Elemente der analytischen Geometrie der Ebene [2. Aufl. Reprint 2018] 9783111494401, 9783111128122

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Elemente der

analytischen Geometrie der

Ebene YOD

F .

J o a c h i m s t l i a l .

Zweite Auflage.

Mit s e h t F i g n r e n t a f e l o .

B e r l i n . Druck und Verlag von G e o r g R e i m e r . 1871.

Das Uebersetzungsrecht wird vorbehalten.

Vorrede des Herausgebers F e r d i n a n d J o a c h i m s t h a l , Professor an der Universität Breslau, wurde am 5. April 1861 durch einen frühzeitigen Tod mitten aus den Erfolgen seiner mathematischen Untersuchungen und seiner segensreichen Lehrthätigkeit fortgerissen.

Auch war

es ihm nicht vergönnt, die Ausarbeitung des vorliegenden Lehrbuchs, welchem er die Mussestunden vieler Jahre mit Vorliebe gewidmet hatte, vollständig zu Ende zu führen.

Doch fanden sich glücklicher-

weise ausser einem vom Verstorbenen selbst als druckfertig bezeichneten Manuscript in den hinterlassenen Papieren noch weitere Ausführungen und Andeutungen vor, auf Grund deren ich es unternehmen konnte, dieses Lieblingswerk meines hochverehrten Lehrers herauszugeben, ein Werk, welches durch die Klarheit der Darstellung und durch die sorgfältige Berücksich-

IV

Vorrede.

tigung der dem Anfanger entgegentretenden Schwierigkeiten seiner Bestimmung als Leitfaden zur Einführung in die analytische Geometrie zu dienen, in vorzüglichem Maasse entspricht, und welches durch die Eigenthümlichkeit

zugleich

der Methode auch auf

den mit dem Gegenstande völlig vertrauten Leser in hohem Grade anregend wirkt.

In dieser Beziehung

möchte namentlich die fast durchgängige Anwendung schiefwinkliger Coordinaten hervorzuheben sein, bei welcher die Verbindung von Einfachheit der Rechnung und Allgemeinheit der Schlüsse in seltener Weise erreicht ist. Es kann als sicher angenommen werden, dass schon zu der Zeit, als J a c o b i noch lebte, also bereits vor dem Jahre 1851, der erste Gedanke, die Elemente der Geometrie zu bearbeiten, in Joachimsthal entstanden war.

Eine bezügliche Aufforderung Jacobi's hat

diesen Gedanken wohl nicht erst hervorgerufen, sondern nur von Neuem angeregt und der Ausführung näher gebracht. Jacobi nämlich hatte schon seit längerer Zeit ab und zu an einem Lehrbuch geschrieben, welches zu einer elementaren analytischen Darstellung der von ihm in Vorlesungen an der Königsberger Universität oft behandelten Geometrie des Raumes bestimmt war; er forderte nun Joachimsthal auf, ein Lehrbuch der Geometrie der Ebene zu schreiben, damit beide

Vorrede.

V

Werke zusammen das ganze Gebiet der Geometrie in ihren Elementen umfassten. Der hierdurch von Neuem in Joachimsthal angeregte Gedanke hat dann freilich in ihm eine viel weitere Entwickelung genommen.

Im Jahre 1855, als

Joachimsthal die mathematische Professur an der Universität Halle bekleidete, hatte er bereits einen ersten Entwurf der Geometrie der Ebene nahezu vollendet, und er zeigte mir denselben bei Gelegenheit eines Besuches, den ich ihm damals machte. Aber dieser erste Entwurf genügte ihm später nicht; er ordnete den zu behandelnden Stoff nach einem neuen Plane an, änderte demgemäss die Reihenfolge der Kapitel — von denen z. B. das die Transversalentheorie enthaltende ursprünglich den Kegelschnitten vorausging — und unternahm auf diese Weise eine durchgreifende Umgestaltung des Werkes, welche leider vor der gänzlichen Vollendung durch seinen Tod unterbrochen wurde. Von dieser neuen Bearbeitung fand ich die ersten sieben Kapitel druckfertig vor; ich hatte daher nur den Schluss des Werkes im Sinne des Dahingeschiedenen zu ergänzen und hierfür folgende im Nachlass vorgefundene Papiere als Anhaltspunkte zu benutzen. Erstens ergab ein kurzes Inhalts-Verzeichniss die vollständige Reihenfolge der Kapitel, wie sie Joachims-

VI

Vorrede.

thal für die zweite Bearbeitung festgestellt hatte. Dieses Verzeichniss führt nicht nur die Geometrie der Ebene bis zu Ende, sondern geht auch zur Geometrie des Raumes über und zeigt also, dass Joachimsthal's Plan sich im Laufe der Jahre bedeutend erweitert hatte. Zweitens lag mir der bereits erwähnte erste Entwurf des Werkes vor, welcher mit §. 94 abschliesst, und aus welchem der Text vom Anfange des achten bis gegen Ende des zehnten Kapitels wörtlich entnommen ist. Die in den sieben ersten Kapiteln durchgeführte neue Anordnung erforderte zwar einige Modificationen des Textes; jedoch habe ich es vorgezogen, denselben unverändert zu lassen und die Modificationen in Anmerkungen zu verweisen,

welche als

von mir herrührend mit dem Buchstaben H. unterzeichnet sind.

Alis diesem ersten Entwürfe habe ich

überdies die drei auf den Seiten 13, 20 und 26 stehenden Anmerkungen genommen, deren Inhalt in der zweiten Bearbeitung fehlte. Drittens fand sich ein Blatt, auf welchem Joachimsthal

den

im

letzten

Kapitel

einzuhaltenden

Gang in kurzen Umrissen angedeutet hat. hin

habe

ich

den Versuch

gemacht,

Darauf

dieses Ka-

pitel auszuführen und damit das vorliegende Werk Joachimsthal's zu demjenigen Abschluss zu bringen,

Vorrede.

VII

welcher von ihm selbst beabsichtigt und bei der Veröffentlichung

nicht füglich zu entbehren war.

Ich

habe mich bei dieser Arbeit bemüht, so viel als möglich im Sinne

Joachimthal's zu verfahren, und na-

mentlich im Sinne der eben erwähnten Andeutungen, welche mir die einzigen speciellen Anhaltspunkte gewährten, und welche ich deshalb hier wörtlich folgen lasse: „Pole von Geraden, die durch einen Punkt gehen, „Tangenten methode.

Die Polare

bewegt sich an

„einem Kegelschnitt; Anwendung auf zwei Kreise. „—

Durchschnitt

schaftliche

zweier Kegelschnitte,

Sehnen,

reelle,

gemein-

imaginäre.

Reeller

„Durchschnitt imaginärer conjugirter Geraden. deutung liche

der Punkte,

welche als gemeinschaft-

Durchschnittspunkte

frachtung von „U+lpq

= 0,

U+lV=

anzusehen sind. 0,

U+fipr=0.

„V+ftq' = 0. — pq+lrs 1

Be-

— = 0.

Involution.

Be-

U=

U= 0 , U+lp2

0,

= 0,

Pascal'scher Satz mit

„seinen Folgerungen; Brianchon'scher Satz." Berlin, im März 1863. Os wald H e r m e s .

VIII

Vorrede.

Zur

leichteren

Handhabung

der

vorliegenden

Elemente sind bei der zweiten Auflage die Paragraphen zugleich in den Columnentitel genommen worden. Im Uebrigen ist der Text fast ganz unverändert beibehalten und nur für möglichste Correctheit desselben gesorgt worden. Berlin, im J u l i

1871. O. H.

Inhalts - Verzeichniss. Erstes Kapitel.

Bestimmung der Lage von Punkten in einer Ebene. der analytischen Geometrie. §. t .

Bestimmung der Lage von Punkten einer Gereden

§. 2.

Verlegling des Anfangspunktes

Principien Seile

. . . .

1 1

}. 3.

Folgerungen.

§. 4.

Bestimmung der Lage von Punkten einer Ebene durch Parallel-

Der Mittelpunkt einer geradlinigen Streoke .

.

§. 5.

Projectionen

3

§. 6.

Verlegung des Anfangspunktes der Coordinaten. Die Bedingung, dass drei Punkte in einer geraden Linie liegen

4

coordinaten

2 2

§. 7. Aus den rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes seine Entfernung r vom Anfangspunkte und den Winkel t> zu bestimmen, den die Abscissenaxe mit r bildet. Polarcoordinaten . . . §. 8. Aus den rechtwinkligen Coordinaten zweier Punkte a und b die Entfernung ab uud die Neigung dieser Oeraden gegen die Abscissenaxe zu bestimmen. Von der positiven und negativen Drehung einer Geraden

6

7

§. 9

Aus den rechtwinkligen Coordinaten der Ecken eines Dreieoks den Inhalt desselben t u bestimmen

8

§. 10.

Ans den rechtwinkligen Coordinaten der Ecken eines Vielecks den Inhalt desselben zu bestimmen

9

§. 11,

Auflösung der Aufgaben in den § § . 7 — 10 fSr schiefwinklige Coordinaten

10

12.

Graphische Darstellung der reellen Lösungen einer Gleichung zwischen zwei Unbekannten

11

Darstellung der Curven durch Gleichungen.

13

§. 13.

Beispiele . . .

§. 14. Durchschnittspunkte zweier Curven. Curven, welche durch die Schnittpunkte zweier gegebenen Curven gehen

14

§. 15.

Homogeneitttt der Gleichungen

14

§, 16.

Eintheilung der Curven nach den Gleichungen

17

X

Inhalt« - Verzeichniss.

Zweites Kapitel.

Die Linien erster Ordnung. Seile-

§. 17. Der geometrische Ort aller Punkte, deren Coordinaten einer Gleichung ersten Grades genQgen, ist eine gerade Linie. Verschiedene Formen der Gleichung einer Geraden. Wenn drücken zwei Gleichungen dieselbe Gerade aus? §. 18.

Die Gleichung der Geraden, welche durch zwei gegebene Punkte geht

Die Coordinaten des Durchschnittspunktes zweier gegebenen Geraden. Bedingung, dass zwei Geraden parallel sind, dass drei Geraden sich in einem Punkte schneiden . . . . . §. 20. Die Gleichung der Geraden, welche durch einen gegebenen Punkt geht und einer gegebenen Geraden parallel ist . . Aufgaben unter Voraussetzung rechtwinkliger Coordinaten : §. 21. Die Gleichung der Geraden, welche durch einen gegebenen Punkt geht und mit der Abscissenaxe einen gegebenen Winkel bildet

18 21

§. 19.

22 22

23

§. 22.

Den Winkel zweier Geraden zu bestimmen. Bedingung, dass zwei Geraden auf einander senkrecht stehen

24

§. 23.

Die Gleichung des von einem gegebenen Punkte auf eine gegebene Gerade gefällten Lothes. Bestimmung des Fusspunktes und der Länge dieses Lothes Entwickelung einiger Formeln für schiefwinklige Coordinaten .

25 27

§. 24.

Drittes Kapitel.

D e r

K r e i s .

§. 25. Die Gleichung des Kreises §. 26. Der Ort aller Punkte, deren Entfernungen von zwei festen Punkten in einem constanten Verhältnisse stehen. Definition harmonischer Punkte

28

30

§. 27.

Bestimmung eines Kreises, welcher drei vorgeschriebenen Bedingungen genügt. Beispiel

32

§. 28.

Die Gleichung der Tangente an einem gegebenen Punkte des Kreises. Zwei verschiedene Ableitungen dieser Gleichung .

32

§. 29.

Combination einer Geraden und eines Kreises. eines Punktes in Beziehnng auf einen Kreis

35

§. 30.

Die Potenz

System von zwei und drei Kreisen. Die Linie gleicher Potenzen. Die drei Linien gleicher Potenzen von je zweien dreier Kreise schneiden sich in einem Punkte . . . . . . .

37

X I

Inhalt« - Verceichnisa. Viertes Kapitel. D i e

E l l i p s e .

§. 31.

Die Gleichung der Ellipse

§. 32.

Construction der Ellipse durch Packte.

Seile

40

Ober der grosseil and kleinen Axe.

Benutzung der Kreise Erzeugung der Ellipse 42

durch Bewegung einer Geraden von constanter Lange . . . §. 33.

Durchmesser der Ellipse

43

§. 34.

Conjugirte Durchmesser.

§. 35.

Bestimmung der Axen aus swei conjugirten Durchmessern. Die

Verschiedene Eigenschaften derselben

44

Gleichung der Ellipse, auf ein System conjugirter Durchmesser bezogen

47

§. 3fi.

Die Gleichung der Tangente an einem Pankte der Ellipse .

§. 37.

Eigenschaften der Tangente

§. 38.

Constructionen conjugirter Durchmesser und der Tangenten

§. 39.

Die BerShrungssehne.

§. 40.

Die Eigenschaften der Brennpunkte

§

Constractionen von Tangente und Normale

59

Flicheninhalt der Ellipse

60

41.

§. 42.

.

49 SO

.

Pol und Polare

52 53 55

.

FBnftes Kapitel. D i e

H y p e r b e l .

§. 43.

Die Gleichung der Hyperbel

§. 44.

Unendliche Wurzeln einer quadratischen Gleichung, directe Be-

6t

§. 45.

Eigenschaften der Asymptoten

stimmung der Asymptoten; Tangenten

63 66

§. 46.

Durchmesser der Hyperbel; conjugirte Hyperbeln

68

§. 47.

Conjngirte Durchmesser; Constructionen

70

§ 48.

Brennpunkte

73

§. 49.

Leitlinien der Ellipse und Hyperbel. Der Ort aller Punkte, für welche die Entfernungen von einem gegebenen Punkte und einer gegebenen Geraden ein constantes Verh<niss haben .

74

Sechstes Kapitel. Die Parabel.

Scheitel- und Polargleichungen der Ellipse, Hyperbel und Parabel.

§. 50.

Die Gleichnng der Parabel.

§. 51.

Secante, Tangente und Normale, Durchmesser der Parabel.

Construction ihrer P u n k t e . . .

76

§. 52.

Umformung der Parabelgleichung.

§. 53.

Die Berflhrungssebne.

§. 54.

Flächeninhalt ron Parabelatücken

82

§. 55.

Scbeitelgleichungen der Ellipse uud Hyperbel

83

§. 56.

Polargleichungen der Ellipse, Hyperbel und Parabel . . . .

85

.

78

Construction der Tangenten

von einem Punkte ausserhalb der Parabel Pol und Polare

80 81

Inhalts - Veneichniss.

XII

Siebentes Kapitel.

Transformation der Coordinaten. Seite

§. 57.

Bestimmung der Aufgabe der Coordinatentransformation

.

86

§. 5 8

Transformation der Coordinaten mit demselben Anfangspunkte

87

Allgemeine Transformation der Coordinaten

90

Anwendungen auf die Lehre vom P u n k t e und der geraden Linie. Las Loth von einem P u n k t e auf eine gerade Linie .

91

59 §. 60.

.

Aehtes Kapitel.

Discussion und Transformation der allgemeinen Gleichung zweiter Ordnung. §.61.

Die Gleichung axt + 2bxg + oy* + 2 0 und < 0

113

§. 67.

Die Annahme ae — i* = 0

116

§. 68.

Anwendung der allgemeinen Theorie auf zwei Beispiele

azen als Coordinatenazen

107 109

.

.

118

Neuntes Kapitel.

Fundainentalsätze aus der Theorie der Transversalen. §. 69.

Bedeutung des Verhältnisses (c

o'b

a yT y r

/c y - ? '

von den Dimensionen:

ist eins dieser Monome eine absolute Zahl,

die keine der Linien-

grössen a, b, c enthält, so sagt man, es habe die Dimension Null. Sind sämmtliche Glieder A, B, C, . . einer Gleichung: A + B + C+D

+ E-\

\-H=Q,

von derselben Ordnung, etwa der nten, oder ist die Gleichung, wie man sich ausdrückt, h o m o g e n , so werden durch die obige Substitution sämmtliche Monome mit X' multiplicirt, und da die rechte Seite = ist,

so kommt man

durch Division

Gleichung wieder zurück.

0

mit X" auf die ursprüngliche

Umgekehrt:

Findet f ü r e i n e b e l i e b i g e L ä n g e n e i n h e i t

zwischen den

Linien a, b, c, . . eine Gleichung von der F o r m : (1)

¿ + £ + C + 0 +

statt, so müssen die Monome A, B,

- + i r = O

C, D,

.. H sämmtlieh von der-

16

§g. 15, 16.

Erstes Kapitel.

selben Dimension, oder die Gleichung muss homogen sein, vorausgesetzt, dass nicht zwischen einigen der Monome noch eine andere Gleichung derselben Form stattfindet. Denn es seien die ersten Glieder A, B, C von derselben Dimension n, und etwa alle übrigen von der Dimension n', so wird durch die Substitution von Xa, Xb, Xc, .. statt a, b, c, . . die Gleichung (1) in die folgende: X'A + X'B + X"CX'D

+ • • • + X'H =

0,

oder in: (2) Ubergehen.

A + B + C+l',~'(D+-

+ n) = ü

Da die Gleichung (2) ebenfalls, und

zwar f ü r jeden

Werth von A richtig sein soll, so findet man, indem man (1) von (2) abzieht: 1 ) ( D + ••• + # ) = (), welche Gleichung filr ein beliebiges X nur richtig sein kann, wenn D-\ beiden:

0

ist,

d. h.

die

Gleichung

(2)

zerfällt

in

die

A + B+C=0, D + - + H = 0; da aber nach der Voraussetzung zwischen den Monomen A, B, ... H n u r die eine Gleichung (1) stattfindet, so ist die Annahme, dass zwei Gruppen von Gliedern in (1) vorkommen, von denen einige von der nten, die andern von der n'ten Dimension sind, unstatthaft. Ebenso beweist m a n , dass in (1) auch nicht drei oder m e h r Gruppen von Gliedern vorkommen k ö n n e n , die von verschiedener Dimension sind; die Gleichung (1) muss also homogen sein. Die eben auseinandergesetzte Bedingung der Honiogeneität giebt ein Mittel zur Controle der R e c h n u n g ; wenn aber die Zahlenwerthe der Linien sich nicht mehr auf eine beliebige, sondern auf eine ganz bestimmte Einheit beziehen, so kann man auf Gleichungen k o m m e n , welche nicht mehr homogen sind. Sind z. B. x u n d y die Coordinaten eines Punktes der Curve in Fig. 13, durch Oh als Längeneinheit gemessen, so findet zwischen ihnen die nicht homogene Gleichung statt (§. 12, b) 2y 5 — x*— 5 = 0, deren drei Glieder 2 y x * , 5 bezüglich von der 3ten, 4ten u n d Oten Dimension sind; man kann die HomogenBität jedoch wieder herstellen. Nennt man die Länge von Oh und die der Goordinaten auf eine b e liebige Einheit bezogen resp. a, X und Y, so sind die vorher mit x

Bestimmung d. Lage

Punkten in ein. Ebene. Princip. d. anal. Geometrie.

17

und y bezeichneten Grössen jetzt — , — ; die Gleichung der Curve verwandelt sich also in: 2 - ^ — ^ — 5 = 0, a ' a *

oder:

2aY'-Xt-5a*

= 0,

und man erhält in beiden Formen homogene Gleichungen. §. 16. E i n t h e i l u n g d e r Curven. Man theilt die Curven in a l g e b r a i s c h e und t r a n s s c e n d e n t e ; eine algebraische Curve ist eine solche, in deren Gleichung die Coordinaten x und y nur den Operationen der Addition, Subtraction, Multiplication, Division und Erhebung zu Potenzen mit rationalen Zahlenexponenten unterworfen sind; jede andere Curve heisst eine transscendente. Von den beiden durch:

dargestellten Curven ist die erste eine algebraische, die zweite eine transscendente. Die algebraischen Curven theilt man in O r d n u n g e n ; hat man in der Gleichung einer algebraischen Curve alle Nenner und Wurzeigrössen fortgeschafft, welche x und y enthalten, so sagt man, die Gleichung und die durch sie dargestellte Curve oder Linie sei von der n t e n O r d n u n g oder vom u t e n G r a d e , wenn das in Bezug auf x und y höchste Glied von der nten Dimension ist. So ist die Curve xy*— ax -f- by = 0, wegen des Gliedes xy*, von der dritten Ordnung; die durch die Gleichungen x*-\-y'—a* = 0, xy — 6 = 0 dargestellten Curven sind von der zweiten Ordnung. Die L i n i e n e r s t e r O r d n u n g sind sämmtlich durch die Gleichung: ax-\-by -\-c — ü dargestellt, wo a, b, c constante, d. h. von x und y unabhängige Grössen sind. Die Linien z w e i t e r O r d n u n g können in ihrer Gleichung ausserdem noch in x x y und y* multiplicirte Glieder enthalten, so dass ihre allgemeinste Gleichung ist: iix'+ejy

+ Ziy'+ox-f

by + c = 0.

Die allgemeinste Gleichung der Linien d r i t t e n G r a d e s ist: j x ' - f Ax'y + ¿ r y ' + % 3 + dx*-J- exy -f fy%-f- ax -f by -f c = 0. J oa c Iii m< ihaI Klcmi'iili'. 2. Aul).

2

IS

§. 17.

Zweites Kapitel.

In den folgenden Abschnitten werden wir uns mit den Linien der beiden ersten Grade beschäftigen. A n m e r k u n g . Eine Curve wird zuweilen durch eine Gleichung zwischen Polarcoordinaten defmirt, d. h. durch eine Gleichung zwischen dem veränderlichen Radius Oa oder r (Fig. 16) und dem Winkel t , den r mit einer festen Geraden Ol bildet, durch welche Gleichung die Länge von r für jeden Werth des Winkels v sich berechnen lässt (Vergl. §. 56).

Zweites Kapitel. Die Linien erster Ordnung. §. 17. L e h r s a t z . D e r g e o m e t r i s c h e O r t a l l e r P u n k t e , deren Coordinaten einer Gleichung ersten Grades gen ü g e n , ist eine g e r a d e Linie. Beweis. Jede Gleichung ersten Grades (erster Ordnung) zwischen x und y lässt sich auf die Form bringen: (1)

ax+by

+ c = U,

wo a, b, c constante Grössen sind, die positiv, negativ oder auch zum Theil gleich Null sein können. Wir betrachten folgende Fälle: I.

Es sei o = 0 ; also (1) von der Form by-\-c = 0, v o r ß aus y = — r ' D a & U I ) d c Constanten sind, so enthält der geob metrische Ort alle Punkte mit gleicher Ordinate, d. h. er ist eine Parallele zur rr-Axe; ist überdies c = 0 , hat man also by = 0, oder y = 0, so stellt er die x-Axe selbst vor (§. 4). II. Ebenso ergiebt sich für 6 = 0 , dass ax-\-c = 0 eine Parallele zur y-Axe, so wie x = 0 die y-Axe selbst darstellt. III. Es seien a und b von Null verschieden; man denke sich drei verschiedene Lösungen von (1) berechnet, wie es z. B. in §. 12 für die Gleichung (a) geschehen ist; es seien dieselben x, y; af, y' und x", y". Diese Lösungen müssen der Gleichung (1) genügen, also muss sein:

ax + fiy-f-c = ü,

ax'+ by'-{- c = 0,

a j " + by"-\- c = (I.

19

Die Linien e n t e r Ordnung.

Zieht man die erste Gleichung von der zweiten und dritten ab, so erhält man: a (x>~ x) + b(y'-y)

= 0,

a (x"~

° b '

y"~y xf'-x

x) + b (y"-

y) = 0 ,

woraus:

y'—y _

af—x

'

__

.

a

b '

y'—y y"—y 5 — = —2x1— x x"— x dies ist aber (§. 6) die Bedingung, damit (x, y), {xf, y*), ( x " , y") drei Punkte einer Geraden darstellen; irgend drei Punkte also, welche der Gleichung (1) genügen, liegen in einer Geraden, und da schon zwei Punkte eine Gerade vollkommen bestimmen, so ist hiermit der Lehrsatz bewiesen. , also:

IV. Ist c = 0 , so genügt der Gleichung ax-\-by = 0 , die Lösung x = 0, y = 0 ; die Gleichung ax-\-by = 0 stellt als eine durch den Anfangspunkt gehende Gerade dar. Wenn c nicht = 0 , so schneidet die Gerade (1) die Axen; es sei | die Abscisse des Durchschnittes mit der x-Xxe (die Ordinate desselben ist natürlich = 0) und t] die Ordinate des Durchschnittes mit der y-Axe, dessen Abscisse = 0, so müssen die Werthepaare (|, 0), (0, rf) der Gleichung (1) genügen; es muss also sein: a | + c = 0,

by+c

0,

=

woraus: c a '

c

^

6 '

a

C

£ '

b

° t)

Setzt man diese Werthe von a und b in (1) ein, so erhält man:

Die Gleichung (2) enthält nur zwei Constanten rj, während (1) scheinbar deren drei a, b, r enthält, allein da man mit einer derselben immer die Gleichung dividiren kann, so gehen nur i h r e V e r h ä l t n i s s e in die Gleichung (1) ein. Löst man z. B. (1) nach y auf und schreibt:

20

§§. 17, 18.

