Prinzipe der Mechanik [Reprint 2011 ed.] 9783110836622, 9783110008456

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Max Päsler • Prinzipe der Mechanik

Foto: W. Ernst Böhm, Ludwigshafen

Principe der Mechanik von

Prof. Dr. Max Päsler Ordinarius für Theoretische Physik an der Technischen Universität Berlin Honorarprofessor der Freien Universität Berlin

Walter de Gruyter & Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung · J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung · Georg Reimer · Karl J. Trübner · Veit & Comp. Berlin 1968

© Copyright 1968 by WALTEE DB GB.UYTEB

ΝτΙ = ο = Φ'(0) = °·

Führt man die durch (3,10) geforderte Differentiation in (3,9) aus, so erhält man

άΦ(ε)

ά

χ

=

BF -

η

** f' d dF (

χ

)

χ

Xl

Γ

]

η

-

-

ά

χ

.

Χι

Da in diesem Ausdruck der „ausintegrierte" Term wegen der „Randbedingung" (3,7) verschwindet, ergibt sich mit (3,14) aus (3,13):

r

xt

ι d dF dF\

Xl

Diese Gleichung kann — bestimmte Stetigkeitseigenschaften von η (χ) vorausgesetzt — auf Grund eines von DU B O I S - R E Y M O N D 1 ) gefundenen Satzes, der in der Literatur meistens als bezeichnet wird, nur dann bestehen, wenn

FundamentaUemma




ϊ ϊ

du α

>

=

α

£

dAx +

' - Π -

über. Durch diese Gleichung wird meistens die Nichtvertauschbarkeit von Α und djdx ausgedrückt. 4. Sonderfälle: Wenn in der Grundfunktion F nicht alle drei Variablen y', y und χ gleichzeitig auftreten, so liegen Sonderfälle des Variationsproblems (3,6) vor, von denen für die Physik die folgenden von Interesse sind:

13

Einiges aus der Variationsrechnung a) Die Grundfunktion hänge von y nicht explizit ab, es ist also (3,37)

F = F (y\

x).

Dann ist nach (3,17) d

«2 geleistete virtuelle Arbeit ist

(5.60)

δ Ä2 = m2 0 · · • • j *

zu genügen haben. Es muß also neben (6,22) auch F} (ti +

· · · > ®3») δ Vi = 0

gelten. Für den Fall, daß die Nebenbedingungen rheonom sind, d. h. noch die Zeit t explizit enthalten, haben die δ xt ebenfalls (6,25) zu erfüllen, weil p. def. δ t — 0 ist. 3 Päsler, Prinzlpe der Mechanik

34

Das GAUSSSche Prinzip des kleinsten Zwanges

Liegen dagegen nichtholonome Nebenbedingungen vor, d. h. treten in ihnen auch die Geschwindigkeiten t< auf: (6.26)

JV < * , * ) = 0 ,

i = = i , 'l"-"nr j = ι ,4, —,r

oder anders geschrieben (6.27)

F, (xi, xt) = 0 ,

i = 1,2

3 n,

so erhält m a n daraus durch Variation nur d a n n die Bedingungsgleichung für die δχ% in der Form (6,25), wenn (6,27) eine l i n e a r e und h o m o g e n e Funktion der X{ ist, d. h. wenn 3η

(6.28)

F} (Xi, xt) = y xp fjP (χι, x%, ..., xZn) = 0 ν=ι

ist. D a f ü r kann man auch 3η

(6.29)

^ flP (χί> χ2> •··> χ3η) dxP = 0 ρ= ι

schreiben. Beim Vorliegen dieser Nebenbedingung haben die virtuellen Verschiebungen der Bedingungsgleichung (6.30)

ΣίΐΡδχΡ = ° ρ=1

zu genügen und diese ist gerade von der Form (6,25). Sind die Nebenbedingungen in den x< n i c h t l i n e a r , so kann man aus ihnen (6,25) n i c h t erhalten. Aus diesen Darlegungen folgt, daß sich das D'ALBMBBRTsche Prinzip zur Aufstellung von Bewegungsgleichungen beim Vorliegen von nichtholonomen Nebenbedingungen nur d a n n anwenden läßt, wenn diese von der speziellen Form (6,28) sind. Liegen dagegen andere nichtholonome Nebenbedingungen vor, so versagt das D'ALEMBERTSche Prinzip, und m a n h a t statt dieses, u m die dann gültigen Bewegungsgleichungen zu finden, ein weiterreichendes Prinzip anzuwenden. Als solches h a t sich das G&usssche Prinzip des kleinsten Zwangs bewährt, auf das wir nachstehend eingehen werden.

