Sammlung von Lehrsätzen, Formeln und Aufgaben aus der gewöhnlichen Rechenkunst, Mathematik und Physik: Teil 2 Sammlung von Lehrsätzen, Formeln und Aufgaben aus der Arithmetik, Algebra und allgemeinen Größenlehre [Reprint 2021 ed.] 9783112436585, 9783112436578

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Sammlung von

Lehrsätzen, Formeln und

Aufgaben aus

der gewöhnlichen Rechenkunst, Mathematik und Physik von

Dr. I. Götz, Professor der Mathematik und Mitgliede mehrerer

gelehrten Gesellschaften.

Zweiter Theil.

Berlin. Druck und Verlag von G. Reimer.

1843.

Sammlung von

Lehrsätzen, Formeln und Aufgaben aus

der Arithmetik,

Algebra

und

allgemeinen Größenlehre von

Dr. I. Götz, Professor der Mathematik und Mitgliede mehrerer

gelehrten Gesellschaften.

Berlin. Druck und Verlag von G. Neinier.

1843.

I n h a l t. I.

Lehrsätze, Formeln und Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra. Erstes Kapitel. Geile 93ult den wichtigsten für Summen, Differenzen, Produkte und Quo­ tienten stattfindenden Gleichungen und Ungleichungen ....

1

Zweites Kapitel. Bon dem Zifferrechnen mit Klammern...................................................

11

Drittes Kapitel. Von den Kettenbrüchen...............................................................................

15

Viertes Kapitel. Von dem Addiren, Subtrahiren, Multipliciren und Dividiren algebrai­ scher Summen .....................................................................................

17

Fünftes Kapitel. 23

Von den Potenzen und Wurzeln.................................

Sechstes Kapitel. ....

26

........................................

36

Von einigen Rechnungsarten mit Potenzen und Wurzeln

Siebentes Kapitel. Von den Binomial-Coefficienten

Achtes Kapitel. Von dem binomischen Lehrsätze....................................................................

37

Neuntes Kapitel. Bon der Ausziehung der Quadratwurzeln aus Zahlen- und Buch­ stabenausdrücken ....................................................................................

*0

Zehntes Kapitel. Von

den allgemeinen Quadratwurzeln und den imaginären Wurzeln

44

Elftes Kapitel. Bon der AuSziehung der Kubikwurzeln aus Zahlen - nnd Buchstaben­ ausdrücken ................................................................................................

50

Zwölftes Kapitel. Bon den Bcstimmnngsgleichungen im Allgemeinen............................

55

VI

Inhalt.

Dreizehntes Kapitel.

Seite

Von den einfachen algebraischen Gleichungen, oder von den Gleichun­ gen des ersten Grades.........................................................................

58

Vierzehntes Kapitel. Von den quadratischen und höhern Gleichungen

..................................

68

Fünfzehntes Kapitel. Von den unbestimmten Gleichungen oder von den diophantischen Auf­ gaben , , . . ........................................................ . , . .

78

Sechzehntes Kapitel. Von den einfachen arithmetischen Progressionen

.

81

Siebenzehntes Kapitel. Vpn den einfachen geometrischen Progressionen............................

.

83

Von den Progressionen höherer Art und von den figurtrten Zahlen .

85

.

Achtzehntes Kapitel. . Neunzehntes Kapitel. Von den Logarithmen.

.................................

.

87

Von den Funktionen unv unendlichen Reihen; von den künstlichen und natürlichen Potenzen........................................................ ....

90

.

Zwanzigstes Kapitel. Ein und zwanzigstes Kapitel. Von den kombinatorischen Operationen.................................

95

II.

Lehrsätze, Formeln und Aufgaben aus der allgemeinen Größenlehrc. Erstes Kapitel. Von der Gleichung, der Ungleichung, der Summe, Differenz, dem Produkte und Quotienten .............................................................. .

97

Zweites Kapitel. Von einigen Anwendungen der allgemeinen Größcnlehre auf die Algebra

102

Drittes Kapitel. Von der Zinseszinsrechnung

.............................................

130

Viertes Kapitel. Von einigen vermischten Ausgaben aus der Algebra und allgemeinen Größenlehre .................

133

Von dem Verfasser dieser Schrift ist bei G. A. Kummer erschienen:

Lehrbuch -er Mathematik. Erster Band. Zweite, verbesserte und sehr vermehrte Auflage.

26 Bogen gr. 8.

Preis 1 Thlr. 6 Gr. (7| Sgr.)

Auch unter dem Titel:

Wie Arithmetik, Algebra und allgemeine Gröhenlehre. Zweiter

Band.

Zweite, verbesserte und sehr vermehrte. Auflage.

19 Bogen und 15 Figurentafeln, gr. 8. Preis 1 Tblr. 6 Gr. (7^Sgr»Z Auch unter dem Titel:

Wie ebene Geometrie, die analytische und ebene Trigono­ metrie, und einige Sätze aus der Polygonometrie. Dritter Band. Zweite, verbesserte uud sehr vermehrte Auflage.

6 Bogen und 3 Figurentafeln,

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Wie Stereometrie und sphärische Trigonometrie.

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Die Rechenkunst. Dritte, sehr vermehrte und verbesserte Auslage.

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Zweiter Band.

32 Bogen, gr. 8.

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Dritter Band.

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Pie wichtigsten Lehren aus -er Astronomie und Meteorologie. 24 Bogen, gr. 8. Mit 6 Figurentafeln. Preis 1 Thlr. lO Sgr.

