Sammlung von Aufgaben und Beispielen zur analytischen Geometrie der Ebene mit den vollständigen Lösungen [Reprint 2019 ed.] 9783111379531, 9783111021072

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Sammlung

Göschen

Band

256

Sammlung von Aufgaben und Beispielen zur Analytischen Geometrie der Ebene mit den v o l l s t ä n d i g e n

Lösungen

Von

Dr. R o b e r t Haußner weiland o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena

Mit 22 Figuren im Text Neudruck

Walter

de

Gruyter

&

Co.

v o r m als G J . Gösch m ' s c h e V e r l a g s h an i l uns; • J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g . G e o r g R e i m e r . Karl J. T r u b n e r . V e i t & C o m p .

Berlin

1949

Alle R e c h t e , i n s b e s o n d e r e das

Übersetzungsrecht,

von der V e r l a g s h a n d l u n g

Archiv-Nr. 110256

/

vorbehalten

Gen.-Nr. 11.380

Druckhaus E. Heckendorff, Berlin SO 36 / ISCS 114 / 5000. 7. 49 Printed in Germany

Inhalt. Seite

1. A b s c h n i t t . P u n k t e lind S t r e c k e n . § 1. Punkte und Strecken auf einer Geraden. Teilverhältnisse § 2. Punkte und Strecken in der Ebene. Flächeninhalte § § § §

3. 4. 5. 6.

5 7

2. A b s c h n i t t . D i e g e r a d e L i n i e . P u n k t und Gerade, sowie mehrere Gerade in Parallelkoordinaten . . . Strahlenbüschel und Dreieckssätze Die Gerade in Polarkoordinaten Die Gerade als geometrischer Ort

3. A b s c h n i t t . D i e K e g e l s c h n i t t e i m a l l g e m e i n e n . § 7. Ableitung von Eigenschaften aus der allgemeinen Gleichung § 8. Projektive und affine Transformation § § § § § § §

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

4. A b s c h n i t t . D e r K r e i s . Kreis und Gerade. Tangente Pol und Polare Behandlung des Kreises mit Polarkoordinaten Der Kreis als geometrischer Ort Mehrere Kreise. Kreisbüschel Potenzlinie. Potenzpunkt Transformation durch reziproke Radien

12 16 21 22 27 36 38 44 45 46 51 53 56

5. A b s c h n i t t . E l l i p s e , H y p e r b e l u n d P a r a b e l . § 16. Gleichungen, Mittelpunkte und Durchmesser. Tangenten, Asymptoten und Polaren § 17. Brennpunkte. Konfokale Kegelschnitte § 18. Kegelschnitte in Polarkoordinaten § 19. Geometrische ö r t e r § 20. Konstruktionsaufgaben § 21. Kegelschnittbüschel § 22. Auflösung von Gleichungen 2. bis 4. Grades durch K e g e l s c h n i t t e . . . .

62 85 91 93 110 132 122

6. A b s c h n i t t . L i n i e n k o o r d i n a t e n . § 23. Punktgleichungen § 24. Kegelschnitte in Linienkoordinaten . . . : § 25. Duale Sätze

124 Iü7 136

Dualität. •

1*

I. Abschnitt.

Punkte und Strecken. § 1. Punkte und Strecken auf einer Geraden. Teilverliältnissc. 1. Es sollen auf einer Geraden mit gegebenem Nullpunkte und gegebener positiver Richtung die Punkte konstruiert werden, deren Koordinaten durch die Gleichungen: a2 + b2 — ab z = —, x = , x = 1/ az — o2; c c x2 ax = 0, x2 — (a + b) x + ab = 0, 2 x2 — 2ax + a2 — & = 0 gegeben sind, wo a, 6, c gegebene gerichtete Strecken bezeichnen. Werden a, b, c durch positive oder negative Zahlen (z. B. a = 5, b = — 4, c = 7) gegeben, so muß noch die Längeneinheit gegeben sein 1 ). Lösungen der drei letzten Aufgaben: 0, — a; a,b; a + b,a— b. 2. Bezeichnet man die durch die Gleichung 3z3-7z2-7« + 3 = 0 gegebenen P u n k t e in beliebiger Reihenfolge mit Pu P2, P3, so sollen ihre Koordinaten und die Strecken P1P2, PJ'3, P3P1 der Länge und Richtung nach berechnet werden. Wie lautet die obige Gleichung, wenn der P u n k t 1 als neuer Nullpunkt genommen wird? Lösung: _ 1, 3 , 4 ; 4, — — 4 ; 3s' 3 + 2z' 2 — 12x' — 8 = 0. o 6 6 Stets muß T\pI + I'J? + T\J\ = 0 sein. 3. Sind Plf / ' , , P 3 , I\ beliebige P u n k t e einer Geraden, so soll bewiesen werden, daß 1 ) Es Ist zweckmäßig, zu den Zahlenbeispielen die Figuren zu zeichnen; bei rechtwinkligen Koordinaten Ist es nützlich, q u a d r i e r t e s , sog. Millimeterpapier zu verwenden.