7. Das Gaußsche Prinzip des kleinsten Zwanges Zu den LAGRANGESchen Bewegungsgleichungen (6,20) für ein Punktsystem, das den r Nebenbedingungen (5,36) unterworfen ist, kann man auch auf einem anderen Weg gelangen als den, der im vorstehenden Kapitel beschritten wurde. Dies gelingt mittels eines 1829 von GAUSS 1 ) !) Carl-Friedrich GAUSS: * 1777 in Braunschweig, f 1855 in Göttingen.

Das GATJsseche Prinzip des kleinsten Zwanges

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gefundenen neuen allgemeinen Grundgesetzes der Mechanik", das heute als das GAUSSscAe Prinzip des kleinsten Zwanges bezeichnet wird. Wir erläutern es der Einfachheit halber zunächst an Hand der eingeschränkten Bewegung von nur einem Massenpunkt m. Unterliegt m der Einwirkung von Kräften, deren Resultierende Ä ist, so erfährt der Massenpunkt, sofern er frei ist, nach (1,1) die Beschleunigung

Wir haben hier die Beschleunigung mit dem Index / versehen, um damit anzudeuten, daß (7,1) für den freien Massenpunkt m gilt. Hat dagegen m eine Nebenbedingung zu erfüllen, so kann diese nach den Ausführungen in Kapitel 5 und 6 durch eine geeignete Zwangskraft 3 „ersetzt" werden, die den Massenpunkt m daran hindert, sich so zu bewegen, wie wenn er frei wäre. Es wird daher beim Vorliegen einer Nebenbedingung die tatsächliche Beschleunigung (7.2)

i # Tf

sein. Die Verschiedenheit von f und tf drückt man dadurch aus, daß man sagt: eine bei der Bewegung von m zu erfüllende Nebenbedingung „tut dem Massenpunkt einen Zwang Ζ an". Als Maß für Ζ wird man eine der Differenz |r — r/|2 proportionale Größe wählen. Als diese hat GAUSS — im Sinne der von ihm entwickelten „Methode der kleinsten Quadrate", die wahrscheinlich bei der Aufstellung des Prinzips der leitende Gedanke war — den Ausdruck (7.3)

Ζ = m (ν — νy)2

(7.4)

" ( * " * ) '

definiert. GAUSS postuliert nun: Die tatsächliche Beschleunigung r, die m unter Einwirkung der Kraft β beim Vorliegen einer Nebenbedingung erfährt, ist diejenige, mit der der Zwang (7,4) ein M i n i m u m wird, verglichen mit allen anderen Beschleunigungen, die mit der Nebenbedingung (4,2) verträglich sind. Um mit Hilfe dieses Prinzips die tatsächliche Beschleunigung zu finden, hat man zunächst die Bedingung aufzusuchen, der ν wegen des Vorliegens der Nebenbedingung (4,2) zu genügen hat. Diese Bedingung findet man, indem (7.5) (7.6)

F(v) =

F(v(t))

=F{x(f),y[t),s{t))

= 0

zweimal nach der Zeit t differenziert wird, weil dann im Ergebnis r = {x, y, z} auftreten muß. 3*

36

Das GAxrsssche Prinzip des kleinsten Zwanges

Die erste Ableitung von (7,6) nach t ergibt dF

(7,8)

dF

dF

dF

= i · grad F = Ο .

Mit Verwendung der in Kapitel 5 und 6 erklärten Summenschreibweise („Durchnumerierung") nimmt (7,7) die Form

an. Leitet man diesen Ausdruck nochmals nach t ab, so erhält man (7.10)

(7.11)

fr

+

'äSfe = F*(zi,y(,zi,

J Μ

...) = F*(v,

£i

...) = 0 .

Während beim Prinzip der virtuellen Verschiebung nur solche t zugelassen sind, die der Bedingung (4,2) genügen, kommen beim GAüssschen Prinzip nur solche Beschleunigungen r in Betracht, die der Bedingung (7.11) genügen. Das QAuassche Prinzip fordert daher: Minimum von (7,4) unter Beachtung der Nebenbedingung (7,11) in der die Variable n u r die Beschleunigung ϊ = {χ, y, ζ} ist, während der Ortsvektor τ = {χ, y, ζ} und die Geschwindigkeit t = {x, y, z} von m als fest anzusehen sind. Schreibt man (7,4) in der Form (7.12)

Z = m 2 ( x i=i\

i

- B ) \ m/

so ergibt sich das geforderte Minimum aus (7.13)

*[Ζ OXj

+ μ¥*)=

0,

j = 1,2,3,

d. h. mit (7,10-12) aus

(744, Λ

Λ

VF

..1

wobei μ ein LAGRANGEscher Multiplikator ist.

