Algebra: Teil1 Die Grundlagen [3. verb. Aufl. Reprint 2011] 9783110238396, 9783110238389

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Göschens Lehrbücherei 1. Gruppe

Reine und angewandte Mathematik Band 8

Algebra Von

Professor Dr. Oskar Perron

I Die Grundlagen

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J. G ö s c h c η ' s c h e V e r l a g e h a n d l u η g J. G u t t e n t a g , V e r l a g e b u c h h a n d l u n g — G e o r g R e i m e r — K a r l J. T r ü b n e r — V e i t & C o m p .

Berlin W 35 1951

Algebra Von

Dr. Oskar Perron ο. ö. Professor der Mathematik an der U n i v e r s i t ä t München

I Die Grundlagen

Dritte,

verbesserte

Auflage

Mit 4 F i g u r e n

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. • o r m a l s G. J . G ö s c h e n ' « c h e V e r l a g f b a n d l u n g J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g — G e o r g R e i m e r — K a r l J. T r ü b n e r — V e i t & C o m p .

Berlin W 35 1951

Verlagsarchiv

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten

Archiv-Nr. 12 05 51 Druck Ton Walter de Gruyter 4 Co., Berlin W 35

Vorwort zur zweiten Auflage. Da der empfindliche Mangel an Algebrabüchern, der noch vor wenigen Jahren herrschte, naturgemäß nicht nur von mir empfunden wurde, ist es nicht zu verwundern, daß jedes der vier Jahre, die seit dem Erscheinen der ersten Auflage dieses Werkes in die Welt gegangen sind, eine oder zwei neue Darstellungen der Algebra gebracht hat. Aber Algebra kann man auf verschiedene Arten treiben, und so hat jedes der heute vorhandenen Bücher seine eigene Tendenz; jedes geht andere Wege und verfolgt andere Ziele und kann daher seine Existenzberechtigung mit seiner Eigenart begründen. Deshalb bedeutet die heutige Vielheit kein Zuviel, und deshalb habe ich auch keinen Augenblick gezögert, an die Bearbeitung der neuen Auflage heranzugehen. Dabei habe ich versucht, die Richtlinien, die ich bei der ersten Auflage im Auge hatte, noch ausgeprägter zur Geltung zu bringen. Sie mögen kurz skizziert sein. Obwohl die Algebra auf der ersten Textseite als die Theorie der rationalen Funktionen bezeichnet wird, betrachte ich sie nicht als Teilgebiet der Funktionentheorie; die Unterschiede in Inhalt und Methode sollen dem Leser nachdrücklich zum Bewußtsein gebracht werden. In der Algebra gibt es nur die mit dem Körperbegriff gegebenen vier Grundrechnungsarten, es gibt aber kein Größer und Kleiner und es gibt keinen GrenzbegrifT. Deshalb wird der Leser mit dem Körperbegriff von Anfang an vertraut gemacht. Aber es war meine Absicht, ein Lehrbuch zu schreiben, das, obwohl es auch dem Forscher durchaus nicht bloß Bekanntes sagt, doch in erster Linie für. die Hand des Studierenden gedacht ist. Deshalb ist in der Auswahl des Stoffes den tatsächlichen Erfordernissen des Lernenden und in der Darstellung seiner Auffassungsgabe Rechnung getragen, selbstverständlich bei absoluter Strenge in den Beweisen. Auf eine ausführliche Körperaxiomatik wird verzichtet, und es werden in der Hauptsache nur konkret gegebene und konstruierte Körper betrachtet, bei denen auch der Anfänger eine klare Vorstellung hat. Die Darstellung ist aber immer so gehalten, daß sie auch für abstrakte Körper der Charakteristik 0 (d.h. solche, bei denen durch Addition von Einheiten niemals 0 entsteht) unverändert in Geltung bleibt. Wer Lust hat, kauft von Anfang an sich einen solchen Körper denken. Wer aber das Abstrakte scheut und den realen Boden nicht verlassen möchte, der wird im ganzen Buch sich immer fest auf diesem Boden sehen. Und doch bin ich bemüht, gerade diesen Leser allmählich und schmerzlos dahin zu bringen, daß er auch den abstrakten

Vorwort.