Sammlung von

Lehrsätzen, Formeln und Autgaben auS der gewöhnlichen Rechenkunst, Mathematik und Physik. Erster Theil. (Gewöhnliche

114 Seiten, gr 8.

Rechenkunst.)

Preis 10 Sgr.

I.

Kovmeln und Aufgaben aus

der Arithmetik und Algebra.

Erstes

Kapitel.

Von den wichtigsten für Summen, Differenzen, Produkte und Quo­ tienten stattfindenden Gleichungen und Ungleichungen.

NVodurch werden die Zahlen auf eine allgemeinere Weise dargestellt? Was heißt ein Zahlenansdruck oder blos ein Ausdruck? Was nennt man eine reelle Zahl? Was heißt eine rationale und was eine irratios nale Zahl? Was heißt ein additiver uub was ein positiver Ausdruck (oder Zahl)? Was wird ein subtraktiver und was ein negativer Ausdruck (oder Zahl) genannt? Was heißt eine allgemeine Summe, Differenz, Produkt und Quotient? Was nennt man eine algebraische Summe? Was wird eine allgemeine Gleichung oder For­ mel genannt? Was heißt eine arithmetische und was eine geo­ metrische Proportion? Was versteht man unter den Gliedern einer Pro­ portion, und wann wird letztere eine stetige genannt? Was heißt die mittlere stetige arithmetische oder geometrische Proportionalzahl? Was heißt eine Größe (Quantität und Quantum)? Was lehrt die Mathematik, und wie wird dieselbe eingetheilt? Womit beschäftigt sich die Zahlenlehre oder Arith­ metik?

Was heißt Größenlehre, und wie wird dieselbe eingetheilt? Welche Sahe stellt die allgemeine und welche die besondere Größenlehre auf? Was heißt eine Erklärung, ein Grundsatz, Lehr­ satz und Zusatz? Was versteht man unter einem Beweise? Was heißt Voraussetzung und Behauptung; und was wird eine Anmerkung genannt?

Formeln. Es ist a=a, b=b, rc. Ist a=b und b = c, so folgt a=c ; Ist a=b=c=d, so ergießt sich a=d; a+b=b+a; / (a+b)+c = (a+c)+b = (b+a) 4-c = (b-|-c)4-al I =(c+a)+b = (c4-b)+a, \ . ' \ oder a-s-b-s-v —a-f-«-ßb —b-s-a-s-v —b-s-o-s-a j’ \ — v-s-a-s-b —v-s-b-s-a J (a+b+c+d+e+........ — a-i-b-s-d-s-o-s-e^-...............» . ’ t(a4-b + c+d)4-(e+f+g) = a+b4-c+d-|-e4-f-|-g) ’ 7) Ist a = b, so folgt a-j-m —b-s-m; 8) Ist a = b und c = d, so erhält man a-f-v — b-|-d; 9) (a — b)4-b = a; 10) (a+b) —b=a; t1 ist. (a+b).m=am+ bm; (a-j- b + c).m = am + bm+ cm; (a + b + c+d +......).m = am+bm + cm + dtn +........ ; a.(m + l) = am+ a; a.(m + n) = am-j-an; a. (m -j- n + v) = am + an + av; a.(m-j-n + v +w + ) =am+ an + av +aw-|-....; (a -j- b). (c + d) = ac + bc + ad + bd; (a + b 4- c). (d + e + f) = ad + bd + cd + ae + be + ce + af + bf + cf; (a + b+c+d+....).(e + f+g+—) = ae + be + ce + de+.... + af+bf + cf+df+.... + ag + bgl-cg+dg+....; (a —b).m = am—brn; a.(m — n) = am — an; (a—b).(c—d) = (ac — bc) —(ad — bd) = (ac + bd) — (bc + ad); ab = ba; (ab).c — (ac).b — (ba).c = (bc).a = (ca).b —(cb).a; abcdc.... — edcba.. .; (abcd). (efghi) = aebgcdhif;

47) ~.b=a*);

abcd 50) “bd"-"*®’

51) Ist a = b, so folgt:

*) Ma» bemerke, daß die Gleichungen zwischen Quotienten nur dqnn nothwendig richtig sind, wenn keiner der Divisoren der Rull gleich ist.

a l) 53) Ist a —b und c=d, so «giebt sich —=-^;

53) Ist am —b.m, so folgt a=b, wenn m nicht o ist;

Kjx a.b a.b 54) ---- — b — a. — ; c c c -Kx abc a , b , c o5) —3— = — ,b.c = a.-r.c = a.b. —; da a a 56) a:(b.c) = (a:b) :c= (a:c):b; 57) a:(b.c.d) = [(a:b):c]:d;

_nx

, b

a.c + b c 60) | + c = a + b.c b ' b ac —b 61) a — c c ’ a—bc c— g ; »9 —------- ------• 59)1 a 4+— ~=

a.c

63)

64)

a c e a.c.e b~e"d eT~ b.d.f '

a c a.d a:c 65) V J —TäT-b?d’ b.c 66)

a. m b. m

67)

m.a_ a m.b b’

68)

a: m a bim-K ’

a b1

69) ±+A=±j±; m m m 70) JL + JL + i=i+b+^' mmm m

Von bett wichtigsten Gleichungen und Ungleichungen.

