Höhere Algebra: Teil 1 Lineare Gleichungen [3., verb. Aufl. Reprint 2019] 9783111361758, 9783111004495

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S A M M L U N G

G Ö S C H l i N

HÖHERE

B A N D

931

ALGEBRA Von

Dr. Helmut Hasse o. Professor f ü r Mathematik an der Universität Hamburg

I

Lineare Gleichungen Dritte,

W a l t e r

verbesserte

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Auflage

G r u y t e r

&

C o .

vormals G.J.Göschen'sche V e r l a g s h a n d l u n g • J.Glittentag,Verlagsbuchhandlung • Georg R e i m e r • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

Berlin

1951

Alle

Hechte, von

der

insbesondere

das

Übersetzungsrecht,

V e r 1 a g sh an d 1 u n g

vorbehalten

Archiv-Nr. 11 0 9 3 1 Druck von Bodo C r a e f e , B e r l i n SW 6 8 Printeü in G e r m a n y

Inhalt. Seite Literaturverzeichnis 4 E i n l e i t u n g , Die Grundaufgabe der Algebra 6 I. H i n g e , K ö r p e r , I n t e g r i t ä t s b e r e i c h e 7 8 1. Detinition der .Hinge, Körper, Integritätsbereiche 7 § 2. Teilbereiche, Kongruenzrelationen, Isomorphie 14 § 3. Der Quotientenkörper eines Integritätsbereiches 26 § 4. Der Integritätsbereich der ganzen rationalen Funktionen von n Unbestimmten über 1 und der Körper der rationalen Funktionen von n Unbestimmten über K 31 § ß. Ausführliche Formulierung der Grundaul'gabe der Algebra 45 II. G r u p p e n 49 § 6. Definition der Gruppen 49 § 7. Untergruppen, Kongruenzrelationen, Isomorphie 55 § 8. Zerlegung einer Gruppe nach einer Untergruppe 57 § 9. Normalteiler, konjugierte Teilmengen einer Gruppe, Faktor gruppe 60 III. D e t e r m i n a n t e n f r e i e lineare A l g e b r a 68 § 10. linearformen, Vektoren, Matrizen 68 § 11. Inhomogene und homogene lineare Gleichungssysteme . . . 78 § 12. Das Toeplitzsche Verfaiiren 83 § 13. Lösbarkeit und Lösungen linearer Gleichungssysteme . . . 91 § 14. Der Fall m = n 99 § 15. Die Tragweite der determinantenfreien linearen Algebra . . 102 IV. L i n e a r e A l g e b r a m i t D e t e r m i u a n t e n 104 § 16. Permutationsgruppen 104 § 17. Determinanten 113 § 18. Unterdeterminanten und Adjunkten. Der Laplacesche Entwicklungssatz 117 § 19. Weitere Determinantensätze 127 § 20. Anwendung der Deterniinantentheorie auf lineare Gleichungssysteme im Falle m = n 131 § 21. Der Rang einer Matrix 136 § 22. Anwendung der Deterniinantentheorie auf lineare Gleichungssysteme im allgemeinen Falle 144 S c h l u ß . Abhängigkeit vom Grundkörper 149 Namen- und Sachverzeichnis 151

Literaturverzeichnis. Lehrbücher. 1. H. Weber, Lehrbuch der Algebra, Bd. 1, 2, 2. Aull., Braunschweig 1898/99. 2. L. K r o n e c k e r , Vorl. über Mathematik (Bd. II 2 Determinanten, herausgegeben von K. Hensel), Berlin 1903. 3. M. B ö c h e r , Einf. in die höhere Algebra (Deutsch von H. Beck), Leipzig 1910. 4. H. Weber, Kl. Lehrbuch der Algebra, Braunschweig 1912. 5. A. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. 3. Aufl., Berlin 1937. 6. G. K o w a l e w s k i , Einf. in die Determinantentheorie, 2. Aufl., Berlin 1925 7. R. F r i c k e , Lehrbuch der Algebra, Bd. 1—3, Braunschweig 1924—28. 8. O. P e r r o n , Algebra, Bd. 1, 2, 2. Aufl., Berlin-Leipzig 1932/33. 9. 0. H a u p t , Einführung in die Algebra, Leipzig 1929. 10. L. E. D i c k s o n , Höhere Algebra (Deutsch von E. Bodewig), LeipzigBerlin 1929. 11. B. L. v. d. W a e r d e n , Moderne Algebra, Bd. 1, 2, 2. Aufl., Berlin-Leipzig 1937/40. 12. S c h r e i e r - S p e r n e r , Einf. i. d. anal. Geom. u. Algebra, Bd. 1, 2 Aufl., Leipzig-Berlin 19 8. 13. S c h r e i e r - S p e r n e r , Vorl. über Matrizen, Leipzig-Berlin 1932. 14. W. K r u l l , Elementare Algebra vom höheren Standpunkt, Slg. Göschen, 930, Berlin 1939.

Quellen. I. E. S t e i n i t z , Algebraische Theorie der Körper, Crelles Journal 137 (1909). — Neu herausgegeben und mit einem Anhang: ,,Abriß der Galoisschen Theorie" versehen von R. Baer und H. Hasse, Berlin 1930. II. 0 . T o e p l i t z , Über die Auflösung unendlich vieler linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 28 (1909).

E s werden zitiert. mit I der vorliegende Band I, mit 8 der anschließende Band II, mit 3 der zugehörige Aufgabenband. — In eckigen Klammern hinter Satzund Definitionsnummern beigefügte Zahlen bezeichnen die zugehörige Seitanzahl. Innerhalb desselben Paragraphen und bei kurz aufeinanderfolgenden Wiederholungen sind solche Verweise gespart.

Einleitung. Die Grundaufgabe der Algebra. Das Wort A l g e b r a stammt aus dem Arabischen und bedeutet wörtlich das Hinüberschaffen eines Gliedes von einer Seite einer Gleichung auf die andere. Späterhin versteht man unter Algebra allgemein die Lehre von der Auflösung von Gleichungen (und zwar ausschließlich von solchen, die zu ihrer Bildung nur die vier sog. elementaren Rechenoperationen erfordern) mit einer Anzahl unbekannter Größen nach diesen. Dieser Aufgabe sind die beiden vorliegenden Bändchen gewidmet. Es liegt schon in der gegebenen Erläuterung des Wortes Algebra und ist für die moderne Auffassung der Aufgaben dieser Disziplin charakteristisch, daß es nicht die Objekte, d. h. die Größen, die aus den aufzulösenden Gleichungen berechnet werden sollen, sind, die im Mittelpunkt der Betrachtung stehen, sondern vielmehr der Prozeß des Aullösens selber. Die Objekte (z. B. die drei Seiten eines Dreiecks, dessen Höhen gegeben sind) interessieren denjenigen, der die Algebra anwendet (im Beispiel den Geometer), den Algebraiker beschäftigen allein die allgemeinen, formalen Regeln (Formalismen, Algorithmen), mittels derer aus den gegebenen Gleichungen die gesuchten Größen bestimmt werden können (also im Beispiel die Regeln zur Auflösung eines Systems von drei Gleichungen nach drei Unbekannten). Wenn hiernach die Algebra als bloße Hilfswissenschaft anderer Zweige der Mathematik erscheint, kann sie doch mit vollem Hecht beanspruchen, als selbständige mathematische Disziplin betrieben zu werden, einmal wegen ihrer Unentbehrlichkeit und vielgestaltigen Bedeutung für fast alle Teile der Mathematik, dann aber auch, weil die Methoden und Resultate einer um ihrer selbst willen betriebenen Algebra in ihrer logischen Geschlossenheit, durchgängigen Einfachheit und vollendeten Schönheit die Kriterien in sich tragen, deren Erfulltsein man von einer lebensfähigen mathematischen Disziplin fordern muß. Im Sinne des zuvor Bemerkten erscheint es für eine Darstellung der Algebra berechtigt, ja geboten, bezüglich der Objekte, um die es sich handelt, die größtmögliche Allgemein-