Punkte und Strecken.

6

• PfP.1 = Ä K •

+ - P i i • P2P3

ist.

4. Der Wert eines Doppelverhältnisses bleibt ungeändert, wenn entweder die Elemente eines jeden Paares unter sich oder die beiden Paare miteinander vertauscht werden: ( P i W . ) = (PJV'J'z)

= ( P

3

W \ ) =

( I \ W \ ) -

5. Der Wert eines Doppelverhältnisses geht in den reziproken über durch Vertauschung der Elemente eines Paares untereinander: (P1W3) = 1 : (t\W\)Beweis von (4) und (5) durch direkte Ausrechnung.

6. Die Werte zweier Doppelverhältnisse ergänzen sich zu 1, wenn das eine aus dem andern entweder durch Vertauschung der beiden inneren oder der beiden äußeren Verhältnisse hervorgeht: (P1P2P3P1) + (P1P3P2Pi) = ( P J W , ) + (P^P3T\) Beweis mit Hilfe von (3).

=

1.

7. Es soll gezeigt werden, daß vier Elemente 4! = 24 Doppelverhältnisse liefern, die sich in Gruppen zu je vier mit gleichem Werte anordnen lassen. Ist ( - ^ i ^ W ^ ) = v< s o sind die 6 Werte aller Doppelverhältnisse v, —, 1 — v, v

1

1 v

=

v — 1 v

,

v v — 1

.

——,

1— v

Für v = — 1 (harmonische Ele-

mente) ergeben sich drei Gruppen von je acht Doppelverhältnissen mit den Werten — 1 , 2 , — . 8. Die Koordinaten dreier in gerader Linie liegender Punkte Pj, P2, P3 sind xu x2, x3. Es soll die Koordinate des vierten harmonischen Punktes Pi berechnet werden, wenn der erste und der dritte einander zugeordnet sind. Lösung: Aus (P 1 P 3 P 2 P 4 ) = — 1 folgt ^ x3 + 1

¡2/^

2x2

Punkte und Strecken in der Ebene.

7

9. Welche Doppelverhältnisse liefern die Punkte PS(q = 1, 2, 3, 4) mit den Koordinaten xf = ? Wann sind vier solcher Punkte harmonische? Lösung: Ist wieder (/' 1 P 2 P 3 P 4 ) = v, so erhält man die Werte ' p r i + l ' 2

( f h f

m d ü l i e

dreireziproken Werte.

2

Aus (f + l ) = v (£ + | + 1) ergeben sich reelle Werte von f nur

r,

4

1

•j *

f.

—3± / 6

, ,

für 0 < v < -5-. und dann s o Für v = -= 6 wird f = | 1 > 2 = i die Strecke 7 \ P 4 durch P 2 und P 3 harmonisch geteilt; je nachdem £ = f 1. oder = f 2 gewählt wird, hegt P 3 oder P 2 zwischen P t und P 4 .

10. Es gibt unendlich viele Systeme von vier harmonischen Punkten einer Geraden, die zu dem Punkte mit der Koordinate f harmonisch liegen. Lösung: Sind a und b zwei behebige, aber ungleiche Zahlen, so siiid die Koordinaten von vier solchen Punkten f — b, f — a, S + a, f + b, und man erhält a :b = — 3 ± ^ 8 .

11. Ordnet man die Punkte einer Geraden einander paarweise so zu, daß dem Punkte P mit der Koordinate x der Punkt Q mit der Koordinate

ax -J- b ex +

,, wo ad — bc 4= 0 ist,

a

entspricht, so ist das Doppelverhältnis von vier Punkten P gleich dem der ihnen zugeordneten Punkte Q. Beweis durch Ausrechnung von QjQ^QsQ^. § 2. Punkte und Strecken in der Ebene. Flächeninhalte. 12. Von einem Parallelogramm sind die Koordinaten der Ecken P1,P2,P3 gegeben; es sollen die von P 4 berechnet werden (w beliebig). Lösung: xt = x^ + x3 — x2,

yi = yt + y% — y2.

