Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra für Real- und Bürgerschulen: Heft 2 [Reprint 2021 ed.] 9783112465882, 9783112465875

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Aufgaben aus der

Arithmetik «nd Algebra für

Real- und Bürgerschulen.

Ein Auszug aus der

Sammlung von arithmetischen und algebraischen Fragen

und Aufgaben von

Dr. Hermann Schubert, Professor an der Gelehrtenschule des Johanneums in Hamburg.

Zweite Lseft.

---------------------

Potsdam 1893. Aug. Stein.

Vorwort. Nachdem

der Auszug*)

aus dem

ersten Heft

meiner

Sammlung**) nicht allein an Schweizer Cantonschulen, sondern auch an deutschen Realschulen Eingang gefunden hat, liegt mir

die Pflicht ob, jenem Auszuge diese Fortsetzung folgen zu lassen, welche Aufgaben aus den Pensen der oberen Klassen deutscher

Real- und Bürgerschulen enthält, insbesondere also die quadra­ tischen Gleichungen, ferner die Potenzen, Wurzeln und Loga­

rithmen,

sowie die

arithmetischen

und

geometrischen Reihen

berücksichtigt. Wie beim ersten Hefte, so hat auch hier jede Aufgabe und jeder Paragraph genau dieselbe Nummer erhalten, wie in der

„Sammlung",

wobei es

natürlich

kommen mußte,

daß

die

Nummern des Auszugs bisweilen sprungweise vorwärts gehen. Doch ist es hierdurch ermöglicht, einerseits, daß der Auszug in den Händen der Schüler und gleichzeitig die größere „Sammlung" in den Händen des Lehrers ist, andrerseits, daß die erschienenen

ausgewählten „Resultate" auch zu dem Auszug passen.

Die arithmetischm Reihen, welche in der „Sammlung" den letzten Paragraphen des ersten Heftes bildm, weil zu ihrem *) Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra für Real- und Bürgerschulen. Ein Auszug aus der Sammlung von arithmetischm und algebraischen Fragen und Aufgaben von Dr. Hermann Schubert, Professor an der Gelehrtenschule deS Johauneums in Hamburg. Potsdam 1892. Aug. Stein.

**) Sammlung von arithmetischen und algebraischen Fragen und Aufgaben, verbunden mit einem systematischen Aufbau der Begriffe, Formeln und Lehrsätze der Arithmetik, für höhere Schulen, von Dr. Hermann Schubert, Professor an der Gelehrtenschule des Johanneums in Hamburg. Erstes Heft: Für mittlere Klassen. Dritte Auflage, Potsdam, Aug. Stein, 1890. Zweites Heft: Für obere Klaffen. Zweite Auflage, Potsdam, Aug. Stein, 1888.

Verständnis nur die Operationen erster und zweiter Stufe er­ forderlich sind, habe ich nicht in das erste, sondern erst in das vorliegende zweite Heft des Auszugs (vor den geometrischen Reihen) ausgenommen, weil die meisten Pensenpläne deutscher Realschulen die Durchnahme der arithmetischen Reihen mit der der geometrischen Reihen vereinigen. Demzufolge ist vor den die geometrischen Reihen behandelnden § 392 (in den Resultaten § 39) der die arithmetischen Reihen enthaltende § 39, (in den Resultaten § 26) eingeschoben.

Hamburg, den 26. Mai 1893.

Professor Dr. H. Schubert.

Fünfter Abschnitt.

Quadratisches. 8 27.

Das Guadrieren und seine Umkehrung. (ab)2 = a2b2; (a: b)2 = a2: b2; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2z (a — b)2 = a2 — 2ab + b2z (a + b + c)2 = (a2 + 2ab + b2) + 2(a + b) c + c2.

Definition der Quadratwurzel: (l/ll)2 = q; Vq2 = q. Väb — Va • Vb; Va : b — Va : VK.

Tabelle der Quadratzahlen. 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25

62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100

ll2 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225

162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 20a = 400

212 == 441 222 == 484 232 == 529 242 == 576 252 == 625

262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841 302 = 900

Beispiel für die Ausziehens der Quadratwurzel. Ausführlich:

Abgekürzt:

Noch kürzer, da 2ab+b 2=(2a+b)bift: 1/229441 = a-f-b+c,** 1/22'94'41 = 479. 1/22'94'41 = 479. a=400 16 160000=a2 69441 69'4 b= 70 16 2a=800)56000= 2ab c= 9 8 )56 694 49 13441 wird. 87)609 4900=b2 609 8541 2(.+b)Ä 854'1 949)8541 94 )846 ' =940 )8460= 2(a + b) c 81 81 8541 81 = c2 Schubert, Aufg.

Die in den folgenden Aufgaben angedeuteten Quadrierungen sollen ausgeführt werden:

1) 92; 2) 152; 3) (-9)2; 4) (|)2; 5) (-£)2; 6) (&)•; 7) (W2; 8) (ap)2; 9) (-ap)2; 10) (|)2; 11) (M

12) (7 abc)2;

13) (|^)2; 14) [7 • 5a; (bcd)]2; 15) (=^)2;

16) (Ei)"; 17) (^)2; 18) (3a2)2; 19) (p+q)2; 20) (p+2q)2; 21) (p—2q)2; 22) (4a—b)2; 23) (|a—e)2; 24) (a-j-b—e)2; 25) (3 + a + ib)2; 26) (—4>a —b)2; 27) (Ja — |cd)2; 28) (x2—a)2; 29) (3ab-2ac)2; 30) (2x2+l)2; 31) (x2+x + 1)2; 32) (a —b + c + d)2; 33) (2a + b -^c - d)2; 34) (p — 2q — 2r — 2s)2. 35) Was kann man über x2 behaupten, wenn man weiß, daß x > 3 ist? 36) a liegt zwischen den Grenzen 3 und 10, also 3 < a < 10. Zwischen welchen Grenzen liegt a2? 36j) Wird ein positiver, echter Bruch durch Quadrieren größer oder kleiner? 37) Ein Schüler giebt dm Inhalt eines Quadrats, dessen Seite 1| m ist, zu 1| qm an, indem er nur daran dmkt, daß l2 = 1 und (|)2 — i ist. Um wieviel qm hat er den Inhalt zu klein angegeben? 37J Warum ist der Ausdruck „Meterquadrat" zutreffender, als der gebräuchliche „Quadratmeter"? 38) Wie kann man l2 + 22 + 32 + 42 + 2.1-2 + 2.1-3 + 2-1.4 + 2-2.3 + 2.2.4 + 2.3.4 findm, ohne die einzelnen Glieder dieser Summe zu berechnen? 39) Wie kann man 162 — 256 mit Hilfe des Wurzelzeichms schreiben? 40) Was giebt V 277 8932? 41) Berechne auf kürzeste Weise: a) V(4a+b)2; b) (V1331)2; c) (V4x2 + 6xy + 9y2)2;

d) |/

42) Wie kann man die Quadratzahl a als Produkt zweier gleicher Faktoren schreiben? 43) Vereinfache: a) Vp • Vp; b) Vp — q Vp—q; c) Va» Va» Va* Va; d) V3ab» V3ab; e) Vp • q • Vp:q.

§ 27.

Das Quadrieren und seine Umkehrung.

§ 27.

107

Folgende Ausdrücke sollen vereinfacht oder auf kürzeste Weise berechnet werden:

44) VW; 45) V(a+b)2:c2; 46) V9a2:16; 47) V492.(a-bc)2; 48)

52)

56) V164-9; 57)V|-A. Warum ist: a)aVb = VW b) 58)

= ]/|?

59) Mit Benutzung von Nr. 58 soll vereinfacht werden: x a)

a 1 /dHb |/ a2 >

KX ab 1 / q»pä ) P V 25a* b*'

4a 1 /25b-o Sb [/ ißa’d*

60) Beweise die Formel (a +1)2 = a24- [(a +1) + a]. 61) Berechne mit Hilfe von Nr. 60, um wieviel 372 größer als 362 sein muß. 62) Die Tabelle der Quadratzahlen soll durch Anwendung der in Nr. 60 genannten Formel bis 5O2 fortgesetzt werden, z. B. 312 = 302 + (31 + 30) = 900 + 61 = 961; 322 — 312 + 63 = 1024 u. s. w. 63) Die Differenzen der aufeinanderfolgenden Quadratzahlen bilden eine arithmetische Reihe mit der konstanten Differenz 2. Warum? 64) Berechne mit Hilfe der Quadratzahlen-Tabelle: a) (ff)2; b) (1Ä)2; C) (3D2; d) (7f)2; e) (-4s)2. 65) Wieviel drei- oder vierziffrige Quadratzahlen muß es geben? 66) Welche von den folgmden Zahlen sind Quadrate: a) 625; b) üf; c) Hl; d) 1000; e) W; f) 25,6; g) 0,256; h) 2,56; i) 160000; k) +; 1) fH; m) fff? 67) Um wieviel ist (50 + 4)2 größer als (50—4)2? 68) Substituiere in die Formel für (a + b)2: a) a = 60, b = 3; b) a = 80, b = 9. 69) Substituiere in die Formel für (a + b + c)2: a) a = 200, b = 30, o = 4; b) a = 700, b=80, c = 6; c) a = 800, b = 80, c = 8. 70) Wenn eine Quadratzahl gleich dem Produkt zweier Faktoren ist, welche keinen gemeinsamen Teiler haben, so muß jeder Faktor selbst eine Quadratzahl sein. Warum?

Die folgenden Zahlen sollen nach (a + b + c)8 u. s. w. quadriert werden:

den

Formeln

für

(a + b)8,

83; 72) 69 ; 73) 214; 74) 337; 75) 489; 76) 866; 885; 78) 803; 79) 425; 80) 409; 81) 521; 82) 4236; 7861; 84) 1027; 85) 2365; 86) 9999; 87) 12346; 473252; 89) 50039. Berechne: a) (K)2; b) (V&)2; c) (3&)2; d) (33,7)2; e) (3,37)2; f) (4,236)2; g) (0,337)2; h) (M)2; i) (—3,7)2; k) (0,0037)2.

71) 77) 83) 88) 90)

Die folgenden Ausdrücke sollen quadriert werden:

91) Berechne: a) (4f+7f)2; b) 92) 95) 98) 100) 102) 104) 106) 108) 109J

.

3a — 25b; 93) a — b + 2c; 94) 3a — 4b -f- 15c ja — lb-j-4c; 96) p + fq + f? 97) ~ a-Hb-|-0,lc 99) 3a 4b — a — b-j- 2c—I“ 3d d a —|- 2b —I* 3c —|-1 101) a2—b2-f-ab 103) a2 — a — 1 a2 —3ab + 5b2 105) x3 — 2x2—x — 1 a3+3a2+3a+l 4x34-|x2-[-2x — 5 107) x3 + x2y4-xy2+y3 109) 3a2b—ac2-|-bc2 3ab —|— 4ac —|— 5bc 1+2X—|x2- +0+3 109z) 1 — fx--- |x2--- ij;X3.

