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German Pages 239 [256] Year 1883
Elemente
der analytischen Geometrie der Ebene.
Elemente der
analytischen Geometr » der
Ebene von
F . J o a c h i m s th.al.
Dritte Anflöge, v e r b e s s e r t und d u r c h e i n e n A n h a n g und deren Lösungen
von
vermehrt
von
0. Hermes.
Mit acht
Figurentafeln.
B e r l i n . Druck und Verlag von G. 188:5.
Reimer.
Aufgaben
Das L'bersetzungsrecht wird vorbehalten.
Yorrede des Herausgebers, F e r d i n a n d J o a c h i m s t h a l , Professor an der Universität Breslau, wurde am 5. April 1861 durch einen frühzeitigen Tod mitten aus den Erfolgen seiner mathematischen Untersuchungen und seiner
segens-
reichen Lehrthätigkeit, fortgerissen.
Auch war es ihm
nicht vergönnt,
des
die Ausarbeitung
vorliegenden
Lehrbuchs, welchem er die Mufsestunden vieler Jahre mit Vorliebe gewidmet hatte, vollständig zu Ende zu führen. einem
Doch fanden sich glücklicherweise
aufser
vom Verstorbenen selbst als druckfertig be-
zeichneten Manuscript in den hinterlassenen Papieren noch
weitere Ausführungen
und Andeutungen
vor,
auf Grund deren ich es unternehmen konnte, dieses Lieblingswerk meines hochverehrten Lehrers herauszugeben, ein Werk, welches durch die Klarheit der Darstellung und durch die sorgfältige Berücksichti-
V|
Vorrede.
gimg der dem Anfänger entgegentretenden Schwierigkeiten seiner Bestimmung als Leitfaden zur Einführung iti die analytische Geometrie zu dienen, in vorzüglichem Mafse entspricht., und welches zugleich durch die Eigentümlichkeit der Methode auch auf den mit dem Gegenstande völlig vertrauten Leser in hohem Grade anregend wirkt.
In dieser Beziehung möchte
namentlich die fast durchgängige Anwendung schiefwinkliger Koordinaten hervorzuheben sein, bei welcher die Verbindung von Allgemeinheit
der
Einfachheit der Rechnung und
Schlüsse
in
seltener
Weise
er-
reicht ist. Es
kann als sicher angenommen werden,
dafs
schon zu der Zeit, als J a c o b i noch lebte, also bereits vor dem Jahre 1851, der erste Gedanke, die Elemente der Geometrie zu bearbeiten, in Joachimsthal entstanden war.
Eine bezügliche Aufforderung Jacobis hat
diesen Gedanken
wol nicht erst hervorgerufen,
son-
dern nur von neuem angeregt und der Ausführung näher gebracht.
Jacobi nämlich hatte schon seit län-
gerer Zeit ab und zu an einem Lehrbuch geschrieben, welches zu einer elementaren analytischen Darstellung der von ihm in Vorlesungen an der Königsberger Universität oft behandelten Geometrie des Raumes bestimmt war; er forderte nun Joachimsthal auf, ein Lehrbuch der Geometrie der Ebene zu schreiben, damit beide
Vorrede.
VII
Werke zusammen das ganze Gebiet der Geometrie in ihren Elementen umfafsten. Der hierdurch von neuem in Joachimsthal angeregte Gedanke hat dann freilich in ihm eine viel weitere Entwickelung genominen.
Im Jahre 1855, als
Joachimsthal die mathematische Professur an der Universität Halle bekleidete, hatte er bereits einen ersten Entwurf der Geometrie der Ebene nahezu vollendet, und er zeigte mir denselben bei Gelegenheit eines Besuches, den ich ihm damals machte.
Aber dieser erste
Entwurf genügte ihm später nicht; er ordnete den zu behandelnden Stoff nach einem neuen Plane an, änderte demgemäfs die Reihenfolge der Kapitel — von denen z. ß. das die Transversalentheorie enthaltende ursprünglich den Kegelschnitten vorausging — und unternahm auf diese Weise eine durchgreifende Umgestaltung des Werkes, welche leider vor der gänzlichen Vollendung durch seinen Tod unterbrochen wurde. Von dieser neuen Bearbeitung fand ich die ersten sieben Kapitel druckfertig vor; ich hatte daher nur den Schlufs des Werkes im Sinne des Dahingeschiedenen zu ergänzen und hierfür folgende im Nachlafs vorgefundene Papiere als Anhaltspunkte zu benutzen. Erstens ergab ein kurzes Inhalts-Verzeichnis die vollständige Reihenfolge der Kapitel, wie sie Joachimsthal für die zweite Bearbeitung festgestellt hatte.
Die-
VIII
Vorrede.
ses Verzeichnis
führt nicht nur die Geometrie
der
Ebene bis zu Ende, sondern geht auch zur Geometrie des Raumes über und zeigt also, dafs Joachimsthals Plan
sich
im Laufe der J a h r e bedeutend
erweitert
hatte. Zweitens lag mir der bereits erwähnte erste Entwurf des Werkes vor, welcher mit §. 94 abschliefst, und aus welchem der T e x t vom Anfange des achten bis gegen Ende des zehnten Kapitels wörtlich nommen ist.
ent-
Die in den sieben ersten Kapiteln durch-
geführte neue Anordnung erforderte zwar einige Modifikationen des Textes: jedoch habe ich es vorgezogen, denselben
unverändert zu lassen und die Modifika-
tionen in Anmerkungen zu verweisen*).
Aus diesem
ersten Entwürfe habe ich überdies die drei auf den Seiten 13, 20 und 26 stehenden Anmerkungen genommen,
deren Inhalt
in der
zweiten
Bearbeitung
fehlte. Drittens fand sich ein Blatt, auf welchem J o a chimsthal den im letzten Kapitel einzuhaltenden Gang in kurzen Umrissen angedeutet hat.
Darauf hin habe
ich den Versuch gemacht, dieses Kapitel auszuführen und
damit das vorliegende Werk Joachimsthals zu
*) Diese A n m e r k u n g e n
sind
in
den
beiden
e r s t e n A u f l a g e n mit
d e m B u c h s t a b e n H. u n t e r z e i c h n e t , in d e r d r i t t e n A u f l a g e jedocli g r o ß e n teils in den T e x t g e z o g e n
worden.
ix
Vorrede.
demjenigen Abschluß zu bringen, welcher von ihm selbst beabsichtigt und bei der Veröffentlichung nicht füglich zu entbehren war.
Ich habe mich bei dieser
Arbeit bemüht, so viel als möglich im Sinne Joachimsthals zu verfahren, und namentlich im Sinne der eben erwähnten Andeutungen, welche mir die einzigen speziellen Anhaltspunkte gewährten, und welche ich deshalb hier wörtlich folgen lasse: „Pole von Geraden, die durch einen P u n k t gehen, „Tangentenmethode.
Die Polare bewegt sich an
„einem Kegelschnitt; Anwendung auf zwei Kreise. „—
Durchschnitt
schaftliche
zweier
Sehnen,
„Durchschnitt
Kegelschnitte,
reelle,
imaginärer
gemein-
imaginäre.
Reeller
konjugierter
Geraden.
„Bedeutung der Punkte, welche als gemeinschaftliche
Durchschnittspunkte
frachtung ^U+lpq
von
= 0,
anzusehen
f/+XK=0,
U+/ipr = 0. —
„V-\-,uq2 — 0. — pq-\-lrs = 0.
sind.
Involution.
BeU = 0,
7
U= 0, U+lp
Pascalscher Satz mit
„seinen Folgerungen: Brianchonscher Satz." B e r l i n , im M ä r z
= 0,
1863.
Oswald
Hermes.
Vorrede.
X
Zur dritten Auflage. Die gegenwärtige Auflage hat einige
Verände-
rungen erfahren, welche zur Vereinfachung der Darstellung wünschenswert schienen, besonders in dein Abschnitt
über
Kegelschnitte.
die
konjugierten
Durchmesser
der
Ferner ist eine Reihe von Übungsauf-
gaben nebst den zugehörigen Lösungen beigefügt worden, welche sich an die Entwickelurigen in den Elementen anschliefsen, und auf die an den betreffenden Stellen des Lehrbuches verwiesen worden ist. Steglitz, im Januar 1883. Dr. O s w . I'mfcssxr
am
Hermes.
K-'Unisi hcn zu Berlin.
Ci\ i m u t i n m
Inhalts - Verzeichnis. Erstes Kapitel. Bestimmung der Lage von Punkten in einer Ebene. der analytischen
Prinzipien
Geometrie.
Seite
§. 1.
Bestimmung der L a g e von Punkten einer Geraden
.
. . .
.
§. 2.
V e r l e g u n g des Anfangspunktes
1
§. 3.
Folgerungen.
2
§. 4.
Bestimmung der Lage von l'unkten einer Ebene durch l'arallel-
§. 5.
Projektionen
3
§. 6.
Verlegung des Anfangspunktes der Koordinaten. Die Bedingung, dafs drei P u n k t e in einer geraden Linie liegen
4
§. 7.
