Sammlung von arithmetischen und algebraischen Fragen und Aufgaben: [Teil 3] Ausgewählte Resultate zu beiden Heften [2. Aufl., Reprint 2021] 9783112602966, 9783112602959

Citation preview

Resultate zur

Sammlung von arithmetischen und

algebraischen Ausgaben rc. für

höhere Schulen von

Dr. Hermann Schubert, Professor an der Gelehrtenschule des Johanneums in Hamburg.

Ausgewiihlte Resultate zu beiden Heften. Zweite Auflage.

-------------

--------------

Potsdam 1892. Aug. Stein.

Aus dem Hormort zur erste« Austage. Wie ich schon in dem Borwort zum Buche selbst erwähnt

habe, enthalt diese- Heft die Resultate nur von solchen Auf­

gaben,

„bei welchen eine Beruhigung de- Schüler- über die

Richtigkeit der gefundenen Lösung wünschenswert erscheint, bei

welchen jedoch die Kenntnis de- Resultat- ihm die Denkarbeit nicht abnimmt."

Hamburg, im Januar 1884.

ImMuw Hutert

Hormort zur zweite« Austage. Die Resultate

sind einer

genauen Revision

unterzogen.

Bon denjenigen Aufgaben» welche bei der zweiten Auflage der „Sammlung" neu hinzukamen, sind die Resultate nunmehr hier hinzugefügt. Hamburg, Anfang Juli 1892.

Herma«« Kchmtzrrt.

Aus dem Hormort zur erste« Austage. Wie ich schon in dem Borwort zum Buche selbst erwähnt

habe, enthalt diese- Heft die Resultate nur von solchen Auf­

gaben,

„bei welchen eine Beruhigung de- Schüler- über die

Richtigkeit der gefundenen Lösung wünschenswert erscheint, bei

welchen jedoch die Kenntnis de- Resultat- ihm die Denkarbeit nicht abnimmt."

Hamburg, im Januar 1884.

ImMuw Hutert

Hormort zur zweite« Austage. Die Resultate

sind einer

genauen Revision

unterzogen.

Bon denjenigen Aufgaben» welche bei der zweiten Auflage der „Sammlung" neu hinzukamen, sind die Resultate nunmehr hier hinzugefügt. Hamburg, Anfang Juli 1892.

Herma«« Kchmtzrrt.

Erster Abschnitt. §2-

Krihenfolge der Krchengeschiiste. 10) a) 1999, b) 999999, c) 2400, d) 1. 11) a) 268, b) 124, c) 6282, d) 13500, e) 4530, f) 7548, g) 900, h) 15900, i) 164, k) 238, 1) 822, m) 1548, n) 86, o) 21900. 14) a) 152, b) 1019, c) 1, d) 1. §3.

Hvchftaben-Husdriicke. 14) a) a) 604, ß) 704, y) 834, d) 944, e) 1004, £) 1044, i?) 1134; b) a) 556, /?) 616, y) 694, d) 760, e) 796, $) 820, 17) 874; c) a) 516, /?) 536, y) 562, d) 584, e) 596, 0 604, 17) 622; d) a) 504, 504, y) 604, d) 504, e) 504, £) 504, 7) 504; e) a) 170, /?) 540, y) 1320, d) 2244, e) 2850, 0 3294, 17) 4410; f) a) 60, ß) 150, y) 267, d) 366, e) 420, £) 456, -7) 537; g) a) 36, ß) 126, y) 243, d) 342, «) 396, f) 432, -7) 513; h) a) 150, /») 530, y) 1323, d) 2258, e) 2870, £) 3318, 17) 4443. 15) a) a) 4990, ß) 9980, d) 99991; y) 1188, y) 1180, ß) 9940, d) 99989; b) a) 4970, /?) 2020, d) 90001; c) a) 3010, y) 436, d) 6000, d) 91000; y) 624, d) a) 4000, e) a) 4000, /?) 6000, d) 91000; y) 624, d) 99991; ß) 9980, 0 a) 4990, y) 1188,

8 3.

6 g) h) i) 16) a) b)

c)

d)

.«) f) g) h)

a)

b) c) d) e)

f) g) h)

18) a) 19) a) b) c) d)

Buchstaben-Ausdrucke.

§ 3.

