Algebra: Teil 2 Theorie der algebraischen Gleichungen [3. verb. Aufl. Reprint 2011] 9783110836035, 9783110029277

Citation preview

Göschens Lehrbücherei 1. Gruppe

Reine und angewandte Mathematik Band 9

Algebra Von

Professor Dr. Oskar Perron II

Theorie der algebraischen Gleichungen

W a l t e r de G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J. G ö s c h e n ' ä c h e V e r l a g ^ s h a n d l u n g J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g — G e o r g R e i m e r — K a r l J. T r ü b n e r — V e i t & C o m p .

Berlin W 35 1951

Algebra Von

Dr. Oskar Perron o. ö. Proft-i'.'jr der Mathematik an der Universität München

II

Theorie der algebraischen Gleichungen

Dritte, verbesserte Auflage

Mit 5 Figuren

W a l t e r de G r u y t e r & Co. o r m · l § G. J. G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s b a n d l u n g J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g — G e o r g R e i m e r — K a r l J. T r u b n e r — V e i t & Comp.

Berlin W 35 1951

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten

Archiv-Nr. 120551 Druck von Waller de Gruyter & Co., Berlin W 35

Vorwort zur zweiten Auflage. Die Grundsätze, die mich bei Abfassung des ersten Bandes geleitet haben, sind auch für den zweiten maßgebend geblieben. Ebenso wie bei der zweiten Auflage des ersten Bandes habe ich mich auch jetzt bemüht, diese Grundsätze noch stärker zur Geltung zu bringen. Vor allem soll der Unterschied zwischen der älteren funktionentheoretischen und der modernen auf den Körperbegriff gegründeten Algebra dem Leser nachdrücklich zum Bewußtsein gebracht werden. Da aber das Buch in erster Linie für die Hand des Studierenden gedacht ist, wurde die Stoffauswahl nach den tatsächlichen Erfordernissen des Lernenden vorgenommen und wurde versucht, alles in möglichst leichtverständlicher, aber natürlich in absolut strenger Form darzustellen. Im zweiten und fünften Kapitel ist nur wenig geändert. Dagegen hat das erste Kapitel eine starke Erweiterung erfahren, und die beiden wichtigsten Kapitel, das dritte und vierte, sind erheblich umgearbeitet und durch Hinzunahme einiger früher weggelassener Dinge besser abgerundet worden. Dabei konnte ich manche Bemerkungen, die mir von freundlichen Fachkollegen zugegangen sind, verwerten; insbesondere fühle ich mich den Herren Professor Hasse in Marburg und Professor Verriest in Löwen für wertvolle Ratschläge zu Dank verpflichtet. Vor allem gilt aber mein Dank auch wieder den Herren Dr. B o ebner und Dr. A um an n, die beim Lesen der Korrektur mich tatkräftig unterstützt und zu wesentlichen Verbesserungen angeregt haben. München, im Januar 1933.

Oskar Perron.

Vorwort zur dritten Auflage. Auch für diesen Band kam natürlich nur ein anastatischer Neudruck in Frage. Immerhin war es möglich, eine Reihe kleiner Änderungen und Verbesserungen anzubringen. München, 1948

Oskar

.

Inhaltsverzeichnis. Erstes Kapitel. Numerische Auflösung von Gleichungen. Seite

§ § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Reelle und komplexe Wurzeln Sturmsche Ketten Vorzeichenregeln von Fourier-Budan und Descartes Die Säkulargleichung Das Hauptachsenproblem Abschätzung der Wurzeln Die charakteristische Gleichung einer Matrix Beziehungen zwischen den Wurzeln eines Polynoms und gewisser zugehöriger Polynome § 9. Numerische Auflösung von Gleichungen § 10. Die Näherungsmethoden von Daniel Bernoulli, Gräfle und BrodetskySmeal

l 7 14 19 21 30 35 41 47 51

Zweites Kapitel. Gleichungen bis zum vierten Grad und reziproke Gleichungen. § § § § § § §

