Sammlung von Lehrsätzen, Formeln und Aufgaben aus der gewöhnlichen Rechenkunst, Mathematik und Physik: Teil 3 Sammlung von Lehrsätzen, Formeln und Aufgaben aus der ebenen Geometrie, analytischen und ebenen Trigonometrie, ebenen Polygonometrie, Stereometrie, sphärischen Trigonometrie und sphärischen Polygonometrie [Reprint 2021 ed.] 9783112436646, 9783112436639

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Sammlung von

Lehrsätzen, Formeln und

Aufgaben aus

der gewöhnlicher! Rechenkunst, Mathematik und Physik von

Dr. I. Ootz, Professor der Mathematik und Mitglieds mehrerer gelehrten Gesellschaften.

Dritter Theil.

Berlin. Druck und Verlag von G. Reimer.

1843.

Sammlung von

Lehrsätzen, Formeln und

Aufgaben aus

der ebenen Geometrie, analytischen und ebe­ nen Trigonometrie, ebenen Polygonomettie, Stereometrie, sphärischen Trigonometrie und sphärischen Polygonomettie von

Dr. I. Götz, Professor der Mathematik und Mitgliede mehrerer gelehrten Gesellschaften.

Nebst 12 Figurentafeln.

Berlin. Druck und Verlag von G. Reimer.

1843.

Inhalt.

I. Lehrsahe, Formeln und Aufgaben aus der ebenen Geometrie. Erstes Kapitel. Von den Grundbegriffen der Geometrie...........................................

Seit« 3

Zweites Kapitel. Von den Winkeln............................................................................

5

Drittes Kapitel. Von der Congruenz der Dreiecke.....................................................

6

Viertes Kapitel. Von den Parallellinien...................................................................

8

Fünftes Kapitel. Von einigen Eigenschaften der Dreiecke...........................................

10

Sechstes Kapitel. Von einigen Eigenschaften der Parallelogramme und Vierecke ...

12

Siebentes Kapitel. Von der Gleichheit der Parallelogramme und Dreiecke und von ei­ nigen hierher gehörigen Sätzen................................................

Achtes Kapitel. Von der Inhaltsbestimmung der Parallelogramme, Dreiecke und Trapeze

15

3 n h a I t.

VI

Seite

Neuntes Kapitel. Von der Proportionalität der Linien und einigen hierher gehörigen Sätzen......................................................................................................

20

Zehntes Kapitel. Von der Achnlichkcit der Dreiecke und Vielecke.................................

22

Elftes Kapitel. Vom Kreise....................................................................................

24

Zwölftes Kapitel. Von einigen einfachen rein constrnctioncllcn Aufgaben.......................

33

Dreizehntes Kapitel. Do» einigen znsammcngcsctztcil rein constructioncllcn Aufgaben

.

.

45

Von einigen geometrisch-algebraischen Ausgaben..................................

56

Vierzehntes Kapitel. Fünfzehntes Kapitel. Von einige» Constructioncn algebraischer Formeln..................................

77

Sechzehntes Kapitel. Von mehreren UebungSsatzen aus der ebenen Geometrie

....

87

Siebzehntes Kapitel. Von mehreren vermischten constructioncllcn Aufgaben.............................. 100

Achtzehntes Kapitel. Von mehreren vermischten geometrisch-algebraischen Aufgaben.

.

.

109

II.

Formeln itnb Lehrsätze aus ber analytischen Trigonometrie. Erstes Kapitel. Bon den trigonometrischen Formeln............................................................... 119

Zweites Kapitel. Bon mehreren vermischten UebungSsatzen aus der analytischen Trigo­

nometrie

................................................................................................

131

Inhalt.

Vll

III.

Lehrsätze und Aufgaben aus der ebenen Trigonometrie. Seite

Erstes Kapitel. Von einigen wichtigen Lehrsätzen und einfachen Aufgaben

....

141

Zweites Kapitel. Von den zusammengesetzten trigonometrischen Aufgaben............................... 150

Drittes Kapitel. Von

einigen in

der

Fcldmcßkunst

vorkommendcn trigonometrischen

Aufgaben....................................................................................................

167

Viertes Kapitel. Von einigen vermischten Aufgaben und Nebungssatzcn auö der ebenen

Trigonometrie......................................................................................................174

IV.

Lehrsätze uud Aufgabe« aus der ebenen Poiygonometrie. Erstes Kapitel. Von einigen allgemeinen pvlygonometrischen Sätzen ......

181

Zweites Kapitel. Von einigen speziellen pvlygonometrischen Aufgaben..................................... 183

Drittes Kapitel. Von einigen in der Fcldmeßknnst vorkommenden polygonometrischen

Ausgaben............................................................................................................194

Viertes Kapitel. Von einigen vermischten Uebungöanfgaben aus der Polygonometrie

201

V. Lehrsätze nnd Aufgaben aus der Stereometrie. Erstes Kapitel. Von der Lage der Linien und Ebenen gegen einander............................... 207

Inhalt.

VIII

Zweites Kapitel.

Seite

Von den körperlichen Dreiecken und Vielecken............................................. 212

Drittes Kapitel. Von einigen wichtigen Eigenschaften der Prismen, Cylinder, Pyrami­

den und Kegel

.......................................................................................... 215

Viertes Kapitel. Von einigen wichtigen Eigenschaften der Kugeln und regulären Körper

220

Fünftes Kapitel. Von der Gleichheit der Prismen, Cylinder, Pyramiden und Kegel

.

223

Sechstes Kapitel. Von der Oberflächen- und Inhaltsbestimmung der Prismen, Cylinder, Pyramiden und Kegel.......................................................

224

Siebentes Kapitel. Von der Oberflächen- und Inhaltsbestimmung der Kugel und der re­ gulären Körper...........................................................................................228

Achtes Kapitel. Von einigen stereometrisch-algebraischen Aufgaben................................... 233

Neuntes Kapitel. Von einigen vermischten UebungSsätzen aus der Stereometrie

.

238

.....

242

Von einigen vermischten stereometrisch-algebraische^ Aufgaben ...

243

.

.

Zehntes Kapitel. Von einigen stereometrisch-constrnctionellen Aufgaben

Elftes Kapitel.

VI. Lehrsätze, Formeln und Aufgaben aus der sphärischen Trigonometrie. Erstes Kapitel. Von einigen wichtigen trigonometrischen Formeln........................................ 253

Zweites Kapitel. Von den wichtigste» Aufgaben aus der sphärischen Trigonometrie.

.

254

Inhalt.

Drittes Kapitel.

IX

Seite

Von einigen vermischten einfachen Aufgaben aus der sphärischen Tri­ gonometrie

........

267

Viertes Kapitel. Von einigen zusammengesetzten Aufgaben aus der sphärischen Trigo­

nometrie

....................................................................................................... 269

Fünftes Kapitel. Von einigen in der Feldmeßkunst vorkommenden sphärisch-trigonome­ trischen Aufgaben...................................................................................... 279

Sechstes Kapitel. Von einigen Aufgaben aus der sphärischen Polygonometrie....

287

Siebentes Kapitel. Von einigen siereometrisch-trigonometrischen Aufgaben............................. 291

Druckfehler im 2teu Theile. Seite 20 Zeile 22 27 27 27

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Druckfehler im 3ten Theile. Seite 19 Zeile 3 v. o. statt □ lies - 32 - 4 v. o. - die verlängerten und die 3te Seite, lies der verlängerten und d e r 3 t e n Seite - 97 15 v. o. - Durchmesser lies Halbmesser.

In Fig1. 29. der 2ten Tafel der Stereometrie fehlen die Linien EG, FH und AC. Auch wird daselbst der Schneidungspunkt von EG und FH durch P, und der Durchschnittspunkt von den ^aus A und II gezogenen Linien durch R bezeichnet.

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In Fig1. 29. der 2ten Tafel der Stereometrie fehlen die Linien EG, FH und AC. Auch wird daselbst der Schneidungspunkt von EG und FH durch P, und der Durchschnittspunkt von den ^aus A und II gezogenen Linien durch R bezeichnet.

Lehrsätze, Formeln und Aufgaben aus der

ebenen Gepmeteie.

Erstes Kapitel. Von den Grundbegriffen der Geometrie.

Möoburd) werden die Körper, die Flächen und die Linien begrenzt? Wie viele Ausdehnungen hat der Punkt, die Linie, die Flache und der Körper? Was heißt eine gerade und was eine krumme Linie? Wann wird eine Fläche eine ebene Fläche oder Ebene, und wann eine krumme Fläche genannt? Wann heißt eine Linie einfach und wann doppelt gekrümmt? In welchem Falle heißt die Linie und Fläche be­ grenzt und in welchem unbegrenzt? Wann schneiden sich zwei gerade Linien und was versteht man unter dem Schneidungspunkte derselben? Wann schneiden sich zwei Ebenen, und welche Linie wird ihre Durchschnittslinie genannt? Wie viele gerade Linien gehen durch 2 Punkte? Wie viele Ebenen lasten sich durch 3 nicht in ge­ rader Linie liegende Punkte legen? In wie vielen Punkten können sich zwei gerade Li­ nien schneiden? Welche Form hat die Durchschnittslinie zweier Ebenen? Wann liegt eine gerade Linie ganz in einer Ebene? Was heißt ein ebener Winkel oder blos ein Winkel? 1 *

Was versteht man unter -em Scheitel und den Schenkeln eines Winkels? Was heißt ein gelegter oder gestreckter, ein hohler und ein erhabener Winkel? Was versteht man unter einem rechten, spitzen un­ stumpfen Winkel? Wann steht eine gerade Linie auf einer andern senkrecht und wie wird dies bezeichnet?

In welchem Falle steht eine gerade Linie auf einer andern schief, und welche Winkel werden schiefe ge­ nannt? Wodurch wird ein Winkel im Allgemeinen, und der gestreckte und rechte Winkel im Besondern bezeichnet? Was heißt eine gebrochene Linie, und wann wird dieselbe einfach und doppelt gebrochen genannt?

Was nennt man Supplements- oder Nebenwinkel, Complementswinkel, Vertikal- oder Scheitelwinkel, Ge­ genwinkel, äußere und innere Winkel, und äußere und innere Wechselwinkel? Was heißt ein Dreieck? Was versteht man unter den Seiten und Ecken des Dreiecks; und wodurch wird das letztere bezeichnet? Was nennt man ein Viereck, Fünfeck oder neck? Was sind Figuren im Allgemeinen und ebene Fi­ guren im Besondern? Was versteht man unter den Diagonalen und unter dem Umfange einer Figur? Welche Figuren heißen Polygone und wie werden die innern Winkel derselben genannt? Was heißt ein äußerer Winkel? Welche Figuren heißen kongruent; welches Zeichen wird hierbei gebraucht, und welche Seiten und Winkel werden homologe genannt? Was heißt ein Kreis? Was nennt man Mittelpunkt oder Centrum, Kreis­ linie oder Peripherie, Bogen, Halbmesser oder Radius, Sehne und Durchmesser oder Diameter?

Kapitel II.

Von de» Winkeln.

5

Was lehrt die Geometrie, und wie wird dieselbe eingetheilt? Welche Figuren werden in der ebenen und welche in der körperlichen Geometrie oder Stereometrie abge­ handelt ? Was heißen Raumgrößen und wie wird die Geo­ metrie aus diesem Grunde genannt?

Hauptsätze.

I. Alle begrenzte Linien, alle Winket, alle völlig begrenzte Flä­ chen und Körper sind Größen (Quanta), und zwar lassen sie sich als endliche benannte Zahlen (Quantitates) darstellen. Der Punkt dagegen ist rin bloßer Ort im Raume und keine Größe. II. Zwei gleiche gerade Linien und zwei gleiche Winkel sind allemal congruent. III. Die Summe und die Differenz zweier (gleichartigen) Raum­ größen, läßt sich jedesmal als eine neue gleichartige Raumgröße denken.

Zweites Kapitel.

Von den Winkeln. Was heißt ein Winkelgrad oder blos ein Grad? Was nennt man eine (Winkel-) Minute und eine Sekunde? Wodurch werden die Grade, Minuten und Sekun­ den bezeichnet? Wie viele Grade hat ein rechter, und wie viele ein gestreckter Winkel?

Hauptsätze.

I. II. III. IV.

Alle gestreckte Winkel find congruent, und also auch gleich. Alle rechte Winkel sind congruent und somit auch gleich. Alle Scheitelwinkel sind gleich. Alle in einer Ebene um einen Punkt herumliegende Winkel betragen zusammen 2 gestreckte oder 4 rechte Winkel.

Kapitel II.

Von de» Winkeln.

5

Was lehrt die Geometrie, und wie wird dieselbe eingetheilt? Welche Figuren werden in der ebenen und welche in der körperlichen Geometrie oder Stereometrie abge­ handelt ? Was heißen Raumgrößen und wie wird die Geo­ metrie aus diesem Grunde genannt?

Hauptsätze.

I. Alle begrenzte Linien, alle Winket, alle völlig begrenzte Flä­ chen und Körper sind Größen (Quanta), und zwar lassen sie sich als endliche benannte Zahlen (Quantitates) darstellen. Der Punkt dagegen ist rin bloßer Ort im Raume und keine Größe. II. Zwei gleiche gerade Linien und zwei gleiche Winkel sind allemal congruent. III. Die Summe und die Differenz zweier (gleichartigen) Raum­ größen, läßt sich jedesmal als eine neue gleichartige Raumgröße denken.

Zweites Kapitel.

Von den Winkeln. Was heißt ein Winkelgrad oder blos ein Grad? Was nennt man eine (Winkel-) Minute und eine Sekunde? Wodurch werden die Grade, Minuten und Sekun­ den bezeichnet? Wie viele Grade hat ein rechter, und wie viele ein gestreckter Winkel?

Hauptsätze.

I. II. III. IV.

Alle gestreckte Winkel find congruent, und also auch gleich. Alle rechte Winkel sind congruent und somit auch gleich. Alle Scheitelwinkel sind gleich. Alle in einer Ebene um einen Punkt herumliegende Winkel betragen zusammen 2 gestreckte oder 4 rechte Winkel.

6

Drittes Kapitel.

Von der Congruenz der Dreiecke

Wie werden die Dreiecke in Bezug auf ihre Seif­ ten, und wie in Rücksicht ihrer Winkel eingetheilt? Was ist ein gleichseitiges, gleichschenkliges, un­ gleichseitiges, spitzwinkliges, rechtwinkliges und stumpf­ winkliges Dreieck? Welche Seite heißt die dritte Seite eines gleich­ schenkligen Dreiecks? Welche Seiten nennt man die Catheten und welche die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks? Hauptsätze. I. Zwei Dreiecke find congruent, wenn in ihnen zwei Seiten und die von denselben eingeschlossenen Winkel beziehlich einander gleich find. II. In congruenten Dreiecken stehen gleichen Seiten gleiche Win­ kel, und gleichen Winkeln gleiche Seiten gegenüber. III. Wenn in einem Dreiecke zwei Seiten gleich find, so sind es auch die denselben gegenüberliegenden Winkel; oder: in einem gleichschenkligen Dreiecke sind die Winkel an der dritten Seite einan­ der gleich. IV. Wenn in einem Dreiecke zwei Winkel gleich sind, so sind es auch die denselben gegenüberliegenden Seiten. V. In einem gleichseitigen Dreiecke sind alle Winkel, und in einem gleichwinkligen Dreiecke alle Seiten einander gleich. VI. Der äußere Winkel eines Dreiecks ist größer, als jeder der ihm gegenüberliegenden innern Winkel. VII. Die Summe zweier innern Winkel eines Dreiecks ist immer kleiner als zwei rechte Winkel. VIII. In einem Dreiecke steht der großern Seite der größere Winkel gegenüber. IX. In einem Dreiecke steht dem größeren Winkel die größere Seite gegenüber. X. Zwei Dreiecke find congruent, wenn in ihnen alle Seiten beziehlich einander gleich find.

Kapitel III.

Von der Congruenz der Dreiecke.

7

XL Zwei Dreiecke find kongruent, wenn in ihnen eine Seite und zwei Winkel Leziehlich einander gleich find; mögen diese Winkel der gegebenen Seite anliegen oder nicht. XII. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn in ihnen zwei Seiten beziehlich einander gleich find; wenn ferner die dem einen Paare glei­ cher Seiten gegenüberliegenden Winkel ebenfalls gleiche Größe haben, und die Summe der dem andern Paare gleicher Seiten gegenüberlie­ genden Winkel entweder mehr oder weniger als 2R beträgt. XIII. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn in ihnen zwei Sei­ ten beziehlich einander gleich sind, und wenn die dem größern Paare dieser gleichen Seiten gegenüberliegenden Winkel ebenfalls gleiche Größe haben *).

Uebungssätze. 1) Zn einem rechtwinkligen Dreiecke eristirt nur ein rechter Winkel; und die übrigen beiden Winkel find spitz. 2) Die Hypotenuse ist größer als jede der Katheten. 3) In einem stumpfwinkligen Dreiecke steht dem stumpfen Win­ kel die größte Seite gegenüber. 4) Wenn eine Seite eines Dreiecks nicht die größte ist, so ist der ihr gegenüberliegende Winkel ein spitzer. 5) In einem gleichschenkligen Dreiecke sind die den gleichen Sei­ ten gegenüberliegenden Winkel spitz. 6) Die gerade Verbindungslinie der Mitte der 3ten Seite einegleichschenkligen Dreiecks mit der gegenüberliegenden Ecke hakbirt den Winkel daselbst, nnd steht auf der 3ten Seite senkrecht. 7) Die gerade Linie, welche in einem gleichschenkligen Dreiecke den der 3ten Seite gegenüberliegenden Winkel halbirt, halbirt auch, gehörig verlängert, die 3te Seite und steht auf ihr senkrecht. 8) Denkt man sich im gleichschenkligen Dreiecke auS der der 3ten Seite gegenüberliegenden Ecke eine senkrechte Linie auf diese Seite gefällt, so wird sowohl die 3te Seite als auch der ihr gegenüberlie­ gende Winkel halbirt. 9) Denkt man sich auS der Mitte der 3ten Seite eines gleich­ schenkligen Dreiecks auf diese Seite eine senkrechte Linie errichtet, so geht letztere, gehörig verlängert, durch die der 3ten Seite gegenüber­ liegende Ecke, und halbirt ven daselbst befindlichen Winkel. 10) Wenn in einem Dreiecke die auf der Mitte einer Seite er­ richtete Senkrechte die gegenüberliegende Ecke trifft, so halbirt sie den daselbst befindlichen Winkel, und die ihn einschließenden Seiten sind einander gleich. 11) Wenn in einem Dreiecke die HalbirungSlinie eine- Winkels *) Man bemerke, daß Nr. XIII. nur ein besonderer Fall des in Nr. XII. befindlichen Lehrsatzes ist.

8

Kapitel IV.

die gegenüberliegende Seite senkrecht trifft, so halbirt sie dieselbe, und die beiden andern Seiten find einander gleich. 12) Die aus einem beliebigen Punkte der HalbirungSlinie eines Winkels auf die Schenkel gefällten senkrechten Linien find einander gleich. 13) Wenn man in einem Dreiecke mit 2 ungleichen Seiten die Spitze des Winkels, welchen fie bilden, mit dem Mittelpunkte der ihm gegenüberstehenden Seite durch eine gerade Linie fich verbunden denkt, so theilt diese Linie den erwähnten Winkel in 2 ungleiche Theile dergestalt, daß der Theil der größere ist, welcher der kleinern Seite anliegt.

Viertes Kapitel.

Von den Parallellinien. Wann heißen zwei in einer Ebene liegende gerade Linien parallel, und wie wird die Parallelität zweier Linien ausgedrückt? In welchem Falle werden zwei gerade Linien convergirend und in welchem divergirend genannt?

Hauptsätze. I. Durchschneidet man (in Fig. 1.) zwei in einer Ebene lie­ gende gerade Linien ab und cd durch eine dritte gerade Linie es, so sind alle Gegenwinkel und alle Wechselswinkel einander ungleich; und zwar sind auf derselben Seite von es beide äußere Gegenwinkel grö­ ßer als ihre innern, und auf der andern Seite von ek die äußern kleiner als die innern. Von den innern Wechselswinkeln ist aus der­ jenigen Seite von es der kleinere, wo der äußere Gegenwinkel der größere ist; während von den äußern Wechselswinkeln auf derselben Seite von es der größere sich befindet. Auch ist auf derselben Seite von es die Summe der innern Winkel kleiner, die Summe der äußern aber größer, als der gestreckte Winkel, oder n; und auf der andern Seite von es die Summe der innern Winkel größer und die der äußern kleiner als 2 rechte Winkel. II. Sind (in Fig. 1.) zwei Wechselswinkel einander ungleich, so sind alle Gegenwinkel und alle Wechselswinkel einander ungleich u. s w.z und zwar nach dem in I. angegebenen Gesetz.

8

Kapitel IV.

die gegenüberliegende Seite senkrecht trifft, so halbirt sie dieselbe, und die beiden andern Seiten find einander gleich. 12) Die aus einem beliebigen Punkte der HalbirungSlinie eines Winkels auf die Schenkel gefällten senkrechten Linien find einander gleich. 13) Wenn man in einem Dreiecke mit 2 ungleichen Seiten die Spitze des Winkels, welchen fie bilden, mit dem Mittelpunkte der ihm gegenüberstehenden Seite durch eine gerade Linie fich verbunden denkt, so theilt diese Linie den erwähnten Winkel in 2 ungleiche Theile dergestalt, daß der Theil der größere ist, welcher der kleinern Seite anliegt.

Viertes Kapitel.

Von den Parallellinien. Wann heißen zwei in einer Ebene liegende gerade Linien parallel, und wie wird die Parallelität zweier Linien ausgedrückt? In welchem Falle werden zwei gerade Linien convergirend und in welchem divergirend genannt?

Hauptsätze. I. Durchschneidet man (in Fig. 1.) zwei in einer Ebene lie­ gende gerade Linien ab und cd durch eine dritte gerade Linie es, so sind alle Gegenwinkel und alle Wechselswinkel einander ungleich; und zwar sind auf derselben Seite von es beide äußere Gegenwinkel grö­ ßer als ihre innern, und auf der andern Seite von ek die äußern kleiner als die innern. Von den innern Wechselswinkeln ist aus der­ jenigen Seite von es der kleinere, wo der äußere Gegenwinkel der größere ist; während von den äußern Wechselswinkeln auf derselben Seite von es der größere sich befindet. Auch ist auf derselben Seite von es die Summe der innern Winkel kleiner, die Summe der äußern aber größer, als der gestreckte Winkel, oder n; und auf der andern Seite von es die Summe der innern Winkel größer und die der äußern kleiner als 2 rechte Winkel. II. Sind (in Fig. 1.) zwei Wechselswinkel einander ungleich, so sind alle Gegenwinkel und alle Wechselswinkel einander ungleich u. s w.z und zwar nach dem in I. angegebenen Gesetz.

Von den Parattellinien. III.

9

Ist (in Fig. 1.) auf irgend einer Seite von es die Summe

auch Nr. I. in seinem ganzen Umfange statt.

derselben gegeben wird, find alle übrigen zugleich mitgegeben.

V. Durchschneidet man (in Fig. 2.) zwei in einer Ebene liegende gerade Linien ab und cd durch eine gerade Linie es; und find irgend zwei Gegenwinkel einander gleich, so find alle Gegenwinkel und alle Wechselswinkel einander gleich, und die Summe zweier innern oder zweier äußern Winkel macht immer einen gestreckten oder 2 rechte Winkel auS. VI. Sind 2 Wechselswinkel einander gleich, so sind alle Ge­ genwinkel und Wechselswinkel einander gleich, und die Summe zweier innern oder zweier äußern Winkel macht immer einen gestreckten oder zwei rechte Winkel aus. VII. Ist die Summe zweier innern oder zweier äußern Winkel dem gestreckten Winkel gleich, so find alle Gegenwinkel und alle Wech­ selswinkel einander gleich. VIII. Die 12 Gleichungen: a =

richtig, so folgt de || bc. ac:ec)

Von der Proportionalität der Linien

Kapitel IX.

20

XVII. Ermittelt man in einem regulären Vielecke V denjenigen Punkt, welcher von allen Seiten des V gleichweit absteht; und denkt sich aus diesem Punkte auf eine Seite des V die senkrechte Linie h gefällt, so ergiebt sich der Inhalt des V, wenn man den Umfang mit der Hälfte von h, oder eine Seite deS V mit — und das hierdurch

entstandene Produkt mit der die Seitenzahl des V bestimmenden (unbenannjen) Zahl multiplicirt. XVIII. Die Potenz a2 erscheint als der Inhalt eines Quadrates, dessen eine Seite durch die Zahl a ausgedrückt wird, d. h. dessen eine Seite, durch die Seite eines als Gemäß gewählten Quadrates gemes­ sen, die Zahl a erzeugt. XIX. DaS Produkt a.b ist als der Inhalt eines Rechteckes anzufthen, dessen aneinanderliegende Seiten durch die Zahlen a und b ausgedrückt sind. Stehen 4 Linien a, b, c und d dergestalt in Pro­ portion, daß a:b — c:d, so ist das Rechteck, welches man sich auS den äußeren Gliedern construirt denkt, dem Rechtecke gleich, welches man sich auS den innern Gliedern gebildet denken kann.

Neuntes Kapitel. Von der Proportionalität der Linien und einigen hierher gehörigen Sätzen.

Hauptsätze. I. Nimmt man (Fig. 8.) in der Seite ab eines Dreiecks abc einen Punkt d an, und denkt sich aus d mit der Seite bc die pa­ rallele Linie de gezogen, so ist: 1) ad:bd = ae:ec 2) ab:ad = ac:ae 3) ab:bd = ac:ec 4) ab:bc — ad:de 5) ac:bc — ae:de.

II.

Ist (in Fig. ad:bd — ab:ad = ab:bd =

8.) eine der Proportionen ae:ec) ac:ae> richtig, so folgt de || bc. ac:ec)

und einigen hierhergehörigen Sätzen. III.

21

Denkt man sich in einem Dreiecke einen Winkel halbirt

und die Halbirungslinie bis zur gegenüberliegenden Seite gezogen, so verhalten sich die beiden nicht durchschnittenen Seiten wie die daran liegenden Stücke der durchschnittenen Seite. IV. Denkt man sich in einem Dreiecke auS dem Scheitel eines Winkels eine gerade Linie bis zur gegenüberliegenden Seite gezogen, und verhalten sich die beiden andern Seiten wie die daranliegenden Stücke der durchschnittenen, so ist der getheilte Winkel halbirt.

V.

Denkt man sich den innerhalb eines Dreiecks angenommenen

Punkt mit allen Ecken durch gerade Linien verbunden und letztere bis zu den gegenüberliegenden Seiten verlängert, so ist, in Bezug auf die durchschnittenen Seiten, das Produkt der Stücke links gleich dem der Stücke rechts *). Es ist also (in Fig. 9.) a.ß.y — Schneiden sich (in Fig. 11.) die Linien ad, gh und bf in Einem Punkte, und ist df || ab, so folgt ag:bg — dh: fli. 2) Schneiden sich (in Fig. 11.) die Linien ad, gh und bf in Einem Punkte; und ist ag:bg — dh: sh, so folgt df |] ad.

3) Ist (in Fig. 11.) df || ab, ag:bg == dh:fh, so schneiden sich ad, gh und bf in Einem Punkte,

Zehntes Kapitel.

Von der Aehnlichkeit der Dreiecke und Vielecke. Wann heißen Dreiecke Vierecke oder Vielecke ähn­ lich und wie wird dies bezeichnet? Was versteht man in ähnlichen Figuren unter gleich? namigen Winkeln, gleichnamigen Seiten und gleichna­ migen Diagonalen. Hauptsätze. I.

Alle kongruente Dreiecke, Vierecke, Vielecke find ähnlich.

II. Alle reguläre necke sind ähnlich. III. Sind zwei Figuren einer dritten ähnlich,

selber ähnlich. IV. Ist

ein Dreieck,

Viereck

oder Vieleck

so

sind sie sich

V einem Dreiecke,

Vierecke oder Vielecke v ähnlich, und v einem Dreiecke, Vierecke oder Vielecke w congruent, so ist auch V ähnlich w. V. Denkt man sich in der Seite eines Dreiecks einen Punkt, und auS demselben, mit einer der beiden andern Seiten, eine paral­ lele Linie gezogen, so ist das hierdurch entstandene kleinere Dreieck dem ganzen Dreiecke ähnlich. VI. Zwei Dreiecke sind ähnlich,

wenn sie beziehlich einen glei­

chen Winkel haben und die diesen gleichen Winkel einschließenden Sei­

ten proportionirt sind. VII. Zwei Dreiecke sind proportionirt sind;

ähnlich, wenn in ihnen alle Seiten

oder, was dasselbe ist,

wenn die 3 Quotienten,

welche sich ergeben, indem man die 3 Seiten des einen Dreiecks durch die 3 Seiten des andern dividirt, beziehlich einander gleich sind.

22

Kapitel X. UebungSsätze.

1> Schneiden sich (in Fig. 11.) die Linien ad, gh und bf in Einem Punkte, und ist df || ab, so folgt ag:bg — dh: fli. 2) Schneiden sich (in Fig. 11.) die Linien ad, gh und bf in Einem Punkte; und ist ag:bg — dh: sh, so folgt df |] ad.

3) Ist (in Fig. 11.) df || ab, ag:bg == dh:fh, so schneiden sich ad, gh und bf in Einem Punkte,

Zehntes Kapitel.

Von der Aehnlichkeit der Dreiecke und Vielecke. Wann heißen Dreiecke Vierecke oder Vielecke ähn­ lich und wie wird dies bezeichnet? Was versteht man in ähnlichen Figuren unter gleich? namigen Winkeln, gleichnamigen Seiten und gleichna­ migen Diagonalen. Hauptsätze. I.

Alle kongruente Dreiecke, Vierecke, Vielecke find ähnlich.

II. Alle reguläre necke sind ähnlich. III. Sind zwei Figuren einer dritten ähnlich,

selber ähnlich. IV. Ist

ein Dreieck,

Viereck

oder Vieleck

so

sind sie sich

V einem Dreiecke,

Vierecke oder Vielecke v ähnlich, und v einem Dreiecke, Vierecke oder Vielecke w congruent, so ist auch V ähnlich w. V. Denkt man sich in der Seite eines Dreiecks einen Punkt, und auS demselben, mit einer der beiden andern Seiten, eine paral­ lele Linie gezogen, so ist das hierdurch entstandene kleinere Dreieck dem ganzen Dreiecke ähnlich. VI. Zwei Dreiecke sind ähnlich,

wenn sie beziehlich einen glei­

chen Winkel haben und die diesen gleichen Winkel einschließenden Sei­

ten proportionirt sind. VII. Zwei Dreiecke sind proportionirt sind;

ähnlich, wenn in ihnen alle Seiten

oder, was dasselbe ist,

wenn die 3 Quotienten,

welche sich ergeben, indem man die 3 Seiten des einen Dreiecks durch die 3 Seiten des andern dividirt, beziehlich einander gleich sind.

Von der Ähnlichkeit der Dreiecke und Vielecke.

23

VIII. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn in ihnen 2 Winkel beziehlich einander gleich sind. IX. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn in ihnen 2 Paar Sei­ ten in Proportion stehen, wenn ferner die einem Paare proportiona­ ler Seiten gegenüberliegenden Winkel gleiche Größe haben, und die Summe der dem andern Paare proportionaler Seiten gegenüber lie­ genden Winkel entweder mehr oder weniger als 2R beträgt. X. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn in ihnen 2 Paar Seiten in Proportion stehen und die dm großem proportionalen Seiten ge­ genüber liegenden 2 Winkel gleiche Größe besitzen *). XI. In ähnlichen Dreiecken verhalten sich je 2 Grundlinien wie die ihnen zugehörigen Höhen. XII. Zwei ähnliche Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate gleichnamiger Seiten oder wie die Quadrate je zweier gleichnamigen Höhen. XIII. Denkt man sich in einem rechtwinklichen Dreiecke aus dem Scheitel des rechten Winkels eine Senkrechte auf die Hypotenuse ge­ fällt, so entstehen 2 Dreiecke, welche unter sich und dem Ganzen ähnlich sind. XIV. Die auS der Spitze deö rechten Winkels auf die Hypo­ tenuse gefällte senkrechte Linie ist die mittlere geometrische Proportio­ nallinie zwischen den von ihr abgeschnittenen Stücken der Hypotenuse. XV. Jede Kathete ist die mittlere geometrische Proportional­ linie zwischen ihrer Projektion auf der Hypotenuse und der Hypotenuse. XVI. In ähnlichen Vielecken stehen die ganzm Umfänge mit einem beliebigen Paare gleichnamiger Seiten in Proportion. XVII. Wenn man sich in 2 ähnlichen Vielecken auS gleichna­ migen Winkelspitzen Diagonalen gezogen denkt, so sind die einzelnen hierdurch entstandenen Dreiecke beziehlich einander ähnlich. XVIII. Zwei ähnliche Vielecke verhalten sich wie die Quadrate je zweier gleichnamigen Seiten. XIX. In ähnlichen Vielecken verhalten sich gleichnamige Dia­ gonalen wie gleichnamige Seiten, und also die Umfänge ähnlicher Vielecke wie ein Paar gleichnamige Diagonalen, und die Inhalte der­ selben wie die Quadrate zweier gleichnamigen Diagonalen. XX. In zwei regulären necken verhalten fich die Umfänge wie die Entfernungen der Mittelpunkte von 2 gleichnamigen Seiten. XXL Zwei reguläre necke verhalten sich wie die Quadrate der Entfernungen der Mittelpunkte von 2 gleichnamigen Seiten. XXII. In zwei regulären necken verhalten sich die Umfänge wie die Entfernungen der Mittelpunkte von den Spitzen zweier gleich­ namigen Winkel. *) Man bemerke, daß Nr. X. nur alö ein besonderer Fall ren Nr. IX. sich zeigt.