7

71) ±+Ä+±+l + ... — a+b + C+dt.— ; ' m 1 m m * m m 78)

mm

m

a | c ad 4" bc 73) b + d-=-bd-;

wa\

a t c , e a.d.f+c.b.f + e.b.d '4, b + T+ T — bTdTf '

«cs a 76 b

77)

c __ a d —o b d-------- bTd '

Z—x.N N ’

SÄX aj-b + c _ k , (a + b + c) —h.(d + e + f) ’ d + e + f ~h+ d+^+f ' 7g\ a + b + c + ...._ (a+b+cf....)—h.(d+e4-f4-....) } d + e + f+ — ~ h +------------ d + e + ff....------------

+

80) 81) 82) 83) 84) 85) 86) 87) 88) 89) 90) 91) 92) 93) 94)

(a-hd)4-(b-he)+(c-hf) + .... . d+e+f+....

a-|-o=a; o -^-o^=o) o-^o-j-oso; a—o = a; o—o=o; -f-a=o-|-a=a; —a=o — a; (+a) + (+b)= + (a+b); (+a) + (4-b) + (+c) = + (a+b + c); (_a)+(-b)=-(a + b); (-a)+(-b)+(-c)=-(a+b+e); (4-a) + (-b) =+(a-b)i (4-a) + (-b)=-(b-a); (4-a)+(-a)=o; — (— a)= + a;

95) 96) 97) 98) 99) 100) 101) 102) 103)

(+a)-(4-b)a=(+a)+(-b); (+a)-(-b) = (+a)+(+b); (-a)-(+b)=(-a) + (-b); (-a) —(—b)=(—a)+(4-b); a.1 = a; 1.1 —1.1.1 —1; a.O = O.a=O; 0.0 = 0.0.0=0;

-1 = 1;

104) -1 = 1; 105) i = a;

106) -1 = 0; 107) 108) 109) HO) 111)

(+a).(+b) = + (ab); (_a).(-b) = + (ab); (+ a). (—b) =—(ab); (-a).(+b) = --(ab); (+a):(4-b)=H-(-l);

112) (-a):(-b)=+(-l); 113) (+a):(-b)=-(-^);

114) (-a):(+b)=-(-l); 115) (a—b-f-c—d)-[-(e—f—g) = a — b-{- c—d^-e — f—g; 116) (—a4-b —c—d—e)+(—grh—k-f-1) = —a—g-j-b + h—c—k—d-J-l—e; 117) (a + b — c— d) — (e 4- f— g—h) = a-f-b — c —d—e—f+g+h; 118) (a— b-j-c—d).(-|-e) = ae—be + ce—-de'; 119) (a—b —c-f-d).(—e)=—ae-j-be-f-t»—de; 120) (a—b + c- d).(e—f+g) = ae—be-j-ce—de—af-j-bf—cf+df-J-ag—bg-J-cg— dg;

IM)

+

=

+

123) Ist a—b=c—d, so folgt a-s-d--b-s-v; 12b —a-j-cl ober b_ a+cj

a-s-d —b-j-c, so ergiebt sich a—b=c —d; a—b = c—d, so folgt a—(b-s-o)—d; a —b=c—d, b = (a+d)—c; c=(a+d)-b; a—b+c —d, d —(b-i-v) —a; a- b=c-d, d—b = c — a; a—b=c—d, a—c = b — d; a b = c d, a—b=c—d, b — a = d —c; a:b = c:d, so ergiebt fich a.d b.c; a:b = b:c, - b.b---a.c; a.d=b.c, - a:b = c:d; b.c 136) Ist a:b-=c:d, 2 a~ “dP

125) 126) 127) 128) 129) 130) 131) 132) 133) 134) 135)

Ist Zst Ist Ist Ist Zst Zst Ist Ist Ist Ist

. a.d b=—;

137) Ist a:b = c:d, -

•

138) Ist a:b=c:d, -

• esr

a.d

139) Ist a:b = c:d,

- -

-

140) 141) 142) 143) 144)

-

-

Ist Ist Zst Zst Zst

a:b---c:d, a:b = c:d, a:b=c:d, a:b--c:d, a:b=c:d,

145) Zst a:b=c:d, 146) Ist a:b=c:d, 147) 148) 149) 150) 151) 152) 153) 154)

* -

- -

b.c; dj —---a d:b=c:a; a:c = b:d; b:a = c:d; (au) :(bn) = c:d; a: b = (cn): (da); a_b__ n 'n ' ' d

- - (a4-nb):b = (c+nd):d; Zst a:b c:d, - • (a + b):b = (c-|-d):d; Ist a:b c:d, - - (a—nb):b=(c — nd):d; Zst a :b c:d, - - (a—b):b = (c —d):d; Ist a:b c:d, Ist a:b c:d, so folgt (a-s-c):(b-s-d)—a:b; - (a — c):(b—d) = a:b; Ist a:b c:d, Ist a:b c:d=e:f, so folgt (a-j-c-f-v):(b-j-d-s-k)—a:b; 3fl{e:f=g:h}' s ' (ae):(cf)=(cg): (dh);

m:n = o:p \ q:r = s:u \ so erhält man (mqx....):(nry....) x:y = v:w( =(osv....):(puw....);

!

