) 31 - 2x = 1 95)

96) 29x — 6 • 15 = 200

97)

98)

99)

100)

101)

102)

103)

89) 25x4-71 = 196

= 2

104) Ich denke mir eine Zahl, addiere zu ihr 65, multipliziere die Summe mit 3, subtrahiere vom Produkte 70, dividiere die Differenz durch 20 und erhalte 10. Welche Zahl habe ich mir gedacht? 105) Ich denke mir eine Zahl, dividiere dieselbe durch m und addiere zum Resultate a. Dann erhalte ich s. Wie läßt sich die gedachte Zahl durch m, a, s ausdrücken? 106) Wenn ich das Zehnfache einer gewissen Zahl von 100 subtrahiere, die Differenz erst um 6 vermehre und die erhaltene Summe noch um 24 vermehre, so erhalte ich 40. Welches war die Zahl? 107) Wenn man eine gedachte Zahl erst in 425 dividiert, den Quotienten von 38 subtrahiert, die Differenz dann wieder von 29 subtrahiert und darauf die neue Differenz mit 5 multipliziert, erhält man 80. Wie heißt die gedachte Zahl?

§ 12.

88

Gesetze der zweiten Stufe.

Bei der Auflösung der folgenden Gleichungen sind außer den Trans­ positionsregeln noch andere Regeln anzuwenden:

108) (ax

uo>

b)c = 4bc

Gt+¥)-8=32

112) — 4x = —28

114) 2a—3b = 6x-4a—! 116) 3 • (0 • 7 — 5x) = —

109) (13 — x) • 5 + 7 = 32 111) (100 — y) 5 = 202 113) — 4x = 28 —(—4) 115) (y +3)5—15=(—3) (—5) *3*5

117) (3-3)'(4a + b) + -^ + 5. 118) Gieb aus der Theorie dieses Paragraphen diejenigen Be­ trachtungen an, welche Betrachtungen in der Theorie des § 7 entsprechend sind. § 12.

Gesetze der zweiten Stufe. I)

II) III)

IV)

va v2)

A. Reine Gesetze der zweiten Stufe. a • (b • c) = a • b • c (Verbindungs-Gesetz der Multiplikcltioi1), an a • (b : c) = a • b : c oder a • — K c — T' a: b . a a a : (b • c) = a: b : c oder — — oder 3— — 0•c c bc b : c, a . b a = — • c oder a: — = b"6' a: (b : c) = a: b • c oder b c x b:c a : 11 . a a b a : b = (a: n): (b : n) oder — i— oder -T- — b: n b n :n' __ a • n a: b = (a • n): (b • n) oder b•n

b. Gesetze der Verknüpfung der ersten und zweiten Stufe.

VI) (a + b) ni = a m + b m 1 VII) (a — b) in = a in — b in J

(Berteilungsgesetze, § 10),

vni) (a + b):in = a:m + b:ni oder

111

in

= — 4- —, m in a b in in'

§ 12.

89

Gesetze der zweiten Stufe.

A) Die erste Formel ist schon in § 10 bewiesen.

Bei den Formeln II

bis V ist mindestens auf einer Seite ein Quotient. Um sie zu beweisen, hat man also wegen der Definitionssormel I der Division nur zu prüfen, ob die andere Seite, mit dem Divisor jenes Quotienten multipliziert, den

Dividendus giebt.

Diese Beweise entsprechen also vollständig den Beweisen

der analogen Formeln der ersten Stufe in § 8. Um z. B. Formel III zu beweisen, beachtet man, daß uns durch den Ausdruck a : (bc) die Erlaubnis erteilt wird, daß wir ihm jeden Ausdruck gleichsetzen dürfen, der, mit bc multipliziert, a giebt. Dies ist der Fall, denn: (a : b : c) (bc) — (a : b : c) • c • b — (a : b) • b — a.

Formel Vx spricht, vorwärts gelesen, aus, daß ein Quotient gehoben (reduziert) werden darf, d. h. seinen Wert nicht verändert, wenn man Dividendus

und Divisor durch dieselbe Zahl dividiert.

Rückwärts gelesen, spricht die Formel aus, daß ein Quotient erweitert werden darf, d. h. seinen Wert nicht verändert, wenn man Dividendus und Divisor mit derselben Zahl multipliziert. ö

8

= 12 4'

14 7

126 63'

B) Die Formeln VI und VII sind schon in § 10 bewiesen.

stützt sich der Beweis von VIII und IX. 1 v beweisen, hat man zu prüfen, ob

Aus sie

Um z. B. -- — — -s- - zu o m m m m = a + b wird.