Zweites Kapitel.

so kommt:

y = Ix - f m,

(3)

welche häufig gebrauchte Gleichung nur zwei Constanten l un-cb>

ca'-ac'

ab'-ba'+t>

ab'—ba'

_ '

ab'c"— a'bc"-\- a'b"c — a"b'c + a"bc'— ab"c' =

diese Bedingung wird also erfüllt, w e n n d i e G e r a d e n ( 1 ) , (7) d u r c h e i n e n P u n k t §.20. welche

Aufgabe.

durch

y = lx-{-m

Auflösung.

(2),

gehen.

D i e G l e i c h u n g d e r G e r a d e n zu f i n d e n ,

d e n P u n k t (¡r*, y')

parallel

0;

geht

und

der

Geraden

ist.

Es sei y — tx -{- m' die Gleichung der gesuch-

D i « Linien enter Ordnung. teil G e r a d e n , dass t = hat

dann

23

erfordert der Parallelismus

/ (§. 19, Form. 6 ) ; ferner muss y' =

man m' — tf— taf =

demnach y =

y1— U f ;

die gesuchte

Ix -f- m, sein, also

Gleichung

wird

oder:

lx-\-tf—laf,

y—y1 — Anm.

mit y = Vjf+m'

l{x—xT).

Die Gleichung der Geraden, welche durch den Anfangs-

punkt geht und mit y =

parallel ist, ist demnach y =

lx-\-m

Ix.

Die folgenden Aufgaben gestalten sich fUr rechtwinklige Axen einfacher als filr schiefwinklige, und sollen deshalb zuerst in Bezug auf ein rechtwinkliges System gelöst werden. §. 21. zug

Aufgabe.

Die Gleichung

e i n e r G e r a d e n in B e -

auf ein r e c h t w i n k l i g e s S y s t e m zu b e s t i m m e n ,

d u r c h den P u n k t ( , einen g e g e b e n e n Auflösung.

y')

g e h t , und mit der

Winkel Es

welche

Abscissenaxe

bildet.

sei v> der Winkel

zwischen

der

positiven

Riehtung der ¡r-Axe, und der auf der positiven Seite der y liegenden Hälfte der Geraden (Fig. 17). a die Gerade aX sitiven =

Drehung

180 4 -)-tt>.

von b oder V

von

aX

nach

„

r

u> und

ab =

oder

so ist die Grösse der povon

Demnach hat man, j e nachdem x,

nach

aX

ab'

y die Coordinaten

sind:

filr den Punkt b (vgl. §. 8 ) : „

Zieht man durch ( x t f )

parallel der -f- x-Axe,

b':

x—af

=

ab cos tc, y—y'

=

absintc,

x—x'

=

Ö 6 ' c o s ( 1 8 0 e - f tp) =

— ö^cosw,

y—tf

=

ÖÄ* s i n ( 1 8 0 ° + t r ) =

— öF'sinw,

also in beiden Fällen:

— — x—oe

=

tangtr,

die gesuchte Gleichung ist demnach: (1)

y ~ tf =

t a n g w ( a ; — x').

Liegt der Punkt ( « ' , t f ) oder a auf der Ordinatenaxe, so ist

=

0,

und ( 1 ) verwandelt sich in: (2)

y =

tangio-a-f if.

Vergleicht man ( 2 ) mit der Gleichung y =

Ix-f

m, so ergiebt

sich die Bedeutung der Constanten / und m bei einem rechtwinkligen Systeme; es ist nämlich l d i e T a n g e n t e den

die

Richtung

der

positiven

oberen Hälfte der Geraden

bildet,

ihres Durchschnittes mit der

des

Winkels»,

Abscissenaxe und

y-Axc.

m

die

mit

der

Ordinate

§?. 22, 23.

24

Zweites Kapitel.

Man bat bekanntlich: . c o s » = 4-

, V'l+tangic* '

.

ist also: so kommt:

1

sin IP =

. +

tangtr

—

^1 + tangw'

1

1

tangir = l,

costp = + — — = , i'i+/•'

sintc = '

•

- i T ^

1

das Vorzeichen muss für cosinus und sinus gleich und zwar so gewählt werden, dass sintc positiv ausfällt, weil tc ein Winkel ist, der 180* nicht überschreitet. §. 22. Aufgabe. Die G l e i c h u n g e n z w e i e r G e r a d e n in r e c h t w i n k l i g e n C o o r d i n a t e n s e i e n y=lx-\-m, y=Vx-{-m!; d e n W i n k e l zu b e s t i m m e n , u n t e r w e l c h e m s i e s i c h s chneiden. A u f l ö s u n g . Es seien tc und to' die in §. 21 genau definirten Winkel, welche die Geraden mit der x - A x e bilden, also tangte = l, tangte' = F. Es sei ferner wie in Fig. 18 t c > t c ' , dann schliessen zwei durch den Anfangspunkt O mit den oberen Theilen der Geraden parallel gezogene Linien einen Winkel tc—tc' ein, der dem Winkel u zwischen den Geraden gleich ist; also hat man: (1)

taug« = tang(w — to') =

tangte — taugte' 1-f-tangtotangto'

l — /' 1 + //'

Wäre t c ' > t c , so hätte man tangu = tang(to'— tc) =

P-l 1+«"

die rechte Seite von (1) wäre in diesem Falle = — t a n g u , oder = tang«', wenn «' der Nebenwinkel von « ist; daher ist sie unter allen Umstanden die Tangente eines der Winkel, welche die Geraden bilden. S i n d d i e G e r a d e n p a r a l l e l , so ist u = 0 , also tangn = 0, woraus / = / ' (§. 19, Anm. 1); s t e h e n d i e G e r a d e n auf e i n a n d e r s e n k r e c h t , so muss tangu unendlich werden, also ist dann: (2) 1 + M ' = 0. Sind die Gleichungen der Geraden: (3) ax + by + c = 0, a'x - f b'y - f c' = 0, CL Q} so ist in (1) fUr l und V bezüglich — — y zu setzen,

also:

v(4)

'

tangu

a , a' b~+~Y a'b—ab' -.— = — . , , , . . aa' aa'-{-bb' + W

Die Linien enter Ordnung.

25

woraus d i e B e d i n g u n g d e s P a r a l l e l i s m u s a'b—aV = 0 (§. 19), und d i e d e r P e r p e n d i c u l a r i t ä t : aaf

(5)

66' = 0 folgen.

A n m . Um sinu und cosu zu berechnen, bilden wir zuvor 1 - f t a n g u * ( § . 2 1 ) ; man hat: 11 + a n g « ' -_ + ttangu

( M ' + W ,y + i a '^b - a b T . ( a a

+

b

nach einer häufig gebrauchten Transformationsforniel, deren Richtigkeit sich leicht verificiren lässt, ist: (6)

(oo'-f 6 6 ' ) ' + (a'b - ab1)' = ( o ' + 6') ( a " + 6 " ) ;

hieraus folgt: (7) V

7

rnsu = 4—

.

aa'+66' . a'b—ab' ' sin« = -fyär+b* 6" ' - /a'H-6' /

«

I

N , / _ F I

I

LI«

'

— -

6"

1

§ . 2 3 . A u f g a b e . Die C o o r d i n a t e l i (x', y ) e i n e s P u n k t e s u n d die G l e i c h u n g e i n e r G e r a d e n : (1)

ax + by + c = ()

s i n d f t l r ein r e c h t w i n k l i g e s S y s t e m g e g e b e n ; m a n s o l l d i e G l e i c h u n g d e s v o n (af, y') a u f (1) g e f ä l l t e n L o t h e s , d e n Fusspunkt und die L ä n g e d e s s e l b e n bestimmen. A u f l ö s u n g . Es sei y = lx-\-m oder Ix— y -\-m = 0, die Gleichung der gesuchten Geraden; weil sie durch {ad, y') geht, muss sein: (2) Ix'-y'-i-m = 0, und weil sie auf (1) senkrecht steht (§. 22, 5):

woraus:

,

(3)

b i = —a ,

al— 6 = 0,

J

und:

b

, m = y'

,, .

die G l e i c h u n g d e r G e r a d e n ist also: u - - — x 4-v * a a oder eleganter:

a) w

a

b , a x';

~

b

x,

y-y' b

Die Coordinaten des Fusspunktes ergeben sich durch Auflösung

26

§§. 23, 24.

der Gleichungen

(1)

und

(4).

gleichen Brüche in (4) ~ (5)

Zweites Kapitel. Setzt man den Werth der beiden

t, so kommt:

x =

ai,

y = y'-f- bt;

substituirt man diese Wertlie in (1), so kommt: ax'+ woraus:

by'+c t =

+ e(a''+b'')

—

ax'A-bu'4r - ~ a -)- "

= c

also werden zufolge (5) die C o o r d i n a t e n

(b

)

„ a j ' + V + c x = x — a -,

().

; des

Fusspunktes:

03^4-by'-\-c y - y - b — j — ,

Die L ä n g e P d e s L o t h e s von (x',

y') auf (1) gelallt, ist die

Entfernung des Fusspunktes (x, y) und des Punktes (x', P1 =

(x — x ' y + ( y - y ' ) \

woraus P* =

( o ' + 6')*', ti) { )

nun

ist

x — x' = at,

y');

y — y' =

also bt,

oder: d -

ax'+by'+c l / V + F

_ '

wo das Vorzeichen der Wurzel als positiv anzunehmen ist *).

*) Die Formel (7) des §. 23 veranlasst uns eine Betrachtung hier einzuschalten, die öfters Anwendung findet. Denkt man sich für sKmmtlichc Punkte einer Ebene den Werth von ax-\-by-\-c berechnet, so wird derselbe für alle Punkte e i n e r Geraden G verschwinden, während er für alle anderen Punkte der Ebene positiv oder negativ wird. Wir wollen nun nachweisen, dass die Gerade O die Punkte der Ebene, für welche das eine stattfindet, von denen trennt, für welche das Gegentheil eintritt. In der T h a t , es sei h ein Punkt der Geraden O, x', y' seine Coordinaten. Denken wir uns durch h eine Parallele zur x-Axe, es sei (x", y') ein Punkt k derselben, der natürlich mit h gleiche Ordinate bat. Ist nun, um etwas festzustellen, a positiv, so wird ax" + by' + e ^ ax' + by' + e sein, jenachdem x" rj; x' ist; da aber ax'-\-by'-\-c = 0 , so ¡Bt ax"-f-by' + c positiv oder negativ, je nachdem der Punkt £ der Parallelen von h ans auf der Seite der wachsenden oder abnehmenden x liegt. Diese Betrachtungen lassen sich für jeden Punkt h von G anstellen. Für aBmmtliche Punkte der Ebene, die von G aus auf der Seite der wachsenden Abscissen liegen, wird o s + i y + c positiv, für G selbst gleich Null, für die anderen negativ. Ist a negativ, so bestimmt sich, um kurz zu sprechen, die positive und negative Region der Ebene

Die LioieD erster Ordnung. §. 2 4 .

Entwickelung

winklige Coordinaten. werden

in

Kap. 7

winkliges S y s t e m

einiger

Formeln

für

schief-

Die in §§. 2 1 — 2 3 behandelten Aufgaben

allgemein

gelöst

27

und

werden,

symmetrisch doch

mögen

ein

schief-

theils der

für

l'ebung

w e g e n , theils fllr den G e b r a u c h in den nächsten Abschnitten einige F o r m e l n analog wie in den v o r h e r g e h e n d e n —

In

dem F o l g e n d e n

ist

q> der W i n k e l

§§. abgeleitet w e r d e n . zwischen

den

positiven

F o r m e l 4 ergiebt sich ähnlich wie in §. 2 1

die Glei-

Halbaxen. Aus § . 1 1

c h u n g der G e r a d e n , die durch ( x y ' ) in §. 2 1

g e n a u definirten W i n k e l to (1)

u —«/' =

w

Ist x' =

3

( 2 )' v

demnach

bedeutet

in

bildet:

- —

— «0-

sin (tp—tc)

9

0 , so wird diese

geht und mit der at-Axe den

'

Gleichung:

9

y =

sin i c —.— sin ((p — w)

y =

lx-\-m, m

, 1 9y, ; die Ordinate

des

Durch-

s c h n i t t e s dieser Geraden m i t der y - A x e und zwischen l und w hat m a n die G l e i c h l i n g : (3)

7 =

. f " » • sin (

=

woraus:

(4)

tangtp =

Sind: (5) zwei g e r a d e L i n i e n ,

y =

te-f

sintc,

(1-|- /cos)sintp,

m,

für w e l c h e to,

, *siny 1 -f- icosqp

y =

Fx +

m'

tc' und u dieselbe

Bedeutung

h a b e n wie in §. 2 2 , so ist der W i n k e l u, den die Geraden durch die Gleichung gerade umgekehrt. rflck (§. 69).

bilden,

gegeben:

Wir kommen auf diese Betrachtangen noch einmal »u-

Das Resultat ( § . 2 3 , 7) kann man demnach jetzt so aussprechen: Der Ausdruck für P ist positiv oder negativ, j e nachdem (x\ y') in der positiven oder negativen Region der Ebene liegt; sein Zahlenwerth ist dem von ( x ' , y') auf a z - ( - J j / + c = 0 gefällten Lothe gleich.

28

I- 25.

D r i t t e s Kapitel.

tang to — lang w' tangH = -T—, 7• 1 + t a n g t c tangir Nun ist (4): tangw = also:

tangte

teintf

,

. , • — , 1-f/cosip taugte

tangw' = -

,

/sin« 1+

fcogy

-

l's'nup

— l-ffcosy

1+

Z'sina» /,cosy

(/—r>siii

+ IV

Die Geraden (5) sind demnach parallel, wenn l— /' = 0 (§. 19) und sie stehen auf einander senkrecht, wenn: (7) l + ( / + P ) c o s y + //' = I). Die übrigen Aufgaben, welche sich hier noch anschliessen, sehe man weiter unten Kap. 7.

Drittes Kapitel. D e r

K r e i s .

§. 25. G l e i c h u n g d e s K r e i s e s . Der Ort aller Punkte einer Ebene, welche von einem gegebenen Punkte derselben Ebene constante Entfernung haben, ist ein K r e i s , der gegebene Punkt heisst der M i t t e l p u n k t , die constanle Entfernung der R a d i u s desselben. A u f g a b e . Die G l e i c h u n g e i n e s K r e i s e s a u f z u s t e l l e n , d e r m i t d e m R a d i u s r u m d e n M i t t e l p u n k t (p, q) b e s c h r i e b e n ist. Sind die Coordinaten schiefwinklige und (x, y) irgend ein Punkt des Kreises, so inuss sein (§. 11, Formelt)):

29

Der Kreis.

(1)

+ (lf-q)t=

(x-p)'+2(x-p)(y-q)cos -J- ay'-J- bx -(- cy -f- d = 0

einen Kreis darstellt. Als Anwendung diene folgende §.26.

Aufgabe.

D e n O r t a l l e r P u n k t e u zu b e s t i m m e n ,

für welche die E n t f e r n u n g e n

von z w e i f e s t e n P u n k t e n

a

u n d b in e i n e m c o n s t a n t e n V e r h ä l t n i s s e s t e h e n . (Fig. 19.) Auflösung.

. ua

Es sei

oder Linien vorstellen sollen,

m

— — , wo m und n gegebene Zahlen und m >

u, oder wenigstens nicht

kleiner; die Gerade ab sei die Abseissenaxe, a der Anfangspunkt, die Abscisse von b = ß,

die Coordinaten von u seien x und y.

Dann ist:

ua = }/x>+y\

ub =

if(x-ß)t+st,

also: und nach Wegsehaffung der Wurzel und des Nenners:

(1)

{ni'-n,)(x*-\-y*)-2m,ßx+m>ß'=

0;

dies ist nach §. 25 die Gleichung eines Kreises; also liegen Punkte u, Kreise.

(2) w

alle

welche der gegebenen Bedingung geniigen, auf einem

Man kann statt (1) schreiben:

i x - - 5 2, - Y + V2 \ »i -»vti' (m*—ri1)1

in1—

ri'

-

"(w'-n1)"

der Mittelpunkt des Kreises liegt also auf der Abseissenaxe ab,

iu^ß Abscisse ist = „ , . der Radius = m—n

seine

muß „ ,• l'ni die Durclisehnitte m—n

des Kreises und der Abseissenaxe zu linden, muss man die Glei-

31

Der Kreil.

chung (2) und die Gleichung der Abscissenaxe, d. h. y = 0 combiniren, und man erhält x

" ^, = + , ; woraus zwei m—n —m—n

Werthe des x sich ergeben: x

i

m%ß mnß —^Tri—~r m—n tn—n

=

mnß _ mß _ m'— n* m-\-n~

m'ß m'—n'

_ 1 —

mß = ——~ tn—n =

o < n o P-r~Z—~P> m—n

.

n

ß

m-fn

Weil m — n positiv ist, so ist offenbar xt >• xt; xt ist die Abscisse eines Durchschnittes ©", der zwischen a und b, xt die Abscisse eines Durchschnittes t f , der Uber b hinaus liegt. Ferner ist: , mß t>'a=x,———, 1 m—n m

„

ß

mß v'b =—m—n „.

nß t>'a m a ß = — — , woraus —— = — ; m—n v'b n mß

a

nß

v"a

m

Bestimmt man also innerhalb und auf der Verlängerung von ab zwei Punkte t>" und t', deren Entfernungen von a und von b sich für einen jeden wie m zu n verhalten, und beschreibt Uber r ' c " als Durchmesser einen Kreis, so wird Tür einen jeden Punkt u desselben ua zu u6 sich wie m zu n verhalten. — Weil —tt- = —ttt-i v'b t>"b so sind v"; a und b harmonische Punkte •). Anm. Ist m — n , so verwandelt sich die Gleichung (1) in *) Ueber die Theorie der harmonischen Funkte nnd Geraden,

welche

jetzt in den vollständigeren Lehrbüchern der Planimetrie nicht mehr übergangen wird, siehe K a p . 9.

Hier bemerken wir nur, dass vier auf einan-

der folgende P u n k t e a, b, e, d harmonische heissen, wenn I. woraus II.

be

=

de

ad

=

cd

a und c so wie b und d heissen conjugirte Punkte.

Nennt mau m die Mitte von ae, so ergiebt sieb, dass b und d auf derselben Seite von m so liegen, dass:

III. a n ' = cm* = bm.dm, nnd ist n die Mitte von bd, n so d a s s :

so liegen a und c auf derselben Seite von

9 IV.

bn = dn

9 ean.cn;

von den vier Gleichungen I—IV ist jede eine Folge der übrigen.

§§. 27, 28. Drittes Kapitel.

32 — im'ßx +mtß*

= 0 , oder x =

£

d . h . der Ort aller Punkte

ua ub

u, fiir welche — = 1, ist das Loth, welches ab halbirt. §. 27. B e s t i m m u n g e i n e s K r e i s e s . Da die Gleichung des Kreises drei Constanten enthält, den Radius r und die Mittelpunkts-Coordinaten p, q, oder unter der Form o x ' - f oy*-\- bx - | - c y ^ - d = 0, die Verhältnisse der Grössen a, b, c, d, so kann man im Allgemeinen einen Kreis bestimmen, der drei vorgeschriebenen Bedingungen genügt: Soll er z. B. durch {od, y'), (x", y"),

(x'", y'") gehen, so muss sein: (x'-py+W-qy-r^ü, oder:

x"+y"

= '2pxr -f- 2qy'-{- r*— p*— q1,

ebenso: x " 1 + y"'' = 2 p x " + 2qy " + r ' - p ' - q\

y"" = 2px"'+ 2qy"'+ r'— p'— q\ Aus diesen Gleichungen kann man p , q, r * — p ' — q a l s o auch r berechnen; man erhält diese Grössen als Brüche mit dem gemeinschaftlichen Nenner:

x"y"' - x' V + ¿"y'— x'f'+ x'y"— Damit p, q, r endliche Werthe bekommen, darf dieser Nenner nicht = 0 werden, d . h . die gegebenen Punkte dürfen nicht in einer Geraden liegen (§. 6, Formel 4). § . 2 8 . A u f g a b e . Die G l e i c h u n g d e r T a n g e n t e an e i n e m P u n k t e (x', y') d e s K r e i s e s : (1)

(x-p)'+(j,-9)'-r' = 0

aufzustellen. In Folge der aus den Elementen bekannten Eigenschaft der Tangente eines Kreises kommt die Aufgabe darauf zurück, durch den Punkt (x*, y') eine Gerade zu legen, welche auf der durch (x', y') und den Mittelpunkt (p, q) gehenden Geraden senkrecht sei; wir wollen jedoch die Kenntniss dieser Eigenschaft nicht voraussetzen und die Gleichung der Tangente nach einer für alle algebraischen Curven anwendbaren Methode aufstellen. — Denkt man sich durch einen festen Punkt (x*, y') auf einer Curve und durch einen beweglichen g auf derselben eine unendliche Gerade G gezogen, und lässt man den

33

Der Kreta.

Punkt g dem Punkte y1) bis zum Zusammenfallen nahe rOcken, so nennt man die Gerade G in der Gränzlage, welche sie alsdann erreicht, die T a n g e n t e der Curve in (xf, y1)Die Gleichung i r g e n d e i n e r durch {xf, y') gehenden Geraden ist (§. 18, Anm. 1) y — tf = l(x—3f), oder symmetrischer: x

m (i)

~x> _ k~~

y-y". i '

es handelt sich jetzt darum, k und l, oder genauer das Verhttltniss ~

so zu bestimmen, dass (2) die Tangente "werde.

K Die Durchschnitte der Geraden (2) und des Kreises findet man durch Auflösung von (1) und ( 2 ) ; wir setzen zu dem Ende die gleichen Brüche in (2) gleich e, woraus: (3)

y=y'+/i,

x = af+h,

und durch Substitution dieser Werthe in ( 1 ) : (4)

( * • + ! • ) « ' + 2s\k(x'-p)

+ lW-

q)\

Weil nach der Voraussetzung (x 1 , y') ein Punkt des Kreises (1) ist, hat man:

(5)

(x>-p)'+(y'-qy-r'

= 0;

dadurch verwandelt sich (4) i n : (6)

* |f ( * • + P) + 2k(x'~

p) - f 2/(y'— q)\ = 0.

Diese Gleichung wird erfüllt, wenn f = 0, und wenn: 4

= -

+

W -

ist; der erste Werth von t in (3) eingesetzt, giebt x = x', y = y', d. h. einer der Durchschnitte von (1) und (2) ist der gegebene Punkt selbst. Substituirt man in (3) den zweiten Werth von i , so erhält man die Coordinaten eines zweiten Durchschnittspunktes. Soll dieser mit (x', y') zusammenfallen, so muss auch der zweite Werth von t = 0 sein, d. h.: k{af-p)

+ W-q)=Q,

oder:

Setzt man dies in (2) oder y — y1 — ~(x

K

J u;t r Ii ¡ i h m h ;i I K h ' i i n ' u i c .

'i. Aull.

±

«

==

y— q

— x') ein, so erhält man ^

28, 29.

34

Dritte« Kapitel.

die G l e i c h u n g d e r T a n g e n t e : (7)

=

Die Gleichung der Geraden, welche durch den Mittelpunkt (p, q) und den Berührungspunkt (txf, i f ) geht und in welcher der Radius liegt, ist (§. 18, Form. 5 ) :

(8)

y-y>

=

ip±(x-3>).

x—p

für (7) und (8) ist die Bedingung erfüllt, in Folge deren die durch diese Gleichungen dargestellten Linien senkrecht stehen (§. 22, Form. 2), nämlich:

y'-q

x'—p

Die Gleichung der Tangente (7) lässt sich noch transfonniren; schreibt man y — q—(y*—q) statt y — y' und x— p — (x'—p) statt x — x' und schafft den Nenner fort, so kommt: (y • - 9) W-?) - (y - « ) ' + ( * - p) ( * ' - P) - ( * » - PY = o, oder mit Berücksichtigung von (5):

(9)

(x-p)(x'-p)+(y-q)(y'-q)-r'

= 0.

Dies ist die G l e i c h u n g d e r T a n g e n t e in i h r e r e i n f a c h s t e n Form.

Ist p = 0, q = 0, also die Gleichung des Kreises:

x%+?

(10)

= r\

so wird die G l e i c h u n g d e r T a n g e n t e :

(11)

xxf+yy'

= r\

A n m . Eine andere weniger allgemeine Ableitung der Gleichung der Tangente, die sich aber durch ihre Leichtigkeit empfiehlt und auch bei einigen anderen Curven gebraucht werden kann, ist folgende. Die Gleichung einer durch ( x y ' ) und (x", y") gehenden Geraden ist:

(12)

y-rf

= ^ - { x - x < ) .

Liegen beide Punkte auf dem Kreise (10), so muss man haben: x"+y"

= r',

:r"'+y"':=r^

woraus: 1

*

9

= 0

also verwandelt sich (12) in:

oder:

J^ZüL = _

x — x'

y

+y

,

Dar Rr«!i.