/») 9940, y) 1180, S) 99989; n—m n*+n*) 165) 156) mn 154) 16

133)

157) 160)

185) 189) 193) 197) 200) 202) 204) 207) 210) 212) 214)

Lab 158) 0 159) + a —b 4ac + 3b 8x*—13x4-6 4a*4-a*b-9»b«4-2b» 161) x'^ 162) 2ai — 6ab 4- 3b*~‘ bc 3x —4y + 5z, 186) a 4-5, 187) a —5, 188) a + b, a — b, 190) x 4- 3, 191) x — 4, 192) 7a 4-11b, 2a—1, 194) u-f-v, 195) a-j-b—c, 196) x-j-y-j-z, 3a + 4b + 5c, 198) a+b+c, 199) x84-xy4-y*, x‘-xy + y» 201) x» — 2xy + 4y*, 9x'-s-6xy-t-4y', 203) 12m —3n —2, 5x»+x+4, 205)2a‘-9a+8, 206) 1—9as-7a\ y’-Hy4-^5, 208)4xa+3x1+2x4-l, 209) 5a->-7. 1 — 5a*, 211) - 4a’b* + 7a4b 4- 5a6, 2x° — 3x*y + 4x*y*, 213) 3b4 — ab8 + 2a*b*, — a‘ + 6a*b — 12ab8 + 8b8.

12

§ 13.

Zweite Erweiterung de» Zahlengebiets.

§ 13.

§ 13.

Zweite Erweiterung des Zahleugebirts. 22) 28) 38) 62) 68)

A, IM, HK; Hi, 8/r,

23) AVr, 24) |, 25) 2^, 26) flfc, 29) W, 30) 31) 2A; 36) 2^, 50) tf, 51) Ä, 51J Hö, 52) 6^, 63)3», 64) K, 65)2, 66) 1», 69) tf», 70) 80».

27) «, 37)8/«, 53)3»; 67) 1»,

78) 0, 79) - 1A, 80) +», 81) -5», 82) -2, 83) 3, 84)0, 85)-»», 86) lfH87) l»a+»b, 88) 3»b, 89) »x + »y —Hz, 90) 3ab —»ac -4»bc —2, 91) 4|a — »b — »c, 93) —llx + 1», 92)3|a —Ab + 6, 94)

98) 100) 102) 103)

+ 3b

2a ------

lob 95> 32p’

96) A,

97) Hy 4-2Asx,

a2 — 6|»ab — b8, 99) 84a2-3ab + Ab1, rAb — A, 101) $a2-|-»ab-|-ib8, 3a2-»b2-Äa-Ail 2|x2-3»xy + 5»i + »y2-2Ay + i 104) »asc — 3Ja2b24-5b8c8, i —|— x —|— x8, 10^K-t+Si’

105) 1 — x4~x8,

107)S'

231a' 108) 3»a, 109) 4bc ' 110) 11» a, lll)2bc+2^b+abc, 4b*+3c* 1in Q o . o » 112) ftP* + b2P*+ cP' 113) 6a* — I2.d7 ' 114) 2a-a8+3a8, -------

35ap 3r näx 10x4-13 llb) 18p"'

115) lfp

119) 122) 125) 127) 129)

6ar , a' , 4pr 35 q ‘ 2q • 5a *

117)2x4-,,

US)

»ab —»c8, 120) 2»ab — l»c8, 121) 6a —3b, 123) 2p —1, 124) »a8+»ab+b8, ip —14, 126) 56a8 —48ab + 40b2, |- iy + tz, 4a —6b + 6»c, 128) 3»x8+» x2y+» xy8+A ys, Ha2 —Äab + ib8.

156) 750 jH, 158) 112» Stück Zeug.

157) 21840 uT,

§ 14.

Wichtige Berwandlungsformeln. § 14.