156) 3st a^>b, so folgt a = b+x, wenn x ein positiver Aus­ druck ist*). 157) Ist a—b-j-x, so folgt a>b, wenn x ein positiver Aus­ druck ist. 158) Es ifr+a> o, wenn 4-a eine positive Zahl ist.; 159) Es ist —ab und b=c, so folgt a>c; 161) Ist a>c - a — b, - - b>c; 162) Ist a>b - b>c, - - a>c; 163) Zst a>b - c=d, - - a + c^>b + d; b -j- d; 164) Ist a=b - c>d, - -= a4™ 165) Ist a>b - c>d, - - a-j- c)>b + d; 166) Ist a=b - c>d, - - a—d>b — c; 167) Ist a>b - c=d, - - a — c>b —d; 168) Zst a>b - c>d, - - a — d>b — c; c=d, a.c^>b.d, wenn c und d 169) Ist a>b positiv find; 170) Ist a—b - c>d, 5 - a.c>b.d, wenn a und b positiv find; 171) Ist a>b c>d, 5 5 a.o^b.d, wenn a, b, sc und d positiv find; a_ b 172) Ist a>b - c=d, - - —wenn c und d poc d fitiv find; a^ b , —, wenn a, b, c «nd 173) Ist a=b - c>d, ' d c d positiv find; a b , wenn a, b, c und 174) Ist a>b - c>d, - d c d positiv sind. *) In dieser und in den folgenden Nummern bedeuten die Buchstaben im Allgemeinen reelle Zahlen. Sollen ste aber postive oder negative Zahlen ausdrücken, so wird dies jedesmal besonders bemerkt.

Zweites Kapitel. Don dem Zifferrechnen mit Klammern *).

Wie wird ein beliebig durch Addition, Subtrak­ tion, Multiplikation und Division zusammengesetzter Ausdruck berechnet? Wie werden in einem zusammengesetzten, mit oder ohne Klammern versehenen Ausdrucke die einzelnen Zah­ len genannt?

Aufgaben. 1) Man

2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) H) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

-

soll -

-

-

-

-

den Ausdruck 244-36:6 — 2-4-5 ; (24 4-36): 6—2 4-5 (24 4-36): 6 —(2 4-5) (24-j-36): (6 —2)4-5 (24 4-36:6) —24-15 24-|-36:(6 —2)4-5 244-36:(6 — 2 -f- 5) 124-24:6 — 2 (12 4-24): 6—2 124-24: (6 — 2) (12 4- 24): (6 — 2) 4.64-36:6 — 2 4.(64-36:6 — 2) (4.6 —j- 36): 6 — 2 4.64-36.(6 — 2) 4.(6-|-36):6 — 2 (4.64- 36): (6 — 2) 4. (6 4- 36): (6 — 2) 4 • s(6 4~ 36): 6 — 2] 4.[64-36:(6 —2)]

berechnen; s

-

* -

-

-

-

-

-

♦) Da die vier Spezies in ganzen Zahlen in gewöhnlichen und Dezimal­ brüchen schon im ersten Bande vorkommen, so werden dieselben hier nicht weiter erwähnt.

Kapitel II.

IS

81) Man soll den Ausdruck 36 + 3.8 — 6:3 + 5.4 derechnen *, SS) - (36+3).8 —6:34-5.4 36+(3.8 —6):3-j-5.4 SS) - [36 4“ (3.8— 6): 3 + 5]. 4 84) - (36 4-3.8 —6):34-5.4 SS) - (36-j-3).8 —(6:34-5).4 SS) - 87) = (224-3):25 4-2.(5—2)4-8 88) = - . 244-36:(6+3) —2.(94-1) 89) . 22+ 24: (12 — 4)+ 12 — 26: (11+2) Man soll den Ausdruck [2^-36:P+2)]-M + 6 31) (24 + 26). [2: (3 - - 2)+26: (12 + 1)] — 4 38) [1^4- 24. (5 - 3) - 36: (14+4)] .[24+16: (8 — 4) — 26: (12 + 1)] Man soll den Ausdruck 3.6 + 18:6 — 3 3. (6+ 18): 6 — 3 3.64-18.(6 — 3) 3. (6 4-18): (6— 3) 3.(64-18:6) —3 3.84-12:44-2 3.(84-12):44-2 3.84-12:(44-2) 3. (8 -|-12:4) 4“ 2' 3.(84-12):(44-2) 3.(8 + 12:44-2) (6 + 36:2).10 (64-36): 2 —10 24 4-48:24 — 20:44-6 (24 4-48):24 —20:44-6 244-48:24 — 20:(44-6) (24+48:24 — 20: (4 + 6) [24 + 48: (24 — 20)]: 4 + 6 — 244-16: (—4)4-2 +36 : (— 6) + 2 Man soll den Ausdruck 58) (—24 + 16):(—4)+2 + 36:(—6 + 2) 53) — 24 + 16:(—44-2) + 36:(—6)+2 54) Man soll den Ausdruck 3.(— 4)4-36:44-8 -6 55) 3>(—4)+36:(4+8—6) 56) = 3.(—4 4-36:4 4-8—6)

33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 48) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) 50) 51)

-

-

-

--

Von dem Zifferrechnen mit Klammern.

57) Man soll den Ausdruck 3. [(— 4-j- 36): 4 4-8—6] berechnen; 58) = • = = 3. [—44* 36: (44- 8)—6] • 59) . 3. [•—4-j-36 :(4-f- 8— 6)] -

60)

=

-

-

(—3).(—4)—36:(—4)—8 4-6

61) 68) 63) 64) 65) 66) 67) 68) 69) 70) 71)

Man soll den Ausdruck (— 3).(— 4) — 36:(— 4—8 — 6) (—3).[ —4—36:(—4) —8 —6] (—3).[(—4 —36):(—4) —8 —6] (— 3).[—4 — 36:(— 4 — 8) — 6] (— 3). [— 4 — 36: (— 4 — 8 — 6)] Man sollden Ausdruck 5.(—8)4-3.6—4 54— 84-3.6) — 4 5.(—84-3.6 —4) 5.[(—84-3). 6 — 4] 5.[(-84-3).(6-4)]

-

-

-

-

(—6).(—4) -]- 36: (—4)-]-24“(—16).3

*

Man soll den Ausdruck 72) (—6).(—4)4-36:(—44-2)4-(—16).3 73) (_6).(-44-36):(-4)4-24-(-16).3

74) (—6).[—44*36:(—4-4—2)]4~(—16).3

=•

75) Wie müssen in lo-|-6.12 — 8:2 die Klammern angebracht werden, damit die Zahlen 188, 58, 37, 22, 92, 32 und 17 durch Berechnung entstehen?