Daß dies

der Fall ist, ergiebt sich aus VI und der Definitionsformel der Division. Formel X ist richtig, weil

(q + D~^Q~) . T

= Q . T + (D - Q . T)

= Q.T + D-Q.T = D wird. C) Durch mehrmalige Anwendung der Formeln I bis IV kann man auch solche Klammern lösen, welche aus Mal- und Durch-Zeichen folgen und kompliziertere Ausdrücke einschließen.

Z. B.:

1) ab (cd ; e : f • g) = ab (cd ; e : f) g = ab(cd : e): f • g

— ab (cd): e : f • g — abcd : e : f • g, 2) m : (b : c • d : e) — m : (b : c • d) • e — m : (b : c): d • e

m : b • c : d • e.

Gieb hiernach die beiden Regeln an, welche den in § 8 B angegebenen beiden Rechenregeln analog sind.

D) Den beiden Seiten jeder der Formeln I bis IV können noch manche

Ausdrücke gleichgesetzt werden. Dadurch entstehen Formeln, die mit Be­ nutzung der Hauptformeln I bis VI, sowie des Vertauschungsgesetzes der Multiplikation (§ 10 V) leicht bewiesen werden können.

Z. B.:

1) a • b • c = a • c • b,

2) a • b : c = a : c • b,

3) a : b : c = a : c : b,

4)

a : b • c = a • c : b.

§ 12.

90

Gesetze der zweiten Stufe.

Also: Faktoren und Divisoren dürfen in beliebige Reihen­ folge gebracht werden.

E) Für Produkt und Quotient hat man den gemeinsamen Namen Aggregat zweiter Stufe. Man nennt dann die beiden Faktoren oder den Dividendus und Divisor die Glieder des Aggregats. Ein Aggregat, dessen erstes Glied selbst wieder ein Aggregat ist, faßt man als ein Aggregat

von drei Gliedern auf und so fort (§ 8 D). Gieb die Regel an, welche hier der vierten Rechenregel in § 8 D entspricht.

Statt der fünften Rechenregel in § 8 D können wir hier die

praktische Regel aufstellen: Ein zweitstufiges Aggregat kann berechnet werden, indem man einen Divisionsstrich macht, über denselben das erste Glied und alle die Glieder setzt, denen ein Mal-Zeichen vorangeht, und unter denselben die Glieder setzt, welche aus ein Durch-Zeichen folgen.

Z. B.:

1) 10.9:6-3.14:2.5-25 = 2) 792 : 8 : (5 + 4 • 7) • 5 : 3 • (52

792.5.20 _ 79 200 8'33.3 — 792 —

= 7,

5) = ° *

Es ist jedoch ost bequemer, vor Ausführung der im Dividendus und Dabei ist die Zahl,

Divisor angedeuteten Multiplikationen zu heben. durch welche man heben will, nur in

Divisor

einen der im Dividendus und

a • b b vorhandenen Faktoren zu dividieren, weil ------- — a • — ist. c---------------- c

(Formel II umgekehrt).

. .. f , o r * 10 • 9 • 14.5 Man wird daher den Quotienten 6.3 - 2 . 25

etwa so berechnen: Man hebt durch 2 mal 2.

Man hebt weiter durch 9. noch durch 5 mal 5.

Dann

Dann kommt:

Dann kommt als Resultat 7.

.

5 • 9 •7 • 5

fommt: 3.3.25Endlich hebt

man

Die Reihenfolge, in

welcher man nacheinander hebt, ist gleichgültig F) Die umgekehrt gelesenen Formeln VII, VIII und IX geben eine Regel, wie zwei Quotienten von gleichem Divisor addiert oder subtrahiert werden können. Sind die Divisoren noch nicht gleich, so können die Quotienten immer durch Erweitern auf gleiche Divisoren gebracht werden. Z. B.: 42 4900 42- 35 4900 - 6 42.35 + 4900 » 6 1 6 ' 35 6 • 35 6 » 35 6 • 35 ' 90- 2 24-5 _ 90.2 24• 5 90- 2 — 24.5 ) 15 6 15.2 30 — 30 6'5 30

§ 12.