A u s den rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes seine Entfer-
D e r Mittelpunkt einer geradlinigen Strecke . . .
koordinaten
1
2
n u n g r vom Anfangspunkte und den Winkel v zu bestimmen, den die Abscissenaxe mit r bildet. §. 8.
Polarkoordinaten
. . .
Entfernung
ab
und
die Neigung
Abscissenaxe zu bestimmen.
dieser Geraden
gegen
die
Von der positiven und negativen
D r e h u n g einer Geraden
7
§. 0.
A u s den rechtwinkligen Koordinaten der "Ecken eines den I n h a l t desselben zu bestimmen
§. 10.
Aus den rechtwinkligen Koordinaten den Inhalt desselben zu bestimmen
§. 11.
A u f l ö s u n g der A u f g a b e n Koordinaten
§. 12.
S
Aus den rechtwinkligen Koordinaten zweier P u n k t e a und b die
Graphische
Darstellung
in
Dreiecks 7
der Ecken eines Vielecks 8
den §§. 7 — 1 0
für schiefwinklige !)
der
reellen
Lösungen
einer
Gleichung
zwischen zwei Unbekannten
12
§. 13.
Darstellung der Kurven durch Gleichungen.
§. 14.
Durchschnittspunkte
§. 15.
llomogeneitiit der Gleichungen
14
Einteilung der Kurven nach den Gleichungen
16
zweier Kurven.
Beispiele . . . .
Schnittpunkte zweier gegebenen K u r v e n gehen ltj.
13
K u r v e n , welche durch die 14
Iahalts - Verzeichnis.
XII
Zweites Kapitel. Uie Linien erster
Ordnung. ScitP
§. 17.
Dur geometrische Ort aller P u n k t e , deren Koordinaten einer Gleichung ersten Grades genügen, ist eine gerade Linie. Verschiedene Formen der Gleichung einer Geraden. Wenn drücken zwei Gleichungen dieselbe Gerade aus?
1R
§. 18.
Die Gleichung der Geraden, welche durch zwei gegebene Punkte geht
20
§. 19.
Uie Koordinaten des Durchschnittspunktes zweier gegebenen Geraden. Bedingung, dafs zwei Geraden parallel sind. dafs
§. 20.
Die Gleichung der Geraden, welche durch einen gegebenen Punkt geht und einer gegebenen Geraden parallel ist . . .
drei Geraden sich in einem Punkte schneiden
Aufgaben unter Voraussetzung §. 21.
Uie
Gleichung
der Geraden,
rechtwinkliger
welche
durch
21
einen
gegebenen
Punkt geht und mit der Abscissennxe einen gegebenen Winkel bildet §. 22.
Den Winkel zweier Geraden zu bestimmen. zwei Geraden aut' einander senkrecht stehen
22
Koordinaten:
Bedingung,
22
dafs 24
23.
Die Gleichung des von einem gegebenen Punkte auf eine gegebene Gerade gefällten Lotes. Bestimmung des Fufspunktes und der Lange dieses Lotes
26
24.
Entwickelung einiger Formeln für schiefwinklige Koordinaten
27
Drittes Kapitel. D e r
K r e i s .
§. 25.
Die Gleichung des Kreises
28
§. 26.
Der Ort aller Punkte, deren Entfernungen von zwei festen Punkten in einem konstanten Verhältnis stehen. Definition harmonischer Punkte
30
§. 27.
Bestimmung eines Kreises, welcher dingungen genügt. Beispiel
o2
§. 28.
Die Gleichung
§. 29.
Kombination einer Geraden und eines Kreises. Punktes in Beziehung auf einen Kreis
§. 30.
System von zwei und drei Kreisen. Die Linien gleicher Potenzen. Die drei Linien gleicher Potenzen von je zweien dreier Kreise schneiden sich in einem Punkte
Kreises.
der Tangente
drei
vorgeschriebenen
Be-
an einem gegebenen Punkte des
Zwei verschiedene Ableitungen dieser Gleichung .
.
32
Die Potenz eines 35
37
Inlmltä-Verzeichniä.
XIII
Viertes KaplteL D i e §.31. §. 32.
E l l i p s e .
Sejte
§. 36. §.37. §.38. §. 39. §. 40.
Die Gleichung der Ellipse 40 Konstruktion der Ellipse durch Punkte. Benutzung der Kreise Uber der grofsen und kleinen Axe. Erzeugung der Ellipse durch Bewegung einer Geraden von konstanter Länge . . . 42 Durchmesser der Ellipse 43 Konjugierte Durchmesser. Verschiedene Eigenschaften derselben 44 Bestimmung der Axen aus zwei konjugierten Durchmessern. Die Gleichung der Ellipse, auf ein System konjugierter Durchmesser bezogen 49 Die Gleichung der Tangente an einem Punkte der Ellipse . . 50 Eigenschaften der Tangente öl Konstruktionen konjugierter Durchmesser und der Tangenten. ö3 Die Berührungssehne. Pol und Polare 54 Die Eigenschaften der Brennpunkte 5C
§.41. §. 42.
Konstruktionen von Tangente und Normale Flächeninhalt der Ellipse
33. §. 34. §. 35.
59 60
Fünftes Kapitel. D i e §. 43. §. 44. §. 45. §.46. §. 47. §. 48. §. 49.
H y p e r b e l .
Die Gleichung der Hyperbel Unendliche Wurzeln einer quadratischen Gleichung, direkte stimmung der Asymptoten; Tangenten Eigenschaften der Asymptoten Durchmesser der Hyperbel; konjugierte Hyperbeln Konjugierte Durchmesser; Konstruktionen Brennpunkte Leitlinien der Ellipse und Hyperbel. Der Ort aller Punkte, welche die Entfernungen von einem gegebenen Punkte einer gegebenen Geraden ein konstantes Verhältnis haben
61 Be63 6ö 68 70 72 für und .
73
Sechstes Kapitel. Die Parabel.
Scheitel- und Polargleichungen der Ellipse, Hyperbel und
§. 50. §. 61. §. 52. §. §. §. §.
53. 54. 55. 56.
Parabel.
Die Gleichung der Parabel. Konstruktion ihrer Punkte . . . Sekante, Tangente und Normale, Durchmesser der Parabel . . Umformung der Parabelgleichung. Konstruktion der Tangenten von einem Punkte außerhalb der Parabel Die Berübrungssehne. Pol und Polare Flächeninhalt von ParabelstUcken Scheitelgleichungen der Ellipse und Hyperbel Polargleichungen der Ellipse, Hyperbel und Parabel
7C 77 79 81 82 82 84
Inhalts-Verzeichnis.
XIV
Siebentes Kapitel. Transformation der
Koordinaten.
Seite 85
§. 57.
Bestimmung der Aufgabe der Koordinatentransformation . . .
§. 68.
Transformation der Koordinaten mit demselben A n f a n g s p u n k t e .
86
§. 59.
Allgemeine Transformation der Koordinaten
89
§. 60.
Anwendungen auf die Lehre vom Punkte und der geraden Linie. Das Lot von einem Punkte auf eine gerade Linie
90
Achtes Kapitel. Diskussion und Transformation der allgemeinen zweiter
Gleichung
Ordnung.
§.61.
I)ie Gleichung ax2-\-2bxy Null verschieden ist
-j- cy'!-\-2dx-]-2ey
§. 62.
Untersuchung des besonderen Falles, wenn der Koeffizient « verschwindet. Zusammenhang aller Fälle. Die Bedingung J = afc — ae s — ctP—fb'+ibed = 0
§. G3.
Reduktion auf den Mittelpunkt, schieden ist
§. G4.
Die Möglichkeit
§. G5.
Ausfuhrung dieser Transformation
§. G6.
Untersuchung der Fälle ac — 6* > 0 und < 0
110
§.67.
Die Annahme ac — b1 = 0
113
§. 68.
Anwendung der allgemeinen Theorie auf zwei Beispiele
+ / = 0, wenn a von 95
wenn ac—
der Transformation
von Null
fly
verlO.'t
in rechtwinklige
Haupt-
nxen als Koordinatenaxen
105 107
.
115
Neuntes Kapitel. Fundamentalsätze aus der Theorie der
Transversalen.
§.69.
Bedeutung des Verhältnisses (na:, -f- fly, y)
§. 70.
Anwendung auf die Formel für die Länge des Perpendikels
§.71.
Relation zwischen den Stücken, welche eine Transversale den Seiten eines Dreiecks bestimmt.
+
Umkehrung.
}') •
•
117 118
auf
Verallge-
meinerung
119
§. 7*2.
Gleichung einer Geraden, welche durch den Durchschnitt zweier
§. 73.
Transversalen, welche durch einen gegebenen Punkt Ecken eines Dreiecks geben
§. 74.
Eigenschaften der harmonischen Punkte
123
§. 75.
Wenn die Gleichungen dreier durch einen Punkt gehenden Geraden gegeben sind, die Gleichung des vierten harmonischen Strahles zu finden
125
§. 76.