76) Wie müssen In 34-5.4—24-6:3 —1 die Klammern an­ gebracht werden, damit dir Zahlen 10, 14, 17, 18, 19, 22, 24, 27, 28, 31, 32, 33 durch Berechnung entstehen?

77) Man soll den Ausdruck l-|-f:2 —5-H 78) 4* 4) • 2 — 5 4*4 79) (i + £):(2-5)4-t 80) |4-f:(2-5-H)

berechnen;

'

Man soll den Ausdruck

81) 82) 83) 84) 85) 86) 87) 88)

44t—4:t — ^4-4:(—2)

*

4.(^-44)-4+4:(-2) 4»(tt~"t:t—4)44:(—2)

4.[(ü-f):i-4]44:(-2) 4.[(44-4):(4-4)+4:(-2)] t+4-^T.tst-24:44-2-4

(t-4-4)-4t-(Ä-24) = 44-2-1

(T-+i)-(^fi-Ä-21):(44-2)-4

8

14

Kapitel II.

Man soll den Ausdruck ["t+t*-4t • (tt — 21)]: 4+2 — i berechnen • [(^+»).z^-.T»T-21]:(44-2-1) (-3).^4-(—36):4-14-36:14-l (-3).[Ä4-(-36)]:(4-.|)4- 36:14-1 (-3).Ä4-(-36):(4-l)4-36:(14-i) [(— 3) .t^4-(- 36)]: (4 -14- 36): 1 4-4 (-3).[tV4-(-36):4-(14-36)]:(14-1) , (-3).ä4-(-36):4 —(14-36):(14-1) 1:5 24"t-4 1:(—4) = —1:(5 24"1) 4 t:( 4) = (5-2)4-4.(1-1):(-4) — 1: [5 — (2 4“ 1)] t — 1: (— 4) -3:5-(24-1).[4-l:(-4)] _l:(5-24-l).[f-l:(-4)] [(A4“A):ä—11 •! Ts ' (0,035 4- 6,32) .5,34 — 2,5 (0,035 4- 6,32). (5,34 — 2,5) 0,0354-6,32.5,34 — 2,5 0,035 + 6,32: (5,34 — 2,5) 0,000085:0,017 — 2,351.3,0005 4-5,3 0,000085:0,017 — 2,351. (3,0005 4» 5,3) 8,2488 4- 0,002382336:0,423 — 2,25.0,004 *) 0,07813124: (2,5 4-1,05): 5,002 — 2,25.3,0051 0,0197092148: [3,615244- 0,3324674: (3,1—8,87)] . 0,004 113) 9,9005. [(16,41 4- 0,0965): (3,25 — 9,75)]4- 0,004 114) 0,03850275: (5,0001 4-2,0004)4-1,68:5,6

89) 90) .91) SS) 93) 94) 95) 96) 97) 98) 99) 100) 101) 102) 103) 104) 105) 106) 107) 108) 109) 110) 111) 112)

Resultate. 1) 33; 2) 13; 3) 3; 4) 20; 5) 43; 6) 38; 7) 28; 8) 14; 9) 4; 10) 18; 11) 9; 12) 28; 13) 40; 14) 8; 15) 33; 16) 26; 17) 15; 18) 42; 19) 20; 20) 60; 21) 78; 22) 330; 23) 62; 24) 188; 25) 38; 26) 284; 27) 15; 28) 8; 29) 35; 30) —28; 31)196; 32)1248; 33) 18; 34) 9; 35) 24; 36) 24; 37)24; 38)29; 39)17; 40) 26; 41) 35; 42) 10; 43) 39; 44) 240; 45) 11; 46) 27; 47) 4; 48) 24; 49) 1; 50) 15; 51) —30; *) Gehen die Divisionen nicht auf, so werden die Quotienten in 3 Deci­ malstellen berechnet.

53) —5; 53) —36; 54) —1; 55) —6; 56).21; 57) 30; 58) —21; 59) 6; 60)19; 61)14; 63) 27; 63)12; 64)21; 65)6; 66) —26; 67) 46; 68)30; 69) —170; 70) —50; 71) —31; 73) —42; 73) 2; 74) 84; 75) und 76) werden nicht hingestellt; 77) —3TSY; 78) —344; 79) TST; 80) 81) -544; 83) -4444; 83) -244; 84) 2^; 85) — 86)—4ii; 87) 4^^; 88)—44444» 89) im; 90) — 91) 254; »3) 68^-; 93) 94; 94) —; 95) 81-&-; 96) 324; 97) 444» 98) 99) -^; 100) — T'w; 101) -1444; 102) -444; 103) 4; 104) 31,4357; 105) 18,0482; 106) 31,2838; 107) 17,9838; 108) —1,7491755; 109) — 19,5094755; HO) 8,2448....; 111) -6,757475....; 113) 0,00002....; 113) —25,1333695....; 114) 0,305....

Drittes Kapitel. Von

d eu

Kettend rüchen.