Die folgenden Quadratwurzeln sollen a) ausführlich, b) abgekürzt. c) noch kürzer berechnet werden:

110) ¥324; 111) ¥1849; 112) ¥7921; 113) ¥17956; 114) ¥24336; 115) ¥136161; 116) ¥207936; 117) ¥5602689. Berechne:

118) ¥G— 119) ¥fff| 120) ¥3,24 121) ¥1/7956 123) ¥0,1849 122) ¥179,56 124) ¥7921.1849 197n 1/ 3'240000 126'1 1/ 20,7936 12?) V 2b(2-^) 125) ¥0,007921 1Zb' * 0,25.0,0324

128) ¥ljys. Berechne:

129) 132) 133) 134)

130) ¥1'006009 131) ¥866'595844 ¥7'365796 ¥455789'714884 132J ¥4 835"547 351'610 000. Berechne: ¥07)064. ¥1ÖM. ¥ZZ; ¥14042}. Berechne die mittlere Proportionale (§ 16) zu: a) 4 und 9, b) 20 und 45, c) 108 und 147, d) 1000 und 810, e) 972 und 5547, f) 35912 und 392, g) ff und V, h) M und A-

135) Zwischen welchen Quadratzahlen liegt: a) 290; b) 1000; c) 329; d) 444; e) 797? 136) Schließe die Zahlen: a) 823; b) 930; c) 413 in zwei Grenzen ein, deren jede eine Quadratzahl ist. 137) Wie heißt die nächste kleinere Quadratzahl zu 900? 138) Berechne die nächst kleinere Quadratzahl zu: a) 7583; b) 479872; c) 5783478; d) 435670707. Schließe jede der folgenden Zahlen in zwei Grenzen ein, welche Qua­ drate von Zahlen sind, die sich: a) um 1, b) um yg unterscheiden:

139) 7583; 140) 478358; 141) 6673002; 142) 445000; 143) 223,5; 144) 4279,18. Schließe jede der folgenden Zahlen in zwei Grenzen ein, welche Qua­ drate von Zahlen sind, die sich nur: a) um ; b) um y^ c) um yyg unterscheiden:

145) 2; 146) 3; 147) 5; 148) 39; 149) 83; 150) 222; 151) 4723; 152) 2,34; 153) 0,42; 154) 41; 155) 70£. Verwandle die folgenden Wurzeln in algebraische Summen:

156) V81x2-|- 72xy 4~ 16y2 158) l/4a4+12ab+^

157) V49a2—266a~b 4-361 b2 159) +

159,) V0,0625. a24-0,2. ab-s-0,16 • b2 160) Va2:— 2ac -|- c2 -p2ax — 2cx -|- x2 161) VlOOa2 + lOOab + 25b2 + 60ac + 30bc + 9c2 162) V— 12x5 -s- 9x4 -j- 46x2 -s- 49 — 28x 162,) V4x6 —x2 —9 — 4x4 -s- 12x3 — 6x 162z) Vx8 — 6x74~9x®—14x5-j- 44x4— 6xs-s-49x2—14x-f-l 163) V4 + 121x6 + 114xs + 154xä -j- 159x4 + 53x2 -s- 20x 164) V4p2q2—40pq2s-|-56p2qs+100q2s8— 280pqs2-{-196p2s2 165)

a2-

+ 25b2 — 8ac + 30bc + 9c2

1M> p/ig-j+ip,+1'2-?+¥ 167) Vp‘ + 2p« + p> + 2p + 4 + | + i + ^ + l 168) ]/vx4+4x3+ 6x2+4x+1 169) |/Vx4—4x3+6x2—4x+l. Berechne durch Zerlegung in Faktoren:

170) V9216

171) V270400

172) V58564

173) V3-8748

110

§ 27.

Das Quadrieren und seine Umkehrung.

§ 27.

174) V5M1920 175) V24-3M-1029 176)

177) Welches sind die beiden Zahlen, die durch Quadrierung a) 16; b) 289; c) 2,89; d) e) 2|; f) liefern? 178) Man weiß sicher, daß a2 — b2 ist. Weiß man dann auch sicher, daß a = b ist? 179) Man weiß, daß x eine negative Zahl ist, und daß x2=100 ist. Wie groß ist x? 180) Kann man aus a2 < 100 schließen: — 10 < a < + 10? 181) Was kann man aus a2 > als 100 schließen? 182) Warum ist die Behauptung, daß Größeres radiziert Größeres giebt, nicht unbedingt richtig? 183) Wie muß man das Gleichheitszeichen lesen, wenn man aus x2 = a2 — 2ab + b2 den Schluß zieht x — ä — b? 184) Wo macht man einen Fehlschluß in dem folgenden Beweise, daß 9—5 ist? „Es ist 9 + 5 = 2 - 7, also auch, wenn man mit 9 — 5 beiderseits multipliziert, 92 — 52 — 2-7-9 — 2-7-5 oder 92 — 2-9-7 — 52 — 2-5-7, woraus folgt: 92 — 2-9-7 + 72 = 52 — 2-5-7 + 72. Nun steht links das Quadrat von 9 — 7, rechts das von 5 — 7. Also ist 9 - liest 7 = 5 — 7 oder 9 = 5." 185) Wie man: „Aus x2 = 16 folgt

186) Was folgt aus x2 = p a) für x, b) für —x? 187) Aus a = b folgt + Va = + ]/b. Dies sind der Form nach vier verschiedene Gleichungen, doch dem Inhalt nach nur wieviel? Bei der Berechnung der folgenden Ausdrücke beachte, daß das Wurzel­ zeichen eindeutig aufzusassen ist: (z. B. Vf=2, — ]/T= — 2.)

188) 50 + V1849

189) 50 —V1M9

190) 7| —V36

191) 7| + V36

192) 10- + V24336

193) 10 ++ V24336

194) 1/243^6 — 1^25

195) 1/7921-1/64ÖÖ+3-1/49ÖÖ

196) f + ^V361—|V4ÖÖ.

197) Welche von den folgenden Quadratwurzeln haben vorläufig keinen Sinn: 1/25; V=25; V26; V1Ö; V16—25;

§ 28.

Einfache quadratische Gleichungen. Wenn x2 = c ist, so ist x = + Ve; Wen« x2 + ax + b = o ist, so ist:

Rein-quadratisch. 2) |

1) X* = 25

3) x2-g = 0

|

4) x» — §^ = 0 5) 2x2 = 72 7) 1,44 = (2x)2 10) J-9| = 0

6) 3x2 = iz

8) 0,64 = 16 x2

11) x.i = 26A

9) 0,5.x =

12) (x + |) (x—1)=0

13) x (x + 5) = 5 (x + 20) 14) 18(x-|-32)=2x(94-2x) 15) (x—4)(x—5) = 9 (4—x) 16) (x+3)(x-4) = 52-x 17) 2x (x 1) -j- 3 (x — 12) = x (x -|- 5)

>««(!-!)-i = o

=

20) (2x + 3)2 + (3x — 2)2 = (3x + 1) (3x — 1) + 30 21) x2 = 7,84 22) x2 = 37636 23) 4284900 —x2

24) 3x(x +1) = 3x + 2478843

25) x4-3 = 2*+Jt9284-

26) x2 = a2 27) x2 —a2=b2-|-2ab 28) x2—3a2b2 = (ab)2 29) 4 (x2—c2 — d2)—8cd—0 30) px2=p2(p+4q)-j-4pq2.

Gemischt-quadratisch. 31) 34) 37) 40) 43) 46) 49) 51) 53)

x2 — 4x = 12 32) x2 — 6x = 7 33) x2+8x—33=0 x2-5x-14=0 35) x (x — 7) = 78 36) x2—6x 4*5=0 x2-llx+24=0 38) x2—20x + 64 = 0 39) x2- 16x = -39 x2+8x+ 15=0 41) x2+29x+210=0 42) x8+73x+210=0 x2+25x+84=0 44) x2-25x+84=0 45) x2+25x-84=0 x2-25x-84=0 47) x2—30x+221=0 48) x2+30x+221=0 x2 — 145x 4- 1224 - 0 50) x24-145x —1224 = 0 x2 - 145x — 1224 = 0 52) x2 4-145x4-1224 = 0 x2+ 73x 4* 1320=0 54) x2 + 122x + 1320 = 0.

X (x + 1) = 5x + 5 56) (x —5)(x —8) + 2 = 0 (x—4) (x—15)4-30=0 58) (x — 13) (x — 14) = 2 x2— #x—i=0 59Jx2- ix = 24 60) 4x2 — 5x=21 5x2+12x=17 62) 7x2-tx=5| 63) x2 + X ____ 1. 14x2 - V x+^ =0 (x—4)2+2(x+3)=17 65) 3x2 — 0,75 x 4-^ = 0 67) 4x2 + l,5x +0,125 = 0 8x2 = i (x —|— 1) 69) (f+ l)8 - I = fx (x4-l)24-(x+2)2 = 41 71)................................... (2x—1)2+(4—x)2=10 (x + 4) (x - 3) 4- (x - 1) (x - 2) = 14 (4x - l)2+(3x—2)2+(5x)2=35 74) xM,75+f=i (2x — 7) (8x — 4) = 0 76) ” (^x+V) (Vx-3A)=0 ’ ' ' 78 )¥^ + ^ = 10 x(5x-2)4-| = ^ 77)

55) 57) 59) 61) 64) 66) 68) 70) 72) 73) 75)

79)

2x — 1 . 22 —7x_4x —2 x + 2-*- x —2 —x2 — 4

8°)|ES-^=1

81)

y +Y+r =

3

82)2£Ti + b^ = 4

.

7x + 6

4

12x+l

92)

84) x2+ 2ax = b2 + 2ab

x (x 4- 1) (x 4- 2) = (x - 2) (x - 1) (x 4- 27) (2x 4- 3) (3x 4- 1) (x + 2) = x (6x — 1) (x 4- 11) x2 — 6ax = (4a + 1) (4a - 1) — 2 (5a - 1) x2 4* ab = ax 4~ bx 89) pq + px = x (x + q) x 4- 2b

9°)

.

4

5-£+2

83) 85) 86) 87) 88)

5 —3x

a

| f“

2b

„ — J

- c;) (^ + c) = 0

nl A 4ax + 2an 16a2— 2an yi-’ x4-zu — x 4- 2a

93) c(ax—b) (2ax-{-3b)=0.

94) Gieb Summe und Produkt der beiden Wurzeln jeder der folgenden Gleichungen an, ohne dieselben aufzulösen: a) x2 — 8x -s- 7 = O, b) x2—15x4-56=0, o) x2-s-16x +48=0, d) x2—30x—31=0, e) x2 + 28x —75 = 0, f) 2x2 — 16x + 30 = 0. 95) Wie lautet die geordnete Form derjenigen Gleichung, welche die Wurzeln besitzt: a) 1 und 2, b) 3 und 5, c) 7 und 3, d) — 7und3, e)—7uni)—3,1)7und—3, g)llunb—100? Die Wurzeln der folgenden Gleichungen sind ganze Zahlen. Rate dieselben mit Hilfe der Regel, daß der negative Konffizient von x gleich der Summe der beiden Wurzeln ist, und daß das von x freie Glied gleich dem Produkt der beiden Wurzeln ist:

96) 98) 100) 102) 104) 106) 108) 110) 112)

x2—(2x-j-6x)4~2 • 6—0 x2 - 17x + 70 = 0 x2 — llx - 26 = 0 x2 — 16x + 63 = 0 x2 4~ 5x + 6 = 0 x2 — 5x — 6 — 0 x2—(p+q)x+pq=0 x2—(2a-|-3b)x-|-6ab= 0 x2—(a2—b2)x = a2b2

97) x2 - 15x + 44 = 0 99) x2 + 17x -j- 70 = 0 101) 103) 105) 107) 109) 111) 113)

x2 + llx — 26 = 0 x2 — 5x + 6 = 0 x2 + 5x — 6 = 0 x2 + 24x + 143 = 0 x2—(p—q)x—pq=0 x2 = 2ab 2ax — bx zx(x—|—c—j—5d) —5cd—0.

Bestimme die Wurzeln der folgenden Gleichungen durch „FaktorenZerlegung":

114) 116) 118) 120)

(x — 3) (x - 10) = 0 (2x-5)(x + 13) = 0 (2x4-tV)(x-0,1) = 0 (1 — y) (24-16x)=0

122) (4-x)(l + f) = 0

115) 117) 119) 121)

(x 4- 3) (x - 10) = 0 (4x + 3) (7x —i) = 0 5x (x + 3) = 0 (4-l)(7 + 3x) = 0

123) 5(4 —x)=fx(x —4)

124) (4 — x) (x + 1) = (8 - 2x) (5x — 9) 125) (3x + 1) (4x — 7) = (2x — |) (5x - 1) 126) (|+4) (T-x)=3+4. 127) 128) (l+2x)(^0,2-4) =9(x4-2)

129) (x+|)_£^~1)=(2x+1).0,3

130) 3f-x=(15-4x)^|

131) (x - 3a) (x + b) = 0

132) (2x-|) (b-3fx)+(2x-|) (x-b) = 0

133) (4-A) = (4a-|) (7x

6)

134) x + 2ab + 2b2 = 3 [x + 2b (a + b)] x. Die folgenden quadratischen Ausdrücke sollen durch Auflösung einer quadratischen Gleichung in lineare Faktoren zerlegt werden:

135) 138) 141) 144) 147) 149) 152)

x84-8x-|-15 136)x2—8x4-15 137) x24-x—20 x2 —x —20 139)x24-32x4--60 140) x2— 20x4-51 x84-2x—360 142)x2—5x—500 143) 2x2+33x-54 5x24~8x—21 145)12x2-32x+21 146) 15x2-4x-35 12x24-x—221 148) 80x24-818x4-551 x2—x —[— t 150) x2 — j^x-f-jL 151) x24-2^x4-l x24-(e-|-f)x4-ef 153) x2—2ax—3bx-|-6ab.