(13)

35

=

dies ist die G l e i c h u n g e i n e r K r e i s - S e c a n t e ; damit sie die Gleichung einer Tangente werde, muss man ix", y") mit (x1, tf) zusammenfallen lassen: dadurch verwandeln sich 3?'-\-nf und bezüglich in lai und 1y', also (13) in: y-y1

=

— y(x

— af),

oder:

yy'-y',+

xxf—x"

= 0,

welche Gleichung wegen x " - f - y " = r* auf (11) zurückkommt. Die analytisch-geometrische Lösung der Aufgabe, von einem Punkte ausserhalb Tangenten an den Kreis zu ziehen, Ubergehen wir, weil das allgemeinere Problem (für die Ellipse) im nächsten Kapitel behandelt wird (§§. 38, 39). § . 2 9 . C o m b i n a t i o n e i n e r Geraden und e i n e s K r e i s e s . In dem vorigen Paragraphen haben wir gesehen, dass die Coordinaten des Durchschnittes des Kreises: (1

)

(

X

_p)'

+ (

y_?)'_r> = 0

mit der durch i r g e n d einen Punkt (xf, y') gezogenen Geraden: (2)

oder:

vermittelst der Formeln: (3) x = at+k,

(2*)

k(y-y')-l(x-x>)

y=

=

0

y'+U

gegeben sind, wo t eine Wurzel der quadratischen Gleichung: (4)

'(k>+l')+2e[k(x>-p)

f

+

l(y>-q)\

+ (x'-p)i+(y'-9)'-r' = 0 bedeutet. Grades:

Nun hat bekanntlich die allgemeine Gleichung zweiten t'L-{-2iM-\-N — 0

,. beiden ... w . -M+yM'-LN 1L die wurzeln , -M-yM'-LN -p , welche Li MJ reell und ungleich, reell und gleich, oder imaginär sind, jenachdeni 1W—LN > 0 , = 0 , oder < 0 ist. Also haben (1) und (2) zwei reelle und verschiedene, zwei reelle aber zusammenfallende, oder par keine reellen Durclisclinittspunkte, jcnachdein: 3*

§$. 39, 30. Drittes Kapitel.

36

(5) [k(x'-p)+l(y'-q)\>-(k>+r){(X'-py+(y'-qy-r'\ ist. Nach §. 2 2 , Form. 6 kann dafür:

man (5) transformiren und hat

( * • + D r f - { * ( * » - q) - l(x'~

(6)

g 0

p)J» |

0,

oder, weil man jede Ungleichheit mit einer positiven Grösse wie A ' - H * dividiren darf:

m l')

rr2

k

t

Nach §. 23, Form. 7 ist

, '+(y'-q)-l^-P)V r

^u.

W - t i - ' V - P W

=

r,

d. h.

« -|-i gleich dem Quadrate des vom Punkte (p, q) oder dem Mittelpunkte auf die Gerade (2) gefällten Lothes; die Gerade (2) und der Kreis (1) haben also zwei verschiedene, zwei zusammenfallende oder gar keine reellen Durchschnittspunkte, mit anderen Worten, die Gerade ist eine Secante, eine Tangente, oder eine den Kreis gar nicht schneidende Linie, je nachdem der Radius grösser, gleich oder kleiner ist, als das vom Mittelpunkte auf die Gerade gefällte Loth. Die Interpretation der Hilfsgrössc t in (3) fühl t zu einem anderen Satze. Aus (3) folgt:

(x-x'y+iy-y'f

=

also ist f j / f t ' 4 - ' ' gleich plus oder minus der Entfernung eines Punktes ( x , y) der Geraden (2) vom festen Punkte (x1, y'). Für welche Punkte der Geraden das eine oder andere Zeichen gilt, ist hier gleichgültig, allein man sieht leicht, dass für die beiden unendlichen Hälften der Geraden (2), welche der auf ihr liegende Punkt ( x ' , y') bestimmt, entgegengesetzte Zeichen gelten; denn für die eine Hälfte wird x—x' positiv, für die andere negativ sein, dasselbe gilt also auch zufolge (3) für kt, und demnach für t yV-f-1'. Setzt man: tV¥+V

= g, *

also:

>=

Q

yV+r

,

so verwandelt sich (4) in: (8)

f + j ^ w - r i + w - M

Der Krell.

37

Nennt man tf, Q" die beiden Wurzeln dieser quadratischen Gleichung, so kommt:

(9)

W

=

(x>-py+(y'-qy-r\

Da die verschiedenen durch (x', y1) gehenden Geraden (2) sich nur durch den Werth unterscheiden, welchen das Verhältniss

hat,

und in (9) k und l nicht vorkommen, so bleibt (/ß" für alle durch (x1, yO gehenden Geraden constant; wir haben also den Satz: Z i e h t man d u r c h e i n e n f e s t e n P u n k t u (Fig. 20) m e h r e r e G e r a d e , von d e n e n j e d e den K r e i s in z w e i P u n k t e n a, ß; a', ß u. s. w. t r i f f t , so sind die P r o d u c t e d e r E n t f e r n u n g e n ua.uß; ua'.ußf u. s. w. e i n a n d e r g l e i c h . — Zu diesen Producten gehört fUr einen äusseren Punkt u das Quadrat der von u an den Kreis gelegten Tangente u a " * ; für einen inneren Punkt u das Quadrat u a " ' der halben Sehne a " ( F , welche auf dem durch u gehenden Durchmesser senkrecht steht, und die kleinste von allen durch ti gezogenen Sehnen ist. Wir nennen, nach S t e i n e r , dies constante Product mit dem -f- oder — Zeichen versehen, je nachdem (x'} y') oder der feste Punkt u ausserhalb oder zwischen den Durchschnittspunkten liegt, die P o t e n z des Punktes u in Bezug auf den Kreis; die rechte Seite in (9) ist ihr analytischer Ausdruck. Ist 0 der Mittelpunkt des Kreises, so ist nach (9) die Potenz des Punktes u gleich Ou — r ' ; sie ist also positiv für Punkte ausserhalb des Kreises, = 0 für Punkte der Kreislinie, negativ für Punkte innerhalb des Kreises, was mit dem Obigen übereinstimmt. §. 30. System gleicher Potenzen. Sind: (1)

( x

(2)

(

von

_p)' x

-

P

zwei

+

0

,_

und

9 )

drei

-_r«

= 0

Kreisen,

Linie

,

r + ( y - q y - r " = 0,

die Gleichungen zweier Kreise, so werden für die Coordinaten ihrer Durchschnittspunkte b e i d e G l e i c h u n g e n , also auch irgend eine Folgerung aus ihnen gültig sein (Vergl. §. 14). Zieht man (1) und (2) von einander ab, so erhält man eine Gleichung erster Ordnung, welcher demnach die Schnittpunkte beider Kreise genügen:

(3)

2 (P'-P)x

+ 2 (q>- q)y +/>'+

r'-

r " ) = 0.

§. 30. Drittes Kapitel.

38

Umgekehrt jedes Wertbepaar von x und y, das den Gleichungen (1) und (3) genügt, wird auch der Gleichung (2) genügen, weil (2) eine Folgerung aus (1) und (3) ist. Da (3) als Gleichung erster Ordnung die Gleichung einer Geraden ist, so gehen also die beiden Kreise (1) und (2) und die Gerade (3) durch dieselben Punkte, d. h. wenn (1) und (2) sich schneiden, so ist (3) die Gleichung der gemeinschaftlichen Sehne. Man Uberzeugt sich leicht, dass (3) und die Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte, nämlich: (4) ( q > - q ) x - ( p ' - p ) y + p'q-pq'= 0, auf einander senkrecht stehen. Berühren sich die beiden Kreise, oder fallen die Schnittpunkte in einen zusammen, so genügen die Coordinaten desselben immer noch der Gleichung (3), und weil (3) auf der Centrale (4) senkrecht steht, so ist (3) die Gleichung der gemeinschaftlichen Tangente. Es fragt sich nun, welches die Bedeutung von (3) ist, wenn die Kreise (1) und (2) sich nicht schneiden, denn offenbar ist (3) unter allen Umständen eine construirbare gerade Linie. Nach §. 29 ist die Potenz irgend eines Punktes ( x , y) in Bezug auf den Kreis (1) gleich (x — p)'-\-(y — q)*— r", und ähnlich für den Kreis (2). Soll nun ein Punkt (x, y) in Bezug auf beide Kreise g l e i c h e P o t e n z haben, so muss sein: ( * - p ) » + (y -

q

y - r ' - {(x - * > ' ) ' + (y-q'Y-r"\

= 0,

d. h. da diese Gleichung mit (3) Ubereinstimmt, der Punkt (x, y) muss auf der Geraden (3) liegen und umgekehrt, jeder Punkt dieser Geraden hat die verlangte Eigenschaft. Also: I. D e r O r t a l l e r P u n k t e , w e l c h e in B e z u g a u f z w e i Kreise gleiche P o t e n z e n h a b e n , ist eine G e r a d e , die auf der C e n t r a l e s e n k r e c h t steht; s c h n e i d e n sich die b e i d e n K r e i s e , so i s t d i e L i n i e g l e i c h e r P o t e n z e n (zuweilen R a d i c a l a x e genannt) d i e g e m e i n s c h a f t l i c h e S e h n e , b e r ü h r e n sie s i c h , so i s t sie d i e g e m e i n s c h a f t l i c h e T a n gente. Sucht man die Coordinaten der Durchschnittspunkte von (1) und (2), so werden dieselben für den Fall, dass die Kreise sich nicht schneiden, imaginär; genügen aber natürlich noch der Gleichung (3), weil sie (1) und (2) befriedigen; man sagt deshalb auch, die Kreise schneiden sich in z w e i i m a g i n ä r e n P u n k t e n , fiir welche freilich eine geometrische Darstellung nicht möglich ist. Die Gerade (3)

Der Krei*.

39

heisst daher in diesem Falle eine i m a g i n ä r e oder i d e a l e Secante beider Kreise. Da die Potenz eines Äusseren Punktes in Bezug auf einen Kreis das Quadrat der von dem Punkte an den Kreis gelegten Tangente ist, so folgt daraus, dass die T a n g e n t e n , w e l c h e von e i n e m P u n k t e der L i n i e g l e i c h e r P o t e n z e n an zwei K r e i s e g e l e g t s i n d , g l e i c h sein m ü s s e n . Es sei die Gleichung eines dritten Kreises: (5)

( x - p " ) ' + ( y - i " ) , - » J , , = 0;

bezeichnen wir die linken Seiten der Gleichungen (1), (2), (5) mit U, V, V", so sind: (6)

U—l/' = 0,

(7)

U-U" = 0,

(8)

U'—U" = 0

die Linien gleicher Potenzen zwischen dem ersten und zweiten, dem ersten und dritten, und dem zweiten und dritten Kreise; da jede dieser Gleichungen (z. B. 8) als eine Folge der beiden anderen (von 6 und 7) angesehen werden kann, so wird die gemeinschaftliche Lösung je zweier auch die dritte befriedigen, d. h. die drei Geraden (6), (7), (8) gehen durch einen Punkt (§. 14), oder: II. Die d r e i L i n i e n g l e i c h e r P o t e n z e n von j e z w e i e n d r e i e r K r e i s e s c h n e i d e n s i c h in e i n e m P u n k t e . Wir Ubergehen die Discussion einzelner Fälle, in welchen die Sätze dieses Paragraphen Ausnahmen erleiden; so haben z. B. zwei concentrische Kreise keine Linie gleicher Potenzen, drei Kreise, deren Mittelpunkte in einer Geraden liegen, keinen Punkt gleicher Potenzen. Sind U und V zwei sich nicht schneidende Kreise, so kann ihre Linie gleicher Potenzen durch Satz II. leicht gefunden werden. Beschreibt man einen Kreis U", der sowohl U als U' in zwei Punkten schneidet, und treffen sich die gemeinschaftlichen Sehnen von V und V", V und V" in o , so geht auch die Linie gleicher Potenzen von U und U' durch a; man kann nun entweder einen zweiten Punkt dieser Geraden auf dieselbe Weise finden, oder von a auf die Centrale von U und U' ein Loth fällen. Berührt der Kreis U' den Kreis V in einem Punkte a , und schneidet U" den Kreis U' in a und b, und U in c und d, so gehen die Tangente von U im Punkte a lind die Geraden ab und cd durch einen Punkt u. Dieser Punkt bleibt derselbe, wenn statt des Kreises U" ein anderer durch a und b gehender beschrieben

g. 31. Vierte* Kapitel.

40

w i r d , weil u schon als Durchschnitt der Tangente in a und der Geraden ab bestimmt ist. Soll umgekehrt ein Kreis beschrieben werden, der durch zwei gegebene Punkte a und b geht, und einen gegebenen Kreis V berührt, so lege man durch a und b irgend einen Kreis U", der U in c und d schneidet, und verlängere ab, cd, bis sie sich in u treffen. Legt man alsdann von u eine Tangente ua an den gegebenen Kreis U, und ist a der Berührungspunkt, so wird der durch a, b und a gehende Kreis V der verlangte sein. Solcher Kreise U' giebt es demnach zwei.

Viertes Kapitel. D i e

E l l i p s e .

§ . 3 1 . Der Ort aller Punkte G (Fig. 2 1 ) , für welche die Summe der Entfernungen von zwei gegebenen festen Punkten F und F constant ist, heisst eine E l l i p s e , die Punkte F und F' heissen die B r e n n p u n k t e , ihre Entfernung die E x c e n t r i c i t f i t ; zwei Gerade, wie FG, FG, heissen R a d i c n - V c c t o r e n oder L e i t strahlen. Aufgabe.

Die G l c i c h u n g d e r E l l i p s e a u f z u s t e l l e n .

Es sei FF — 2e, die constante Summe FG-\-fG = 2a, und weil FG + FG> FF, so ist o > e. Die Gerade FF nehmen wir als x-Axe, 0 die Mitte von FF als den Anfangspunkt der rechtwinkligen Coordinaten; die Abscisse von F sei -\-e, die Coordinaten von G seien x und y; dann hat m a n :

GF = )/(*-*)'+?, also ist die G l e i c h u n g d e r

(1)

GF = y(x + eY+y~; Ellipse:

I / ( T ^ e j i + y + V'(* + ey+f

= 2a.

Um neue Eigenschaften der Ellipse zu finden, machen wir (1) rational und setzen x'-\- j/'-f- e1 = m, so wird (1):

(2)

y'm — 2xe-j- ^m-\-2xe = 2a;

Die Elllpie.

41

und wenn man quadrirt: (3)

2m + 2 ^m'— 4®V = \ a \

(4)

(»i» — 2a')' = m ' - 4®'«'.

woraus: Durch Auflösung der Klammern erhttlt man: a*— a'm = — x'e',

oder:

a*— o'e'— a'y'— a'x' = — ® V ,

also: (5)

a'(a'— «') = ( o ' - «>'+

o'y'.

Setzt man: (6)

a'-e'

= b',

und dividirt (5) durch a ' b s o kommt als Gleichung der Ellipse: 2 1 (7) K

'

o'

+

LJL

6*

=

i

Eine andere Ableitung von (5) ergiebt sich aus §. 40, Form. 1—4. Zusatz 1. Man darf Gleichung (7) statt (1) gebrauchen, weil man von (7) auf (1) zurückschliessen kann, vorausgesetzt, dass a>e ist. Man folgert aus (7) ohne Schwierigkeit (4); aus Gleichung (4) durch Wurzelausziehen und Multiplicatión mit 2: 2 m + 2 y W — 4 a ; V = 4a', oder: (^m+2ex±

\¡m— 2ex)' = 4 a ' ;

d. h. für jeden Punkt der Curve (7) oder (5) ist entweder (FG+FG)3 = 4a', oder (F'G—FG)'1 = 4 a ' ; die zweite Annahme ist aber unzulässig; denn nach einem elementaren Satz ist FG—FG FG) kleiner als FF, also oder FG — FG (je nachdem FG (FG — FG)' '

Addirt man (1) und (2), so kommt -4t-¡-"ir = —r + Tr> d d d u

44

§. 94.

Vierte* Kapitel.

d. h. für j e z w e i r e c h t w i n k l i g e H a l b m e s s e r ist die S u m m e der reeiproken Quadrate constant

=—r^-rr'

a

b

§. 34. C o n j u g i r t e D u r c h m e s s e r . Der Durchmesser LL' (Fig. 23) halbire die Sehne PP in Q; wir setzen PP = 2m, OQ = t und die positive Drehung der -J-x-Axe nach OQ = der im positiven Sinne gezählte Winkel zwischen einer durch Q zur -{-^-.Axe parallel gezogenen Linie und QP. Sind ( x , y), (x'3 y') die Coordinaten von P und Q auf das bisherige Axensystem, (X, Y) die Coordinaten von P auf ein gleich gerichtetes mit dem Anfangspunkte Q, so ist:

X = x — af,

y — y — y'j X = ucosrp, x'=

tcos, welche die auf der Seite der positiven Ordinaten befindlichen conjugirten Halbmesser OL, OM mit der - { - x - A x c bilden, ist zufolge (5) der eine nothwendig ein spitzer, in unserer Figur qp, der andere xp ein stumpfer. Aber auch der Winkel yj —

), wenn q, ein spitzer Winkel ist, negativ. Daraus folgt, dass die kleine Axe einer Ellipse durch die stumpfen Winkel zweier beliebiger conjugirter Durchmesser, und die grosse Axe durch die spitzen Winkel derselben geht. — Schreibt man statt (6) die Formel: tang (y/—

b sein möge, und den spitzen Winkel *

( )

1

(2)

a+

(3)

ab =

'

b = a+

,

,

fl';

,

aß sini».

Die Gleichungen (2) und (3) geben denn man hat: a + fc =

ya,+ß,+

2aßsmw

weil c o s ( 9 0 " + » ) = a—b =

Ja'+ß'—

Ist in Fig. 2 4

die Grössen der Axen,

=

ß1— 2«/?cos (90° + w),

2a/?sintc =

ß1— 2 o / ? c o s ( 9 0 ü — w).

— sin».

Winkel LOM = v>, MO — ß,

LO = a, und

fällt man von M eine Senkrechte auf OL, trägt auf derselben =

MK' =

a ab, und verbindet K und K' mit 0,

=

9 0 ° - w, W. OMK =

9 0 ° + w, also OK =

MK

so ist W. OMK'

a + b, OK =

a — b,

woraus sich a und b ergeben. Um aus (1) den spitzen Winkel gp zu bestimmen, welchen die zwischen LO und MO liegende grosse Axe mit LO oder o .bildet, setzen wir OK — a-\-b =

u, OK' =

a—b =

t>, KK' =

2a =

m;

dadurch verwandelt sich (1) in: sin \ =

=

ß

+—)

a /

+

die Abscisse von

= L'b,

also

La-L'b

La-L'b = ß> = Ö F ;

= Ol , und wegen der Congruenz der Vierecke

OnibL' und Om'dL ist tn'd = mb, also ma-mb = Ol';

oder:

VI. W e r d e n z w e i p a r a l l e l e T a n g e n t e n v o n e i n e r d r i t t e n T a n g e n t e g e s c h n i t t e n , so ist d a s P r o d u c t d e r S t ü c k e d e r b e i d e n p a r a l l e l e n T a n g e n t e n von den B e r ü h r u n g s p u n k t e n an (La-L'b) g l e i c h d e m Q u a d r a t e d e s H a l b m e s s e r s (OJM"), d e r i h n e n p a r a l l e l i s t , u n d d a s P r o d u c t d e r S t ü c k e d e r d r i t t e n T a n g e n t e (ma-mb) gleich dem Q u a d r a t e des H a l b m e s s e r s (Ol'), welchcr der dritten T a n g e n t e p a r a l l e l ist. In dem eingeschriebenen Parallelogramme LmL'm' (Fig. 25) ist der Durchmesser, welcher zwei Gegenseiten, z. B. Lm, L'rn', halbirt, den beiden anderen parallel; also: VII. Die G e r a d e n (mL, mL'), w e l c h e e i n e n P u n k t d e r E l l i p s e m i t d e n E n d p u n k t e n e i n e s D u r c h m e s s e r s LL' v e r b i n d e n , sind zwei c o n j u g i r t e n D u r c h m e s s e r n p a r a l l e l . Da b und d auf dem Durchmesser liegen, welcher mL', m'L halbirt (IV.), so ist bd dieser Durchmesser und parallel mL, ebenso ac parallel mL', oder: VIII. Die D i a g o n a l e n e i n e s d e r E l l i p s e u m s c h r i e benen Parallelogramms bestimmen dieRichtungen zweier conjugirten Durchmesser. Mit Hülfe von VIII. lässt sich VI. etwas anders aussprechen. §. 38.

Constructionen.

zu c o n s t r u i r e n ,

A u f g a b e I. Den D u r c h m e s s e r

d e r e i n e m g e g e b e n e n c o n j u g i r t ist.

A u f l ö s u n g . Man ziehe eine Sehne, die dem gegebenen Durchmesser parallel ist, dann ist der Durchmesser, der sie halbirt, der verlangte.

Die Ellipse. A u f g a b e II..

An

einem

53

Punkte

der

L

Ellipse

eine

T a n g e n t e zu z i e h e n . Auflösung.

1) Man bestimme

zu dem

durch den Berüh-

rungspunkt L gehenden Durchmesser den conjugirten, durch L

eine Gerade, welche ihm

parallel

ist.

man ziehe zwei beliebige conjugirte Diameter ( 2 a , Iß), in Bezug auf dieselben die Coordinaten von L: dem Durchmesser 2a

X3Í

Tangente a

W

und

ziehe

2 ) Allgemeiner, x}

y1,

bestimme trage

auf

vom Mittelpunkte aus die Distanz, welche die

— 1 = 0 von der x - A x e abschneidet, nämlich

*

— ,

ab und verbinde deren Endpunkt mit L.

Die Construction von

— ¡F

ist ein bekanntes elementares Problem.

3 ) Man errichte über

x a'

der grossen Axe einen Kreis (Fig. 2 2 ) , falle vom Berührungspunkte G ein Loth auf die Axe, welches den Kreis in D schneidet, ziehe die Kreistangente in D, und verbinde den Punkt, wo diese die grosse Axe trifft, mit G (§. 3 7 , V. Anm.). A u f g a b e III.

Von

einem

Punkte

R

ausserhalb

der

E l l i p s e T a n g e n t e n a n d i e s e l b e zu z i e h e n (Fig. 2 3 ) . Auflösung.

Man ziehe durch R und den Mittelpunkt O eine

Gerade, welche mit der Ellipse

den Durchmesser

LL'

auf RO construiré man einen Punkt Q so, dass OQ =

bestimmt;

LÖ* HU

und

ziehe durch Q eine Sehne, welche dem zu LL' conjugirten Durchmesser parallel ist,

dann sind ihre Endpunkte die gesuchten B e -

rührungspunkte (§. 3 7 , IV.).

Eine Verallgemeinerung dieser Con-

struction bietet der folgende Paragraph. §. 3 9 . Punkt in

Die B e r ü h r u n g s s e h n e .

Es sei ( f , r¡) ein beliebiger

der Ebene der auf conjugirte Durchmesser

Ellipse — T + - 3 T =

a

Ist

p

a

y1)

der

Berührungspunkt

einer

und soll die Tangente durch ( £ , rj) gehen,

fr

so ist e r f o r d e r l i c h

{s?,

bezogenen

íx1

und a u s r e i c h e n d , dass — o

der Berührungspunkt (x',

nu' = (T

l

y') liegt demnach auf der Geraden:

sei;

§. 39, 40.

54

0)

Viertes Kapitel.

$

+ ^

=

Umgekehrt wird die Tangente jedes Ellipsenpunktes, der auf der Geraden (1) liegt, d u r c h den P u n k t tj) gehen, u n d da (1) die Ellipse im Allgemeinen in zwei Punkten schneidet, so gehen d u r c h ( | , ij) im Allgemeinen zwei Tangenten, und (1) ist die Gleic h u n g der Geraden, welche die Berührungspunkte verbindet, oder d i e Gleichung der Beriihrungssehne. Durch Construction ihrer Axenabschnittc kann man sie selbst, und somit die von rf) an die Ellipse gezogenen Tangenten construiren. — Ist rf) ein Punkt der Curve, so ist (1) die Gleichung der Tangente. Sind von (§, rf) a u s keine Tangenten an die Curve möglich, so wird dieselbe von der Geraden, deren Gleichung (1) ist, nicht mehr geschnitten; ihre geometrische Bedeutung werden wir später kennen lernen. Zieht man durch den Punkt J oder (£, rf) (Fig. 26) eine Parallele zur x-Axe, und schneidet dieselbe die Ellipse in den Punkten (x, rj) und ( — x , 7]) oder b und d, die Borührungssehne (1) in ( I ' , rf) oder c, so ist: o1 + / r

~~

'

„V

"

oV

'

a

Setzen wir diese Wcrthe ein, so k o m m t : xt

r

g'fc' _

.

+

or*

_ ar'e - f x, b* _ ar*

fl'c+e'a;, ar»

oder, w e n n a ' Tür e*-f 6* gesetzt wird, und man in p den absoluten W e r t h n i m m t : (5)

| =

, - Ä L .

p

=

Um g, r f , p' zu erhalten, muss m a n in (5) e, r, r1 bezüglich mit — e , t J , r vertauschen; dies giebt:

(6)

* =

t

=

P

.