VI

Körperbegriff in sich aufnimmt, und wenn er am Ende des ersten Bandes die absolute Irreduzibilität, wie ich hoffe, .leicht begreift und für vernünftig hält, dann hat er ihn ganz unbemerkt schon längst geschluckt, weil es in Wahrheit gar nicht anders geht. Heute liegt zunächst der erste Band, der die Grundlagen enthält, in neuer Bearbeitung vor. Das erste Kapitel ist vollständig umgearbeitet mit dem Ziel, die dargelegten Gesichtspunkte noch stärker zur Geltung zu bringen. Dabei wird jetzt auch der allgemeine abstrakte Körperbegriff erläutert, aber nur an konkreten Beispielen weiter verfolgt. Ebenso ist das letzte Kapitel neu gestaltet, teils aus denselben Gründen, teils, um es dem mittlerweile fortgeschrittenen Stand der Wissenschaft besser anzupassen. Hier ist vor allem der Beweis des sog. Fundamentalsatzes durch einen inzwischen bekannt gewordenen Beweis ersetzt, der wesentlich kürzer ist und sich der Tendenz des Buches besonders gut anpaßt. Ferner ist die Theorie der Gleichungssysteme mit größerer Vollständigkeit behandelt; es sind einige Sätze aufgenommen, die in den letzten Jahren Bedeutung gewonnen haben, und es ist beim Bezoutschen Theorem auch die Vielfachheit der Lösungen berücksichtigt. Weniger umfangreich sind die Änderungen in den mittleren Kapiteln; doch habe ich mich bemüht, auch da nach Kräften zu bessern und einige nicht ganz leichte Dinge verständlicher zu gestalten. Für freundliche Hilfe bei der Korrektur bin ich den Herren Dr. Bochner und Dr. Aumann zu Dank verpflichtet. Besonders Herrn Dr. Bochner verdanke ich auch die Anregung zu einer Reihe sehr wesentlicher Verbesserungen. München, Weihnachten 1931.

Oskar Perron.

Vorwort zur dritten Auflage. Die Zeitumstände lassen heute nur einen anastatischen Neudruck des seit Jahren vergriffenen Buches zu. Doch habe ich mich im Rahmen des Möglichen bemüht, noch zahlreiche kleine Änderungen und, wie ich hoffe, Besserungen anzubringen. München, 1948

Oskar Perron.

Inhaltsverzeichnis. Erstes

Kapitel.

Grundbegriffe. Seite

S § § § §

1. 2. 3 4. 5.

§

6.

§ 7. § 8. § 9. § 10.

Die reellen Zahlen Körper Ringe Die komplexen Zahlen Fortsetzung. -- Zahlenkörper und Zahlenringe. — Konjugierte Zahlen. — Absoluter Betrag Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen. — Historisch-Kritisches Variable. — Polynome einer Variabeln Polynome von mehreren Variabein Rationale Funktionen Fonktionenkörper und Funktionenringe Zweites

1 3 10 12 19 22 26 31 35 40

Kapitel.

Polynomischer und Taylorschef Satz. § 11. § 12. § 13. § 14. §15. § 16.

Permutationen Kombinationen Der binomische und der polynomische Satz Differenzenreehnung. — Arithmetische Reihen Ableitungen und Taylorseher Satz Partielle Ableitungen und Taylorscher Satz f ü r Polynome von mehreren Variabein § 1 7 . Steigungen. — Die Newtonsche und die Lagrangesche Interpolationsl'orme! § 18. Einige bemerkenswerte Eigenschaften rationaler Funktionen Drittes

43 46 50 54 60 66 70 77

Kapitel.

Determinanten. §19. § 20. jj 21. § 22. § 23. § 24. 8 25. § 26.

Definition und einfachste Eigenschaften der Determinanten Entwicklung nach den Elementen einer Zeile oder Spalte Die Ableitungen einer Determinante Ausrechnung einiger bemerkenswerter Determinanten Lineare Gleichungen. Einfachster Fall Lineare Gleichungen. Der allgemeine Faii Lineare Transformation P r o d u k t zweier Determinanten und Matrizes

81 85 90 92 97 99 108 110

VI] Τ

Inhaltsverzeichnis. Seite

§ 27. Bilineare, quadratische und Hermitesche Formen | 28. Abhängige Polynome § 29. Die Fuaktionaldeterminante

116 124 134

Viertes Kapitel. Symmetrische Funktionen. § 30. Begriff der symmetrischen Funktionen. Die symmetrischen Grundfunktionen § 31. Der Fundamentalsatz über symmetrische Funktionen § 32. Die Formeln von Newton und Waring für die Potenzsummen § 33. Potenzproduktsummen. Zweiter Beweis des Fundamentalsatzes § 34. Praktische Berechnung symmetrischer Polynome § 35. Darstellung durch die Potenzsummen

141 145 150 156 159 164

Fünftes Kapitel. Teilbarkeit. § 36. § 37. § 38. § 39. §40. § 41. $ 42. $ 43. § 44. $ 45.