Gesetze der zweiten Stufe.

91

b_c _ ad + bc c _ ad bd bd d “ bd ad — b c c ad b c bd d — bd bd “ Die Formel X wendet man bei dem Verfahren an, nach welchem ersten Rechen-Unterricht die Berechnung des Quotienten zweier

oder noch 256 256 kürzer: 102-10 + 4 ,n , 1024 4437 : 9 = 493. = 6’10 +------ 5^------ = 6-10 + -256 36 256 = 6.10 + 4 + 1024~g1024 = 64 + 0 =8364, 81_ 256 27 noch kürzer: oder kürzer: oder 27 : 256 = 64. 16 384 : 256 = 60 + 4 16 384

256

15 360 1024 1 024

15 36 1024 1024

Dasselbe Verfahren wendet man auch an, um eine algebraische Summe durch eine andere zu dividieren. Z. B.: 1) 4aq—12nq + 7ap —21np 4aq — 12nq + 7ap —21np— 4q (a—3n) a — 3n 4 ' a — 3n , 4aq —12nq + 7ap —21np —4aq + 12nq A , 7ap — 21 np — q"* -a — — a —3n — 3n . . . 7ap — 21 np —7p (a—3n) . , . 0 , = 4q + 7p + —------- ;-_a„ ---------- = 4q + 7p + = 4q + 7p. a — 3n

92 2)

;

§ 12.

Gesetze der zweiten Stufe.

4aq — 12 nq-|-8mq — 7na + 21 n2 — 14 mn 4q — 7n 4aq — 12nq + 8mq — 7na + 21n2 — 14mn — a (4q— 7n) a + 4q — 7n — 12nq + 8mq + 21 n2 — 14 mn a + 4q — 7 n — 12nq + 8mq + 21 ii2 — 14mn — (— 3n) (4q — 7n) — a — 3n + 4q —7n , 8mq —14mn , e. , 8mq—14mn —2m(4q—7n) a — 3n 4—P----- - — = a — 3n 4- 2m H---------------------- —-—------ r 4q—7n 1 1 4q— 7n o.o. 0 o . n

32y*-46y2 + 9y+5 4 y2 — 3 y — 1

y

32y4 - 46y2 4-9y 4-5 - 8y2(4y2-3y-l) 4y‘2_3y_1

_ Q„s . 32y4 — 46ya 4" 9y + 5 — 32y4 4- 24y3 4~ 8 y2 y " 4y2 — 3y — 1 7

24 y3 — 38 y2 -|- 9 y + 5 4y2 — 3y — 1

= 8 v2 4- ß v 4- 24y3 — 38y2 + 9y + 5 — 6y(4y2 — 3y — 1) J y"t" 4y2 — 3y — 1 = 8y2 + 6y + rJ”£+2s V + 5 y y^ 4y2 — 3y — 1

= 8y2 + 6y - 5 + ~ 20y2 + 15y + 5 - (-5) (4y2-3y-l) J y 4 y2 — 3 y — 1 = 8y* + 6y-5 + r-,---°y-T = 8y2 + 6y-5.

Bei kürzerer Schreibweise sieht die Berechnung von 3) so aus:

(32y4 — 46y2 + 9y + 5) : (4y2 - 3y - 1) = 8y2 + 6y - 5 32 y4 — 24 y3 — 8y2 + 24 y3 — 38 y2 + 9y + 24y3-18y2- 6y — 20y2 + 15y + 5 — 20y2 + 15y4-5 Als Zahl Q der Formel

= Q + -—kann man dabei

immer das Resultat der Division des ersten Gliedes des Divisors in das erste Glied des Dividendus ansehen, nachdem man die Glieder so geordnet hat, daß die Exponenten eines und desselben Buchstaben im Dividendus und im Divisor entweder beide Mal eine aufsteigende Reihe oder beide Mal eine absteigende Reihe bilden. Z. B.:

Gesetze der zweiten Stufe.

§ 12.