194) 10018, 197) 4 Ä,

195) -U, 198) 16&,

202) a(2jb —3i c),

203) 2s’gb -j- 1 i*ic,

205) ja2 + £b2 —-4Hiab,

206) -z^,

13

196) 87 M, 199) 6HL 207) x-tty,

208) 5p* + 15iq2 4~ 21 r2 — 22f|pq + 38l|rp — 40{8qr. Bei den Aufgaben 216) bis 223) ergeben sich folgende Weste:

216) 219) 222) 244) 248)

5x—18, 217) 54x —231, 218) 4jx-^-7z, 131220) 3-x' —7x —liz, 221) —53^x4-231, 11x7- + Ty4, 223) — 1 üxy4 - 6f|y5. x = i, 245) x = 171, 246) x = 6$, 247) x = 7, x = 7 f, 249) x = |, 250) x = 3H, 251) x =

Birtter Abschnitt. S 14.

Wichtige Herwandlungsfonneln.

21a«4-a —9 4a« —1 9a«b 4- 2ab« + 3b« 109) a» + b»

107)

22x« —67x —180 46 (x« — x) x1 + 2ö x — 126 108) 6x (25 — x1) xy1 — x*y — y» 110) x4 — y4

Sp'-i-q2 9p«-q»

104)

106)

§ 15.

Hie iumoutsche Form der Ausdrücke. 1) 3) 5) 7) 8)

—ab+12ac—be—öbc+Bc1, 2) — 5a->-9b—3 y— — 3A iz = -i

101,)

X=1 y=2 2=3

103)

x= a y== —b 2 =--- C

106)

x=2 y=3 2 =--- 1

23

24

8 24. Eingekleidete Gleichungen ersten Grade- mit mehreren Unbekannten. 8 24.

x=2 107)

y=3 z—4

x=12

108)

y—1,5

111)

y=iT

z=14b—3a+-j-

p(ei —hf) + q(hc--ib)4-r(bf—ce) z analog; a(ei —hf) + d(hc--ib)+g(bf-ce)' y Ue x— 1

114)

y=2 z —1,5

x=-| — 2b

z = 2,5 112) x

x— 1 109)

z = 20

x —0,5 110)

y=—16

z^r1

x— 1

x=4

n5> -

w=— 2

116> W= I5

y=2 z=3 w=—3

a = 0 b = 1

117)

c = 3 a'= 1 b'= 2 c'= 1.

§ 24.

Eingekleidete Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten. 1) 5 und 2. 2) 3 und 4. 3) a) & und H4) 5) Die Geschwindigkeit des Schalles: 333m, die des Windes:7 m. 6) Dauer des Depeschierens: 30 Min., Zeitdifferenz: 14 Min., 7) 9 Jl 20 bezw. 3 Jl 70 8) 10 Aufgaben falsch, 50 Aufgaben richtig. 9) 24 Personen dafür und 12 Personen dagegen. 9t)34 Zwanzigmark- und 20 Zwanzigfrank-Stücke. 10) 7 und 9. 11) 124. 12) 86. 13) 428 und 571. 14) A hatte 7500 Jt, B) 4500 beigesteuert. 15) Das erste Kapital betrug 12500 Jt, das zweite 10500 Jl. 16) Der Schiffsrumpf war mit lj^, die Ausrüstung mit 1& versichert.

§ 2d. Zwölf Gleichungen aus der griechischen Anthologie. § 25.

25

17) Das l Weißwein 1 Jl, das l Rotwein 2,50 Jl. 18) 1 kg vom grünen Feuerwerkssatz, 2 kg vom blauen. 19) 190 gr Schwefelsäure. 20) l/g Pfund weniger. 21) 24 cm und 32 cm. 22) 175 m und 25 m in der Sekunde. 22j)A legte 5 km, B 6 km in 1 Stunde zurück; die beiden Örter sind 33 km von einander entfernt. 22,) A war um 7, B um 9 Uhr aufgebrochen; 24 km. 24) Die Maschine treibt den Dampfer in der Stunde 16§ km weit, die Stromstärke 4| km weit. 25) 36 Wochen; 30 Kühe. 26) 6 und 2. 27) 400 qm, 25 qm. 28) 2, 3, 5. 29) 12, 24, 36. 30) 248. 31) 374 mal 586. 32) Lessing zählte 50 Jahre, Herder „ 35 „ Göthe „ 30 „ Schiller „ 20 „ 48 Äpfel, 33) 34) A besaß anfangs 89,80 Jl, B 45 Jl, 64 „ C 22,60 Jl, D 11,40 Jl, E 5,80 Jl, 88 „ F 3 Jl, G 1,60 Jl. U24 „ 35) Es stellten die Phoker, Lokrer, Eleer, Ätoler je 40 Schiffe, „ Böoter, Athener, Myrmidonen je 50 „ Argiver, Kreter je 80 „ Lakedämonier, Arkadier je 60 „ n Pyler 90 „ das Gefolge des Agamemnon 100 „

§ 25.