13. Ein regelmäßiges w-Eck liegt so, daß sein Mittelpunkt nach 0 und eine seiner Ecken auf die X-Achse fällt. Welches sind die rechtwinkligen Koordinaten seiner sämtlichen Eckpunkte, wenn s die Seitenlänge des w-Ecks ist ? Zahlenbeispiel: n = 6.

8

Punkte und Strecken.

Lösung: Bezeichnet man die auf der X-Achse liegende Ecke mit P x , die übrigen in positivem Drehsinne mit P 2 , . . . , P„, so findet man für den Radius Rn des dem n-Eck umschriebenen Kreises: Rn = — - -

und

rl

= Rn • cos

yf+1

= Rn-sin

^

für

2 sin — n

6 = 0 , 1 , . . . , « — 1. Also für n = 6 : R6= s, und für e = o X

Q

= s

1 2

vf = o

2

s

s

~

2

3

4 s

— s

2

0

{KT

5 s

- | | / 3

Entsprechend der Projektionsformel ist x1 +

+ • • • + % = 0,

2/i + Vi + • • • + Vn = o. 14. Für die vorige Aufgabe sind die Polarkoordinaten der Eckpunkte anzugeben, wenn der Pol mit dem Mittelpunkte des w-Ecks und die Polaraehse mit der positiven X-Achse zusammenfällt. Lösung: Bezeichnen r ? , do die Polarkoordinaten der Eckpunkte, ao ist r = Rnn,

& = ^^ 9 n

e

.

15. Die Aufgabe (13) ist für ein beliebiges schiefwinkliges Koordinatensystem zu lösen, für das P0 (x0, y0) der Null— >

punkt ist und dessen X-Achse mit dem Radius 0P1 Winkel oc einschließt.

den

Lösung: Man benutze die Transformationsformeln [A, § 10, 7, II] *) und die oben gefundenen Resultate für rechtwinklige Koordinaten: xg+1

t,

• I

2oji\

• sin w = x0 + Rn sinl w — < * - — ,

_l_i • sin «) = i/0 + Rn sin

+

.

16. Die Aufgabe (13) soll für das schiefwinklige Koordinatensystem mit w = —, dessen Nullpunkt und X-Achse mit n Die Zitate in dieser Form [A, § . . . ] beziehen sich auf H a u ß n e r , A n a l y t i s c h e G e o m e t r i e d e r E b e n e (Samml. Göschen Bd. 65).

Punkte und Strecken in der Ebene.

9

dem des ursprünglichen rechtwinkligen Systems zusammenfallen, gelöst werden. Lösung: 2jI • P sin (1 — e) — , xe+i'sm TT = " 2 Q7l • 271 n sin — n = R "n" n 17. Gib für die Punkte mit den Polarkoordinaten r = 2 5 4 3,25 = 30° 45° | 300° 90° die Parallelkoordinaten an für iv = 90° Lösung: w = 90°: — x = 1/3 f/2 f/2 — 2)/l y = i w = 45°: 2 (/8 + 1) cc = 3 / — 1 0 y = 2 /2 5 — 2 (/6 18. Gib die Polarkoordinaten an für Parallelkoordinaten: 2

x = 3j/2

- 1

15 ! -

7

45° und für w = 45°. 0 3, 25 0 — 3, 25_ 3,25-1/2 1/2 die Punkte mit den 0

-

3

— 8 j — 24 4

V3 0 y = 31/2 für w = 90° und w = 60°. Lösungen: w = 90°: 25 I 4 3 r= 6 I 2 I 17 # = 45° 120° | 331° 56' 253° 44' 90» 180°; u>= 60°: 1/793 4 ! r = 3 )/6 1/4-1/3 13 3 94° 59' 327° 48' 227° 34' 60° 180». 0 = 30° 19. Die Koordinaten 5 , y( der Ecken I\, P2, P3 eines Dreiecks sind a) x1 = 2, yx = - l b) Xj = - 5, = 17 ) x2 = 11, 2 / 2 = 3 x„ = 8, m 0 = x3 = 14, y, = 11 x3 = 3, y3 = 15. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks, welche Koordinaten haben ihre Halbierungspunkte und der Schwerpunkt des

10

Punkte und Strecken.