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Einleitung.

heit zugrundezulegen. Wir wollen daher nicht nur, was selbstverständlich ist, von jeder Benennung (metrisch, geometrisch usw.) der in Rede stehenden Größen absehen, sondern sogar von ihrer Zaübedeutung im geläufigen Sinne des Wortes Zahl (natürliche, ganze, rationale, reelle, komplexe Zahlen!). Die i n h a l t l i c h e B e d e u t u n g der in den Gleichungen vorkommenden Zeichen als Zahlen ist für den Formalismus, der zur Auflösung führt, ebenso gleichgültig, wie etwaige Benennungen. Das Wesentliche sind allein die f o r m a l e n R e g e l n , nach denen mit jenen Zeichen gerechnet wird, also die Tatsache, daß die vorkommenden Zeichen Elemente eines Bereichs bezeichnen, in dem nach den bekannten, für die Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division charakteristischen Regeln gerechnet werden kann. Wir werden dies im Abschnitt I, der sich u. a. mit solchen, K ö r p e r genannten Bereichen eingehend zu beschäftigen hat, exakt formulieren und stellen hier nur einleitend als Grundaufgabe der Algebra folgendes hin: Es sollen allgemeine, f o r m a l e M e t h o d e n e n t wickelt werden, nach denen man mittels der vier elementaren Rechenoperationen gebildete Gleiunbekannten chungen zwischen bekannten und E l e m e n t e n eines K ö r p e r s n a c h den u n b e k a n n t e n auflösen kann. Ehe wir an die Lösung dieser Aufgabe gehen können, müssen wir den Körperbegriff ausführlich erläutern, und auch, was unter einer „ G l e i c h u n g " im Sinne der Aufgabe zu verstehen ist. Dazu dienen die Entwicklungen des Abschnitts I, an dessen Schluß dann die Grundaufgabe der Algebra exakt formuliert und ihre beiden wichtigsten Teilaufgaben hervorgehoben werden. In I I werden sodann die Elemente der G r u p p e n t h e o r i e auseinandergesetzt, die für die Lösung der erst, n Teilaufgabe als beiläufig ,-s u..d für die Lösui.g der zweiten Teilaufgab j a i s mtscheiueudes Hilfsmittel

1. Definition der Ringe, Körper, Integritätsbereiche.

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heranzuziehen sind. I I I und IV geben die vollständige Lösung der ersten Teilaufgabe, während schließlich 2 den die zweite Teilaufgabe betreffenden Untersuchungen gewidmet ist. Es ist für die m o d e r n e Entwicklung der Algebra charakteristisch, daß die oben genannten Hilfsmittel zu selbständigen umfangreichen Theorien Anlaß gegeben haben, die gegenüber der vorstehend angeführten Grundaufgabe der k l a s s i s c h e n Algebra immer mehr in den Mittelpunkt des Interesses getreten sind. So ist denn in moderner Auffassung die Algebra nicht mehr bloß die Lehre von der Auflösung der Gleichungen, sondern die L e h r e v o n d e n f o r m a l e n R e c h e n b e r e i c h e n , wie Körpern, Gruppen u. a., und ihre H a u p t a u f g a b e ist die Gewinnung von Einsichten in die S t r u k t u r s o l c h e r B e r e i c h e (siehe dazu S. 26). Im beschränkten Rahmen der vo'liegenden Pändihen ist es uns jedoch nicht möglich, diesen allgemeineren, m< dernen Gesichtspunkt in den Vordergrund zu stellen. Wir nehmen daher die vorstehend ausgesprochene Grundaufgabe der klassischen Algebra als wegweisenden Leitfaden und abgrenzenden Rahmen für unsere Darlegungen, werden aber dabei in der Tat, vor allem in 2, auch zu strukturellen Aussagen im Sinne der modernen Algebra geführt werden.

I. Ringe, Körper, Inteirritütsbcreiclie. § 1. Definition der Ringe, Körper, Integritätsbereiche. Als das formal-charakteristische, von der inhaltlichen Bedeutung der Zeichen als Zahlen befreite an den drei elementaren Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation — die vierte, Division, ziehen wir erst später hinzu — ist folgender Tatbestand anzusehen: (a.) E s l i e g t e i n e Menge B von unterschiedenen Elementen in i r g e n d e i n e r e n d l i c h e n A n z a h l (mind e s t e n s zwei) o d e r in u n e n d l i c h e r A n z a h l vor. Wir verwenden Buchstaben a , b , . . . und kompliziertere Zeichen (z. B. die späterhin erklärten Zeichen a + b, ab,...), um die Resultate logischer Setzungen von Elementen aus B mitzuteilen, und sagen dann auch einfach, a,b,... seien E l e m e n t e aus B. Auf Grund der in (a.) geforderten U n t e r -

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I. Ringe, Körper, lntegritätsberciclie.

s c h i e d e n h e i t steht für je zwei solche logische Setzungen a, b fest, ob es sich um dasselbe oder um verschiedene Elemente aus B handelt, was wir durch die Bezeichnungen a = b bzw. a =)= b angeben. (b.) F ü r je zwei in b e s t i m m t e r R e i h e n f o l g e geg e b e n e , n i c h t n o t w e n d i g v e r s c h i e d e n e E l e m e n t e a, b a u s B s i n d zwei Verknüpfungen d e f i n i e r t , d. h. j e d e m g e o r d n e t e n E l e m e n t p a a r a, b a u s B i s t i r g e n d w i e ein E l e m e n t c ( e r s t e V e r k n ü p f u n g ) u n d ein E l e m e n t d (zweite V e r k n ü p f u n g ) aus B z u g e o r d n e t . (a.) und (b.) sind z. B. realisiert, wenn B die Menge aller geraden, oder aller ganzen, oder aller rationalen, oder aller reellen, oder aller komplexen Zahlen, oder aller positiven von einer dieser Zahlsorten (mit Ausnahme der letztgenannten) ist und als Verknüpfungen die Addition (c = a + b) und Multiplikation (d = ab) gewählt werden. In Anlehnung an diese als Ausgangspunkt unserer Abstraktion anzusehenden Spezialfälle wollen wir die beiden Verknüpfungen in (b.) auch allgemein A d d i t i o n und M u l t i p l i k a t i o n , die dem Paar a, b zugeordneten Elemente c und d S u m m e und P r o d u k t nennen, und c — a + 6, d = ab schreiben, obwohl natürlich die rein formale Forderung (b.) (und ebenso auch die gleich folgende Forderung (c.) an unsere Verknüpfungen) keinerlei Anlaß zu der inhaltlichen Annahme gibt, daß diese Verknüpfungen, wenn B eine Zahlenmenge ist, mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation übereinstimmen. (c.) Die in (b.) g e n a n n t e n b e i d e n V e r k n ü p f u n g e n genügen f ü r beliebige Elemente a u s B den Gesetzen: (1.) a + b=b + a, (2.) ab = ba (kommutatives Gesetz); (3.) (a + b) + c = a+(b + c), (4.) (ab)c = a(bc) (assoziatives Gesetz); (5.) (a + b) c = ac + 6c (distributives Gesetz);