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

Einheitswurzeln und Radikale Die Gleichungen zweiten und dritten Grades Trigonometrische Auflösung der kubischen Gleichung Die Gleichung vierten Grades Zwei Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten Tschirnhaustransformation Reziproke Gleichungen

57 63 69 74 81 86 91

Drittes Kapitel. Substitutionen und Gruppen. § § § § § § § § § §

18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

Substitutionen Zyklen und Transpositionen Gruppen Gruppen endlicher Ordnung und Komplexe Die zu einer Substitutionsgruppe gehörenden Polynome Untergruppen und Nebengruppen Konjugierte und ausgezeichnete Untergruppen. — Faktorgruppen Kompositionsreihen. — Metazyklische Gruppen Kompositionsreihen der symmetrischen Gruppen Abelsche Gruppen

96 100 104 107 113 117 120 123 130 134

VIII

Inhaltsverzeichnis. Seite

§ 28. Hilfssätze aus der Zahlentheorie § 29. Lineare Gruppen § 30. Polyedergruppen

139 147 154

Viertes Kapitel. Die Galoissche Gleichungstheorie. § § § §

31. 32. 33. 34.

§ 35. § 36. § 37. § § § § §

38. 39. 40. 41. 42.

Vorbereitende Sätze Die Galoissche Gruppe einer Gleichung Weitere Eigenschaften der Galoisschen Gruppe Wirkliche Aufstellung der Galoisschen Gruppe in einigen besonderen Fallen Reduktion der Galoisschen Gruppe durch Adjunktion Adjunktion eines Radikals Darstellung durch Radikale. — Auflösbarkeit einer Gleichung durch Quadratwurzeln Kreisteilungsgleichungen Resolventen der Kreisteilungsgleichungen Die durch Quadratwurzeln darstellbaren Einheitswurzeln Die durch Radikale auflösbaren Gleichungen Affektlose Gleichungen im Körper der rationalen Zahlen

158 165 173 175 181 188 192 196 202 209 213 219

Fünftes Kapitel. Die Gleichungen fünften Grades. § § § § §

43. 44. 45. 46. 47.

Auflösung der metazyklischen Gleichungen fünften Grades Die Normalform von Brioschi ;.. Hilfsformeln aus der Theorie der elliptischen Funktionen Die Galoissche Gruppe der Jacobischen Gleichung Resolventen fünften Grades

Sach- und Namenverzeichnis Verzeichnis der Sätze

226 228 235 241 250 258 261

Erstes Kapitel.

Numerische Aufl sung τοη Gleichungen. g 1. Reelle and komplexe Wurzel·. 1. Sind die Koeffizienten einer Gleichung komplexe Zahlen, so hat sie nach dem Fundamentalsatz der Algebra auch komplexe Zahlen zu Wurzeln. Im gegenw rtigen Kapitel wollen wir uns damit besch ftigen, diese Wurzeln ihrer absoluten Gr e nach abzusch tzen und numerisch zu berechnen. Dabei handelt es sich ebenso wie beim Beweis des Fundamentalsatzes selbst vielfach um Methoden, die weniger der Algebra als der Funktionentheorie angeh ren ; doch werden wir mit sehr bescheidenen funktionentheoretischen Mitteln aaskommen. Satz 1. Sind die Koeffizienten des Polynoms ganze Zahlen, und zwar α« Φ 0, cr„ Φ 0, so sind die etwa vorhandenen ratiok nalen Wurzeln alle von der Form i -y, wo k ein Teiler von aH und l ein Teuer von ce ist. Wenn also insbesondere a9 = l, so sind die rationalen Wurzeln notwendig ganze Zahlen. Ist n mlich r eine rationale Wurzel, so iat das Polynom teilbar durch χ —r, und folglich hat man die Zerlegung a^x* + aix*~l H ---- + an = (x - r) (o,**-1 + M"~2 + · · · + V-i), wo auch die bf rationale Zahlen sind. Nach Bd. I, Satz 75 gibt es dann aber eine quivalente Zerlegung (l) \a* + α,χ»-1 + · · · + α« = (& - *) (c9^~l + c,*»-* + · · · + c«-,), bei der l, k und die c„ ganze Zahlen sind. Die rationale Wurzel r ist dann k gleich j, und da aus (i) folgt: so ist αφ durch l und ist an durch k teilbar; w. z. b. w. Nach Satz l lassen sich die etwaigen rationalen Wurzeln einer Gleichung mit rationalen Koeffizienten stets durch eine endliche Anzahl von Versuchen ermitteln. Perron, Algebra Π.