.

Das GAUSSSche Prinzip des kleinsten Zwanges

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Führt man die Differentiation in (7,14) aus, so erhält man (7,15)

2 m [ £ j -

+μ—

dxj

= 0,

j =

1, 2, 3

oder, wenn man (7,16) setzt, (7,17)

m X) = Kj

λ =—

Diese drei (für j = 1, 2, 3 -*• x, y, ζ gültigen) Gleichungen lassen sich, vektoriell geschrieben, in (7,18)

m χ = ^ + λ grad F (t)

zusammenfassen, und das ist genau die mit Verwendung des BERTschen Prinzips gefundene Bewegungsgleichung (6,5).

D'ALEM-

Wir bemerken, daß das GATisssche Prinzip als eine Art „Gegenstück" zum D'ALEMBERTschen Prinzip angesehen werden kann. Während bei diesem der wirklichen Bahn r = V (| = vo, sondern auch die Richtung von tto konstant.

40

Das GATJSSache Prinzip des kleinsten Zwanges

Für den Fall, daß die Nebenbedingungen (7,20) in den Geschwindigkeitskomponenten Χι linear sind, haben sie — Erweiterung von (4,10) — die Form (7.38)

F} — ψη (xfc, t) xi + ψ) 2 {xk, t)x2 + +

ψ)3η {Xk, t) X3n +

...

ψ}0 (Xk, t) = 0 ,

j =

i,2,...,r.

Statt (7,38) wollen wir — wieder unter Verwendung der Summenschreibweise — (7.39)

F j =

J

jo — 0

(8.31)

3 Φ} -g/ = 0

und damit gehen (8,24) bzw. (8,29) in (8,7) über. Man hat also das Resultat: Der „Energiesatz" (8,7) gilt nur beim Vorliegen skleronomer Nebenbedingungen, unabhängig davon, ob sie holonom oder nichtholonom sind.

9. Generalisierte holonome und nichtholonome Koordinaten Zur Beschreibung der Lage eines aus η Massenpunkten m< (i = 1,2, . . . , n) bestehenden freien Punktsystems werden vielfach die 3 η Komponenten Xi, y(, zt der Ortsvektoren Vi = {xi, yt, der einzelnen Massenpunkte rrii, d. h. cartesische Koordinaten, verwendet. Diese erweisen sich im allgemeinen als geeignete Größen zur Behandlung mechanischer Probleme, sofern keine Nebenbedingungen zu beachten sind. Liegen jedoch solche vor, d. h. hat das System (sagen wir r) Nebenbedingungen zu erfüllen, so wird manchmal die Verwendung cartesischer Koordinaten unzweckmäßig sein, weil sie — eben wegen der Nebenbedingungen — nun nicht mehr voneinander u n a b h ä n g i g sind. In solchen Fällen wird man bestrebt sein, entsprechend der Anzahl (9.1)

/ = 3η - r

der Freiheitsgrade 1 ) des unfreien Punktsystems, / neue Koordinaten (9.2)

q t = qk ( t ) ,

k=l,2,...,f

einzuführen, die voneinander ««abhängig sind. Hierzu können ζ. B. Winkel, Flächen oder auch nichtgeometrische Größen verwendet werden. Man bezeichnet daher die qn als generalisierte (oder verallgemeinerte) Koordinaten. Ihre Verwendung bringt — wegen der ausdrücklich verlangten Unabhängigkeit — den Vorteil mit sich, daß dann vorliegende Nebenbedingungen n i c h t mehr beachtet zu werden brauchen, weil diese — wie man häufig sagt — durch die geeignet zu wählenden qk „von selbst" erfüllt werden. Welche / Größen man als generalisierte Koordinaten qk(k — 1,2, . . . , / ) zweckmäßig wählt, hängt von der zu behandelnden Aufgabe (von „der Natur des Problems") ab. I n jedem Fall muß jedoch zwischen den q* und den Vi = {%i, yu z · · · > δ j=ι gemeint. Bildet man die zeitliche Ableitung von δ (9.36)

1

d

d