24

Kapitel XI.

XXIII. Zwei reguläre necke verhalten sich wie die Quadrate der Entfernungen der Mittelpunkte von den Spitzen zweier gleichna­ migen Winkel. XXIV. Bestehen zwei Vielecke aus der Ordnung nach ähnlichen Dreiecken, die mit gleichnamigen Seiten zusammenstoßen, so find die Vielecke einander ähnlich. XXV. Erscheinen (in Fig. 12.) die Seiten a, b, c eines recht­ winkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse — e ist, als gleichnamige Sei­ ten oder Diagonalen dreier ähnlichen Vielecke A, B, C, so ist das der Seite c zugehörige Vieleck der Summe der beiden andern Viel­ ecke A und B gleich. Es ist 6 --- A-f-B. XXVI. Bezeichnen A, B, C die Inhalte ähnlicher Vielecke, a, b, c gleichnamige Seilen derselben; und ist C = A + B, so ist das mit a, b, c als Seiten zu bildende Dreieck rechtwinklig, und c stellt die Hypotenuse dar. Uebungssätze.

1) Die auS den Mitten der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks auf die Hypotenuse gefällten Senkrechten sind einander gleich. 2) Die 3 senkrechten Linien, welche man von einem beliebigen Punkte innerhalb eines gleichseitigen Dreiecks auf die Seiten fällt, find zusammengenommen der Höhe des Dreiecks gleich. 3) Denkt man sich in einem Dreiecke einen Winkel halbirt, und die Halbirungslinie bis zur gegenüberliegenden Seite verlängert, so ist das Quadrat der Halbirungslinie gleich dem Rechtecke auS den nicht durchschnittenen Seiten weniger dem Rechtecke auS den Abschnitten der durchschnittenen Seite. 4) Wenn die (nötigenfalls verlängerten) Seiten eines Dreiecks die Richtungen der Seiten eines andern unter gleichen Wiukeln schnei­ den, indem man alle 3 entweder rechts oder links von einem im Dreiecke angenommenen Standpunkte liegend denkt, so find beide Dreiecke einander ähnlich.

Elftes Kapitel.

Vom Kreise*). Was heißt ein Abschnitt oder ein Segment, und was ein Ausschnitt oder ein Sector des Kreises? ) Man lese dasjenige, was im ersten Kapitel vom Kreise gesagt worden ist.

24

Kapitel XI.

XXIII. Zwei reguläre necke verhalten sich wie die Quadrate der Entfernungen der Mittelpunkte von den Spitzen zweier gleichna­ migen Winkel. XXIV. Bestehen zwei Vielecke aus der Ordnung nach ähnlichen Dreiecken, die mit gleichnamigen Seiten zusammenstoßen, so find die Vielecke einander ähnlich. XXV. Erscheinen (in Fig. 12.) die Seiten a, b, c eines recht­ winkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse — e ist, als gleichnamige Sei­ ten oder Diagonalen dreier ähnlichen Vielecke A, B, C, so ist das der Seite c zugehörige Vieleck der Summe der beiden andern Viel­ ecke A und B gleich. Es ist 6 --- A-f-B. XXVI. Bezeichnen A, B, C die Inhalte ähnlicher Vielecke, a, b, c gleichnamige Seilen derselben; und ist C = A + B, so ist das mit a, b, c als Seiten zu bildende Dreieck rechtwinklig, und c stellt die Hypotenuse dar. Uebungssätze.

1) Die auS den Mitten der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks auf die Hypotenuse gefällten Senkrechten sind einander gleich. 2) Die 3 senkrechten Linien, welche man von einem beliebigen Punkte innerhalb eines gleichseitigen Dreiecks auf die Seiten fällt, find zusammengenommen der Höhe des Dreiecks gleich. 3) Denkt man sich in einem Dreiecke einen Winkel halbirt, und die Halbirungslinie bis zur gegenüberliegenden Seite verlängert, so ist das Quadrat der Halbirungslinie gleich dem Rechtecke auS den nicht durchschnittenen Seiten weniger dem Rechtecke auS den Abschnitten der durchschnittenen Seite. 4) Wenn die (nötigenfalls verlängerten) Seiten eines Dreiecks die Richtungen der Seiten eines andern unter gleichen Wiukeln schnei­ den, indem man alle 3 entweder rechts oder links von einem im Dreiecke angenommenen Standpunkte liegend denkt, so find beide Dreiecke einander ähnlich.

Elftes Kapitel.

Vom Kreise*). Was heißt ein Abschnitt oder ein Segment, und was ein Ausschnitt oder ein Sector des Kreises? ) Man lese dasjenige, was im ersten Kapitel vom Kreise gesagt worden ist.

Vvm Kreise.

25

Was nennt man einen Mittelpunkts- oder Centri­ winkel und was einen Peripherie - oder Umfangswinkel? Was ist ein Quadrant und was ein Sextant? Was wird eine Tangente und was eine Sekante des Kreises genannt? Wann nennt man ein Dreieck, Viereck, neck in einem Kreise und wann um einen Kreis beschrieben? Was sind concentrische und was excentrische Kreise, und wie wird die gerade Verbindungslinie der Mittel­ punkte zweier excentrischen Kreise genannt? Wann schneiden sich zwei Kreislinien? Wann berühren sich zwei Kreislinien, und in wel­ chem Falle findet die Berührung inwendig und in welchem auswendig statt?

Hauptsätze.

I. In einem Kreise find gleiche Sehnen gleichweit vom Mit­ telpunkte entfernt. II. Zwei Sehnen, welche in einem Kreise gleichweit vom Mit­ telpunkte abstehen, find einander gleich. III. In einem Kresse Liegt die größere Sehne näher am Mit­ telpunkte als die kleinere. IV. Der Durchmesser ist die größte Sehne eines Kreises. V. Liegt in einem Kreise eine Sehne näher am Mittelpunkte als eine andere, so ist die erstere größer als die letztere. VI. Die Tangente eines Kreises hat nur einen einzigen Punkt mit der Peripherie desselben gemeinschaftlich; und alle übrigen Punkte, welche man sich in der Tangente denken kann, fallen außerhalb der Peripherie. VII. Denkt man sich (in Fig. 13.) zwei nicht parallele Tan­ genten, welche die Punkte a und b mit der Peripherie des ihnen zu­ gehörigen Kreises gemeinschaftlich haben, bis zu ihrem Schneidungspunkte d verlängert, so sind die hierdurch entstandenen Linien ad und und bd einander gleich; und denlt man sich den Mittelpunkt c mit d durch eine gerade Linie verbunden und die Sehne ab gezogen, so ist cd _L ab und halbirt letztere Linie. VIII. Berühren sich zwei in einer Ebene liegende Kreislinien in einem Punkte, so liegt derselbe mit den Mittelpunkten beider Kreise in einer geraden Linie. IX. Zwei in einer Ebene liegende Kreislinien können sich nur in einem einzigen Punkte berühren.

26

Kapitel XI.

X. Die Peripherien zweier in einer Ebene liegenden Kreise schneiden sich, wenn die Centrale kleiner ist als die Summe der bei­ den Halbmesser, und größer als ihre Differenz. XL Die Centrale halbirt die gemeinschaftliche Sehne zweier in einer Ebene liegenden und sich durchschneidenden Kreise und steht auf dieser Sehne senkrecht. XII. Eine gerade Linie kann die Peripherie eines, mit ihr in derselben Ebene liegenden Kreises nur in zweien Punkten schneiden. XIII. Man kann sich um jedes Dreieck einen, aber auch nur Einen einzigen Kreis beschrieben denken. XIV. Man kann sich in jedem Dreiecke nur Einen Kreis be­ schrieben denken. XV. Man kann sich um jedes reguläre Nieleck nur Einen Kreis beschrieben denken. XVI. Man kann sich in jedem regulären Vielecke nur Einen Kreis beschrieben denken. XVII. Zwei in einer Ebene liegende Kreise können sich nur in 2 Punkten schneiden. XVIII. In einem Kreise gehören zu gleichen Mittelpunktswin­ keln auch gleiche Bogen, gleiche Sehnen, congruente Ausschnitte und congruente Abschnitte. XIX. In eüteni Kreise gehören zu ungleichen MittelpunktSwinkeln auch ungleiche Bogen, ungleiche Sehnen, ungleiche Ausschnitte und ungleiche Abschnitte. XX. Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß, als der mit ihm auf demselben Bogen stehende (d. h. denselben Kreisbogen ab­ schneidende) Peripberiewinkel. XXL Alle Peripheriewinkel, welche in einem Kreise auf glei­ chen Bogen stehen, sind einander gleich. XXII. Zu gleichen Peripheriewinkeln gehören in einem Kreise gleiche Bogen und gleiche Sehnen. XXIII. Derjenige Peripheriewinkel, welcher mit seinen Schen­ keln die halbe Peripherie des ihm zugehörigen Kreises abschneidet, ist ein rechter Winkel. Derjenige Peripheriewinkel aber, welcher mit sei­ nen Schenkeln auf einem kleinern Bogen steht, ist ein spitzer, und derjenige Peripheriewinkel, welcher mit seinen Schenkeln auf einem größern Bogen steht, ein stumpfer Winkel. XXIV. Zwei parallele Sehnen schneiden in einem Kreise gleiche Bogen ab. XXV. Die Summe je zweier einander gegenüberliegenden Win­ kel eines Vierecks im Kreise beträgt immer zwei rechte Winkel. XXVI. Denkt man sich (Fig. 14.) über einer gegebenen Linie ab mehrere Dreiecke adb, aeb, asb, ahb u. s. w. errichtet, und ist « = /? = £ = cp n. s. w., so liegen die Punkte a, b, d, e, f, h, u. s. w. in der Peripherie eineö und desselben Kreises.

Vorn Kreise.

27

XXVII. Betrachtet man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als Durchmesser eines Kreises, so geht die Peripherie durch die Spitze des rechten Winkels. XXVIII. Schneiden sich in einem Kreise 2 Sehnen, so ist der von ihnen gebildete Winkel der Summe der beiden Peripheriewinkel gleich, welche auf den zwischen den Sehnen abgeschnittenen Bogen stehen. XXIX. Schneiden sich 2 Sekanten, so ist der von ihnen ge­ bildete Winkel der Differenz der beiden Peripheriewinkel gleich, welche auf den zwischen den Sekanten abgeschnittenen Bogen stehen. XXX. Derjenige Winkel, welcher von der Tangente eines Krei­ ses und der vom Berührungspunkte ausgehenden Sehne desselben ge­ bildet wird, ist demjenigen Peripheriewinkel gleich, welcher im gegen­ überliegenden Kreisabschnitte liegt und mit seinen Schenkeln auf den Endpunkten der gegebenen Sehne steht. XXXI. Wenn sich 2 Kreise berühren, und man denkt sich durch den Berührungspunkt zwei gerade Linien gezogen, welche jede der Peripherien in noch einem Punkte schneiden, so sind die 2 Sehnen, welche diese Schneidungspunkte verbinden, einander parallel. XXXII. Schneiden sich 2 Sehnen innerhalb eines Kreises, so ist daS Produkt der abgeschnittenen Stücke der einen Sehne gleich dem Produkte der abgeschnittenen Stücke der andern. XXXIII. Nimmt man (Fig. 15.) einen Punkt a außerhalb eines Kreises an, und denkt sich aus a die Sekanten ab und ac ge­ zogen, so ist ab . ad = ac. ae. XXXIV. Schneiden sich (Fig. 16.) eine Sekante bc und eine Tangente ab, so ist die Tangente die mittlere geometrische Propor­ tionallinie zwischen der Sekante und demjenigen Theile derselben, wel­ cher außerhalb der Peripherie liegt. Es ist also bc:ab = ab:bd. XXXV. Denkt man sich in einem Kreise (Fig. 17.) auS dem Endpunkte a eines Durchmessers ab eine Sehne ad gezogen, und aus d eine senkrechte Linie de auf ab gefällt, so ist 1) ab : ad — ad : ae 2) ae : de — de : be. XXXVI. Ist ein reguläres neck in einem Kreise beschrieben und denkt man sich aus dem Mittelpunkte dieses Kreises auf jede Seite des regulären necks eine senkrechte Linie gefällt, solche bis zur Peripherie verlängert, und je 2 zunächst auf einander folgende, in der Peripherie befindliche, -Punkte durch gerade Linien verbunden, so entsteht ein reguläres 2neck im Kreise. XXXVII. Ist ein reguläres 2neck im Kreise beschrieben und nimmt man einen beliebigen Eckpunkt desselben als ersten an; und denkt sich den Isten und 3ten, 3ten und 5teil, 5ten und 7ten u. s. w. durch gerade Linien verbunden, so ergiebt sich ein reguläres neck im Kreise.

28

Kapitel XL

XXXVIII.

Ist ein reguläres neck (oder 2neck) in einem Kreise

beschrieben, und denkt man sich aus dem Mittelpunkte dieses Kreises auf jede Seite des regulären necks (oder 2ncckö) eine senkrechte Linie gefällt, solche bis zur Peripherie verlängert, und durch die hierdurch in der Peripherie entstandenen Endpunkte Tangenten an den KreiS ge­ zogen, so bilden diese Tangenten ein reguläres neck (oder 2neck) um den Kreis, welches dem erstem neck (oder 2neck) ähnlich ist. XXXIX. Ist ein reguläres neck (oder 2neck) um einen KreiS beschrieben und denkt man sich aus dem Mittelpunkte dieses KreistS nach allen Eckpunkten des regulären neckS gerade Linien gezogen, so entstehen in der Peripherie n Punkte, welche, wenn man sich je zwei zunächst auf einander folgende dnrch gerade Linien verbunden denkt, als Endpunkte eines regulären necks (oder 2necks) im Kreise erschei­ nen, welches dem ersteren regulären neck (oder 2neck) ähnlich ist. XL. Bezeichnet r den Radius eines Kreises, a die Seite deS regulären Sechsecks, b die des regulären Vierecks, und c die deS re­ gulären Dreiecks in diesem Kreise, so ist:

1) a = r, also a2 = 1 .r2. 2) b2 — 2.r2. 3) c2 — 3.r2. XLI.

Der Inhalt eines Dreiecks ist gleich dem Produkte seiner

3 Seiten, divivirt durch den doppelten Durchmesser deS um daS Dreieck beschriebenen Kreises. XLII. Bezeichnen a, b, c die Seiten, und a, ß, y die ihnen

zugehörigen Höhen eines in einem Kreise beschriebenen stellt D den Durchmesser dieses Kreises vor, so ist

Dreiecks; und

n __ b.c-f-a.c-f-a-b

a-Vß"V7 XLIIL. Das Quadrat derjenigen Linie, welche den Winkel eines

Dreiecks halbirt und bis

zur gegenüberliegenden Seite verlängert ist,

und das Rechteck, dessen Seiten aus den durchschnittenen Theilen der Dreieckseite bestehen, sind zusammengenommen dem Rechtecke aus den nicht durchschnittenen Seiten des Dreiecks gleich *). XLIV. Denkt man sich ein Viereck in einem Kreise beschrieben, so ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten deS Vierecks **). XLV. Bei jedem Viereck im Kreist verhalten sich die beiden Diagonalen wie die Summe der Produkte der znsammmstoßenden Seiten ***).

In ihren Endpunkten

*) Der umgekehrte Satz ist nicht nothwendig wahr.

**) Gegenwärtiger Satz wird nach seinem Erfinder der Ptolemäische ge­ nannt; auch ist derselbe umgekehrt nicht nothwendig wahr. ***) Der umgekehrte Satz ist nicht nothwendig wahr.

Vom Kreise.

29

XLVI. Hat man 2 concentrische Kreise, welche so nahe als möglich an einander liegen mögen, so kann man sich im größern Kreise immer noch ein reguläres Vieleck beschrieben denken, dessen Sei­ ten die Peripherie des kleinern Kreises weder schneiden, noch berühren. XLVII. Hat matt 2 concentrische Kreise, welche so nahe als möglich an einander liegen mögen, so kann man sich um den klei­ nern Kreis immer noch ein reguläres Vieleck beschrieben denken, dessen Ecken innerhalb der Peripherie des größern Kreises liegen. XLVIII. Die Länge der Kreislinie ist größer als der Umfang des eingeschriebenen, und kleiner als der des umschriebenen regulären necks, so groß auch n immer sein mag. XLIX. Der Inhalt der Kreisebene ist größer als der Umfang des eingeschriebenen, und kleiner als der Umfang des umschriebenen regulären necks. L. Zwei KreiSebenen, oder die Inhalte zweier Kreise, verhal­ ten sich wie die Quadrate ihrer Halbmesser oder ihrer Durchmesser. LI. Zwei Kreisausschnitte, welche gleiche Mittelpunktswinkel haben, verhalten sich wie die Quadrate der Halbmesser, oder wie die Quadrate der Durchmesser. LIL Der Inhalt J eines Kreises wird gefunden, wenn man die Peripherie P mit dem Halbmesser R multiplicirt, und das hier­ durch entstandene Produkt durch 2 dividirt, oder, wenn man die Pe­ ripherie mit dem halben Radius, oder die halbe Peripherie mit dem RadiuS multiplicirt. ES ist also

P R = P.y R = y.R. p j = ^

LIII. Der Inhalt eines Kreisausschnitts wird gefunden, wenn man den ihm zugehörigen Bogen mit dem Halbmesser des Kreises multiplicirt, und das hierdurch entstandene Produkt durch 2 vividirt. LIV. Die Peripherien zweier Kreise verhalten sich wie ihre Halbmesser oder Durchmesser. LV. Zwei Kreisbogen, welche gleichen Mittelpunktswinkeln zu­ gehören, verhalten sich wie die Peripherien, Durchmesser oder Halb­ messer der ihnen zugehörigen Kreise. LVI. Der Inhalt b eines regulären 2necks im Kreise ist die mittlere geometrische Proportionalzahl zwischen dem Inhalte A eines regulären necks um den Kreis und dem Inhalte a eines regulären necks in demselben. Es ist also A : b = b : a. LVIL Der Inhalt a deS regulären necks im Kreise K verhält sich zur halben Summe der Inhalte des a und deS regulären 2necks b im K wie der Inhalt B deS regulären 2necks um K zum Inhalte A des regulären necks um K. a-i_b Es ist demzufolge a:—= B: A.

Kapitel XI.

30

1) b = /a. A

1

D

2.a.A

2)B=

Hb

angegebenen Bedeutungen besitzen.

wenn a, b, A und L bie in Nr.

!

LVI.U.LVII.

LIX. Ist der Radius eines KreiseS X — r, so ergiebt sich der Inhalt a des regulären 4ecks im Kreise — 2r2, der Inhalt A des regulären Vierecks um den Kreis — 4r2; und man erhält allmälig, nach Inhalt vorigerdes Nummer:

regulären 4ecks 8 16 32 64 128 256 512 1024 -

im Kreise 2 ,r2 2,82843............. r» 3,06145.............r2 3,12144.... . r2 3,13655..., . r2 3,14027.... . r2 3,14127.............r2 3,14152.............r2 3,14158.............r2

um den Kreis 4.r2 3,31371............. r2 3,18261............. r2 3,15173............. r2 3,14400............. r2 3,14227............. r2 3,14177............. r2 3,14164............. r2 3,14160............. r2

Je weiter man aber die Berechnung fortsetzt (d. h. je größer man n nimmt) um desto geringer zeigt sich die Verschiedenheit deS regulären necks im K vom regulären necke um K. Da nun der In­ halt des K größer als der Inhalt des regulären necks im K und klei­ ner als der des regulären necks um K ist, so kann man, wenn eine Genauigkeit von 3 Decimalstellen verlangt wird, den Inhalt des zum Radius r gehörigen K durch 3,141 .r2 aukdrücken. Eben so kann man den Inhalt deS K, bei einer Genauigkeit von 4 Decimalftellen, durch 3,1415. r2 und bei einer Genauigkeit von 5 Decimalstellen, durch 3,14159.r2 ausdrücken.

LX. Bezeichnet r den Halbmesser eines Kreises K, dessen In­ halt — J ist; stellt P die Peripherie des K, d den Durchmesser des­ selben, und 7t den unächten Decimalbruch 3,14159.... dar, so ist 1) J = r2 7t 2) P = 2r. % = d. sr. LXI. Wird 7t in 25 Decimalstellen außgedrückt, so ergiebt sich J = 3,1415926535897932384626433.r2, u. s. w. LXII. Bezeichnet r den Halbmesser eines Kreises, a einen Mit­ telpunktswinkel desselben; b den diesem Mittelpunktswinkel zugehöri­ gen Bogen, und A den Inhalt des zum Mittelpunktswinkel a gehö­ rigen Kreisausschnittes, so ist:

31

Vom Kreist. 1)

b = ^-.2r»*)

r2 7t.

2)

LXIII.

Ist In Nr. EXIL der Winkel a in Bogengraden auS-

gedrückt, so erhält man 1)

, a b — -------.2m. 360

2)

A =

r2 Ti,

360 LXIV.

Der Inhalt eines Kreisabschnittes wird gefunden, wenn

man vom Inhalte deS ihm entsprechenden Kreisausschnittes den Inhalt des ihm zugehörigen Dreiecks subtrahirt.

Uebungssätze. 1) Wenn der Winkel, den 2 verlängerte Sehnen bilden, von ei­ nem verlängerten Durchmesser halbirt wird, so sind sowohl die Seh­ nen als auch ihre Verlängerungen bis zum Durchschnittspunkte ein­ ander gleich. 2) Wenn sich 2 Sehnen eines Kreises rechtwinklig durchschnei­ den, so sind die zwischen den Schenkeln zweier Vertikalwinkel liegen­ den Bogen zusammengenommen dem Halbkreise gleich. 3) Wenn man (Fig. 13.) aus a auf die Tangente aä eine senkrechte Linie errichtet, so geht dieselbe durch den Mittelpunkt. 4) Wenn in einem Kreise 2 Sehnen gleiche Bogen abschneiden, so laufen sie mit einander parallel. 5) In jedem um den Kreis beschriebenen Vierecke ist daS eine Paar der gegenüberliegenden Seiten so groß, wie das andere; auch ist die Differenz zweier anliegenden Seiten der Differenz der beiden andern gleich. 6) Zn jedem um den Kreis beschriebenen Trapeze werden die nicht parallelen Seiten von der durch den Kreismittelpunkt mit den parallelen Kreisen parallel gezogenen Linie halbirt. 7) Die nicht parallelen Seiten eines Trapezes im Kreise sind einander gleich. 8) Schneiden sich die Diagonalen eines Vierecks im Kreise un* ter rechten Winkeln, so ist dir Summe der Quadrate von je 2 ge­ genüberliegenden Seiten dem Quadrate des Kreisdurchmeffers gleich. 9) Die Seite des gleichseitigen Dreiecks im Kreise ist die durch die Mitte deS Halbmessers senkrecht gelegte Sehne.

*) Man bemerke, daß hier der Buchstabe R einen rechten Winkel, au-drückt.

32

Kapitel XL

Vom Kreise.

10) Die Seite des gleichseitigen Dreiecks um den Kreis ist dop­ pelt so groß, als die Seite des gleichseitigen Dreiecks im Kreise. 11) Verlängert man 2 Seiten eines Dreiecks und beschreibt zwischen die verlängerten und die dritte Seite einen Kreis, so ist jede der beiden Tangenten, welche durch die Verlängerung der Dreieckseiten entstanden find, der halben Sunune der Dreieckseiten gleich. 12) Die Berührungspunkte zweier parallelen Tangenten liegen mit dem Kreismittelpunkte in gerader Linie. 13) Wenn in einem Vierecke die Summe zweier einander ge­ genüberliegenden Winkel — 2R ist, so hat dasselbe einen Mittelpunkt, d. h. es liegt in einem Kreise. 14) Bei jedem Vielecke von einer geraden Anzahl Seiten, wel­ ches in einem Kreise liegt, ist die Summe deS Isten, 3ten, 5ten u. s. w. Umfangs-Winkels so groß, wie die Summe des 2ten, 4ten, 6ten, u. s. iv. 15) Bei jedem Vielecke von einer geraden Anzahl Seiten, wel­ ches um einen Kreis liegt, ist die Summe der Isten, 3ten, 5tat u. s. w. Seite so groß, wie die Summe der 2ten, 4tcn, 6tat u. s. w. u. s. w. 16) Wenn die beiden Summen der gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks gleich groß sind, so läßt sich in dasselbe ein Kreis legen. 17) Ist (in Fig. 18.) af.bf = cf.df, so liegen a, d, b und c in der Peripherie eines Kreises. 18) Ist (in Fig. 15.) ab.ad = ac.ae, so befinden sich b, c, d und c in der Peripherie eines Kreises. 19) Ist (in Fig. 16.) bc:ab = ab:bd oder ab2 = bc.bd, so liegen a, d und c in der Peripherie des Kreises, für welchen ab in a Tangente ist. £o) Stehen 2 Sehnen zweier Kreise auf der Centrale senkrecht,

so liegen die 4 Endpunkte der Sehne in einer Kreislinie. 21) Wenn in einem Kreise 4 gleiche Kreise beschrieben find, welche sowohl sich unter einander selbst, als auch jenen Kreis berüh­ ren, und man verbindet die Mittelpunkte jener 4 Kreise, so bilden die Verbindungslinien ein Quadrat. (Fig. 19.) 22) Berühren sich 2 Kreise, und man zieht 2 parallele Durch­ messer, so liegen je' 2 Endpunkte derselben mit dem Berührungspunkte in einer geraden Linie. 23) Berühren sich 2 Kreise, und man zieht an beide parallele Tangenten, so liegen die Berührungspunkte derselben mit dem Berüh­ rungspunkte der Kreise in 'einer geraden Linie. 24) Wenn der Halbmesser eines Kreises so groß ist, als die Halbmesser zweier andern zusammengenommen, so ist auch die Peri­ pherie jenes Kreises so groß, als die Peripherie der beiden Kreise zusammengenommen.

Zwölftes Kapitel.

Von einigen einfachen rein constructionetten Aufgaben.

Welche Instrumente dienen zur Zeichnung geometrischer Figuren? Was sind rein constructionelle Aufgaben, und welche werden zu den einfachen gezahlt? Wann heißt eine Figur in eine andere verwandelt? Wann nennt man die Summe oder die Differenz zweier Figuren in Eine Figur verwandelt?

Hauptaufgaben. I. ES sind 3 begrenzte gerade Linien gegeben, und eö ist die Summe je zweier dieser Linien größer als die dritte; man soll ein A construiren, welches diese 3 Linien zu Seiten hat. II.

Es

ist ein A gegeben;

man

soll

ein ihm

kongruentes

zeichnen.

III.

ES ist ein Winkel gegeben; man

soll einen

ihm gleichen

zeichnen.

IV. Es sind zwei gerade Linien *) und ein Winkel kleiner als 2R gegeben; man soll ein A construiren, worin diese beiden Linien als Seiten den gegebenen Winkel einschließen. V. ES sind 2 Winkel a und y, deren Summe kleiner als 2R ist, und eine gerade Linie ab gegeben; man soll ein A zeichnen, wel­

ches die gegebene Linie als Seite, und die beiden Winkel als die ihr anliegenden Winkel enthält.

VI. Es sind zwei Winkel, a und ß, deren Summe kleiner als 2R, und eine gerade Linie ab gegeben; man soll ein A construiren, wel-cheS die gegebene Linie als Seite, den einen dieser Winkel als den ihr anliegenden, und den andern als den ihr gegenüberliegenden Win­ kel enthält.

VII/ Es find 2 ungleiche gerade Linien ab und bc und ein Winkel a kleiner als 2R gegeben; man soll ein A construiren, welches diese Linien als Seiten enthält, ^und worin der gegebene Winkel der größern dieser Seiten, nämlich bc^ gegenüber liegt.

*) d. h. begrenzte gerade Linien. Geometrie.

34

Kapitel XII. VIII.

Man soll eine gerade Linie ab halbiren.

IX. Man soll einen Winkel a halbiren. X. Einen rechten Winkel abc in 3 gleiche Theile zu theilen. XL Man soll aus einem Punkte a auf eine gerade Linie bc, worin a nicht liegt, eine senkrechte Linie fällen. XII. Man soll aus einem Punkte a auf einer geraden Linie bc,

worin a liegt, eine senkrechte Linie errichten. XIII. Man soll aus dem Endpunkte a einer geraden Linie ab eine senkrechte Linie auf derselben errichten,

wenn man ab nicht über

a hinaus verlängern kann. XIV. Man soll aus einem Punkte c, mit einer geraden Linie ab, worin c nicht liegt, eine parallele Linie ziehen. XV.

Es ist eine gerade Linie gegeben;

man soll ein Quadrat

construiren, welches diese Linie als Seite enthält.

XVI. Es sind 2 Quadrate gegeben; man soll ein Quadrat zeichnen, welches der Summe dieser Quadrate gleich ist; oder: man soll 2 gegebene Quadrate in ein Quadrat verwandeln. XVII.

Es

sind

3 Quadrate gegeben;

man soll ein Quadrat

zeichnen, welches der Summe dieser Quadrate gleich ist; soll 3 gegebene Quadrate in ein Quadrat verwandeln.

XVIII.

ES find 2 ungleiche Quadrate gegeben;

oder: man

man

soll ein

Quadrat zeichnen, welches der Differenz dieser Quadrate gleich ist; oder: man soll die Differenz zweier ungleichen Quadrate in ein Qua­ drat verwandeln. XIX. Man soll ein Quadrat zeichnen, welches halb so groß als ein gegebenes ist. XX. Es ist ein A abc und ein Punkt f gegeben, welcher au­ ßerhalb dieses Dreiecks liegt; man soll ein A zeichnen, welches dem gegebenen A gleich ist, und dessen eine Ecke auf f, dessen andere auf

b, und dessen eine Seite auf bc fällt. XXL Es ist ein A abc und in seiner Seite ab ein Punkt f gegeben; man soll ein A zeichnen, welches dem gegebenen A gleich ist, und dessen eine Ecke auf f, dessen andere auf b, und dessen eine Seite auf bc fällt. XXII. Man soll das 5eck abcde in ein Dreieck verwandeln.

XXIII.

Man soll eine

gegebenem Verhältnisse (d. theilen. XXIV. Die begrenzte zu theilen. XXV.

Man soll zu

gerade Linie in Theile nach

begrenzte h.

nach

gerade

gegebenen

Linie

ab

in

Verhältnißzahlen) 3

gleiche Theile

3 gegebenen Linien a, b und c

die 4te

geometrische Proportivnallinie construiren. XXVI. Man soll zu 2 gegebenen Linien a und b die mittlere

geometrische Proportivnallinie construiren.

Von einigen einfachen rein constructionellen Aufgaben.

35

XXVIL Man soll durch einen Punkt zwischen den Schenkeln eines Winkels eine gerade Linie so ziehen, daß die beiden Theile bis zu den Schenkeln ein gegebenes Verhältniß besitzen. XXVIII. Aus der Grundlinie a, der Höhe h und dem a ge­ genüberliegenden Winkel a das zugehörige Dreieck zu construiren. XXIX. In einem gegebenen Dreiecke den Punkt zu finden, aus welchem man nach den 3 Ecken des Dreiecks gerade Linien ziehen muß, damit letztere das A in 3 Dreiecke zertheilen, welche sich wie m, n, r verhalten. XXX. Es sind (in Fig. 48.) 2 Punkte a und b und eine gerade Linie cd gegeben; man soll in cd den Punkt construiren, welcher so weit von a wie von b absteht. XXXI. Es find (inFig. 49.) 2 Punkte c und d und eine gerade Linie mn gegeben; man soll in mn den Punkt g ermitteln, für welchen ist. XXXII. Man soll um ein gegebenes Dreieck einen Kreis be­ schreiben. XXXIII. Man soll den Mittelpunkt eines vorhandenen Kreises ermitteln. XXXIV. Man soll in einem gegebenen Dreiecke einen Kreis beschreiben. XXXV. Man soll in einem regulären Vielecke einen Kreis beschreiben. XXXVI. Man soll ein reguläres Vieleck um einen Kreis be­ schreiben. XXXVII. Man soll in einem Kreise ein reguläres 3-, 6-, 12-, 24- u. s. w. eck construiren. XXXVIII. Man soll in einem Kreise ein reguläres 4-, 8-, 16-, 32- u. s. w. eck construiren. XXXIX. Es ist ein reguläres neck im Kreise gegeben; man soll ein ihm ähnliches reguläres neck um diesen Kreis construiren. XL. Es ist ein reguläres neck um den Kreis gegeben; man soll ein ihm ähnliches reguläres neck in diesem Kreise construiren. XLI. Man soll 2 oder mehrere ähnliche necke in ein ihnen ähnliches neck verwandeln. XLII. Die Differenz zweier ähnlichen necke in ein ihnen ähn­ liches neck zu verwandeln. XLIII. Man soll 2 oder mehrere Kreise in einen Kreis ver­ wandeln. XLIV. Die Differenz zweier Kreise in einen Kreis zu verwandeln. XLV. Man soll einen Kreis construiren, welcher halb so groß als ein gegebener ist. XLVI. Man soll aus einem Punkte a, welcher in der Peri­ pherie eines gegebenen Kreises liegt, eine Tangente an diesen Kreis construiren..