Zwölf Gleichungen aus -er griechischen Anthologie. 1) 2) 3) 4)

DaS Gewicht der Trinkfchale beträgt l j Minen. 40 Talente. 97,5; 98,5; 99,5; 100,5; 101,5; 102,5 Drachmen. 4|| Talente und H Talent. 5) A Tag.

§ 26.

26 6) 7) 10) 11) 12)

Arithmetische Reihen erster Ordnung.

§ 26.

A erhielt 1| Talente, B 2f Talente, die Witwe 1 Talent. In H Tag. 8) In H Tag. 9) 4f Stunden. A hat 151, B 18 f Minen. A besitzt 3|, B 4| Minen. 301 Minen Gold, 9| Minen Kupfer, 14 j Minen Zinn, 5j Minen Eisen.

§ 26.

Arithmetische Krihen erster Grdnung. 1) s=436400.

2) 8=8050.

5) 156 Schläge. 6) a) 6633;

3) s=1430. b) 165150;.

4) 8 = 1218. c) f(lfn).

8) um 1900. 7) 176,4 m. 10) d=3. 11) d = 33 J. 9) d=273. 13) um 20 Jl. 12) d=4. 15) 2=643. 16) z = 250. 14) 2=320. 18) 875 Studenten. 17) 6450 Jt. 20) a=540. 21) a = 228. 19) a=200. 22) a) 8 Karten; b) 12 Karten. 24) n=1165. 25) 11 Stunde». 23) n=87. 26) 1,1; 1,2; . . ............... 1,9. 27) 15; 26; .................... 235 28) 11°; 12°; . . ............... 25°. 29) 2sm. 31) 128572. 32) 371250. 30) 273. 34) 775 Jl. 33) a=7; d = 5. 34,) Um 2 m, Summe aller Parallelen 475 m. 36) .)d=i5S, b)d=^i, o)d=4^=!;

d>

36) a) A-r 1X> Ä» A, Ä»

e> » = 2-(n-l)d.

Ä-

§ 27.

DaS Quadrieren und seine Umkehrung.

§ 27.

27

Wnster Abschnitt. § 27.

Has Huadrirrrn und seine Umkehrung. 82) 85) 88) 90)

91) 102) 103) 104) 105) 106) 107) 108) 109)

17'943696. 83) 61'795321. 84) 1'054729. 5'593225. 86) 99'980001. 87) 152'423716. . 223967'455504. 89) 2503'901521. a) b)

1> 12) x = a 4~ b, y = a — b. ld) Ix, = 3|, y, = -3f. = 1, 71 = 2;

1°>6

' — r$f 7i — 2. = i, 7i = i; = 1,7, = 1.

18)6 =

16) = 7, = 2, y, — x, — 1: lx, = y4 = l|-|-iiV^5, y, = x4 = U — iiV55. *i = 3, yx — 2; 55) *» = — 2, y»= — 3; £{ = + *±4^31, y’| = —i±HV3l.

54)

56)

(*i = 7s = 3, yi=x, = 2; )xl = y4 = 2i + |iV51, y8 = x4 = 2i-}iV51.

57)

*i = 3, y, = 2; *t= 2, y, — 3; *;} = + f±hV3, ^} = -i±8iV3.

58)

*1 = 7s = 4, 71 — Xg = 1; ** = 7< = 24 + i i V381, y2 = x4 = 2| — j i V381.

59)

*i = 7s = 2, 7i = ^ = 2; *8 = 74 = 2 ~|“ 4 i V35, 7a = *4 = 2

60) 61)

J i V35-

*i = 7s = + 2, y, = xs = + 3; *8 = 74 = — 2, 78 = x4 = — 3. *i = 7s = 4, 7i = x, — 1; xi = y4 = 21 + 4i V381, y2 = x4 = 2J- H K38L *1 ---- Ul 71 ---- li

62)

*8 = 4, 78 = 3; *3 = Ul 7s — f-

63) x1 = x8 = y8=y4 = 4-4, 7i=7e = *3 = *4 =—4.