Ein harmonisches Strnhlenbiischcl wird von jeder Transversalen
anderen geht
121 und
die 122
XV
Inhalts-Verzeichnis.
Seite
in
vier
harmonischen
Punkten
geschnitten;
spezieller
Fall,
wenn dieselbe einem der S t r a h l e n p a r a l l e l ist 77.
Lehrsatz.
126
K o n s t r u k t i o n des vierten h a r m o n i s c h e n S t r a h l e s
127
§. 78.
D a s vollständige V i e r s e i t .
K o n s t r u k t i o n des vierten h a r m o n i s c h e n
§. 79.
Lehrsatz
§. 80.
U m k e h r u n g desselben
§.81.
D a r s t e l l u n g d e r G l e i c h u n g einer j e d e n G e r a d e n u n t e r der F o r m
Punktes
129 Uber zwei
Dreiecke,
deren S e i t e n p a a r e sich in
drei
P u n k t e n e i n e r g e r a d e n L i n i e schneiden
ap \ ßq tj. 8 2 .
Dreieck,
yr =
130 131
0.
Sätze, w e l c h e h i e r a u s folgen
welches d u r c h
zwei T r a n s v e r s a l e n
. . . .
durchschnitten
Satz Uber die D i a g o n a l e n eines vollständigen Vierseits . §. 83.
Unendlich e n t f e r n t e r P u n k t e i n e r G e r a d e n ; Gerade;
Gleichung
derselben.
ist. .
.
134
unendlich entfernte
D i e Mitten der drei
Diago-
nalen eines v o l l s t ä n d i g e n Vierseits l i e g e n in einer G e r a d e n §. 84.
132
.
A n d e r e r B e w e i s dieses Satzes
136 137
Zehntes Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Kegelschnitte. Kombination eines Kegelschnittes und geradliniger Transversalen. §. 85.
Ideale S e k a n t e e i n e s K e g e l s c h n i t t e s .
Reelle u n d i m a g i n ä r e D u r c h -
s c h n i t t s p u n k t e einer G e r a d e n m i t einem K e g e l s c h n i t t §. 8 6 .
W i n k e l mit p a a r w e i s e parallelen
Schenkeln
.
139
von einem K e g e l -
schnitt d u r c h s c h n i t t e n
141
§. 87.
Resondere F ä l l e : D e r K e g e l s c h n i t t g e h t d u r c h den S c h e i t e l p u n k t
§. 88.
D i e D u r c h s c h n i t t s p u n k t e liegen teilweise in u n e n d l i c h e r E n t f e r n u n g
§. 89.
D a r s t e l l u n g der S c h n i t t p u n k t e einer T r a n s v e r s a l e n u n d eines Kegelschnitts u n t e r der F o r m u , — 2 l v d 2 u 2 = 0. System
des einen W i n k e l s
142 144
der beiden von einem P u n k t e a n den K e g e l s c h n i t t g e z o g e n e n Tangenten. §. 90.
Berührungssehne
144
System der beiden A s y m p t o t e n der H y p e r b e l . schnitte.
Konfokale Kegel-
D i e W i n k e l der T a n g e n t e n p a a r e an k o n f o k a l e K e g e l -
schnitte h a b e n dieselben H a l b i e r u n g s l i n i e n .
B e r e c h n u n g dieses
W i n k e l s bei einer Kllipse §.91.
146
Relation zwischen den A b s c h n i t t e n , welche ein d u r c h ein D r e i eck gelegter K e g e l s c h n i t t a u f den S e i t e n desselben
bestimmt.
Verallgemeinerung §. 92.
149
D i e l ' o l a r e eines P u n k t e s Besonderer zweier Sehnen.
Fall,
geruden
in
in B e z i e h u n g a u f einen K e g e l s c h n i t t .
welchem
Linien
ist.
der
Kegelschnitt
D e r Ort
ein
der Mitten
System
paralleler
D u r c h m e s s e r , M i t t e l p u n k t eines Kegelschnitts .
Iii
Inhalts - Verzeichnis.
XVI
Seite
§. 93.
Der Pol einer Geraden in Beziehung auf einen Kegelschnitt. Bedingung, dafs eine gerade Linie Tangente eines Kegelschnitts ist
156
§. 94.
Sätze über Polaren verschiedener Punkte einer geraden Linie .
157
§. 95.
Pole verschiedener Geraden, welche durch einen Punkt gehen .
158
§.96.
Theorie der reziproken Polaren. Anwendung auf die Kegelschnitte
1C1
§. 97.
Besonderer Fall zweier Kreise
163
Elftes Kapitel.
'
Kombination zweier und mehrerer Kegelschnitte. 98.
Bestimmung des Kegelschnitts durch fünf Punkte
1G5
§. 99.
Kegelschnitte durch vier Punkte, Ort der Mittelpunkte derselben, Verallgemeinerung dieses Ortes. Die Polaren eines Punktes in Beziehung auf alle durch dieselben vier Punkte gehenden Kegelschnitte durchschneiden sich in demselben Punkte. Allgemeine Er/.eugungsweise der Kegelschnitte
107
§. 100.
Durchschneidung zweier Kegelschnitte in vier reellen oder imaginären Punkten. Scheinbare Ausnahmefalle
172
§. 101.
Konjugierte imaginäre Schnittpunkte, innere und äufsere Punkte eines Kegelschnitts
174
§.102.
Das System U-\-uU' = 0. Involution. KegelschnittbUschel. Das einem Kegelschnitt eingeschriebene Viereck und das umschriebene Vierseit. Konstruktion eines Involutionssystems von Punkten einer Geraden
177
§. 103.
Gemeinschaftliche Sehnen, reelle, ideale, imaginäre; reeller Durchschnitt der letzteren. Konzentrische, ähnliche und ähnlich liegende Kegelschnitte
185
§. 104.
Doppelter reeller oder imaginärer Kontakt zweier Kegelschnitte.
§. 105.
Konstruktion eines Kegelschnitts aus gegebenen Elementen .
j . 106.
Der P a s c a l s c h e Satz mit seinen Folgerungen
Sich selbst konjugierte Dreiecke
189 .
192 194
Anhang. A. B.
Aufgaben Lösungen
Druckfehler. Seite 45 Zeile 1 von oben lies konstruierten statt konstruiertem. Seite 189 Zeile IC von unten lies p, statt rp\.
199 206
Erstes Kapitel. Bestimmung der Lage von Punkten in einer Ebene. Prinzipien der analytischen Geometrie. §. 1. raden.
Bestimmung
der
Lage von
Punkten
einer
Ge-
Nimmt man in einer unbegrenzten Geraden (Fig. 1) einen
P u n k t O a n , so ist die Lage eines jeden a n d e r e n Punktes a Geraden
bestimmt,
wenn
man
erstens weifs,
in welchem
der ihrer
beiden d u r c h O gebildeten Teile er sich b e f i n d e t , u n d wenn m a n zweitens seine Entfernung von kennt.
Um beide Angaben zu ver-
einigen, unterscheidet man die beiden Hlilftcn d e r Geraden, die eine als die positive und die andere als die negative, u n d setzt dem W e r t e der E n t f e r n u n g des Punktes a von (> das Zeichen -+- oder
-
vor,
d e r Seite entsprechend, in weither er liegt; diese mit i h r e m Z e i chen
versehene Entfernung
des Punktes a von 0
A b s c i s s e von a in bezug auf den A n f a n g s p u n k t
heifst die
0.
Rechnen wir in Fig. 1 die positiven Abscissen von 0 aus nach rechts, und bedeuten die angegebenen Teile etwa Centimeter, so ist die Abscisse von a =
+ 2 cm, von ß = + 6 cm, von y = —5
cm,
die Abscisse des Anfangspunktes O gleich Null. §.2.
Verlegung des Anfangspunktes.
Rechnet man die
Abscissen nicht mehr von 0 , sondern von a , u n d zählt dabei die positiven Abscissen u n s e r e r Figur
nach derselben Richtung wie f r ü h e r , also in
nach rechts, so werden die Abscissen aller P u n k t e
ß, y, . . um ()a kleiner, wenn a, wie in Fig. 1, rechts von 0 Nennt man also die Abscissen von a, ß, y, . . in bezug auf 0
liegt. be-
züglich .r, .(•', .!•", . . so werden die Abscissen von ß, y, . . in bezug auf a resp. gleich: (I) J .. . I C h i III S t Ii a I
Kl
nie.
.r'.1
Aull
ct. ,r"
a. . . 1
2
§§. 3, 4, 6.
wofür man auch, weil Oa =
(2)
Lrstea Kapitel.
x, schreiben kann:
a ! — x ,
x " — x ,
Liegt aber der neue Anfangspunkt a, so werden
die Abscissen
von ß,
. .
wie in Fig. 2 , links von
y, . . in bezug auf a
um
0, Oa
gröfser als in bezug auf 0 , also bezüglich gleich: (3) Die Abscisse x von a
. v ' +
O a ,
O a ,
. .
in bezug auf O ist aber jetzt gleich — Oa,
also Oa — — x , setzt man diesen Wert in die Reihe von ( 3 ) ein, so erhält man dieselben Gröfsen wie in ( 2 ) ;
wir haben demnach
den Satz: S i n d x,
x\
x",
einer Geraden sind
die Abscissen
in b e z u g
die A b s c i s s e n
bezüglich von
..