114

§ 28.

Einfache quadratische Gleichungen.

§ 28.

Löse die folgenden Gleichungen:

163) x2=x; 164) x2—6x-j-9=0; 165) x2+3x=3(x-|-27) 166>

-^=^6

168) 4^+^ = -^

167)

=2

169) x’ + ax + ^ = O.

Eingekleidet. (Die übrigen ein gekleideten quadratischen Gleichungen befinden sich in § 32 und in § 34.)

170) Multipliziert man den dritten Teil einer gesuchten Zahl mit ihrem vierten Teil, so erhält man 12. 171) Welche Zahlen sind gleich ihren reciproken Werten? 172) Die Seite eines Quadrates ist viermal so groß als die eines andern, und das erstere hat 540 qm Inhalt mehr als das zweite. Wie groß sind die Seiten der beiden Quadrate? 173) Die Summe der reciproken Werte zweier aufeinander­ folgender natürlicher Zahlen ist yj. Welches sind die beiden Zahlen? 174) Ein Antiquar kaust unter sehr billigen Bedingungen einen Kupferstich. Denselben verkauft er bald.darauf für 32 Jl. Dabei gewinnt er dreimal soviel Prozente, als ihm der Kupferstich an Mark gekostet hatte. Was gab er dafür? 175) Nach einem Diner wünscht jeder Teilnehmer jedem andern Teilnehmer „Gesegnete Mahlzeit!" Ein Beobachter kon­ statierte, daß dieser Wunsch 380 mal geäußert ist. Wie­ viel Personen nahmen an dem Diner Teil? 176) Nachdem in einer Gesellschaft ein Toast gehalten ist, stößt jeder mit jedem an. Man hört 190 mal Gläser zusammen­ klingen. Wieviel Personen waren in der Gesellschaft? 177) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse um 8 m größer und die kleinere Kathete um 1 m kleiner als die größere Kathete. Wie groß ist die letztere? (Pyth. Lehrsatz.) 178) In einem Kreise liegt eine Sehne, welche 7 m vom Zentrum entfernt und dabei 23 m länger als der Radius ist. Wie groß ist der Radius? (Pyth. Lehrsatz.)

§ 29.

Dritte Erweiterung des Zahlengebiets.

§ 29.

H5

179) Jemand kaust für Ibtff. Bonbons. Für dasselbe Geld hätte er 30 Bonbons weniger erhalten, wenn jeder Bonbon I Pfennig teurer gerechnet wäre. Wieviel Bonbons kaufte er? § 29.

Dritte Erweiterung des Zahtengebiets. (Irrationale Zahlen.)

Rechnen mit irrationalen Guadratwurjeln. Definition: (V"ä)2 = a, wo a positiv, aber kein Quadrat ist, »,W = 3,(’)S=’.

1) Was bedeutet: a) V3, b) V|, c) V^24, d) Vä, e) V^+b2? 2) Berechne: a) (V3)2, b) (V3)4, c) (Vr.V2)2, d) (V35-V7;l/5)_2

3) Verwandle in

eine einzige Quadratwurzel: a) V3 • Vö,

b) VpVF,_c) V3f-VÄ: V2, d) (V363: V3) (Vz: VH),

e) Vab - Vac. 4) Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt: a) V10, b) V200, c) 1/2ÖI, d) Vf, e) V±p, f) V25-j-36? Berechne die folgenden Quadratwurzeln auf drei Dezimalstellen, d. h. schließe sie in zwei Grenzen ein, die sich nur um ^oo unterscheiden:

5) 1/3, 6) V&,

7) 1/19;

11) 1/0,144, 12) Vv,

8) Vsöö;

9) VlÖÖÖ;

10) 1/2Ä

13) 1/17-19, 14) V£ 15) V25-j-36.

16) Schließe in zwei Grenzen ein, die sich nur um scheiden: a) 1/5, b) Vll, c) 1/1X3, d) V122;

unter­

Berechne die besten vierstelligen Dezimalbrüche, die man näherungs­ weise für die folgenden Quadratwurzeln setzen darf:

17) 1/5, 18) V5,278, 19) V3J416, 20) 1/27,5102, 21) Berechne nach dem Vorbild von V j = Vf — f V6 = | • 2,44949

— 0,81649 die folgenden Quadratwurzeln.

22) Vj, 23) V18, 24) 1/162, 25) 1/125,

26) V}, 27) Väf,

28) 1X1, 29) V5;l/8, 30) Vf-Väf, 31) VoMÖI 32) Schließe jede der beiden Wurzeln der Gleichung a) x2—2, b) x2— 7 — 0, c) 3x2 —15, d) x — 5: x in zwei Grenzen ein, die sich um ein zehntausendstel unterscheiden. 33) Berechne auf 3 Dezimalstellen: a) —1/11, b) —Vf, c) —Vf f.

§ 29.

Dritte Erweiterung des Zahlengebiets.

§ 29.

H5

179) Jemand kaust für Ibtff. Bonbons. Für dasselbe Geld hätte er 30 Bonbons weniger erhalten, wenn jeder Bonbon I Pfennig teurer gerechnet wäre. Wieviel Bonbons kaufte er? § 29.

Dritte Erweiterung des Zahtengebiets. (Irrationale Zahlen.)

Rechnen mit irrationalen Guadratwurjeln. Definition: (V"ä)2 = a, wo a positiv, aber kein Quadrat ist, »,W = 3,(’)S=’.

1) Was bedeutet: a) V3, b) V|, c) V^24, d) Vä, e) V^+b2? 2) Berechne: a) (V3)2, b) (V3)4, c) (Vr.V2)2, d) (V35-V7;l/5)_2

3) Verwandle in

eine einzige Quadratwurzel: a) V3 • Vö,

b) VpVF,_c) V3f-VÄ: V2, d) (V363: V3) (Vz: VH),

e) Vab - Vac. 4) Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt: a) V10, b) V200, c) 1/2ÖI, d) Vf, e) V±p, f) V25-j-36? Berechne die folgenden Quadratwurzeln auf drei Dezimalstellen, d. h. schließe sie in zwei Grenzen ein, die sich nur um ^oo unterscheiden:

5) 1/3, 6) V&,

7) 1/19;

11) 1/0,144, 12) Vv,

8) Vsöö;

9) VlÖÖÖ;

10) 1/2Ä

13) 1/17-19, 14) V£ 15) V25-j-36.

16) Schließe in zwei Grenzen ein, die sich nur um scheiden: a) 1/5, b) Vll, c) 1/1X3, d) V122;

unter­

Berechne die besten vierstelligen Dezimalbrüche, die man näherungs­ weise für die folgenden Quadratwurzeln setzen darf:

17) 1/5, 18) V5,278, 19) V3J416, 20) 1/27,5102, 21) Berechne nach dem Vorbild von V j = Vf — f V6 = | • 2,44949

— 0,81649 die folgenden Quadratwurzeln.

22) Vj, 23) V18, 24) 1/162, 25) 1/125,

26) V}, 27) Väf,

28) 1X1, 29) V5;l/8, 30) Vf-Väf, 31) VoMÖI 32) Schließe jede der beiden Wurzeln der Gleichung a) x2—2, b) x2— 7 — 0, c) 3x2 —15, d) x — 5: x in zwei Grenzen ein, die sich um ein zehntausendstel unterscheiden. 33) Berechne auf 3 Dezimalstellen: a) —1/11, b) —Vf, c) —Vf f.

§ 29.

116

Dritte Erweiterung des Zahlengebiets,

34) Suche auf 3 Stellen die mittlere Proportionale zu a) 1 und 2, b) 2 und 3, c) 5 und 25, d) 10 und 100, e) 432 und 433, f) 1 und 501, g) | und I, h) A und 0,3, i) —4 und —3. 35) Warum giebt es, genau genommen, zwei mittlere Propor­ tionalen zwischen zwei Zahlen? 36) Was kann man über x behaupten, wenn man weiß, daß x negativ und daß a) x2 == 3, b) x2 > 3, c) x2 < 1000 ist? 37) Man weiß, daß a größer als b ist, und daß b2 — 2ab 4~ a2 = 7 ist. Um wie viel ist a größer als b? Berechne auf zwei Dezimalstellen:

38) j V12-1; 39) V3— V2; 40) V17—4; 41) V34-V2—V(^

42) ]/W

43) V3=F V2

]/33 —8V17

45) 1/11—6V2—4V3H-2V6. 46) Beweise durch Quadrieren, daß, wenn x positiv und kleiner als 8 ist, VT+l1, V1 —|— x1 —|-x, V1 —x^> 1

+ lx —|x2, V1 + x< 1 +|x—|x2+Ax® ist, und

daß sich V1 —s—x von den rechten Seiten dieser Ungleichungen um so weniger unterscheidet, je kleiner das positive x ge­ wählt wird. 47) Berechne mit Hilfe der in Nr. 46) aufgestellten Un­ gleichungen zwei Grenzen: a) für Vf^ = Vl-|-A b) für VliÖ=10Vl+Ä7 c) für V2 = |V1+I. Bringe quadratisch vorkommende Faktoren vor das Wurzelzeichen bei:

49) V5Ö;

50) V32;

51) V48;

52) V24Ö;

53) V1728;

54) V1Ö24Ö; 55) |V63; 56) 0,12.^70000; 57) ^VM Verwandle in eine Wurzel:

58) 5V2; 59) fV12; 60) 3|VÄ; 61) Vereinfache:

63) 7V11—VH4-18V11+2^44

62) V5+2V2Ö 64) V84-V18

___

65)^274-31/3—V75

66) 41/8—V984-V242 —V200—§V50 67) 3V6—V24-I-V486 —3V6ÖÖ"4-1,2V24ÖÖ4-V294 68) 3Vä—Vä4-7V4ä—V9ä4-V81ä4-Vi44^i

69)

Va4=b+V 16a+16b4-V25a+25b-Vö2a-b-(3a-50b).

Schaffe die Nenner unter dem Wurzelzeichen fort:

70) Vf; 71) VH; 72) Vif; 73) VU; 74) V^; 75) Vl^ 76) VM; 77) VO.289; 78) ^V^; 79) Vereinfache möglichst:

80) i-V4Ö _ 81) |V2,7:2,5 82) VT^.V243 83) ]/g - j/g*, 84) V12+V75-V1Ö8; 85) V12-j-V125,

86) 88) 89) 91) 93)

4V72—3fV32—V288, 87) V176-f f V275H V999 3V634-2V96—V28—l^434-V24 V1ÖV4Ö —V1728V5Ö4-3V243, 90) Vf^+Vffiff 27:VÖ^.VÖJ:V2187, 92) VsVW-j-V5VWV26 b ist, b) wenn aAC ist, zwei gleiche reelle Wurzeln hat, wenn B2 — AC ist, und zwei konjugiert-komplexe Wurzeln hat, wenn B2 < AC ist. 77) Entscheide nach Nr. 76), ob die folgenden Gleichungen reelle oder imaginäre Wurzeln haben: a) 5x2 — 16x +13 = 0, b) llx2 — 10x + 2 = 0, c) llx2 — 10x - 2 = 0, d) 47|x8 — 8x — 900 = 0, e) x2 + 19x-j-4 = 0, f) 10|x2 —5|x+1 = 0, g) —7x2 + 72x + 40 = 0. 78) Man weiß von einer Gleichung, daß ihre eine Wurzel reell und ihre andere Wurzel imaginär ist. Was kann man hieraus über die Koeffizienten schließen? 79) Beweise, daß die Gleichung x2 + (c + id) x + e + if = 0 eine reelle Wurzel besitzt, sobald zwischen den rellen Zahlen c, d, e, f die Relation cdf — ed2 4+2 besteht.

80) Die Gleichung x2 — 15x + b — 0 hat die Zahl 41 als Wurzel. Wie groß ist b, und wie heißt die andere Wurzel?

128

81)

8 31.

Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannte« in

Warum können die Wurzeln einer Gleichung mit'reellen Koeffizienten nicht imaginär sein, wenn in der geordnetm Form das von x freie Glied negativ ist?

Entscheide Gleichungen:

über

die

Vorzeichen

der Wurzeln

82) x2 + 9x - 16 = 0 83) 84) — x2 + 5x + 33 = 0 85) 86) llx2 + llx + 2 = 0 87) 88) x24-0,125x-33,1 = 0 89) 90) — x24-2xV2 —1/2 —A =

bei

den folgenden

7x2 — 20x — 103 = 0 2x2- 30x4-3 = 0 34x2 —53|x4-l = 0 x24-xV2 4-iV3 =0 0.

91)

In den vier Gleichungen Ax2 4~ 2Bx 4~ 0 = 0, Ax2—2Bx+C=0, Ax2+2Bx - C=0, Ax2—2Bx—0=0 sind A, B, C als positiv und die Wurzeln als reell zu betrachten. Entscheide über die Vorzeichen derselben.

93)

Sind xt und Xz die Wurzeln der Gleichung x24-ax4-b=0, so ist x, 4~ Xy = — a, Xj x2 = b, also x124~x22 = a2 — 2b und Xj 2x22 — b2. Folglich sind die Wurzeln von x2 — (a2 — 2b) x 4- b2 = 0 die Quadrate der Wurzeln von x2 4- ax 4- b = 0. Leite in ähnlicher Weise die geordnete Form derjenigen Gleichung ab, deren beide Wurzeln sind: a) xt3 und x/, b) xt4 und x24, c) ^-und^-, X1 *2 d)

X2

uni) -. Xj

94) Löse die Gleichung x2 4~ xy 4~ y2 = 0 sowohl für x wie für y als Unbekannte. 95) Es ist a2 4- 4ab 4~ 9b2 = 1. Drücke sowohl a durch b, wie auch b durch a aus. 96) Was folgt aus g2 = h (2r — h) für h? 97) Es ist a2 4~ b2 4- c2 = ab 4~ ac 4~ bc. Drücke jede der drei Zahlen a, b, c durch die beiden andern aus. 98)

Wenn bei einem Dreiecke die Längen der drei Seiten a, b, c Längen-Einheiten betragen und der Winkel a sechzig Grad beträgt, so ist a2 = b2 4~ c2 — bc. Wie findet man b, wenn a und c, und wie c, wenn a und b gegeben sind?

(x + 3)2

x+3

10^) x»+6x+9 + x+3

^04) r +

70

x — 3 — 5s

_

105) (2x-5)24-3(2x-5)=4 106) (xV2-V6)2=2+V2(x-V3) 107) (x2+3x)2+x(x+3)=12 108) (x+l)(x+2)=x2(x+3)2-10 109) ^1M=x2+5x_42 Hy) (x+1)2+3x=10-^ 111'l X2—1 (x + l)2 ' 4x ~16x’:(x—l)a

113) 115) 117) 119) 121)

3 *

x4 - 9x2+20 = 0 (x2—3)2+(2x2+l)2=82 (x2+3)2+(x2+4)2=(x2+5)2 (x2 4-12)2 — 49x2 = 0 |° = (x+iV3) (x-iV3)

123) g±| + J=|^4

119) x2—x+6_2x2—3x—12 ' x2—x + 7

x2—x+16 '

114) x2 (x2 — 58)= - (21)2 116) (x2+13) (x2+l)=85 118) (x+l)4+(x-l)4 = 82 120) x* = 20(x2—5)+(3x)2 122) ^7=(x+2V5)(x-2V5) 124) x‘-p2x2-H4 = 0

125) x4—2(p2+4p-l)x2+(p—1)4=0: 126) (x-a)4+(x+a)4=b. 127) 128) 129) 131) 132) 134) 135)

4x4 -- 25x3 + 42x2 — 25x + 4 = 0 x4 — 5fx3 -|- 10|x2 — 5|x -|-l = 0 x4+7x3—16x2+7x+1=0 130) (x2+l)2+5x(x2+1)=™x2 3x44-llx3 — 6x2—11x4-3 = 0 x44-x34-x24-x4-l = 0 133) x4—x34~x2—x4-l —0 x4 — l|x34-x2 — lfx-j-l =0 x4—3x2+l=|(x2+l) 136) (x2+l)2 = ^(x-l)

137) x._^.+(^+44>-ta^+1=o.

138) 5x + 3 14 = 26

140) 142) 144) 146) 148) 150)

30

139) X = 8 Vx — 15

i—

x 4~ l'x 4~ 5 = 2x — 1 X—V3—lfx=2 V2x—2H-V34—x=9 V 9x 4“ 5 — Vßx = VH Vx4-a 4-V2x-|-b=V~c

141) Vx —7 = x — 19 143) 145) 147) 149) 151)

x = V3x + 16 —2 V2x—2+Vx+16 = 9 V4x4-13 —1/74=3=1 1/3^2=V12x+13-6 V10—x 4“ Vx—5 =Vx

130

§ 31.

Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten in

152) V2T+13 - Vlb -x = l/3x —14 153) V fx — 8 4~ V5x-|~9 — l/iOx^- 1 154) Vax 4- 1 4- Vbx 4-1 — V cx

155)

157) 159)

V2x-5 + V^I=4 Vi4-x4-Vi—x

1

V 14-x — V1—X

x

1

156) V3Ax-3-Vi+l=V2Vx

V9 — x 4" Vx — 8

Vx — a V"b— X 160) Vx — a — Vb — x

l/a — x V x—b

161) ]/5x + 11 + Vx2 + 25x + 50 = 9 162) ]/llx + 5 — V20x2+ 20x^0 = 3.

163) (3—x)(x2—5x)=14(3—x) 164) (3—x)(x—19)x=90(x—3) 165) (2x 4- 5) (x — 1) (x — 2) — (x-j-f) (x2 + 19x -j- 12) 166) (x2-l)(x2+x+l)(x-5)=0 167) (x+|) (4x2—3x)=10(^.+1) (x — Va) (Vx-|-7-|-V3x — 2) — x^9x — Va, V9x. ist -s-1 oder — 1 Wurzel, also x — 1 oder x -s- 1 Faktor. x3 -|- x2 -|- x 1 = 0 170) x3—6x2*— I 45x4-50 = 0 172) 3x3 4~ 4x2 — 6x = 7 xs = 21 x — 20 3x3— 8x2+x+ 2 (x+1) =0 174) (x-5)x2+9 (x—1) = — 4x s x2 + 122 x „A 176) ^45 =I + V62) 175) X3 — —----------- 40 7 X —V62

168) Es 169) 171) 173)

Es sind + 1 und — 1 Wurzeln, also ist x’ — 1 Faktor. 177)I 7x4 - 5x3 — 157x2 4- 5 (x 4- 30) = 0 ■ 5x*—5x2 178) 394-2x ?9) x+± x4-l 4 1 a24-b2 3 a24~b2 180)I x4 — 1 = ----- x3----------------L--- x. ab ab

Die Aussonderung der Faktoren x — 1 oder x + 1 oder x2 — 1 führt auf symmetrische Gleichungen. 181) 2x5 — 3x4 — x3 — x2 — 3x 4- 2 — O 182) 2x5 — llx4 + 23x3 — 23x2 + llx — 2 = 0

12x5 + 8x4 — 45x3 — 45x2 + 8x +12 = 0 2x6 — 3x5 — 6x4 -|- 6xs 6x2 — 3x — 2 — 0 x5 qx4 4~ rx3 = rx2 -|- qx -|-1 x5 = 1 187) x5 = — 1 x10 — 1 [= (x5 + 1) (x5 — 1)] = 0 x8 — 1 [= (x4 + 1) (x4 — 1)] - 0. Die 12 Zahlen, welche in die zwölfte Potenz erhoben, die Zahl 1 geben, sollen durch Zerlegung von x12 — 1 in (x6-l)(x6+l)=(x2—l)(x4+x2+l)(x2+l) (x4—x2+l) bestimmt werden. 191) Bestimme die Wurzeln von: a) x3 — 1, b) x4 — 1, c) x3—1, d) x6=l, e) x8—1, f) x10=l, g) x12=l.

183) 184) 185) 186) 188) 189) 190)

198) Bestimme a und ß so, daß (x—a) (x—ß)=x2—14x—1 wird. 199) Zerlege in zwei lineare Faktoren: a) x2 — 20x 4-98, b) x2-f-16x—8, c) 3x2—5xV2—16, d) a2-|-2ab—8b2, e) 3a2 —5ab4-2b2, f) 10p2-|-7pq — 33 q2. 200) Welches ist die Bedingung dafür, daß x2-|-ax4-b in der Form (x—«) (x — ß) dargestellt werden kann, a) wo a und ß rational, b) wo a und ß reell sind? 201) Zerlege in zwei lineare Faktoren: a) x2-s-25, b) x24~a2, c) x2+8x+17, d) 3x24-6x4-10.

B«chstaben-Gleich««gen. 202) 204) 205) 206) 207) 208)

(x+a)2+(x+2a)2=13a2 203) 2(x-a)(x-2b)=x2-a2-4b2 9x (x — 1) = 8x (b — 1) -j- 2 4* (b +1) (b — 2) x4 - 2x2(a2+b2) + a4-}-b4 = 2a2b2 x2(x-j-2a)24-(x-|-a)2=a2(9a24-4) Vx—3p —|—13q -|- Vx -|- 10q = Vx-j-5 (p4"Q) Vx-j-1 Vx— 1 — Vp^pT Vp— 14" P—x

209')

Vx-|-3a-|-V2a—x Vx —3a__-j/2 Vx-f-2a Vx-|-3a — V2a — x Vx—3a V 3

210) (x2—5a2)2 — (4a2)2-|- 4bx2 (a—b) = 36a2b (a—b) 211) x4+^(a2+2ab+b2+a2b2+l)+l=^a+-^+b+^x(x2+l).

132

§ 32 Eingekleidete quadr. Gleichungen mit einer Unbekannten. § 32.

Mehrstellige Dezimalbrüche. 212) x2+0,1234.x-5,678=0 213) x2-3,1892+42,3812-x=0

214) Vx-0,12378=0,98734• x 215) 3,47003x2+2,0038x = 56,1237.

§ 32.

Eingekleidete quadratische Gleichungen mit einer

Unbekannten. Zahl-Eigenschafte«. 1) Dividiert man mit einer gesuchten irrationalen Zahl in 320, so kommt die gesuchte Zahl selbst heraus. 2) Multipliziert man eine gesuchte Zahl mit ihrem Sechsfachen, so ergiebt sich die negative Zahl —864. 3) Die Zahl 4 in zwei Faktoren zu zerlegen, deren Summe:

a) 4, b) 1, c) 0,1, d) l-j-]/2, e) — 3-s-2i beträgt. 4) Die Zahl 3 in zwei Summanden zu zerlegen, deren Produkt: a) 2|, b) -21, c) - 3,142 ist. 5) Welche Zahl ist um IW größer, als ihr reciproker Wert? 6) Den Bruch

in zwei Faktoren zu zerlegen, deren Summe

um ifg größer ist als jöW 7) Welche irrationale Zahl ist um 1 kleiner, als ihr Quadrat? 8) Eine Zahl a so in zwei Summanden zu zerlegen, daß der größere Summand mittlere Proportionale zwischen a und dem kleineren Summanden wird. (Stetige Teilung, goldener Schnitt.) 9) Vermehrt man das Quadrat einer gesuchten Zahl um das Quadrat der um 1 größeren Zahl, so erhält man: a) 25, b) 2, c) -2, d) 1, e) I, f) -1,5. 10) Welche Zahl übertrifft ihre Quadratwurzel: a) um 3’, b) um 1, c) um 2,18, d) um a2-s-3a-s-2?

11) Welche Zahl muß man bei der falschen Proportion 36:10 = 15:14 zu den drei ersten Gliedern addieren und von dem vierten Gliede subtrahieren, damit eine richtige Pro­

portion entsteht? 12) Bei einer in einer Aufgaben-Sammlung enthaltenen Gleichung zweiten Grades waren durch Schuld des Korrektors zwei Lücken gelassen, sodaß dieselbe hieß: „x2-s-8x= ;

132

§ 32 Eingekleidete quadr. Gleichungen mit einer Unbekannten. § 32.