1. Definition der Ringe, Körper, Integritätsbereiche.

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( 6 . ) Zu j é d e m g e o r d n e t e n E l e m e n t p a a r a, c aus B e x i s t i e r t ein e i n d e u t i g b e s t i m m t e s E l e m e n t b aus B , so d a ß a+b = c i s t , (Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Subtraktion). Wie schon in der beigefügten Benennung des Gesetzes (6.) zum Ausdruck gebracht ist, bezeichnet man die nach (6.) in B unbeschränkt und eindeutig ausführbare Operation der Bestimmung von b aus a + J = e als S u b t r a k t i o n und führt daher in sinngemäßer Fortsetzung der unter (b.) verwendeten Terminologie die Bezeichnung b = c — a ( D i f f e r e n z ) ein. Definition 1. W e n n f ü r eine M e n g e B die u n t e r (a.), (b.), (c.) a u f g e f ü h r t e n T a t s a c h e n realisiert s i n d , h e i ß t B ein King b e z ü g l i c h der V e r k n ü p f u n g e n (b.). Den letzten Zusatz muß man machen, weil eine Menge B a priori bezüglich je zweier verschiedenartig erklärter Verknüpfungen, also in mehrfacher Weise Ring sein kann (siehe dazu 3, § 1, Aufg. 4,5). Unter einem Ring B schlechthin versteht man immer die Menge B mit Einschluß der für sie definierten Verknüpfungen. — Wir bezeichnen Ringe stets mit großen griechischen, Elemente aus Ringen mit kleinen lateinischen oder griechischen Buchstaben x ).

Wir beweisen nun zunächst einige in Ringen gültige Tatsachen. Satz 1. I n j e d e m R i n g B e x i s t i e r t ein e i n d e u t i g b e s t i m m t e s E l e m e n t 0, das Nullelement oder Null von B h e i ß t , m i t der E i g e n s c h a f t a + 0 = a f ü r a l l e a aus B. B e w e i s : Nach (6.) existieren in B zu den Elementen a,b,... von B je die Differenzen a — a,b — b,b — «,..., für die nach ihrer Erklärung gilt a + (a •— a) = a, b + (b — b) = b, a + (6 — a) = b,. . . l ) Die Buchstaben i, k, l, m, n, p, q, r, 0; t, x, v, g, a behalten wir jedoch für gewöhnliche ganze Zahlen, z. B. Indizes und Exponenten, vor.

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I. Ringe, Körper, Integritätsbereiche.

Vermöge der ersten und dritten dieser Relationen hat man, nun unter Beachtung von (1.) und (3.), b + (a — a) = [a + (6 — a)j + (a — a) = [a + (a — «)] + (6 — a)=a + (b — a)=b. Der Vergleich mit der zweiten jener Relationen ergibt dann, zufolge der Eindeutigkeit in (6.), a — a = b-— b. Also sind alle Differenzen a— a,b — b,... dasselbe Element 0 von B. Dieses hat die im Satz genannte Eigenschaft und ist nach (6.) sogar schon durch eine einzige der Forderungen a + 0 = a eindeutig bestimmt. Satz 2. E s g i l t 0c = 0 f ü r j e d e s c a u s B. B e w e i s : Wach (5.) und Satz 1 ist für beliebiges c aus B 0c = (0 + 0) c = 0c + 0c, also nach (6.) und Satz 1 0c = 0. Wir ziehen jetzt die bisher noch unberücksichtigte Division in den Kreis unserer Betrachtungen, indem wir den unter (c.) genannten Forderungen (1.)—(6.) noch die folgende anreihen: (7.) Zu j e d e m g e o r d n e t e n E l e m e n t p a a r a, e a u s B, w o b e i a=)=0 i s t , e x i s t i e r t ein e i n d e u t i g b e s t i m m t e s E l e m e n t 6 a u s B, so d a ß a6 = c i s t , (Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Division). Analog wie oben bei der Subtraktion bezeichnet man auch hier, wenn (7.) in B erfüllt ist, die in B bis auf die Einschränkung a 4= 0 unbeschränkt und eindeutig ausführbare Operation der Bestimmung von b aus ab = c als D i v i s i o n und führt c die Bezeichnung J = — ( Q u o t i e n t ) ein. Die in (7.) gemachte Einschränkung a 0 ist keine willkürliche Festsetzung, sondern notwendig, wenn (a.), (b.), (c.) und (7.) widerspruchsfrei nebeneinander bestehen sollen. Ohne diese Einschränkung folgte nämlich, wenn c ein beliebiges Element aus B ist, aus der Existenz eines b, so daß 0b = c ist, nach Satz 2, daß c = 0 wäre. Es enthielte also B nur das eine Element 0 im Widerspruc h

1. Definition der Ringe, Körper, Integritätsbereiche.

H

zu (a.). Betreifs der hierdurch nahegelegten Frage, ob die Forderungen (a.), (b.), (c.), (7.) in der vorliegenden Gestalt widerspruchsfrei sind, sei bemerkt, daß ein Widerspruch in (a ), (b.), (c.), (7.) einen Widerspruch im System der rationalen Zahlen zur Folge hätte, das ja allen jenen Forderungen genügt. E s sei noch bemerkt, daß die in der Einschränkung- a 4= 0 in (7.) bestehende Unsymmetrie der sonst bezüglich Addition und Multiplikation symmetrischen Tafel der Forderungen (1.) und (2.), (3.) und (4.), (6.) und (7.) natürlich auf die Unsymmetrie des einzigen beide Operationen verbindenden Gesetzes (5.) zurückgehen muß, wie ja auch die obige Begründung jener Einschränkung (Beweis von Satz 2) zeigt.

Definition 2. Gilt in einem Ringe B a u ß e r (a.), (b.), (c.) auch noch (7.), so h e i ß t B ein Körper bezüglich der V e r k n ü p f u n g e n (b.). Analog zu Satz 1 gilt in Körpern außerdem: Satz 3. In jedem K ö r p e r K e x i s t i e r t ein eind e u t i g b e s t i m m t e s E l e m e n t e=\=0, das Einselement oder Eins von K h e i ß t , m i t dar E i g e n s c h a f t ae = a f ü r alle a aus K. Beweis: Der Beweis wird, zunächst für die wegen (a.) sicher vorhandenen a 4= 0 aus K, unter Verwendung von (7.) statt (6.) ganz analog wie bei Satz 1 geführt. Daß ferner ae = a auch für a = 0 gilt, ist nach Satz 2 klar. Aus e — 0 schließlich würde folgen a = ae = «0 = 0 für jedes a aus K, im Widerspruch zu (a.). Außer Ringen und Körpern braucht man in der Algebra noch einen weiteren derartigen Begriff, der logisch zwischen jenen beiden steht, den des I n t e g r i t ä t s b e r e i c h e s . Dieser entsteht aus dem Ringbegriff, wenn man nur einen Teil der zum Körperbegriff führenden Zusatzforderung (7.) stellt, nämlich aus dieser einerseits die unbeschränkte Existenz des Quotienten wegläßt, also nur die Eindeutigkeit der Division, falls sie überhaupt ausführbar ist, fordert: (7 a.) Aus a l = a b ' und a=}=0 f o l g t & = &' (Eindeutigkeit der Division),

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I. Ringe, Körper, Integritätsbereiclic.

