Neue Elemente der Mechanik [Reprint 2018 ed.] 9783111485904, 9783111119236

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Neue

Elemente der Mechanik von

K. H. Schellbach, Professor der Mathematik am Konigl. Frredrlch.Wühelms.Gymnasium und an der Kvntgl. Krtegs-Akademie zu Berlin,

dargestellt und bearbeitet von

G. Arendt, ordentlichem Lehrer der Mathematik und Physik am König!. Französischen Gymnasium zu Berlin.

Mit zwölf Figurentafeln.

Berlin, Druck und Verlag von Georg Reimer.

1860.

Vorrede.

L^aS vorliegende Buch verdankt seine Entstehung Hauptsächlich dem Interesse, welches einige jüngere Lehrer der Mathenlatik und Physik meinen Lehrstunden über Mechanik wid­ meten, die ich in der ersten Klasse des hiesigen FriedrichWilhelms-Ghmnasiums bereits seit einer längeren Reihe von Jahren gehalten habe. Meine Lehrthätigkeit bestand in diesen Stunden fast immer nur darin, die Vorstellungen, welche sich die Schüler über mechanische Vorgänge bereits gebildet hatten, so vollständig als nur möglich zu erforschen und durch wechsel­ seitige Belehrung zu einer solchen Klarheit zu entwickeln, daß auf dem Standpunkte, auf welchem Lehrer und Schüler zu­ letzt zusammen standen, eine größere Unbefriedigtheit von bei-

den Seiten nicht mehr gefühlt wurde.

Ein flüchtiger Blick

auf die Literatur der Mechanik und mechanischen Physik zeigt, daß Bestrebungen, wie die unsrigen, zu allen Zeiten ziemlich isolirt dagestanden haben, aber namentlich scheint jetzt in der Auffassungsweise mechanischer Prozesse eine so große poetische Freiheit zu herrschen, daß eine Förderung elementarer Klar­ heit unmöglich damit verträglich ist.

Wenn z. B. Bunsen

und Roscoe in ihren vortrefflichen photochemischen Unter­ suchungen in die Worte ausbrechen „Der unermeßliche Vor­ rath an lebendiger Kraft, welchen die Natur im Sonnenkörper aufgespeichert hat, fließt unablässig mit den Sonnenstrahlen in den Weltenraum ab", so scheint das nur einfach, epischer Erguß gegen die dithyrambischen Ausschweifllngen des un­ sterblichen Faraday, wenn er über die Erhaltung der Kraft philosophirt.

Wie aber folgende Zeilen bezeichnet werden

sollen „Hiernach ist z. B. die Masse von einem 20 Pfund schweren Körper = 0,64 Pfund und umgekehrt das Gewicht einer Masse von 20 Pfund —625 Pfund", welche Herr Weisbach in seinem schätzbaren Lehrbuche der Ingenieurund Maschinen-Mechanik, zweite Auflage, pag. 84, abdrucken läßt, das überlasse ich am besten dem Urtheil eines armen Studirenden. Für diese Armen ist recht eigentlich unser Buch

berechnet; für solche die ihr beschränkter Geist zwingt, unter der Quantität q, der Intensität i, der Spannung s sich be­ stimmte Einheitsquanta zu denken und die beide Seiten auch einer dynamischen Gleichung stets als homogen betrachten müssen.

Wer sollte sich z. B. nicht des kindischen Spieles

erinnern, welches fast ein halbes Jahrhundert lang in der Elektricitätslehre mit den Worten Quantitäte und Intensität getrieben worden ist, mit Worten denen offenbar eine mechani­ sche Vorstellung untergelegt werden mußte, wenn sie einen fest bestimmten Sinn erhalten sollten.

Auf die Nothwen­

digkeit die beiden Seiten einer dynamischen Gleichung als homogen betrachten zu müssen, macht auch Poisson in sei­ ner Mechanik stets aufmerksam, aber sowohl er als Dühamel und die übrigen Schriftsteller über denselben Gegenstand, haben sich nicht bis zu der nüchternen Klarheit und Einfach­ heit der Vorstellung herablassen können, die in diesen neuen Elementen der Mechanik anzutreffen sind. Ganz in derselben Weise wie hier die Dynamik behandelt worden ist hätten sich auch die Gesetze der Statik entwickeln lassen, die aber nur dann mit voller Klarheit aufgefaßt werden, wenn man sich die einfachsten Vorstellungen aus der Bewegungslehre gebildet hat. Aufgaben ans der Statik sind zwar nicht ganz unberücksichtigt

geblieben, dennoch fehlt ein zusammenhängender Vortrag über diesen Theil der Wissenschaft, da es uns weniger darum zu thun war, ein vollständigeres Lehrbuch zu liefern, als viel­ mehr zu zeigen, wie bei allen Problemen dieselben einfachen Prinzipien in Anwendung zu bringen sind. Wir machen noch darauf aufmerksam, daß dieses Buch durch seine eigenthüm­ lichen Methoden als eine sehr gute Einleitung in das Studium der höheren Mathematik betrachtet werden darf, wenn auch die volle Strenge bei der Behandlung des Unendlichkleinen, unseren Zwecken, gemäß nicht überall angewendet wurde.