Mehrstellige Dezimalbrüche. 212) x2+0,1234.x-5,678=0 213) x2-3,1892+42,3812-x=0

214) Vx-0,12378=0,98734• x 215) 3,47003x2+2,0038x = 56,1237.

§ 32.

Eingekleidete quadratische Gleichungen mit einer

Unbekannten. Zahl-Eigenschafte«. 1) Dividiert man mit einer gesuchten irrationalen Zahl in 320, so kommt die gesuchte Zahl selbst heraus. 2) Multipliziert man eine gesuchte Zahl mit ihrem Sechsfachen, so ergiebt sich die negative Zahl —864. 3) Die Zahl 4 in zwei Faktoren zu zerlegen, deren Summe:

a) 4, b) 1, c) 0,1, d) l-j-]/2, e) — 3-s-2i beträgt. 4) Die Zahl 3 in zwei Summanden zu zerlegen, deren Produkt: a) 2|, b) -21, c) - 3,142 ist. 5) Welche Zahl ist um IW größer, als ihr reciproker Wert? 6) Den Bruch

in zwei Faktoren zu zerlegen, deren Summe

um ifg größer ist als jöW 7) Welche irrationale Zahl ist um 1 kleiner, als ihr Quadrat? 8) Eine Zahl a so in zwei Summanden zu zerlegen, daß der größere Summand mittlere Proportionale zwischen a und dem kleineren Summanden wird. (Stetige Teilung, goldener Schnitt.) 9) Vermehrt man das Quadrat einer gesuchten Zahl um das Quadrat der um 1 größeren Zahl, so erhält man: a) 25, b) 2, c) -2, d) 1, e) I, f) -1,5. 10) Welche Zahl übertrifft ihre Quadratwurzel: a) um 3’, b) um 1, c) um 2,18, d) um a2-s-3a-s-2?

11) Welche Zahl muß man bei der falschen Proportion 36:10 = 15:14 zu den drei ersten Gliedern addieren und von dem vierten Gliede subtrahieren, damit eine richtige Pro­

portion entsteht? 12) Bei einer in einer Aufgaben-Sammlung enthaltenen Gleichung zweiten Grades waren durch Schuld des Korrektors zwei Lücken gelassen, sodaß dieselbe hieß: „x2-s-8x= ;

§ 32. Eingekleidete quadr. Gleichungen mit einer Unbekannten. § 32.

1ZZ

Resultat: x1 = ll, x2 — Wie lautete das Manu­ skript des Autors? 13) Beweise durch Auflösung der Gleichung x—x2=a, daß ein echter Bruch sein Quadrat höchstens um | übertreffen kann.

Geometrisches. 14) Ein Schüler hatte eine gewisse Anzahl gerader Linien gezogen

und den Schnittpunkt je zweier dieser Linien ausgesucht. Wieviel gerade Linien hatte er gezogen, wenn er a) 136, b) p Schnittpunkte zählte, c) Was läßt sich annehmen, wenn er 188 Schnittpunkte zählte? 15) Wieviel Ecken hat ein Polygon, in welchem sich: a) 90, b) 4850, c) d Diagonalen ziehen lassen?

16) Warum muß 8-j-9a eine ungerade Quadratzahl sein, wenn sich in einem Polygon a Diagonalen ziehen lassen? 17) Wie groß ist die Seite eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Inhalt: a) 1 qm, b) V3 qm, c) f qm beträgt? 18)

Wie groß ist der Inhalt eines Quadrats, bei welchem die Diagonale a cm länger ist als die Seite?

19)

Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 10m lang, und die eine Kathete ist gleich dem ihr nicht anliegendeu HöhenAbschnitt auf der Hypotenuse. Wie lang ist diese Kathete?

20)

Eine Sehne ist nur um 2 cm kürzer als der Durchmesser eines Kreises; dennoch ist ihr Zentralabstand des Radius. Wie groß ist der Durchmesser?

21) Wie weit ist ein Punkt auf der Verlängerung einer Strecke, die 13 cm lang ist, von deren Halbierungspunkte entfernt, wenn die mittlere Proportionale zwischen den Abständen des Punktes von den Endpunkten der Strecke 14 cm beträgt?

22)

Der Inhalt eines Dreiecks, dessen eine Höhe um 5 cm länger ist als die zu ihr senkrechte Seite, beträgt 42 qcm. Wie verhält sich die erwähnte Höhe zu der erwähnten Seite?

23) Ein Einrahmer soll den Rahmen eines Bildes überall gleich breit machen und es einrichten, daß derselbe etwa des

eingerahmten Bildes beträgt.

Welche Breite hat er dem

Rahmen zu geben, da das ihm eingehändigte Bild 48 cm breit und 32 cm hoch ist? (Die resultierende Irrationalzahl ist so abzurunden, daß der Fehler kleiner als 1 mm wird.)

134

§ 32. Eingekleidete quadr. Gleichungen mit einer Unbekannte«. § 32.

23J Eine Kaserne von 70 m Länge und 21 m Tiefe ist aller­ seits von einem Gitter umgeben, das ans allen vier Seiten gleichen Abstand von der Kaserne hat. Der Raum zwischen Gitter und Kaserne ist gerade so groß, wie der Flächen­ raum der Kaserne. Wie groß ist jener Abstand? 24) Welche Kantenlänge hat ein Würfel, dessen Volumen um 271 ccm zunimmt, wenn die Kantenlänge um 1 cm zunimmt? 25) Wenn man die 682 Millionen Briefe, welche die deutsche Reichspost im Jahre 1881 befördert hat, derartig einzeln zusammenlegte, daß dieselben die Fläche eines Rechtecks voll­ ständig bedeckten, und daß in jeder Längsreihe, sowie in jeder Querreihe gleichviel Briefe lägen, so würde man bei einer Geschwindigkeit von 1| Meter pro Sekunde Stunde brauchen, um das Rechteck einmal zu umschreiten, voraus­ gesetzt, daß als durchschnittliche Länge uud Breite 20 cm bez. 10 cm angenommen wird, und daß die Längs-Richtungen der Briefe den längeren Seiten des Rechtecks parallel laufen. Wieviel Briefe liegen in jeder Rechtecksseite?

Verschiedenartige Einkleidungen. 26) Jemand giebt 6000 Jl auf Zinsen, fügt nach einem Jahre 200 Jl hinzu und sieht sich dadurch nach zwei Jahren im Besitze von 6825 Jt. Wieviel Prozent wurden berechnet? 27) An einem Ausfluge eines Vereins nahmen Herren und Damen teil, und zwar zwei Herren mehr als Damen. Die Gesamtkosten, welche sich auf 400 Jt beliefen, wurden so verteilt, daß immer ein Herr 4 Jl mehr als eine Dame zahlte. So kam es, daß die Herren zusammen 240 Jl, die Damen 160 Jl zu zahlen hatten. Wieviel Personen nahmen an dem Ausflug teil? (Entweder? oder?) 28) Mehrere Studenten mieteten eine Kegelbahn für 2 Jt. Wären ihrer zwei mehr gewesen, so hätte jeder, da die Bahnmiete sich dadurch nicht geändert hätte, 10 Pfennig weniger zu bezahlen gehabt, und es wären doch noch 10 Pfennig Trinkgeld für den Kegelaufsetzer übrig geblieben. Wieviel Studenten mieteten die Kegelbahn? 29) Eine Fabrik hat zwei Dampfmaschinen. Ist die erste allein in Betrieb, so reicht immer der im Kohlenraum befindliche Kohlenvorrat 10 Tage länger, als wenn beide Maschinen

§ 32. Eingekleidete quadr. Gleichungen mit einer Unbekannten. § 32.

135

zusammen arbeiten. Ist die zweite allein in Betrieb, so reicht jener Vorrat sogar 40 Tage länger, als wenn beide arbeiten, a) Wieviel Tage reicht der Vorrat, wenn beide Maschinen thätig sind? b) Wie lautet die Antwort auf diese Frage, wenn p statt 10, q statt 40 gesetzt wird? (Reinquadratische Gleichung.)

30) Durch die Telephonleitungen, welche die Stadt Hannover am Ende des Jahres 1882 besaß, waren höchstens 3160 Gesprächs-Verbindungen möglich. Wieviel Einwohner von Hannover besaßen um die angegebene Zeit Telephon-Anschluß? 31) Aus einem gefüllten Faß mit 120 l Wein wurde zweimal Wein abgezapst und jedesmal durch Wasser ersetzt. Das zweite Mal wurden 20 l mehr als das erste Mal abgelassen, sodaß schließlich nur 52| l reinen Weins in dem Fasse waren. Wieviel 1 wurden das erste Mal abgezapft?

32) Zu den Kosten einer Turnfahrt steuerten die drei oberen Klassen eines Gymnasiums derartig bei, daß zwar alle Schüler einer und derselben Klasse gleichviel beitrugen, daß aber ein Primaner so viel gab, wie ein Sekundaner und ein Tertianer zusammen gaben. In Prima waren 10 Schüler weniger als in Sekunda und 15 Schüler weniger als in Tertia. So kam es, daß der ganze Beitrag der Prima 40 jH, der der Sekunda 36 Jt und der der Tertia 28 Jl betrug. Wieviel Schüler waren in jeder Klasse? 32,) Im Jahre 1880 legten die Personen, welche die Eisenbahneu Deutschlands befuhren, zusammen 6419£ Millionen km zurück. Wenn noch 1000 km hinzugebaut werden und das Reisebedürfnis sich so steigert, daß das km im Jahre durch­ schnittlich von 1200 Personen mehr befahren wird als 1880, so steigt die Zahl der jährlichen Personen-Kilometer von 6419| Millionen auf 6650 Millionen. Welche Länge hatten die Eisenbahnen Deutschlands 1880? (Betrachte als Ein­ heiten 1000 km und 1000 Personen.)

Physikalisches. 33) Um das wahre Gewicht eines Körpers auf einer Wagschale zu bestimmen, deren Hebelarme verschieden lang waren, führte jemand eine Doppelwägung aus. Er mußte, um

136

§ 32. Eingekleidete qnadr. Gleichungen mit einer Unbekannten. § 32.

dem in die rechte Wagschale gelegten Körper das Gleich­

gewicht zu halten, 10 gr in die linke Wagschale legen. Brachte er aber den Körper in die linke Wagschale, so erhielt er nur dann Gleichgewicht, wenn er in die rechte

Wagschale 9,801 gr legte. Wieviel mg wog der Körper? (Rein-quadratische Gleichung.) 34)

Ein mit einer Anfangsgeschwindigkeit von o m pro Sekunde vertikal in die Höhe geworfener Körper befindet sich nach t Sekunden in einer Höhe von (ct—|gt2) Meter, wo g den Geschwindigkeitszuwachs pro Sekunde beim freien Fall bedeutet, und etwa gleich 9,8 m zu setzen ist. a) Nach wieviel Sekunden befindet sich hievnach ein Stein, der mit einer

Anfangsgeschwindigkeit von 6,9 m in die Höhe geschleudert wurde, 2 m hoch? b) Drücke t durch c, g und die Höhe h in Buchstaben aus. c) Entnimm dem in b) erhaltenen Resultate,

wie groß c mindestens

sein muß,

damit die

Höhe von h m erreicht wird? 35)

Berechne, in welcher Höhe ein Meteor explodierte, unter der Annahme, daß seine Trümmer im Momente der Ex­ plosion anfangen, ohne Anfangsgeschwindigkeit vertikal nach unten zu fallen, daß vom Luftwiderstände u. s. w. abgesehen werden darf, und daß man die Trümmer a Sekunden, nach­ dem man den Knall gehört hat, zur Erde fallen sieht. (Fall­ höhe in t Sekunden gleich ft2 Meter, wo g — 9,8, Schall­

geschwindigkeit c — 336 m. Zahlenbeispiel, bei welchem x rational wird: a = 7-^. Diskussion für den Fall, daß a null oder negativ ist.) 36) Nach

Regnaults Untersuchungen

nimmt

eine

Qnantität

Quecksilber, die bei 0° 1 cbm Raum einnahm, bei t° den Raum von (14- 0,00017902 • t+0,000000025 26 »t2) cbm ein. Bei wieviel Grad beträgt das Volumen dieser Quantität Quecksilber 1,001792726 cbm*? 37)

Ein mathematisches, 1 Meter langes Pendel braucht zu einer kleinen Schwingung TrvHg oder nahezu vT Sekunden. Berechne hiernach, wie lang ein Pendel war, dessen Schwin­ gungszeit um & Sekunde wuchs, als es um 14 cm länger als doppelt so lang gemacht wurde?