Kapitel XIL

36

XLVII. Man soll auS dem Punkte b, welcher mit einem ge­ gebenen Kreise in derselben Ebene, aber nicht in der Peripherie des­

selben liegt, eine Tangente an diesen Kreis construiren. XLVIII. Für zwei in derselben Ebene liegende Kreise eine ge­ meinschaftliche Tangente zu construiren, welche die Centrale in ihrer Verlängerung schneiden soll. XLIX. Für 2 in derselben Ebene liegende Kreise eine gemein­ schaftliche Tangente zu construiren, welche die Centrale zwischen ihren

Endpunkten schneiden soll. L. Um einen gegebenen Kreis ein Viereck zu construiren, wel­ ches in, einem (andern) Kreise liegt. LI. In einem gegebenen Kreise, dessen

Halbmesser r ist, ein

Viereck zu construiren, welches um einen andern Kreis liegt. LH. Es ist in der Ebene eines Kreises ein Punkt a gegeben; man soll eine Sehne von gegebener Länge b in den Kreis legen, in

deren Richtung a sich befindet *) LIII. Durch einen in der Ebene eines Kreises gegebenen Punkt eine gerade Linie zu legen, von welcher sich im Kreise eine Sehne abschneidet, die einem gegebenen Peripherie-Winkel a zugehört. LIV. ES ist ein Winkel- abc (Fig. 55.) und in dem einen seiner Schenkel, etwa in ab ein Punkt d gegeben; man soll einen KreiS construiren, den bc berührt, und dessen Peripherie den Punkt d dergestalt trifft, daß die Tangente in d mit db einen gegebenen Winkel a bildet.

Auflösungen L

Linie ab,

Man trage die eine dieser Linien, etwa ab, auf einer geraden beschreibe auS den Endpunkten a und b der erstem Linie

mit den beiden andern Linien Kreise und ziehe aus dem Durchschnitts­ punkte der Peripherien dieser Kreise nach a und b gerade Linien. Das hierdurch entstandene A ist daS Verlangte **).

II. Man construirt (nach I.) aus den 3 Seiten deS gegebenen A ein Dreieck. Das hierdurch entstandene ist daS Verlangte. IIL

Man nimmt

in jedem Schenkel

deS

gegebenen

Winkels

(den Scheitelpunkt nicht mitgerechnet) einen Punkt an, verbinde^ diese Punkte durch eine gerade Linie, und zeichnet ein dem hierdurch ent­

standenen Dreiecke congruentes Dreieck. gebenen Winkel als Winkel.

Letzteres enthält aber den ge­

*) Die Aufgabe verlangt eine Unmöglichkeit, wenn b größer als der Durch­ messer, und, im Falle a im Kreise liegt, wenn b kleiner als die kleinste durch a gehende Sehne sich zeigt. *♦) Die zu den Auflösungen gehörigen Beweise find nicht mit angeführt, weil die meisten mit Leichtigkeit sich ergeben.

Von einigen einfachen rein constructionellen Aufgaben. IV.

37

Man construire (nach III.) einen dem gegebenen Winkel

gleichen Winkel, trage, von seinem Scheitelpunkte aus, auf jedem Schenkel eine der gegebenen geraden Linien ab, und verbinde ihre End­ punkte durch eine gerade Linie. Das hierdurch entstandene Dreieck ist daS Verlangte.

V.

Man trage

(in Fig. 26.) t^uf einer geraden Linie pq die

gegebene gerade Linie ab ab, construire (nach III.) an ihren End­ punkten a und d auf derselbenSeite von ab die gegebenen Winkel

a und 7, und verlängere ihre Schenkel bis zum SchneidungSpunkte c. DaS hierdurch entstandene Ä ist das Verlangte.

VI. Man trage (in Fig. 26.) auf einer geraden Linie pq die Gerade ab ab, construire an a den Winkel a und setze an denselben (so wie in der Figur) den Winkel ß. Nun construire man den hier­ durch entstandenen Winkel 7 an dem Endpunkte b auf derselben Seite von pq, und verlängere die Schenkel von a und 7 bis zu ihrem Schneidungspunkte c. DaS hierdurch entstandene A cab ist daS Verlangte. VII.

Man nehme (in Fig. 27.) auf einer geraden Linie pq

einen Punkt a an, construire an diesem Punkte den Winkel a, trage auf seinem Schenkel ak, von a aus die Linie ab ab, beschreibe aus b mit der größern Linie einen Kreis, und verbinde c (als Schneidungspunkt der Peripherie und der Linie pq) mit b durch eine ge­ rade Linie. Das hierdurch entstandene A abc ist das Verlangte.

VIII. Man beschreibe (in Fig. 28.) auS den Endpunkten a und b, auf einer Seite von ab, mit derselben Zirkeleröffnung Kreise und bezeichne den SchneidungSpunkt ihrer Peripherien durch c. Hier­ auf beschreibe man auch auf der andern Seite von ab aus a und b mit derselben Zirkelöffnung Kreise, bezeichne den SchneidungSpunkt ihrer Peripherien durch d, und verbinde c und d durch eine gerade Linie. Der hierdurch in ab entstandene Punkt f ist der Halbiruugspunkt von ab. IX. Man nehme (Fig. 29.) in dem Schenkel ab deS gegebe­ nen Winkels a einen Punkt d an, mache ae = ad, beschreibe auS d und e mit derselben Zirkelöffnung Kreise, bezeichne den Schneidungspunkt ihrer Peripherien durch f, und verbinde a und f durch

eine gerade Linie.

X.

Man

Diese gerade Linie halbirt den Winkel a

nehme (Fig. 30.)

in dem einen Schenkel bc deS

rechten Winkels einen Punkt d an, und beschreibe über bd das gleich­ seitige A ebd. Halbirt man hierauf A ebd, so ist der rechte Win­

kel abc in 3 gleiche Theile getheilt; es ist also x = y = z.

XL Man nehme (Fig. 31.) in der geraden Linie bc einen Punkt d an, beschreibe mit ad einen Kreis, halbire de in f, und verbinde a und f durch eine gerade Linie.

senkrecht auf bc.

Diese gerade Linie steht

Kapitel XII.

38

XII. Man nehme (Fig. 32.) in bc einen Punkt d an, mache ae = ad, beschreibe aus d und e mit derselben Zirkelöffnung auf einer Seite von bc Kreise, und verbinde den Schneidungspunkt f ih­

rer Peripherien mit a durch eine gerade Linie. af

Es ist aber alsdann

Jl

bc. XIII.

Man nehme (in Fig. 33.) einen Punkt c beliebig an,

verbinde a und c durch eine gerade Linie, beschreibe aus c mit ac einen Kreis, verbinde d (als Scheidungspunkt der Peripherie und der Linie ab) mit c durch eine gerade Linie, verlängere dc über c

hinaus um sich selbst bis e, und verbinde e und a durch eine ge­ rade Linie. Diese Linie steht senkrecht auf ab. XIV. Man nehme (Fig. 34.) in ab einen Punkt f an, ver­ binde c und f durch eine gerade Linie, bezeichne 2L cfa durch a und construire an c, auf der andern Seite von cf einen, dem Winkel a gleichen Winkel ß. Die hierdurch entstandene Linie cd, oder die Li­ nie de ist die Verlangte. XV. Man zeichne (Fig. 35.) an die gegebene Linie mn die

rechten Winkel a und ß, mache mo = np = mn, o und p durch eine gerade Linie. XVI. mn = b,

und verbinde

Man zeichne (Fig. 36.) den rechten Winkel a, mache no = a, verbinde m und o durch eine gerade Linie,

und construire über mo das Quadrat morq.

Letzteres ist aber als­

dann der Summe der beiden gegebenen Quadrate gleich.

-

XVII. Man construire in (Fig. 37.) den rechten Winkel a, mache no = a, mn = b, ziehe mo, stelle mv = c senkrecht auf mo, verbinde v und o durch eine gerade Linie, und zeichne über ihr das Quadrat vorq. Letzteres ist aber alsdann das Verlangte.

XVIII. Man zeichne (in Fig. 38.) den rechten Winkel a, mache no = b, beschreibe aus o mit a einen KreiS, bezeichne den Schnei­ dungspunkt der Peripherie und der auf b senkrechten Linie durch m, und construire über mn = c das Quadrat mnvw. Letzteres ist

aber das Gesuchte. XIX. Man ziehe (in Fig. 39.) die

Diagonalen mp und no,

und aus n und p mit mp und no die Parallelen nq und pq. DaS hierdurch entstandene Viereck nrpq ist aber ein Quadrat und halb so groß wie mnop. XX. Man ziehe (in Fig. 40.) aus f mit bc die Parallele mn, verlängere ba über a hinaus bis d, verbinde d und c durch eine gerade Linie, ziehe aus a mit dc die Parallele ag, und ziehe auS f nach b und g gerade Linien. Das hierdurch entstandene A fbg ist daS Verlangte.

XXL Man verbinde (in Fig? 41.) f und c durch eine gerade Linie, verlängere bc über c hinaus, ziehe aus a mit fc die Parallele ad, und verbinde f und d durch eine gerade Linie. Das hierdurch entstandene A fbd ist das Verlangte.

Von einigen einfachen rein constructionellen Aufgaben.

39

XXII. Man zeichne (in Fig. 42.) ad; ziehe aus e mit ad die Parallele es; verlängere cd über d hinaus bis zum SchneidungSpunkte f mit es, construire af und ac; ziehe auS f mit ac die Pa­ rallele fh; verlängere bc über c hinaus bis h; und ziehe ah. DaS hierdurch entstandene Dreieck abh ist das Verlangte. XXIII. Man setze an dem einen Endpunkte der Linie ab, etwa

an a, eine unbegrenzte gerade Linie unter beliebigem Winkel an; trage auf dieser geraden Linie von a auS so viele den gegebenen Verhält­ nißzahlen entsprechende Theile ab, als die Summe dieser Verhältniß­ zahlen beträgt; verbinde den letzten hierdurch entstandenen Theilungs­ punkt, etwa w, mit b durch eine gerade Linie, ziehe aus allen übri­ gen Theilungspunkten von aw mit bw parallele Linien, und verlän­ gere dieselben dergestalt, daß sie sämmtlich ab schneiden. Letztere Linie ist aber alsdann in die verlangten Theile abgetheilt. XXIV. Man mache (in Fig. 43.) auf dem unbegrenzten Schen­ kel, ac = cd = de; verbinde e und b durch eine gerade Linie, und ziehe auS d und c mit eb die Parallelen dg und cf. ES ist aber alsdann af = fg = gb. XXV. Man construire (in Fig. 44.) einen beliebigen Winkel

«; mache mn = a, no = b, mq = c; verbinde q und n durch eine gerade Linie, und ziehe aus o mit nq die parallele Linie op. Die nun entstandene Linie qp ist die verlangte vierte Proportionallinie. XXVI. Man construire (in Fig. 45.) eine gerade Linie; trage auf derselben mn — a und no = b ab; beschreibe

über mo als

Durchmesser einen Halbkreis; errichte aus n auf mo eine senkrechte Linie, und verlängere dieselbe dergestalt, daß sie die Peripherie im Punkte p schneidet. Die hierdurch entstandene Linie np ist die ver­ langte mittlere geometrische Proportionallinie zu a und b. XXVII. Ist (in Fig. 46.) a der gegebene Winkel, d der ge­

gebene Punkt, und m:n das gegebene Verhältniß, so construire man 2L cbe willkührlich; ziehe df || ab; mache bg: gh — m:n; ziehe gf, und hk || gf; und verlängere kd bis 1. Es ist aber alsdann

dl: dk = m:n. XXVIII. Man mache (in Fig. 47.) mn = a, ZL nmo — a, mp = pn, Z_mpq = R, pq = h, Z.omc = R, beschreibe auS c mit cm einen Kreis, ziehe durch q die rs || mn, und zeichne rm

und rn *). DaS Dreieck rmn ist aber alsdann das Verlangte. XXIX. Man theile eine der 3 Seiten des A nach dem Ver­

hältniß m: n: r ab, und ziehe aus den beiven Theilungspunkten mit den benachbarten Seiten des A Parallelen. Ihr Durchschnittspunkt ist aber alsdann der Verlangte. XXX. Man ziehe (in Fig. 48.) ab, halbire diese Linie in e, und zeichne es _L ab. ES ist aber alSdann fa = fb.

*) oder sm und sn.

40

Kapitel XII.

XXXI. Man ziehe (In Fig. 49.) ce_Lmn; verlängere ce über e hinaus; mache fe = ce und verbinde d und f durch eine gerade Linie. Es ist aber alsdann « = /£*).

Die Auflösungen von XXXII. — XLV. werden ihrer Leichtigkeit wegen übergangen. XLVI.

Man verbinde den Mittelpunkt c

deS

gegebenen Krei­

ses mit a durch eine gerade Linie, und errichte aus a auf ac die senkrechte Linie ad. Letztere Linie ist aber die verlangte Tangente.

XLVII.

Man verbinde (in Fig. 50.) den Mittelpunkt c deS

gegebenen Kreises mit dem Punkte b durch eine gerade Linie; beschreibe über bc als Durchmesser einen Kreis, und ziehe auS b nach den

Schneidungspunkten d und e der Peripherien beider Kreise die gera­ den Linien bd und be. XLVIII.

Man beschreibe (in Fig. 51.)

über der Centrale cd

einen Halbkreis; mache die Sehne ce gleich der Differenz der Radien beider Kreise; verlängere ce bis f; ziehe dg j| cf, und verbinde f und g durch eine gerade Linie. Die hierdurch entstandene Linie fg

ist die verlangte gemeinschaftliche Tangente beider Kreise.

XLIX.

Man beschreibe

(in Fig. 52.)

über der

Centrale cd

einen Halbkreis; mache die Sehne cf gleich der Summe der Halb­ messer beider Kreise; ziehe dg || fc und verbinde e und g durch eine gerade Linie. Die hierdurch entstandene Linie eg ist die verlangte

gemeinschaftliche Tangente beider Kreise. L.

Erste Auflösung.

Man zeichne (Fig. 53.) in dem ge­

gebenen Kreise, dessen Mittelpunkt in c sich befindet, die senkrecht auf einander stehenden Sehnen ab und de, ziehe in a, d, b und e Tan­ genten, und verlängere dieselben, bis ste sich schneiden. DaS hierdurch entstandene Viereck fghi ist das Verlangte. Zweite Auflösung. Beschreibt man indem gegebenen Kreise ein Viereck, fällt aus dem Mittelpunkte auf die Seiten desselben senk­

rechte Linien, verlängert letztere bis zur Peripherie und legt durch die Durchschnittspunkte sich schneidende Tangenten, so bilden dieselben da­ verlangte Viereck. LI. Man zeichne mit einem beliebigen Halbmesser einen KreiS (Fig. 53.) und um denselben das auch in einem Kreise liegende Viereck fghi. Nun construire man (in Fig. 54.) den Mittelpunkt m dieseVierecks fghi, so daß mf = mg = mh = mi wird; zeichne um

m als Mittelpunkt, mit dem gegebenen Halbmesser r den Kreis, in welchem das verlangte Viereck construirt werden soll; verlängere (nöthigenfallö) die Linien mf, mg, mh, mi, bis ste seine Peripherie in

•*) Wählt man in mn rechts oder links von g einen andern Punkt o, so ist og + dg < co + do; d. h. für den construirten Punkt g ist die Summe cg+dg eüt Kleinstes oder ein Minimum.

Von einigen einfachen rein constructionellen Aufgaben.

41

o, p, q und 8 schneiden; und ziehe die Linien op, pq, qs und so. Das hierdurch entstandene Viereck opqs ist das Verlangte. LIL Legt man an einer beliebigen Stelle eine Sehne — b in den Kreis, fällt auS dem Mittelpunkte eine Senkrechte darauf, beschreibt mit letzterer einen concentrischen Kreis, und construirt an ihn durch a eine Tangente, so ist der Theil derselben, welcher Sehne des gege­ benen Kreises ist, = b. LUI. Trägt man a, an einer beliebigen Stelle, als PeripherieWinkel in den Kreis, so erhält man die Länge der dem a zugehöri­ gen Sehne; und hieraus die weitere Ausführung nach LIL LIV. Macht man (in Fig. 55.) Z-bde = a, es = ed, Z.efh — Z. edh = R, so ist h der Mittelpunkt und hf = hd

der Halbmesser des verlangten Kreises.

UebungSaufgaben. 1) Eine gerade Linie in 5, 7, 9 u. f. w. gleiche Theile zu theilen. 2) Einen Winkel zu zeichnen, der doppelt so groß wie fein Ne­ benwinkel ist. 3) Eine Linie zu construiren, auf welcher jeder Punkt gleiche Abstände von zweien gegebenen (parallelen oder nicht parallelen) Linien besitzt. 4) Einen Punkt anzugeben, der von 2 gegebenen geraden Linien gleiche Abstände hat. 5) Zwei gegebene gerade Linien durch eine 3te so zu schneiden, daß nach einer Seite hin gleiche innere Winkel entstehen. 6) Einen gegebenen kleinen Winkel zu vervielfachen. 7) Die Hälfte, das Viertel, Achtel u. s. w. eineö gegebenen Winkels anzugeben, ohne ihn durch Linien zu theilen. 8) ES sind 2 Winkel eineS A gegeben; man soll den Zten construiren. 9) Es ist ein Winkel

eines

gleichschenkligen A

gegeben,

man

soll die beiden andern construiren. 10) AuS 2 gegebenen Linien ein Rechteck zu zeichnen. 11) Aus zwei Linien und einem Winkel *) ein =ff= zu construiren. 12) Auf eine gegebene Linie ein A zu zeichnen, welches einem gegebenen A ähnlich ist. 13) Aus eine gegebene Linie ein Vieleck zu construiren, welcheeinem gegebenen Vieleck ähnlich ist. 14) Ein A auS einer Winkelspitze und durch gerade Linien in

Theile nach gegebenem Verhältnisse zu theilen. 15) Ein zu zeichnen, welches der Hälfte eines gegebenen A gleich ist, und mit dem A einen gleichen Winkel besitzt.

•) der kleiner als 2R sein muß.

42

Kapitel XII.

16) Ein H: zu zeichnen, welches halb so groß als ein gege­ benes Viereck ist. 17) Ein zu zeichnen, dessen Umfang der Summe zweier ge­ gebenen Linien gleich ist. 18) Ein zu zeichnen, welches mit einem gegebenen gleich­ schenkligen A gleichen Inhalt und gleichen Umfang besitzt.

19) Ein =#= zu zeichnen, welches mit einem gegebenen ungleich» seitigen A gleichen Inhalt und gleichen Umfang hat, 20) Ein zu zeichnen, dessen Diagonale gegeben ist. 21) Ein zu zeichnen, trenn die Summe der Diagonale und Seite desselben gegeben ist.

22) Ein zu zeichnen, wenn der Unterschied zwischen der Dia­ gonale und Seile desselben gegeben ist. 23) Zwei Quadrate zu zeichnen, welche sich wie 2 gegebene Li­ nien verhalten. 24) Man soll 4 oder mehrere Quadrate in ein Quadrat ver­

wandeln. 25) Man soll ein ermitteln, welches der 3te, 5te, 7te Theil eines gegebenen ist. 26) Aus den Grundlinien und dm Höhen zweier gegebenen AA die Seite des gleich ist.

zu bestimmen,

welches

beiden Dreiecken an Inhalt

27) Ein Trapez zu construiren, wenn die Leiden parallelen und die beiden nicht parallelen Seiten gegeben sind. 28) Ein Trapez zu zeichnen, wenn 2 anstoßende Seiten und beide Diagonalen gegeben sind. 29) Ein Viereck zu construiren, wenn 4 Seiten und ein Win­ kel gegeben sind. . 30) Ein Viereck zu zeichnen, wenn 3 Seiten und die von ih­

nen eingeschlossenen (zwei) Winkel gegeben sind 31) Ein Viereck zu zeichnen, wenn 3 Seiten und die beiden einander nicht gegenüberliegenden Winkel, von welchen nur der eine von 2 gegebenen Seiten eingeschlossen ist, bekannt sind. 32) Ein Viereck zu zeichnen, wenn 3 Seiten und gegenüberliegende Winkel gegeben find *).

2 einander

*) Kurze Auflösun g. Sind (in Fig. 56.) die gegebenen Seiten durch a, b, c, und die gegebenen Winkel durch «, ß bezeichnet, so mache man auf den Schenkeln von «, df = a, dg = b, ziehe fg; zeichne auf dem einen Schenkel von ß, hk = c, nehme fg in den Zirkel, setze denselben in k ein, und schneide mit dieser Eröffnung den andern Schenkel von ß in p; beschreibe dann aus f mit c und aus g mit ph Kreisbogen, und verbinde ihren Durchschnittspunkt r mit f und g. Das hierdurch ent­ standene Viereck dgrf ist das Verlangte. (Ist c > fg, so entstehen 2 Vierecke, welche der Forderung der Aufgabe genügen).

Von einigen einfachen rein constructionellen Aufgaben.

43

33) Ein Viereck zu zeichnen, wenn 3 Seiten und die beiden Winkel, welche an der unbekannten Seile liegen, gegeben sind *).

34) Ein Viereck zu zeichnen, wenn 2 aneinanderliegende Seiten und 3 Winkel gegeben sind. 35) Ein Viereck zu construiren, wenn 2 gegenüberliegende Sei­ ten und 3 Winkel gegeben sind **). 36) Ein Viereck zu zeichnen, wenn eine Diagonale und die 4 Winkel gegeben sind, welche durch die andere Diagonale mit den Sei­

ten des Vierecks gebildet werden. 37) Ein Viereck zu zeichnen, wenn eine Seite, die daran liegen­ den Winkel, und die aus den der Seite gegenüberliegenden Winkel­ spitzen auf die gegebene Seite (oder deren Verlängerung) gefällten Senkrechten gegeben sind. 38) Einen Kreis zu zeichnen, welcher der 5te, 7te oder 9te Theil eines gegebenen Kreises ist. 39) Einen Kreis zu construiren, welcher die Schenkel eines ge­ gebenen Winkels berührt. 40) Einen Kreis zu construiren, welcher die Schenkel eines ge­ gebenen Winkels, und zwar den einen in einem gegebenen Punkte, berührt. 41) Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu beschreiben, welcher die Schenkel eines gegebenen Winkels berührt. 42) An einen Kreis 2 Tangenten so zu ziehen, daß sie einen gegebenen Winkel a einschließen.

43) Es find 2 Punkte p und q gegeben) man soü Punkte der­ gestalt bestimmen, daß die von p und q nach ihnen gezogenen gera­ den Linien sich unter rechten Winkeln schneiden. 44) Ein rechtwinkliges A aus der Hypotenuse und einer Ka­

thete, oder aus der Hypotenuse und einem spitzen Winkel zu zeichnen. 45) Ein A in ein =#= oder von gleicher Höhe zu verwandeln.

46) Ein A in ein Viereck zu verwandeln. 47) Ein Viereck in ein A zu verwandeln. 48) Ein * in ein anderes mit gegebener Seite oder mit gege­ benem Winkel zu verwandeln.

*) Kurze Auflösung. Bezeichnen a, b, c, «, ß die gegebenen Grö­ ßen, so mache man (Fig. 57.) auf dem einen Schenkel von a, df = a; nehme in dem andern den Punkt g beliebig an, mache Z-dgh = ß\ gh = c; hk || gd; beschreibe ans f mit der Eröffnung b einen Kreis­ bogen ; und ziehe aus seinem" Durchschnittspunkte t mit hg die Paral­ lele tp. Das Viereck ftpd ist das Verlangte. **) Kurze Auslösung. Bezeichnen a, b, «, ß, y die gegebenen Grö­ ßen , so mache man (Fig. 58.) cd = a, L des = re, L edg = ß\ nehme in cf den Punkt f beliebig; mache L. cfk = y, fr = b, rv || fc; und ziehe aus dem Durchschnittspunkte p von rv und dg, pw || kf. Das Viereck cwpd ist das Verlangte.

44

Kapitel XII.

49) Ein A in ein anderes mit gegebener Seite oder mit ge­ gebenem Winkel zu verwandeln. 50) Ein A in ein -st- mit gegebener Diagonale zu verwandeln. 51) Ein Trapez in ein A zu verwandeln. 52) Ein ungleichseitiges A in ein gleichschenkliges zu verwandeln. 53) Ein A in ein anderes zu verwandeln, welches eine gege­ bene Höhe oder Grundlinie hat. 54) Ein -st- in ein Trapez und umgekehrt zu verwandeln. 55) Ein Trapez in ein A von derselben Höhe, und umgekehrt, zu verwandeln. 56) Ein in ein Rechteck zu verwandeln. 57) Ein Rechteck in ein zu verwandeln. 58) Ein -st- oder A in ein zu verwandeln. 59) Ein in ein =ft= oder in ein A zu verwandeln. 60) Ein A in ein anderes zu verwandeln, welches mit dem gegebenen einen gleichen Winkel hat und dessen eine Seite gegeben ist. 61) Ein mit einem erhabenen Winkel versehenes Viereck in ein A zu verwandeln *). 62) Zwei Dreiecke von ungleicher Höhe in ein A zu verwandeln. 63) Mehrere Dreiecke von gleicher Höhe in ein A zu verwandeln. 64) Ein Quadrat in einen Rhombus zu verwandeln, dessen eine Diagonale gegeben ist. 65) Ein Quadrat in ein Rechteck zu verwandeln, daß der Un­ terschied zweier anliegenden Seiten des letztern einer gegebenen Linie gleich ist. 66) Ein Quadrat in ein Rechteck von gegebenem Umfange zu verwandeln. 67) Einen Kreis in eine ringförmige Figur zu verwandeln. 68) Einen Kreis iti eine mondförmige Figur zu verwandeln. 69) Einen Halbkreis in einen Kreis zu verwandeln. 70) Ein gleichschenkliges A in ein -st- zu verwandeln, welchemit dem A gleichen Umfang hat. 71) Ein ungleichseitiges A in ein -st- von gleichem Umfange zu verwandeln. 72) Ein A in ein -st- zu verwandeln, welches eine gegebene Seite und einen gegebenen Winkel enthält. 73) Ein A in ein anderes von gleicher Höhe und Grundlinie zu verwandeln, in welchem die aus der Spitze nach der Mitte der Grundlinie gezogene Linie einer gegebenen Linie gleich ist. 74) Ein A in ein anderes von gleicher Grundlinie zu verwan­ deln, dessen Spitze in einer der Lage nach gegebenen Linie sich befindet. *) Kurze Auflösung. Ist (in Fig. öQ.) abcd das gegebene Viereck, so zieht man ac, aus b mit ac die Parallele be, und verbindet a und e durch eine gerade Linie. Das hierdurch entstandene A ade ist das Verlangte.

Von einigen einfachen rein constructionellen Aufgaben. 75) 76) 77) 78) 79) 80)

Ein Ein Ein Das Das Das

45

9eck in ein A zu verwandeln. 10eck in ein A zu verwandeln. neck in esn A zu verwandeln. 7eck abcdefg (Fig. 60.) in ein A zu verwandeln. 8eck abcdefgh (Fig. 61.) in ein A zu verwandeln. Heck abcdefghikl (Fig. 62.) in ein A zu verwandeln.

81) Ein 5eck in ein A

zu

verwandeln,

dessen Ecke in

Seite drö 5ecks fich befindet. 82) Ein Viereck in ein A zu verwandeln,

dessen

einer

Ecke inner­

halb deS Vierecks befindlich ist.

Dreizehntes Kapitel.

Von einigen zusammengesetzten rein construc­ tionellen Aufgaben. Welche Aufgaben gehören zu den zusammengesetzten rein constructionellen Aufgaben, und welche Verfahrungsarteu finden bei deren Auflösung statt? Hauptaufgaben. I. Es sind 3 gerade Linien a, d, c gegeben; man soll diesel­ ben an einem bestimmten Punkte m unter solchen Winkeln anlegen, daß ihre andern Endpunkte unter gleichen Abständen in eine gerade Linie fallen *)

II. Ein A zu zeichnen, wenn die Summe der 3 Seiten = s, einer der Winkel = a, und die durch die Spitze von a gehende Höhe — h gegeben find. III. Es ist ein Kreis und in seiner Ebene an irgend einer Stelle eine begrenzte gerade Linie — « gegeben; man soll einen zwei­ ten Kreis construiren, der den gegebenen berührt und a als Sehne in fich aufnimmt. IV. Man soll ein A abc in ein anderes verwandeln, welches einem gegebenen Dreiecke dgh ähnlich ist.

‘) Gegenwärtige Aufgabe ist nur lösbar, wenn von den 3 Linien a, 2h und c die Summe je zweier größer als die 3te sich zeigt.

Von einigen einfachen rein constructionellen Aufgaben. 75) 76) 77) 78) 79) 80)

Ein Ein Ein Das Das Das

45

9eck in ein A zu verwandeln. 10eck in ein A zu verwandeln. neck in esn A zu verwandeln. 7eck abcdefg (Fig. 60.) in ein A zu verwandeln. 8eck abcdefgh (Fig. 61.) in ein A zu verwandeln. Heck abcdefghikl (Fig. 62.) in ein A zu verwandeln.

81) Ein 5eck in ein A

zu

verwandeln,

dessen Ecke in

Seite drö 5ecks fich befindet. 82) Ein Viereck in ein A zu verwandeln,

dessen

einer

Ecke inner­

halb deS Vierecks befindlich ist.

Dreizehntes Kapitel.

Von einigen zusammengesetzten rein construc­ tionellen Aufgaben. Welche Aufgaben gehören zu den zusammengesetzten rein constructionellen Aufgaben, und welche Verfahrungsarteu finden bei deren Auflösung statt? Hauptaufgaben. I. Es sind 3 gerade Linien a, d, c gegeben; man soll diesel­ ben an einem bestimmten Punkte m unter solchen Winkeln anlegen, daß ihre andern Endpunkte unter gleichen Abständen in eine gerade Linie fallen *)

II. Ein A zu zeichnen, wenn die Summe der 3 Seiten = s, einer der Winkel = a, und die durch die Spitze von a gehende Höhe — h gegeben find. III. Es ist ein Kreis und in seiner Ebene an irgend einer Stelle eine begrenzte gerade Linie — « gegeben; man soll einen zwei­ ten Kreis construiren, der den gegebenen berührt und a als Sehne in fich aufnimmt. IV. Man soll ein A abc in ein anderes verwandeln, welches einem gegebenen Dreiecke dgh ähnlich ist.

‘) Gegenwärtige Aufgabe ist nur lösbar, wenn von den 3 Linien a, 2h und c die Summe je zweier größer als die 3te sich zeigt.

46

Kapitel XIII. V.

Man soll ein A zeichnen, wenn die Summe zweier Seiten und ein ihr anliegender Winkel = a gege­

— 8, die dritte = a

ben sind. VI. Ein A zu zeichnen, wenn die Summe zweier Seiten — s, die 3te = a und der ihr gegenüberliegende Winkel = a gegeben sind. VII. Ein A zu zeichnen, wenn die Differenz zweier Seiten s= d, der, der kleinern von beiden

gegenüberliegende Winkel — a,

und die 3te Seite — a gegeben sind. VIII. Ein A zu zeichnen, wenn die Differenz

zweier Seiten gegenüberliegende Winkel = a, und die 3te Seite gleich a gegeben sind. IX. Ein A zu zeichnen, wenn die Differenz zweier Seiten = d, — d, der, der größern von beiden

die 3te — a und der ihr gegenüberliegende Winkel = a gegeben sind. X. Ein A zu zeichnen, wenn die Summe zweier Seiten = s, die 3te — a, und die Differenz a der beiden ihr anliegenden Winkel gegeben sind. XI. Ein A zu zeichnen, wenn eine Seite — a

und die auf

den beiden andern Seiten stehenden Höhen b und c gegeben sind. XII. Ein A zu zeichnen, wenn eine Seite = a, die darauf stehende Höhe = b

und

noch eine der beiden andern Höhen = c

gegeben sind. XIII.

Ein A zu zeichnen, wenn ein Winkel = a,

die durch

seinen Scheitel gehende Höhe = a, und die auf einem Schenkel von a stehende Höhe = b gegeben sind. XIV. Ein A zu zeichnen, wenn ein Winkel = at bie Diffe­ renz der einschließenden

Seiten = d,

und die

auf der

^x^inern^

dieser Seiten stehende Höhe — b gegeben find. XV. Ein A zu zeichnen, wenn die Summe zweier Seiten = s und die auf diesen einzelnen Seiten stehenden Höhen b und c gegeben sind. XVI. Ein A zu zeichnen, wenn die Summe seiner 3 Seiten

= 8, und zwei seiner Winkel, nämlich « und ß, gegeben sind. XVII.

Ein A zu zeichnen, wenn die Summe seiner 3 Seiten

— 8, ein Winkel = a und eine dem a gegenüberliegende Höhe = a

gegeben find. XVIII.

Ein A parallel mit einer seiner Seiten nach gegebenen

Verhältnissen abzutheilen. XIX. Ueber, einer gegebenen Linie a als Grundlinie ein A von gegebener Höhe h zu zeichnen, in welchem die Summe der beiden an­

dern Seiten ein Minimum ist. XX. Zwischen 2 wenig convergirenden Linien ab und cd, ohne sie bis zu ihrem Durchschnittspunkte zu verlängern, eine dritte zu construiren, welche den erwähnten Durchschnittspunkt trifft, und den Winkel, welchen die verlängerten ba und dc daselbst bilden, halbirt.

Von einigen zusammengesetzten rein constructtonellen Aufgaben.

XXL

Es

sind

in einer

47

Ebene 2 wenig convergirende Linien

mn und op gegeben; man soll, ohne diese Durchschnittspunkte zu verlängern, durch einen Ebene die gerade Linie construiren, in welcher schnittspunkt sich befindet. XXII. Ein Viereck zu zeichnen, wenn 2

Linien bis zu ihrem Punkt q in derselben der erwähnte Durch­

Seiten a und b, der

von ihnen eingeschlossene Winkel a, und die 2 Winkel ß und 7 ge­

geben find, welche an der dem a gegenüberliegenden Ecke von der Diagonale mit den Seiten gebildet werden *). XXIII. Es ist ein Kreis K und eine begrenzte gerade Linie a in seiner Ebene gegeben; man soll denjenigen Punkt in der Peripherie von K construiren, für welchen die geraden Linien aus ihm, nach den Endpunkten von a gezogen, die Peripherie in 2 Punkten durch­ schneiden, deren gerade Verbindungslinie eine mit a parallele Sehne

wird. XXIV.