93

20 a5 — ab4 + 3b5 — 8a1 2b3-21a4b + 19a3b2 b3 — 4 a2b + ö a3 = (20a5 — 21a4b + 19a3b2— 8a2b3 —ab4 + 3b5): (da3 —4a2b + b3) 20a5 — 16a4b + 4a2b3 [= 4a2 — ab + 3 b2. — 5a4b + 19a3b2 — 12a2b3 — ab4 — 5a4b + 4a3b2 —ab4 4“ 15 a3 b2 — 12a2b3_ + 3 b5 + 15a3b2 — 12a2b3 +3b5 H) Die Schlüsse, welche bei der Division den 6 Schlüssen in § 6 D, § 8 E und § 10 B entsprechen, sind folgende: 1) a > b 3) a < b 2) a = b e — ä (div.) c > d (div.) c > d (div.) a b a b ZT! 7 65) “,rc"

56)

(13m)*n —p7q

3 ab 57) -—T • 2 • c 4cd

•’

q

67) 128 a b c d: (4 ab): (4 c d) ' 68) 4abc 3e 3f ^nx 69) E 0) 9ef 4c ab 24(a—b) 22(c—d) 26 (e—f)l 71) 11 (c—d)*13 (e—f)*48(a—b) "Z) 73)

a±b g(e+f) e+f* a+b

a "b

c ad .. j = - ungewandt werden:

’

128a7b3:(4aäb):(4aäb) 30a4b 14ac 10b2 — ~ £ * "" - Y o * r* 5 7 (V 5 h3 6 aJ anb,3c15 dHe9f,l) d^f9" ' aTo b11 c*2 4a(b + c-d) (e+f)2 3 (e+f) ’b+c-d.

Bei den folgenden Anc-drücken soll die Regel a :

oder

. .ab 77) 10a2b2:—Tr­ 76) ab c d : — et 7 es

75)

78) 3 a3 b: (5 c d: e f) 27pq.3pq 80) 3 mn * 4m p9 q4 e3 £3

79) 24 a5 b: (30 a4 2 b3 c): a2

SD 83) i40(„+,)p.q.:ll^)PS.

82) 3"äb:~lF

Die folgenden Quotienten sollen gehoben werden, wobei zu beachten ist, daß der dem Dividendus und Divisor gemeinsame Faktor oft erst durch „Absondern" erkennbar wird:

8?)

84)

85) 48 ’ ac 60a-j-60b 88) 89) (a-(-b) c 5x—5y—5z 91) 92)

93J

(a24-ab)m (a+b)2

Schubert, Arithmetik.

4. Aufl.

14a —14b 21” (x —y)uv 93) 3ax—3ay (a p + a q — ar) s bp-f“b q — br 7

90)

27a5b2—18a4b3 21a2—14ab ab — ac-|-db — dc yb) eb —ec + fb —f?

qrx llx5y-77x3y34-121xy5 } 3x5-21x3y24-33xy4

94)

qox

9ab — 6ac — 15b-|- 10c ö) 3b — 2c-|-42ab — 28ac

5m7 —10m4p3 5 m4 q3 — 10m4p3

Bei den

}

a6bcd 2a5b2cd (a— 2 b)2 '•

folgenden Beispielen sollen die Formeln VIII

und IX,

vorwärts gelesen, angewandt werden, und die so entstehenden Ausdrücke sollen dann möglichst vereinfacht werden:

100)

iia+in>4-ii c

11 p —|—q — r-s-rns 102) m 23 a — 15b -1- c 104) 23 106) 107)

34a — 34b + 34c — 51 d 17 3a — b —|— c — d-|-e 103) e 4(a+b)-c(a+b)+3d(a-Hb) 105) 101)

12ab — 16ac + 24bc , 4 ...... 3ab — 4 a c ad 4 b'2

108) 109) 112)

ab

'

5

114) [4(p+q)a —3b(p + q)4-7c(p + q)]:(p+q)

i 39pq-4-52p2—117mp 115) ™+--------------- 135--------------

116) 117)

57a_ (4x+y)p — (3x + a)p4-(58a — x)p .

toi a ’

C

P 6ab-|-4ac + a2 .4b2+ 18bc— ab a * b

i 4x(2x-y)—9y(2x—y) 3(2x-y)4

x(a— 1)—y(a—1) . a— 1

§ 1*2. Gesetze der zweiten Stufe.