= 6 |

/ f

Diese Formeln führen zu folgenden S ä t z e n : II. D a s P r o d u c t d e r L o t h e ( p , p ' ) , w e l c h e v o n B r e n n p u n k t e n auf eine T a n g e n t e gefällt w e r d e n , ist Q u a d r a t e (6') d e r h a l b e n k l e i n e n A x e g l e i c h . p b F e r n e r ist — — —

r

r

/ r b y— = — u n d f r' j V

den dem

p' b ebenso - V — — = = , r'

p p' also — = I - T , also sind die rechtwinkligen Dreiecke FGH r r FGH' einander ähnlich, und W. FGH = W. F G i P , d. h . :

und

III. D i e T a n g e n t e b i l d e t m i t d e n L e i t s t r a h l e n g l e i c h e Winkel, o d e r halbirt den Winkel zwischen e i n e m L e i t strahl und der V e r l ä n g e r u n g des a n d e r e n . Die Gerade,

welche auf der Tangente einer Curve in deren

B e r ü h r u n g s p u n k t e senkrecht steht, heisst die N o r m a l e der C u r v e ; es folgt demnach aus III.: IV. Die N o r m a l e d e r E l l i p s e zwischen den Leitstrahlen.

halbirt

den

Winkel

58

§§. 40, 41.

Vierte« Kapitel.

Die G l e i c h u n g d e r N o r m a l e

x — x.

(7)

ist:

y-y. b!

Aus ( 5 )

ergiebt

sich

OJT =

=

+

y]\ =

a\

folglich: V.

Die F u s s p u n k t c

Brennpunkten

der Lothe,

einer Ellipse

auf sämmtliche

fällen kann, liegen auf dem K r e i s e , zum Durchmesser Anm.

w e l c h e man von der die

Tangenten grosse

Der Satz V. beantwortet die F r a g e : w e l c h e s der von einein B r e n n p u n k t e

der Ellipse gefällten

den Gedankengang

Axe

hat.

Ort der F u s s p u n k t e Tangenten

den

zu

kennen,

Lothe?

welcher

ist d e r auf

alle

Da es wichtig ist,

bei derartigen Aufgaben

verfolgt wird, und weil die Rechnung im gegenwärtigen Falle eine eigenthümliche Schwierigkeit

darbietet, so wollen wir die gestellte

F r a g e direct beantworten. Die Gleichung der Tangente am Punkte ( x , , y{)

ist:

®

die Gleichung des vom Brennpunkte F oder (e, 0 ) auf die Gerade ( 8 ) gefällten Lothes ist: (9)

=

Bestimmt man aus ( 8 ) und (9) x und y, so hat man die Coordinaten e i n e s auf der Tangente (8) liegenden Fusspunktes. bar sind x und y von xt

Offen-

und y{ abhängig; kann man nun eine von

den letzteren Grössen unabhängige Gleichung

zwischen

x

und

y

finden, so werden derselben a l l e Fusspunkte genügen, d. h. sie wird die Gleichung und ( 9 ) x,

des gesuchten Ortes sein.

und y,

eliniiniren;

Gleichung, und diese ist:

Man muss also aus ( 8 )

dazu bedarf es noch einer dritten

Die Ellipse.

59

Aus (8) und ( 9 ) erhält man:

^

a'(x—e)

b'y

und wenn diese Ausdrucke in (10) eingesetzt werden:

a\x-ey+by

(11)

=

Dies ist die Gleichung des gesuchten Ortes, sie steigt auf den vierten Grad, ein Resultat, welches dem Salze V. zu widersprechen scheint.

Setzt man aber: y * - f ( x — e)' =

«,

und demnach: y ' - | - x ( x — e ) = u - } - e ( x — e), so verwandelt sich (11) in: a * ( x - e ) ' + fc'y* = « • + 2 u e ( x - e) + « * ( * — « ) ' , und wenn man

für a* setzt, in: 0 = M{« +

2C(X-c)-6'|,

oder, wenn fllr u wieder sein Werth geschrieben wird, in: (12)

{(x-c)Hy,}(x,+y'-o,} =

o.

Der erste Factor wird nur Null, wenn x — e, y =

0 ist,

d. h. für den Brennpunkt F, der, weil er auf keiner reellen Tangente der Ellipse liegt, nicht zum gesuchten Orte gehört; es bleibt also nur x ' - f y * — a 1 =

0, d . h . d e r

als D u r c h m e s s e r b e s c h r i e b e n e §. 41. Tangente

Constructionen.

und Normale,

Uber

der

grossen

Axe

Kreis.

Eine einfache Construction

der

wenn der Berührungspunkt bekannt ist,

ergiebt sich aus §. 40, III. und IV. S o l l man v o n e i n e m P u n k t e K, a u s s e r h a l b d e r C u r v e , Tangenten

an

dieselbe

solche construirt, KG

ziehen,

(Fig. 28),

so

denke man

hinaus, bis es den verlängerten Leitstrahl FG W . FGH = JGH, weil jeder = W . FGK, ligen Dreiecke FGfl Tangente

von

F

und JGH und

J

sich

verlängere das Loth Fü

ausserdem ist noch FJ — FG + GF ~

in J trifft, dann ist

also sind die rechtwink-

congruent,

gleichweit

eine

Uber H

und jeder Punkt der

entfernt, 2a.

z. B. KF — KJ,

Beschreibt man dem-

nach zwei Kreise, den einen um K mit dein Radius KF, den an-

60

§. 4 2 .

deren um F mit F,

mit 2a,

Viertes Kapitel.

Die Ellipse.

und verbindet ihre Durchschnittspunkte J ,

T

so erhält man die Berührungspunkte G , G ' .

Eine andere Construction folgt aus §. 40, V. Uber der grossen Axe und über KF

Man beschreibe

als Durchmesser zwei Kreise,

und verbinde deren Durchschnitte H und h mit K, so werden

EK

und hK Tangenten der Ellipse sein. §. 4 2 . F l ä c h e n i n h a l t d e r E l l i p s e . Beschreibt man Uber der grossen Axe AA' (Fig. 2 9 ) als Durchmesser einen Kreis, so ist §. 32, II.:

&

b

mfi

b

...

wir haben ferner:

....

Im Trapez IXfim = - ^ - ( M - f

Trapez IX'fi'm —

folglich:

6

litt

my), *'),

Trapez IXfim : Trapez IX'p'm = b : a. Denkt man sich zwischen X und g beliebig viele Ellipsenpunkte durch Sehnen verbunden, und ebenso zwischen X' und p' die entsprechenden Kreispunkte,

so werden diese Sehnen,

die Endordi-

naten ( I X , rp und Ii.', ro') und Ir Polygone bilden, die als Summen solcher Trapeze wiederum sich wie b zu a verhalten.

Nach be-

kannter Schlussweise folgert man durch den Ucbergang zur Gränze, dass das von Ir, den Ordinaten I X , rg und dem Ellipsenbogen XQ begränzte FlächenstUck

sich zu dem entsprechenden

wie b: a verhält.

IX'G'r

dies, Ellipse: a*a = b:a ist gleich

wie b:

oder der F l ä c h e n i n h a l t d e r

Ellipse

ahn.

Da AlX : AlX' = b : a hält sich

Kreisstücke

Auf die ganze Ellipse angewendet, giebt

auch

und Dreieck OlX : OW = b: a, so ver-

der elliptische Sector AOX zum Kreisscctor AOX'

a.

Anm.

Man kann sich statt der ein- auch der umschriebenen

PolygonstUcke zum Beweise dieser Sätze bedienen.

Weil die Tan-

genten in entsprechenden Punkten X und X' sich in einem Punkte T der Axe treffen (§. 3 7 , V.), so sind — wie sich leicht beweisen

§. 43.

Fünfte« Kapitel.

Die Hyperbel.

61

lSsst — die Durchschnitte a, et zweier entsprechenden Tangentenpaare auch entsprechend, d. h. ihre Ordinaten ap, a'p fallen auf einander und verhalten sich wie b zu a, ebenso verhalten sich also auch die Trapeze .M ß' a 'P> und die Summen solcher Trapeze.

Fünftes Kapitel. D i e

H y p e r b e l .

§. 43. Der Ort aller Punkte G (Fig. 30), deren Entfernungen GF und GF von zwei festen Punkten F und F constante Differenz = 2a haben, heisst eine H y p e r b e l ; die festen Punkte F und F nennt man die B r e n n p u n k t e , ihre Entfernung FF = 2e die E x c e n t r i c i t ä t , und die zwei Geraden GF und GF R a d i e n V e c t o r e n oder L e i t s t r a h l e n . — Da in jedem Dreieck GFF die Differenz zweier Seiten GF—GF (oder GF—GF) kleiner als die dritte Seite FF sein muss, so ist a < e. Aufgabe.

Die G l e i c h u n g d e r H y p e r b e l a u f z u s t e l l e n .

Die Mitte 0 von FF sei der Anfangspunkt der rechtwinkligen Coordinaten, OF die positive x-Axe, dann ist filr den Punkt G oder (x, y)-. GF=y(x-ey+y\

GF =

ft®+

«)•+,'.

Nun ist für positive Werthe von x immer (x—e)* < (x-\-e)', also GF < GF; für negative, (x-e)' > ( x + e ) \ also GF > GF; die analytische Definition der Hyperbel ist demnach: (1)

V(® + e ) ' + y * - V(® - « ) ' + y ' = ± 2a,

je nachdem x einen + Werth hat. Macht man (1) rational, so kommt man, wie in §. 31, 5, auf a'(a* — c*) = (o' — e ' ) x ' - f - o ' y ' , was, weil o ' — e ' negativ ist, besser: (2)

o'(e'-a') =

(e'-a')x'-ay,

geschrieben wird; setzt man: (3)

c ' - a ' = b\

oder:

(3*)

e, = a,+

b\

62

§§. 43, 44.

Fünftes Kapitel.

so wird d i e H y p e r b e l g l e i c h u n g : x'

v'

Da (4) nur x ' und y* enthält, so besteht die Curve aus vier congruenten Quadranten (§. 31, Zus. 2), und es wird hinreichen, die Gestalt desjenigen, in welchem x und y positiv sind, zu untersuchen. Schreibt man statt (4): (5,

und,

(6,

i

=

so folgt aus (5), dass x wenigstens = a sein muss, damit y reell werde, Uber a hinaus aber, jeden beliebig grossen Werth annehmen kann; und dass y = 0, wenn x = a, mit x selbst aber ins Unbegriinzte wächst; der Curvenquadrant erstreckt sich demnach ins Unendliche. Der Bruch — ist nach (6) stets kleiner als — , nähert x a sich aber diesem Wcrthe immer mehr, je grösser x, also auch y wird; macht man daher OA = a, AP = b ~ ) V — a', tang PO.4 =

und erwägt, dass

wodurch

= tangGOfl, so ergiebt sich,

dass der Radius OG, während G auf der Curve sich immer weiter entfernt, immer mehr der Richtung OP sich nähert. Setzt man Y b b* HG' = Y, so ist wegen OH = x, — • — oder Yl = x1—T, und x a a i« für den Hyperbelpunkt G ist y' = — b\ also K'— y* = b\ d oder Y— 9v = ^7-;—; da mit zunehmendein x die Ordinaten Y Y + y' und y Uber alle Gränzen wachsen, so wird Y—y oder G'G kleiner als jede beliebige Grösse, ohne jedoch je = 0 zu werden; der Hyperbelquadrant nähert sich also immer mehr der Geraden OP und kommt ihr beliebig nahe*), ohne sie jedoch je zu erreichen. — Die Anwendung derselben Betrachtungen auf die übrigen Quadranten ergiebt folgendes Resultat:

*) D. b. wenn man sich zwischen der Curve und OP eine Parallele zu OP gezogen denkt, so tritt die Curve in den Kaum zwischen beide Parallelen, wie klein auch die Entfernung derselben genommen werde.

Die Hyperbel.

63

Trägt man von der Mitte 0 (Fig. 30*) der Excentricität FF die Distanz OA — OA' ab, so geht die Hyperbel durch A und A'; errichtet man ferner in A und A' zwei unbegränzte Lothe zu FF, so liegt zwischen ihnen kein Hyperbelpunkt. Treffen diese Lothe den über FF als Durchmesser beschriebenen Kreis in P, P,, P „ P,, so dass AP = y V — a1 — b, und zieht man die unbegrenzten durch 0 gehenden Geraden P P „ P , P , , so liegt in dem unendlichen Räume p P P , p , ein unendlicher H y p e r b e l z w e i g und in p,PtPtpt der a n d e r e ; b e i d e z u s a m m e n bilden die durch (4) dargestellte Hyperbel. Die Punkte A, A! sind die Scheitel, AA' die Hauptaxe der Curve; die Geraden ppt, ptpt, welche sich der Hyperbel immer mehr nähern, so dass ihre Entfernung von der Gurve beliebig klein, aber nie = 0 wird, heissen die A s y m p t o t e n ; die Gleichung der einen ( p p , ) ist y = -^-x, die der anderen ( p , ? , ) ist y = — -^-x, oder bezüglich:

= ~a a b a b Eine Hyperbel heisst g l e i c h s e i t i g , wenn b = a; das Dreieck POA (Fig. 30*) wird für dieselbe gleichschenklig, also \f.POA=4b", und W. POP, = 90°; der Asymptotenwinkel der gleichseitigen Hyperbel ist demnach ein rechter.

f" °' T + y =

§. 44. U n e n d l i c h e W u r z e l n e i n e r q u a d r a t i s c h e n G l e i chung, directe Bestimmung der Asymptoten, Tangenten. Denkt man sich in der quadratischen Gleichung: (1)

Lu'+2Mu

+ N = 0

die Coefficienten veränderlich, so ändern sich auch mit ihnen die Wurzeln w, und ut, wo:

«, -

_ -M-yW-LN

L

, «, _ _

—M +

1tt—LN

L

Um zu sehen, was aus diesen Werthen wird, wenn erstens L, zweitens L und M gleich Null werden, schaffen wir die Wurzeigrössen aus den Zählern fort, und erhalten:

Li-M

+ ilf-LN)

" -M

+

\M%-LN

§. 44.

64

Fönftes Kapitel.

und ahnlich:

N -M-iW-LN'

=

~~ Wenn L = 0 ,

muss M statt ^M*—LN

N

es kommt u, =

unendlich, u, = ~"2jj|">

gesetzt werden und

d e eine

'

Wurzel von (1)

wird also, wenn L verschwindet, unendlich, während die andere den Werth —

N bekommt. ¿m

Ist auch M = 0, so wird u . cben-

falls unendlich und u, und m, sind als gleich anzusehen; in der That wird die Bedingung, dass (1) zwei gleiche Wurzeln habe, nämlich M L N — 0, durch die Annahme L = 0, M = 0 befriedigt. Zu demselben Resultate kann man

gelangen, ohne (1) auf-

zulösen; setzt man in (1) u = — e , so wird aus (1): (2)

L + 2Mv - f Nv' = 0.

Heisscn v t , t>, die Wurzeln von (2), so ist «, = — , « , = — • ®i ®t Wenn L = 0 , so wird (2) 2JVc + Ne' = ü , also e, = 0, t>, =

2

* 1 «/, = jy-, also

U «, = — unendlich,

N

wenn L1 = «0

und M = 0 , so wird (2) Nt>' = 0 , also vt=vt = 0, und u, = ut = unendlich, wie vorhin. Jede Gleichung 2Mu-\-N = 0 kann demnach als e i n e q u a d r a t i s c h e m i t e i n e r u n e n d l i c h e n W u r z e l , und i V = 0 als eine q u a d r a t i s c h e G l e i c h u n g mit zwei gleichen u n e n d l i c h e n W u r z e l n betrachtet werden*). Wir wollen jetzt die Fälle untersuchen, wo von den Durchschnitten einer Geraden und einer Hyperbel: (3)

+

+ n = 0,

i £ - i £ = l

f

*) Auf ganz analoge Weise lägst sich d a r t h u n , dass wenn in einer Gleichung dritten Grades der Coefficient des höchsten Gliedes rersebwindet, die Gleichang eine unendlich grosse Wurzel hat u. s. w., und dass umgekehrt eine quadratische Gleichung als eine eubische Gleichung mit einer unendlichen, als eine biquadratische mit zwei unendlichen Wurzeln u. s. w. angesehen werden kann. H.

65

Die Hyperbel. der eine oder beide ins Unendliche fallen.

Die Abscissen dieser

Durchschnitte sind die Wurzeln der Gleichung:

/m*

(4)

J'\ ,

2In

/ n*

die nothwendige und ausreichende Bedingung, damit eine dieser Wur-

tn* 1 a b

*

1

zeln unendlich werde, ist — 5 — -rr = 0, d. h. — entweder = oder =

m

b a

—

— — ; die Gerade (3) muss demnach einer der Asymptoten

a

(§. 43, Form. 7) parallel sein. Sollen beide Wurzeln von (4) unendlich werden, so muss auch

o

=

0, d. h. n = 0 sein.

Für — = + — m a die Gleichung einer Asymptote; wir

und n = 0 wird aber (3) 'haben also das Resultat: E s g i e b t f i l r die H y p e r b e l z w e i u n d n i c h t m e h r G e r a d e , die A s y m p t o t e n , von denen eine j e d e zwei z u sammenfallende, unendlich entfernte Schnittpunkte mit d e r C u r v e g e m e i n h a t . Gerade, die einer Asymptote parallel sind, und nur solche, haben mit der Hyperbel einen endlich und einen unendlich entfernten Schnittpunkt gemein. Da die beiden unendlich entfernten Schnittpunkte einer Asymptote und einer Hyperbel zusammenfallen, so ist j e d e A s y m p t o t e a l s T a n g e n t e a n e i n e m u n e n d l i c h e n t f e r n t e n P u n k t e anzusehen. In der That, ist (af, y') ein Hyperbelpunkt, so erhält man durch dieselbe Rechnung wie bei der Ellipse (§. 36) als Gleichung der Tangente:

v' b dem Werthe -I 1 xf a

Mit wachsendem x? und y* nähert sich ~ 9

(§. 43), wenn (af, y') im ersten oder dritten Quadranten liegt, und dem Werthe — w e n n

(x1, tf) in einem der beiden anderen Qua-

dranten liegt Entfernt sich also (af, \f) ins Unendliche, so muss in (6) =

=

gesetzt werden, d. h. geht (6) in

If

= 0

oder in die Gleichungen der Asymptoten über (§. 43, 7). A n m . Jede Gerade, die mit einer algebraischen Curve zwei zusammenfallende, unendlich entfernte Punkte gemein hat, also als J o a i! Ii i in »i Ii a I Elt-uimir. J.Aull. 5

§. 45. Ffinftes Kapitel.

66

Tangente an einem unendlich entfernten Berührungspunkte angesehen werden kann, heisst eine A s y m p t o t e der algebraischen Curve; man kann beweisen, dass die Asymptote einem Curvenzweige beliebig nahe kommt, ohne ihn je zu erreichen. §. 45.

Eigenschaften

der Asymptoten.

Das Product

— f " ) verschwindet nur filr solche Werthe von x und y, für welche einer der Factoren = 0 wird, also nur filr Punkte der Asymptoten; demnach stellt die Gleichung: (1)

x% u* p — f r = 0

beide Asymptoten zusammen dar, oder sie ist die Gleichung des S y s t e m s b e i d e r A s y m p t o t e n . Die Gerade: (2)

lx + my + n = 0

schneidet (1) in zwei Punkten, deren Abscissen Xt und X, Wurzeln sind der Gleichung: (3)

/m1 r\ , 2In n• V p — - £ « - * — i r

' =

0;

während die Abscissen x,, xt der Durchschnitte von (2) und der Hyperbel durch die Gleichung (§. 44, Form. 4) gegeben sind. Da beide Gleichungen nur in dem von x freien Gliede verschieden sind, so ist: lln (4) Xi + Xt=xt + xt =

man

Sind Y t , F t , y,, yt die zugehörigen Ordinaten, so beweist ebenso, dass F, Yt = y, - f y t - Demnach ist die Mitte durch (2) bestimmten Hyperbelsehne zu-

gleich die Mitte

' ^

', —

) der durch (2) bestimmten

Asymptotensehne, oder: I. S c h n e i d e t eine G e r a d e die H y p e r b e l (Fig. 31) in C, C u n d die A s y m p t o t e n in D, Dso h a b e n CO, DD' d i e s e l b e Mitte, d. h. ist DC = D'C und DO — D'C.

Die Hyperbel.

67

Wird die Sehne (2) Tangente, so fallen ihre Schnittpunkte mit der Curve und ihr Mittelpunkt in den Berührungspunkt, und nach I. ist HE ~ HB, oder: II. Der B e r ü h r u n g s p u n k t H e i n e r T a n g e n t e h a l b i r t das von den A s y m p t o t e n b e g r ä n z t e S t ü c k E f ? d e r s e l b e n . Aus II. ergiebt sich eine einfache Construction der Tangente. Durch die Asymptoten PO, Pt0 (Fig. 32) und einen Punkt C der Hyperbel ist dieselbe vollkommen und eindeutig bestimmt; denn sind x und y die auf die Halbirungslinien der Asymptotenwinkel x* «* bezogenen Coordinaten von C, so geben die Gleichungen — = 1, und

= t a n g ^ i W , die Werthe von b und a.

Zieht man durch

C beliebige Gerade CAA' und macht A'C = AC, so gehören alle diese Punkte O zu e i n e r Hyperbel. Fällt man von dem Hyperbelpunkte (xf, y1) oder H (Fig. 31) Lothe auf die Asymptoten — — — = 0, — + ~

a b

a

= 0,

b

so sind

dieselben (§. 23, Form. 7 ) :

,

a

= Hr—-

b

.

a^

und:

b

= + —

V7-+P"

,

I^F+P-

also ihr Product:

~~ J _

a'

b'

1

i J_

~~ _ L _ L

b*

aV ~~

1

a* +

V

Zieht man HN, HN1 den Asymptoten parallel, und ist v> der Asymptotenwinkel, so sind jene beiden Lothe HNsmw, BN'sintc,

a*b* ; nun ist: a -J-o

also H N - H ^ s i n u ) ' = —, ,

2tang-|sinic =

4 , » l + tang-^-

2

A

a

2 ab a'+ft* '

a 5*

68

§. 46.

Fünftes Kapitel.

folglich: a'+ft' HN-HN' = —„ 1, 4 mit anderen Worten: III. B e t r a c h t e t m a n d i e A s y m p t o t e n a l s s c h i e f w i n k l i g e A x e n u n d n i m m t d i e W i n k e l , in w e l c h e n die H y p e r b e l l i e g t , z u m e r s t e n u n d d r i t t e n Q u a d r a n t e n , so i s t die G l e i c h u n g der C u r v e : (5)

xy = —±

Weil fllr die Tangente H die Mitte von EE", ist auch HN — \OE' BN' = $OE, also nach dem Obigen: {OE

OE'sinto'

=

-TTTT-,

a +o

2 ab , , ,, : a -\-b

und wegen sinto =

iOE OE'smic = ab, d. h. IV. J e d e T a n g e n t e b e s t i m m t mit den e i n D r e i e c k von c o n s t a n t e m I n h a l t = ab.

Asymptoten

§. 46. D u r c h m e s s e r d e r H y p e r b e l ; c o n j u g i r t e H y p e r b e l n . Eine durch den Mittelpunkt gezogene Gerade und eine Hyperbel: (1)

y = lmg-x,

(2)

- J - _ |

r =

l ,

schneiden sich in Punkten, deren Coordinaten sind: (3)

* = ±

.. / 1 r o*

'

,, tangy' b1

y= ±

tangV

M \ o>

tangqp* 6*

Für die Entfernung 2d dieser Schnittpunkte ergiebt sich: (4)

d* = x*+y' "

=

1

1 + t

1 a'

;ngy', = tangf» 6*

cosqp o'

A

— sinq 6*

Die Werthe von x, y und d werden unendlich, wenn tangqp =

¿ ~ »

Die Hyperbel. d. h. für die Asymptoten, Werth von tangqp >

—

69

und imaginär,

wenn

der

ist, d. h. wenn ( 1 ) in denjenigen Asym-

a

ptotenwinkeln liegt, in welchen die y - A x e sich befindet jede

durch

messer lich

schneidet,

quem =

einen

Man

f

Gerade

(1)

dem

zu

letzteren

können

—

Man nennt

einen

Durch-

wenn sie die Curve wirk-

Nebendurchmesser,

legt

aussprechen

21 / "

sitiv =

den Mittelpunkt gehende

der Hyperbel, einen r e e l l e n ,

nicht t r i f f t

numerische

—

wenn sie

um

dieselbe

gewisse Sätze

ebenfalls

eine

ist,

weil

cos smgr

d ab,

=

und sind

y die Coordinaten von »n g, so ist: x =

, dcos') ^f-j.

oder: d*sin o conjugirten Durchmessern ist der eine ein reeller, der andere ein Nebendurchmesser, und jede Asymptote ist sich selbst conjugirt Nehmen wir an, dass der PF halbirende Durchmesser LI! ein reeller, also t a n g 9 numerisch C ~ sei, und setzen LL' = 2a, den conjugirten Nebendurchmesser MM', welcher der Sehne parallel ist, = 2/9, so ist nach §. 4 6 : ,. v

_1_

cosy'

( )

...

