Elemente der Geometrie der Lage: Für den Schulunterricht bearbeitet [2. Aufl. Reprint 2018] 9783111468006, 9783111101040

Citation preview

Elemente der

Geometrie der Tage für den Schulunterricht bearbeitet

von

Rudolf Böger Zweite Auflage

Mit 38 Figuren

Leipzig

G. I. Göschen'sche Verlagshandlung 1910

Alle Rechte von der Verlagshandlung vorbehalten.

Druck von L. tzaberland, Leipzig-R.

Vorwort zur ersten Auflage. In dem mathematischen Unterricht der obern Klassen tritt die Geometrie hinter der Arithmetik zurück. Trotzdem dies Überwiegen des Rechnens ziemlich allgemein als Übelstand empfunden wird, ist eS bis­ her doch nicht gelungen, den geometrischen Lehrstoff der Schule in be­ ledigender Weise zu ergänzen, wohl deshalb nicht, weil fast alle Ver­ suche sich auf die Hinzufügung einzelner Kapitel aus der Planimetrie beschränken. Im folgenden ist nun der Versuch gemacht, die Elemente der Geometrie der Lage für den Schulunterricht zu verwerten. Die Grundlage der Geometrie der Lage ist so einfach, die Be­ ziehung aller ihrer Folgerungen zu wenigen grundlegenden Sätzen so klar und durchsichtig, ihr Aufbau so ungekünstelt, ihr Beweisverfahren so lückenlos und einheitlich, ihre Methode so fruchtbar, daß sie als mathematisches Bildungsmittel für die Schule der Planimetrie weit überlegen ist. Da alle Sätze gleich in der allgemeinsten Form gewonnen werden, so ist in der Geometrie der Lage das Lösen von Aufgaben eine wesentlich andere Tätigkeit als in der Planimetrie; es kommt darauf hinaus, die allgemeinen Gesetze auf besondere Fälle anzuwenden, eine Arbeit, die zwar nicht immer mühelos ist, die aber nie die Anwendung eines schwer zu findenden Kunstgriffes verlangt und daher von jedem Schüler, der sich die allgemeinen Methoden zu eigen gemacht hat, ge­ leistet werden kann. Dies Fortschreiten vom Allgemeinen zum Besondern gibt der Geometrie der Lage ihren pädagogischen Wert und sichert ihr einen Platz im Schulunterricht. Seit einer Reihe von Jahren habe ich in der Prima an geeig­ neten Stellen von den Betrachtungsweisen der Geometrie der Lage Ge­ brauch gemacht, anfangs zögernd, dann, durch den Erfolg sicher ge­ macht, in immer weiterm Ümfange. Danach hat sich für mich die folgende Behandlung der Kegelschnitte ergeben. — Zuerst werden die den Schülern neuen Kegelschnitte als geometrische Örter aufgefaßt und nur die Hauptsätze mit den den Schülern vertrauten planimetrischen Hilfsmitteln bewiesen, d. h. im wesentlichen wird nur die Aufgabe ge­ löst und verwertet: Von einem Punkt an die Parabel (Ellipse, Hyperbel) die Tangenten zu ziehen. Dann werden die Schnittlinien eines Kegels und einer Ebene nach den Methoden der Darstellenden Geometrie ge-

Vorwort.

zeichnet und die dabei sich von selbst ergebenden Gleichungen aufgestellt. Wenn so den Schülern die Kegelschnitte in ihren Haupteigenschaften vertraut geworden sind, kommt der Inhalt des folgenden Leitfadens. Da nur die Kenntnis der einfachsten stereometrischen Sätze voraus­ gesetzt wird, so würden sich, wie ich glaube, auch in einem Gymnasium „einige Grundlehren von den Kegelschnitten", wie es in den preußischen Lehrplänen heißt, rein-geometrisch behandeln lassen. In der Obersekunda könnte „einiges über die harmonischen Punkte und Strahlen" (§ 1) voraus genommen und in der Prima, wenn nötig, die Durchnahme des Leitfadens auf die §§ 2 und 3 und die ihnen entsprechenden Aufgaben aus § 5 beschränkt werden. — In einem Realgymnasium (auf das allein sich meine Erfahrungen erstrecken) und in einer Oberrealschule wird ein Teil der für „die wichtigsten Sätze über die Kegelschnitte in elementarer synthetischer Darstellung" aufgewandten Zeit wiedergewonnen bei der analytisch-geometrischen Behandlung, da diese dem Schüler nur noch eine neue Form, aber keinen neuen Inhalt mehr bietet. Die Brauchbarkeit dieses Leitfadens, der als zweite Ausgabe meiner 1897 erschienenen Programmabhandlung „Die Geometrie der Lage in der Schule" anzusehen ist, habe ich dadurch zu erhöhen geglaubt, daß ich am Eingang jeder Nummer auf die entsprechende Stelle meines Lehrbuches „Ebene Geometrie der Lage" verwiesen habe.