Es sind 2 Punkte a und b und eine gerade Linie cd

gegeben; man soll durch a und b die Peripherie eines Kreises legen, für welchen cd Tangente wird XXV. Es find 2 Punkte a und b und eine gerade Linie cd gegeben; man soll in cd den Punkt construiren, für welchen die auS a und b nach ihm gezogenen geraden Limen den größtmöglichsten Winkel erzeugen. XXVI. Ein gegebenes Vieleck in ein gleichschenkliges A mit einem gegebenen, von

den gleichen Schenkeln eingeschlossenen Winkel

=s a, zu verwandeln. XXVII. Von einem gegebenen Winkel a durch die kleinste Li­ nie ein A abzuschneiden, welches einem gegebenen Vieleck gleich ist. XXVIII. Es ist ein Kreis zum Mittelpunkte m und in ihm eine Sehne ab gegeben; man soll parallel mit ab eine Linie von ge­ gebener Länge e (kleiner als der Durchmesser des Kreises) als Sehne in den Kreis legen. XXIX. In einem

gegebenen

Halbmesser r zwei Linien von

Kreise zum Mittelpunkte m und

gegebenen

Längen a, b (jede kleiner

als 2r) unter einem gegebenen Winkel a als Sehnen einzutragen. XXX. Ein Quadrat durch 4 gerade Linien so zu zerschneiden, daß die Theile (nöthigenfatts gehörig) zusammengesetzt, 5 gleiche Qua­ drate ausmachen. XXXI. Ein A

in

3

gleiche Theile

so

zu

theilen,

daß die

Theilungslinien in einem zu bestimmenden Punkte innerhalb des A zusammenstoßen, die eine in einen der 3 Endpunkte des A auslaufe, die beiden andern aber mit den Seiten des A, welche in dieser Ecke Zusammentreffen, eine parallele Lage besitzen.

*) Die hier ausgestellte Aufgabe wird tie Potenotsche genannt.

Kapitel XIII.

48 XXXII.

In ein Quadrat ein gleichseitiges A zu zeichnen, des­

sen eine Ecke mit einer Ecke deS zusammenfällt. XXXIII. Es ist ein Winkel ä. und zwischen seinen Schenkeln ein Punkt p gegeben; man soll einen Kreis construiren, der p in seine Peripherie aufnimmt und die Schenkel von a berührt. XXXIV. Es ist eine gerade Linie ab und in derselben ein Punkt c gegeben) man soll einen Kreis construiren, welcher ab in c und zugleich den Kreis zum Mittelpunkte m berührt. XXXV. ES ist ein Winkel a und zwischen seinen

Schenkeln

ein Kreis gegeben; man soll einen Kreis construiren, der den gege­ benen und beide Schenkel von a berührt. XXXVI. Es find 2 Punkte a und b gegeben; man soll, ohne ein Lineal zu gebrauchen, blos mit Hülfe des Zirkels, die Orte noch zweier Punkte construiren, so daß die 4 Punkte die Ecken eines Qua­

drats ausmachen. XXXVII. Einen Kreis

in eine beliebige Anzahl,

etwa in 3

gleiche Theile zu theilen, so daß der Umfang jedes Theiles der-Peri­ pherie des Kreises gleich ist. XXXVIII. In einem gegebenen Kreise ein A construiren, des­

sen Seiten durch gegebene Punkte gehen *).

Auflösungen.

I. Man mache (Fig. 63.) auf einer geraden Linie vw = vm — b, beschreibe aus m mit c und aus w mit a Kreise, verbinde ihren einen Durchschnittspunkt o mit m und mit v durch die gera­ den Linien om und ov; verlängere ov über v hinaus, mache die Verlängerung vn = ov, und ziehe mn. Die hierdurch entstandene Figur mnvo ist die Verlangte. II. Man mache (in Fig. 64.) qw — 8, Arqw = rwq a — -g-,

beschreibe aus

r

mit rq = rw den Kreisbogen qw, er­

richte auf qw in einer beliebigen Stelle die Senkrechte xz, mache xz = h, ziehe zk || qw und aus einem der Durchschnittspunkte m

und m' mit der Peripherie die Linien mq und mw, halbire beide, errichte auf ihnen in ihrer Mitte die Senkrechten, welche qw in n und o schneiden, und ronstruire mn und mo. Das hierdurch entstandene A mno ist das Verlangte. III.

3st (in Fig. 65.) der zum Mittelpunkte m gehörige Kreis

der gegebene, de = a, und wählt man in der Peripherie deS gege­ benen Kreises den Punkt g willkührlich, legt durch d, e und g einen Kreis, verlängert ed und die gemeinschaftliche Sehne gf_ bis zu ih-

•) Gegenwärtige Aufgabe wurde von dem Neapolitaner Giordano di 0ttajano in seinem I7ten Jahre gelöst.

Von einigen zusammengesetzten rein constructionellen Aufgaben.

49

rem Durchschnittspunkte h, und construirt aus h an den gegebenen KreiS die beiden Tangenten hc und hc', so ist sowohl der durch d, e und e, als auch der durch d, e und c' gehende Kreis der Verlangte.

IV. Man verwandelt zuerst A abc in ein anderes, welches mit A dgh den Winkel a gemeinschaftlich hat, und stellt dieses Dreieck (in Fig. 66.) durch Ades dar. Nun beschreibe man über der Linie df als Durchmesser einen Halbkreis; ziehe aus e mit gh die Paral­ lele ek; errichte auS k auf df die Senkrechte kl; ziehe die Gerade dl; beschreibe aus d mit dl den Bogen In; verlängere de über e hinaus, und ziehe aus n mit ke die Parallele nm. Das hierdurch entstandene A dmn ist das Verlangte.

V. Man mache (in Fig. 67.) A onm = a, nm = a, no = s, ziehe om, halbire diese Linie in v, zeichne vw JL om, und verbinde w und m durch eine gerade Linie. DaS hierdurch entstandene A mnw ist das Verlangte. VI.

Man mache (in Fig. 67.) on = s,

A nom =

,

schneide om aus n mit dem Halbmesser a in m, halbire om in v, zeichne vw om, und verbinde w und m durch eine gerade Linie. DaS so entstandene A mnw ist daS Verlangte.

VII. Man mache (in Fig. 68.) Amno = af nw = d, nm = a, ziehe mw, errichte auf ihrer Mltte eine Senkrechte, und verbinde den hierdurch entstandenen Punkt p mit m durch eine gerade Linie. DaS so entstandene A pimfr ist -das Verlangte. VIII. Man zeichne (in Fig. 69.) Amno = «, mn = a, nv = d, ziehe mv, und verfahre alsdann wie in VII. Das A mnv ist daS Verlangte. IX. Man mache (in Fig. 70.) A mno — a, nehme nv = nw beliebig groß, wk = d, schneide aus k mit a als Halbmesser die Richtung wv in 1, und ziehe lf || mn bis zum Durchschnittspunkte f mit der Verlängerten wn. DaS A flk ist das Gesuchte. X. Man mache (in Fig. 71.) mn = a, Anmo = R, A omv = a, halbire Winkel omv, schneide die Halbirungslinie aus n mit dem Halbmesser s in w, halbire wm, errichte auf wm in ih­ rer Mitte eine Senkrechte bis zum Durchschnittspunkte 1 mit nw — 8, und verbinde 1 und m durch eine gerade Linie. Das A Imn ist das

Verlangte. XL Man mache auf einer geraden Linie mn = a, beschreibe über mn einen Halbkreis, schneide mit b und c aus m und n die Peripherie in den Punkten o und v, ziehe dann no und dv, und verlängere beide bis zu ihrem DurchschnittSpunkie w. DaS- A mWn ist daS Verlangte. XII. Man mache mir — a, beschreibe über a einen Halbkreis, schneide auS m mit c seine Peripherie in o, ziehe no bis zum DurchGeometrie. 4

50

Kapitel XIII.

schnittSpunkte w mit der in der Entfernung b mit a gelegten Parüllelen Das A wmn ist abet alsdann das Verlangte.

XIII. Man construire A feg = et, wähle in einem seiner Schenkel eg einen beliebigen Punkt h; errichte auf eg in h die Senk­ rechte hk = b; ziehe auö k eine Parallele mit gc bis zum Durchschnitlsvunkre d mit cf; beschreibe über cd einen Halbkreis, und schneide dessen Bogen, mit einem andern auS c mit a beschriebenen in t, ziehe dt und verlängere diese Richtung bis zum DurchschnittSpunkte p mit eg. Das A cdp ist das Verlangte. XIV. Man mache A cdf — et, ziehe mit d in der Entfer­ nung b eine Parallele bis zu ihrem Durchschnittspunkte g mit de; in der Verlängerung von dk

!

gleich a und ziehe gr.

zwischen d und k Das A dgr ist das Verlangte.

XV. Man trage, auf einer geraden Linie, df = b, fg = c ab; mache A gdk = R; schneide aus g mit dem Halbmesser s die Senkrechte dk in n, ziehe ng; errichte auf dg in f eine Senkrechte bis zu ihrem Durchschnittspunkte m mit ng; mache auf nd, von n gegen d, np = mg, und ziehe pm. Das A npm ist daS Verlangte.

XVI. Man mache (in Fig. 72.) mn = s, A onm —

Amov =

Zomn = DaS A

und Anow —

ovw ist aber daS Verlangte.

XVII. Man mache (in Fig. 73.) mn = s,

no — a,

op || nm,

Amnq = a,

A mno == R,

A nmr —

rv |l qn,

rw — wm, A rwz = R und verbinde r und z durch eine ge­ rade Linie. Das A rzv ist das Verlangte. XVIII. Ist (in Fig. 74.) Aabc das Gegebene; und soll || mit ab ein Theil, der z. B. Z-A abc ist, abgeschnilten werden, so theile man bc in 5 gleiche Theile, nehme cd = £bc und ziehe ad. Es ist aber alsdann 1) A aed — |Aabc; und beschreibt man jetzt über bc einen Halbkreis, errichtet die Senkrechte de, macht es — CO, und zieht auö f mit ba die Parallele fg, so ist: 2) A cfg = A aed. Aus (1) und (2) erhält man aber A cfg — £ A abc. XIX. Man mache (in Fig. 75.) mn = a, mo — on, Apom = R, po = h, und ziehe pm und pn. Das A mnp ist daS Verlangte. XX. Man ziehe (in Fig. 76.) durch einen in ab willkürlich angenommenen Punkt f die Linie fk || de; mache fr auf fa belie-

Von einigen zusammengesetzten rein constructionellen Aufgaben.

51

big groß und ft auf fk gleich fr; ziehe tr und verlängere diese Li­ nie bis zu ihrem Durchschnittspunkte p mit cd; halbire rp in m, und errichte auf rp in m eine Senkrechte. Letztere ist aber die ver­ langte Linie. XXL Liegt 1) q zwischen mn und op (Fig. 77.), so ziehe man durch q die Gerade rs; mache, an einer beliebigen Stelle, vw || rs; ziehe vs; qx || mn; und xz || op. qz ist aber alsdann die Rich­ tung der verlangten Linie. Liegt 2) q außerhalb mn und op (Fig. 78.), so ziehe man die Gerade qsr; mache wv || qr; ziehe vq; sx || mn; verbinde x und w durch eine gerade Linie; und ziehe qz || xw. qz ist aber als­ dann die Richtung der verlangten Linie. XXII. Erste Auslösung. Man mache (in Fig. 79.) Zcdf — cc, cd = a, df = b, 21 dfk = 7, L. del = /?; errichte auf fk in f eine Senkrechte, und auf df in ihrer Mitte ebenfalls eine solche; beschreibe aus dem Durchschnittspunkte t mit tf •= td einen Kreis, errichte auf cl in c und auf cd, in ihrer Mitte, Senkrechte; und beschreibe aus ihrem Durchschnittspunkte u mit uc — ud eben­ falls einen Kreis. Der 2te Durchschnittspunkt beider *) giebt die vierte Ecke g des verlangten Vierecks cdfg. Zweite Auflösung Man trage Z.cdf *'x) auf, mache, oberhalb cf, 21 cfv = ß, Z. fcv = 7; lege durch c, f und den Durchschnittspunkt v der construirten Schenkel fv und cv einen Kreis; ziehe dv und verlängere diese Richtung bis zum 2ten Durchschnittspunkt mit der Peripherie. Letzterer Punkt ist aber der Verlangte g ***). XXIII. Ist (in Fig. 80.) mn = a, und c der Mittelpunkt des gegebenen Kreises, so ziehe man nc, verlängere letztere bis p, lege durch m, 0, p einen Kreis, construire aus dem Durchschnittspunkte q seiner Peripherie mit mn eine Tangente qr, verbinde n mit r durch eine gerade Linie und verlängere sie bis d. Letzterer Punkt ist aber der Verlangte; und man hat deßhalb sr || mn. XXIV. Man ziehe (in Fig. 81.) ab, verlängere diese Linie bis zu ihrem Durchschnittspunkte 0 mit cd, beschreibe über ae einen Halbkreis, errich e auf ae die Senkrechte bf, ziehe es und mache eg — es. Der Punkt g ist aber alsdann der Berührungspunkt in cd, und der durch a, b und g gelegte Kreis der Verlangte. XXV. Construirt man (in Fig. 81.) den Punkt g in cd, auf die in XXIV. angegebene Weise, so ist g der verlangte Ort in cd und Z.agb ein Größtes oder ein Marimum. ♦) d ist der eine. **) wie vorhin. ***) Ist in gegenwärtiger Aufgabe a-Vß-Vv a 2R, so wird die Auf­ gabe unbestimmt; indem in der ersten Construction sich beide Kreise decken, also keinen Durchschnittspunkt geben; nnd in der zweiten v und d znsammenfallen.

52

Kapitel XIII.

XXVI. Man verwandele das Vieleck in ein A abc, welches den gegebenen Winkel a enthält (Fig. 82.), zeichne zu ab und ac die mittlere geometrische Proportionale, mache ad und ac der letzten: gleich, und ziehe dc. Daö A ade ist das Verlangte XXVII. Verwandelt man das Vieleck in ein A abc, welches den gegebenen Winkel a enthält (Fig. 82.), und construirt dann wie in XXVI. die Linie dc, so ist ade das verlangte A. XXVIII. Bezeichnet r den Halbmesser des gegebenen Kreises; verlängert man (nöthigenfalls) ab etwa über b hinaus; macht af — e; beschreibt über af mit r alö Schenkel ein gleichschenkliges A ahf; und zieht aus m bis in die Peripherie, ml || ah, mk || hf, so ist tk die verlangte Sehne. XXIX. Man trage (in Fig. 83.) an einer beliebigen Stelle no — a als Sehne ein; mache A nop — a und op = b; be­ schreibe über po mit r als Schenkel daS gleichschenklige A poq; ziehe mr || qp, ms || qo, und verbinde r und s durch eine gerade Linie. ES ist aber alödann rs = po = b, auch rs || po, und also der von rs und no gebildete Winkel = a. XXX. Halbirt man (in Fig. 84.) die 4 Seiten deS gegebenen Quadrats abcd in c, f, g, h, und zieht cd, bg, af und hc, so ist iklm ein verlangtes Quadrat. Setzt man ferner A bfk mit bf an die Seite fc deS Trapezes fklc, so entsteht ein anderes dem iklm gleiches Quadrat; und auf dieselbe Weise gehen auch die 3 übrigen verlangten Quadrate hervor. XXXI. Macht man im gegebenen A abc (Fig. 85.) cd — de = ea, beschreibt über ac einen Halbkreis, errichtet auf ac in d die Senkrechte df, macht ce = cvv, zieht gh || cb, halbirt gli in k, zieht ak, und auS k mit ab und ac die Parallelen kl und km, so ist die verlangte Theilung geschehen. XXXII. Ist (in Fig. 86.) abcd daö gegebene □; und zeich­ net man über ad daS gleichseitige A ade, zieht ce, verlängert diese Linie bis f, macht dg = bf, und construirt gf und gc, so ist Acgf das Verlangte. XXXIII. Ist (in Fig. 87.) A abc — « und p der gegebene Punkt, so ziehe man pb, halbire a durch bd, errichte in einem be­ liebigen Punkte von ab, etwa in e, die Senkrechte es, beschreibe auS f mit fc den Kreisbogen geh, ziehe fli und fg, und alsdann pk || hf und pl || gf. Die Punkte k und 1 sind aber alsdann die Mittel­ punkte zweier Kreise, von welchen jeder der Aufgabe genügt. XXXIV. Man fälle auS m auf ab die Senkrechte md, ver­ längere dm bis e, verbinde c mit e oder mit e' durch eine gerade Linie, errichte auf ab in c eine Senkrechte, und verlängere dieselbe, bis sie die verlängerten mf und f'm in g und g' durchschneidet, g ist aber alsdann der Mittelpunkt deö Kreises zum Halbmesser gc — gf; und g' der Mittelpunkt des Kreises, dessen Radius g'c =g'fz ist.

Von einigen zusammengesetzten rein constrnctionelten Aufgaben.

XXXV.

53

Man ziehe in der Entfernung des Halbmessers r des

gegebenen Kreises, mit den Schenkeln von a, sowohl innerhalb als außerhalb desselben Parallelen, und construire nun (nach XXXIII.) die Mittelpunkte der beiden Kreise, welche den Mittelpunkt des gege­ benen in ihre Peripherie aufnehmen, und von welchen der eine die Parallelen innerhalb und der andere außerhalb berührt. Diese beiden Mittelpunkte sind aber auch die von 2 Kreisen, welche beide der Auf­ gabe genügen. XXXVI. Man construire (in Fig. 89.) aus a und b mit der

Weite ab Kreise; mache ac = cd = de = bc = cf = fg = ab; beschreibe aus a mit ad und aus e mit ec — ad die Kreisbogen,

bezeichne ihren Durchschnittspunkt durch h, und zeichne aus b mit bh ebenfalls einen Kreisbogen bis zu seinem Durchschnittspunkte k mit der Peripherie deS aus a beschriebenen Kreises. Der Punkt k ist aber der 3te des zu construirenden Quadrates; und der 4te Punkt des letzter» wird auf die nämliche Weise ermittelt. XXXVII. Theilt man (in Fig. 90.) den Durchmesser ad in 3 gleiche Theile ab, bc, cd; beschreibt über ab, ac auf der einen, und

über dc, db auf der andern Seite Halbkreise, so sind die 3 entste­ henden Räume X, Y, Z die Verlangten. XXXVIII. Ist (in Fig. 91.) der zum Mittelpunkte I gehörige Kreis K der gegebene; und bezeichnen a, b, c die festgesetzten 3 Punkte, welche in den (nöthigenfalls verlängerten) 3 Seiten des in den gege­ benen Kreis zu

zeichnenden Dreiecks

liegen sollen,

so verfahre man

auf folgende Weise:

1) Man ziehe aus b eine Tangente an

K,

und bezeichne ihre

Länge durch «. 2) Ziehe man ba, zeichne die 4te Proportionallinie zu ba,

a

und

aus b auf ba ab, und stelle ihre Länge

«; trage diese Linie

durch bh dar. 3) Man construire aus h eine Tangente an K und bezeichne ihre Länge durch ß» 4) Marr ziehe bc; zeichne die 4te Proportionallinie zu hc,

ß

und

R*1 ßj

trage diese Linie

aus h auf die Richtung hc ab;

und

stelle ihre Länge durch bk dar. 5) Man ziehe kl;

und mache 21 kirn = 211km — dem in d

schon dargestellten 21bhc oder bhk. 6) Man beschreibe aus dem Durchschnittspunkte m der Schenkel derjenigen Winkel, welche auf lk in 1 und k (in e) angetra­ gen wurden, mit ml = mk einen Kreis, dessen Peripherie die gegebene durchschneiden wird, und bezeichne den Durchschnitts­

punkt durch g.

Kapltcl XIII.

54

7) Zieht man gli, so ist der Durchschnittspunkt f von gh mit der gegebenen Peripherie die eine Ecke des verlangten A.

8) Zieht und verlängert man bf bis zum Durchschnittspunkte d mit der Peripherie, so ist d Die zweite Ecke des verlangten A. 9) Zieht und verlängert man cf bis zum DurchschnittSpunkte e mit der Peripherie, so ist e die dritte Ecke des verlangten A.

U e b u n g ö a u sg a b e n.

1) Ein A zu construiren, wenn die Summe aller Seiten —8, eine Seite = a und ein Daran liegender Winkel = « gegeben ist. 2) Ein A zu zeichnen, wenn die Summe aller Seiten = 8, eine Seite = a, und der ihr gegenüberliegende Winkel gegeben ist. 3) Ein A zu zeichnen, wenn die Summe aller Seiten —8, eine Seite = gegeben ist. 4) Ein

a und

der Unterschied der beiden andern

A zu zeichnen,

wenn die Summe aller

Seiten —

d

Seiten — s,

einWinkel = a und der Unterschied der beiden andern Winkel = 5 gegeben ist. 5) Ein A zu zeichnen, wenn die Summe aller Seiten = 8, eine Seite = a und die Differenz der.anliegenden Winkel == 3 ge­ geben ist. 6) Ein A zu zeichnen, wenn die Summe zweier Seiten = s,

der von ihnen eingeschlossene Winkel — a und der der einen dieser Seiten gegenüberliegende Winke! = ß gegeben ist. 7) Ein A zu zeichnen, wenn die Summe zweier Seiten =• s und die beiden ihnen gegenüberliegenden Winkel a und ß gegeben sind. 8) Ein A zu zeichnen, wenn eine Seite = a, der Unterschied der beiden andern = d, und der Unterschied der beiden anliegenden Winkel = 3 gegeben ist. 9) Ein A zu zeichnen, wenn die Summe zweier Seiten = s,

die Differenz derselben = d und der von ihnen eingeschlossene Winkel

— a gegeben ist. 10) Ein A zu zeichnen, wenn die Summe zweier Seiten —8, die Differenz derselben — d, und der üb ^liegenden -Winkel = 3 gegeben ist

Unterschied der ihnen gegen­

11) Ein A zu zeichnen, wenn die Summe zweier Seiten = s, die Summe ihrer gegenüberliegenden Winkel = a und die Differenz dieser Winkel — d gegeben ist. 12) Ein A zu zeichnen, wenn die den Winkel an der Spitze halbirende Linie — a unv die beiden von a auf der Seite des A gebildeten Abschnitte b und c gegeben sind. 13) Ein A zu zeichnen, wenn die Summe zweier Seiten —8,

und die durch die Senkrechte auf der 3ten Seite gebildeten Abschnitte

b

und c gegeben sind.

Von einigen zusammengesetzten rein censtructionellen Aufgaben.

55

14) Ein gleichschenkliges A zu zeichnen, wenn der Winkel an der Spitze = R und die dritte Seite — a gegeben ist. 15) Ein gleichschenkliges A zu zeichnen, wenn der Winkel an der Spitze = a, und die dritte Seite — a gegeben ist. 16) Ueber einer alö Hypotenuse gegebenen geraden Linie = a ein rechtwinkliges A zu zeichnen, dessen Hohe (aus der Spitze deS rechten Winkels gefällt) £ der Hypotenuse beträgt. 17) Ueber einer als Hypotenuse gegebenen geraden Linie — a ein rechtwinkliges A zu zeichnen, in welchem das Stechteck aus den beiden Catheten dem Quadrate ihres Unterschiedes gleich ist. 18) Ueber einer als Hypotenuse gegebenen geraden Linie = a ein rechtwinkliges A zu zeichnen, welches dem Quadrate der gege­ benen Linie b gleich ist. 19) Ein zu zeichnen, wenn 2 an einander liegende Seiten a und 1) und die zwischen ihnen liegende Diagonale d gegeben sind. 20) Ein 4fr zu zeichnen, wenn eine Seite = a, und beide Dia­ gonalen c und d gegeben sind. 21) Ein zu zeichnen, wenn der Umfang, eine Diagonale und der Winkel, welcher nicht an dieser Diagonale liegt, gegeben ist. 22) Ein =4= zu zeichnen, wenn eine Diagonale nebst den beiden Winkeln, welche dieselbe mit den anliegenden Seiten einschließt, ge­ geben ist. 23) Ein * zu zeichnen, so das; die Halbirungspunkre dreier auf einander folgenden Seiten in den Winkelspitzen eines gegebenen A sich befinden. 24) Ein 4^ zu zeichnen, wenn die Höhe, die Grundlinie und eine Diagonal- gegeben sind. 25) Ein 4fc zu zeichnen, wenn die Höhe und beide Diagonalen gegeben sind. 26) In ein rechtwinkliges A ein zu beschreiben, welches den rechten Winkel mit dem A gemeinschaftlich besitzt. 27) In ein gleichseitiges A ein zu beschreiben. 28) In ein ungleichseitiges A ein zu beschreiben. 29) In einen Quadranten ein zu beschreiben, dessen eine Winkelspitze in den Bogen fällt. 30) In einen Halbkreis ein zu beschreiben. 31) In ein A einen Rhombus zu beschreiben, welcher mit dem A einen gemeinschaftlichen Winkel besitzt. 32) In einen Rhombus einen KreiS zu beschreiben. 33) Von einem Punkte außerhalb eines Kreises eine Linie durch denselben zu legen, so daß sie einen gegebenen Bogen abschneidet. 34) Durch 2 neben einander gegebene Kreise eine gerade Linie so zu legen, daß von jedem ein gegebener Bogen abgeschnitten wird.

56

Vierzehntes Kapitel.

Von einigen - geometrisch algebraischen Aufgaben. Was heißt eine geometrisch-algebraische Aufgabe? Was nennt man die rechnende oder die algebraische Geometrie? Womit werden die auf dem Papiere stehenden ge­ raden Linien und Winkel gemessen; und wie sind die hierzu dienlichen Instrumente eingerichtet? Was heißt ein Meter und was eine Toise? Wie wird der Meter eingetheilt; und was wird ein Decimeter, Centimeter, Millimeter u. s. w., und fer­ ner ein Decameter, Hektometer, Kilometer, Myriameter u. s. w. genannt. Welches ist das hier gebräuchliche Längenmaß? Was heißt eine Decimal- und was eine Duodecimalruthe? Wie wird eine Decimal, und wie eine Duodecimalruthe eingetheilt? Wodurch wird eine Ruthe, ein Fuß, ein Zoll, und eine Linie im Decimal- und Duodecimalmaße ausgedrückt? Womit werden die Flächen gemcffen? Was heißt eine Quadratruthe im Decimal- und Duodecimalmaße? Wie wird eine Quadratruthe im Decimal- und wie im Duodecimalmaße eingetheilt; und wodurch wixd eine Quadratruthc, ein Quadratfuß, ein. Quadratzoll und eine Quadratlinie ausgedrückt?

Hauptaufgaben. I.

Zwischen den 3 Seiten a, b, c

eines A und einer der 3

Höhen eine Gleichung darzustellen. II. Zwischen den 3 Seiten a, b, c und dem Inhalte J eines A eine Gleichung zu bilden.

Von einigen geometrisch -alg ebraisch en Aufgaben.

III.

57

ES ist (in Fig. 92.) MN = a, MO = b, und die auS

der Ecke M nach der Mitte R der Seite NO gezogene gerade Linie MR — c gegeben; man soll die Linie NO = x und den Inhalt J des AMNO durch a, b und c ausdrücken. IV. Sn einem A sind gegeben: die 3 Linien a, b, c, welche

man sich aus den Ecken nach den Mittelpunkten der ihnen gegen­ überliegenden Seiten gezogen denkt; man soll die zu a, b, c gehöri­ gen 3 Seiten x, y, z, und den Inhalt W dieses A angeben.

V. Wie verhält sich der Inhalt eines A, dessen 3 Mittellinien a, b, c sind, zum Inhalte des A, dessen 3 Seiten a, b, c bezeichnen? VI. Es sind die drei Höhen a, b, c eines Dreiecks gegeben; man soll die ihnen entsprechenden Seiten x, y, z und den Inhalt J dieses A angeben. VII. In einem Trapeze sind die 4 Seiten a, b, c und d ge­ geben ; man soll die Höhe und den Inhalt dieses Trapezes angeben.

VIII. Es sind in einem AMNO (Fig. 93.) 2 Seiten MN — a, MO — I), und die den ANMO halbirende Linie MR — c gege­ ben; man soll NO = z und den Inhalt J des A MNO ermitteln. IX. Es sind die 3 Seiten eines A — a, b, c gegeben; man soll durch sie den Halbmesser deS Kreises bestimmen, der um das A ge­

legt werden kann. X. ES sind die 3 Seiten eineö A = a, b, c gegeben; man soll durch sie die Halbmesser der 4 Kreise bestimmen, von welchen je­ der die Nichtungen von a, b, c berührt. XL Wie wird der Inhalt J eineö A durch die Halbmesser der 4 Kreise, von welchen jeder die Richtungen der 3 Seiten des A

berührt, ausgedrückt? XII. Es sind gegeben die 4 Seiten a, b, c und d eines in einem Kreise beschriebenen Vierecks; man soll 1) die Diagonalen x und y dieses Vierecks, 2) den Inhalt J desselben, dins r des Kreises bestimmen.

und 3) den Na­

XIII. Es sind 3 gerade Linien a, b, c gegeben; man soll zu ihnen, als Seiten eineö Vierecks, welches um und in einem Kreise liegt, die 4te Seite d, den Inhalt J, den Navius r des um dasselbe

und den Nadins p des in demselben beschriebenen Kreises ermitteln. XIV. Es sind 3 Seiten a, b, c eines um einen Kreis be­ schriebenen Vierecks gegeben; man soll die Halbmesser a, ß, 7, 3 der

4 Kreise bestimmen, von denen jeder eine Seite des Verlängerung der beiden anliegenden Seiten berührt.

4ecks und die

XV. Welche Gleichungen finden zwischen den in XIV. vorkom­ menden 4 Halbmessern a, ß, 7 und 8 und den 4 Seiten a, b, 0, d statt?

XVI.

Man soll zwischen dem Halbmesser r eines Kreises, einer

Sehne a in demselben, und einer Sehne b des ersterer Sehne zuge­ hörigen halben Bogens eine Gleichung angeben.

58

Kapitel XIV.

XVII. Man soll 1) die Seite z deS regulären ZehneckS und 2) die Seite f deö regulären Fünfecks in einem Kreise, dessen Ra­ dius = r ist, bestimmen. XVIII. Man soll zwischen den Seiten z und f des regulären lOecks und 5ecks im Kreise und dem Radius r deö letztem eine Glei­ chung angeben. XIX. In einem Kreise, dessen Halbmesser — r ist, sind 2 Seh­ nen a und b gegeben; man soll durch a, b und r eine dritte Sehne x auödrücken, deren Mittelpunktswinkel — der Differenz der a und b zugehörigen Mittclpunktswinkel ist. XX. Man soll die Seite deö regulären ZOccks in einem Kreise, dessen Radius = r ist, ermitteln. XXL Zwischen der Seite a eineö regulären necks im Kreise der Seite b deö regulären necko um diesen Kreis, und dem Radius r eine Gleichung darzustellen. XXII. Den Inhalt eines Kreisabschnitts zu bestimmen, wenn der Mittelpunktswinkel — a *), die Sehne — a und der Halbmesser r gegeben ist. XXIII. Der Inhalt J einer Flächcnfigur tlnd die Figur selber sind gegeben; man soll die Linie x ermitteln, welche als Gemäß (oder Einheit) zu Grunde gelegt worden ist. XXIV. Es ist der Raum zwischen 2 concentrischen Kreisen = A, und der Halbmesser des innern Kreises = r gegeben; man soll die Breite x deö Ringes (d h. die Breite der zwischen beiden concentrischen Kreisen liegenden Ebene) bestimmen. XXV. Eine gegebene Linie a in 2 solche Theile zu theilen, daß der Inhalt deö rechtwinkligen H-, welches diese beiden Theile zu anliegenden Seiten hat, der größtmöglichste werde. XXVI. Es sind 2 Linien a und b gegeben; Ulan soll a so in 2 Theile theilen, daß das auö diesen Theilen und der Linie I) ge­ bildete A den größtmöglichsten Inhalt bekomme. XXVII. Es ist eine Linie a gegeben; man soll dieselbe so in 3 Theile theilen, daß das auö diesen Theilen gebildete A den größt­ möglichsten Inhalt erhalte XXVIII. Zwei parallele Linien a und g (Fig. 94.) sind durch die gebrochene Linie bcdef verbunden; man soll die Summe $ der aus einerlei Seite der gebrochenen Linie liegenden Winkel, also die Summe der in der Figur durch kleine Bogen angedenteten Winkel bestimmen. XXIX. Ist die zwischen a und g (Fig. 94.) vorhandene ge­ brochene Linie aus n geraden Linien zusammengesetzt, so soll die Summe der Winkel sowohl auf der einen als auf der andern Seite ermittelt werden.

) d. h. «°.

Von einigen geometrisch - algebraischen Aufgaben.

59

XXX. Zwei nicht parallele Linien a und g (Fig. 94.) sind durch die gebrochene Linie bcdef verbunden; inan soll den Winkel, welchen a und g da, wo sie sich schneiden, bilden, durch die in der Figur durch kleine Bogen oder durch ab, bc, cd, de, es, fg be­ zeichneten Winkel bestimmen. XXXI. Ist die zwischen 2 Linien a und z befindliche gebro­ chene Linie aus n geraden Linien b, c u s w. x, y zusammenge­ setzt, und bezeichnet man die Summe der aus einerlei Seite der qc? brochenen Linie vorhandenen Winkel, nämlich ab-f-bc-f-cd-J-.. . ... -j-xy-j-y? durch 8, so soll az ermittelt werden.