andererseits aber doch die Existenz der speziellen Quoa b tienten — , — , . . , wo a, b,.. =fc 0 sind, fordert, was nach a b dem Vorhergehenden auf die Forderung der Gültigkeit des Analogons zu Satz 3 hinausläuft: (7b.) E s e x i s t i e r t ein E l e m e n t e in B, so d a ß ae = a f ü r alle a aus B i s t (Existenz des Einselementes). Definition 3. G e l t e n in e i n e m R i n g e B a u ß e r (a.), (b.), (c.) a u c h n o c h (7a.) u n d (7b.), so h e i ß t B ein Integritätsbereich b e z ü g l i c h d e r V e r k n ü p f u n g e n (b.). Jeder Körper ist ein Integritätsbereich, weil ja (7a.) und (7b.) aus (7.) gefolgert werden können, und jeder Integritätsbereich ist nach Def. 3 ein Ring. Ringe, Körper, Integritätsbereiche nennen wir auch gemeinsam B e r e i c h e x ) und die in ihnen erklärten Verknüpfungen Addition, Subtraktion, Multiplikation, ev. Division die d r e i e r s t e n bzw. v i e r e l e m e n t a r e n Rechenoperationen. In Integritätsbereichen (also speziell in Körpern), die uns im folgenden hauptsächlich interessieren werden, gilt auch die Umkehrung von Satz 2: Satz 4. I s t das P r o d u k t z w e i e r E l e m e n t e e i n e s I n t e g r i t ä t s b e r e i c h e s N u l l , so i s t m i n d e s t e n s e i n e r d e r F a k t o r e n N u l l , d. h. a u s ab = 0 , a=t= 0 f o l g t b = 0. B e w e i s : Sei ab = 0, a=f=0. Da nach Satz 2 «0 = 0, also hier ab — aO ist, folgt nach (7 a.) 6 = 0. Das Bestehen von Satz 4 ist übrigens nicht nur, wie eben gezeigt, Folge aus (7 a.), sondern auch umgekehrt. Denn gilt das Analogon zu Satz 4 in einem Ringe und besteht für ein «4= 0 die Gleichung ab — ab', d. h. a(b — V) = 0, so folgt b — b'= 0, d . h . b = V. B e r e i c h bedeutet zwar hiernach dasselbe wie B i n g ; jedoch ist der neutrale Ausdruck Bereich im angegebenen Sinne geläufiger, während man R i n g gewöhnlich nur dort anwendet, wo wirklich kein Integritätsbereich vorliegt.

1. Definition der Ringe, Körper, Integritätsbereiche.

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Zusatz z u Definition 3. M a n k a n n d i e F o r d e r u n g e n (7a.), (7b.) d e r D e f . 3 a u c h d u r c h d i e F o r d e r u n gen e r s e t z e n , d a ß d i e A n a l o g a zu S a t z 3 u n d S a t z 4 in B g e l t e n s o l l e n . Es bedarf wohl nur des Hinweises, daß aus den Gesetzen (a.), (b.), (c.) für Ringe alle allgemeinen Rechenregeln der elementaren Algebra für die Addition, Subtraktion und Multiplikation, insbesondere die sog. Klammerauflösungsformeln, und wenn man (7.) hinzunimmt, auch die allgemeinen Formeln der Bruchrechnung durch einfache Schlüsse hergeleitet werden können. Die nähere Ausführung darf dem Leser überlassen bleiben. Man verwendet beim Rechnen in einem Bereich B zweckmäßig folgende abkürzenden Bezeichnungen: — a für 0 — a, . . . , ( — 2) a, (— 1) a, 0 a, 1 a, 2 a,... für . . . — (a + a), — a, 0, a, a+ a,. . . (ganze V i e l f a c h e von a), .. ., a - 2 ,

€

€

\ a°, al, a2,. .. für . . . , — . —; e, a, aa,. . . an a (ganze P o t e n z e n von o) -2 ( a ~ \ o , . . natürlich nur, soweit eindeutig erklärt, also z. B. wenn B ein Körper und a #= 0 ist). Aus (1.)—(7.) und Satz 1—4 ergeben sich dann mittels der Definition der Rechenoperationen im Bereich der ganzen Zahlen leicht die Tatsachen (m + n) a = m a + n a, am+n = am an, (am)n = amn, (w n)e = (me) (n e), em = e, mO = 0, 0™ = 0 für ganze Zahlen m, n. soweit die1 darin vorkommenden Elemente einen eindeutigen Sinn auf Grund des Vorhergehenden haben. Beispiele. 1. Auf Grund der vorstehenden Ausführungen dürfen wir als aus den Elementen bekannt hinstellen: Satz 5. Die { Z o n a l e n }

Z a h l e n

bilden

einen

/ I n t e g r i t ä t s b e r e i c h T\ w e„n n a l ,s „ , .. c \KörpcT P J' V e r k n ü p f u n g e n die gewöhnliche Addition und Multiplikation zugrundegelegt werden. Die Zahlen 0 u n d 1 sind Null- u n d JSinselement von T und P. 2. Ferner bilden auch alle reellen, sowie auch alle komplexen Zahlen einen Körper bezüglich der gewöhnlichen Addition und Multiplikation.

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1. Ringe, Körper, Integritätsbereicho.

3. Die geraden Zahlen bilden einen Ring aber keinen Integritätsbereich, weil für sie (7 b.) nicht gilt. Ringe, wo (7b.) gilt, aber (7 a.) nicht, werden wir in 2, § 2 kennen lernen. Als Beispiel eines Integritätsbereiches, der kein Körper ist. difnt schon l~. 4. Der folgende Körper mag als Beispiel einerseits für einen solchen genannt werden, dessen Elemente keine Zahlen sind, andererseits für einen mit nur endlich vielen Elementen: Für zwei Elemente 0 und e werden zwei Verknüpfungsoperationen durch die Festsetzungen 0+ 0= 0 00 = 0 0+ e= e+ 0= e 0e = e0 = 0 e+ e= 0 ee = e erklärt. Man bestätigt leicht die Richtigkeit von (1.)—(7.). Wir haben also einen Körper, der lediglich aus seinem Null- und Einselement besteht. Daß dieser Körper kein uninteressanter Ausnahmefall ist, zeigen die Ergebnisse von 2, § 20, wonach endliche Körper existieren, deren Elementzahl eine beliebige Primzahlpotenz ist. § 2.

Teilbereiche,

Kongruenzrclationen,

Isomorphie.

In § 1 wird mit der Forderung (a.) von einer M e n g e u n t e r s c h i e d e n e r E l e m e n t e , der G r u n d g e g e b e n h e i t d e r M e n g e n l e h r e , ausgegangen, die dann durch Hinzunahme der Forderungen (b.), (c.) usw. zu der G r u n d g e g e b e n h e i t d e r A l g e b r a , d. h. zum B e r e i c h , wird. Es ist daher verständlich, daß f ü r das Studium unserer Bereiche u. a. auch Begriffe und Tatsachen heranzuziehen sind, die allein aus (a.) folgen, also der Mengenlehre angehören, und von denen dann zu untersuchen ist, wie sie bei Hinzunahme von (b.), (c.) usw. f ü r das Studium von Bereichen nutzbar gemacht werden können. Wir müssen uns hier darauf beschränken, die heranzuziehenden mengentheoretischen Grundlagen vom sog. n a i v e n S t a n d p u n k t aus kurz zusammenzustellen, ohne auf die in neuerer Zeit durch die Paradoxien der Mengenlehre entstandenen begrifflichen Schwierigkeiten einzugehen, die man durch ein entsprechendes a x i o m a t i s c h e s V o r g e h e n beheben kann, wie es in § 1 f ü r Bereiche, gestützt auf den Mengenbegriff, durchge-