99

Bei den folgenden Beispielen sollen die Formeln VIII und IX, rückwärts gelesen, angewandt werden, und die so entstehenden Ausdrücke sollen dann möglichst vereinfacht werden:

190) 4a_2a , 5a . a . a 12V) 9 9 + 9 +9+9

1OQX 4ab—7cd 3ac—4ab 7cd — ac 122) + ’ 5e ■ + ~5T~ o . 2a 124) 11

2b-|-3c U

4a — b-|- 16c 11

x-j-y x — y 126) x4-y x—y 2x+y x — y 2 "V 125) "T'+ 2 127) 3 3 3a—b . a — 5b 7a—|— 11b . 25a — b 13a_ 128) a — b~T" a — b a—b ' a—b a—b 4x-|- 3y . 5x — y — 1 7x -4- y 4x — y 4x — y 129) 2x — y ' 2x — y 2x — y 2x — y ' 2x — y 4a+7b —1 _ 5a+3b+4 2a—b-j-11 3a-j-b—10 130) a —|— b —1 a-pb-|-l a—b—1 a-j-b-f-1 a-|-b . 3a — b . 4a — b a — b 2a — b 131) p p T q q 9 4ab—ac-[-bc . ab —4ac-|-4bc 7ab—ac 2ab-|-8ac 132) 3s 5r ' 5r 3s 4a-4~b — 1 a — b — 1 3a —5b — 5 . 7a—6b —|— 6 133) a -j~ 1 b —1 a—|—1 b —|— 1 134) Bringe durch Erweitern: a) den Quotienten 4r auf den Divisor 28, b) den Quotienten 4^? auf den Divisor 51, c) den Quotienten auf den Divisor 160, d) den Quo­ tienten j auf den Divisor 9f, g) den Quotienten auf 3 Cb-i-c)__a den Divisor 25bc, h) den Quotienten 7ab _[_ 1 ~ auf

den Divisor 14ab -s- 2. : 134t) Ein Ausdruck, der nicht die Form eines Quotienten hat, läßt sich als Quotient betrachten, dessen Dividendus dieser Ausdruck und dessen Divisor 1 ist. Bringe demgemäß a) die Zahl 4 auf den Divisor 12, b) a • b auf den Divisor c, c) P + q auf den Divisor 5 m.

Bei den Ausdrücken 135) bis 162) sind die zu addierenden Quotienten zunächst aus gleicheil Divisor zu bringen.

Dieser Divisor ist entweder

das Produkt der einzelnen Divisoren oder nur ein Teil davon.

Sind

z. B 6 und 14 die Divisoren der gegebenen Quotienten, so giebt es einen Divisor, auf den sich beide Quotienten bringen lassen, und der kleiner als 6 - 14 ist, nämlich 6.7 = 3 • 14 = 42.

30 42 6 14 a b 138) pq qr a c 141) a—b b 144) a+*J 145)

135)

136) ?- + | q t 139) 3-^+Cab a 142) P_E+1 q p—q a—

c 148) a_b+^=|LH

137) P-l q t , ab c ab 140) —2--------x y xy 143)

146) x

150)

149)

4- 2 b

pq

pr

147) x-X-? 2 a—b

151)

7p4~3q — llr 5p — q —1< 152) 5 1 3 15 7m 3p , 4m — p , 4p 9p — m 153) ~6 ~ 14“* 7 "*1 21 4 4a-|-b — c a — b 4~ c 7a -j- 3b -|~ 5c 154) 1 4 88

a'+b‘

4p7 159) p2q3p2 160)

6

a — 2b -|- c 16

4n2 4 m2 156) 4 (m—n)-|-------- 1------m n

155) 157)

qr

158)

8p5q2 . q7 p q4p2 l“p3 g3 p

4pq 3p4q3 p2q2p3

4pq

4a 7a2 —b2. 3ab —7a2c-|-b2c b ‘ ab * abc x2 — x — 1 3x2—5x-|“ 7j_2x3 — 5x2-j“X—1 x —1 “ x4-l ‘ (x—1) (x4-l) a2 + b2 4a2 — ab-j-b2 3ab—a2—2b2 a—b 2a —3b ‘ a—b

Das unter G gezeigte ausführliche Verfahren, welches zur Verdeut­ lichung des abgekürzten Divisionsversahrens dient, soll bei den folgenden Divisionen angewandt werden:

164) 14294:7 163) 294:7 166'1 36301:31 167) 45421:857 169) 479530:790 170) 36301:1171

165) 14564:11 168) 130321:6859 171) 428870:3299.