§33. Quadr. Gleich, m. mehreren Unbekannten in arithm. Sprache. § 33.

137

Bewegungs-Aufgabe« 38) Ein Hund fängt an, einen Hasen zu verfolgen, der ihm 10 m vorauf ist. Indem der Hund zu je 10 m eine halbe Sekunde weniger Zeit braucht als der Hase, holt er ihn in 10 Sekunden ein. Wieviel m hat der Hund laufen müssen? 39) Zwei Spaziergänger trennen sich bei einem Wegweiser. Der eine geht nordwärts, der andere ostwärts. Nach 8 Minuten sind sie 900 m voneinander entfernt. Wie schnell geht jeder von beiden, wenn angenommen wird, daß der eine 4 m in derselben Zeit ging, in welcher der andere nur 3 m ging? 40) Aus Rom und Aricia gingen zwei Freunde einander ent­ gegen. Sie brachen beide um 9 Uhr morgens auf und trafen sich um etwa 11 Uhr 40 Minuten an einem Punkte der via Appia, der näher nach Rom zu lag, da der ver­ weichlichte Römer zu einer (römischen) Meile 4 Minuten länger brauchte als sein rüstiger Freund. Wo lag der Ort der Begegnung, da die Strecke von Rom nach Aricia auf der via Appia 16000 passus betrug? 41) Die Ausgrabungen zu Olympia haben ergeben, daß das olympische Stadion (Rennbahn) 7 m länger ist als das attische Stadion. Dadurch ist die Angabe des Pythagoras bestätigt, welcher bei der Berechnung der Statue des Herkules behauptet, daß das olympische Stadion zwar auch, wie das attische, 600 Fuß betrage, aber dennoch, weil es Herkules mit seinen Füßen ausgemessen habe, größer sei als das attische Stadion, das von gewöhnlichen Menschen durch Ausschreiten bestimmt sei. Wie groß ist das attische Stadion, wenn angenommen wird, daß Herkules, um das olympische Stadion in 1 Minute durcheilen zu können, immer auf 84| Meter 1 Sekunde weniger als bei einem attischen Stadion zu verwenden hatte?

§ 33.

Gnadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten in arithmetischer Sprache. '

(x + y = 9 t xy = 20 Schubert, Ausg.

2) Jxy + ßx = 4 ’ l4x -j- 7y = 11 10

§33. Quadr. Gleich, m. mehreren Unbekannten in arithm. Sprache. § 33.

137

Bewegungs-Aufgabe« 38) Ein Hund fängt an, einen Hasen zu verfolgen, der ihm 10 m vorauf ist. Indem der Hund zu je 10 m eine halbe Sekunde weniger Zeit braucht als der Hase, holt er ihn in 10 Sekunden ein. Wieviel m hat der Hund laufen müssen? 39) Zwei Spaziergänger trennen sich bei einem Wegweiser. Der eine geht nordwärts, der andere ostwärts. Nach 8 Minuten sind sie 900 m voneinander entfernt. Wie schnell geht jeder von beiden, wenn angenommen wird, daß der eine 4 m in derselben Zeit ging, in welcher der andere nur 3 m ging? 40) Aus Rom und Aricia gingen zwei Freunde einander ent­ gegen. Sie brachen beide um 9 Uhr morgens auf und trafen sich um etwa 11 Uhr 40 Minuten an einem Punkte der via Appia, der näher nach Rom zu lag, da der ver­ weichlichte Römer zu einer (römischen) Meile 4 Minuten länger brauchte als sein rüstiger Freund. Wo lag der Ort der Begegnung, da die Strecke von Rom nach Aricia auf der via Appia 16000 passus betrug? 41) Die Ausgrabungen zu Olympia haben ergeben, daß das olympische Stadion (Rennbahn) 7 m länger ist als das attische Stadion. Dadurch ist die Angabe des Pythagoras bestätigt, welcher bei der Berechnung der Statue des Herkules behauptet, daß das olympische Stadion zwar auch, wie das attische, 600 Fuß betrage, aber dennoch, weil es Herkules mit seinen Füßen ausgemessen habe, größer sei als das attische Stadion, das von gewöhnlichen Menschen durch Ausschreiten bestimmt sei. Wie groß ist das attische Stadion, wenn angenommen wird, daß Herkules, um das olympische Stadion in 1 Minute durcheilen zu können, immer auf 84| Meter 1 Sekunde weniger als bei einem attischen Stadion zu verwenden hatte?

§ 33.

Gnadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten in arithmetischer Sprache. '

(x + y = 9 t xy = 20 Schubert, Ausg.

2) Jxy + ßx = 4 ’ l4x -j- 7y = 11 10

§ 33.

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sx + y = — 11 lx2 y2 = 65 f3x = 1 —|— 2y 5) lx2 — 3xy -j- 27 — 0 (X = 1 + 4y 7) ! x 4~ y _ 2x —4y

3)

l.2x —4y

9) 11) 13) 14) 15)

x+y

Quadratische Gleichungen mit mehreren

12(x+y)(2x-y) = 10 lx + y = 5 f4x2 -|- 6y2 — 4x — y 6) 13 y — x = i 3x -j- y — 6x —y 20 8) (4x —+;+sf=x 4)

f4y2 — 5x2 — xy sx2 — y2 + xy = 1 10) t(x+y):(x—y)—3:—i ly ;x = 5 : 4 )2x2 + y2 —xy = 1 s x2-y2+y- x—2b (2 a—1) 12) lx: y — V2 ; V3 lx -|- y — 2a — 0 2x — y -|- 3x2 — 2y2 -4- xy — 2x -j- y — 3 (4x + y — 3)2 = x + 4y = x + y + 6 -4-^ 2 2'3 — 6

16)

4x4-1 5

3y 4- 6__ x — y 9 15

(x + y)2 + 3x = 31 17)

18) 20)

22) 24) 25) 27) 28)

+ = 2 y 1 x 3x 4- 4y i x — y 4- 14 84-y4-7x 7 T" 14 — 8 14x 4- y — 15 __ 1 2x — y 4- 5 y 4-2 - 11 3x4-4y-l

/x2 + 2x — y = 1 19) /2(x2-y2)—4x—3y—3 1 lx2 — y2 + 1 — X — 4y I2y - x — x2 — 2 /xy — x — 4 21) (x (y + 5) = 16 } ly (x — 1) —- 3 Ixy — y — 3 3 s(x + 1) (y + 2) = 42 23) /*-x + 4) (y + 5) = 2 j l(x+7) (y + 8) = 2 l(x — 1) (y — 2) = 10 /3xy 2x2 — 5x ! -j- 5y — 5 110 (10y + 5x)) —llx(3y + 2x) + 95 = 0 f3x2+4y2=l/2-|-10y-|-x /x2+y2— 4x=^— 2xy l|x2+y8-(y-x)=V2+ty ’ 12 (x + y)2 — 2y = /x2 + 4xy -|- 4y2 = x —|— 7y —|— 1 l(x + 2y)! (4x — y) = 3 : (x + 2y) s4x2 -j- 12y2 -|- 10xy — 36 — 16x l6x2 -j- 18y2 -j- 15xy — 3x -j- 27y.

/(x —y)2+x — y = 2 29) l4x2 — 7y2 — 1

„Os /3x+6y-(x+2y)2=-70 ' Ixy-|-x-j-y = 19

Unbekannten in arithmetischer Sprache. § 33.

/(x+y-l) (x+y-2)=30 31) t(x4-4y—15)2 — x—y 33)

* + 1 = 56 y2 1 y

32)

139

+ - = 2 X 1 y —x—2y x + 2y---— 5=11 9 J

x=3y4~2x3— 5 x y—12

34)

X3 + 10y3 = 8x + 3 35) 37)

4« —-s-2 • — = 9 y

36)

x

x2 + y2 — x — y = 22 s2x3 — 3xy — 2y2 — 0 lx2+7x=30y+(x-2y)2

y + 1 ~*~y + 2 x2+ 7y2 — 8xy

2y _ 1 x

x2 — y2 = 1 + xy 14x3 -|- 5xy — 9y2 38) t(3x-2y)2+(4x-3y)3=x+y

x + 1 . x + 2 __ 7

39)

3x y

40)

xä4-4xy — 9y2 _ 19 2x24-3y2 + 6xy

(x+y+4) (x-2y+l)=16.

2 +y2 = 25 42x sx2 - y3 = 16 43) sx3+xy=84 41) /x (xy — 12 ' (xy = 15 ly3-j-xy=112 Ix2 + xy + y3 = 37 4^> (x8 -|- y2 -|- x y = 58 44) \(x —y)2 + 2 (y—x)=3 ' (2x2-|-2y2-|-3x-|-3y'=121 sx + y + xy = 3 |x + xy + y = 19 46) x + ^ = i + ± (x3 + x2 y2 + y2 = 169 48) /(x + y)2 + x + y = 2xy + 8 t(x2 + y2)2 + 3 (x2 + y2) (x + y) = 21 (x + y) + 7 /x + y + xy + x2 + y2 = 24 49) 12x (1 + x) + 2y (1 + y) + 3xy = 54 sx4+y4+ 2x2y2—xy=97 &n = 82 50) l7x3-4xy + 7y2 = 58 °1} |y + y = ^ + 3 52) {:X==672

{:_ftt5654) y+cr

55) {r+cr7n?=5 75 «> cxr11

/x+y = 5 59) (x5+y5=4(x3+y3) l(x3+y3)(x2+y2)= 1105 ’ (x + y = 4 tx4-j-y4-j-x3y2—133 ßn )x5-)-x3yä4-xäy3-|-y5=l 105 60) (x2-j-y2-j-xy= 19 ’ Ix-s-y —5.

58)

'J'J>' lAr __ I , f O\2 -----------------------c l(x-y+8) 2+(x+y+2) 2=90

69)

‘

‘ "4-y4=31(x2+xy+y2)

70) /(2x-3y)(2x—y)——12 f3x2-7xy+4y2=-l ' l(2x—3y) (y — 3x)=30 ’ l2x2-|-xy— 3y2 —22 72) /4x2—5xy —6y2=3 1S] ix2->-2xy—3y2——7 **>

l«v2J-9vv-1 _LHx,2

___ 1K

,O>

74,'j /xy(x+y)+xy+x2=—8' 75) =3

sx»+y» = 1025 ' Ix4-|-y4 = xy(x2-j- y2) — x2y2 lj lx2_xy+y2=21

205.

"2' (10(l+|)(|-l)=-21

77 ) /5x3+x8y+5xy2+3y3 = 3 8 I3x34-x2y-|-4xy24-2y3=2

?? . ix’ — y3 = 91 4 txy(x—y) = 30

Die Auffindung der Methode ist dem Schüler überlaste«.

’*> e±Xt87

{g=?T=rt «o) erj 81) px+7y=xy+15 »») /x!y = 3;5 ' l0,4x+0,5y = xy-0,6 1 lx2+y2 = 136

Unbekannten in arithmetischer Sprache.

§ 33.

141 1

1-—=-

gg) /(x 16)2—(y—8)=604 89) L —5 ry —4 5 } lx-y = 28 Jö=xy—5y—4x4-20

92)

x + y I x(x + 2y) + y* _ 7 x — y^yfr — 2x) + xs x 2y y x —1

s2x2 -|- 2y2=56 4~ 2xy 94) tx s4-ys = 224

96) 98) 100)

102) j

y_ x

x y

90) f[(x+4)2-(y+5)2](x-y-l)=288 U—y=2

)

x+y 12

xy —24

x+2 y— 2 93) x+2 ly+2

. 1 . 1

y+2 X—2 y—2 X—2

11 2 11 6

... |x44-x2y24-y4 = 21 |y+i = 2'5

sx2 — y2 = 7 (x — y) 97) /x24-x4-l=H(y2+ y+1) j lx2-|-y+i=Ä(y2+ x+1) lxy(x24-y2)=300 sx24-y24-xy(x4-y)=56 99)(x3+^3 = 7(x+^ ’ Ux24-4y2=9(x-y)4-22 Ixy4-x4-y = ll . (i"Hr) +4x4-3y=28 101) /5x2 = 21x — 4y 1 l5y2=21y—4x x2 4~ 2xy 4~ 3y2 = 81 (9x2-y24-3x—y=0 103) /x3-8y3=x2-4xy+4y2 l(x4-2)(y-5)+3=0 lx4-y=i

104) (2x24-xy—y2=ll ’ )2x2—2y24~3xy=16

x3_|_2y3__

105) 7+y-:x2+2y2-i x2y2=l.