Vorwort zur zweiten Auflage. Die zweite Auflage ist im wesentlichen ein unveränderter Abdruck der ersten. Nur der letzte Paragraph, Ortsaufgaben, ist gänzlich um­ geändert. Er enthält jetzt die Aufgaben, die in diesem Winter von meinen Schülern für die erste Reinschrift in der Oberprima gebildet wurden. Trotzdem dieser Leitfaden jetzt als Kapitel III in meinem Lehr­ buch: „Projektive und analytische Schulgeometrie", enthalten ist, erscheint er als selbständiges Büchlein, um den Schülern an Anstalten, die einen ersten Versuch mit der projektiven Geometrie machen wollen, eine Unter­ lage für die Wiederholung zu bieten. Auch wird er dazu dienen können, einem Leser, dem die Geometrie der Lage noch fremd ist, einen ersten Einblick in ihr Wesen zu ermöglichen. Hamburg 24, im Dezember 1909.

Böger.

§ 1. Harmonische Elemente. 1. Stereometrifcbe Bilfeiatze. (E 15; vgl. des Verfassers Ebene Geometrie der Lage Nr. 15). 1. Zwei Geraden, die in einer Ebene liegen, schneiden sich in einem Punkte. 2. Zwei Geraden, die sich in einem Punkte schneiden, liegen in einer Ebene. 3. Zwei Ebenen schneiden sich in einer Gerade. 4. Schneiden sich zwei Geraden, die in zwei verschiedenen Ebenen liegen, so liegt ihr Schnittpunkt in der Schnittlinie beider Ebenen. 5. Vier Punkte lassen sich immer als die Ecken eines (räumlichen oder ebenen) Vierecks ansehen. Lehrsatz. Wenn zwei Gegenseiten eines Vierecks sich schneiden, so schneiden sich auch die andern Gegenseiten des Vierecks. Beweis: Wenn die Gegenseiten AA und Bf des Vierecks AABF sich in P schneiden, so liegen die vier Ecken in der Ebene PAB; alle Verbindungslinien der Ecken liegen daher in einer Ebene, folglich schneiden sie sich (11). 6. Wenn von drei Geraden je zwei sich schneiden, aber nicht alle durch einen Punkt gehen, so liegen in einer Ebene liegen, so gehen die die drei Geraden in einer Ebene. drei Geraden durch einen Punkt. Beweis (des links stehenden Satzes). Nach der Voraussetzung schneiden sich b und c in A, c und a in B, a und b in C. Fällt A nicht mit B (und folglich auch nicht mit C) zusammen, so liegen die drei Geraden in der Ebene AB C. Fällt dagegen A mit B (und folg­ lich auch mit C) zusammen, so gehen die drei Geraden durch einen Punkt.

2. perfpektiv liegende Dreiecke. 1. Zwei Dreiecke (oder auch zwei Vierecke) heißen zugeordnet, wenn den Ecken des einen die Ecken des andern zugewiesen sind; die einander zugewiesenen Ecken heißen homolog. Nennt man ferner zwei Seiten homolog, wenn die End­ punkte der einen den Endpunkten der andern homolog sind, so sind durch die Zuweisung der Ecken auch die Seiten einander zugewiesen. — Ebenso kann man zwei Dreiecke (oder auch zwei Vierecke) einander zuordnen, indem man den Seiten des einen die Seiten des andern zuweist. — Böger, Elemente der Geometrie der Lage.

1

Nr. 2.

§ 1.

Harmonische Elemente.