0
gleich
und
von
d e r P u n k t e ß, x'—x,
§. 3.
die
gezählt
Folgerungen.
Punkte
derselben Seite von a
y, . .
in b e z u g
positiven
auf
Abscissen
.. so a
dafs nach
werden.
Hieraus folgt weiter,
dafs die Diffe-
liegen, entgegengesetztes im anderen Falle.
die Längen der Strecken ßa, (1)
ya
^
und x"
,r
ausdrückt, so hat man:
" —
x
-
;
ß a
x
-
y a
wo das obere (untere) Vorzeichen gilt, wenn a
aufserhalb (inner-
liegt.
Ist z. B. a d i e M i t t e v o n ßy, genommen werden, und weil ßa x ' — x ti X — x
woraus:
x ' — - x ,
0
.
(2)
§.4.
y, 0,
vorausgesetzt,
Da aufserdem d e r Z a h l e n w e r t der Differenzen x'—x
oder:
ß,
gleiches Zeichen haben, wenn ß und y auf
x"—x
halb) der Strecke ßy
a,
Anfangspunkt
..
x"—x,
aus
a
derselben Richtung renzen x'—x,
der
auf den
Bestimmung
—
x =
=
so mufs das untere Vorzeichen ya
ist, so hat m a n :
—
— x " - h x , x ' + x "
- —
der L a g e von P u n k t e n e i n e r E b e n e .
Um die gegenseitige Lage der Punkte einer Ebene zu bestimmen, zieht man durch einen festen Punkt O derselben zwei unbegrenzte Gerade l'Ol, m ' O m (Fig. 3 ) , welche die Ebene in vier unendliche Teile zerlegen; Abscissenaxe,
man nennt die eine der Geraden,
z. B. l'Ol,
die andere w ' 0 » i die O r d i n a t e n a x e ,
die
und unter-
scheidet in jeder eine positive und negalive Hälfte; in unserer Figur
Bestimmung d. Lage v. Punkten in ein. Ebene. Prinzip, d. anal. Geometrie.
3
sollen Ol und (hn die positiven Halbaxen bedeuten. Zieht man nun von irgend einem Punkte a der Ebene parallel mit den Axen die Linien a a und aa', so wird die Lage von a durch die G r ö f s e und das V o r z e i c h e n der Axenabschnitte Oa und Oa' vollständig bestimmt. Die mit i h r e m V o r z e i c h e n v e r s e h e n e n Axenabschnitte Oa und Oa' heifsen, der erste Oa die A b s c i s s e , der zweite Oa' die O r d i n a t e des Punktes a, beide zusammen die K o o r d i n a t e n von a. Der Punkt 0 , dessen Koordinaten = 0 sind, heifst der A n f a n g s p u n k t der Koordinaten. Da die Abscissen verschiedener Punkte häufig durch Xy SC y (C y • die zugehörigen Ordinaten durch y, y y " , . . bezeichnet werden, so sagt man statt „ A b s c i s s e u n d O r d i n a t e " auch „ d a s x u n d y e i n e s P u n k t e s " , und spricht demgemäß auch von einer x- u n d y-Axe. Ebenso wird ein Punkt, dessen Abscisse gleich x und dessen Ordinate gleich y ist, kurz „ d e r P u n k t ( x , y)u genannt. In den vier durch Zahlen bezeichneten Teilen von Fig. 3 sind filr einen Punkt a in 1 x und y positiv, für einen Punkt b in 2 y positiv, x negativ, für einen Punkt c in 3 sind x und y negativ, für einen Punkt d in 4 ist x positiv, y negativ. Es mag erinnert werden, dafs zur Bestimmung der Koordinaten eines Punktes, z. B. von c, nur eine der Parallelen cy und cy' gezogen zu werden braucht, weil Oy = cy', Oy' = cy ist; man kann deshalb auch die mit den richtigen Zeichen versehenen Werte von cy' und cy als Abscisse und Ordinate ansehen. Man sieht hiernach, dafs alle Punkte einer Geraden, die der Abscissenaxe parallel ist, dieselbe Ordinate haben; für die Punkte der Abscissenaxe selbst ist die Ordinate = 0. Ebenso haben die Punkte einer Parallelen zur Ordinatenaxe gleiche Abscisse, für die Punkte der Ordinatenaxe selbst ist die Abscissc = 0. So haben namentlich die Fufspunkte der Parallelen a, ß, y, S die Ordinate = 0, und dieselben Abscissen wie resp. o, fr, c, d; dagegen die Fufspunkte a', ß', y', ö' die Abscisse = 0, und dieselben Ordinaten wie resp. a, b, c, d. Ist der Winkel zwischen den Axen ein rechter, so nennt man die Koordinaten r e c h t w i n k l i g e , sonst s c h i e f w i n k l i g e , beide mit gemeinschaftlichem Namen P a r a l l e l - K o o r d i n a t e n . §. 5. P r o j e k t i o n e n . Zieht man von einer Anzahl von Punkten u, b, c, der oberen), mit dem — Zeichen auf der a n d e r e n . Es lassen sich noch unzählig viele andere Methoden
angeben,
um die Lage von P u n k t e n in einer Ebene 7.11 bestimmen; eine derselben wird weiter unten 6.
Verlegung
7, Zus.) angeführt werden. des
Die Resultate aus §. 2 und
Anfangspunktes;
Folgerungen.
3 lassen sich ohne Mühe auf P u n k t e
übertragen, die in einer Ebene beliebig liegen. Es seien .r, y die Koordinaten eines Punktes nicht, und die Abscisse von b ( o d e r von ß) wird = . r ' — . ? • (§. 2 ) ; verschiebt man nun auch die Abscissenaxe sich selbst parallel, bis sie durch « geht, so e r hält man in ähnlicher Weise die neue Ordinate Zieht man
ferner von
deren Koordinaten . — s i n « (>n —
Die Gröfsen a
;
180°-+-«" 0 « " , x
--• - ,
r
.'/
r
;
r ---. 3 6 0 4 -
a"' < >a
= a
o
(>a Zusatz.
=
r
.
Quadranten:
y =
also:
(Ja
ff/i ff Oa =
cosy — — c o s « sin ü =
C -= 180"-- a'Oix',
gegen
r
und v ,
a'"Oa"',
.r
r y •=•'..
r
welche ebenfalls
das Axensystem
bestimmen,
die
heifsen
Lage die
Bestimmung d. Lage v. Punkten in ein. Kbene. Prinzip, d. anal. Geometrie.
Polarkoordinaten
von
und r d e r R a d i u s V e k t o r ;
7
r ist
i m m e r p o s i t i v , den Winkel c kann man, wenn er in umgekehrter Richtung,
als eben festgesetzt ist, gezählt wird, auch negativ a n -
n e h m e n ; so ist z. B. das r des Punktes « ' " =
3 0 0 ° oder
=—60";
weil ferner der Radius Vektor nach jeder Umdrehung von 3 6 0 ° in seine ursprüngliche Lage zurückkehrt, so kann man dem Winkel v beliebige Vielfache von 3 0 0 " hinzufügen. geben
die
rechtwinkligen
durch seine Polarkoordinaten, umgekehrte §. S. zweier
—
Die F o r m e l n
Koordinaten
eines
die F o r m e l n
('2) l ö s e n
Aufgabe.
Aus den r e c h t w i n k l i g e n b die E n t f e r n u n g
a,
Koordinaten
und
ab
d i e s e r G e r a d e n g e g e n die A b s c i s s e n a x e zu
die
Man denke sich (Fig. 7 ) durch
a
Neigung
bestimmen.
Die Koordinaten der Punkte n und b seien y'.
die
Aufgabe.
Punkte
und
(1)
Punktes
bezüglich x,
ein neues
winkliges Koordinatensystem, dessen positive Halbaxen aX,
y
recht-
aY
mit
denen des alten Systems O.u und Oy parallel und gleich gerichtet sind.
Setzt man die Koordinaten von b in bezug auf dieses neue
System =
X
zwischen
aX
und
Y,
die Entfernung ab — R,
und den Winkel
und ul>, der ebenso gezählt wird,
wie in §. 7 der
Winkel c, gleich ic, so hat man nach §. 7 : R nach
..(-j/X-'-H
cos"' -
X ß
,
sinw —
Y
^ ;
G sind:
X - x
Y = y'
-y,
also: (1)
R =
-+-]/(./.•'-
Erklärung.
(//'—//)-.
cos w =
, sin w =
— ß —•
Wenn eine Gerade ab um einen ihrer Endpunkte
a sich in derselben Richtung dreht, in welcher die positive ¿,-Axe um den Anfangspunkt O sich drehen mufs, Quadranten
überstreichend
nach
damit sie den ersten
der positiven //-Axe gelangt,
so
soll die Drehung von um « die p o s i t i v e heil'sen, im entgegengesetzten Falle die n e g a t i v e . der
9.