Die Unbekannten stehen «nter Quadratwurzelzeiche« |x —y = 5(Vx —Vy) 10?) (x+y+^+y = 6 106) 1U q ist,

wenn p < q ist,

m) 2® • 5® = (2 • 5)8, aq.bq = (a.b)q, IV) 2® : 5® = (2 :5)®, aq: bq = (a: b)q;

||| J Va) (2®)* = 2®* *, (ap)q = aq-p, ( Vb) (2®)4=(24)3, (ap)q = (aq)p.

70 = 1, a« = 1.

Der Exponent ist pofitiv ganzzahlig. 1) Was bedeutet a) IO10, b) (a2)“, c) ab + c, d) (a—b)5q? 2) Schreibe die (p + q) te Potenz von a4-b — c. 2j) Entspricht dem Exponenten einer Potenz der Multiplikandus oder der Multiplikator eines Produkts? 3) Jemand soll a mit a multiplizieren, das Produkt wieder mit a multiplizieren, und so fortfahren, bis er im ganzen n — 1 Multiplikationen ausgeführt hat. Wie kann er das Resultat mit nur zwei Buchstaben schreiben?

§ 35.

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten.

§ 35.

151

4) Es ist 10“ _1 $a< 10“, wenn a eine n-ziffrige Zahl ist. Warum? 5) Warum hat die zweite, dritte u. s. w. Potenz einer be­ nannten Zahl keinen Sinn? 6) Man teilt eine 11cm lange Strecke in zwölf gleiche Teile, teilt dann jeden Teil wiederum so ein, und fetzt diese duo­ dezimale Teilung fort, bis sie xmal geschehen ist. a) Wie­ viel kleinste Teile hat man dann? b) Wie groß muß x sein, damit ein solcher Teil kleiner als 1 mm wird? 7) Berechne: a) den Kubus von lf, b) die fünfte Potenz von fünf, c) 039, d) l48, e) 431. 8) Berechne: a) (— l)1, b) (—l)8, c) (-1)3, d) (— l)8, e) (— l)29, f) (-1)407, g) (-l)2", h) (-l)a“ + 1, i) (—l)2n_1, wo n eine positive ganze Zahl bedeutet. 9) Berechne: a) (-2)9, b) (-3)4, c) (—10)12, d) (-£)», e) (-0,1)«. 10) Bilde eine Regel über die Bestimmung des Vorzeichens bei dem Potenzieren einer negativen Zahl. 11) Vereinfache: a) (V2)8“, b) (VÖ^)4p, c) (Va)äp + 2q. 12) Berechne: a) (V^l)4, b) i5, c) i13, d) i15, e) i42, f) i8723. 13) Vereinfache: a) i4n, b) i4n + 1, c) i4n+2, d) i4n+3, e) 111 1 f) |4n + 1'

{In+’ä'

^) j4n + 3*

14) Warum ist a“ + 1 > a“, wenn a > 1 ist? 15) Warum ist a“ + 1 < a“, wenn a -< 1 ist?

16) Da Gleiches, mit Gleichem multipliziert, Gleiches giebt, so gilt auch der Satz, daß Gleiches, mit Gleichem potenziert, Gleiches giebt. Welcher Bedingung müssen aber die Basen unterliegen, damit auch der Satz richtig sei, daß Größeres mit Gleichem potenziert, Größeres giebt? 17) Welches Vergleichungszeichen ist zwischen a21“ und b2m zu stellen, wenn m eine ganze Zahl und a positiv und kleiner als b ist ? 18) Um wieviel ist a3 größer als b3, wenn a um p größer ist, als b? 19) Ist es möglich, sich den Exponenten n in 2“ so groß zu denken, a) daß 2“ > 1'000000 wird, b) daß 2“ größer

152

8 35.

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten.

§ 35.

als jede noch so große Zahl wird, c) daß (|)n kleiner als jede noch so kleine Zahl wird? 20) Welches Zeichen darf man für a” setzen, a) wenn a > 1 ist? b) wenn a< 1 ist? (vgl. Nr. 19). 21) Substituiere in die diesem Paragraphen vorangestellten Formeln: a) a — 24, b = 6, p = 3, q = 1, b) a = f, b = 5, p = 5, q = 2, c) a = 0,2, b = — 1, p — 2, q — 1, d) a — V2, b = 5, p — 4, q — 2, e) a = V—1, b = 2, p = 6, q = 4, f) a = 34-V5, b = 1/5 — 1, P = 4, q = 1 22) Welche Formel kann man so übersetzen: „Statt eine Zahl mit einer Differenz zu potenziern, kann man die Zahl auch mit dem Minuendus und mit dem Subtrahendus potenzieren, und die aus dem Minuendus hervorgegangene Potenz durch die aus dem Subtrahendus entstandene Potenz dividieren?" 23) Übersetze die Distributionsgesetze und die Associationsgesetze

der Potenzierung: a) vorwärts, b) rückwärts. 24) Suche in § 10 die Formel, weiche a) der Formel I, b) der Formel III dieses Paragraphen entspricht. 25) Die Formel Ila) dieses Paragraphen ist analog der Formel II in 8 10. Welche Formel ist hier analog der Formel ma — pa = — [(p — m)a] »o p>m ist? 26) Suche in § 27 die Formeln, welche von den hier mit III und IV bezeichneten Formeln spezielle Fälle sind. 27) Beweise die Formeln I bis Vb) aus der Definition der Potenzierung. 28) Beweise die Formel IV aus der Definition der Division mit Benutzung der Formel III. 30) Es giebt nur zwei verschiedene, positive, ganze Zahlen, für welche ab gleich ba ist. Welche sind es? 31) Womit muß man 220= 1'048576 multiplizieren, um 22S zu erhalten? Berechne: 33) (4 —3 • 2) *+3 *2—210»510 32) 2.35 + (2.3)5—25-3 35) (32—23)4+42+4’ 34) 444-33-(3.12s:62) 37) (l|)s — [(22>5 + 5):7’]2 36) [53 — 722-2—22]“ 39) (43 + 4);(34—43) 38) (75 — 25): (7 — 2) 41) 344~43—(—3)4—(—4)3. 40) (_3)°-(-2)b

Die Ausdrücke von Nr. 42 bis Nr. 100 sollen den Potenzgesetzen unterworfen und möglichst vereinfacht werden:

42) a8«a2«a5 45) 45p5« p7:9p11 48) dxd 51) a3p4-4q ap —3q fln + x b-

54)

55>

43) an*a4;a6:a3 44) 46) av • aw 47) 49) e5xe22x; (e12xe13x) 50) 52) a4x;a3x-1«a5x_1 53) bp+3 » l IV) Va : Vb — Va:b.

118) Welche Ungleichung muß n erfüllen, damit On: a) gleich null ist, b) unendlich groß wird? 119) Welche Zahlenwerte durchläuft x-4, wenn x alle Werte von 1 bis 0 durchläuft? 120) Entferne die negativen Exponenten aus den Ausdrücken:

121) Berechne: a) i_1, b) i~2, c) i-3, d) i-4, e) i-15, f) i-4n+1, g) i-«n+i), h) i—wo i die imaginäre Einheit ist. Bei den folgenden Ausdrücken soll man die Potenzgesetze anwenden; es ist oft nicht nötig, die negativen Exponenten vorher zu entfernen; schließlich aber thue man dies im Resultate:

122) b2p_1: b—1 -|” c3q-4: c-4; cq 124) (fa-2b5c-6)(2ja2b-5c6)

123) (a:b)~3a_2b_1 125) (a3 b4)~2: (a_3 b4)-3

127) 128) 129) 131) 133) 134)

(4abc-1+3a2b-1 c°)! a-1 b*1 c“2 (3 ps —|— 4p-2) (p2 —|— p~2) 130) (a 3—b 3): (a_1-]-b-1) (5a+6+3a-!)(2a-1 -a“1) 132) (a-*» -1): (a^-j-l) (a2r-J-ar b“s —6b“2s):(ar — 2b~s) [(a-2F6]3+[(a+3)-1]”4 135) [(a-4)3]_3+ [(a-‘)-2]13 Löse die Gleichungen (§ 28):

136) x + 12x-! = 7 137) (x + l)-2 = (37-3x) -1 138) 1 + 25x—1 + (J^x)-2 = 0 139) (4 + 7X-1) (3 - 5X-1) = 11-5 (x“1)2. § 36. Wurzeln. (Rergleiche § 27.)

Erste Defi«iti»nSformel: I)

Zweite Definitionsformel: II) l'a» = a.

(III) l/a-Vl)—Va.b, BerteilnngSformel«: < »_ •> » l IV) Va : Vb — Va:b.

§ 36.

156

Wurzeln.

§ 36.

p

/p

V)

Berbindungsformeln:

, p

1/5 pq_ . VI) Vy^=Va. np

P

Kürznngsformelr VN) l/a™i — 1/a«.

— a, auch

wenn a keine nte Potenz ist.

Beispiel für die Kubikwurzel-Ausziehung. Ausführlich: Abgekürzt;

3

3

1/103823 = a + b, 64000 = a3 wo a = 40 39823 b= 7 3a2 = 4800) 33600 = 3a2b wird. 5880 = 3ab2 343 = b3 39823 = 3a2b+3ab2+b3

1/103'823 = 47. _64 398'23 48)336 588 343 39823 m

m

4 1) Was bedeutet: a) V81, b) Va, c) Va, d) Va-f-b?

2) Schreibe a als Produkt von fünf gleichen Faktoren. 3) Wie kann man eine Zahl schreiben, die, mit v potenziert, w giebt? 3t) Wie schreibt man den Wert von x, bei welchem xv = w ist? 3z) Wie hängt die Bezeichnung „Wurzel" im Sinne dieses Paragraphen mit der Bezeichnung „Wurzel" für einen Wert der Unbekannten einer Gleichung zusammen? 4) Drücke die folgenden Wahrheiten so aus, daß links ein Wurzelzeichen steht: 32 = 9, b) 23 = 8, c) 123 = 1728, d) (Ob = ML, e) (- 2)6 = + 64, f) l3 + 23 = 32, g) (1 + V2)4 = 17+12 V2. 3

5) Prüfe durch Potenzierung, ob richtig ist: a) 1/216000= 60, 5

b) 1/4 = 1, c) V — 3125 = — 5, 20 n e) VT = 1, 0 1/0=0.

1

d) V200 = 200,

§ 36.

Wurzeln.

§ 36.

157

6) Berechne die ersten bis fünften Potenzen der ganzen Zahlen von 1 bis 5 und entnimm jedem Resultate eine Gleichung, auf deren linker Seite eine Wurzel steht. Vereinfache mit Benutzung der beiden Definitionssormeln der Radizierung, aber ohne Benutzung der andern Formeln der Radizierung: 4 5 7 6 x

8) Va7-|-V(a—b)6

7) Va4— Va5 n

n

9) a : (VäTb)2 ; Vb x n

10) (Vap bq • Vab)n : (ap bq)

n

11) (Va3 — b3 : Va — b)n" —n_

—3

12) Was bedeutet: a) V125,

b) Va?

13) Merke die ersten Potenzen von 2 und berechne mit ihrer —5

—3

4

Hilfe: a) V1; 8, b) V32, —n

—4

—10

c) V256 V16, d) V1:

n

14) Warum ist Va — V1; a? —3

15) Schreibe

mit

positivem Wurzel-Exponenten: —5

—1

b) Viöö,

a) V|f|,

—2

c) VFFb, d) V0,01.