K 33.

Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten in arithmetischer Sprache. § 33.

Xi = 1, 71 = 2;

64)

x» = —21, 72 = 1:

^3} = -i+ 1V65, ^} = i+lV65. Xi = l,7i = l;

65)

= — 4, 7, = — 9;

*49} = 1±ÜV23, ^} = -l + liV23. x, = 7S = 1, 7, = Xj = 3;

66)

*e = 7« = — 1, 7e = x4 = — 3;

*}=±W,

£} = ±V5.

Xi = 73 = 1 + ir 71 = X, = 1 — i;

x, = 7« = — 1 + i, 7s = x4 = — 1 - i;

67)

y=±2'^=±1-

r}=±'.

£}=+*■

X1 = 1,71 = 0;

68)

Xe = — 11,7e = 6;

£} = -4$±$V22l, ^} = 3f + W22l. xi = 6, y, — 1;

69)

Xe = ~ 1,73 = —6;

^} = + 2i±liV3, y«} = _2i±iiV3.

ro) y=±8' ,:}=±472) ^}=±*iy57,

7i> £}=±5’ j}=±«

y*} = ±?TiV57.

,3) ^}=±6' ';}=t274) ^} = -A, ^} = -ii±ÄV55465.

46

§ 33.

Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten in arithmetischer Sprache. § 33.

75i Jxi=4'yi =4; 76i {^ = 1»yi = 1; ’ txg — 37k, yg — — 117x. 7 ' txg = 1, y2 = — 2z.

771 jxi = y8 = 4-yi =x3 = i; _ ’ Ix, = y4 = 2i + iiV§9, y8 — X. — 2$ — $iV59.

77g) x. = 2, y. = 5,...

77.) x. = 4, y. = — 1,... f • • •

77.) x. = 6,y. = 5,...

77s) x. — 2V^, yi = VS, • • • £>=±4;}=^

78)

El=**■;:}=**•

80) »J = -8' yj = ±4' 82)

7*•=“■ y>=*•

s*i = *» = +1» ji = y» = +!; 83) 1*3 = x4 = — 1, ys = y4 = — 1. 84)

(Xi = + 3,yi = + 6; v*a = 6, Jj = 3.

/xi = y2 = 5, y, = xg = 2; 85) U“y4=-2*+ M®, y,=x4 = -2^-AV2001. pt = l,yi = 4; 86) (la = 0, y2 = 0. 88) *} = 16$ +1V2337;

ft7x Jxj = l, yi = 4: ’ txg = — Ä, y8 = if; } = - 11$ ± JV2337.

89) y = &i?o± gAoiV17919,

£} = 44-0 + ^17919.

90) x — 140$, y — 138$.

91)

*i = 4, y. = 6; Xg = — 4, y2 = — 6; x8 = y4 = + 2iV6, y, = x4 = — 211/6.

92) kein Wertepaar.

93i /xi = ö-yi = 4; 93) Ix, = 6, y2 = 4.

8 33.

Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten in arithmetischer Sprache. § 33.

0 ist.

x —5-t-54d x= 6 21 b) y= 1 9 X — 11 18 25 b) y— 1 12 23 x = I1 2 3 b) y= 15 14 13 X — 4—1-5 d a) y = 3+7d.’ iUJ x —4-s-lld d) y=2—4d '

27) 28) 29) 33) 34) 35) 36)

11) b) X

= 2 11

y 16 26

17

X—

13) b) y = 15) b) 1 = 8 y = o.

.

15

. 1 . x = 3+19d y = 24-13d;

1

16) b)

2 11 22

9 18 21 10 18) b) X = y= 10 26 x = 4+7d c) y = 13+25d>

. x = l + 9d e) y = 7—5d’

a) 1 und 2; b) 1 und 13 oder 8 und 7 oder 15 und 1. a) 44 und 56; b) 77 und 23. 10 und 64. 31) a) 26; b) 42a-s-26. 4 Stöcke ju7 J und 3 Stöcke zu 5 uf. 3 Zehnmarkstücke und 7 Dreimarkstücke. 7 Flaschm Moselwein und 2 Flaschen Rheinwein. 104 Personen.