Das analoge Verfahren (Bergt, die Beispiele unter G), um den Quotienten zweier algebraischer Summe» zu berechnen, soll bei den folgenden Divisionen angewandt werden:

172) 174) 176)

178) 180)

182) 183)

184)

185) 186) 189) 192) 195)

5a—15 ab “I“ ac —|— db —d c 173) a—3 b-|-c a p —a- —f- b p —b ap-|-a —bp — b 175) ä^b" a-pb 49 x — 70 y 49 x—7ax—70y4~10ay 177) 7x — 10y” 7x —10y 45 ap — 27bp-|-63cp pq — q —2rp-|-2r 179) 5a-3b + 7c p —1 3 m ii p — 3mnq + 3mn xy —2x4-5y— 10 181) y-2 P — (1+ 1 15ac-|-20bc — 21 ad — 28 bd 44abpq-|- 12ab — llpqc — 3c 4ab — c 4ax-|-3ay — 3by — 4bx a—b 3ax-|-3bx —■ 6cx—4ay—4by -j-Scy-pbaz-f- 5bz —10 cz a—[-b—2 c a2 —j— 8 a —1 o a2—8a-|-15 187) ä+3 a—3 .a2—b2 x2—x —12 190) a-f-b x —4 49a2-121b2 4a2 —4a-|-l 194) '■,+2y+»> 193) 7a —11b"2a—1 U—|—V 3a2-)-2 ab — b2 — 3ac-|-bc xa 2xy-|-y2— z2 ------------ 3^b---------------- 19ß) x+y-z 3a2 — 4b2-5c2 + ab-|-2ac —9bc a—b—c a2-]-b2-|-c2-]-2ab-|-2ac-j-2bc x3 — y3

191)

a —I“ b —)— c

„+3

x —y

200)

x 3 + y3 x+y

of)n x34-8y3 201) x + 2y

202)

27x3 — 8y3 3x —2y

(24m2-|-6mn — 4 m — 3n2 — 2 n): (2 m -|- n) (15x4 —7x34-15x2 —7x4-4);(3x2 —2x4-1) (—2a4-7a3 + 82a2—145a+72);(9 —8 a —a2) (1 —18a34-81a6 —49a10):(l —9a3 + 7a5) (y3 —18 y5 —J— 81 y7): (1 — 6y-|-9y2) (7x4-|-16x6— 2x2 — 1);(4 x3 — 3x2-§-2x—1) (125a3 + 343): (25 a2 — 35 a + 49) (1 — 3125 a10): (1 + 5 a24- 25 a4 4-125 a6 + 625 a8) (16a4b3 —40a5b2+a6b4-15a7):(3a2—4ab) (10x7-|-8x5y2— 11 xGy 4" 17 x4y3 — 12x3y4) : (2 x y 4~ 5 x2 — 3 y2) 213) (9ab7—a3b5+7a2b6—9b8+10a4b4): (2ab3-3b44-5a2b2) 214) (—a7 + 12a5b2 —48a3b44-64ab6):(12a2b24-6a3b 4-a4 + 8ab3).

203) 204) 205) 206) 207) 208) 209) 210) 211) 212)

Bel der Auflösung der folgenden Gleichungen sollen außer den Transpositionsregeln auch Formeln aus diesem Paragraphen und eventuell aus früheren Paragraphen angewandt werden:

215) 3 • (4 x)« 14:21 — 5 = 11 216) 72: (3x) — 3 = 1 218) 20= 144: ^- + 4 217) 12 — [72:| — 4] = 8

130 219) looo: -44 = loo x-|-4 70 — 5 (x — 3) A 221) 10

3x — 24 8

5—8

222) 1Ax+6 = (-3)(-4)

= 7b + 3a 224) a:(b;x) = c;d

223)

225) 227) 229) 230)

220)

(a-j-b)x = a2-(-2ab-)-b2 226) (3a+2b)x = 21a2+14ab (2a+b)x=4a2-4ab-3b2 228) (m+n)x—n3 = m3 (p — q-|-r)x = p2 — q2-|-rp-|-rq a2 — x(a —3b) = 3ba — ca4~3bc. Führe die folgenden Schlüsse ans:

231) x72 8p (div.)

§ 13.

Zweite Erweiterung des Zahlengebiets.

103

237) a) Ist der vierte Teil einer Zahl größer oder kleiner als der fünfte Teil? b) Warum muß bei dieser Frage noch vorausgesetzt werden, daß die Zahl durch 20 teilbar ist? 238) Wenn a ■< b und m = n ist, a und b positive Zahlen, m und n aber negative Zahlen sind, was für eine Un3,

I)

gleichung besteht dann zwischen - und -?