l

2

Erstes Kapitel. Numerische Aufl sung von Gleichungen.

II. Nunmehr wenden wir uns zu Gleichungen mit reellen Koeffizienten. Satz 2. Hat eine Gleichung mit reellen Koeffizienten eine komplexe nicht reelle, Wurzel, so ist die dazu konjugiert-komplexe Zahl ebenfalls eine Wurzel, und zwar von gleicher Vielfachheit. Die gegebene Gleichung mit reellen Koeffizienten sei α0.τη + αιχη~ι H ----- 1- an = 0. Das linksstehende Polynom bezeichnen wir zur Abk rzung mit /(#). Ist ξ eine komplexe Wurzel, so ist / ( ^ - - - « o ^ + tf,^' 1 + . . · + < / n - 0 . Nach Bd. I, Satz 2 ist dann, wenn ξ die zu £ konjugiert-komplexe Zahl bezeichnet, /(l) =- α0ξη + α,ξη-} f- · · · + α» = 0, also ξ ebenfalls eine Wurzel der Gleichung. Ist nun ξ etwa ei neft-f ache Wurzel, so ist nach Bd. I, Satz 130

/ ( £ ) = 0 , / ' ( f ) = 0 , . . . . /t*--»(i)=0, und daher nach dem erw hnten Satz 2 auch

/(!) Φ 0,

das besagt aber, da ξ ebenfalls eine Α-fache Wurzel ist. Die nicht reellen Wurzeln ordnen sich hiernach zu Paaren, konjugiertkomplexer Wurzeln, sind also stets in gerader Anzahl vorhanden. Wir wollen jetzt Methoden kennenlernen, um einer gegebenen Gleichung mit reellen Koeffizienten anzusehen, wieviel reelle und wieviel Paare konjugiert-kompkxer Wurzeln sie hat, ohne da erst die Berechnung der Wurzeln n tig w re. Sei (2) of 4 α, a"- 1 + · · · +an=0 die Gleichung. Sind £1, . . . , ξη die n Wurzeln, so ist identisch (3) x» + β!*"-1 -f · · · + an = (χ -£,) (x -ft) ...(χ -f,), und folglich sind die Zahlen a lt . . . , αη, wie bereits in Bd. I, § 52 I bemerkt, die symmetrischen Grundfunktionen der n Wurzeln. Aus ihnen k nnen wir nach Bd. I, § 32 die Potenzeummen (4) *.=£+*? + · · · + £ (m=0,l,V··) berechnen. Diese erweisen sich hiernach als reelle Zahlen und k nnen als bekannt angesehen werden. Nunmehr bilden wir die reelle quadratische Form von n Variabein

Ihr Rang und ihre Signatur k nnen nach Bd. I, § 27 berechnet und somit ebenfalls als bekannt angesehen werden. Jetzt beweisen wir den Satz 3. Die Anzahl der voneinander verschiedenen Wurzeln der Gleichung (2) mit reellen· Koeffizienten ist gleich dem Hang, die Anzahl der verschiedenen reellen Wurzeln ist gleich der Signatur der quadratischen Form (5).

§ 1. Reelle und komplexe Wurzeln.