2. Lehrsatz des Desargues. Wenn die drei Punkte, in denen sich die homologen Seiten zweier zugeordneten Dreiecke schneiden, in einer Gerade liegen, so gehen die drei Geraden, welche die homologen Ecken verbinden, durch einen Punkt. Beweis. Schneiden sich die homologen Seiten der beiden zuge­ ordneten Dreiecke ABC und AxBxCx in den drei Punkten PQR der Gerade t (Fig. 1), so legen wir durch die Gerade t eine (in der Figur nicht gezeichnete) beliebige Ebene ox und ziehen in dieser durch die drei Punkte PQR drei beliebige Geraden aßy, die sich in den Punkten ABT schneiden. Wir betrachten zunächst die beiden Dreiecke AB Girat) ABT. ®ci BC und BT sich in P schneiden, so müssen sich auch die Verbin­ dungslinien BB und CT schneiden ; ebenso müssen sich die Ver­ bindungslinien Cr und A A und die Verbindungslinien Ak und BB schneiden. Die drei Verbindungs­ linien \Ak, BB, Cr gehen daher durch einen Punkt S. — Durch die Betrachtung der Dreiecke A1B1 Cx und ABT ergibt sich in derselben Weise, daß die Verbindungslinien Ax A, Bv B, Cxr durch einen Punkt Sx gehen. Den Punkt, in dem die Ebene ) und Sj (bj und die Verbindungslinie

Reihe s die Punkte A1B1C1 der andern Reihe sT homolog sind. — Wir wählen auf der Verbindungs­ linie zweier homologen Punkte, z. B. auf AA-l — a, zwei beliebige Punkte 8 und Sv bestimmen den Schnitt­ punkt B der Verbindungslinien S(B) und Sj/Bj) und den Schnittpunkt r

Fig- n.

y der Schnittpunkte s(c) und s1(c1) und bestimmen den Schnittpunkt ßy = 'L. Beziehen wir dann 8 und L vermittels s, und Z und St ver­ mittels sx Perspektiv aufeinander, so erhalten wir die verlangte Zu­ ordnung der Strahlenbüschel 8 und Sv — Ist z. B. d ein beliebiger Strahl von 8, so bestimmt der Schnitt­ punkt s(ch in Z den Strahl 6 und der Schnittpunkt s, (ö) in 8t den ge­ suchten homologen Strahl dv —

der Verbindungslinien S(C) und ^(Ci) und ziehen die Verbindungs­ linie Bf = o. Beziehen wir dann s und o vermittels 8, und o und vermittels SY Perspektiv aufein­ ander, so erhalten wir die verlangte Zuordnung der Punktreihen s und s1. — Ist z. B. D ein beliebiger Punkt von s, so bestimmt die Verbindungs­ linie S(D) in o deu Punkt A und die Verbindungslinie 8t(A) in sx den gesuchten homologen Punkt Dv —

5. Besondere Lösung en. Unter den verschiedenen Lagen, die man den durch A — aaY gehenden Hilfs­ geraden s und sY geben kann, sind zwei von besonderer Wichtigkeit:

5. Besondere Lösungen. Unter den verschiedenen Lagen, die man den auf a — AAt liegenden Hilfs­ punkten 8 und St geben kann, sind zwei von besonderer Wichtigkeit:

s und fallen mit den Ge­ raden zusammen, die A mit den Schnittpunkten der beiden andern

8 und SY fallen mit den Punk­ ten zusammen, in denen a von den Verbindungslinien der beiden andern

12

§ 2.

Nr. 11.

Projektive Verwandtschaft.

Fig- 12.

Fig. 13.

Paare von homologen Strahlen bbx und ccx verbinden (Fig. 12).

Paare von homologen Punkten BBt und CCX geschnitten wird (Fig. 13).

6. s fällt mit der Verbindungs­ linie = ax und mit der Ver­

6. 8 fällt mit dem Schnitt­ punkt as1=A1 und St mit dem

bindungslinie (Fig. 14).

Schnittpunkt (Fig. 15).

NS=a

zusammen

as — A

zusammen

7. Zusatz. Indem man für projektiv das Zeichen X einführt, drückt man die vorstehende Aufgabe kurz aus durch

abc ... 7\ axbxcx...

abc...t;a1b1c1...

und die Konstruktion, durch welche man zu einem beliebigen Elemente das homologe erhält, durch

dÄs(d)Ä

D X SID) X A X -S'i(A) X Dv

8. Anmerkung. Die vorstehende Konstruktion bildet die Grund­ lage für alle folgenden Betrachtungen; sie ist daher unter Abänderung

Nr. 11—12.

§ 2.

Projektive Verwandtschaft.

der Lage der gegebenen und der willkürlich angenommenen Stücke zu wiederholen und einzuüben.