Teilbarkeit von Polynomen einer Variabein Der größte gemeinsame Teiler von Polynomen einer Variabein Reduzibilität und lrreduzibilität Teilbarkeit und Reduzibilität bei Polynomen von mehreren Variabein Der größte gemeinsame Teiler von Polynomen mehrerer Variabein. . . . Entscheidung über Reduzibilität oder lrreduzibilität Gebrochene Funktionen Die Resultante von zwei Polynomen Die Diskriminante eines Polynoms Abhängige Polynome. — Die Resultante von Polynomen mehrerer Variabein § 46. Weitere Eigenschaften der Resultante § 47. Die Resultante h o m o g e n e r Polynome

169 173 177 180 188 193 199 203 212 215 224 227

Sechstes Kapitel.. E x i s t e n z d e r W u r x e l n von G l e i c h u n g e n u n d G l e i c h u n g s s y s t e m e n . $ $ | § S § § § § § §

48 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58.

Auflösung von Gleichungen durch Schöpfung neuer Größen Fortgesetzte Körpererweiterung Der sogenannte Fundamentalsatz der Algebra Isomorphismus der Wurzelsysteme. — Mehrfache Wurzeln Funktionen der Wurzeln. — Resultante und Diskriminante Transformation von Gleichungen Systeme von Gleichungen mit mehreren Unbekannten Spezielle Bedingungen für Lösbarkeit, und Nichtlösbarkeit Anwendung auf die Frage nach der Zerlegbarkeit eines Polynoms.... Das Bezoutsche Theorem Eigenschaften der Resultante und der Multiplizitätszahlen

Sach- und Namenverzeichnis Verzeichnis der Sätze

231 238 242 248 255 260 266 272 281 284 293 298 301

Erstes

Kapitel.

Grundbegriffe. § 1.

Die reellen Zahlen.

I. Unter Algebra versteht man im wesentlichen die Theorie der rationalen Funktionen, die aber hier auf eine von der funktionentheoretischen Betrachtungsweise prinzipiell verschiedene Art aufgefaßt werden. Eine solche Funktion wird mit Hilfe der vier Grundrechnungsarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) aus einer oder mehreren Variabein und gewissen Koeffizienten aufgebaut. Als Koeffizienten kommen dabei in erster Linie Z a h l e n in Betracht, sowohl reelle als komplexe. Daher soll zunächst über die Zahlen einiges gesagt werden. Was di'e r e e l l e n Zahlen anbelangt, so bieten insbesondere die irrationalen gewisse Schwierigkeiten dar. Doch wollen wir ihre Theorie hier als bekannt voraussetzen; es sei etwa auf des Verfassers Lehrbuch , r Irrationalzahlen" verwiesen 1 ). Die Theorie der k o m p l e x e n Zahlen dagegen soll in den ersten paar Paragraphen vollständig entwickelt werden. Zur Vorbereitung seien zunächst die Gesetze für das Rechnen mit reellen Zahlen vorausgeschickt. Dabei bezeichnen wir reelle Zahlen, sofern es auf ihren speziellen Zahlenwert wie 0,1, nicht ankommt, durch kleine griechische Buchstaben. II. Das Rechnen mit reellen Zahlen vollzieht sich nach gewohnten Regeln, und solange man immer nur die Beziehung des Gleichseins ( = ) oder Nichtgleichseins (Φ), nie aber die Beziehung des Größer- oder Kleinerseins zum Ausdruck bringen will, beruht alles Rechnen auf den folgenden zwölf Gesetzen, wobei wir die Frage unerörtert lassen, ob diese etwa noch auf einfachere zurückgeführt werden können. Doch sei bemerkt, daß wir Unab* hängigkeit weder angestrebt noch erreicht haben. A. Summe. I. Sind Λ, β reelle Zahlen, so ist auch α -{- β eine (durch Λ und β eindeutig bestimmte) reelle Zahl. II. α + β = β + α (Kommutativgesetz). III. α -f (β 4- γ) — (α + β) -f γ (Assoziativgesetz). ') Göschens Lehrbücherei. Band 1 1921, 3. Aufl. 1947. P e r r o n , Algebra I.