Auslosungen. I) Bezeichnet man die auf a, b und c stehenden Höhen beziehlich durch h, i, k, so folgt: (2ab)2 — (a2 -f-b2 — c2) oder 4a2 1) h2 — (2ac)2 —(a2+c2 -b2)2 4a2 — (a 2 + b2 - c2)2 (2ab)2 , oder 4b2 2) (2bc)2--(b2 + c2-a2)2 4b2 (2ac)2 --(a24-c2—b2)2 , oder 4c2 3) (2bc)2--(b2 H-c2 — a2)2 4c2 oder > //A _ /(.a+b.+ c)(—a+b+c)(a —b + c)(a + b —c)

4)

n

ex 5) 6)

: _ /(a+b4-c)(—a+b-f-c) (a—b-j-c) (a+b'-c) 1 ------------------------------ ------------------ •--------------- ■, — /(a-f-b-J-c)(— a-|-bc) (a — bcj (ab — c) k

,

2C

oder 7)

/SABC c. . VSABC 8) i — —cund 2a 2b l/SABC k — ———, wenn man a-s-b-j-c durch 8, —a-j-b-s-c h

durch A, a — b4-c durch B und a-j-b — c durch C bezeichnet.

Kapitel XIV.

60

Ist daS A gleichschenklig, etwa b = c, so erhält man:

=

= 2

R 1 —

,.„d

2

a . /4b2—a2 2b

Ist das A gleichseitig, also a = b = c, so crgiebt sich

11) li = i = k = -y-»

II)

Es ist:

/(4J)2 = (2ab)2 —(a2+b2 —c2)2, 1) )(4J)2 = (2ac)2 —(a2-|-c2—b2)2, ((4J)2 — (2bc)2—(b2+c2—a2)2

oben ober!; )

und hieraus:

2) J = >/(a4-b+c)(— a4-b-|-c)(a-b4-c)(a4-b—c) ober 3) J = j/SÄBC *). Ist das A gleichschenklig, so folgt:

4, j = "AEA Ist daö A gleichseitig, so erhält man:

5) J -

III) Es ist: 1) x = /2(a2-f-b2 — 2c2); und 2) J = /(a-/b-f-2c) (a-f-b —2c) (a-b-|-2c)(-a+b-f-2c). IV) ES ist: lj x — Z./2b2-j-2c2 — a2; 2), y — 2T/2af+?c2— b2;

3) z = -2 ./2a2 4-2b2—c2; 4) W — ^/(b-{-a4-c)(b-4-a—c) (b — a-J-c) (— b-j-a-f-c); 5) W= i/SÄBC.

V) Wie 4 zu 3. ') Vergleiche die zu I. gehörige Auflösung.

VI) Bezeichnet man der Kürze wegen, den Ausdruck ab 4- ac -/ bc durch S', « ab-,- ac—bc - C', — ab 4- ac 4- bc = B', ° a ab — ac 4~ bc - A so ergiebt sich: 2ab2c2 1) X ./Ä^’ 2a2bc2 2) y ~ /MM' 2a2b2c 3) z — ■----- und /A'B'C'S' j (abc)2 4) /A'B'C'S'" VII) Sie ergiebt sich aus I) und II). VIII) ES ist: 1) z = a4-b. |/1 — und

2) J =

/(2p4-CS).(2p —CS),

wenn man a-/b "durch s

und ab durch p ausdrückt. IX) Bezeichnet r den gesuchten Halbmesser, so ist: abc /(2ab)2—(a24-b2 —c2)2' X) Bezeichnet £ den Halbmesser des Kreises int A; a den, welcher a und die Verlängerungen von b und c; ß den, welcher b und die Verlängerung von a und c; und y den, welcher c und die Verlängerungen von a und b berührt, so erhält man:

1) £ — 4]v S

2) “ = 4 |

-

/? =

|/SAC _ 3) 0 = i]K B — — Y1 ]t /SÄB 4) /V — c —

Kapitel XIV.

62 so ist

XI) Bezeichnen £, a, ß, y die in Rede stehenden Halbmesser, J — V&tßy. XII) Es ist:

1)

.b-j-c.d)(a.c-|-b. d) f a.d + b.c

X

2) y 3) J = |. /A'B'C'D', •) und

, i/(a.b+c.d)(a.d4-b.c)(a.c+b.d) A'B'C'D' XIII) Es ist: 1) d ----- a-f-c— b, 4)

TV

2) J = /abcd, r , i/(ab-|-cd). (ac-/bd).(ad-|-bc) 3) 4)

«. ®

/abcd a-j-c

XIV) Ist die 4te Seile deö Dreiecks — a-f-c —b = d, so folgt: a2bd 1) a —

FR7j;

2) ß = 3)

b12.a.c 34* (a_Fc) • J’ c2b .d und (a-j-d). J’

d2.a.c 4) 8 ~ (a-f-c). J' wenn man den Inhalt deS Vierecks durch

J bezeichnet. XV) Die Gleichungen: 1) ay = ߧ-,

2) £ = V«ßy8 — V«7 — Vß5‘> 3) («+/5):(/+5) — ab:cd; 4) (aß): (yd) — a2b2: c2d2; u. s. w.

Wenn man nämlich a+b + c— d durch D', a + b— c + d durch C', a —b + c + d durch B' und —a + b + c + d durch A' bezeichnet.

Voll einigen geometrisch - algebraischen Aufgaben. XVI)

Es ist 4b2r2 — a2r24-b4; und hieraus:

1)

a = Ä)/4F^rp.

2)

r =

3)

b — /2r2— r/4r2—a2. XVII)

2)

b2 , . /4b2 — a2

Es ist:

, u. s. IV.

f — XVIU) XIX)

63

f2 = r24-z2.

Es ist: ES ist:

X

a./4r2—b2 ■—b. /4r2 — a2 2r

XX)

Sie ist: — L ß/15- 3/5 _

XXI)

Die verlangte Gleichung ist:

1)

2ar — b.}/4r2—a2;

und hieraus ergießt sich: 2) XXII)

, 2 ar b = ■ — j/4r2— a2

»

Der Kreisabschnitt ist: a. j/4r2 — a2

4 XXIII) Nimmt man eine beliebige Linie a als Einheit an, berechnet darnach den Inhalt der gegebenen Figur, so ist, wenn dieser Inhalt = F gefunden wird, die gegebene Figur einmal = J.x2, dann auch — F.a2, und deßhalb:

64

Kapitel XIV. XXV)

dern

Setzt man den einen Theil y -f-x, und also den an­

-------x, so ist der Inhalt des rechtwinkligen =#-, dessen anlie­

gende Seiten y-|-x und y — x sind, = (y^ —x2.

= (y + x) (y — x

Dieser Inhalt wird aber der größtmöglichste, wenn

x = o, also jede Seite — y, oder das rechtwinklige H- ein Qua­

drat ist. XXVI)

Setzt man den einen Theil von a gleich — -s-x, und

also den andern —

—x,

so

ist

der Inhalt des A,

welches

y-f-x, y—x und b z» Seiten hat, = -}/(a2—b2)(b2—4x2).

Dieser Inhalt wird aber der größtmöglichste, wenn x = o, und also daö über der Seite b construirte A ein gleichschenkliges ist. XXVII) Setzt man die der beiden andern Seiten =

A, welches y+x,

—* ^a * (t + x)

eine Seite = y-s-x, so muß jede

— y, und der Inhalt desjenigen

------ y und y — y zu Seiten Hal,

-(y~2x) = ^V"l"-ta3 —27(a4-2x).x2]

werden. Dieser Inhalt wird aber der größtmöglichste, wenn (a-}-2x).x2 = 0, oder x = o,

und

also das über der Seite

construirte A ein

gleichseitiges ist. XXVIII)

Verbindet man a und g durch eine senkrechte Linie,

so erhält man unmittelbar:

8 — 5.2k. n . 2R.

XXIX)

Sie beträgt:

XXX)

Bezeichnet man den. gesuchten Winkel durch ag, so er­

hält man für den Fall, welchen die Figur darstellt, wenn man stch nämlich durch die Spitze deS Winkels ab eine parallele Linie mit g gezogen denkt und XXVIII in Anwendung bringt:

ag — ab -{- bc-J- cd -|- de+ef-f-fg— 5.2k.

Von einigen geometrisch-algebraischen Aufgaben.

XXXI)

65

Es ist:

az = 8 —n.2k *). UebungSaufgaben. 1) Man soll 13° 7'9" 5"' Decimalmaß in Duodemnalmaß ausdrücken. 2) Man soll 47° 11'9"10"' Duodecimalmaß in Decimalmaß auödrücken. 3) Man soll 150'90" Decimalmaß in Duodecimalmaß aus­ drücken. 4) Man soll 1540° 370' 90" 350"' Decimalmaß in Duode­ cimalmaß ausdrück« n. 5) Man soll 130'70" Duodecimalmaß in Dezimalmaß Aus­ drücken. 6) Man soll 2370° 910'950" Duodecimalmaß in Decimal­ maß ausdrücken. 7) Die Grundlinie eines ist — 7'8" **), und die zugehö­ rige Höhe —5'4"; wie g,oß ist daS 8) Die Grundlinie eines =#= ist = 5'4" 7"', die Fläche dessel­ ben = 180'420"; wie groß ist die Höhe? 9) Die Grundlinie eines A ist — 9'8", die Höhe =7'5"; wie groß ist die Fläche deS A? 10) Die Höhe eines A ist = 3° 2', die Fläche desselben — 32,7830'; wie groß ist die Grundlinie? 11) Die Fläche eineö ist — 5Q° 130'70"; wie groß ist eine Seite? 12) Die eine parallele (Seite eines cd ist = 9'4", die andere = 8Z 9", und die Höhe = 5' 3" 9"'; wie groß ist die Fläche deö cd? 13) Die Höhe eines cd Ist = 2°, die eine der parallelen Sei­ ten = 8'9", die Fläche des cd = 30° 70'; wie groß ist die an­ dere parallele Seite? 14) Die 3 Selten eines A sind; 7', 8'6", 9' 3"; die Pro­ jektion x der Seite 7' auf die Seite 8' 6" zu ermitteln 15) ES sind 2 Seiten eineZ A, welche einen stumpfen Winkel einschließen, = 7'8" und 4'9", und die Projektion der letztem auf die erstere = 1'2" 5"' gegeben; man soll die 3te Seite bestimmen. 16) Die parallelen Seiten eines cd sind 5' 4" und 9' 2'z, die Höhe des cd ist 7'3"4'"; wie groß ist die Entfernung, deö SchneidungSpunktes der nicht parallelen Seiten von der Seile 5'4"?

*) Wird az positiv, so liegt die durch die Spitze des Winkels ab mit g parallel gedachte Linie oberhalb a; wird ac aber negativ, so ist diese Parallele unterhalb a befindlich.

**- Decimalmafi. Geometrie.

5

66

Kapitel XIV.

17) Die parallelen Selten eines sind 8'7" und 12' 8", und ihre Entfernung beträgt 5'6"; wie weit ist eine, mit den pa­ rallelen Seiten parallele Linie von 10' Länge zwischen den nicht pa­ rallelen Seiten, von der Seite 8' 7" entfernt? 18) Die Seite eines A ist =9'5", und der Inhalt desselben = 4oQ' 9Q"; durch welchen Punkt der Seite 9'5" muß man mit einer der gegenüberliegenden Seiten eine Parallele legen, damit das ab­ geschnittene A 17Q'83Q" enthalte? 19) Die 3 Seiten eines A verhalten sich wie 5:12:13, und die Fläche des A beträgt 200Q°; wie' groß sind die Seiten des­ selben? 20) Es ist ein Vieleck gegeben, dessen eine Seite 3° 2' 5" be­ trägt ; man soll ein ihm ähnliches construiren, welches nur einen halb so großen Inhalt besitzt. 21) Ein Kreiö hat einen Durchmesser von 12'9"; man trägt 7'3" darauf ab, und errichtet in dem Endpunkte dieser Länge eine bis zur Peripherie gehende Senkrechte; wie groß ist letztere? 22) In einem Kreise von 9' Durchmesser zieht man aus dem einen Endpunkte einer Sehne von 5' Länge einen Durchmesser; wie groß ist die Projektion dieser Sehne auf den Durchmesser? 23) Die Höhe eines Kreisbogens ist 17', die» Sehne desselben = 60'; wie groß ist der Durchmesser dieses Bogens? 24) In einem Halbkreis zum Durchmesser 15' ist eine Senk­ rechte von 6' auf dem Durchmesser errichtet; welchen Punkt deS Durchmessers trifft dieselbe? 25) In der Verlängerung einer Sehne von 8'5" werden noch 3'7" angesetzt, und aus dem Endpunkte dieser 3'7" wird eine Tan­ gente an den Kreis gelegt; wie groß ist die Länge derselben? 26) Einen Kreis von 3'8" Halbmesser durch einen concentrischen zu halbiren. 27) Wie groß ist 'die Peripherie und wie groß die Kreisebene, wenn der Halbmesser 7'6" beträgt? 28) Wie groß ist die Peripherie und wie groß die Kreisebene, wenn der Durchmesser 1 0 7'9" ausmacht? 29) Die Peripherie ist = 4'2"; wie groß ist der Durchmesser und wie groß die Kreisebene? 30) Eine Kreisebene ist = 11Q° 3Q'7Q" 19Q'"; wie groß ist der Durchmesser und die Peripherie? 31) Wie groß ist der Bogen und wie groß der Kreisausschnitt zu einem Halbmesser von 6' 3" und einem Mittelpunktswinkel von 37° 18'? 32) Wie groß ist der Bogen und wie groß der Kreisausschnitt zu dem Durchmesser 1'7" und dem Mittelpunktswinkel 44° 18'49"? 33) Die Länge eines Bogens, dessen Durchmesser 9° 7' 4" 6'" beträgt, ist 4'3" 2'". Wie groß ist der Mittelpunktswinkel und die Ebene des Kreisausschnitts?

Von einigen geometrisch algebraischen Aufgaben.

67

34) Für welchen Mittelpunktswinkel ist der Bogen so groß wie der Halbmesser? 35) Der Halbmesser ist = 9Z7ZZ, der Mittelpunktswinkel = 60 o; man soll die Größe des hierzu gehörigen Kreisabschnitts berechnen.

36) Die Ringfläche zwischen 2 concentrischen Kreisen ist =420', der Halbmesser des innern Kreises = 9Z; wie breit ist der Ring?37) In 2 concentrischen Kreisen ist der größere Radius = 7'4" 5"', der kleinere = 2Z9ZZ5ZZZ; wie groß ist der RinH?

38) Ein concentrischer Ring enthält 87(V 3QZZ, seineBreite 3Z; wie groß ist der Halbmesser des kleinern Kreises? 39) In einem rechtwinkligen A ist die Hypotenuse = 14z7" und die beiden Catheten verhalten sich wie 5:7; wie groß ist ie.De?

40) Die Seite eines gleichseitigen A ist =5'4% wie. groß- ist die Höhe desselben? 41) Die Höhe eines gleichseitigen A ist — 9Z 5",. wie groß

ist jede Seite desselben? 42) Die dritte Seite eines gleichschenkligen A ist = 10 und jeder Schenkel = 7'8"; man soll die 3 Höhen ermitteln. 43) Die Schenkel eines gleichschenkligen A sind — 40, die Höhe

auf die 3te Seite — 8; wie groß ist diese 3te Seite? 44) Die Schenkel eines gleichschenkligen A sind — 12^, «und die Höhe auf jeden Schenkel beträgt 5'-, wie groß ist die 3te Seite' x?>

45) Die 3te Seite eines gleichschenkligen A ist = lor,4z,

und

die auf den Schenkeln stehende Höhe — 9'; wie groß sind die Schenkel? 46) Die 3 Seiten eines A

sind 7Z,

8Z 4ZZ

und 9Z 6ZZ; man

soll die zugehörigen 3 Höhen berechnen.

47) Zwei Seiten eines A sind 7 und 9,

und die auf 7 ste­

hende Höhe ist — 5; man soll die dritte Seite berechnen.

48) Zwei Seiten eines A

sind

8 und 11, und die

auf der

3ten unbekannten Seite stehende Höhe beträgt 6; wie groß ist die 3te

Seite? 49) Die Seite eines gleichseitigen die Fläche desselben? 50) Die Fläche

eines

A

ist — 8Z;

gleichseitigen. A ist

wie

120Q°,

groß

ist

wie gro.ß

ist seine Seite? 51) Die 3te Seite eines gleichschenkligen A ist =10, jeder Schenkel =13; wie groß ist der Inhalt dieses A? 52) Der Inhalt eines gleichschenkligen A ist =12, und die

3te Seite = 6; wie groß ist jeder Schenkel? 53) Die Fläche eines gleichschenkligen A

ist = 120Qz, amb

jeder Schenkel = 17z; wie groß ist die 3te Seite? .54) Die 3 Seiten eines A sind =; 7, 6, 3; wie groß ist der

Inhalt?

Kapitel XIV.

68

55) Zwei Seiten eineö A sind

10 imb 20,

und

der

Inhalt

desselben = 62; wie groß ist die 3te Seite? 56) Die parallelen Seiten eineö cd sind 12z und 17z, und die nicht parallelen 8' und 9Z; man soll den Inhalt des CD ermitteln. 57) Die gerade Linie, welche die Ecke eines A mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet, ist = 6'3ZZ, und die beiden andern sind 5Z 8ZZ und 9Z4ZZ; wie groß ist die 3te Seite und die Fläche deS A? 58) Die 3 Seiten eines A sind 5, 9, 12; wie groß ist die

gerade Verbindungslinie der Mitte der Seite 12 mit der gegenüber­ liegenden Ecke? 59) Die gerade Linie, welche die Ecke eines A mit der Mitte

der gegenüberliegenden Seite verbindet, ist — 10z; die halbirte Seite = 13z2", und eine der beiden andern =9Z; wie groß ist die 3te Seite? 60) Die 3 geraden Linien aus den Ecken eines A nach den

Mitten der gegenüberliegenden Seiten sind gleich 9Z, 10z und 5Z 6"; man soll die 3 Seiten und die Fläche des A berechnen. 61) Die 3 Höhen eines A sind 8Z, 10', 12z; man soll die Seiten und die Fläche des A berechnen. 62) ES ist (in Nr. VIII.dieses Kapitels) n —10, b= 12 und

c = 9 gegeben; man soll z und I berechnen. 63) Es ist (in Nr. XII. dieses Kapitels) so erhält man: 1) (R —x)2 = (b-J-z)2-f-y2 , 2) (r 4- x)2 — (c —z)2+(a—y)2, 3) (f-f-x)2 = (d — z)2+(e— y)2. Aus diesen 3 Gleichungen ergiebt sich aber x, y und z **). 123) Setzt n . ,, _ ac+>/(a24-b24-c2).a-a2-b2a2 man— —«,io ergiebt sich: x=—=-4————--------------- ***). m cc 1 124) Ist OV = a, QW = b, VW = c, a und b J_ c, VP = x, so folgt x = a-^ . 125) Bei der in Nr. 124. und 125. ange2Z —ac 126) Man findet, bei der b-r—a in den letzten 3 Nummern angegebenen Bezeichnung und für p2c + eVp4 -|-4a2c2 —4a2e2 a2_j_o2-b2—o2 = e2, x =. t)'.

gebenen Bezeichnung ist x =

2(e2 —c2)

--------u-----*) Soll ddr gesuchte Kreis den zum Halbmesser r in sich aufnehmen, so setze man ^-r für 4-r; sott er aber beide in sich aufnehmen, so werden

r und £ negativ gesetzt.

■**) Sott der gesuchte Kreis einen', 2 oder alle 3 gegebenen innerhalb be­ rühren, so werden die zugehörigen Halbmesser negativ gesetzt. **♦) Gegenwärtiges Resultat ist nur dann reell, wenn

a3 + b3+c34- /[(a + b)3 + c2]. [(a - b)2 4- c3J « b, so ist die Ent­ fernung vom Mittelpunkte deS zum Halbmesser b gehörigen KreiseS bc bis rum Durchschnittspunkte —----- r . a—b »2

I 1)2 ___ o2

134) Die Seite, deren Projektion b ist, beträgt: —— ---------;

die Seite, deren Projektion c ist, macht: —------- ; und der Inhalt deö A, dessen 3te Seite d entweder b — c oder c—b oder b-j-e ist, =

/(a-j-b-j-e)(a-s-b—c)(a-/c—b)(a—b—c).

Fünfzehntes Kapitel.

Von einigen Construktionen algebraischer Formeln.

Wio werden gesehene Zahlen construin? H a u p t a n s g a b e n. I. Es sind a, b und c drei gegebene Zahlen; man soll Linien construiren, deren Maße auf dieselbe Einheit, etwa E, bezogen, be-

ziehlich durch: 1) a-j-b,

2) a—b,

3) a,b,

4)

und 5)

dargestellt sind. II. Es sind a und b zwei gegebene Zahlen;

man

soll Linien

construiren, deren Maße auf eine Einheit, etwa E, bezogen, beziehlich

durch:

1) /a,

2) /a.b und

3) |/y

dargestellt sind. III. ES sind a und b zwei gegebene Zahlen; construiren, deren Maße aus eine Einheit, etwa E,

man soll Linien bezogen, bezieh-

lich durch:

1) /a2-|-b2, und 2) /ü2—b2 vorgestellt' sind. IV. ES sind a, b und c drei gegebene Zahlen; man soll Li­ nien construiren, deren Maße auf eine Einheit, etwa E, bezogen, be--

ziehlich durch:

_ __________

1) /a2-}-b2 — 2ac, und 2) /a24-b24-2ac

dargestellt sind. V. Wie wird eine zusammengesetzte algebraische Formel construirt. VI. Man soll ein gegebenes A dergestalt in ein verwan­ deln, daß die eine parallele Seite dieses Trapezes durch a, und die beiden dieser Seite anliegenden Winkel durch a und ß dargestellt sind. ] •

Giebt man nun der für x entwickelten Formel folgende Gestalt:

so ergiebr sich, daß man, um x zu erhalten, zu a, b und b die 4tc Proportionallinie 1 construiren, dieselbe von

a abschneiden,

deS

Resteö zu 1 setzen, und dann zu dieser Summe und a die mitt­ lere geometrische Proportionale construiren muß. Construktion. Ist (in Fig. 116.) MNOP das gegebene Tra­ pez, MN = a, PO = b; und zieht man PQ || ON, beschreibt über MN einen Halbkreis, macht NS = NQ und ST J. MN, so folgt:

oder

oder und also

NT:NS = NS :NM, NT : b = b : a, , b2 NT = —; a b2 MT = a ——. a

Theilt man nun MT in ß gleiche Theile, und nimmt TU =

. MT,

P

M = NT + TU = b2+“.(„_b2); und errichtet man ferner die Senkrechte UV, so ist NV = 3/a. NU, und also NV = x. Macht man endlich NW = NV, WZ || NG und ZG || MN, so ist POGZ = ~ . MNOP.

ß

XIV) Bezeichnet man die zu a, b und c gehörigen Seiten durch x, y, z, so ergießt sich:

Von einigen Construktionen algebraischer Formeln.

X =

2ab2c2

-------

85

}

/(ab-j-ac-f-bc). (—ab-f-ac-f-bc). (ab—ac-f-bc). (ab-f-ac—bc)

ax y=¥’

ax Z =V

Dividirt man nun den für x erhaltenen Ausdruck im Zähler und Nenner durch a2, so folgt: bc , 2 . — . bc a

bo und construirt man nun hierauf die 4te Proportionale —, und be­

zeichnet ihre Länge durch d, so ergiebt sich: _ k Ä . V(b + c4-d)(—b-j-c-f-d)(b — c-s-d)(b-s-c— d) x__D.c. od *

Nun ist aber:

b-j-c-f-d) (b — o-s-d)(b-j-c —d) __

^(b-J-c-f-d) (

Seite d stehenden Höhe in einem A, dessen Seiten b, c und d sinh; und construirt man jetzt dieses A, bezeichnet die in Rede stehende Höhe durch h, und setzt so folgt

1)

oder

ferner oder

2)

und endlich

3)

oder

Aus 1) 2) und 3) geht aber das verlangte A auf eine ein­ fache Weise hervor. Konstruktion. Ist (in Fig. 117.) MNO das mit b, c und der 4ten Proportionale

*) weil

d =

b .c

= d construirte A, und ist MN = b,

ist.

bc *•) wenn man — für x schreibt.

Kapitel XV.

86

MO = o- NO = d, so ist die aus M auf NO gefällte Senkrechte MP, = h. Verlängert man aber nun PM über M hinaus, macht PO = a, und zieht 08 II IM und QT || MO, so ist OST das ver­ langte Ä.

XV)

ES ist: (a -|-x): x ±= x: bj

stn eine Cathele — und dessen andere die mittlere geometrische Pro­ portionale zwischen a und b ist. Construktion. Macht man (in Fig. 118.) auf einer gera­ den Linie MN = b, NO = a, beschreibt übet MO einen Halbkreis, macht NPMO) hglbirt MN ip Q, zieht OP uad macht QS = QP, so ist NS die verlangte Linie.

Uebungsaufgaben.

3) 4)

-

a— /i a2 —a.b *) Resultate.

1) Man setze entweder: a./3 = /3a.a, - -

,'v -v

—a2,

und construire die hierzu gehörige Linie im ersten Falle, ilach I. 5Jlr. 2., und im letztem, nach III. Nr.. 2 2) Construirt man (nach I. Nr. 5.) die 4te geometrische Pro­

portionale np, bezeichnet ihr Maß durch f, setzt also

/a.f-f-e2, utld entwickelt (nach II.) /af

g, oder a.f=g2, so

/g2-j-e2, welche nach III. Nr. 1. con­

struirt werden kann. *) Mehrere hierher gehörigen Aufgaben sind im 14tcn Kapitel befindlich.

Von einigen Construktionen algebraischer Formeln.

87

3) Macht man (nach II. Nr. 2.) /b. c = d, also b.c = d2, so ergießt sich a+fa2 —bTc — a-f-/a2 — d2, welche letztere Summe nach III. Nr. 2. und I. Nr. 1. eonstruirbar ist. 4) Man setze

a—/|a2 —a.b — a— |/a2 -J- (-^-) —2.

. b u. s. w.

Sechzehntes Kapitel.

Von mehreren vermischten Uebungssätzen aus der ebenen Geometrie. i. Ueber Winkel, Parallellinien und Dreiecke. 1) Die Senkrechte, welche man auf der Halbirungslinie eines Winkels im Scheitelpunkte errichtet und nach beiden Seiten verlän­ gert, schließt mit den Schenkeln desselben gleiche Winkel ein. 2) Parallelen, welche von einer Linie*) gleiche Stücke abschnei­ den, schneiden von jeder andern sie beliebig durchschneidenden Linie ebenfalls gleiche Stücke ab. 3) Eine Linie, welche durch den Halbirungspunkt einer Verbin­ dungslinie zweier Parallellinien geht und mir denselben gleiche Rich­ tung besitzt, halbirt jede andere Verbindungslinie dieser Parallelen. 4) Wenn man 2 Linien, welche 2 gegebene Parallellinien ver­ binden, halbirt und durch beide Halbirungspunkte eine gerade Linie legt, so ist dieselbe mit jeder der beiden parallelen Linien parallel. 5) Die Halbirungslinie zweier äußern Winkel eines A bilden mit den HalbirungSlinien der ihnen zugehörigen innern Winkel ein 4eck, in welchem 2 gegenüberliegende Winkel — 2R ausmachen. 6) In einem A treffen die HalbirungSlinien zweier äußern Winkel und des nicht zu ihnen gehörigen innern Winkels in Einem Punkte zusammen. 7) Die Summe der 3 Höhen eineS spitzwinkligen A ist kleiner als der Umfang und größer als der halbe Umfang.

) Man bemerke, daß man unter Linie immer die gerade Linie versteht.

Von einigen Construktionen algebraischer Formeln.

87

3) Macht man (nach II. Nr. 2.) /b. c = d, also b.c = d2, so ergießt sich a+fa2 —bTc — a-f-/a2 — d2, welche letztere Summe nach III. Nr. 2. und I. Nr. 1. eonstruirbar ist. 4) Man setze

a—/|a2 —a.b — a— |/a2 -J- (-^-) —2.

. b u. s. w.

Sechzehntes Kapitel.

Von mehreren vermischten Uebungssätzen aus der ebenen Geometrie. i. Ueber Winkel, Parallellinien und Dreiecke. 1) Die Senkrechte, welche man auf der Halbirungslinie eines Winkels im Scheitelpunkte errichtet und nach beiden Seiten verlän­ gert, schließt mit den Schenkeln desselben gleiche Winkel ein. 2) Parallelen, welche von einer Linie*) gleiche Stücke abschnei­ den, schneiden von jeder andern sie beliebig durchschneidenden Linie ebenfalls gleiche Stücke ab. 3) Eine Linie, welche durch den Halbirungspunkt einer Verbin­ dungslinie zweier Parallellinien geht und mir denselben gleiche Rich­ tung besitzt, halbirt jede andere Verbindungslinie dieser Parallelen. 4) Wenn man 2 Linien, welche 2 gegebene Parallellinien ver­ binden, halbirt und durch beide Halbirungspunkte eine gerade Linie legt, so ist dieselbe mit jeder der beiden parallelen Linien parallel. 5) Die Halbirungslinie zweier äußern Winkel eines A bilden mit den HalbirungSlinien der ihnen zugehörigen innern Winkel ein 4eck, in welchem 2 gegenüberliegende Winkel — 2R ausmachen. 6) In einem A treffen die HalbirungSlinien zweier äußern Winkel und des nicht zu ihnen gehörigen innern Winkels in Einem Punkte zusammen. 7) Die Summe der 3 Höhen eineS spitzwinkligen A ist kleiner als der Umfang und größer als der halbe Umfang.

) Man bemerke, daß man unter Linie immer die gerade Linie versteht.

88

Kapitel XVI. 8) Das Quadrat der Hypotenuse elues rechtwinkligen

sich in

4

zerlegen,

dem

gegebenen

congruente

Dreiecke und

dessen Seiten der Unterschied der

Katheten

A

läßt

in ein Quadrat des

gegebenen

Dreiecks ist. 9) Zwei Dreiecke, welche gleiche Höhen, gleiche Grundlinien und

außerdem noch eine gleiche Seite haben, sind einander congruenr. 10) Wenn man in einem A von den Winkelstützen nach den Mitten der ihnen gegenüberliegenden Seiten gerade Linien zieht, jede derselben über die Seite hinaus um den 3ten Theil ihrer eigenen Größe verlängert, und die so erhaltenen Endpunkte durch 3 gerade Linien verbindet, so schließen diese ein A ein, das dem gegebenen kongruent ist und dessen Seiten dnrch dieselben Linien halbirt sind. 1J) Unter allen Dreiecken von gleichen Höhen und gleichen Grundlinien hat das gleichschenklige den größten Winkel an der Spitze.

12) Unter allen Dreiecken von gleichem Inhalte und auf der­ selben Grundlinie hat das gleichschenklige den kleinsten Umfang. 13) Wenn man von der Spitze eines A eine Senkrechte auf die Grundlinie fällt, und durch eine andere Linie den Winkel an der Spitze halbirt, so schließen diese beiden Linien einen A ein, der halb

so groß, wie der Unterschied der beiden Winkel an der Grundlinie sich zeigt. 14) Wenn man auf die Grundlinie eines beliebigen A von

jeder Winkelspitze aus nach

innen zu

eine Linie abträgt, welche der

anstoßenden Seitenlinie gleich ist, und die dadurch erhaltenen End­ punkte dieser Linien mit der Spitze des A verbindet, so schließen die

Verbindungslinien einen A ein, welcher halb so groß als die Summe der Winkel an der Grundlinie ist. 15) Die Linie, welche die Mitte der Seite

eines A

mit der

Spitze des gegenüberliegenden A verbindet, ist entweder gleich, größer oder kleiner als die halbe Seite, je nachdem das A als ein recht­ winkliges, spitzwinkliges oder stumpfwinkliges sich zeigt. 16) Wenn die Cathete eines rechtwinkligen A in beliebige gleiche

Theile getheilt ist, und von Den Theilungspunkten Linien nach der Spitze des gegenüberliegenden A gezogen werden, so wird durch die­ selben der A in ungleiche Stücke, und zwar so zerlegt, daß jedes derselben desto größer ist, je näher es der andern Cathete zu liegen

kommt. 17) Wenn die Seite Spitze des

eines

A

durch Linien,

welche von der

ihr gegenüberliegenden A gezogen sind, in

eine gewisse

Anzahl gleicher Theile getheilt wird, so wirv durch dieselben Linien jede andere Linie, welche der getheilten parallel und von den Schenkel des gegenüberliegenden A begrenzt ist, in eben so viel gleiche Theile

zerlegt. 18)

Wenn man mit der Seite eines A

eine Parallele zieht,

und von der Spitze des ihr gegenüberliegenden A durch den Durch-

Von mehreren vermischten Uebungssätzen über Dreiecke.

89

schnittspunkt der Diagonalen des entstandenen Trapezes eine gerade Linie legt, so halbirt dieselbe das A.