12. projehtivität (E 37). 1. Liegen die Punkte AB C und die ihnen zugewiesenen A1B1C1 in einer Gerade s, so führt die in Nr. 114 (rechts) angegebene Konstruktion nicht zum Ziel, weil die Verbindungs­ linie AA, mit s zusammenfällt. Wir können uns dadurch helfen, daß wir ABC aus einem beliebigen Punkt auf eine beliebige Gerade s' in A'B'C projizieren und nun mit ABC und A'B'C und darauf mit A'B'C und AtB1C1 nach 114 verfahren. — Es ist aber nicht nötig, dieser allgemeinen Konstruktion weiter nachzugehen, weil sie nicht zu neuen Sätzen führt. Wichtig dagegen ist der folgende besondere Fall. 2. Definition. Der Inbegriff zweier projektiven Grund­ gebilde, die einen gemeinsamen Träger haben, heißt Projektivität. — Liegen zwei projektive Punktreihen in einer Gerade, so kann jeder Punkt der Gerade zur ersten sowohl wie zur zweiten Punktreihe ge­ rechnet werden: Jeder Punkt kann, wie wir sagen wollen, als ein zwei­ facher angesehen werden. Statt wie bisher drei beliebigen Punkten ABC drei beliebige Punkte AlB1C1 zuzuweisen, bietet sich jetzt die Möglichkeit, Punkte der zweiten Reihe mit Punkten der ersten zusammen­ fallen zu lassen. Dabei wollen wir den Punkt, der mit seinem homo­ logen zusammenfällt, nicht durch A, B oder C, sondern durch einen neuen Buchstaben K bezeichnen, um uns immer an seine besondere Bedeutung zu erinnern. Wir stellen uns also die Aufgabe. Eine Projektivität herzustellen, für welche ist KBCRKB^. Lösung. Auf einer beliebigen durch K gelegten Gerade §' (Fig. 16) wählen wir zwei beliebige Punkte S und Sv (vgl. Nr. 114), bestimmen den Schnittpunkt B von S(B) und (SJ und den Schnittpunkt F von S(C) und ÄJCi) und ziehen die Verbindungslinie o von B und T. Zu einem beliebigen Punkt D erhalten wir den homologen D1 durch die Konstruktion (Fig. 16):

D^/S'CD)äAÄS1(A)ä-Di. 3. Fällt D in den Punkt L, in dem die Verbindungslinie BF den gemeinsamen Träger der beiden Punktreihen schneidet, so sehen wir, daß auch DY in L fällt. Außer K ist also noch der Punkt L sich selbst homolog. Definition. Ein Element, das mit seinem homologen zu­ sammenfällt, heißt Ordnungselement. Lehrsatz. Hat eine gerade Projektivität ein Ordnungselement, so hat sie auch noch ein zweites. —

§ 2. Projektive Verwandtschaft.

Nr. 13.

13. Der Staudtfche Satz (E 32). Wir betrachten zwei projektive Punktreihen, die denselben Träger haben, und nehmen an, daß (nicht wie in der vorhergehenden Nummer zwei, sondern) drei Punkte mit ihren homologen zusammenfallen. — 1. Lehrsatz. Jeder Punkt, der mit drei sich selbst homologen Punkten einer Projektivität einen harmonischen Wurf bildet, ist sich selbst homolog. Beweis. Sind KLMtaei Punkte, die mit ihren homologen K1L1M1 zusammenfallen, und N ein vierter Punkt, der mit KLM den harmo­ nischen Wurf KL - MN bildet, so muß der dem Punkte N homologe Sßuntt Nx mit K1L1M1 einen harmonischen Wurf bilden (“3). Da aber die beiden harmonischen Würfe KL- MN und KXLV - M1Nl drei Punkte gemeinsam haben, so fällt Nt in N der Tangenten in 8 und 81 und zeichnen dann nach Nr. 23 weitere Kurvenpunkte A. — Von dem Kurvenviereck SS^A A (Fig. 25) sind D und Dt zwei Diagonalpunkte. Wir zeichnen noch den dritten Dia­ gonalpunkt E und betrachten die Be­ wegung der Diagonallinie ED, wäh­ rend der Strahl DD1 sich um T dreht. Da die beiden Gegenseiten SA und 8± A, die sich in dem Diagonal­ punkte D schneiden, durch die beiden

Nr. 24—26.

§ 3.