§ 13. Zweite Erweiterung des Zahlengebiets. (Gebrochene Zahlen.) Definition: I)

• b — a, auch wenn b kein Teiler von a ist.

m a a • ii a a : in b — b • ii' b — b : in ’ sm a b _ a+b a b a—b p+p " ~p~' p” p — ; m a £ a_c a ec= a d ' b" b oder a = b oder a 1,

— 1,

< 1 und umgekehrt.

Also ein Bruch ist größer oder kleiner als 1, je nachdem sein Zähler größer oder kleiner ist als der Nenner, und gleich 1, wenn sein Zähler gleich dem Nenner ist. Z. B. | > 1, | — 1, | < 1. Wenn Brüche, die im Zähler und Nenner positive Zahlen haben, kleiner als 1 sind, so heißen sie echte Brüche, sind sie größer als 1, so heißen sie unechte Brüche. Wenn a man auf einen unechten Bruch p bei dem a und b positive ganze Zahlen sind, die Formel X des § 12 anwendet, indem man Q = 1 setzt, so kommt a . . a—b = 1 H----- b—. Sollte nun auch a — b noch größer als b sein, so wende

man die Formel X noch einmal an.

Dann kommt

= 2 +

.

Durch Fortsetzung dieses Verfahrens muß man, da die Zähler a — b, a — 2b, a —3b u. s. w. immer um b kleiner werden, schließlich auf einen Bruch kommen, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist.

Folglich

ist immer, wenn a und b positive ganze Zahlen sind, und a > b ist, a a — mb a — mb = m H------- £—, wo m eine positive ganze Zahl und —— < I ist. Hiernach gilt also der Satz: Jeder unechte Bruch

ist entweder gleich einer positiven

ganzen Zahl oder gleich der Summe einer positiven ganzen Zahl und eines echten Bruches. Z. B. £ = 1 + |, ^ = 24, = 14 + Die Summe einer positiven ganzen Zahl und eines echten Bruches nennt man eine gemischte Zahl. Jeder unechte eigentliche

Bruch läßt sich also in eine gemischte Zahl verwandeln und liegt deshalb

110

§ 13.

Zweite Erweiterung des Zahlengebiets.

seinem Werte nach zwischen zwei positiven Zahlen. Bei gemischten Zahlen pflegt man das Pluszeichen fortzulassen, z. B. 11 = 1 + 14| = 14 + j.

Ebenso läßt man häufig die Klammer fort, welche um eint gemischte Zahl (als Summe aufgefaßt) zu setzen wäre.

Z. B. 1 |a = 1 + j) a.

Negative Brüche, deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist, kann man ähnlich darstellen, indem man in der eben besprochenen Weist den ent­

sprechenden positiven Bruch behandelt und die entstandene Sumne negativ setzt. Z. B. -Y = -(1 + j) = -U,-^ = -5 Ti Mr gemischte Zahlen gilt der Satz:

Wenn

zwei

gemischte

Zahlen

gleich

sind,

so

müssen

sowohl ihre Ganzen wie auch ihre echten Brüche glnch

sein.

Die ganzen Zahlen, welche in den beiden gemischten Zahlen steäen, mögen b b' a und a heißen, die hinzutretenden echten Brüche mögen— und — heißen, b b' ‘ec so daß also a -s-------- = a' —T ist. Wenn a nun nicht gleich i/ wäre, so müßte eine dieser beiden Zahlen die größere sein, es sei a. Dann ist b b' a — a' "> 1. Daher entsteht in der Gleichung a — a' -|—- — welche

aus der Voraussetzung folgt, links eine Zahl, die größer als 1, rechts eine Zahl, die kleiner als 1 ist, was nicht möglich ist. Deshalb muß a = a' b b' und also auch — = sein. Faßt man die Verwandlung eines unechten Bruches

m eine ge­

als ein Divisionsexempel auf, so nennt man m „die

mischte Zahl m -f-

Ganzen des Quotienten", oder auch wohl kurz den „Quotimten", und r den „Rest" des Divisionsexempels. Ist der Rest Null, so war die

Division ausführbar, oder wie man sagt, sie „ging auf". Der Rest bei einem Divisions-Exempel ist immer kleiner als der Diaisor, weil f