19) Durch die 3 Halbirungslinien der Winkel eines gleichseiti­ gen A wird dasselbe in 3 gleiche Dreiecke getheilt. 20) Wenn man über den Seiten eines A nach außen hin 3 gleichseitige Dreiecke errichtet und die Spitze eines jeden mit der sei­ ner Grundlinie gegenüberstrhenden Winkelspitze des erstern A verbin­ det, so schneiden sich diese 3 Linien in Einem Punkte und unter gleichen Winkeln. 21) Wenn man von einer Winkelspitze an der dritten Seite ei­ nes gleichschenkligen A eine Senkrechte auf die andere Seite fällt und den spitzen Z., den dieselbe mit der ersten Seite bildet, halbirt, so schließt die HalbirungSlinie mit der dritten Seite einen halben rechten Z. ein. 22) Zwei auf einer gemeinschaftlichen Grundlinie nach verschie­ denen Seiten hin errichteten AA sind gleich, wenn die Verbindungs­ linie ihrer Spitzen durch die Grundlinie oder deren Verlängerung halbirt wird. Wird diese aber in ungleiche Theile zertheilt, so ist daS A auf derjenigen Seite größer, wo der größere Theil dieser Verbin­ dungslinie sich befindet. 23) Wenn man von der Winkelspitze eines A auf beiden an­ stoßenden Seiten Stücke abschneidet, welche glcichviele Theile der zu­ gehörigen Seiten sind, die Theilungspunkte mit den Spitzen der die­ sen Seiten gegenüberliegenden Winkel verbindet, und eine Linie durch den Durchschnittspunkt dieser Verbindungslinien und die zuerst gege­ bene Winkelspitze legt, so halbirt diese das A. 24) Wenn eine Linie, welche 2 Punkte verschiedener Dreiecksei­ ten verbindet, durch eine andere halbirt wird, die aus der Mitte der 3ten Seite nach der Spitze des ihr gegenüberliegenden Z. gezogen ist, so läuft sie dieser 3ten Seite parallel. 25) Schneidet man (Fig. 119.) von jeder Seite des gleichseiti­ gen A abc den 3ten Theil ab, und verbindet die TheilungSpunkte d, e und f> so entsteht ein gleichseitiges,A des, welches der 3te Theil des gegebenen ist. 26) Wenn man jede Seite eines gleichseitigen A in 3 gleiche Theile theilt und je 2 einer Winkelspitze zunächst liegende Theilungöpunkte durch eine gerade Linie verbindet, so wird ein reguläres Sechs­ eck erzeugt. 27) Wenn in einem rechtwinkligen A die Hypotenuse doppelt so groß als die eine Kathete ist, so. verhalten sich die Winktl wie 1:2:3. 28) Wenn in einem rechtwinkligen A ein Z. gleich |R be­ trägt, so ist die Hypotenuse doppelt so groß, als die an diesem Z. liegende Cathete.

90

Kapitel XVI.

29) Wenn man (in Fig. 120.) über der Höhe ad des gleich­ seitigen Aabc einen Halbkreis beschreibt nnd von den Endpunkten des Halbmessers cd nach dem Durchschnittspunkte f gerade Linien zieht, so ist das A des gleichseitig. 30) Im rechtwinkligen A ist jede Cathete die mittlere geome­ trische Proportionale zwischen der Summe und Differenz der beiden andern Seiten. 31) DaS Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen A ist = dem Quadrate der doppelten Höhe (aus der Spitze des rechten A) nebst dem Quadrate der Differenz der Abschnitte, welche durch die Höhenlinie auf der Hypotenuse gebildet werden. 32) Fällt man in dem gleichschenkligen A abc (Fig. 121.) auf eine der gleichen Seiten die Senkrechte bd, so ist: ab2 4~ac2 -|-bc2 — 3bd2-j-2ad2 -s-cd2. 33) Zieht man in einem gleichschenkligen A von der Spitze nach einem beliebigen Punkte der 3ten Seite eine gerade Linie, so ist das Quadrat derselben gleich dem Unterschiede zwischen dem Qua­ drate einer der gleichen Seiten und dem Rechtecke aus den Abschnit­ ten der 3teil Seite. 34) Beschreibt man über der Hypotenuse eines rechtwinklig gleichschenkligen A einen Halbkreis, und aus der Spitze deö rechten A einen Quadranten, so ist die von den beiden Vogen begrenzte Figur dem A gleich. 35) In einem rechtwinkligen A ist die doppelte Summe der Hypotenuse und des Durchmessers des eingeschriebenen Kreises dem Umfange deö A gleich. 36) Theilt man die 3te Seite eines gleichschenkligen A in 3 gleiche Theile und zieht von der Spitze nach den entstandenen 2 Thei­ lungspunkten gerade Linien, so ist der mittlere der 3 Winkel an der Spitze größer als jeder der beiden andern. 37) Halbirt man die Seiten eines A und verbindet die Halbirungspunkte, so wird das A in 4 kongruente Drucke getheilt. 38) Zieht man in einem A durch die Mitte einer Seite mit der Grundlinie eine Parallele, so schneidet diese an der Spitze ein A ab, welches den 4ten Theil des ganzen beträgt. 39) Beschreibt man (in Fig. 122.) über den Seiten eines rechtwinkligen A Quadrate und verbindet die Ecken derselben durch gerade Linien, so hat jedes der Dreiecke aci, fgh und bde mit dem A agb gleichen Inhalt. 40) Fällt man in einem stumpfwinkligen A aus der Spitze des stumpfen A auf die gegenüberliegende Seite eine Senkrechte, so ist daö Quadrat derselben kleiner als das aus den Abschnitten der durchschnittenen Seite gebildete Rechteck. 41) Fällt man auö der Ecke eines spitzwinkligen A auf die ihr gegenüberliegende Seite eine Senkrechte, so ist das Quadrat der-

Von mehreren vermischten Uebungssätzen über Dreiecke. selben

größer als

das ans den Stucken der

durchschnittenen

91 Seite

gebildete Rechteck. 42) Wenn man im Aabc (Fig. 123.) vom A bac, welchen

die ungleichen Seiten ac und ab (und zwar ac

ab) umschließen,

auf die noch übrige Seite eine Senkrechte fällt, so verhält sich die Summe jener beiden Seiten zur Summe der Abschnitte der durch­ schnittenen Seite, wie die Differenz dieser Abschnitte zu der Differenz jener Seiten. Es ist also: (ac-f-ab): (cd-j-bcl) = (cd — bd): (ac—ab). 43) Zn jedem A ist die Differenz der Quadrate 2er Seiten gleich der Differenz der Quadrate der von der Senkrechten auf der

Steil Seite gebildeten Abschnitte. 44) Unter allen Dreiecken, welche sich aus 2 gegebenen Seiten bilden lassen, ist dasjenige das größste, in welchem der von diesen

Seiten gebildete A als ein rechter sich zeigt. 45) Halbirt man im Aabc (Fig. 124.)

die Seiten ab und

ac in d und e, verbindet d und c durch eine gerade Linie, zieht aus e die beliebige cg und df||eg, so ist dcgf ein -t und zwar halb so groß als A abc. 46) Die 3 Linien, von denen die eine einen A des A, die beiden andern die äußern Winkel, welche nicht Nebenwinkel jenes A sind, halbiren, schneiden sich in Einem Punkte, und derselbe ist von allen Seiten des A gleichweit entfernt. 47) Zwei AA sind congruent, wenn alle 3 Seiten paarweise auf einander senkrecht stehen, und eine Seite in beiden gleiche Größe

hat, wenn nur die beiden gleichen Seiten auf einander J_ sich be­ finden. 48) In jedem A bildet die Halbirungslinie eines A mit der seinen Schenkel treffenden Höhe einen A, welcher gleich der halben Differenz der Winkel an der Gegenseite ist. 49) Wenn man in einem A, mit 2 ungleichen Seiten, die

Spitze des von ihnen gebildeten A mit dem Mittelpunkte der ihm gegenüberliegenden Seite durch eine gerade Linie verbindet, so theilt diese Linie den erwähnten A f o in 2 ungleiche Theile, daß der der kleinern Seite anliegende Theil als der größere sich zeigt. 50) Wenn man bei einem rechtwinkligen A die den Catheten gegenüberliegenden Seiten der außerhalb des A gebildeten Quadrate

dieser Catheten, und zugleich die aus der Spitze des rechten A auf die Hypotenuse gefällte Senkrechte gehörig verlängert, so schneiden sich diese 3 Linien in Einern Punkte. 51) Die 3 Hülfslinien beim gewöhnlichen Beweise des Pytha­ goräischen Lehrsatzes schneiden sich in Einem Punkte; auch sind die

dem rechten A anliegenden Stücke gleich groß, und die beiden an­ dern verhalten sich direkt wie die Stücke der Hypotenuse. Man er­ hält also (in Fig. 125.):

92

Kapitel XVI. 1) af, bh und cn schneiden sich in Einem Punkte,

2) cl = cm, 3) bm : al = bk : ak. 52) Wenn man in einem gleichschenkligen A einen Punkt der 3ten Seite mit der gegenüberliegenden Ecke durch eine gerade Linie verbindet, so ist das Quadrat dieser Linie gleich dem Quadrate der einen gleichen Seite weniger dem aus den beiden Stücken der 3ten Seite gebildetem Rechtecke. Man erhält also (in Fig*. 126.):

c2 — a2 — m.n, 53) Ist vaö A nicht gleichschenklig (wie in Fig. 127.), so er-

giebt sich:

m-s-n 54) Unter allen AA von einerlei Inhalt und einem gleichen A, ist in demjenigen, die diesem gleichen A gegenüberliegende Seite 'am kleinsten, in welchem die ihn einschließenden Seiten gleiche Größe besitzen. 55) Jeder Punkt, welcher in der Höhe eines gleichseitigen A

liegt, hat die Eigenschaft, daß, wenn man aus demselben auf die übrigen Seiten des A Senkrechte fällt, die Summe derselben so groß wie die Entfernung des Punktes von der Spitze des A ist.

56) Wenn die aus der Spitze des rechten A auf die Hypote­ nuse gefällte Senkrechte | der Hypotenuse beträgt, so ist das auö den beiden Catheten gebildete Rechteck dem Quadrate ihres Unter­ schiedes gleich.

II.

Ueber Vierecke und Vielecke. 57) Wenn man einen Punkt einer Ebene mit 3 andern in der­ selben durch gerade Linien verbindet, so find diese zusammen genom­ men größer als die Hälfte der 3 Verbindungslinien jener Punkte unter sich.

58) Wenn man von den Punkten, wo die Seiten einer beliebi­

gen geradlinigen Figur zusammenstoßen, gerade Linien nach einem im Innern der Figur gegebenen Punkte zieht, so sind diese zusammen ge­ nommen größer als der halbe Umfang dieser Figur. 59) Wenn mehr als 3 Linien in einem Punkte zusammenstoßen, und man aus zwei Punkten der einen beliebige Parallelen nach der 2ten, aus den dadurch bestimmten Punkten beliebige Parallelen nach der 3ten, aus den Punkten, welche diese in der 3ten bestimmen, be­ liebige Parallelen nach der 4t'en u. s. w. zieht, so sind die Linien, welche

Von mehreren vermischten Uebnngssätzen über Vierecke.

93

von den so bestimmten Punkten der letzten nach den angenommenen Punkten der Isten gezogen werden, einander parallel. 60) Wenn man die beiden Diagonalen eines Trapezes halbirt und durch die Halbirungspunkte eine gerade Linie zieht, so ist die­ selbe den parallelen Seiten des Trapezes parallel und halbirt die nicht parallelen Seiten desselben. Auch ist das zwischen den beiden Diago­ nalen befindliche Stück der geraden Linie die halbe Differenz der pa­

rallelen Seiten. 61) Durch die Linien, welche man von einer Winkelspitze eines 4b nach den Mitten der Seiten zieht, welche deu gegenüberliegenden

Z. einschließen, wird die diese Linie durchschneidende Diagonale in 3

gleiche Theile getheilt. 62) Wenn man die Diagonale eines 4b in 3 gleiche Theile theilt und aus den Winkelspitzen, durch welche diese Diagonale nicht geht, gerade Linien durch die Theilungspunkte zieht, so werden dadurch

die

4

Seiten des =#= halbirt. 63) Wenn man aus 2 entgegengesetzten Winkelspitzen eines 4b

nach den Mitten der Seiten gerade Linien zieht, so bilden diese ein 4b welches den 3ten Theil des gegebenen beträgt. 64) Wenn man von einer Winkelspitze eines 4b nach einer Sei­ tenmitte eine Linie zieht und von der Spitze deS gegenüberliegenden Z. nach der Mitte der gegenüberliegenden Seite ebenfalls eine Linie legt, und beide Linien durch 2 andere, die eben so aus den Scheiteln der andern beiden Winkel nach den Mitten der andern beiden Seiten gezogen sind, durchschneidet, so bilden diese Linien ein 4b, dessen In­

halt nur £ des gegebenen beträgt. 65) Wenn man die Winkelspitze eines 4b mit den Halbirungspunkten der Seiten, die den gegenüberliegenden Z. einschließen, durch 2 gerade Linien und diese beiden Halbirungspunkte unter sich verbin­ det, so erhält man ein Ä, welches Z mal so groß als daS 4b sich zeigt. Verfährt man auf dieselbe Weise auch mit dem gegenüberlie­ genden Z. des zuerst angenommenen und mit den Halbirungspunkten der gegenüberliegenden Seiten, so erhält man 3 andere Linien, die mit den 3 erstern ein Sechseck einschließen, daß dem 4ten Theile des 4b

gleich ist. 66) Wenn man die Halbirungspunkte zweier gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks mit den Halbirungspunkten der Diagonalen ver­ bindet, so entsteht ein 4b, dessen Umfang so groß wie die beiden andern Seiten des Vierecks ist. 67) Wenn 2 Seiten eines Vierecks durch die Winkelspitzen eines 4b halbirt werden und die andern beiden Seiten durch die andern Winkelspitzen desselben gehen, so werden auch diese in diesen Punkten halbirt. 68) Vierecke, die mit den Halbirungspunkten ihrer Seiten zu­ sammen fallen, find einander gleich.

94

Kapitel XVI.

69) Wenn die Mitte der Seite eines Vierecks von den 3 Halbirungöpunkten der übrigen Seilen gleichen Abstand besitzt, so finvet dieö auch bei. der Mitte der gegenüberliegenden Seite statt. 70) Die gerade Linie, welche die Mitten zweier gegenüberliegen­

den Seiten eines unregelmäßigen Vierecks verbindet, halbirt diejenige Linie, welche die Mitten der beiden andern gegenüberliegenden Seiten in Verbindung setzt. 71) Ein Ä, dessen Winkelspitzen zwischen die Endpunkte dreier

Seiten eines 4h fallen, ist kleiner als die Hälfte desselben. 72) Die Halbirungslinien aller Winkel eines Rechtecks bilden ein Quadrat, welches den Unterschied beider Rechtecksseiten als Dia­ gonale besitzt. 73) Wenn man von den Spitzen zweier gegenüberliegenden Win­ kel eines 4h auf zwei gegenüberliegende Seiten beliebige gleiche Stücke und auf den andern beiden gegenüberliegenden Seiten ebenfalls belie­ bige gleiche Stücke abträgt und die so erhaltenen Theilungöpunkte durch gerade Linien verbindet, so erhält man ein 4h, dessen Diago­ nalen sich mit denen des gegebenen in demselben Punkte durchschneiden. 74) Wenn man die beiden Quadrate der Catheien eineö recht­ winkligen A so an einander legt, daß die eine Seite des einen in die eine Seite des andern und eine Winkelspitze des einen in eine Win­ kelspitze des andern fällt, so läßt sich das so entstandene Sechseck mit einspringenden Winkeln in 4 dem gegebenen rechtwinkligen congruente Dreiecke und ein Quadrat zerlegen, das den Unterschied beider Cathetcn des A als Seiten enthält.

75) Die Linie, welche die Mitten der parallelen Seiten eines

Trapezes verbindet, geht durch den Durchschnittöpunkt der Diagonalen. 76) Wenn man eine Seite eineö Quadrats in 2 gleiche Theile,

jede der anliegenden in n und die gegenüberliegende Seite in 2n gleiche Theile theilt, und den Halbirungöpunkt der ersten Seite mit allen Theilpunkten und Winkelspitzen durch gerade Linien verbindet, so wird das Quadrat in 4n gleiche Theile zerlegt. 77) Wenn man von einer Winkelspitze eines Quadrates ein rechtwinkliges A abschneidet, dessen eine Cathete doppelt so groß wie die andere ist, und von der Winkelspitze des gegenüberliegenden und den Mitten der Seiten, die ihn einschließen, 3 Linien nach der zuerst genannten Winkelspitze zieht, so wird von der Hypotenuse, nach der kleinern Cathete zu, durch die erste Linie der 4te Theil, durch die Diagonale der 3te Theil und durch die 3te Linie die Hälfte abge­ schnitten. 78) Wenn in einem Viereck eine Seite an 2 gleichen Winkeln liegt, und ihre gegenüberliegende Seite durch einen Punkt auf dersel-ben so getheilt wird, daß jeder Abschnitt derselben der anstoßenden (Seite gleich ist, so läßt sich durch diesen Punkt und die Scheitel der beiden als gleich angenommenen Winkel ein Kreis beschreiben, bei

Von mehreren vermischten Uebung-sätzen über Vierecke.

95

welchem sowohl die getheilte Seite des Vierecks als auch beide an­ liegende Seiten alö Tangenten erscheinen. 79) In einem 5eck, dessen Seiten den Diagonalen parallel sind, haben alle durch Diagonalen abgeschnittene 4ecke gleichen Flächeninhalt. 80) Legt man (in Fig. 128.) 2 gleiche Quadrate abgf und bcde so an einander, daß 2 Seiten bg und bc eine gerade Linie gc bilden, und verbindet die Winkelspitzen g, a, c, e, so ist das Viereck aceg ein Quadrat. 81) Die Seite eines Quadrats verhält fich zur Diagonale wie 1 : /2. 82) Zieht man (Fig. 129.) im ab cd die Diagonale ac, ferner die beliebige de bis zum Schnitte mit der verlängerten ab, so ist df2 = ef.gf. 83) Die Diagonalen eineö Trapezes sind gleich, wenn seine nicht parallelen Seiten gleiche Größe besitzen. 84) Verbindet man die Mittelpunkte der parallelen Seiten eines Trapezes durch eine gerade Linie, so halbirt dieselbe das Trapez. 85) Halbirt man in einem Trapeze eine der nicht parallelen Seiten, und zieht durch den Halbirungspunkt eine Parallele mit den Parallelseitcn, so halbirt diese auch die andere nicht parallele Seite. 86) Die durch die Mitte des (senkrechten) Abstandes der paral­ lelen Seiten eines Trapezes senkrecht gelegte Linie halbirt die nicht parallelen Seiten. 87) Halbirt man in einem Trapeze die eine Diagonale und zieht durch den Halbirungspunkt mit den parallelen Seiten eine Pa­ rallele, so halbirt dieselbe die andere Diagonale. 88) In einem Trapeze ist die Summe der Quadrate der 4 Seiten gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen plus dem Quadrate des Unterschiedes der parallelen Seiten. 89) Trapeze von gleichen Höhen verhalten sich wie die Sum­ men der parallelen Seiten. 90) Wenn man von einem beliebigen Punkte außerhalb einesnach den 4 Ecken desselben gerade Linien zieht, und zugleich eine Diagonale des construirt, so entstehen 5 in dem beliebigen Punkte zusammenstoßende Dreiecke, von welchen das über der Diagonale sogroß ist, wie die Summe der beiden, über den 2 Seiten des H-, welche mit der Diagonale in einer Ecke zusammentreffen, deren gerade Verbindungslinie mit dem Punkte außerhalb nicht durchs geht;, oder es ist (in Fig. 130):

A ace == Abce-f-Acde. 91) Liegt (in Nr. 89) e innerhalb des *abcd5 so ist:

Aace = Abce — Acde. 92) Werden in einem regulären 6ecke die Mittelpunkte von 2 Paar einander gegenüberliegenden Seiten verbunden, so bilden diese Verbin­ dungslinien ein Rechteck, welches halb so groß als das 6eck sich zeigt.

96

Kapitel XVI.

III.

Ueber Kreis e. 93) Zeder Punkt auf der Sehne *) eines Kreises ist vom Mit­ telpunkte um weniger als die Größe des Halbmessers entfernt. 94) Jeder Punkt auf der Verlängerung, einer Sehne hat vom Mittelpunkte des ihm zugehörigen Kreises eine Entfernung, welche größer als der Radius ist. 95) Linien, welche von 2 Punkten der Peripherie eines Halb­ kreises nach einem Punkte des zugehörigen Durchmessers gezogen wer­ den, sind ungleich, wenn dieser Punkt nicht als Mittelpunkt des Krei­ ses sich zeigt. 96) Wenn man die Endpunkte zweier Kreisdurchmeffer durch Sehnen verbindet, so entsteht ein 4eck, in welchem je 2 gegenüber­ liegende Seiten und alle Winkel gleiche Größe besitzen. 97) Wenn man die Endpunkte zweier parallelen Sehnen durch 2 sich schneidende Sehnen verbindet, so bilden diese in ihrem Durch­ schnittspunkte 4 Winkel, von welchen jeder, der auf einem Vogen zwischen den Parallelen steht, dem Centriwinkel auf diesem Bogen gleich ist. 98) Wenn mit der kürzern Seite eines A im Innern der Fi­ gur beliebig viele Parallelen gezogen und mit diesen als Radien Kreise aus den Punkten beschrieben sind, wo sie eine der längern Seiten treffen, so haben alle diese Kreise 2 gemeinschaftliche Tangenten, welche entstehen, wenn man aus der Spitze des der kürzern Seite gegen­ überliegenden Z. an einen dieser Kreise die beiven Tangenten construirt. 99) Jede Linie, welche mit der Seite eines A in einer Spitze desselben nach außen hin einen A einschließt, der dem dieser Seite gegenüberliegenden Z. gleich ist, berührt den Kreis, welcher durch die 3 Ecken des A geht. 100) Wenn man die Halbirungslinien der an der 3ten Seite eines gleichschenkligen A liegenden äußern Winkel so weit verlängert, bis sie zusammentreffen und mit der 3ten Seite ein zweites gleich­ schenkliges A bilden, so sind die Schenkel des Isten A Tangenten deS Kreises, der durch die. 3 Winkelspitzen des zweiten geht. 101) Das gleichseitige A im Kreise ist halb s) groß als das regelmäßige 6eck in demselben Kreise. 102) Der Inhalt des gleichseitigen A um den Kreis ist 4 mal so groß als der Inhalt des gleichseitigen A in diesem Kreise. 103) Bei jedem A im Kreise ist der von der Halbirungölinie eines Winkels a und von dem aus a gezogenen Durchmesser gebil*) welche nicht der Durchmesser ist.

bete Z., gleich demjenigen, welcher von der Halbirungslinie und der aus a gezogenen Senkrechten eingeschlossen wird. 104) Der Inhalt deS um den Kreis beschriebenen A wird er­ halten , wenn man seinen halben Umfang mit dem Kreishalbmesser multiplicirt. 105) Ist (in Fig. 131.) die Tangente cb dem Durchmesser des Kreises gleich, so ist cd die mittlere geometrische Proportionale zwi­ schen der Tangente cb und der aus cb und cd gebildeten Differenz. Man erhält also: cb : cd =■ cd : (cb — cd). 106) Zieht man (in Fig. 132.) aus dem Punkte a die Tan­ gente ab und die Sekante ac, und halbirt das in beitKreis fallende Stück cd der Sekante, so ist ab2 = ac2—de2. 107) Schneidet (in Fig. 132.) der verlängerte Durchmesser cd die verlängerte Sehne fg dergestalt in a, daß ag gleichdem Kreis­ durchmesser ist, so ist Bogen cf = 3. Bogen dg. 108) Verlängert man (in Fig. 132.) den Durchmesser cd so, daß ad = |cd, so ist die Tangente ab = 2ad. 109) Theilt man (in Fig. 133.) die Sehne bc in die 3 glei­ chen Theile bd, de, ec, und zieht durch d und c die Radien af und ag, so wird der zur Sehne bc gehörige Bogen in 3 Theile getheilt, von denen der mittlere größer als jeder der beiden andern sich zeigt. 110) Theilt man (in Fig. 134.) die Sehne ab in 3 gleiche Theile ac, cd, bd, und errichtet in den Theilungspunkten die Senk­ rechten ca und df, so wird der zu ab gehörige Bogen in 3 Theile getheilt, von denen der mittlere kleiner als jeder der beiden andern ist. 111) Schneiden sich (in Fig. 135.) 2 Sehnen ab und cd un­ ter einem Z. cea, welcher dem der Sehne ab zugehörigen Peripherie­ winkel acb gleich ist, so wird cd von dem aus a gezogenen Durch­ messer am halbirt. 112) Beschreibt man (in Fig. 136.) über ab den Bogen acb, aus dessen Mitte c den Vogen adb, und zieht an den Vogen acb die Tangente ad, so ist ad = ab. 113) Schneiden sich 2 Sehnen rechtwinklig, so sind die Qua­ drate ihrer Abschnitte zusammen genommen dem Quadrate des Kreisdurchmesserö gleich. 114) Unter allen Winkeln, welche (in Fig. 137.) durch gerade Linien, die man aus 2 in der Peripherie eines Kreises liegenden Punkten b und c nach einem Punkte der Tangente af zieht, gebildet werden können, ist derjenige der größeste, dessen Spitze im Berüh­ rungspunkte e sich befindet. Es ist demnach a ß, u. s. w. 115) Steht (in Fig. 138.) cd senkrecht auf dem Durchmesser ab, ist dabei gs || ab, lif J_ ab und durch f die Tangente fm gezo­ gen, so folgt ab . ch = 2fli. fm. Geometrie. 7

98

Kapitel XVI.

316) Geht (in Fig*. 139.) von einem Punkte e der Sehne cd eine gerade Linie cf an die Peripherie, und ist cf die mittlere geo­ metrische Proportionale zwischen den Abschnitten cc und de der Sehne, so steht cs auf dem durch c gehenden Durchmesser ab senkrecht. 117) Der (in Fig. 140.) von den Tangenten ab und ac ge­ bildete Winkel « ist doppelt so groß als der vom Durchmesser bd und der Verbindungslinie bc der Berührungspunkte b und c gebil­ dete Winkel ß. 118) Schneidet mau (in Fig. 141.) von einem Punkte a der Peripherie die gleichen Vogen ab, bc, cd, dm, mn u. s. w. ab, und zieht die Sehnen ab, ac, ad, am, an u. s. w., so verhalten sich 2 auf einander folgende Sehnen, wie irgend eine zu der,Summe der zu­ nächst vorhergehenden und folgenden Sehne. Es ist demgemäß: ab : ac = am : (ad--f-an). 119) Gehen (in Fig. 142.) von dem innerhalb deö Kreises liegenden Punkte a, der nicht Mittelpunkt des Kreises ist, 2 gleiche Linien ab und ac auf entgegengesetzten Seiten des durch a gelegten Durchmessers cd an die Peripherie, so ist: Abad = A cad. 120) Zieht man (in Fig. 143.) von 2 seitwärts eines Kreises liegenden Punkten g und h gerade Linien nach einem so in der Pe­ ripherie gelegenen Punkte d, daß A cdg = A cdh ist, so ergiebt sich die Summe der Linien dg und dh kleiner als die Summe 2er nach einem andern Punkte der Peripherie gezogenen Linien. 121) Ist (in Fig. 144.) ab die Seite des regulären 5ecks, ad die Seite deö regulären 20ecks im Kreise und zieht man aus dem Mittelpunkte m den Halbmesser md, so ist mf = bf. 122) Wenn (Fig. 145.) in der Richtung des Halbmessers ac, auf einer Seite des Mittelpunktes, die Punkte a und b so liegen, daß nie die mittlere geometrische Proportionale zwischen ma und mb ist, so verhalten sich die Entfernungen jedes Punktes der Peripherie von a und b, wie die Entfernungen dieser letztem Punkte vom End­ punkte c deö Halbmessers. Es ist also: da:db = ac: bc. 123) Beschreibt man (in Fig. 146) aus der Winkelspitze c deS A cab mit der kleinern Seite ca eine Kreislinie, und verbindet c und d durch eine gerade Linie, so ist ee — ö — ß. 124) Beschreibt man (in Fig. 146.) aus der Winkelspitze c des stumpfwinkligen A cbd mit der kleinern Seite cd eine Kreislinie, und zieht vom Mittelpunkte c nach dem Durchschnittspunkte a der verlängerten bd eine gerade Linie, so ist A acb =s — ß. 125) Beschreibt man (in Fig. 147.) über den Seiten des Rechtecks abed nach innen oder außen Halbkreise, und verbindet die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten des durch die geraden Linien cf und gh, so bilden die Durchschnittspunkte dieser Verbin­ dungslinien (oder deren Verlängerungen) mit den Halbkreisen, näm­ lich die Punkte in, n, o, p, die 4 Ecken eines Quadrats.

Von mehreren vermischten llebungssätzett über Kreise.

99

126) Wenn man (in Fig*. 148 und 149.) auS einem Punkte b der Peripherie den Durchmesser ba und die Sehne bg zieht und in einem beliebigen Punkt e in der Richtung des Durchmessers die Senkrechte cd errichtet, welche die Richtung der Sehne gb in k durchschneidet, so ist ba, be = bg, bf> 127) Sind in einem Vierecke im Kreise 2 anliegende Seiten einander gleich, so halbirt die Diagonale, welche aus dem von den gleichen Seiten eingeschlossenen Z. gezogen wird, den gegenüberliegen­ den Z., und die beiden andern Seiten des 4etf'd verhalten sich wie die Abschnitte der andern Diagonale, welche durch den Durchschnitts­ punkt beider Diagonalen gebildet werden. 128) Wenn 2 Kreise eine gerade Linie in demselben Punkte berühren, so berühren sich die Kreise von außen oder von innen. 129) Das Quadrat der Seite eines regulären iieckS im Kreise, verhält sich zu einem A des regulären 2necks in demselben Kreise, wie die halbe Seite des necks zum 8ten Theile deö Halbmessers.

130) Wenn man die Endpunkte der parallelen Seiten eines re­ gulären Vielecks von gerader Seitenanzahl so verbindet, daß je 2 der zusammengehörigen Verbindungslinien einander nicht schneiden, so wird innerhalb ein reguläres Vieleck von derselben Seitenzahl erzeugt. 131) Wenn (in Fig. 150.) die Mittelpunkte m, m', m" dreier Kreislinien P, P', P/z in gerader Linie liegen und man auS 2 beliebigen in Pzz angenommenen Punkten a und b Tangenten nach P und Pz zieht, so verhält sich die Differenz der Quadrate des nach P führenden Tan­ genten - Paares zu der Differenz der Quadrate deö Pz berührenden Tangenten-Paares, wie die beiden Centrallinien mm'z und mz mzz. ES ist also (da2 —fb2):(ea2—gb2) = mmzz:mzinzz. 132) Von allen necken mit denselben n—1 Seilen bildet die Fläche desjenigen, im Vergleich zu den übrigen, ein Marimum, wel­ ches mit seinen Winkelspitzen in einer Kreislinie liegt, und den Durch­ messer derselben als Seite besitzt. 133) Von allen necken mit denselben Seiten bildet die Fläche desjenigen, im Vergleich zu den übrigen, ein Marimum, welches mit seinen Winkelspitzen in der Peripherie eines Kreises sich befindet. 134) Unter allen Vielecken von gleichem Umfange und gleich vielen Seiten ist das reguläre das größte. 135) Unter allen Vielecken von gleichem Inhalte und derselben Seitenzahl hat daö reguläre den kleinsten Umfang. 136) Der Kreis ist größer als jede geradlinie Figur, welche mit demselben einen gleichen Umfang besitzt. 137) Wenn man an jede 2 von 3 ungleichen, der Größe und Lage nach gegebenen Kreisen Tangenten (auf die in Fig. 151.) an­ gegebene Weise) zieht, so liegen die Durchschnittspunkte a, b, c die­ ser Tangenten - Paare in Einer geraden Linie.

Kapttel XVII.

100

138) Wenn man aus den Mittelpunkten zweier sich von außen berührenden Kreise parallele Halbmesser nach entgegengesetzten Rich­ tungen zieht, so geht eben sowohl 1) die Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte, als auch 2) die Verbindungslinie des andern Paares Endpunkte der Radien durch den Berührungspunkt. Auch findet das­ selbe bei den sich von innen berührenden Kreisen statt, wenn man die

Radien in derselben Richtung zieht. 139) Legt man durch den Berührungspunkt zweier sich von außen oder von innen berührenden Kreise eine gerade Linie, so er­ geben sich die beiden Radien, welche in den gebildeten 2 DurchschnittSpunkten endigen, stetö parallel.

Siebenzehntes Kapitel. Von mehreren vermischten conftrnktionellen Aufgaben.

1) Aus der Summe und Differenz zweier Winkel die Winkel zu construiren. 2) Eine Linie zu zeichnen, auf welcher jeder Punkt gleichweit von zweien in der Ebene angegebenen Punkten absteht. 3) Man soll aus einem gegebenen Punkte eine gerade Linie so ziehen, daß durch 2 gegebene Parallelen ein bestimmtes Stück dersel­ ben abgegrenzt wird, welches nicht kleiner als der senkrechte Abstand beider Parallelen ist. 4) Eine Linie zu zeichnen, welche durch 2 aus gegebenen Punk­ ten auf sie gefällte Senkrechten begrenzt und durch einen 3ten gege­

benen Punkt halbirt wird. 5) Die 3 Winkel eines A zu bestimmen, wenn die 3 Winkel desjenigen A gegeben sind, das durch die Halbirungslinien der äu­ ßern Winkel des gesuchten A gebildet wird.

6)

Ein A zu construiren, das mit

einem

gegebenen gleiche

Winkel besitzt, dessen Seiten durch 3 gegebene Punkte gehen und des­ sen eine Seite einer gegebenen Linie parallel sich zeigt. 7) Ein gleichseitiges A zu construiren, dessen Winkelspitzen in

den Selten eines gegebenen gleichseitigen A dergestalt liegen, daß eine Winkelspitze auf einen in einer Seite gegebenen Punkt zu liegen kommt. 8) Auö den 3 Winkelspitzen eines A drei Linien zu ziehen, die in einem Punkte innerhalb des A Zusammentreffen und von de-

Kapttel XVII.