Schellbach.

Inhalt. Grundbegriffe. §. 1. Atom, Atomgruppen, Atomsystem, Körper........................ 1 - 2. Trägheitsgesetz (Beharrungsvermögen), gleichförmige Bewegung,Ge­ schwindigkeit ................................................................... 1 - 3. Anziehung (Attraction). Impuls.................................... 1 - 4. Geometrische Darstellung der Geschwindigkeit.................... 2 - 5. Die gegenseitigen Impulse zwischen zwei Atomgruppen .... 3 Erstes Kapitel.

Die geradlinige Bewegung. -

Bewegung eines Atoms, das Don einem anderen angezogen wird, wenn ihre gegenseitige Entfernung unverändert erhalten wird. 6—7. Gesetze dieser Bewegung................................................... 4 8. Kraft.......................................................................... 7 9. Geometrische Darstellung dieser Gesetze............................ 7 10. Verallgemeinerung des Problems........................................... 8 Anwendung auf den freien Fall der Körper. 11. Die Erdschwere g......................................'....................... 10 12. Beispiele................................................................................. 11 13. Aufgabe................................................................................. 11 14—16. Bestimmung der Fallhöhe vermittelst der Schallgeschwindigkeit. 12 In verticaler Richtung geworfene Körper. 17. Der verticale Wurf nach unten................................................ 16 18. Der verticale Wurf in die Höhe................................................ 17 19. Das Newtonsche Gravitationsgesetz........................................ 18 20. Ruhelage einer Gruppe zwischen zwei anziehenden Gruppen . . 19 21. Einfluß der Sonne und des Mondes auf eine fliegende Kanonen­ kugel .................................................................................... 21

VIII

Inhalt.

Bewegung fester Atomsysteme.

Seite

§. 22. Anziehung auf zwei mit einander fest verbundene Atomgruppen. Spannkraft . '........................................................................ - 23. Ruhelage eines festen Systems aus zwei Gruppen zwischen an­ ziehenden Gruppen................................................................ - 24. Numerisches Beispiel................................................................ - 25. Anziehung, die eine materielle Linie in ihrer Richtung erfährt. 6

= ^...................................................................................................................

2a

- 26. Die dabei auftretenden Spannungen......................................... - 27. Gleichgewicht aus einer materiellen Geraden, deren Gruppen nicht fest verbunden sind................................................................ - 28. Geschwindigkeit des zu einem Cylinder ausgezogenen Mondes, wenn er von der Erde angezogen wird.............................................. - 29. Ruhelage einer materiellen Laue zwischen zwei anziehenden Gruppen - 30. Maximum der Spannung auf dieser Linie................................ - 31. Maximum der Spannung aus einer sich bewegenden materiellen Linie...................................................................................... - 32. Die Atwoodsche Fallmaschine.................................................. - 33. Zwei sich anziehende Gruppen treffen in ihrem Schwerpunkt zusammen.............................................................................

22

25 26 31 33 35 37 39 41 44 45 47

Der Stoß. -

34. Gesetze des Stoßes................................................................ 49 35. Elastische und unelastische Körper.................................................... 52 36. 1) Der Stoß der unelastischen Körper........................................... 53 37—39. 2) Der Stoß elastischer Körper Lebendige Kraft. ... 54 40. 3) Der Stoß unvollkommen elastischer Körper..................................57 41—42. Bewegung einer unvollkommen elastischen Kugel .... 59 Zweites Kapitel.

Das Parallelogramm der Kräfte.

Die schiefe Ebene.

Parabolische Bewegung.

- 43—44. Das Parallelogramm bet Kräfte............................62 Die geradlinige Bewegung auf der schiefen Ebene. » --

45. Der Druck...................................................................................64 46 Gesetze für dieBewegung auf schiefer Ebene.................................. 64 47 — 49. Folgerungen...........................................................................66 50. Auf krummliniger Bahn erleidet ein Atom keinen Verlust an Ge­ schwindigkeit ............................................................................. 68 . 51. Reibung......................................................................... 70

Inhalt.