Setzt man in, (5) f r die $Λ+μ_ζ die Ausdr cke (4) ein, so kommt: n

η

n

M

η

Nunmehr ndern wir ein wenig die Bezeichnung der Wurzeln, um auch ihre Vielfachheit und Reellit t in Erscheinung treten zu lassen. Die Anzahl der voneinander verschiedenen reellen Wurzeln sei k; sie seien (falls k > 0 ist) mit £1 , . · . , ρ* bezeichnet, und zwar sei ρκ eine pw-fache Wurzel. Die Anzahl der voneinander verschiedenen Paare konjugiert- komplexer Wurzeln sei i; sie seien (falls l > 0 ist) mit συ 0, so da ein Zeichenwechsel verlorengeht. Ist es aber das negative, so ist 1 ) in (£_!,£,): F0(|) > Ο, Λ(ί) «>, i" (ξ,,ξ,+ι): F e (|)(£,) ΦΟ. Daher ist nach dem Taylorschen Satz

± A) = -- /&) + · · · +

/ P — ti

_

vz — />

t

— 2

_ ^

i · · ·> */ft

Nach Bd. I, § 53 I ist das die Gleichung oder, indem man die Resultante etwa in der Sylvesterschen Determinantenform anschreibt, nach leichter Ausrechnung: (3) Oi(ßy + σ, so k nnte gewi nicht F(\ ξ |) =0 sein, weil ja σ die einzige positive Wurzel von F(x) ist. Es k nnte aber auch nicht F(\ ξ |) < 0 sein, weil ja f r ein gen gend gro es positives τ gewi Ρ(τ) > 0 ist, so da zwischen | ξ \ und τ noch eine positive Wurzel von F(x) liegen m te. Hiernach ist in der Tat | ξ \ ^ σ. Aus Satz 17 lassen sich einige obere Schranken f r den absoluten Betrag

§ 6. Abschätzung der Wurzeln.

31

jeder Wurzel gewinnen, die zwar weniger günstig, dafür aber bequemer anzuwenden sind. Eine erste solche Schranke liefert der Satz 18. Seien yt, y 2 , . . . , y n _i irgendwelche positive Zahlen. ist der absolute Betrag einer jeden Wurzel der Gleichung

+ stets ^ , wo

1

"-1 +

Dann

ha„ =0

die größte der n Zahlen bedeutet: 1 fl 1

l

Kl + —» l il 7i + — ' · · · · l «n-i l n n · · · y»-* + -—f V\ 7t 7*-i

l an l 7i y«. · · · yn-i.

Wählt man z. B. alle y, = l, so findet man die größte der Zahlen | ÄJ | + l, | a, | + l,.... | a.^ | + l, | o» | als eine obere Schranke für den absoluten Betrag jeder Wurzel. Satz 18 ist selbstverständlich, wenn alle a, verschwinden. Im ändern Fall ist aber nach Satz 17 nur nötig zu beweisen, daß ^ ist. Nun ist o die positive Wurzel von F(z), also

also gewiß a > — ,

so wäre * = |«

"-1 + | , | on~z + · · · -fr | ÖM |

^ (l «i 1 + l "2 l·/ + · · · + K l y"-1) "'1 , und indem man durch 1*""1 dividiert: ^ ] | + | «2 1 y + · · · + | an \ y—1 ^ r, , was der Annahme >· widerspricht. Bei Anwendung von Satz 19 kommt es wieder darauf an, die Zahl möglichst vorteilhaft zu wählen, so daß ^ möglichst klein wird. Betrachten wir z. B. wieder die Gleichung z5 + 300 z2 -2z + 7 -0, so ist T! die größte der beiden Zahlen — , 300 ya + 2y» + 7y4 .

Wählt man etwa

= -- , so wird 1/3ÖÖ

Jede Wurzel ist also absolut kleiner als 7, wie wir auch vorhin fanden.

§ 6. Abschätzung der Wurzeln.