Krumme Grundgebilde.

andern Diagonalpunkte B und Dt harmonisch getrennt sindso gehen von D vier harmonische Strahlen aus, die die Tangente ST vn vier harmonischen Punkten SK- TM schneiden Von diesen vier harmo­ nischen Punkten bleiben drei, nämlich 8 TK, bei der Drehung von DDt fest; es geht daher die Diagonallinie ED immer durch den vierten von T durch S und K harmonisch getrennten Punkt M . Wir haben daher bei der Drehung des Strahles DD1 A (A) 7\B7\M(R) X ^Ä'S'(A);

A(A)äS(A).

d. h.

Da A ein beliebiger Kurvenpunkt ist(19g), so läßt sich in derselben Weise zeigen b(A)äS(A);

folglich (112>

A(A)/\B(A).

Lehrsatz. Eine krumme Punkt­ reihe wird aus zwei beliebigen ihrer Punkte durch zwei pro­ jektive Strahlenbüschel pro­ jiziert.

Lehrsatz. Ein krummer Strah­ lenbüschel schneidet zwei be­ liebige seiner Strahlen in zwei projektiven Punktreihen.

2. Hätten wir also aus den fünf Punkten S^ABs die Kurve ge­ zeichnet, indem wir (nicht S und Slt sondern) A und B zu Strahlen­ mittelpunkten gemacht hätten, so würden wir dieselbe Kurve erhalten haben, weil die projektive Verwandtschaft der in A und B zu konstruie­ renden Strahlenbüschel durch die brei(13i) Punkte 8SJ" bestimmt ist: Lehrsatz. Eine krumme Punkt­ reihe ist durch fünf Punkte be­ stimmt.

Lehrsatz. Ein krummer Strahlen­ büschel ist durch fünf Strahlen be­ stimmt.

3. Zusatz. S und SL sich durch zwei beliebige Kurvenpunkte ersetzen lassen, so haben 8 und Sx keine Eigenschaften vor den übrigen Kurvenpunkten voraus: Alle Sätze, die von 8 und Äj gelten, jedem Kurvenpunkte.

4. Z. B. (vgl. 22i): In jeder Gerade, in der ein Punkt der krummen Punktreihe liegt, liegt auch noch ein zweiter Punkt.

gelten von

Durch einen Punkt, durch den ein Strahl des krummen Strahlen­ büschels geht, geht auch noch ein zweiter Strahl.

25. Pascal und Briancbon. 1. Aus Nr. 202 ergibt sich(24s) der Satz des Pascal. Die drei Punkte, in denen sich die Gegen­ seiten eines Kurvensechsecks schnei­ den, liegen in einer Gerade. —

Satz des Brianchon. Die drei Geraden, welche die Gegen­ ecken eines Büschelsechsseits ver­ binden, gehen durch einen Punkt. —

§ 3. Krumme Grundgebilde.

Nr. 25—27.

2. Für die Anwendung des Pascal ist es am bequemsten, die Ecken des Sechsecks (in beliebiger Reihenfolge) durch Ziffern zu be­ zeichnen und die Schnittpunkte der Gegenseiten zu bestimmen nach dem Schema I

i—1_2~I

1 2 3 4 5 6.

3. Der Satz des Pascal bleibt richtig, wenn man zwei Kurven­ punkte zusammenfallen läßt und zugleich an die Stelle der Verbindungs­ linie dieser beiden Punkte die Tangente setzt. Auch in diesem Fall er­ leichtert das Schema die Übersicht, wenn man die zusammenfallenden Punkte mit derselben Ziffer bezeichnet und diese zweimal hinschreibt. Für ein Kurvendreieck ergibt sich z. B. das Schema i

i—i

I

1 1 2 2 3 3. In Worten:

Die drei Punkte, in denen die Seiten eines Kurvendreiecks die Tangenten der Gegenecken schneiden, liegen in einer Gerade.

Die drei Geraden, welche die Ecken eines Büscheldreiseits mit den Berührungspunkten der Gegenseiten verbinden, gehen durch einen Punkt.