Was heißt ein Kettenbruch? Was versteht man unter den Gliedern eines Ket­ tenbruchs ? Wann heißt ein Kettenbruch m gliedrig? Was ist ein abgekürzter Kettenbruch? Was wird ein Partialbruch, Näherungsbruch oder Näherungswerth eines vollständigen Kettenbruchs ge­ nannt? Wie verwandelt man einen gewöhnlichen Bruch in einen Kettenbruch? Wie wird ein Kettenbruch in einen gewöhnlichen Bruch verwandelt? Wozu wird die Theorie der Kettenbrüche gebraucht? Aufgaben. 1) Man soll die Näherungsbrüche von 444 «) - - AM

angeben; -

53) —5; 53) —36; 54) —1; 55) —6; 56).21; 57) 30; 58) —21; 59) 6; 60)19; 61)14; 63) 27; 63)12; 64)21; 65)6; 66) —26; 67) 46; 68)30; 69) —170; 70) —50; 71) —31; 73) —42; 73) 2; 74) 84; 75) und 76) werden nicht hingestellt; 77) —3TSY; 78) —344; 79) TST; 80) 81) -544; 83) -4444; 83) -244; 84) 2^; 85) — 86)—4ii; 87) 4^^; 88)—44444» 89) im; 90) — 91) 254; »3) 68^-; 93) 94; 94) —; 95) 81-&-; 96) 324; 97) 444» 98) 99) -^; 100) — T'w; 101) -1444; 102) -444; 103) 4; 104) 31,4357; 105) 18,0482; 106) 31,2838; 107) 17,9838; 108) —1,7491755; 109) — 19,5094755; HO) 8,2448....; 111) -6,757475....; 113) 0,00002....; 113) —25,1333695....; 114) 0,305....

Drittes Kapitel. Von

d eu

Kettend rüchen.

Was heißt ein Kettenbruch? Was versteht man unter den Gliedern eines Ket­ tenbruchs ? Wann heißt ein Kettenbruch m gliedrig? Was ist ein abgekürzter Kettenbruch? Was wird ein Partialbruch, Näherungsbruch oder Näherungswerth eines vollständigen Kettenbruchs ge­ nannt? Wie verwandelt man einen gewöhnlichen Bruch in einen Kettenbruch? Wie wird ein Kettenbruch in einen gewöhnlichen Bruch verwandelt? Wozu wird die Theorie der Kettenbrüche gebraucht? Aufgaben. 1) Man soll die Näherungsbrüche von 444 «) - - AM

angeben; -

16

Kapitel III.

3) Man soll die Näherungsbrüche von an geben; 7«2» 4) 112 3 529 5) 1139 35 1 6) 1 7IJ. 7) T8TTT 907 8) 1 STSZ 1947 9) TTTSF 587 10) 1H3 506 5 H) 1 3 89 1 18) 7 14 7 13) T55 8T 1 14) 3/14159 15) 0,591 16) 0,2237

/

Man soll dir Kettenbrüche

17)

1

1______ S + 1—!-

und

3 + -4

18)

Man soll vom Kettenbruche 1 den andern

s+^T-

19)

addiern;

6 + -7 subtrahiern;

io + -------- r “ + -12

Man soll die Kettenbrüche 1 und

multipliziern;

6 +~ 1 3+ 3

80)

Man soll den Kettenbruch 1 durch den andern

»+^2+^-------

dividiern;

1

2+—J 4+" i •+4

Resultate. 1) T/ iz f z -HltVtz ifil _© Tz |z ‘ *51 1 S7 308 465 3) 6,’z 15 / 26/ 51/ 77

^HtTz iWÄS

tÄz AMrz 773 , A\ R *7 12 8 1 ° Z ZZ

/

Von den Kettenbrüchen.

17

34 S 5 12 9 224 102 5 3299 , 5/ 14/ 19/ 33/ 151/ 486 ) 111 209 . ß'l 1 1 3 4. 7'|

100 "fff TT) _ _ . 3 137 _♦ Q7 1 2 1 5 7 7 1 69 246 . ü) 1 1 D 1 O- -j-g-, Ti, 7HT77 1517z "3T1>"B / 5 0 3 5 ) *,7 1 / "27 1 1 40 9 1 1 3 1 222 57 5 . 1 sh 1 3 13 29 197 6 97 15 7, 2 2 6/ "58'3s "BTS ) 1V7 3/ 17J7 T37 T67 -----' * ‘ * _4_ 3 1 3 5 _6 6_ 1 0 1 26 8 11) "27 if i/ 11' "8"57 "BK/ lBT/ 2 7 Tr 13 5/ 43 1 6 1 5 2_6 1 7 3 9 ♦ ' 6 0 6 / 22 6 9 / TI1 Tz TnnJTT 2 1 7 106 113 2931 3044 57 TT' T3"3"' ’B'Blh ’B2 ö 87 9 5 6 3/ ß\ 1 2 15 1 7 1 8 5 2 1 7 . u/ 1/ V/ 6 7' TS"/ 8 2 7/ "9TB ?

T3"97 TTOT

1 11 + -

34 1

1-+ 1 2+1

5+8+1

7+4 1

34 1

19) 13+ -

1-+ 1

3 +-

1+6 20)

1

Viertes Kapitel. Wann heißen algebraische Summen addirt, subVon dem Addiren, Subtrghiren, Multipliciren und Dividiren trahirt, multiplicirt und dividirt? algebraischer Summen. Wie werden algebraische Summen addirt, subtrahirt, multiplicirt und dividirt? Arithmetik.