Aufgabe.
Ecken
eines
Aus d e n r e c h t w i n k l i g e n Dreiecks
den
Inhalt
Koordinaten
desselben
zu
be-
stimmen. 1. F a l l . punkt
Die e i n e E c k e d e s D r e i e c k s s e i d e r
Anfangs-
(> (Fig. S ) ; die rechtwinkligen Koordinaten von b — x',
y',
8
§§.9, 10. 11.
Erstes Kapitel.
von c = x", y"; die Polarkoordinaten beider Punkte bezüglich v' und /•", o", so dal's nach §. 7 : t
•
(1;
l
I 'C cos« = - - i
• I sin« =
'/
,
coso
II
=
'
C
ir
-_„•,
/, it
.
snu'
II
'/
=•'„-•
Mul's im positiven Sinne sich um 0 drehen, wenn es die Fläche des Dreiecks Übe beschreibt (wie in Fig. 8 , während in Fig. ( 8 * ) das Gegenteil stattfindet), so ist der Dreieckswinkel cOb= c"—v'; w ä r e etwa v" kleiner als »', was möglich ist, wenn b im 4ten und c im lsten Quadranten liegt, so kann man zu o" noch 3 6 0 ° addieren. Der I n h a l t J d e s D r e i e c k s ist also: J = ^Ob. Ocsia(v"—e') = / ' ( c o s v ' s i n v " — cosv"sinv'). oder durch Substitution der Werte ( 1 ) : (2)
J
=
1 W ' - / / ) .
Mufs aber Ob im negativen Sinne sich drehen, um das Dreieck zu überstreichen (wie in Fig. (8*)), so hat man A = ^ r V ' s i n ( u ' ~ - e " ) . also ist in ( 2 ) x', >/ mit x", y" zu vertauschen und man erhält: (3)
J =
K
=
- i W — ' Y >
11. F a l l . Die Formeln ( 2 ) und ( 3 ) führen auch zur Berechnung des allgemeinen Falles, w e n n d i e e r s t e D r c i e c k s e c k e a (Fig. 9 ) e i n b e l i e b i g e r P u n k t (x, y) i s t , und nicht der Anfangspunkt. Die Punkte b und c würden, wenn man a zum Anfangspunkte eines parallel und gleich gerichteten Systemcs wählte, die Koordinaten x'—x, y'—y und x"—^r, y"—y haben (vgl. ) Man erhält also den Inhalt von abc, indem man diese Werte statt x', y' u. s. w. in ( 2 ) und ( 3 ) substituiert; o d e r : d e r I n h a l t J d e s D r e i e c k s abc i s t : (4)
J =
± i \ ( x ' -
w o d a s o b e r e o d e r u n t e r e Z e i c h e n g i l t , j e n a c h d e i n ab im p o s i t i v e n o d e r n e g a t i v e n S i n n e u m a s i c h d r e h e n m u f s , u m d a s D r e i e c k abc zu b e s c h r e i b e n . Zusatz. Die Formel ( 4 ) gestattet m e h r e r e Umformungen durch Auflösung der Klammergröfsen; man b e k o m m t : (5)
J =
±
±{xy'-x'y+x der Winkel zwischen den positiven Halbaxen; dann ist, weil a im positiven Quadranten liegt: Oa = r,
aa = y,
()a = x,
Winkel a(>a — c,
/•
sin(qr>--/•)-( siiireosqp sitirp = COSü,
oder: (2)
ccos« = j ' + i / c o s y
und:
/-sin« = ¿/sin ,
Bestimmung d. Lage v. Punkten in ein. Ebene. Prinzip, d. anal. Geometrie. 11 also w i r d : U
= (x'-\-y' cos q p ) y sin qp — (x"-\-y"
oder:
J =
cos , Xc, .. sein, wo X eine von dem Verhältnis der Einheiten abhängige Zahl ist. So lange die Gleichungen zwischen den Zahlenwertcn der Linien von der Wahl der Längeneinheit unabhängig sind, müssen sie also richtig bleiben, wenn überall Xn, Xb, Xc, . . fiir , r, . . gesetzt wird, unter X eine beliebige Gröfse verstanden. Sind z. B. H
h//) =
ü,
welche Gleichung für ein beliebiges i nur richtig sein kann, wenn D-1 \-H — 0 ist, d. h. die Gleichung (2) zerlallt in die beiden:
A - h B - t - < ' = 0 ,
Y-II =
0;
da aber nach der Voraussetzung zwischen den Monomen A , B , . . . H nur die eine Gleichung (1) stattfindet, so ist die Annahme, dafs zwei Gruppen von Gliedern in (1) vorkommen, von denen einige von der wten, die andern von der w'ten Dimension sind, unstatthaft. Ebenso beweist man, dal's in (1) auch nicht drei oder mehr Gruppen von Gliedern vorkommen können, die von verschiedener Dimension sind; die Gleichung ( ] ) milfs also homogen sein. Die eben auseinandergesetzte Bedingung der Iloniogentiität giebt ein Mittel zur Kontrolle der Kechnung; wenn aber die Zahlenwerte der Linien sich nicht mehr auf eine beliebige, sondern auf eine ganz bestimmte Einheit beziehen, so kann man auf Gleichungen kommen, welche nicht mehr homogen sind. Sind z. B. .T und y die Koordinaten eines Punktes der Kurve in Fig. 13, durch Oh als Längeneinheit gemessen, so findet zwischen ihnen die nicht homogene Gleichung statt (§. 12, h) 2i/n . ( ' - - 5 = 0, deren drei Glieder 2 y 3 , .r*, 5 bezüglich von der 3ten, 4ten und Oten Dimension sind; man kann die Homogeneität jedoch wieder herstellen. Nennt man die Länge von Oh und die der Koordinaten auf eine beliebige Einheit bezogen resp. a , X und Y , so sind die vorher mit x und y bezeichneten Grüfsen jetzt
^ .
^ ; die Gleichung
der Kurve verwandelt sich also in: a'
— - — — 5 = 0, a*
oder:
2« Y3
X'-.W =
0.
und man erhält in beiden Formen homogene Gleichungen. §. 16. E i n t e i l u n g d e r K u r v e n . Man teilt die Kurven in a l g e b r a i s c h e und t r n n s s c c n d c n l c ; eine algebraische Kurve ist eine solche, in deren Gleichung die Koordinaten ,c und y nur den Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Erhebung zu Potenzen mit rationalen Zahlenexponenten unter-
Bestimmung d. Lage v. Punkten in ein. Ebene. Prinzip, d. anal. Geometrie. ] 7
worfen sind; jede andere Kurve heifst eine transscendente.
Von
den beiden durch:
dargestellten Kurven ist die erste eine algebraische, die zweite eine transscendente. Die algebraischen Kurven teilt man in O r d n u n g e n ; bat man in der Gleichung einer algebraischen Kurve alle Nenner und Wurzelgröfsen fortgeschafft, welche x und y enthalten, so sagt man, die Gleichung und die durch sie dargestellte Kurve oder Linie sei von der raten O r d n u n g oder vom raten G r a d e , wenn das in bezug auf x und y höchste Glied von der raten Dimension ist So ist die Kurve xy1—ax-\-by = 0, wegen des Gliedes xy1, von der dritten Ordnung; die durch die Gleichungen x*-\-y3—«s = 0, xy—6 = 0 dargestellten Kurven sind von der zweiten Ordnung. Die Linien e r s t e r O r d n u n g sind sämtlich durch die Gleichung: ax-\-by-{-c — 0 dargestellt, wo a, b, c konstante, d. h. von x und y unabhängige Gröfsen sind. Die L i n i e n z w e i t e r O r d n u n g können in ihrer Gleichung aufserdem noch in x1, xy und y3 multiplizierte Glieder enthalten, so dafs ihre allgemeinste Gleichung ist: dx'i-\-exy-{-fy3-\-ax-\-by-\-c
= 0.
Die allgemeinste Gleichung der L i n i e n d r i t t e n G r a d e s ist: yxi->rhx>y -\-ia;y'i-Jr ky 3-(- dx"i-\-exy-\-fy''-\-ax-\-by-\-c
= 0.
In den folgenden Abschnitten werden wir uns mit den Linien der beiden ersten Grade beschäftigen. A n m e r k u n g . Eine Kurve wird zuweilen durch eine Gleichung zwischen Polarkoordinaten (§ 7, Zus.) definiert, d. h. durch eine Gleichung zwischen dem veränderlichen Radius Oa oder r (Fig. 16) und dem Winkel v, den r mit einer festen Geraden Ol bildet, durch welche Gleichung die Länge von r für jeden Wert des Winkels v sich berechnen läfst. (Vergl. §. 56.)
•loachi msthftl KktufMitf. :t. Aufl.
2
§. 17.
18
Zweite» Kapitel.
Zweites Kapitel. Die §.17. deren
Linien
Lehrsatz.
einer
n ü g e n , ist eine g e r a d e Jede
Ordnung.