(5)

1

PF

sinqp* F - '

Icosy'

sinV»'

=

W I'

u'

a

p

dadurch verwandelt sich (1) in — 7 — 7 » = 1. Nun sind l und u oder OQ und PQ die schiefwinkligen Coordinaten von P in Bezug auf OL und OM als Axen; also haben wir den Satz: II. Die G l e i c h u n g d e r H y p e r b e l , b e z o g e n a u f e i n e n r e e l l e n D u r c h m e s s e r 2ot a l s x-Axe und auf den c o n j u g i r t e n N e b e n d u r c h m e s s e r 2/? a l s y - A x e , i s t : 1 « (6) y - ^ r = 1. Durch eine wörtliche, auf (6) angewendete Wiederholung des Verfahrens in §. 44 ergeben sich d i e G l e i c h u n g e n d e r A s y m p t o t e n , auf dieselben Axen bezogen:

55- 47, 48.

72

Die Tangenten in L MM'

Fünftes Kapitel.

und L' sind dem conjugirten Durchmesser

parallel, wie sich z. B. durch eine einfache Gränzbetrachtung Nun sind NL und OL ( = a ) die schiefwinkligen

aus Satz I. ergiebt. Coordinaten geniigen,

des Asymptotenpunktes JV, die e i n e r Gleichung wenn OL

der ersten,

a

bedeuten, also ist III.

und OM

NL

a

3 - = 0, d. h. NL = ß, NN' = 2 ß

ß

Das von den A s y m p t o t e n b e g r ä n z t e S t ü c k

Tangente

ist

dem

ihr

(7)

die positiven Halbaxen

parallelen

oder: einer

Nebendurchmesser

gleich. Weil ferner RQ, OQ die schiefwinkligen Coordinaten von R,

PQ,

OQ die von P sind, so ist

= 0, ^

a woraus RQ*-PQ*

= ß* = (RQ+

RQ = R'Q, ß* = R'PRP. Durchmesser LL' IV.

Zieht

Transversale,

p PQ)(RQ

- PQ),

=

durch

welche

einen

1,

fr oder

wegen

Ebenso findet man, wenn FSS'

parallel ist, a* = S'F-SP; man

— ~

a

dem

d. h . :

Hyperbelpunkt

die A s y m p t o t e n

in

zwei

P

eine

Punkten

t r i f f t , so i s t d a s P r o d u c t d e r E n t f e r n u n g e n d i e s e r P u n k t e v o n P d e m Q u a d rate des der T r a n s v e r s a l e parallelen H a l b messers gleich.

— Ein specieller Fall dieses Satzes ist III.

Sind also ein Hyperbelpunkt P und die Asymptoten gegeben, so kann man mit Hülfe von IV. beliebig

viele Durchmesser,

und

namentlich auch die Axen 2a und 2 6 finden. Sind

(Fig. 3 4 )

zwei

messer, der reelle LL'

in 0

sich halbirende conjugirte Durch-

und der Nebendurchmesser MM',

so sind zwei durch L und L'

mit MM'

gegeben,

parallel gezogene Gerade

zwei Tangenten der Curve, und macht man auf einer der Parallelen

LN = LN' = OM, Asymptoten.

so

sind

nach

III. ON

und ON'

die beiden

Da nun auch noch der Hyperbelpunkt L bekannt ist,

so lässt sich nach dem Vorhergehenden Richtung und Grösse der Axen leicht bestimmen. Durch eine ganz ähnliche Rechnung wie in §. 3 4 , in welcher nur —b' und —ß* statt b' und ß 1 gesetzt werden, findet man a * — 6 '

= «'— ß°, ab = aß sin (a, ß), d. h . : V. jugirten

F ü r einen r e e l l e n H a l b m e s s e r a und seinen N e b e n h a l b m e s s e r ß ist

die D i f f e r e n z

der

conQua-

Die Hyperbel.

73

d r a t e , so wie das von ihnen b e s t i m m t e P a r a l l e l o g r a m m constant Der letzte Theil dieses Satzes ist nur eine andere Aussage von §. 45, IV., weil (Fig. 34) Parallelogramm MOLN = Dreieck NON'. §. 48. B r e n n p u n k t e . Die — bis auf ein Vorzeichen — vollkommene Uebereinstimmung der Ellipsen- und Hyperbelgleichung hat zur Folge, dass die Uber die Tangenten, BerUhrungssehnen u. s. w. der Ellipse gefundenen Sätze unverändert, oder wenigstens mit geringen, leicht aufzufindenden Modificationen, welche sich meist auf die Lage einzelner StUcke der Figur beziehen, auch fllr die Hyperbel gelten. So bildet z. B. bei der Hyperbel die Tangente mit den nach dem Berührungspunkte gezogenen Leitstrahlen gleiche Winkel, aber sie halbirt den Winkel zwischen den Leitstrahlen selbst und nicht, wie bei der Ellipse, den Nebenwinkel desselben. In der That, der wf = 1 mit der x-kxe hat die Durchschnitt der Tangente xsd \

a* a Abscisse — w e l c h e , weil —r numerisch < 1, ebenfalls numex? 1 x' — risch iS a ist; d. h. der Durchschnitt der Tangente liegt zwischen den Scheiteln, also um so mehr zwischen den Brennpunkten, folglich liegt auch die Tangente zwischen den Leitstrahlen. — Sind also eine Ellipse und eine H y p e r b e l um dieselben B r e n n p u n k t e b e s c h r i e b e n , so ist in ihren D u r c h s c h n i t t s p u n k t e n die T a n g e n t e der einen Curve N o r m a l e der a n deren. Ist (Fig. 30), wie in §. 43, FG — r, FG = r>, so hat man: r* = (x - e)*+ y% r " = (x + e)'+y\

r " ~ r' =

iex.

Nun ist fllr den Hyperbelzweig mit positiven Abscissen r'—r — 2a, also r M =

a

wodurch: ex r = - - a ,

(ir

Dagegen ist für den lex — und: a (2

ex r> = ^ - + a.

anderen Zweig r — tJ = 2a, also r + r*

ex r = a——, a

=

ex • a

§. 49.

74

Fünfte* Kapitel.

§. 49. L e i t l i n i e n d e r E l l i p s e u n d H y p e r b e l . Die letzten Formeln, so wie die ähnlichen (§. 40, Form. 4) für die Ellipse, führen zu einer gleichmässigen Entstehungsweise beider Curven. Für den Ellipsenpunkt G (Fig. 35) hatten wir gefunden (§. 40, Form. 4 ) : FG = r = a

ex e /o* = — f a a \ e

\ x }• ' ji

Trägt man von 0 aus auf der grossen Axe das Stück OL =

— e auf, welches grösser ist als a, weil e < a, zieht ff durch L senkrecht zu OL, und fällt von G auf ff die Senkrechte glGH, so ist, wo auch G auf der Ellipse liegen mag, GH = JL = — x, also nach dem Obigen: GF _ GH ~

e ~ä'

Die Gerade ff heisst eine L e i t l i n i e oder D i r e c t r i x der Ellipse; da OF OL gleich dem Quadrate des Halbmessers (a 5 ) ist, auf dem F und L liegen, und ff dem Durchmesser parallel, der 2a conjugirt ist (nämlich der kleinen Axe), so ist (§. 39, III.) ff die Polare des Brennpunktes F , und die Tangenten an den Endpunkten irgend einer durch F gelegten Sehne schneiden sich auf f f . Zu dem Brennpunkte P gehört die Leitlinie f f und wir haben nach (1) den Satz: I. D i e E n t f e r n u n g e n e i n e s E l l i p s e n p u n k t e s v o n d e m B r e n n p u n k t e u n d d e r z u g e h ö r i g e n L e i t l i n i e s t e h e n in c o n s t a n t e m V e r h ä l t n i s s e , n ä m l i c h in d e m der E x c e n t r i c i t ä t z u r g r o s s e n Axe. Derselbe Satz gilt auch für die Hyperbel (Fig. 36); denn macht fl1 Q9 Q man OL = — , wo — < o , weil — < 1, und zieht//" durch L e e e senkrecht zu OF, so wie von einem Curvenpunkte G (oder G'), GH (oder G'H') senkrecht zu f f , so ist: GH = JO — LO = GF = r —

a

x—— e 6 / a = — [x a ^

Q? \ ) (§. 48, Form. 1); e ^

Di« Hyperbel. PH1

= SO

+ OL

G>F = r = a - *

=

75

+

= -±(-x + ± ( § .

48, Form. 2 ) ;

also: GF

G'F

GH

~~ G'H' ~

c a '

Umgekehrt: II. D e r O r t a l l e r P u n k t e G, f ü r w e l c h e d i e E n t f e r n u n g e n v o n e i n e m g e g e b e n e n P u n k t e F (Fig. 37) u n d e i n e r g e g e b e n e n G e r a d e n ff e i n c o n s t a n t e s V e r h ä l t n i s s A h a b e n , ist eine Ellipse oder H y p e r b e l , j e n a c h d e m X

(

GF

\

o d e r -Qg-J k l e i n e r o d e r g r ö s s e r a l s 1 ist.

Denn es sei ff die Ordinatenaxe, das Lotb FL von F auf diese Linie die x-Axe, F habe die positive Abscisse k, so ist GH =+x, je nachdem G und F auf derselben, oder auf verschiedenen Seiten von ff liegen, und GF — i(x—A)'-f-y*; also i s t . d i e Gleichung des gesuchten Ortes: (1)

x'-Zxh+h'+y'

= A V , oder: ®'(1— A ' ) - 2 a Ä + y ' =

-h\

welche man in: x^—lx

*

^

^

i - i L

_

i—r

'

(i—Ä*)'

h'l*

und schliesslich in: m2

( )

umformt.

( xx K

h V i i _ W +

>'

_ ~

.

»'*' (i-xy

Verschiebt man die y-Axe, so dass der neue Anfangs-

punkt 0 im alten Systeme die Abscisse

hat, so bleiben die

Ordinaten ungeändert, und die neuen Abscissen, wir wollen sie X nennen, ergeben sich aus den alten durch die Relation (§. 2). Ist ferner A eine positive Grösse, deren Quadrat A*— ist, so verwandelt sich ( 2 ) i n :

X=x~j—jt (1

A'A* ——yy-y A)

76

6. 5 0 .

Sechstes Kapitel.

(3)

=

Bezeichnet man das X des Punktes F mit E, so ist: iii

E =

r>

=

=

Dadurch geht (3) in:

Uber. Diese Gleichung stellt eine Ellipse oder Hyperbel vor, jenachdem • d ' ^ E " , d. h. A ^ l ist. In beiden Fällen findet man für die Excentricität von (4) den absoluten Werth von 2 E , also ist F einer der Brennpunkte der Curve. Nur wenn A = 1 , lassen sich die Transformationen, durch welche man von (1) auf (2) kommt, wegen des verschwindenden Nenners 1 — A' nicht ausführen, und man erhält eine neue Curve, die im nächsten Kapitel untersucht werden soll.

Sechstes Kapitel. Die Parabel. — Scheitel- und Polargleichungen Ellipse, Hyperbel und Parabel. §. 5 0 .

Der Ort aller Punkte G (Fig. 3 8 ) , welche von einem

gegebenen Punkte F und einer gegebenen Geraden ff abstehen,

der

heisst

eine

Parabel,

F

gleichweit

der B r e n n p u n k t ,

D i r e c t r i x oder L e i t l i n i e der Parabel.

ff

die

Die Gestalt der Parabel

hängt allein von der Entfernung des Brennpunktes von der Leitlinie FL

ab, welche Entfernung = p sein mag.

Aufgabe.

Die G l e i c h u n g d e r P a r a b e l zu b e s t i m m e n .

Die Mitte von FL

sei der Anfangspunkt der Coordinaten; eine

Parallele zur Leitlinie sei die y-Axe; AF

die positive x-Axe, also

P die Abscisse von L — — — • Ist G der Punkt (x, y), so ist das

Die Parabel. Scheitel- u. Polargleichang. d. Ellipae, Hyperbel u. Parabel. Loth GB = JA+AL

= x+£-

Abscisse ist es gleich +

0
+Coscp(xy>+¿y) fx'-f- 2xycosqp + y* y x " + 2 « y cos qp - f y " CC Setzt man in (9) oder in cos(r, r') = —

. y ,. „r und -2- aus (6) die Werthe r kommt:

1/ filr

a — ßcosw ß—acosa» • , , ——: r—•> sinqp sin 9

— so

sinqp Für sin (r', r) = sin {(r*, x) — (r, x)| = sin (tJ, x) cos (r, x) — cosir', x)sin(r, x) erhalt man auch zwei Ausdrücke; schreibt

94

§• 6 0 .

Siebentes

Kapitel.

man mit Berücksichtigung von (7*) und (3) für sin(r, x ) und V sinai a; 4 - u cos® cos(r, x ) bezüglich r und — , und analog für die accentuirten Grössen, so kommt:

. , sin (r*, r ) —

(13)

(xu'—x't/Jsin®

y ' x ' + 2 x y cos q> + y '

^

^

2 * y cos q> + y "

Schreibt man hingegen lingegen a für für cos(r, cos(r, x ) und und für für isin (r, x ) den ß — acosqp aus der zweiten Gleichung (6*) sich ergebenden Werth sin 9 und ebenso für cos ( r x ) ,

sin ( t J , x ) bezüglich (ab'+ a'b) ,+ 6,_2(jftcos9) ^¿r.+6,._2aWcos(ab'+a'b)

= 0,

oder: (24)

a'(a — bcosq>) + b'(b — acosqp) = 0,

was mit §. 24, Form. 7 Ubereinstimmt. Dagegen sind sie parallel, wenn sin(p',p) = 0, oder ab'—a'b = 0 (§. 19, Anm. 1). Die Gleichung einer durch (§, rj) gehenden Geraden, welche auf: (16)

ax-\-by-\-c

senkrecht steht, ist demnach:

= 0

5. 61.

96

(25)

(b — acosq>)(x— — (a — bcos(p)(y — y) = 0,

da sie durch den Punkt b — acosqp, 6 ' =

a' =

Achtes Kapitel.

TJ) offenbar befriedigt wird, und, weil

— (0 — 6 cos q>), der Bedingung ( 2 4 ) genügt.

Der Durchschnitt von ( 2 5 ) und ( 1 6 ) oder der Fusspunkt des von (£, ij)

auf ( 1 6 ) gefällten Lothes

findet sich

durch

eine ähnliche

Rechnung wie in §. 2 3 : x = tzoj

| - j - ( 0 — 6cosqp)f,

y = V+(b — acos(f)e, t a£ + bti + c a* - f b*— 2 a 6 cos

b'

,

2bd

d'

,

, . .

, ,

A

und weiter: (

.

b

d

.

V

. ac — b'^.-ae

— bd

af—d*

n

Ist auch ac — 6 ' von Null verschieden, so lassen sich die drei letzten Glieder schreiben: a _ ac- b' / ~~ o V

y +

1 V n ac — a oe — 6 d \ * (ag—6d)' ac-6' / o ( a c — 6*)

a/"—d 1 a

Die Reduction der beiden letzten Glieder giebt einen Bruch, dessen Nenner a(ac — 6*) und dessen Zähler : {af—d%){ac = a'fc-

— V) — (_ae — bd)'>

afbacd'+dV—

= a ( a f c — ae*— cd?—fb*+

a V + 2 a e 6 d - 6'd' 2 bed).

Dadurch verwandelt sich (2) schliesslich in: /

. 6

. d \ * . ac — bW

, afc — ae*— cd1—fb*-\- 2bed + ac — 6 '

, ae — bd\' _

Betrachtet man von den beiden Geraden: ,A\ (4)

x

+

i

b T

i d n y + - = 0,

i ae — bd ¡, + - — ^ - = 0,

die offenbar nicht parallel sind, die erste als F-Axe, die andere als X-Axe eines neuen Coordinatensystems, so hat man die Formeln (§• 59, I.): J u u c l i ¡ i n s Iii a I E k ' i m ' i i i i ' .

2 . Aufl.

7

§.61.

9S

Achtes Kapitel.

wo S und D' von der gegenseitigen Lage der Axen abhängige Constanten sind, die nicht = 0 sein können. Durch Hilfe dieser Formeln verwandelt sich, wenn der Kürze wegen gesetzt w i r d :

(4*)

afc - o e * - cd' - / V - f Ibed = J,

die Gleichung (3) in:

X' , ac-b%

Y• , ¿" ^

J ac-b*

0,

=

oder in:

™ w

, oc-b> a'

r* 3"

J

_

a ( a c —6*)

~

Sind nach der Annahme a und ac— 6* von Null verschieden, so ersetzt die einfachere Gleichung (5) die vorgelegte Gleichung (1). Wir unterscheiden bei der Discussion von (5) zwei Hauptfälle. I.

E s s e i ac — 6 ' p o s i t i v .

1) Haben J und a gleiches Zeichen, so besteht die linke Seite in (5) aus drei positiven Grössen, deren letzte nie gleich Null sein kann; die Gleichung (5) wird demnach durch die Coordinaten keines Punktes befriedigt, und ist also o h n e g e o m e t r i s c h e B e d e u t u n g ; dasselbe muss also auch mit der Gleichung (1) der Fall sein. 2) Ist d = 0, so wird (5) nur durch X = 0 und Y = 0 befriedigt; d. h. (1) s t e l l t n u r d e n n e u e n A n f a n g s p u n k t , o d e r d e n D u r c h s c h n i t t d e r G e r a d e n (4) d a r .

3) Ist — negativ = — A*,

a

so geht (5), wenn die positive Grösse ac — 6 ' = in folgende Gleichung Uber:

Setzt man noch

D———

= D\,

gesetzt wird,

so verwandelt sich

(5) schliesslich in:

D,+D;

—

1

Dies ist die Gleichung einer Ellipse, bezogen auf zwei conjugirte Durchmesser; also ist (1) auch in diesem Falle d i e G l e i c h u n g

Discussion und Transformation der «llgem. Gleichung iweiter Ordnung.

99

e i n e r E l l i p s e ; d i e G e r a d e n (4) s i n d z w e i c o n j u g i r t e D u r c h messer und ihr D u r c h s c h n i t t der Mittelpunkt der Curve. II.

Es s e i oc —6* n e g a t i v

=—V.

1) Ist J = 0, dann verwandelt sich (5) in , . (X , oder in ^ - j - +

—

AF\

'

„

, .s t

s

X* 1* toF* = 0, o a *

Diebeiden

A*

Coefficienten - j ^ r

und

haben

gleiches

Zeichen,

weil

k' ihr Produkt ,,, nothw endig positiv ist. Sind beide iloo man sie = positiv, so kann und setzen, und erhalt X' F* ' 1 j y — s i n d beide negativ, so wird man sie = — ' 1 und — s e t z e n

F'

können, und hätte dann

X1 — — = 1.

' Beide

Gleichungen stellen aber eine auf conjugirte Diameter bezogene Hyperbel dar. Die Gleichung (1) ist also ebenfalls d i e G l e i c h u n g e i n e r H y p e r b e l , u n d d i e G e r a d e n (4) s i n d zwei c o n j u girte Durchmesser. III.

E s sei ac—b*

= 0.

Die Discussion kann jetzt nicht mehr von Gleichung (3) ausgehen; die Reduction von (1) auf (2) ist jedoch noch möglich, weil a von Null verschieden angenommen wird. Die Gleichung (2) wird in gegenwärtigem Falle: ^

(

.

b

,

d

V ,

o ae-bd

. af— d*

Ist 1) ae — bd = 0 und af—d* negativ = — n*, so wird (6):

0

oder: V

a * ' «

ff

/ n

a

3

' a

a J 1*

100

§§.61,62.

dies ist die G l e i c h u n g Geraden:

Achte« K a p i t e l .

eines

. b , d 4-u * + —2/ + - ^ a a

Systems

„ = o,

parallelen

, b , d—u x-r— y - f — - = 0. a a

2) Ist ae — bd — 0 und af—d' -f-^-) = 0 ,

zweier

= 0 , so verwandelt sich (6) in

dies ist die Gleichung einer Geraden

zum

Quadrate erhoben, oder, wie man sich ausdrückt, die G l e i c h u n g einer doppelten Geraden. 3) Ist ae — bd = 0, und af—d* positiv = f i , also chung o h n e

r

b

d \*

+

geometrische

u*

=

'st

s0

Bedeutung.

^'ese

4) Ist ae — bd

von

Null verschieden, so kann (6) geschrieben werden:

(

I

6

1

d

V ,

a

ae—bd

f

.

af—d4

\

Nimmt man von den beiden sich schneidenden Geraden: ,8,

«

+^ +4

= 0.

»+

=

die erste zur X - , die zweite zur F-Axe, so hat man (§. 59, I.) die Transformationsformcln:

wo 5 und S' zwei von Null verschiedene Constanten sind. verwandelt sich (7) in 4 r F ' 4 -

o

a a

^

Dadurch

X = 0, oder in:

a o Parabel,

be-

zogen auf eine T a n g e n t e als F - A x e , und den durch

Dies ist aber (§. 52, I.) d i e G l e i c h u n g

einer

den

Berührungspunkt gezogenen Durchmesser *)

E s sind also, sowohl wenn

ac — ¿* = 0 i s t ,

ac—b*>

oder < T 0 ,

als

X-Axe").

a l s auch

durch die n e u e n Coordioatenaxen X und Y

wenn

conjugirte

R i c h t u n g e n in B e z i e h u n g a u f die Cnrve ( I ) b e s t i m m t , d. h. die Mittelpunkte aller einer dieser Axen parallelen S e h n e n liegen a u f einer geraden L i n i e , welche d i r andtren A x c parallel int: die eine dieser A x e n , y + —

ac— o

Discossion u. Transformation der allgem. Gleichung (weiter Ordnung.

Anm.

101

Weil:

(af— dJ)(ac—br)—(ae—bd)'=a(acf-—ae,—cd1—fb,-\-2bed)

= aJ,

so kann man, -wenn a von Null verschieden ist, statt der Bedingungen ac — fr' = 0 und ac — bd = 0 , auch sagen ac —fr*= 0, J = 0. § . 6 2 . B e s o n d e r e F ä l l e . Es sei jetzt a = 0, ein Fall, der nie eintreten kann, wenn ac— fr* positiv sein soll. Die Transformationen des vorigen Paragraphen sind alsdann unmöglich. IV. •) Es sei a = 0, fr von N u l l v e r s c h i e d e n , a l s o ac — b' negativ. Die linke Seite der Gleichung 2 b x y + cy'-{- 2 d x -f 2ey - f f = 0 lässt sich dann immer auf die Form bringen: ( 2 t o + qr + a ) fr+ /*) + * wo a, ß, y so bestimmt werden milssen, dass: cß+a werden.

= 2e,

2bß = 2d,

aß+y

= f

Es folgt hieraus: d

o ,

o„

cd _ 2be-

2 ebd -cd*

? = /•

fb'~ =

cd

2 bed -f cd1 6-

Die vorgelegte Gleichung transformirt sich demnach in:

(10) (2te +, qr +,

2be — ed\/X y +, Td\/ g

2bed-fb'-cd' fr1

= °A-

oder « H — — — - r ^ r = 0 ( 8 ) , ist parallel der ursprünglichen x - A x e ,

2(ae—od)

die

zweite ist in allen drei Fällen:

ax + by + d— 0-, r.-Axe selbst conjugirt,

diese Gerade ist demnach der sieb,

und ebenso

ergiebt

wenn man in dem ganzon Paragraphen die x - A x e und y - A x e ver-

tauscht, die Linie :

bx + cy -\-e mm 0 als conjugirt der ¡/-Axe in B e z i e h u n g auf die Curve ( t ) . *; Die Numcrirung der Falle und Gleicbungcn ist fortgcsoUt.

H.

102

§. 62.

Achtes Kapitel.

Nimmt m a n von den beiden sich schneidenden

. . 2 be — cd 2bx -\-cy-\ ^ = 0,

Geraden:

d y + y = 0,

die erste zur X-Axe, die zweite zur F-Axe eines neuen Coordinatensystems, so ist (§. 59, I.):

d a d u r c h verwandelt sich (10) i n :

(11)

SS'

YX=-^-(2bed-fbt-cd').

1) Ist 2bed — fb*— cd1 = 0 , so stellt d i e G l e i c h u n g z w e i sich s c h n e i d e n d e G e r a d e n , die n e u e n C o o r d i n a t e n a x e n , dar. 2) Ist 2bed — fb*— cd1 von Null verschieden, so ist (11) d i e Gleichung einer H y p e r b e l , bezogen auf ihre Asymptoten ( § . 4 5 , III.). Da nun 2 b e d — f b ' — c d * der Werth von J oder afc — ae'—cd*—fb*-\-2bed f ü r a = 0 ist, so stimmen beide Fälle mit 11., 1) u n d 2 ) ü b e r e i n : V. E s s e i a = 0, ac — i > * = 0, a l s o a u c h 6 = 0 ; c a b e r sei von Null v e r s c h i e d e n . Statt dieses speciellen Falles behandeln wir den allgemeineren, dass ac — 6 ' = 0, und c von Null verschieden ist, indem wir die Werthe von a lind b dabei ganz ausser Acht lassen. Die Gleichung (1) lässt sich in diesem Falle schreiben:

Weil:

(iac — b') (cf - e') - (cd - be)' =

cJ,

so lässt (12) eine ganz ähnliche Discussion zu wie (6), nur dass Uberall cf—e' a n die Stelle von af—d* tritt. Auch hier sind vier Falle möglich, wie in III. Die G l e i c h u n g :

(1)

ax*+2bxy+cy*+2dx

umfasst hiernach

folgende

Fälle:

+ 2ey +

f=i)

Discassion n. Transformation der allgem. Gleichung iweiter Ordnung.