x—1 38) Keine Gruppe von posiüven y—2. ganzen Zahlen. z —2 x—1025d-s-5l x —9d d >Oift. 40) {y= 551d-s-5 ' wo wodOift. 42) {y—14-s-77d wod0 ist. u=45564-454 x=2606 y=3646 49) a) 117; , wo 6>0 ist. 48) z = 1406 b) 380n4-117. v=4556 0=18206-1 50) 999. 52) 419 Schüler. 53) Um 11 Uhr, 2 Uhr, 5 Uhr u. s. w. 54) 36 Stück Kommißbrot, 2 Stück gemengtes Brot und 39 Stück Weißbrot. 55) Entweder 36 Lichtevon jAy, 15Lichtevon^Ay, 91Lichtevon^Ay, oder 28 Lichtevon | Ay, 30Lichte Don&kg, 84Lichte tion Ay, oder 20 Lichte von Ay, 45Lichte von^yAy, 77Lichtevon4rAy, oder 12 Lichtevon ZAy, 60Lichtevon^sAy, 70Lichtevon^rAy, oder 4 Lichtevon | Ay, 75Lichte von^Ay, 63Lichtevon^Ay.

[x = 1 1 i 4 3

X —4

|x=9i 4 58) y=l!4 [z = 3| 3

y=l 2 1 1 3 57) y=i ,z= ■ 3 1 2 2—1. 1 _Q. jx = 3a — z l wo a>l, und z dann>0, aber &y^ ty = 4a-|-3z —10/' l, und z dann > 0, aber (y = 2a—z — 1 /' 0 und y>0 ist.

62) Keine Gruppe von positiven, ganzen Zahlen. x= 1 xa — 3 a x, Xg , also z. B. für 63) 1=1 M> x4= — 14a-j-17x1—2xg a—1 ,x4—ljXg^—1, xä = 12a — llx1-|-x2 Xa=l,X4=l,X5=2. u = 2. ’x = ■1; 1 1 2 7i 4 1 3 y= 66) x = y = z = l. z= 1 2 3 1 u= 1 1 1 1

§ 46. Diophantische Gleichungen. § 45.

| 63 + 11 + 26 67) 100 = ’ 28 + 33 + 39 I 21 + 66 +13.

67

68) a) L b) l, L, c)i,

69) ») A + n + Ä oder i + ii + oder i + A + H »der 4 + & + H oder i + -^ + fi oder 4 +1 + -fä; d) 4 + 4 + vi 4~ rs70) 2 Gänse, 7 Enten, 3 Hühner und 10 Tauben; oder 1 GanS, 3 Enten, 11 Hühner und 7 Tauben. 71) 2 Mitglieder gaben 20 Jl, ein Mitglied gab 3 JL 72) Die Nummern 69369, 78378, 87387, 96396. 75) ») x = 10r;(r2 + l), y = 5(r2—l);(r’+1), also für r = 2:x = b) x = y = ^; = 4,y 4, y = = 3; 3; 3 + 2r

,r1 + 3r + l. y= r8 —1 ’ 2r — r* _ r8 —1 4) X — a*l-r + r«' y —l-r + r8: 4r* + 2r _ 4r + 2 e) X —r* + 2r + 3' y — r8 + 2r + 3; 3r* + 4r — 1 ZL3r8H-or+2. f) x = —^3------- , y — 3 — 24-ör + r2 16 — 3r — r’ g) X— 2 + 2r ' y = —2 + 2—’ h) x = r, y = r — 1.

c) x =

68

§ 46. Arithmetische Reihen höherer Ordnung, g 46. — 8 47. Kubische Gleichungen. § 47.

§ 46.