Dreiecks ? Ferner sollen die Winkel

bestimmt werden,

welche die positive X-Achse mit den Seiten P^i einschließt, und schließlich der Flächeninhalt des Dreiecks 7Z

7Z

y-'ji-'jPg. Die Aufgaben sollen I. für w = — , II. für w = — durchgeführt werden. Lösung:

«i

«Ii

h

^II

PJ\: 10 j/452 2 ^25 + 12 /~2 2/ll3—56/~2~ P2P3: ]/72 J/208 6\/ 2 + |/2 4/ 13—T/f P,Pi: ]/34Ö /~68 21/85 + 42/^2 2^17 — 4/2. Halbierungspunkte: M3 von PjP2: 5,1 3,10 M1 „ P2P3: 11,8 7,9 M2 „ P»Pi: 8,4 —1,16. Der Schwerpunkt teilt jede Mitteltransversale so, daß : 2 ist: g . V= 3 . a)£=8, rj = 4J; S(S,rj)

M^S

: S i \ Si

+

=

l

Zü +

a:,

a-i

sind,

4 5

V/i

2

^

h

7 /ll3 3

+

y8

+

y3

«Ii

b)f=3,

r) = 11|. h i

2 /"2 —7 ^25+12 /2 |/226 — 112/2 1

3

)/l3 /4 + 2/2 / 26 —12/2 7 1 7 1 /85 /i7 )/l70 + 84 / 2 ^34—8/2 Die Winkel selbst gehören den Quadranten an: #3: 1 4 1 4 0X: 1 2 1 1 3 2 3 2 Flächeninhalt: —6 40 — 3 ]/2 20 ]/"2.

Punkte und Strecken in der Ebene.

11

20. Von einer Strecke PXP2 sind die Koordinaten % = 7, y± = 2 des Punktes P1 und x = 2, y = — 1 des Punktes P gegeben, der die Strecke im Verhältnis « = ¿ 5 : 3 teilt. Welche Koordinaten hat der Endpunkt P2 für die beiden Werte von x ? Welchen Wert hat w in den Aufgaben 20 bis 25? Lösung: _ (* + — yx (k + l ) s — xi — > y2 — X X «=+|: x2 = 16, = — 2 j / 6 ; » = — $: z2 = 9 , y 2 = + * / s . 21. Die Strecke -iu1P2 werde über ihre beiden Endpunkte hinaus je um ihr A-faches verlängert. Es sind die Koordinaten der Endpunkte der Verlängerungen zu bestimmen. Lösung: (1 + (1 + X)y1 — A«/2 und

(1 + A)z2 —Ax x ,

(1 + X)y2 —

22. Von einem Dreiecke sind die Koordinaten der Ecken P-,(— 7, — 1), P2(-~ 2, — 9) und diejenigen f = 0, j? = 0 seines Schwerpunktes gegeben. Welche Koordinaten hat die dritte Ecke P3? Lösung: x3=S( — x1 — x2=9, y3 = 3?? — — ?/2 = 10. 23. Von einem Viereck P1P2P3Pi sind die Koordinaten Zfi .'ye(o = 1 , . . 4 ) der Ecken gegeben. Die Seiten werden der Reihe nach in Qt, Q2, Q3, Qi: die Diagonalen in Q5 und Qe halbiert. Es soll bewiesen werden, daß die Halbierungspunkte von (¿$3, Q2Qt und Q5Qe zusammenfallen. Lösung: *i + ** + r = 330°,

p= 4K3 -

;

1 * = -7=. y = 45°, KS33. Durch den Punkt P 3 (ö, 1) eine Gerade zu ziehen, welche die Strecke zwischen den Punkten P j ( 2 , 7) undP 2 (4, —3) im Verhältnis X : 1 teilt. Was ergibt sich, wenn X = 0, X — 00, A = 1, A = — 1 ist? Lösung.- (w beliebig) y — 1 = ^ -—^ (x — 5 ) . A = 0 gibt y = — 2x + 11, geht durch 2|7; A = co „ y = 4» —19, „ „ 4| — 3; „ 2/ = — hx + %; A = - l „ y = —&e + 26, II PiP 2 . 34. Welchen Abstand p0 hat der Punkt P 0 von der Geraden Ax + By + C = 0 in den folgenden Beispielen, wenn a) 10 = 90°, b) w = 60° ist? (2, 7), 3x + 4y - 14 = 0 | (0, 7), y = 5x + 3 |(3, 3), 15 x - Sy +13 = 0. 4 Lösung: a) pa = — 4 |/26__ 2/93 JL7 1/1227. h) 2V 31 409 35. Wie groß ist der Abstand d der parallelen Geraden g1 und g2 voneinander? by- 29 = 0 gx : Ix + 24«/ + 10 = 0 12z g2 : Ix + 24t/ - 35 = 0 12a;- by - 16 = 0 .