2. Teilbereiche, Kongfuenzrelationen, Isomorphic.

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führt wurde. Wir verzichten also insbesondere auf eine naiv nicht in befriedigender Weise zu gebende Präzisierung des Begriffs der Menge. 1. T e i l m e n g e n . Es sei M eine Menge, worunter wir stets, wie in § 1, (a.), eine M e n g e u n t e r s c h i e d e n e r E l e m e n t e v e r s t e h e n . fEine Menge M t heißt Teilmenge von M oder in M 'enthalten,^wenn jedes Element von Mj auch in M vorkommt. Wir r e c h n e n d e Menge M selbst, sowie die kein Element enthaltende l e e r e M e n g e ( N u l l m e n g e ) ebenfalls als Teilmengen von M. Alle anderen Teilmengen von M heißen e c h t oder e i g e n t l i c h . Liegen Teilmengen M„ M 2 , . . . einer Menge M in irgendeiner endlichen oder unendlichen Anzahl vor, so gibt es dazu zwei bestimmte Teilmengen von M, ihren Durchschnitt A und ihre Verein igiiiigsmeiige E. Der Durchschnitt A besteht aus allen und nur den Elementen von M, die s o w o h l in M t , a l s a u c h in M 2 , . . . enthalten sind. Er kann auch die Nullmenge sein. Die Vereinigungsmenge E besteht aus allen und nur den Elementen von M, die e n t w e d e r in M„ o d e r in M 2 , . . . enthalten sind. E läßt sich auch erklären als Durchschnitt aller M^ M 2 , . . . enthaltenden .Teilmengen von M, und ist in diesem Sinne die e n g s t e M t , N U , . . . enthaltende Teilmenge von M. Ebenso läßt sich A erklären als Vereinigungsmenge aller in M,, M 2 , . . . enthaltenen Teilmengen voll M, und ist in diesem^Sinne die w e i t e s t e in M i , M 2 , . . . enthaltene Teilmenge von M. 2. Ä q u i v a l e n z r e l a t i o n e n u n d K l a s s e n e i n t e i l u n g e n . Für die Algebra von besonderer Wichtigkeit sind Zerlegungen einer Menge M in e l e m e n t f r e m d e Teilmengen, d . h . Darstellungen von M als Vereinigungsmenge von Teilmengen, von denen je zwei die Nullmenge zum Durchschnitt haben. S o l c h e Z e r l e g u n g e n v o n M n e n n e n w i r Klasseneinteilungen von M u n d d i e b e t r . T e i l m e n g e n a u c h K l a s s e n . Liegt eine solche Klasseneinteilung vor, und setzt man zwischen je zwei in bestimmter Reihenfolge gegebene Elemente a, b aus M das Zeichen ~ oder das Zeichen je nachdem a in derselben Teilmenge wie b vorkommt oder nicht, so bestehen offenbar die Tatsachen: (oc.) a — a ( G e s e t z d e r Reflexivitat), (ß.) a u s a — b f o l g t b — a ( G e s e t z d e r Symmetrie), (y.) a u s folgt ( G e s e t z d e r Transite vität).

16

I. Ringe, Körper, Integritätsbereiche.

Für das Bestehen dieser Tatsachen, gleichgültig welche B e d e u t u n g dabei den Zeichen —, '-¡^ zukommt, führen wir eine besondere Ausdrucks weise ein: (I.) W e n n z w i s c h e n j e ' z w e i i n b e s t i m m t e r R e i h e n folge gegebene E l e m e n t e von M eines u n d n u r eines von zwei Zeichen H- in s o l c h e r W e i s e g e s e t z t i s t , d a ß d i e B e d i n g u n g e n (3.), (/?.)> (y.) b e s t e l l e n , so s a g t m a n , d a ß e i n e Äquiralenzrelation ~ in M e r k l ä r t s e i . Es gilt dann also: (A.) J e d e K l a s s e n e i n t e i l u n g v o n M f ü h r t z u e i n e r Ä q u i v a l e n z r e l a t i o n i n M, i n d e m z w i s c h e n E l e m e n t e aus einer Klasse zwischen Elemente aus verschiedenen Klassen ^ gesetzt wird. Nicht nur in der Algebra, sondern in fast jeder mathematischen Disziplin hat man außerordentlich häiifig die Umkehrung dieser Tatsache zu benutzen, die wir daher hier ausführlich begründen wollen: (B.) J e d e Ä q u i v a l c n z r e l a t i o n i n M e n t s p r i n g t g e m ä ß (A.) a u s e i n e r u n d n u r e i n e r K l a s s e n e i n t e i l u n g v o n M . B e w e i s : a) Wenn eine Äquivalenzrelation in M vorliegt, so kann eine Teilmenge M! von M die Eigenschaft E haben, daß ein Element c aus M dera>t existiert, daß N^ aus allen und nur den Elementen d von M besteht, für die c ~ d ist. Wir nennen dann f ü r den Augenblick Mi eine ß-Teilmenge von M, die durch c erzeugt ist Jedes Element c aus M erzeugt eine Teilmenge, aber natürlich kann dieselbe E-Teilmenge i. a. durch verschiedene Elemente erzeugt sein. Wir betrachten nun die sämtlichen ^-Teilmengen von M und zeigen, daß diese die Klassen einer Klasseneinteilung von M sind, aus der die betrachtete Äquivalenzrelation im Sinne von (A.) entspringt. Erstens sind verschiedene ^-Teilmengen Mj, M 2 von M elementfremd. Wäre nämlich das Element a in Mx und M 2 enthalten, und ist Mj durch cx, M 2 durch c 2 erzeugt, so wäre cx ~ a, c 2 ~ a, also nach (/}.), (y.) auch c1 — c2. Ist dann d1 ein Element aus Mp d2 ein Element aus M 2 , also cx — dlt c 2 — d2, so folgte wiederum aus (/?.), (y.) auch c, — d2, c2 — d1, so daß d,, auch in M L dl auch in M 2 enthalten wäre. Es wären also dann gegen die Annahme und M2 identisch. Zweitens ist die Vereinigungsmenge aller ¿/-Teilmengen die Menge M, d. h. jedes Element a aus M kommt wirklich in einer ^-Teilmenge vor. Denn nach («.) kommt a in der durch a erzeugten E-Teilmenge vor. Hiernach sind also die E-Teilmengen von M die Klassen einer