33

II. Die bisher gefundenen Schranken für den absoluten Betrag jeder Wurzel gelten, wenn die Koeffizienten ganz beliebige komplexe Zahlen sind. Wenn aber für sie noch gewisse Beschränkungen bestehen, so kann man häufig viel günstigere Schranken ermitteln. Ein erster Satz dieser Art ist der meist nach K a k e y a benannte, aber zuerst von E n e s t r ö m angegebene Satz 20. Wenn die Koeffizienten des Polynoms ( )= 0 -^-1 + ···+ positive Zahlen sind und den Ungleichungen genügen:

ß0 > °i > «2 > · ' ' > °n > 0 > so ist der absolute Betrag einer jeden Wurzel kleiner als i. Wenn dagegen < 0 < 1 < · · · l -H a2 l -H 03 l + · · ' + K U so ist das Polynom im Körper & (l ) irreduzibel.

«»

0,

Zunächst hat nämlich nach Satz 22 das Polynom höchstens eine Wurzel, deren absoluter Betrag ^ l ist. Wenn wir daher annehmen, daß das Polynom in &(1) reduzibel ist und etwa zerfällt in so muß einer der Faktoren — es sei der erste — lauter Wurzeln haben, deren absolute Beträge kleiner als l sind. Anderseits sind nach Bd. I, Satz 76 die Koeffizienten b^ cf wieder ganze Zahlen, und da bmcn_m = 0 ist, so ist insbesondere Nun ist aber ^ bm das Produkt aller Wurzeln des ersten Faktors, und da die absoluten Beträge dieser Wurzeln kleiner als l sind, so muß auch | bm \ < l sein, was dem Obigen widerspricht. Die Annahme der*Reduzibilität war also falsch.

§ 7.

Die charakteristische Gleichung einer Matrix.

1. Als charakteristische Gleichung einer Matrix von n Zeilen und n Spalten (1) a„2 .·. «i,

36

Erstes Kapitel. Numerische Aufl sung von Gleichungen.

bezeichnet man die Gleichung „ — χ α,2

. . . n)

mit K, so gilt f r jede charakteristische Wurzel ρ der Matrix (i) die Ungleichung | ρ | ^ K. Beweis. Ist ρ eine charakteristische Wurzel, so hat das lineare Gleichungssystem (3) QXi=auXi + ---- l·aJίnxa (λ = l, 2, . . ., n) eine nichttriviale L sung £„...,£„, weil seine Determinante verschwindet. Wir setzen χλ =/> Α 2/ Λ und bezeichnen die gr te der Zahlen \yt |, . . ., \yn \ mit Y. Dann folgt aus (3):

Ι β Ι · Λ · Ι & Ι ; £ ( | β « ΐ Λ + ··· + |β*ΐΛ,)* > (λ = 1,2,..., n). F r mindestens einen Index λ ist aber \yt\ = Γ, und f r diesen Index λ ist dann

Also ist nach der Definition der Zahl K erst recht | ρ \ ^ K\ w. z. b. w. Bei der praktischen Anwendung von Satz 24 kommt es nat rlich darauf an, die ρΛ vorteilhaft zu w hlen, so da K m glichst klein ausf llt. Wenn nicht alte n Br che, als deren gr ter die Zahl K definiert wurde, einander gleich sind, wird man im allgemeinen durch geeignete Variation der p* die Zahl K verkleinern k nnen. Besonders vorteilhaft werden also die pn gew hlt Sein, wenn alle n Br che einander gleich sind. Da eine solche Wahl im allgemeinen m glich ist. wird sich im folgenden zeigen. II. In dieser und der folgenden Nummer entwickeln wir zwei S tze ber Matrizes mit positiven Elementen. In diesen S tzen (25 und 27) lie e

§ 7. Die charakteristische Gleichung einer Matrix.