2

Von den Kettenbrüchen.

17

34 S 5 12 9 224 102 5 3299 , 5/ 14/ 19/ 33/ 151/ 486 ) 111 209 . ß'l 1 1 3 4. 7'|

100 "fff TT) _ _ . 3 137 _♦ Q7 1 2 1 5 7 7 1 69 246 . ü) 1 1 D 1 O- -j-g-, Ti, 7HT77 1517z "3T1>"B / 5 0 3 5 ) *,7 1 / "27 1 1 40 9 1 1 3 1 222 57 5 . 1 sh 1 3 13 29 197 6 97 15 7, 2 2 6/ "58'3s "BTS ) 1V7 3/ 17J7 T37 T67 -----' * ‘ * _4_ 3 1 3 5 _6 6_ 1 0 1 26 8 11) "27 if i/ 11' "8"57 "BK/ lBT/ 2 7 Tr 13 5/ 43 1 6 1 5 2_6 1 7 3 9 ♦ ' 6 0 6 / 22 6 9 / TI1 Tz TnnJTT 2 1 7 106 113 2931 3044 57 TT' T3"3"' ’B'Blh ’B2 ö 87 9 5 6 3/ ß\ 1 2 15 1 7 1 8 5 2 1 7 . u/ 1/ V/ 6 7' TS"/ 8 2 7/ "9TB ?

T3"97 TTOT

1 11 + -

34 1

1-+ 1 2+1

5+8+1

7+4 1

34 1

19) 13+ -

1-+ 1

3 +-

1+6 20)

1

Viertes Kapitel. Wann heißen algebraische Summen addirt, subVon dem Addiren, Subtrghiren, Multipliciren und Dividiren trahirt, multiplicirt und dividirt? algebraischer Summen. Wie werden algebraische Summen addirt, subtrahirt, multiplicirt und dividirt? Arithmetik.

2

Aufgaben. Man soll addiren:

3a— 2b4-5c —7d, -5a-j-6b— 2v-s-8d,I 14a —25b-{-c 4-d, — 17a— 21>4-llc — d ) (—6x4-25y —z + v, — 8x4~y — 60z, \ ' I4-8X—y4-2z4-10v, — 10x-j-6y—z-f-27vj (— llm + 16n — 3p + q, —21m 4 30n 4 8p 411 q,| 3) 2m 4- 8p - 6q, — m4-28n2p — 3q f ° la — 2b 4- 3c — 264- 5e, —2a-|-b— 8c4~7d— 15ea 4) \—7a + 21b — 5c + 1 ld — 3e, a — b-|-c — 8d 4* 56e,> f—7a-j-b — 4c + d + ez —5a — b — c-s-7d—31el !2a 3b 2c ä_ 4a , _b 5c d ) 5 ~7* 10* 15 ’ 21 27+ 2Ö f 5)

.

(

c T+

a 5b 3~ +42

6)

7)

8)

9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19)

a

5c

2b

!

7d 40'

2a ’ "9

2a 2b 45'^7

5b 21

2c

m

. 1

v

a 5b 2ca 2b c + T27 _ 56_ 27' —~3 +T' 9*' 5ai 3b c2a 2b 4c 2n *21 8 3~'+ 27—"s"+ 27

\

7c 8d ? 9 ' ”5]

8n

v

7vv

8m

8n

! / 1 /

v

vv

Z

9 ) f 3 1 21 1 16 27' 1 21 7 ' 8 in ein Product verwandeln; Man soll 6a4-9ab - 10ab — 5b * - a-|-2ab-|-ac - - ac-f- bc-f-2a-|-2b - - 3ac-f-3a — c—1 - - aa-|-2ab4-bb - - 6aa+ 10ab+l 8ac+30bc - - 4aa-|” 6ab — 2a — 3b -- 9 * - 6aac4-3ab+4abcc+2bbc - aaa-f" 3aab4-3abb4“bbb » - aa + ab — a — -

Von den vier Rechnungsarten mit algebraischen Summen.

19

Man soll von

20) — 2a3b — 7c 4" d, die algebraische Summe + 7a-j-21b4-5c — 18d subtrahiern;

81) 22) 23)

24)

2d)

26)

— a— b — 2c4-Sd— e, die algebraische Summe 4» 11a — 27b— c+ d—2e subtrahiren; 8x — 5y 4- 2z— v, die algebraische Summe — 3x4- y — 10z 4- Sv subtrahiren; x-y4- z4-3w — 5n, die algebraische Summe — 8x-s- 2y4- 5z — 2 w 4“ Sn subtrahiren; 8a4-28b— 7c4-lld-—25e4- 6f, die algebr. Summe — 7a 4- 20b 4“ 28c — d 4~ 2e—5g subtrahiren;, 2a 3b , c 5d f , — --- -4--------- —, die algebraische Summe 5 7 8 9

x 2v v 2w —------ +—----------—, die algebraische Summe

27)

28)

—------ — + —, die algebraische Summe

H+

29)

subtrahiren;

— + —----- —, die algebraische Summe li-SF+ä subtrahiren.

30) 31) 32) 33) 34) 35)

Man soll 3a 4-5b —2c mit 6a — 3b multiplieiren; — 5x — 6y 4~2z mit 3x — 4y—6z 5m — n 4*3v — 2vv mit m — 7n + 6v — 3vv 6a — 2b -f- 3c — 7d + e mit —a-f-8b—2c4“Hd—25e a — b4-c4*d mit —a4~b— c — d -

so

36)

Kapitel IV.