Bedeutung. 1) oh ne g e o m e t r i s c h e B e d e u t u n g ac — 6* > 0,

2) 3)

4)

5)

103

Bedingungen. j J^O,

ac — b* — 0, J — 0, ac — b* = 0, A = 0, e i n P u n k t . . . ac—6'>0, A — 0. eine doppelte Gerade ac—6'= 0, J = 0, ac —6* = 0, // = 0, zwei parallele G e r a d e n . . . . ac—i» 1 = 0, J = 0 , ac—&' = 0, ¿ = 0, zwei sich s c h n e i d e n d e G e r a d e n ac—6' 0.

a c ^

0, a f - d ' = 0; 0, cf— e' = 0.

a^ c

0, af—d'< 0; 0, c/"— e* < 0.

6) e i n e E l l i p s e . . ac — 6 * > 0 , J ^ 0, — < 0. 7) eine P a r a b e l . . ac — b* = 0, J ^ 0. 8) e i n e H y p e r b e l , ac — b* < 0, Wir sehen demnach, dass die allgemeinste Gleichung zweiter Ordnung keine anderen Linien enthält, als die wir in den vorhergehenden Kapiteln kennen gelernt haben *). Anm. Von wesentlicher Bedeutung fiir das Folgende ist d i e B e d i n g u n g s g l e i c h u n g J = 0 (§. 61, Form. 4*). Es lässt sich nachweisen, dass das Bestehen derselben e r f o r d e r l i c h u n d h i n reichend ist, d a m i t der A u s d r u c k : o a ; ' + 2 bxy + c y ' + 2 dx + 2 ey + f in zwei F a c t o r e n (lx-{-my-\-n) (fx-\-m'y-\-n') z e r l e g t w e r d e n k a n n . Wir wollen die Richtigkeit dieser Behauptung unabhängig von dem Vorhergehenden beweisen. Es sei zuerst a 0. Da IP nothwendig — a ist, und das Product der beiden Factoren ungeändert bleibt, wenn der erste mit l, der andere mit /' dividirt und das ganze Product mit a multi*) Dieselben werden unter dem allgemeinen Namen K e g e l s c h n i t t e zusammengefasst, weil sie bekanntlich suerst als die ebenen Durchschnitte eines Kreiskegels betrachtet worden sind, und man spricht darum auch von der G l e i c h u n g (1) a l s d e r a l l g e m e i n e n G l e i c h u n g d e r K e g e l schnitte. H.

55- 62, 63. Achtes Kapitel

104

plicirt wird, so kann im Falle der Zerlegbarkeil folgende Form der Factoren angenommen werden: a («+M

+ v) (x -f fi'y + V).

Vergleicht man: a(x + f*y+v)(x

und:

+ fi'y + V)

ax%-\- 2 b x y - f

2 dx + 2 ey - f f ,

so sieht man, dass eine Zerlegung des zweiten Ausdrucks nur dann, dann aber auch immer möglich ist, wenn man durch vier Grössen ft, v, ft', V den fllnf Gleichungen genügen kann: i (13)

,

,

2fc

c

.




(»'+»") +

W*'

•l/iftV»'

iaef a> ' Wurzeln der quadratischen Glei-

+P"*6?+

d c

'

-

ac

O

= «•

2e Befriedigt der Werth z = — diese Gleichung, so wird auch die a letzte Gleichung in (13) erfüllt und umgekehrt. Also ist die erforderliche und ausreichende Bedingung für die Zerlegbarkcit: 4e° 8bde , 4 (b'f+d'c-acf) 5 H o o« P" ' oder: 1 (15) aef-ae — cd'— fb'-\- 2bde = J = (».

OisctMsion n. Transformation der allgem. Gleichung »weiter Ordnung.

105

Ist zweitens a = 0, b aber ^ 0, so haben im Falle der Zerlegbarkeit die Factoren von 2 b x y -j- cy*+ 2 d x -f 2ey + f die Form: 2

+ ^

+

+

Die Vergleichung der entsprechenden Glieder giebt: 2 bf* = c,

bv>=zd,

b(j*v'+v)

= e,

2W

= f,

oder: c

.

d

t

cd

,

_y e

cd \

,

Die letzte Gleichung, welche nach einiger Reduction in: - cd'—fb'+ 2bde = 0 Ubergeht, ist die Bedingung flir die Zerlegbarkeit. Sie stimmt mit (15) Uberein, wenn dort a = 0 gesetzt wird. Sind a und 6 = 0, aber c ^ 0, so erfordert die Zerlegbarkeit von c y ' 4 - 2 d » - f 2ey-\-f, wie man sich leicht Uberzeugt, dass d = 0 sei. Sind aber a = 6 = d = 0, so ist (15) befriedigt. Die Bedingung d — 0 ist also ftir die Zerlegbarkeit der linken Seite in (1) nothwendig und ausreichend. Die erhaltenen Factoren selbst sind jedoch nicht immer reell; wie sich unter anderem durch die Betrachtung der quadratischen Gleichungen (14) ergiebt. Wir gehen jetzt zu der Aufgabe Uber, w e n n die G l e i c h u n g (1) e i n e r C u r v e z w e i t e r O r d n u n g z w i s c h e n s c h i e f w i n k ligen C o o r d i n a t e n gegeben ist, dieselbe auf e i n e der beiden Gleichungen zwischen rechtwinkligen Coordin a t e n zu r e d u c i r e n : yl vi =

r

=

2PX;

eine Aufgabe, deren Lösung immer möglich sein muss, da wir schon gesehen haben, dass jede Curve zweiter Ordnung eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel ist. §. 63. R e d u c t i o n auf den M i t t e l p u n k t . Man sagt, ein Punkt 0 sei Mittelpunkt einer Curve, wenn zu jedem Curvenpunkte A ein zweiter Curvenpunkt A, auf der Verlängerung von AO Uber 0 hinaus gehört, so dass AO = A'Q• ist. Ist ein solcher Mittelpunkt vorhanden und zugleich Anfangspunkt der Coordinaten, so muss die Gleichung der Curve, wenn sie durch ( x , y) befriedigt wird, auch durch ( — x , —y) befriedigt werden, d. h. die Gleichung der Curve muss richtig bleiben, wenn man Uberall —x,—y statt x, y schreibt.

106

§§. 63, 64.

A c h t e s Kapitel

Wendet man dies auf unsere allgemeine Curve der zweiten Ordnung an, so ergiebt sich, dass wenn das Werthepaar (x, y) der Gleichung: (1)

ax'*+2bxy

+ cy%-\-2dx-\-2ey-\-f

= 0

genügt, auch die Gleichung: (1*)

ax'+ 2bxy-\-cy*—2dx-2ey

+ f = (I

befriedigt werden muss; diese beiden Gleichungen können aber offenbar nur neben einander bestehen, wenn d = 0 unde = 0 ist; die andere Folgerung a = b = c — f = 0 ist natürlich zu verwerfen. F e h l e n a l s o in e i n e r G l e i c h u n g z w e i t e r O r d n u n g die G l i e d e r d e r e r s t e n D i m e n s i o n , so ist d e r A n f a n g s p u n k t M i t t e l p u n k t d e r C u r v e . Umgekehrt, hat die Curve einen Mittelpunkt, so müssen, wenn man ihn zum Anfangspunkte wählt, die Glieder der ersten Dimension fehlen. Für ein paralleles Coordinatensystem x f , y' mit dem Anfangspunkte (£, ij) hat man x—^ — x', y — t}=y'; oder = y = y,-^-t}. Diese W'crthe in (1) substituirt, ergeben : (2)

ax"-f- 2bx'y'+ cy»+ 2x> ( o | + 6»?+^) + 2t/' (6g + cq + e) + a £ a + 26|>7 + c j j ' + 2 dg + 2ei? + f = 0.

Hat (1) einen Mittelpunkt, so muss es möglich sein, (£, y) so zu wählen, dass die Glieder der ersten Ordnung in (2) fortfallen. Dies giebt die Gleichungen: (3)

+

+

= 0,

6g + ci? + e = 0 ,

und demnach als die C o o r d i n a t e n des M i t t e l p u n k t e s : (4)

fc

be — cd

bd—ae V

~

Diese Auflösung der Gleichungen (3) aber ist ohne alle Zweideutigkeit möglich, wenn ac — 6' von Null verschieden ist. In diesem Falle, den wir jetzt ausschliesslich behandeln, hat also (1) einen Mittelpunkt, nämlich den Punkt (£, 17), dessen Coordinaten in (4) angegeben sind. Setzt man die Werthe von £ und tj in (2) ein, so verschwinden zunächst (wegen (3)) die mit 2x' und 2y' multiplicirten Glieder, und das letzte Glied: o£'-t- 2 bin + < V + 2 r f | + 2 e t ] + f = £{at + bn + d) + ii{b£ + cii + e) + d£ + eii + f ,

Discussion D. Transformation der allgem. Gleichung zweiter Ordnung.

107

geht wegen (3) in: jt- +i « , * = djbe_ — cd I + r s r


^ + £ =

oder:

Nennen wir d a h e r den vierten h a r m o n i s c h e n Punkt zu a, A', der zu A"

c o n j u g i r t ist, a', so i s t :

a ' der Durchschnitt von p =

0 und

I

/?q

yV

yV Y

a'p fa

a'

ß

-^-JrJ—r = r y

^

und in ä h n l i c h e r W e i s e ist: b ' der Durchschnitt von q = Die drei P u n k t e a',

b',

r =

c' liegen

0 und — - -t 0 und

demnach

=

0,

=

in der G e r a d e n :

0,

A",

Theorie dar TraniTerulen.

(11)

•> i

139

FIa.** = (».

Die Aussage dieses Satzes lässt sieb bei einer anderen Auffassung der Figur sehr vereinfachen. Wir haben dieselbe mit Auslassung von Aa, Bb, Cc in Fig. 59 wiederholt. Weil C, A, c, B und t f , A, b, C harmonische Punkte sind, so werden die von A' aus nach ihnen gezogenen Strahlen harmonische sein. Drei Paare dieser Strahlen fallen aber auf einander (z. B. A'B' und A'C), also werden auch A'c und A'b zusammenfallen; d. h. A', c, b liegen in gerader Linie. Ebenso ist es mit Bf, a, c und Cy b, a. Zieht man diese Geraden, so erhalt man ein vollständiges Vierseit, in welchem A'a, Bb, Cc die drei Diagonalen sind. Die obigen Rechnungen beweisen demnach den Satz: S c h n e i d e t man die drei Diagonalen eines v o l l s t ä n d i gen V i e r s e i t s d u r c h e i n e G e r a d e und b e s t i m m t zu j e dem S c h n i t t p u n k t e und den E n d p u n k t e n der D i a g o nale — diese l e t z t e r e n als c o n j u g i r t e b e t r a c h t e t — d e n vierten h a r m o n i s c h e n P u n k t , so liegen die drei so e r haltenen P u n k t e in e i n e r Geraden. Anm.

Es sind die Gleichungen von: A'A: ftq+rr = 0, A'B: p = 0, A'B': ccp + /3q + yr = 0,

also die Gleichung des dem Strahl A'B" conjugirten Strahles A'cb: — a P + ß l + 7 r = 0, ebenso lassen sich die Gleichungen von B'ac, Oba bestimmen. Wählt man demnach als die G l e i c h u n g e n der Diagonalen eines v o l l s t ä n d i g e n V i e r s e i t s : p = 0,

q = 0,

r = 0,

so sind die G l e i c h u n g e n der vier S e i t e n :

(12)

« p + ß q + r r = o, -ap + ßq + yr = Q, n"~)

wie man sich durch Auflösung der K l a m m e r n leicht Ü b e r z e u g t ; und

(Fm" - F'm')— + (F'm - Im") — + (Im' — Fm) — X X X wird

= 0

für x =

Man

sc.

kann

(5)

deshalb d i e

der unendlich entfernten Geraden

der Ebene

nutzt m a n dieselbe statt der Gleichung ( 7 ) im vorigen s o v e r w a n d e l t sich die Gleichung ( 1 1 ) desselben o1

Fm"-

(6)

F'm'

P +

/? F'm - Im"

9 +

Gleichung nennen.

Be-

Paragraphen,

in:

y* Im'- Fm

_ ~

r

In d i e s e r Geraden ( 6 ) liegen dciunach die P u n k t e , w e l c h e j e d e s m a l mit den E n d p u n k t e n der Diagonalen A'a, und den unendlich entfernten Punkten vier h a r m o n i s c h e n P u n k t e n bilden. endlich entfernten P u n k t e von A'a

B"b,

derselben

Cc

(Fig. 5 9 )

ein S y s t e m

Da a b e r zu A',

von

a und dem u n -

die Mitte von A'a als vierter h a r -

m o n i s c h e r Punkt zugehört, s o lautet dieser specielle Fall des L e h r satzes im v o r h e r g e h e n d e n Die

Mitten

Vierscits §. 8 4 .

der

drei

liegen

Paragraphen: Diagonalen

in e i n e r

Anderer

eines

vollständigen

Geraden. Da

die

Gränzbetrachtungen,

mit Ililfe deren m a n den E n t w i c k l u n g e n

Beweis

des

des

vorigen P a r a g r a p h e n

die Präcision und S t r e n g e geben k a n n ,

bei der gewählten Darstellung ihnen

letzten

fehlen,

Satzes.

uns zu

weit

w ü r d e n , so wollen wir den directen B e w e i s des zuletzt

welche fuhren

gegebenen

S a t z e s als letzte Anwendung der in diesem Abschnitte a u s e i n a n d e r gesetzten Principien Wir

beziehen

auf Fig. 5 9 . (1)

Es

inittheilen. uns

dabei

auf

die R e c h n u n g e n

in

§. 8 2

seien:

G l e i c h u n g von BC:

p =

Ix

my - n

=

ü,

(2)

-

-

CA : q = Fx + m'y + u' = 0 ,

(3)

-

-

AB:

r = F'x

m"y -j- n" = 0 ,

und

142

5- 84. (4)

Nennte« Kapitel.

Theorie der Transveraalen.

Gleichung von A'C:

(5)

-

-

(6)

-

-

(7)

-

-

(S)

-

-

(9)

-

-

ap - f ßq + y r =

0,

A'b: -ap + ßq + yr^O, ffa: + yr = (), ap-ßq Ca: ap-{- ßq — yr = 0. A'A: aA:

ßq + rr = 0, ßq-yr = 0.

Die Gleichung einer Parallelen mit BC

durch A ist:

k (Fx + m'y + n') - f fi (F'x - f m"y -J- n " ) = lq + ftr = 0 , wo:

ll'A-ul" l j ; r

± ^

l

=

r

- (

§

.

19, Form. 4),

oder:

X (Fm — Im') + n (F'm - Im") = 0, woraus: A. _

l

"m ~

lm

"

ju ~~ Im'— Fm Also wird die Gleichung der Parallelen:

(10)

(l"m - Im") q + (lm'~ Fm) r = 0.

Sucht man zu ( 8 ) ,

(9)

und ( 1 0 )

den vierten harmonischen

Strahl, so schneidet er p = 0 in der Mitte von Vergleicht

man

nungen mit der gegenwärtigen Entwickelnng, Mitte von A'a p = 0

'

und:

und:

und die Mitte von Cc r = 0

so sieht m a n ,

ist der Durchschnitt von:

P

und:

• „ q1 +

F'm — lm"

und ähnlich die Mitte von 7 = 0

Aa.

die zu Anfange des §. 8 2 angestellten Rech-

ffb

r' ——z—r =

0,

Im — Fm

ist der Durchschnitt von:

y" —¡——s————-p 1

Im'—Fm

«'

Fm"—F'm'

=

0,

ist der Durchschnitt v o n : +

=

die

§. 85.

Zehnte« Kapitel.

Combinatiott eine« Kegelschnitte« etc.

143

Die drei Mitten liegen demnach in der Geraden: =

2

FGO1,

i ,

wo p das vom Mittftpunkte O* auf die Tangente in 0 gefällte Loth bedeutet. Dadurch verwandelt sich (4) in: 10 *

148

88, 89.

«•sin GOB p 7T5 = -7n OB 2

Zehnte* Kapitel.

. oder in:

u* 10B — = —* __ • p sin GOB

Die rechte Seite dieser Gleichung ist aber der Radius Oo eines Kreises, der die Ellipse in 0 berührt, also GF zur Tangente hat, und durch B geht, wie man leicht aus der Figur ersehen wird, wo die Construction des Mittelpunktes o ausgeführt ist. Hieraus folgt: Der R a d i u s e i n e s K r e i s e s , w e l c h e r die E l l i p s e in 0 b e r ü h r t u n d in B s c h n e i d e t , i s t g l e i c h — , wo u d e n d e r P S e h n e OB p a r a l l e l e n H a l b m e s s e r u n d p d a s v o m Mitt e l p u n k t e d e r E l l i p s e auf d i e T a n g e n t e in 0 g e f ä l l t e Loth bedeutet. §. 88. F o r t s e t z u n g . So wie in der Relation (§. 86, Form. 3) Segmente verschwinden können, so können dieselben auch unendlich gross werden. Es seien AB, A'B' zwei parallele Sehnen eines Kegelschnittes, die von einer dritten CD resp. in 0 und 0' geschnitten werden; dann ist: OAOB

ÖC¥

=

O'A'O'B'

W

,

ODER:

OAOB

O'A'O'B1

-öc-'—eu-=

__

0D:0FD

-

Ist der Kegelschnitt eine Parabel oder Hyperbel, so kann man die Sehne CD so um C drehen, dass D sich immer mehr von C entfernt. Für den Fall der Parabel wird endlich CD der Axe, und für den Fall der Hyperbel (Fig. 63) einer der beiden Asymptoten parallel werden, und weil OD = O'D+OO', halb oder innerhalb O'D liegt, so geht

jenachdem 0 ausser=

wenn

OD immer grösser wird, endlich in E i n s über, d . h . : Zieht man d u r c h einen P u n k t C einer P a r a b e l (oder H y p e r b e l ) e i n e P a r a l l e l e z u r A x e d e r P a r a b e l ( o d e r zu einer Asymptote der H y p e r b e l ) und schneidet dieselbe z w e i p a r a l l e l e S e h n e n AB, A'& in 0 u n d 0*, so i s t : OAOB OC

~

O'A'O'B' 0>C '

, oder:

OAOB VA'VB

OC O'C

Wir Ubergehen alle Folgerungen aus diÄer Gleichung bis auf eine. Denkt man sich im Falle der Hyperbel die Transversale COO'

Combination eines Kegelschnittes nnd geradliniger Transversalen.

149

durch parallele Verschiebung der Asymptote immer näher rückend, OC so entfernt sich C immer weiter von 0 falls endlich =

wird

eben-

z w e i p a r a l l e l e H y p e r b e l s e h n e n , AB,

A'Bf,

1, und man hat den Satz:

Schneiden

e i n e A s y m p t o t e in o u n d o', §.

89.

und 0 ' , ^

Die

s o i s t Ao-Bo

Gleichung

zweier Tangenten.

=

A'o'-I?&.

« , — 2*t>+il,t»t =

0;

System

W i r kommen auf einfache Weise zu neuen

Sätzen Uber die Durchschnitte eines Kegelschnittes und einer Transversalen,

indem wir die Gleichung derselben unter einer anderen

Form darstellen (§. 6 9 ) . A

und C:

Es seien ( » , , y , ) ,

(xt,

zwei

yt)

Punkte

dann sind die Goordinaten eines jeden Punktes B

Geraden AC

durch die Gleichungen

1- X

(1)

'

y

der

gegeben:

~

1 —A

'

*~CB

Setzen w i r diese Werthe in: U =

ax,+

2bxy + cy'+

2dx+2ey

+ f =

0

ein, so erhalten wir, nachdem wir die Gleichung mit ( 1 — A)* multiplicirt haben: a(x, +

-Xxt)'+2b(*,

-

Xxt)(yt

Xyt) + c (y, -

-

Xyt)•

2 d ( x , - X x t ) ( 1 - X ) + 2 e ( y , - X y , ) ( l - X ) + f(l—X)*

=

0,

oder, wenn wir nach X ordnen: 2 bx, y, + cy) - f 2 dx, +

ax»+ -

2X\axtx, +

+ b(«,y,

X>(axl+2bxtyl

Schreiben wir der Kürze u,=ax]

+ 2bx, y, + cy]

2 eyt +

+ c y . y , + d(xt

+ xty,)

+ cy\+2dxt+2eyt

+ f) =

2 d x , + 2ey, + f ,

ax] + 2 b x t y t + cy J - f 2 d x t + 2ey, + f ,

v

ax, xt + 6

=

=

+

foyt-M.y.J+cy.y,+ +

0.

wegen:

«, =

=

f

+ * , ) + « ( y , + y . ) + f\

y,

'= 0

ist, und umgekehrt, jeder Punkt ( x „ yt),

welcher der Gleichung ( 4 )

genügt, liegt auf einer der von ( x , , y , ) an U gezogenen Tangenten, d. h. schreibt man in u, und e

statt x t

und y, so ist die Gleichung des Systems

der

lind yt von

bezüglich

x

( x , , y , ) an

U

gezogenen Tangenten: (5)

( « * • + 2 bxy + c y ' - f 2 d x + 2 ey +

f ) x

( « * ; + 2 6 x , y , - f cy) - f 2 d x t + 2cy, + f ) -

|x(ox, + byt + d) + y ( 6 x , + cyl + e) + dxi + eyt+f\>

=

0.

Die linke Seite dieser Gleichung muss sich in Factoren des ersten Grades in Beziehung auf x und y zerfallen lassen (vgl. §. 1 0 1 ) , die einzeln gleich Null gesetzt, die Gleichungen der Tangenten geben. Lassen sich vom Punkte

(x,, y,)

keine Tangenten

an

die Curve

ziehen, so werden j e n e Factoren imaginär, und man kann in diesem Falle von zwei idealen, sprechen.

durch

(x,, y,)

gehenden

Tangenten

Combination eine» Kegelschnittes nod geradliniger Tr*n »renalen.

15]

Will man die Berührungspunkte finden, so muss die Gleichung ( 5 ) mit der Gleichung der Curve U verbunden werden.

Dadurch

verwandelt sich ( 5 ) i n :

(6) x(axi + byi + Ba-Ba''

Dies ist ein besonderer Fall des Satzes §. 86. Andere specielle Fälle, die sich aus (3) ableiten lassen, wenn von den Durchschnittspunkten a, a', u. s. w. einige zusammenfallen oder ins Unendliche rücken, übergehen wir. Die Gleichung (3) lässt sich noch auf j e d e s g e s c h l o s s e n e Vieleck verallgemeinem. Es seien z. B. A, B, C, D, E fünf Punkte, welche durch die Geraden AB, BC, CD, DE, EA verbunden sind, also die Ecken eines Fünfecks im allgemeineren Sinne. Sind («,, y,), (x t , y,), . . («,, y 5 ) die Coordinaten dieser Punkte, «,, « „ . . «, die diesen Punkten bezüglich zugehörigen, dem Früheren entsprechend gebildeten Ausdrücke, a, a'; ß, ß; .. t, e' die Durchschnittspunkte der Curve mit AB, BC, .. EA, so hat man:

§. 92.

156

Zehntes Kapitel.

Aa-Aa' _ ii, Bß Bfi _ «, Cy-Cy' _ u, — Ba-Ba' ~ M , ' C/S C/f « , ' Dy-Dy' ~ ut ' PS Di' _ EtEt* _ u^ E3-ES1 ~ t»s ' ¿«-il«' ~~ u, ' woraus durch Multiplication: (

'

Aa• Aa' Bß- Bß- Cy • Cy'- BS-DS>. Et Et' _ Ba-Ba' Cß-Cß' DyDy> Ed-Ed'-At-At' ~

Die in (3) und (4) enthaltenen Sätze rühren von C a r n o t her. §. 92. P o l a r e e i n e s P u n k t e s . Behalten wir die Bezeichnungen der vorhergehenden Paragraphen bei, sind also A und B die Punkte (x,, yt), ( x „ yt), y und y' die Durchschnitte von AB

Ay

Ay'

mit der Curve (Fig. 65), also -g^-, chung:

-g^- die Wurzeln der Glei-

«, — 2 e A - | - « 1 i f = 0,

so werden die Punkte A, B; y, y' zwei Paar conjugirter harmoni-

Ay scher Punkte sein, wenn

Ay' -)-

= 0 (§. 74, Note).

Nun ist

aber die Summe der Wurzeln der vorliegenden quadratischen Gleichung gleich 2 — , also wird

ut

tiy

+'4^7

=

0 s e' n > wenn r = 0

ny

ist; mit anderen Worten: die Punkte (»,, «/,), (x„ yt) und die Durchschnittspunkte der durch sie gelegten Geraden mit der Curve V = 0 sind vier harmonische Punkte, wenn:

x, (ax, -f by, + ) (3)

+ m(ed-fb)+n{be

(Xy, = ^j[l(ed — fb) +m(af(

X

=

-l[/(6e —

d') +

-cd)],

n(bd-ae)],

cd) + m(bd-ae) + n(ac — 6 ' ) ] ,

wo:

J = acf- ae'— cd//>'+

2bde,

Combination eine« Kegelschnitte* nnd geradliniger Traoiyerulen.