Pnnkt und Gerade, sowie mehrere Gerade usw.

15

Lösung: Bezeichnen p2 die Längen der von 0 auf glt g2 gefällten Lote und ylt y2 die Winkel, die sie mit der + X-Achse einschließen, so erhält man

Vi = 72 + n yx = y2 d = Pi + Pa= 1.8 d = Pi — P 2 = l 36. Die Gleichung einer Geraden durch den Punkt P1 zu bestimmen, die senkrecht zur Geraden g ist, I. für w = 90°, II. für beliebiges w. Px • (5, 6) (a, 2b) g : 7a; -f- 4y = 12 (a + 6) x + (a — 6) y = c. Lösung: I. 4 x — 7 y =—22 (a — V) x—(a + b)y = a 2 — 3 ab— 2 i 2 II. (7 cos«; — 4)x + (7 — 4 cosw)y — 22 — 1 1 cos w = 0 |

(b-atg*fjx+(b

+ a w f } y + a(a — 2 i ) tg2 w

Ha +

2b)

= 0.

37. Welche Koordinaten besitzt der Schnittpunkt der Geraden 7x + 3y — 14a + 35 und 2x — by = ia — 51 ? Lösung: xs = 2 a, ys = b. 38. Liegt jedes der folgenden Punktetripel P x , P2, P3 auf einer Geraden, und welche Gleichung hat zutreffenden Falles diese Gerade? a) P j ( 6 , 6), P 2 ( 3 , 5 ) , P 3 ( - 6 , 2 ) ; b) P j ( 7 , 1 0 ) , P 2 (— 4, 7), P 3 ( 0 , 8 ) .

Lösung: Liegen die drei Punkte auf einer Geraden, so hat das Dreieck P^P^P-i den Flächeninhalt 0, was für die Punkte des Tripels a) der Fall ist, während das Dreieck des Tripels b) den Flächeninhalt — | besitzt. Die Gerade des ersten Tripels hat die Gleichung x — 3«/ + 12 = 0.

39. Welche Beziehung muß zwischen den Konstanten a, l. c der Gleichung ax + hj + c = 0 bestehen, damit die dadurch dargestellte Gerade g die Strecke zwischen den Punkten Z^fo, i/j) und P2(x2, y2) im Verhältnis X : 1 teilt? Lösung: axx + byx + c + X(ax2 + byt + c) = 0. 40. Die beiden Punkte P1 und P 2 der Geraden 2y — x — 1 = 0 haben die Abszissen x1 = 1 und x2 = 6. Zwei weitere Punkte

16

Die gerade Linie.

P3 und P 4 haben die Koordinaten (5, 4 x / 2 ) und (2, 4). Was ist der Inhalt des Viereckes P1P2P3Pi? Lösung: 8. 41. Es soll gezeigt werden, daß der Flächeninhalt des von den drei Geraden gv : avx -)- lvy + cv = 0 (v = 1, 2, 3) gebildeten Dreiecks f ü r w = 90° den Flächeninhalt J hat. Lösung:

!2

= «2&2c2 I : 2 i « A j a2&2 a3b3c3 j

a262

«363 «A

Man berechnet die Koordinaten der Eckpunkte '»» l'z = x 3i> P3 = 9i x S2 und erhält dann aus [A,

§ 13 (13')] für

den vorstehenden Ausdruck 1 ).

§ 4. Strahlenbüschel.

Dreieckssätze.

42. Gehen die drei Geraden, die durch eine der folgenden Gruppen von Gleichungen dargestellt sind, durch einen P u n k t oder nicht? Welche Koordinaten h a t gegebenen Falles der gemeinsame P u n k t ? a) Ix + 3y = 41, 3x - 4y = 7, - 10a + y = - 48; b) Ix + 3y = 14a + 36, 2x — by = 4a — 56, 3ax + 7by

= 6a2 + 7ö2;

c) 4a + by = 19,

2x + 9y = — 29,

llx — 10y = -

8.

Lösung: Entweder berechne 'man aus zwei der gegebenen Gleichungen die gemeinschaftlichen Werte von x und y und untersuche, ob dieselben die dritte Gleichung befriedigen, oder benutze [A, § 22 (29) oder A § 23 (31)]. a) xs = 5, yt = 2; b) i , = 2 ® , t / , = b. c) Die Determinante aus den 9 Koeffizienten der drei Gleichungen hat den Wert 5224.