Der g e o m e t r i s c h e Ort a l l e r
Koordinaten
Beweis.
erster
Gleichung
ersten
Punkte,
Grades
ge-
Linie.
Gleichung
ersten
Grades
(erster
Ordnung)
zwischen x und y läfst sich auf die Form bringen: (1)
ax-\-by+c
0,
=
wo a, b, c konstante Gröfsen sind, die positiv, negativ oder auch zum Teil gleich Null sein können. I.
Es sei a =
y —
Wir betrachten folgende Fälle:
0 ; also ( 1 ) von der Form by+c
— 0, woraus
— • Da b und c Konstanten sind, 4S0 enthält der geometri-
sche Ort alle Punkte mit gleicher Ordinate, d. h. er ist eine Parallele zur x-Axe; y =
ist überdies c = < ) ,
0, oder
0 , so stellt er die #-Axe selbst vor (§. -1). II.
Ebenso
ergiebt sich
Parallele zur y-Axe, III. drei
hat man also by =
für b =
so wie x =
0,
dafs < w + e =
0 die y-Axe
0
eine
selbst darstellt.
Es seien a und b von Null verschieden; man denke sich
verschiedene Lösungen
von ( 1 ) berechnet,
wie es z. B. in
§.12
für die Gleichung ( a ) geschehen ist; es seien dieselben x , y ;
x', y'
und x",
y".
Diese Lösungen müssen der Gleichung ( 1 ) ge-
nügen, also mufs sein: ax-\-by+c = 0, ax'+by'+c
=
0,
=
ax"-\-by"-\-c
0.
Zieht man die erste Gleichung von der zweiten und dritten ab, so erhält m a n : =
a^x'-x^bQ/'-y)
0,
/•'—cb'
=
(lb>_ba
d e r T a n g e n t e ( 7 ) läl'st sich y— q—(y'—q)
statt y —y'
noch und
transformieren; ./•—/>—(./—p)
— . r ' und schafft den Nenner fort, so kommt:
(y-?)Cy'-?)-Cy,-?),-+-(^-¡W--/O-(•
0, = 0 ,
Drittes Kapitel.
oder < 0
reelle und verschiedene,
ist.
Also haben ( 1 ) und ( 2 ) zwei
zwei reelle aber zusammenfallende,
gar keine reellen Durchschnittspunkte, (5)
{/.(..'-^-H/^'-^i'-cx-'+zof^-^^Cy'-?)
ist.
Nach §. 2 2 ,
Form. 6 kann
oder
jenachdem:
man ( 5 )
-'-')
2
g «
transformieren und hat
dafür:
(6) oder,
= 0.
weil man j e d e Ungleichheit mit einer positiven G r ö ß e wie dividieren
m
darf:
W-'q-m' =
auf e i n a n d e r senkrecht stehen.
0,
Berühren sich die beiden Kreise,
o d e r fallen die Schnittpunkte in einen zusammen, so genügen die Koordinaten desselben immer noch der Gleichung (3), und weil ( 3 ) auf der Centrale ( 4 ) senkrecht steht, so ist (3) die Gleichung der gemeinschaftlichen Tangente.
Es fragt sich n u n , welches die Be-
d e u t u n g von ( 3 ) ist, wenn die Kreise ( 1 ) und (2) sich nicht schneiden, d e n n offenbar ist ( 3 ) unter allen Umständen eine k o n s t r u i e r b a r e gerade Linie.
Nach §. 2 9 ist die Potenz irgend eines P u n k t e s ( r , y)
in bezug auf den Kreis ( 1 ) gleich (.«—}>)'+(.'/ — */)*—/,a> lich f ü r den Kreis ( 2 ) .
un(
J ähn-
Soll n u n ein P u n k t (./•, y ) in bezug auf
beide Kreise g l e i c h e P o t e n z haben, so mufs sein:
(x-py+Ü-qy-r'-^-vy+iy-qJ-n
= ü,
d. h. da diese Gleichung mit ( 3 ) übereinstimmt, der P u n k t (w,
y)
m u f s auf der Geraden ( 3 ) liegen und umgekehrt, jeder P u n k t dieser Geraden hat die verlangte Eigenschaft. 1.
Der Ort
aller Punkte,
Kreise gleiche Potenzen haben, der Centrale senkrecht steht; Kreise,
so
ist die Linie
Also:
welche
in b e z u g a u f
ist eine G e r a d e ,
die
s c h n e i d e n sich die
gleicher Potenzen
s i e sich, so ist sie die g e m e i n s c h a f t l i c h e
auf
beiden
(zuweilen
d i k a l a x e genannt) die g e m e i n s c h a f t l i c h e S e h n e ,
zwei
Ra-
berühren
Tangente.
S u c h t man die Koordinaten der Durchschnittspunkte von ( 1 ) und
( 2 ) , so werden dieselben f ü r den Fall, dal's die Kreise sich
nicht schneiden, i m a g i n ä r ; genügen aher natürlich noch der Gleic h u n g (3), weil sie ( 1 ) und ( 2 ) befriedigen; man sagt deshalb auch,
Der Kreis. die
Kreise schneiden
Punkten,
fllr
w e l c h e freilich eine geometrische Darstellung nicht möglich ist.
Die
Gerade
(3)
sich
heilst daher
in in
zwei
39
diesem
i d e a l e S e k a n t e beider Kreise.
imaginären
F a l l e eine i m a g i n ä r e
oder
Da die P o t e n z eines äufseren P u n k t e s
in bezug auf einen Kreis das Quadrat d e r von dem P u n k t e an
den
Kreis gelegten Tangente ist, so folgt d a r a u s , dafs d i e T a n g e n t e n , welche
von
einem
Punkte
der
an z w e i K r e i s e g e l e g t s i n d ,
Linie
gleich
E s sei die Gleichung eines dritten (5)
gleicher
sein
Potenzen
müssen.
Kreises:
( x - j > < y + Q , - 4 y - r » > =
0;
bezeichnen wir die linken Seiten der Gleichungen ( 1 ) , ( 2 ) , ( 5 ) U,
(6)
U',
U—U' = 0,
die Linien
mit
so s i n d :
U",
(7)
gleicher
U—U" = 0,
Potenzen
dem ersten und dritten,
zwischen
(8)
dem
ersten
0
U'—ü"= und
zweiten,
und dem zweiten und dritten K r e i s e ;
da
j e d e dieser Gleichungen ( z . B . 8 ) als eine F o l g e der beiden a n d e r e n ( v o n 6 und 7 ) angesehen werden kann, s o wird die g e m e i n s c h a f t l i c h e Lösung j e zweier auch die dritte befriedigen,
d. h. die drei
Geraden ( 6 ) , ( 7 ) , ( 8 ) gehen durch einen P u n k t ( § . 1 4 ) , II.
Die d r e i L i n i e n
gleicher
dreier Kreise schneiden
Potenzen
oder:
von j e
zweien
s i c h in e i n e m P u n k t e (§. 1 0 6 ,
II).
W i r übergehen die Diskussion einzelner F ä l l e , in w e l c h e n
die
S ä t z e dieses Paragraphen Ausnahmen e r l e i d e n ; so haben z. B . zwei koncentrische
Kreise keine Linie
gleicher
Potenzen,
drei
deren Mittelpunkte in einer Geraden liegen, keinen P u n k t
Kreise, gleicher
Potenzen. Sind
U und
U' zwei sich nicht s c h n e i d e n d e Kreise, so
kann
i h r e Linie gleicher Potenzen durch Satz II. leicht gefunden
werden.
Beschreibt
in
man einen Kreis
der sowohl
U",
U als
U'
Punkten schneidet, und treffen sich die gemeinschaftlichen von U und U",
U' und U"
Potenzen von U und U'
in a , so g e h t auch die Linie
durch a;
Berührt der Kreis schneidet
U"
den Kreis
U und
U'
U'
durch einen Punkt u.
o d e r von
U in einem P u n k t e a ,
in a und b,
g e h e n die Tangente von U im P u n k t e a cd
finden,
ein L o t fällen.
den Kreis
U'
gleicher
m a n k a n n nun e n t w e d e r einen
zweiten Punkt dieser Geraden a u f dieselbe W e i s e a a u f die Centrale von
zwei
Sehnen
und
U in c und d,
und so
und die Geraden ab
und
Dieser P u n k t bleibt derselbe, w e n n
statt
§.31.
40 des Kreises U" wird,
weil u
Viertes Kapitel.
ein a n d e r e r durch u und b gehender
schon
als Durchschnitt
beschrieben
der T a n g e n t e in a und
der
Geraden ab b e s t i m m t ist. Soll u m g e k e h r t ein Kreis beschrieben werden, der durch
zwei
g e g e b e n e P u n k t e a und b geht, und einen gegebenen Kreis U berührt, so lege man durch a und b irgend einen Kreis U", in c und d s c h n e i d e t , treffen.
und verlängere ab,
cd,
der
U
bis sie sich in
u
L e g t man alsdann von u eine T a n g e n t e ua
an den
gege-
b e n e n Kreis U, und ist a der B e r ü h r u n g s p u n k t , so wird der durch a, U'
b und a g e h e n d e Kreis U'
der verlangte sein.