1

Erstes Kapitel.

2

Grundbegriffe.

IV. Unter den reellen Zahlen gibt es- eine spezielle — sie wird mit 0 bezeichnet —, für welche stets ohne weiteres

!(,-,)!

CM»"*)

C-0,1,...,»)

'* ^ « in ganzen nicht negativen Zahlen

v2, • • ·, vk gleich ^ ^

.

Satz 18. Ist η eine ganze nicht negative Zahl, so ist die Anzahl der Lösungen der Gleichung v

i +

Η

+ vk = η

in ganzen nicht negativen Zahlen vlt vt, • • ·, vk gleich

^ ^ ^

Satz 17 sagt mit Rücksicht auf Satz 16 aus, daß die Anzahl der fraglichen Lösungen so groß ist, wie die Anzahl der Kombinationen von η -f k Elementen 1, 2, 3 , . . . , η + k zur Ä-ten Klasse. Er wird also bewiesen sein, wenn man jeder Lösung umkehrbar eindeutig eine solche Kombination zuordnen kann. Nun ist, wenn v1; v2,..., vk eine Lösung ist, 0 < Vy + 1 < vx + v2 + 2 < · · · < Vl + v2 -i h Vt -f k ^ η + k, und daher ist der Zahlenkomplex + Ii η + v2 + 2,. . ., Vi + v2 Η + vt + k eine Kombination der η + Α: Elemente zur Ä-ten Klassi. Indem wir diese der Lösung yu v2, · . . , vk zuordnen, ist auch umgekehrt j e d e r solchen Kombination eine und n u r eine Lösung zugeordnet. Damit ist dl·· gewünschte Zuordnung bereits geleistet und Satz 17 bewiesen. Scheidet man von den

Lösungen der Ungleichung + v« + · · · + "* ^ «

diejenigen ^

*

^ j Lösungen aus, für welche sogar v

i + vt -| + vk S η — 1 ist, so bleiben die Lösungen der Gleichung Perron, Algebra L

»i + »H

+ vk = η

4

50

Zweites Kapitel. Polynomischer und Taylorscher Satz,

übrig. Deren Anzahl ist also mit Benutzung der Formel (4) gleich

womit auch Satz 18 bewiesen ist. V. Ein Polynom n-ten Grades von k Variabein xlt x2, ...,xi

hat die Form

α

(β) Σ **?*?·•·*;». wobei in jedem Summanden (7) vt + vt Η b vk ^ η ist. Bei einem homogenen Polynom muß an Stelle des Zeichens ig in (7) das Zeichen = treten. Nennt man ein Polynom v o l l s t ä n d i g , wenn alle mit seinem Grad (und eventuell mit der Homogenität) verträglichen Glieder wirklich vorkommen, so ist die Anzahl der Glieder also so groß wie die Anzahl der Systeme vx, vt,. . ., vk, die der obigen U n g l e i c h u n g (bzw. bei Homogenität Gleichung) genügen. Aus den Sätzen 17 und 18 ergibt sich somit Satz 19. Ein vollständiges Polynom n-ten Grades von k Variabein hat (W ~k

Glieder. Ein vollständiges homogenes Polynom n-ten Grades von k

Variabein hat

j ^ j Glieder.

Führt man in dem vollständigen Polynom (6) neue Variable ein, indem man y±_j SC^ „ — Vt_ ? « · · ? Vi_ • C j —— — 1 y*+1 setzt, und multipliziert man dann mit y ^ + v so entsteht das vollständige homogene Polynom «-ten Grades von k + 1 Variabein

„

Somit muß ein vollständiges Polynom n-ten Grades von k Variabein genau so viel Glieder haben wie ein vollständiges homogenes Polynom n-ten Grades von k + 1 Variabein. In der Tat sind es auch nach Satz 19 in beiden Fällen

{n

1)Giieder§ 13. Der binomische und der polynomische Satz.

I. Die n-te Potenz des homogenen Polynoms (Binoms) ersten Grades χ + y muß nach den Sätzen 9 und 10 ein homogenes Polynom vom Grad η sein, also die Form haben η (1) (χ + y)n = C^x" + + · · · + C£V = , »=o und es entsteht die Aufgabe, die Koeffizienten C z u berechnen. Offenbar ist (2) c p = ι,