100

138) Wenn man aus den Mittelpunkten zweier sich von außen berührenden Kreise parallele Halbmesser nach entgegengesetzten Rich­ tungen zieht, so geht eben sowohl 1) die Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte, als auch 2) die Verbindungslinie des andern Paares Endpunkte der Radien durch den Berührungspunkt. Auch findet das­ selbe bei den sich von innen berührenden Kreisen statt, wenn man die

Radien in derselben Richtung zieht. 139) Legt man durch den Berührungspunkt zweier sich von außen oder von innen berührenden Kreise eine gerade Linie, so er­ geben sich die beiden Radien, welche in den gebildeten 2 DurchschnittSpunkten endigen, stetö parallel.

Siebenzehntes Kapitel. Von mehreren vermischten conftrnktionellen Aufgaben.

1) Aus der Summe und Differenz zweier Winkel die Winkel zu construiren. 2) Eine Linie zu zeichnen, auf welcher jeder Punkt gleichweit von zweien in der Ebene angegebenen Punkten absteht. 3) Man soll aus einem gegebenen Punkte eine gerade Linie so ziehen, daß durch 2 gegebene Parallelen ein bestimmtes Stück dersel­ ben abgegrenzt wird, welches nicht kleiner als der senkrechte Abstand beider Parallelen ist. 4) Eine Linie zu zeichnen, welche durch 2 aus gegebenen Punk­ ten auf sie gefällte Senkrechten begrenzt und durch einen 3ten gege­

benen Punkt halbirt wird. 5) Die 3 Winkel eines A zu bestimmen, wenn die 3 Winkel desjenigen A gegeben sind, das durch die Halbirungslinien der äu­ ßern Winkel des gesuchten A gebildet wird.

6)

Ein A zu construiren, das mit

einem

gegebenen gleiche

Winkel besitzt, dessen Seiten durch 3 gegebene Punkte gehen und des­ sen eine Seite einer gegebenen Linie parallel sich zeigt. 7) Ein gleichseitiges A zu construiren, dessen Winkelspitzen in

den Selten eines gegebenen gleichseitigen A dergestalt liegen, daß eine Winkelspitze auf einen in einer Seite gegebenen Punkt zu liegen kommt. 8) Auö den 3 Winkelspitzen eines A drei Linien zu ziehen, die in einem Punkte innerhalb des A Zusammentreffen und von de-

Vvn nlehreren vermischten ccnstruktionelten Aufgaben.

101

nm je 2 auS 2 bestimmten Winkelspitzen gezogene einen vorgeschriebenm Z. bilden, der größer als der 3te Dreieckswinkel sich zeigt.

9) Ein A zu zeichnen, wenn die Differenz zwischen der Summe

zweier Seiten und der 3ten Seite = d, und 2 Winkel gegeben sind. 10) Ein A zu construiren,

wenn 2 Seiten und die Differenz

der an der 3ten Seite liegenden Winkel gegeben sind. 11) Ein A zu construiren, wenn die Summe 2er Seiten = s,

die Differenz derselben — d, und die 3te Seite = a gegeben ist.

12) Ein gleichschenkliges A zu zeichnen, wenn die zur 3ten Seite gehörige Höhe = h, und die der einen gleichen Seite ensprechende Höhe — k gegeben ist. 13) Ein gleichseitiges A zu construiren, wenn die Differenz zwischen der Seite und Höhe = d gegeben ist. 14) Ein A zu zeichnen, wenn die 3 aus

den Winkelspitzen

nach den Mitten der ihnen gegenüberliegenden Seiten gezogenen Linien = a, b und c gegeben sind. 15) Ein A zu construiren, wenn eine Seite — a, der ihr ge­ genüberliegende Z. = a, und der Halbmesser deö eingeschriebenen Kreises = r gegeben ist. 16) Zwei Punkte a und b liegen auf beiden Seiten einer Linie cd; man soll in dieser den Punkt p dergestalt ermitteln, daß, wenn man ap und bp zieht, Z. apc = Z. bpc ist. 17) Einen Punkt p zu bestimmen, von welchem auS man 3

der Lage nach gegebene Punkte a, b, c unter gegebenen Winkeln a und ß erblickt. 18) Zwei Linien ab und cd sind der Lage und erstere auch der Größe nach gegeben. Man soll in der letztem die Punkte p und

q bestimmen, von denen aus die Punkte a und b unter einem gege­ benen Winkel a gesehen werden. 19) In einem A den Punkt p so zu bestimmen, daß, wenn man von ihm nach den Winkelspitzen gerade Linien zieht, die 3 Win­ kel um p gleiche Größe besitzen. 20) Durch einen gegebenen Punkt eine Linie so zu ziehen, daß die aus 2 andern gegebenen Punkten auf sie gefällten Senkrechten gleiche Größe erhalten. 21) Durch den gegebenen Punkt p die Linie pq so zu ziehen, daß die Summe der auS 2 andern gegebenen Punkten a und b auf pq gefällten Senkrechten der bestimmten Linie m gleich werden.

22) Durch den gegebenen Punkt p die Linie pq so zu ziehen,

daß die Differenz der aus 2 andern gegebenen Punkten ä und b auf pq gefällten Senkrechten der gegebenen Linie m gleich werden. 23) Von einem gegebenen Punkte nach einer der Lage nach ge­ gebenen Linie eine Gerade so zu ziehen, daß sie mit ihr einen gege­ benen A bildet.

102

Kapitel XVIL

24) Durch einen gegebenen Punkt p eine Linie zu ziehen, welche die Schenkel eines gegebenen Z, so schneidet, daß das zwischen die Schenkel fallende Stuck dem einen abgeschnittenen Schenkel gleich werde. 25) Zwischen die Schenkel eines gegebenen Z. eine gegebene Linie so einzutragen, daß sie von den Schenkeln gleiche Stücke abschneidet. 26) In einem rechtwinklig gleichschenkligen Aabc (Fig. 152.)

die Linie de f o zu ziehen, daß de ad = 27) Durch den innerhalb des Winkel (Fig. 153.) die Linie de so zu ziehen, daß 28) Zwischen 2 convergirenden Linien

ce wird. abc gegebenen Punkt p dp = 2cp wird. einen Punkt zu bestim­

men, dessen Entfernung von der einen = e und von der andern = ez ist. 29) Eine gegebene Linie a um ein solches Stück x zu verlän­ gern, daß das auö a-f-x unv x gebildete Produkt dem Quadrate einer gegebenen Linie b gleich wird. 30) Zwischen 2 convergirenden Linien a und b 2 Linien so zu ziehen, daß die eine mit a, die andere mit h parallel geht und daß sie sich in einem Punkte schneiden, welcher von a und b gleiche Ent­ fernung besitzt. 31) Zwischen 2 convergirenden Linien eine Gerade so zu ziehen, daß sie gleiche Winkel mit jenen bildet. 32) Zwischen 2 convergirenden Linien eine Gerade so zu ziehen, daß sie, verlängert, den Winkel halbirt, welchen die convergirenden Linien im Durchschnittöpunkte mit einander bilden. 33) Zwischen 2 convergirenden Linien eine Gerade so zu zie­ hen, daß jeder Punkt derselben von jenen gleichen Abstand besitzt. 34) Im Aabc (Fig. 154.) die Linie de so mit ac paral­ lel zu ziehen, daß de — ce wird. 35) Im Aabc (Fig. 155.) die Linie de so

mit ab parallel

zu ziehen, daß de = ad-j-bp wird, 36) Zwischen die verlängerten Seiten cd und ce des Acdc (Fig, 155.) die Linie ab so mit de parallel zu ziehen, daß ab = ad-f-bc sei.

37) Sm Abdc (Fig. 153.)

die Linie pf so mit bc

parallel

zu ziehen, daß pf — bs—ep wird.

38) Die Schenkel eines spitzen Winkels 7 (Fig. 156.) von dem gegebenen Punkte p aus so zu schneiden, daß die beiden innern Wech­ selswinkel ce und ß zusammengenommen einen rechten betragen. 39) Ein gleichschenkliges A zu zeichnen, dessen Grundlinie = a gegeben ist, und dessen Winkel an der Spitze R, |R? T^R

betragt. 40) Ein rechtwinkliges A zu construiren, von dessen spitzen Winkeln der eine 3 mal so groß als der andere sich zeigt. 41) Ein rechtwinkliges A zu zeichnen, dessen Seiten sich wie 1 : /2 : /3 verhalten.

Von mehreren vermischten ecnstrnktionellen Aufgaben.

103

42) Ueber einer als Hypotenuse gegebenen geraden Linie ein rechtwinkliges A zu zeichnen, dessen Calheten sich wie 1: /3 verhalten. 43) Ueber einer alö Hypotenuse gegebenen geraden Linie ein rechtwinkliges A zu beschreiben, welches den möglichst größten In­ halt besitzt. 44) Aus der Spitze b deö A abc (Fig. 157.) ist nach ac die Linie bd gezogen; man soll aus d die Linie de so ziehen, daß Aede = Aabd wird. 45) Ein gleichseitiges A zu construiren, dessen eine Spitze in dem gegebenen Punkte a sich befindet, und dessen übrige Ecken auf die der Lage nach gegebenen Linken a und b zu liegen kommen. 46) In ein gegebenes A ein anderes zu beschreiben, welches einem 3ten gegebenen A ähnlich ist. 47) In ein gegebenes A ein gleichschenkliges A zu beschreiben, dessen Hohe = h gegeben ist, und dessen Grundlinie einer Seite deö gegebenen A parallel sich zeigt. 48) In ein gegebenes A ein gleichschenkliges A zu beschrei­ ben , dessen Grundlinie mit einer Seite deö gegebenen A parallel läuft und eine bestimmte Größe besitzt. 49) Um ein gegebenes ein A zu beschreiben, welches einem gegebenen ähnlich ist. 50) In ein gegebenes ein A zu beschreiben, dessen Seite = a gegeben ist. 51) Ein gegebenes A in ein anderes zu verwandeln, welches 2 bestimmte Winkel a und ß enthält. 52) Es soll durch die Winkelspitze eines gegebenen A eine nicht in dasselbe fallende Linie gezogen werden, welche mit beiden in dieser Winkelspitze zusammentreffenden Dreiecksseiten gleiche Winkel bildet. 53) Eine Figur in ein A mit 2 gegebenen Seiten a und b zu verwandeln. 54) Man soll in ein gegebenes A ein anderes mit dem mög­ lich kleinsten Umfange beschreiben. 55) Eine gegebene Linie so in 2 theile zu theilen, daß das Rechteck zwischen dem einen Theile und einer zweiten gegebenen Linie, dem Quadrate des andern Theiles gleich wird. 56) Es sollen 2 Linien von solcher Beschaffenheit gefunden wer­ den, daß die Summe ihrer Quadrate einem gegebenen Quadrate, litib das von ihnen eingeschlossene Rechteck einem gegebenen Rechtecke gleich ist. 57) Ein 41= zu construiren, wenn eine Seite und außer der Diagonale aus dem einen Endpunkte derselben noch die Linie gegeben ist, welche von dem andern Endpunkte derselben nach der Mitte der gegenüberliegenden Seite gezogen werden sann. 58) Ueber einer gegebenen begrenzten geraden Linie einen Kreis­ abschnitt zu construiren, der einen gegebenen Witckel alö Abschnitts­ winkel enthält.

104

Kapitel XVII.

59) Ein A zu construiren, wenn beide Diagonalen desselben und 3 Winkel einer Diagonale mit den Seiten gegeben sind. 60) Ein gleichseitiges A zu construiren, dessen verlängerte Sei­ ten durch 3 gegebene Punkte gehen, wenn man an jeder Winkelspitze nur eine Seite und jede Seite nur über eine Winkelspitze hinaus verlängert. 61) Ein zu construiren, dessen verlängerte Seiten durch 4 gegebene Punkte gehen, wenn man an jeder Winkelspitze nur eine Seite und jede Seite nur über eine Winkelspitze hinaus verlängert. 62) Einen Punkt zu finden, von welchem aus man an 2 be­ liebig gegebene Kreise Tangenten ziehen kann, und zwar so, daß die Winkel beider Tangenten jeveö Kreises eine gegebene Große erhalten. 63) Einen Kreis zu beschreiben, der durch 3 gerade Linien, die nicht sämmtlich parallel laufen, berührt wird. 64) Von einem gegebenen gleichschenkligen A ein Trapez ab­ zuschneiden, in welchem die kleinere Parallele so groß wie die beiden Seitenlinien zusammengenommen ist. 65) Ein Trapez zu zeichnen, zu welchem die beiden nicht pa­ rallelen Seiten gegeben sind, und in welchem beide an der kleinern nicht parallelen Seite liegende Winkel rechte sind, die größere nicht parallele Seite aber so groß wie die beiden parallelen Seiten zusam­ mengenommen sich zeigt. 66) Es ist em beliebiger A mit unbegrenzten Schenkeln gege­ ben. Man soll mit gegebenem Halbmesser einen Kreis beschreiben, von welchem die Schenkel des Ä 2 Abschnitte abschneiden, deren je­ der einen vorgeschriebenen Abschnittswinkel enthält. 67) Zwei Punkte a und b liegen auf einer Seite der Linie cd. Man soll von a und b zwei Linien so nach cd ziehen, daß ihre Durchschnittspunkte mit a und b in einer Kreislinie sich befinden. 68) Den Punkt genau zu bestimmen, in welchem eine Tangente den Kreis berührt 69) In einer unvollendeten Kreislinie ist der Punkt p gegeben; man soll durch p eine Tangente ziehen, ohne den Mittelpunkt des Kreises zu benutzen. 70) Durch einen innerhalb eines Kreises gegebenen Punkt p die möglichst kleinste Sehne zu ziehen. 71) In einen Kreis eine Sehne von gegebener Länge zu ziehen, welche zugleich mit einer der Lage nach gegebenen Linie parallel sich zeigt. 72) ES ist eine Kreislinie und eine gerade Linie ab der Lage und Größe nach gegeben; man soll in der Kreislinie den Punkt p so bestimmen, daß wenn man ap und bp zieht, die Verbindungslinie der Durchschnittspunkte c und d mit ab parallel läuft. 73) Den Halbmesser r eines Kreises als Sehne, mit einer der Lage nach gegebenen Linie a parallel, in den Kreiö zu legen.

Von mehreren vermischten construktionelten Aufgaben.

105

74) An einen Kreis eine Tangente zu ziehen, welche mit einer der Lage nach gegebenen Linie parallel läuft. 75) Durch einen innerhalb eines Kreises gegebenen Punkt p eine Sehne so zu ziehen, daß der Unterschied ihrer durch p gebildeten Abschnitte eine gegebene Größe m besitzt. 76) Von einem in einer Kreislinie liegenden Punkte p eine Sehne zu ziehen, deren Entfernung vom Mittelpunkte des Kreises gegeben ist. 77) Zwei sich berührende Halbkreise (Fig. 158.) liegen so, daß ihre Durchmesser ab und bc eine gerade Linie bilden; man soll die Gerade de so ziehen, daß sie durch die Punkte f und g in 3 gleiche Theile getheilt wird. 78) Zwei Punkte p und p' und eine Kreislinie sind gegeben; man soll an die letztere eine Tangente a zeichnen, welche von p und p' gleichen Abstand besitzt. 79) Innerhalb zweier concentrischen Kreislinien k und k' ist der Punkt p gegeben; man soll durch p eine Linie ziehen, welche in k und kz endigt und in p halbirt wird. 80) Von einem außerhalb eines Kreises gegebenen Punkte p eine Sekante so zu ziehen, daß das als Sehne in den Kreis fallende Stück dem außerhalb liegenden Theile der Sekante gleich wird. 81) Zwischen zwei der Lage nach gegebenen Kreisen eine gege­ bene Linie a mit der Centrale parallel zu ziehen. 82) Innerhalb eines rechten Winkels a einen Rhombus zu zeichnen, von welchem 2 Winkelpunkte so auf die Schenkel des a fallen, daß bei beiden Winkelpunkten gleiche Winkel entstehen, und von dessen Seiten 2 durch die innerhalb des a gegebenen Punkte c und d gehen. 83) Man soll zwischen 2 Parallelen einen Kreis construiren, welcher beide berührt und durch einen zwischen denselben gegebenen Punkt geht. 84) Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu beschreiben, welcher 2 der Lage nach gegebene Linien berührt. 85) Einen Kreis zu beschreiben, welcher 2 gegebene Kreise und zwar den erstem in dem gegebenen Punkte p berührt. 86) Einen Kreis zu construiren, welcher von 2 der Lage nach gegebenen Linien die erstere berührt, die letztere in dem gegebenen Punkte p schneidet, nnd auch in ihr seinen Mittelpunkt besitzt. 87) Einen Kreis zu zeichnen, in welchem von 2 gegebenen Seh­ nen Vogen abgeschnitten werden, welche sich wie 1:2 verhalten. 88) Um ein gleichschenkliges A einen Kreis zu beschreiben, ohne auf der Mitte zweier Seiten Senkrechte zu errichten. 89) Ueber einer gegebenen Linie ein reguläres 6eck zu beschreiben. 90) Ueber einer gegebenen Linie ein reguläres 8eck zu construiren.

106

Kapitel XVII.

91) Ein rechtwinkliges A in mehrere ähnliche Dreiecke zu thei­ len, ohne die Theilungslinien mit einer Seite parallel zu ziehen. 92) In einem Kreise 2 ähnliche gleichschenklige Dreiecke 51t zeichnen, welche den Halbmesser als Summe der Grundlinie!: erhal­ ten, und deren Spitzen in die Kreislinie fallen. 93) Eine gegebene Linie in 2 Theile zu theilen, welche sich wie 1: /2 verhalten. 94) Eine gegebene Linie in 2 Theile zu theilen, die sich wie 1: (1 -j-^2) verhalten. 95) Eine gegebene Linie a so in 2 Theile zu theilen, daß das auS ihnen gebildete a dem der gegebenen Linie b gleich wird. 96) Eine gegebene Linie a so in 2 Theile zu theilen, daß die Summe der Quadrate dieser Theile dem der gegebenen Linie b gleich wird. 97) Eine gegebene Linie a so in 2 Theile zu theilen, daß der Inhalt der Quadrate dieser Theile zusammengenommen, der möglichst kleinste wird. 98) Ein A von einem innerhalb desselben gegebenen Punkte p aus in 2 gleiche Theile zu theilen. 99) Ein A so in 3 gleiche Theile zu theilen, daß die Theile ebenfalls Dreiecke sind, deren Spitzen in einem Punkte innerhalb des A Zusammentreffen. 100) Ein A so zu halbiren, daß die Theilungslinie durch ei­ nen in einer Seite gegebenen Punkt p geht. 101) Ein A von einem in einer Seite liegenden Punkte p aus in 3 gleiche Theile zu theilen. 102) Ein A von 2 in einer Seite gegebenen Punkten aus in 3 gleiche Theile zu theilen. 103) Ein A so zu halbiren, daß die HalbirungSlinie mit einer Seite des A parallel sich zeigt. 104) Ein A so in n gleiche Theile zu theilen, daß die Theilungölinien mit einer Seite des A parallel laufen. 105) Ein H: so zu halbiren, daß die HalbirungSlinie einen ge­ gebenen Punkt p trifft, 106) Ein * von einer Winkelspitze aus in n gleiche Theile (oder nach gegebenen Verhältnissen) zu theilen. 107) Ein so in n gleiche Theile (oder nach gegebenen Ver­ hältnissen) zu theilen, daß die Theilungslinien mit einer Seite pa­ rallel laufen. 108) Ein Trapez in n gleiche Theile s 0 zu theilen, daß die Theilungslinien die parallelen Seiten durchschneiden. 109) Ein Trapez in n gleiche Theile so zu theilen, daß die Theilungslinien mit einer der nicht parallelen Seiten parallel gehen. 110) Ein Trapez von einer Winkelspitze aus zu halbiren.

111) Ein Trapez durch eine mit den Parallelselten parallel lau­ fende Linie zu halbiren. 112) Ein beliebiges Viereck von dem in einer Seite gegebenen Punkte p aus zu halbiren. 113) Ein beliebiges Viereck von einem in der Mitte einer Seite gegebenen Punkte p aus zu halbiren. 114) Einen Kreis durch concentrische Kreiscbenen in n gleiche Theile zu theilen. 115) Einen Kreis so in n gleiche Theile zu theilen, daß die Theilungslinien Kreislinien sind, welche den gegebenen in einem Punkte berühren. 116) Ein A auS einem innerhalb desselben zu bestimmenden Punkte so in 3 gleiche Theile zu theilen, daß 2 dieser Theile Tra­ peze werden und der 3te als ein dem Ganzen ähnliches A sich zeigt. 117) In einem gegebenen Kreise ein A zu bestimmen, dessen 3 Seiten sich wie 2, 3 und 4 verhalten. 118) Zu 2 Punkten a und b die übrigen 3 für'ö reguläre 5eck blos mit Hülfe des Zirkels zu bestimmen. 119) Ein 41= durch eine Linie von bestimmter Lage in Theile nach einem gegebenen Verhältnisse zu theilen. 120) Eine gegebene Figur nach einem bestimmten Verhältnisse so in 2 Theile zu theilen, daß der eine Theil der ganzen Figur ähn­ lich sei. a 121) Von einem 4ecke einen bestimmten Theil, etwa —5, dcs-

selben abzuschneiden. 122) Von einem Vielecke einen bestimmten Theil, etwa

selben abzuschneiden. 123) Ein A von einem in einer Seite gegebenen Punkt p auö durch gerade Linien in n gleiche Theile zu theilen. 124) In einen Kreis ein A zu zeichnen, welches mit einem andern gegebenen A gleiche Winkel enthält. 125) Es sind zwei Kreise K und K' gegeben; man soll eine gerade Linie zeichnen, welche in K eine Sehne s und in K' eine Sehne s' abschneidet. 126) Ein A so in 2 Theile zu theilen, daß die Abstände der Theilungslinie von 2 Winkelspitzen gleiche Größe erhalten. 127) Ein Aabo durch eine gebrochene Linie, welche von a nach bc5 dann nach ac, wieder nach bc u. s. w. führt, in n gleiche Dreiecke zu zerlegen. 128) Ein 41= oder ein Trapez so in n gleiche Theile zu thei­ len, daß jeder Theil mit Ausnahme des letzten einen bestimmten Um­ fang erhält.

108

Kapitel XVII.

129) Ein Trapez so in eine ungerade Anzahl gleicher Theile zu theilen, daß alle Theile gleichen Umfang erhalten. 130) Ein Viereck aus einem in einer Seite liegenden Punkte p durch gerade Linien in n gleiche Theile zu theilen. 131) Ein Viereck abcd (Fig. 159.) durch eine gebrochene Li­ nie, welche in a beginnt, und abwechselnd von bc nach ad geht, in n gleiche Theile zu theilen. 132) Ein Viereck so in n gleiche Theile zu theilen, daß jede (gerade) Theilungslinie einen im Umfange gegebenen Punkt trifft. 133) Ein 5eck durch gerade Linien, welche in einer Winkelspitze endigen, in n gleiche Theile zu theilen. 134) Ein 5eck aus einem in einer Seite liegenden Punkte p in n gleiche Theile zu theilen. 135) In einen Kreis ein Rechteck mit bestimmter Fläche ein« zuschreiben. 136) In einen Kreis ein Trapez von bestimmter Fläche mit ei­ nem vorgeschriebenen Z. einzuschreiben. 137) Um einen Kreis einen Rhombus von bestimmter Fläche zu beschreiben. 138) Ein Aabc durch eine in a beginnende gebrochene Linie, deren Winkelspitzen abwechselnd in bc und ac fallen, nach den Ver­ hältnissen m : n : p : q : r zu theilen. 139) Ein neck durch gerade Linien, welche von einer Winkel­ spitze auslaufen, nach gegebenen Verhältnissen zu theilen. 140) Ein A durch gerade Linien, welche bestimmte Richtungen haben, in n gleiche Theile zu theilen. 141) Ein A durch lauter Senkrechte auf einer Seite in n gleiche Theile zu theilen. 142) Ein ch- durch lauter mit einer Diagonale parallel lau­ fende Linien in n gleiche Theile zu theilen. 143) Ein Trapez durch lauter mit den parallelen Seiten pa­ rallel laufende Linien in n gleiche Theile zu theilen. 144) Ein 4eck durch gerade Linien, welche bestimmte Richtun­ gen besitzen, in n gleiche Theile zu theilen. 145) Ein 4eck durch die mit einer Seite parallel laufende Linie in n gleiche Theile zu theilen. 146) Ein 4eck durch lauter mit einer Diagonale parallel lau­ fende Linien in n gleiche Theile zu theilen. 147) In einem neck, z. B. Fünfeck (Fig. 160.), ist ein Punkt p gegeben und mit den Winkelspitzen durch gerade Linien verbunden; man soll dasselbe so in n gleiche Theile theilen, daß die Theilungs­ linien dem gegebenen neck ähnliche Figuren bilden, und mit den Win­ kelspitzen in pa, pb u. s. w. fallen, d. h., daß a'/b"c//d//e,/ = —, 2 n a'b'c'd'c' — — dcS gegebenes nccks wird

Von mehreren vermischten construktionellen Aufgaben.

109

148) Einen Kreis durch lauter Kreislinien, welche sich unter einander und die Peripherie des gegebenen Kreises in demselben Punkte p berühren, in n gleiche Theile zu theilen. 149) In ein gegebenes Quadrat soll ein Viereck mit dem kleinstwöglichsten Umfange so eingeschrieben werden, daß eine Mnkelspitzc desselben in einen bestimmten Punkt zu liegen kommt. 150) Es sind vier in einer Kreislinie liegende Punkte gegeben; man soll ein Viereck so um den Kreis construiren, daß sich um jeden dieser Punkte ein Kreis zeichnen läßt, welcher eine Seite und die Ver­ längerung der anstoßenden beiden Seiten des gesuchten Vierecks berührt. 151) Es ist ein Viereck im Kreise gegeben, man soll in dasselbe ein Dreieck um den Kreis mit dem möglichst kleinsten Umfange be­

schreiben. 152) Es ist ein neck gegeben; man soll ein ihm ähnliches con­ struiren. 153) Es sind mehrere ähnliche Vielecke gegeben; man soll ein Vieleck construiren, welches einem jeden von ihnen ähnlich, und allen zusammengenommen gleich ist. 154) Auf der Seite a eineö gegebenen A ein demselben glei­

ches Viereck mit 2 parallelen Seiten, deren eine a selber, und worin der eine an a liegende A zugleich ein A deS A und der andere einem gegebenen A gleich ist, zu construiren.

155) Ein gegebenes Viereck mit 2 deres Viereck mit 2 parallelen Seiten dieser Seiten und einen daran liegenden lich besitzt, und worin der andere an einem gegebenen A gleiche Größe hat.

parallelen Seiten in ein an­ zu verwandeln, welches eine A mit jenem gemeinschaft­ dieser Seite liegende A mit

Achtzehntes Kapitel.

Von mehreren vermischten geometrisch-alge­ braischen Aufgaben. 1)

In einem rechtwinkligen A

ist die Hypotenuse — 500°,

nnd die Summe der beiden Katheten — 700°;

wie groß ist jede

einzelne Kathete? 2) Die eine Kathete eines rechtwinkligen A ist — 3£°, und die Summe der Hypotenuse und der andern Kathete — SJ°; wie groß sind diese beiden letzter» Seiten?

Von mehreren vermischten construktionellen Aufgaben.

109

148) Einen Kreis durch lauter Kreislinien, welche sich unter einander und die Peripherie des gegebenen Kreises in demselben Punkte p berühren, in n gleiche Theile zu theilen. 149) In ein gegebenes Quadrat soll ein Viereck mit dem kleinstwöglichsten Umfange so eingeschrieben werden, daß eine Mnkelspitzc desselben in einen bestimmten Punkt zu liegen kommt. 150) Es sind vier in einer Kreislinie liegende Punkte gegeben; man soll ein Viereck so um den Kreis construiren, daß sich um jeden dieser Punkte ein Kreis zeichnen läßt, welcher eine Seite und die Ver­ längerung der anstoßenden beiden Seiten des gesuchten Vierecks berührt. 151) Es ist ein Viereck im Kreise gegeben, man soll in dasselbe ein Dreieck um den Kreis mit dem möglichst kleinsten Umfange be­

schreiben. 152) Es ist ein neck gegeben; man soll ein ihm ähnliches con­ struiren. 153) Es sind mehrere ähnliche Vielecke gegeben; man soll ein Vieleck construiren, welches einem jeden von ihnen ähnlich, und allen zusammengenommen gleich ist. 154) Auf der Seite a eineö gegebenen A ein demselben glei­

ches Viereck mit 2 parallelen Seiten, deren eine a selber, und worin der eine an a liegende A zugleich ein A deS A und der andere einem gegebenen A gleich ist, zu construiren.

155) Ein gegebenes Viereck mit 2 deres Viereck mit 2 parallelen Seiten dieser Seiten und einen daran liegenden lich besitzt, und worin der andere an einem gegebenen A gleiche Größe hat.

parallelen Seiten in ein an­ zu verwandeln, welches eine A mit jenem gemeinschaft­ dieser Seite liegende A mit

Achtzehntes Kapitel.

Von mehreren vermischten geometrisch-alge­ braischen Aufgaben. 1)

In einem rechtwinkligen A

ist die Hypotenuse — 500°,

nnd die Summe der beiden Katheten — 700°;

wie groß ist jede

einzelne Kathete? 2) Die eine Kathete eines rechtwinkligen A ist — 3£°, und die Summe der Hypotenuse und der andern Kathete — SJ°; wie groß sind diese beiden letzter» Seiten?

110

Kapitel XYIIL

3) Wie groß sind die beiden Katheten und die Hypotenuse cU neS rechtwinkligen Ä, wenn die Summe der Hypotenuse und der

einen Kathete = 0,84 Meilen und die Summe der beiden Katheten s= oz695 Meilen beträgt? 4) Wie groß sind die Seiten eines rechtwinkligen /X, wenn die Summe der Hypotenuse und der einen Kathete = 9", und die Summe der Hypotenuse und der andern Kathete —8" beträgt? 5) In einem rechtwinkligen A ist die Summe der Hypotenuse und der einen Kathete = 423°,6068, und der Unterschied der Hy­ potenuse und der andern Kathete = 123°,6068. Wie groß ist jede Seite dieses A? 6) Man soll ein rechtwinkliges A bilden, in welchem sich die aus der Spitze des rechten A auf die Hypotenuse gefällte Senkrechte zu der einen Kathete wie 3: 4 verhält und die Hypotenuse = 683",31 beträgt. Wie groß sind die beiden Katheten? 7) In einem rechtwinkligen A ist die Summe der beiden Ka­ theten = 16' und die Fläche = 15Q' gegeben; wie groß sind die 3 Seiten dieses A? 8) In einem gleichschenkligen A ist die eine der gleichen Seiten 87', 3 und die auf der 3ten Seite stehende Höhe — 60',7 gege­ ben; wie groß ist die 3te Seite dieses A? 9) In einem gleichschenkligen A ist die auf der 3ten Seite stehende Höhe — 36' und die aus einer gleichen Seite und der 3ten gebildete Summe = 105' gegeben; man soll die 3 Seiten dieses gleichschenkligen A ermitteln. 10) Die Fläche eines gleichseitigen A beträgt 1064-J-Q0; wie groß ist die Höhe dieses A ? 11) Man soll die Fläche eines A und auch die beiden Halb­ messer, mit welchen sich in und um das A ein Kreis beschreiben läßt, berechnen, wenn die eine Seite dieses A = 9°,3, die andere — 100,08 und die dritte — 8°,364 beträgt. 12) Die Grundlinie eines A ist — 325° 7'9" und die Höhe =^67° 8'3"; wie groß ist die Fläche dieses A? 13) Die Flache eines A beträgt 7325 0° 26 0z und seine Grundlinie 58° 9'7"; wie groß ist die Höhe dieses A? 14) Ein A, dessen Höhe 127° 5' beträgt, enthält 62583Q0 4Q'790"; wie groß ist die Grundlinie dieses A? 15) Die Grundlinie eines A ist — 325° 7' 9" und die Höhe — 67° 8' 3"; wie groß ist die Fläche desselben? 16) Die Grundlinie eines A beträgt 763° 0'5" und die Höhe 9'3" 7'"; wie groß ist seine Fläche? 17) Die Fläche eines A ist — 73250° 260' und seine Grund­ linie = 58° 9'7"; wie groß ist die Höhe desselben? 18) Die Fläche eines A beträgt 625830° 40' 790" und seine Höhe 127° 5'; wie groß ist seine Grundlinie?

Von mehreren vermischten geometrisch,algebraischen Aufgaben.