Solcher
Kreise
giebt es demnach zwei. (Aufg. 1 9 — 2 4 . )
Yiertes Kapitel. D i e §. 31."
Der
Ort aller
Summe
der Entfernungen
und F'
konstant
heifsen
E l l i p s e .
ist,
Punkte von
s t r a b len
(Fig. 2 1 ) ,
gegebenen
heifst eine E l l i p s e ,
die B r e n n p u n k t e ,
zwei Gerade, wie FG,
G
zwei
F'G,
ihre
für
welche
festen Punkten
die P u n k t e F
Entfernung
die
und
die F F'
Excentrizität;
heifsen R a d i e n - V e k t o r e n oder L e i t -
(Fokalstrahlen).
Aufgabe.
Die Gleichung
der Ellipse
ist « > < ? ,
FF = 2e, die k o n s t a n t e weil FG-\-F'G> FF'.
als .r-Axe,
0
E s sei
die Mitte von FF'
winkligen K o o r d i n a t e n ; naten von G seien x
von F
GF' = der
sei - \ - c ,
rechtKoordi-
Y£+ey+S;
Ellipse:
(i) Y^-^y^y^r+y2 Um neue Eigenschaften
die
dann hat m a n :
GF=V(x-ey+f, also ist die G l e i c h u n g
Die
als den Anfangspunkt der
die Abscisse und y;
aufzustellen.
FG-\-F'G — 1a, so Gerade FF' nehmen wir
Summe
= 2«.
der Ellipse zu finden, machen wir
rational und setzen x ^ - ^ - y ^ + e 1 =
m ' , so wird
(1):
(2) Ym'— 'Ixe +]/>« 2-f- 'Ixe = 2 a;
(1)
41
Die Ellipse.
und wenn man
quadriert: (3)
•hn!+lVmi~—'ix1? =
4 a2,
woraus: (4)
ml—U-e\
(«i-—2«-')-' =
Durch Auflösung der Klammern erhält m a n :
a4—a'm2 =—xV, also:
a*—«V—a'y1—oV
oder:
(5) a\a-- S) =
=
—cV,
(a2—e2)x2-hay.
Setzt m a n :
(0) a*—e' = b2, und
dividiert
(5)
durch
a2b'\
so
kommt
als G l e i c h u n g
der
Ellipse:
m Eine andere Ableitung von ( 5 ) ergiebt sich aus §. 4 0 , Form. 1 — 4 . Z u s a t z 1. man
Man darf Gleichung ( 7 ) statt ( 1 ) gebrauchen, weil
von ( 7 ) auf ( 1 ) zurückschliefsen
a ;> e ist.
kann,
vorausgesetzt,
dafs
Man folgert aus ( 7 ) ohne Schwierigkeit ( 4 ) ; aus Glei-
chung ( 4 ) durch Wurzelausziehen und Multiplikation mit 2 : 2«r'±2/»?—4¿-V = d. h.
für
jeden
(F'G-t-FG)3 =
4a-, oder:
Punkt
der
4 a - , oder
Kurve
= (7)
(F'G —FG)* =
oder
(5)
ist
4a';
entweder
4a\- die zweite Annahme
FG—FG FG—F'G (jenachdem F'G > FG) kleiner als FF', also (F'G—FG)'1 < 4e2, und wenn # < < « , kann (F'G—FG)2 nicht = 4 a J s e i n , es bleibt daher nur F'G-hFG = 1a oder Gleiist a b e r unzulässig; denn nach einem elementaren Satz ist oder
chung
(1).
Zusatz 2.
Da ( 7 ) nur die Quadrate
hält, so werden, wenn ein Punkt (x, die Punkte ( — x , y),
GG,G3G3
ent-
auf der Kurve liegt, auch
( x , — y ) , ( — x , — y ) sich auf ihr befinden;
diese bilden mit (.«, y) wie
y)
der Koordinaten
ein zu den Axen symmetrisches
(Fig. 2 1 ) .
Die Ellipse besteht
demnach
Rechteck, aus
kongruenten Quadranten; jede durch O gehende Sehne GG.,
vier wird
in O halbiert und heifst daher ein D u r c h m e s s e r , so wie O der M i t t e l p u n k t der Ellipse. Durchmesser
Zwei zu den Axen symmetrisch
sind einander gleich;
z. B.
GG.,, GtGy
gelegene Für
die
§ § . 3 1 , 32, 33.
42
Viertes Kapitel.
Durchschnitte der x - A x e mit der Ellipse ist y = und x = Distanz
+ a ;
0,
und B',
— - =
dies sind die Abscissen zweier P u n k t e A, A', also gleich der konstanten S u m m e
= 2 a ,
x =
Q, y = ± b ,
AA'
heifst
die
1,
deren ist;
FG-\-F'G
e b e n s o findet m a n fllr die Durchschnitte der y-Axe B
x
also
mit der Kurve,
groise,
k l e i n e A x e der K u r v e ; ihre E n d p u n k t e die S c h e i t e l . .r'
BB'
die
Da wegen u1
Gleichung ( 7 ) die S u m m e der positiven B r ü c h e
der
Ein-
heit gleich sein muls, so kann j e d e r von ihnen dieselbe n i c h t
über-
s c h r e i t e n ; a l s o ist d e r n u m e r i s c h e W e r t von x k l e i n e r oder gleich a,
und
von y
k l e i n e r oder
gleich
b,
und die Ellipse liegt ganz
i n n e r h a l b e i n e s R e c h t e c k s , für welches A Mitten der Gegenseiten §. 3 2 .
und A1,
B
und B'
die
sind.
Konstruktion
der
Ellipse
durch
Punkte.
Aus
der Gleichung der Ellipse folgt J
., bl ., ... » / * = --•«-(«"—•»*)
In Fig. 2 1 ist I. dinate wie
b7
, oder
J
A J — a
—
x,
der
zu
dem R e c h t e c k
zu
der
a
Kreis
a'
., •
das Quadrat
Segmente
der
der
Or-
grofsen
Axe
Wird
über
den
i/ a —
kleine
Axe zur
b7 a
Y1,
2
grofsen
so
und
'
und
t
b
Y
u
iy =
daher
bezeichnet
g e h ö r e n d e Kreisordinate .JD J
der
beschrieben, zu
beschreibt man
als Durchmesser einen K r e i s ,
'
naten .
sich
wird die Ellipse ein K r e i s ;
(Fig. 2 1 )
Y* — - d'—xworaus
IL
b1
- • =
also haben wir den S a t z :
a - { - x ;
verhält
die zu d e r s e l b e n A b s c i s s e OJ so ist
=
' . —
a3.
Für b = ü b e r AA!
Ellipse
A ' J
In
-
{ a - + - x ) ( a — x )
mit
- , d. h . :
Axe als Durchmesser
verhalten
entsprechenden
sich
die
Y,
ein
Ellipsenordi-
Kreisordinaten
wie
die
grofsen.
Ähnliche S ä t z e wie 1. und 11.
finden
in bezug auf die kleine
Axe statt. Beschreibt Durchmesser
man
demnach
zwei K r e i s e ,
über
AM
und
BB'
zieht vom Mittelpunkte
w e l c h e den ersten K r e i s in D,
den zweiten in D'
von D
und von D'
eine P a r a l l e l e zu BB'
so ist ihr Durchschnitt Axen b e s c h r i e b e n e n
G
DJ
eine
ferner
eine P a r a l l e l e zu =
und BB'
D' 0 : DO =
als
Gerade,
schneidet,
ein P u n k t der ü b e r AA'
Ellipse; denn GJ:
(Fig. 2 2 ) 0
AA', als
b : u.
D i e Ellipse.
43
Zieht man von G zum Radius DO
eine Parallele, welche AA'
in K, BB' in L trifft, so ist GK=D'0
= b, GL = DO = a.