2. Teilbereiche, Kongruenzrelationen, Isomorphie.

17

Klasseneinteilung von M. Daß die betrachtete Äquivalenzrelation im Sinne von (A.) aus ihr entspringt, folgt so: Erstens steht zwischen zwei Elementen a, b derselben _E-Teilmenge M2 das Zeichen Denn ist durch e erzeugt, so ist c — a, c — b, also nach (ß.), (y.) auch Zweitens steht zwischen zwei Elementen a, b verschiedener ¿-Teilmengen M], M2 von M das Zeichen Wäre nämlich a — b, und ist Mx durch c,, M2 durch e2 erzeugt, so folgte aus lc — a, Ca — b nach (/?.), (y.) auch c, — e2 und daraus wie oben ein Widerspruch gegen die Verschiedenheit von M, und M2. b) Daß eine Äquivalenzrelation nicht aus zwei verschiedenen Klasseneinteilungen von M entspringen kann, folgt daraus, daß die ein Element a enthaltende Klasse notwendig aus allen und nur den b mit a — b bestehen muß, also durch die Äquivalenzrelation eindeutig (als die durch a erzeugte ¿-Teilmenge von M) bestimmt ist. Liegt eine Klasseneinteilung von M vor, so heißt jede Teilmenge von M, die aus jeder Klasse ein und nur ein Element enthält, ein vollständiges Repräsenlantensystem für diese Klasseneinteilung. Die einfachste Äquivalenzrelation ist die l o g i s c h e I d e n t i t ä t , d.i. die in § 1 unter (a.) durch die Zeichen = , 4= definierte Relation. Die zu ihr gehörige Klasseneinteilung ist die Einteilung von M in seine unterschiedenen Elemente selbst. 3. G l e i c h m ä c h t i g k e i t u n d K a r d i n a l z a h l e n . Man kann aus einer Menge M dadurch eine neue Menge M' herleiten, daß man die Elemente von M irgendwie durch neue Elemente ersetzt, nur so, daß alle Unterschiedenheiten der Elemente von M erhalten bleiben (etwa indem man das Element a durch den „Gedanken an das Element a " ersetzt). Setzt man dann zwischen je zwei Elemente a aus M und a' aus M' das Zeichen oder das Zeichen je nachdem a' bei dieser Ersetzung aus a entsteht oder nicht, so bestehen offenbar die Tatsachen: (, e] 4= 0 wegen b 4= 0) —, folgt für das zugeordnete Element von K die Darstellung ~ als Quotient zweier Elemente von I. Damit ist Satz 10 bewiesen. Die Eindeutigkeitsaussage von Satz 10 kann noch etwas verschärft werden, nämlich durch den folgenden Zusatz, dessen Exibtenzaussage nach Satz ü [19] und (2.)— (5.) auf der Hand liegt: Zusatz. I n n e r h a l b eines b e l i e b i g e n E r w e i t e r u n g s k ö r p e r s K* v o n I g i b t es e i n e n und n u r e i n e n R e p r ä Erweiterungss e n t a n t e n des in S a t z 10 g e n a n n t e n t y p u s , n ä m l i c h den K ö r p e r K, d e r d u r c h die in K* gebildeten Quotienten von Elementen aus 1 gebildet wird. B e w e i s : ' Wird im vorhergehenden Beweis unter a) die Voraussetzung hinzugefügt, daß K und K beide Teilkörper eines und desselben Erweiterungskörpers K*^,von I sind, so folgt dort sogar K = K, weil dann die Quotienten y in K und Keine und dieselbe, durch K* festgelegte Bedeutung haben. Im Hinblick auf die Ausführungen nach Def. 7 [24] ist es daher gerechtfertigt, isomorphe Erweiterungskörper von 1 des in Satz 10 genannten Typus nicht zu unterscheiden und mit dem b e s t i m m t e n Artikel zu definieren:

4. Ganze rationale und rationale Funktionen.

31

Definition8. D e r in S a t z 1 0 g e n a n n t e K ö r p e r K h e i ß t d e r Q u o t i e n t e n k ö r p e r d e s I n t e g r i t ä t s b e r e i c h e s I. Beispiele« 1. Ist I schon selbst ein Körper, so ist sein Quotientenkörper mit I identisch, und umgekehrt. 2. Der Quotientenkörper des in Satz 5 genannten Tntegritätsbereiches T ist der ebendort genannte Körper P. In der Tat geht das unter c) benutzte Konstruktionsverfahrrn für I = T in die bekannte Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen über. 3. Vgl. § 4, Def. 10. § 4 . D e r I n t e g r i t ä t s b e r o i o h der g a n z e n r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n v o n n U n b e s t i m m t e n über I nnd der K ö r p e r der r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n v o n n U n b e s t i m m t e n ü b e r K. Der in der Algebra zu v e r w e n d e n d e Begriff der g a n z e n rationalen u n d der rationalen F u n k t i o n ist von d e m in der Analysis üblichen grundsätzlich verscl iVden. In der Analysis definiert man die Funktionen als Zuordnungen von Funktionswerten zu den Elementen einer Argumentmenge. Dementsprechend würde im Sinne der Analysis (i. S. d. An.) von einer Funktion f von n Veränderlichen über einem Integritätsbereich 1 zu reden sein, wenn jedem geordneten Elementsystem xlt.. .,xn aus I ein Element f(xv ..., xn) aus I zugeordnet ist, und speziell von einer ganzen rationalen Funktion (g. r. Fkt.), wenn jene Zuordnung für alle x t , . . . , x n aus 1 in ein- und demselben, auf x1,..., x„ und feste Elemente aus 1 anzuwendenden Rechenverfahren besteht, das aus endlich vielen Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen, wie sie ja in I definiert sind, zusammengesetzt ist. Entsprechend wäre unter Hinzunahme auch der Division eine rationale Funktion (r. Fkt.) i. S. d. An. von n Veränderlichen über einem Körper K zu erklären, wobei allerdings wegen des Nichtdefiniertseins der Division durch 0 bei einem gegebenen Rechenverfahren unter Umstä? den nicht iedes System , r l t . . „ i n aus K als Argumentsystem zulässig ist; das wir l nachher noch zu präzisieren sem. Es ist ohne weiteres ersichtlich, daß die g. r. Fkt. bzw. r. Fkt. i. S. d. An. über I bzw. K von n Veränderlichen jedenfalls je einen R i n g bilden, wenn man die Verknüpfungen durch Addition und Multiplikation je aller (deiii.ierten) Funktionswerte erklärt. In der Algebra kommt man aus einem später (nach Satz 12 [411) näher auszuführenden Grunde mit diesem Funktionsbegriff, der

32

I. Ringe, Körper, Integritätsbereiche.

die Zuordnung als das Primäre, die Art der Zuordnung, d.h. im Falle der rationalen Funktionen das R e c h e n v e r f a h r e n als dis Sekundäre hinstellt, nicht aus. Man muß vielmehr umgekehrt für die dort allein zu betrachtenden rationalen Funktionen den Rechenausdruck als das Primäre, die durch ihn gelieferte Zuordnung als das Sekundäre a n s e h e n D e m letzteren Standpunkte entspricht es, wenn wir im folgenden eine Theorie der in x^,..., xn ganzen rationalen bzw. rationalen Rechenausdrücke über I bzw. K entwickeln, die wir dann der formalen Analogie halber, wie üblich, auch g. r. bzw. r. Fkt. von x¡,,.., xn über I bzw. K nennen, und wenn wir dabei, um ein Zurückfallen in den Zuordnungsstandpunkt auszuschließen, den xlt..., xn vorläufig die Bedeutung von Veränderlichen in 1 bzw. K entziehen, sie vielmehr als feste Elemente außerhalb bzw. K, sog. U n b e s t i m m t e 2 ) , einführen. Zu dem Bereich der ganzen rationalen Funktionen von xv ..., xn über einem Integritätsbereich 1 im Sinne der Algebra gelangen wir durch eine, zu der in § 3 ganz analoge, abstrakte Konstruktion, indem wir beweisen: Satz 11, Z u j e d e m I n t e g r i t ä t s b e r e i c h 1 e x i s t i e r t ein Erweiterungsintegritätsbereich \n m i t der Eigenschaft: E s e x i s t i e r e n n E l e m e n t e xv . . x n in I „ , so d a ß sich j e d e s E l e m e n t v o n l n e i n d e u t i g in d e r F o r m 00

Z

ctk,

ki kn=0

*„ «I*1 • • • xnkn

d a r s t e l l e n l ä ß t , w o d i e akl s i n d , u n t e r d e n e n nur e n d l i c h schiedene vorkommen.