Ü Sette

§. 52. Bestimmung der schiefen Ebene, auf welcher ein Körper am schnell­ sten nach einem bestimmten Orte gelangt ............................72 - 53. Bewegung zweier fest verbundenen Atomgruppen auf zwei zusam­ mengestellten schiefen Ebenen........................................................ 74 - 54—56. Bewegung einer materiellen Linie auf vorgeschriebener Bahn — einer Kette, die über zwer zusammengestellte schiefe Ebenen gelegt ist. 76 -

57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64

Die Bewegung geworfener Körper. Die Wurflinie ist eine Parabel.......................................................84 Gesetze und besondere Eigenschaften der Wurfbewegung .... 87' Wurfbewegung über einer schiefen Ebene. Der Richtungskreis . 92 Maximum der Schußwelte........................................................... 95 Besondere Fälle................................................................7 96 Die Umhüllende der Wurflinien.................................................. 99 Die Kettenbrücke................................................. , ... 101 Rückblick................................................................................ 102 Drittes Kapitel.

Die Schwungkraft. - 65. Entwickelung der Formel für die Schwungkraft..........................104 - 66—67. Besondere Beschaffenheit der Schwungkraft........................... 106 - 68. Andere Ausdrücke für die Schwungkraft. Die Wmkelgeschwindigkeit.................. -............................................................... 108 -

Die Wirkungen der Schwungkraft bei astronomischen Erscheinungen. 69. Die Entfernungen der Planeten und Monde von ihren Centralkörpern 110 70. Entdeckung des Naturgesetzes......................................................111 71. Höhe der Erdatmosphäre...............................................................112 72. Masse der Sonne....................................................................... 113 73. Dichtigkeit der Sonne...................................................... : . 114 74. Schwerkraft auf der Sonnenoberfläche........................................ 115 75. Sonnenatmosphäre....................................................................... 115 76. Das dritte Keplersche Gesetz (vgl. Z.142)....................................116

-

77. 78. 79. 80. 81.

Die Schwungkraft auf der Erdoberfläche. Eine horizontal abgeschossene Kanonenkugel als Mond der Erde . 117 Verminderung der Schwerkraft durch die Rotation der Erde . . 118 Größe der Schwungkraft unter dem Aequator...............................119 Größe und Wirkungen der Schwungkraft unter der Breite von

g—g')»% 9* = y*—2(g—g')o und für die höchste Höhe und die zugehörige Zeit 6

1

---

t a_ _2L_

Y'

2(g —g’) ’

i

g—g'

liefern. Man erhält darnach «'s» y = 33'24", UM welche Größe y — 20° vermehrt werden muß, um einen ersten Annäherungswerth von y zu erhalten. Man hat daher jetzt y--20° 33'24", also 2y--41°6'48" und «—y -- 32° 14'48", 32, ß—cp = 33°1'15", 7, und findet log sin xfj — 9,9462048, also i/» = 62°4' 1"4 und logcost// = 9,6706524, aber aus bet (6") log cos y — 9,6634746, also die Differenz /t — 0,0071780.

ES ist mithin y noch zu klein; aus den beiden letzten Differenzen findet man wie vorhin: y _ 26'36" 72 666

also y = 2'52", 54.

Dieser Werth ist zu dem letzten Werth von y zu addiren, wodurch man einen zweiten Annäherungswerth dieser Größe erhält: y = 20° 36'16", 54, also 2y = 41 ”12'33", 08 und «—y --- 32° 11'55", 84, ß—cp = 32°58'23", 2. Dann giebt die (6'): logsiny = 9,9476123, also tf> = 62°25' 11", 6 und logeost/) = 9,6655701, aber die (6”) log cos i// --- 9,6646706, T= 0,0008995,

also ist y noch zu klein.

Eine ähnliche Betrachtung wie vorhin

liefert seinen Zuwachs y _ 172", 54 also y --- 24", 73. 900 ~~ 6278 '

Die geradlinige Bewegung.

29

Der dritte Annäherungswerth von y ist also: y = 20® 36'41", 27, also 2y = 41° 13'22", 54 und «—y --- 32°11'31"11, ß—

x*~x‘ ~ ry«,+«,+—+ «y» / «r «1 x»—x* = ry^-+«4+T.-+s;,

,/«v_i«, aus deren Addition man der Reihe nach /

aai

xi= r y x- = KV«,+“,+•••+«,+/«,+«*+•••+«,)’

-- r (l/y-1*' + i/f-ifrrl + V__ \f

Oy

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