. 43. Durch den Schnittpunkt der Geraden gx : 4x + ly = 15 und q2 : 9x — 14y = 4 eine Gerade zu ziehen, die a) durch den P u n k t (1, — 2) geht, b) durch den Schnittpunkt von g3 : Ix + by = 29 und g4 : 2x - lly = + 7 geht, ') Für das Berechnen und die Multiplikation von Determinanten vgl. z. B. P. B. F i s c h e r , Determinanten (Sammlung Göschen Bd. 402), Berlin 1928; Abschnitt II.

Strahlenbüschel.

17

Dreieckssätze.

c ) parallel zur Y-Achse, d) parallel zu der Geraden 2x — 3y — 9 =

0,

e) senkrecht zu der ersten Geraden ist, f) mit +

und Y-Achse ein Dreieck vom I n h a l t — —

X-

aIU

bildet. a)

Lösungen:

b

357 x — 119)/ — 595 =

) 1 3 ^

3 0 , - 5 6 = 0,

d) 2z —3t/ —1 = 0,

0, \ {ür

beliebige «,

J

e) I x — 4j/ — 1 0 = 0, ] f) 2 Lösungen: 3® + 35 y — 41 = 0 V für w = und 35 x + 1 2 — 82 = 0 J

n

—.

*

44. D u r c h den P u n k t (xu y{) eine Gerade so zu ziehen, daß ihre A b s t ä n d e von den P u n k t e n (x2 , y2 ) und (x3 , y3 ) sich wie X : 1 verhalten. W a s ergibt sich, wenn A = 0, A = l , ^ = o o 1 = — 1 wird ? Lösung:

s

—yi =

ft)—ft x%

A (x3

_

Xi)

Xi)

.

Xi

45. D u r c h den S c h n i t t p u n k t der Geraden y = x — 3, y = 5a; — 3 5 eine Gerade zu ziehen, deren A b s t a n d vom P u n k t e ( — 3, 7 ) die L ä n g e 5 h a t . Lösung:

2 Gerade: 3 x +

46. Gegeben 1)

vier

y =

2)

iy =

durch

y =

4 4 u n d Ix

¡u,2 x,

— 24y =

gehende Strahlen

0 3)

y =

4)

y =

— 64. g

x

, . . .

g4 :

/^z.

Es soll die Bedingung dafür gefunden werden, daß diese Strahlen ein harmonisches B ü s c h e l bilden, wobei 1 ) und 2 ) zugeordnet sind. Lösung: Schneidet man die vier Strahlen durch eine beliebige Gerade, z. B . x = 1, so müssen die vier Schnittpunkte vier harmonische Punkte sein, woraus folgt: iß i +

/h)(fh +

fh) =

2

Oi

,«2 +

Pißi)-

Fallen die Strahlen 3 und 4 mit der X- und Y-Achse zusammen, so ist u, = — Ist noch das Koordinatensystem rechtwinklig, so folst hieraus der Satz in [A,§ 51. H a u b n e r , AuleabeD z anaiyt. Geom. d. Ebene. 2

18

Die gerade Linie.

47. In der Figur des Euklidischen Beweises des Pythagoräischen Satzes schneiden sich die.Höhe OE des rechtwinkligen Dreiecks und die Verbindungslinien AC und BD der auf der Hypotenuse liegenden Dreiecksecken mit den Ecken der Kathetenquadrate, die nicht auf den Katheten oder ihren Verlängerungen liegen, in einem Punkte. (Fig. 1.) Zum Beweise wähle man die Katheten als Achsen eines rechtwinkligen Systems.

48. Es soll bewiesen werden, daß in jedem Dreieck sich dieHöhen 7iT,die dreiMitteltransversalen St> (Schwerlinien) und die drei Mittellote mv zu den Seiten in je einem Punkte II, 8, M schneiden, daß diese drei Punkte in gerader Linie liegen und sich HS : SM = 2 : 1 verhält, und daß S jede Mitteltransversale im Verhältnis PVS : SM„ = 2 : 1 teilt, wo Mv der Halbierungspunkt der Pv gegenüberliegenden Seite ist.