Aritharetische Aeihm HLHerrr Grünung. 10) a) a) 178, /?) 748); b) a) 286, /?) 1261; c) o) —146, /?) —791; d) o) 160, /?) 662z. 11) a) 1088; b) 439; c) —885. 15) a) 728; b) 1058; c) - 1830; d) 537$. 17) 166485. 18) 23634. 19) a) 210; b) 1540. 20) 1, 1Ä, 2i, 3/j, 4, 56$, 7£, 9,... 31) a) ln*(n+l)’, also [(n + l)2]8; b) 19747; c) &n (3n8 + 10n8 + 15n + 20); d) ^n8 (2n* + 6ns + 5n8 — 1); e) &n (n8 — 1) (3n8 — 2). 32) 1, 63, 665, 3367. 38) q (2q - 1). 39) 30340 Äugeln. 40) t(2a’ + 3a8 + a — 2b8 + 3b8 — b) Äugeln. 41) 1485 Äugeln. 42) 27 Äugeln. x(l — x“ + nx“ + nx“ + *) 43) a) (i^r ' x[l -{-x — (n+ l)8x“+ (2n8+2n — l)xn +1—n8x"+8] b) (1-x)8 X(l-x). X (1 + x). c) j (1 + x)8’ (1-x)8’ Pq (1 x)8 —(p ~~f— q) dx (1 x) -|- d8x (1 + x) e) (1-x)8 § 47.

Kubische Gleichungen. 1) 3) 5) 7)

-1; i±üV3. -3; |±ÜVJ. 1; -$ + ÜV3. 7; -i + §iV3.

2) 4) 6) 8)

3; -$±$iV3. 4; —2±iV3. —2; l + 2iV3. -7; $ + iiV3.

9) 11) 13) 15) 17) 19) 21) 22) 24) 26) 28) 30) 32) 34) 36) 38)

10) 11; — y±i£V3. —5; 5 + |iV3. 10; — 5 + 2iV3. 12) 1; -4±4iV3. 14) -2; l±3iV3^ 5; — I+ÜV3. 16) 14; — i±HV3. —1; 18) 4; -i + AiVS. i; -ı*iV3. -4; 4±4iV3. 20) 14; -f±JiV3. a + b; — J(a-|-b) + i(a-b)iV3. 23) 2a; — a + biV5. b; —ib + (a+$b)iV3. 25) 4; — 2 + 3i^_ 2; - 1 ± i V6. 27) —4; 2 + iV15. 1; -i + 3i. 29) 2; —1 + 31V2. 6; —3 + 3L 1; -i±4iV6. 31) -i; i±ÜV6. 2c; —c + iV5d. 33) e; —je4~iV3ef. —1,076;0,538±i»3,297. 35) -l,941;0,970±i»4,982. —0,934;0,467±i« 1,287. 37) -3,047; l,523±i.0,981. -3,069;l,535±i. 1,032. 39) 4-3,948;—1,974^-1,64.

41) 4-1; 4-3; -4. 4-1; 4-2; -3. -2; -3; 4-5. 43) -1; -4; 4-5. 45) +3; +3; — 6. -5; -7; 4-12. 4-3; 4-7; -10. 47) 4-2; 4-5; — 7. -i; 4-iL4-i. 50) 49) 4-4; 4-4; -452) 2; l + iV3. 1; l±iV3. _ 3; -2 + iV3. 54) 4; 3±i. 56) 7; -4±mfi 5; — l + 3i. i; 2±iVT. 58) i-bfi. h; h±iVg. 60) h; f + 63) 2; 3; 4. 1; 2; 3. 62) 1, 3, - 2. 2; 5; -10. 65) -3; -2; 4-8. 66) 10; 15. i; 4; -4. 68) 4; 4; 469) 1; 4; 2. 72) 2a; 3a 71) 4; 5; i; ?, — — |i V 6yä~— 3 + } V3 + 2y5~ |x»=yu = -iiV6i/3"-3-4i/3 + 2vr In der dritten Gleichung muß es 17 statt 9 heißen, dann kommt: *1 = 1, h — 2, Zt — 2; 95) x, — 2, y, — 2, z, — 1; x» = 2, y, = 1, z3 = 2. 96) Dieselben 3 Wurzel-Tripel wie in 95). 97) x = 2, y = 3, z = 1. 98) n) t oder — \ + iV13 — oder i — i V13; b) & tot-Ä +_ÄV397 oder-H-^V397; c) |V3 oder — |V3. 99) Der Bruch f. 100) a) l,2,4,8oberl,—i + )iV19, - 4tgx—4tg*x x 7tgx—35tg*x+21tg*x—tg’x a- i_3tg«x ' > 1—Gtg’x+tg’x ’ 1—21tg*x+35tg^x—7tg*t"