16}

und: (4)

_ l(cf— c') -f m(ed-fb) + n(be~cd) ~~ l(be - cd)+ m(bd-ae)+n(ac — b') ' , l(cd-fb)+m(af-d') + n (bd - ae) V Kbe - cd) + m(bd-ae)+ n(ac-b') '

Ist J von Null verschieden, — ein Fall, den wir hier, um nicht zu weitläufig zu werden, ausschliesslich betrachten wollen, — also U = 0 nicht in Factoren des ersten Grades zerlegbar, sondern die Gleichung einer (reellen oder imaginären) Curve des zweiten Grades, so sind die in (3) gefundenen Werthe von Xx,, Xy, und X endlich. Die Werthe von x,, y, selbst werden aber unendlich, wenn:

l(be-cd)+m(bd—ae)+n(ac-b') ist.

= 0

Da aber fllr den Fall, dass oc—o < 0 ,

be — cd r r = S> ac— b

— tj die Coordinaten des Mittelpunktes der Curve sind,

—^

so drückt die vorhergehende Gleichung oder -f- m>7 -J- f» = 0 aus, dass die Gerade Ix -f- my - f n = 0 durch den Mittelpunkt der Curve geht.# Jede Gerade hat also in Bezug auf eine Curve zweiter Ordnung einen P o l , der ins Unendliche fällt, wenn die Gerade durch den Mittelpunkt geht. FUr den Fall der P a r a b e l , oder ac—b* = 0, ergiebt sich ein unendlich entf e r n t e r Pol, wenn die Gerade der Axe p a r a l l e l ist. Die oben ausgeführten Rechnungen ergeben auch die Bedingungsgleichung, welche erfüllt sein muss, damit Ix-^-my + n = 0 eine Tangente der Curve U = 0 sei. Offenbar müssen dann die durch die Gleichungen (4) dargestellten Coordinaten des Pols dieser Geraden der Gleichung:

ax) + 26», y, + cy) + 2dxl +

2ey,-\-f=0,

oder:

x, (axt -hbyt + d) + y, (bx, + Cy, + e) + dx, + eyl + f = 0 genügen. .

=0,

so wird der Pol derselben: x

_ x-fi'x, *~

'

_ y,-n'yt i-p'

'

wo

,_ f* ~

jv

Ä

1

166

§. 96.

Zehntel Kapitel.

und es ergiebt sich:

also:

£'. — iL X' ~ Ä '

III. W e n n ß, fi, ß", ß"' d i e D u r c h s c h n i t t s p u n k t e s i n d e i n e r T r a n s v e r s a l e n mit vier d u r c h einen und d e n s e l b e n P u n k t A g e h e n d e n G e r a d e n , s o l i e g e n die P o l e d i e s e r G e r a d e n , n f i m l i c h B, B, B", R", auf e i n e r g e r a d e n L i n i e ( d e r P o l a r e n d e s P u n k t e s A), u n d es i s t : B"B B"'B = ß'ß ß"ß : B"B''' B"'B' ~ ß'ß" ß"ß ' B i l d e n d e m n a c h Aß, Aß?, Aß", Aß" ein h a r m o n i s c h e s S t r a h l e n b ü s c h e l , so sind i h r e Pole vier h a r m o n i s c h e Punkte. §. 96. T h e o r i e d e r r e c i p r o k e n P o l a r e n . A n w e n d u n g auf d i e K e g e l s c h n i t t e . Wenn man zu jedem Punkte die zugehörige Polare und zu jeder Geraden den zugehörigen Pol construirt, so kann man mit Rücksicht auf die in den beiden letzten Paragraphen entwickelten gegenseitigen Beziehungen von Pol und Polare eines Kegelschnitts zu einem beliebig gegebenen System von Punkten P und Geraden G ein zweites System von Geraden G' und Punkten F herstellen, so dass jeden drei oder mehreren Punkten P, welche in einer geraden Linie liegen, in gleicher Anzahl Geraden G' entsprechen, welche durch einen und denselben Punkt gehen (§. 94, II.), und umgekehrt jeden drei oder mehreren Geraden G, welche sich in demselben Punkte durchschneiden, in gleicher Anzahl Punkte F, welche derselben geraden Linie angehören (§. 95, II.). Man nennt von zwei solchen zusammengehörigen Systemen das eine das r e e i p r o k e p o l a r e S y s t e m des anderen und die Theorie, vermöge deren man gewisse, und zwar vorzugsweise Situationseigenschaften, des einen Systems in bestimmten Modificationen auf das andere übertragen kann, die T h e o r i e d e r r e c i p r o k e n Polaren. Das erste System sei eine beliebige geradlinige Figur F, so ist die reeiproke polare Figur F eine geradlinige Figur von gleichviel Ecken und Seiten, weil jeder Ecke oder Seite der einen eine Seite oder Ecke der anderen entspricht. Als einfaches Beispiel zweier solchen reciproken polaren Figuren können etwa ein einem Kegel-

Combinstioo eine« KegeUohniUea und geradlinig«

TTUSTMMIMI.

167

schnitte umschriebenes Vieleck V und dasjenige eingeschriebene Vieleck V' dienen, dessen aufeinander folgende Ecken die Berührungspunkte der auf einander folgenden Seiten des ersteren sind; denn nach §. 92 ist jede Berührungssehne (Seite von V) die Polare des Durchschnittspunktes der zugehörigen Tangenten (Ecke von F) und der Berührungspunkt (Ecke von F') jeder Tangente (Seite von V) als deren Pol anzusehen. Werden die geradlinigen Bestandteile des Umfanges L der ersten Figur F immer zahlreicher und kürzer, so dass L mehr und mehr in einen continuirlichen, krummlinigen Zug, auf welchen Fall wir uns hier beschränken, übergeht, so nähern sich auch n o t wendig die Eckpunkte der Figur F immer mehr; denn weil jede gerade Linie a durch irgend zwei auf einander folgende geradlinige Elemente ß und ß{ von L in Punkten durchschnitten wird, welche immer näher zusammenrücken, so findet (§. 95, Anm. zu II.) dasselbe Air die geraden Linien B und Bt statt, welche von dem Pole der Geraden a aus durch die Pole von ß und ßx gezogen werden, d. h. es rücken auch die Eckpunkte von F, — ausser dieselben fallen ins Unendliche, — einander fortdauernd näher. Geht endlich der Umfang der einen Figur vollständig in ihren Gränzfall, eine krumme Linie C, Uber, so wird auch der Umfang der zweiten Figur eine Curve C, und zwar entspricht jedem Punkte der einen eine Tangente der zweiten und umgekehrt. Während man aber die eine dieser beiden Curven definiren kann als erzeugt durch die Bewegung eines Punktes welcher fortwährend seine Richtung verändert, so hat man die andere zu betrachten als abgegränzt durch die Drehung einer geraden Linie (einer Tangente), welche fortdauernd ihren Drehungsmittelpunkt verändert. Diese Erzeugungsweise krummer Linien durch die Bewegung einer Tangente ist in der allgemeinen Theorie der Curven von derselben Bedeutung als die Entstehung dieser Linien durch die Bewegung eines Punktes. Aus der gegenseitigen Beziehung zweier reciproken polaren Curven geht hervor, dass die Anzahl der Durchschnittspunkte, welche eine beliebige Transversale G mit der einen ergiebt, im Allgemeinen gleich ist der Anzahl der Tangenten, welche man von einem Punkte P (dem Pol von G) an die zweite legen kann, und umgekehrt. Wenn also die eine Curve ein Kegelschnitt ist, d. h. wenn sich an dieselbe (§. 89) von jedem Punkte aus zwei reelle oder ideale Tangenten legen lassen, so ergiebt die reciproke polare

168

fii 96, 97.

Zehntes Kapitel

Curve mit jeder Transversale zwei reelle oder imaginäre Durchscbnittspunkte, d. h. diese Curve ist vom zweiten Grade, also ebenfalls ein Kegelschnitt. Es sei K der Kegelschnitt, in Beziehung auf welchen zu einem zweiten Kegelschnitt C die reciproke polare Curve C gesucht wird, so ergiebt sich, wenn wir den Fall, wo der Hilfskegelschnitt K eine Parabel ist, der Kürze wegen ausschliessen, weil nach §. 93 zu jeder durch den Mittelpunkt von K gelegten Geraden der Pol im Unendlichen liegt, dass, jenachdem sich von diesem Mittelpunkte aus zwei reelle, zwei ideale (d. h. keine) oder zwei zusammenfallende, d. h. eine einzige, Tangenten an C legen lassen, von dem Kegelschnitt C in zwei verschiedenen Richtungen, in keiner oder in einer einzigen Richtung ein Punkt im Unendlichen liegt; also: Jenachdem der Mittelpunkt des Hilfskegelschnitts K a u s s e r h a l b , i n n e r h a l b , o d e r auf d e m K e g e l s c h n i t t C l i e g t , ist der P o l a r k e g e l s c h n i t t C eine H y p e r b e l , eine Ellipse o d e r eine Parabel. Anm. Zu beachten ist noch, dass die Berührungspunkte der gemeinschaftlichen Tangenten der Kegelschnitte C und K auf K zugleich Punkte von C sind, woraus sich ergiebt, dass C den Kegelschnitt K in vier, oder in zwei Punkten, oder gar nicht durchschneidet, jenachdem die Kegelschnitte C und K vier, oder zwei, oder gar keine gemeinschaftlichen Tangenten haben; fallen von den gemeinschaftlichen Tangenten zwei zusammen, so fallen von den Schnittpunkten von K und O zwei als unendlich nahe liegend (§. 95, Anm. zu II.) zusammen, d. h. auch die beiden Kegelschnitte K und O haben eine Tangente gemeinschaftlich. §. 97. B e i s p i e l z w e i e r K r e i s e . Die analytische Lösung der allgemeinen Aufgabe, zu e i n e m g e g e b e n e n K e g e l s c h n i t t C in B e z i e h u n g a u f e i n e n z w e i t e n g e g e b e n e n H i l f s k e g e l s c h n i t t K den P o l a r k e g e l s c h n i t t C zu f i n d e n , wenn man den ersteren als GrSnzcurve seiner Tangenten, den letzteren also als Ort seiner Punkte betrachtet, bietet mit Rücksicht auf die bereits dargestellten Gleichungen (§. 93, Form. 4 und 5), welche dabei in Anwendung kommen, abgesehen von der weitläufigen Rechnung, keine besondere Schwierigkeit dar. Wenn man eine beliebige gerade Linie:

Combinttion «ine« Kegdichnittaa and geradliniger Tran*T«tuta».

169

(1) te + «y-|-i» = 0 als Tangente um den Kegelschnitt C herumführt, so beschreibt gleichzeitig ihr Pol in Beziehung auf K den gesuchten Polarkegelschuitt C: man erhält demnach die Gleichung desselben, wenn man aus der Bedingungsgleichung, dass die Linie (1) Tangente von C ist (§. 93, Form. 5), und den Gleichungen ihres Pols in Beziehung auf K (§• 93, Form. 4) die Coefficienten /, m, n, durch welche die Lage von (1) specialisirt wird, eliminirt In der Ausführung wollen wir uns hier auf den Fall beschränken, wo C und K Kreise sind, die Gleichungen derselben seien fiir rechtwinklige Coordinaten: C = » , + y * - o i = 0, K = (x - o ) ' + (y - ¡3)'- r* = 0, so werden die Gleichungen (5) und (4) aus §. 93 mit den durch unseren besonderen Fall bedingten Modificationen: (2)

o , ( i , + m , ) = »',

und: («*— r ' ) 1 + " P " +

( (3) y>

a n

~~ al + /3m + n _ afl + i F - r ^ m + ß n ~ al+ßm + n

=

a

=

r%l

° ß P

al+ßi» + »' r'm al+ßn + n'

die letzten beiden Gleichungen lassen sieb, wenn man: (4)

* , - « = *„

y - ß = y .

und:

= ^

einführt, ersetzen durch: xt+Sl=Q

und

yt+dm

= 0,

woraus sich mit Berücksichtigung des Werthes von S ergiebt: l:m:n = xt :y,: — (axt+ßyt + r'); diese Werthe in die Gleichung (2) eingesetzt, ergiebt sich als die Gleichung des P o l a r k e g e l s c h n i t t s : C = a ' ( x j -f yj) - (ox, + ßyt + r')' = 0. In dieser Gleichung kann man x, und yt ansehen als neue, den anfänglichen Coordinaten x und y parallel gelegte Coordinaten, deren Anfangspunkt der Mittelpunkt k des Hilfskreises K ist, wie aus den Gleichungen (4) hervorgeht: alsdann ist x j + y i das

170

$- 97.

Zehntes Kapitel.

Combioation eine« Kegelschnitte! etc.

Quadrat des Abstandes d eines beliebigen Punktes Pt der Polarcurve von k (Fig. 66) und («*, + ßyt+ry

nach §. 23, Form. 7, ab-

gesehen von dem Factor

. * „ = , wo c die Centrale der c « +P beiden Kreise K und C bedeutet, das Quadrat des Lothes p vom Punkte Pt auf die gerade Linie: (5)

axt + ßyt + r' = 0.

Es ist also der Polarkegelschnitt O definirt durch die Gleichung: (6)

d' y

=

c* är'

°der:

d 7

=

±

, c T '

d. h. d i e s e r K e g e l s c h n i t t i s t (§. 49) E l l i p s e , H y p e r b e l o d e r £ P a r a b e l , jenachdem — grösser, kleiner oder gleich Eins ist, also (t die Centrale der gegebenen Kreise C und K grösser, kleiner oder ebenso gross ist als der Radius des Kreises C, oder was dasselbe ist, j e n a c h d e m d e r M i t t e l p u n k t d e s H i l f s k r e i s e s a u s s e r halb, i n n e r h a l b oder auf der P e r i p h e r i e des Kreises C l i e g t , was mit dem Schlussresultat des vorigen Paragraphen übereinkommt. In allen Fällen ist k, der Mittelpunkt des Hilfskreises K, ein Brennpunkt des Polarkegelschnitts O, weil durch die Gleichung (6) ausgedruckt wird, dass die Abstände eines beliebigen Punktes Pt dieses Kegelschnittes von dem Punkte k und der geraden Linie (5) ein constantes Verhältniss haben (§. 49), ferner geht aus der Gleichung der Geraden (5), d. h. der zu k gehörigen Leitlinie, hervor, dass dieselbe die Polare ist des Mittelpunktes von C in Beziehung auf den Hilfskreis K (vgl. §. 104). Die Construction des Kegelschnitts C macht darum keine Schwierigkeit. Wenn die beiden Kreise C und K gemeinschaftliche Tangenten zulassen, so sind ebenso viele Punkte von C von vornherein angebbar (§. 96, Anm.). Wir werden im folgenden Kapitel noch wiederholentlich Gelegenheit zur Anwendung der Theorie der reeiproken Polaren finden.

98.

Elftes Kapitel.

Combination Ton Kegelschnitten.

171

Elftes Kapitel. Combination zweier und mehrerer Kegelschnitte. §. 98. B e s t i m m u n g d e s K e g e l s c h n i t t e s d u r c h flinf P u n k t e . Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts: U = a s ' - f 2bxy - f cy'-f- 2 dx -f 2ey - f f = 0 enthält sechs Constanten, welche sich durch Division mit einer derselben, z. B. mit f , und Einführung neuer Constanten an Stelle der Quotienten - y ,

. . auf fünf zurückführen lassen: hieraus folgt,

dass ein Kegelschnitt im Allgemeinen durch fünf von einander unabhängige Bedingungen, z. B. durch fünf beliebige Punkte, welche er enthalten soll, bestimmt ist Um die G l e i c h u n g des d u r c h fUnf g e g e b e n e P u n k t e g e h e n d e n K e g e l s c h n i t t s zu f i n d e n , hat man etwa die Coordinaten dieser Punkte der Reihe nach an die Stelle von x und y in die Gleichung U = 0 einzusetzen, und aus den sich dadurch ergebenden fllnf Gleichungen die Verhältnisse der zu bestimmenden Constanten aibic:d\e:f abzuleiten. Diese Gleichungen führen als Gleichungen ersten Grades im Allgemeinen zu bestimmten endlichen, reellen Werthen dieser Verhältnisse, und demgemäss ist auch der sich ergebende Kegelschnitt, wenn man als solchen auch das System zweier geraden Linien ansieht, abgesehen von einzelnen Ausnahmefällen, von denen alsbald die Rede sein wird, vollständig bestimmt. Eine zweite, zu einem Ubersichtlicheren Resultat führende Methode, die Gleichung des gesuchten Kegelschnittes herzuleiten, besteht darin, dass man erst vier von den gegebenen fünf Punkten als Eckpunkte eines Vierecks durch gerade Linien verbindet: diese Punkte seien A, B, C, D und vier ihrer Verbindungslinien AB, BC, CD, DA der Reihe nach ausgedrückt durch die Gleichungen:

i

p=

+ n

=0,

q = ltx + mty + nt

te+my

=0,

r = ltx -f- mty + »,

=0,

« = l,x + m3y + n} = 0;

172

§§. 98, 99.

Elftes Kapitel

SO ist:

(2) die

Gleichung

pr + kqs =

0

eines K e g e l s c h n i t t s ,

welcher

durch

die

v i e r P u n k t e A, B, C, D h i n d u r c h g e h t : denn diese Gleichung ist erstens vom zweiten Grade in Beziehung auf x und y, d. h. einem Kegelschnitt angehörend, zweitens wird sie durch die Werthepaare p = q = 0, q — r = 0, r = » = 0, s = p = 0 erfüllt, also geht der durch die Gleichung (2) dargestellte Kegelschnitt durch die Durchschnittspunkte A, B, C, D der Linienpaare (1).

Nunmehr

lässt sich die noch willkührliche Constante X dadurch leicht bestimmen, dass man in die lineären Ausdrucke p, q, r, s die Coordinatenwerthe des fllnften Punktes E einsetzt.

des gesuchten Kegelschnitts

Diese Bestimmung von k ist nicht ausführbar, einmal

wenn die vier Gleichungen (1), abgesehen von constanten Factoren, identisch werden, d. h. die vier Punkte A, B, C, D in einer geraden Linie liegen; zweitens wenn von den Punkten A, B, C, D irgend drei, z. B. A, B, C, zugleich mit E auf einer geraden Linie liegen, weil dann durch Einsetzen der Coordinaten von E die Ausdrücke von p und q,

welche den Verbindungslinien AB und BC

zugehören, verschwinden; in beiden Fällen erhält der Werth von A aus Gleichung (2) die unbestimmte Form {¡, so dass also der Kegelschnitt durch fünf gegebene Punkte unbestimmt bleibt, wenn mehr als drei derselben auf einer geraden Linie liegen. Ist der zus uchende Kegelschnitt seiner Form oder Lage nach irgend welchen Beschränkungen unterworfen, d. h. sind eine oder mehrere Gleichungen zwischen seinen Constanten von vornherein zu erfüllen, so verringert sich die Anzahl der zu seiner Bestimmung erforderlichen Punkte um einen oder mehrere; z. B. erfordert eine Parabel (d. h. wenn a c — 65 = 0 ist (§. 67)) zu ihrer Bestimmung nur vier Punkte, ein Kreis (d. h. wenn a = c und b = acosqp ist (§. 65, Form. 16)) nur drei Punkte, ein Kegelschnitt, von welchem die Axenrichtung und der Mittelpunkt bekannt sind, d. h. in dessen Gleichung unter der Annahme conjugirter Durchmesser als Coordinatenaxen die Coefficienten der Glieder mit xy,

x und y ver-

schwinden (§. 61), nur zwei Punkte. Anstatt gegebener Punkte, durch welche ein Kegelschnitt bestimmt werden kann, können auch gerade Linien eintreten, welche als Tangenten des Kegelschnitts zu seiner Bestimmung dienen, und

Combination tob Kegelschnitten.

173

aus der Theorie der reciproken Polaren ergiebt sich, dass, sowie fUnf Punkte hinreichend sind zur Bestimmung eines durch sie zu legenden Kegelschnitts, auch fünf gerade Linien im Allgemeinen nur einem einzigen Kegelschnitt als Tangenten zugehören (vgl. §. 105). §. 99. K e g e l s c h n i t t e d u r c h v i e r P u n k t e , Ort d e r M i t t e l p u n k t e d e r s e l b e n , V e r a l l g e m e i n e r u n g . Weil durch fUnf Punkte, von denen nicht mehr als drei auf einer geraden Linie liegen, nur ein einziger Kegelschnitt möglich ist, so ergiebt sich die Gleichung: (1) pr + Xqi = 0, in welcher p, q, r, i durch die Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen definirt werden und 1 ein beliebiger constanter Factor ist, als die allgemeinste Gleichung der durch die vier Punkte A oder p = q = 0 , B oder q = r = 0 , C oder r = s = 0 , D oder s = p = 0 gehenden Kegelschnitte. Es kann darum unter der Annahme veränderlicher Werthe von X die Gleichung (1) angesehen werden a l s die G l e i c h u n g a l l e r durch die v i e r P u n k t e A, B, C, D zu l e g e n d e n K e g e l s c h n i t t e , in der Weise, dass jedem besonderen Werthe von Ä ein besonderer Kegelschnitt des Systems entspricht. Die allen Kegelschnitten des Systems gemeinschaftlichen Punkte sind hierbei aufgefasst als die Durchschnittspunkte der beiden Linienpaare p = 0 , r = 0 und q = 0 , » = 0 ; man kann diese Linienpaare ersetzen durch irgend zwei die Punkte A, B, C, D enthaltenden Kegelschnitte: 1

'

,ü =ax> + 2bxy + cy*-f 2ds + 2ey +f = 0, | V = a ' x ' + 2b'xy+&y*+ 2d'x -f 2e>y + f = 0,

und erhält dann das S y s t e m d e r d u r c h d i e s e l b e n v i e r P u n k t e g e l e g t e n K e g e l s c h n i t t e d a r g e s t e l l t durch die G l e i c h u n g :

(3)

U+lU'

= 0,

wo A wieder einen Factor bedeutet, welcher für jeden einzelnen Kegelschnitt des Systems einen besonderen Werth annimmt; denn auch diese Gleichung ist im Allgemeinen vom zweiten Grade und wird ausserdem durch jedes Werthsystem von x und y, welches den Gleichungen (2) genügt, befriedigt, d. h. die Gleichung (3) stellt einen Kegelschnitt dar, welcher durch die den Kegelschnitten U und V gemeinsamen Punkte, also A, B, C, D geht (vgl. §. 102).

174

§. 99.

Elfte« Kapitel.

Um eine Anwendung dieser für viele Untersuchungen höchst zweckmässigen Darstellungsweise (2) des dieselben vier Punkte enthaltenden Systems von Kegelschnitten zu geben, handle es sich um die Lösung der Aufgabe: d e n g e o m e t r i s c h e n O r t d e r M i t t e l p u n k t e a l l e r K e g e l s c h n i t t e zu f i n d e n , w e l c h e s i c h d u r c h vier gegebene Punkte legen lassen. Alsdann hat man A, den variabeln Parameter, durch dessen Werth der jedesmalige, die Durchschnittspunkte von U und V enthaltende Kegelschnitt specialisirt wird, aus den Gleichungen des Mittelpunktes des Kegelschnitts: 17 -f XU' =

( a 4 - A a ' ) x*+2(b

+ lb') xy + ( c - f X&) y* +/ >+V

+ 2(d + M)x+2{e+ke')y

= 0

zu eliminiren, d. h. wenn man die Coordinaten dieses Mittelpunkts durch t] bezeichnet, aus den Gleichungen (§. 63, Form. 3): (a + Aa') |

+ (b

(6 + A6') | + (c

+ A6') i? +

d

+ Ad' = 0,

+ X&) tj + e + Xe>

= 0,

oder: a|

+ bri + d+

X (a'£ + b'n + d')

= 0,

b£ + cv + e + X ( b > t + &V + e') = 0, woraus sich ergiebt: (4)

( a ! + f c u + d ) ( 6 ' S + C i 7 + C ) - ( o ' H - 6 ' 9 + * ) ( 6 i + C 9 + i ) = 0,

Diese Gleichung ist vom zweiten Grade in Beziehung auf den veränderlichen Mittelpunkt (£, tj), d. h. sie ergiebt a l s O r t d i e s e s P u n k t e s e i n e n K e g e l s c h n i t t . Ersetzt man in (4) £ und 7} bezüglich durch x und y und führt der Kürze wegen: icue+by Ux

+ d =

s,

a'x-\-b'y

+ cy + e = t,

+

b'x + c'y + e'

d'=s', =V

ein, so erhalt diese Gleichung folgende Form: (6)

sl'—

tz' =

0,

d. h. d i e s e l b e d r ü c k t e i n e n K e g e l s c h n i t t a u s , w e l c h e r d u r c h die S c h n i t t p u n k t e der b e i d e n L i n i e n p a a r e f u n d t, s' h i n d u r c h g e h t , d. h. d u r c h die v i e r P u n k t e : a

= t

= 0,

t

=

f =

0,

f

= »' = 0,

s' = s = 0,

Combination von Kegelaebnitten.