16) Welche Regeln entsprechen bei den Operationen erster und zweiter Stufe der Regel: „Potenzierung und Radizierung mit demselben Exponenten heben sich auf" ? 17) Betrachtet man bei der Ableitung der Radizierung aus der Potenzierung die Basis oder den Exponenten als Unbe­ kannte? 18) Da a-s-b — b-s-a ist, so folgen aus a + b = s zwei Differenzen, nämlich s — a — b und s — b = a. Ebenso folgen aus a«b — p zwei Quotienten, nämlich p:a — b und p: b = a. Warum kann man nun nicht auch aus b

ab = r außer VF = a noch eine zweite Wurzel ent­

nehmen? 19) Warum muß die Potenzierung noch eine zweite von der Radizierung wesentlich verschiedene Umkehrung haben? (Vgl. § 38.) 20) Sprich die Formeln III bis VII in Worten aus, a) vor­ wärts, b) rückwärts gelesen. 21) Ist die Formel III bewiesen, wenn man zeigt, daß \n

Vb/ — ab wird?

§ 36.

158

Wurzeln.

§ 35.

22) Beweise die Formel IV: a) durch Anwendung der Definition derRadizierung und einer passenden Potenzierungsformel, b) durch Anwendung der Definition der Division und der Formel III. 23) Welche Formeln aus § 35 müssen beim Beweise der Formeln V bis VII zur Anwendung kommen? 24) Warum darf man die Anwendung der Formel VII von links nach rechts „reduzieren" oder „heben" und die An­ wendung derselben von rechts nach links „erweitern" nennen, n

n

25) Sprich aus und beweise die Formel V1; a = 1 *.Vä. 26) Welche Formel kann man in Worten kurz so aussprechen: „Es ist gleichgültig, ob man erst potenziert und dann radiziert, oder ob man erst radiziert und dann potenziert?" Bringe den Faktor unter das Wurzelzeichen, d. h. verwandle nach n

n

dem Schema aVT=l/äöb in eine Wurzel:

27) p2 v?

30)

K

29) (p-q) V(p-j-q): (p-q)

28) ab VTT(^b)

«) (• + *) K-+3a4 + L-+b-

V55

= aVm:

Verwandele nach dem Schema: 3

n7

33) Van + 1 bn +2 c“ +3

32) V23a4b 4

4

4

35) Vä®P + Vä^b15 — VFäb5 4

37) V^M4*58

34) Va7b2(a4+b4)

5

36) V25«310»515

5

8

38) V16.6-81

39) V1024.192.81.27.

Verändere durch Anwendung der Formel IV: 7

7

m

41) (b + c) : V(b+c)m-4.

40)

Vereinfache durch Anwendung der Formeln V und VI:

42)

V(a2-|-2ab + b2)3

44)

Vk

47)

43) V(16a4b4)8

45) Vh»

46> Vvk

48) fe

49) Vk. Vk

§ 36.

159

§ 36.

Wurzeln.

Berechne auf kürzeste Werse: 5

3

5 -| /

7

4

50) M, 51) V323, 52) V(^)3, 53) V100000006, 54) V V1024’. Bringe auf den kleinsten positiven Wurzelexponenten (F. VII): 2p

6

32

12

8

55) Vä5, 56) Vp35, 57) V(a+b)2\ 58) Va3^, 59) Vc3^ 60)

61) Vä15,

Vä355,

62) Vp1^,

63) ^+^+7

Bringe auf den Wurzel-Exponenten 72 (F. VH umgek.): 6

4

3

8

12

64) Va2 65) Va3 66) VaJb 67) Va3b5:cd 68) VäVc-2d°. Um Brüche mit ungleichen Nennern addieren oder subtrahieren zu können, hat man sie zunächst auf gleichen Nenner zu bringen. Ebenso hat man Wurzeln mit ungleichen Wurzel-Exponenten, um sie multiplizieren oder dividieren zu können, zunächst auf gleichen Wurzel-Exponenten zu 6

14

42

42

42

21

bringen, z. B.: ]/a6 ]/a® — ]/a35 ]/a27 — ]/a62 — aVa10.

Verändere in

derselben Weise: 4

6

8

10

70) Vä? Va3 Va?

72) Vp Vq

73) Vp3 q3l/pnq

4 6

8

71) l/ä^iVä3 6n

12

27

75) ]/| 1/|

12

20

69) Vp? Vp“

9n

74) Vabc Va8b7c6 77) i/f VS: VS-

76)

Verwandele in eine Wurzel, deren Radikand eine Potenz oder ein Produkt von Potenzen ist, sodaß die Basis jeder Potenz ein Buchstabe ist:

Krö

78)

79)

V„«vs

80)

7

1/

|/ y-TV pFqVP 4

&

81) V a3bVab7

82)

84)

83)

a2l/ä~3Vab

85) 3

86) Warum ist Va34~b3 nicht gleich a-]-b? 87) Was muß man zu a3-|-b3 addieren, damit die erhaltene Summe, mit 3 radiziert, a-]-b gebe? 8 Wenn a und b positive Zahlen sind, so ist a-|-b>Va3+b3. Warum? Kann man durch Anwendung der Formel VII das Wurzelm m zeichen fortschaffen aus: a) V(a -|- b)2“, b) Va2m b2m?

90) Warum braucht weder der Wurzel-Exponent noch der Radikand in eine Klammer eingeschlossen zu werden? 91) Welches Operationszeichen darf man vor dem Wurzelzeichen fortlassen? 92) Welcher von den folgenden Zahl-Ausdrücken hat nach der ursprünglichen Definition der Radizierung keinen Sinn: 4

724

24

5

a) VjC

c) Vß4\

b) V"5,

\4

d) 11/64/ ,

—2

e) V4,

f) VIX g) VI? 93) Gieb die positiven ganzen Zahlen unter 100 an, welche man 2n_

sich unter a vorstellen darf, damit Va nach der ursprüng­ lichen Definition der Radizierung Sinn hat, wenn n eine positive ganze Zahl ist. Berechne a) ausführlich, b) abgekürzt: 3

3

3

3

94) V50653; 95)V314432; 96)V4019679; 97)V32157432 3

3

3

98) V582182875 99) Vö 870 966 464 100) V97,336

101) V6M7336 102) V(23-|—8)1728 103) V^w 104) Damit ein Dezimalbruch eine dritte Potenz sei, muß die Anzahl seiner Stellen durch drei teilbar sein. Warum? 105) Suche die nächst kleinere Kubikzahl zu: a) 4789, b) 57828, c) 1800, d) 473722, e) 34567234, f) 5755555. Bestimme die ganze Zahl x, für welche richtig wird:

106) x3 f° erhält man _L_ J_ J_ + i y — zz_\ also x — zz_1» z — zz_1 — zz_1. Um

hieraus rationale Werte zu erhalten, setze man v — Dann kommt x = (1 + v)v+\ y = (1 + v)v- Hieraus ergiebt sich z. B>, wenn man v = 2 setzt, x — (y)3 — ”, 9

27

97

y=(4)2 = z- In der That ist (?)< = (->)< = Prüfe ebenso die Werte, welche sich aus: a) v=l, b) v=3, c) v — 4, d) v = — 3 ergeben.

§ 38. Logarithmen. Erste Definitionsformel: I) fei®5 “ = a, oder:

ES sagt log a = n ans, daß b” = a sei« soll. Zweite Definitionssormel: II) log(bn) — n; Speziell: log b = 1, logl — 0. HI) log (pq) = log p + log q, IV) log (p: q) = log p — log q; m i Va) log (p”) — m - log p, Vb) logVp — mlogp; Via) log a VIb) loga=-L*°8 b

logb

Definition. 1) Was bedeutet: a) log 216, b) log 210, c) logw?] 2) Schreibe mit Benutzung des Zeichens log: a) 5* — 625, b) 10»= 100000, c) (|)2 = g, d) (I)1 = |, e) 4-1 = 1,

f) (0,0016)1 = 0,008, g) (0,0016)-! = 125, h) p-“ = q, 5

13__

—4

i) 1/32 = 2, k) V1 = 1, 1) V16 = |. 3) Schreibe in Potenzform: a) log 81 = 4, b) log 512 = 9,

c) log 0,343 = 3, d) log 2 = 0,5, e) log

— — 3,

woraus yz = yz geschlossen werden darf.

Dividiert man

nun durch y und potenziert dann mit ~Zi> f° erhält man _L_ J_ J_ + i y — zz_\ also x — zz_1» z — zz_1 — zz_1. Um

hieraus rationale Werte zu erhalten, setze man v — Dann kommt x = (1 + v)v+\ y = (1 + v)v- Hieraus ergiebt sich z. B>, wenn man v = 2 setzt, x — (y)3 — ”, 9

27

97

y=(4)2 = z- In der That ist (?)< = (->)< = Prüfe ebenso die Werte, welche sich aus: a) v=l, b) v=3, c) v — 4, d) v = — 3 ergeben.

§ 38. Logarithmen. Erste Definitionsformel: I) fei®5 “ = a, oder:

ES sagt log a = n ans, daß b” = a sei« soll. Zweite Definitionssormel: II) log(bn) — n; Speziell: log b = 1, logl — 0. HI) log (pq) = log p + log q, IV) log (p: q) = log p — log q; m i Va) log (p”) — m - log p, Vb) logVp — mlogp; Via) log a VIb) loga=-L*°8 b

logb

Definition. 1) Was bedeutet: a) log 216, b) log 210, c) logw?] 2) Schreibe mit Benutzung des Zeichens log: a) 5* — 625, b) 10»= 100000, c) (|)2 = g, d) (I)1 = |, e) 4-1 = 1,

f) (0,0016)1 = 0,008, g) (0,0016)-! = 125, h) p-“ = q, 5

13__

—4

i) 1/32 = 2, k) V1 = 1, 1) V16 = |. 3) Schreibe in Potenzform: a) log 81 = 4, b) log 512 = 9,

c) log 0,343 = 3, d) log 2 = 0,5, e) log

— — 3,

§ 38.

168

Logarithmen.

§ 38.

f) logU = - i, g) log (a2) = 2, h) log (25“) = 2n, 1) £*= I4) Welches sind für die Basis 3 die Logarithmen von: a) 9, b) 27, c) 3, d) 729, e) 1, f) |, g) fr, h) Vä,

i) V9,

k) VÄ?

5) Welches sind für die Basis 0,4 die Logarithmen von: a) A, b) 0,064, c) 2,5, d) 39iV, e) 11 39A? 6) Welches ist bei der Basis i der Numerus zu: a) 2, b) 8, c) - 4, d) 1, e) 0? 7) Bei welcher Basis ist richtig: a) log 64 = 8, b) log 64 — 4, c) log sV — — 2, d) log f — 3-|, e) log 1—0? 8) Vereinfache mit Benutzung der Definition der Logarith­ mierung:

a) log (pm),

d) log [(a3)5],

c) log (a3 • a5),

b) log (ap + 9),

e) blog(p + ll) — blogp,

f) (Ka)lpgc.

9) Wie müßte man a) (— 4)2 = -s-16, b) (— 4)3 — — 64, c) (— 1)_1 — — 1 logarithmisch schreiben, wenn man auch negative Logarithmen-Basen betrachten wollte? 10) Warum kann log (—16) nicht reell sein?

11) Warum hat a) log 1, b) log 0 unzählig viele Werte? 12) Warum ist log a — oo? 13) Gieb rationale Zahlen an, deren Logarithmen auch rational sind, wenn die Basis a) 2, b) |, c) 10, d) 0,2 ist. 14) Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt:

a) log 7,

b) log 200,

c) log 0,002 ?

15) Entscheide, ob rational oder irrational ist:

18

a) log 324,

b) log 27, c) log 500, d) log 3|.

16) Es ist IO10 < ll10 < IO11. Gieb hiernach für log 11 zwei Grenzen an, die sich um V« unterscheiden. 17) Die Zahl 3100 liegt zwischen 1047 und IO48. Berechne hiernach den dekadischen Logarithmus von 3 auf zwei Dezimalstellen. 18) Die Zahl 15100 wird dekadisch mit 118 Ziffern geschrieben. 10

Berechne hiernach log 15 auf 2 Stellen.

§ 38.

Logarithmen.

§ 38.

19) Es ist 75 = 16807, ferner 214 = 16384. 7

169 Schließe hier-

2

nach a) log 2, b) log 7 in zwei möglichst nahe Grenzen ein.

d) Wenn b