Lösung: ([A, §24.]) Zum Beweise dieses Satzes wählt man am zweckmäßigsten ein rechtwinkliges Koordinatensystem, dessen XAchse mit einer Dreieckseite PJPJ zusammenfällt und dessen Nullpunkt der Halbierungspunkt dieser Seite ist. Bezeichnet man die Koordinaten der drei Eckpunkte dann mit

(*!,, "

= b;

& ; x=0,y=b n n

i — w~ a, m '

für < = —. m 65. Zwei Gerade ^„(r = 1, 2) werden von einer beweglichen Geraden, die stets zu einer dritten Geraden gs parallel bleibt, in I \ und P 2 geschnitten. Es soll der geometrische Ort des Schnittpunktes der in Px auf gx und in P 2 auf g2 errichteten Lote bestimmt werden. Lösung: Wählt man den Schnittpunkt von gx und g2 als Nullpunkt 0, so kann man ihre Gleichungen schreiben y = ¡¿¿c. Nimmt man dann noch eine zu g3 parallele Gerade durch 0 als X-Achse des rechtwinkligen Koordinatensystems, so erhält man als gesuchten geometrischen Ort die Gerade: (1 — fiißjx + (fix + /¿2)y = 0. 66. Eine Gerade schneidet die Schenkel eines Winkels, dessen Scheitel in T\ liegt, in P 2 und Ps. Was ist der Ort für einen Punkt P, welcher P 2 P 3 im Verhältnis X : 1 teilt, wenn sich P 2 P 3 so bewegt, daß die Summe oder Differenz von / \ P 3 und P 1 P 2 gleich a ist? Lösung: Betrachtet man P ^ als + X - und P]P 3 als +Y-Achse, so hat der Ort die Gleichung:

67. Von dem beweglichen Punkt P einer festen,Geraden L, welche auf den Koordinatenachsen die Stücke a und b abschneidet, sind Lote auf die Koordinatenachsen gefällt. Es soll der Ort des Punktes gesucht werden, welcher die Verbindungsstrecke der Fußpunkte dieser L o t e ' i m Verhältnis X : 1 teilt. Lösung:

Aix + ay =

1 + K

.

Die Gerade als geometrischer Ort.

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68. Über der festen Strecke PjP 2 als Basis werden alle Dreiecke P1P2P3 konstruiert, für die PjP 3 2 — P 2 P 3 2 = ^ gegeben ist. Es soll der Ort der Spitze P 3 ermittelt werden.

Lösung: PjP 2 wählt man als X-Achse und den Halbierungspunkt dieser Strecke als Y-Achse eines rechtwinkligen Systems. Ist x t die Abszisse von Plt so erhält man als geometrischen Ort die Parallele zur Y-Achse: x = — -— .

4»! 69. Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Rechtecke, die man in ein Dreieck PiP 2 P 3 so einbeschreiben kann, daß eine Seite derselben in P1P2 und die übrigen beiden Ecken des Rechtecks auf den Seiten P 1 P 3 und P 2 P 3 liegen, ist die Verbindungslinie der Halbierungspunkte der Grundlinie P J P J und der Höhe h. Lösung: Benutzt man als Koordinatenachsen die Grundlinie des Dreiecks und seine Höhe durch P „ die die Länge h habe, während ihr Fußpunkt 0 die Grundlinie in OP1 = plt OP2=teilt, so ergibt 2x 2m sich als gesuchter geometrischer Ort: 1= 1. Pi+Pi h

70. Schneidet man die Seiten P J \ und P 2 P 3 eines Dreiecks durch eine bewegliche Paralle zur dritten Seite und zieht in den so entstehenden Trapezen die Diagonalen, so ist der geometrische Ort ihrer Schnittpunkte zu finden.

Lösung: Hier benutzt man P3PX und P 3 P 2 als Koordinatenachsen; es seien a, 0 die Koordinaten von Plt 0, b die von P 2 . Dann ist x u = 0 der gesuchte geometrische Ort, welche Gerade P mit — 3 dem Halbierungspunkte von P X P 2 verbindet.

71. Die Ecken P1 und P 2 des Dreiecks PXP^P3 sind fest, während sich P3 auf der Geraden g : y = ¡j,x -\-n bewegt. Es soll bewiesen werden, daß die Ecken E3, Ei und der Mittelpunkt des PiP 2 P 3 einbeschriebenen Quadrats, von dem die beiden Ecken Z?,, E2 auf der Geraden P 1 P 2 , während E3 und Ei auf den beiden andern Dreiecksseiten P 2 P 3 und PjP 3 liegen, auf geraden Linien liegen, die sämtlich durch deD Schnittpunkt S von g mit der z-Achse gehen (Fig. 4).

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Die gerade Linie.