175

von denen der erste und dritte die Mittelpunkte der beiden Kegelschnitte (2) sind (§. 63, Form. 3), der zweite und vierte aber die Durchschnittspunkte der der Richtung der Cotrdinatenaxen conjugirten Durchmesser dieser beiden Kegelschnitte (Note zu §. 61), also weil die Richtung der Coordinatenaxen eine ganz beliebige ist, jdie Durchschnittspunkte der zu irgend welcher Richtung gehörigen conjugirten Durchmesser von U und U', so dass, wenn man beliebige vier parallele Tangenten an die beiden Kegelschnitte U und U' legt, die BerUhrungssehnen in einem Punkte des Kegelschnitts (6) zusammentreffen. Stellt man zur Lösung unserer Aufgabe das System der durch die vier Punkte A, B, C, D gehenden Kegelschnitte durch die Gleichung (1) dar, so ergeben sich als Punkte des gesuchten Ortes zunächst die Punkte p = r = 0 und q — t — 0, weil der Schnittpunkt jedes dieser beiden Systeme von Geraden als der Mittelpunkt des durch dasselbe dargestellten Kegelschnitts angesehen werden kann, ferner sind die einer bestimmten Richtung G conjugirten Durchmesser jetzt die vierten harmonischen Strahlen zu den durch die Punkte p = r = 0 und q = s = 0 der gegebenen Richtung G parallel gezogenen Geraden in Beziehung auf die Linienpaare p, r und q, t selbst (§. 76), darum flihrt mit Rücksicht auf die beliebige Richtung G der eben gefundene Ort zu folgender Erzeugungsweise der Kegelschnitte: Wenn man d u r c h die S c h e i t e l p u n k t e zweier g e g e b e n e n W i n k e l , d e r e n S c h e n k e l sich in den P u n k t e n A, B, C, D d u r c h s c h n e i d e n , p a r a l l e l e Linien z i e h t , so s c h n e i d e n sich die zu j e d e r d e r s e l b e n in B e z i e h u n g auf die S c h e n k e l des z u g e h ö r i g e n W i n k e l s c o n j u g i r t e n h a r m o n i s c h e n S t r a h l e n in einem P u n k t e , w e l c h e r bei v e r ä n d e r t e r R i c h t u n g d e r P a r a l l e l e n einen K e g e l s c h n i t t b e s c h r e i b t , und zwar d e n Ort der M i t t e l p u n k t e a l l e r d u r c h die P u n k t e A, B, C, D g e h e n d e n Kegelschnitte. Man kann den Mittelpunkt eines Kegelschnitts als Pol einer unendlich entfernten geraden Linie L ansehen (§. 92), und in diesem Sinne den eben entwickelten Ort und die sich daran anschliessende Erzeugungsweise eines Kegelschnitts als specielle Ergebnisse einer allgemeineren Untersuchung betrachten, bei welcher

§. »9.

176 die Polare L

Elfte« Kapitel.

eine beliebige Lage bat.

Um die Lösung auch dieser

Aufgabe allgemein zu entwickeln, möge folgender Satz vorausgeschickt werden: D i e P o l a r e n i r g e n d e i n e s P u n k t e s in B e z i e h u n g a u f a l l e durch

dieselben

vier Punkte

gehenden

d u r c h s c h n e i d e n s i c h in d e m s e l b e n

Kegelschnitte

Punkte.

Das System dieser Kegelschnitte sei, wie vorher,

dargestellt

durch die Gleichung (3), so ist die Polare eines beliebigen Punktes tj) in Beziehung auf einen dieser Kegelschnitte (§. 9 4 , Form. 3 ) :

(7) P+XF

= 0,

wo:

8

jP

+

+

+f = 0,

Ii» = (a'Z+Vri + d')x + (b'H c,f}+e,)y + d'S + e^ + f> = 0

die Polaren des Punktes (§, 17) in Beziehung auf die beiden Kegelschnitte U und

V'

sind: die Gleichung (7) wird unabhängig

von dem Werthe der Constanten A erfüllt, wenn P — 0 und J " =

0

sind, d. h. durch den Durchschnittspunkt der beiden Polaren (8), also gehen durch diesen Punkt die Polaren des Punktes

tj) in

Beziehung auf alle durch verschiedene Werthe von X dargestellten Kegelschnitte des Systems (3). Man kann nunmehr die Gleichungen ( 8 ) auch folgendermassen uniformen:

P = (ax+by +d) | + + cy +e)V + dx +ey +f F = (a'x + b'y + )V +

= 0, = 0,

oder, mit Rücksicht auf die Gleichungen (5), und wenn man noch die Bezeichnungen:

dx + ey + f=u>, einfuhrt:

d'x + efy + f = vt

P +tv - f t p = 0 , F = »'£ + fv+u/ = 0,

woraus durch Auflösung nach £ und i j : |: n : 1 = d. h. wenn jetzt

(wf-

w't):

( » » ' — a ' i c ) : ( t e ' — f»),

tj) sich auf der geraden Linie:

ax + ßy + y = 0

Combination von Kegelschnitten.

177

bewegt, so beschreibt der Schnittpunkt der zugehörigen Polaren den Kegelschnitt: a(vf-«/„ 8 = B3yt & = At*)-2B&yt+Al9l *=Btxi9i+Btxl

-Bt -A,xt9t, +Blxty-Bty]-Atxl, -Btf-A,y„

und:

A{ = cf —

e',

Bi = bd— ae,

— d\

Bt = eb — cd,

As = ac — b\

Ba — de — fb.

At=fa

Die Coefficienten a, ß, y, . . genügen der Gleichung:

ay& — at>— yd1— &ß*+ 1ß8t = 0, d. h. erfüllen die Bedingung dafür, dass der Ausdruck (5) in zwei lineäre Factoren

zerlegbar

ist (§. 62, Anm.):

wenn

nun

diese

Gombinktion von Kegel« chnitten.

183

Factoren reell sind, so giebt es reelle Werthe von x und y, fttr welche der Ausdruck e ' — u, u, verschwindet und selbst das entgegengesetzte Zeichen erhält, d. h. alsdann liegt der Punkt (xt, y,) ausserhalb des Kegelschnitts; wenn dagegen die Factoren imaginär sind, so behalt der Ausdruck u,u t sein Zeichen unverändert bei, derselbe bleibt also, weil u, für x = x,, y = y, verschwindet, und demnach v*—u t u t sich auf e', einen positiven Ausdruck, reducirt, fortdauernd positiv, welches auch die Werthe von x und y, d. h. die Lage des Punktes B sein mag. In diesem Falle liegt also der Punkt A innerhalb des Kegelschnitts (2). Die Factoren von (5) sind nunmehr reell oder imaginär (§. 62), jenachdem der Ausdruck ay — ¡f negativ oder positiv ist; es ergiebt sich: ay — ß' —

Jut,

wo J und w, die Mhere Bedeutung baben, nämlich: J = acf— ae*— c d ' - / V - f Ibde, = ax] + 2bx,yi + cy] + 2dx, + 2ey, 4 f ; jenachdem also J-ti, negativ oder positiv ist, liegt der Punkt A ausserhalb oder innerhalb des Kegelschnitts (2). Das Vorzeichen von J ist unabhängig von der Lage des Punktes ( £ , , y , ) , so dass allein durch das Vorzeichen von u,, d. h. des Resultates der Substitution der Coordinaten (x,, y,) des Punktes A an die Stelle der laufenden Coordinaten (x, y) des Kegelschnitts, bestimmt wird, ob dieser Punkt innerhalb oder ausserhalb des Kegelschnitts liegt. Die Annahme J = 0 ist hierbei durchweg ausgeschlossen: ist J = 0, also der gegebene Kegelschnitt, abgesehen von einigen Ausnahmen, ein System zweier geraden Linien, so ist von inneren und äusseren Punkten desselben nicht mehr die Rede. §. 102. Das System U + f i U ' = 0. Involution. Alle durch dieselben vier Punkte gehenden Kegelschnitte sind (§. 99) in gleicher Allgemeinheit darstellbar durch jede der beiden Gleichungen: (1)

U+ti-V'

= 0

und:

(2) pq + n-rs = 0, wo U und V als quadratische, p, q, r, s als lineäre Ausdrücke mit reellen Coefficienten in x und y gleich Null gesetzt, die ersteren Kegelschnitte, die letzteren gerade Linien darstellen, welche

8. 102. Elft«a Kapitel.

184

durch ihre Durchschneidung die vier Punkte ergeben, und fi einen veränderlichen Parameter bedeutet, durch dessen besondere Werthe die einzelnen Kegelschnitte des Systems hervorgehen. Umgekehrt durchschneiden sich alle Kegelschnitte, welche in der Gleichung (2) enthalten sind, in denselben vier Punkten, nämlich p = r = 0, r = q = 0 , q = s= 0 , t = p = 0 ; die Gleichung (1) dagegen hat eine allgemeinere Bedeutung, wenn die Durchschnittspunkte der Kegelschnitte U und V aufhören reell zu sein, so dass man bei Untersuchung eines durch diese Gleichung dargestellten Systems von Kegelschnitten die Fälle zu unterscheiden haben würde, ob sich die Kegelschnitte in vier reellen, in zwei reellen und zwei imaginären, oder in vier imaginären Punkten (§. 100) durchschneiden. Es giebt jedoch eine Eigenschaft, in welcher alle in der Gleichung (1) enthaltenen Kegelschnitte ohne Rücksicht auf die gegenseitige Lage oder die Durchschneidung der beiden Fundamentalcurven U und V übereinkommen, und mit dieser wollen wir uns gegenwärtig beschäftigen. Es seien U und U', wie früher (§. 9 9 ) , die beiden Kegelschnitte: (3)

U = ax% -f2fcry + cy' + 2dx + 2ey +f

(4)

U' = a'x*-\- 2 b'xy + c'y'+

= 0,

2 d'x + 2e'y + f' = 0

und ein dritter Kegelschnitt: (5)

U+pV

= (a + fio')x*+

2 ( 6 + ^ ' ) s y + (c +

-\-2(d + fHr)x + 2(e+iuf)jl+f+l*r

K)y' =

0

gegeben: wenn man eine beliebige Transversale: (6)

„

.

j

^

hindurchlegt, welche die drei Kegelschnitte der Reihe nach in den Punktepaaren A und A', B und B', C und C durchschneiden mag, so ergeben sich, wenn C und O die Punkte ( « , , yt) und (xt, yt) CA sind, die Verhältnisse der Abschnitte dieser Transversalen und , ^ (§. 89) bezüglich als die Wurzeln der quaCO Cr MX Cr 11 dratischen Gleichungen:

CombinatioD von Kegelschnitten.

^

185

« , — 2®A - f u . A * = 0 und

( « •r —r 2 e ' l + « ; i a = 0,

wo « , , e und u, dieselbe Bedeutung wie in §. 89 haben, und uj, u j bezüglich aus ihnen herzuleiten sind durch Vertauschung der Coefficienten a, b, c, . . des Kegelschnitts (3) mit den entsprechenden Coefficienten a', b', c?,.. des Kegelschnitts (4). Man hat darum die Gleichungen:

CA CA' _ CA ' CA' ~

u^ ut

CB CB

UD

Cff CBf ~ uj '

weil nun die Punkte C und C der Annahme nach auf dem Kegelschnitt (5) liegen, so genügen ihre Coordinaten den Gleichungen: u,-(-A"'I=0

und:

iij + fuiJ = 0,

H woraus sich durch Elimination von u ergiebt — =

CA-CA' CACA'

~

II1 —oder: «i

CBCB' CB Cff

Nimmt man die Punkte (xt, y{) und (xt, y,), anstatt aufdrm Kegelschnitt (5), bezüglich auf den Kegelschnitten (3) und (4) an, so erhftlt man auf ganz analoge Weise zwischen den Abschnitten der Transversalen die Beziehungsgleichungen:

(9)

AB ABf A'BA'ff

AC AC A'CA'C

und:

(10)

BC-BC WC ff C ~

BABA' BfA ff A'

welche Gleichungen man jedoch auch unmittelbar aus (8) durch Darstellung der einzelnen in ihnen vorkommenden Strecken, mit Berücksichtigung ihrer Richtung (§. 69, Note), herleiten kann, so dass durch jede der drei Gleichungen (8) bis (10) die Richtigkeit der beiden anderen bedingt wird. Man sagt nunmehr von drei Punktepaaren einer geraden Linie, zwischen deren gegenseitigen Abständen, mit Beachtung der Richtung derselben, die Gleichungen (8) bis (10) stattfinden, sie stehen

186

§. 102. Elfte« Kapitel.

in I n v o l u t i o n . Es ergiebt sich aus dieser Definition sofort, dass wenn zwei Paar Punkte mit einem dritten, vierten, . . Punktepaar in Involution stehen, auch jede drei Paar derselben in Involution stehen; denn aus den Gleichungen: AB AB A'BAIW

AC-AC A'CA'C

, und:

AB AB A'BA'ff

AD A& A'DA'D1

folgt ohne Weiteres die Involution der Punktepaare A und A', C und C, D und D1 u. s. w. Die Punkte eines jeden solchen Paares, wie A und A', B und ff, . • nennt man c o n j u g i r t e und ein ganzes System solcher Punktepaare ein P u n k t s y s t e m in I n volution. Demnach hat man folgenden allgemeinen Satz: I. A l l e d u r c h d i e G l e i c h u n g U-\-(iU' = 0 f ü r v e r s c h i e d e n e W e r t h e v o n fi d a r g e s t e l l t e n K e g e l s c h n i t t e w e r d e n d u r c h j e d e T r a n s v e r s a l e in e i n e m I n v o l u t i o n s s y s t e m von P u n k t e n d u r c h s c h n i t t e n . Umgekehrt seien die beiden beliebig gegebenen Kegelschnitte U und U' von der Transversalen (6) in den Punktepaaren A und A', B und B1 durchschnitten und auf (6) die Punkte C oder (x,, y,) und C oder ( x „ y%) durch die Gleichung (8) definirt, so ist bei veränderter Lage der Transversalen der Ort der Punkte C ein Kegelschnitt, dessen Gleichung sich unter der Form (1) darstellt; denn unter Zugrundelegung der Gleichungen (7) lässt sich die Bedingungsgleichung ersetzen durch die Gleichung: u| «, — = —woraus: ut

u, u, —J- = —J- = u; «;

u;

folglich genügen die Coordinaten («,, yt) und (x,, yt) der beiden Pünkte C und C bezüglich den Gleichungen u{ — (iu\ = 0 und u t — p u \ = 0 , d. h. dieselben liegen auf dem Kegelschnitt: U—(AV

= 0;

also: II. W e n n m a n d u r c h i r g e n d z w e i K e g e l s c h n i t t e i / = 0 u n d U' = 0 e i n e T r a n s v e r s a l e l e g t u n d a u f d e r s e l b e n zu einem beliebig a n g e n o m m e n e n f e s t e n P u n k t e C einen

Combination TOO Kegelschnitten.

187

z w e i t e n P u n k t C b e s t i m m t , so dass d i e P r o d u c t e d e r A b stände

beider

Punkte

von

den

Durchschnittspunkten

A und A', B und IT d e r T r a n s v e r s a l e n mit b e i d e n K e g e l s c h n i t t e n d a s s e l b e V e r h t t l t n i s s h a b e n , so dass a l s o :

CA CA' CA-CA' ~

CBCff CBCB"

i s t , so b e s c h r e i b t bei e i n e r D r e h u n g d e r um den P u n k t C der P u n k t C welchem

C ebenfalls liegt,

Transversalen

einen K e g e l s c h n i t t ,

und

dessen G l e i c h u n g

auf die

b e s o n d e r e F o r m hat:

U-fiü' der

a l s o , wenn

= 0,

U und U' s i c h in v i e r r e e l l e n

Punkten

d u r c h s c h n e i d e n , durch d i e s e l b e n v i e r P u n k t e h i n d u r c h geht. A n m e r k . Der Kürze wegen soll ein durch die Gleichung U-{-ftU' = 0 dargestelltes System von Kegelschnitten ein I n v o l u t i o n s s y s t e m oder K e g e l s c h n i t t b U s c h e l heissen. In der reciproken polaren Figur gehen (§. 94) die Involutionsgleichungen (8) bis (10) von sechs Punkten einer geraden Linie ungettndert auf die diesen Punkten entsprechenden sechs Strahlen eines StrahlenbUschels Uber (§. 94, III.); es ergiebt sich demnach durch die Theorie der reciproken Polaren aus dem Satze (I ) folgende Eigenschaft der demselben Vierseit eingeschriebenen Kegelschnitte : III.

Die von e i n e m b e l i e b i g e n P u n k t e der E b e n e an

i r g e n d d r e i , einem und d e m s e l b e n V i e r s e i t bene

Kegelschnitte

nienbüschel

in

gelegten Tangenten

Involution,

d. h.

ihre

eingeschrie-

bilden

ein

Li-

Durchschnitts-

p u n k t e mit e i n e r b e l i e b i g e n T r a n s v e r s a l e n stehen in I n volution. Anmerk.

Dieser Satz gestattet ebenso wie Satz (I.) eine Um-

kehrung ; nur ergiebt sich dabei die Eigenschaft, dass die von jedem Punkte der Ebene

an die Kegelschnitte gelegten Tangenten ein

Strahlenbüschel in Involution bilden, als die allgemeine im Vergleich zu der daraus abgeleiteten, dass die Kegelschnitte einem und demselben Vierseit eingeschrieben sind, weil von den Seiten desselben

5. 102. Elfte« Kapitel.

188

zwei oder auch alle vier imaginär werden können. (Confocale Kegelschnitte (§. 90) sind als demselben (imaginären) Vierseit eingeschrieben zu betrachten.) Die Eigenschaft der Involution von sechs Punkten einer geraden Linie enthält die der harmonischen Beziehung von vier Punkten derselben als einen besonderen Fall; wenn nämlich zwei Paar conjugirter Punkte zusammenfallen, z. B. A mit A' und B mit B', so giebt die Gleichung (8) zwischen diesen Punkten, welche alsdann D o p p e l p u n k t e des Involutionssystems heissen, und irgend zwei conjugirten Punkten des Systems die Beziehung: CÄ' Cff —, = ,, CA CB

woraus:

CA . CB ; . —+ CA — CB '

das obere Vorzeichen ist zu verwerfen, weil C und C verschiedene Punkte sind (§. 74), und das untere Vorzeichen ergiebt die Punkte C und C als conjugirt harmonisch zu den Punkten A und B, d. h.: die D o p p e l p u n k t e eines I n v o l u t i o n s s y s t e m s sind c o n j u girt harmonisch zu j e d e n zwei c o n j u g i r t e n P u n k t e n des I n v o l u t i o n s s y s t e m s , und mit Anwendung auf unsern Satz (1.): IV. Wenn man an zwei K e g e l s c h n i t t e eines BUschels eine g e m e i n s c h a f t l i c h e T ä n g e n t e legt, so wird d i e s e l b e d u r c h die B e r ü h r u n g s p u n k t e und die D u r c h s c h n i t t s p u n k t e mit jedem d r i t t e n K e g e l s c h n i t t des BUschels h a r monisch getheilt. Die eben dargestellte Beziehung der Doppelpunkte eines Involutionssystems zu den conjugirten Punkten desselben lässt sich vortheilhaft zur Construction conjugirter Punkte benutzen, wenn die Lage der Doppelpunkte bekannt ist, andererseits zu einer einfachen Uebersicht der Vertheilung der Punkte eines lnvolutiönssystems; doch ist wohl zu bemerken, dass die Doppelpunkte nicht immer reell sind. Denn wenn beliebige sechs Punkte eines solchen Systems gegeben sind, z. B. C und C, D und DE und £ ' , so dass also: (

}

CD-CD' CECE' ~

CD CD' CECE'

ist, so erhält man die Doppelpunkte des Systems A und B durch die Beziehung:

Combination von KegeUchnitten.

CA* _ CA' CB

•

~~~

•

OB

189

_ m

Wenn nunmehr k negativ ist, d. h. in den Quotienten der beiden Producte in (11) entweder der Zähler oder der Nenner negativ wird, so werden die Doppelpunkte des Involutionssystems imaginär. Es sei A ein Doppelpunkt der Involution fUr die Punktepaare C und C, D und W, so hat man zur Definition von A die Gleichung: CA' _ CD CD1 CA' ~ CD-CD' ' und es wird eins von den beiden Producten CD •CD' und CD-CD1 negativ, wenn die Strecken CC und DD1 theilweise auf einander liegen; diese Producte aber erhalten dasselbe Zeichen, wenn diese Strecken ganz ausser oder ganz auf einander liegen, d. h. die Doppelpunkte eines Involutionssystems sind reell, wenn die Abstände der conjugirten Punktepaare ganz ausser oder ganz auf einander liegen, die Doppelpunkte sind imaginär, wenn diese Abstände theilweise auf einander liegen. Wenn zwei Kegelschnitte eines Büschels in Systeme gerader Linien degeneriren, d. h. (weil gerade Linien stets wirkliche Durchschnittspunkte liefern) wenn unter den sich in vier Punkten durchschneidenden Kegelschnitten zwei Linienpaare in Betracht gezogen werden, welchc durch die vier gemeinschaftlichen Punkte des Systems hindurchgehen und demnach die Gegenseitenpaare eines dem System von Kegelschnitten gemeinschaftlichen eingeschriebenen Vierecks sind, so ergiebt sich als eine Folgerung aus dem allgemeinen Satze (I.): V. Die D u r c h s c h n i t t s p u n k t e j e d e r d u r c h ein einem K e g e l s c h n i t t e i n g e s c h r i e b e n e s Viereck gelegten T r a n s v e r s a l e n mit den G e g e n s e i t e n p a a r e n desselben und dem K e g e l s c h n i t t s t e h e n in Involution. Man kann die Gegenscitcnpaare und zwei Diagonalen eines Vierecks selbst als ein System von drei durch dieselben vier Punkte gehenden Kegelschnitten ansehen und demnach den Satz (V.) in folgeuder Form aussprechen: VI.

Die G c g c u s c i t e n p a a r e

eines Vierecks und

die

190

5?. 102, 103.

Elftes Kapitel

b e i d e n die G e g e n e c H e n v e r b i n d e n d e n D i a g o n a l e n w e r den d u r c h j e d e T r a n s v e r s a l e in s e c h s in I n v o l u t i o n s t e henden Punkten durchschnitten. Geht die Transversale durch die Durchschnittspunkte der beiden Gegenseitenpaare des Vierecks, d. h. fällt dieselbe mit der dritten Diagonale zusammen, so reduciren sich deren sechs Durchschnittspunkte auf vier harmonische, d. h . : VII. J e d e D i a g o n a l e e i n e s v o l l s t ä n d i g e n V i e r s e i t s w i r d d u r c h d i e b e i d e n a n d e r e n D i a g o n a l e n u n d die G e g e n e c k e n d e s V i e r s e i t s h a r m o n i s c h g e t h e i l t (§. 78). Wenn von den Eckpunkten des eingeschriebenen Vierecks zwei unendlich nahe rücken, so geht die sie verbindende Gerade in ihren Gränzfall, die Tangente, Uber; geschieht dasselbe mit den beiden anderen Eckpunkten, so reducirt sich das eingeschriebene Viereck auf ein System zweier Tangenten und die Beriihrungssehne, welche letztere jedoch als eine Doppellinie anzusehen ist, weil sie durch zwei zusammenfallende Gegenseiten des Vierecks gebildet wird. Aus Satz (I.) ergiebt sich demnach: VIII. Auf j e d e r d u r c h e i n e n K e g e l s c h n i t t , ein T a n g e n t e n p a a r u n d die B e r i i h r u n g s s e h n e g e l e g t e n T r a n s versalen e r g e b e n sich fünf D u r c h s c h n i t t s p u n k t e , d e r e n l e t z t e r e r ein D o p p e l p u n k t d e r I n v o l u t i o n in B e z i e h u n g a u f die b e i d e n a n d e r e n c o n j u g i r t c n P u n k t e p a a r e ist. IX. Auf j e d e r d u r c h d e n S c h n i t t p u n k t z w e i e r T a n genten eines Kegelschnitts gelegten Transversalen werden durch diesen P u n k t und die D u r c h s c h n i t t s p u n k t e mit der B e r i i h r u n g s s e h n e und dem K e g e l s c h n i t t vier h a r m o n i s c h e P u n k t e b e s t i m m t (§. 92). Anm. Durch die Theorie der reeiproken Polaren ergeben sich aus den Sätzen (IV.) bis (IX.) ebensoviel Sätze Uber Kegelschnitte, welche demselben Vierseit eingeschrieben sind und Uber diese Vierseite selbst, welche wir der KUrze wegen Ubergehen. Wir wenden uns nunmehr schliesslich zu den C o n s t r u c t i o n e n von I n v o l u t i o n s s y s t e m e n v o n P u n k t e n und bemerken dabei, dass auch diese sich durch die Theorie der reeiproken Polaren verdoppeln lassen. Mit Hilfe des Satzes (VI.) lässt sich jeder sechste

Combination Ton Kegelschnitten. Punkt eines Involutioassystems

durch

191

eine einfache Construction,

zu welcher nur das Lineal erforderlich ist,

finden:

Gegeben seien (Fig. 6 7 ) auf der geraden Linie (