3

)

E l e m e n t e aus 1 viele von Null ver-

Das ist also derjenige, vom Standpunkte der Analysis primitivere Funktion^begriff, der historisch dem genannten, modernen Eunktionsbegrifi i. 8. d. An. vorausgegangen ist. Unsere nachstehenden Entwicklungen zeigen, daß vom Standpunkte der Algebra umgekehrt jener in der Analysis primitivere Funktionsbegriö der tiefergehende ist. ' ) Siehe zu diesei Bezeichnung die Erläuterung hinter Def. 9 [38]. 8 ) Die Bedeutung des Summenzeichens 2. mit angefügten Angaben über den Summationsbereich darf als bekannt vorausgesetzt werden. — Baß wir hier für die in Wahrheit endlichen Summen formal unendliche Summen mit nur endlich vielen Summanden 0 setzen, wobei natürlich stillschweigend unter einer Summe von unendlich vielen Nullen wieder Null verstanden ist, geschieht lediglich aus bezeichnungstechnischen Oründen. Sonst würden nämlich die Formulierung der Eindeutigkeit unserer Darstellungen, sowie später die Formeln für das Rechnen mit so dargestellten Elementen ziemlich kompliziert.

4. Ganze rationale und rationale Funktionen.

33

Der E r w e i t e r u n g s t y p u s von I„ bzgl. 1 i s t durch diese F o r d e r u n g e i n d e u t i g b e s t i m m t . B e w e i s 1 ) : Wir führen den Beweis zunächst für n = 1, und zwar in vollständiger Analogie zum Beweis von Satz 10 in § 3. a) E i n d e u t i g k e i t s n a c h w e i s . Ist Ij ein Integritätsbereich der im Satz genannten Art für n = 1 und x das im Satz mit % bezeichnete Element aus I1( so enthält Ij als Integritätsbereich auch umgekehrt alle •0 Ausdrücke 27 akxh, wo die ak Elemente aus I sind, von denen 4=0 nur endlich viele =4= 0 sind, d. h. besteht aus der Gesamtheit aller dieser Ausdrücke. Wegen der Eindeutigkeitsforderung des Satzes und nach den Gesetzen § 1, (1.)—(6.) für Ringe bestehen dann folgende Tatsachen in l x : 00

(1.)

OD

Zakxk

4=0

4=0 ak

(2.) (3.)

=

Z akxkZ

für alle Tc,

xk

= 4Z= 0 {ah +

lkxk = Z

4=0

xk—Zl

Zak

dann, wenn

lk)xk,

{Zaxb„)xk,

4=0 X , p = 0

xk

k

Jc = 0

und nur

a'h

Z ak3* + 4 Z b =0 k

4=0

4=0

(4.)

dann

= Zakxli

4=0

A+it=4

= Z(ak —

lk)xk.

4=0

Ist nun lx ein weiterer Integritätsbereich dieser Art, x das im Satz mit x1 bezeichnete Element für 00

einem Element Z akxk von

und ordnet man 00

immer das Element Z akxk

4=0

4=0

von Ij zu, so erschließt man aus (1.)—(3.) ganz entsprechend wie in § 3, a), daß auf Grund dieser Zuordnung ') Vgl. die Anm. 1 [26] zum Beweis von Satz 10. H a s s e , Höhere Algebra. I .

es 3

bzgl. i

34

• I. Ringe, Körper, Integritätsbereiche.

ist, also die eindeutige Bestimmtheit des von lj bzgl. I.

Erweiterungstypus

b) V o r b e m e r k u n g e n z u m E x i s t e n z n a c h w e i s . Der Nachweis der Existenz eines Integritätsbereiches der im Satz genannten Art kann prinzipiell nur durch Konstruktion von I,, d. h. durch Angabe seiner Elemente und ihrer Verknüpfungen geführt werden. Hierbei dürfen wir natürlich nicht schon mit OD

dem Element x und den Summendarstellungen Z a^x* operieren, o da diese erst auf Grund der Existenz von I, einen Sinn haben. Wir entziehen daher für die Konstruktion dem x die Bedeutung eines Elementes, das mit den Elementen von I zusammen den drei ersten elementaren Rechenoperationen unter00

worfen werden kann, und somit den S a^x* die Bedeutung von »= 0 Rechenausdrücken, sehen diese vielmehr lediglich als geordnete Systeme (a0, . . . ) von Elementen aus 1 an. Aus (1.)—(3.) entnehmen wir dann die nötigen Richtlinien für die Angabe der Elemente von und ihrer Verknüpfungen. c) K o n s t r u k t i o n e i n e s zu isomorphen Integritätsbereiches Wir sehen die Menge Ii aller geordneten Elementsysteme (a0, a l 5 . . . ) von je abzählbar unendlich vielen Elementen aus I, wobei aber jedesmal nur endlich viele ak=(= 0 sein sollen, als Menge unterschiedener Elemente an, haben also: (1.') (a 0 , a v . . . ) = («ó, a { , . . . ) dann und nur dann, wenn = a'k für alle fc. Wegen (0, 0 , . . . ) =(= ( e , 0, • • •) ist dann § 1, (a.) in Ii realisiert. Wir definieren weiter in Ii zwei Verknüpfungen Addition und Multiplikation durch die Festsetzungen: (2.') (a 0 , . . . ) + (60, b1,...) = (a0+ b0, a x + (3.') (o 0 , . . . ) (b0, ...) = ( a o K a o \ + «ify» ®H+v + ' ' ' + dv—lbß+l

a

+

t>bft +

a

v+l

H— • +

a

v+nK

a

des Produktsystems nach Wahl von av und bß, daß es gleich a, bp, also wegen der Gültigkeit von Satz 4 in 1 von Null verschieden wäre, in Widerspruch zu der Voraussetzung. Somit gilt das Analo^on zu Satz 4 in 1J. Schließlich gilt auch §1. (7b.), d. h. das Ana'ogon zu Satz 3 [11] in weil nach (3.') das Element (e, 0, 0 , . . . ) Einselement von H ist. Somit ist Ii ein Integrilätsbereich bezüglich der Verknüpfungen (2.') und (3.'). d) K o n s t r u k t i o n

von

Ij.

Der Integritätsbjreich IJ enthält die Teilmenge I' dir speziellen Elemente (a, 0, 0 , . . . ) , die nach (2.')~(4.') und 3*

36

I- Ringe, Körper, Integritätsbereiche^.