37

sich die Voraussetzung, da alle αλμ positiv sind, noch dahin einschr nken, da f r einige αλμ auch der Wert 0 zugelassen wird. Doch w rde sich der Beweis, wenn man in dieser Richtung m glichst geringe Voraussetzungen anstrebt, erheblich knifflicher gestalten, so da wir davon absehen wollen. Auch bei Satz 26 k nnte in gleichem Umfang wie bei Satz 25 der Wert a^ = 0 zugelassen werden. Satz 25. Sind in der Matrix (1) alle αλμ reell und positiv, so hat die Matrix ( i ) (wenigstens) eine charakteristische Wurzel, die positiv ist. Bedeutet ρ die gr te positive Wurzel, so sind alle Minoren der Determinante ξ —an — al2 . . — α In — flnl —αι»2 · · · £ — Οη

f r ξ S: ρ positiv. Beweis. F r n = l ist die (einzige) charakteristische Wurzel gleich an, also positiv, w hrend der auf die Minoren bez gliche Teil des Satzes gegenstandslos ist, weil es keine Minoren gibt. F r n = 2 handelt es sich um die Determinante a n > 0, e„>0,\ £ — «11 ~ > aM> 0, wenn ξ eine hinreichend gro e Zahl ist. Daher gibt es nach Bd. I,.Satz 127 wenigstens eine positive Wurzel und die gr te positive Wurzel ρ. ist > on und > an. Die Minoren

- au)

= f — α22 >

*21»

sind daher f r ξ ^ ρ positiv. Damit ist Satz 25 zun chst f r n = 2 bewiesen. Allgemein beweisen wir ihn durch vollst ndige Induktion, indem wir annehmen, f r eine n-reih'ige Determinante

— αιι —

(4) sei er als richtig erkannt, und dann die (n -f l)-reihige Determinante betrachten:

ξ — αη (5) Diese ist gleich

—

38

Erstes Kapitel. Numerische Aufl sung von Gleichungen.

wo U diejenige Determinante ist, die aus Jn+1(£) entsteht, wenn man das rechts unten stehende Element ξ — α η+ ι.η+ι durch 0 ersetzt. Man kann daher U nach Bd. I, § 22 VI entwickeln und erh lt so (6)

wobei die Α^ξ) die Minoren der Determinante Δη(ξ) sind. Nach Annahme ist bereits die Existenz einer positiven Zahl QI erkannt derart, da (7)

4,tei)=0,

^(f)>0f r f ^ 5 l ,

und zwar ist ρχ die gr te positive Wurzel der Gleichung An(x) = 0. Da au erdem die Zahlen (8)

a

l,n+l, f l 2,n +

und die Zahlen s mtlich positiv sind, so folgt aus (6) und (7): 4n-i(ei) < 0 · F r hinreichend gro e Werte von ξ ist dagegen Δη+1(ξ) > 0. Nach Bd. I, Satz 127 gibt es also eine Zahl ρ, die gr er als gr und so beschaffen ist, da "4n-)-i({?) verschwindet. Wir bezeichnen jetzt mit ρ die gr te derartige Zahl. Dann ist wegen ρ > ρ, und nach (7) gewi (10) Λη(£)>0, Α,μ(ξ)>0 Betrachten wir also zun chst diejenigen Minoren der Determinante welche zu einem Element der letzten Zeile geh ren, so sind diese nach (6) gleich (—αη+1ιμ)

(A* = 1. 2, · . Μ ») ,

also f r ^ ig ρ positiv wegen (10) und, weil die Zahlen (8) s mtlich positiv sind. Betrachten wir, aber einen Minor von Λη+1(£), der zu einem Element einer ndern, etwa der Λ-ten Zeile geh rt, so kommen wir dadurch auf den fr heren Fall zur ck, da wir die λ-te Zeile unter die letzte Zeile und zugleich die λ-te Spalte hinter die letzte Spalte schieben, wobei ja Δη+λ(ξ ) und die Minoren (abgesehen von der Reihenfolge ihrer Indizes) unver ndert bleiben. Damit ist Satz 25 bewiesen. Satz 26. F r jede Wurzel ρ der Gleichung an — χ (A) I =° «nl

« * £ · · · °n»

§ 7. Die charakteristische Gleichung einer Matrix.