26. Vier punkte und eine Tangente (E 53). 1. Da DDX (Fig. 25) die der Seite 88x des Kurvenvierecks SS^A A zugeordnete Diagonallinie ist und DDX durch den Schnittpunkt T der Tangenten in 8 und Sx geht, so haben wir (24a) den Lehrsatz. Die Tangenten Lehrsatz. Die Berührungs­ zweier Ecken eines Kurven­ punkte zweier Seiten eines vierecks schneiden sich in einem Büschelvierseits liegen in Punkte der zugeordneten Dia­ einem Strahl des zugeord­ neten Diagonalpunktes. — gonallinie. — 2. Aufgabe. Eine Kurve zweiter 2. Aufgabe. Einen Strahlen­ Ordnung zu zeichnen, wenn vier büschel zweiter Ordnung zu zeichnen, Punkte und die Tangente in einem wenn vier Strahlen und der Berüh­ dieser Punkte gegeben sind. rungspunkt in einem dieser Strahlen gegeben sind. In Zeichen: SSxMSo. In Zeichen: ooxaßS. Lösung. Die den Ecken 8 und Sx zugeordnete Diagonallinie des gegebenen Vierecks SSXAB schneidet die gegebene Tangente o in einem Punkte T, durch den auch die Tangente von Sx geht(261). Durch Kon­ struktion dieses Punktes T ist die Aufgabe auf unsere Fundamentalaufgabe (23) zurückgeführt. Zur Übung : SS1A«, Bo-SS1^ Bw o;SM 8xKBo;8a, S^AB^a; SmSxAooBa; 81M ABo. 27. Der üangentenbüfcbel (E 60). 1. Wir sahen(241), daß die Dia­ gonallinie DR des Kurvenvierecks ÄS^A A durch den festen Punkt M der

Nr. 27—28.

§ 6.

Krumme Grundgebilde.

Tangente ST getjt; ebenso ergibt sich, daß die Diagonallinie DXR durch den festen Punkt der Tangente St T geht. Wenden wir nun den Satz 26x an 1. auf die Ecken 8und A, 2. auf die Ecken Sx und A, so sehen wir, daß der Schnittpunkt N (Fig. 26) von ST und DXR und der Schnitt­ punkt Mx von Sx T und DR auf der Tangente von A liegen. Dreht sich der Strahl DDt um T, so ergibt sich:

NTxN^Ny^R^MlRY^, d. h. N7;MV Lehrsatz. Die Tangenten Lehrsatz. Die Berührungs­ einer Kurve zweiter Ord­ punkte eines Büschels zweiter nung schneiden in zwei be­ Ordnung werden aus zwei be­ liebigen festen Tangenten liebigen festen Berührungs­ zwei projektive Punktreihen punkten durch zwei projektive aus. — Strahlenbüschel projiziert.— 2. Da wir mithin die Tangenten einer Kurve ansehen können als die Verbindungslinien der homologen Punkte N und Mx zweier projek­ tiven Punktreihen, so haben wir den Lehrsatz. Die Tangenten Lehrsatz. Die Berührungs­ einer krummenPunktreihe bil­ punkte eines krummen Strah­ den einen krummen Strahlen­ lenbüschels bilden eine krumme büschel (181). Punktreihe(181). 3. Zusatz. Alle Sätze also, die wir von den Strahlen eines krummen Büschels aufgestellt haben, gelten auch von den Tangenten einer krummen Punktreihe. Z. B-(241). Durch jeden Punkt, durch den eine Tangente geht, geht auch noch eine zweite Tangente. — 4. An die Stelle des Büschelsechsseits dürfen wir(28g) das von sechs Tangenten der Kurve gebildete Sechsseit, das wir kurz ein Kurvensechsseit nennen wollen, setzen, so daß die in Nr. 25 (rechts) aus­ gesprochenen Sätze lauten: Satz des Brianchon. Die drei Geraden, welche die Gegenecken eines Kurvensechsseits verbinden, gehen durch einen Punkt. Die drei Geraden, welche die Ecken eines Kurvendreiseits mit den Berührungspunkten der Gegenseiten verbinden, gehen durch einen Punkt.

28. Zwei punhte und drei Cangenten (E 58 Z.). Aufgabe. Eine Kurve zu zeichnen, von der drei Tangenten und die Berührungspunkte in zweien dieser Tangenten gegeben sind.

§ 3. Krumme Grundgebilde.

Nr. 28—29.

In Zeichen: SS^o^a.

Lösung. In dem von den drei Tangenten oova gebildeten Kurvendreiseit kennen wir die Berührungspunkte der beiden Seiten o und ax; wir können daher vermittels des Brianchon für das Dreiseit(271) den Berührungspunkt der Tangente a finden: Wir verbinden die Ecke oa mit St und die Ecke o1a mit S; die Gerade, welche den Schnittpunkt dieser beiden Verbindungslinien mit der dritten Ecke oax verbindet, schneidet die Tangente a in ihrem Berührungspunkt A. Durch die Zeich­ nung dieses Kurvenpunktes A ist unsere Aufgabe auf die Fundamental­ aufgabe