Man scsi 2a 3b . c

t-t+t a

37) 2

,£

b c 3^4

a , 2b c -y+y-T d a b 5 6 7 +

2x 3y 2z v ,± x . y T~T+T~T nut t v a b 5c d . 2a b 39) T 3""*”"ä 9" mit 3""*""7

38)

multiplicier; c 8

_d 9 z , 2v 9 5C 2d "T^T 9

~ + _T + T

*T

Man soll aa+2ab + bb durch a-f-b dividiren; aa4-2ab-[-bb—cc durch a-j-b-j-c 2111 — 831m — 271 +22mm + 99m durch 31 — 1 lm 15aaa — 14aab + 24abb — 7bbb durch 3a — b 18aa + 33ab + 42ac — 12ad — 30bb + 124bc+ 8bd — 16cc — 32cd durch 6a + 15b — 2c — 4d 45) 119cc — 200cd + 408ce — 113cf— 39dd + 72de + 37df— 96ef + 20ff durch 17c f 3d — 4f 5xy 85yy 223yz 10yu 3xz 7zz 46) ~ 2~ + ~9 4~+ “18~ 54" 9

40) 41) 42) 43) 44)

7z 3x 17y 6urd? T+ 3 9 2a . ac . bc cc c r a d + + dd — bur^ T

11z

+t

47)

aa

2u 3 c d"

70dkm S , jr 3ab -j- 5km — 49dd durch ——------- - 7d 2c g 40xx 494xy Ä 55xz , 4yy 112yz zz 49) 315 + 63 + "15 675 15 21 5x 2y z burd t t 9Laa 47ab 113ac 3bb 29bc cc 50) ? 60~ + 525~ + ~8 8 140 140+ 35 3a b c T 4aa 22ab ac 129ad 2bb 55bc 439bd 5t) — "25" + -315 T — 40 “63 189" 504 2cc 47cd dd 4a 2b. d + ~r + ~i2—T »«tu—5—T + e—g-

48)

9aabb 4cc

25ffmm gg

>- + +

Man soll vv R vw

5vz

2ww

wz

zz

dividiren; 53) aaaa — bbbb durch a — b 54) 1 durch 1 — a 55) c durch a—b

Man soll den Ausdruck 2ax-s-5x—4a—10 56) ax-i-3x —2a —6 57)

berechnen;

ab + 3a 2b+ 6

58) 6a + 12 ^5a-s-10 5 . ab + 2bb -f- 3a + 6b 2ab

3 4bb + a + 2b

10ab— 3bx +!Oa— 3x / 2a ) 15bx-|-10abx+30x4-20ax ** \3x + 2ax

3 \ 15-^-10a/

I

2a \6a4-12b 3a4-6b-[-aa-f-2ab/ ✓ 10 + 12a a \ • V6afl2b+2aa + 4äb — 9a+18b + 3aa + 6abJ

. s2aa4-abc+2a+bc za ' L 6bc+6b \3b

c\ 6/

1 ~i ac+a+c+1 c +lje aa-j-a

63) /______2x____ _ _____ J_____ 3yf5 x-l-4 * J kxy+2y+3x+6T xy+2y+x+2/‘yy4-4y+3 Txf2 „

6a—3b—2aa+ab 9a—3c—3aa-j-ac

•

64) ------------------ :----

6ab—15b—8a-|-20 9ab—6b—12af8

6ab—2b—9a-f-3 0) 4ab—6b—6af9

66) aa+8a+l5 __ a~1 aa+7a+10 a+2 3ab4-3a ab-|-3b-|-a-f-3

ab

2ab4-6a 2b-|~'3a-|- 6

Kapitel IV.

LS

R e s u l t a t e. 1) —33a —23b 4-15c + d; 2) — 16x + 31y — 60zf38v; 3) 7m+ 74n+ 15p+ 39; 4) — 19a+19b—14c+16d+13e; ... 11a b 29c 69d 2a 67b 23c, 91x 45 ' 42 27 40 ' 4 189 84 27 ’ * 192 + ^T-T+T; 8) "42 ~ 2T + 16+T7; S)l2+3b).3a; 10) (2a —1).5b; 11) (1 +2b + c).a; 12) (a + b).(c+2); 13) (3a — l).(c + l); 14) (a + b).(a+ b); 15) 2.(3a + 5b) (a + 3c); 16) (2a + 3b).(2a— 1); 17) (2ac + b).(3a + 2bc); 18) (a + b).(a+b).(a+b); ........................................ 19) (a - i).(a + b); 20) — 9a — 18b — 12c + 19d; 21) — 12a + 26b — c + 7d+e; 22) llx—6y+12z —9v; 23) 9x —3y—4zf5w 1 3a — 13n; 24) 15a + 8b — 35c + 12d — 27e + 6f + 5g; 25) —

10b

c

2d

“2F+T“T’ 22n 51p_1. ~~2T+~4Ö 2 '

+

27x

5y

v

17w

26) "m'~T+15-"4^ 5 38a__16b 6e. 35 25 + 7 + 19’

4m

27) T

7v J 16

30) 18aa+21ab—12ac—15bb+6bc; 31)—15xx

+ 2xy+36xz+24yy+28yx—12zz ; 32) 5mm — 36mn+33mv —17miv+7nu—27nv+17nw+18vv—21vw+6vvw; 33) —6aa +50ab—15ac+73ad—151ae—16bb+28bc—78bd+38bc—6cc + 47cd—77ce—77dd+186de—25ee; 34) — aa-j-2ab —2ac

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