Hl

19) In unb um ein gleichseitiges A, dessen Fläche 6843 Q" beträgt, soll ein Kreis beschrieben werden; wie groß wird der Durch­ messer eineö jeden dieser beiden Kreise sein müssen? 20) Man soll ein gleichseitiges A, ein D und einen Kreis construiren, die einander gleich, nämlich ledes 0,084 Q. Meilen groß, sind. Wie groß ist die Seite deS A, die des und der Durch­ messer des Kreises? 21) Welches Verhältniß eristirt zwischen der Fläche eines gleich­ seitigen A und der eines □, so bald beide Figuren einerlei Seite, nämlich 6J Ellen besitzen? 22) Die Seite eines beträgt 8| Ellen; wie groß ist seine Fläche? 23) Die Diagonale eines ist = 8'll"Dd; wie viel beträgt die Seite und die Fläche dieses □? 24) In einem haben die Seite und die Diagonale zusam­ men eine Länge von 1000"; wie groß ist die Seite deS □? 25) In einem ist die Grundlinie = 810",6 und die Dia­ gonale = 903", 08; wie viel beträgt die Höhe und die Fläche die­ ses LH? 26) Wie groß ist die Fläche eines , in welchem die Grund­ linie — 31 J' und die Summe der Diagonale und der Höhe =60£' beträgt? 27) In einem ist die Grundlinie — 2° 3'7", und der Un­ terschied zwischen der Diagonale und der Höhe = 1° 1" gegeben; wie groß ist die Höhe dieses ? 28) Man kennt die Summe beider Seiten — 10 Ellen und die Fläche — 24 Q. Ellen eines □; wie viel wird die Länge einer jeden Seite dieses sein? 29) Die Fläche eines beträgt 706Q°, und seine Grund­ linie verhält sich zu seiner Höhe wie 2 : 3. Wie groß ist die Grund­ linie und die Höhe dieses ci? 30) In einem Rhombus sind die Diagonalen = 8" und 5"; wie viel beträgt die Seite desselben? 31) Wenn in einem Rhombus die Summe der beiden Diago­ nalen 100", und die eine Seite 36",056 beträgt; wie groß ist die Fläche desselben? 32) Die 3 Seiten eines A betragen 563',. 295' und 387'; wie groß ist die Fläche dieses A? 33) Die 4 Seiten eines Trapezes sind = 324', 137', 431' und 122'; man soll seine Fläche berechnen? 34) Die Seiten eines sind 105" und 1871"; man soll d(N Halbmesser des um dieses beschriebenen Kreises ermitteln. 35) Die Halbmesser derjenigen beiden Kreise zu berechneu, welche sich in und um ein , dessen Seite 71,084 Ellen ausmacht, be­ schreiben lassen.

112

Kapitel XVIII.

36) Wie groß ist der Halbmesser eines Kreises, der In einen Quadranten, dessen Halbmesser 1900'" beträgt, beschrieben werden kann? 37) Der Durchmesser eines Kreises beträgt 86" 4'"; wie groß wird die Seite eines in diesem Kreis beschriebenen ? 38) Der Halbmesser eines Kreises beträgt O',8432; wie groß wird die Seite eines um diesen Kreis beschriebenen ? 39) Die Peripherie eines Kreises beträgt 4£ Meilen; man soll die Seite des in und um diesen Kreis gelegten regulären 6ecks angeben. 40) Man soll die Fläche eines Kreises, dessen Durchmesser 6',0843 beträgt, ermitteln? 41) Die Fläche eines Kreises ist = 100Q"; wie groß ist der Durchmesser und die Peripherie dieses Kreises? 42) Wenn der Durchmesser eines Kreises SA" ausmacht, wie groß wird die Fläche dieses Kreises sein? 43) Aus einem Kreise, dessen Halbmesser O',8463 beträgt, soll man einen andern so schneiden, daß die Fläche des übrig bleibenden Kreisringes den 9ten Theil des gegebenen Kreises beträgt. Wie groß ist der Radius des heraus zu schneidenden Kreises? 44) Man soll einen Kreis, dessen Peripherie | Meile beträgt, in ein gleichseitiges A verwandeln. Wie groß ist die Seite dieses A? 45) Der Durchmesser eines Kreises ist = 45' 3",7; man soll den Durchmesser eines andern Kreises finden, dessen Fläche sich zu der des gegebenen Kreises wie 387:932 verhält. 46) Die Peripherie eines Kreises ist = 69^" und die eines 2ten Kreises — 35",9 groß. Welchen Durchmesser hat ein 3ter Kreis, dessen Fläche so groß als die Flächen beider Kreise sich zeigt? 47) Es sind 3 Kreise gegeben, welche beziehlich die Durchmesser 9'7", 13'6" und 22'9" besitzen; man soll den Durchmesser eines Kreises ermitteln, dessen Fläche so groß alö die Flächen der 3 gegebe­ nen Kreise zusammengenommen sich zeigt. 48) Man kennt 2 concentrische Kreise, deren Halbmesser beziehlich 1'5"3'" und 10"9'" ausmachen; und soll den Halbmesser eines Kreises ermitteln, dessen Fläche so groß wie die Fläche des zwischen den beiden concentrischen Kreisen vorhandenen Ringes ist. 49) Man soll um einen Kreiö, dessen Halbmesser 39'8" be­ trägt, einen concentrischen Kreis so beschreiben, daß der zwischen bei­ den Kreisen enthaltene Ring eine Fläche von 385Q' besitzt. Wie groß ist der Halbmesser des großem Kreises? 50) Wie groß ist der Bogen eines Kreises, welcher zu dem Halb­ messer 13'4" und zu dem Mittelpunktswinkel 37° 19' gehört? 51) Wie groß ist der Vogen eines Kreises, welcher dem Halb­ messer 19'7" und dem Mittelpunktswinkel 149° 16' 13" entspricht? 52) Wie groß ist der Bogen eines Kreises, dessen Halbmesser = 23'8"6'" und dessen Mittelpunktswinkel = 253° 9'3" beträgt? 53) Die Länge eines Bogens, dessen Halbmesser 19' 3" 7'" aus--

Bon mehreren vermischten geometrisch.-algebraischen Aufgaben.

113

macht, ist — 25' 7". Wie groß ist der hierzu gehörige Mittelpunkts­ winkel? 54) Wie groß ist der Halbmesser eines Kreises, wenn der zum Mittelpunktswinkel 25° 3'49" gehörige Bogen eine Länge von 247'8" besitzt? 55) Man hat 2 Bogen von gleicher Länge, welche zu 2 ver­ schiedenen Kreisen gehören, und von denen der erste einem Mittelpunkrswinkcl von 15° 39'7" und der andere einem Mittelpunktswin­ kel von 56° 9' 43" zugehört. Wenn nun der erste Bogen einen Halbmesser von 7' 6" 3'" besitzt, so frägt es sich, wie groß der zum 2ten Vogen gehörige Halbmesser sein muß? 56) Ein Kreis, dessen Durchmesser 9'7" ist, soll in ein gleich­ seitiges A verwandelt werden; wie groß ist die Seite dieses A? 57) Wie groß ist der Kreisausschnitt zu einem Halbmesser von 7" 9'" und einem Mittelpunktswinkel von 37° 5'? 58) Wie groß ist der einem Kreisausschnitte zugehörige Mit­ telpunktswinkel, wenn der Halbmesser des Kreises = 25783' und die Fläche des Kreisausschnitts = 935Q' beträgt? 59) Wie viel beträgt der Halbmesser eines Kreisausschnitts, dessen Mittelpunktswinkel 46° 25' 18" und dessen Fläche 367Q' 90 0" ausmacht? 60) Die Fläche eines Kreisausschnitts ist, vem Quadrate seines Halbmessers gleich; wie groß ist der hierher gehörige Mittelpunktswinkel? 61) Es giebt einen Kreisausschnitt, dessen Mittelvunktswinkel — 69° 47" beträgt, und der die Eigenschaft besitzt, daß, wenn man den Halbmesser, den Vogen und die Fläche desselben, in der Ordnung, wie sie hier aufeinander folgen, durch die nämliche Längen-und Flä­ chen-Einheit ausdrückt, die 3 hierdurch erhaltenen Zahlen in stetiger geometrischer Proportion sich befinden. Wie groß ist die Fläche die­ ses Ausschnittes, wenn man den Fuß als Einheit annimmt? 62) Man soll ein A ermitteln, dessen 3Seiten sich wie 11:13:20 verhalten, und dessen Fläche so groß ist, als die Fläche eines Aus­ schnittes, dessen Mittelpunktswinkel 19° 27'5" beträgt, und dessen Bogen 27'3" lang ist. Wie groß sind die 3 Seiten dieses A? 63) Die Seiten des regulären 30ecks, 15eckö, 60ecks und 9ecks in einem Kreise, dessen Halbmesser — 1 ist, zu bestimmen. 64) In einem Kreise sind 2 parallele Sehnen, deren Längen 2a und 2b betragen, in dem Abstande e von einander gezogen; wie groß ist der Halbmesser r dieses Kreises? 65) Ein □, dessen Fläche 68,7Q'", ein gleichseitiges A, dessen Seite 3" beträgt, und ein Kreis, dessen Peripherie l',06 ausmacht, sollen alle drei 1) in einen gleich großen Kreis und 2) in ein gleich großes gleichseitiges A verwandelt werden. Wie groß wird der Na­ dins des gesuchten Kreises und die Seite des verlangten gleichseitigen A sein müssen? (Geometrie. $

114

Kapitel XVIII.

66) Man soll ein reguläres Fünfeck construiren, dessen Fläche 6843,760" beträgt; wie groß ist seine Seite und der Halbmesser des Kreises, in welchen stch daS 5eck eintragen läßt? 67) Wie groß ist der Halbmesser eines Kreises, dessen Peri­ pherie doppelt so groß als die Peripherie eines 64^0' enthaltenden Kreises stch zeigt? 68) Mit einem Halbmesser von 63" ist ein Kreis, und in und um denselben ein reguläres 6eck beschrieben. Man soll das Verhält­ niß angeben, welches, in Bezug auf den Flächeninhalt, zwischen dem Kreise und dem eingeschriebenen 6eck, so wie zwischen dem Kreise und dem umschriebenen 6eck sich zeigt? 69) Die Summe 2er Katheten eines rechtwinkligen A von 1008,40" beträgt 648". Wie groß sind die 3 Seiten dieses A? 70) Man soll um ein , dessen Seiten a und b sind, einen Kreis beschreiben; wie groß ist der Radius r dieses Kreises? 71) Man soll um ein von 3600Qz" einen Kreis beschrei­ ben; wie groß ist der Radius r dieses Kreises? 72) Wie verhalten sich die Flächen eines gleichseitigen A, eines und eines 7ecks zu einander, wenn ihre Seiten beziehlich 1 °,6, 2°,5 und 3°,008 ausmachen? 73) Die Seiten a, A, a eineö regulären Fünfecks, Zehnecks und Zwölfecks sind gegeben; man soll die Seite A eines regulären 8eckö bestimmen, welches so groß als die 3 regulären Vielecke zusam­ men genommen stch zeigt. 74) Ein Quadrat, ein reguläres 6eck und 8eck haben zusammen eine Fläche von 36350". Wenn nun die Seite a des Quadrats noch einmal so lang als die Seite A des 6eckS, und diese wieder noch einmal so lang als die Seile a des 8ecks werden soll, so frägt eö sich, wie groß a, A und a werden müssen?

Resultate. 1) Die eine Cathete ist = 400° und die andere = 300°. Die Hypotenuse — 5°,075 und die Cathete = 3°,675. Die eine Cathete = 0,3485586, die andere = 0,3464414 und die Hypotenuse = 0,4914414 Meilen. 4) Die Hypotenuse = 5, die Katheten = 4 und = 3 Zoll. 5) Die Hypotenuse ist =223°,6068 und die beiden Catheten betragen 200° und 100°. 6) Die eine Cathete = 602",6228 und die andere Cathete — 322",1154. 7) Die Hypotenuse = 14',000003, die größere Cathete =13',830953 und die kleinere = 2',169047. 8) Sie ist = 62',74393 groß. 9) Die dritte Seite ist = 58'5" 8,75'" unv die eine gleiche Seite beträgt 46'4" 1,25'". 10) 42,93575 Ruthen. 11) Die Fläche des A beträgt 36, 396010°, der Halbmesser des in das A be­ schriebenen Kreises = 2o,623703 und der Halbmesser des um das A

2) 3)

Von mehreren vermischten geometrisch-algebraischen Aufgaben.

115

beschriebenen Kreises =5°,374569. 12) 11O49Q0 16Q'78Q" 50Q"'. 13) 248° 4'4" 0'",2. 14) 981°,6948. 15) 11049,167850° ober 110490° 160z 780" 5O0//z. 16) 357,488925 0° Oder 3570° 480' 890" 250'" 17) 248°,4402 oder 248° 4' 4" 0'" 2IV. 1 18) 981°,6948 oder 981° 6'9" 4"'8IV. 19) Der Nadins des eingeschriebenen Kreises = 36",2896 und der des umschriebenen Krei­ ses = 7901 "614. 20) Die Seite des A = 0,4404325 Meilen, die des = 0,2898275 Meilen und der Durchmesser des Kreises = 0,3270353 Meilen. 21) Das Verhältniß 1/3:1. 22) 77,44002 Q. Ellen. 23) Die Seite = 6'3" 7"',92516 und die Fläche = 390' 108^0" Dd. 24) 414",213 Zoll. 25) Die Höhe = 398",097 und die Fläche = 322697",3. 26) 688,32230'. 27) 2° 2' 7" 5"',644. 28) Die Grundlinie =6 Ellen und die Höhe = 4 Ellen. 29) Die Grundlinie 36°,8646... und die Höhe = 24°,5764.... 30) 4",71699. 31) 1200,053 0" 32) 53447,73 0'. 33) 44079,76 0'. 34) Der Halbmesser ist = 107",449. 35) Der Halbmesser des um das beschriebenen Krei­ ses beträgt 50 Ellen 2" 6"',4 und der Halbmesser des in das be-schriebenen Kreises ist = 35 Ellen 5" 4"',2. 36) Der verlangte Halbmesser beträgt 787"',007. 37) 61" 0"',94. 38) l',6864. 39) Die Seite des eingeschriebenen 6ecks = 0,716175 Meilen und die Seite des umschriebenen 6ecks = 0,827010 Meilen. 40) 29 0' 7 0'' 44,30 0'". 41) Der Durchmesser = 11",28379 und der Um­ fang = 35",44907. 42) 54,939 0". 43) O',2821. 44) 0,3215185 Meile. 45) Beinahe 29' 2" 3'" 46) Ohngefähr 24" 89. 47) Der Durchmesser des gesuchten Kreises beträgt 28' 3" 4"' ungefähr. 48) Der Halbmesser beträgt 10" 7'" 41 v beinahe. 49) 41'3" 1"' ungefähr. 50) 87'2" 7'" 4lv ungefähr. 51) 51'3" 2'" 3IV un­ gefähr. 52) 105'4" 2'" 1IV ungefähr. 53) 76° 1' 11" beinahe. 54) 566' 4" T“ 41V ungefähr. 55) 2' 1" 2"' 6IV ungefähr. 56) 13'0" 6"' ungefähr. 57) 200" 190"' 67 0IV ungefähr. 58) 0,58023" ungefähr. 59) 301'3" 5"'. 60) 114° 35'29" ungefähr. 61) 130080' 280". 62) Die eine Seite ist =44',8594, die andere = 53',0157 und die 3te = 81 ',5626. 63) Die Seite

des regulären 30ecks beträgt regulären 15ecks macht

die Seite des

/lQ“F~/5—die Seite des re­

gulären 60ecks ist = 1 [(/£ 4- /I) (/5 — 1) — (/3 — 1) /5 + /5], und die Seite x des regulären 9ecks wird aus der Gleichung x3—3x-|~/3 = 0 durch Probiren = 0,68404.... gefunden.

64)

ES ist

r — -foa*c*

~

.

65)

Der Radius

116

Kapitel XVIII.

Von mehreren vermischt, geom.-algebr. Aufgaben,

des KreiseS = 2",074917 und die Seite des gleichseitigen Dreiecks = 5",588884. 66) Die Seite des regulären 5ecks = 63",07026 und der Halbmesser des Kreises = 53",65096. 67) 9Z,030054. 68) Das Verhältniß zwischen dem Kreise und dem eingeschriebenen 6eck ist: 7t: ^/3, während daö Verhältniß zwischen dem Kreise und dem umschriebenen 6eck als: -r: 3/^ sich zeigt. 69) Die größere Cathete = 644",825, die kleinere — 3",175 und die Hypotenuse = 644",8330. 70) r = -£;/a2-|-b2. 71) Es ist r — 42'",42641. 72) Das gleichseitige A, b(i8 und das reguläre 7eck verhalten sich zu einander wie 110845 : 625000 : 3287984

73) A = 2/2(14-/2) • [«VWW+IOA’ /5+2/T4-12«2 (24-/3)].

74) « = 116",429,

A — 232",858 und a — 465",716.

GrsteS Kapitel.

Von den trigonometrischen Formeln. Was heißt der Sinus und Cosinus eines spitzen Winkels, und wie wird derselbe ansgedrückt? Wie viele Bedeutungen hat ein solcher Sinus und Cosinus ? Ist der Sinus oder der Cosinus eines spitzen Win­ kels ein ächter oder ein unachter Bruch? Wie werden die Sinus und Cosinus spitzer Winkel durch Linien versinnlicht? In welchem Falle ist der Sinus eines spitzen Win­ kels dem Cosinus eines spitzen Winkels gleich; oder in welchem Falle ist sina — cosß, wenn a und ß spitze Winkel ausdrücken? Was heißt ein allgemeiner Sinus und Cosinus, und was versteht man unter demselben? Ist die Bedeutung des allgemeinen Sinus und Cosinus völlig bestimmt? In welchem Falle liegt ein Winkel im lsten, 2ten, 3ten, 4ten, 5ten, 6ten ... . 4n 4- lsten, 4n + 2ten, 4n + 3ten und 4n + 4ten Quadranten? Wie wird jeder Winkel im lsten, 2ten, 3ten, 4ten, 5ten, tzten u. s. w. 4n -s- iflcn, 4n -s- 2ten, 4n + 3teil

und 4n + 4ten Quadranten ausgedrückt, und welche Vorzeichen haben die Sinus und Cosinus in diesen Quadranten? Wie wird eine Tabelle für die Sinus und Cosinus aller Winkel angefertigt?

120

Kapitel I.

Welche trigonometrische Tabelle ist die gebräuchlichste und wie ist dieselbe eingerichtet? Was nennt man Tangente, Cotangente, Sekante und Cosekante? Wie wird die Tangente, Cotangente, Sekante und Cosekante ausgedrückt, und wie viele Bedeutungen kom­ men diesen» Zeichen zu? Wie werden die Tangenten, Cotangenten, Sekanten und Cosekanten spitzer Winkel durch Linien versinnlicht? Was versteht man unter Sinus versus, Cosinus ver­ sus, Sinus totus; und sind diese Ausdrücke auch jetzt noch im Gebrauche? Welche Vorzeichen haben die Tangenten, Cotan­ genten, Sekanten und Cosekanten im Iften, 2ten, 3ten, 4ten, 5ten, 6ten, 4n-s- Isten, 4n + 2ten, 4n -s- 3ten und 4n 4- 4ten Quadranten? Wie wird eine Tabelle für die Tangenten, Cotan­ genten, Sekanten und Cosekanten aller Winkel ange­ fertigt? Was nennt man trigonometrische Funktionen? Was heißt analytische Trigonometrie? Welche Gleichungen werden trigonometrische For­ meln genannt?

Formeln. . 1) sm« =

«$ - «5 6

eai — e"ai 2) sma == ------ ----7 21

5) sin2 a4"cos2 a = 6) sin2 a = 1—cos2a, 7) cos2a = 1 — sin2a, 8) sin a = j/1 — cos2 a , 9) cos a = /1 — sin2 a, 10) sin (a + /?) = sina. cos/9 + cosa.sin/?, 11) cos(a + /?) = cosa.cos/?+ sina.sin/S, 12) sin(a-J-/^)4- sin(a — ß) = 2 sina.cosß 13) sin(a- sin(a — /$) = 2cosa.sin/S,

14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33)

608 (tt—$4‘cos(w + $) = 2 608«. 608 A cos(«—/?)— cos («4-/9) = 2sina.sin/?, ein (« ß) — sin (/5 -f-«), 608 («4* ß) = COS (/?4-tt), sin (« — ß) = —sin (/?—tt), eos (« — ß) = 608 (/? — tt), sin a 4* sin /? = 2 . sin|(«-f-/?).cos|(a—/?), sin «4-sin/? = 2. sin^(/9-|-«) .cos£(/?—a), sin« — sin/? = 2.eos|(a-|-/9). sin^(« — /?), sin« — sin/? ——2.eos-^(/?+«). sin|(^—«), cos«-{-cos/? — 2. cos | («4-/9)- cos |(a-—/?), eos « + cos/? = 2. cos £ (/?-}-«). cos4(/?—«), cos « — cos/? =—2. sin ^ («+/?). sin £ (a—/5), cos« — cos/? = 2.sin4(/?-)-«). sin|(^—«), sin 2« = 2 .sin«. cos«, cos 2« = cos2 « — sin2 a, cos2« — 1 — 2sin2«, cos2a = 2COS2« — 1, 2 sin2 a = 1 — cos 2a, 2 cos2« — 1 + cos 2«,

. 34) sm

_/l — COS 2« « — |/------- ------ ,

3d) cos

i/l 4"cos2a a = y - —9----- ,

36) sin «4- cos a = /1 4* sin 2a, 37) sina—cos« — /1 — sin2a,

38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 46)

sina == /14-sin2«4-^/1 — sin2«, cosa = 4}/14-sin2«—^/1 — sin2a, (cos a 4-i sin a),n = cos m« 4-i sin ma, (cos«—isin«)m — cosma — isinma *), (cosa4-isina)(cos/?4-isin/?) — cos(a 4-/?)4“isin(«4-/?), (cosa4-isina)(cos/?—isin/?)= cos(a — /?)4-isin(«—ß)9 sin 0 = 0, 45) cos 0 = 1, sin (—a) — —sina, 47) cos(—a) = cosa,

) Wenn in Nr. 40. und 41. m eine beliebige reelle Zahl be^ccchnet.

122

Kapitel l.

48) 8in/„7r = — ----i 4, V$ 50) 52) 54) 56) 58) 60) 62) 64) 66) 68) 70) 72) 74) 76) 78) 79) 80) 81) 82) 83) 84) 85) 86) 87) 88) 89) 90) 91) 92) 93) 94) 95) 96) 97)

49)

C0STÖ7t

j

j/

f)

,

sin ^7i = 51) cos = £/3, 53) COS -|7F = 4/2, sin -}n — 4/2, sin * ä7t — 4/3, 55) COS |7T = i, sin Kn = 1 , 57) COS ^71 = 0, sin n = 0, 59) COS 7t = — 1 , sin %7t = — 1 , 61) cos ZN = —0 , sin 2 7i = —0, 63) COS 271 = 1 , 65) COS 4*3 7k = --- 1, sin4- 3 Ti ’==1 4- 0, sin-|-4 Ti — —0, 67) cos4“4 71 = 1, — 1, sin-4-2nn = — 0, 69) cos4-2n7t sin 4-(2n+ 1)tl = 4"°> 71) cos4-(2n4-l)^ — —j, 73) cos4-(2n—1)% = —1, sin 4-(2n — = 4-0, 75) cos 4- (2n 4-1)^ = 0, sin4-(2n 4-|)^ — —1, 77) cos4-(2n—4)7t = —o, sin4-(2n—4)71 = 4~h sin-j-(§r — «) — -/ sin«, C0S4-(n — «) — —008«, sin-(-(^4-«) — —sin«, cos4-(^+«) = —008«, sin 4-(2^—«) — — sin «, cos-f-(2Ji—«) — + cos«, sin(2n?r + «) — + sin«, cos(2n;t +«) — 4~cos«, sin [(2n 4*1)^ + «] — + sin «, cos[(2n-|-l)n+ «] — — cos«, sin [(2n + 4) & 4" al = + cos «, cos[(2n + 4)?r4-“] = +sina, sin[(2n + 4)n —«j — + cos«, cos [(20 + 4)^ — “] = +sina, sin(4n + «) — cos(4?t+«), sin(4?r±a) = cos (4«+ «), cos(|ra+a) — sin + «)> sin(.^4-«)—sin(4«—«) — cos(|«—«)—cos(|n4-«)=sin«, cos(4n:4-a)4-cos(4n—«) = sin(4n;—«)4-sin(4n4-“)=cos«, 4.sin(4^4"“) • sin(4^—«) = 4. cos (4^4*“) •cos (471—“) — 2 cos 2a 4-1 = 4 cos2«— 1,

. z. . x i/l—sin« 101) sm (|n — la) — , sin a 2 104) cos « = — cos sin« — sin (ß-\-y) *), 106) cos ß = — cos(a-j-y), sin/9 = sin (a+y), sihy = sin («4“/5)5 108) cosy — —cos(a + /5), sin ce-j-sin ^9-j-sin / = 4. cos I«. cos l£ß. cos , cos « 4- cos ß 4~ cos y = 14- 4 . sin 4 «. sin 4/S. sin 4/, si”“ = “(‘-■£)(’4«^W _ 4 k 2 \/ _ 4a? \ cos « — ( l 5t2 )\ J 95t2/\ 255t2/ X 495t2/ ’ ’ ‘ ’ . m m 2n-m 2n4-m 4n-m 4n4*m 6n-m sin — .5t = 5t. 2n 2n 2n 2n 4n * 4n 611 " m 11-111 ii4-m 3n-m 3114-m 5n-m 5n4-m cos — .5t = — - — ------• • 7 2n n ii 3n 3n * 5m ' 5m . m m 2n-in 2n-|-m 4n-m 4n-m 6n-m sin — .7t = — > 2n n 3n 3n * 5n' 5n n m n-m n-s-m 3n-m 311-j-m 5n-m 5n-s-m COS — .71 = 71. • • • ■> ~2n 2n ~ 2n 2n

102) cos ({5t-- 4«) —

103) 105) 107) 109) 110) 111)

112) 113)

116)

. m 211 2n 2n 71 = sm — 7t.—. ***) 2n m 12ii-m' in 211 2n 118) 71= cos —71. ’ 2n n-m ‘ n-f-m * 3n-m ' 3n4-m' 5n-m ‘ 5n-s-m ‘ o 2.4.4.6.6.8.8.10.10.12.12 1 19) 71 = 2.1 . 3 . 3.5 . 5.7 . 7 . y". 9 .11.11. 13... ~’

*) Wenn (in Nr. 103-110.)

— 7r ist.

**) Wenn (in Nr. 113—118.) in und n (positiv) ganze Zahlen darstellen. ***) Wenn (in Nr. 117 —118.) der Buchstabe n auf der rechten Seite den Winkel von 180°, auf der linken Seite aber das Maß des zwischen den Schenkeln des Winkels n liegenden Kreisbogens für den Radius l darsiellt.

124

Kapitel I.

4 . 8 . 8 . 12 . 12 . 16 . 16 ./2, 120) -r — 2. 3.5.7 .”F7 11 . 13 . 15 . 17. 6.6. 12 . 12.18 . 18 . 24 . 24 121) n — 3. - 7 . 11 . 13 . 17 . 19 . 23 . 25 D = 3,1415926535897932384626433 5 cosa sina 123) cotga — ——, tg a =------ , 122) ö sma ö cosa 1 1 125) coseca = -7—, 124) sec a =------) Sina cosa 127) cosec2 a—cotg2 a = 1, 126) sec2a— lg2a = 1, 128) sec2 a = 14-tg2 a, 129) cosec2 a = l + cotg2a, tg a = /sec2 a — 1, ISO) 131) cotga = /cosec2 a — 1, 132) seca —/l-j-tg2a, 133) cosec a = /1 + cotg2 a, 1 1 134) sin a =-------- , 135) sina —seCa. cotga’ coseca tg a 136) 137) sm a — sec a , tga 138) 139) sin a =------ —— , /l+tg2a ./sec2 a—1 140) 141) sma — 1/------------- , V seca 1 143) cos a = r—— ------- > 142) tga. coseca sina 144) cos a = sina. cotga, 145) cos a — -— , tga’ co tga 1 147) cosa = ... —— , 146) 005 a —---- -—, coseca /I + tg2 a cotga 148) cos a — — ■■■-=, 149) cosa — /cosec2a—1 /l 4-cotg2 a ceseca ’ 1 150) 151) tg a = —7—, tga = e cotga cosa. coseca’ seca tga = tga = sin «. seca, 153) 152) coseca ’ sina . /l — cos2a 154) tg a = . -r-?= 9 155) tg a =-------------- , /1— sm2a e cosa 1 157) cotg a = 7-^— , 156) tg« = tga /cosec2 a—1

Bon Den wichtigsten trigonometrischen Formeln. 1 sin« .See«'

159)

60866« — 7 160) eotg« 6 866« 608« 162) e -- COS2« 1 164) seca —sina.cotg.a’ tg« ? 166) 866 tt = sin« 1 ,——- 7 168) see « — . |/1 —sin2 a

161)

158) cöl^w

170)

sec«

60866tt —-----7 •/cosec2«—1

172) 60866« — eotg «. sec «, 174) eosec« =

COtg« 608 tt ’

163)

165) 167)

169)

125

eotg « = 608 «. 60866 tt -

j/1 — sin2 « eotg « =---- -r-------- , 6 sm« 1 eotg « = ■=====, 1/see2 « — 1

See « —tg«. 60866«-

60866« 866 « = —----- > eotg« i/14-cotg2« 866 tt — . COtg«

1 171) 60866 tt — —------ ---- ) 608 tt . tg« 866« 173) 6O868 « — “ tga 175). 60866 « = *1 , 1/1 —608 2 tt

s ec«__ tg2« 177) ca$ec« = /sec2« —1’ tg« tg« + lg/? J 78) sin (« + /?) = 866« . sec/?' eotg « . eotg ß+ 1 179) eos (« + /?) = 60866« .COSeC/9’

176) eosec«i=

y

180)

tg(«±$ -

181)

tg (a + $ —

182) eotg (« + /?) =

183) eotg (« + /?) = 184) sec (« + /?) = 185) sec(a +/?) —

l + tg«.tg/S ’ eotg/?+ eotg« eotg« .eotg/? + 1 ’ eotg « . cotg^ + 1 eotg^ + cotg« ’ l+tg«.tg/g tga±tg/S sec«. sec/? 1 + tg«.tg/?’ coseca. cosec/? eotg«. eotg/? + 1 ’

Kapitcl l.

126 186) cosec (a + /?) —

cosec «. cosec ß eotg^ + cotg« ’

187) eosec(a + /?) —

seca.sec^ *g«± tg/?’

188) 189) 190) 191) 192) 193) 194) 195)

tg(^+«), — tg(/?—a), cotg(/?+«), -cotg(ß-a), sec (/?+«), sec(ß—«), cosec (ß 4-a), —cosec(ß — «),

tg(«+i?) tg (a — /?) cotg(a -|- ß) cotg(a —ß) sec(a -f- ß) sec(a-ß) cosec(a+/?) cosec(a — ß)

= — — — — — — —

2tga sec»a ’ 2tga tg 2a = 198) 1 — tg» a’ cotg» a — 1 200) cotg 2a ----2 cotga ’ sec2 a 202) See 2a = 1 —tg2a’ 196)

sin 2a =

204) cosec 2a —

206)

tga±

cosec2a 2cotga '

199)

201)

203) 205)

cotg2 a — 1 cosec»« ’ 2 cotg « tg2a~ cotg2 a — 1 ’ 1 — tg2a cotg 2a = 2tga ’ cosec» a sec2a — cotg2a — 1 ’ sec2 a cosec 2a = 2tg a ’

sin («+/?) > cos a. cos ß

tff?

x . , . n 207) Colg«±eolg^ x . , 208) cotg« + ' 6 —

197)

sin(/? + a) gin|>.

. cos (« + ß) tgß = ■. . . , Sina, cos/?

2o9>

= »“'W'

2,0>

= *“•*(»±1«-

212) eotg/?—cotga - cotgß.tg(ß-a), cotg a-j-tgß

Von den wichtigsten trigonometrischen Formeln.

213)

sin (a-j-/?).sin (q—-/?) COS* 2 (X. COS2

tg*1 tt —MC ß

214) cotg2a— cotg2/? =

sin (ft-^-/?).sin(/?— q) sin2 «. sin2 ß

215) cotg2« — tg2 ß

COS (ft->-/?). COS (ft — ß) sin2 «. cos2 ß

216)

tg-g(«+l) tgl(a—ß)

sin a -j- sin/? sinet — sin/? '

cosec«+ cosec/? _ sin« + sin4? 217) cosec/?—cosec a "" sin« — sin/?’

COS ft — cos/? cos « + cos ß ’

218)

sec^? — See« see « + sec/?

219)

—tgl(«4-/9)-tg4(«—A)

cosa— cos/? cos« + COS/?

220)

tg-2 («±/5) —

sin « +sin/? cos « -j- cos ß ’

221)

tgl(«±/5) —

+ (cosa— cos/?) sin ß 4- sin «

222)

cotgi(« + /?) =

cos «+cos/? sin « + sin/? ’

223) COtg!(«+/?) —

sin « Tp sin/? cos/? — cos«'

224)

tgi(« + /S)+

tgl(«-/?) =

2 sin« cos «-s-cos/? ’

225)

tgl(« + A)- tg|(«-/?) =

2 sin/? cos a-p cos/? ’

226) cotg i («—ß) ~ cotg| («+/?) =

2 sin et cos/? — cosa '

227) cotg | (a —/?)— cotg £(«+/?) =

2sin/? cos/? — cosa ’

228) cotg^(« + /?)—

tg 4 (« — /?) —

2 COS ft sin ft + sin/?’

229) cotg|(« + /6) +

tg4(«-/S) =

2 cos/? sina-f-sin/?’

230) cotg i («—/?) —

tg4 (« + ß> —

2 cosa sina —sin/?’

127

128

Kapitel 1.

23,) «».gK—ffl+tgK.+Ä -

232) co*gg—= cotg q 4" tg/? 233) cotgq 4- cotg/? } cotgq — cotg/? 234) *8® + *»^ } tga—tgß

o35) COtg/?—tgq } cotg/?4-tga 236) 238) 240) 242)

246) 248) 250) 252) 254) 256) 258) 260) 262) 264) 266) 268) 270) 272) 274) 276) 278) 280) 282) 284)

- sin