39

gilt, wenn die Zahlen a^ s mtlich von 0 verschieden sind, die Absch tzung \ ρ | ^ σ, wo σ die nach Satz 25 existierende gr te positive Wurzel der Gleichung

\an\-x | a 1 2 | . . . | a l n | (B)

=0

bedeutet.

Beweis. Die n linearen Gleichungen f(ff-|g,il)*i-|«iil*·-.·.

-K„| a r » = 0 ,

(H) l

l

\

Ι Λx.

— l a"nl l

\

l

l

ln "n2 lr*2

..._!_/«

~Γ t«

I/T

h τ

—Π

l « Λη \) xn ~ υ

haben eine nichttriviale L sung, weil ihre Determinante verschwindet. Da die Minoren nach Satz 25 s mtlich positiv sind, ist der Rang gleich n — l, so da es nur eine nichttriviale L sung gibt. Nach Bd. I, Seite 106 oben wird diese L sung durch die zu den Elementen einer (beliebigen) Zeile geh rigen Minoren angegeben; es gibt also eine aus positiven Zahlen bestehende L sung χλ = ρΛ, Dann folgt aus (11): ., __ l g« l Pi H

a.

+ l Oln \ Pn

.

.

(Λ = i,0< £ , . . . , / i ) .

n

W hlt man daher in Satz 24 f r die beliebigen positiven Zahlen ρΛ speziell die soeben angegebenen, so wird die dortige Zahl K gleich σ, und man erh lt: | ρ | 5ί or; w. z. b. w. III. Da in Satz 25 alle Minoren f r ξ = ρ positiv sind, so ist insbesondere auch die Summe der (n — l)-reihigen Hauptunterdeterminanten positiv, also von 0 verschieden. Das ist aber, vom Vorzeichen abgesehen, die Ableitung der linken Seite der charakteristischen Gleichung, folglich ist ρ eine e i n f a c h e Wurzel. Au erdem gibt es wie beim Beweis von Satz 26 gewisse positive Zahlen ρλ, die dem Gleichungssystem gen gen: (12) ρ PA = a*iPi + ' ' · + αληρη (λ = 1, 2,. . ., n). Wir wollen nun die von ρ verschiedenen charakteristischen Wurzeln absch tzen; ρ' sei eine solche. Ist ρ' 5t 0, so ist nat rlich .ρ' < ρ, weil ja ρ die gr te positive Wurzel ist. Wenn dagegen ρ' nicht |5: 0 ist, sondern negativ oder berhaupt nicht reell, so kann bei einer nichttrivialen L sung des Gleichungssystems (13) ρ'x^ = d\\x\ -f- ···-}- Λχηχη (λ = l, 2,.. .. n) gewi nicht durchweg χλ >j 0 sein, weil sonst aus (13) selbst sich ρ' als positiv ergeben w rde. Hiernach folgt aus (13) (mit Ausschlu der Gleichheit). Setzt man χλ = p^y^ wo die p} die aus (12) zu bestimmenden positiven Zahlen sind, und bezeichnet man die gr te der Zahlen | yt |,. .., | yn \ mit Γ, so folgt aus (14)

Erstes Kapitel. Numerische Aufl sung von Gleichungen.

40

(15) \ e ' \ - p t ' \ y j i \ < (αΛίΡι Η -Μ;ηρη)Γ (λ =1,2,...,Λ). F r mindestens einen Index λ ist aber | y^ \ = Υ und f r diesen Index A folgt aus (15) , ,|

. «AI Pl ~l· · · · + «JlnPn

|ρ |
so ist (l) f(x) = (x-ot)k(x)l