Trägt man auf ^ L l ' die Länge JK' = JK ab, und zieht die Gerade K'G, welche BB' in L' trifft, so sind die Dreiecke GKK', GLL' gleichschenklig, also wiederum GK' = b, GL' = a. Stellt man sich diese Konstruktionen für alle Punkte der Ellipse wiederholt vor, so erhält man den Satz: III. B e w e g t sich e i n e G e r a d e v o n k o n s t a n t e r L ä n g e (A'L o d e r K'L') s o , d a f s i h r e E n d p u n k t e s t e t s a u f z w e i r e c h t w i n k l i g e n Axen b l e i b e n , s o b e s c h r e i b t e i n P u n k t G dieser Geraden eine Ellipse, d e r e n Axen den E n t f e r n u n g e n d e s P u n k t e s G von d e n E n d p u n k t e n d e r k o n s t a n t e n L ä n g e g l e i c h s i n d (GK und GL oder GK' und GL'). Der Punkt G kann ebensowohl auf der konstanten Länge selbst (wie auf K'L'), als auch auf deren Verlängerung liegen (wie auf KL). (Ellipsenzirkel.) §. 33. Durchmesser der Ellipse. Ist 2d der durch G gehende Durchmesser, also (Fig. 2 2 ) OG = d, und die positive Drehung von OA nach OG = q>, also die Koordinaten von G gleich (¿cosqp, dsinqr», so ist wegen der Gleichung der Ellipse:
il'cosqi1 7,
1
cPsinqp3 ,ö
1,
woraus: -,..- = d'
cosqp3 a-
sinqpa b'
oder:
a'b1 ,, , —- .r• ¿> cosqp - | - a sinqp"
,.. d =
Der Nenner, welcher = ¿ » 2 - f - ( a ' — i 2 ) 8 ' " ? 1 2 = ist am kleinsten für qp = ü und = 180°, am gröfsten für g> = 90° und = 2 7 0 ° ; also ist umgekehrt die grofse Axe der gröfste, die kleine Axe der kleinste Durchmesser der Ellipse. Steht der Durchmesser 2d' auf 2c/ senkrccht, so hat g> für ihn einen um 90° gröfseren Wert, und weil cos(90"-|-qp) = — s i n q p , sin(90 o -f-?>) = COS (p, so ist: sinqp 3
1 :
d'
~
cosq>-
a-
b'1
Addiert man (1) und (2), so kommt - 4 r - | -
d
d'
=
\ + •}-,-,
a
fr
d. h. f ü r j e z w e i r e c h t w i n k l i g e H a l b m e s s e r i s t d i e S u m m e der reziprokeil Quadrate k o n s t a n t =
\ -f- .V • bestimmt wird durch die Gleichung (3). nämlich: (4)
tangy.tangg), =
— — •
Also: I. Die M i t t e n d e r p a r a l l e l e n S e h n e n e i n e r E l l i p s e liegen auf einem Durchmesser. Da die Gleichung (4) zwischen tangqp und tangqp, symmetrisch ist, so mufs, wenn die parallelen Sehnen mit der -t-a;-Axe den Winkel q> bilden, der sie halbierende Durchmesser den Winkel +2m»sinw =
j/m'-f-ra 3 —2wi?icos(90°-t-tt>),
weil c o s ( 9 0 ° + w ) = — s i n w > . a—6=
ywi'M-«'—2wmsin w —
\ml-\-n*—2«incos(90°—vi).
Ist in Fig. 24 Winkel LOM=w, MO = n, LO = m, und IHllt man von M eine Senkrechte auf OL, trägt auf derselben MK= MK' — m ab und verbindet K und K' mit 0 , so ist W. OMK' = 90°—w, W. OMK= 9 0 ° + 1 0 , also OK=a-\-b, OK'— a—b, woraus sich a und b ergeben. Es sei jetzt ODA die Richtung der grolscn Halbaxe a der Ellipse, MM' und L1J senkrecht zu OA, so ist W. LOA = DMM' = q> und, der früheren Bezeichnung entsprechend, LL' OL' = ; MM'=y3, OM' = xr Demnach ergiebt sich:
MD=
ya , wo y , = ^ - x x cosy a ,1 0 a i' It i m s t h .11 Kli'mcntc. U. Aufl.
(§.34,5), 4
50
§§. 3 5 .
folglich
3C..
37.
Viertos
wird: „ ,„
DK
DK
m— W
Vi
~~ a+b (1. h. ODA Anm. sich
V.,
zeigen,
beziehende
dafs
a
1
.r,-1-
t>
(i
.r .r,
OK'
~
OK '
ist die H a l b i e r u n g s l i n i e Die vorhergehenden
h
.r—
- -cos q> m cos qr> — ?/., y„ wcosgi-H/., V i + — COS /t3-t-na, also rr' =
n>, oder:
Das P r o d u k t d e r b e i d e n n a c h e i n e m E l l i p s e n p u n k t e
gezogenen
Leitstrahlen
ist dem Q u a d r a t e
des
Halb-
m e s s e r s g l e i c h , d e r dem d u r c h G g e h e n d e n k o n j u g i e r t i s t Sind p und p' die von F und F1
auf die Tangente in G ge-
fällten Lote, H, H'
ihre Fufspunkte, (£, rf) und (£', »/) die Koor-
dinaten
so
derselben,
ifL^JgL—i
CL
O
=
o
ist,
,
weil
die
Gleichung
der
Tangente
(nach §. 2 3 , Form. 6 und 7 ) : exx
9
ex, —1 >/t a' b% y\ ~ b*
*•
f l ^ r , b*
{xl r :
p
'
' ' a*
y\ ' b*
'
Nun ist: b ^ a ' ^ b b>\ ' V und ( 4 ) :
ex, a a
« aV1}
a46a
aa6a
r a
1 —
Selzen wir diese Werte ein, so kommt:
^ 5
xx r a'b* € | Ä r~ a a it
C|
xxb3
i —
ar'e-\-xlb'1
ar
oder, wenn a1 für e'+b*
a*e-\-e''xl-\-xib1 / i ar
i
ar
gesetzt wird, und man in p den abso-
luten Wert nimmt:
(5) i
Um —e,
=
r f , p' zu erhalten, mufs man in ( 5 ) e, r, r' bezüglich mit r', r vertauschen; dies giebt: (6)
j ^ H L ,
r
'
r
P
' =
b ^ .
' r
r
Diese Formeln fuhren zu folgenden Sätzen: II.
Das P r o d u k t
der Lote
( p , p'),
welche
von
den
B r e n n p u n k t e n a u f e i n e T a n g e n t e g e f ä l l t w e r d e n , i s t dem' Q u a d r a t e (¿2) der h a l b e n k l e i n e n Axe
gleich.
§§. 40, 41. Viertes Kapitel.
58
b c P = — " L i -, >' = -- — u P. = Ferner isl J— , und, ebenso /• /• ' /•' yrr' r'
P
-" , yV
p'
also — = , also sind die rechtwinkligen Dreiecke FGI1 und r r F'GIi einander ähnlich, und W. FGH = W. F'GW, d. h.: III. Die T a n g e n t e b i l d e t mit den L e i t s t r a h l e n g l e i c h e W i n k e l , o d e r h a l b i e r t d e n W i n k e l z w i s c h e n einein L e i t s t r a h l und d e r V e r l ä n g e r u n g des a n d e r e n . Die Gerade, welche auf der Tangente einer Kurve in deren Berührungspunkte senkrecht steht, heirst die N o r m a l e der Kurve; es folgt demnach aus 111.: IV. Die N o r m a l e d e r E l l i p s e h a l b i e r t den Winkel z w i s c h e n den L c i t s t r a h l e n . Die G l e i c h u n g d e r N o r m a l e ist: C7)
=
•fu aJ Aus (5) ergiebt sich OIP =
y—Jx Vi b' = ^
.
K^+O'+Z/Il
= a'>
folglich: V. Die F u f s p u n k t e d e r Lote, w e l c h e man von den B r e n n p u n k t e n e i n e r Ellipse auf s ä m t l i c h e T a n g e n t e n f ä l l e n k a n n , liegen auf dem K r e i s e , der die g r o f s e Axe zum D u r c h m e s s e r hat. Anm. Der Satz V. beantwortet die Frage: w e l c h e s ist d e r Ort d e r F u f s p u n k t e d e r von e i n e m B r e n n p u n k t e auf a l l e T a n g e n t e n d e r E l l i p s e g e f ä l l t e n L o t e ? Da es wichtig ist, den Gedankengang zu kennen, welcher bei derartigen Aufgaben verfolgt wird, und weil die Rechnung im gegenwärtigen Falle eine eigentümliche Schwierigkeit darbietet, so wollen wir die gestellte Frage direkt beantworten. Die Gleichung der Tangente am Punkte (xt, y j ist:
ro die Gleichung des vom Brennpunkte F oder (e, 0) auf die Gerade (8) gefällten Lotes ist: (9)
^ y - f ; - ( * - 0 = \ oder:
(:{*)
a
y,
e* =
a^-b*,
62
§§. 43, 44.
so wird d i e
Fünftes Kapitel.
Hyperbelgleichung: («)
Da ( 4 ) n u r x1 und y3 enthält, so besteht die Kurve aus vier kongruenten Quadranten (§. 31, Zus. 2 ) , und es wird hinreichen, die Gestalt desjenigen, in welchem x und y positiv sind, zu untersuchen. (5)
Schreibt man statt ( 4 ) : , =
und:
(6)
£
=
so folgt aus ( 5 ) , dafs x wenigstens = a sein mufs, damit y reell werde, Uber a hinaus aber jeden beliebig grolsen Wert annehmen k a n n ; und dafs y = 0 , wenn x—a, mit x selbst aber ins Unbegrenzte wächst; der Kurvenquadrant erstreckt sich demnach ins y b Unendliche. Der Bruch — ist nach ( 6 ) stets kleiner als — , nähert x a sich aber diesem Werte immer m e h r , je gröfser x, also auch y wird; macht man daher OA =a, ^ 4 P = ä = |/