Man benutze zum Beweise ein rechtwinkliges Koordinatensystem, in dem P1 und P 2 die Koordinaten (a^, 0) und (— xv 0) haben. Die Koordinaten von Ev JS2, E3, Ei und des Mittelpunktes E des Quadrates lassen sich dann durch xv x3 und y3 = fix3 + n darstellen. Dann hat man noch x3 aus denGleichungen für die beiden Koordinaten des Punktes E3, bzw. aus denen für £ 4 und E zu eliminie ren, um die Gleichungen Fig. 4. der gesuchten geometrischenOrte dieser drei Punkte zu erhalten. Es läßt sich weiter leicht die Richtigkeit der folgenden Konstruktion zeigen: Man ziehe durch P1 und P 2 Parallelen zu g, welche mit PjP 2 das besondere Dreieck bilden, dessen dritte Ecke unendlich fern liegt, und eine Parallele zu PjP 2 im Abstände gleich P 1 P 2 . Schneidet diese letztere Parallele die beiden ersteren in Z73,Z74 und fällt man von diesen Punkten die Lote U3U2 und UJJ1 auf die Gerade P t P 2 , so ist das Quadrat UJI^UJIt dem besonderen Dreieck einbeschrieben. Man erhält für U3, ¡74 und den Mittelpunkt U dieses Quadrates die Koordinaten: 2x x ß+J - x^, 2:%; Xi • 2xi 72. Von dem Dreieck P1P2PS sind seine drei Winkel ocj, — #2)= ~cos(«j—#2), siri$2 = cos ist, als gesuchte Bedingung o u — 2a12 cos w + a22 = 0. Für

a22 = — an.

88. Drei Punkte P 2 , P 3 jeder gleichseitigen Hyperbel bestimmen ein Dreieck, dessen Höhenschnittpunkt P4 ebenfalls auf ihr liegt. Lösung: Man wähle das rechtwinklige Koordinatensystem so, daß die Koordinaten der Punkte Plt P2, P 3 sind: a:2,0; 0, !/3. Dann hat der Höhenschnittpunkt die Koordinaten 0, —. Man beachte noch, daß x1 und x2 Wurzeln der Gleichung OnX2 + 2a13x + a J3 = 0 sind. Hiuüner, Aufgaben z. analyt. Geom. d. Ebene. 3

Die Kegelschnitte im allgemeinen.

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8 9 . Die Gleichungen

der von einem P u n k t e P ^ X j , y t ) an

einen beliebigen Kegelschnitt gezogenen Tangenten zu finden. Lösung: Sind (x, y) die Koordinaten eines zweiten Punktes P, so werden die beiden Schnittpunkte von l\l' mit dem Kegelschnitte durch die Gleichung + /"(«!, y,) • y + /'"fo, y t ) } + /(*i> Vi) = 0, wo /W(x, ?/) = aax + ai9y + ai3 für i = I, I I , I I I ist, geliefert [A, § 3 2 ( 4 5 ) ] . Damit die Gerade P1P zur Tangente von I\ aus an den Kegelschnitt wird, müssen die beiden Wurzelwerte von x gleich sein, was für P die Bedingung ergibt: *2/(z>

y) + 2 * { / ' f o , yx)-x

{/'(*!. Vi) • * + V i ) - y + / ' " f a , 2/i)} 2 —/(«i- 2/i) • /(*, 2/) = 0. Diese Gleichung zweiten Grades stellt aber zwei gerade Linien dar, die sich in F 1 schneiden und also die gesuchten Tangenten sind. Ordnet man die vorstehende Gleichung nach Potenzen von x und y und bildet für deren Koeffizienten die Diskriminante, so verschwindet diese, wie es sein muß. Die Berührungspunkte dieser beiden Tangenten sind die Schnittpunkte der Polaren des Punktes i \ mit dem Kegelschnitte. 90. Aus

der

numerischen

schnittes, den Koordinaten

Exzentrizität

X

eines

Kegel-

r/ eines Brennpunktes F und der

Gleichung x • cos oc + y • sin « — p = 0 der zu ihm gehörigen Leitlinie l soll die Gleichung des Kegelschnittes für rechtwinklige Koordinaten hergestellt werden. Lösung: Ist P(x, y) ein Punkt der Kurve, T'D sein Abstand von der Leitlinie l, so ist PF = A • Pü, woraus sich die Kurvengleichung ergibt: a n s 2 + 2 a12xy + a22s/2 + 2a13x + 2 a.lzy + a33 = 0, wobei A2 cos 2