Satz 6 [19] ein Teilintegritätsbereich von lx und weiter nach (1.')—(3.') und Def. 7 [23] vermöge der Zuordnung (a, 0, 0 , . . . ) *—>- a zu I isomorph ist. Ganz entsprechend wie in § 3, d) kann man dann aus I' einen zu Ii isomorphen Erweiterungsintegritätsbereich von I herleiten, indem man die Elemente von 1' durch die ihnen zugeordneten von I ersetzt. Dieser Integritätsbereich hat nun die im Satz genannte Eigenschaft. Bezeichnet nämlich x das spezielle Element (0, e, 0, 0 , . . . ) von Ii, so daß also nach (3.') gilt n* = e = (e, 0, 0 , . . . ) , x1 = x = (0, e, 0, 0 , . . . ) , a* = (0, 0, e, 0, 0 , . . . ) , . . . , und ist (a0, av ...) irgendein Element von Ii, so ist nach (2'.) und (3.') (a0, « j , . . . ) = («o, 0, 0 , . . . ) x° + 0, 0, . . .) x1 -\ . Da x nicht zum Teilbereich 1' von Ii gehört, bleibt es beim Übergang zu erhalten, und es besteht demnach für das 00

zugeordnete Element von ^ die Darstellung £ akxk. k= o Diese Darstellung ist schließlich eindeutig. Denn aus 00

00

S a,jex1' = S aix* folgt durch Übergang zum isomorphen Ii k=0 k=0 zunächst (a 0 , . . . ) = {a'0, a'x,...) und daraus nach (1.') ak = a'k für alle k. Damit ist Satz 11 für n = 1 bewiesen. Zum Beweise für beliebiges n stehen folgende zwei Wege zur Verfügung: Entweder kann man den gesuchten Integritätsbereich \n sukzessive konstruieren. Bezeichnet man dazu den zu irgendeinem Integritätsbereich I nach dem schon bewiesenen Teil des Satzes vorhandenen Integritätsbereich mit I[aj], so bilde man sukzessive . Ix = I fo], lä = I i K ] , . . . , 1„ = l„_i [:rB]. Dann lassen sich die Behauptungen des Satzes für l„ sämtlich durch vollständige Induktion bezüglich n beweisen.

4. Ganze rationale und rationale Funktionen.

37

Oder man übertrage die Entwicklungen des vorstehenden Beweises für « = 1 sinngemäß auf beliebiges n, was ohne weiteres möglich ist. An Stelle von (1.)—(3.) tritt dabei: 03

03

(la.) Z at¡ jfc„a*\..xl n = Z a'ki!...¡kn3*\..3*n dann tu ...,kn=0 k1,...,kn=0 und nur dann, wenn aki füí alle Systeme kn = a'kí,...,kn (2a.)

i

aki

.. 4 « + f

^a*... a*

oo = k1 (3a.)

2akl í:«,—0

=z

kn=0

»» + 6»,

¿»K1---^.

^ . . . a ^ J ^ kn—Ó

(Z

¿ X *n+l¿n=kn und daraus ist die zu treffende Wahl der Elemente von l„ [nämlich alle in ein n dimensionales Schema geordneten Systeme akit__^kn ( k ¡ , . . . , h n = 0 , 1 , . . . ) von Elementen aus 1 mit nur endlich vielen 4= 0] und der Verknüpfungen für sie ohne weiteres ersichtlich. Die nähere Ausführung darf auf Grund dieser Hinweise für beide Wege dem Leser überlassen bleiben. Während der erste Weg neben dem Vorzug des Auskommens mit den rechnerisch einfachen Entwicklungen des ausgeführten Beweises für n = 1 insofern auch theoretisch von Bedeutung ist, als manche Sätze über l n nur durch vollständige Induktion bezüglich n, also durch Zurückgehen auf die angegebene rekursive Konstruktion von l„ beweisbar sind (vgl. z. B. 2, Satz 49 [ 41 ]), ist der zweite Weg deshalb befriedigender, weil er einmal die besondere Behandlung des Falles n = 1 entbehrlich macht, dann aber auch im Gegensatz zum ersten einer wichtigen Eigenschaft von l„ gerecht wird, nämlich der Symmetrie in xn, d. h. der aus Sata 11 ohne weiteres ersichtlichen Tatsache, daß l„ in sich übergeht, wenn die Rollen der Elemente a ^ , . . . , xn irgendwie vertauscht werden-

38

I. Ringe, Körper, Integritätsbereiche.

Anders als in § 3, Satz 10, Zusatz [30] können hier zwar innerhalb eines beliebigen Erweiterungsintegritätsbereiches I* mehrere verschiedene Repräsentanten des in Satz 11 genannten Erweiterungstypus vorhanden sein (z. B. wenn 1* = I [xlt..., x,„, xn+1,..., x„+m] ist, alle I [x,„ . . . , :rin], wo i„ . . i n irgendwelche n verschiedene Ziffern aus der Reihe 1 , . . . , n + m sind); aber offenbar ist jeder solche Repräsentant innerhalb I* durch die Angabe derjenigen Elemente aus I*, die die Rolle von .. .,xn haben, eindeutig bestimmt, nämlich als die Gesamtheit der Ausdrücke der in Satz 11 genannten Form in diesen Elementen. Im Hinblick auf die Ausführungen nach Def. 7 ist es daher wieder gerechtfertigt, mit dem bestimmten Artikel zu definieren: Definition 9 . D e r in S a t z 11 g e n a n n t e I n t e g r i t ä t s b e r e i c h l„ h e i ß t der Integritätsbereich der ganzen rationalen Funktionen der n Unbestimmten . . . , crn ü b e r I. E r werde m i t I [ » , , . . . , z n ], s e i n e E l e m e n t e a u c h k u r z m i t f(x1,...,xn),... oder n o c h k ü r z e r mit /, . . . bezeichnet. Die eindeutigen Darstellungen dieser E l e m e n t e in der F o r m von S a t z 1 1 n e n n e n wir i h r e Normaldarstellungen und die d a r i n a u f t r e t e n d e n E l e m e n t e a k u ...,k n aus I die Koeffizienten d i e s e r D a r s t e l l u n g . Die Bezeichnung Unbestimmte für die Xi erläutern wir dahin, daß jedes einzelne der Xi von I aus keiner anderen Bestimmung 00

fähig ist, als der negativen, daß keine Gleichung ¿7 « j x\ = 0 (mit i = 0

nur endlich vielen Koeffizienten ak =f= 0) besteht, außer der trivialen, wo alle ak = 0 sind. Die x^ sind also weder Elemente von I, noch genügen sie algebraischen Gleichungen in 1 (siehe §5 [48] und 2, Def. 21 [54]). Steinitz (Lit.-Verz. I) nennt sie daher bzgl. I transzendente Elemente. Übrigens sind die x^ wegen (la.) auch nicht untereinander durch positive Bestimmungen (algebraische Gleichungen) verknüpft. Steinitz nennt sie daher genauer ein System bzgl. 1 •algebraisch unabhängiger Elemente. 1 [xi,..., xn] ist stets ein echter Erweiterungsbereich von I, da infolge der Eindeutigkeit der Normaldarstellungen z. B. die Elemente xv ..., xn nicht zu I gehören. I [xJt..., xn\ ist in keinem Falle ein Körper, (auch nicht, wenn I ein Körper ist). Auf Grund der obigen sukzessiven Konstruktion

4. Ganze rationale und rationale Funktionen.

39

genügt es, das für I [x\ zu beweisen. In I [x] existiert aber sicher ß nicht der Quotient weil für jedes 00

f(x)=Sai.o^!

aus I [x] gilt

00

xf(x) = E akxk+1

= 0 + a0x + tfjX2 -! #= e + Ox + Ox2 + • • • = e. Um auch die zu Beginn dieses Paragraphen schon genannten r a t i o n a l e n Rechenausdrücke in x^,..., xn einzubeziehen, erweitern wir I [xlt..., xn] zum Quotientenkörper. Da hierbei insbesondere der Teilbereich 1 zum Quotientenkörper erweitert wird, genügt es, von vornherein von einem Körper K und dem zugeordneten Integritätsbereich K f o , . . . , xn] auszugehen: Definition 10. I s t K ein K ö r p e r , so h e i ß t der Q u o t i e n t e n k ö r p e r des In t e g r i t ä t s b e r e i c h e s K t a ; ! , . . . , » « ] der Körper der rationalen Funktionen der n Unbestimmten ..., xn ü b e r K. E r w e r d e m i t K (xx,..., xn), xn),... oder seine E l e m e n t e a u c h k u r z m i t und