128) a) 3V2.e*i’r; b) 3V2.e^" c) 1/2»«^"; d) e^1”; _«iyj. ' i e) e» ; f) 4e , wo », zwischen n und Zrr liegend, gleich arotg^15 ist; g) 3»10; h) 3»e1Jr; i) S.eT1”;

k) 3.«?'";

130) a) |co6x(ey + e—y) — jisinx^ — e~y); b) isinx(ey-i_e-,) + iiC08X(ey — e-y); . ______ 2sin2x_______ . . e37 — e-3y ____ c' e3y+e—3y-f"2cos2x-'_1e3y + e-3y + 2co82x’ ______ 2sin2x________ e*y — e~*y ' esy4-e-,y — 2cos2x ^v’y-s-s-’y— 2cos2x’ Vq

3”_

132) a)-ji(e”-e-,r); b) —y—------ v--------- i-r----------- t-------- ; e^ + e-^-l e^+e-^-l c) i(e+e-*)+iiy3(e —e-1);

e) e^ + e-^'

d) {(e+e“1);

135) Unter den unzählig vielen Werten von der Form a-|-ib lautet derjenige, bei dem der reelle Bestandteil a nicht negativ und möglichst Nein ist: a) iZ(2 + V3); b) + c) ^ + iZ(3-2V2). 136) e^” 137) e-*” 138) e”**. 139) e~”. 140) 1.

2k4-l 2k,+ i; Z2 U-j-2?^ (2k+l)+i[(21c+l) ^4-21^ 12] (Z4)8+4k,87I8 6k —1 6k' + r § 50. Gleichungm tut aügemeinru. 1,346-|- 0,253 i 0,9404-0,996i 1,314 + 0,524 i 0,176 +1,358 i 0,410+1,353 i —0,656-j-1,202 i — 0,803 + 1,164 i — 1,237+ 0,587 i 14) 11) — 1,411 +0,098 i — 1,346 —0,253 i — 0,956 —1,042 i -0,940 — 0,966 i 0,218 —1,397 i —0,176 —1,358 i 1,228 —0,700 i 0,656—1,202 i 1,237 —0,587 i 29) Die sonstigen Wurzeln sind: a) 5 und 3; b) j und — 1; c) 5 und — 1. 34) a) x8—6x8+llx —6=0; b) x8—8x8+19x—12 = 0; c) xs—2x8—x-j-2=0; d) x8—4{x8+§x+l|=0; e) x$—16x=0; f) x4 — lOx8+35x2—50x+24 = 0; g) x4 - 12x8+21x8 +118x—240 = 0; h) x4 — 5Hx8 + 10jx8—5^x+l = 0; i) x6—5x4+ lOx3—10x8+öx — 1 = 0; k) x4 —6x8+8x8+2x —1=0; l) x4 — 6x8 —I“ 18x8—32x —|— 24=0.

39) a) (x — 1) (x—2) (x — 4); b) (x-1) (x-l)(x-6); c) (x+l)(x+3)(x-4); d) (x-3)(x-Hi)(x-l-i). 41) a) —a’-f-3ab — 3c; b) a4 — 4a8b-|-4ac-f-2b2—4d; c) a8d—4bd + c«; d) 3a2 —8b. 42) x4 — s • xs +1 (s2 — q) • x2 — | (s3 — 3sq4 2 k) • x 4- & (s4 - 6s2q + 8ks + 3q2 — 6r) — 0. 43) a) y3 + 2cy8 + 4dy + 8e = 0: b) y8+(c-3)y8+(d-2c+3)y+(e+c-d-l)=0. 55) a) /?) x8 + x — 2—0; b) ß) x3 — 6x8+ llx— 6=0; c) ß) x3—x=0; d) ß) x2 — 4=0; e) ß) x2—3x4-2=0. 57) 2; 2; —1; —3. 58) 1; 1; 1; —3. 59) — 1; — 1; 1+i; 1—i. 60) 1; 1; —14-2i; — 1 — 61) 1; —1; —2; —6. 62) 1; 2; 3; —2. 63) 1+i; 1 —i; 2 + iV2. 64) i; 1|; — 1; — 1. 65) 3; - 3, + 3i; — 3i. 66) 1; 2; —1; —2. 67) 1; 1; 2; f. 68) +1; ±2; +iV2; ±il 69) 54°22'